Загальні та приватні рішення рекурентних співвідношень. Рекурентні співвідношення

Рекурентним співвідношенням (рівнянням, рекурентною формулою) називається співвідношення виду

яке дозволяє обчислити всі члени послідовності a 0 ,a 1 , a 2 .., якщо задані її перші k членів.

k- Порядок рекурентного рівняння.

Приклади. 1)a n +1 = a n + d- арифметична прогресія.

2) a n +1 = q ∙ a n- геометрична прогресія.

3) a n +2 = a n + a n +1 - Послідовність чисел Фібоначчі.

1.4.2. Рішення лінійного однорідного рекурентного рівняння

У разі, коли рекурентне рівняння лінійне та однорідне, тобто виконується співвідношення виду

Послідовність a 0 , a 1 , a 2 .., що задовольняє даному рівнянню називається зворотної.

Багаточлен

називається характеристичним багаточленомдля зворотної послідовності.

Коріння цього многочлена називаються характеристичними. Безліч всіх послідовностей, що задовольняють рекурентному рівнянню (1), називається його загальним рішенням.

Загальне рішення однорідного рекурентного лінійного рівняння має аналогію з рішенням лінійного диференціального рівняння. Зокрема, справедливі теореми.

Теорема 1. Нехай - корінь характеристичного багаточлена (2), тоді послідовність
, де c- Похідна константа, задовольняє рівняння (1).

Теорема 2. Якщо
- просте коріння характеристичного багаточлена (2), то загальне рішеннярекурентного рівняння (1) має вигляд:

де c 1 ,c 2 ,..,c k- Довільні константи.

Теорема 3. Якщо - корінь кратності (i = 1,2,..,s) характеристичного багаточлена (2), то загальне рішення рекурентного рівняння (1) має вигляд:

де c ij - Довільні константи.

Знаючи загальне рішення рекурентного рівняння (1), за початковими умовами a 0 ,a 1 ,..,a k -1 , можна знайти невизначені постійні c ij, і тим самим отримати приватне рівняння (1) з цими умовами.

приклад. Знайти послідовність ( a n), що задовольняє рекурентному рівнянню

Характеристичний багаточлен

1 (2).4.3. Вирішення лінійного неоднорідного рекурентного рівняння

Розглянемо лінійне неоднорідне рекурентне рівняння

a n+k + p 1 a n+k-1 + … + p k a n = f(n), (n = 0, 1, 2, ...)(3)

Нехай ( b n) - загальне рішення однорідного рівняння (1). ( c n) - приватне (конкретне) рішення неоднорідного рівняння (3).

Тоді послідовність ( b n +c n) утворює загальне рішення рівняння (3). Отже, справедлива теорема.

Теорема 4. Загальне рішення лінійного неоднорідного рекурентного рівняння подається у вигляді суми загального рішення відповідного лінійного однорідного рекурентного рівняння та деякого приватного розв'язання неоднорідного рівняння.

В результаті завдання знаходження загального рішення неоднорідного рівняння (3) зводиться до знаходження його приватного рішення. В окремих випадках є рецепти перебування приватного рішення.

1) Якщо f(n) = β n, (де β не є коренем характеристичного рівняння), то приватне рішення слід шукати у вигляді c n = Cβ n . Тоді, підставляючи його (3), отримуємо:

В результаті, приватне рішення задається формулою

2) Нехай f(n) -багаточлен ступеня r від змінної n, і число 1 не є характерним коренем. Тоді і приватне рішення слід шукати у вигляді

Підставляючи c n в (3) замість a n, отримуємо

Порівнюючи коефіцієнти лівої та правої частин здобутої рівності, знайдемо співвідношення для чисел d i, що дозволяють ці цифри визначити.

приклад. Знайти рішення рекурентного рівняння

з початковою умовою.

Рішення.Розглянемо характеристичний багаточлен даного рекурентного рівняння

Його корінь. Тоді за теоремою 1 загальне рішення відповідного однорідного рекурентного рівняння задається формулою , де - довільна константа.

Оскільки , тобто. одиниця перестав бути коренем характеристичного многочлена, а права частина є многочлен першого ступеня, то окреме рішення неоднорідного рівняння шукається як полінома першого ступеня з невизначеними коефіцієнтами , де й – невідомі коефіцієнти. Підставивши замість вихідне рівняння, отримаємо або . Прирівнюючи коефіцієнти лівої та правої частини останньої рівності, отримуємо систему рівнянь для визначення невідомих та .

Анотація: Розміщення без повторень. Перестановки. Поєднання. Рекурентні співвідношення. Інший спосіб підтвердження. Процес послідовного розбиття. Завдання: "Утруднення мажордома".

Розміщення без повторень

Є різні предмети. Скільки з них можна скласти розстановок? При цьому дві розстановки вважаються різними, якщо вони або відрізняються один від одного хоча б одним елементом, або складаються з тих самих елементів, але розташованих в різному порядку. Такі розстановки називають розміщення без повторень, які число позначають . При складанні -розміщень без повторень із предметів нам треба зробити вибори. На першому кроці можна вибрати будь-який із наявних предметів. Якщо цей вибір вже зроблено, то на другому кроці доводиться вибирати з предметів, що залишилися. На - м кроку предметів. Тому за правилом твору отримуємо, що число -розміщень без повторення з предметів виражається так:

Перестановки

При складанні розміщень без повторень з елементів ми отримали розстановки, що відрізняються один від одного і складом, і порядком елементів. Але якщо брати розстановки, в які входять всі елементи, то вони можуть відрізнятися один від одного лише порядком елементів, що входять в них. Такі розстановки називають перестановками з n елементів, або, коротше, – перестановками.

Поєднання

У тих випадках, коли нас не цікавить порядок елементів у комбінації, а цікавить лише її склад, говорять про поєднання. Отже, - поєднаннями з елементів називають всілякі - розстановки, складені з цих елементів і що відрізняються один від одного складом, але не порядком елементів. Число поєднань, яке можна скласти з елементів, позначають через .

Формула для числа поєднань виходить із формули для числа розміщень. Справді, складемо спочатку все - поєднання з елементів, а потім переставимо елементи, що входять у кожне поєднання, всіма можливими способами. При цьому виходить, що всі розміщення з елементів, причому кожне тільки по одному разу. Але з кожного - поєднання можна зробити! перестановок, а кількість цих поєднань дорівнює . Значить, справедлива формула

З цієї формули знаходимо, що

Рекурентні співвідношення

При вирішенні багатьох комбінаторних завдань користуються методом зведення даної задачі до завдання, що стосується меншої кількості предметів. Метод зведення до аналогічного завдання для меншого числа предметів називається методом рекурентних співвідношень(Від латинського "recurrere" - "повертатися").

