लैग्रेंज गुणकों का आर्थिक अर्थ। लैग्रेंज गुणक विधि

लैग्रेंज गुणकों की विधिगणितीय प्रोग्रामिंग (विशेष रूप से, उत्तल) की समस्याओं को हल करने के लिए एक शास्त्रीय विधि है। दुर्भाग्य से, पर व्यावहारिक अनुप्रयोगइसके उपयोग के दायरे को कम करते हुए, विधि महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल कठिनाइयों का सामना कर सकती है। हम यहां लैग्रेंज विधि पर मुख्य रूप से विचार करते हैं क्योंकि यह एक ऐसा उपकरण है जिसका उपयोग विभिन्न आधुनिकों को प्रमाणित करने के लिए सक्रिय रूप से किया जाता है संख्यात्मक तरीकेव्यवहार में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। लैग्रेंज फ़ंक्शन और लैग्रेंज मल्टीप्लायरों के लिए, वे न केवल गणितीय प्रोग्रामिंग के सिद्धांत और अनुप्रयोगों में एक स्वतंत्र और अत्यंत महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

शास्त्रीय अनुकूलन समस्या पर विचार करें

अधिकतम (न्यूनतम) z=f(x) (7.20)

इस समस्या को समस्या (7.18), (7.19) से इस तथ्य से अलग किया जाता है कि बाधाओं (7.21) के बीच कोई असमानता नहीं है, चर की गैर-नकारात्मकता, उनकी विसंगति और कार्यों के लिए कोई शर्तें नहीं हैं f(x ) और निरंतर हैं और के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न हैं कम से कमद्वितीय आदेश।

समस्या को हल करने के लिए शास्त्रीय दृष्टिकोण (7.20), (7.21) समीकरणों (आवश्यक शर्तों) की एक प्रणाली देता है, जिसे बिंदु x* से संतुष्ट होना चाहिए, जो फ़ंक्शन f (x) को बिंदुओं के सेट पर एक स्थानीय चरम के साथ प्रदान करता है। बाधाओं को संतुष्ट करना (7.21) (उत्तल प्रोग्रामिंग की समस्या के लिए, पाया गया बिंदु x*, प्रमेय 7.6 के अनुसार, एक वैश्विक चरम बिंदु भी होगा)।

मान लीजिए कि बिंदु x* पर फलन (7.20) में एक स्थानीय है सशर्त चरमऔर मैट्रिक्स की रैंक है। फिर आवश्यक शर्तों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(7.22)

लैग्रेंज फ़ंक्शन है; लैग्रेंज गुणक हैं।

वे भी हैं पर्याप्त शर्तें, जिसके तहत समीकरणों की प्रणाली का समाधान (7.22) फ़ंक्शन f(x) के चरम बिंदु को निर्धारित करता है। यह प्रश्न लैग्रेंज फलन के द्वितीय अवकलन के चिन्ह के अध्ययन के आधार पर हल किया गया है। हालांकि, पर्याप्त शर्तें मुख्य रूप से सैद्धांतिक रुचि की हैं।

लैग्रेंज गुणक विधि द्वारा समस्या को हल करने के लिए निम्नलिखित प्रक्रिया (7.20), (7.21) इंगित कर सकते हैं:

1) लैग्रेंज फ़ंक्शन (7.23) लिखें;

2) सभी चरों के संबंध में लैग्रेंज फलन का आंशिक अवकलज ज्ञात कीजिए और उन्हें शून्य के बराबर करें। इस प्रकार, समीकरणों से युक्त प्रणाली (7.22) प्राप्त की जाएगी। परिणामी प्रणाली को हल करें (यदि यह संभव हो जाता है!) और इस तरह लैग्रेंज फ़ंक्शन के सभी स्थिर बिंदु खोजें;

3) निर्देशांक के बिना लिए गए स्थिर बिंदुओं में से, उन बिंदुओं का चयन करें जिन पर फ़ंक्शन f(x) में बाधाओं (7.21) की उपस्थिति में सशर्त स्थानीय एक्स्ट्रेमा है। यह विकल्प, उदाहरण के लिए, पर्याप्त शर्तों का उपयोग करके बनाया गया है स्थानीय चरम. यदि समस्या की विशिष्ट स्थितियों का उपयोग किया जाता है तो अक्सर अध्ययन को सरल बनाया जाता है।

उदाहरण 7.3. पाना इष्टतम वितरणइकाइयों में सीमित संसाधन। n उपभोक्ताओं के बीच, यदि संसाधन के jth उपभोक्ता x j इकाइयों को आवंटित करते समय प्राप्त लाभ की गणना सूत्र द्वारा की जाती है।

समाधान।समस्या के गणितीय मॉडल का निम्न रूप है:

हम लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करते हैं:

.

