मनमाना स्थिरांक। लैग्रेंज विधि द्वारा उच्च कोटि के रैखिक अमानवीय अवकल समीकरणों का समाधान

व्याख्यान 44. दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण। मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि। के साथ दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण स्थिर गुणांक. (विशेष दाहिनी ओर)।

सामाजिक परिवर्तन। राज्य और चर्च।

बोल्शेविकों की सामाजिक नीति काफी हद तक उनके वर्गीय दृष्टिकोण से निर्धारित होती थी। 10 नवंबर, 1917 के एक डिक्री द्वारा, संपत्ति प्रणाली को समाप्त कर दिया गया था, पूर्व-क्रांतिकारी रैंकों, उपाधियों और पुरस्कारों को समाप्त कर दिया गया था। न्यायाधीशों का चुनाव स्थापित किया गया है; नागरिक राज्यों का धर्मनिरपेक्षीकरण किया गया। मुफ्त शिक्षा और चिकित्सा देखभाल की स्थापना (31 अक्टूबर, 1918 का फरमान)। पुरुषों के साथ अधिकारों में महिलाओं की बराबरी की गई (16 और 18 दिसंबर, 1917 के फरमान)। विवाह पर डिक्री ने नागरिक विवाह की संस्था की शुरुआत की।

20 जनवरी, 1918 को काउंसिल ऑफ पीपुल्स कमिसर्स के एक फरमान से, चर्च को राज्य और शिक्षा प्रणाली से अलग कर दिया गया था। चर्च की अधिकांश संपत्ति को जब्त कर लिया गया था। 19 जनवरी, 1918 को मॉस्को और ऑल रशिया तिखोन के कुलपति (5 नवंबर, 1917 को निर्वाचित) सोवियत सत्ताऔर बोल्शेविकों के खिलाफ लड़ाई का आह्वान किया।

एक रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के समीकरण पर विचार करें

इस तरह के समीकरण के सामान्य समाधान की संरचना निम्नलिखित प्रमेय द्वारा निर्धारित की जाती है:

प्रमेय 1.सामान्य समाधान नहीं है सजातीय समीकरण(1) को इस समीकरण के किसी विशेष हल के योग और संगत समांगी समीकरण के सामान्य हल के रूप में दर्शाया जाता है

(2)

सबूत. हमें यह साबित करने की आवश्यकता है कि योग

वहाँ है सामान्य निर्णयसमीकरण (1)। आइए पहले हम यह सिद्ध करें कि फलन (3) समीकरण (1) का एक हल है।

योग को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने के बजाय पर, होगा

चूँकि समीकरण (2) का एक हल है, पहले कोष्ठक में व्यंजक समान रूप से शून्य के बराबर है। चूँकि समीकरण (1) का एक हल है, दूसरे कोष्ठक में व्यंजक के बराबर है एफ (एक्स). इसलिए, समानता (4) एक पहचान है। इस प्रकार, प्रमेय का पहला भाग सिद्ध होता है।

आइए हम दूसरा अभिकथन सिद्ध करें: व्यंजक (3) is सामान्यसमीकरण का हल (1)। हमें यह साबित करना होगा कि इस अभिव्यक्ति में शामिल मनमानी स्थिरांक को चुना जा सकता है ताकि प्रारंभिक शर्तें संतुष्ट हों:

(5)

संख्या जो भी हो एक्स 0, वाई 0और (यदि केवल एक्स 0उस क्षेत्र से लिया गया था जहां समारोह एक 1, एक 2तथा एफ (एक्स)निरंतर)।

यह देखते हुए कि इसे फॉर्म में दर्शाया जा सकता है . फिर, शर्तों (5) के आधार पर, हमारे पास है

आइए इस प्रणाली को हल करें और खोजें 1 सेतथा 2 . से. आइए सिस्टम को फिर से लिखें:

(6)

ध्यान दें कि इस प्रणाली का निर्धारक कार्यों के लिए व्रोन्स्की निर्धारक है 1तथा दो परबिंदु पर एक्स = एक्स 0. चूँकि ये फलन धारणा से रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, Wronsky निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है; इसलिए प्रणाली (6) का एक निश्चित समाधान है 1 सेतथा 2 . से, अर्थात। ऐसे मूल्य हैं 1 सेतथा 2 . से, जिसके लिए सूत्र (3) समीकरण (1) का हल निर्धारित करता है जो दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है। क्यू.ई.डी.

