उत्तर

उद्यमी बाजारों में उत्पादन के साधनों का अधिग्रहण करते हैं, उत्पादन को व्यवस्थित करते हैं और उत्पादों का उत्पादन करते हैं। उत्पादन प्रकार्य- यह उपयोग किए गए उत्पादन के कारकों की संख्या और एक निश्चित अवधि के दौरान उत्पादित अधिकतम संभव उत्पादन के बीच एक तकनीकी संबंध है। तकनीकी विकास के प्रत्येक विशिष्ट स्तर के लिए ऐसा तकनीकी संबंध मौजूद है। उत्पादन फलन उत्पादन के कारकों के प्रत्येक संयोजन के लिए अधिकतम उत्पादन को व्यक्त करता है। फ़ंक्शन को एक तालिका, एक ग्राफ़ या विश्लेषणात्मक रूप से एक समीकरण के रूप में दर्शाया जा सकता है।

यदि उत्पादन के लिए आवश्यक संसाधनों के पूरे सेट को श्रम, पूंजी और सामग्री की लागत के रूप में दर्शाया जाता है, तो उत्पादन कार्य निम्नलिखित रूप लेगा:

क्यू \u003d एफ (टी, के, एम),

जहां क्यू किसी दिए गए अनुपात में इस तकनीक के साथ उत्पादित उत्पादों की अधिकतम मात्रा है: श्रम - टी, पूंजी - के, सामग्री - एम।

उत्पादन फलन कारकों के बीच संबंध को दर्शाता है और वस्तुओं और सेवाओं के निर्माण में प्रत्येक के हिस्से को निर्धारित करना संभव बनाता है।

ग्राफिक रूप से, उत्पादन के कारकों के बीच संबंध को एक आइसोक्वेंट के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक आइसोक्वेंट एक वक्र है जो दर्शाता है विभिन्न विकल्पसंसाधनों का संयोजन जिनका उपयोग एक निश्चित मात्रा में उत्पादन करने के लिए किया जा सकता है। आइसोक्वेंट का सेट एक आइसोक्वेंट मानचित्र बनाता है जो उत्पादन फ़ंक्शन के विकल्प दिखाता है। आइसोक्वेंट में निम्नलिखित गुण होते हैं:

आइसोक्वेंट प्रतिच्छेद नहीं कर सकते, क्योंकि समान आउटपुट का ठिकाना हैं;

आइसोक्वांट मूल रूप से उत्तल होते हैं और इनका ढलान ऋणात्मक होता है;

आइसोक्वेंट जितना ऊंचा और दायीं ओर होता है, आउटपुट की मात्रा उतनी ही अधिक होती है।

उत्पादन फलन केवल आनुभविक रूप से (प्रयोगात्मक रूप से) निर्धारित किया जा सकता है, अर्थात। वास्तविक प्रदर्शन के आधार पर माप के माध्यम से।

प्रश्न 7. अर्थव्यवस्था की उत्पादन संभावनाएं

उत्तर

आर्थिक संसाधनों की एक सामान्य संपत्ति उनकी सीमित मात्रा है, इसलिए अर्थव्यवस्था को लगातार वैकल्पिक विकल्प के सवाल का सामना करना पड़ता है: एक उत्पाद (वस्तु बंडल) के उत्पादन में वृद्धि का मतलब दूसरे के एक हिस्से के उत्पादन की अस्वीकृति है। समाज अपनी जरूरतों को यथासंभव पूरा करने के लिए पूर्ण रोजगार और पूर्ण उत्पादन सुनिश्चित करना चाहता है। संकल्पना पूरा समयसभी संसाधनों के आर्थिक रूप से समीचीन उपयोग की विशेषता है। नीचे पूरे मेंउत्पादन का तात्पर्य संसाधनों के कुशल आवंटन से है, जो सबसे बड़ा उत्पादन प्रदान करता है।

वैकल्पिक विकल्पअर्थशास्त्र में विशेषता हो सकती है उत्पादन संभावना वक्र,जिनमें से प्रत्येक बिंदु दिए गए संसाधनों के साथ दो उत्पादों के अधिकतम संभव उत्पादन को दर्शाता है। समाज निर्धारित करता है कि वह इन उत्पादों में से कौन सा संयोजन चुनता है। उत्पादन संभावनाओं की सीमा पर अर्थव्यवस्था का कामकाज इसकी दक्षता और माल के उत्पादन के तरीके की पसंद की शुद्धता की गवाही देता है। उत्पादन संभावना वक्र के बाहर के बिंदु स्वीकृत शर्त के विपरीत हैं।

इस उत्पाद की किसी भी मात्रा को प्राप्त करने के लिए जितने अन्य उत्पादों का त्याग करना चाहिए, उन्हें वैकल्पिक कहा जाता है ( आरोपित) उत्पादन लागतयह उत्पाद। माल की एक अतिरिक्त इकाई की अवसर लागत और कुल (या कुल) अवसर लागत के बीच अंतर करना आवश्यक है। संसाधनों की पूर्ण लोच या प्रतिरूपता की कमी स्थापित की गई है। यह इस प्रकार है कि संसाधनों को एक उत्पाद के उत्पादन से दूसरे उत्पाद में स्विच करते समय, प्रत्येक अतिरिक्त इकाईउत्पाद को सभी की भागीदारी की आवश्यकता होगी अधिकअतिरिक्त उत्पाद। इस घटना का नाम दिया गया है अवसर लागत बढ़ाने का कानून।इस तरह, अवसर लागत कानूनअवसर लागत में निरंतर वृद्धि की प्रक्रिया को दर्शाता है।

अवसर लागत और उत्पादन संभावना वक्र के सिद्धांत का उपयोग निवेश कार्यक्रमों और परियोजनाओं के औचित्य के साथ-साथ इष्टतम उत्पाद संरचना के निर्माण, उपभोक्ता व्यवहार के अध्ययन और संसाधनों के पुनर्वितरण की आवश्यकता वाले अन्य मुद्दों को हल करने में किया जाता है।

प्रश्न 8

उत्तर

उत्पादन के कारक (धन या पूंजी) तीन चरणों से गुजरते हैं: उत्पादन के कारकों की खरीद; उत्पादन की प्रक्रिया, जहां उत्पादन के साधनों और श्रम शक्ति का संयोजन होता है; माल की बिक्री और लाभ।

लगातार दोहराई जाने वाली उत्पादन प्रक्रिया कहलाती है प्रजनन. अंतर करना सरल (घटता)तथा विस्तारित प्रजनन।सरल पुनरुत्पादन पहले पुन: निर्माण सुनिश्चित करता है राज्य में पहुंच गयाअर्थव्यवस्था एक अपरिवर्तित पैमाने पर उत्पादन है। उत्पादन में कमी अर्थव्यवस्था की संकट की स्थिति के लिए विशिष्ट है। इसके तहत उत्पादन के पैमाने को कम किया जाता है। विस्तारित उत्पादन उत्पादन के पैमाने में निरंतर वृद्धि की विशेषता है। विस्तारित प्रजनन के गहन और व्यापक प्रकार आवंटित करें। पर गहनप्रकार, उत्पादन के पैमाने का विस्तार गुणात्मक सुधार और उत्पादन कारकों के बेहतर उपयोग, अधिक कुशल प्रौद्योगिकियों के उपयोग और श्रम उत्पादकता में वृद्धि के माध्यम से प्राप्त किया जाता है। व्यापकप्रकार उत्पादन के कारकों में मात्रात्मक वृद्धि की विशेषता है।

उत्पादन परिसंपत्तियों (पूंजी) का क्रमिक मार्ग तीन चरणों से होकर गुजरता है उत्पादक संपत्तियों का संचलन।लगातार दोहराई जाने वाली प्रक्रिया के रूप में मानी जाने वाली उत्पादन संपत्तियों के संचलन को कहा जाता है धन का कारोबार (पूंजी)।निधियों के टर्नओवर समय में शामिल हैं उत्पादन समयतथा परिसंचरण समय।धन का कारोबार (पूंजी) तब समाप्त होता है, जब माल बेचने की प्रक्रिया में, धन का मालिक उत्पादन के कारकों में उन्नत पूंजी की पूरी तरह से प्रतिपूर्ति करता है।

टर्नओवर की बारीकियों के आधार पर, उत्पादन परिसंपत्तियों को विभाजित किया जाता है बुनियादी,कर्मचारियों लंबे समय तक, तथा बातचीत योग्य,जिनका एक उत्पादन चक्र के दौरान उपभोग किया जाता है।

अंतर करना शारीरिकतथा पुराना पड़ जानाअचल उत्पादन संपत्ति। निर्मित वस्तुओं के उत्पादन की लागत में उनके मूल्य को धीरे-धीरे शामिल करके अचल उत्पादन परिसंपत्तियों के मूल्यह्रास की क्षतिपूर्ति की प्रक्रिया कहलाती है मूल्यह्रास।श्रम की लागत के लिए वार्षिक हस्तांतरित मूल्यह्रास कटौती की राशि का अनुपात प्रतिशत के रूप में कहा जाता है मूल्यह्रास दर।

संचलन निधिउद्यमों में तैयार माल और उद्यम की नकद संपत्ति शामिल हैं। के साथ साथ परिक्रामी उत्पादन संपत्तिवे बनाते हैं कार्यशील पूंजीउद्यम। कार्यशील पूंजी का कारोबार उनके उपयोग की प्रभावशीलता का एक महत्वपूर्ण संकेतक है।

में उत्पादन क्षमतासमग्र रूप से प्रभाव (परिणाम) के अनुपात और इसके कारण होने वाले कारण से निर्धारित होता है। उत्पादन क्षमता के सबसे महत्वपूर्ण संकेतक हैं: श्रम उत्पादकता, श्रम तीव्रता, पूंजी-श्रम अनुपात, पूंजी उत्पादकता, पूंजी तीव्रता, भौतिक तीव्रता।

प्रश्न 9. उत्पादन के परिणामस्वरूप उत्पाद

उत्तर

उत्पादलोगों की समीचीन गतिविधि का परिणाम है - श्रम (एक चीज या सेवा) और साथ ही श्रम प्रक्रिया के प्रवाह के लिए एक शर्त के रूप में कार्य करता है। उत्पाद उत्पादन के व्यक्तिगत और भौतिक कारकों के प्रजनन को सुनिश्चित करता है।

उत्पाद के सामग्री और सामाजिक पहलुओं के बीच अंतर करें। स्वाभाविक रूप से वास्तविककिसी उत्पाद का पक्ष उसके गुणों (यांत्रिक, रासायनिक, भौतिक, आदि) का संयोजन है जो इस उत्पाद को एक उपयोगी चीज बनाता है जो मानव आवश्यकता को पूरा कर सकता है। उत्पाद की इस संपत्ति को उपभोक्ता मूल्य कहा जाता है। सार्वजनिक पक्षउत्पाद इस तथ्य में निहित है कि प्रत्येक उत्पाद, मानव श्रम का परिणाम होने के कारण, इस श्रम की एक निश्चित राशि जमा करता है।

एक व्यक्तिगत निर्माता द्वारा बनाया गया उत्पाद के रूप में कार्य करता है एकल या व्यक्तिगतउत्पाद। सभी सामाजिक उत्पादन का परिणाम है जनताएक उत्पाद जो समाज में बनाए गए उपयोग मूल्यों के पूरे द्रव्यमान का प्रतिनिधित्व करता है और इसके भौतिक और आध्यात्मिक जीवन के आधार के रूप में कार्य करता है।

