قانون حل سیستم معادلات خطی به روش گاوس. روش گاوس: شرح الگوریتم برای حل یک سیستم معادلات خطی، مثال ها، راه حل ها

روش گاوس آسان است!چرا؟ یوهان کارل فردریش گاوس، ریاضیدان مشهور آلمانی، در طول زندگی خود، به عنوان بزرگترین ریاضیدان تمام دوران، نابغه و حتی لقب "پادشاه ریاضیات" شناخته شد. و همه چیز مبتکرانه، همانطور که می دانید، ساده است!به هر حال، نه تنها مکنده ها، بلکه نابغه ها نیز به پول می افتند - پرتره گاوس بر روی اسکناس 10 مارک آلمانی (قبل از معرفی یورو) به نمایش گذاشته شد و گاوس هنوز هم به طرز مرموزی از روی تمبرهای پستی معمولی به آلمانی ها لبخند می زند.

روش گاوس از این جهت ساده است که دانش یک دانش آموز کلاس پنجم برای تسلط بر آن کافی است. باید قادر به جمع و ضرب باشد!تصادفی نیست که روش طرد متوالیمعلمان ناشناس اغلب در دروس انتخابی ریاضی مدرسه در نظر گرفته می شوند. این یک پارادوکس است، اما روش گاوس بیشترین مشکلات را برای دانش آموزان ایجاد می کند. هیچ چیز تعجب آور نیست - همه چیز در مورد روش است و من سعی خواهم کرد به شکلی در دسترس در مورد الگوریتم روش بگویم.

ابتدا، دانش درباره سیستم ها را کمی نظام مند می کنیم. معادلات خطی. یک سیستم معادلات خطی می تواند:

1) داشتن تنها تصمیم.
2) بی نهایت راه حل داشته باشید.
3) راه حلی نداشته باشید (باشید ناسازگار).

روش گاوس قدرتمندترین و همه کاره ترین ابزار برای یافتن راه حل است هرسیستم های معادلات خطی همانطور که به یاد داریم قانون کرامر و روش ماتریسدر مواردی که سیستم راه حل های بی نهایت زیادی دارد یا ناسازگار است نامناسب هستند. روشی برای حذف متوالی مجهولات به هر حالما را به پاسخ هدایت کنید! در این درس مجدداً روش گاوس را برای مورد شماره 1 (تنها راه حل سیستم) در نظر می گیریم، مقاله برای موقعیت های شماره 2-3 محفوظ است. متذکر می شوم که خود الگوریتم روش در هر سه حالت یکسان عمل می کند.

بازگشت به ساده ترین سیستماز درس چگونه یک سیستم معادلات خطی را حل کنیم؟
و با استفاده از روش گاوسی حل کنید.

اولین قدم نوشتن است سیستم ماتریس توسعه یافته:
. ضرایب با چه اصولی ثبت می شود، فکر می کنم همه می توانند ببینند. خط عمودی داخل ماتریس هیچ معنای ریاضی ندارد - این فقط یک خط خطی برای سهولت طراحی است.

ارجاع :توصیه می کنم به خاطر بسپارید مقرراتجبر خطی. ماتریس سیستمماتریسی است که فقط از ضرایب مجهول تشکیل شده است، در این مثال، ماتریس سیستم: . ماتریس سیستم توسعه یافتههمان ماتریس سیستم به اضافه ستونی از عبارات آزاد است، در این مورد: . هر یک از ماتریس ها را می توان برای اختصار به سادگی ماتریس نامید.

پس از اینکه ماتریس توسعه یافته سیستم نوشته شد، لازم است اقداماتی با آن انجام شود که به آنها نیز گفته می شود. تحولات ابتدایی .

تحولات ابتدایی زیر وجود دارد:

1) رشته هایماتریس ها می توان تنظیم مجددمکان ها به عنوان مثال، در ماتریس مورد بررسی، می توانید با خیال راحت ردیف های اول و دوم را دوباره مرتب کنید:

2) اگر در ماتریس سطرهای متناسب (یا ظاهر شده) متناسب (به عنوان حالت خاص - یکسان) وجود داشته باشد، از آن پیروی می کند. حذفاز ماتریس، همه این سطرها به جز یک. به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید . در این ماتریس، سه ردیف آخر متناسب هستند، بنابراین کافی است تنها یکی از آنها باقی بماند: .

3) اگر در طول تبدیل ها یک ردیف صفر در ماتریس ظاهر شد، آن را نیز دنبال می کند حذف. من رسم نمی کنم، البته، خط صفر خطی است که در آن فقط صفرها.

4) ردیف ماتریس می تواند باشد ضرب (تقسیم)برای هر شماره غیر صفر. به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید. در اینجا توصیه می شود خط اول را بر -3 تقسیم کنید و خط دوم را در 2 ضرب کنید: . این اقدامبسیار مفید است زیرا تبدیل های بیشتر ماتریس را ساده می کند.

5) این دگرگونی بیشترین مشکلات را ایجاد می کند، اما در واقع هیچ چیز پیچیده ای نیز وجود ندارد. به ردیف ماتریس، می توانید یک رشته دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنید، متفاوت از صفر است. ماتریس ما را از در نظر بگیرید مطالعه موردی: . ابتدا، من تحول را با جزئیات کامل شرح خواهم داد. ردیف اول را در -2 ضرب کنید: ، و به خط دوم سطر اول ضرب در 2- را اضافه می کنیم: . اکنون خط اول را می توان "بازگشت" به -2 تقسیم کرد: . همانطور که می بینید، خطی که اضافه شده است LI – تغییر نکرده است. همیشه ... هستخط تغییر کرده است که به آن اضافه شده است UT.

البته، در عمل، آنها با این جزئیات نقاشی نمی کنند، اما کوتاه تر می نویسند:

بار دیگر: به خط دوم ردیف اول ضرب در -2 را اضافه کرد. خط معمولاً به صورت شفاهی یا بر روی پیش نویس ضرب می شود، در حالی که دوره ذهنی محاسبات چیزی شبیه به این است:

ماتریس را بازنویسی می کنم و ردیف اول را بازنویسی می کنم: »

اول ستون اول در زیر باید صفر بگیرم. بنابراین، واحد بالا را در -2: ضرب می کنم و اولین را به خط دوم اضافه می کنم: 2 + (-2) = 0. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

اکنون ستون دوم. بالای -1 برابر -2: . اولی را به خط دوم اضافه می کنم: 1 + 2 = 3. نتیجه را به خط دوم می نویسم: »

و ستون سوم. بالای -5 برابر -2: . خط اول را به خط دوم اضافه می کنم: -7 + 10 = 3. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

لطفاً به دقت در مورد این مثال فکر کنید و الگوریتم محاسبه متوالی را درک کنید، اگر این را درک می کنید، روش گاوس عملاً "در جیب شما" است. اما، البته، ما همچنان روی این تحول کار می کنیم.

تبدیل های ابتدایی حل سیستم معادلات را تغییر نمی دهند

! توجه: دستکاری در نظر گرفته شده است نمی تواند استفاده کند، اگر کاری به شما پیشنهاد می شود که در آن ماتریس ها "به خودی خود" داده می شوند. به عنوان مثال، با "کلاسیک" ماتریس هابه هیچ وجه نباید چیزی را در داخل ماتریس ها تنظیم مجدد کنید!

بیایید به سیستم خود برگردیم. او عملاً تکه تکه شده است.

اجازه دهید ماتریس تقویت شده سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به کاهش دهیم نمای پلکانی:

(1) ردیف اول در 2- ضرب به ردیف دوم اضافه شد. و دوباره: چرا ردیف اول را در -2 ضرب می کنیم؟ برای به دست آوردن صفر در پایین، یعنی خلاص شدن از شر یک متغیر در خط دوم.

