एक मॉड्यूल युक्त असमानताओं को हल करना। अंतराल विधि एक मापांक के साथ असमानताओं को हल करने के लिए एक सार्वभौमिक विधि है

मॉड्यूल संख्यायदि यह गैर-ऋणात्मक है, या यदि यह ऋणात्मक है तो विपरीत चिह्न वाली समान संख्या को स्वयं कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, 6 का मापांक 6 है, और -6 का मापांक भी 6 है।

अर्थात्, किसी संख्या के मापांक को निरपेक्ष मान के रूप में समझा जाता है, इस संख्या का निरपेक्ष मान उसके चिह्न को ध्यान में रखे बिना।

निरूपित इस प्रकार है: |6|, | एक्स|, |एक| आदि।

(अधिक विवरण के लिए, "संख्या का मॉड्यूल" अनुभाग देखें)।

मोडुलो समीकरण।

उदाहरण 1 . प्रश्न हल करें|10 एक्स - 5| = 15.

समाधान.

नियम के अनुसार, समीकरण दो समीकरणों के संयोजन के बराबर है:

10एक्स - 5 = 15
10एक्स - 5 = -15

हमने निर्णय किया:

10एक्स = 15 + 5 = 20
10एक्स = -15 + 5 = -10

एक्स = 20: 10
एक्स = -10: 10

एक्स = 2
एक्स = -1

उत्तर: एक्स 1 = 2, एक्स 2 = -1.

उदाहरण 2 . प्रश्न हल करें|2 एक्स + 1| = एक्स + 2.

समाधान.

चूंकि मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, तो एक्स+ 2 0. तदनुसार:

एक्स ≥ -2.

हम दो समीकरण बनाते हैं:

2एक्स + 1 = एक्स + 2
2एक्स + 1 = -(एक्स + 2)

हमने निर्णय किया:

2एक्स + 1 = एक्स + 2
2एक्स + 1 = -एक्स - 2

2एक्स - एक्स = 2 - 1
2एक्स + एक्स = -2 - 1

एक्स = 1
एक्स = -1

दोनों संख्याएँ -2 से बड़ी हैं। अतः दोनों समीकरण के मूल हैं।

उत्तर: एक्स 1 = -1, एक्स 2 = 1.

उदाहरण 3 . प्रश्न हल करें

|एक्स + 3| - 1
————— = 4
एक्स - 1

समाधान.

समीकरण समझ में आता है अगर हर शून्य के बराबर नहीं है - तो अगर एक्स≠ 1. आइए इस शर्त को ध्यान में रखते हैं। हमारी पहली क्रिया सरल है - हम न केवल अंश से छुटकारा पाते हैं, बल्कि हम इसे इस तरह से रूपांतरित करते हैं कि मॉड्यूल को उसके शुद्धतम रूप में प्राप्त किया जा सके:

|एक्स+ 3| - 1 = 4 ( एक्स - 1),

|एक्स + 3| - 1 = 4एक्स - 4,

|एक्स + 3| = 4एक्स - 4 + 1,

|एक्स + 3| = 4एक्स - 3.

अब हमारे पास समीकरण के बाईं ओर मापांक के तहत केवल व्यंजक है। आगे बढ़ो।
किसी संख्या का मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है - अर्थात यह शून्य से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए। तदनुसार, हम असमानता को हल करते हैं:

4एक्स - 3 ≥ 0

4एक्स ≥ 3

एक्स ≥ 3/4

इस प्रकार, हमारे पास दूसरी शर्त है: समीकरण की जड़ कम से कम 3/4 होनी चाहिए।

नियम के अनुसार, हम दो समीकरणों का एक सेट बनाते हैं और उन्हें हल करते हैं:

एक्स + 3 = 4एक्स - 3
एक्स + 3 = -(4एक्स - 3)

एक्स + 3 = 4एक्स - 3
एक्स + 3 = -4एक्स + 3

एक्स - 4एक्स = -3 - 3
एक्स + 4एक्स = 3 - 3

एक्स = 2
एक्स = 0

हमें दो प्रतिक्रियाएं मिलीं। आइए देखें कि क्या वे मूल समीकरण के मूल हैं।

हमारे पास दो शर्तें थीं: समीकरण का मूल 1 के बराबर नहीं हो सकता है और यह कम से कम 3/4 होना चाहिए। वह है एक्स ≠ 1, एक्स 3/4। ये दोनों स्थितियां प्राप्त दो उत्तरों में से केवल एक के अनुरूप हैं - संख्या 2। इसलिए, केवल यह मूल समीकरण का मूल है।

उत्तर: एक्स = 2.

मापांक के साथ असमानताएँ।

उदाहरण 1 . असमानता को हल करें| एक्स - 3| < 4

समाधान.

मॉड्यूल नियम कहता है:

|एक| = एक, यदि एक ≥ 0.

|एक| = -एक, यदि एक < 0.

मापांक में एक गैर-ऋणात्मक और ऋणात्मक संख्या दोनों हो सकती हैं। इसलिए हमें दोनों मामलों पर विचार करना होगा: एक्स- 3 0 और एक्स - 3 < 0.

1) कब एक्स- 3 0 हमारी मूल असमानता जस की तस बनी हुई है, केवल मोडुलो चिह्न के बिना:
एक्स - 3 < 4.

2) कब एक्स - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(एक्स - 3) < 4.

कोष्ठक खोलने पर, हम प्राप्त करते हैं:

-एक्स + 3 < 4.

इस प्रकार, इन दो स्थितियों से, हम असमानताओं की दो प्रणालियों के मिलन पर आ गए हैं:

एक्स - 3 ≥ 0
एक्स - 3 < 4

एक्स - 3 < 0
-एक्स + 3 < 4

आइए उन्हें हल करें:

एक्स ≥ 3
एक्स < 7

एक्स < 3
एक्स > -1

तो, हमारे उत्तर में हमारे पास दो सेटों का मिलन है:

3 ≤ एक्स < 7 U -1 < एक्स < 3.

हम सबसे छोटा और निर्धारित करते हैं सबसे बड़ा मूल्य. ये -1 और 7 हैं। एक ही समय में एक्स-1 से बड़ा लेकिन 7 से कम
अलावा, एक्स 3. इसलिए, इन चरम संख्याओं को छोड़कर, असमानता का समाधान -1 से 7 तक की संख्याओं का पूरा सेट है।

उत्तर: -1 < एक्स < 7.

या: एक्स ∈ (-1; 7).

ऐड-ऑन.