हम देखतें है लैग्रेंज फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न और उन्हें शून्य के बराबर करें:

समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, यदि j-वें उपभोक्ता को एक इकाई आवंटित की जाती है। संसाधन, तो कुल लाभ अधिकतम मूल्य और राशि तक पहुंच जाएगा। इकाइयों

हमने लैग्रेंज पद्धति को शास्त्रीय अनुकूलन समस्या पर लागू माना है। इस पद्धति को उस मामले में सामान्यीकृत करना संभव है जब चर गैर-ऋणात्मक होते हैं और कुछ बाधाओं को असमानताओं के रूप में दिया जाता है। हालांकि, यह सामान्यीकरण मुख्य रूप से सैद्धांतिक है और विशिष्ट कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम की ओर नहीं ले जाता है।

अंत में, हम लैग्रेंज गुणकों की एक आर्थिक व्याख्या देते हैं। ऐसा करने के लिए, हम सबसे सरल शास्त्रीय अनुकूलन समस्या की ओर मुड़ते हैं

अधिकतम (मिनट) जेड=एफ(एक्स 1 , एक्स 2); (7.24)

(एक्स 1, एक्स 2)=बी। (7.25)

आइए मान लें कि सशर्त चरम बिंदु पर पहुंच गया है। फ़ंक्शन का संगत चरम मान एफ(एक्स)

आइए मान लें कि बाधाओं (7.25) में मात्रा बीबदल सकता है, फिर चरम बिंदु के निर्देशांक, और इसलिए चरम मूल्य एफ*कार्यों एफ(एक्स) के आधार पर मात्राएँ बन जाएँगी बी, अर्थात। ,, और इसलिए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न (7.24)

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = एफ (टी)

सामान्य समाधान में मनमाना स्थिरांक ck को प्रतिस्थापित करना शामिल है

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

सीएनएन(टी)

तदनुसार सजातीय समीकरण

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

सहायक कार्यों के लिए ck(t) जिसका व्युत्पन्न रैखिक बीजीय प्रणाली को संतुष्ट करता है

सिस्टम का निर्धारक (1) फ़ंक्शन z1,z2,...,zn का व्रोनस्कियन है, जो इसके संबंध में अद्वितीय सॉल्वैबिलिटी सुनिश्चित करता है।

यदि एकीकरण के स्थिरांक के निश्चित मूल्यों पर लिए गए एंटीडेरिवेटिव हैं, तो फ़ंक्शन

मूल रैखिक अमानवीय अवकल समीकरण का एक हल है। एकीकरण अमानवीय समीकरणसंगत सजातीय समीकरण के एक सामान्य समाधान की उपस्थिति में, इस प्रकार चतुर्भुज तक कम हो जाता है।

लैग्रेंज विधि (मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि)

एक अमानवीय समीकरण का सामान्य हल प्राप्त करने की एक विधि, किसी विशेष हल को खोजे बिना एक समांगी समीकरण के सामान्य हल को जानना।

nवें कोटि के रैखिक समांगी अवकल समीकरण के लिए

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

जहाँ y = y(x) एक अज्ञात फलन है, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) ज्ञात हैं, निरंतर, सत्य: 1) रैखिक रूप से n हैं स्वतंत्र समाधान समीकरण y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) स्थिरांक c1, c2, ..., cn के किसी भी मान के लिए, फलन y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) एक है समीकरण का हल; 3) किसी भी प्रारंभिक मान x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 के लिए, c*1, c*n, ..., c*n मान हैं जैसे कि समाधान y*(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) x = x0 के लिए प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है y*(x0)=y0, ( y*)"(x0) =y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

व्यंजक y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) कहलाता है सामान्य समाधान nवें क्रम का रैखिक समांगी अवकल समीकरण।

nवीं कोटि y1(x), y2(x), ..., yn(x) के रैखिक समांगी अवकल समीकरण के n रैखिकतः स्वतंत्र हलों के समुच्चय को समीकरण के हलों का मूल निकाय कहा जाता है।