चलिए आगे बढ़ते हैं सामान्य तरीकाएक अमानवीय समीकरण के लिए विशेष समाधान खोजना।

आइए हम समांगी समीकरण (2) का सामान्य हल लिखें

. (7)

हम अमानवीय समीकरण (1) के एक विशेष समाधान को फॉर्म (7) में देखेंगे, इस पर विचार करते हुए 1 सेतथा 2 . सेसे कुछ के रूप में अभी तक अज्ञात सुविधाओं के रूप में एक्स।

आइए हम समानता (7) में अंतर करें:

हम वांछित कार्यों का चयन करते हैं 1 सेतथा 2 . सेताकि समानता

. (8)

यदि इस अतिरिक्त शर्त को ध्यान में रखा जाता है, तो पहला व्युत्पन्न रूप लेता है

.

अब इस व्यंजक को अलग करते हुए, हम पाते हैं:

समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

पहले दो कोष्ठकों में व्यंजक गायब हो जाते हैं क्योंकि वाई 1तथा y2सजातीय समीकरण के समाधान हैं। इसलिए, अंतिम समानता रूप लेती है

. (9)

इस प्रकार, फलन (7) अमानवीय समीकरण (1) का हल होगा यदि फलन 1 सेतथा 2 . सेसमीकरणों (8) और (9) को संतुष्ट करें। आइए हम समीकरणों (8) और (9) से समीकरणों की एक प्रणाली की रचना करें।

चूंकि इस प्रणाली का निर्धारक रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों के लिए व्रोन्स्की निर्धारक है वाई 1तथा y2समीकरण (2), तो यह शून्य के बराबर नहीं है। इसलिए, सिस्टम को हल करने पर, हम दोनों के कुछ निश्चित कार्य पाएंगे एक्स.

सामान्य हल y'' + (x) y' + (x) y = f (x) ज्ञात करने के लिए एक विशेष हल खोजना आवश्यक है।

यह समीकरण y'' + (x) y' + (x) y = 0 के समीकरण के सामान्य हल से प्राप्त किया जा सकता है जिसमें स्वेच्छ स्थिरांक के कुछ भिन्नरूप होते हैं।

में प्रतिस्थापित करें (5.1)

+ + + + (एक्स) + +

(एक्स) + = एफ (एक्स)

+ + + + (एक्स) +

(एक्स) + = एफ (एक्स)

एकीकरण से हम पाते हैं और

फिर, सूत्र (5.6) का उपयोग करके, हम सामान्य समाधान बनाते हैं

प्रमेय (5.2): एक समाधान आरोपित करना

यदि समीकरण y'' + (x) y' + (x) y = f (x) का दायां पक्ष 2 कार्यों का योग है:

एफ(एक्स) = (एक्स) + (एक्स) ,

और आप समीकरण का एक विशेष हल है

+ (एक्स) वाई' + (एक्स) वाई = (एक्स)

+ (एक्स) वाई' + (एक्स) वाई = (एक्स)

वह समारोह

क्या इस समीकरण का हल है

() '' + ) ' + ) '='' + + + () '' + ) '+ = (x) + (x) = f(x)

10. बर्नौली समीकरण।

11. रिकाटी समीकरण।

रिकाटी समीकरणसबसे दिलचस्प में से एक है गैर रेखीय विभेदक समीकरणपहले के आदेश. यह फॉर्म में लिखा गया है:

कहाँ पे एक(एक्स), बी(एक्स), सी(एक्स) चर के आधार पर निरंतर कार्य हैं एक्स.

रिकाटी समीकरण गणित के विभिन्न क्षेत्रों में होता है (उदाहरण के लिए, बीजगणितीय ज्यामिति में और अनुरूप मानचित्रण के सिद्धांत में) और भौतिकी। यह अक्सर लागू गणितीय समस्याओं में भी उत्पन्न होता है।

उपरोक्त समीकरण कहा जाता है सामान्य समीकरणरिकाती. उनका समाधान निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है:

प्रमेय: यदि कोई विशेष समाधान ज्ञात है आपरिकाटी समीकरण का 1, तो इसका सामान्य हल द्वारा दिया गया है

दरअसल, समाधान को प्रतिस्थापित करना वाई = वाई 1 + तुमरिकाटी समीकरण में, हमारे पास है:

बाएँ और दाएँ पक्षों पर रेखांकित शब्दों को छोटा किया जा सकता है क्योंकि आप 1 एक विशेष हल है जो समीकरण को संतुष्ट करता है। नतीजतन, हम फ़ंक्शन के लिए एक अंतर समीकरण प्राप्त करते हैं तुम(एक्स):

रिक्कती का दूसरा रूप (केवल एक लिखें)

पर सामान्य मामलाचतुर्भुज में एकीकृत नहीं

हालांकि, यदि एक विशेष समाधान ज्ञात है, तो रिकाटी समीकरण को बर्नौली समीकरण में घटाया जा सकता है

ऐसा करने के लिए, आइए प्रतिस्थापन करें:

पी (एक्स) + पी (एक्स) जेड + क्यू (एक्स) * + क्यू (एक्स) * 2 जेड + क्यू (एक्स) = एफ (एक्स)

पी(एक्स) जेड + 2क्यू (एक्स) जेड + क्यू(एक्स) = 0

जेड (पी (एक्स) + 2 क्यू (एक्स)) + क्यू (एक्स) = 0

एन = 2 Bernoulli

12. लैग्रेंज समीकरण.:

13. क्लैरॉट का समीकरण।

14. पहले से अधिक कोटि के अवकल समीकरण। डाउनग्रेडिंग मामले.

15. nवें क्रम के रैखिक अवकल समीकरण। व्रोनस्कियन। मौलिक निर्णय प्रणाली।:

16. निरंतर गुणांक वाले सजातीय अंतर समीकरण। विशेषता समीकरण:

उपरोक्त रैखिक सजातीय का एक विशेष मामला

अवकल समीकरण स्थिरांक वाले LODE होते हैं

गुणांक।

17. रैखिक अमानवीय समीकरण। एक अर्ध-बहुपद के साथ समीकरण के मामले में एक विशेष समाधान ढूँढना:

यूलर क्वासिपोलिनोमियल:आइए हम एक दूसरे क्रम के LIDE पर स्थिर गुणांकों पर विचार करें: y'' + p y' + q y = f(x) (5.7) आप लैग्रेंज विधि द्वारा किसी विशेष समाधान की खोज कर सकते हैं, लेकिन कुछ मामलों में आप इसे आसान पा सकते हैं। इन मामलों पर विचार करें: 1. f(x) = , -घात n का बहुपद। 2.f(x) = ( क्योंकि β x + (x) sin β x)। इन मामलों में, f(x) को यूलर अर्ध-बहुपद कहा जाता है। इन मामलों में, अनिश्चित गुणांक वाले समाधान के अपेक्षित रूप को लिखें और इसे समीकरण (5.1) में प्रतिस्थापित करें। प्राप्त पहचान से गुणांकों का मान ज्ञात कीजिए। मामला एक : (5.7) के दाईं ओर का रूप है: f(x) = α R - डिग्री n का बहुपद। समीकरण (5.7) को इस प्रकार लिखा जाएगा: y'' + p y' + q y = (5.8) इस मामले में, हम इस रूप में एक विशेष समाधान की तलाश कर रहे हैं: = क्यूएन (एक्स) (5.9) जहाँ r, अभिलक्षणिक समीकरण के मूल के रूप में α की संख्या = गुणन है + p k + q = 0, अर्थात्। r एक संख्या है जो दर्शाती है कि कितनी बार α ur-i + p k + q = 0 का मूल है, जबकि Qn (x) = + +…। + A n घात n का एक बहुपद है जिसे अनिश्चित गुणांक Ai (i = 0, 1, 2,…n) के साथ लिखा गया है। α , r = 0 और समाधान = Q n (x) B) के रूप में खोजा गया n (x) C) मान लीजिए α = अभिलक्षणिक समीकरण का 2 गुना मूल हो + p k + q = 0 , r = 2 = Q n (x) केस 2: (5.7) के दाईं ओर का रूप है: f(x) = () cosβx + Q m (x) sin β (x) , जहां ) और Qm (x) क्रमशः डिग्री n और m के बहुपद हैं, α और β वास्तविक संख्याएं हैं, तो समीकरण (5.7) को y'' + py' + qy = () cosβx + Qm (x) sinxβ) (5.10) के रूप में लिखा जाता है। इस मामले में, विशेष समाधान है: = * (मिली (x) ) cosβx + N l (x ) sin βx) (5.11) समीकरण के मूल के रूप में बहुलता (α + βi) के बराबर r-संख्या: + pk + q = 0, Me (x) और Ne (x) हैं अनिश्चित गुणांक वाले घात l के बहुपद। मैं - उच्चतम डिग्रीबहुपद) और क्यूएम (एक्स), एल = अधिकतम (एन, एम)। नोट 1: फ़ंक्शन (5.11) को (5.10) में प्रतिस्थापित करने के बाद, उसी नाम के त्रिकोण के सामने वाले बहुपदों को समान किया जाता है। eq के बाएँ और दाएँ पक्ष पर कार्य करता है। टिप्पणी 2 : सूत्र (5.11) को ) 0 और Qm (x) 0 के लिए भी संरक्षित किया जाता है। टिप्पणी 3 : यदि समीकरण (5.7) का दाहिना पक्ष 1 और 2 के रूप के कार्यों का योग है, तो किसी को समाधान लगाने पर प्रमेय (5.2) का उपयोग करना चाहिए। प्रमेय (5.2): समाधान लागू करने पर: यदि समीकरण के सही भाग (5.1) 2 कार्यों का योग हैं: f(x) = (x) + (x) , और u समीकरण के आंशिक समाधान हैं + (x) y '+ (x) y = (x) ) + (एक्स) वाई '+ (एक्स) वाई = (एक्स) एनएच ऑर्डर एलआईडीई (एन .) का एकीकरण निरंतर गुणांक और एक विशेष रूप का दाहिना भाग। आइए एक nवें क्रम के LIDE + (x) + (x) +… + (x)y = f(x) पर विचार करें, जहां (x) , …, (x) , f(x) दिए गए हैं। निरंतर कार्यअंतराल पर (ए, बी)। सम्मान सजातीय उर-ई + (एक्स) + ... + (एक्स) वाई = 0 . n-वें क्रम LNDE का सामान्य हल y = NU के विशेष विलयन का योग और OU का सामान्य हल y= । पाया जा सकता है यदि OU = + + ... + का सामान्य हल 0 + + … + = 0 + … + = f (x) ज्ञात हो विशेष प्रकार, अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा पाया जा सकता है। समीकरण y '' + ... + y \u003d f (x) R के लिए एक विशेष समाधान चुनने की विधि, जहां f (x) यूलर अर्ध-बहुपद है n=2 के समान है।