1) हमारी असमानता को हल करने का एक सरल और छोटा तरीका है - ग्राफिकल। ऐसा करने के लिए, एक क्षैतिज अक्ष खींचें (चित्र 1)।

अभिव्यक्ति | एक्स - 3| < 4 означает, что расстояние от точки एक्सचार इकाइयों से 3 कम इंगित करने के लिए। हम अक्ष पर संख्या 3 अंकित करते हैं और इसके बाएँ और दाएँ भाग में 4 भाग गिनते हैं। बाईं ओर हम बिंदु -1 पर, दाईं ओर - बिंदु 7 पर आएंगे। इस प्रकार, बिंदु एक्सहमने उनकी गणना किए बिना ही देखा।

इसके अलावा, असमानता की स्थिति के अनुसार, -1 और 7 स्वयं समाधान के सेट में शामिल नहीं हैं। इस प्रकार, हमें उत्तर मिलता है:

1 < एक्स < 7.

2) लेकिन एक और उपाय है जो और भी आसान है ग्राफिक तरीका. ऐसा करने के लिए, हमारी असमानता को निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए:

4 < एक्स - 3 < 4.

आखिरकार, यह मॉड्यूल के नियम के अनुसार ऐसा ही है। गैर-ऋणात्मक संख्या 4 और समान ऋणात्मक संख्या -4 असमानता के समाधान की सीमाएँ हैं।

4 + 3 < एक्स < 4 + 3

1 < एक्स < 7.

उदाहरण 2 . असमानता को हल करें| एक्स - 2| ≥ 5

समाधान.

यह उदाहरण पिछले वाले से काफी अलग है। बाईं ओर 5 से बड़ा या 5 के बराबर है। C ज्यामितीय बिंदुदेखें, असमानता का हल वे सभी संख्याएँ हैं जो बिंदु 2 से 5 इकाई या उससे अधिक की दूरी पर हैं (चित्र 2)। ग्राफ से पता चलता है कि ये सभी संख्याएँ हैं जो -3 से कम या बराबर हैं और 7 से अधिक या बराबर हैं। तो, हमें पहले ही उत्तर मिल गया है।

उत्तर: -3 ≥ एक्स ≥ 7.

रास्ते में, हम समान असमानता को विपरीत चिह्न के साथ बाएँ और दाएँ मुक्त पद को पुनर्व्यवस्थित करके हल करते हैं:

5 ≥ एक्स - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ एक्स ≥ 5 + 2

उत्तर एक ही है: -3 एक्स ≥ 7.

या: एक्स ∈ [-3; 7]

उदाहरण हल किया।

उदाहरण 3 . असमानता को हल करें 6 एक्स 2 - | एक्स| - 2 ≤ 0

समाधान.

संख्या एक्ससकारात्मक, नकारात्मक या शून्य हो सकता है। इसलिए, हमें तीनों परिस्थितियों को ध्यान में रखना होगा। जैसा कि आप जानते हैं, उन्हें दो असमानताओं में ध्यान में रखा जाता है: एक्स 0 और एक्स < 0. При एक्स 0, हम केवल अपनी मूल असमानता को फिर से लिखते हैं, जैसा कि केवल मॉड्यूलो चिह्न के बिना है:

6x 2 - एक्स - 2 ≤ 0.

अब दूसरे मामले के लिए: if एक्स < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6एक्स 2 - (-एक्स) - 2 ≤ 0.

कोष्ठक का विस्तार:

6एक्स 2 + एक्स - 2 ≤ 0.

इस प्रकार, हमें समीकरणों की दो प्रणालियाँ प्राप्त हुई हैं:

6एक्स 2 - एक्स - 2 ≤ 0
एक्स ≥ 0

6एक्स 2 + एक्स - 2 ≤ 0
एक्स < 0

हमें प्रणालियों में असमानताओं को हल करने की आवश्यकता है - जिसका अर्थ है कि हमें दो द्विघात समीकरणों की जड़ों को खोजने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम असमानताओं के बाएं हाथ के पक्षों को शून्य के बराबर करते हैं।

आइए पहले वाले से शुरू करें:

6एक्स 2 - एक्स - 2 = 0.

द्विघात समीकरण को कैसे हल करें - "क्वाड्रिक समीकरण" अनुभाग देखें। हम तुरंत उत्तर का नाम देंगे:

एक्स 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3।

असमानताओं की पहली प्रणाली से, हम पाते हैं कि मूल असमानता का समाधान -1/2 से 2/3 तक की संख्याओं का पूरा सेट है। हम समाधान के संघ के लिए लिखते हैं एक्स ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

अब दूसरे द्विघात समीकरण को हल करते हैं:

6एक्स 2 + एक्स - 2 = 0.

इसकी जड़ें:

एक्स 1 = -2/3, एक्स 2 = 1/2.

निष्कर्ष: कब एक्स < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

आइए दो उत्तरों को मिलाएं और अंतिम उत्तर प्राप्त करें: समाधान इन चरम संख्याओं सहित -2/3 से 2/3 तक की संख्याओं का पूरा सेट है।

उत्तर: -2/3 ≤ एक्स ≤ 2/3.

या: एक्स ∈ [-2/3; 2/3].

समझौता ज्ञापन "ख्वास्तोविचस्काया" माध्यमिक स्कूल»

"कई मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए अंतराल की विधि"

गणित में अनुसंधान कार्य

प्रदर्शन किया:

10 "बी" कक्षा के छात्र

गोलिशेवा एवगेनिया

पर्यवेक्षक:

गणित शिक्षक

शापेंस्काया ई.एन.

परिचय ………………………………………………………………………………… .3 अध्याय 1. कई मॉड्यूल के साथ समस्याओं को हल करने के तरीके …………… ………………..4 1.1 मॉड्यूल की परिभाषा। परिभाषा के अनुसार हल करना…………………………………………………………………4 1.2 अंतराल की विधि का उपयोग करके कई मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करना ……………… …………5 1.3। एकाधिक मॉड्यूल के साथ कार्य। समाधान के तरीके …………………………………….7 1.4। मॉड्यूल के साथ समस्याओं में अंतराल की विधि …………………………………………… 9 अध्याय 2। मॉड्यूल युक्त समीकरण और असमानताएँ …………………………… ……. 11 2.1 अंतराल विधि का उपयोग करके कई मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करना …….11 2.2 अंतराल विधि का उपयोग करके कई मॉड्यूल के साथ असमानताओं को हल करना।…13 निष्कर्ष …………………………………… ……………………………………15 साहित्य ……………………………………………………………………। 16

परिचय

निरपेक्ष मूल्य की अवधारणा वास्तविक और क्षेत्र दोनों में किसी संख्या की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक है जटिल आंकड़े. इस अवधारणा का व्यापक रूप से न केवल स्कूल गणित पाठ्यक्रम के विभिन्न वर्गों में, बल्कि विश्वविद्यालयों में अध्ययन किए गए उच्च गणित, भौतिकी और तकनीकी विज्ञान के पाठ्यक्रमों में भी उपयोग किया जाता है। निरपेक्ष मूल्यों से संबंधित समस्याएं अक्सर सामने आती हैं गणितीय ओलंपियाड, विश्वविद्यालयों में प्रवेश परीक्षा और परीक्षा।

