منطق و اثبات. برهان: مستقیم، معکوس، با تناقض

قضیهعبارتی است که اعتبار آن با استدلال ثابت می شود. خود استدلال را اثبات قضیه می نامند.

قضیه معکوس اینقضیه ای است که در آن شرط نتیجه این قضیه است و نتیجه شرط آن است. مثلا: قضیه: در مثلث متساوی الساقین، زوایای قاعده برابر است. قضیه معکوس: اگر در یک مثلث دو زاویه با هم برابر باشند، متساوی الساقین است.

نتیجهعبارتی است که مستقیماً از قضیه مشتق شده است. مثلا: نتیجهاز قضیه ارتفاع مثلث متساوی الساقیناست: میانه مثلث متساوی الساقین که به قاعده کشیده شده است، ارتفاع و نیمساز است.

اثبات با تناقضبه شرح زیر است:

1) فرضی بر خلاف آنچه باید اثبات شود مطرح می شود.

2) سپس با شروع از فرض، با استدلال یا با شرط یا با واقع معلوم به تناقض می رسند.

3) بر اساس تناقض به دست آمده، نادرست بودن فرض به این معنی است که آنچه لازم الاتباع بوده صادق است.

نشانه برابری مثلث های قائم الزاویه در امتداد هیپوتنوز و ساق.

اگر هیپوتنوز و ساق همان راست گوشهبه ترتیب برابر با هیپوتنوز و ساق یک مثلث قائم الزاویه دیگر هستند، پس چنین مثلث هایی برابر هستند.

داده شده :

DABC - سمت راست / گوشه

BC=B 1 C 1

ثابت كردن:

DABC = DA 1 B 1 C 1

اثبات:

1. روی DABC به DA 1 B 1 C 1 اعمال می کنیم تا A بالا با A 1 بالا، B بالا با B 1 بالا و بالا C و C 1 در طرف مقابل خط AB قرار بگیرند. .

2. از آنجایی که AB \u003d A 1 B 1 Þ ، آنها منطبق خواهند شد.

3. ÐSA 1 С 1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 ÞÐSA 1 С 1 - توسعه یافته و نقاط С، А 1 و С 1 - روی یک خط مستقیم قرار دارند.

4. DСВС 1 – r/b را در نظر بگیرید (ВС= В 1 С 1 بر اساس شرط)Þ РС = РС 1 (بر اساس ویژگی)

5. بنابراین، DABC \u003d DA 1 B 1 C 1 - در امتداد هیپوتنوز و گوشه ی تیز. (h.t.d.)

بلیط شماره 9.

خطوط عمود بر هم. عمود بر یک خط.

خطوط عمود بر هم- این دو خط مستقیم هستند که در صورت قطع شدن، چهار زاویه قائمه تشکیل می دهند (در شکل نشان دهید)

عمود بر یک خط مستقیمپاره خطی است که از یک نقطه به یک خط با زاویه قائم رسم می شود. نقطه تلاقی پاره و خط را قاعده عمود می گویند (در شکل نشان داده شده است)

قضایا:

1) از نقطه ای که روی یک خط قرار ندارد می توان یک عمود بر این خط رسم کرد و علاوه بر آن فقط یک.

2) دو خط عمود بر یک خط همدیگر را قطع نمی کنند.

علامت مثلث متساوی الساقین.

اگر در یک مثلث دو زاویه مساوی باشند، آن مثلث متساوی الساقین است.

داده شده:

РА = ∠С

ثابت كردن:

DABC - r / w

اثبات:

1. به طور ذهنی DABC را کپی کنید و کپی را برگردانید - ما DABC را دریافت می کنیم.

2. اجازه دهید DCBA را روی DABC قرار دهیم، به طوری که راس C کپی با راس A DABC تراز شود.

3. از آنجایی که РА = РС (طبق شرایط) Þ РА از کپی و РС از مثلث هنگام روی هم قرار می گیرند، بنابراین РС از کپی و РА مثلث نیز هنگام روی هم قرار می گیرند.

4. پاره CB کپی روی پرتو AB مثلث و قطعه AB کپی روی پرتو CB مثلث قرار می گیرد.

5. از آنجایی که دو خط فقط می توانند یک داشته باشند نقطه مشترکتقاطع ها ⇒

متر در 1 با نقطه B منطبق خواهد شد و ⇒ AB با CB ترکیب می شود ⇒ AB = CB

6. از این واقعیت که AB \u003d CB ⇒ طبق تعریف، ΔABC متساوی الساقین است (p.t.d.)

بلیط شماره 10.

مثلث متساوی الساقین.