अपने प्राकृतिक-भौतिक रूप के अनुसार, सामाजिक उत्पाद को उत्पादन के साधनों और व्यक्तिगत उपभोग की वस्तुओं में विभाजित किया गया है। उत्पादन के साधनउत्पादन के दौरान वापस वे खराब हो चुकी उत्पादन संपत्तियों को बदलने और उन्हें बढ़ाने (विस्तार) करने का काम करते हैं। व्यक्तिगत उपभोग के लिए आइटमअंत में उत्पादन के क्षेत्र को छोड़कर उपभोग के क्षेत्र में प्रवेश करें। उत्पादन के साधनों और व्यक्तिगत उपभोग की वस्तुओं में सामाजिक उत्पाद का विभाजन सभी भौतिक उत्पादन को दो प्रमुख उपखंडों में विभाजित करना संभव बनाता है: उत्पादन के साधनों का उत्पादन(1 डिवीजन) और उपभोक्ता वस्तुओं का उत्पादन(2 डिवीजन)।

कमोडिटी अर्थव्यवस्था की स्थितियों में, सामाजिक उत्पाद का एक मूल्य होता है, जिसकी बाहरी अभिव्यक्ति होती है कीमत. किसी उत्पाद की लागत उसके उत्पादन की कुल (संचयी) लागतों से निर्धारित होती है, अर्थात, पिछले (संशोधित) श्रम की लागत और जीवित श्रम की लागत। पश्चिमी साहित्य में, "उत्पाद" शब्द के बजाय अक्सर "अच्छा" शब्द का प्रयोग किया जाता है।

I. आर्थिक सिद्धांत

10. उत्पादन समारोह। घटते प्रतिफल का नियम। पैमाने प्रभाव

उत्पादन प्रकार्य उत्पादन के कारकों के एक सेट और कारकों के इस सेट का उपयोग करके उत्पादित उत्पाद की अधिकतम संभव मात्रा के बीच संबंध है।

उत्पादन फलन हमेशा ठोस होता है, अर्थात। इस तकनीक के लिए इरादा है। नई तकनीकएक नई उत्पादकता विशेषता है।

उत्पादन फलन उत्पाद की दी गई मात्रा का उत्पादन करने के लिए आवश्यक न्यूनतम मात्रा में इनपुट निर्धारित करता है।

उत्पादन फलन, चाहे वे किसी भी प्रकार का उत्पादन व्यक्त करते हों, निम्नलिखित सामान्य गुण होते हैं:

1) केवल एक संसाधन की लागत में वृद्धि के कारण उत्पादन में वृद्धि की एक सीमा होती है (आप एक कमरे में कई श्रमिकों को काम पर नहीं रख सकते - सभी के पास जगह नहीं होगी)।

2) उत्पादन के कारक पूरक (श्रमिक और उपकरण) और विनिमेय (उत्पादन स्वचालन) हो सकते हैं।

अपने सबसे सामान्य रूप में, उत्पादन कार्य इस तरह दिखता है:

आउटपुट की मात्रा कहां है;
के- पूंजी (उपकरण);
एम - कच्चे माल, सामग्री;
टी - प्रौद्योगिकी;
एन - उद्यमशीलता की क्षमता।

सबसे सरल कोब-डगलस उत्पादन फलन का दो-कारक मॉडल है, जो श्रम (एल) और पूंजी (के) के बीच संबंध को प्रकट करता है। ये कारक विनिमेय और पूरक हैं।

,

जहां ए एक उत्पादन गुणांक है जो सभी कार्यों और परिवर्तनों की आनुपातिकता को दर्शाता है जब बुनियादी तकनीक बदलती है (30-40 वर्षों में);

के, एल- पूंजी और श्रम;

पूंजी और श्रम आदानों के लिए उत्पादन के लोच गुणांक।

यदि = 0.25, तो पूंजीगत लागत में 1% की वृद्धि से उत्पादन में 0.25% की वृद्धि होती है।

कॉब-डगलस उत्पादन फलन में लोच के गुणांकों के विश्लेषण के आधार पर, हम भेद कर सकते हैं:
1) आनुपातिक रूप से बढ़ता हुआ उत्पादन फलन, जब ( ).
2) अनुपातहीन रूप से - बढ़ रहा है);
3) घट रहा है।

आइए हम एक फर्म की गतिविधि की एक छोटी अवधि पर विचार करें, जिसमें श्रम दो कारकों का चर है। ऐसी स्थिति में, फर्म अधिक का उपयोग करके उत्पादन बढ़ा सकती है श्रम संसाधन. एक चर के साथ कोब-डगलस उत्पादन फलन का ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 10.1 (वक्र टीपी एन)।

पर लघु अवधिह्रासमान सीमांत उत्पादकता का नियम लागू होता है।

ह्रासमान सीमांत उत्पादकता का नियम अल्पावधि में तब लागू होता है जब उत्पादन का एक कारक अपरिवर्तित रहता है। कानून का संचालन प्रौद्योगिकी और उत्पादन प्रौद्योगिकी की एक अपरिवर्तित स्थिति मानता है, यदि उत्पादन प्रक्रिया में नवीनतम आविष्कार और अन्य तकनीकी सुधार लागू होते हैं, तो उसी का उपयोग करके उत्पादन में वृद्धि प्राप्त की जा सकती है उत्पादन कारक. यानी तकनीकी प्रगति कानून की सीमाओं को बदल सकती है।

यदि पूंजी एक स्थिर कारक है और श्रम एक परिवर्तनशील कारक है, तो फर्म अधिक श्रम लगाकर उत्पादन बढ़ा सकती है। लेकिन पर ह्रासमान सीमांत उत्पादकता का नियम, एक परिवर्तनशील संसाधन में लगातार वृद्धि, जबकि अन्य अपरिवर्तित रहते हैं, इस कारक के घटते प्रतिफल की ओर ले जाते हैं, अर्थात सीमांत उत्पाद में कमी या श्रम की सीमांत उत्पादकता। यदि श्रमिकों की भर्ती जारी रहती है, तो अंत में, वे एक दूसरे के साथ हस्तक्षेप करेंगे (सीमांत उत्पादकता नकारात्मक हो जाएगी) और उत्पादन घट जाएगा।

श्रम की सीमांत उत्पादकता (श्रम का सीमांत उत्पाद - एमपी एल) श्रम की प्रत्येक बाद की इकाई से उत्पादन में वृद्धि है

वे। कुल उत्पाद के लिए उत्पादकता लाभ (टीपी एल)

सीमांत पूंजी उत्पाद MP K को इसी तरह परिभाषित किया गया है।

घटती उत्पादकता के नियम के आधार पर, हम कुल (टीपी एल), औसत (एपी एल) और . के बीच संबंधों का विश्लेषण करते हैं सीमांत उत्पाद(एमपी एल) (चित्र 10.1)।

कुल उत्पाद (टीपी) वक्र की गति में तीन चरण होते हैं। चरण 1 में, यह एक त्वरित दर से बढ़ता है, क्योंकि सीमांत उत्पाद (एमपी) बढ़ता है (प्रत्येक नया कार्यकर्ता पिछले एक की तुलना में अधिक उत्पादन लाता है) और बिंदु ए पर अधिकतम तक पहुंच जाता है, यानी फ़ंक्शन की वृद्धि दर अधिकतम है . बिंदु A (चरण 2) के बाद, घटते प्रतिफल के नियम के कारण, MP वक्र गिर जाता है, अर्थात, प्रत्येक किराए पर लिया गया कर्मचारी पिछले उत्पाद की तुलना में कुल उत्पाद में एक छोटी वृद्धि देता है, इसलिए TS के बाद TP की वृद्धि दर धीमी हो जाती है नीचे। लेकिन जब तक MP धनात्मक है, तब तक TP बढ़ेगा और MP=0 पर चरम पर रहेगा।

चावल। 10.1. कुल औसत और सीमांत उत्पादों की गतिशीलता और संबंध

चरण 3 में, जब श्रमिकों की संख्या निश्चित पूंजी (मशीनों) के संबंध में बेमानी हो जाती है, MR अधिग्रहण करता है नकारात्मक अर्थ, इसलिए TP कम होने लगता है।

औसत उत्पाद वक्र एआर का विन्यास भी एमपी वक्र की गतिशीलता से निर्धारित होता है। चरण 1 में, दोनों वक्र तब तक बढ़ते हैं जब तक कि नए काम पर रखे गए श्रमिकों के उत्पादन में वृद्धि पहले से काम पर रखे गए श्रमिकों की औसत उत्पादकता (AP L) से अधिक न हो। लेकिन बिंदु A (अधिकतम MP) के बाद, जब चौथा कार्यकर्ता तीसरे की तुलना में कुल उत्पाद (TP) में कम जोड़ता है, MP कम हो जाता है, इसलिए चार श्रमिकों का औसत उत्पादन भी घट जाता है।

पैमाने प्रभाव

1. दीर्घकालिक औसत उत्पादन लागत (LATC) में परिवर्तन में प्रकट।

2. LATC वक्र फर्म की प्रति इकाई उत्पादन की न्यूनतम अल्पकालिक औसत लागत का लिफाफा है (चित्र 10.2)।

3. कंपनी की गतिविधि में लंबी अवधि की अवधि में उपयोग किए जाने वाले सभी उत्पादन कारकों की संख्या में बदलाव की विशेषता है।

चावल। 10.2 फर्म की दीर्घावधि और औसत लागत का वक्र

एक फर्म के मापदंडों (पैमाने) में परिवर्तन के लिए LATC की प्रतिक्रिया भिन्न हो सकती है (चित्र 10.3)।

चावल। 10.3. लंबी अवधि की औसत लागत की गतिशीलता

चरण I: पैमाने का सकारात्मक प्रभाव	उत्पादन में वृद्धि LATC में कमी के साथ होती है, जिसे बचत के प्रभाव से समझाया जाता है (उदाहरण के लिए, श्रम विशेषज्ञता के गहन होने के कारण, नई तकनीकों का उपयोग, प्रभावी उपयोगबरबाद करना)।
चरण II: पैमाने के अनुसार निरंतर रिटर्न	जब मात्रा में परिवर्तन होता है, तो लागत अपरिवर्तित रहती है, अर्थात 10% द्वारा उपयोग किए जाने वाले संसाधनों की मात्रा में वृद्धि से उत्पादन की मात्रा में भी 10% की वृद्धि होती है।
चरण III: नकारात्मक पैमाने प्रभाव	उत्पादन में वृद्धि (उदाहरण के लिए, 7% से) LATC में वृद्धि (10% तक) का कारण बनती है। पैमाने से नुकसान का कारण तकनीकी कारक (उद्यम का अनुचित विशाल आकार), संगठनात्मक कारण (प्रशासनिक और प्रबंधन तंत्र की वृद्धि और अनम्यता) हो सकता है।

उत्पादन कंपनी की गतिविधि का मुख्य क्षेत्र है। फर्में उत्पादन के साधनों का उपयोग करती हैं, जिन्हें उत्पादन के इनपुट (इनपुट) कारक भी कहा जाता है।

एक उत्पादन फलन उत्पादन के कारकों के एक सेट और कारकों के दिए गए सेट द्वारा उत्पादित उत्पाद की अधिकतम संभव मात्रा के बीच का संबंध है।

एक उत्पादन फलन को आउटपुट के विभिन्न स्तरों से जुड़े कई आइसोक्वेंट द्वारा दर्शाया जा सकता है। इस प्रकार के फलन, जब संसाधनों की उपलब्धता या उपभोग पर उत्पादन की मात्रा की स्पष्ट निर्भरता स्थापित की जाती है, आउटपुट फलन कहलाती है।

