اثبات با مثال های استقرایی ریاضی. روش استقراء ریاضی و کاربرد آن در حل مسئله

سخنرانی 6. روش استقراء ریاضی.

دانش جدید در علم و زندگی از راه های مختلفی به دست می آید، اما همه آنها (اگر وارد جزئیات نشوید) به دو نوع تقسیم می شوند - انتقال از عام به خاص و از جزئی به کلی. اولی کسر است، دومی استقرایی است. استدلال قیاسی همان چیزی است که معمولاً در ریاضیات نامیده می شود استدلال منطقیو در علوم ریاضی کسر تنها روش مشروع تحقیق است. قواعد استدلال منطقی دو هزار و نیم پیش توسط دانشمند یونانی باستان ارسطو تدوین شد. او فهرست کاملی از ساده ترین استدلال های صحیح ایجاد کرد، قیاس ها- "آجر" منطق، در عین حال اشاره به استدلال معمولی، بسیار شبیه به استدلال های درست، اما اشتباه (ما اغلب با چنین استدلال "شبه شناختی" در رسانه ها مواجه می شویم).

القاء (القاء - در لاتین راهنمایی) توسط افسانه معروف چگونگی فرموله کردن قانون گرانش جهانی توسط آیزاک نیوتن پس از افتادن سیب بر روی سرش نشان داده شده است. مثال دیگری از فیزیک: در چنین پدیده ای مانند القای الکترومغناطیسی، یک میدان الکتریکی ایجاد می کند، یک میدان مغناطیسی "القاء" می کند. "سیب نیوتن" یک مثال معمولی از موقعیتی است که در آن یک یا چند مورد خاص، یعنی. مشاهدات، به یک بیان کلی منجر می شود، نتیجه گیری کلی بر اساس موارد خاص انجام می شود. روش استقرایی اصلی ترین روش برای به دست آوردن الگوهای کلی در علوم طبیعی و انسانی است. اما یک اشکال بسیار مهم دارد: بر اساس مثال های خاص، می توان نتیجه نادرستی گرفت. فرضیه های ناشی از مشاهدات خصوصی همیشه صحیح نیستند. مثالی را به خاطر اویلر در نظر بگیرید.

ما مقدار سه جمله ای را برای برخی از مقادیر اولیه محاسبه خواهیم کرد n:

توجه داشته باشید که اعداد به دست آمده در نتیجه محاسبات اول هستند. و می توان مستقیماً آن را برای هر یک تأیید کرد nمقدار چند جمله ای 1 تا 39
یک عدد اول است با این حال، زمانی که n=40 عدد 1681=41 2 را می گیریم که عدد اول نیست. بنابراین، فرضیه ای که می تواند در اینجا مطرح شود، یعنی این فرضیه که برای هر یک nعدد
ساده است، نادرست است.

لایب نیتس در قرن هفدهم ثابت کرد که برای هر عدد صحیح مثبت nعدد
قابل تقسیم بر 3
بر 5 بخش پذیر است و غیره بر این اساس، او پیشنهاد کرد که برای هر فرد کو هر طبیعی nعدد
تقسیم بر ک، اما خیلی زود متوجه این موضوع شد
بر 9 بخش پذیر نیست.

مثال های در نظر گرفته شده به ما امکان می دهد یک نتیجه گیری مهم را بگیریم: یک جمله می تواند در تعدادی از موارد خاص درست باشد و در عین حال به طور کلی ناعادلانه باشد. پرسش از اعتبار گزاره در حالت کلی را می توان با به کارگیری روش استدلالی خاصی به نام حل کرد با استقراء ریاضی(استقرا کامل، استقراء کامل).

6.1. اصل استقراء ریاضی.

♦ روش استقراء ریاضی بر اساس اصل استقراء ریاضی ، شامل موارد زیر است:

1) اعتبار این بیانیه تایید شده استn=1 (مبنای استقرا) ,

2) فرض می شود که این عبارت برای آن صادق استn= ک، جایی کهکیک عدد طبیعی دلخواه 1 است(فرض القایی) ، و با در نظر گرفتن این فرض، اعتبار آن برایn= ک+1.

اثبات. برعکس را فرض کنید، یعنی فرض کنید که این ادعا برای هر طبیعی صادق نیست n. سپس چنین طبیعی وجود دارد متر، چی:

1) تایید برای n=مترمنصفانه نیست،

2) برای همه n، کوچکتر متر، این ادعا درست است (به عبارت دیگر، متراولین عدد طبیعی است که ادعا برای آن ناموفق است).

بدیهی است که متر> 1، زیرا برای n=1 جمله درست است (شرط 1). در نتیجه،
- عدد طبیعی. معلوم می شود که برای عدد طبیعی
عبارت درست است و برای عدد طبیعی بعدی مترمنصفانه نیست. این با شرط 2 تناقض دارد. ■

توجه داشته باشید که اثبات از این اصل استفاده می کند که هر مجموعه ای از اعداد طبیعی دارای کوچکترین عدد است.

اثبات مبتنی بر اصل استقراء ریاضی نامیده می شود با استقرای کامل ریاضی .

 مثال6.1. ثابت کنید که برای هر طبیعی است nعدد
بر 3 بخش پذیر است.

راه حل.

1) چه زمانی n= 1، بنابراین آ 1 بر 3 بخش پذیر است و عبارت برای آن درست است n=1.

2) فرض کنید که عبارت برای n=ک,
، یعنی آن عدد
بر 3 بخش پذیر است و آن را پیدا کنید n=کعدد +1 بر 3 بخش پذیر است.

در واقع،

زیرا هر جمله بر 3 بخش پذیر است، سپس مجموع آنها نیز بر 3 بخش پذیر است. ■ 

 مثال6.2. ثابت کنید که مجموع اولی است nاعداد فرد طبیعی برابر است با مجذور عدد آنها، یعنی .

راه حل.ما از روش استقرای کامل ریاضی استفاده می کنیم.

1) اعتبار این عبارت را بررسی می کنیم n=1: 1=1 2 صحیح است.

2) فرض کنید که مجموع اولی ک (
) از اعداد فرد برابر است با مجذور تعداد این اعداد، یعنی . بر اساس این برابری، ما مشخص می کنیم که مجموع اولی کاعداد فرد 1+ برابر است با
، به این معنا که .

ما از فرض خود استفاده می کنیم و می گیریم

. ■ 

برای اثبات برخی نابرابری ها از روش استقرای کامل ریاضی استفاده می شود. اجازه دهید نابرابری برنولی را ثابت کنیم.

 مثال6.3. ثابت کن وقتی
و هر طبیعی nنابرابری
(نابرابری برنولی).

راه حل. 1) چه زمانی n=1 دریافت می کنیم
، کدام درسته.

2) فرض می کنیم که در n=کیک نابرابری وجود دارد
(*). با استفاده از این فرض، آن را ثابت می کنیم
. توجه داشته باشید که وقتی
این نابرابری وجود دارد، و بنابراین برای بررسی این مورد کافی است
.

هر دو قسمت نامساوی (*) را در عدد ضرب کنید
و دریافت کنید:

یعنی (1+
.■ 

اثبات با روش استقرای ریاضی ناقص برخی ادعاها بسته به n، جایی که
به روشی مشابه انجام می شود، اما در آغاز، عدالت برای کمترین ارزش برقرار می شود n.

برخی از مسائل به صراحت گزاره ای را فرموله نمی کنند که بتوان آن را با استقراء ریاضی اثبات کرد. در چنین مواردی باید یک قاعده ایجاد کرد و فرضیه ای در مورد صحت این قاعده بیان کرد و سپس با روش استقراء ریاضی فرضیه پیشنهادی را آزمایش کرد.

 مثال6.4. مقدار را پیدا کنید
.

راه حل.بیایید مبالغ را پیدا کنیم اس 1 , اس 2 , اس 3 . ما داریم
,
,
. ما فرض می کنیم که برای هر طبیعی nفرمول معتبر است
. برای آزمون این فرضیه از روش استقرای کامل ریاضی استفاده می کنیم.

1) چه زمانی n=1 فرضیه درست است، زیرا
.

2) فرض کنید که فرضیه برای n=ک,
، به این معنا که
. با استفاده از این فرمول، ثابت می کنیم که فرضیه درست است و برای n=ک+1 یعنی

در واقع،

بنابراین، با فرض اینکه فرضیه برای n=ک,
، ثابت می شود که درست است برای n=ک+1 و بر اساس اصل استقراء ریاضی نتیجه می گیریم که فرمول برای هر طبیعی معتبر است n. ■ 

 مثال6.5. در ریاضیات ثابت شده است که مجموع دو تابع پیوسته یکنواخت یک تابع پیوسته یکنواخت است. بر اساس این عبارت، باید ثابت کنیم که مجموع هر عددی است
توابع پیوسته یکنواخت یکنواخت است عملکرد پیوسته. اما از آنجایی که ما هنوز مفهوم "تابع پیوسته یکنواخت" را معرفی نکرده ایم، اجازه دهید مسئله را به صورت انتزاعی تر تنظیم کنیم: بگذارید بدانیم که مجموع دو تابع که دارای خاصیت هستند. اس، خود دارای خاصیت است اس. اجازه دهید ثابت کنیم که مجموع هر تعداد توابع دارای خاصیت است اس.

راه حل.اساس استقرا در اینجا در خود فرمول بندی مسئله وجود دارد. با ایجاد فرض استقرایی، در نظر بگیرید
کارکرد f 1 , f 2 , …, f n , f n+1 که دارای خاصیت هستند اس. سپس . در سمت راست، عبارت اول دارای خاصیت است اسبر اساس فرضیه استقرایی، جمله دوم دارای خاصیت است اسبا شرط بنابراین جمع آنها دارای خاصیت است اس- برای دو ترم، اساس القاء "کار می کند".

این ادعا را ثابت می کند و از آن بیشتر استفاده خواهد کرد. ■ 

 مثال6.6. همه را طبیعی پیدا کنید n، که برای آن نابرابری است

راه حل.در نظر گرفتن n=1، 2، 3، 4، 5، 6. داریم: 2 1 > 1 2 , 2 2 = 2 2 , 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2 , 2 6 > 6 2 . بنابراین، می‌توانیم یک فرضیه بسازیم: نابرابری
برای همه جا دارد
. برای اثبات صحت این فرضیه از اصل استقرای ناقص ریاضی استفاده می کنیم.

1) همانطور که در بالا گفته شد، این فرضیه برای n=5.

2) فرض کنید برای n=ک,
، یعنی نابرابری
. با استفاده از این فرض، ثابت می کنیم که نابرابری
.

T. به.
و در
یک نابرابری وجود دارد

در
,

سپس آن را دریافت می کنیم
. بنابراین، صحت فرضیه n=ک 1+ از این فرض که درست است برای n=ک,
.

از pp. 1 و 2، بر اساس اصل استقراء ناقص ریاضی، نتیجه می شود که نابرابری
برای هر طبیعی صادق است
. ■ 

 مثال6.7. برای هر عدد طبیعی ثابت کنید nفرمول تمایز معتبر است
.