مثلثکه دو ضلع آن با هم برابر باشد نامیده می شود متساوی الساقیناضلاع مساوی نامیده می شوند طرفین، و شخص ثالث اساس. (نمایش در تصویر)

ویژگی مثلث متساوی الساقین:در مثلث متساوی الساقین، زوایای قاعده مساوی است (در شکل نشان دهید)

علامت مثلث متساوی الساقین: اگر در یک مثلث دو زاویه با هم برابر باشند، متساوی الساقین است. (نمایش در تصویر)

قضیه ارتفاع مثلث متساوی الساقین: ارتفاع مثلث متساوی الساقین کشیده شده به قاعده میانه و نیمساز است. (نمایش در تصویر)

پیامدهای قضیه در مورد ارتفاع مثلث متساوی الساقین:

1) میانه یک مثلث متساوی الساقین که به قاعده کشیده شده است، ارتفاع و نیمساز است. (نمایش در تصویر)

2) نیمساز مثلث متساوی الساقین که به قاعده کشیده شده است، ارتفاع و میانه است. (نمایش در تصویر)

شماره تمرین 2

موضوع: منطق و برهان برهان: مستقیم، معکوس، با تناقض. روش استقرای ریاضی.

درس برای 2 دانشگاهی ساعت ها.

هدف: کاوش روش های مختلفشواهد (استدلال مستقیم، روش "از طریق تضاد" و استدلال معکوس)، که روش شناسی استدلال را نشان می دهد. روش استقرای ریاضی را در نظر بگیرید.

مطالب نظری

روش های اثبات

هنگام اثبات قضایا از استدلال منطقی استفاده می شود. شواهد در علوم کامپیوتر بخشی جدایی ناپذیر از بررسی صحت الگوریتم ها است. نیاز به برهان زمانی پدید می‌آید که ما نیاز به اثبات صدق گزاره‌ای از شکل داشته باشیم (A AT). چندین نوع شواهد استاندارد وجود دارد، از جمله موارد زیر:

1. استدلال مستقیم (اثبات).

فرض می کنیم که گزاره A درست است و اعتبار B را نشان می دهد. این روش اثبات شرایطی را که A درست است، a B است نادرست است، زیرا فقط در این مورد است که دلالت (الف ج) یک مقدار نادرست می گیرد (جدول را ببینید).

بنابراین، اثبات مستقیم از بررسی ادله به اثبات تز می رسد، یعنی صدق تز مستقیماً با ادله اثبات می شود. طرح این برهان به شرح زیر است: از استدلال های داده شده(الف، ب، ج، ...) یک پایان نامه قابل اثبات لزوما باید دنبال شود q

این نوع شواهد در عمل قضایی، در علم، در مجادله، در نوشته های دانش آموزان مدرسه، در ارائه مطالب توسط معلم و غیره انجام می شود.

مثال ها:

1. معلم در درس با اثبات مستقیم پایان نامه «مردم تاریخ ساز»، نشان می دهد.اولا که خلق ثروت مادی مردم هستنددوما نقش عظیم را توجیه می کند جمعیتدر سیاست، توضیح می دهد که چگونه مردم به طور فعال برای صلح و دموکراسی در دوران مدرن مبارزه می کنند،سوم ، نقش بزرگ آن را در ایجاد فرهنگ معنوی آشکار می کند.

2. در درس شیمی، شواهد مستقیمی از قابلیت احتراق شکر را می توان به صورت یک قیاس طبقه بندی ارائه کرد: همه کربوهیدرات ها قابل احتراق هستند.شکر یک کربوهیدرات است. شکر قابل اشتعال است.

در مجله مد مدرن "بوردا"، تز "حسادت ریشه همه بدی ها است" با کمک شواهد مستقیم با استدلال های زیر اثبات می شود: "حسادت نه تنها مردم را مسموم می کند. زندگی روزمره، اما می تواند عواقب جدی تری را به دنبال داشته باشد، بنابراین در کنار حسادت، عصبانیت و نفرت، بدون شک به بیشترین تعلق دارد. صفات بدشخصیت. حسادت با خزیدن به طور نامحسوس به شدت دردناک و عمیق است. شخص به رفاه دیگران حسادت می کند، از این آگاهی رنج می برد که کسی خوش شانس تر است.

2. استدلال معکوس(اثبات). فرض می کنیم که گزاره B نادرست است و مغالطه A را نشان می دهد. یعنی در واقع به طور مستقیم صحت دلالت را بررسی می کنیم ((نه B) (نه A)) که طبق جدول منطقاً معادل صدق عبارت اصلی است (A) ب).

3. روش «با تناقض».

این روش اغلب در ریاضیات استفاده می شود. اجازه دهیدآ - پایان نامه یا قضیه ای که باید اثبات شود. ما بر اساس تناقض فرض می کنیم کهآ نادرست یعنی درستجواب منفی (یا). از این فرض ما نتایجی را استنباط می کنیم که با واقعیت یا قضایای قبلاً اثبات شده در تضاد است. در حالی که داریم- کاذب، پس نفی آن صادق است، یعنی., که طبق قانون منطق کلاسیک دو ارزشی (→الف) الف می دهد. بنابراین، درست است ، که قرار بود ثابت شود.

نمونه های زیادی از شواهد «بر اساس تناقض» در مدرسه وجود دارددوره ریاضیات بنابراین، برای مثال، این قضیه ثابت می‌شود که از نقطه‌ای خارج از یک خط مستقیم، فقط یک عمود می‌توان به این خط مستقیم انداخت. با تضاد، قضیه زیر نیز ثابت می شود: "اگر دو خط بر یک صفحه عمود باشند، آنگاه آنها موازی هستند." اثبات این قضیه مستقیماً با این کلمات آغاز می شود: «برعکس فرض کنید، یعنی خطوط AB و CD موازی نیست."