(2) ردیف دوم را بر 3 تقسیم کنید.

هدف از تحولات ابتدایی – تبدیل ماتریس به فرم مرحله ای: . در طراحی کار مستقیماً تأکید می کنند با یک مداد ساده"نردبان"، و همچنین اعدادی را که در "پله ها" قرار دارند دور بزنید. اصطلاح "نمای پلکانی" به خودی خود کاملاً نظری نیست، در علم و ادبیات آموزشیاغلب نامیده می شود نمای ذوزنقه اییا نمای مثلثی.

در نتیجه تحولات ابتدایی به دست آورده ایم معادلسیستم اصلی معادلات:

اکنون سیستم باید در جهت مخالف "پیچیده" شود - از پایین به بالا، این فرآیند نامیده می شود روش گاوس معکوس.

در معادله پایین، نتیجه نهایی را داریم: .

اولین معادله سیستم را در نظر بگیرید و از قبل آن را جایگزین کنید ارزش شناخته شده"یگ":

رایج ترین وضعیتی را در نظر بگیرید که روش گاوسی برای حل مورد نیاز است سهمعادلات خطی در سه مجهول

مثال 1

حل سیستم معادلات با استفاده از روش گاوس:

بیایید ماتریس تقویت شده سیستم را بنویسیم:

اکنون من فوراً نتیجه ای را ترسیم می کنم که در طول راه حل به آن خواهیم رسید:

و تکرار می کنم، هدف ما این است که با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس را به شکل پلکانی برسانیم. از کجا باید اقدام کرد؟

ابتدا به شماره بالا سمت چپ نگاه کنید:

تقریباً همیشه باید اینجا باشد واحد. به طور کلی، -1 (و گاهی اوقات اعداد دیگر) نیز مناسب است، اما به نوعی به طور سنتی اتفاق می افتد که معمولا یک واحد در آنجا قرار می گیرد. چگونه یک واحد را سازماندهی کنیم؟ ما به ستون اول نگاه می کنیم - ما یک واحد تمام شده داریم! تبدیل اول: خط اول و سوم را عوض کنید:

حالا خط اول تا پایان راه حل بدون تغییر باقی می ماند. حالا خوبه

واحد در بالا سمت چپ سازماندهی شده است. حالا باید در این مکان ها صفر بگیرید:

صفرها فقط با کمک یک تبدیل "سخت" به دست می آیند. ابتدا با خط دوم (2، -1، 3، 13) سروکار داریم. برای بدست آوردن صفر در موقعیت اول چه باید کرد؟ نیاز داشتن به خط دوم سطر اول ضرب در 2- را اضافه کنید. به صورت ذهنی یا روی پیش نویس، خط اول را در -2 ضرب می کنیم: (-2، -4، 2، -18). و ما پیوسته (دوباره ذهنی یا بر اساس پیش نویس) اضافه می کنیم، به خط دوم ما خط اول را که قبلاً در -2 ضرب شده است اضافه می کنیم:

نتیجه در خط دوم نوشته شده است:

به همین ترتیب با خط سوم (3، 2، -5، -1) سروکار داریم. برای به دست آوردن صفر در موقعیت اول، شما نیاز دارید به خط سوم، سطر اول ضرب در -3 را اضافه کنید. به صورت ذهنی یا روی پیش نویس، خط اول را در -3 ضرب می کنیم: (-3، -6، 3، -27). و به خط سوم، سطر اول ضرب در -3 را اضافه می کنیم:

نتیجه در خط سوم نوشته شده است:

در عمل، این اقدامات معمولاً به صورت شفاهی انجام می شود و در یک مرحله نوشته می شود:

نیازی نیست همه چیز را یکجا و همزمان بشمارید. ترتیب محاسبات و "درج" نتایج استوارو معمولاً به این صورت است: ابتدا خط اول را بازنویسی می کنیم و خودمان را آرام پف می کنیم - به طور مداوم و با دقت:


و من قبلاً سیر ذهنی خود محاسبات را در بالا در نظر گرفته ام.

در این مثال، انجام این کار آسان است، ما خط دوم را بر 5- تقسیم می کنیم (زیرا همه اعداد بدون باقیمانده بر 5 بخش پذیر هستند). در عین حال خط سوم را بر 2- تقسیم می کنیم، زیرا چه کمتر از عدد، موضوعات راه حل ساده تر:

در مرحله نهایی تبدیل های ابتدایی، یک صفر دیگر باید در اینجا به دست آید:

برای این به خط سوم، خط دوم را در 2- ضرب می کنیم:


سعی کنید خودتان این عمل را تجزیه کنید - به صورت ذهنی خط دوم را در -2 ضرب کنید و جمع را انجام دهید.

آخرین عمل انجام شده مدل موی نتیجه است، خط سوم را بر 3 تقسیم کنید.

در نتیجه تبدیل های ابتدایی، یک سیستم اولیه معادل معادلات خطی به دست آمد:

سرد.

حالا وارد بازی می شود سکته مغزی معکوسروش گاوس معادلات از پایین به بالا "باز می شوند".

در معادله سوم، نتیجه نهایی را داریم:

بیایید به معادله دوم نگاه کنیم: . معنای "ز" قبلاً شناخته شده است، بنابراین:

و در نهایت معادله اول: . «ی» و «ز» معلوم است، موضوع کوچک است:

پاسخ:

همانطور که بارها اشاره شده است، برای هر سیستم معادلات، بررسی جواب یافت شده ممکن و ضروری است، خوشبختانه این کار دشوار و سریع نیست.

مثال 2

این یک مثال برای حل خود، نمونه اتمام و پاسخ در پایان درس است.

لازم به ذکر است که شما دوره عملممکن است با مسیر عمل من مطابقت نداشته باشد، و این یکی از ویژگی های روش گاوس است. اما پاسخ ها باید یکسان باشد!

مثال 3

حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس

ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی آن را به شکل مرحله ای می آوریم:

ما به "پله" بالا سمت چپ نگاه می کنیم. آنجا باید یک واحد داشته باشیم. مشکل این است که اصلاً در ستون اول کسی وجود ندارد، بنابراین با مرتب کردن مجدد سطرها چیزی حل نمی شود. در چنین مواردی، واحد باید با استفاده از یک تبدیل اولیه سازماندهی شود. این کار را معمولاً می توان به روش های مختلفی انجام داد. من این کار را انجام دادم:
(1) به خط اول، خط دوم را در -1 ضرب می کنیم. یعنی به صورت ذهنی خط دوم را در -1 ضرب کردیم و خط اول و دوم را جمع کردیم در حالی که خط دوم تغییر نکرد.

اکنون در بالا سمت چپ "منهای یک"، که کاملا مناسب ما است. کسانی که می خواهند 1+ بگیرند می توانند یک حرکت اضافی انجام دهند: خط اول را در -1 ضرب کنید (علامت آن را تغییر دهید).

(2) ردیف اول ضرب در 5 به ردیف دوم اضافه شد و ردیف اول ضرب در 3 به ردیف سوم اضافه شد.

(3) خط اول در -1 ضرب شد، در اصل، این برای زیبایی است. علامت خط سوم نیز تغییر کرد و به مکان دوم منتقل شد و بدین ترتیب در «پله دوم» واحد مورد نظر را داشتیم.

(4) خط دوم ضرب در 2 به خط سوم اضافه شد.

(5) ردیف سوم بر 3 تقسیم شد.

یک علامت بد که نشان دهنده یک خطای محاسباتی است (کمتر یک اشتباه تایپی) یک خط پایانی "بد" است. یعنی اگر چیزی شبیه زیر بدست آوریم و بر این اساس ، پس با درجه احتمال بالایی می توان استدلال کرد که در جریان تحولات ابتدایی خطایی رخ داده است.