Поняття рекурентних співвідношень проілюструємо класичною проблемою, яка була поставлена ​​близько 1202 Леонардо з Пізи, відомим як Фібоначчі. Важливість чисел Фібоначчі для аналізу комбінаторних алгоритмів робить цей приклад дуже сприятливим.

Фібоначчі поставив завдання у формі розповіді про швидкість зростання популяції кроликів за таких припущень. Все починається з однієї пари кролів. Кожна пара стає фертильною через місяць, після чого кожна пара народжує нову пару кроликів щомісяця. Кролики ніколи не вмирають, і їхнє відтворення ніколи не припиняється.

Нехай - кількість пар кроликів у популяції після місяців, і нехай ця популяція складається з пар приплоду і "старих" пар, тобто . Отже, черговий місяць відбудуться такі события: . Стара популяція в-й момент збільшиться на кількість народжених на момент часу. . Кожна стара пара в момент часу виробляє пару приплоду в момент часу. Наступного місяця ця картина повторюється:

Поєднуючи ці рівності, отримаємо наступне рекурентне співвідношення:

(7.1)

Вибір початкових умов для послідовності чисел Фібоначчі не є важливим; Значна властивість цієї послідовності визначається рекурентним співвідношенням. Будемо припускати (іноді ).

Розглянемо це завдання трохи інакше.

Пара кроликів приносить раз на місяць приплід із двох кроленят (самки і самця), причому новонароджені кроленята через два місяці після народження вже приносять приплід. Скільки кроликів з'явиться за рік, якщо на початку року була одна пара кроликів?

З умови завдання випливає, що за місяць буде дві пари кроликів. Через два місяці приплід дасть лише перша пара кроликів, і вийде 3 пари. А ще через місяць приплід дадуть і вихідна пара кролів, і пара кролів, що з'явилася два місяці тому. Тому всього буде 5 пар кролів. Позначимо через кількість пар кроликів після місяців з початку року. Зрозуміло, що через місяці будуть ці пари і ще стільки новонароджених пар кроликів, скільки було в кінці місяця, тобто ще пар кроликів. Іншими словами, має місце рекурентне співвідношення

(7.2)

Оскільки, за умовою, і , то послідовно знаходимо

Зокрема, .

Числа називаються числами Фібоначчі. Вони мають цілу низку чудових властивостей. Тепер виведемо вираз цих чисел через . Для цього встановимо зв'язок між числами Фібоначчі та наступним комбінаторним завданням.

Знайти число послідовностей, що складаються з нулів та одиниць, у яких жодні дві одиниці не йдуть поспіль.

Щоб встановити цей зв'язок, візьмемо будь-яку таку послідовність і зіставимо їй пару кроликів по наступному правилу: одиницям відповідають місяці появи світ однієї з пар " предків " цієї пари (включаючи і вихідну), а нулями - решта місяців. Наприклад, послідовність 010010100010 встановлює таку "генеалогію": сама пара з'явилася наприкінці 11-го місяця, її батьки - наприкінці 7-го місяця, "дід" - наприкінці 5-го місяця та "прадід" - наприкінці другого місяця. Вихідна пара кроликів тоді зашифровується послідовністю 000000000000.

Ясно, що при цьому в жодній послідовності не можуть стояти дві одиниці поспіль - пара, що тільки-но з'явилася, не може, за умовою, принести приплід через місяць. Крім того, при зазначеному правилі різним послідовностям відповідають різні пари кроликів, і назад дві різні пари кроликів завжди мають різну "генеалогію", так як, за умовою, кролиця дає приплід, що складається тільки з однієї пари кроликів.

Встановлений зв'язок показує, що число-послідовностей, що мають зазначену властивість, дорівнює .

Доведемо тепер, що

(7.3)

Де , якщо непарно, і , якщо парно. Іншими словами, - ціла частиначисла (надалі будемо позначати цілу частину числа через ; таким чином, ).

Насправді - це число всіх - послідовностей з 0 і 1, в яких ніякі дві одиниці не стоять поруч. Число таких послідовностей, в які входить рівно одиниць і нулів, дорівнює . Бо при цьому має виконуватись

Загальним рішеннямРекурентне співвідношення (1) називається безліч всіх послідовностей, що задовольняють цьому співвідношенню.

Приватним рішеннямспіввідношення (1) називається одна з послідовностей, що задовольняють цьому співвідношенню.

Приклад 1¢.Послідовність a n=a 0 +nd a n=a n - 1 +d. Це – формула спільного члена арифметичної прогресіїз різницею dі з початковим членом прогресії a 0 .

Приклад 2¢.Послідовність b n=b 0 × q nє загальним рішенням співвідношення b n=b n - 1 ×q. Це – формула спільного члена геометричній прогресіїзі знаменником q¹0 і з початковим членом прогресії b 0 .

Приклад 3¢.Так звана формула Біне j n=є приватним рішенням співвідношення j n=j n- 2 +j n- 1 за j 0 =j 1 =1.

3. Лінійні рекурентні співвідношення.Співвідношення виду

a n + k+p 1 a n + k - 1 +…+p k a n=h(n) (2)

де h(n) - функція від числа, а , називається лінійним рекурентним співвідношенням.

Лінійне рекурентне співвідношення називають однорідним, якщо f(n)=0:

a n + k+p 1 a n + k - 1 +…+p k a n=0. (3)

Багаточлен x k+p 1 x k - 1 +…+p k - 1 x+p kназивається характеристичнимдля співвідношення (2).

простимякщо ділиться на , але не ділиться на .

Корінь a багаточлена називається кратним, якщо ділиться на , але не ділиться на .

При цьому число називається кратністюкореня.

Основна теорема алгебри: багаточлен ступеня з комплексними коефіцієнтами має комплексне коріння з урахуванням їх кратності.

Теорема 1 nпростих коренів a 1 , …, a n

, (4)

де c 1 ,…,c kÎ C.

Доведення. Легко перевірити такі два твердження.

(a) Послідовність cx n, де cÎ Cє рішенням рекурентного співвідношення (3).

(b) Якщо послідовності a nі b nє рішеннями співвідношення (3), то послідовність a n+b nтакож є рішенням співвідношення (3).

З ( a) та ( b) Випливає, що будь-яка послідовність виду (4) є рішенням співвідношення (3).

Назад, будь-яке рішення співвідношення (3) має вигляд (4).

При n=0,1,…,k-1, з рівності (4) ми отримаємо систему лінійних рівняньщодо c 1 ,…,c k:

(5)

Визначник системи (5) є відомий в алгебрі визначник Вандермонда:

.

Оскільки просте коріння x 1 ,…,x kпопарно різні, то D10. Отже, система (5) має (єдине) рішення.

Завдання 1.Знайти спільний член геометричної прогресії за формулою (4).

Рішення b n=qb n- 1 має вигляд. Тому.

Завдання 2.Знайти загальне рішення співвідношення Фібоначчі a n + 2 =a n+a n + 1 .