استقراء ریاضی

یک برنامه کامپیوتری در علوم کامپیوتر در صورتی صحیح یا صحیح گفته می شود که آنچه را که در مشخصات خود می گوید انجام دهد. اگرچه آزمایش یک برنامه ممکن است در مورد برخی از داده های اولیه منفرد نتیجه مورد انتظار را به دست دهد، لازم است با استفاده از منطق رسمی ثابت شود که داده های خروجی صحیح برای هر مقدار اولیه ورودی به دست می آید.

بررسی درستی یک الگوریتم حاوی حلقه‌ها به یک روش اثبات نسبتاً قدرتمند به نام «استقرا ریاضی» نیاز دارد.

روش های قیاسی و استقرایی اساس هر تحقیق ریاضی است. روش قیاسی استدلال، استدلال از کلی به جزئی است، یعنی. استدلالی که نقطه شروع آن نتیجه کلی و نقطه پایانی آن نتیجه خاص است. استقرا هنگام عبور از نتایج خاص به نتایج عمومی اعمال می شود، یعنی. برعکس روش قیاسی است. روش استقرای ریاضی را می توان با پیشرفت مقایسه کرد. در نتیجه از پایین ترین نقطه شروع می کنیم تفکر منطقیبه بالاترین حد می رسیم انسان همیشه برای پیشرفت، برای توانایی توسعه منطقی فکر خود تلاش کرده است، به این معنی که خود طبیعت او را مقدر کرده است که به صورت استقرایی فکر کند.

اصل استقراء ریاضی این قضیه زیر است:

اجازه دهید یک دنباله نامتناهی از عبارات P داشته باشیم 1 , P 2 , ..., P n نمایه سازی شده توسط اعداد طبیعی و: عبارت P 1  درست است، واقعی؛ اگر یک جمله P k - درست است، پس ادعای زیر P k +1 نیز درست است.

سپس اصل استقراء ریاضی بیان می کند که همه گزاره های دنباله درست هستند.

به عبارت دیگر، اصل استقراء ریاضی را می توان به صورت زیر بیان کرد: اگر یک زن در صف اول باشد و یک زن پشت هر زن باشد، پس همه در صف یک زن هستند.

روش استدلال بر اساس اصل استقراء ریاضی را روش استقراء ریاضی می نامند. برای حل مسائل به روش استقراء ریاضی، لازم است:

1) بیان مسئله را به صورت دنباله ای از عبارات P فرموله کنید 1 , P 2 , ..., P n , ... ;

2) ثابت کنید که عبارت P 1 درست است (این مرحله پایه استقرا نامیده می شود). 3) ثابت کنید که اگر عبارت P n برای مقداری n=k درست است، سپس برای n=k + 1 نیز صادق است (این مرحله را مرحله القایی می نامند).

با توجه به غیرقابل اعتماد بودن نتیجه، استقرا نمی تواند به عنوان یک روش اثبات عمل کند. اما او هستروش اکتشافی قدرتمند، یعنی روش کشف حقایق جدید.

استقرا می تواند منجر به نتیجه گیری نادرست شود. بنابراین، برای مثال، محاسبه مقادیر عبارت n 2 +n+17 برای n = 1،2،3، ...، 15، ما همیشه اعداد اول را دریافت می کنیم، و این نشان می دهد که مقدار این عبارت برای هر n طبیعی یک عدد اول است. به عبارت دیگر، بر اساس پانزده مقدمه خاص، یک نتیجه کلی به دست آمده است که به تعداد نامتناهی از موارد خاص مربوط می شود، و این نتیجه گیری نادرست است، زیرا حتی با n = 16 عدد ترکیبی 16 را به دست می آوریم. 2 +16+17=172.

مواردی در تاریخ ریاضیات وجود داشته است که ریاضیدانان مشهور در نتیجه گیری استقرایی خود اشتباه می کردند. به عنوان مثال، P. Fermat پیشنهاد کرد که همه اعداد به شکل 22 n + 1 ساده هستند، بر اساس این واقعیت که در n = 1،2،3،4 آنها چنین هستند، اما L. Euler دریافت که قبلاً در n = 5 عدد 232 + 1 اول نیست (بر 641 بخش پذیر است). اما امکان حصول نتیجه نادرست به کمک استقراء مبنایی برای انکار نقش استقرا در تحصیل در مدرسهریاضیات

رهنمودها

مثال 1: با استدلال مستقیم نشان دهید که حاصل ضرب xy دو عدد صحیح فرد x و y همیشه فرد است.

راه حل. هر عدد فرد و به ویژه x را می توان به صورت x = 2 نوشت m + 1، جایی که m Z . به طور مشابه، y = 2 n + 1، n  Z.

بنابراین، حاصلضرب xy = (2 m + 1) (2n + 1) = 4 دقیقه + 2 متر + 2n + 1 = 2 (2 mn+m+n ) + 1 نیز یک عدد فرد است.

مثال 2: فرض کنید n  N . با استفاده از روش اثبات معکوس نشان دهید که اگر n 2 فرد است، سپس n فرد است.