विशेष रूप से, कृषि में उत्पादन कार्यों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जहां उनका उपयोग ऐसे कारकों की पैदावार पर प्रभाव का अध्ययन करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए, विभिन्न प्रकार और उर्वरकों की संरचना, जुताई के तरीके। समान उत्पादन कार्यों के साथ, उत्पादन लागत के व्युत्क्रम कार्यों का उपयोग किया जाता है। वे आउटपुट वॉल्यूम पर संसाधन लागत की निर्भरता की विशेषता रखते हैं (सख्ती से बोलते हुए, वे केवल विनिमेय संसाधनों के साथ पीएफ के विपरीत हैं)। पीएफ के विशेष मामलों को लागत कार्य (उत्पादन की मात्रा और उत्पादन लागत के बीच संबंध), निवेश कार्य: पर आवश्यक निवेश की निर्भरता माना जा सकता है उत्पादन क्षमताभविष्य का उद्यम।

बीजीय व्यंजकों की एक विस्तृत विविधता है जिसका उपयोग उत्पादन कार्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है। सबसे सरल मॉडलसामान्य उत्पादन विश्लेषण मॉडल का एक विशेष मामला है। यदि फर्म के लिए केवल एक ही गतिविधि उपलब्ध है, तो उत्पादन फलन को पैमाने पर निरंतर रिटर्न के साथ आयताकार आइसोक्वेंट द्वारा दर्शाया जा सकता है। उत्पादन के कारकों के अनुपात को बदलने की कोई क्षमता नहीं है, और प्रतिस्थापन की लोच निश्चित रूप से शून्य है। यह एक अत्यधिक विशिष्ट निर्माण कार्य है, लेकिन इसकी सादगी कई मॉडलों में इसके व्यापक उपयोग की व्याख्या करती है।

गणितीय रूप से, उत्पादन कार्यों को विभिन्न रूपों में दर्शाया जा सकता है - ऐसे सरल से जैसे अध्ययन के तहत एक कारक पर उत्पादन के परिणाम की रैखिक निर्भरता, समीकरणों की बहुत जटिल प्रणालियों तक, जिसमें शामिल हैं आवर्तक संबंध, जो अलग-अलग समय में अध्ययन के तहत वस्तु की अवस्थाओं को जोड़ते हैं ..

उत्पादन फलन को आइसोक्वांट्स के एक परिवार द्वारा ग्राफिक रूप से दर्शाया जाता है। आइसोक्वेंट जितना अधिक मूल से स्थित होता है, उत्पादन की मात्रा उतनी ही अधिक होती है। एक उदासीनता वक्र के विपरीत, प्रत्येक आइसोक्वेंट आउटपुट की मात्रा निर्धारित करता है।

चित्र 2 _ विभिन्न उत्पादन मात्राओं के अनुरूप आइसोक्वांट्स

अंजीर पर। 1 200, 300 और 400 इकाइयों के उत्पादन की मात्रा के अनुरूप तीन आइसोक्वेंट दिखाता है। यह कहा जा सकता है कि उत्पादन की 300 इकाइयों के उत्पादन के लिए, पूंजी की के 1 इकाइयों और श्रम की एल 1 इकाइयों या पूंजी की के 2 इकाइयों और श्रम की एल 2 इकाइयों की आवश्यकता होती है, या उनमें से किसी अन्य संयोजन का प्रतिनिधित्व सेट से किया जाता है आइसोक्वेंट वाई 2 = 300 से।

सामान्य स्थिति में, उत्पादन कारकों के व्यवहार्य सेट के सेट एक्स में, एक उपसमुच्चय एक्स सी आवंटित किया जाता है, जिसे उत्पादन फ़ंक्शन का आइसोक्वेंट कहा जाता है, जो इस तथ्य से विशेषता है कि किसी भी वेक्टर के लिए समानता

इस प्रकार, आइसोक्वेंट के अनुरूप संसाधनों के सभी सेटों के लिए, आउटपुट की मात्रा बराबर होती है। अनिवार्य रूप से, एक आइसोक्वेंट माल के उत्पादन की प्रक्रिया में कारकों के पारस्परिक प्रतिस्थापन की संभावना का विवरण है, जो उत्पादन की निरंतर मात्रा प्रदान करता है। इस संबंध में, किसी भी आइसोक्वेंट के साथ अंतर संबंध का उपयोग करके, संसाधनों के पारस्परिक प्रतिस्थापन के गुणांक को निर्धारित करना संभव है

इसलिए, कारक j और k के युग्म के तुल्य प्रतिस्थापन का गुणांक इसके बराबर है:

परिणामी अनुपात से पता चलता है कि यदि उत्पादन संसाधनों को वृद्धिशील उत्पादकता के अनुपात के बराबर अनुपात में बदल दिया जाता है, तो उत्पादन की मात्रा अपरिवर्तित रहती है। यह कहा जाना चाहिए कि उत्पादन कार्य का ज्ञान कुशल तकनीकी विधियों में संसाधनों के पारस्परिक प्रतिस्थापन को अंजाम देने की संभावना की सीमा को चिह्नित करना संभव बनाता है। इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, उत्पादों के लिए संसाधनों के प्रतिस्थापन की लोच के गुणांक का उपयोग किया जाता है।

जिसकी गणना अन्य उत्पादन कारकों की लागत के निरंतर स्तर पर आइसोक्वेंट के साथ की जाती है। मूल्य sjk संसाधनों के पारस्परिक प्रतिस्थापन के गुणांक में सापेक्ष परिवर्तन की विशेषता है जब उनके बीच का अनुपात बदलता है। यदि विनिमेय संसाधनों का अनुपात sjk प्रतिशत से बदलता है, तो पारस्परिक प्रतिस्थापन अनुपात sjk एक प्रतिशत बदल जाएगा। रैखिक उत्पादन फलन के मामले में, उपयोग किए गए संसाधनों के किसी भी अनुपात के लिए पारस्परिक प्रतिस्थापन गुणांक अपरिवर्तित रहता है, और इसलिए हम यह मान सकते हैं कि लोच s jk = 1. तदनुसार, sjk के बड़े मान इंगित करते हैं कि अधिक स्वतंत्रता संभव है उत्पादन कारकों को आइसोक्वेंट के साथ बदलना और साथ ही, मुख्य विशेषताएं उत्पादन फ़ंक्शन (उत्पादकता, इंटरचेंज कारक) बहुत कम बदलेगा।

विनिमेय संसाधनों की किसी भी जोड़ी के लिए बिजली उत्पादन कार्यों के लिए, समानता s jk = 1 सत्य है।

एक अदिश उत्पादन फलन का उपयोग करते हुए एक कुशल तकनीकी सेट का प्रतिनिधित्व उन मामलों में अपर्याप्त है जहां गतिविधि के परिणामों का वर्णन करने वाले एकल संकेतक के साथ प्रबंधन करना असंभव है उत्पादन केंद्र, लेकिन कई (एम) आउटपुट संकेतक (चित्रा 3) का उपयोग करना आवश्यक है।

चित्र तीन_ विभिन्न अवसरआइसोक्वांट व्यवहार

इन शर्तों के तहत, कोई वेक्टर उत्पादन फ़ंक्शन का उपयोग कर सकता है

सीमांत (अंतर) उत्पादकता की महत्वपूर्ण अवधारणा संबंध द्वारा पेश की जाती है

स्केलर पीएफ की अन्य सभी मुख्य विशेषताएं एक समान सामान्यीकरण स्वीकार करती हैं।

अनधिमान वक्रों की भाँति सम मात्राओं को भी विभिन्न प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है।

प्रपत्र के रैखिक उत्पादन फलन के लिए

जहां Y उत्पादन की मात्रा है; ए , बी 1 , बी 2 पैरामीटर; K , L पूंजी और श्रम की लागत, और एक संसाधन के दूसरे आइसोक्वेंट द्वारा पूर्ण प्रतिस्थापन का एक रैखिक रूप होगा (चित्र 4, a)।

बिजली उत्पादन समारोह के लिए

तब आइसोक्वेंट वक्र की तरह दिखेंगे (चित्र 4, ख)।

यदि आइसोक्वेंट किसी दिए गए उत्पाद के उत्पादन के लिए केवल एक तकनीकी विधि को दर्शाता है, तो श्रम और पूंजी को एकमात्र संभावित संयोजन (चित्रा 4, सी) में जोड़ा जाता है।

d) टूटे हुए आइसोक्वांट्स

चित्र 4 - आइसोक्वेंट के विभिन्न प्रकार

इस तरह के आइसोक्वेंट को कभी-कभी अमेरिकी अर्थशास्त्री डब्ल्यू.वी. लियोन्टीव, जिन्होंने इस प्रकार के आइसोक्वेंट को इनपुट-आउटपुट पद्धति के आधार के रूप में विकसित किया था।

टूटे हुए आइसोक्वेंट का तात्पर्य सीमित संख्या में प्रौद्योगिकियों F (चित्र 4, d) की उपस्थिति से है।

सिद्धांत को सही ठहराने के लिए इस कॉन्फ़िगरेशन के आइसोक्वेंट का उपयोग रैखिक प्रोग्रामिंग में किया जाता है इष्टतम वितरणसाधन। टूटे हुए आइसोक्वेंट सबसे वास्तविक रूप से कई उत्पादन सुविधाओं की तकनीकी क्षमताओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। हालांकि, आर्थिक सिद्धांत में, आइसोक्वेंट वक्र पारंपरिक रूप से उपयोग किए जाते हैं, जो क्रमशः प्रौद्योगिकियों की संख्या में वृद्धि और ब्रेकप्वाइंट में वृद्धि के साथ टूटी हुई रेखाओं से प्राप्त होते हैं।

उत्पादन कार्यों के प्रतिनिधित्व के सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले गुणक-शक्ति रूप हैं। उनकी ख़ासियत इस प्रकार है: यदि कारकों में से एक शून्य के बराबर है, तो परिणाम गायब हो जाता है। यह देखना आसान है कि यह वास्तविक रूप से इस तथ्य को दर्शाता है कि ज्यादातर मामलों में सभी विश्लेषण किए गए प्राथमिक संसाधन उत्पादन में शामिल हैं, और उनमें से किसी के बिना, उत्पादन असंभव है। में सामान्य फ़ॉर्म(इसे विहित कहा जाता है) यह फ़ंक्शन इस तरह लिखा जाता है:

यहां, गुणन चिह्न के सामने गुणांक ए आयाम को ध्यान में रखता है, यह लागत और आउटपुट के मापन की चुनी हुई इकाई पर निर्भर करता है। समग्र परिणाम (आउटपुट) को कौन से कारक प्रभावित करते हैं, इसके आधार पर पहली से nवीं तक के कारकों में अलग-अलग सामग्री हो सकती है। उदाहरण के लिए, पीएफ में, जिसका उपयोग समग्र रूप से अर्थव्यवस्था का अध्ययन करने के लिए किया जाता है, यह संभव है: कार्यनिष्पादन संकेतकअंतिम उत्पाद की मात्रा, और कारक लें - नियोजित लोगों की संख्या x1, मुख्य का योग और परिक्रामी निधि x2, प्रयुक्त भूमि का क्षेत्रफल x3. कॉब-डगलस फ़ंक्शन में केवल दो कारक हैं, जिनकी सहायता से 20-30 के दशक में अमेरिकी राष्ट्रीय आय की वृद्धि के साथ श्रम और पूंजी जैसे कारकों के संबंध का आकलन करने का प्रयास किया गया था। XX सदी:

एन = ए एलबी केवी,

जहां एन राष्ट्रीय आय है; एल और के - क्रमशः, लागू श्रम और पूंजी की मात्रा (विवरण के लिए, देखें; कॉब-डगलस फ़ंक्शन)।

गुणक बिजली उत्पादन फ़ंक्शन के पावर गुणांक (पैरामीटर) अंतिम उत्पाद में प्रतिशत वृद्धि में हिस्सेदारी दिखाते हैं कि प्रत्येक कारक योगदान देता है (या संबंधित संसाधन की लागत में एक प्रतिशत की वृद्धि होने पर उत्पाद कितने प्रतिशत बढ़ेगा) ); वे संबंधित संसाधन की लागत के संबंध में उत्पादन की लोच के गुणांक हैं। यदि गुणांकों का योग 1 है, तो इसका अर्थ है कि फलन की समरूपता: यह संसाधनों की मात्रा में वृद्धि के अनुपात में बढ़ता है। लेकिन ऐसे मामले भी संभव हैं जब मापदंडों का योग एकता से अधिक या कम हो; इससे पता चलता है कि लागत में वृद्धि से उत्पादन में अनुपातिक रूप से बड़ी या असमान रूप से छोटी वृद्धि होती है - पैमाने की अर्थव्यवस्थाएं।

गतिशील संस्करण में, लागू करें अलग - अलग रूपउत्पादन प्रकार्य। उदाहरण के लिए, 2-कारक मामले में: वाई (टी) = ए (टी) एलबी (टी) केवी (टी), जहां कारक ए (टी) आमतौर पर समय के साथ बढ़ता है, जो उत्पादन कारकों की दक्षता में समग्र वृद्धि को दर्शाता है। गतिकी में।

लघुगणक लेना और फिर टी के संबंध में उपरोक्त फ़ंक्शन को अलग करना, कोई अंतिम उत्पाद (राष्ट्रीय आय) की वृद्धि दर और उत्पादन कारकों की वृद्धि के बीच अनुपात प्राप्त कर सकता है (चर की वृद्धि दर आमतौर पर प्रतिशत के रूप में वर्णित है) .

इसके अलावा पीएफ के "डायनेमाइजेशन" में परिवर्तनशील लोच गुणांक का उपयोग शामिल हो सकता है।

वर्णित पीएफ संबंध प्रकृति में सांख्यिकीय हैं, अर्थात, वे केवल औसत पर दिखाई देते हैं बड़ा द्रव्यमानअवलोकन, क्योंकि वास्तव में उत्पादन का परिणाम न केवल विश्लेषण किए गए कारकों से प्रभावित होता है, बल्कि कई बेहिसाब कारकों से भी प्रभावित होता है। इसके अलावा, लागत और परिणाम दोनों के लागू संकेतक अनिवार्य रूप से जटिल एकत्रीकरण के उत्पाद हैं (उदाहरण के लिए, मैक्रोइकॉनॉमिक फ़ंक्शन में श्रम लागत के एक सामान्यीकृत संकेतक में विभिन्न उत्पादकता, तीव्रता, योग्यता आदि की श्रम लागत शामिल है)।

मैक्रोइकॉनॉमिक पीएफ में तकनीकी प्रगति के कारक को ध्यान में रखते हुए एक विशेष समस्या है (अधिक विवरण के लिए, लेख "वैज्ञानिक और तकनीकी प्रगति”)। पीएफ की मदद से, उत्पादन के कारकों की समतुल्य विनिमेयता का भी अध्ययन किया जाता है (संसाधनों के प्रतिस्थापन की लोच देखें), जो या तो स्थिर या परिवर्तनशील हो सकता है (अर्थात संसाधनों की मात्रा पर निर्भर)। तदनुसार, कार्यों को दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है: प्रतिस्थापन की निरंतर लोच (सीईएस - प्रतिस्थापन की निरंतर लोच) और चर के साथ (वीईएस - प्रतिस्थापन की परिवर्तनीय लोच) (नीचे देखें)।

व्यवहार में, मैक्रोइकॉनॉमिक पीएफ के मापदंडों को निर्धारित करने के लिए तीन मुख्य तरीकों का उपयोग किया जाता है: समय श्रृंखला के प्रसंस्करण के आधार पर, समुच्चय के संरचनात्मक तत्वों पर डेटा के आधार पर और राष्ट्रीय आय के वितरण पर। अंतिम विधि वितरण कहलाती है।

उत्पादन फ़ंक्शन का निर्माण करते समय, मापदंडों और ऑटोसहसंबंध की बहुसंकेतनता की घटना से छुटकारा पाना आवश्यक है - अन्यथा सकल त्रुटियां अपरिहार्य हैं।

यहाँ कुछ महत्वपूर्ण उत्पादन कार्य हैं।

रैखिक उत्पादन समारोह:

पी = a1x1 + ... + चिंता,

जहां a1, ..., a मॉडल के अनुमानित पैरामीटर हैं: यहां उत्पादन के कारकों को किसी भी अनुपात में प्रतिस्थापित किया जाता है।

सीईएस फ़ीचर:

पी \u003d ए [(1 - बी) के-बी + बीएल-बी] -सी / बी,

इस मामले में, संसाधन प्रतिस्थापन की लोच K या L पर निर्भर नहीं करती है और इसलिए, स्थिर है:

यहीं से फ़ंक्शन का नाम आता है।

CES फ़ंक्शन, कॉब-डगलस फ़ंक्शन की तरह, उपयोग किए गए संसाधनों के प्रतिस्थापन की सीमांत दर में निरंतर कमी मानता है। इस बीच, श्रम द्वारा पूंजी के प्रतिस्थापन की लोच और, इसके विपरीत, कोब-डगलस फ़ंक्शन में पूंजी द्वारा श्रम का, जो एक के बराबर है, यहां ले सकता है विभिन्न अर्थ, एक के बराबर नहीं, हालांकि यह स्थिर है। अंत में, कॉब-डगलस फ़ंक्शन के विपरीत, CES फ़ंक्शन का लघुगणक इसे एक रेखीय रूप में नहीं ले जाता है, जो मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए गैर-रेखीय प्रतिगमन विश्लेषण के अधिक जटिल तरीकों के उपयोग को मजबूर करता है।

उत्पादन फलन हमेशा ठोस होता है, अर्थात। इस तकनीक के लिए इरादा है। नई तकनीक - नया उत्पादक कार्य। उत्पादन फलन उत्पाद की दी गई मात्रा का उत्पादन करने के लिए आवश्यक न्यूनतम मात्रा में इनपुट निर्धारित करता है।

उत्पादन फलन, चाहे वे किसी भी प्रकार का उत्पादन व्यक्त करते हों, निम्नलिखित सामान्य गुण होते हैं:

• 1) केवल एक संसाधन की लागत में वृद्धि के कारण उत्पादन में वृद्धि की एक सीमा होती है (आप एक कमरे में कई श्रमिकों को काम पर नहीं रख सकते - सभी के पास जगह नहीं होगी)।
• 2) उत्पादन के कारक पूरक (श्रमिक और उपकरण) और विनिमेय (उत्पादन स्वचालन) हो सकते हैं।

अपने सबसे सामान्य रूप में, उत्पादन कार्य इस तरह दिखता है:

आउटपुट की मात्रा कहां है;

के- पूंजी (उपकरण);

एम - कच्चे माल, सामग्री;

टी - प्रौद्योगिकी;

एन - उद्यमशीलता की क्षमता।

सबसे सरल कोब-डगलस उत्पादन फलन का दो-कारक मॉडल है, जो श्रम (एल) और पूंजी (के) के बीच संबंध को प्रकट करता है।

ये कारक विनिमेय और पूरक हैं। 1928 में वापस, अमेरिकी वैज्ञानिकों - अर्थशास्त्री पी। डगलस और गणितज्ञ सी। कोब - ने एक व्यापक आर्थिक मॉडल बनाया जो योगदान का मूल्यांकन करने की अनुमति देता है कई कारकउत्पादन या राष्ट्रीय आय में वृद्धि में उत्पादन। इस फ़ंक्शन का निम्न रूप है:

जहां ए एक उत्पादन गुणांक है जो बुनियादी तकनीक (30-40 वर्षों में) में बदलाव के साथ सभी कार्यों और परिवर्तनों की आनुपातिकता दिखा रहा है;

के, एल- पूंजी और श्रम;

बी, सी - पूंजी और श्रम लागत के लिए उत्पादन की मात्रा की लोच के गुणांक।

यदि b = 0.25, तो पूंजीगत लागत में 1% की वृद्धि से उत्पादन में 0.25% की वृद्धि होती है।

कॉब-डगलस उत्पादन फलन में लोच के गुणांकों के विश्लेषण के आधार पर, हम भेद कर सकते हैं:

1) आनुपातिक रूप से बढ़ता हुआ उत्पादन फलन, जब

2) अनुपातहीन रूप से - बढ़ रहा है

3) घटते

आइए हम एक फर्म की गतिविधि की एक छोटी अवधि पर विचार करें, जिसमें श्रम दो कारकों का चर है। ऐसी स्थिति में, फर्म अधिक श्रम संसाधनों का उपयोग करके उत्पादन बढ़ा सकती है (चित्र 5)।

चित्र 5_ कुल औसत और सीमांत उत्पादों की गतिशीलता और संबंध

चित्र 5 में कोब-डगलस उत्पादन फलन का एक ग्राफ दिखाया गया है जिसमें एक चर दिखाया गया है - TRn वक्र।

कॉब-डगलस समारोह एक लंबा और सफल जीवनगंभीर प्रतिद्वंद्वियों के बिना, लेकिन हाल ही में वह एक मजबूत प्रतियोगी रही है नयी विशेषताएरो, चेनेरी, मिन्हासा और सोलो, जिसे हम संक्षेप में एसएमएसी के रूप में संदर्भित करेंगे। (ब्राउन और डी कैनी ने भी स्वतंत्र रूप से इस सुविधा को विकसित किया)। SMAC फ़ंक्शन का मुख्य अंतर यह है कि प्रतिस्थापन स्थिरांक y की लोच को पेश किया जाता है, जो एक (कॉब-डगलस फ़ंक्शन में) और शून्य से भिन्न होता है: जैसा कि इनपुट-आउटपुट मॉडल में होता है।

बाजार और तकनीकी स्थितियों की विविधता जो आज की अर्थव्यवस्था में मौजूद है, एक ही उद्योग या अर्थव्यवस्था के सीमित क्षेत्रों में व्यक्तिगत फर्मों को छोड़कर, उचित एकत्रीकरण की बुनियादी आवश्यकताओं को पूरा करने की असंभवता का सुझाव देती है।

इस प्रकार, उत्पादन के आर्थिक और गणितीय मॉडल में, प्रत्येक तकनीक को एक बिंदु द्वारा ग्राफिक रूप से दर्शाया जा सकता है, जिसके निर्देशांक आउटपुट की दी गई मात्रा के उत्पादन के लिए K और L संसाधनों की न्यूनतम आवश्यक लागत को दर्शाते हैं। ऐसे कई बिंदु समान आउटपुट, या एक आइसोक्वेंट की एक पंक्ति बनाते हैं। अर्थात्, उत्पादन फलन को आइसोक्वांट्स के एक परिवार द्वारा ग्राफिक रूप से दर्शाया जाता है। आइसोक्वेंट जितना अधिक मूल से स्थित होता है, उत्पादन की मात्रा उतनी ही अधिक होती है। एक उदासीनता वक्र के विपरीत, प्रत्येक आइसोक्वेंट आउटपुट की मात्रा निर्धारित करता है। आमतौर पर सूक्ष्मअर्थशास्त्र में, दो-कारक उत्पादन फ़ंक्शन का विश्लेषण किया जाता है, जो श्रम की मात्रा और उपयोग की गई पूंजी पर उत्पादन की निर्भरता को दर्शाता है।