ما حرکت معکوس را شارژ می کنیم، در طراحی مثال ها، خود سیستم اغلب بازنویسی نمی شود و معادلات "مستقیماً از ماتریس داده شده گرفته می شوند". به شما یادآوری می کنم حرکت معکوس از پایین به بالا کار می کند. بله، این یک هدیه است:

پاسخ: .

مثال 4

حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس

این نمونه ای برای یک راه حل مستقل است، تا حدودی پیچیده تر است. اگر کسی گیج شود اشکالی ندارد. راه حل کاملو نمونه طراحی در پایان درس. راه حل شما ممکن است با من متفاوت باشد.

در بخش آخر به بررسی برخی از ویژگی های الگوریتم گاوس می پردازیم.
اولین ویژگی این است که گاهی اوقات برخی از متغیرها در معادلات سیستم گم می شوند، به عنوان مثال:

چگونه ماتریس افزوده شده سیستم را به درستی بنویسیم؟ قبلاً در مورد این لحظه در درس صحبت کردم. قانون کرامر روش ماتریسی. در ماتریس توسعه یافته سیستم، صفرها را به جای متغیرهای گمشده قرار می دهیم:

اتفاقاً کاملاً است مثال آسان، از آنجایی که قبلاً یک صفر در ستون اول وجود دارد و تبدیل های اولیه کمتری برای انجام وجود دارد.

ویژگی دوم این است. در تمام مثال‌های در نظر گرفته شده، ما ۱- یا ۱+ را روی «گام‌ها» قرار دادیم. ممکن است اعداد دیگری وجود داشته باشد؟ در برخی موارد می توانند. سیستم را در نظر بگیرید: .

در اینجا در سمت چپ "پله" ما یک دوش داریم. اما ما متوجه این واقعیت هستیم که تمام اعداد در ستون اول بر 2 بدون باقی مانده بخش پذیر هستند - و دو و شش دیگر. و دوسه در بالا سمت چپ مناسب ما خواهد بود! در مرحله اول، شما باید تبدیل های زیر را انجام دهید: خط اول ضرب در -1 را به خط دوم اضافه کنید. به خط سوم، سطر اول ضرب در -3 را اضافه کنید. به این ترتیب، صفرهای مورد نظر را در ستون اول به دست خواهیم آورد.

یا مثل این مثال شرطی: . در اینجا، سه گانه در "پله" دوم نیز برای ما مناسب است، زیرا 12 (محلی که باید صفر را بدست آوریم) بدون باقی مانده بر 3 بخش پذیر است. لازم است تبدیل زیر را انجام دهید: به خط سوم، خط دوم را ضرب در -4 اضافه کنید، در نتیجه صفر مورد نیاز ما به دست می آید.

روش گاوس جهانی است، اما یک ویژگی وجود دارد. با اطمینان یاد بگیرید که سیستم ها را با روش های دیگر حل کنید (روش کرامر، روش ماتریسی) می تواند به معنای واقعی کلمه اولین بار باشد - یک الگوریتم بسیار دقیق وجود دارد. اما برای اینکه به روش گاوس اطمینان داشته باشید، باید "دست خود را پر کنید" و حداقل 5-10 سیستم را حل کنید. بنابراین، در ابتدا ممکن است سردرگمی، اشتباه در محاسبات وجود داشته باشد و هیچ چیز غیرعادی یا غم انگیزی در این وجود ندارد.

هوای بارانی پاییزی بیرون از پنجره .... بنابراین، برای همه بیشتر مثال پیچیدهبرای راه حل مستقل:

مثال 5

یک سیستم چهار معادله خطی با چهار مجهول را با استفاده از روش گاوس حل کنید.

چنین کاری در عمل چندان نادر نیست. من فکر می کنم که حتی قوری که این صفحه را با جزئیات مطالعه کرده است، الگوریتم حل چنین سیستمی را به طور مستقیم درک می کند. اساساً یکسان است - فقط اقدام بیشتر.

مواردی که سیستم راه حلی نداشته باشد (ناسازگار) یا بی نهایت راه حل دارد در درس سیستم ها و سیستم های ناسازگار با یک راه حل کلی در نظر گرفته می شود. در آنجا می توانید الگوریتم در نظر گرفته شده روش گاوس را اصلاح کنید.

برای شما آرزوی موفقیت می کنم!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2: راه حل : اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های اولیه، آن را به شکل پلکانی برسانیم.


تحولات ابتدایی را انجام داد:
(1) ردیف اول در 2- ضرب به ردیف دوم اضافه شد. خط اول به خط سوم اضافه شد، ضرب در -1. توجه!در اینجا ممکن است وسوسه انگیز باشد که خط اول را از خط سوم کم کنید، من اکیداً تفریق را توصیه نمی کنم - خطر خطا به شدت افزایش می یابد. ما فقط تا می کنیم!
(2) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در 1-). خط دوم و سوم عوض شده است. توجه داشته باشیدکه در "پله ها" ما نه تنها با یک، بلکه با -1 راضی هستیم که حتی راحت تر است.
(3) به خط سوم، خط دوم را در 5 ضرب کنید.
(4) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در -1). خط سوم بر 14 تقسیم شد.

حرکت معکوس:

پاسخ: .

مثال 4: راه حل : ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی آن را به شکل مرحله ای می آوریم:

تبدیل های انجام شده:
(1) خط دوم به خط اول اضافه شد. بنابراین، واحد مورد نظر در "پله" بالا سمت چپ سازماندهی شده است.
(2) ردیف اول ضرب در 7 به ردیف دوم اضافه شد و ردیف اول ضرب در 6 به ردیف سوم اضافه شد.

با "گام" دوم همه چیز بدتر است ، "نامزدهای" آن اعداد 17 و 23 هستند و به یک یا -1 نیاز داریم. دگرگونی های (3) و (4) با هدف به دست آوردن واحد مورد نظر خواهد بود

(3) خط دوم به خط سوم اضافه شد، ضرب در -1.
(4) خط سوم ضرب در 3- به خط دوم اضافه شد.
(3) خط دوم ضرب در 4 به خط سوم اضافه شد و خط دوم ضرب در -1 به خط چهارم اضافه شد.
(4) علامت خط دوم تغییر کرده است. خط چهارم بر 3 تقسیم شد و به جای خط سوم قرار گرفت.
(5) خط سوم ضرب در 5- به خط چهارم اضافه شد.

حرکت معکوس:

را ماشین حساب آنلاینراه حلی برای سیستم معادلات خطی (SLE) با روش گاوس پیدا می کند. داده شده راه حل دقیق. برای محاسبه، تعداد متغیرها و تعداد معادلات را انتخاب کنید. سپس داده ها را در سلول ها وارد کرده و روی "Ccalculate" کلیک کنید.

x 1 +x2 +x 3 x 1 +x2 +x 3 x 1 +x2 +x 3 = = =

نمایش شماره:

اعداد صحیح و/یا کسرهای مشترک
اعداد صحیح و/یا اعشاری

تعداد ارقام بعد از جداکننده اعشاری

×

هشدار

تمام سلول ها پاک شود؟

Clear را ببندید

دستورالعمل ورود اطلاعاتاعداد به صورت اعداد کامل (مثلاً: 487، 5، -7623، و غیره)، اعداد اعشاری (مثلاً 67.، 102.54، و غیره) یا کسری وارد می شوند. کسر باید به شکل a/b تایپ شود، که در آن a و b (b>0) اعداد صحیح یا اعداد اعشاری. مثال‌های 45/5، 6.6/76.4، -7/6.7، و غیره.

روش گاوس

روش گاوس روشی برای انتقال از سیستم معادلات خطی اصلی (با استفاده از تبدیل‌های معادل) به سیستمی است که حل آن آسان‌تر از سیستم اصلی است.