راه حل. نفی گزاره اعداد فرد n 2 بیانیه است " n 2 حتی» و بیانیه در مورد برابری n نفی گزاره «عدد است n فرد." بنابراین، لازم است به روشی مستقیم استدلال کنیم که برابری یک عدد n دلالت بر یکنواختی مربع آن دارد n2.

از آنجایی که n زوج است، پس n = 2 متر برای تعدادی عدد صحیحمتر بنابراین، n 2 = 4 m 2 = 2 (2 m 2 ) یک عدد زوج است.

مثال 3: با تضاد نشان دهید که حل معادله x 2 = 2 یک عدد غیر منطقی است، یعنی نمی توان آن را به صورت کسری با عدد صحیح و مخرج نوشت.

راه حل. در اینجا باید حل x معادله x را فرض کنیم 2 = 2 منطقی است، یعنی به صورت کسری x = با اعداد صحیح نوشته می شود m و n و n 0. با فرض این، باید تناقضی را با فرض یا با برخی از واقعیت های قبلاً اثبات شده به دست آوریم.

همانطور که می دانید یک عدد گویا به صورت مبهم نوشته می شود

به صورت کسری به عنوان مثال، x = == و غیره. با این حال، می توان آن را در نظر گرفت m و n هیچ مقسوم علیه مشترکی ندارند در این صورت ابهام رکورد از بین می رود.

بنابراین، ما علاوه بر این فرض می کنیم که کسری x = غیر قابل تقلیل است ( m و n مقسوم علیه مشترک ندارند). با شرط، عدد x معادله x را برآورده می کند 2 = 2. بنابراین، () 2 = 2، از آنجا m 2 = 2 n 2 .

از آخرین برابری بر می آید که عددمتر مربع زوج. در نتیجه،متر همچنین زوج است و می تواند به صورت نمایش داده شودمتر = 2p برای مقداری p. جایگزینی این اطلاعات در معادله m 2 \u003d 2 n 2 ، ما آن 4p را دریافت می کنیم 2 \u003d 2 n 2، یعنی n 2 \u003d 2p 2.

اما پس از آن n همچنین یک عدد زوج است. بنابراین، ما نشان دادیم که m و n - اعداد زوج. بنابراین، آنها یک مقسوم علیه مشترک 2 دارند. اگر اکنون به یاد بیاوریم که ما غیبت را فرض کردیم مقسوم علیه مشترکدر صورت و مخرج کسر، یک تناقض آشکار خواهیم دید.

تضاد یافت شده ما را به یک نتیجه گیری بدون ابهام هدایت می کند: حل معادله x 2 = 2 نمی تواند یک عدد گویا باشد، یعنی غیر منطقی است.

مثال 4: اجازه دهید برابری زیر را با استقراء اثبات کنیم (که البته شواهد دیگری را نیز می پذیرد):

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2.

پایه. برای n = 1، برابری به هویت 1 = 1 (1 + 1)/2 تبدیل می شود.

گام. اجازه دهید برابری برای n = k برقرار باشد: 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2.

بیایید k + 1 را به دو طرف این تساوی اضافه کنیم. در سمت چپ حاصل جمع 1+2+3+...+k+(k+1) است.و در سمت راست - k(k+1)/2+(k+1)=(k(k+1)+2(k+1))/2=((k+2)(k+1)) / 2.

بنابراین، 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (k + 1) (k + 2)/2، و این برابری لازم برای n = k + 1 است، که در آن n به معنای دلخواه است. عدد طبیعی.

سوالات تستی

1. تفاوت بین اثبات با استدلال مستقیم چیست؟برعکس، برعکس؟
2. استقراء ریاضی به چه معناست؟ اصل استقراء ریاضی را توضیح دهید.

وظایف فردی

1. استفاده از روش های اثبات:

1) با استدلال مستقیم صحت گزاره را ثابت کنید: n و m اعداد زوج هستند  n + m یک عدد زوج است.

2) دلیل مخالف عبارت را بیاورید: n 2 عدد زوج  n زوج.

3) با تناقض ثابت کنید که n+m عدد فرد یکی از جمله ها زوج و دیگری فرد است.

2. هر یک از گزاره ها را با استقراء ریاضی ثابت کنید.

1) 1 + 5 + 9 +…+ (4 n - 3) = n (2 n  1) برای همه اعداد طبیعی n

2) 1 2 + 2 2 +…+ n 2 = n (n +1) (2 n +1)/6 برای همه اعداد طبیعی n

3) د برای همه اعداد طبیعی n

4) عدد n 3  n برای تمام مقادیر طبیعی عدد بر 3 بخش پذیر است n

5) 1*1! + 2* 2!+…+- n * n ! = (n + 1)!  1 برای همه اعداد طبیعی n

(کاراکتر n! به صورت "n" خوانده می شود فاکتوریل" و حاصل ضرب تمام اعداد طبیعی از 1 تا را نشان می دهد n شامل: n ! \u003d l * 2 * 3 *** (n - l) * n.)

وظایف اضافی:

1. خطای "اثبات" زیر را پیدا کنید که همه اسب ها از یک لباس هستند.

