Однією із завдань аналізу рядів динаміки є встановлення закономірностей зміни рівнів досліджуваного показника в часі.

У деяких випадках ця закономірність розвитку об'єкта цілком ясно відображається рівня динамічного ряду. Однак часто доводиться зустрічатися з такими рядами динаміки, коли рівні ряду зазнають різних змін. У таких випадках визначення основний тенденції розвитку, досить стійкої протягом цього періоду, використовують спеціальні прийоми обробки рядів динаміки.

Рівні низки динаміки формуються під сукупним впливом багатьох тривалих і короткочасних чинників, зокрема різних, випадкових причин. У той самий час виявлення основний тенденції зміни рівня низки передбачає її кількісне вираз, яке вільне від випадкових впливів. Існують різні способи виявлення тенденції розвитку динаміки. Одним із прийомів виявлення основної тенденції є метод укрупнення інтервалів. Цей спосіб ґрунтується на укрупненні періодів часу, до яких відносяться рівні низки. Наприклад, ряд щодобового випуску продукції замінюється поряд місячного випуску продукції тощо.

Інший метод - метод рухомий (ковзної) середньої.Суть методу полягає у заміні вихідних рівнів середніми арифметичними за певні періоди. При цьому спочатку для часового ряду визначається інтервал згладжування . Якщо необхідно згладити дрібні безладні коливання, то інтервал згладжування беруть якомога більшим; інтервал згладжування зменшують, якщо ніжно зберегти дрібніші коливання. За інших рівних умов інтервал згладжування рекомендується брати непарним. Процес згладжування, для перших рівнів динамічного ряду обчислюється їхня середня арифметична; це буде згладжене значення рівня низки, що у середині інтервалу згладжування. Потім інтервал згладжування зсувається на один рівень праворуч, повторюється обчислення середньої арифметичної і т. д. Для обчислення згладжених рівнів часового ряду

(5.6)

В результаті такої процедури виходять згладжених значень рівнів ряду; при цьому перші рівнів та останні рівні ряду губляться (не згладжуються).

До цього методу згладжування (вирівнювання) примикає експоненційне згладжування. Особливість даного методуполягає в тому, що в процедурі знаходження згладженого рівня використовуються значення попередніх рівнів ряду, взяті з певною вагою. Якщо для вихідного динамічного ряду відповідні згладжені значення рівнів позначити через , , то експоненційне згладжування здійснюється за формулою:

де параметр згладжування; називається коефіцієнтом дисконтування.

Використовуючи наведене вище рекурентне співвідношення(5.7) для всіх рівнів ряду, починаючи з першого і кінчаючи моментом часу , можна отримати, що експоненційна середня, тобто згладжене даним методом значення рівня ряду, є виваженою середньою всіх попередніх рівнів:

, (5.8)

де величина, що характеризує початкові умови.

У практичні завданняОбробка економічних часових рядів рекомендується (необґрунтовано) вибирати величину параметра згладжування в інтервалі від 0,1 до 0,3. Інших точних рекомендацій для вибору оптимальної величини параметра поки що немає. В окремих випадках Р. Браун пропонує визначати величину виходячи з довжини ряду, що згладжується:

Що стосується початкового параметра So, то в конкретних завданнях його беруть або дорівнює значенням першого рівня ряду , або рівним середньої арифметичної кількох перших членів ряду, наприклад, членів :

Зазначений вище порядок вибору величини So забезпечує гарне узгодження згладженого та вихідного рядів для перших рівнів. Якщо при підході до правого кінця часового ряду згладжені цим методом значення при вибраному параметрі починають значно відрізнятись від відповідних значень вихідного ряду, необхідно перейти на інший параметр згладжування. Зауважимо, що при цьому методі згладжування не губляться ні початкові, ні кінцеві рівні тимчасового ряду, що згладжується.

Основнийтенденцією розвитку (трендом)називається плавна та стійка зміна рівня явища в часі, вільна від випадкових коливань.

Завдання полягає в тому, щоб виявити загальну тенденцію у зміні рівнів ряду, звільнену від дії різних випадкових факторів. З цією метою ряди динаміки піддаються обробці методами укрупнення інтервалів, згладжування часових рядів.

Методи згладжування можна умовно поділити на два класи: аналітичний та алгоритмічний.