के साथ एक रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के लिए स्थिर गुणांकसमाधान की मूलभूत प्रणाली के निर्माण के लिए एक सरल एल्गोरिथम है। हम y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) के रूप में समीकरण का हल ढूंढेंगे। "+ anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + a) exp(lx) = 0, यानी संख्या l मूल है विशेषता समीकरण ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. अभिलक्षणिक समीकरण के बाईं ओर एक रैखिक अवकल समीकरण का अभिलक्षणिक बहुपद कहलाता है: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + ए -1 एल + ए। इस प्रकार, स्थिर गुणांक वाले nवें क्रम के एक रैखिक सजातीय समीकरण को हल करने की समस्या एक बीजीय समीकरण को हल करने के लिए कम हो जाती है।

यदि अभिलक्षणिक समीकरण के n भिन्न वास्तविक मूल हैं l1№ l2 № ... № ln, तो समाधान की मूल प्रणाली में फलन y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), । .., yn (x) = exp(lnx), और समांगी समीकरण का सामान्य हल है: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx)।

समाधान की एक मौलिक प्रणाली और साधारण वास्तविक जड़ों के मामले के लिए एक सामान्य समाधान।

यदि अभिलक्षणिक समीकरण के किसी वास्तविक मूल को r बार (एक r-गुना रूट) दोहराया जाता है, तो r फ़ंक्शन समाधान की मूलभूत प्रणाली में इसके अनुरूप होते हैं; यदि lk=lk+1 = ... = lk+r-1, तो in मौलिक प्रणालीसमीकरण के समाधान, आर फ़ंक्शन हैं: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+ r-1(x)=xr-1exp(lnx)।

उदाहरण 2. बहु वास्तविक मूलों के मामले के लिए समाधान और सामान्य समाधान की मौलिक प्रणाली।

यदि अभिलक्षणिक समीकरण के जटिल मूल हैं, तो समाधान की मूलभूत प्रणाली में सरल (बहुलता 1 के) जटिल जड़ों की प्रत्येक जोड़ी lk,k+1=ak ± ibk कार्यों की एक जोड़ी से मेल खाती है yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx)।

उदाहरण 4. सरल जटिल जड़ों के मामले में समाधान और सामान्य समाधान की मौलिक प्रणाली। काल्पनिक जड़ें।

यदि जड़ों की एक जटिल जोड़ी में बहुलता r है, तो ऐसी जोड़ी lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, समाधान की मौलिक प्रणाली में कार्यों के अनुरूप है exp(akx)cos( bkx), exp(akx)sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ............ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx)।

उदाहरण 5. बहु जटिल जड़ों के मामले के लिए समाधान और सामान्य समाधान की मौलिक प्रणाली।

इस प्रकार, अचर गुणांकों के साथ एक रैखिक समांगी अवकल समीकरण का एक सामान्य हल खोजने के लिए, किसी को: अभिलक्षणिक समीकरण लिख लेना चाहिए; अभिलक्षणिक समीकरण l1, l2, ... , ln के सभी मूल ज्ञात कीजिए; समाधान y1(x), y2(x), ..., yn(x) की मूलभूत प्रणाली लिखिए; व्यापक हल y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) के लिए व्यंजक लिखिए। कॉची समस्या को हल करने के लिए, हमें प्रारंभिक स्थितियों में सामान्य समाधान के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करने और स्थिरांक c1,..., cn के मान निर्धारित करने की आवश्यकता है, जो रैखिक की प्रणाली के समाधान हैं। बीजीय समीकरण c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0 ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

nवें क्रम के एक रैखिक अमानवीय अवकल समीकरण के लिए

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

जहाँ y = y(x) एक अज्ञात फलन है, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) ज्ञात, सतत, मान्य हैं: 1 ) यदि y1(x) और y2(x) एक विषम समीकरण के दो हल हैं, तो फलन y(x) = y1(x) - y2(x) संगत समांगी समीकरण का एक हल है; 2) यदि y1(x) एक अमानवीय समीकरण का हल है, और y2(x) संगत समांगी समीकरण का हल है, तो फलन y(x) = y1(x) + y2(x) इसका एक हल है एक अमानवीय समीकरण; 3) यदि y1(x), y2(x), ..., yn(x) सजातीय समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं, और ych(x) - मनमाना निर्णयगैर-समरूप समीकरण, फिर किसी भी प्रारंभिक मान x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 के लिए c*1, c*n, ..., c*n मान हैं जैसे कि हल y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) x = x0 के लिए प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है y*( x0)=y0, ( y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