راه حل.در n=1 این فرمول دارای فرم است
یا 1=1 یعنی درست است. با ایجاد فرض استقرایی، داریم:

Q.E.D. ■ 

 مثال6.8. ثابت کنید که مجموعه متشکل از nعناصر، دارد زیر مجموعه ها

راه حل.مجموعه ای با یک عنصر آ، دارای دو زیر مجموعه است. این درست است زیرا همه زیر مجموعه های آن مجموعه خالی و خود مجموعه هستند و 2 1 = 2.

ما فرض می کنیم که هر مجموعه ای از nعناصر دارد زیر مجموعه ها اگر مجموعه A متشکل از nعناصر +1، سپس یک عنصر را در آن ثابت می کنیم - آن را نشان می دهیم د، و همه زیرمجموعه ها را به دو کلاس تقسیم کنید - بدون اینکه شامل شوند دو حاوی د. همه زیرمجموعه های کلاس اول زیرمجموعه های مجموعه B هستند که با حذف عنصر از A به دست می آیند د.

مجموعه B شامل nعناصر، و بنابراین، بر اساس فرضیه استقرایی، دارای است زیر مجموعه ها، بنابراین در کلاس اول زیر مجموعه ها

اما در کلاس دوم تعداد زیرمجموعه های یکسانی وجود دارد: هر یک از آنها دقیقاً از یک زیر مجموعه از کلاس اول با اضافه کردن عنصر به دست می آیند. د. بنابراین در مجموع مجموعه A
زیر مجموعه ها

بنابراین این ادعا ثابت می شود. توجه داشته باشید که برای مجموعه ای متشکل از 0 عنصر - یک مجموعه خالی - نیز معتبر است: یک زیرمجموعه واحد دارد - خودش و 2 0 = 1. ■ 

برای این کار ابتدا صحت عبارت را با شماره 1 بررسی کنید - پایه القایی، و سپس ثابت می شود که اگر عبارت شماره n، سپس ادعای زیر با عدد n + 1 - مرحله القاء، یا انتقال القایی.

اثبات با استقرا را می توان در قالب به اصطلاح تجسم کرد اصل دومینو. بگذارید هر تعداد دومینو در یک ردیف قرار گیرد به گونه ای که هر دومینو در حال سقوط، لزوما دومینوی بعدی را واژگون کند (این انتقال القایی است). سپس، اگر استخوان اول را فشار دهیم (این پایه القاء است)، آنگاه تمام استخوان های ردیف می افتند.

مبنای منطقی این روش اثبات به اصطلاح است اصل استقرا، پنجمین بدیهیات Peano که اعداد طبیعی را تعریف می کند. صحت روش استقراء معادل این است که در هر زیر مجموعه ای از اعداد طبیعی یک عنصر حداقل وجود دارد.

همچنین یک تغییر وجود دارد، به اصطلاح اصل استقراء کامل ریاضی. در اینجا عبارت دقیق آن است:

اصل استقرای کامل ریاضی نیز معادل اصل استقراء در بدیهیات Peano است.

مثال ها

یک وظیفه.ثابت کنید، هر چه طبیعی است nو واقعی q≠ 1، برابری

اثباتالقاء در n.

پایه, n = 1:

انتقال: بیایید وانمود کنیم

Q.E.D.

اظهار نظر:وفاداری بیانیه پ nدر این برهان همان اعتبار تساوی است

همچنین ببینید

تغییرات و تعمیم

ادبیات

N. Ya. Vilenkinالقاء. ترکیبیات. راهنمای معلمان م.، روشنگری، 1976.-48 ص.
L. I. Golovina، I. M. Yaglomاستقرا در هندسه، "سخنرانی های مردمی در ریاضیات"، شماره 21، فیزمتگیز 1961.-100 ص.
آر. کورانت، جی. رابینز"ریاضی چیست؟" فصل اول، §2.
I. S. Sominskyروش استقراء ریاضی. "سخنرانی های رایج در ریاضیات"، شماره 3، انتشارات ناوکا 1965.-58 ص.

بنیاد ویکی مدیا 2010 .

ببینید "روش استقراء ریاضی" در فرهنگ های دیگر چیست:

استقرای ریاضی در ریاضیات یکی از روش های اثبات است. برای اثبات درستی برخی گزاره ها برای همه اعداد طبیعی استفاده می شود. برای این کار ابتدا صحت گزاره با عدد 1 بررسی می شود، پایه استقراء و سپس ... ... ویکی پدیا

روشی برای ساختن یک نظریه، در حالی که مبتنی بر برخی از مفاد آن - بدیهیات یا فرضیات - است که همه مفاد دیگر نظریه (قضیه) با استدلال از آن به دست می‌آیند که برهان m i نامیده می‌شود. به هر حال قوانین ...... دایره المعارف فلسفی

استقرا (لاتین inductio guidance) فرآیند استنتاج بر اساس گذار از یک موقعیت خاص به یک موقعیت عمومی است. استدلال استقرایی مقدمات خصوصی را با نتیجه گیری نه چندان از طریق قوانین منطق، بلکه از طریق برخی ... ویکی پدیا مرتبط می کند.

روش ژنتیکی- راهی برای تنظیم محتوا و ماهیت موضوع مورد مطالعه نه از طریق قرارداد، ایده آل سازی یا نتیجه گیری منطقی، بلکه با مطالعه منشأ آن (بر اساس مطالعه دلایلی که منجر به وقوع آن، مکانیسم شکل گیری). وسیع... ... فلسفه علم: واژه نامه اصطلاحات پایه

روش ساخت نظریه علمیکه در آن بر پاره ای از احکام (حکمات) اولیه بدیهیات (رجوع کنید به بدیهیات) یا اصولی استوار است که همه گزاره های دیگر این علم (قضیه ها (نگاه کنید به قضیه)) را باید از آنها استخراج کرد ... ... دایره المعارف بزرگ شوروی

روش بدیهی- روش بدیهی (از یونانی. axioma) موقعیت پذیرفته شده روشی برای ساختن یک نظریه علمی است که در آن فقط بدیهیات، فرضیه‌ها و گزاره‌هایی که قبلاً از آنها مشتق شده‌اند در شواهد استفاده می‌شوند. برای اولین بار نمایش داده شد ... دایره المعارف معرفت شناسی و فلسفه علم

یکی از روش های تئوری خطا برای تخمین کمیت های مجهول از نتایج اندازه گیری حاوی خطاهای تصادفی است. N.c.m. همچنین برای نمایش تقریبی یک تابع داده شده توسط سایر توابع (ساده تر) استفاده می شود و اغلب معلوم می شود که ... دایره المعارف ریاضی

استقراء ریاضی یکی از روش های اثبات ریاضی است که برای اثبات درستی برخی گزاره ها برای همه اعداد طبیعی استفاده می شود. برای این کار ابتدا ... ویکی پدیا را بررسی کنید

این اصطلاح معانی دیگری دارد، به استقرا مراجعه کنید. استقرا (لاتین inductio guidance) فرآیند استنتاج بر اساس گذار از یک موقعیت خاص به یک موقعیت عمومی است. استدلال استقرایی مکان های خصوصی را به هم متصل می کند ... ... ویکی پدیا

متن اثر بدون تصویر و فرمول قرار داده شده است.
نسخه کاملکار در برگه "فایل های کار" در قالب PDF موجود است

مقدمه

این موضوع مهم است، زیرا مردم هر روز مسائل مختلفی را حل می کنند که در آنها از روش های مختلف حل استفاده می کنند، اما کارهایی وجود دارد که در آنها نمی توان از روش استقراء ریاضی صرف نظر کرد و در چنین مواردی دانش در این زمینه بسیار مفید خواهد بود.

من این موضوع را برای تحقیق انتخاب کردم زیرا برنامه آموزشی مدرسهزمان کمی به روش استقراء ریاضی اختصاص داده می شود، دانش آموز اطلاعات سطحی را می آموزد که به او کمک می کند فقط یک ایده کلی از این روش، اما مطالعه عمیق این نظریه مستلزم خودسازی است. یادگیری بیشتر در مورد این موضوع واقعا مفید خواهد بود، زیرا افق های یک فرد را گسترش می دهد و به حل مشکلات پیچیده کمک می کند.

هدف، واقعگرایانه:

با روش استقراء ریاضی آشنا شوید، دانش را در این موضوع نظام‌مند کنید و آن را در هنگام حل به کار ببرید. مشکلات ریاضیو اثبات قضایا، اهمیت عملی روش استقراء ریاضی را به عنوان عاملی ضروری برای حل مسائل اثبات کرده و به وضوح نشان می دهد.

وظایف کاری:

ادبیات را تجزیه و تحلیل کنید و دانش را در مورد موضوع خلاصه کنید.

اصول استقراء ریاضی را بشناسید.

کاربرد روش استقراء ریاضی در حل مسئله را بررسی کنید.

نتیجه گیری و نتیجه گیری را در مورد کار انجام شده تدوین کنید.

بدنه اصلی تحقیق

تاریخچه مبدا:

فقط به اواخر نوزدهمقرن، استانداردی از الزامات برای سختگیری منطقی ایجاد شده است که تا به امروز بر آن حاکم است کار عملیریاضیدانان در مورد توسعه نظریه های ریاضی فردی.

استقرا یک رویه شناختی است که از طریق مقایسه واقعیت های موجود، بیانیه ای برای تعمیم آنها استنتاج می شود.

در ریاضیات، نقش استقراء تا حد زیادی این است که زیربنای بدیهیات انتخاب شده است. پس از یک تمرین طولانی نشان داد که یک مسیر مستقیم همیشه کوتاهتر از یک مسیر منحنی یا شکسته است، طبیعی بود که یک اصل موضوعی را فرموله کنیم: برای هر سه نقطه A، B و C، نابرابری برآورده می شود.

آگاهی از روش استقراء ریاضی به عنوان یک روش مهم جداگانه به بلز پاسکال و جرسونیدس برمی گردد، اگرچه مواردی از کاربرد حتی در دوران باستان توسط پروکلوس و اقلیدس یافت شده است. نام مدرن این روش توسط دی مورگان در سال 1838 معرفی شد.

روش استقرای ریاضی را می توان با پیشرفت مقایسه کرد: در نتیجه از پایین ترین نقطه شروع می کنیم تفکر منطقیبه بالاترین حد می رسیم انسان همیشه برای پیشرفت، برای توانایی توسعه منطقی فکر خود تلاش کرده است، به این معنی که طبیعت خود او را مقدر کرده است که به صورت استقرایی فکر کند.

استقراء و قیاس

معلوم است که هر دو گزاره خاص و عام وجود دارد و دو اصطلاح داده شده بر اساس انتقال از یکی به دیگری است.

کسر (از لاتین deductio - اشتقاق) - انتقال در فرآیند شناخت از عمومیدانش به خصوصیو تنها. در استنتاج، دانش عمومی به عنوان نقطه شروع استدلال عمل می کند، و این دانش کلی «آماده» و موجود فرض می شود. ویژگی استنباط این است که صدق مقدمات آن تضمین کننده صدق نتیجه است. بنابراین، استنتاج از قدرت متقاعدسازی بالایی برخوردار است و نه تنها برای اثبات قضایای ریاضیات، بلکه در هر جایی که به دانش قابل اعتمادی نیاز باشد، به طور گسترده استفاده می شود.