विषय:"अंतराल विधि द्वारा कई मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए अंतराल विधि"।

उद्देश्य क्षेत्र:गणित।

अध्ययन की वस्तु:मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं का समाधान।

अध्ययन का विषय:बहु-मॉड्यूल समाधान के लिए अंतराल विधि।

अध्ययन का उद्देश्य:अंतराल विधि द्वारा कई मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने की दक्षता प्रकट करें।

परिकल्पना:यदि आप कई मॉड्यूल के साथ असमानताओं और समीकरणों को हल करने के लिए अंतराल विधि का उपयोग करते हैं, तो आप अपने काम को बहुत सुविधाजनक बना सकते हैं।

काम करने के तरीके:जानकारी का संग्रह और उसका विश्लेषण।

कार्य:

इस विषय पर साहित्य का अध्ययन करें।

कई मॉड्यूल के साथ असमानताओं और समीकरणों के समाधान पर विचार करें।

सबसे अधिक प्रकट करें प्रभावी तरीकासमाधान।

परियोजना का व्यावहारिक अभिविन्यास:

इस काम के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है अध्ययन गाइडछात्रों के लिए और कार्यप्रणाली मैनुअलशिक्षक के लिए।

अध्याय 1।

1.1 मॉड्यूल की परिभाषा। परिभाषा के अनुसार समाधान।

परिभाषा के अनुसार, गैर-ऋणात्मक संख्या का मापांक, या निरपेक्ष मान, संख्या के समान ही होता है, और ऋणात्मक संख्या का मापांक विपरीत संख्या के बराबर होता है, अर्थात a:

किसी संख्या का मापांक हमेशा ऋणात्मक नहीं होता है। उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1समीकरण को हल करें |–x| = -3।

यहां, मामलों का विश्लेषण करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि संख्या का निरपेक्ष मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, जिसका अर्थ है कि इस समीकरण का कोई समाधान नहीं है।

आइए इन सरलतम समीकरणों का हल लिखें सामान्य दृष्टि से:

उदाहरण 2समीकरण को हल करें |x| = 2 - एक्स।

समाधान। x 0 के लिए हमारे पास समीकरण x = 2 - x है, अर्थात्। x = 1. चूँकि 1 0, x = 1 मूल समीकरण का मूल है। दूसरे मामले में (x

उत्तर: एक्स = 1।

उदाहरण 3समीकरण हल करें 3|x - 3| + एक्स = -1।

समाधान। यहाँ मामलों में विभाजन x - 3 के चिह्न द्वारा निर्धारित किया जाता है। x - 3 0 के लिए हमारे पास 3x - 9 + x = -1 Û x = 2 है। लेकिन 2 - 3 0।

उत्तर: समीकरण का कोई मूल नहीं है।

उदाहरण 4समीकरण को हल करें |x – 1| = 1 - एक्स।

समाधान। चूंकि 1 - x \u003d - (x - 1), यह सीधे मॉड्यूल की परिभाषा से अनुसरण करता है कि वे और केवल वे x जिनके लिए x - 1 0 समीकरण को संतुष्ट करते हैं। यह समीकरण एक असमानता में कम हो गया है, और उत्तर एक संपूर्ण अंतराल (किरण) है।

उत्तर: एक्स 1।

1.2. सिस्टम का उपयोग करके मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करना।

पहले विश्लेषण किए गए उदाहरण हमें समीकरणों में मापांक चिह्न से छूट के लिए नियम बनाने की अनुमति देते हैं। फॉर्म के समीकरणों के लिए |f(x)| = g(x) ऐसे दो नियम हैं:

पहला नियम: |f(x)| = जी (एक्स) डब्ल्यू (1)
दूसरा नियम: |f(x)| = जी (एक्स) Û (2)

आइए हम यहां इस्तेमाल किए गए नोटेशन की व्याख्या करें। घुंघराले कोष्ठक सिस्टम को दर्शाते हैं, और वर्ग कोष्ठक संग्रह को दर्शाते हैं।

समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान एक चर के मान हैं जो एक साथ सिस्टम के सभी समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।

समीकरणों के समुच्चय के समाधान चर के सभी मान हैं, जिनमें से प्रत्येक समुच्चय के कम से कम एक समीकरण का मूल है।

दो समीकरण समतुल्य होते हैं यदि उनमें से प्रत्येक का कोई भी हल दूसरे का भी हल हो, दूसरे शब्दों में, यदि उनके समाधान के समुच्चय समान हों।

यदि समीकरण में कई मॉड्यूल हैं, तो आप उपरोक्त नियमों का उपयोग करके बदले में उनसे छुटकारा पा सकते हैं। लेकिन आमतौर पर शॉर्टकट होते हैं। हम उनसे बाद में परिचित होंगे, लेकिन अब हम इनमें से सबसे सरल समीकरणों के हल पर विचार करेंगे:

|एफ(एक्स)| = |जी(एक्स)| यू

यह तुल्यता इस स्पष्ट तथ्य का अनुसरण करती है कि यदि दो संख्याओं के गुणांक समान हैं, तो संख्याएँ स्वयं या तो बराबर या विपरीत होती हैं।

उदाहरण 1. समीकरण को हल करें |x 2 - 7x + 11| = एक्स + 1।
समाधान। आइए ऊपर वर्णित दो तरीकों से मॉड्यूल से छुटकारा पाएं:

1 रास्ता: 2 रास्ता:

जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों ही मामलों में समान दो द्विघात समीकरणों को हल करना आवश्यक है, लेकिन पहले मामले में उनके साथ हैं वर्ग असमानताएं, और दूसरे में - रैखिक। इसलिए, इस समीकरण के लिए दूसरी विधि सरल है। द्विघात समीकरणों को हल करते हुए, हम पहले की जड़ें पाते हैं, दोनों जड़ें असमानता को संतुष्ट करती हैं। दूसरे समीकरण का विवेचक ऋणात्मक है, इसलिए समीकरण का कोई मूल नहीं है।

उत्तर: ।
उदाहरण 2. समीकरण को हल करें |x 2 - x - 6| = |2x2 + x - 1|।

समाधान। हम पहले से ही जानते हैं कि मॉड्यूल के तहत अभिव्यक्ति के संकेतों के वितरण के वेरिएंट (जितने 4 तक) पर विचार करना आवश्यक नहीं है: यह समीकरण बिना किसी अतिरिक्त असमानता के दो द्विघात समीकरणों के सेट के बराबर है: जो इसके बराबर है: पहला समीकरण के समाधान का कोई सेट नहीं है (इसका विवेचक ऋणात्मक है), दूसरे समीकरण के दो मूल हैं।