Рішення. Характеристичний багаточлен рекурентного співвідношення a n + 2 =a n+a n+ 1 має вигляд. Тому .

Наведемо без підтвердження наступне узагальнення теореми 1.

Теорема 2. Нехай характеристичний багаточлен однорідного лінійного рекурентного співвідношення (3) має kкоренів: a 1 кратності, …, a kкратності , , . Тоді загальне рішення рекурентного співвідношення (3) має такий вигляд:

Завдання 3.Знайти загальне рішення співвідношення.

Рішення.Характеристичний багаточлен має корінь 2 кратності 3. Тому .

Зауваження. Загальне рішення неоднорідного лінійного співвідношення (2) можна визначити як суму загального рішення однорідного лінійного співвідношення (3) і окремого рішення неоднорідного лінійного співвідношення (2).

4. Виробляючі функції.Формальний ряд a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +…+a k x k+ ... називається виконує функцією послідовності a 0 ,a 1 ,a 2 ,…,a k,…

Функція, що виробляє, є або схожим рядом, або розбіжним рядом. Два розбіжних ряду можуть дорівнювати як функції, але бути функціями різних послідовностей. Наприклад, ряди 1+2 x+2 2 x 2 +…+2k x k+… та 1+3 x+3 2 x 2 +…+3k x k+… визначають ту саму функцію (рівну 1 у точці x=1, невизначену в точках x>1), але є функціями різних послідовностей.

Властивості послідовностей, що виробляють функцій:

сума (різниця) функцій послідовностей, що виробляють a nі b nдорівнює виконує функції сумі (різниці) послідовностей a n+b n;

добуток функцій послідовностей, що виробляють a nі b nє функцією, що виробляє згортки послідовностей a nі b n:

c n=a 0 b n+a 1 b n - 1 +…+a n - 1 b 1 +a n b 0 .

приклад 1.Функція є виробляє для послідовності

приклад 2.Функція є виробляє для послідовності 1, 1, 1, …

Рекурентне співвідношення має порядок k якщо воно дозволяє виразити f(n+k) через f(n), f(n+1), …, f(n+k-1).

приклад.

f(n+2)=f(n)f(n+1)-3f 2 (n+1)+1 – рекурентне співвідношення другого порядку.

f(n+3)=6f(n)f(n+2)+f(n+1) – рекурентне співвідношення третього порядку.

Якщо задано рекурентне співвідношення k-го порядку, йому можуть задовольняти нескінченно багато послідовностей, оскільки перші k елементів послідовності можна поставити довільно – з-поміж них немає жодних співвідношень. Але якщо перші k членів задані, всі інші елементи визначаються однозначно.

Користуючись рекурентним співвідношенням та початковими членами, можна один за одним виписувати члени послідовності, при цьому рано чи пізно ми отримаємо будь-який її член. Однак якщо необхідно дізнатися лише один певний член послідовності, то нераціонально обчислювати усі попередні. І тут зручніше мати формулу для обчислення n-го члена.

Рішенням рекурентного співвідношенняназивається будь-яка послідовність, на яку дане співвідношення виконано тотожно.

приклад. Послідовність 2, 4, 8, …, 2 n є рішенням для співвідношення f(n+2)=3∙f(n+1) – 2∙f(n).

Доведення. Загальний член послідовності має вигляд f(n) = 2 n. Значить f(n+2)= 2 n+2, f(n+1)= 2n+1 . За будь-якого n має місце тотожність 2 n+2 =3∙2 n+1 – 2∙2 n . Отже, при підстановці послідовності 2 n формулу f(n+2)=3f(n+1) – 2f(n) співвідношення виконується тотожно. Отже, 2 n є розв'язком зазначеного співвідношення.

Рішення рекурентного співвідношення k-го порядку називається загальнимякщо воно залежить від k довільних постійних α 1 , α 2 , … α k і шляхом підбору цих постійних можна отримати будь-яке рішення даного співвідношення.

приклад. Дано рекурентне співвідношення: f(n+2)=5f(n+1)-6f(n). Доведемо, що його загальне рішення має вигляд: f(n)= α 2 n + β3 n .

1. Спочатку доведемо, що послідовність f(n)=α 2 n + β3 n є рішенням рекурентного співвідношення. Підставимо дану послідовність рекурентне співвідношення.

f(n)= α 2 n + β 3 n , отже, f(n+1)= (α 2 n+1 + β 3 n +1), f(n+2)= α 2 n+2 + β 3 n +2 тоді

5f(n+1)-6f(n)=5∙(α 2 n+1 + β 3 n +1)-6∙(α 2 n + β 3 n)= α (5 2 n+1 –6 2 n)+ β (5 3 n +1 –6 3 n)= =α2 n ∙(10–6)+ β 3 n ∙(15 – 6)= α 2 n+2 + β 3 n +2 = f( n+2).

Рекурентне співвідношення виконується, отже, α 2 n + β 3 n є рішенням цього рекурентного співвідношення.

2. Доведемо, що будь-яке рішення співвідношення f(n+2)=5f(n+1)–6f(n) можна записати у вигляді f(n)= α 2 n + β 3 n . Але будь-яке рішення рекурентного співвідношення другого порядку однозначно визначається значеннями перших двох членів послідовності. Тому достатньо показати, що для будь-яких а=f(1) і b=f(2) знайдуться α та β такі, що 2 α +3 β =а та 4 α +9 β =b. Легко бачити, що система рівнянь має рішення будь-яких значень а і b.

Таким чином, f(n)= α 2 n + β 3 n є загальним рішенням рекурентного співвідношення f(n+2)=5f(n+1)–6f(n).

Лінійні рекурентні співвідношення з постійними коефіцієнтами

Для вирішення рекурентних співвідношень загальних правилні, але існує часто зустрічається клас рекурентних співвідношень, котрим відомий алгоритм їх вирішення. Це – лінійні рекурентні співвідношення з незмінними коефіцієнтами, тобто. співвідношення виду:

f(n+k)=c1f(n+k-1)+c2f(n+k-2)+…+ckf(n).

Знайдемо рішення загального лінійного рекурентного співвідношення із постійними коефіцієнтами першого порядку.

Лінійне рекурентне співвідношення з постійними коефіцієнтами першого порядку має вигляд: f(n+1)=c f(n).

Нехай f(1)=а, тоді f(2)=c∙f(1)=c∙a, f(3)=c∙f(2)=c 2 ∙a, аналогічно f(4)=c 3 ∙a і так далі, зауважимо, що f(n)=c n -1 ∙f(1).

Доведемо, що послідовність c n -1 ∙f(1) є рішенням рекурентного співвідношення першого порядку. f(n)=c n -1 ∙f(1), отже, f(n+1)=c n f(1). Підставляючи цей вираз у співвідношення, отримаємо тотожність c n f(1)=с∙ c n -1 ∙f(1).