Аналітичнийпідхід заснований на припущенні, що дослідник може поставити загальний виглядфункції, що описує регулярну, невипадкову складову. Наприклад, на основі візуального та змістовного економічного аналізудинаміки часового ряду передбачається, що трендова складова може бути описана за допомогою показової функції .

Тоді на наступному етапі буде проведено статистична оцінканевідомих коефіцієнтів моделі, а потім визначено згладжені значення рівнів тимчасового рада шляхом підстановки відповідного значення тимчасового параметра «t» отримане рівняння.

В алгоритмічному підході відмовляються від обмежувального припущення, властивого аналітичному. Процедура цього класу передбачає опису динаміки невипадкової складової з допомогою єдиної функції, вони надають досліднику лише алгоритм розрахунку невипадкової складової у будь-який заданий час «t» . Методи згладжування тимчасових порад за допомогою ковзних середніх відноситься до такого підходу. Одним із найпростіших методів вивчення основної тенденції в рядах динаміки є укрупнення інтервалів. Він заснований на укрупненні періодів часу, до яких відносяться рівні динаміки (одночасно зменшується кількість інтервалів). Наприклад, радий доби випуску продукції замінюється поруч місячного випуску продукції і т.д. Середня, обчислена за укрупненими інтервалами, дозволяє виявляти напрям та характер (прискорення чи уповільнення зростання) основної тенденції розвитку.

Суть різних прийомів згладжування часових рядів зводиться до заміни фактичних рівнів часового ряду розрахунковими, які меншою мірою схильні до коливань. Виявлення основної тенденції шляхом згладжування часового ряду може здійснюватись також методом ковзної (рухомої) середньої.

Алгоритм згладжування по простий ковзної середньоїможе бути представлений у вигляді наступної послідовності кроків.

1. Визначають довжину інтервалу згладжування S, що включає 1 послідовних рівнів ряду (1 > n). При цьому треба мати на увазі, що чим ширший інтервал згладжування, тим більше поглинаються коливання, і тенденція розвитку носить більш плавний, згладжений характер. Чим сильніше коливання, тим ширшим має бути інтервал згладжування.

2. Розбивають весь період спостереження на ділянки, при цьому інтервал згладжування «ковзає» поруч із кроком, рівним I.

3. Розраховують середні арифметичні з рівнів рада, що утворюють кожну ділянку.

4. Замінюють фактичні значення ряду, що стоять у центрі кожної ділянки, на відповідні середні значення.

При цьому зручно брати довжину інтервалу згладжування 1 у вигляді непарного числа I = 2р + 1, так як у цьому випадку отримані значення ковзної середньої припадають на середній член інтервалу. Параметр р = (m-1) / 2; де m - Тривалість періоду згладжування (5,7,9, 11,13).

Спостереження, які беруться до розрахунку середнього значення називаються активною ділянкою згладжування.

При непарному значенні 1 =2р + 1 ковзна середня може бути визначена за формулою:

де - значення ковзної середньої в момент t;

Фактичне значення i-ro рівня; 2р+1 – довжина інтервалу згладжування.

При побудові зваженої ковзної середньої кожному активному ділянці значення центрального рівня замінюється на розрахункове, що визначається за формулою середньої арифметичної зваженої:

де – вагові коефіцієнти.

Проста ковзна середня враховує всі рівні ряду, що входять в активну ділянку згладжування, з рівними вагами () , а зважена середня приписує кожному рівню вагу, яка залежить від видалення даного рівнядо рівня, що стоїть у середині активної ділянки. Це викликано тим, що при простій ковзній середній вирівнювання на кожній активній ділянці проводиться по прямій (поліном першого порядку), а при згладжуванні по виваженій ковзній середній використовують поліноми більш високих порядків. Тому метод простий ковзної середньої може розглядатися як окремий випадок методу виваженої ковзної середньої. Вагові коефіцієнти визначаються за допомогою методу найменших квадратів, причому немає необхідності щоразу обчислювати їх заново при рівнях ряду, що входять до активної ділянки згладжування, оскільки вони будуть однаковими для кожної активної ділянки. У наведеній нижче таблиці представлені вагові коефіцієнти в залежності від довжини інтервалу згладжування.

Таблиця 1.8.2.Ваговыекоэффициенты для виваженої ковзної середньої

Оскільки ваги симетричніщодо центрального рівня, то в таблиці використано символічний запис: наведено ваги для половини рівнів активної ділянки; виділено вагу, що відноситься до рівня, що стоїть у центрі ділянки згладжування. Для рівнів ваги, що залишилися, не наводяться, так як вони можуть бути симетрично відображені.