उत्पादनकिसी को भी बुलाया मानव गतिविधिसीमित संसाधनों के परिवर्तन पर - सामग्री, श्रम, प्राकृतिक - तैयार उत्पादों में। उत्पादन फ़ंक्शन उपयोग किए गए संसाधनों की मात्रा (उत्पादन के कारक) और अधिकतम संभव आउटपुट के बीच संबंध को दर्शाता है, बशर्ते कि सभी उपलब्ध संसाधनों का सबसे तर्कसंगत तरीके से उपयोग किया जाए।

उत्पादन फलन में निम्नलिखित गुण होते हैं:

1 उत्पादन में वृद्धि की एक सीमा होती है जिसे एक संसाधन को बढ़ाकर और अन्य संसाधनों को स्थिर रखकर पहुँचा जा सकता है। यदि, उदाहरण के लिए, कृषि में श्रम की मात्रा में निरंतर मात्रा में पूंजी और भूमि के साथ वृद्धि की जाती है, तो देर-सबेर एक बिंदु आता है जब उत्पादन बढ़ना बंद हो जाता है।

2 संसाधन एक दूसरे के पूरक हैं, लेकिन कुछ सीमाओं के भीतर, उत्पादन को कम किए बिना उनकी विनिमेयता भी संभव है। उदाहरण के लिए, मैनुअल श्रम को अधिक मशीनों के उपयोग से बदला जा सकता है, और इसके विपरीत।

विनिर्माण कुछ भी नहीं से उत्पाद नहीं बना सकता है। उत्पादन प्रक्रिया विभिन्न संसाधनों की खपत से जुड़ी है। संसाधनों की संख्या में वह सब कुछ शामिल है जो उत्पादन गतिविधियों के लिए आवश्यक है - कच्चा माल, ऊर्जा, श्रम, उपकरण और स्थान।

एक फर्म के व्यवहार का वर्णन करने के लिए, यह जानना आवश्यक है कि विभिन्न मात्राओं में संसाधनों का उपयोग करके वह कितना उत्पाद तैयार कर सकता है। हम इस धारणा से आगे बढ़ेंगे कि कंपनी एक सजातीय उत्पाद का उत्पादन करती है, जिसकी मात्रा प्राकृतिक इकाइयों में मापी जाती है - टन, टुकड़े, मीटर, आदि। उत्पाद की मात्रा की निर्भरता जो एक कंपनी संसाधन लागत की मात्रा पर उत्पादन कर सकती है। कहा जाता है उत्पादन प्रकार्य.

लेकिन एक उद्यम विभिन्न तकनीकी विधियों का उपयोग करके विभिन्न तरीकों से उत्पादन प्रक्रिया को अंजाम दे सकता है, विभिन्न प्रकारउत्पादन का संगठन, ताकि संसाधनों के समान इनपुट से प्राप्त उत्पाद की मात्रा भिन्न हो सके। फर्म प्रबंधकों को उत्पादन विकल्पों को अस्वीकार करना चाहिए जो उत्पाद की कम उपज देते हैं, यदि प्रत्येक प्रकार के संसाधन के समान इनपुट के लिए, एक बड़ी उपज प्राप्त की जा सकती है। इसी तरह, उन्हें उन विकल्पों को अस्वीकार करना चाहिए जिनके लिए उत्पाद की उपज में वृद्धि और अन्य संसाधनों की लागत को कम किए बिना कम से कम एक संसाधन के अधिक इनपुट की आवश्यकता होती है। इन कारणों से अस्वीकृत विकल्प कहलाते हैं तकनीकी रूप से अक्षम.

मान लीजिए कि आपकी कंपनी रेफ्रिजरेटर बनाती है। मामले के निर्माण के लिए, आपको शीट धातु को काटने की जरूरत है। लोहे की मानक शीट को कैसे चिह्नित और काटा जाता है, इस पर निर्भर करते हुए, इसके कम या ज्यादा हिस्से को काटा जा सकता है; तदनुसार, एक निश्चित संख्या में रेफ्रिजरेटर के निर्माण के लिए, लोहे की कम या अधिक मानक चादरों की आवश्यकता होगी। इसी समय, अन्य सभी सामग्रियों, श्रम, उपकरण, बिजली की खपत अपरिवर्तित रहेगी। ऐसा उत्पादन विकल्प, जिसे लोहे की अधिक तर्कसंगत कटाई द्वारा सुधारा जा सकता है, को तकनीकी रूप से अक्षम और अस्वीकार कर दिया जाना चाहिए।

तकनीकी रूप से कुशलउत्पादन विकल्प कहलाते हैं जिन्हें या तो संसाधनों की खपत में वृद्धि किए बिना किसी उत्पाद के उत्पादन में वृद्धि करके, या उत्पादन को कम किए बिना और अन्य संसाधनों की लागत में वृद्धि किए बिना किसी संसाधन की लागत को कम करके सुधार नहीं किया जा सकता है। उत्पादन फ़ंक्शन केवल तकनीकी रूप से कुशल विकल्पों को ध्यान में रखता है। इसका अर्थ है महानतमएक उत्पाद की मात्रा जो एक उद्यम संसाधन खपत की मात्रा को देखते हुए उत्पादित कर सकता है।

पहले सबसे सरल मामले पर विचार करें: एक उद्यम एक ही प्रकार के उत्पाद का उत्पादन करता है और एक ही प्रकार के संसाधन का उपभोग करता है। इस तरह के उत्पादन का एक उदाहरण वास्तविकता में मिलना काफी मुश्किल है। यहां तक ​​​​कि अगर हम किसी भी उपकरण और सामग्री (मालिश, ट्यूशन) के उपयोग के बिना ग्राहकों के घरों में सेवाएं प्रदान करने वाले उद्यम पर विचार करते हैं और केवल श्रमिकों के श्रम को खर्च करते हैं, तो हमें यह मानना ​​​​होगा कि श्रमिक पैदल ही ग्राहकों के आसपास जाते हैं (परिवहन सेवाओं का उपयोग किए बिना) ) और मेल और टेलीफोन की मदद के बिना ग्राहकों से बातचीत करें।

उत्पादन प्रकार्य- उत्पाद की मात्रा की निर्भरता को दर्शाता है जो कंपनी उपयोग किए गए कारकों की लागत की मात्रा पर उत्पादन कर सकती है

क्यू = एफ(x1, x2…xn)

क्यू = एफ(के, एल),

कहाँ पे क्यू- आउटपुट वॉल्यूम

x1, x2…xn- लागू कारकों की मात्रा

क- पूंजी कारक की मात्रा

ली- श्रम कारक की मात्रा

तो, उद्यम, राशि में एक संसाधन खर्च कर रहा है एक्स, मात्रा में उत्पाद का उत्पादन कर सकते हैं क्यू. उत्पादन प्रकार्य

अखिल रूसी पत्राचार वित्तीय और आर्थिक संस्थान

आर्थिक और गणितीय विधियों और मॉडलों का विभाग

अर्थमिति

उत्पादन कार्य

(व्याख्यान के लिए सामग्री)

विभाग के एसोसिएट प्रोफेसर द्वारा तैयार

फिलोनोवा ई.एस. (ओरेल में शाखा)

"उत्पादन कार्य" विषय पर व्याख्यान का पाठ

अनुशासन "अर्थमिति" में

योजना:

परिचय

एक चर के उत्पादन फलन की अवधारणा

कई चर के उत्पादन कार्य

उत्पादन कार्यों के गुण और मुख्य विशेषताएं

आर्थिक विश्लेषण, पूर्वानुमान और योजना की समस्याओं में उत्पादन कार्यों का उपयोग करने के उदाहरण

मुख्य निष्कर्ष

लर्निंग कंट्रोल टेस्ट

साहित्य

परिचय

परिस्थितियों में आधुनिक समाजकोई भी मनुष्य केवल उसी का उपभोग नहीं कर सकता जो वह स्वयं उत्पन्न करता है। अपनी आवश्यकताओं की पूर्ण संतुष्टि के लिए, लोगों को अपने द्वारा उत्पादित वस्तुओं का आदान-प्रदान करने के लिए मजबूर किया जाता है। माल के निरंतर उत्पादन के बिना, कोई खपत नहीं होगी। इसलिए, माल के उत्पादन की प्रक्रिया में संचालित होने वाली नियमितताओं का विश्लेषण करना बहुत रुचि का है, जो आगे बाजार पर उनकी आपूर्ति का निर्माण करते हैं।

उत्पादन प्रक्रिया अर्थव्यवस्था की मूल और प्रारंभिक अवधारणा है। उत्पादन से क्या तात्पर्य है ?

हर कोई जानता है कि खरोंच से वस्तुओं और सेवाओं का उत्पादन असंभव है। फर्नीचर, भोजन, कपड़े और अन्य सामान का उत्पादन करने के लिए, उपयुक्त कच्चे माल, उपकरण, परिसर, भूमि का एक टुकड़ा, उत्पादन का आयोजन करने वाले विशेषज्ञों का होना आवश्यक है। उत्पादन प्रक्रिया के संगठन के लिए आवश्यक हर चीज को उत्पादन के कारक कहा जाता है। परंपरागत रूप से, उत्पादन के कारकों में पूंजी, श्रम, भूमि और उद्यमिता शामिल हैं।

उत्पादन प्रक्रिया के संगठन के लिए, उत्पादन के आवश्यक कारक एक निश्चित मात्रा में मौजूद होने चाहिए। उपयोग किए गए कारकों की लागत पर उत्पादित उत्पाद की अधिकतम मात्रा की निर्भरता को कहा जाता है उत्पादन प्रकार्य.