पहले क्रम के एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण पर विचार करें:
(1) .
इस समीकरण को हल करने के तीन तरीके हैं:

• निरंतर भिन्नता विधि (लैग्रेंज)।

लैग्रेंज विधि द्वारा प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के हल पर विचार करें।

लगातार भिन्नता विधि (लैग्रेंज)

अचर विचरण विधि में हम समीकरण को दो चरणों में हल करते हैं। पहले चरण में, हम मूल समीकरण को सरल करते हैं और सजातीय समीकरण को हल करते हैं। दूसरे चरण में, हम समाधान के पहले चरण में प्राप्त एकीकरण के स्थिरांक को एक फ़ंक्शन से बदल देंगे। फिर हम मूल समीकरण के सामान्य समाधान की तलाश करते हैं।

समीकरण पर विचार करें:
(1)

चरण 1 समांगी समीकरण का हल

हम सजातीय समीकरण का हल ढूंढ रहे हैं:

यह एक वियोज्य समीकरण है

अलग चर - dx से गुणा करें, y से विभाजित करें:

हम एकीकृत करते हैं:

y - सारणीबद्ध पर समाकलन:

फिर

क्षमता:

आइए हम स्थिरांक e C को C से प्रतिस्थापित करें और मापांक के चिह्न को हटा दें, जो स्थिरांक से गुणा करने के लिए कम हो जाता है ±1, जिसे हम सी में शामिल करते हैं:

चरण 2 स्थिरांक C को फ़ंक्शन से बदलें

अब स्थिर C को x के एक फलन से प्रतिस्थापित करते हैं:
सी → यू (एक्स)
यही है, हम मूल समीकरण के समाधान की तलाश करेंगे (1) जैसा:
(2)
हम व्युत्पन्न पाते हैं।

एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम के अनुसार:
.
उत्पाद भेदभाव नियम के अनुसार:

.
हम मूल समीकरण में स्थानापन्न करते हैं (1) :
(1) ;

.
दो शर्तें कम हो गई हैं:
;
.
हम एकीकृत करते हैं:
.
में स्थानापन्न (2) :
.
नतीजतन, हम पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरण का सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं:
.