व्यंजक y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x) nवें कोटि के रैखिक अमानवीय अवकल समीकरण का सामान्य हल कहलाता है।

अमानवीय के विशेष समाधान खोजने के लिए विभेदक समीकरणफॉर्म के दाहिने हाथ के साथ निरंतर गुणांक के साथ: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), जहां Pk(x), Qm(x) बहुपद हैं डिग्री k और m तदनुसार, एक विशेष समाधान के निर्माण के लिए एक सरल एल्गोरिथम है, जिसे चयन विधि कहा जाता है।

चयन विधि, या अनिश्चित गुणांक की विधि इस प्रकार है। समीकरण का वांछित समाधान इस प्रकार लिखा जाता है: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, जहां Pr(x), Qr(x) हैं डिग्री के बहुपद r = अधिकतम(k, m) अज्ञात गुणांक के साथ pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0। गुणनखंड xs को गुंजयमान गुणनखंड कहते हैं। अनुनाद उन मामलों में होता है जहां अभिलक्षणिक समीकरण के मूल में गुणन s का मूल l = a ± ib होता है। वे। यदि संबंधित सजातीय समीकरण के चारित्रिक समीकरण की जड़ों के बीच ऐसा है कि इसका वास्तविक भाग घातांक के घातांक में गुणांक के साथ मेल खाता है, और काल्पनिक भाग दाईं ओर त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के तर्क में गुणांक के साथ मेल खाता है समीकरण का, और इस मूल s की बहुलता, तो वांछित विशेष समाधान में एक गुंजयमान कारक xs होता है। यदि ऐसा कोई संयोग नहीं है (s=0), तो कोई गुंजयमान कारक नहीं है।

समीकरण के बाईं ओर विशेष समाधान के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर, हम समीकरण के दाईं ओर बहुपद के समान रूप का एक सामान्यीकृत बहुपद प्राप्त करते हैं, जिसके गुणांक अज्ञात होते हैं।

दो सामान्यीकृत बहुपद समान होते हैं यदि और केवल यदि t की समान घातों वाले xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) के गुणनखंडों के गुणांक समान हों। ऐसे कारकों के गुणांकों की तुलना करते हुए, हम 2(r+1) अज्ञात में 2(r+1) रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं। यह दिखाया जा सकता है कि ऐसी प्रणाली सुसंगत है और इसका एक अनूठा समाधान है।

संक्षिप्त सिद्धांत

लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि गणितीय प्रोग्रामिंग (विशेष रूप से, उत्तल) की समस्याओं को हल करने के लिए एक शास्त्रीय विधि है। दुर्भाग्य से, विधि के व्यावहारिक अनुप्रयोग में, इसके उपयोग के क्षेत्र को कम करते हुए, महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल कठिनाइयाँ हो सकती हैं। हम यहां लैग्रेंज विधि पर मुख्य रूप से विचार करते हैं क्योंकि यह विभिन्न आधुनिक संख्यात्मक विधियों को सही ठहराने के लिए सक्रिय रूप से उपयोग किया जाने वाला एक उपकरण है जो व्यापक रूप से व्यवहार में उपयोग किया जाता है। लैग्रेंज फ़ंक्शन और लैग्रेंज मल्टीप्लायरों के लिए, वे न केवल गणितीय प्रोग्रामिंग के सिद्धांत और अनुप्रयोगों में एक स्वतंत्र और अत्यंत महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

शास्त्रीय अनुकूलन समस्या पर विचार करें:

इस समस्या के प्रतिबंधों में कोई असमानता नहीं है, चर की गैर-नकारात्मकता, उनकी विसंगति और कार्यों के लिए कोई शर्तें नहीं हैं और निरंतर हैं और कम से कम दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न हैं।

समस्या को हल करने के लिए शास्त्रीय दृष्टिकोण समीकरणों (आवश्यक शर्तों) की एक प्रणाली देता है जो उस बिंदु से संतुष्ट होना चाहिए जो कि बाधाओं को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के सेट पर एक स्थानीय चरम के साथ कार्य प्रदान करता है (उत्तल प्रोग्रामिंग समस्या के लिए, पाया गया बिंदु उसी समय वैश्विक चरम बिंदु होगा)।