1.3. एकाधिक मॉड्यूल के साथ कार्य। समाधान के तरीके।

मॉड्यूल का क्रमिक विस्तार।

कई मॉड्यूल वाले समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए दो मुख्य दृष्टिकोण हैं। आप उन्हें "धारावाहिक" और "समानांतर" कह सकते हैं। अब आइए उनमें से पहले से परिचित हों।

उनका विचार यह है कि पहले मॉड्यूल में से एक को समीकरण (या असमानता) के एक हिस्से में अलग किया जाता है और पहले वर्णित विधियों में से एक द्वारा प्रकट किया जाता है। फिर मॉड्यूल के साथ परिणामी समीकरणों में से प्रत्येक के साथ एक ही बात दोहराई जाती है, और इसी तरह जब तक हम सभी मॉड्यूल से छुटकारा नहीं पाते।

उदाहरण 1।समीकरण हल करें: +

समाधान। हम दूसरे मॉड्यूल को अलग करते हैं और इसे पहली विधि का उपयोग करके खोलते हैं, अर्थात, केवल निरपेक्ष मान निर्धारित करके:

हम प्राप्त दो समीकरणों के लिए मॉड्यूल से मुक्ति की दूसरी विधि लागू करते हैं:

अंत में, हम परिणामी चार को हल करते हैं रेखीय समीकरणऔर उन मूलों का चयन करें जो संगत असमानताओं को संतुष्ट करते हैं। परिणामस्वरूप, केवल दो मान रह जाते हैं: x = -1 और .

उत्तर 1; .

मॉड्यूल का समानांतर विस्तार।

आप एक समीकरण या असमानता में सभी मॉड्यूल को एक साथ हटा सकते हैं और सबमॉड्यूल अभिव्यक्तियों के संकेतों के सभी संभावित संयोजनों को लिख सकते हैं। यदि समीकरण में n मॉड्यूल हैं, तो 2 n विकल्प होंगे, क्योंकि मॉड्यूल के तहत प्रत्येक n अभिव्यक्ति, मॉड्यूल को हटाते समय, दो संकेतों में से एक प्राप्त कर सकती है - प्लस या माइनस। मूल रूप से, हमें मॉड्यूल से मुक्त सभी 2 n समीकरणों (या असमानताओं) को हल करने की आवश्यकता है। लेकिन उनका समाधान भी मूल समस्या का समाधान तभी होगा जब वे उन क्षेत्रों में हों जहां संबंधित समीकरण (असमानता) मूल के साथ मेल खाता हो। इन क्षेत्रों को मॉड्यूल के तहत अभिव्यक्ति संकेतों द्वारा परिभाषित किया गया है। हमने निम्नलिखित असमानता को पहले ही हल कर लिया है, इसलिए आप समाधान के विभिन्न तरीकों की तुलना कर सकते हैं।

उदाहरण 2.+
समाधान।

आइए मॉड्यूल के तहत भावों के 4 संभावित वर्ण सेटों पर विचार करें।

इनमें से केवल पहली और तीसरी जड़ें संबंधित असमानताओं को संतुष्ट करती हैं, और इसलिए मूल समीकरण।

उत्तर 1; .

इसी तरह, आप कई मॉड्यूल के साथ किसी भी समस्या को हल कर सकते हैं। लेकिन सभी की तरह सार्वभौमिक विधि, यह समाधान हमेशा इष्टतम नहीं होता है। नीचे हम देखेंगे कि इसे कैसे सुधारा जा सकता है।

1.4. मॉड्यूल के साथ समस्याओं में अंतराल की विधि

परिस्थितियों को और करीब से देख रहे हैं विभिन्न प्रकारपिछले समाधान में सबमॉड्यूल अभिव्यक्तियों के संकेतों का वितरण, हम देखेंगे कि उनमें से एक, 1 - 3x

कल्पना कीजिए कि हम एक समीकरण को हल कर रहे हैं जिसमें रैखिक व्यंजकों के तीन मापांक हैं; उदाहरण के लिए, |x - a| + |x - बी| + |x - सी| = एम.

पहला मापांक x a के लिए x - a और x b और x . के लिए a - x है

वे चार अंतराल बनाते हैं। उनमें से प्रत्येक पर, मॉड्यूल के तहत प्रत्येक अभिव्यक्ति अपना संकेत बरकरार रखती है, इसलिए, मॉड्यूल का विस्तार करने के बाद, समग्र रूप से समीकरण, प्रत्येक अंतराल पर एक ही रूप में होता है। तो, मॉड्यूल खोलने के लिए सैद्धांतिक रूप से संभावित 8 विकल्पों में से, केवल 4 हमारे लिए पर्याप्त निकले!

आप कई मॉड्यूल के साथ किसी भी समस्या का समाधान भी कर सकते हैं। अर्थात्, संख्यात्मक अक्ष को मॉड्यूल के तहत सभी अभिव्यक्तियों के निरंतर संकेत के अंतराल में विभाजित किया जाता है, और फिर उनमें से प्रत्येक पर समीकरण या असमानता हल हो जाती है, जिसमें दी गई समस्या इस अंतराल पर बदल जाती है। विशेष रूप से, यदि मॉड्यूल के तहत सभी अभिव्यक्ति तर्कसंगत हैं, तो यह धुरी पर अपनी जड़ों को चिह्नित करने के लिए पर्याप्त है, साथ ही उन बिंदुओं पर जहां उन्हें परिभाषित नहीं किया गया है, यानी उनके हर की जड़ें। चिह्नित अंक और संकेत स्थिरता के आवश्यक अंतराल निर्धारित करें। उसी तरह, हम अंतराल की विधि द्वारा तर्कसंगत असमानताओं को हल करते समय कार्य करते हैं। और मॉड्यूल के साथ समस्याओं को हल करने के लिए हमने जिस विधि का वर्णन किया है उसका एक ही नाम है।

उदाहरण 1. प्रश्न हल करें।

समाधान। फ़ंक्शन के शून्य खोजें, जहां से। हम प्रत्येक अंतराल पर समस्या का समाधान करते हैं:

अतः इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

उदाहरण 2. प्रश्न हल करें।

समाधान। फ़ंक्शन के शून्य खोजें। हम प्रत्येक अंतराल पर समस्या का समाधान करते हैं:

1) (कोई समाधान नहीं);

उदाहरण 3. प्रश्न हल करें।

समाधान। एब्सोल्यूट वैल्यू साइन के तहत एक्सप्रेशन गायब हो जाते हैं। तदनुसार, हमें तीन मामलों पर विचार करने की आवश्यकता है:

2) - समीकरण की जड़;