استقرا (از لاتین inductio - هدایت) انتقالی در فرآیند شناخت از خصوصیدانش به عمومیبه عبارت دیگر، این یک روش تحقیق، دانش است که با تعمیم نتایج مشاهدات و آزمایشات همراه است، یکی از ویژگی های استقراء، ماهیت احتمالی آن است، یعنی. با توجه به صدق مقدمات اولیه، نتیجه استقراء احتمالاً درست است، و در نتیجه نهایی ممکن است هم درست و هم نادرست باشد.

القاء کامل و ناقص

استدلال استقرایی شکلی از تفکر انتزاعی است که در آن تفکر از دانش کلی کمتر به دانش کلی بیشتر توسعه می‌یابد و نتیجه‌ای که از مقدمات به دست می‌آید عمدتاً احتمالی است.

در جریان تحقیق متوجه شدم که استقرا به دو نوع کامل و ناقص تقسیم می شود.

استقراء کامل به نتیجه ای گفته می شود که در آن یک نتیجه گیری کلی در مورد یک کلاس از اشیاء بر اساس مطالعه همه اشیاء این طبقه انجام می شود.

برای مثال، فرض کنید لازم است که هر عدد زوج طبیعی n در 6≤ n≤ 18 را می توان به صورت مجموع دو نشان داد. اعداد اول. برای انجام این کار، تمام اعداد را می گیریم و بسط های مربوطه را می نویسیم:

6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;14=7+7; 16=11+5; 18=13+5;

این برابری ها نشان می دهد که هر یک از اعداد مورد علاقه ما در واقع به عنوان مجموع دو جمله ساده نشان داده می شود.

مثال زیر را در نظر بگیرید: دنباله yn= n 2 +n+17; بیایید چهار عبارت اول را بنویسیم: y 1 =19; y2=23; y3=29; y4=37; سپس می توانیم فرض کنیم که کل دنباله از اعداد اول تشکیل شده است. اما اینطور نیست، بیایید y 16 = 16 2 +16+17=16(16+1)+17=17*17 را در نظر بگیریم. این یک عدد ترکیبی است، به این معنی که فرض ما اشتباه است، بنابراین، استقرای ناقص به نتایج کاملاً قابل اعتمادی منجر نمی شود، اما به ما اجازه می دهد تا یک فرضیه را فرموله کنیم، که بعداً به اثبات یا رد ریاضی نیاز دارد.

روش استقراء ریاضی

استقرای کامل فقط کاربردهای محدودی در ریاضیات دارد. بسیاری از گزاره های ریاضی جالب تعداد بی نهایت مورد خاص را پوشش می دهند و ما نمی توانیم برای همه این موقعیت ها آزمایش کنیم، اما چگونه برای تعداد نامتناهی موارد آزمایش کنیم؟ این روش توسط B. Pascal و J. Bernoulli ارائه شده است، این یک روش استقرایی ریاضی است که بر اساس اصل استقراء ریاضی.

اگر جمله A(n) که به یک عدد طبیعی n وابسته است، برای n=1 صادق باشد و از این حقیقت که برای n=k صادق است (که k هر عدد طبیعی است)، نتیجه می شود که آن نیز صادق است. درست برای شماره بعدی n=k+1، پس فرض A(n) برای هر عدد طبیعی n درست است.

اگر جمله A(n) برای n=p درست باشد و اگر A(k)  A(k+1) برای هر k>p، سپس جمله A(n) برای هر n>p صادق است.

الگوریتم (شامل چهار مرحله است):

1.پایه(ما نشان می دهیم که ادعای اثبات شده برای برخی از ساده ترین موارد خاص صادق است ( پ = 1));

2. حدس بزن(فرض می کنیم که ادعا برای اولی ثابت شده است به موارد)؛ 3 .گام(تحت این فرض ما ادعای مورد را اثبات می کنیم پ = به + 1)؛ 4. خروجی (yبیانیه برای همه موارد صادق است، یعنی برای همه پ) .

توجه داشته باشید که همه مسائل را نمی توان با روش استقرای ریاضی حل کرد، بلکه فقط مسائل را می توان با پارامترهای متغیری حل کرد. این متغیر را متغیر القایی می نامند.

کاربرد روش استقراء ریاضی

بیایید همه این تئوری را در عمل اعمال کنیم و دریابیم که این روش در کدام مشکلات استفاده می شود.

مشکلات برای اثبات نابرابری ها.

مثال 1نابرابری برنولی (1+x)n≥1+n x، x>-1، n∈ N را ثابت کنید.

1) برای n=1، نابرابری درست است، زیرا 1+х≥1+х

2) فرض کنید که نابرابری برای مقداری n=k درست است، یعنی.

(1+x) k ≥1+k x.

با ضرب دو طرف نامساوی در عدد مثبت 1+x، به دست می آید

(1+x) k+1 ≥(1+kx)(1+ x) =1+(k+1) x + kx 2

با در نظر گرفتن اینکه kx 2 ≥0، به نابرابری می رسیم

(1+x) k+1 ≥1+(k+1) x.

بنابراین، این فرض که نابرابری برنولی برای n=k صادق است، دلالت بر این دارد که برای n=k+1 درست است. بر اساس روش استقراء ریاضی، می توان استدلال کرد که نابرابری برنولی برای هر n ∈ N معتبر است.

مثال 2ثابت کنید که برای هر عدد طبیعی n>1، .

اجازه دهید با استفاده از روش استقرای ریاضی ثابت کنیم.

سمت چپ نابرابری را با نشان دهید.

1)، بنابراین، برای n=2 نابرابری درست است.

2) اجازه دهید برای مقداری k. اجازه دهید آن را ثابت کنیم و سپس ما داریم .

مقایسه و، داریم، i.e. .

برای هر عدد صحیح مثبت k، سمت راست آخرین برابری مثبت است. از همین رو. اما، بنابراین، و ما اعتبار نابرابری را برای n=k+1 ثابت کردیم، بنابراین، به موجب روش استقرای ریاضی، نابرابری برای هر n>1 طبیعی صادق است.

مشکلات برای اثبات هویت

مثال 1ثابت کنید که برای هر n طبیعی برابری درست است:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

بگذارید n=1، سپس X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

می بینیم که برای n=1 جمله درست است.

2) فرض کنید که برابری برای n=kX k =k 2 (k+1) 2 /4 صادق باشد.

3) اجازه دهید صدق این جمله را برای n=k+1 ثابت کنیم، یعنی X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k+1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2/4.

از اثبات بالا مشخص می شود که این گزاره برای n=k+1 صادق است، بنابراین، برابری برای هر n طبیعی صادق است.

مثال 2ثابت کنید که برای هر n طبیعی برابری

1) بررسی کنید که این هویت برای n = 1 درست باشد. - درست.

2) بگذارید هویت برای n = k نیز صادق باشد، i.e.

3) اجازه دهید ثابت کنیم که این هویت برای n = k + 1 نیز صادق است، یعنی;

زیرا برابری برای n=k و n=k+1 صادق است، سپس برای هر n طبیعی صادق است.

جمع بندی وظایف

مثال 1ثابت کنید 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .

راه حل: 1) n=1=1 2 داریم. بنابراین، عبارت برای n=1 درست است، یعنی. الف (1) درست است.

2) اجازه دهید ثابت کنیم که A(k) A(k+1).

بگذارید k هر عدد طبیعی باشد و این عبارت برای n=k درست باشد، یعنی 1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

اجازه دهید ثابت کنیم که این ادعا برای عدد طبیعی بعدی n=k+1 نیز صادق است، یعنی. چی

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

در واقع، 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

بنابراین، A(k) A(k+1). بر اساس اصل استقراء ریاضی، نتیجه می گیریم که فرض A(n) برای هر n N درست است.

مثال 2فرمول را ثابت کنید، n یک عدد طبیعی است.

راه حل: وقتی n=1 هر دو قسمت برابری به یک تبدیل می شود و بنابراین شرط اول اصل استقراء ریاضی برآورده می شود.

فرض کنید که فرمول برای n=k درست است، یعنی. .

به هر دو طرف این برابری اضافه کنید و تغییر دهید سمت راست. سپس می گیریم

بنابراین، از این واقعیت که فرمول برای n=k درست است، نتیجه می شود که برای n=k+1 درست است، سپس این عبارت برای هر n طبیعی صادق است.

مشکلات تقسیم پذیری

مثال 1ثابت کنید که (11 n+2 +12 2n+1) بدون باقی مانده بر 133 بخش پذیر است.

راه حل: 1) پس اجازه دهید n=1 باشد

11 3 + 12 3 \u003d (11 + 12) (11 2 -132 + 12 2) \u003d 23 × 133.

(23 × 133) بدون باقی مانده بر 133 بخش پذیر است، بنابراین برای n=1 جمله درست است.

2) فرض کنید که (11 k+2 +12 2k+1) بدون باقیمانده بر 133 بخش پذیر است.

3) اجازه دهید در این مورد ثابت کنیم

(11 k+3 +12 2k+3) بدون باقیمانده بر 133 بخش پذیر است. در واقع، 11 k+3 +12 2n+3 =11×11 k+2 +

12 2 × 12 2k+1 =11× 11 k+2 +(11+133)× 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133× 12 2k+1 .

مجموع حاصل بدون باقیمانده بر 133 بخش پذیر است، زیرا جمله اول آن بر اساس فرض بر 133 بدون باقیمانده بخش پذیر است و در عامل دوم 133 است.

بنابراین، A(k) → A(k+1)، سپس بر اساس روش استقراء ریاضی، گزاره برای هر n طبیعی صادق است.

مثال 2ثابت کنید که 3 3n-1 +2 4n-3 برای یک عدد صحیح مثبت دلخواه n بر 11 بخش پذیر است.

راه حل: 1) بگذارید n=1، سپس X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 بدون باقی مانده بر 11 بخش پذیر است. بنابراین، برای n=1 جمله درست است.

2) فرض کنید که برای n=k

X k \u003d 3 3k-1 +2 4k-3 بدون باقیمانده بر 11 بخش پذیر است.

3) اجازه دهید ثابت کنیم که عبارت برای n=k+1 درست است.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 *3 3k-1 +2 4 *2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =(16+11)* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16* 3 3k-1 +

11* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11* 3 3k-1 .

جمله اول بدون باقیمانده بر 11 بخش پذیر است، زیرا 3 3k-1 +2 4k-3 با فرض بر 11 بخش پذیر است، دومی بر 11 بخش پذیر است، زیرا یکی از عوامل آن عدد 11 است. بنابراین، مجموع عبارت است از همچنین برای هر n طبیعی بدون باقیمانده بر 11 بخش پذیر است.

وظایفی از زندگی واقعی

مثال 1ثابت کنید که مجموع Sn زوایای داخلی هر چندضلعی محدب برابر است با ( پ- 2) π، که در آن پتعداد اضلاع این چند ضلعی است: Sn = ( پ- 2) π (1).

این بیانیه برای همه طبیعی معنی ندارد پ، اما فقط برای پ > 3، زیرا حداقل تعداد زاویه های یک مثلث 3 است.