लैग्रेंज विधि द्वारा प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण को हल करने का एक उदाहरण

प्रश्न हल करें

समाधान

हम सजातीय समीकरण को हल करते हैं:

चर अलग करना:

आइए इससे गुणा करें:

हम एकीकृत करते हैं:

टेबल इंटीग्रल:

क्षमता:

आइए स्थिरांक e C को C से बदलें और मापांक के संकेतों को हटा दें:

यहाँ से:

आइए स्थिरांक C को x के एक फंक्शन से बदलें:
सी → यू (एक्स)

हम व्युत्पन्न पाते हैं:
.
हम मूल समीकरण में स्थानापन्न करते हैं:
;
;
या:
;
.
हम एकीकृत करते हैं:
;
समीकरण समाधान:
.

अब रेखीय अमानवीय समीकरण पर विचार करें
. (2)
माना y 1, y 2 ,.., y n - मौलिक प्रणालीसमाधान, और इसी सजातीय समीकरण L(y)=0 का सामान्य समाधान है। इसी प्रकार प्रथम कोटि के समीकरणों के मामले में, हम समीकरण (2) का हल इस रूप में खोजेंगे
. (3)
आइए हम सत्यापित करें कि इस रूप में एक समाधान मौजूद है। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। इस फ़ंक्शन को समीकरण में प्रतिस्थापित करने के लिए, हम इसके व्युत्पन्न पाते हैं। पहला व्युत्पन्न है
. (4)
दूसरे व्युत्पन्न की गणना करते समय, चार शब्द (4) के दाईं ओर दिखाई देते हैं, तीसरे व्युत्पन्न की गणना करते समय, आठ शब्द दिखाई देते हैं, और इसी तरह। इसलिए, आगे की गणना की सुविधा के लिए, (4) में पहला पद शून्य के बराबर माना जाता है। इसे ध्यान में रखते हुए, दूसरा व्युत्पन्न बराबर है
. (5)
पहले के समान कारणों से, (5) में हम पहले पद को भी शून्य के बराबर सेट करते हैं। आखिरकार, nवां व्युत्पन्नके बराबर है
. (6)
डेरिवेटिव के प्राप्त मूल्यों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है
. (7)
(7) में दूसरा पद शून्य के बराबर है, क्योंकि फलन y j , j=1,2,..,n, संगत समांगी समीकरण L(y)=0 के हल हैं। पिछले एक के साथ संयोजन में, हमें सिस्टम मिलता है बीजीय समीकरणकार्यों को खोजने के लिए C" j (x)
(8)
इस प्रणाली का निर्धारक समाधान की मौलिक प्रणाली का Wronsky निर्धारक है y 1,y 2 ,..,y n संबंधित सजातीय समीकरण L(y)=0 और इसलिए शून्य के बराबर नहीं है। इसलिए, वहाँ है केवल निर्णयसिस्टम (8)। इसे प्राप्त करने के बाद, हम सी "जे (एक्स), जे = 1,2,…, एन, और, परिणामस्वरूप, सी जे (एक्स), जे = 1,2,…, एन इन मानों को प्रतिस्थापित करते हुए फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं। (3), हम रैखिक अमानवीय समीकरण का हल प्राप्त करते हैं।
वर्णित विधि को एक मनमाना स्थिरांक या लैग्रेंज विधि की भिन्नता की विधि कहा जाता है।

अधिकतम व्युत्पन्न डिग्री 2 3 4 5 6

उदाहरण 1। समीकरण y "" + 4y" + 3y = 9e -3 x का सामान्य हल खोजें। संगत समरूप समीकरण y "" + 4y" + 3y = 0 पर विचार करें। इसकी जड़ें विशेषता समीकरण r 2 + 4r + 3 = 0 -1 और -3 हैं। इसलिए, एक सजातीय समीकरण के समाधान की मूल प्रणाली में कार्य y 1 = e - x और y 2 = e -3 x होते हैं। हम y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x के रूप में एक अमानवीय समीकरण का हल ढूंढ रहे हैं। व्युत्पन्न C " 1 , C" 2 खोजने के लिए हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं (8)

जिसे हल करना, हम पाते हैं, प्राप्त कार्यों को एकीकृत करना, हमारे पास है
अंत में हमें मिलता है