ما عبارت زیر را با استقرا بر روی n اثبات خواهیم کرد: "در هر گله ای از n اینها اسب هستند، همه آنها از یک لباس هستند." پایه (n = 1) واضح است: در این مورد همه اسب ها یک اسب هستند، بدیهی است که از همان لباس است. Ш: بگذارید همه اسب‌های هر گله از k اسب لباس یکسان داشته باشند. یک گله k + 1 اسب را در نظر بگیرید. دو اسب a و b را در آن انتخاب می کنیم و k 1 اسب باقی مانده را در نظر می گیریم. بیایید با اضافه کردن a یک گله از این اسب های باقیمانده بسازیم. k اسب در آن وجود دارد، بنابراین، بر اساس فرضیه استقرا، همه آنها یک لباس هستند. بنابراین اسب a همان لباس اسب های باقی مانده را دارد. به طور مشابه ثابت شده است که اسب b دارای همان لباس است. بنابراین همه اسب های k + 1 لباس یکسان دارند. ادعا ثابت شده است.

2. روی یک ورق شطرنجی بی نهایت، 100 سلول سیاه رنگ شده و بقیه سفید هستند. در یک حرکت، مجاز به رنگ آمیزی مجدد هر چهار سلولی است که یک مربع 2x2 را به رنگ مخالف تشکیل می دهند. ثابت کنید که در چند حرکت می‌توان به سفید بودن تمام سلول‌ها رسید، اگر و فقط اگر هر افقی و هر عمودی دارای تعداد زوجی از سلول‌های سیاه باشد.

نادرست است، ما از این طریق حقیقت موضع مخالف - پایان نامه را اثبات می کنیم. به عنوان مثال، یک پزشک که بیمار را متقاعد می کند که او به آنفولانزا مبتلا نیست، ممکن است چنین استدلال کند: «اگر واقعاً به آنفولانزا مبتلا بودید، تب، گرفتگی بینی و غیره داشتید. اما هیچ کدام از اینها وجود ندارد. بنابراین، آنفولانزا وجود ندارد." ثبوت قضیّه معین با تناقض، صدق این گزاره بر اساس اثبات کذب گزاره «مخالف» (متضاد) و ثلث منتفی است.
ژنرال د از ص به شرح زیر است. لازم است مقداری الف ثابت شود. در فرآیند اثبات ابتدا گزاره مقابل not-A صورت می گیرد و فرض می شود که درست است: فرض کنید A نادرست است، پس not-A باید صادق باشد. سپس، از این تضاد ظاهراً واقعی، پیامدهایی استخراج می شود - تا زمانی که معلوم شود، یا به صراحت با گزاره درست شناخته شده در تضاد باشد. اگر نشان داده شود که not-A نادرست است، آنگاه صدق تز A موجه است ( سانتی متر.اثبات).

فلسفه: فرهنگ لغت دایره المعارفی. - م.: گرداریکی. ویرایش شده توسط A.A. ایوینا. 2004 .

(لاتبرهان خلف)، نوع اثبات، با کروم "اثبات" قضاوت معین (پایان نامه اثباتی)از طریق قضاوتی انجام می شود که با آن در تضاد است - ضد. ابطال آنتی تز با اثبات واقعیت ناسازگاری آن با c.-l.به وضوح قضاوت درست است این شکل د از ص مطابقت دارد مسیر.طرح اثبات: اگر B درست است و A دلالت بر نادرست بودن B دارد، A نادرست است. یکی دیگر از D. کلی تر از ص با رد است (دلایل دروغگویی)ضد طبق قاعده: با اعتراف A، استنباط کردند، بنابراین - نه - A. در اینجا A می تواند مثبت یا منفی باشد. در مورد اخیر، د از ص بر اساس و قانون نفی مضاعف است. علاوه بر مواردی که در بالا ذکر شد، یک شکل «پارادوکسیکال» از D. از ص وجود دارد که قبلاً در «عناصر» اقلیدس استفاده شده بود: اگر بتوان نشان داد که A حتی از این فرض نیز نتیجه می‌گیرد، A را می‌توان اثبات شده تلقی کرد. نادرستی A.

فلسفی فرهنگ لغت دایره المعارفی. - م.: دایره المعارف شوروی. چ. ویراستاران: L. F. Ilyichev، P. N. Fedoseev، S. M. Kovalev، V. G. Panov. 1983 .

اثبات برعکس

روشن:تارسکی ا.، درآمدی بر منطق و روش شناسی علوم قیاسی، ترجمه. از انگلیسی، M., 1948; Asmus VF، دکترین منطق درباره اثبات و ابطال، [M.]، 1954; Kleene S. K.، مقدمه ای بر فرا ریاضیات، ترجمه. از انگلیسی، M., 1957; الف. چرچ، مقدمه ای بر ریاضیات. منطق، ترانس از انگلیسی، [جلد] 1، م.، 1960.

دایره المعارف فلسفی. در 5 جلد - M .: دایره المعارف شوروی. ویرایش شده توسط F. V. Konstantinov. 1960-1970 .