3) इस समीकरण का मूल है।

अध्याय 2. मॉड्यूल युक्त समीकरण और असमानताएं।

2.1 अंतराल की विधि का उपयोग करके कई मॉड्यूल वाले समीकरणों के समाधान।

उदाहरण 1

प्रश्न हल करें:

|x+2| = |x-1|+x-3

-(x+2) = -(x-1) + x-3

एक्स-2=-एक्स+1+एक्स-3

x=2 - संतुष्ट नहीं करता

शर्त x

कोई समाधान नहीं

2. यदि -2≤x

x+2 = -(x-1)+x-3

संतुष्ट

शर्त -2

3. यदि x≥1, तो

उत्तर: x=6

उदाहरण 2

प्रश्न हल करें:

1) सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन के शून्य खोजें

सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन के शून्य संख्यात्मक अक्ष को कई अंतरालों में तोड़ते हैं। इन अंतरालों पर सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन के संकेतों को व्यवस्थित करें।

प्रत्येक अंतराल पर, हम मॉड्यूल खोलते हैं और परिणामी समीकरण को हल करते हैं। रूट खोजने के बाद, हम जांचते हैं कि यह उस अंतराल से संबंधित है जिस पर हम वर्तमान में काम कर रहे हैं।

1. :

- फिट बैठता है।

2. :

- योग्य नहीं।

3. :

– फिट बैठता है।

4. :

- योग्य नहीं। उत्तर:

2.2 अंतराल विधि का उपयोग करके कई मॉड्यूल के साथ असमानताओं को हल करना।

उदाहरण 1

असमानता को हल करें:

|x-1| + |x-3| चार

-(x-1) - (x-3) 4

2. यदि 1≤x

x-1– (x-3) 4

24 गलत है

कोई समाधान नहीं

3. यदि x≥3, तो

उत्तर: xЄ (-∞; 0) यू (4; + )

उदाहरण 2

आइए असमानता को हल करें

समाधान। डॉट्स और (मॉड्यूल के तहत भावों की जड़ें) संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं, जिनमें से प्रत्येक पर मॉड्यूल का विस्तार किया जाना चाहिए।

1) जब संतुष्ट होता है, और असमानता का रूप होता है, अर्थात। इस मामले में, जवाब है।

2) जब , असमानता का रूप होता है, अर्थात। यह असमानता चर के किसी भी मान के लिए सही है, और, यह देखते हुए कि हम इसे सेट पर हल करते हैं, हमें दूसरे मामले में उत्तर मिलता है।

3) जब, असमानता को बदल दिया जाता है, और इस मामले में समाधान है। सामान्य निर्णयअसमानताओं --- एक संस्थातीन प्रतिक्रियाएँ प्राप्त हुई।

इस प्रकार, कई मॉड्यूल वाले समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए, अंतराल विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है। ऐसा करने के लिए, आपको सभी सबमॉड्यूलर कार्यों के शून्य को खोजने की जरूरत है, उन्हें समीकरणों और असमानताओं के डीडीई पर निरूपित करें।

निष्कर्ष

पर हाल के समय मेंगणित में, समस्याओं के समाधान को सरल बनाने के लिए विधियों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से अंतराल विधि, जिससे गणनाओं में काफी तेजी लाना संभव हो जाता है। इसलिए, कई मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए अंतराल विधि का अध्ययन प्रासंगिक है।

"अंतराल विधि द्वारा मापांक चिह्न के तहत अज्ञात युक्त समीकरणों और असमानताओं को हल करने" विषय पर काम करने की प्रक्रिया में, मैंने: इस मुद्दे पर साहित्य का अध्ययन किया, समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए बीजीय और चित्रमय दृष्टिकोण से परिचित हुआ। मापांक चिह्न के तहत अज्ञात, और निष्कर्ष पर पहुंचे:

कुछ मामलों में, मापांक के साथ समीकरणों को हल करते समय, नियमों के अनुसार समीकरणों को हल करना संभव है, और कभी-कभी अंतराल विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है।

मापांक वाले समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय, अंतराल विधि अधिक दृश्य और अपेक्षाकृत सरल होती है।

लिखने के क्रम में अनुसंधान कार्यमैंने कई समस्याओं का खुलासा किया है जिन्हें अंतराल विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। सबसे महत्वपूर्ण कार्य कई मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करना है।

अंतराल विधि का उपयोग करके कई मॉड्यूल के साथ असमानताओं और समीकरणों को हल करने के अपने काम के दौरान, मैंने पाया कि समस्याओं को हल करने की गति दोगुनी हो गई है। यह आपको वर्कफ़्लो में काफी तेजी लाने और समय की लागत को कम करने की अनुमति देता है। इस प्रकार, मेरी परिकल्पना "यदि आप कई मॉड्यूल के साथ असमानताओं और समीकरणों को हल करने के लिए अंतराल विधि का उपयोग करते हैं, तो आप अपने काम को बहुत सुविधाजनक बना सकते हैं" की पुष्टि की गई थी। अध्ययन पर काम करने की प्रक्रिया में, मुझे कई मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने का अनुभव प्राप्त हुआ। मुझे लगता है कि मैंने जो ज्ञान प्राप्त किया है वह मुझे हल करते समय गलतियों से बचने की अनुमति देगा।

साहित्य

http://padabum.com

http://yukhym.com
http://www.tutoronline.ru
http://fizmat.by
http://diffur.kemsu.ru
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मापांक वाली असमानताओं को हल करने के कई तरीके हैं। आइए उनमें से कुछ पर विचार करें।

1) मॉड्यूल की ज्यामितीय संपत्ति का उपयोग करके असमानता को हल करना।

मैं आपको याद दिलाता हूं कि क्या है ज्यामितीय गुणमापांक: x का मापांक मूल बिंदु से x-निर्देशांक तक की दूरी है।

इस तरह से असमानताओं को हल करने के क्रम में, 2 मामले सामने आ सकते हैं:

1. |x| बी,

और मापांक के साथ असमानता स्पष्ट रूप से दो असमानताओं की एक प्रणाली को कम कर देती है। यहां संकेत सख्त हो सकता है, जिस स्थिति में चित्र में बिंदु "छिद्रित" होंगे।

2. |x| बी,तो समाधान की तस्वीर इस तरह दिखती है:

और मापांक के साथ असमानता स्पष्ट रूप से दो असमानताओं के सेट तक कम हो जाती है। यहां संकेत सख्त हो सकता है, जिस स्थिति में चित्र में बिंदु "छिद्रित" होंगे।

उदाहरण 1

असमानता को हल करें |4 - |x|| ≥ 3.

समाधान।

यह असमानता निम्नलिखित सेट के बराबर है:

यू [-1;1] यू

उदाहरण 2

असमानता को हल करें ||x+2| - 3| ≤ 2.