एक चर के उत्पादन फलन की अवधारणा

"उत्पादन फलन" की अवधारणा पर विचार सरलतम मामले से शुरू होगा, जब उत्पादन केवल एक कारक के कारण होता है। इस मामले में पीउत्पादन प्रकार्य -यह एक फ़ंक्शन है, जिसका स्वतंत्र चर उपयोग किए गए संसाधन (उत्पादन का कारक) के मूल्यों को लेता है, और आश्रित चर - आउटपुट की मात्रा के मान

इस सूत्र में, y एक चर x का एक फलन है। इस संबंध में, उत्पादन फलन (PF) को एक-संसाधन या एक-कारक कहा जाता है। इसकी परिभाषा का क्षेत्र गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का समूह है। प्रतीक f उत्पादन प्रणाली की एक विशेषता है जो एक संसाधन को एक आउटपुट में परिवर्तित करता है। सूक्ष्म आर्थिक सिद्धांत में, यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि यदि संसाधन खर्च किया जाता है या x इकाइयों की मात्रा में उपयोग किया जाता है तो y अधिकतम संभव उत्पादन होता है। मैक्रोइकॉनॉमिक्स में, यह समझ पूरी तरह से सही नहीं है: यह संभव है कि अर्थव्यवस्था की संरचनात्मक इकाइयों के बीच संसाधनों के एक अलग वितरण के साथ, उत्पादन बड़ा हो सकता है। इस मामले में, पीएफ संसाधन इनपुट और आउटपुट के बीच सांख्यिकीय रूप से स्थिर संबंध है। अधिक सही है प्रतीकवाद

जहां a पीएफ पैरामीटर का वेक्टर है।

उदाहरण 1. पीएफ f को f(x)=ax b के रूप में लें, जहां x खर्च किए गए संसाधन का मूल्य है (उदाहरण के लिए, काम के घंटे), f(x) आउटपुट की मात्रा है (उदाहरण के लिए, की संख्या रेफ्रिजरेटर शिपमेंट के लिए तैयार)। मात्रा ए और बी पीएफ एफ के पैरामीटर हैं। यहाँ a और b धनात्मक संख्याएँ हैं और संख्या b1, पैरामीटर वेक्टर एक द्वि-आयामी सदिश (a,b) है। पीएफ y=ax b एक-कारक पीएफ के विस्तृत वर्ग का एक विशिष्ट प्रतिनिधि है।

पीएफ ग्राफ चित्र 1 में दिखाया गया है

ग्राफ से पता चलता है कि खर्च किए गए संसाधन के मूल्य में वृद्धि के साथ, y बढ़ता है। हालांकि, साथ ही, संसाधन की प्रत्येक अतिरिक्त इकाई आउटपुट के वॉल्यूम y में कभी कम वृद्धि देती है। विख्यात परिस्थिति (y की मात्रा में वृद्धि और x के मान में वृद्धि के साथ y की मात्रा में वृद्धि) आर्थिक सिद्धांत की मौलिक स्थिति को दर्शाती है (अभ्यास द्वारा अच्छी तरह से पुष्टि), जिसे ह्रासमान कानून कहा जाता है दक्षता (उत्पादकता में कमी या कम रिटर्न)।

एक सरल उदाहरण के रूप में, आइए एक कारक उत्पादन फलन लेते हैं जो एक किसान द्वारा कृषि उत्पाद के उत्पादन की विशेषता है। उत्पादन के सभी कारक, जैसे कि भूमि की मात्रा, कृषि मशीनरी पर किसान का कब्जा, बीज, उत्पाद के उत्पादन में निवेश की गई श्रम की मात्रा, साल-दर-साल स्थिर रहें। केवल एक कारक बदलता है - लागू उर्वरक की मात्रा। इसके आधार पर, परिणामी उत्पाद का मूल्य बदल जाता है। सबसे पहले, चर कारक की वृद्धि के साथ, यह काफी तेज़ी से बढ़ता है, फिर कुल उत्पाद की वृद्धि धीमी हो जाती है, और कुछ मात्रा में लागू उर्वरकों से शुरू होकर, परिणामी उत्पाद का मूल्य घटने लगता है। परिवर्तनीय कारक में और वृद्धि से उत्पाद में वृद्धि नहीं होती है।

पीएफ के उपयोग के विभिन्न क्षेत्र हो सकते हैं। इनपुट-आउटपुट सिद्धांत को सूक्ष्म और मैक्रोइकॉनॉमिक दोनों स्तरों पर लागू किया जा सकता है। आइए पहले सूक्ष्म आर्थिक स्तर पर ध्यान दें। पीएफ y=कुल्हाड़ी बी, ऊपर चर्चा की, एक अलग उद्यम (फर्म) और इस उद्यम (फर्म) के वार्षिक उत्पादन में वर्ष के दौरान खर्च या उपयोग किए गए संसाधन x के मूल्य के बीच संबंध का वर्णन करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। यहां उत्पादन प्रणाली की भूमिका एक अलग उद्यम (फर्म) द्वारा निभाई जाती है - हमारे पास एक सूक्ष्म आर्थिक पीएफ (एमआईपीएफ) है। सूक्ष्म आर्थिक स्तर पर, एक उद्योग, एक अंतरक्षेत्रीय उत्पादन परिसर, एक उत्पादन प्रणाली के रूप में भी कार्य कर सकता है। MIPF का निर्माण और उपयोग मुख्य रूप से विश्लेषण और योजना की समस्याओं को हल करने के साथ-साथ पूर्वानुमान की समस्याओं के लिए किया जाता है।

पीएफ का उपयोग किसी क्षेत्र या देश की वार्षिक श्रम लागत और पूरे क्षेत्र या देश के वार्षिक अंतिम उत्पादन (या आय) के बीच संबंध का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। यहां, क्षेत्र या देश समग्र रूप से एक उत्पादन प्रणाली के रूप में कार्य करता है - हमारे पास एक व्यापक आर्थिक स्तर और एक व्यापक आर्थिक पीएफ (एमएपीएफ) है। MAFF का निर्माण और सक्रिय रूप से सभी तीन प्रकार की समस्याओं (विश्लेषण, योजना और पूर्वानुमान) को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है।

खर्च किए गए या उपयोग किए गए संसाधन और आउटपुट की अवधारणाओं की सटीक व्याख्या, साथ ही उनके माप के लिए इकाइयों की पसंद, उत्पादन प्रणाली की प्रकृति और पैमाने, हल किए जा रहे कार्यों की विशेषताओं और प्रारंभिक की उपलब्धता पर निर्भर करती है। जानकारी। सूक्ष्म आर्थिक स्तर पर, इनपुट और आउटपुट को प्राकृतिक और लागत इकाइयों (संकेतक) दोनों में मापा जा सकता है। वार्षिक श्रम लागत को मानव-घंटे या भुगतान किए गए वेतन के रूबल में मापा जा सकता है; उत्पादन को टुकड़ों में या अन्य प्राकृतिक इकाइयों में या इसके मूल्य के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

मैक्रोइकॉनॉमिक स्तर पर, इनपुट और आउटपुट को एक नियम के रूप में, मूल्य के संदर्भ में और लागत समुच्चय का प्रतिनिधित्व करते हैं, अर्थात, खर्च किए गए संसाधनों की मात्रा और उनकी कीमतों द्वारा उत्पादित उत्पादों के उत्पादों के कुल मूल्य।

कई चर के उत्पादन कार्य

अब हम अनेक चरों के उत्पादन फलनों पर विचार करते हैं।

कई चरों का उत्पादन फलनएक फ़ंक्शन है जिसके स्वतंत्र चर खर्च किए गए या उपयोग किए गए संसाधनों की मात्रा का मान लेते हैं (चर की संख्या n संसाधनों की संख्या के बराबर है), और फ़ंक्शन के मूल्य का आउटपुट के मूल्यों का अर्थ है मात्रा:

y=f(x)=f(x 1 ,…,х n). (2)

सूत्र में (2) y (y 0) एक अदिश है, और x एक सदिश राशि है, x 1,…,x n सदिश x के निर्देशांक हैं, अर्थात् f(x 1,…,x n) है संख्यात्मक कार्यकई चर x 1 ,…,х n । इस संबंध में, पीएफ f(x 1,…,хn) को बहु-संसाधन या बहु-घटक कहा जाता है। निम्नलिखित प्रतीकवाद अधिक सही है f(x 1 ,…,х n ,a), जहां a पीएफ पैरामीटर का वेक्टर है।

द्वारा आर्थिक भावनाइस फ़ंक्शन के सभी चर गैर-ऋणात्मक हैं, इसलिए, मल्टीफैक्टोरियल पीएफ की परिभाषा का डोमेन एन-आयामी वैक्टर x का सेट है, सभी निर्देशांक x 1,…, x n जिनमें से गैर-ऋणात्मक संख्याएं हैं।

एक सजातीय उत्पाद का उत्पादन करने वाले एक अलग उद्यम (फर्म) के लिए, पीएफ f(x 1,…,х n) विभिन्न प्रकार की श्रम गतिविधि, विभिन्न प्रकार के कच्चे माल, घटकों के लिए उत्पादन की मात्रा को कार्य समय की लागत से जोड़ सकता है। , ऊर्जा, निश्चित पूंजी। इस प्रकार का पीएफ उद्यम (फर्म) की वर्तमान तकनीक की विशेषता है।

पूरे क्षेत्र या देश के लिए पीएफ का निर्माण करते समय, क्षेत्र या देश का कुल उत्पाद (आय), आमतौर पर वर्तमान कीमतों के बजाय स्थिर में गणना की जाती है, इसे वार्षिक आउटपुट वाई के मूल्य के रूप में लिया जाता है, आमतौर पर निश्चित पूंजी (x 1) (= के) को संसाधन के रूप में माना जाता है - वर्ष के दौरान उपयोग की जाने वाली निश्चित पूंजी की मात्रा) और जीवित श्रम (x 2 (= एल) - वर्ष के दौरान खर्च किए गए जीवित श्रम की इकाइयों की संख्या), आमतौर पर मूल्य शर्तों में गणना की जाती है। इस प्रकार, दो-कारक पीएफ वाई = एफ (के, एल) बनाया गया है। टू-फैक्टर से पीएफ थ्री-फैक्टर की ओर बढ़ रहा है। इसके अलावा, यदि पीएफ का निर्माण समय श्रृंखला डेटा से किया जाता है, तो तकनीकी प्रगति को उत्पादन वृद्धि में एक विशेष कारक के रूप में शामिल किया जा सकता है।

पीएफ y=f(x 1,x 2) कहा जाता है स्थिर, यदि इसके पैरामीटर और इसकी विशेषता f समय t पर निर्भर नहीं करते हैं, हालांकि संसाधनों की मात्रा और आउटपुट की मात्रा समय t पर निर्भर हो सकती है, अर्थात, उन्हें समय श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है: x 1 (0) , एक्स 1 (1),…, एक्स 1 (टी); एक्स 2 (0), एक्स 2 (1), ..., एक्स 2 (टी); y(0), y(1),…,y(T); वाई (टी) = एफ (एक्स 1 (टी), एक्स 2 (टी))। यहाँ t वर्ष की संख्या है, t=0.1,…,Т; t=0 वर्ष 1,2,…,T को कवर करने वाले समय अंतराल का आधार वर्ष है।

उदाहरण 2किसी विशेष क्षेत्र या देश को समग्र रूप से मॉडल करने के लिए (अर्थात मैक्रोइकॉनॉमिक, साथ ही सूक्ष्म आर्थिक स्तर पर समस्याओं को हल करने के लिए), फॉर्म का पीएफ y =
, जहां а 0 , а 1 , а 2 पीएफ पैरामीटर हैं। ये धनात्मक स्थिरांक हैं (अक्सर a 1 और a 2 ऐसे होते हैं कि a 1 + a 2 = 1)। 1929 में इसके उपयोग का प्रस्ताव रखने वाले दो अमेरिकी अर्थशास्त्रियों के नाम पर दिए गए फॉर्म के पीएफ को कॉब-डगलस पीएफ (CPKD) कहा जाता है।

पीपीसीडी सक्रिय रूप से अपनी संरचनात्मक सादगी के कारण विभिन्न सैद्धांतिक और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है। पीएफकेडी तथाकथित गुणक पीएफ (एमपीएफ) के वर्ग से संबंधित है। अनुप्रयोगों में, पीएफकेडी एक्स 1 \u003d के उपयोग की गई अचल पूंजी की मात्रा के बराबर है (उपयोग की गई अचल संपत्तियों की मात्रा - घरेलू शब्दावली में),
- जीवित श्रम की लागत, फिर पीएफकेडी साहित्य में अक्सर इस्तेमाल किया जाने वाला रूप लेता है:

वाई =
.