تبدیل های معادل سیستم معادلات خطی عبارتند از:

• مبادله دو معادله در سیستم،
• ضرب هر معادله ای در سیستم در یک عدد واقعی غیر صفر،
• اضافه کردن به یک معادله معادله دیگر ضرب در یک عدد دلخواه.

یک سیستم معادلات خطی را در نظر بگیرید:

(1)

سیستم (1) را به صورت ماتریسی می نویسیم:

تبر = ب

(2)

(3)

آماتریس ضریب سیستم نامیده می شود، ب − قسمت راستمحدودیت های ایکس- بردار متغیرهایی که باید پیدا شوند. بگذارید رتبه ( آ)=پ.

تبدیل های معادل رتبه ماتریس ضرایب و رتبه ماتریس تقویت شده سیستم را تغییر نمی دهد. مجموعه راه حل های سیستم نیز تحت تبدیل های معادل تغییر نمی کند. ماهیت روش گاوس آوردن ماتریس ضرایب است آبه مورب یا پله ای.

بیایید ماتریس توسعه یافته سیستم را بسازیم:

در مرحله بعد، تمام عناصر ستون 2 را در زیر عنصر تنظیم مجدد می کنیم. اگر عنصر داده شده تهی باشد، این ردیف با ردیفی که در زیر ردیف داده شده قرار دارد و یک عنصر غیر صفر در ستون دوم دارد، جایگزین می شود. در مرحله بعد، تمام عناصر ستون 2 را در زیر عنصر اصلی صفر می کنیم آ 22. برای انجام این کار، ردیف های 3 را اضافه کنید، ... متربا ردیف 2 ضرب در - آ 32 /آ 22 , ..., −آمتر مربع / آ 22 به ترتیب. در ادامه روش، ماتریسی به شکل مورب یا پله ای به دست می آوریم. اجازه دهید ماتریس افزوده شده به صورت زیر باشد:

(7)

زیرا rankA=رتبه(الف|ب، سپس مجموعه راه حل های (7) برابر است با ( n-p) یک تنوع است. در نتیجه n-pمجهولات را می توان خودسرانه انتخاب کرد. مجهولات باقی مانده از سیستم (7) به صورت زیر محاسبه می شوند. از آخرین معادله ای که بیان می کنیم ایکس p را از بقیه متغیرها عبور داده و در عبارات قبلی وارد کنید. بعد از معادله ماقبل آخر بیان می کنیم ایکس p-1 را از طریق بقیه متغیرها وارد کنید و در عبارات قبلی و غیره وارد کنید. روش گاوس را در مثال های خاص در نظر بگیرید.

نمونه هایی از حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس

مثال 1. پیدا کنید تصمیم مشترکسیستم های معادلات خطی به روش گاوس:

با نشان دادن آعناصر ij من-خط و jستون -ام.

آیازده . برای انجام این کار، ردیف های 2،3 را با ردیف 1، به ترتیب در -2/3، -1/2 ضرب کنید:

نوع رکورد ماتریسی: تبر = ب، جایی که

با نشان دادن آعناصر ij من-خط و jستون -ام.

عناصر ستون 1 ماتریس زیر عنصر را حذف کنید آیازده . برای انجام این کار، ردیف های 2،3 را با ردیف 1، به ترتیب در -1/5، -6/5 ضرب کنید:

ما هر ردیف از ماتریس را بر عنصر اصلی مربوطه تقسیم می کنیم (در صورت وجود عنصر اصلی):

جایی که ایکس 3 , ایکس

با جایگزینی عبارات بالا با عبارات پایین، راه حل را به دست می آوریم.

سپس راه حل برداری را می توان به صورت زیر نشان داد:

جایی که ایکس 3 , ایکس 4 اعداد واقعی دلخواه هستند.

اجازه دهید سیستم، ∆≠0 داده شود. (یک)
روش گاوسروشی برای حذف متوالی مجهولات است.

ماهیت روش گاوس تبدیل (1) به سیستمی با ماتریس مثلثی است که از آن مقادیر همه مجهولات به صورت متوالی (معکوس) به دست می آید. بیایید یکی از طرح های محاسباتی را در نظر بگیریم. به این مدار مدار تک تقسیم می گویند. پس بیایید نگاهی به این نمودار بیندازیم. اجازه دهید 11 ≠0 (عنصر اصلی) معادله اول را بر 11 تقسیم کند. گرفتن
(2)
با استفاده از رابطه (2)، به راحتی می توان x 1 مجهول را از معادلات باقیمانده سیستم حذف کرد (برای این، کافی است معادله (2) را از هر معادله قبلاً در ضریب متناظر در x 1 ضرب کنیم. ، در اولین مرحله به دست می آوریم
.
به عبارت دیگر، در مرحله 1، هر عنصر از سطرهای بعدی، با شروع از دوم، برابر است با تفاوت بین عنصر اصلی و حاصلضرب "طرح" آن در ستون اول و ردیف اول (تبدیل شده).
به دنبال این، با رها کردن اولین معادله، تبدیل مشابهی را بر روی معادلات باقیمانده سیستم به دست آمده در مرحله اول انجام خواهیم داد: از بین آنها معادله ای با عنصر اصلی انتخاب می کنیم و از آن برای حذف x 2 از معادلات باقی مانده استفاده می کنیم. (گام 2).
بعد از n مرحله، به جای (1) یک سیستم معادل بدست می آوریم
(3)
بدین ترتیب در مرحله اول یک سیستم مثلثی شکل (3) بدست خواهیم آورد. به این مرحله رو به جلو گفته می شود.
در مرحله دوم (حرکت معکوس) به ترتیب از (3) مقادیر x n , x n -1 , …, x 1 را پیدا می کنیم.
جواب به دست آمده را x 0 نشان می دهیم. سپس تفاوت ε=b-A x 0 باقی مانده نامیده می شود.
اگر ε=0 باشد، جواب یافت شده x 0 صحیح است.

محاسبات به روش گاوس در دو مرحله انجام می شود:

1. مرحله اول دوره مستقیم روش نامیده می شود. در مرحله اول، سیستم اصلی به شکل مثلثی تبدیل می شود.
2. مرحله دوم معکوس نامیده می شود. در مرحله دوم، یک سیستم مثلثی معادل با سیستم اصلی حل می شود.

ضرایب a 11 , a 22 , ... را عناصر پیشرو می نامند.
در هر مرحله فرض بر این بود که عنصر پیشرو با صفر متفاوت است. اگر اینطور نباشد، می توان از هر عنصر دیگری به عنوان رهبر استفاده کرد، گویی معادلات سیستم را مرتب می کند.

هدف از روش گاوس

روش گاوس برای حل سیستم های معادلات خطی در نظر گرفته شده است. به روش های مستقیم حل اشاره دارد.

انواع روش گاوس

1. روش کلاسیک گاوس؛
2. اصلاحات روش گاوس. یکی از اصلاحات روش گاوسی مدار با انتخاب عنصر اصلی است. یکی از ویژگی های روش گاوس با انتخاب عنصر اصلی، جابجایی معادلات به گونه ای است که در گام k-امین عنصر پیشرو بزرگترین عنصر در ستون k-ام است.
3. روش جردن-گاوس؛

تفاوت بین روش جردن-گاوس و روش کلاسیک روش گاوسشامل اعمال قانون مستطیل زمانی است که جهت جستجوی یک راه حل در امتداد قطر اصلی باشد (تبدیل به ماتریس هویت). در روش گاوس، جهت جستجوی یک راه حل در امتداد ستون ها اتفاق می افتد (تبدیل به یک سیستم با ماتریس مثلثی).
تفاوت را نشان دهید روش جردن-گاوساز روش گاوس در مثال ها.