Розглянемо тепер докладніше лінійні рекурентні співвідношення з постійними коефіцієнтами другого порядку , тобто співвідношення виду

f(n+2)=C 1 ∙f(n+1)+C 2 ∙f(n). (*).

Зауважимо, що це міркування зберігаються й у співвідношень вищого порядку.

Властивості рішень:

1) Якщо послідовність x n є рішенням (*), то і послідовність a x n теж є рішенням.

Доведення.

x n є рішенням (*), отже, виконується тотожність x n +2 =C 1 x n +1 +C 2 x n . Домножимо обидві частини рівності на a. Отримаємо a∙x n +2 =a∙(З 1 ∙x n +1 +С 2 ∙x n)= З 1 ∙a∙x n +1 +С 2 ∙a∙x n . Це означає, що ax n є розв'язком (*).

2) Якщо послідовності x n та y n є рішеннями (*), то і послідовність x n + y n також є рішенням.

Доведення.

x n і y n є рішеннями, отже виконуються такі тотожності:

x n +2 = C 1 x n +1 + C 2 x n.

y n +2 = C 1 y n +1 + C 2 y n.

Виконаємо почленное додавання двох рівностей:

x n +2 +y n +2 =С 1 ∙x n +1 +С 2 ∙x n + С 1 ∙y n +1 +С 2 ∙y n = С 1 ∙(x n +1 + y n +1)+С 2 ∙(x n + y n). Це означає, що xn+yn є рішенням (*).

3) Якщо r 1 є розв'язком квадратного рівняння r 2 =С 1 r+С 2 то послідовність (r 1) n є рішенням для співвідношення (*).

r 1 є розв'язком квадратного рівняння r 2 =С 1 r+С 2 , отже, (r 1) 2 =C 1 r 1 +C 2 . Помножимо обидві частини рівності (r 1) n . Отримаємо

r 1 2 r 1 n =(З 1 r 1 +С 2) r n .

r 1 n +2 = 1 r 1 n +1 + 2 r 1 n .

Це означає, що послідовність (r1)n є рішенням (*).

З цих властивостей випливає спосіб вирішеннялінійних рекурентних співвідношень із постійними коефіцієнтами другого порядку:

1. Складемо характеристичне (квадратне) рівняння r 2 =С1 r+С2. Знайдемо його коріння r 1, r 2. Якщо коріння різне, то загальне рішення має вигляд f(n) = ar 1 n + βr 2 n .

2. Знайдемо коефіцієнти a та β. Нехай f(0)=a, f(1)=b. Система рівнянь

має рішення за будь-яких а і b. Цими рішеннями є

Завдання . Знайдемо формулу для загального члена Фібоначчі послідовності.

Рішення . Характеристичне рівняння має вигляд х 2 =х+1 або х 2 -х-1=0, його корінням є числа, отже, загальне рішення має вигляд f(n)= . Як неважко бачити, з початкових умов f(0)=0, f(1)=1 випливає, що a=-b=1/Ö5, і, отже, загальне рішення послідовності Фібоначчі має вигляд:

.

Що дивно, цей вираз при всіх натуральних значеннях n приймає цілі значення.

Транскрипт

1 РІШЕННЯ РЕКУРРЕНТНИХ РІВНЯНЬ Позначимо через значення деякого виразу при підстановці в нього цілого числа Тоді залежність члена послідовності від членів послідовності F F зі значеннями аргументу меншими називається рекурентним рівнянням Прикладом може служити вирівнювання членів F F Таким чином рівняння має порядок а рівняння F 3 6 має порядок 3 Якщо встановлено рекурентне рівняння -го порядку то йому задовольняє нескінченно багато послідовностей Але якщо перші елементів задані то всі інші визначаються однозначно А саме елемент виражається через елемент F через елементи F і тд Алгоритм Рішення рекурентного рівняння наведено на Рис Зазначимо, що рівняння описує так звану послідовність чисел Фібоначчі: 3 F 4 3 F 5 5 F F 8 Фактично алгоритм рішення зводиться до того, що на кожному кроці користуючись початковими членами і заданим рівнянням ми обчислюємо черговий член послідовності рано чи пізно отримаємо будь-який член послідовності Однак при цьому нам доведеться обчислювати і всі попередні члени. У багатьох випадках зручніше мати явну формулу для -го члена послідовності. 4 8 є одним з рішень рекурентного рівняння 3 Дійсно загальний член цієї послідовності має вигляд Але при будь-якому має місце тотожність Значить 3 Таким чином є рішенням рекурентного рівняння Рішення рекурентного рівняння називається загальним якщо воно залежить від довільних постійних C C і шляхом підбору цих постійних рішення даного рівняння Наприклад для рівняння 5 6 загальним рішенням буде F C C 3 3 Легко перевірити що послідовність 3 звертає в тотожність Тому достатньо показати що будь-яке рішення можна подати у вигляді 3 Але будь-яке

2 рішення однозначно визначається значеннями і Тому треба показати що для будь-яких чисел і знайдуться такі і що F C C 3C C 3 C Визначник системи дорівнює При будь-яких і система має рішення Тому 3 дійсно є рішенням F; F; I: FFF; FF; FF; F Рис Алгоритм формування послідовності чисел Фібоначчі

3 ЛІНІЙНІ РЕКУРРЕНТНІ РІВНЯННЯ Для вирішення довільних рекурентних рівнянь загальних правил не існує Проте є клас рівнянь, що дуже часто зустрічається, розв'язуваний одноманітним методом Це рекурентні рівняння виду f 4 де - деякі числа постійні коефіцієнтиа f - деяка функція від Такі рівняння називаються лінійними тому що елементи послідовності F пов'язані лінійною залежністю Якщо при цьому функція f то рівняння такого виду називаються однорідними або однорідними рівняннями з постійними коефіцієнтами. рекурентні рівняння з Постійними коефіцієнтами мають вигляд F 5 де - деякі числа Очевидно, що послідовність завжди буде розв'язком будь-якого однорідного рівняння. Таке рішення називається тривіальним рішенням. F є рішеннями рекурентного рівняння 6 то при будь-яких числах A і B послідовність F AF BF також є розв'язком цього рівняння Дійсно за умовою AF BF А це означає, що F AF BF є рішенням рівняння 6 Якщо число є коренем рівняння