ببینید "اثبات بر خلاف" در فرهنگ های دیگر چیست:

- (اثبات با تناقض) برهانی که نادرست تشخیص مقدمه اولیه منجر به تناقض می شود. یعنی فرض مغالطه فرض اصلی به شما اجازه می دهد که همزمان هر گزاره ای را ثابت کرده و آن را رد کنید. … فرهنگ لغت اقتصادی

یکی از انواع شواهد غیرواقعی ... فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

این مقاله فاقد پیوند به منابع اطلاعاتی است. اطلاعات باید قابل تایید باشد، در غیر این صورت ممکن است مورد سوال قرار گیرد و حذف شود. شما می توانید ... ویکی پدیا

یکی از انواع ادله غیرمستقیم. * * * برهان بر خلاف، یکی از انواع ادله غیرمستقیم (رجوع کنید به برهان غیرمستقیم) ... فرهنگ لغت دایره المعارفی

اثبات با تناقض- (lat. reduce ad absurdum) نوعی دلیل که در آن اعتبار حکم معین (تز اثبات) از طریق ابطال حکم آنتی تز مخالف آن انجام می شود. ابطال آنتی تز توسط ... ... حاصل می شود. فعالیت پژوهشی. فرهنگ لغت

اثبات برعکس- (lat. reductio ad absurdum) نوعی دلیل که در آن اعتبار حکم معین (تز اثبات) از طریق ابطال حکم آنتی تز مخالف آن انجام می شود. ابطال آنتی تز توسط ... ... حاصل می شود. تحصیلات حرفه ای. فرهنگ لغت

نگاه کنید به: شواهد و مدارک ... واژه نامه اصطلاحات منطقی

- (lat. reductio ad absurdum) نوعی برهان که در آن «اثبات» یک حکم معین (تز اثبات) از طریق رد حکم ضد آن انجام می شود. در این صورت، ابطال ضدیت حاصل می شود ... ... دایره المعارف بزرگ شوروی

روش مخالف

آپاگوگ- وسیله ای منطقی که ناهماهنگی یک عقیده را به گونه ای ثابت می کند که یا فی نفسه و یا در پیامدهای ناگزیر از آن، تناقضی را کشف می کنیم.

بنابراین، برهان استخری، برهان غیرمستقیم است: در اینجا اثبات کننده برای نشان دادن ناهماهنگی آن، ابتدا به گزاره مخالف روی می آورد و سپس طبق قانون رفع وسط، به این نتیجه می رسد که آنچه لازمه اثبات بوده، صحیح است. به این نوع برهان تنزل به پوچی نیز می گویند. خاصیت اصلی آن این است که سومی وجود ندارد، یعنی غیر از نظری که باید صحت آن ثابت شود و دومی در مقابل آن که نقطه شروع برهان است، هیچ واقعیت سومی وجود ندارد. مجاز است. بنابراین، قرائن غیرمستقیم از واقعیتی ناشی می شود که گزاره را نفی می کند که صحت آن مستلزم اثبات است.

مثال ها

همچنین ببینید

بنیاد ویکی مدیا 2010 .

ببینید «روش تناقض» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

در ریاضیات، روش نزول نامتناهی برهانی است بر اساس تناقض که مجموعه اعداد طبیعی به خوبی مرتب شده اند. اغلب از روش فرود بی نهایت برای اثبات اینکه برخی ... ... ویکی پدیا استفاده می شود

روشی برای اثبات که توسط ریاضیدانان باستان برای یافتن مساحت ها و حجم ها استفاده می شد. نام "روش فرسودگی" در قرن هفدهم معرفی شد. یک طرح اثبات معمولی با استفاده از I.m را می توان در مدرن ارائه کرد ... ... دایره المعارف بزرگ شوروی

روشی برای اثبات که توسط ریاضیدانان باستان برای یافتن مساحت ها و حجم ها استفاده می شد. نام روش فرسودگی در قرن هفدهم معرفی شد. یک طرح اثبات معمولی با استفاده از I.m را می توان در نماد مدرن به شرح زیر بیان کرد: برای ... ... دایره المعارف ریاضی

این مقاله فاقد پیوند به منابع اطلاعاتی است. اطلاعات باید قابل تایید باشد، در غیر این صورت ممکن است مورد سوال قرار گیرد و حذف شود. شما می توانید ... ویکی پدیا

- «هستی و زمان» («Sein und Zeit»، 1927) اثر اصلی هایدگر. به طور سنتی اعتقاد بر این است که خلق B.i.V تحت تأثیر دو کتاب بوده است: معنای وجود بر اساس ارسطو اثر برنتانو و تحقیقات منطقی هوسرل. اولین آنها…… تاریخ فلسفه: دایره المعارف

- (از لاتین متأخر intuitio، از لاتین intueor با دقت نگاه می کنم) جهت در توجیه ریاضیات و منطق که بر اساس آن معیار نهایی برای مقبولیت روش ها و نتایج این علوم، شهود بصری معنادار است. تمام ریاضیات... دایره المعارف فلسفی

ریاضیات معمولاً با ذکر نام برخی از شاخه های سنتی آن تعریف می شود. اول از همه، این یک حساب است که به مطالعه اعداد، روابط بین آنها و قوانین کار با اعداد می پردازد. حقایق حسابی گوناگونی را می پذیرند ... ... دایره المعارف کولیر