समाधान।

यह असमानता निम्नलिखित प्रणाली के बराबर है।

(|x + 2| – 3 -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| 1
(|x + 2| 5.

हम सिस्टम की पहली असमानता को अलग से हल करते हैं। यह निम्नलिखित सेट के बराबर है:

यू [-1; 3]।

2) मॉड्यूल की परिभाषा का उपयोग करके असमानताओं को हल करना।

शुरू करने के लिए मैं आपको याद दिला दूं मॉड्यूल परिभाषा।

|ए| = एक अगर एक ≥ 0 और |ए| = -ए अगर ए< 0.

उदाहरण के लिए, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

उदाहरण 1

असमानता को हल करें 3|x – 1| ≤ एक्स + 3.

समाधान।

मॉड्यूल परिभाषा का उपयोग करते हुए, हमें दो सिस्टम मिलते हैं:

(एक्स - 1 0
(3(एक्स – 1) एक्स + 3

(एक्स - 1< 0
(-3(एक्स -1) एक्स + 3.

पहली और दूसरी प्रणालियों को अलग-अलग हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

(एक्स 1
(एक्स 3,

(एक्स< 1
(एक्स 0.

मूल असमानता का समाधान पहली प्रणाली के सभी समाधान और दूसरी प्रणाली के सभी समाधान होंगे।

उत्तर: एक्स €।

3) असमानताओं को वर्ग करके हल करना।

उदाहरण 1

असमानता को हल करें |x 2 - 1|< | x 2 – x + 1|.

समाधान।

आइए असमानता के दोनों पक्षों को वर्गाकार करें। मैं ध्यान देता हूं कि असमानता के दोनों पक्षों को चुकता करना तभी संभव है जब वे दोनों सकारात्मक हों। इस मामले में, हमारे पास बाएँ और दाएँ दोनों तरफ मॉड्यूल हैं, इसलिए हम ऐसा कर सकते हैं।

(|x 2 - 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

अब निम्नलिखित मॉड्यूल गुण का उपयोग करते हैं: (|x|) 2 = x 2 ।

(एक्स 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(एक्स 2 - 1) 2 - (एक्स 2 - एक्स + 1) 2< 0.

(एक्स 2 - 1 - एक्स 2 + एक्स - 1) (एक्स 2 - 1 + एक्स 2 - एक्स + 1)< 0,

(एक्स - 2)(2x 2 - एक्स)< 0,

एक्स (एक्स - 2) (2x - 1)< 0.

हम अंतराल विधि द्वारा हल करते हैं।

उत्तर: x € (-∞; 0) यू (1/2; 2)

4) चर विधि के परिवर्तन द्वारा असमानताओं को हल करना।

उदाहरण।

असमानता को हल करें (2x + 3) 2 - |2x + 3| ≤ 30.

समाधान।

ध्यान दें कि (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 । तब हमें असमानता मिलती है

(|2x + 3|) 2 - |2x + 3| 30.

आइए परिवर्तन करें y = |2x + 3|।

आइए हम प्रतिस्थापन को ध्यान में रखते हुए अपनी असमानता को फिर से लिखें।

वाई 2 - वाई 30,

वाई 2 - वाई - 30 ≤ 0।

हम बाईं ओर वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करते हैं।

y1 = (1 + 11)/2,

y2 = (1 - 11)/2,

(वाई - 6) (वाई + 5) 0.

हम अंतराल विधि द्वारा हल करते हैं और प्राप्त करते हैं:

प्रतिस्थापन पर वापस:

5 |2x + 3| 6.

यह दोहरी असमानता असमानताओं की प्रणाली के बराबर है:

(|2x + 3| 6
(|2x + 3| -5।

हम प्रत्येक असमानता को अलग से हल करते हैं।

पहला सिस्टम के बराबर है

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 -6।

आइए इसे हल करें।

(एक्स 1.5
(एक्स -4.5.

दूसरी असमानता स्पष्ट रूप से सभी x के लिए है, क्योंकि मापांक, परिभाषा के अनुसार, एक सकारात्मक संख्या है। चूंकि सिस्टम का समाधान सभी x है जो एक साथ सिस्टम की पहली और दूसरी असमानता को संतुष्ट करता है, तो मूल प्रणाली का समाधान इसकी पहली दोहरी असमानता का समाधान होगा (आखिरकार, दूसरा सभी x के लिए सत्य है)।

उत्तर: x € [-4.5; 1.5]।

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मॉड्यूल के साथ असमानताओं को प्रकट करने के तरीके (नियम) मॉड्यूल के अनुक्रमिक प्रकटीकरण में शामिल हैं, जबकि सबमॉड्यूल कार्यों के निरंतर संकेत के अंतराल का उपयोग करते हैं। अंतिम संस्करण में, कई असमानताएँ प्राप्त की जाती हैं जिनसे वे अंतराल या अंतराल पाते हैं जो समस्या की स्थिति को संतुष्ट करते हैं।

आइए उन उदाहरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं जो व्यवहार में आम हैं।

मॉड्यूल के साथ रैखिक असमानताएं

रैखिक से हमारा तात्पर्य उन समीकरणों से है जिनमें चर रैखिक रूप से समीकरण में प्रवेश करता है।

उदाहरण 1. असमानता का समाधान खोजें

समाधान:
यह समस्या की स्थिति से निम्नानुसार है कि मॉड्यूल x = -1 और x = -2 पर शून्य में बदल जाते हैं। ये बिंदु संख्यात्मक अक्ष को अंतराल में विभाजित करते हैं

इनमें से प्रत्येक अंतराल में, हम दी गई असमानता को हल करते हैं। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, हम सबमॉड्यूलर कार्यों के निरंतर संकेत के क्षेत्रों के ग्राफिक चित्र बनाते हैं। उन्हें प्रत्येक कार्य के संकेतों वाले क्षेत्रों के रूप में दर्शाया गया है।

या सभी कार्यों के संकेतों के साथ अंतराल।

पहले अंतराल पर, मॉड्यूल खोलें

हम दोनों भागों को माइनस एक से गुणा करते हैं, जबकि असमानता का चिन्ह विपरीत में बदल जाएगा। यदि आपके लिए इस नियम की आदत डालना मुश्किल है, तो आप ऋण से छुटकारा पाने के लिए प्रत्येक भाग को संकेत से परे ले जा सकते हैं। अंत में, आप प्राप्त करेंगे

सेट x>-3 का उस क्षेत्र के साथ प्रतिच्छेदन जिस पर समीकरण हल किए गए थे, अंतराल (-3; -2) होगा। उन लोगों के लिए जिन्हें ग्राफिक रूप से समाधान खोजना आसान लगता है, आप इन क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन बना सकते हैं