उदाहरण # 2। दूसरे क्रम के रैखिक अवकल समीकरणों को अचर गुणांकों के साथ स्वेच्छ अचरों के परिवर्तन की विधि द्वारा हल करें:

y(0) =1 + 3ln3
वाई'(0) = 10ln3

समाधान:
यह अंतर समीकरण स्थिर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरणों से संबंधित है।
हम y = e rx के रूप में समीकरण का हल खोजेंगे। ऐसा करने के लिए, हम निरंतर गुणांक वाले रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के विशेषता समीकरण की रचना करते हैं:
आर 2 -6 आर + 8 = 0
डी = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

विशेषता समीकरण की जड़ें: r 1 = 4, r 2 = 2
इसलिए, समाधान की मूलभूत प्रणाली कार्य है:
वाई 1 \u003d ई 4x, वाई 2 \u003d ई 2x
सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है:

एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि द्वारा किसी विशेष समाधान की खोज करें।
C "i का अवकलज ज्ञात करने के लिए, हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं:

सी" 1 (4e 4x) + सी" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
पहले समीकरण से C" 1 व्यक्त करें:
सी" 1 \u003d -सी 2 ई -2x
और दूसरे में स्थानापन्न करें। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
सी" 1 \u003d 2 / (ई 2x + 2e 4x)
सी" 2 \u003d -2e 2x / (ई 2x + 2e 4x)
हम प्राप्त कार्यों को एकीकृत करते हैं C" i:
सी 1 = 2ln(ई -2x +2) - ई -2x + सी * 1
सी 2 = एलएन (2e 2x +1) - 2x+ सी * 2

क्यों कि , फिर हम परिणामी व्यंजकों को रूप में लिखते हैं:
सी 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
सी 2 = (एलएन(2ई 2x +1) - 2x+ सी * 2)ई 2x = ई 2x एलएन(2ई 2x +1) - 2x ई 2x + सी * 2 ई 2x
इस प्रकार, अंतर समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
या
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

हम शर्त के तहत एक विशेष समाधान पाते हैं:
y(0) =1 + 3ln3
वाई'(0) = 10ln3

पाए गए समीकरण में x = 0 को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
वाई (0) = 2 एलएन (3) - 1 + एलएन (3) + सी * 1 + सी * 2 = 3 एलएन (3) - 1 + सी * 1 + सी * 2 = 1 + 3ln3
हम प्राप्त सामान्य समाधान का पहला व्युत्पन्न पाते हैं:
y' = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
x = 0 को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 = 10ln3

हमें दो समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:
3 एलएन(3) - 1 + सी * 1 + सी * 2 = 1 + 3ln3
4सी 1 + 2सी 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
या
सी * 1 + सी * 2 = 2
4सी1 + 2सी2 = 4
या
सी * 1 + सी * 2 = 2
2सी1 + सी2 = 2
कहाँ पे:
C1=0, C*2=2
एक विशेष समाधान के रूप में लिखा जाएगा:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + 2 e 2x

एक मनमाना nवें क्रम के निरंतर गुणांक के साथ एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण पर विचार करें:
(1) .
निरंतर भिन्नता की विधि, जिसे हमने पहले क्रम के समीकरण के लिए माना था, उच्च कोटि के समीकरणों पर भी लागू होती है।

समाधान दो चरणों में किया जाता है। पहले चरण में, हम दाहिने पक्ष को त्याग देते हैं और सजातीय समीकरण को हल करते हैं। नतीजतन, हम एक समाधान प्राप्त करते हैं जिसमें n मनमाना स्थिरांक होता है। दूसरे चरण में, हम स्थिरांक बदलते हैं। अर्थात्, हम मानते हैं कि ये स्थिरांक स्वतंत्र चर x के फलन हैं और इन फलनों का रूप ज्ञात करते हैं।

यद्यपि हम यहां स्थिर गुणांक वाले समीकरणों पर विचार कर रहे हैं, लेकिन लैग्रेंज की विधि किसी भी रैखिक को हल करने के लिए भी लागू होती है अमानवीय समीकरण . हालांकि, इसके लिए सजातीय समीकरण के समाधान की मूलभूत प्रणाली को जानना आवश्यक है।