اصطلاحی که قبلا بخش های مختلفی از ریاضیات را متحد می کرد. تجزیه و تحلیل مربوط به مفهوم یک تابع بینهایت کوچک. اگرچه روش بینهایت کوچک (به یک شکل یا شکل دیگر) با موفقیت توسط دانشمندان به کار گرفته شده است یونان باستانو اروپای قرون وسطیبرای راه حل…… دایره المعارف ریاضی

- (از لات. absurdus مضحک، احمقانه) پوچی، تناقض. در منطق، A. معمولاً به عنوان یک عبارت متضاد درک می شود. در چنین بیانی، چیزی در عین حال تأیید و نفی می شود، مثلاً در عبارت «بطالت وجود دارد و باطل ... ... دایره المعارف فلسفی

اثبات با تناقض یک روش قدرتمند و پرکاربرد در ریاضیات است. با فرض اینکه یک واقعیت (شیء) صادق است (وجود دارد) و پس از رسیدن به تناقض، نتیجه می گیریم که واقعیت کاذب است (شیء وجود ندارد). بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

قضیه اقلیدسدر مورد بی نهایت اعداد اولکلاسیک‌ترین و ساده‌ترین استدلال بر اساس تناقض است:

بزرگترین عدد اول وجود ندارد.

: فرض کنید اینطور نیست و بزرگترین عدد اول وجود دارد. بیایید یک عدد بسازیم. بر هیچ یا بیشتر از آن بخش پذیر نیست. ما به یک تناقض رسیده ایم، بنابراین، بزرگترین عدد اول (به عنوان یک جسم!) وجود ندارد و اعداد اول بی نهایت زیاد است.

توجه داشته باشید که لزوماً اول نیست، زیرا ضریب اول آن می تواند بین و باشد، اما همچنان بزرگ خواهد بود.

قضیه غیر منطقی

طبیعی وجود ندارد و، به طوری که .

ج: نگذارید. فاکتورهای مشترک y , , را لغو می کنیم و همه چیز را مربع می کنیم: . از این نتیجه می‌شود که یک عدد زوج است، بنابراین زوج است و می‌توان آن را با استفاده از مقداری طبیعی نشان داد. با جایگزینی به رابطه اصلی، به دست می آوریم، و بنابراین، زوج. اما این منافات دارد با این که ما همه عوامل مشترک را کاهش داده ایم، یعنی چنین عواملی وجود ندارد.

اعتبار روانشناختی هر دو شواهد غیرقابل انکار است. با این حال، باید به خاطر داشت که با به دست آوردن یک تناقض، ما همیشه آن را ثابت نمی کنیم خواستنثابت كردن. تناقض لزوماً نشان دهنده مغالطه فرض اصلی نیست. می توان آن را با هر یک از عبارات استفاده شده در اثبات ارائه کرد. به ویژه بسیاری از آنها در قضیه عدم عقلانیت وجود دارد. با این حال، آنها به قدری «بدیهی» هستند که ما فرض اولیه را اشتباه می دانیم.

مشاهده می شود که طرح اثبات قضایای فوق یکسان است. نشان می‌دهیم که اگر فرض وجود آن به تناقض منجر شود، وجود ندارد.

مشکل آرایشگاه. در یک روستا، همه مردان یا به تنهایی یا توسط یک آرایشگر اصلاح می کنند. آرایشگر (مرد) فقط کسانی را می تراشد که خود را اصلاح نمی کنند. بیایید قضیه را فرموله کنیم:

آرایشگر خودش را اصلاح می کند.

اینطور نباشد و آرایشگر خودش را اصلاح نکند. سپس او باید در آرایشگاه اصلاح کند. بنابراین آرایشگر خود را اصلاح می کند.

با نفی قضیه و دریافت تناقض، باید به این نتیجه برسیم که قضیه صادق است. اما کاملاً واضح است که اینطور نیست و ما می توانیم نه تنها یک اثبات معکوس، بلکه یک اثبات مستقیم نیز بسازیم: "اگر آرایشگر خودش را بتراشد، پس نمی تواند در آرایشگر بتراشد ...". در این صورت باز هم دچار تناقض می شویم.

توضیحات بالا در مورد روستا قوانین سختگیرانهبه عنوان فرمول بندی محبوب مشکلاتی که در تلاش به وجود می آیند به برتراند راسل تعلق دارد تعریف کردن"مجموعه همه آن مجموعه هایی که خود را به عنوان عنصر خود در بر نمی گیرند". ما عمداً یک پارادوکس واضح را در قالب یک قضیه برای نشان دادن یک واقعیت ساده ارائه کردیم:

به دست آوردن تناقض در برهان از خلاف، ممکن است نشان دهنده صدق قضیه نباشد، بلکه ناسازگاری اشیایی است که در صورت بندی آن مشارکت دارند.

به عبارت دیگر، نمی توان گفت: "بیایید مجموعه همه مجموعه ها را بگیریم..." و "قضیه ای که..." را ثابت کنیم، ابتدا باید مطمئن شوید که شی ای که در قضیه مورد بحث قرار خواهد گرفت، وجود دارد. . به ویژه، دهکده ای که راسل توصیف می کند، نمی تواند وجود داشته باشد. البته این سوال پیش می آید که "وجود یا نبودن به چه معناست و وجود نداشتن کجا؟" یک شی وجود دارد که در بالا تعریف شده است، و ما می توانیم از آن در هنگام ساختن اشیا و قضایای جدید در مورد آنها استفاده کنیم.