مثال راه حل گاوس
بیایید سیستم را حل کنیم:

برای راحتی محاسبات، خطوط را عوض می کنیم:

ردیف دوم را در (2) ضرب کنید. خط 3 را به خط 2 اضافه کنید

ردیف دوم را در (-1) ضرب کنید. ردیف 2 را به ردیف 1 اضافه کنید

از خط 1 x 3 را بیان می کنیم:
از خط 2 x 2 را بیان می کنیم:
از خط 3 x 1 را بیان می کنیم:

نمونه ای از راه حل با روش جردن-گاوس
ما همان SLAE را با استفاده از روش Jordano-Gauss حل خواهیم کرد.

ما به صورت متوالی عنصر تفکیک کننده RE را انتخاب می کنیم که روی مورب اصلی ماتریس قرار دارد.
عنصر فعال کننده برابر با (1) است.



NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - عنصر فعال کننده (1)، A و B - عناصر ماتریسی که یک مستطیل را با عناصر STE و RE تشکیل می دهند.
بیایید محاسبه هر عنصر را در قالب یک جدول ارائه دهیم:

x 1	x2	x 3	ب
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

عنصر فعال کننده برابر با (3) است.
به جای عنصر حل، 1 می گیریم و در خود ستون صفر می نویسیم.
تمام عناصر دیگر ماتریس، از جمله عناصر ستون B، توسط قانون مستطیل تعیین می شوند.
برای این کار، چهار عدد را انتخاب کنید که در رأس مستطیل قرار دارند و همیشه عنصر فعال کننده RE را شامل می شود.

x 1	x2	x 3	ب
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

عنصر فعال کننده (-4) است.
به جای عنصر حل، 1 می گیریم و در خود ستون صفر می نویسیم.
تمام عناصر دیگر ماتریس، از جمله عناصر ستون B، توسط قانون مستطیل تعیین می شوند.
برای این کار، چهار عدد را انتخاب کنید که در رأس مستطیل قرار دارند و همیشه عنصر فعال کننده RE را شامل می شود.
بیایید محاسبه هر عنصر را در قالب یک جدول ارائه دهیم:

x 1	x2	x 3	ب
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

پاسخ: x 1 = 1، x 2 = 1، x 3 = 1

اجرای روش گاوس

روش گاوس در بسیاری از زبان های برنامه نویسی، به ویژه: پاسکال، سی ++، php، دلفی پیاده سازی شده است، و همچنین یک پیاده سازی آنلاین از روش گاوس وجود دارد.

با استفاده از روش گاوس

کاربرد روش گاوس در نظریه بازی ها

در تئوری بازی ها، هنگام یافتن حداکثر استراتژی بهینه بازیکن، یک سیستم معادلات تدوین می شود که با روش گاوس حل می شود.

کاربرد روش گاوس در حل معادلات دیفرانسیل

برای جستجوی یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل، ابتدا مشتقات درجه متناظر برای جواب خاص نوشته شده (y=f(A,B,C,D)) را پیدا کنید که در معادله اصلی جایگزین می شوند. بعدی برای پیدا کردن متغیرهای A,B,C,Dیک سیستم معادلات تدوین شده است که با روش گاوس حل می شود.

کاربرد روش جردنو گاوس در برنامه ریزی خطی

AT برنامه ریزی خطیبه ویژه در روش سیمپلکس برای تبدیل جدول سیمپلکس در هر تکرار از قانون مستطیل استفاده می شود که از روش جردن-گاوس استفاده می کند.

1. سیستم خطی معادلات جبری

1.1 مفهوم سیستم معادلات جبری خطی

سیستم معادلات شرایطی است که شامل اجرای همزمان چندین معادله در چندین متغیر است. سیستم معادلات جبری خطی (که از این پس SLAE نامیده می شود) حاوی m معادلات و n مجهول سیستمی به شکل زیر است:

در جایی که اعداد a ij را ضرایب سیستم می نامند، اعداد b i اعضای آزاد هستند، aijو b i(i=1,…, m؛ b=1,…, n) برخی از اعداد شناخته شده هستند و x 1،…، x n- ناشناس. در علامت گذاری ضرایب aijشاخص اول i تعداد معادله را نشان می دهد و شاخص دوم j تعداد مجهولی است که این ضریب در آن قرار دارد. مشروط به یافتن عدد x n . نوشتن چنین سیستمی به شکل ماتریس فشرده راحت است: AX=B.در اینجا A ماتریس ضرایب سیستم است که ماتریس اصلی نامیده می شود.

بردار ستونی از xj مجهول است.
بردار ستونی از اعضای آزاد bi است.

حاصل ضرب ماتریس های A * X تعریف می شود، زیرا در ماتریس A به تعداد سطر در ماتریس X (n قطعه) ستون وجود دارد.

ماتریس توسعه یافته سیستم، ماتریس A سیستم است که با ستونی از اعضای آزاد تکمیل می شود

1.2 حل سیستم معادلات جبری خطی

راه حل یک سیستم معادلات مجموعه ای مرتب از اعداد (مقادیر متغیرها) است که هنگام جایگزینی آنها به جای متغیرها، هر یک از معادلات سیستم به یک برابری واقعی تبدیل می شود.

جواب سیستم n مقدار مجهولات x1=c1, x2=c2,…, xn=cn می باشد که جایگزین آن ها تمامی معادلات سیستم به برابری های واقعی تبدیل می شوند. هر راه حلی از سیستم را می توان به صورت ماتریس-ستون نوشت

سیستم معادلات اگر حداقل یک راه حل داشته باشد سازگار و اگر جواب نداشته باشد ناسازگار نامیده می شود.

سیستم مشترک اگر دارای یک راه حل منحصر به فرد باشد معین و اگر بیش از یک راه حل داشته باشد نامعین نامیده می شود. در حالت دوم، هر یک از راه حل های آن را یک راه حل خاص سیستم می نامند. به مجموعه تمام راه حل های خاص، راه حل کلی می گویند.

حل یک سیستم به معنای سازگاری یا ناسازگاری آن است. اگر سیستم سازگار است، راه حل کلی آن را پیدا کنید.

دو سیستم اگر راه حل کلی یکسانی داشته باشند معادل (معادل) نامیده می شوند. به عبارت دیگر، سیستم ها در صورتی معادل هستند که هر راه حل برای یکی از آنها راه حل دیگری باشد و بالعکس.

تبدیلی که اعمال آن یک سیستم را به یک سیستم جدید معادل با سیستم اصلی تبدیل می کند، تبدیل معادل یا معادل نامیده می شود. تبدیل‌های زیر می‌توانند به عنوان مثال‌هایی از تبدیل‌های معادل باشند: مبادله دو معادله سیستم، مبادله دو مجهول با ضرایب همه معادلات، ضرب هر دو قسمت هر معادله سیستم در یک عدد غیر صفر.

یک سیستم معادلات خطی همگن نامیده می شود که تمام جمله های آزاد برابر با صفر باشند:

یک سیستم همگن همیشه سازگار است، زیرا x1=x2=x3=…=xn=0 راه حلی برای سیستم است. این راه حل تهی یا بی اهمیت نامیده می شود.

2. روش حذف گاوسی

2.1 ماهیت روش حذف گاوسی

روش کلاسیک برای حل سیستم های معادلات جبری خطی روش حذف متوالی مجهولات است - روش گاوس(به آن روش حذف گاوسی نیز می گویند). این یک روش حذف متوالی متغیرها است، زمانی که با کمک تبدیل های ابتدایی، یک سیستم معادلات به یک سیستم معادل به شکل پلکانی (یا مثلثی) کاهش می یابد، که از آن همه متغیرهای دیگر به ترتیب یافت می شوند، با شروع از آخرین (براساس تعداد) متغیرها.