4 то послідовність є рішенням рекурентного рівняння F Доведемо це твердження Нехай то і Підставляючи ці значення в 6 отримуємо рівність або Воно справедливо так як за умовою При маємо тривіальне рішення будь-яка послідовність виду де Зауважимо що поряд з послідовністю ( ) також є рішенням рівняння 6 Для доказу цього факту досить використовувати твердження поклавши в ньому A B З тверджень і випливає наступне правило рішення лінійних однорідних рекурентних рівнянь другого порядку Нехай дано рекурентне рівняння 6 F Складемо квадратне рівняння 7 яке називається характеристичним рівнянням даного рекурентного рівняння рівняння 6 має вигляд C C Доведемо це твердження Зауважимо спочатку що згідно з твердженням послідовності і є рішеннями даного рекурентного F F рівняння А тоді за твердженням і C C є його рішенням Треба тільки показати що будь-яке рішення рівняння 6 можна записати в цьому виді Але будь-яке рішення рівняння другого порядку визначається значеннями і Тому достатньо показати що система рівнянь C C C C має рішення за будь-яких і Очевидно що цими рішеннями є При C F C система завжди має рішення Розглянемо приклад Як вже було сказано послідовність чисел Фібоначчі 3583 можна отримати за допомогою рекурентного рівняння F 8 цього квадратного рівняння є числа

5 5 5 і Тому загальне рішення рівняння Фібоначчі має вигляд 5 5 C C 9 Початковими умовами є значення F F Відповідно до цих початкових умов отримуємо для і C систему рівнянь C C C 5 C C Вирішуючи цю систему рівнянь знаходимо що C C і тому F 5 Таким чином цей вираз при всіх натуральних значеннях приймає цілі значення ВИПАДКІВ РІВНИХ КОРНІВ ХАРАКТЕРИСТИЧНОГО РІВНЯННЯ Розглянемо випадок коли коріння характеристичного рівняннязбігаються: У цьому випадку вираз CC вже не буде загальним рішенням Адже через те, що це рішення можна записати у вигляді CC. якесь інше рішення відмінне від Таким рішенням є Якщо квадратне F рівняння має два збігаються кореня то за теоремою Вієта а Тому рівняння записується наступним чином: А тоді рекурентне рівняння має вигляд Перевіримо що F тотожність F F дійсно є його рішенням Підставляючи значення F Отже, нам відомо вже два рішення даного рекурентного рівняння: і Тоді загальне рішення можна записати наступним чином: F F C C C C Тепер коефіцієнти Cі C можна підібрати так щоб виконувались будь-які дві початкові умови для F

6 C C C C Лінійні рекурентні рівняння порядок яких більше двох вирішуються таким же способом Нехай рівняння має вигляд F Складемо характеристичне рівняння Якщо всі коріння цього рівня алгебри різного то загальне рішення рівняння має вигляд F C C C Якщо ж наприклад то цьому кореню відповідають рішення F F F рівняння У загальному рішенні цьому кореню відповідає частина C C C Складаючи такі вирази для всіх коренів і складаючи їх отримуємо загальне рішення рівняння s P де - кратність кореня s - число різних коренів P - поліном ступеня щодо Приклад Розглянемо рівняння F 4 Складемо характеристичне рівняння Загальне рішення рекурентного має вигляд C C C C Складаємо систему рівнянь для знаходження та C: C C C C 4 Вирішуючи систему отримуємо що C і C Таким чином рішення рекурентного рівняння має вигляд

7 ПОШУК КОРНІВ МНОГОЧЛЕНА При відшуканні коренів характеристичного рівняння досить часто доводиться вирішувати рівняння ступеня більше Для вирішення цього завдання можна використовувати метод підбору ті брати навмання число і перевіряти чи є воно коренем даного многочлена При цьому можна досить швидко натрапити на корінь а можна і ніколи його не адже перевірити всі числа неможливо так як їх нескінченно багато Інша справа якщо б нам вдалося звузити область пошуку наприклад знати що шукані корені знаходяться наприклад серед тридцяти вказаних чисел А для тридцяти чисел можна зробити перевірку А у зв'язку з цим важливим є твердження Теорема Якщо нескоротний дріб / цілі числа є коренем багаточлена F x з цілими коефіцієнтами то старший коефіцієнт цього многочлена ділиться на а вільний член насправді якщо x x x x де - цілі числа і / є його коренем то F / ті / / / Помножимо обидві частини рівності на отримаємо Звідси Очевидно що ціле число ділиться на Але / - нескоротний дріб ті числа і взаємно прості а тоді як відомо з теорії ділимості цілих чисел числа і теж взаємно прості Отже ділиться на і взаємно просто з значить ділиться на значно звузити область пошуку раціональних коренів багаточлена з цілими коефіцієнтами. Продемонструємо це на конкретному прикладі. старшого коефіцієнта 6 4 При цьому якщо дроб негативний то знак - відноситимемо до його чисельника Наприклад Значить можна сказати що дільник числа 8 а - позитивний дільник числа 6 Так як дільники числа 8 це ± 48 а позитивними дільниками числа 6 будуть 36 багаточлена знаходяться серед чисел ± / / 3/ 6 / 344 / 388/ 3 Нагадаємо, що ми виписали тільки нескоротні дроби. -таки доведеться зробити досить багато перевірок Наступна теорема спрощує цю роботу

8 Теорема Якщо нескоротний дріб / є коренем багаточлена F x з цілими коефіцієнтами, то F ділиться на для будь-якого цілого числа за умови, що Для доказу цієї теореми розділимо F x на x з залишком. є і s x а - ціле число Нехай s x b x b x b x b Тоді x x b x b x b x b Покладемо в цій рівності x / Враховуючи що F / отримуємо / b b b b Помножимо обидві частини останньої рівності на: b b b b Звідси випливає що ціле число ділиться на Але так як і взаємно прості те і теж а значить F ділиться на Теорема доведена Повернімося тепер до нашого прикладу і скориставшись даною теоремою ще більше зсуваємо коло пошуку раціональних коренів Застосуємо теорему для значень і ті якщо нескоротний дріб є коренем многочлена x то ділиться на а F ділиться на Очевидно що в нашому випадку F 5 а 5 Зауважимо що заразом ми виключили з розгляду одиницю Отже раціональне коріння нашого багаточлена слід шукати серед чисел // 3 / 6 // 3 8 8/3 Розглянемо // Тоді і F 5 ділиться на це число Далі 3 і 5 також ділиться на 3 Значить дріб / залишається в числі кандидатів у коріння Нехай тепер // У цьому випадку 3 і F 5 не ділиться на -3 Значить дріб / не може бути коренем даного багаточлена Виконавши перевірку для кожного з виписаних вище дробів отримаємо що коріння, що шукається, знаходяться серед чисел / / 3 4 Таким чином за допомогою досить простого прийому вдалося значно звузити область пошуку раціональних коренів розглянутого багаточлена Перевіривши 4 3 кандидати, що залишилися, переконаємося що многочлен x 6x 3x 4x 8x 8 має два раціональні корені / і / 3 Описаний вище метод дозволяє знаходити лише раціональні корені багаточлена з цілими коефіцієнтами Тим часом багаточлен може мати і ірраціональне коріння. в корені то перевіряють чи діляться і F на і відповідно Але може статися так що наприклад ті одиниця - корінь а тоді ділиться на будь-яке число і наша перевірка втрачає сенс У цьому випадку слід розділити x на x ті отримати x x s x і проводити випробування для многочлена sx При цьому не слід забувати, що один корінь x корінь x вже знайдений