Відзначимо важливі властивості коефіцієнтів:

1. вони симетричні щодо центрального рівня;

2. сума ваг з урахуванням загального множника, винесеного за
дужки, що дорівнює одиниці;

3. наявність як позитивних, і негативних терезів
дозволяє згладженою кривою зберігати різні вигини
кривий тренд.

Названі прийоми згладжування динамічних радів (укрупнення інтервалів і метод ковзної середньої) дають можливість визначити лише загальну тенденцію розвитку явища, більш менш звільнену від випадкових і хвилеподібних коливань. Однак отримати узагальнену статистичну модельтренда у вигляді цих методів не можна.

Для того щоб дати кількісну модель, що виражає основну тенденцію зміни рівнів динамічного ряду в часі, використовується аналітичне вирівнювання динаміки.

Відновлення крайових значень

При використанні ковзної середньої з довжиною активної ділянки

1=2р+1 перші та останні «р» рівнів ряду згладити не можна, їх значення губляться. Очевидно, що втрата значень останніх точок- Суттєвий недолік, тому що для дослідника «свіжі» дані мають найбільшу інформаційну цінність.

Розглянемо один із прийомів, що дозволяють відновити втрачені значення часового ряду при використанні простої ковзної середньої. Для цього необхідно:

Обчислити середній абсолютний приріст на останньому
активну ділянку;

Отримати «р» згладжених значень наприкінці часового ряду
шляхом послідовного додавання середнього абсолютного
приросту до останнього згладженого значення.

Аналогічну процедуру можна реалізувати для оцінювання перших рівнів часового ряду.

Розглянемо ще один із можливих способів відновлення крайових значень. Для визначення «р» перших і «р» останніх втрачених рівнів аналізованого часового ряду можна використовувати розрахункові значення, отримані за допомогою апроксимуючих поліномів того ж ступеня, що й для інших членів ряду. Причому невідомі коефіцієнти поліномів визначаються відповідно по 1=2р+1 першим та останнім рівням часового ряду.

Поширеним прийомом для виявлення тенденції розвитку є згладжування часового ряду. Суть різних прийомів згладжування зводиться до заміни фактичних рівнів часового ряду розрахунковими рівнями, які піддаються коливанням меншою мірою. Це сприяє більш чіткому прояву тенденції та розвитку. Іноді згладжування застосовують як попередній етап перед використанням інших методів виділення тенденції

Ковзаючі середні дозволяють згладити як випадкові, так і періодичні коливання, виявити наявну тенденцію у розвитку процесу, і тому є важливим інструментом при фільтрації компонент тимчасового ряду.

Якщо явище, що розглядається, носить лінійний характер, то застосовується проста ковзна середня. Алгоритм згладжування за простою ковзною середньою може бути представлений у вигляді наступної послідовності кроків:

1. Визначають довжину інтервалу згладжування g, що включає g послідовних рівнів ряду (g

2. Розбивають весь період спостережень на ділянки, при цьому інтервал згладжування ніби ковзає по ряду з кроком, рівним 1.

3. Розраховують арифметичні середні з рівнів ряду, що утворюють кожну ділянку.

4. Замінюють фактичні значення ряду, що стоять у центрі кожної ділянки, на відповідні середні значення.

У цьому зручно брати довжину інтервалу згладжування g як непарного числа: g=2p+1, т.к. у цьому випадку отримані значення ковзної середньої припадають на середній член інтервалу.

Спостереження, які беруться до розрахунку середнього значення, називаються активною ділянкою згладжування.

При непарному значенні g всі рівні активної ділянки можуть бути представлені у вигляді: yt-p, yt-p+1, ... , yt-1, yt, yt+1, ... , yt+p-1, yt+ p,

а ковзна середня визначена за формулою:

Процедура згладжування призводить до повного усунення періодичних коливань у часовому ряду, якщо довжина інтервалу згладжування береться рівною чи кратною циклу, періоду коливань.