فرآیند حل گاوسی شامل دو مرحله است: حرکت به جلو و عقب.

1. حرکت مستقیم.

در مرحله اول، به اصطلاح حرکت مستقیم انجام می شود، زمانی که با استفاده از دگرگونی های اولیه روی ردیف ها، سیستم به شکل پلکانی یا مثلثی در می آید یا مشخص می شود که سیستم ناسازگار است. یعنی از بین عناصر ستون اول ماتریس، یک غیر صفر انتخاب می شود، با جایگشت سطرها به بالاترین موقعیت منتقل می شود و اولین ردیفی که پس از جایگشت به دست می آید از سطرهای باقی مانده کم می شود و آن را در یک ضرب می کنیم. مقدار برابر با نسبت عنصر اول هر یک از این ردیف ها به اولین عنصر ردیف اول است، بنابراین ستون زیر آن را صفر می کند.

پس از انجام تبدیل‌های مشخص‌شده، سطر اول و ستون اول به صورت ذهنی خط کشیده می‌شوند و تا زمانی که یک ماتریس با اندازه صفر باقی بماند ادامه می‌یابد. اگر در برخی از تکرارها در بین عناصر ستون اول یک غیر صفر یافت نشد، به ستون بعدی بروید و عملیات مشابهی را انجام دهید.

در مرحله اول (اجرای جلو)، سیستم به شکل پلکانی (به ویژه مثلثی) کاهش می یابد.

سیستم زیر به صورت مرحله ای است:

,

ضرایب aii عناصر اصلی (پیشرو) سیستم نامیده می شوند.

(اگر a11=0، ردیف های ماتریس را طوری مرتب کنید که آ 11 برابر 0 نبود. این همیشه ممکن است، زیرا در غیر این صورت ماتریس حاوی یک ستون صفر است، تعیین کننده آن برابر با صفر است و سیستم ناسازگار است).

ما سیستم را با حذف مجهول x1 در تمام معادلات به جز معادلات اول (با استفاده از تبدیل های ابتدایی سیستم) تبدیل می کنیم. برای انجام این کار، دو طرف معادله اول را در ضرب کنید

و ترم به ترم را با معادله دوم سیستم جمع کنید (یا از معادله دوم جمله به جمله اولی را در عدد کم می کنیم). سپس هر دو قسمت از معادله اول را در ضرب می کنیم و به معادله سوم سیستم اضافه می کنیم (یا اولینی را که در جمله سوم ضرب شده است کم می کنیم). بنابراین، ردیف اول را به صورت متوالی در یک عدد ضرب کرده و به آن اضافه می کنیم من-خط، برای i= 2, 3, …,n

با ادامه این فرآیند، سیستم معادل را دریافت می کنیم:

- مقادیر جدید ضرایب برای مجهولات و عبارات آزاد در آخرین معادلات m-1 سیستم که با فرمول تعیین می شود:

بنابراین، در مرحله اول، تمام ضرایب زیر اولین عنصر اصلی a 11 از بین می روند

0، مرحله دوم عناصر زیر دومین عنصر اصلی a 22 (1) (اگر 22 (1) 0 باشد) و غیره را از بین می برد. با ادامه این روند، در نهایت سیستم اصلی را در مرحله (m-1) به یک سیستم مثلثی کاهش می دهیم.

اگر در فرآیند کاهش سیستم به شکل گام به گام، معادلات صفر ظاهر شوند، یعنی. برابری‌های شکل 0=0، کنار گذاشته می‌شوند. اگر معادله ای از فرم وجود داشته باشد

این نشان دهنده ناسازگاری سیستم است.

این مسیر مستقیم روش گاوس را کامل می کند.

2. حرکت معکوس.

در مرحله دوم، به اصطلاح حرکت معکوس انجام می شود که ماهیت آن بیان تمام متغیرهای اساسی به دست آمده از نظر متغیرهای غیر اساسی و سازه است. سیستم بنیادیراه حل ها، یا اگر همه متغیرها پایه هستند، تنها راه حل سیستم معادلات خطی را به شکل عددی بیان کنید.

این روش با آخرین معادله شروع می شود، که از آن متغیر اصلی مربوطه بیان می شود (در آن فقط یکی است) و جایگزین معادلات قبلی می شود و به همین ترتیب از "پله ها" به بالا می رود.

هر خط دقیقاً با یک متغیر اساسی مطابقت دارد، بنابراین در هر مرحله، به جز آخرین (بالاترین)، وضعیت دقیقاً مورد خط آخر را تکرار می کند.

توجه: در عمل، راحت تر است که نه با سیستم، بلکه با ماتریس توسعه یافته آن کار کنید و تمام تبدیلات اولیه را در ردیف های آن انجام دهید. راحت است که ضریب a11 برابر با 1 باشد (معادلات را دوباره مرتب کنید یا هر دو طرف معادله را بر a11 تقسیم کنید).

2.2 نمونه هایی از حل SLAE با روش گاوس

در این بخش با استفاده از سه مثال مختلف نشان خواهیم داد که چگونه می توان از روش گاوسی برای حل SLAE استفاده کرد.

مثال 1. SLAE مرتبه 3 را حل کنید.

ضرایب را روی صفر قرار دهید

در خط دوم و سوم برای انجام این کار، آنها را به ترتیب در 2/3 و 1 ضرب کنید و به خط اول اضافه کنید:

روش گاوس که روش حذف متوالی مجهولات نیز نامیده می شود شامل موارد زیر است. با استفاده از تبدیل های ابتدایی، سیستم معادلات خطی به شکلی در می آید که ماتریس ضرایب آن معلوم می شود ذوزنقه ای (همان مثلثی یا پلکانی) یا نزدیک به ذوزنقه (مسیر مستقیم روش گاوس، سپس - فقط یک حرکت مستقیم). نمونه ای از چنین سیستمی و راه حل آن در شکل بالا نشان داده شده است.

در چنین سیستمی، آخرین معادله فقط شامل یک متغیر است و مقدار آن را می توان به طور منحصر به فرد یافت. سپس مقدار این متغیر به معادله قبلی ( معکوس گاوسی ، سپس - فقط یک حرکت معکوس)، که از آن متغیر قبلی پیدا می شود، و غیره.

همانطور که می بینیم در یک سیستم ذوزنقه ای (مثلثی)، معادله سوم دیگر دارای متغیر نیست. yو ایکس، و معادله دوم - متغیر ایکس .

پس از اینکه ماتریس سیستم به شکل ذوزنقه ای درآمد، دیگر مشکلی نیست که مسئله سازگاری سیستم را مرتب کنیم، تعداد راه حل ها را تعیین کنیم و خود راه حل ها را پیدا کنیم.

مزایای روش:

1. هنگام حل سیستم های معادلات خطی با بیش از سه معادله و مجهولات، روش گاوس به اندازه روش کرامر دشوار نیست، زیرا در هنگام حل روش گاوس به محاسبات کمتری نیاز است.
2. با استفاده از روش گاوس می توانید سیستم های نامحدود معادلات خطی را حل کنید، یعنی یک راه حل مشترک داشته باشید (و در این درس آنها را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد) و با استفاده از روش کرامر فقط می توانید بیان کنید که سیستم نامشخص است.
3. می توانید سیستم های معادلات خطی را حل کنید که در آنها تعداد مجهولات با تعداد معادلات برابر نیست (ما همچنین آنها را در این درس تجزیه و تحلیل خواهیم کرد).
4. این روش مبتنی بر روش های ابتدایی (مدرسه) است - روش جایگزینی مجهولات و روش اضافه کردن معادلات که در مقاله مربوطه به آنها اشاره کردیم.