आइए मान लें कि फ़ंक्शन (1) में बिंदु पर एक स्थानीय सशर्त चरम सीमा होती है और मैट्रिक्स की रैंक बराबर होती है। फिर आवश्यक शर्तों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

लैग्रेंज फ़ंक्शन है; लैग्रेंज गुणक हैं।

ऐसी पर्याप्त स्थितियां भी हैं जिनके तहत समीकरणों की प्रणाली का समाधान (3) फ़ंक्शन के चरम बिंदु को निर्धारित करता है। यह प्रश्न लैग्रेंज फलन के द्वितीय अवकलन के चिन्ह के अध्ययन के आधार पर हल किया गया है। हालांकि, पर्याप्त शर्तें मुख्य रूप से सैद्धांतिक रुचि की हैं।

आप लैग्रेंज गुणक विधि द्वारा समस्या (1), (2) को हल करने के लिए निम्नलिखित प्रक्रिया निर्दिष्ट कर सकते हैं:

1) लैग्रेंज फ़ंक्शन (4) लिखें;

2) सभी चरों के संबंध में लैग्रेंज फलन के आंशिक अवकलज ज्ञात कीजिए और उनकी बराबरी कीजिए

शून्य। इस प्रकार, समीकरणों से युक्त एक प्रणाली (3) प्राप्त की जाएगी। परिणामी प्रणाली को हल करें (यदि यह संभव हो जाता है!) और इस प्रकार लैग्रेंज फ़ंक्शन के सभी स्थिर बिंदु खोजें;

3) निर्देशांक के बिना लिए गए स्थिर बिंदुओं से, उन बिंदुओं का चयन करें जिन पर प्रतिबंध (2) की उपस्थिति में फ़ंक्शन में सशर्त स्थानीय एक्स्ट्रेमा है। यह विकल्प, उदाहरण के लिए, स्थानीय चरम सीमा के लिए पर्याप्त परिस्थितियों का उपयोग करके किया जाता है। यदि समस्या की विशिष्ट स्थितियों का उपयोग किया जाता है तो अक्सर अध्ययन को सरल बनाया जाता है।

समस्या समाधान उदाहरण

काम

फर्म मात्रा में दो प्रकार के माल का उत्पादन करती है और . उपयोगी लागत फलन संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है। बाजार में इन वस्तुओं की कीमतें समान और क्रमशः हैं।

निर्धारित करें कि किस मात्रा में आउटपुट अधिकतम लाभ प्राप्त किया गया है और यदि कुल लागत से अधिक नहीं है तो यह क्या है

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समस्या का समाधान

समस्या का आर्थिक और गणितीय मॉडल

लाभ समारोह:

लागत सीमा:

हमें निम्नलिखित आर्थिक और गणितीय मॉडल मिलते हैं:

इसके अलावा, कार्य के अर्थ के अनुसार

लैग्रेंज गुणक विधि

आइए लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करें:

हम पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न पाते हैं:

हम समीकरणों की प्रणाली बनाते और हल करते हैं:

तब से

अधिकतम लाभ:

उत्तर

इस प्रकार, इकाइयों का उत्पादन करना आवश्यक है। 1 प्रकार और इकाइयों का माल। दूसरे प्रकार का माल। इस मामले में, लाभ अधिकतम होगा और 270 होगा।
चित्रमय विधि द्वारा द्विघात उत्तल प्रोग्रामिंग की समस्या को हल करने का एक उदाहरण दिया गया है।

रेखीय समस्या को आलेखीय विधि द्वारा हल करना
सोच-विचार किया हुआ ग्राफिक विधिएक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या (LPP) को दो चरों के साथ हल करना। कार्य के उदाहरण पर, विस्तृत विवरणएक चित्र बनाना और समाधान खोजना।

विल्सन इन्वेंट्री प्रबंधन मॉडल
समस्या को हल करने के उदाहरण पर, इन्वेंट्री प्रबंधन (विल्सन मॉडल) का मुख्य मॉडल माना जाता है। मॉडल के ऐसे संकेतकों की गणना की गई इष्टतम आकारऑर्डर लॉट, वार्षिक भंडारण लागत, डिलीवरी अंतराल, और ऑर्डर देने का स्थान।

