लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की नॉनलाइनियर प्रोग्रामिंग विधि। लैग्रेंज विधि (मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि)

एक बिंदु M को कुछ समुच्चय G के लिए आंतरिक कहा जाता है यदि वह इस समुच्चय और उसके कुछ पड़ोस से संबंधित है। एक बिंदु N को समुच्चय G के लिए एक सीमा बिंदु कहा जाता है यदि इसके किसी भी पूर्ण पड़ोस में बिंदु G से संबंधित हैं और इससे संबंधित नहीं हैं।

समुच्चय G के सभी सीमा बिंदुओं के समुच्चय को G की सीमा कहते हैं।

एक समुच्चय G को एक क्षेत्र कहा जाएगा यदि उसके सभी बिंदु आंतरिक (एक खुला समुच्चय) हैं। एक समुच्चय G जिसकी संलग्न सीमा है, बंद क्षेत्र कहलाता है। एक क्षेत्र को परिबद्ध कहा जाता है यदि वह पूरी तरह से पर्याप्त रूप से बड़े दायरे के एक वृत्त के भीतर समाहित हो।

कम से कम और सबसे बड़ा मूल्यकिसी दिए गए क्षेत्र में कार्यों को इस क्षेत्र में कार्य का पूर्ण चरम कहा जाता है।

Weierstrass' theorem: एक फलन जो एक परिबद्ध और बंद क्षेत्र में निरंतर होता है, इस क्षेत्र में अपने सबसे छोटे और अपने सबसे बड़े मूल्यों तक पहुँचता है।

परिणाम। किसी दिए गए क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन का पूर्ण चरम या तो इस क्षेत्र से संबंधित फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु पर पहुंच जाता है, या किसी बंद क्षेत्र जी में किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए, यह खोजना आवश्यक है इस क्षेत्र में इसके सभी महत्वपूर्ण बिंदु, इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें (प्राप्त संख्याओं की तुलना करके, उनमें से सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनें।

उदाहरण 4.1।किसी फ़ंक्शन का पूर्ण चरम खोजें (सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान)
एक त्रिभुजाकार क्षेत्र D में शीर्षों के साथ
,
,
(चित्र एक)।

;
,

अर्थात्, बिंदु O(0, 0) क्षेत्र D से संबंधित एक क्रांतिक बिंदु है। z(0,0)=0.

सीमा की खोज:

ए) ओए: वाई = 0
;z(x, 0)=0; जेड (0, 0) = 0; जेड(1, 0)=0,

बी) आरएच: एक्स = 0
जेड (0, वाई) = 0; जेड (0, 0) = 0; जेड(0, 2)=0,

कैब: ;
,

उदाहरण 4.2.निर्देशांक अक्षों और एक सीधी रेखा से घिरे एक बंद क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें
.

1) क्षेत्र में स्थित महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता लगाएं:

,
,

.

चलो सीमा का पता लगाएं। इसलिये चूंकि सीमा में ऑक्स अक्ष के खंड ओए, ओए अक्ष के खंड ओबी और खंड एबी होते हैं, इसलिए हम इनमें से प्रत्येक खंड पर फ़ंक्शन z के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान निर्धारित करते हैं।

, z(0, 2)=-3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5.

एम 3 (5/3,7/3), जेड(5/3, 7/3)=-10/3।

सभी पाए गए मानों में से, हम z max =z(4, 0)=13; z नईम =z(1, 2)=–4.

5. सशर्त चरम। लैग्रेंज गुणक विधि

कई चरों के कार्यों के लिए विशिष्ट समस्या पर विचार करें, जब इसका चरम परिभाषा के पूरे डोमेन पर नहीं बल्कि एक निश्चित शर्त को पूरा करने वाले सेट पर मांगा जाता है।

चलो समारोह
, तर्क तथा जो शर्त को पूरा करता है
, बाधा समीकरण कहा जाता है।

दूरसंचार विभाग
एक सशर्त अधिकतम (न्यूनतम) बिंदु कहा जाता है यदि इस बिंदु का ऐसा पड़ोस है कि सभी बिंदुओं के लिए
इस मोहल्ले से इस शर्त को पूरा करते हैं
, असमानता
या
.

चित्र 2 सशर्त अधिकतम बिंदु दिखाता है
. जाहिर है, यह फ़ंक्शन का बिना शर्त चरम बिंदु नहीं है
(चित्र 2 में यह बिंदु है
).

दो चर के एक फ़ंक्शन के सशर्त चरम को खोजने का सबसे आसान तरीका समस्या को एक चर के फ़ंक्शन के चरम को खोजने के लिए कम करना है। बाधा समीकरण मान लें
चरों में से एक के संबंध में हल करने में कामयाब रहे, उदाहरण के लिए, व्यक्त करने के लिए के माध्यम से :
. परिणामी व्यंजक को दो चरों के फलन में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

वे। एक चर का कार्य। इसका चरम समारोह का सशर्त चरम होगा
.

उदाहरण 5.1.किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु खोजें
इस शर्त पर
.