9 У деяких випадках коли характеристичне рівняння відноситься до рівнянь спеціального видуйого корені можуть бути знайдені за допомогою підстановки. До таких рівнянь відносяться наприклад симетричні і поворотні рівняння. - деякий коефіцієнт Розглянемо, наприклад, рішення симетричних і поворотних рівнянь четвертого ступеня. враховуючи що t x / x вираз 4 можна записати як t bt c 6 Розв'язавши рівняння 6 як звичайне квадратне рівняння отримаємо два корені t і t Тепер підставляючи по черзі коріння t і t в рівняння 5 отримаємо два квадратні рівняння усі чотири корені вихідного рівняння 3 Таким чином рішення симетричного рівняння четвертого ступеня зводиться до вирішення трьох квадратних рівняньАналогічно вирішуються і поворотні рівняння Якщо рівняння четвертого ступеня можна подати у вигляді 4 x 3 bx cx bx 8 то його рішення може бути отримане за допомогою підстановки t x / x 9 Так само як і в попередньому випадку знизимо ступінь рівняння поділивши обидві частини на x Для рівняння, що вийшло x bx c b / x / x скористаємося підстановкою 9 Тоді рівняння можна переписати у вигляді t bt c Так само як і в попередньому прикладі розв'яжемо рівняння і отримаємо два корені t і t Тепер підставляючи по черзі коріння t і t в рівняння 9 отримаємо два квадратні рівняння x tx x t x Розв'язавши систему рівнянь отримаємо чотири корені вихідного рівняння 8 Таким чином рішення зворотного рівняння четвертого ступеня також зводиться до розв'язання трьох квадратних рівнянь

10 РІШЕННЯ НЕОДНОРОДНИХ ЛІНІЙНИХ РЕКУРРЕНТНИХ РІВНЯНЬ Лінійне рекурентне рівняння називається неоднорідним якщо його можна представити в наступному вигляді: f 3 де f - деяка функція від Введемо однорідне лінійне рекурентне ному рівнянню НЛРУ 3 F 4 а його загальне рішення позначимо через FO аналогії з методами розв'язання диференціальних рівнянь спочатку знехтуємо початковими умовами і припустимо, що одне рішення рівняння 3 вже знайдено що 5 дійсно є рішенням НЛРУ 3 Підставимо 5 у F F F F O O F F F F O але це рівняння є тотожністю так як FO FO F O F F F де перше рівняння в системі є загальне рішення ОЛРУ а друге приватне рішення НЛРУ Нехай НЛРУ має вигляд РІШЕННЯ НЛРУ де b - ціле число константа Будемо шукати приватне рішення рівняння 6 у вигляді константи F c 7 тобто c - також ціле число Підставимо 7 в 6 c c c b b c 8 Константа буде приватним рішенням рівняння 6 за умови нерівності нулю знаменника формули 8 Введемо характер Якщо h h то очевидно, що рівняння 6 має приватне рішення

11 b F h Позначимо формальну похідну характеристичного полінома Тоді h h через h 9 h 3 Нехай h але h Будемо шукати рішення 6 у вигляді F c 3 Підставляючи 3 в 6 маємо c c c c b c h h b h а h і b c h Отже якщо h то рівняння 6 має приватне рішення b F h Позначимо похідну h через h За визначенням будемо вважати h h З курсу алгебри відомо що якщо число α є -кратним коренем багаточлена h то h α Тепер приватне рішення 6 можна записати у вигляді b F 3 h де - кратність кореня характеристичного многочлена h Приклад Вирішити рівняння 5 при F 35 Складаємо ОЛРУ F Складаємо характеристичне рівняння h 3 Вирішуємо характеристичне рівняння 4 Записуємо загальне рішення ОЛРУ F C C C C 5 Знаходимо приватне рішення НЛРУ 5 F 5 h так як h 6 Записуємо загальне рішення НЛ коефіцієнти у рішенні НЛРУ

12 C C 5 C C 5 35 отримуємо C C 8 Записуємо рішення НЛРУ F 5 Отже ми отримали явну формулу для обчислення -го члена послідовності На закінчення обчислимо саму послідовність: Будемо шукати приватне рішення НЛРУ РІШЕННЯ НЛРУ ПРИ ФУНКЦІЇ-МНОГОЧЛЕ ступеня що і в правій частині F c 34 Підставляючи 34 в 33 отримаємо правило обчислення коефіцієнтів многочлена j c j b 35 j Прирівнюючи коефіцієнти в лівій і правій частині при членах, що містять отримуємо Інші коефіцієнти c c b b c при h h знаходяться аналогічно шляхом прирівнювання коефіцієнтів при в 35 h кратності то приватне рішення НЛРУ слід шукати у вигляді F c РІШЕННЯ НЛРУ ПРИ ФУНКЦІЇ-ЕКСПОНЕНТІ Будемо шукати приватне рішення НЛРУ F bα 37 у вигляді 36 Підставляючи 38 у 37 маємо Тобто F cα cα bα 38

13 bα F h α якщо α не є коренем характеристичного рівняння h Якщо ж α є коренем характеристичного рівняння кратності, то приватне рішення 37 слід шукати у вигляді F dα де d - деяка константа Приклад При вирішенні одного завдання теорії кодування встановлено рекурентну залежність числа множень M від числа ітерацій при побудові перевірочної матриці коду M M 4 3 при M 7 Запишемо ОЛРУ M M Тоді маємо характеристичне рівняння h та загальне рішення ОЛРУ M C Будемо шукати приватне рішення у вигляді M d e Підставляючи його у вихідне рівняння маємо e 4 3 Ліва частина рівняння не містить отже пропоноване приватне рішення визначено неправильно так як корінь характеристичного рівняння Тепер змінимо вид приватного рішення на M d e Підставляючи його у вихідне рівняння маємо e 3 d Таким чином M C 3 і враховуючи початкові умови C 3 Отже рішення вихідного рівняння M 3 3 РЕКУРРЕНТИ Вони можуть вирішуватися наприклад методом проб і помилок Розглянемо нелінійне рівняння F F b при F b 39 Обчислимо значення при підстановці в 39 деяких констант F b b b при; F F b b b при;

14 b b b F F при 3 Тепер можна припустити, що рішенням рівняння 39 є 4 og b F де Підставляючи 4 в 39 маємо og og og b b b b b F F og og j j b b Таким чином 4 дійсно є рішенням рівняння 39

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ З ПОСТОЯННИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ Приведення до одного рівняння -го порядку З практичної точки зору дуже важливі лінійні системи з постійними коефіцієнтами