प्रत्यक्ष लागत अनुपात मैट्रिक्स और इनपुट-आउटपुट मैट्रिक्स
समस्या को हल करने के उदाहरण पर, लेओन्टिव इंटरसेक्टोरल मॉडल पर विचार किया जाता है। प्रत्यक्ष सामग्री लागत के गुणांक के मैट्रिक्स की गणना, मैट्रिक्स "इनपुट-आउटपुट", अप्रत्यक्ष लागत के गुणांक के मैट्रिक्स, अंतिम खपत और सकल उत्पादन के वैक्टर दिखाए जाते हैं।

लैग्रेंज विधिएक सशर्त अनुकूलन समस्या को हल करने की एक विधि है जिसमें निहित कार्यों के रूप में लिखे गए बाधाओं को एक नए समीकरण के रूप में एक उद्देश्य फ़ंक्शन के साथ जोड़ा जाता है जिसे कहा जाता है लाग्रंगियन.

सामान्य समस्या के एक विशेष मामले पर विचार करें गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग:

दी गई प्रणाली अरेखीय समीकरण (1):

(1) जीआई(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

फ़ंक्शन का सबसे छोटा (या सबसे बड़ा) मान ज्ञात करें (2)

(2) च (х1,х2,…,хn),

यदि चरों की गैर-नकारात्मकता के लिए कोई शर्तें नहीं हैं और f(x1,x2,…,xn) और gi(x1,x2,…,xn) ऐसे फलन हैं जो उनके आंशिक व्युत्पन्न के साथ निरंतर हैं।

इस समस्या का समाधान खोजने के लिए, आप निम्न विधि लागू कर सकते हैं: 1. चर 1, λ2,…, λm का एक सेट दर्ज करें, जिसे लैग्रेंज गुणक कहा जाता है, लैग्रेंज फ़ंक्शन बनाएं (3)

(3) एफ(х1,х2,…,хn , λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi ।

2. चर xi और i के संबंध में लैग्रेंज फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न खोजें और उन्हें शून्य के बराबर करें।

3. समीकरणों के निकाय को हल करते हुए, उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर वस्तुनिष्ठ कार्यकार्यों में चरम सीमा हो सकती है।

4. जिन बिंदुओं पर एक चरम नहीं होने का संदेह है, वे उन बिंदुओं को ढूंढते हैं जिन पर चरम पर पहुंच जाता है, और इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करते हैं .

4. फ़ंक्शन f के प्राप्त मानों की तुलना करें और सबसे अच्छा चुनें।

उत्पादन योजना के अनुसार, उद्यम को 180 उत्पादों का उत्पादन करने की आवश्यकता है। इन उत्पादों को दो तकनीकी तरीकों से निर्मित किया जा सकता है। विधि I द्वारा X1 उत्पादों के उत्पादन में, लागत 4 * X1 + X1 ^ 2 रूबल है, और विधि II द्वारा x2 उत्पादों के निर्माण में, वे 8 * x2 + x2 ^ 2 रूबल हैं। निर्धारित करें कि प्रत्येक तरीके से कितने उत्पाद बनाए जाने चाहिए, ताकि उत्पादन की कुल लागत न्यूनतम हो।

समाधान: समस्या के गणितीय सूत्रीकरण में निर्धारित करना शामिल है सबसे छोटा मानदो चर के कार्य:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, बशर्ते x1 +x2 = 180।

आइए लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करें:

एफ(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2)।

हम x1, x2, के संबंध में इसके आंशिक व्युत्पन्न की गणना करते हैं और उन्हें 0 के बराबर करते हैं:

हम पहले दो समीकरण λ को दायीं तरफ स्थानांतरित करते हैं और उनके बाएं हाथ के पक्षों को समान करते हैं, हमें 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, या x1 - x2 = 2 मिलता है।

समीकरण x1 + x2 = 180 के साथ अंतिम समीकरण को हल करने पर, हम x1 = 91, x2 = 89 पाते हैं, अर्थात, हमें एक समाधान मिला जो शर्तों को पूरा करता है:

आइए चर के इन मानों के लिए उद्देश्य फ़ंक्शन f का मान ज्ञात करें:

एफ(x1, x2) = 17278

यह बिंदु एक चरम सीमा के लिए संदिग्ध है। दूसरे आंशिक अवकलज का उपयोग करके, हम यह दिखा सकते हैं कि बिंदु (91.89) पर फलन f का न्यूनतम होता है।