1) چه زمانی پ= 3 عبارت ما به شکل: S 3 = π. اما مجموع زوایای داخلی هر مثلث در واقع π است. بنابراین، زمانی که پ= 3 فرمول (1) درست است.

2) بگذارید این فرمول برای n درست باشد =k، یعنی S ک = (ک- 2) π، که در آن ک > 3. ثابت کنیم که در این مورد نیز این فرمول صادق است: S k+ 1 = (ک- 1) π.

بگذارید A 1 A 2 ... A ک آ k+ 1 - محدب دلخواه ( ک+ 1) -gon (شکل 338).

با اتصال نقاط A 1 و A ک ، محدب می شویم ک-gon A 1 A 2 ... A ک - 1A ک . بدیهی است که مجموع زوایای ( ک+ 1) -gon A 1 A 2 ... A ک آ k+ 1 برابر است با مجموع زوایا ک-gon A 1 A 2 ... A ک به اضافه مجموع زوایای مثلث A 1 A ک آ k+ یکی . اما مجموع زوایای ک-gon A 1 A 2 ... A ک فرض می شود که ( ک- 2) π، و مجموع زوایای مثلث A 1 A ک آ k+ 1 برابر با پی است. از همین رو

اس k+ 1=S ک + π = ( ک- 2)π + π = ( ک- 1) π.

بنابراین، هر دو شرط اصل استقراء ریاضی برآورده می شود و بنابراین فرمول (1) برای هر طبیعی صادق است. پ > 3.

مثال 2یک راه پله هست که همه پله هایش یکیه. لازم است حداقل تعداد موقعیت هایی را که امکان "صعود" هر مرحله به تعداد را تضمین می کند، مشخص کنید.

همه قبول دارند که باید یک شرط وجود داشته باشد. ما باید بتوانیم از اولین پله بالا برویم. در مرحله بعد، آنها باید بتوانند از پله اول به پله دوم صعود کنند. سپس در دوم - در سوم و غیره. به گام نهم البته، در مجموع، عبارات "n" nm را تضمین می کند که بتوانیم به مرحله n-ام برسیم.

اکنون به موقعیت های 2، 3،….، n نگاه می کنیم و آنها را با یکدیگر مقایسه می کنیم. به راحتی می توان فهمید که همه آنها ساختار یکسانی دارند: اگر به پله k رسیدیم، می توانیم از پله (k + 1) بالا برویم. از اینجا، چنین بدیهی برای اعتبار گزاره‌هایی که به «n» وابسته هستند طبیعی می‌شود: اگر جمله A (n) که در آن n یک عدد طبیعی است، برای n=1 و از این واقعیت که راضی است، قانع می‌شود. برای n=k (که k هر عدد طبیعی است)، نتیجه می شود که برای n=k+1 نیز صادق است، سپس فرض A(n) برای هر عدد طبیعی n صادق است.

کاربرد

وظایف با استفاده از روش استقراء ریاضی هنگام ورود به دانشگاه.

توجه داشته باشید که پس از پذیرش در بالاتر موسسات آموزشیمشکلاتی نیز وجود دارد که با این روش حل می شود. بیایید آنها را در نمونه های خاص در نظر بگیریم.

مثال 1ثابت کنید که طبیعی است پبرابری عادلانه

1) چه زمانی n=1ما برابری صحیح Sin را دریافت می کنیم.

2) با این فرض استقرایی که برای n= کبرابری درست است، مجموع سمت چپ برابری را برای n در نظر بگیرید =k+1;

3) با استفاده از فرمول های کاهش، عبارت را تبدیل می کنیم:

سپس، به موجب روش استقراء ریاضی، برابری برای هر n طبیعی صادق است.

مثال 2ثابت کنید که برای هر n طبیعی مقدار عبارت 4n +15n-1 مضرب 9 است.

1) با n=1: 2 2 +15-1=18 - مضرب 9 (زیرا 18:9=2)

2) اجازه دهید برابری برقرار باشد n=k: 4k +15k-1 مضرب 9 است.

3) اجازه دهید ثابت کنیم که تساوی برای عدد بعدی برقرار است n=k+1

4k+1 +15(k+1)-1=4k+1 +15k+15-1=4.4k +60k-4-45k+18=4(4k +15k-1)-9 (5k-2)

4 (4k +15k-1) - مضرب 9؛

9 (5k-2) - مضرب 9؛

در نتیجه، کل عبارت 4(4k +15k-1)-9(5k-2) مضربی از 9 است که قرار بود ثابت شود.

مثال 3برای هر عدد طبیعی ثابت کنید پشرط برقرار است: 1∙2∙3+2∙3∙4+…+ n(n+1)(n+2)=.

1) بررسی کنید که آیا این فرمول درست است n=1:سمت چپ = 1∙2∙3=6.

قسمت سمت راست = . 6 = 6; درست در n=1.

2) فرض کنید که این فرمول برای n درست است =k:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+k(k+1)(k+2)=.اس ک =.

3) اجازه دهید ثابت کنیم که این فرمول برای n درست است =k+1:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+(k+1)(k+2)(k+3)=.

اس k+1 =.

اثبات:

بنابراین، این شرط در دو مورد صادق است و ثابت کرد که برای n درست است =k+1،بنابراین برای هر عدد طبیعی صادق است پ.

نتیجه

به طور خلاصه در فرآیند تحقیق متوجه شدم استقراء چیست که کامل یا ناقص است، با روش استقرای ریاضی بر اساس اصل استقراء ریاضی آشنا شدم، با استفاده از این روش مشکلات زیادی را در نظر گرفتم.

من هم خیلی چیزها یاد گرفتم اطلاعات جدیدمتفاوت از آنچه در برنامه درسی گنجانده شده است، در حین مطالعه روش استقراء ریاضی از ادبیات مختلف، منابع اینترنتی و همچنین مشاوره با معلم استفاده کردم.

نتیجه: با داشتن دانش تعمیم یافته و سیستماتیک در مورد استقراء ریاضی، من به نیاز به دانش در مورد این موضوع در واقعیت متقاعد شدم. کیفیت مثبتروش استقراء ریاضی کاربرد وسیع آن در حل مسائل است: در زمینه جبر، هندسه و ریاضیات واقعی. همچنین این دانش باعث افزایش علاقه به ریاضیات به عنوان یک علم می شود.

من مطمئن هستم که مهارت های کسب شده در طول کار به من در آینده کمک خواهد کرد.

کتابشناسی - فهرست کتب

سومینسکی I.S. روش استقراء ریاضی. سخنرانی های رایج در ریاضیات، شماره 3-M.: Nauka، 1974.

L. I. Golovina، I. M. Yaglom. استقرا در هندسه. - Fizmatgiz, 1961. - T. 21. - 100 p. - (سخنرانی محبوب در ریاضیات).

Dorofeev G.V.، Potapov M.K.، Rozov N.Kh. کتابچه راهنمای ریاضیات برای متقاضیان ورود به دانشگاه ها (سوالات منتخب ریاضیات ابتدایی) - ویرایش پنجم، اصلاح شده، 1976 - 638s.

A. Shen. استقراء ریاضی. - MTsNMO، 2004. - 36 ص.

M.L. Galitsky، A.M. Goldman، L.I. Zvavich مجموعه مسائل در جبر: کتاب درسی برای 8-9 سلول. با یک عمیق مطالعه ریاضیات ویرایش هفتم - M.: آموزش و پرورش، 2001. - 271 ص.

یو.ن. - M .: Pro-sve-shche-nie، 2002.

ویکی پدیا دانشنامه آزاد است.

ساولیوا اکاترینا

این مقاله کاربرد روش استقرای ریاضی را در حل مسائل بخش پذیری، برای جمع سری ها در نظر می گیرد. نمونه هایی از کاربرد روش استقرای ریاضی برای اثبات نامساوی ها و حل مسائل هندسی در نظر گرفته شده است. کار با ارائه به تصویر کشیده شده است.

دانلود:

پیش نمایش:

وزارت علوم و آموزش و پرورش فدراسیون روسیه

موسسه آموزشی دولتی

میانگین مدرسه جامع № 618

درس: جبر و آغاز تحلیل

موضوع کار پروژه

"روش استقراء ریاضی و کاربرد آن در حل مسئله"

کار تکمیل شد: Savelyeva E، کلاس 11B

سرپرست : Makarova T.P.، معلم ریاضیات، دبیرستان №618

1. مقدمه.

2. روش استقراء ریاضی در حل مسائل بخش پذیری.

3. کاربرد روش استقراء ریاضی در جمع سری.

4. نمونه هایی از به کارگیری روش استقراء ریاضی در اثبات نابرابری ها.

5. کاربرد روش استقراء ریاضی در حل مسائل هندسی.

6. فهرست ادبیات استفاده شده.

مقدمه

روش های قیاسی و استقرایی اساس هر تحقیق ریاضی است. روش قیاسیاستدلال، استدلال از عام به جزئی است، یعنی. استدلالی که نقطه شروع آن نتیجه کلی و نقطه پایانی نتیجه خاص است. استقرا هنگام عبور از نتایج خاص به نتایج عمومی اعمال می شود، یعنی. برعکس روش قیاسی است. روش استقرای ریاضی را می توان با پیشرفت مقایسه کرد. ما از پایین ترین نقطه شروع می کنیم، در نتیجه تفکر منطقی به بالاترین می رسیم. انسان همیشه برای پیشرفت، برای توانایی توسعه منطقی فکر خود تلاش کرده است، به این معنی که طبیعت خود او را مقدر کرده است که به صورت استقرایی فکر کند. اگرچه زمینه کاربرد روش استقراء ریاضی رشد کرده است، اما زمان کمی در برنامه درسی مدرسه به آن اختصاص می‌یابد، اما توانایی تفکر استقرایی بسیار مهم است. کاربرد این اصل در حل مسائل و اثبات قضایا همتراز با توجه است تمرین مدرسهو سایر اصول ریاضی: میانه حذف شده، شمول-حذف، دیریکله و غیره. در صحبت از اهمیت این روش، A.N. کولموگروف خاطرنشان کرد که "درک و توانایی به کارگیری اصل استقراء ریاضی معیار خوبی برای بلوغ است که برای یک ریاضیدان کاملا ضروری است." روش استقرا در معنای وسیع آن عبارت است از انتقال از مشاهدات خصوصی به یک الگوی جهانی، کلی یا فرمول بندی کلی. در این تفسیر، روش، البته، تکنیک اصلی برای انجام تحقیقات در هر علوم تجربی تجربی است.

فعالیت های انسانی. روش (اصل) استقراء ریاضی در ساده ترین شکل آن زمانی استفاده می شود که لازم باشد یک جمله برای همه اعداد طبیعی اثبات شود.

مسئله 1. در مقاله خود "چگونه ریاضیدان شدم" A.N. کولموگروف می نویسد: "من لذت "کشف" ریاضی را زود یاد گرفتم، زیرا در سن پنج یا شش سالگی متوجه این الگو شدم.

1 =1 2 ,

1 + 3 = 2 2 ,

1 + 3 + 5 \u003d W 2،

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 و غیره.