क्षेत्रों का सामान्य चौराहा ही समाधान होगा। सख्त असमानता के साथ, किनारों को शामिल नहीं किया गया है। यदि प्रतिस्थापन द्वारा नॉनस्ट्रिक्ट की जाँच की जाती है।

दूसरे अंतराल पर, हम प्राप्त करते हैं

खंड अंतराल (-2; -5/3) होगा। आलेखीय रूप से, समाधान इस तरह दिखेगा

तीसरे अंतराल पर, हम प्राप्त करते हैं

यह स्थिति आवश्यक क्षेत्र पर समाधान नहीं देती है।

चूँकि दो समाधान (-3;-2) और (-2;-5/3) बिंदु x=-2 को सीमाबद्ध करते हैं, हम इसे भी जांचते हैं।

अत: बिंदु x=-2 हल है। इसे ध्यान में रखते हुए सामान्य समाधान (-3;5/3) जैसा दिखेगा।

उदाहरण 2. असमानता का समाधान खोजें
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

समाधान:
सबमॉड्यूल फ़ंक्शन के शून्य अंक x=2, x=3, x=4 होंगे। जब तर्कों का मान इन बिंदुओं से कम होता है, तो सबमॉड्यूल फ़ंक्शन नकारात्मक होते हैं, और जब मान बड़े होते हैं, तो वे सकारात्मक होते हैं।

बिंदु वास्तविक अक्ष को चार अंतरालों में विभाजित करते हैं। हम संकेत की स्थिरता के अंतराल के अनुसार मॉड्यूल खोलते हैं और असमानताओं को हल करते हैं।

1) पहले अंतराल पर, सभी सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन नकारात्मक होते हैं, इसलिए, मॉड्यूल का विस्तार करते समय, हम संकेत को विपरीत में बदलते हैं।

माना अंतराल के साथ पाए गए x मानों का प्रतिच्छेदन बिंदुओं का सेट होगा

2) अंक x=2 और x=3 के बीच के अंतराल में, पहला सबमॉड्यूल फ़ंक्शन सकारात्मक है, दूसरा और तीसरा नकारात्मक है। मॉड्यूल का विस्तार, हम प्राप्त करते हैं

एक असमानता, जो उस अंतराल के प्रतिच्छेदन में, जिस पर हम हल कर रहे हैं, एक समाधान देता है - x=3।

3) अंक x=3 और x=4 के बीच के अंतराल में, पहला और दूसरा सबमॉड्यूल फ़ंक्शन सकारात्मक हैं, और तीसरा नकारात्मक है। इसके आधार पर, हम प्राप्त करते हैं

यह स्थिति दर्शाती है कि संपूर्ण अंतराल मॉड्यूल के साथ असमानता को संतुष्ट करेगा।

4) मान x>4 के लिए, सभी फ़ंक्शन साइन-पॉज़िटिव हैं। मॉड्यूल का विस्तार करते समय, हम उनका संकेत नहीं बदलते हैं।

अंतराल के साथ प्रतिच्छेदन पर मिली स्थिति समाधान के निम्नलिखित सेट देती है

चूंकि असमानता को सभी अंतरालों पर हल किया जाता है, इसलिए यह सभी पाए गए x मानों का सामान्य मान ज्ञात करना बाकी है। समाधान दो अंतराल है

यह उदाहरण हल हो गया है।

उदाहरण 3. असमानता का समाधान खोजें
||x-1|-5|>3-2x

समाधान:
हमारे पास एक मॉड्यूल से एक मॉड्यूल के साथ असमानता है। इस तरह की असमानताओं का पता तब चलता है जब मॉड्यूल नेस्टेड होते हैं, जो उन लोगों से शुरू होते हैं जिन्हें गहराई से रखा जाता है।

सबमॉड्यूल फ़ंक्शन x-1 को बिंदु x=1 पर शून्य में बदल दिया जाता है। 1 से छोटे मानों के लिए यह x>1 के लिए ऋणात्मक और धनात्मक है। इसके आधार पर, हम आंतरिक मॉड्यूल खोलते हैं और प्रत्येक अंतराल पर असमानता पर विचार करते हैं।

पहले माइनस इनफिनिटी से एक तक के अंतराल पर विचार करें

सबमॉड्यूल फ़ंक्शन x=-4 बिंदु पर शून्य है। छोटे मूल्यों के लिए यह सकारात्मक है, बड़े मूल्यों के लिए यह नकारात्मक है। x . के लिए मॉड्यूल का विस्तार करें<-4:

जिस क्षेत्र पर हम विचार करते हैं, उसके प्रतिच्छेदन पर, हमें समाधानों का एक सेट प्राप्त होता है

अगला कदम अंतराल पर मॉड्यूल का विस्तार करना है (-4; 1)

मॉड्यूल के विस्तार क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए, हम समाधान अंतराल प्राप्त करते हैं

याद रखें: यदि आपको मॉड्यूल के साथ ऐसी अनियमितताओं में दो अंतराल मिलते हैं, जो एक सामान्य बिंदु पर सीमाबद्ध होते हैं, तो, एक नियम के रूप में, यह भी एक समाधान है।

ऐसा करने के लिए, आपको बस जांच करने की आवश्यकता है।

इस स्थिति में, हम बिंदु x=-4 को प्रतिस्थापित करते हैं।

तो x=-4 हल है।
x>1 . के लिए आंतरिक मॉड्यूल का विस्तार करें

सबमॉड्यूल फ़ंक्शन x . के लिए ऋणात्मक है<6.
मॉड्यूल का विस्तार, हम प्राप्त करते हैं

अंतराल (1; 6) वाले खंड में यह स्थिति समाधानों का एक खाली सेट देती है।

x>6 के लिए हमें असमानता मिलती है

साथ ही हल करने पर हमें एक खाली सेट मिला।
उपरोक्त सभी को ध्यान में रखते हुए, एकमात्र समाधानमॉड्यूल के साथ असमानता अगला अंतराल होगा।

द्विघात समीकरण वाले मॉड्यूल के साथ असमानताएं

उदाहरण 4. असमानता का समाधान खोजें
|x^2+3x|>=2-x^2

समाधान:
सबमॉड्यूल फ़ंक्शन x=0, x=-3 बिंदुओं पर गायब हो जाता है। साधारण प्रतिस्थापन से घटा एक

हम निर्धारित करते हैं कि यह अंतराल (-3; 0) पर शून्य से कम है और इससे परे धनात्मक है।
उन क्षेत्रों में मॉड्यूल का विस्तार करें जहां सबमॉड्यूल फ़ंक्शन सकारात्मक है

यह उन क्षेत्रों को निर्धारित करना बाकी है जहां वर्ग समारोहसकारात्मक। ऐसा करने के लिए, हम जड़ों को परिभाषित करते हैं द्विघात समीकरण