Тема 14 « Алгебраїчні рівнянняі системи нелінійних рівнянь» Багаточлен ступеня n називається многочлен виду P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, де a 0, a 1, a n-1, a n задані числа, a 0,

Лекція Диференціальні рівняння -го порядку (ДК-) Загальний вигляддиференціального рівняння порядку n запишеться: (n) F, = 0 () Рівняння -го порядку (n =) набуде вигляду F(,) = 0 Подібні рівняння

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ Інтегрування раціональних дробів Раціональним дробомназивається дріб виду P Q, де P і Q багаточлени Раціональний дріб називається правильним, якщо ступінь многочлена P нижче ступеня

10 клас, базовий рівень Завдання 1 Варіант 0 (демонстраційний, з рішеннями) Заочна математична школа 009/010 навчальний рік 1 Подайте вираз у вигляді багаточлена стандартного вигляду і знайдіть його

Заняття. Ступінь із довільним дійсним показником, її властивості. Ступінна функція, її властивості, графіки. Згадати властивості ступеня з раціональним показником. a a a a a для натурального разів

Федеральне агентствоза освітою Томський державний університетсистем управління та радіоелектроніки Кафедра вищої математики (ВМ) Приходовський М.А. ЛІНІЙНІ ОПЕРАТОРИ ТА КВАДРАТИЧНІ ФОРМИ

ЛЕКЦІЯ N Диференціальні рівняння вищих порядків, методи вирішення Завдання Коші Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків Однорідні лінійні рівняння Диференціальні рівняння вищих порядків,

ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ.. Основні поняття Диференціальним рівняннямназивається рівняння, яке невідома функція входить під знаком похідної або диференціала.

Тема 7 Ранг матриці Базовий мінор Теорема про ранг матриці та її наслідки Системи m лінійних рівнянь з невідомими Теорема Кронекера-Капеллі Фундаментальна системарішень однорідної системи лінійних

Міністерство освіти Російської ФедераціїРосійський державний університет нафти та газу імені ІМ Губкіна ВІ Іванов Методичні вказівкидо вивчення теми «ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ» (для студентів

ДОВІДНИК З МАТЕМАТИКИ 5 9 класи МОСКВА «ВАКО» 201 УДК 32.851 ББК 4.262.22 С4 6+ Видання допущено до використання у освітньому процесівиходячи з наказу Міністерства освіти і науки РФ

ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ Загальні поняття Диференціальні рівняння мають численні та найрізноманітніші додатки у механіці фізики астрономії техніці та інших розділах вищої математики (наприклад

ПРИКЛАДНА АЛГЕБРА. Частина I: Кінцеві поля чи поля Галуа. II 1 / 78 Частина I Кінцеві поля чи поля Галуа. II ПРИКЛАДНА АЛГЕБРА. Частина I: Кінцеві поля чи поля Галуа. II 2 / 78 Поля відрахувань за модулем

ПРИКЛАДНА АЛГЕБРА. Частина І: Кінцеві поля (поля Галуа). II 1/78 Частина I Кінцеві поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНА АЛГЕБРА. Частина І: Кінцеві поля (поля Галуа). II 2 / 78 Поля відрахувань за модулем простого

Лекція 7 2 Рівняння Фредгольма 2го роду з виродженими ядрами Цей випадок відрізняється тим, що рішення інтегрального рівняння зводиться до лінійного рішення. алгебраїчної системиі може бути легко отримано

8 ЛІНІЙНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ З ЗМІННИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ 8 Основні поняття Лінійним диференціальним рівнянням -го порядку зі змінними коефіцієнтами називається рівняння

Лекція ІНТЕГРУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ДРОБІВ Раціональні дроби Інтегрування найпростіших раціональних дробів Розкладання раціонального дробу на найпростіші дроби Інтегрування раціональних дробів Раціональні

Лекції -6 Розділ Звичайні диференціальні рівняння Основні поняття Різні завдання техніки природознавства економіки призводять до вирішення рівнянь, в яких невідомою є функція однієї або

лекція. Елементи теорії багаточленів. Багаточлен (деякі відомості довідкового характеру) Функція виду: 1 P (x) a0x a1x... a 1x a = + + + + (1) де натуральне число a i (i = 01...) постійні коефіцієнти

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ Федеральне державне бюджетне освітня установа вищої освіти«ПІВДЕННО-УРАЛЬСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ГУМАНІТАРНО-ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

Заняття 4 Інтегрування раціональних функцій (продовження) Раціональною функцією (або, по-простому, дробом) називається відношення двох багаточленів, тобто функція виду R() = f() g() = a 0 m + a m +...+

Тема 1-8: Комплексні числаА. Я. Овсянніков Уральський федеральний університетІнститут математики та комп'ютерних наук кафедра алгебри та дискретної математики алгебра та геометрія для механіків (1 семестр)

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Санкт-Петербурзький державний архітектурно-будівельний університет

Федеральне агентство з освіти ГОУ ВПО «Уральський державний технічний університетУПІ» НМ Кравченко Диференціальні рівняння та ряди Навчально-методичний посібникНауковий редактор доц, канд

Ірраціональні рівняння та нерівності Зміст Ірраціональні рівняння Метод зведення обох частин рівняння в один і той же ступінь Завдання Завдання Завдання Заміна ірраціонального рівняннязмішаної

Тема 2-19: Білінійні та квадратичні форми А. Я. Овсянніков Уральський федеральний університет Інститут математики та комп'ютерних наук кафедра алгебри та дискретної математики алгебра та геометрія для механіків

I варіант 8В клас, 4 жовтня 007 1 Вставте пропущені слова: Визначення 1 Арифметичним квадратним коренемчисло, якого дорівнює a з числа a (a 0) позначається так: виразом Дія знаходження

Теореми «піфагорових трійок» Мурсєєв Михайло Петрович Існує різні методивизначення варіантів «піфагорових трикутників» Іноді їх називають «піфагорові трійки» або «єгипетські трикутники»

Тема Невизначений інтеграл Основні методи інтегрування Інтегрування частинами Нехай u і v дві функції, що диференціюються одного і того ж аргументу Відомо, що d(u v) udv vdu (77) Візьмемо від обох

Тема 4. Чисельне рішення нелінійних рівнянь -1- Тема 4. Чисельне рішення нелінійних рівнянь 4.0. Постановка задачі Завдання знаходження коріння нелінійного рівняннявиду y=f() часто зустрічається в наукових

Науково-дослідна робота Тема роботи «Розкладання багаточлена п'ятого ступеня на квадратичні множники за допомогою інтерполяційного багаточлена Лагранжа» Виконав: Шабуневич Едуард Олегович учень

~ ~ Диференціальні рівняння Загальні відомостідиференційних рівнянь Завдання на складання диференціальних рівнянь Визначення: диференціальним рівнянням називається таке рівняння, яке