Для усунення сезонних коливань бажано було б використовувати чотири- і дванадцятичасту ковзну середню, але при цьому не буде виконуватися умова непарності довжини інтервалу згладжування. Тому при парному числі рівнів прийнято перше та останнє спостереження на активній ділянці брати з половинними вагами:

Тоді для згладжування сезонних коливань під час роботи з тимчасовими рядами квартальної чи місячної динаміки можна використовувати такі ковзні середні:

При використанні ковзної середньої з довжиною активної ділянки g=2p+1 перші та останні p рівнів ряду згладити не можна, їх значення втрачаються. Вочевидь, що втрата значень останніх точок є істотним недоліком, т.к. для дослідника останні "свіжі" дані мають найбільшу інформаційну цінність. Розглянемо один із прийомів, що дозволяють відновити втрачені значення часового ряду . Для цього необхідно:

1.Обчислити середній приріст на останній активній ділянці yt-p, yt-p+1, ... , yt, ... , yt+p-1, yt+p

2.Отримати P згладжених значень наприкінці часового ряду шляхом послідовного додавання середнього абсолютного приросту до останнього згладженого значення.

Аналогічну процедуру можна реалізувати для оцінювання перших рівнів часового ряду.

Метод простий ковзної середньої застосовується, якщо графічне зображення динамічного ряду нагадує пряму. Коли тренд вирівнюваного ряду має вигини, і для дослідника бажано зберегти дрібні хвилі, застосування простої ковзної середньої недоцільно.

Якщо процесу характерний нелінійний розвиток, то проста ковзна середня може призвести до істотних спотворень. У цих випадках надійнішим є використання зваженої ковзної середньої.

При побудові виваженою ковзною середньою на кожній ділянці згладжування значення центрального рівня замінюється на розрахункове, що визначається за формулою середньої арифметичної зваженої, тобто. рівні ряду зважують.

Зважена ковзна середня приписує кожному рівню вагу, що залежить від видалення цього рівня до рівня, що стоїть у середині ділянки згладжування.

При згладжуванні зваженої ковзної середньої використовуються поліноми другого (парабола) або третього порядку.

Згладжування за допомогою зваженої ковзної середньої здійснюється наступним чином: для кожної ділянки згладжування підбирається поліном виду:

Y i = a j + a 1 t

Y i = a o + a 1 t + a 2 t 2 +… a p t p

Параметри полінома знаходяться методом найменших квадратів.

При цьому початок відліку переноситься в середину ділянки згладжування, наприклад, якщо довжина інтервалів згладжування = 5, то індекси рівнів ділянки згладжування дорівнюватимуть: -2, -1, 0, 1, 2.

у	t	t	t
у1	-2
у2	-1
у3
у4
у5
	t=0

Тоді значенням, що згладжує для рівня, що стоїть у середині ділянки згладжування, буде значення параметра а 0 .

Немає необхідності щоразу заново обчислювати вагові коефіцієнти при рівнях ряду, що входять у ділянку згладжування, оскільки вони будуть однаковими для кожної ділянки згладжування, наприклад, якщо в інтервал згладжування входить 5 наступних рівнів ряду та вирівнювання проводиться за параболом, то коефіцієнти параболи знаходять за методом найменших квадратів з огляду на те, що t = 0.

Метод найменших квадратів у цій ситуації дає таку систему рівнянь:

Для знаходження параметра а0 використовують 1 та 3 рівняння

-

34-=5*34а0-10*10а0

34-=а0(170-100)

а0 =

Якщо довжина інтервалу згладжування дорівнює 7, вагові коефіцієнти такі:

Відзначимо важливі властивості наведених ваг:

1) Вони симетричні щодо центрального рівня.

2) Сума терезів з урахуванням загального множника, винесеного за дужки, дорівнює одиниці.

3) Наявність як позитивних, і негативних ваг, дозволяє згладженою кривою зберігати різні вигини кривої тренда.

Існують прийоми, що дозволяють за допомогою додаткових обчислень отримати згладжені значення Р початкових і кінцевих рівнів ряду при довжині інтервалу згладжування g=2p+1.

Вагові коефіцієнти при згладжуванні за поліномами другого та третього порядку

Тема 5: Методи вимірювання та вивчення стійкості часового ряду.

o стійкість рівнів низки;

o стійкість тренду.

Відповідно до статистичної теорії, статистичний показник містить у собі елементи необхідного та випадкового. Необхідність проявляється у формі тенденції часових рядів, а випадковість у формі коливань рівнів щодо тренду. Тенденцією характеризується процес еволюції.

Розчленування часових рядів на складові елементи – умовний описовий прийом. Проте, вирішальним чинником, що зумовлює тенденцію, є цілеспрямована діяльність людини, а головною причиною коливання – зміна умов життєдіяльності.