इतिहास संदर्भ

1927 में, एक अर्थशास्त्री, पॉल डगलस ने प्रशिक्षण से पता लगाया कि यदि हम समय के साथ वास्तविक उत्पादन के लघुगणक की साजिश रचते हैं (यू), पूंजी निवेश (के) और श्रम लागत (ली), तो आउटपुट संकेतकों के ग्राफ़ के बिंदुओं से श्रम और पूंजीगत लागत के संकेतकों के ग्राफ़ के बिंदुओं तक की दूरी एक स्थिर अनुपात होगी। फिर उन्होंने गणितज्ञ चार्ल्स कॉब के पास एक गणितीय संबंध खोजने के लिए कहा जिसमें यह विशेषता है, और कोब ने निम्नलिखित कार्य का प्रस्ताव दिया:

यह समारोह लगभग 30 साल पहले फिलिप विकस्टीड द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जैसा कि सी। कोब और पी। डगलस ने अपने क्लासिक काम (1929) में बताया था, लेकिन वे इसे बनाने के लिए अनुभवजन्य डेटा का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे। लेखक यह वर्णन नहीं करते हैं कि उन्होंने वास्तव में फ़ंक्शन को कैसे फिट किया, लेकिन संभवतः उन्होंने "कम से कम वर्गों" के संदर्भ में प्रतिगमन विश्लेषण के एक रूप का उपयोग किया।

उदाहरण 3रैखिक पीएफ (एलपीएफ) का रूप है:
(दो-कारक) और (बहु-कारक)। PSF तथाकथित एडिटिव PF (APF) के वर्ग से संबंधित है। गुणक पीएफ से एडिटिव में संक्रमण लॉगरिदम ऑपरेशन का उपयोग करके किया जाता है। दो-कारक गुणक पीएफ के लिए

यह संक्रमण इस तरह दिखता है: . उपयुक्त प्रतिस्थापन का परिचय देते हुए, हम योज्य पीएफ प्राप्त करते हैं।

यदि कॉब-डगलस पीएफ में घातांक का योग एक के बराबर है, तो इसे थोड़े अलग रूप में लिखा जा सकता है:

वे।
.

भिन्न
श्रम की उत्पादकता तथा पूँजी-श्रम अनुपात क्रमशः कहलाते हैं। नए प्रतीकों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

,

वे। दो-कारक PKD से हम औपचारिक रूप से एक-कारक PKD प्राप्त करते हैं। इस तथ्य के कारण कि 0 1

ध्यान दें कि भिन्न पूंजी की उत्पादकता या पूंजी पर वापसी, पारस्परिक अंश कहा जाता है
क्रमशः पूंजी की तीव्रता और उत्पादन की श्रम तीव्रता कहलाती है।

पीएफ कहा जाता है गतिशील, यदि:

समय टी एक स्वतंत्र चर के रूप में प्रकट होता है (जैसे कि उत्पादन का एक स्वतंत्र कारक), उत्पादन की मात्रा को प्रभावित करता है;

पीएफ के पैरामीटर और इसकी विशेषता एफ समय टी पर निर्भर करते हैं।

ध्यान दें कि यदि पीएफ मापदंडों का अनुमान समय श्रृंखला डेटा (संसाधनों और आउटपुट की मात्रा) से एक अवधि के साथ लगाया गया था वर्ष, तो ऐसे पीएफ के लिए एक्सट्रपलेशन गणना 1/3 वर्ष से अधिक आगे नहीं की जानी चाहिए।

पीएफ का निर्माण करते समय, एसटीपी गुणक की शुरुआत करके वैज्ञानिक और तकनीकी प्रगति (एसटीपी) को ध्यान में रखा जा सकता है, जहां पैरामीटर पी (पी> 0) एसटीपी के प्रभाव में उत्पादन वृद्धि की दर को दर्शाता है:

(टी = 0.1,…, टी)।

यह पीएफ डायनेमिक पीएफ का सबसे सरल उदाहरण है; इसमें तटस्थ, यानी तकनीकी प्रगति शामिल है जो किसी एक कारक में भौतिक नहीं है। अधिक जटिल मामलों में, तकनीकी प्रगति सीधे श्रम उत्पादकता या पूंजी पर वापसी को प्रभावित कर सकती है: Y(t)=f(A(t)×L(t),K(t)) या Y(t)=f(A(t) ) × के (टी), एल (टी))। इसे क्रमशः श्रम-बचत या पूंजी-बचत करने वाला एनटीपी कहा जाता है।

उदाहरण 4एनटीपी को ध्यान में रखते हुए पीएफकेडी का एक प्रकार यहां दिया गया है

ऐसे फ़ंक्शन के मापदंडों के संख्यात्मक मूल्यों की गणना सहसंबंध और प्रतिगमन विश्लेषण का उपयोग करके की जाती है।

पीएफ का एनालिटिकल फॉर्म चुनना
मुख्य रूप से सैद्धांतिक विचारों से निर्धारित होता है, जिसे विशिष्ट संसाधनों या आर्थिक पैटर्न के बीच संबंधों की ख़ासियत को ध्यान में रखना चाहिए। पीएफ मापदंडों का अनुमान आमतौर पर कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करके लगाया जाता है।

उत्पादन कार्यों के गुण और मुख्य विशेषताएं

किसी विशेष उत्पाद के उत्पादन के लिए, विभिन्न कारकों के संयोजन की आवश्यकता होती है। इसके बावजूद, विभिन्न उत्पादन कार्यों में कई सामान्य गुण होते हैं।

निश्चितता के लिए, हम स्वयं को दो चरों के उत्पादन फलनों तक सीमित रखते हैं
. सबसे पहले, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस तरह के एक उत्पादन समारोह को दो-आयामी विमान के एक गैर-ऋणात्मक ऑर्थेंट में परिभाषित किया गया है, जो कि, पर है। पीएफ संपत्तियों के निम्नलिखित सेट को संतुष्ट करता है:

एक स्तरीय रेखा की तरह वस्तुनिष्ठ कार्यअनुकूलन समस्या, पीएफ के लिए भी एक समान अवधारणा है। पीएफ लेवल लाइनउन बिंदुओं का समूह है जिन पर पीएफ लेता है नियत मान. कभी-कभी समतल रेखाओं को कहा जाता है आइसोक्वांट्सपीएफ. एक कारक में वृद्धि और दूसरे में कमी इस तरह से हो सकती है कि उत्पादन की कुल मात्रा समान स्तर पर बनी रहे। Isoquants केवल उत्पादन के दिए गए स्तर को प्राप्त करने के लिए आवश्यक उत्पादन के कारकों के सभी संभावित संयोजनों को निर्धारित करते हैं।

चित्र 2 से पता चलता है कि आउटपुट आइसोक्वेंट के साथ स्थिर है, यानी आउटपुट में कोई वृद्धि नहीं हुई है। गणितीय रूप से, इसका मतलब है कि आइसोक्वेंट पर पीएफ का कुल अंतर शून्य के बराबर है:

.

आइसोक्वेंट में निम्नलिखित होते हैं गुण:

आइसोक्वेंट प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

मूल से आइसोक्वेंट की अधिक दूरी आउटपुट के बड़े स्तर से मेल खाती है।

Isoquants एक नकारात्मक ढलान के साथ अवरोही वक्र हैं।

Isoquants उदासीनता वक्रों के समान हैं, केवल इस अंतर के साथ कि वे उपभोग के क्षेत्र में नहीं, बल्कि उत्पादन के क्षेत्र में स्थिति को दर्शाते हैं।

आइसोक्वेंट के नकारात्मक ढलान को इस तथ्य से समझाया गया है कि उत्पाद के उत्पादन की एक निश्चित मात्रा में एक कारक के उपयोग में वृद्धि हमेशा दूसरे कारक की मात्रा में कमी के साथ होगी। आइसोक्वेंट की ढलान की विशेषता है उत्पादन के कारकों के तकनीकी प्रतिस्थापन की सीमांत दर (एमआरटीएस) . दो-कारक उत्पादन फ़ंक्शन Q(y,x) के उदाहरण का उपयोग करके इस मान पर विचार करें। तकनीकी प्रतिस्थापन की सीमांत दर को कारक y में परिवर्तन के अनुपात से कारक x में परिवर्तन के अनुपात से मापा जाता है। चूँकि कारकों को उलट दिया जाता है, तब गणितीय अभिव्यक्ति MRTS इंडिकेटर को माइनस साइन के साथ लिया जाता है:

चित्रा 3 पीएफ आइसोक्वेंट्स में से एक दिखाता है क्यू(वाई, एक्स)

यदि हम इस सममात्रा पर कोई बिंदु लेते हैं, उदाहरण के लिए, बिंदु A और उस पर एक स्पर्श रेखा KM खींचते हैं, तो कोण की स्पर्शरेखा हमें MRTS का मान देगी:

.

यह ध्यान दिया जा सकता है कि आइसोक्वेंट के ऊपरी भाग में, कोण काफी बड़ा होगा, जो इंगित करता है कि कारक y में महत्वपूर्ण परिवर्तन x कारक को एक से बदलने के लिए आवश्यक हैं। इसलिए, वक्र के इस भाग में, MRTS मान बड़ा होगा। जैसे-जैसे आप आइसोक्वेंट नीचे जाते हैं, तकनीकी प्रतिस्थापन की सीमांत दर का मूल्य धीरे-धीरे कम होता जाएगा। इसका अर्थ है कि गुणनखंड x को एक से बढ़ाने के लिए गुणनखंड y में थोड़ी कमी की आवश्यकता है। कारकों के पूर्ण प्रतिस्थापन के साथ, वक्रों से आइसोक्वेंट सीधी रेखाओं में बदल जाते हैं।

पीएफ आइसोक्वेंट के उपयोग के सबसे दिलचस्प उदाहरणों में से एक अध्ययन है पैमाने की अर्थव्यवस्थाएं (संपत्ति 7 देखें)।

अर्थव्यवस्था के लिए क्या अधिक प्रभावी है: एक बड़ा संयंत्र या कई छोटे उद्यम? इस प्रश्न का उत्तर इतना सरल नहीं है। औद्योगिक दिग्गजों को प्राथमिकता देते हुए नियोजित अर्थव्यवस्था ने इसका स्पष्ट उत्तर दिया। एक बाजार अर्थव्यवस्था में संक्रमण के साथ, पहले से बनाए गए संघों का व्यापक विघटन शुरू हुआ। सुनहरा मतलब कहाँ है? उत्पादन में पैमाने के प्रभाव की जांच करके इस प्रश्न का साक्ष्य-आधारित उत्तर प्राप्त किया जा सकता है।

कल्पना कीजिए कि एक जूता कारखाने में, प्रबंधन ने उत्पादन के विकास के लिए प्राप्त लाभ का एक महत्वपूर्ण हिस्सा उत्पादन की मात्रा बढ़ाने के लिए निर्देशित करने का निर्णय लिया। आइए मान लें कि पूंजी (उपकरण, मशीन, उत्पादन क्षेत्र) दोगुनी हो गई है। उसी अनुपात में कर्मचारियों की संख्या में वृद्धि हुई। सवाल उठता है कि इस मामले में आउटपुट की मात्रा के साथ क्या होगा?