این مدرسه مجله «پرستوهای بهاری» را منتشر می کرد. در آن، کشف من منتشر شد ... "

ما نمی دانیم چه نوع مدرکی در این مجله ارائه شده است، اما همه چیز با مشاهدات خصوصی شروع شد. خود فرضیه ای که احتمالاً پس از کشف این برابری های خاص به وجود آمد این است که فرمول

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2

برای هر عدد معین درست است n = 1، 2، 3، ...

برای اثبات این حدس، به اثبات دو واقعیت بسنده می شود. اول، برای n = 1 (و حتی برای n = 2، 3، 4) عبارت مورد نظر درست است. دوم، فرض کنید که این عبارت برای n = k، و بررسی کنید که در آن صورت برای آن نیز صادق است n = k + 1:

1 + 3 + 5 +…+ (2k - 1) + (2k + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) = (k + I) 2 .

از این رو، ادعای اثبات شده برای همه ارزش ها صادق است n: برای n = 1 درست است (این مورد تأیید شده است) و به موجب واقعیت دوم، برای n = 2، از این رو برای n = 3 (به دلیل همان واقعیت دوم) و غیره.

مشکل 2. همه موارد ممکن را در نظر بگیرید کسرهای رایجبا عدد 1 و هر (عدد صحیح مثبت)

مخرج: ثابت کنید که برای هر کدام n> 3 را می توان به صورت مجموع نشان دادپ کسری های مختلف از این نوع

راه حل، اجازه دهید ابتدا این ادعا را بررسی کنیم n = 3; ما داریم:

بنابراین، ادعای اساسی راضی است

اکنون فرض کنید که عبارت مورد علاقه ما برای برخی از اعداد صادق استبه، و ثابت کنید که برای عدد زیر نیز صادق استبه + 1. به عبارت دیگر فرض کنید یک نمایندگی وجود دارد

که در آن ک اصطلاحات و همه مخرج ها متفاوت هستند. اجازه دهید ثابت کنیم که در این صورت می توان یک نمایش واحد را به صورت مجموع ازبه + 1 کسری از نوع دلخواه. ما فرض می کنیم که کسرها کاهش می یابند، یعنی مخرج ها (در نمایش واحد با مجموعبه شرایط) از چپ به راست افزایش دهید تاتی بزرگترین مخرج است. ما نمایندگی مورد نیاز خود را به صورت مبلغ دریافت می کنیم(به + 1) کسر، اگر یک کسری را، مثلاً آخری، را به دو تقسیم کنیم. این را می توان انجام داد زیرا

و بنابراین

علاوه بر این، همه کسری ها متفاوت هستند، زیراتی بزرگترین مخرج بود و t + 1 > t و

m(t + 1) > m.

بنابراین، ما ایجاد کردیم:

برای n = 3 این گفته درست است.

اگر عبارتی که ما به آن علاقه داریم درست باشدبه،
سپس برای آن نیز صادق استبه + 1.

بر این اساس، می توان ادعا کرد که گزاره مورد بررسی برای همه اعداد طبیعی که از سه شروع می شوند صادق است. علاوه بر این، اثبات بالا همچنین مستلزم الگوریتمی برای یافتن پارتیشن مورد نظر وحدت است. (این چه الگوریتمی است؟ عدد 1 را مجموع 4، 5، 7 جمله خود تصور کنید.)

در حل دو مشکل قبلی دو گام برداشته شد. مرحله اول نامیده می شوداساس القاء، دومانتقال القایییا یک مرحله القایی مرحله دوم مهم ترین است، و شامل یک فرض است (گزاره برای n = k) و نتیجه گیری (گزاره برای n = k + 1). خود پارامتر p فراخوانی می شود پارامتر القاییاین طرح منطقی (دستگاه)، که این امکان را فراهم می کند که نتیجه گیری شود که عبارت مورد بررسی برای همه اعداد طبیعی (یا برای همه، با شروع از برخی) صادق است، زیرا هم مبنا و هم انتقال معتبر هستند، نامیده می شود.اصل استقراء ریاضی،که روی آن و روش استقراء ریاضی مبتنی است.اصطلاح "القاء" خود از کلمه لاتین آمده استاستقرا (راهنما)، که به معنای انتقال از دانش واحد در مورد اشیاء فردی یک کلاس معین به یک نتیجه گیری کلی در مورد همه اشیاء یک کلاس معین است که یکی از روش های اصلی دانش است.

اصل استقراء ریاضی، به شکل معمول دو مرحله ای، اولین بار در سال 1654 در رساله بلز پاسکال در باب مثلث حسابی ظاهر شد که در آن روش ساده ای برای محاسبه تعداد ترکیب ها (ضرایب دوجمله ای) با استقرا اثبات شد. د. پویا از ب. پاسکال در کتاب با تغییرات جزئی در کروشه های مربع نقل قول می کند:

«با وجود این واقعیت که گزاره مورد بررسی [فرمول صریح ضرایب دوجمله ای] شامل بی نهایت حالت خاص است، من بر اساس دو لم برهان بسیار کوتاهی برای آن ارائه خواهم کرد.

لم اول بیان می کند که حدس برای پایه درست است - این واضح است. [درپ = 1 فرمول صریح معتبر است...]

لم دوم بیان می کند که: اگر فرض ما برای یک پایه دلخواه [برای یک r دلخواه] درست باشد، آنگاه برای پایه زیر [برای] صادق خواهد بود. n + 1].

این دو لم لزوماً بر اعتبار گزاره برای همه ارزش ها دلالت دارندپ. در واقع، به موجب لم اول، برای آن معتبر استپ = 1; بنابراین، به موجب لم دوم، برای آن معتبر استپ = 2; بنابراین، دوباره به موجب لم دوم، برای آن معتبر است n = 3 و به همین ترتیب ad infinitum.

مشکل 3. پازل برج هانوی از سه میله تشکیل شده است. روی یکی از میله ها یک هرم وجود دارد (شکل 1) که از چندین حلقه با قطرهای مختلف تشکیل شده است که از پایین به بالا کاهش می یابد.

عکس. 1

این هرم باید به یکی از میله های دیگر منتقل شود و هر بار فقط یک حلقه منتقل شود و حلقه بزرگتر روی حلقه کوچکتر قرار نگیرد. آیا می توان آن را انجام داد؟

راه حل. بنابراین، ما باید به این سوال پاسخ دهیم: آیا می توان یک هرم متشکل ازپ حلقه هایی با قطرهای مختلف، از یک میله به میله دیگر، با پیروی از قوانین بازی؟ اکنون مشکل همانطور که می گویند توسط ما پارامتر شده است (یک عدد طبیعیپ)، و با استقراء ریاضی قابل حل است.

پایه القایی برای n = 1، همه چیز واضح است، زیرا یک هرم یک حلقه به وضوح می تواند به هر میله ای منتقل شود.
مرحله القاء فرض کنید می توانیم هر هرمی را با تعداد حلقه ها حرکت دهیم p = k.
اجازه دهید ثابت کنیم که در این صورت می‌توانیم هرم را از وسط حرکت دهیم n = k + 1.

هرم از به حلقه هایی که روی بزرگترین آنها قرار دارد(به حلقه + 1)-ام، طبق این فرض می توانیم به هر محور دیگری حرکت کنیم. بیایید آن را انجام دهیم. بی حرکت(به حلقه + 1) برای اجرای الگوریتم جابجایی با ما تداخل نخواهد داشت، زیرا بزرگترین است. پس از حرکتبه حلقه ها، این بزرگترین را حرکت دهید(به حلقه + 1) روی میله باقی مانده. و سپس دوباره الگوریتم متحرکی را که با فرض استقرایی برای ما شناخته شده است اعمال می کنیمبه حلقه ها، و آنها را با میله حرکت دهید(به + 1) حلقه. بنابراین، اگر بتوانیم اهرام را بابه حلقه ها، سپس می توانیم اهرام را حرکت دهیم وبه + 1 حلقه. بنابراین، طبق اصل استقراء ریاضی، همیشه می توان هرم متشکل از n حلقه می شود، جایی که n > 1.

روش استقرای ریاضی در حل مسائل بخش پذیری.

با استفاده از روش استقراء ریاضی می توان گزاره های مختلفی را در مورد بخش پذیری اعداد طبیعی اثبات کرد.

وظیفه 4 . اگر n یک عدد طبیعی است، آنگاه عدد زوج است.

برای n=1 عبارت ما درست است: - یک عدد زوج. بیایید فرض کنیم که یک عدد زوج است. از آنجایی که 2k یک عدد زوج است، همینطور است. بنابراین، برابری برای n=1 ثابت می شود، برابری از برابری استنتاج می شود، بنابراین، حتی برای تمام مقادیر طبیعی n.

وظیفه 3. ثابت کنید که عدد Z 3 + 3 - 26n - 27 با طبیعی دلخواه n بدون باقیمانده بر 26 بخش پذیر است.

راه حل. اجازه دهید ابتدا با استقرا یک ادعای کمکی را ثابت کنیم که 3 3n+3 1 بدون باقی مانده بر 26 بخش پذیر است n > 0.

پایه القایی برای n = 0 داریم: Z 3 - 1 \u003d 26 - تقسیم بر 26.

مرحله القاء فرض کنید 3 3n + 3 - زمانی که 1 بر 26 بخش پذیر است n = k و اجازه دهید ثابت کنیم که در این مورد این ادعا برای آن صادق خواهد بود n = k + 1. از آنجایی که 3

سپس از فرض استقرایی نتیجه می گیریم که عدد 3 3k + 6 - 1 بر 26 بخش پذیر است.

اکنون اجازه دهید ادعای فرموله شده در شرایط مسئله را اثبات کنیم. و دوباره با استقرا.

پایه القایی بدیهی است که در n = 1 جمله درست است: از 3 3+3 - 26 - 27 = 676 = 26 2 .
مرحله القاء بیایید فرض کنیم که در n = k
بیان 3 3k + 3 - 26k - 27 بر 26 بخش پذیر است 2 بدون باقی مانده، و ثابت کنید که این ادعا برای n = k + 1,
یعنی آن عدد

قابل تقسیم بر 26 بدون هیچ ردی. در مجموع آخر، هر دو عبارت بدون باقیمانده بر 26 تقسیم می شوند 2 . اولی به این دلیل است که ما ثابت کردیم که عبارت داخل پرانتز بر 26 بخش پذیر است. دوم، با فرضیه استقرایی. به موجب اصل استقراء ریاضی، گزاره لازم کاملاً ثابت می شود.

کاربرد روش استقراء ریاضی در جمع سری ها.

وظیفه 5. فرمول را ثابت کنید

N یک عدد طبیعی است.

راه حل.

برای n=1، هر دو بخش برابری به یک تبدیل می‌شوند و بنابراین، شرط اول اصل استقراء ریاضی برآورده می‌شود.

فرض کنید که فرمول برای n=k درست است، یعنی.

بیایید به هر دو طرف این برابری اضافه کنیم و سمت راست را تغییر دهیم. سپس می گیریم

بنابراین، از این واقعیت که فرمول برای n=k درست است، نتیجه می شود که برای n=k+1 نیز صادق است. این عبارت برای هر مقدار طبیعی k صادق است. پس شرط دوم اصل استقراء ریاضی نیز برقرار است. فرمول ثابت شده است.