Звідси випливає, що стійкість значить обов'язкового повторення однакового рівня рік у рік. Занадто вузьким було поняття стійкості низки як повна відсутність будь-яких коливань рівнів.

Скорочення коливань рівнів низки – одне з головних завдань у разі підвищення стійкості.

Стійкість часових рядів- це наявність необхідної тенденції показника, що вивчається, з мінімальним впливом на нього несприятливих умов.

Для вимірювання стійкості рівнів часових рядів використовують такі показники:

1) розмах коливання - визначається як різниця середніх рівнів за сприятливі та несприятливі по відношенню до досліджуваного явища періоди часу:

R=y благопр - унеблагопр

До сприятливих періодів часу відносяться всі періоди з рівнями вище за тренд, а до несприятливих – нижче за тренд.

3) середнє лінійне відхилення:

1) середнє квадратичне відхилення:

S(t)=

Зменшення коливання у часі буде рівнозначне стійкості рівнів.

Для Показники стійкості рекомендуються також такі показники:

1) процентний розмах (PR):

Wmax/min – max/min відносний приріст.

W=

2) Ковзна середня (МА) оцінює величину середнього відхилення від рівня ковзних середніх (хt):

3) Середня відсоткова зміна (АРС) оцінює середнє значення абсолютних величин, відносних приростів та квадратів відносних приростів:

АРС =

Для оцінки стійкості рівнів часових рядів застосовуються відносні показники коливання:

K=100 – V(t) – коефіцієнт стійкості (у відсотках чи частках одиниць).

Для вимірювання стійкості тенденції динаміки (тренду) використовують такі показники:

1) коефіцієнт кореляції рангів (коефіцієнт Спірмена):

d - різниця рангів рівнів ряду, що вивчається, і рангів номерів періодів або моментів часу.

Для визначення цього коефіцієнта величини рівнів нумерують у порядку зростання, а за наявності однакових рівнів їм надається певний ранг рівний приватному від поділу рангів, що припадають на число цих рівних значень.

Коефіцієнт Спірмена може набувати значень в межах від 0 до ±1. Якщо кожен рівень досліджуваного періоду вище, ніж попереднього, то ранги рівнів ряду та номери років збігаються – Кр=+1. Це означає повну стійкість самого факту зростання рівнів низки, тобто безперервність зростання. Що ближче Кр до +1, то ближче зростання рівнів до безперервного, тобто вище стійкості зростання. Якщо Кр = 0, зростання зовсім нестійке.

При негативних значеннях чим ближче Кр до -1, тим стійкіше зменшення показника, що вивчається.

I=

Індекс кореляції показує ступінь сполученості коливань досліджуваних показників із сукупністю факторів, що їх змінюють у часі. Наближення індексу кореляції до 1 означає велику стійкість зміни рівнів часових рядів.

Число рівнів ряду у двох показників має бути однаковим.

Застосовуються також комплексні показники стійкості , Суть яких полягає у визначенні їх не через рівні часових рядів, а через показники їх динаміки.

1. Показник Каякіної визначається як відношення середнього приросту лінійного тренду, тобто. параметра а1 до середнього квадратичного відхилення рівнів від тренду:

Чим більша величина цього показника, тим менш ймовірно, що рівень ряду в наступному періоді буде меншим за попередній.

2. Показник випередження, який отримують, зіставляючи темпи зростання рівнів із темпами значення коливання:

Якщо показник випередження > 1, це свідчить у тому, що рівні низки у середньому зростають швидше коливань чи знижуються повільніше коливань. У такому разі коефіцієнт коливання рівнів зменшуватиметься, а коефіцієнт стійкості рівнів збільшуватиметься. Якщо показник випередження менше 1, то коливання зростають швидше рівнівтренда і коефіцієнт коливання зростає, а коефіцієнт стійкості рівнів зменшується, тобто показник випередження визначає напрямок динаміки коефіцієнта стійкості рівнів.

Механічне згладжування за ковзним середнім

Методи згладжування часових рядів

Найчастіше рівні економічних рядів динаміки коливаються. При цьому тенденція розвитку економічного явища у часі прихована випадковими відхиленнямизначень ряду у той чи інший бік. З метою чіткішого виявлення тенденціїрозвитку досліджуваного процесу виробляють згладжування (вирівнювання)тимчасових рядів економічних показників. Суть різних методівзгладжуваннязводиться до заміни фактичних рівнів часового ряду розрахунковими значеннями, які піддаються коливанням меншою мірою. Це сприяє чіткому прояву тенденції.