चित्र 5 . के विश्लेषण से

तीन उत्तर अनुसरण करते हैं:

उत्पादों की संख्या दोगुनी हो जाएगी (पैमाने पर लगातार रिटर्न);

दोगुने से अधिक होगा (पैमाने पर रिटर्न बढ़ाना);

वृद्धि होगी, लेकिन दोगुने से भी कम (पैमाने पर घटते प्रतिफल)।

पैमाने पर लगातार रिटर्न को चर कारकों की एकरूपता द्वारा समझाया गया है। ऐसे उत्पादन में पूंजी और श्रम में आनुपातिक वृद्धि के साथ, इन कारकों की औसत और सीमांत उत्पादकता अपरिवर्तित रहेगी। इस मामले में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि एक बड़ा उद्यम संचालित होगा या इसके बजाय दो छोटे उद्यम बनाए जाएंगे।

पैमाने पर घटते प्रतिफल के साथ, बड़े पैमाने पर उत्पादन सृजित करना लाभहीन है। इस मामले में कम दक्षता का कारण, एक नियम के रूप में, इस तरह के उत्पादन के प्रबंधन से जुड़ी अतिरिक्त लागत, बड़े पैमाने पर उत्पादन के समन्वय की कठिनाई है।

पैमाने पर बढ़ते रिटर्न, एक नियम के रूप में, उन उद्योगों के लिए विशिष्ट हैं जहां उत्पादन प्रक्रियाओं का व्यापक स्वचालन संभव है, उत्पादन और कन्वेयर लाइनों का उपयोग। लेकिन बड़े पैमाने पर रिटर्न बढ़ाने की प्रवृत्ति के साथ, बहुत सावधान रहना चाहिए। जल्दी या बाद में, यह एक स्थिरांक में बदल जाता है, और फिर पैमाने पर घटते प्रतिफल में।

आइए हम उत्पादन कार्यों की कुछ विशेषताओं पर ध्यान दें जो आर्थिक विश्लेषण के लिए सबसे महत्वपूर्ण हैं। आइए फॉर्म के पीएफ के उदाहरण का उपयोग करके उन पर विचार करें
.

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, अनुपात
(i=1,2) को i-वें संसाधन की औसत उत्पादकता या i-वें संसाधन का औसत उत्पादन कहा जाता है। पीएफ का पहला आंशिक व्युत्पन्न
(i=1,2) i-वें संसाधन की सीमांत उत्पादकता या i-वें संसाधन का सीमांत उत्पादन कहलाता है। इस सीमा मान को कभी-कभी इसके करीब छोटे परिमित मूल्यों के अनुपात का उपयोग करके व्याख्या किया जाता है
. लगभग, यह दर्शाता है कि यदि i-वें संसाधन की लागत की मात्रा एक (पर्याप्त रूप से छोटी) इकाई से बढ़ जाती है तो आउटपुट y की मात्रा कितनी इकाइयों से बढ़ जाती है, जबकि अन्य संसाधन की मात्रा अपरिवर्तित रहती है।

उदाहरण के लिए, पीएफकेडी में निश्चित पूंजी y / K और श्रम y / L की औसत उत्पादकता के लिए, क्रमशः पूंजी वापसी और श्रम उत्पादकता का उपयोग किया जाता है:

आइए हम इस फ़ंक्शन के लिए कारकों की सीमांत उत्पादकता को परिभाषित करें:

तथा
.

इस प्रकार, यदि
, फिर
(i=1,2), यानी i-वें संसाधन की सीमांत उत्पादकता इस संसाधन की औसत उत्पादकता से अधिक नहीं है। सीमांत उत्पादकता अनुपात
इसके औसत प्रदर्शन के लिए i-th कारक उत्पादन के i-वें कारक के संबंध में उत्पादन की लोच कहलाती है

या लगभग

इस प्रकार, किसी कारक (लोच गुणांक) के संबंध में आउटपुट (आउटपुट) की लोच लगभग इस कारक की वृद्धि दर के विकास दर y के अनुपात के रूप में निर्धारित की जाती है, अर्थात यह दर्शाता है कि यदि i-वें संसाधन की लागत में एक प्रतिशत की वृद्धि होती है तो अन्य संसाधन की मात्रा अपरिवर्तित रहने पर आउटपुट y कितने प्रतिशत बढ़ जाएगा।

जोड़ +=इउत्पादन की लोच कहलाती है। उदाहरण के लिए, पीएफसीडी = . के लिए , तथा ई =.

आर्थिक विश्लेषण, पूर्वानुमान और योजना की समस्याओं में उत्पादन कार्यों का उपयोग करने के उदाहरण

उत्पादन कार्य हमें उत्पादन के क्षेत्र में सबसे महत्वपूर्ण आर्थिक निर्भरता का मात्रात्मक विश्लेषण करने की अनुमति देते हैं। वे विभिन्न उत्पादन संसाधनों की औसत और सीमांत दक्षता, विभिन्न संसाधनों के लिए उत्पादन की लोच, संसाधनों के प्रतिस्थापन की सीमांत दर, उत्पादन पैमाने के प्रभाव और बहुत कुछ का अनुमान लगाना संभव बनाते हैं।

उदाहरण 1मान लें कि उत्पादन प्रक्रिया आउटपुट फ़ंक्शन द्वारा वर्णित है

.

आइए एक उत्पादन विधि के लिए इस फ़ंक्शन की मुख्य विशेषताओं का मूल्यांकन करें जिसमें K=400 और L=200 है।

समाधान।

सीमांत उत्पादकता कारक।

इन मानों की गणना करने के लिए, हम प्रत्येक कारक के संबंध में फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न का निर्धारण करते हैं:

इस प्रकार, श्रम कारक की सीमांत उत्पादकता पूंजी कारक की तुलना में चार गुना अधिक है।

उत्पादन लोच।

उत्पादन की लोच प्रत्येक कारक के लिए उत्पादन की लोच के योग से निर्धारित होती है, अर्थात।

संसाधनों के प्रतिस्थापन की सीमांत दर।

पाठ में ऊपर, यह मान दर्शाया गया था
और के बराबर था
. इस प्रकार, हमारे उदाहरण में

यानी उस समय श्रम की एक इकाई को बदलने के लिए पूंजी संसाधनों की चार इकाइयों की आवश्यकता होती है।

सममात्रा समीकरण।

आइसोक्वेंट के आकार को निर्धारित करने के लिए, आउटपुट (Y) के मान को ठीक करना आवश्यक है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, Y=500। सुविधा के लिए, हम L को K के एक फलन के रूप में लेते हैं, तब सममात्रा समीकरण का रूप लेता है

संसाधनों के प्रतिस्थापन की सीमांत दर, स्पर्शरेखा के ढलान के स्पर्शरेखा को संबंधित बिंदु पर आइसोक्वेंट पर निर्धारित करती है। आइटम 3 के परिणामों का उपयोग करते हुए, हम कह सकते हैं कि स्पर्शरेखा बिंदु समद्विबाहु के ऊपरी भाग में स्थित है, क्योंकि कोण काफी बड़ा है।

उदाहरण 2सामान्य रूप में कॉब-डगलस फ़ंक्शन पर विचार करें

.

मान लीजिए K और L को दोगुना कर दिया गया है। इस प्रकार, नया आउटपुट स्तर (Y) इस प्रकार लिखा जाएगा:

आइए हम उन मामलों में उत्पादन के पैमाने के प्रभाव का निर्धारण करें जहां
>1, =1 और

यदि, उदाहरण के लिए, = 1,2, और
=2.3, तो Y दोगुने से अधिक बढ़ जाता है; अगर = 1, ए = 2, तो के और एल को दोगुना करने से वाई दोगुना हो जाता है; यदि \u003d 0.8, और \u003d 1.74, तो Y दो गुना से कम बढ़ जाता है।

इस प्रकार, उदाहरण 1 में, उत्पादन के पैमाने पर निरंतर प्रभाव हो सकता है।

इतिहास संदर्भ

अपने पहले लेख में, Ch. Cobb और P. डगलस ने शुरू में पैमाने पर निरंतर रिटर्न ग्रहण किया। इसके बाद, उन्होंने उत्पादन के पैमाने पर रिटर्न की डिग्री का अनुमान लगाने को प्राथमिकता देते हुए इस धारणा को शिथिल कर दिया।

हालांकि, उत्पादन कार्यों का मुख्य कार्य सबसे प्रभावी प्रबंधन निर्णयों के लिए स्रोत सामग्री प्रदान करना है। आइए हम उत्पादन कार्यों के उपयोग के आधार पर इष्टतम निर्णय लेने के प्रश्न का वर्णन करें।

उदाहरण 3मान लीजिए कि एक उत्पादन फलन दिया जाता है जो एक उद्यम के उत्पादन को श्रमिकों की संख्या से जोड़ता है , उत्पादन संपत्ति और प्रयुक्त मशीन घंटे की मात्रा

समाधान कहाँ से मिलता है
, जहां y=2. चूंकि, उदाहरण के लिए, बिंदु (0,2,0) स्वीकार्य क्षेत्र से संबंधित है और इसमें y=0, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि बिंदु (1,1,1) वैश्विक अधिकतम बिंदु है। परिणामी समाधान के आर्थिक निहितार्थ स्पष्ट हैं।

अंत में, हम ध्यान दें कि भविष्य के किसी निश्चित अवधि में उत्पादन के आर्थिक प्रभाव को निकालने के लिए उत्पादन कार्यों का उपयोग किया जा सकता है। जैसा कि पारंपरिक अर्थमितीय मॉडल के मामले में, उत्पादन कारकों के अनुमानित मूल्यों के आकलन के साथ एक आर्थिक पूर्वानुमान शुरू होता है। इस मामले में, प्रत्येक व्यक्तिगत मामले में सबसे उपयुक्त आर्थिक पूर्वानुमान की विधि का उपयोग किया जा सकता है।

मुख्य निष्कर्ष

सीखी गई सामग्री की जांच के लिए टेस्ट

सही उत्तर चुने।

उत्पादन कार्य क्या है?

ए) प्रयुक्त उत्पादन संसाधनों की कुल मात्रा;

बी) उत्पादन के तकनीकी संगठन का सबसे प्रभावी तरीका;

सी) लागत और उत्पादन की अधिकतम मात्रा के बीच संबंध;

डी) लागत को कम करते हुए मुनाफे को कम करने का एक तरीका।

निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण कोब-डगलस उत्पादन फलन समीकरण है?

डी) वाई =
.

3. एक चर कारक के साथ उत्पादन फलन की क्या विशेषता है?

ए) कारक की कीमत पर उत्पादन की मात्रा की निर्भरता,

बी) निर्भरता, जिसमें कारक x बदलता है, और अन्य सभी स्थिर रहते हैं,

सी) एक रिश्ता जिसमें सभी कारक बदलते हैं, और कारक एक्स स्थिर रहता है,

डी) कारकों x और y के बीच संबंध।

4. सममात्रा मानचित्र है:

ए) कारकों के एक निश्चित संयोजन के लिए आउटपुट दिखाने वाले आइसोक्वेंट का एक सेट;

बी) आइसोक्वेंट का एक मनमाना सेट, चर कारकों की उत्पादकता की सीमांत दर को दर्शाता है;

सी) तकनीकी प्रतिस्थापन की सीमांत दर की विशेषता वाली रेखाओं का संयोजन।

कथन सत्य हैं या असत्य?

उत्पादन फलन उपयोग किए गए उत्पादन के कारकों और इन कारकों की सीमांत श्रम उत्पादकता के अनुपात के बीच संबंध को दर्शाता है।

कॉब-डगलस फ़ंक्शन एक उत्पादन फ़ंक्शन है जो श्रम और पूंजी का उपयोग करते समय उत्पाद की अधिकतम मात्रा दिखाता है।

उत्पादन के एक चर कारक के साथ उत्पादित उत्पाद की वृद्धि की कोई सीमा नहीं है।

एक आइसोक्वेंट समान उत्पाद का वक्र है।

एक आइसोक्वेंट अधिकतम उत्पाद का उत्पादन करने के लिए दो चर कारकों का उपयोग करने के सभी संभावित संयोजनों को दर्शाता है।

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