یک وظیفه 6. دو عدد روی تابلو نوشته شده است: 1.1. با وارد کردن مجموع آنها بین اعداد، اعداد 1، 2، 1 را به دست می آوریم. با تکرار مجدد این عمل، اعداد 1، 3، 2، 3، 1 به دست می آید. پس از سه عمل، اعداد 1، 4، 3 می شوند 5، 2، 5، 3، 4، 1. مجموع تمام اعداد روی تخته بعد از آن چقدر خواهد بود 100 عملیات؟

راه حل. همه 100 را انجام دهید عملیات بسیار وقت گیر و وقت گیر خواهد بود. بنابراین، باید سعی کنیم فرمولی کلی برای جمع S پیدا کنیماعداد بعد از n عملیات بیایید به جدول نگاه کنیم:

آیا به هیچ الگوی در اینجا توجه کردید؟ اگر نه، می توانید یک مرحله دیگر بردارید: پس از چهار عملیات، اعداد وجود خواهند داشت

1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1,

که مجموع S 4 آن 82 است.

در واقع، شما نمی توانید اعداد را بنویسید، اما بلافاصله بگویید پس از اضافه کردن اعداد جدید، مجموع چگونه تغییر می کند. اجازه دهید مجموع برابر با 5 باشد. وقتی اعداد جدید اضافه شوند چه چیزی می شود؟ بیایید هر عدد جدید را به مجموع دو عدد قدیمی تقسیم کنیم. به عنوان مثال، از 1، 3، 2، 3، 1 به 1 می رویم،

1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1.

یعنی هر عدد قدیمی (به جز دو عدد افراطی) اکنون سه بار مجموع را وارد می کند، بنابراین مجموع جدید 3S - 2 است (2 را تفریق کنید تا واحدهای از دست رفته را در نظر بگیرید). بنابراین S 5 = 3S 4 - 2 = 244 و به طور کلی

فرمول کلی چیست؟ اگر تفریق دو واحد نبود، هر بار مجموع سه برابر می شد، مانند توان های ثلاث (1، 3، 9، 27، 81، 243، ...). و اعداد ما، همانطور که اکنون می بینید، یک عدد دیگر است. بنابراین، می توان چنین فرض کرد که

اکنون سعی می کنیم این را با استقرا ثابت کنیم.

پایه القایی جدول را ببینید (برای n = 0، 1، 2، 3).

مرحله القاء بیایید وانمود کنیم که

اجازه دهید پس از آن ثابت کنیم S تا + 1 \u003d Z تا + 1 + 1.

واقعا،

بنابراین، فرمول ما ثابت شده است. نشان می دهد که پس از صد عمل مجموع تمام اعداد روی تخته برابر با 3 خواهد بود 100 + 1.

یکی را در نظر بگیرید مثال عالیاستفاده از اصل استقراء ریاضی که در آن ابتدا باید دو پارامتر طبیعی را معرفی کنید و سپس بر روی مجموع آنها استقرا انجام دهید.

یک وظیفه 7. ثابت کنید که اگر= 2، x 2 = 3 و برای هر طبیعی n> 3

x n \u003d Zx n - 1 - 2x n - 2،

سپس

2 n - 1 + 1، n = 1، 2، 3، ...

راه حل. توجه داشته باشید که در این مشکل دنباله اولیه اعداد(x n) با استقرا تعیین می شود، زیرا اصطلاحات دنباله ما، به جز دو مورد اول، به صورت استقرایی، یعنی از طریق موارد قبلی ارائه می شوند. دنباله های داده شده نامیده می شوندمکرر، و در مورد ما این دنباله (با مشخص کردن دو عبارت اول آن) به روشی منحصر به فرد تعیین می شود.

پایه القایی این شامل بررسی دو ادعا است: n=1 و n=2.B در هر دو مورد، این ادعا با فرض صادق است.

مرحله القاء بیایید فرض کنیم که برای n = k - 1 و n = k ادعا شده است، یعنی

اجازه دهید پس از آن ادعا را برای اثبات کنیم n = k + 1. داریم:

x 1 = 3(2 + 1) - 2(2 + 1) = 2 + 1 که قرار بود ثابت شود.

وظیفه 8. ثابت کنید که هر عدد طبیعی را می توان به صورت مجموع چندین عضو مختلف دنباله بازگشتی اعداد فیبوناچی نشان داد:

برای k > 2.

راه حل. اجازه دهید ص - عدد طبیعی. ما القاء را انجام خواهیم دادپ.

پایه القایی برای n = گزاره 1 درست است، زیرا واحد خود یک عدد فیبوناچی است.

مرحله القاء همه اعداد طبیعی را کوچکتر از یک عدد فرض کنیدپ، را می توان به صورت مجموع چند عبارت مختلف از دنباله فیبوناچی نشان داد. بزرگترین عدد فیبوناچی را پیدا کنیداف تی، تجاوز نمی کندپ؛ بنابراین F t n و F t +1 > n.

از آنجا که

با فرضیه استقرایی، عدد p- F t را می توان به صورت مجموع 5 عضو مختلف دنباله فیبوناچی نشان داد و از آخرین نابرابری نتیجه می شود که تمام اعضای دنباله فیبوناچی درگیر در مجموع 8 کمتر ازاف تی . بنابراین، گسترش تعداد n = 8 + F t شرایط مشکل را برآورده می کند.

نمونه هایی از کاربرد روش استقراء ریاضی در اثبات نابرابری ها.

وظیفه 9. (نابرابری برنولی.)ثابت کن وقتی x > -1، x 0، و برای عدد صحیح n > 2- نابرابری

(1 + x) n > 1 + xn.

راه حل. ما دوباره اثبات را با استقرا انجام خواهیم داد.

1. پایه القاء. اجازه دهید اعتبار نابرابری برای را بررسی کنیم n = 2. در واقع،

(1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x.

2. مرحله القاء. بیایید آن را برای عدد فرض کنیم n = k بیانیه درست است، یعنی

(1 + x) k > 1 + xk،

جایی که k > 2. آن را برای n = k + 1 ثابت می کنیم. داریم: (1 + x) k + 1 = (1 + x) k (1 + x)> (1 + kx) (1 + x) =

1 + (k + 1)x + kx 2 > 1 + (k + 1)x.

بنابراین، بر اساس اصل استقراء ریاضی، می توان ادعا کرد که نابرابری برنولی برای هر n > 2.

نه همیشه در شرایط مسائل حل شده با استفاده از روش استقراء ریاضی، قانون کلی که نیاز به اثبات دارد به وضوح تنظیم می شود. گاهی لازم است با مشاهده موارد خاص، ابتدا کشف شود (حدس بزند). قانون عمومیمی دهند و تنها پس از آن فرضیه بیان شده را با روش استقرای ریاضی اثبات می کنند. علاوه بر این، متغیر القایی را می توان پنهان کرد و قبل از حل مشکل، باید مشخص شود که القاء بر روی کدام پارامتر انجام می شود. به عنوان مثال، وظایف زیر را در نظر بگیرید.

مسئله 10. ثابت کنید

برای هر طبیعی n > 1.

راه حل، بیایید سعی کنیم این نابرابری را با استقرای ریاضی اثبات کنیم.

اساس القاء به راحتی تأیید می شود: 1+

با فرضیه استقرایی

و برای ما باقی می ماند که آن را ثابت کنیم

با استفاده از فرضیه استقرایی، ادعا خواهیم کرد

اگرچه این برابری در واقع درست است، اما راه حلی برای مشکل به ما نمی دهد.

بیایید سعی کنیم ادعایی قوی تر از آنچه در مسئله اصلی لازم است را اثبات کنیم. یعنی ما آن را ثابت خواهیم کرد

ممکن است به نظر برسد که اثبات این ادعا از طریق استقرا ناامیدکننده است.

با این حال، در ص = 1 داریم: عبارت درست است. برای توجیه گام استقرایی، فرض کنید که

و سپس آن را ثابت خواهیم کرد

واقعا،

بنابراین، ما یک ادعای قوی‌تر را ثابت کرده‌ایم که ادعای موجود در شرط مسئله بلافاصله از آن پیروی می‌کند.

نکته آموزنده در اینجا این است که اگرچه ما باید ادعای قوی‌تر از آنچه را که لازم است در مسئله اثبات می‌کنیم، می‌توانیم از یک فرض قوی‌تر در مرحله استقرایی نیز استفاده کنیم. این توضیح می دهد که استفاده مستقیم از اصل استقراء ریاضی همیشه به هدف منجر نمی شود.

وضعیتی که در حل مشکل به وجود آمد نامیده می شودپارادوکس مخترعخود تناقض این است که برنامه های پیچیده تری را می توان با آن اجرا کرد موفقیت بزرگاگر مبتنی بر درک عمیق تر از اصل موضوع باشد.

مسئله 11. ثابت کنید 2m + n - 2m برای هر طبیعینوعی از.

راه حل. در اینجا ما دو گزینه داریم. بنابراین، می توانید سعی کنید به اصطلاح را انجام دهیدالقای مضاعف(یک استقرا در یک استقرا).

ما استدلال استقرایی را انجام خواهیم دادپ.

1. پایه استقرا مطابق ص.برای n = 1 باید آن را بررسی کنید 2 t ~ 1 > t. برای اثبات این نابرابری از استقرا بر استفاده می کنیمتی

آ) پایه استقرا توسط جلد.برای t = 1 در حال انجام است
برابری که قابل قبول است.

ب) مرحله القاء با توجه به t.بیایید فرض کنیم که در t = k بیانیه درست است، یعنی 2 k ~ 1 > k. سپس بالا
اجازه دهید بگوییم که این ادعا درست است حتی اگر m = k + 1.
ما داریم:

در k طبیعی

بنابراین، نابرابری 2 برای هر طبیعی انجام می شودتی

2. مرحله القاء با توجه به آیتمتعدادی عدد طبیعی را انتخاب و تصحیح کنیدتی بیایید فرض کنیم که در n = من عبارت درست است (برای یک حالت ثابت t)، یعنی 2 t +1 ~ 2 > t1، و ثابت کنید که در این صورت این ادعا درست خواهد بود n = l + 1.
ما داریم:

برای هر طبیعینوعی از.

بنابراین، بر اساس اصل استقراء ریاضی (با توجه بهپ) بیان مشکل برای هر کسی صادق استپ و برای هر ثابتتی بنابراین، این نابرابری برای هر طبیعی صادق استنوعی از.

مسئله 12. m، n و k را فرض کنید اعداد طبیعی هستند و t > p کدام یک از دو عدد بزرگتر است:

در هر بیانیبه نشانه ها ریشه دوم, t و n متناوب

راه حل. اجازه دهید ابتدا برخی ادعاهای کمکی را اثبات کنیم.

لما برای هر طبیعی t و n (t > n) و غیر منفی (نه لزوما عدد صحیح)ایکس نابرابری

اثبات نابرابری را در نظر بگیرید

این نابرابری درست است، زیرا هر دو عامل در سمت چپ مثبت هستند. با گسترش براکت ها و تبدیل، دریافت می کنیم:

با گرفتن جذر هر دو قسمت آخرین نابرابری، ادعای لم را به دست می آوریم. بنابراین لم ثابت می شود.