واقعیت این است که استدلال ریاضی به طور صریح یا ضمنی از بدیهیات خاصی ناشی می شود. این بدیهیات هستند که خصوصیات یک شی را تعریف می کنند. اگر حداقل یک بدیهیات در یک سیستم ثابت بدیهیات تغییر کند، می توان یک شی با ویژگی های کاملاً متفاوت به دست آورد. واضح است که تنظیم بدیهیات خودسرانه غیرممکن است. آنها نباید باشند متناقض، در غیر این صورت شی تعریف نمی شود. یا به عبارت دیگر، شیء تعریف شده با بدیهیات متناقض وجود ندارد.

در بخش بعدی با جزئیات بیشتر در مورد عناصر سیستم های بدیهی رسمی بحث خواهیم کرد، جایی که دوباره مشکل آرایشگر را تحلیل خواهیم کرد. حال نسخه دیگری از همین پارادوکس را در نظر بگیرید.

مشکل کتابدار. یک کتابخانه با کتاب وجود دارد. هر کتابی در متن آن می تواند خود را ذکر کند (مثلاً نام آن را در فهرست منابع ذکر کنید). بر این اساس همه کتاب ها را می توان به دو گروه تقسیم کرد. اولی شامل کتاب هایی است که به خودشان اشاره نمی کنند و دومی شامل کتاب هایی می شود که به خودشان اشاره می کنند. علاوه بر این، دو کتاب وجود دارد که فهرستی از تمام کتاب‌های موجود در کتابخانه است. فهرست اول همه کتاب هایی را که به خودشان اشاره نمی کنند و دومی، برعکس، همه کتاب هایی را که به خودشان اشاره می کنند فهرست می کند:

اکنون قضیه را فرموله می کنیم:

دایرکتوری اول شامل

در خود فهرست کتاب

بگذار اینطور نباشد. سپس اولین دایرکتوری در فهرست دوم قرار می گیرد (همه کتاب ها در هر دو فهرست فهرست شده اند و فهرست یک کتاب است). اما دایرکتوری دوم فقط کتاب های خود ارجاع دهنده را فهرست می کند و دایرکتوری اول نمی تواند آنجا باشد. ما به یک تناقض رسیدیم، از این رو قضیه صادق است.

اگر در این مرحله متوقف شویم، عمداً به یک نتیجه اشتباه خواهیم رسید. واضح است که دایرکتوری اول نمی تواند به خودش ارجاع دهد (دایرکتوری از کتاب های غیر خود مرجع است). همانطور که در مورد آرایشگر، هم می توانیم برهان معکوس (با تناقض) و هم اثبات مستقیم را انجام دهیم. و هر دو بار تناقض دارند.

چی میگه؟ روشن است که نه در مورد صدق یا نادرستی قضیه. با اعتقاد به این دو شواهد مختلفباید همیشه به یک چیز منتهی شود، ما مجبوریم نتیجه بگیریم: شیء کتابخانهبا خواص داده شده، نمی تواند وجود داشته باشد.

هرگونه ارجاع به «طبیعی بودن» یا «عدم تناقض ظاهری» تعاریف اولیه شایسته یک ریاضیدان نیست، زیرا اینها قبلاً احساسات هستند. تنها راه این است که سعی کنیم از فرمول‌بندی‌ها و اثبات‌های روان‌شناختی به فرمول‌های رسمی برسیم.

پارادوکس دروغگو. تمام ریاضیات از گزاره های منطقی تشکیل شده است. در عین حال، منطق ریاضیات باینری است. عبارت "" یا درست است یا نادرست. سومی وجود ندارد. این دوتایی است که می دهد اثبات ریاضیآن متقاعدسازی شگفت انگیز که همه چیز به خاطر آن شروع شد. بیایید این نماد را معرفی کنیم که یک عبارت منطقی خاص درست است:

.

در واقع، نام گذاری زائد است، زیرا با نوشتن برخی گزاره ها به عنوان بدیهیات یا مقدمات، صدق آن را فرض می کنیم. با این حال، چنین نمادی برای موارد زیر مناسب خواهد بود. بیایید تعریف کنیمگفتن:

که در آن "" یک علامت نفی منطقی است، و بعد از دو نقطه می آید تعریفادعاها این گونه ای از پارادوکس دروغگو است: "درست است اگر درست نباشد". قضیه زیر را فرموله می کنیم:

عبارت L درست است: L=AND.

بگذارید L=L => True(L)=L => L=True(L)=I.

(بیشتر "" به معنای نتیجه گیری منطقی است؛ "AND" - درست، "L" - نادرست). در اثبات به تناقض به تناقض رسیدیم. بنابراین، فرض اولیه صادق نیست و بنابراین، قضیه صادق است. با این حال، واضح است که اینطور نیست. ما همچنین می توانیم اثبات را در جهت جلو انجام دهیم.