Методи згладжування часових рядів поділяються на дві основні групи:

1) аналітичне вирівнюванняз використанням кривої, проведеної між конкретними рівнями ряду так, щоб вона відображала тенденцію, властиву ряду, і одночасно звільняла його від незначних коливань;

2) механічне вирівнюванняокремих рівнів часового ряду з використанням фактичних значень сусідніх рівнів

Суть методів аналітичного згладжування заснована на тому математичному правилі, що через будь-які nточок, що лежать на площині, можна провести поліном мінімум (n – 1)ступеня так, що він проходитиме через всі позначені точки.

Суть методів механічного згладжуванняполягає в тому, що береться кілька рівнів низки динаміки, що утворюють інтервал згладжування. Для них підбирається поліном, ступінь якого має бути менше числарівнів, що входять до інтервалу згладжування. За допомогою полінома визначаються згладжені значення рівнів ряду всередині інтервалу згладжування. Далі інтервал згладжування зсувається одне спостереження вперед, обчислюється наступне згладжене значення тощо.

Механічне згладжування за ковзним середнім

Самим простим методоммеханічного згладжування є згладжування по простий ковзної середньої. Метод називається тому, що у основі лежить обчислення простого середнього значення кількох рівнів ряду. Просте середнє ковзає вздовж ряду динаміки з кроком рівним періоду спостережень.

Спочатку для тимчасового ряду y tвизначається інтервал згладжування m, причому m< n . Якщо необхідно згладити дрібні безладні коливання, то інтервал згладжування беруть якомога більшим; інтервал згладжування зменшують, якщо потрібно зберегти дрібніші коливання. Чим ширший інтервал згладжування, тим більше взаємопогашуються коливання, і тенденція розвитку носить більш плавний характер. Чим сильніше коливання, тим ширшим має бути інтервал згладжування. За однакових умов рекомендується використовувати інтервал згладжування непарної довжини. Для перших mрівнів часового ряду обчислюється їхня середня арифметична; це буде згладжене значення рівня ряду, що знаходиться всередині інтервалу згладжування.

Для обчислення згладжених значень використовується формула:

де m = 2 · p + 1- Інтервал згладжування часового ряду непарної довжини. В результаті такої процедури виходять (n - m + 1)

Процедуру згладжування можна застосовувати для інтервалу згладжування парної довжини. Особливо це актуально для аналізу та прогнозування явищ, що мають сезонні коливання. При згладжуванні сезонних процесів інтервал згладжування обов'язково повинен дорівнювати довжині сезонної хвилі. В іншому випадку відбудеться спотворення компонент тимчасового ряду, особливо компоненти v t. Що стосується, коли використовується інтервал згладжування парної довжини, тобто. m = 2 · p, Застосовується формула:

(4.2).

В результаті цієї процедури виходять (n - m)згладжених значень рівнів ряду.

В будь-якому випадку перші та останні pзначень ряду не згладжуються. Втрачені згладжені значення рівнів часового ряду знаходяться за допомогою використання показника середнього абсолютного приросту, знайденого першого і останнього інтервалів згладжування. Для відновлення втрачених спостереженьна початку часового ряду значення величини середнього абсолютного приросту, знайдене для першого інтервалу згладжування, віднімається від першого згладженого значення. Виходить згладжене значення рівня ряду для y p y 1. Для відновлення втрачених спостережень наприкінці часового ряду значення величини середнього абсолютного приросту, знайдене для останнього інтервалу згладжування, додається до останнього значення, що згладжує. Виходить згладжене значення рівня ряду для y n – p + 1. Далі алгоритм повторюється до одержання згладженого значення y n.

Ще один недолік методу простої ковзної середньоїу тому, що може використовуватися лише рядів, мають лінійну тенденцію. Якщо процесу характерно нелінійний розвиток і необхідно зберегти вигини тенденції, то застосування простий ковзної середньої недоцільно, т.к. це може призвести до суттєвих спотворень. У таких випадках використовується метод виваженої ковзної середньої.