برای اینکه همه با سادگی حل سیستم های ذوزنقه ای (مثلثی، پله ای) معادلات خطی آغشته شوند، حل چنین سیستمی را با استفاده از حرکت معکوس ارائه می کنیم. راه حل سریع این سیستم در تصویر ابتدای درس نشان داده شده است.

مثال 1حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از حرکت معکوس:

راه حل. در این سیستم ذوزنقه ای، متغیر zبه طور منحصر به فرد از معادله سوم یافت می شود. مقدار آن را جایگزین معادله دوم می کنیم و مقدار متغیر را بدست می آوریم y:

اکنون مقادیر دو متغیر را می دانیم - zو y. آنها را در معادله اول جایگزین می کنیم و مقدار متغیر را بدست می آوریم ایکس:

از مراحل قبل، حل سیستم معادلات را می نویسیم:

برای به دست آوردن چنین سیستم ذوزنقه ای از معادلات خطی، که ما آن را بسیار ساده حل کردیم، لازم است یک حرکت مستقیم مرتبط با تبدیل های اولیه سیستم معادلات خطی اعمال شود. همچنین خیلی سخت نیست.

تبدیل های ابتدایی یک سیستم معادلات خطی

با تکرار روش مکتبی جمع جبری معادلات سیستم، متوجه شدیم که می توان معادله دیگری از سیستم را به یکی از معادلات سیستم اضافه کرد و هر یک از معادلات را می توان در تعدادی اعداد ضرب کرد. در نتیجه سیستمی از معادلات خطی معادل معادله داده شده بدست می آوریم. در آن، یک معادله قبلاً فقط شامل یک متغیر بود که با جایگزینی مقدار آن با معادلات دیگر، به یک راه حل می رسیم. چنین افزودنی یکی از انواع دگرگونی ابتدایی سیستم است. هنگام استفاده از روش گاوس، می توانیم از چندین نوع تبدیل استفاده کنیم.

انیمیشن بالا نشان می دهد که چگونه سیستم معادلات به تدریج به یک سیستم ذوزنقه ای تبدیل می شود. یعنی همان چیزی که در همان اولین انیمیشن دیدید و مطمئن شدید که به راحتی می توانید مقادیر همه مجهولات را از آن پیدا کنید. نحوه انجام چنین تحولی و البته نمونه هایی بیشتر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

هنگام حل سیستم های معادلات خطی با هر تعداد معادله و مجهولات در سیستم معادلات و در ماتریس منبسط شده سیستم می توان:

1. خطوط مبادله (این در همان ابتدای این مقاله ذکر شد)؛
2. اگر در نتیجه تغییرات دیگر خطوط مساوی یا متناسب ظاهر شد، می توان آنها را حذف کرد، به جز یک.
3. سطرهای "تهی" را حذف کنید، جایی که همه ضرایب برابر با صفر هستند.
4. هر رشته ای را در یک عدد ضرب یا تقسیم کنید.
5. به هر خط یک خط دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنید.

در نتیجه تبدیل ها، سیستمی از معادلات خطی معادل معادله داده شده به دست می آوریم.

الگوریتم و مثال هایی از حل سیستم معادلات خطی با ماتریس مربع سیستم به روش گاوس

ابتدا حل سیستم های معادلات خطی را در نظر بگیرید که در آنها تعداد مجهولات برابر با تعداد معادلات است. ماتریس چنین سیستمی مربع است، یعنی تعداد سطرهای آن با تعداد ستون ها برابر است.

مثال 2حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش مدرسه، ترم به ترم یکی از معادلات را در عدد معینی ضرب کردیم، به طوری که ضرایب متغیر اول در دو معادله اعداد متضاد بودند. هنگام اضافه کردن معادلات، این متغیر حذف می شود. روش گاوس به روشی مشابه عمل می کند.

برای ساده کردن ظاهرراه حل ها ماتریس تقویت شده سیستم را بسازید:

در این ماتریس ضرایب مجهولات در سمت چپ قبل از میله عمودی و اعضای آزاد در سمت راست بعد از میله عمودی قرار دارند.

برای راحتی تقسیم ضرایب متغیرها (برای بدست آوردن تقسیم بر یک) ردیف اول و دوم ماتریس سیستم را با هم عوض کنید. ما یک سیستم معادل سیستم داده شده را به دست می آوریم، زیرا در سیستم معادلات خطی می توان معادلات را دوباره مرتب کرد:

با معادله اول جدید متغیر را حذف کنید ایکساز معادلات دوم و تمام معادلات بعدی. برای انجام این کار، ردیف اول ضرب شده در (در مورد ما در ) را به ردیف دوم ماتریس، و ردیف اول ضرب در (در مورد ما در) را به ردیف سوم اضافه کنید.

این امکان پذیر است زیرا

اگر بیش از سه معادله در سیستم ما وجود داشته باشد، باید خط اول را به تمام معادلات بعدی، ضرب در نسبت ضرایب مربوطه، با علامت منفی، اضافه کرد.

در نتیجه ماتریسی معادل سیستم داده شده بدست می آوریم سیستم جدیدمعادلات، که در آن تمام معادلات، با شروع از دوم شامل متغیر نیست ایکس :

برای ساده کردن ردیف دوم سیستم به دست آمده، آن را در ضرب می کنیم و دوباره ماتریس سیستم معادلات معادل این سیستم را بدست می آوریم:

حال، بدون تغییر اولین معادله سیستم حاصل، با استفاده از معادله دوم، متغیر را حذف می کنیم y از تمام معادلات بعدی برای انجام این کار، ردیف دوم ضرب در (در مورد ما، در) را به ردیف سوم ماتریس سیستم اضافه کنید.

اگر بیش از سه معادله در سیستم ما وجود داشته باشد، خط دوم باید به تمام معادلات بعدی، ضرب در نسبت ضرایب مربوطه، با علامت منفی، اضافه شود.

در نتیجه، ما دوباره ماتریس سیستم معادل سیستم معادلات خطی داده شده را بدست می آوریم:

ما یک سیستم ذوزنقه ای از معادلات خطی معادل معادله داده شده به دست آورده ایم:

اگر تعداد معادلات و متغیرها بیشتر از مثال ما باشد، فرآیند حذف متوالی متغیرها تا زمانی که ماتریس سیستم ذوزنقه ای شود، مانند نمونه آزمایشی ما ادامه می یابد.

ما راه حل را "از پایان" پیدا خواهیم کرد - معکوس. برای این از آخرین معادله ای که تعیین می کنیم z:
.
با جایگزینی این مقدار به معادله قبلی، پیدا کردن y:

از معادله اول پیدا کردن ایکس:

پاسخ: حل این سیستم معادلات - .

: در این صورت اگر سیستم راه حل منحصر به فردی داشته باشد، همین پاسخ داده می شود. اگر سیستم بی نهایت راه حل داشته باشد، جواب هم همینطور است و این موضوع قسمت پنجم این درس است.

خود سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش گاوس حل کنید و سپس به حل آن نگاه کنید

در مقابل ما دوباره نمونه ای از یک سیستم ثابت و معین از معادلات خطی است که در آن تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات است. تفاوت نمونه آزمایشی ما با الگوریتم این است که در حال حاضر چهار معادله و چهار مجهول وجود دارد.

مثال 4حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس:

حال باید از معادله دوم برای حذف متغیر از معادلات بعدی استفاده کنید. بیایید کارهای مقدماتی انجام دهیم. برای راحت تر کردن نسبت ضرایب، باید یک واحد در ستون دوم ردیف دوم دریافت کنید. برای این کار، ردیف سوم را از ردیف دوم کم کنید و ردیف دوم حاصل را در -1 ضرب کنید.

حال اجازه دهید حذف واقعی متغیر را از معادلات سوم و چهارم انجام دهیم. برای انجام این کار، دوم ضرب در، را به خط سوم، و دوم، ضرب در، به خط چهارم اضافه کنید.