حالا بیایید به سراغ حل مشکل برویم. بیایید اولین عدد از این اعداد را با علامت گذاری کنیمآ، و دوم از طریقب به . بیایید ثابت کنیم که الف برای هر طبیعیبه. اثبات با روش استقراء ریاضی به طور جداگانه برای زوج و فرد انجام می شودبه.

پایه القایی برای k = 1 ما نابرابری را داریم

y[t > y/n ، که با توجه به اینکه معتبر است m > n. = 2، نتیجه مورد نظر از لم اثبات شده با جایگزینی به دست می آید x = 0.

مرحله القاء فرض کنید، برای برخیبه نابرابری a >b به نمایشگاه. این را ثابت کنیم

از فرض استقراء و یکنواختی جذر، داریم:

از سوی دیگر، از لم ثابت شده بر می آید که

از ترکیب دو نامساوی آخر به دست می آید:

با توجه به اصل استقراء ریاضی، این ادعا ثابت می شود.

وظیفه 13. (نابرابری کوشی.)برای هر عدد مثبت ثابت کنید...یک صفحه نابرابری

راه حل. برای n = 2 نابرابری

میانگین حسابی و میانگین هندسی (برای دو عدد) شناخته شده در نظر گرفته خواهد شد. اجازه دهید n= 2، k = 1، 2، 3، ... و ابتدا القاء را بر روی انجام دهیدبه. اساس این استقرا برقرار است، با فرض اینکه اکنون نابرابری مورد نظر برای آن ایجاد شده است n = 2، ما آن را ثابت خواهیم کردپ = 2. داریم (با استفاده از نامساوی دو عدد):

بنابراین، با فرضیه استقرایی

بنابراین، با استقرا بر k، نابرابری را برای همه ثابت کردیمص 9 که توان های دو هستند.

برای اثبات نابرابری برای مقادیر دیگرپ از "استقرا پایین" استفاده می کنیم، یعنی ثابت می کنیم که اگر نابرابری برای غیر منفی دلخواه برآورده شودپ اعداد، برای آن نیز معتبر است(پ - شماره 1. برای تأیید این موضوع، توجه می کنیم که، با توجه به فرضی که انجام شده، برایپ اعداد، نابرابری

یعنی a r + a 2 + ... + a n _ x > (n - 1) A. تقسیم هر دو قسمت بهپ - 1، نابرابری لازم را بدست می آوریم.

بنابراین، ابتدا مشخص کردیم که نابرابری برای تعداد نامتناهی از مقادیر ممکن برقرار استپ، و سپس نشان داد که اگر نابرابری برایپ اعداد، برای آن نیز معتبر است(پ - 1) اعداد. اکنون از این نتیجه می‌گیریم که نابرابری کوتی برای مجموعه‌ای از موارد صادق استپ هر عدد غیر منفی برای هر n = 2، 3، 4، ...

مسئله 14. (D. Uspensky.) برای هر مثلث ABC با زاویه = CAB، = CBA قابل مقایسه هستند، نابرابری هایی وجود دارد

راه حل. زوایا و قابل مقایسه هستند و این (طبق تعریف) به این معنی است که این زوایا یک اندازه مشترک دارند که برای آن = p, = (p, q اعداد همزمان اول طبیعی هستند).

اجازه دهید از روش استقراء ریاضی استفاده کرده و آن را بر روی مجموع ترسیم کنیم n = p + q اعداد همزمان اول طبیعی..

پایه القایی برای p + q = 2 داریم: p = 1 و q = 1. سپس مثلث ABC متساوی الساقین است و نابرابری های مورد نظر واضح هستند: آنها از نابرابری مثلث پیروی می کنند.

مرحله القاء اکنون فرض کنید که نابرابری های مورد نظر برای p + q = 2، 3، ... برقرار شده است، k - 1، جایی که k > 2. اجازه دهید ثابت کنیم که نابرابری ها نیز برای آنها معتبر است p + q = k.

اجازه دهید ABC یک مثلث داده شده با> 2. سپس اضلاع AC و BC نمی تواند برابر باشد: اجازه دهید AC > قبل از میلاد حالا بیایید مانند شکل 2 یک مثلث متساوی الساقین بسازیم ABC; ما داریم:

AC \u003d DC و AD \u003d AB + BD، بنابراین،

2AC > AB + BD (1)

حالا مثلث را در نظر بگیرید VDC، که زوایای آن نیز قابل مقایسه است:

DCB = (q - p)، BDC = p.

برنج. 2

این مثلث فرض استقرایی را برآورده می کند و بنابراین

(2)

با اضافه کردن (1) و (2) داریم:

2AC+BD>

و بنابراین

از همین مثلث WBS با فرضیه استقرایی نتیجه می گیریم که

با توجه به نابرابری قبلی نتیجه می گیریم که

بنابراین، انتقال استقرایی به دست می آید و بیان مسئله از اصل استقراء ریاضی پیروی می کند.

اظهار نظر. بیان مسئله حتی زمانی که زوایای a و p قابل مقایسه نباشند معتبر باقی می ماند. بر اساس ملاحظه در مورد کلیدر حال حاضر باید یکی دیگر از مهم را اعمال کنید اصل ریاضی- اصل تداوم.

مسئله 15. چند خط مستقیم صفحه را به قطعات تقسیم می کند. ثابت کنید که می توان این قسمت ها را سفید رنگ کرد

و رنگ های مشکی به طوری که قسمت های مجاور که دارای یک مرز مشترک هستند می باشد رنگ متفاوت(مانند شکل 3 با n = 4).

عکس 3

راه حل. ما از القاء در تعداد خطوط استفاده می کنیم. بنابراین اجازه دهیدپ - تعداد خطوطی که هواپیمای ما را به قطعات تقسیم می کند، n > 1.

پایه القایی اگر فقط یک راست وجود دارد(پ = 1)، سپس صفحه را به دو نیم صفحه تقسیم می کند که یکی از آنها سفید و دیگری سیاه است و بیان مسئله درست است.

مرحله القاء برای واضح تر شدن اثبات مرحله استقرایی، روند افزودن یک خط جدید را در نظر بگیرید. اگر خط دوم را بکشیم(پ= 2) سپس چهار قسمت را به دست می آوریم که با رنگ آمیزی گوشه های مقابل به همان رنگ می توان آنها را به شکل دلخواه رنگ آمیزی کرد. بیایید ببینیم اگر سومین خط مستقیم را بکشیم چه اتفاقی می افتد. برخی از قسمت‌های "قدیمی" را تقسیم می‌کند، در حالی که بخش‌های جدیدی از حاشیه ظاهر می‌شود که در دو طرف آن رنگ یکسان است (شکل 4).

برنج. چهار

بیایید به صورت زیر عمل کنیم:یک طرفاز خط مستقیم جدید رنگ ها را تغییر می دهیم - سفید را سیاه می کنیم و بالعکس. در عین حال، آن قسمت هایی که در طرف دیگر این خط مستقیم قرار دارند، دوباره رنگ نمی شوند (شکل 5). بعد این رنگ آمیزی جدیدالزامات لازم را برآورده می کند: از یک طرف، خط مستقیم قبلا متناوب بود (اما با رنگ های مختلف)، و از طرف دیگر، لازم بود. برای اینکه قسمت هایی که دارای حاشیه مشترک متعلق به خط کشیده شده اند به رنگ های مختلف رنگ آمیزی شوند، قسمت ها را فقط در یک طرف این خط کشیده مجددا رنگ آمیزی کردیم.

شکل 5

حال اجازه دهید گام استقرایی را اثبات کنیم. فرض کنید که برای برخیn = kبیان مسئله معتبر است، یعنی تمام قسمت هایی از هواپیما که توسط اینها به آن تقسیم شده استبهمستقیم، می توانید رنگ های سفید و مشکی را رنگ آمیزی کنید تا قسمت های مجاور به رنگ های مختلف باشد. اجازه دهید ثابت کنیم که پس چنین رنگ آمیزی وجود داردپ= به+ 1 مستقیم. اجازه دهید به طور مشابه به مورد انتقال از دو خط مستقیم به سه ادامه دهیم. بیایید در هواپیما خرج کنیمبهمستقیم. سپس، با فرض استقرایی، می توان "نقشه" حاصل را به روش دلخواه رنگ آمیزی کرد. حالا خرج کنیم(به+ 1)-امین خط مستقیم و در یک طرف آن رنگ ها را به رنگ های مخالف تغییر می دهیم. بنابراین در حال حاضر(بهخط مستقیم + 1) در همه جا بخش هایی از رنگ های مختلف را از هم جدا می کند، در حالی که قسمت های "قدیمی" همانطور که قبلاً دیدیم به درستی رنگ می شوند. با توجه به اصل استقراء ریاضی، مسئله حل می شود.

یک وظیفه16. در لبه صحرا مقدار زیادی بنزین و ماشینی وجود دارد که با پمپ بنزین کامل می تواند 50 کیلومتر را طی کند. در مقادیر نامحدود، قوطی هایی وجود دارد که می توانید بنزین را از باک بنزین ماشین تخلیه کنید و آن را برای نگهداری در هر نقطه از صحرا بگذارید. ثابت کنید که ماشین می تواند هر مسافت صحیحی بیشتر از 50 کیلومتر را طی کند. حمل قوطی بنزین ممنوع است، قوطی های خالی را می توان به هر مقداری حمل کرد.

راه حل.بیایید سعی کنیم آن را با استقرا ثابت کنیمپ،که ماشین می تواند رانندگی کندپکیلومتر از لبه کویر. درپ= 50 مشخص است. باقی مانده است که مرحله القاء را انجام دهیم و نحوه رسیدن به آنجا را توضیح دهیمn = k+ 1 کیلومتر اگر معلوم باشدn = kکیلومتر قابل رانندگی است.

با این حال، در اینجا با یک مشکل مواجه می شویم: پس از گذشتبهکیلومتر، حتی ممکن است بنزین برای سفر برگشت (بدون ذکر ذخیره سازی) کافی نباشد. و در این صورت، راه برون رفت، تقویت ادعای در حال اثبات (پارادوکس مخترع) است. ما ثابت خواهیم کرد که نه تنها می توان رانندگی کردپکیلومتر، بلکه برای تولید خودسرانه بزرگ بنزین در یک نقطه در فاصلهپکیلومترها از حاشیه کویر که پس از پایان حمل و نقل در این نقطه قرار دارد.

پایه القایییک واحد بنزین را مقدار بنزین مورد نیاز برای تکمیل یک کیلومتر مسافت در نظر بگیرید. سپس یک کیلومتر سفر و برگشت نیاز به دو واحد بنزین دارد، بنابراین می‌توانیم 48 واحد بنزین را در یک کیلومتری لبه در انبار بگذاریم و برای بیشتر برگردیم. بنابراین، برای چندین سفر به انبار، می‌توانیم انباری با اندازه دلخواه که نیاز داریم تهیه کنیم. در عین حال برای ایجاد 48 واحد سهام، 50 واحد بنزین مصرف می کنیم.