Метод виваженої ковзної середньоївідрізняється від методу простої ковзної середньої тим, що рівні, що входять в інтервал згладжування, сумуються з різними вагами. Це пов'язано з тим, що апроксимація вихідного ряду в межах інтервалу згладжування здійснюється з використанням полінома не першого ступеня, як у методі простої ковзної середньої, а ступеня, починаючи з другого. Використовується формула середньої арифметичної зваженої.

Поглиблений аналіз часових рядів потребує більш складних методик математичної статистики. За наявності в динамічних рядах значної випадкової помилки (шуму) застосовують один із двох простих прийомів - згладжування або вирівнювання шляхом укрупнення інтервалу обчислення групових середніх. Цей метод дозволяє підвищити наочність низки, якщо більшість «шумових» складових перебувають усередині інтервалів. Однак, якщо "шум" не узгоджується з періодичністю, розподіл рівнів показників стає грубим, що обмежує можливості детального аналізу зміни явища у часі.

Більше точні характеристикивиходять, якщо використовують ковзні середні - широко застосовується спосіб згладжування показників середнього ряду. Він ґрунтується на переході від початкових значень ряду до середніх у певному інтервалі часу. У цьому випадку інтервал часу при обчисленні кожного наступного показника ковзає по тимчасовому ряду.

Застосування ковзного середнього корисно при невизначених тенденціях динамічного ряду або при сильному впливі на показники викидів, що циклічно повторюються (різно виділяються варіанти або інтервенція).

Чим більший інтервал згладжування, тим паче плавний вигляд має діаграма ковзних середніх. При виборі величини інтервалу згладжування необхідно виходити з величини динамічного ряду і змістовного сенсу динаміки, що відображається. Велика величинадинамічного ряду з більшим числомвихідних точок дозволяє використовувати більші часові інтервали згладжування (5, 7, 10 і т.д.). Якщо процедура ковзного середнього використовується для не сезонного згладжування ряду, то найчастіше величину інтервалу згладжування приймають рівною 3 або 5. https://tvoipolet.ru/iz-moskvi-v-nyu-jork/ - відмінна можливість вибрати авіакомпанію на переліт з Москви в Нью-Йорк

Наведемо приклад обчислення ковзної середньої кількості господарств з високою врожайністю (понад 30 ц/га) (табл. 10.3).

Таблиця 10.3 Згладжування динамічного ряду укрупненням інтервалів і ковзним середнім

Обліковий рік	Число господарств з високою врожайністю	Суми за три роки	Ковзаючі за три роки	Ковзаючі середні
			90,0	89,7
1984				88,7
				87,3
			87,3	87,0
				86,7
				83,0
			83,0	82,3
				82,3
				82,6
			82,7	82,7

Приклади обчислення ковзного середнього:

1982 (84 + 94 + 92) / 3 = 90,0;

1983 (94 + 92 + 83) / 3 = 89,7;

1984 (92 + 83 + 91) / 3 = 88,7;

1985 (83 + 91 + 88) / 3 = 87,3.

Складається графік. На осі абсцис вказуються роки, на осі ординат – кількість господарств із високою врожайністю. Вказуються координати числа господарств на графіку та з'єднують отримані точки ламаною лінією. Потім вказуються координати ковзної середньої за роками на графіці і з'єднуються точки плавною напівжирною лінією.

Більш складним та результативним методом є згладжування (вирівнювання) рядів динаміки за допомогою різних функцій апроксимації. Вони дозволяють формувати плавний рівень загальної тенденції та основну вісь динаміки.

Найбільш ефективним методомзгладжування за допомогою математичних функцій є просте експоненційне згладжування. Цим методом враховуються всі попередні спостереження низки за такою формулою:

S t = α∙X t + (1 - α ) ∙S t - 1 ,

де S t - кожне нове згладжування в момент часу t; S t - 1 - згладжене значення попереднього часу t -1; X t - фактичне значення ряду в момент часу t; α – параметр згладжування.

Якщо α = 1, попередні спостереження повністю ігноруються; за величиною α = 0 ігноруються поточні спостереження; значення між 0 і 1 дають проміжні результати. Змінюючи значення цього параметра можна підібрати найбільш прийнятний варіант вирівнювання. Вибір оптимального значенняα здійснюється шляхом аналізу отриманих графічних зображеньвихідної та вирівняної кривих, або на основі обліку суми квадратів помилок (похибок) обчислених точок. Практичне використання цього методу слід проводити з використанням ЕОМ у програмі MS Excel. Математичний вираззакономірності динаміки даних можна отримати за допомогою функції експонентного згладжування.