Глава Невизначений інтеграл Безпосереднє інтегрування Функцію F() називають первісною для функції f(), якщо виконується рівність F"() f() Сукупність всіх первісних цієї функції f()

МІНІСТЕРСТВО НАУКИ ТА ОСВІТИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ РІЗАНСЬКА ДЕРЖАВНА РАДІОТЕХНІЧНА АКАДЕМІЯ ГС ЛУК'ЯНОВА АІНОВІКІВ РАЦІОНАЛЬНІ ТА ІРРАЦІОНАЛЬНІ

Лекція 9 Лінеаризація диференційних рівнянь Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків Однорідні рівняннявластивості їх рішень Властивості рішень неоднорідних рівняньВизначення 9 Лінійним

Розглянемо перший спосіб розв'язання СЛУ за правилом Крамера для системи трьох рівнянь із трьома невідомими: Відповідь розраховується за формулами Крамера: D, D1, D2, D3 це визначники третього

Лекція 3 Екстремум функції кількох змінних Нехай функція кількох змінних u = f (x, x) визначена в області D, і точка x (x, x) = належить даній області Функція u = f (x, x) має

Алгебраїчні багаточлени. 1 Алгебраїчні багаточлени ступеня n над полем K Визначення 1.1 Багаточлен ступеня n, n N (0), від змінної z над числовим полем K називається вираз виду: fz = a n z n

Розв'язання задач шостої студентської олімпіади з алгебри Завдання 1 Доведіть, що якщо всі елементи дійсної квадратної матриці порядку більше двох відмінні від нуля, їх можна помножити на позитивні

Тема 1 Дійсні числа та дії над ними 4 години 11 Розвиток поняття про число 1 Спочатку під числами розуміли лише натуральні числа, яких достатньо для рахунку окремих предметів Безліч

КАЗАНСЬКИЙ ФЕДЕРАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ТА МЕХАНІКИ ІМ. Н.І.ЛОБАЧЕВСЬКОГО Кафедра теорії та технологій викладання математики та інформатики Фалілєєва М.В. Перші кроки у вирішенні рівнянь та

95 Білінійні та квадратичні функціїБілінійна функція Визначення Білінійною функцією (білінійною формою) на лінійному просторі L називається функція від двох векторів з L лінійна по кожному зі своїх

Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти«Новосибірський національний дослідницький державний університет» СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ

ДОВІДНИК Деякі ознаки ділимості натуральних чиселНатуральні числа це числа, що використовуються для рахунку: Натуральні числа утворюють безліч, зване безліччю натуральних чисел Множина

57 Розглянемо інтегрування найпростішого раціонального дробу четвертого типу (M N) d () p q p Зробимо заміну змінної, поклавши d. де p q. Тоді Інтеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M (p q) p

1 УДК 517 96 1. Рішення рівняння Ріккаті та його застосування до лінійних рівнянь другого порядку Чочієв Тимофій Захарович, кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Південний Математичний

Системи диференціальних рівнянь Введення Так само як і звичайні диференціальні рівняння системи диференціальних рівнянь застосовуються для опису багатьох процесів реальної дійсності

Московський державний технічний університет імені Н.Е. Баумана Факультет «Фундаментальні науки» Кафедра «Математичне моделювання» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО РОЗРАХУНКОВИХ ЗАВДАНЬ ПО КУРСУ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ «ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ РЯДИ КРАТНІ ІНТЕГРАНІЇ ЧАСТИНА III ТЕМА ОБИКНІВ ЛІННЯ

Міністерство загальної та професійної освіти Російської Федерації РОСТІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Є. Я. Файн МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК з курсу ЕЛЕМЕНТАРНА МАТЕМАТИКА для студентів першого курсу

ЛЕКЦІЯ 2 СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ВИЗНАЧНИКИ МАЛИХ ПОРЯДКІВ 1 ЕКВІВАЛЕНТНІСТЬ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ Нехай нам дана ще одна лінійна систематого ж розміру a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1, a 21x 1

{ загальні поняття- теорема Коші - лінійний диференціальний оператор - основні теореми - лінійна незалежність рішень - визначник Вронського - вронскіан однорідного лінійного диференціального рівняння

Математичний аналізРозділ: Невизначений інтеграл Тема: Інтегрування раціональних дробів Лектор Пахомова Є.Г. 0 р. 5. Інтегрування раціональних дробів ВИЗНАЧЕННЯ. Раціональним дробом називається

Глава ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ Основні поняття та визначення Диференціальним рівнянням називається рівняння, що зв'язує незалежну змінну х шукану функцію (у f (х і похідні шуканої функції)

Метод поділу змінних (метод Фур'є) Загальні принципи методу поділу змінних Для найпростішого рівняння з приватними похідними поділ змінних це пошук рішень виду тільки від t. u (x, t

Тема: Загальна теорія систем лінійних рівнянь А. Я. Овсянніков Уральський федеральний університет Інститут математики та комп'ютерних наук кафедра алгебри та дискретної математики алгебра та геометрія для

ПРО РІШЕННЯ У НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЛАХ РІВНЯНЬ ВИДУ У діофантовому аналізі рівняння виду ставляться до важко розв'язних. В даний час невідомий загальний метод повного рішеннянавіть найпростіших рівнянь цього

Алгебра: 7 клас. Урок 2. Числові вирази. Вирази зі змінними Доброго дня, хлопці! Минулого уроку ми повторили теми, вивчені у 6 класі. Згадали, як виконувати дії зі звичайними та

Розділ 2 ВЕКТОРНІ ПРОСТІР 9 Векторний простір над полем 91 Аксіоматика Нехай задано поле P, елементи якого називатимемо скалярами і деяке безліч V, елементи якого називатимемо

Ланцюгові дроби Кінцеві ланцюгові дроби Визначення Вираз виду a 0 + a + a + + a m де a 0 Z a a m N a m N/() називається ланцюговим дробом a m - довжиною ланцюгового дробу a 0 a a m називатимемо коефіцієнтами ланцюгового

Елементарна теорія похибок. Рішення СЛАУ. 4. Норми в кінцевомірних просторах... 4. Обумовленість СЛАУ............ 5.3 Ітераційні методи вирішення лінійних систем................... ...

Міністерство освіти та науки РФ Уральський державний економічний університет Ю. Б. Мельников Поле. Розширення полів Розділ електронного підручникадля супроводу лекції Вид. 4-те, испр. та дод.

Міністерство освіти і науки Російської Федерації НАЦІОНАЛЬНИЙ ДОСЛІДНИЙ МОСКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ БУДІВЕЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Кафедра прикладної механіки та математики ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ

Розділ 7 Поняття про асимптотичні методи Лекція Регулярно та сингулярно обурені завдання При побудові математичних моделей фізичних об'єктів, що характеризуються різними масштабами за простором,