सुविधा के लिए, हम बिंदु x=0 को प्रतिस्थापित करते हैं, जो अंतराल (-2;1/2) से संबंधित है। इस अंतराल में फलन ऋणात्मक है, इसलिए समाधान निम्नलिखित समुच्चय होगा x

यहां, कोष्ठक समाधान के साथ क्षेत्रों के किनारों को इंगित करते हैं, यह जानबूझकर किया गया था, निम्नलिखित नियम को ध्यान में रखते हुए।

याद रखें: यदि मॉड्यूल के साथ असमानता, या एक साधारण असमानता सख्त है, तो पाए गए क्षेत्रों के किनारे समाधान नहीं हैं, लेकिन यदि असमानताएं सख्त () नहीं हैं, तो किनारे समाधान हैं (वर्ग कोष्ठक द्वारा इंगित)।

यह नियम कई शिक्षकों द्वारा उपयोग किया जाता है: यदि एक सख्त असमानता दी जाती है, और आप गणना के दौरान समाधान में एक वर्ग ब्रैकेट ([,]) लिखते हैं, तो वे स्वचालित रूप से इसे गलत उत्तर मानेंगे। इसके अलावा, परीक्षण करते समय, यदि मॉड्यूल के साथ एक गैर-सख्त असमानता निर्दिष्ट की जाती है, तो समाधानों के बीच, वर्ग कोष्ठक वाले क्षेत्रों की तलाश करें।

अंतराल (-3; 0) पर, मॉड्यूल का विस्तार करते हुए, हम फ़ंक्शन के संकेत को विपरीत में बदलते हैं

असमानता के प्रकटीकरण के दायरे को ध्यान में रखते हुए, समाधान का रूप होगा

पिछले क्षेत्र के साथ मिलकर, यह दो अर्ध-अंतराल देगा

उदाहरण 5. असमानता का समाधान खोजें
9x^2-|x-3|>=9x-2

समाधान:
एक गैर-सख्त असमानता दी गई है, जिसका सबमॉड्यूल फ़ंक्शन बिंदु x=3 पर शून्य के बराबर है। छोटे मूल्यों पर यह नकारात्मक है, बड़े मूल्यों पर यह सकारात्मक है। हम अंतराल x . पर मॉड्यूल का विस्तार करते हैं<3.

समीकरण के विभेदक का पता लगाना

और जड़ें

शून्य बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि अंतराल [-1/9; 1] पर द्विघात फलन ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल एक समाधान है। इसके बाद, x>3 . के लिए मॉड्यूल खोलें

कैसे अधिक लोगसमझता है, समझने की इच्छा जितनी प्रबल होती है

थॉमस एक्विनास

अंतराल विधि आपको मापांक वाले किसी भी समीकरण को हल करने की अनुमति देती है। इस पद्धति का सार संख्यात्मक अक्ष को कई वर्गों (अंतराल) में विभाजित करना है, और मॉड्यूल में अभिव्यक्तियों के शून्य के साथ अक्ष को विभाजित करना आवश्यक है। फिर, प्रत्येक परिणामी खंड पर, कोई भी सबमॉड्यूल व्यंजक या तो सकारात्मक या नकारात्मक होता है। इसलिए, प्रत्येक मॉड्यूल को माइनस साइन या प्लस साइन के साथ विस्तारित किया जा सकता है। इन क्रियाओं के बाद, यह केवल प्राप्त में से प्रत्येक को हल करने के लिए बनी हुई है सरल समीकरणविचार किए गए अंतराल पर और प्राप्त उत्तरों को मिलाएं।

विचार करना यह विधिएक विशिष्ट उदाहरण पर।

|x + 1| + |2x - 4| - |x + 3| = 2x - 6.

1) मॉड्यूल में व्यंजकों के शून्य ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, हम उन्हें शून्य के बराबर करते हैं, और परिणामी समीकरणों को हल करते हैं।

x + 1 = 0 2x - 4 = 0 x + 3 = 0

एक्स = -1 2x = 4 एक्स = -3

2) परिणामी बिंदुओं को निर्देशांक रेखा पर वांछित क्रम में व्यवस्थित करें। वे पूरी धुरी को चार खंडों में तोड़ देंगे।

3) आइए प्रत्येक परिणामी अनुभाग पर मॉड्यूल में अभिव्यक्तियों के संकेत निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, हम उनमें ब्याज के अंतराल से किसी भी संख्या को हमारे लिए प्रतिस्थापित करते हैं। यदि गणना का परिणाम एक सकारात्मक संख्या है, तो हम तालिका में "+" डालते हैं, और यदि संख्या नकारात्मक है, तो हम "-" डालते हैं। इसे इस तरह चित्रित किया जा सकता है:

4) अब हम चार अंतरालों में से प्रत्येक पर समीकरण को हल करेंगे, मॉड्यूल को उन संकेतों के साथ खोलेंगे जो तालिका में हैं। तो, पहले अंतराल पर विचार करें:

मैं अंतराल (-∞; -3)। उस पर, सभी मॉड्यूल "-" चिह्न के साथ खोले जाते हैं। हमें निम्नलिखित समीकरण मिलता है:

-(x + 1) - (2x - 4) - (-(x + 3)) \u003d 2x - 6। हम समान शब्दों को प्रस्तुत करते हैं, पहले परिणामी समीकरण में कोष्ठक खोलते हैं:

एक्स - 1 - 2x + 4 + x + 3 = 2x - 6

प्राप्त उत्तर विचारित अंतराल में शामिल नहीं है, इसलिए इसे अंतिम उत्तर में लिखना आवश्यक नहीं है।

द्वितीय अंतराल [-3; -एक)। इस अंतराल पर तालिका में "-", "-", "+" चिह्न हैं। इस प्रकार हम मूल समीकरण के मॉड्यूल को प्रकट करते हैं:

-(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. कोष्ठक का विस्तार करके सरल कीजिए:

एक्स - 1 - 2x + 4 - एक्स - 3 \u003d 2x - 6. हम परिणामी समीकरण में निम्नलिखित प्रस्तुत करते हैं:

एक्स = 6/5। परिणामी संख्या विचाराधीन अंतराल से संबंधित नहीं है, इसलिए यह मूल समीकरण का मूल नहीं है।

III अंतराल [-1; 2))। हम मूल समीकरण के मॉड्यूल को उन संकेतों के साथ खोलते हैं जो तीसरे कॉलम में चित्र में हैं। हम पाते हैं:

(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. कोष्ठक से छुटकारा पाएं, चर x वाले पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएं, और x को दाईं ओर न रखें। . होगा:

एक्स + 1 - 2x + 4 - एक्स - 3 = 2x - 6

संख्या 2 माना अंतराल में शामिल नहीं है।

चतुर्थ अंतराल)