حال با استفاده از معادله سوم، متغیر را از معادله چهارم حذف می کنیم. برای انجام این کار، به خط چهارم، سوم را ضرب در . ما یک ماتریس منبسط شده به شکل ذوزنقه می گیریم.

ما یک سیستم معادلات به دست آورده ایم که معادل سیستم داده شده است:

بنابراین، سیستم های حاصل و داده شده سازگار و قطعی هستند. ما راه حل نهایی را «از انتها» پیدا می کنیم. از معادله چهارم می توانیم مستقیماً مقدار متغیر "x fourth" را بیان کنیم:

این مقدار را جایگزین معادله سوم سیستم می کنیم و بدست می آوریم

,

,

در نهایت، جایگزینی ارزش

در معادله اول می دهد

,

جایی که ما ابتدا "x" را پیدا می کنیم:

پاسخ: این سیستم معادلات یک راه حل منحصر به فرد دارد. .

همچنین می توانید حل سیستم را روی ماشین حسابی که به روش کرامر حل می کند بررسی کنید: در این صورت اگر سیستم یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد، همین پاسخ داده می شود.

حل مسائل کاربردی با روش گاوس بر روی مثالی از یک مسئله برای آلیاژها

سیستم های معادلات خطی برای مدل سازی اشیاء واقعی دنیای فیزیکی استفاده می شود. بیایید یکی از این مشکلات را حل کنیم - برای آلیاژها. وظایف مشابه - وظایف مخلوط، هزینه یا وزن مخصوص کالاهای جداگانه در گروهی از کالاها و موارد مشابه.

مثال 5سه قطعه آلیاژ دارای جرم کلی 150 کیلوگرم است. آلیاژ اول حاوی 60٪ مس، دوم - 30٪، سوم - 10٪ است. در عین حال، در آلیاژهای دوم و سوم روی هم، مس 28.4 کیلوگرم کمتر از آلیاژ اول و در آلیاژ سوم، مس 6.2 کیلوگرم کمتر از آلیاژ دوم است. جرم هر قطعه آلیاژ را پیدا کنید.

راه حل. ما یک سیستم معادلات خطی می سازیم:

با ضرب معادله دوم و سوم در 10، یک سیستم معادل از معادلات خطی به دست می آوریم:

ماتریس توسعه یافته سیستم را می سازیم:

توجه، حرکت مستقیم. با جمع کردن (در مورد ما، تفریق) یک ردیف، ضرب در یک عدد (آن را دو بار اعمال می کنیم)، تبدیل های زیر با ماتریس منبسط شده سیستم رخ می دهد:

دویدن مستقیم به پایان رسیده است. ما یک ماتریس منبسط شده به شکل ذوزنقه به دست آوردیم.

از معکوس استفاده کنیم. ما از آخر راه حل پیدا می کنیم. ما آن را می بینیم.

از معادله دوم پیدا می کنیم

از معادله سوم -

همچنین می توانید حل سیستم را روی ماشین حسابی که به روش کرامر حل می کند بررسی کنید: در این صورت اگر سیستم یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد، همین پاسخ داده می شود.

سادگی روش گاوس را این واقعیت نشان می دهد که کارل فردریش گاوس، ریاضیدان آلمانی تنها 15 دقیقه برای اختراع آن زمان صرف کرده است. علاوه بر روش نام او، از کار گاوس، جمله "ما نباید آنچه را که برای ما باورنکردنی و غیرطبیعی به نظر می رسد با مطلقا غیرممکن اشتباه بگیریم" نوعی دستورالعمل کوتاه برای اکتشافات است.

در بسیاری از مسائل کاربردی ممکن است محدودیت سوم یعنی معادله سوم وجود نداشته باشد، سپس لازم است یک سیستم دو معادله با سه مجهول را با استفاده از روش گاوس حل کنیم یا برعکس مجهولات کمتر از معادلات باشد. اکنون ما شروع به حل چنین سیستم های معادلات می کنیم.

با استفاده از روش گاوس، می توانید تعیین کنید که آیا هر سیستمی سازگار یا ناسازگار است nمعادلات خطی با nمتغیرها

روش گاوس و سیستم های معادلات خطی با تعداد بی نهایت جواب

مثال بعدی یک سیستم منسجم اما نامعین از معادلات خطی است، یعنی دارای تعداد بی نهایت جواب است.

پس از انجام تبدیلات در ماتریس گسترش یافته سیستم (جایگزینی سطرها، ضرب و تقسیم سطرها بر تعداد معین، افزودن یک سطر به سطر دیگر)، سطرهای فرم

اگر در تمام معادلات دارای فرم

اعضای آزاد برابر با صفر هستند، به این معنی که سیستم نامشخص است، یعنی تعداد بی نهایت جواب دارد و معادلات از این نوع "زائد" هستند و از سیستم حذف می شوند.

مثال 6

راه حل. اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بسازیم. سپس با استفاده از معادله اول، متغیر را از معادلات بعدی حذف می کنیم. برای انجام این کار، به خط دوم، سوم و چهارم، اولین را به ترتیب ضرب کنید:

حالا بیایید ردیف دوم را به ردیف سوم و چهارم اضافه کنیم.

در نتیجه به سیستم می رسیم

دو معادله آخر به معادلات فرم تبدیل شده اند. این معادلات برای هر مقدار از مجهولات برآورده می شوند و می توان آنها را کنار گذاشت.

برای برآوردن معادله دوم، می‌توانیم مقادیر دلخواه را برای و انتخاب کنیم، سپس مقدار for به طور واضح تعیین می‌شود: . از معادله اول، مقدار for نیز به طور یکتا پیدا می شود: .

هر دو سیستم داده شده و آخرین سیستم سازگار اما نامعین هستند و فرمول ها

برای دلخواه و به ما همه راه حل های سیستم داده شده است.

روش گاوس و سیستم های معادلات خطی که هیچ جوابی ندارند

مثال زیر یک سیستم ناسازگار از معادلات خطی است، یعنی هیچ راه حلی ندارد. پاسخ به چنین مشکلاتی به شرح زیر است: سیستم هیچ راه حلی ندارد.

همانطور که قبلاً در رابطه با مثال اول ذکر شد، پس از انجام تبدیل در ماتریس گسترش یافته سیستم، خطوط شکل

مربوط به معادله ای از فرم است

اگر در بین آنها حداقل یک معادله با جمله آزاد غیر صفر (یعنی ) وجود داشته باشد، این سیستم معادلات ناسازگار است، یعنی هیچ راه حلی ندارد و این حل آن را کامل می کند.

مثال 7حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس:

راه حل. ماتریس توسعه یافته سیستم را می سازیم. با استفاده از معادله اول، متغیر را از معادلات بعدی حذف می کنیم. برای این کار، اولین ضرب در ردیف دوم، اولین ضرب در ردیف سوم و اولین ضرب در ردیف چهارم اضافه کنید.

حال باید از معادله دوم برای حذف متغیر از معادلات بعدی استفاده کنید. برای بدست آوردن نسبت های صحیح ضرایب، ردیف دوم و سوم ماتریس توسعه یافته سیستم را با هم عوض می کنیم.

برای حذف از معادلات سوم و چهارم، دومی را با ضرب در ردیف سوم و دومی را با ضرب در ردیف چهارم اضافه کنید.

حال با استفاده از معادله سوم، متغیر را از معادله چهارم حذف می کنیم. برای انجام این کار، به خط چهارم، سوم را ضرب در .

سیستم هدفبنابراین معادل موارد زیر است:

سیستم حاصل ناسازگار است، زیرا آخرین معادله آن را نمی توان با هیچ مقدار مجهول ارضا کرد. بنابراین این سیستم هیچ راه حلی ندارد.