समाधान। हम समीकरण से व्यक्त करते हैं
चर एक चर के माध्यम से और परिणामी अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें
एक समारोह में . प्राप्त
या
. इस फ़ंक्शन में एक न्यूनतम है
. संबंधित फ़ंक्शन मान
. इस तरह,
- सशर्त चरम बिंदु (न्यूनतम)।

माना उदाहरण में, बाधा समीकरण
रैखिक निकला, इसलिए इसे किसी एक चर के संबंध में आसानी से हल किया गया था। हालाँकि, अधिक जटिल मामलों में, ऐसा नहीं किया जा सकता है।

सशर्त चरम को खोजने के लिए सामान्य मामलालैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि का उपयोग किया जाता है। तीन चर के एक समारोह पर विचार करें। इस फ़ंक्शन को लैग्रेंज फ़ंक्शन कहा जाता है, और लैग्रेंज गुणक है। निम्नलिखित प्रमेय सत्य है।

प्रमेय।अगर बिंदु
फ़ंक्शन का सशर्त चरम बिंदु है
इस शर्त पर
, तो एक मूल्य है ऐसा है कि बिंदु
समारोह का चरम बिंदु है
.

इस प्रकार, फ़ंक्शन के सशर्त चरम को खोजने के लिए
इस शर्त पर
व्यवस्था का समाधान तलाशने की जरूरत

पी इन समीकरणों में से अंतिम बाधा समीकरण के साथ मेल खाता है। सिस्टम के पहले दो समीकरणों को फॉर्म में फिर से लिखा जा सकता है, अर्थात। सशर्त चरम के बिंदु पर, कार्यों के ग्रेडियेंट
तथा
समरेख। अंजीर पर। 3 लैग्रेंज स्थितियों के ज्यामितीय अर्थ को दर्शाता है। रेखा
बिंदीदार, स्तर रेखा
कार्यों
ठोस। अंजीर से। यह इस प्रकार है कि सशर्त चरम के बिंदु पर फ़ंक्शन की स्तर रेखा
रेखा को छूता है
.

उदाहरण 5.2. किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु खोजें
इस शर्त पर
लैग्रेंज गुणक विधि का उपयोग करना।

समाधान। हम लैग्रेंज फ़ंक्शन की रचना करते हैं। इसके आंशिक व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हुए, हम समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं:

उसका एकमात्र समाधान। इस प्रकार, केवल बिंदु (3; 1) एक सशर्त चरम बिंदु हो सकता है। यह सत्यापित करना आसान है कि इस बिंदु पर फ़ंक्शन
एक सशर्त न्यूनतम है। यदि चरों की संख्या दो से अधिक है, तो कई कनेक्शन समीकरणों पर भी विचार किया जा सकता है। तदनुसार, इस मामले में कई लैग्रेंज गुणक होंगे।

सशर्त चरम सीमा खोजने की समस्या का उपयोग ऐसी आर्थिक समस्याओं को हल करने में किया जाता है जैसे संसाधनों का इष्टतम वितरण खोजना, प्रतिभूतियों का इष्टतम पोर्टफोलियो चुनना आदि।

लैग्रेंज विधि

वर्ग के योग के लिए एक द्विघात रूप को कम करने की विधि, 1759 में जे। लैग्रेंज द्वारा इंगित की गई। दिया जाए

चर x 0 . से , एक्स 1 ,..., एक्स एन. क्षेत्र से गुणांक के साथ कविशेषताएँ इस प्रपत्र को विहित में लाना आवश्यक है। मन

चर के एक गैर-डीजेनरेट रैखिक परिवर्तन का उपयोग करना। एल.एम. में निम्नलिखित शामिल हैं। हम मान सकते हैं कि फॉर्म (1) के सभी गुणांक शून्य के बराबर नहीं हैं। इसलिए, दो मामले संभव हैं।

1) कुछ के लिए जी,विकर्ण तब

जहाँ प्रपत्र f 1 (x) में कोई चर नहीं है एक्स जी। 2) यदि सभी लेकिन फिर

जहाँ प्रपत्र f 2 (x) में दो चर नहीं हैं एक्स जीतथा एक्स एच।(4) में वर्ग चिन्हों के नीचे के रूप रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। फॉर्म (3) और (4) के रूपांतरों को लागू करके, फॉर्म (1) को चरणों की एक सीमित संख्या के बाद रैखिक रूप से स्वतंत्र रैखिक रूपों के वर्गों के योग में घटा दिया जाता है। आंशिक अवकलजों का प्रयोग करते हुए सूत्र (3) और (4) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

लिट: जी ए एन टी एम ए एच ई आर एफ। आर।,मैट्रिसेस का सिद्धांत, दूसरा संस्करण, मॉस्को, 1966; के उर ओ श ए जी, उच्च बीजगणित का पाठ्यक्रम, 11वां संस्करण, एम., 1975; अलेक्जेंड्रोव पी.एस., विश्लेषणात्मक ज्यामिति पर व्याख्यान ..., एम।, 1968। आई वी प्रोस्कुर्यकोव।

गणितीय विश्वकोश। - एम .: सोवियत विश्वकोश. आई एम विनोग्रादोव। 1977-1985।

देखें कि "LAGRANGE METHOD" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

लैग्रेंज विधि- लैग्रेंज विधि - लैग्रेंज फ़ंक्शन के सैडल पॉइंट (x *, *) को ढूंढकर गणितीय प्रोग्रामिंग समस्याओं के कई वर्गों को हल करने की एक विधि, जो इस फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करके प्राप्त किया जाता है। .. ... आर्थिक और गणितीय शब्दकोश

लैग्रेंज विधि- लैग्रेंज फ़ंक्शन के सैडल पॉइंट (x*,?*) का पता लगाकर गणितीय प्रोग्रामिंग समस्याओं के कई वर्गों को हल करने की एक विधि, जिसे xi और?i के संबंध में इस फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करके प्राप्त किया जाता है। . लैग्रेंजियन देखें। )