सशर्त चरम को निर्धारित करने की विधि एक सहायक लैग्रेंज फ़ंक्शन के निर्माण से शुरू होती है, जो व्यवहार्य समाधानों के क्षेत्र में, चर के समान मूल्यों के लिए अधिकतम तक पहुंचती है। एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन , जो उद्देश्य कार्य है जेड . फ़ंक्शन के सशर्त चरम को निर्धारित करने की समस्या दें जेड = एफ (एक्स) प्रतिबंधों के तहत φ मैं ( एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन ) = 0, मैं = 1, 2, ..., एम , एम < एन

एक समारोह लिखें

जिसे कहा जाता है लैग्रेंज फ़ंक्शन. एक्स , - स्थिर कारक ( लैग्रेंज गुणक) ध्यान दें कि लैग्रेंज गुणकों को एक आर्थिक अर्थ दिया जा सकता है। यदि एक च (एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन ) - योजना के अनुसार आय एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन ) , और समारोह φ मैं (एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन ) इस योजना के अनुरूप i-वें संसाधन की लागतें हैं, तो एक्स , - i-th संसाधन का मूल्य (अनुमान), जो i-th संसाधन (सीमांत अनुमान) के आकार में परिवर्तन के आधार पर उद्देश्य फ़ंक्शन के चरम मूल्य में परिवर्तन की विशेषता है। एल (एक्स) - समारोह एन+एम चर (एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन , λ 1 , λ 2 , ..., λ एन ) . इस फ़ंक्शन के स्थिर बिंदुओं को निर्धारित करने से समीकरणों की प्रणाली का समाधान होता है

यह देखना आसान है कि . इस प्रकार, फ़ंक्शन के सशर्त चरम को खोजने की समस्या जेड = एफ (एक्स) फ़ंक्शन के स्थानीय चरम को खोजने के लिए कम कर देता है एल (एक्स) . यदि स्थिर बिंदु पाया जाता है, तो सरलतम मामलों में एक चरम के अस्तित्व का प्रश्न चरम के लिए पर्याप्त शर्तों के आधार पर हल किया जाता है - दूसरे अंतर के संकेत का अध्ययन डी 2 एल (एक्स) एक स्थिर बिंदु पर, बशर्ते कि परिवर्तनीय वेतन वृद्धि x मैं - रिश्तों से संबंधित

बाधा समीकरणों को अलग करके प्राप्त किया।

सॉल्वर टूल का उपयोग करके दो अज्ञात के साथ गैर-रेखीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना

स्थापना समाधान खोजनाआपको दो अज्ञात के साथ गैर-रेखीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान खोजने की अनुमति देता है:

कहाँ पे
- चर के गैर-रैखिक कार्य एक्स तथा आप ,
एक मनमाना स्थिरांक है।

यह ज्ञात है कि जोड़ी एक्स , आप ) समीकरणों की प्रणाली का एक समाधान है (10) यदि और केवल अगर यह दो अज्ञात में निम्नलिखित समीकरण का समाधान है:

सेदूसरी ओर, प्रणाली का समाधान (10) दो वक्रों का प्रतिच्छेदन बिंदु है: एफ ] (एक्स, आप) = सी तथा एफ 2 (एक्स, वाई) = सी 2 सतह पर एक्सओयू.

इससे सिस्टम की जड़ों को खोजने की एक विधि का अनुसरण किया जाता है। अरेखीय समीकरण:

समीकरणों (10) या समीकरण (11) की प्रणाली के समाधान के अस्तित्व का अंतराल (कम से कम लगभग) निर्धारित करें। यहां सिस्टम में शामिल समीकरणों के प्रकार, उनके प्रत्येक समीकरण की परिभाषा के क्षेत्र आदि को ध्यान में रखना आवश्यक है। कभी-कभी समाधान के प्रारंभिक सन्निकटन के चयन का उपयोग किया जाता है;

चयनित अंतराल पर चर x और y के लिए समीकरण (11) के हल को सारणीबद्ध करें, या फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाएं एफ 1 (एक्स, आप) = सी, और एफ 2 (एक्स, वाई) = सी 2 (सिस्टम (10))।

समीकरणों की प्रणाली की अनुमानित जड़ों को स्थानीयकृत करें - समीकरण की जड़ों की सारणी तालिका से कई न्यूनतम मान खोजें (11), या सिस्टम में शामिल वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करें (10)।

4. ऐड-ऑन का प्रयोग करके समीकरणों के निकाय (10) के मूल ज्ञात कीजिए समाधान खोजें।