चरण 1. समांगी समीकरण का हल

जैसा कि प्रथम-क्रम समीकरणों के मामले में, हम पहले समरूप समीकरण के सामान्य समाधान की तलाश करते हैं। अमानवीय भागशून्य करने के लिए:
(2) .
इस तरह के समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है:
(3) .
यहाँ मनमाना स्थिरांक हैं; - n सजातीय समीकरण (2) के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान, जो इस समीकरण के समाधान की मौलिक प्रणाली बनाते हैं।

चरण 2. स्थिरांक का परिवर्तन - स्थिरांक को कार्यों से बदलना

दूसरे चरण में, हम अचरों की भिन्नता पर विचार करेंगे। दूसरे शब्दों में, हम अचरों को स्वतंत्र चर x के फलनों से प्रतिस्थापित करेंगे:
.
अर्थात्, हम मूल समीकरण (1) का हल निम्नलिखित रूप में खोज रहे हैं:
(4) .

यदि हम (4) को (1) में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें n फलनों के लिए एक अवकल समीकरण प्राप्त होता है। इस मामले में, हम इन कार्यों को अतिरिक्त समीकरणों से जोड़ सकते हैं। फिर आपको n समीकरण मिलते हैं, जिससे आप n फ़ंक्शन निर्धारित कर सकते हैं। अतिरिक्त समीकरण बनाए जा सकते हैं विभिन्न तरीके. लेकिन हम इसे इस तरह से करेंगे कि समाधान का सबसे सरल रूप हो। ऐसा करने के लिए, अंतर करते समय, आपको कार्यों के व्युत्पन्न वाले शून्य शब्दों के बराबर होना चाहिए। आइए इसे प्रदर्शित करते हैं।

प्रस्तावित समाधान (4) को मूल समीकरण (1) में बदलने के लिए, हमें फॉर्म (4) में लिखे गए फ़ंक्शन के पहले n ऑर्डर के डेरिवेटिव्स को खोजने की जरूरत है। अंतर (4) लागू करके योग विभेदन नियमऔर काम करता है:
.
आइए सदस्यों को समूहित करें। सबसे पहले, हम के डेरिवेटिव के साथ शर्तों को लिखते हैं, और फिर व्युत्पन्न के साथ शर्तों को लिखते हैं:

.
हम कार्यों पर पहली शर्त लगाते हैं:
(5.1) .
तब के संबंध में पहले व्युत्पन्न के लिए अभिव्यक्ति का एक सरल रूप होगा:
(6.1) .

इसी तरह, हम दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं:

.
हम कार्यों पर दूसरी शर्त लगाते हैं:
(5.2) .
फिर
(6.2) .
और इसी तरह। अतिरिक्त शर्तों के तहत, हम फ़ंक्शन के डेरिवेटिव वाले शब्दों को शून्य के बराबर करते हैं।

इस प्रकार, यदि हम कार्यों के लिए निम्नलिखित अतिरिक्त समीकरण चुनते हैं:
(5.के) ,
तो पहले व्युत्पन्न के संबंध में सबसे सरल रूप होगा:
(6.के) .
यहां ।

हम n वां व्युत्पन्न पाते हैं:
(6.एन)
.

हम मूल समीकरण (1) में स्थानापन्न करते हैं:
(1) ;






.
हम ध्यान में रखते हैं कि सभी कार्य समीकरण (2) को संतुष्ट करते हैं:
.
फिर युक्त पदों का योग शून्य देता है। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
(7) .

नतीजतन, हमारे पास एक प्रणाली है रेखीय समीकरणडेरिवेटिव के लिए:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

इस प्रणाली को हल करने पर, हम x के फलनों के रूप में अवकलजों के व्यंजक पाते हैं। एकीकरण, हम प्राप्त करते हैं:
.
यहाँ अचर हैं जो अब x पर निर्भर नहीं हैं। (4) में प्रतिस्थापित करने पर, हम मूल समीकरण का व्यापक हल प्राप्त करते हैं।

ध्यान दें कि हमने कभी भी इस तथ्य का उपयोग नहीं किया कि गुणांक a i डेरिवेटिव के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए स्थिर हैं। इसीलिए लैग्रेंज विधि किसी भी रैखिक अमानवीय समीकरण को हल करने के लिए लागू होती है, यदि सजातीय समीकरण (2) के समाधान की मूल प्रणाली ज्ञात है।

उदाहरण

अचरों की भिन्नता की विधि द्वारा समीकरणों को हल करें (लैग्रेंज)।