مرحله القاءبیایید آن را از راه دور فرض کنیمپ= بهاز لبه بیابان می توانید هر مقدار بنزین را ذخیره کنید. اجازه دهید ثابت کنیم که در این صورت امکان ایجاد یک مخزن از راه دور وجود داردn = k+ 1 کیلومتر با هر نوع بنزین از پیش تعیین شده و در پایان حمل در این انبار باشید. چون در نقطهپ= بهعرضه نامحدود بنزین وجود دارد، سپس (با توجه به پایه القایی) می توانیم در چندین سفر به نقطهn = k+ 1 برای اشاره به یک نکتهپ= به4- 1 عدد در هر اندازه ای که نیاز دارید.

اکنون حقیقت یک گزاره کلی تر از شرط مسئله از اصل استقراء ریاضی ناشی می شود.

نتیجه

به طور خاص، با مطالعه روش استقراء ریاضی، دانش خود را در این زمینه از ریاضیات بهبود بخشیدم و همچنین یاد گرفتم که چگونه مسائلی را حل کنم که قبلاً خارج از توان من بودند.

اساساً اینها کارهای منطقی و سرگرم کننده بودند، یعنی. فقط آنهایی که علاقه به خود ریاضیات را به عنوان یک علم افزایش می دهند. حل چنین مسائلی به یک فعالیت سرگرم کننده تبدیل می شود و می تواند افراد کنجکاو بیشتری را به هزارتوهای ریاضی جذب کند. به نظر من این اساس هر علمی است.

در ادامه مطالعه روش استقراء ریاضی، سعی خواهم کرد یاد بگیرم که چگونه از آن نه تنها در ریاضیات، بلکه در حل مسائل فیزیک، شیمی و خود زندگی نیز استفاده کنم.

ادبیات

1.Vulenkin القاء. ترکیبیات. کتاب راهنمای معلمان. م.، روشنگری،

1976.-48 ص.

2. Golovina L.I., Yaglom I.M. استقرا در هندسه. - م.: گوسود. ناشر روشن شد - 1956 - S.I00. کتابچه راهنمای ریاضیات برای متقاضیان ورود به دانشگاه / ویرایش. یاکولووا G.N. علم. -1981. - ص 47-51.

3. Golovina L.I., Yaglom IM. استقرا در هندسه. -
M .: Nauka، 1961. - (سخنرانی های محبوب در مورد ریاضیات.)

4. آی تی دمیدوف، A.N. Kolmogorov، S.I. Shvartsburg، O.S. Ivashev-Musatov، B.E. Veits. آموزش/ "روشنگری" 1975.

5.R. کورانت، جی رابینز "ریاضیات چیست؟" فصل 1، بند 2

6. Popa D. ریاضیات و استدلال قابل قبول. - M: Nauka، 1975.

7. Popa D. کشف ریاضی. - M.: Nauka، 1976.

8. روبانوف I.S. نحوه آموزش روش استقراء ریاضی / مدرسه ریاضی. - Nl. - 1996. - S.14-20.

9. Sominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. در مورد روش استقراء ریاضی. - M.: Nauka، 1977. - (سخنرانی های محبوب در مورد ریاضیات.)

10. Solominsky I.S. روش استقراء ریاضی. - م.: علم.

دهه 63

11. Solominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. در مورد استقراء ریاضی - م.: علم. - 1967. - S.7-59.

12.http://w.wikiredia.org/wiki

13.htt12:/ /www.refeshtcollestiop.ru/40 124.html

مقدمه

بخش اصلی

1. القاء کامل و ناقص

2. اصل استقراء ریاضی

3. روش استقراء ریاضی

4. حل مثال ها

5. برابری ها

6. تقسیم اعداد

7. نابرابری ها

نتیجه

فهرست ادبیات استفاده شده

مقدمه

روش های قیاسی و استقرایی اساس هر تحقیق ریاضی است. روش قیاسی استدلال، استدلال از کلی به جزئی است، یعنی. استدلالی که نقطه شروع آن نتیجه کلی و نقطه پایانی نتیجه خاص است. استقرا هنگام عبور از نتایج خاص به نتایج عمومی اعمال می شود، یعنی. برعکس روش قیاسی است.

روش استقرای ریاضی را می توان با پیشرفت مقایسه کرد. ما از پایین ترین نقطه شروع می کنیم، در نتیجه تفکر منطقی به بالاترین می رسیم. انسان همیشه برای پیشرفت، برای توانایی توسعه منطقی فکر خود تلاش کرده است، به این معنی که طبیعت خود او را مقدر کرده است که به صورت استقرایی فکر کند.

اگرچه حوزه کاربرد روش استقراء ریاضی رشد کرده است، اما زمان کمی در برنامه درسی مدرسه به آن اختصاص داده شده است. خوب بگو چی برای انسان مفید استآن دو سه درس را می آورند که برای آنها پنج کلمه تئوری می شنود، پنج مسئله ابتدایی را حل می کند و در نتیجه به خاطر ندانستن چیزی یک A می گیرد.

اما این بسیار مهم است - توانایی تفکر استقرایی.

بخش اصلی

در معنای اصلی خود، کلمه «استقرا» به استدلالی اطلاق می شود که به وسیله آن نتایج کلی بر اساس تعدادی گزاره خاص به دست می آید. ساده ترین روش استدلال از این دست، استقراء کامل است. در اینجا نمونه ای از چنین استدلالی آورده شده است.

اجازه دهید مشخص شود که هر عدد زوج طبیعی n در 4 باشد< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

این نه برابری نشان می دهد که هر یک از اعداد مورد علاقه ما در واقع به عنوان مجموع دو جمله اول نشان داده می شود.

بنابراین، استقراء کامل این است که گزاره کلی به طور جداگانه در هر یک از تعداد محدودی از موارد ممکن اثبات شود.

گاهی اوقات نتیجه کلی را می توان پس از در نظر گرفتن همه موارد، اما به اندازه کافی، پیش بینی کرد تعداد زیادیموارد خاص (به اصطلاح القاء ناقص).

نتیجه به‌دست‌آمده از استقرای ناقص، با این حال، تنها یک فرضیه باقی می‌ماند تا زمانی که با استدلال دقیق ریاضی ثابت شود و همه موارد خاص را پوشش دهد. به عبارت دیگر، استقرای ناقص در ریاضیات روشی مشروع برای اثبات دقیق تلقی نمی شود، بلکه روشی قدرتمند برای کشف حقایق جدید است.

به عنوان مثال، لازم است مجموع n عدد فرد متوالی اول را پیدا کنیم. موارد خاص را در نظر بگیرید:

1+3+5+7+9=25=5 2

پس از در نظر گرفتن این چند مورد خاص، نتیجه کلی زیر خود را نشان می دهد:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

آن ها مجموع اولین n عدد فرد متوالی n 2 است

البته مشاهدات انجام شده هنوز نمی تواند دلیلی بر صحت فرمول فوق باشد.

استقرای کامل فقط کاربردهای محدودی در ریاضیات دارد. بسیاری از گزاره‌های ریاضی جالب، بی‌نهایت موارد خاص را پوشش می‌دهند، و ما نمی‌توانیم تعداد نامتناهی موارد را آزمایش کنیم. القای ناقص اغلب منجر به نتایج اشتباه می شود.

در بسیاری از موارد، راه برون رفت از این نوع دشواری، توسل به روش خاصی برای استدلال است که به آن روش استقراء ریاضی می گویند. به شرح زیر می باشد.

اجازه دهید برای هر عدد طبیعی n لازم باشد که صحت یک گزاره خاص اثبات شود (مثلاً باید ثابت کرد که مجموع n عدد فرد اول برابر با n 2 است). تأیید مستقیم این عبارت برای هر مقدار n غیرممکن است، زیرا مجموعه اعداد طبیعی بی نهایت است. برای اثبات این جمله ابتدا اعتبار آن را برای n=1 بررسی کنید. سپس ثابت می‌شود که برای هر مقدار طبیعی k، اعتبار عبارت مورد نظر برای n=k بر اعتبار آن برای n=k+1 نیز دلالت دارد.

سپس این ادعا برای همه n اثبات شده در نظر گرفته می شود. در واقع، عبارت برای n=1 درست است. اما پس از آن برای عدد بعدی n=1+1=2 نیز معتبر است. اعتبار ادعا برای n=2 دلالت بر اعتبار آن برای n=2+ دارد

1=3. این به معنای اعتبار عبارت برای n=4 و غیره است. واضح است که در نهایت به هر عدد طبیعی n خواهیم رسید. بنابراین، این عبارت برای هر n درست است.

با جمع بندی آنچه گفته شد، اصل کلی زیر را بیان می کنیم.

اصل استقراء ریاضی.

اگر جمله الف( n ) بسته به عدد طبیعی n ، درست برای n =1 و از این واقعیت که برای آن صادق است n=k (جایی که ک -هر عدد طبیعی)، نتیجه می شود که برای عدد بعدی نیز صادق است n=k+1 ، سپس فرض A( n ) برای هر عدد طبیعی صادق است n .

در تعدادی از موارد، ممکن است لازم باشد اعتبار یک جمله معین را نه برای همه اعداد طبیعی، بلکه فقط برای n>p اثبات کنیم، جایی که p یک عدد طبیعی ثابت است. در این مورد، اصل استقراء ریاضی به صورت زیر فرموله می شود. اگر جمله الف( n ) برای n=p و اگر A( ک ) Þ ولی( k+1) برای هرکس k>p، سپس جمله A( ن) برای هر کسی صادق است n>p.

اثبات با روش استقراء ریاضی به شرح زیر انجام می شود. ابتدا، ادعایی که باید اثبات شود برای n=1 بررسی می شود، یعنی، صحت گزاره الف (1) ثابت می شود. این بخش از برهان، مبنای استقرا نامیده می شود. به دنبال آن بخشی از اثبات به نام مرحله القاء می آید. در این بخش، اعتبار گزاره برای n=k+1 با این فرض ثابت می‌شود که گزاره برای n=k (فرض استقرایی)، یعنی. ثابت کنید که A(k)ÞA(k+1).

مثال 1

ثابت کنید 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .

راه حل: 1) n=1=1 2 داریم. در نتیجه،

عبارت برای n=1 درست است، یعنی. الف (1) درست است.

2) اجازه دهید ثابت کنیم که A(k)ÞA(k+1).

بگذارید k هر عدد طبیعی باشد و گزاره برای n=k درست باشد، یعنی.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

اجازه دهید ثابت کنیم که این ادعا برای عدد طبیعی بعدی n=k+1 نیز صادق است، یعنی. چی

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

در واقع،

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

پس A(k)ÞA(k+1). بر اساس اصل استقراء ریاضی، نتیجه می گیریم که فرض A(n) برای هر nON درست است.

مثال 2

ثابت کنیم که

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1)، جایی که x¹1

راه حل: 1) برای n=1 بدست می آوریم

1+x=(x2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

بنابراین، برای n=1 فرمول درست است. الف (1) درست است.

2) بگذارید k هر عدد طبیعی باشد و فرمول برای n=k درست باشد، یعنی.

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \u003d (x k + 1 -1) / (x-1).

اجازه دهید ثابت کنیم که پس از آن برابری

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

در واقع

1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

پس A(k)ÞA(k+1). بر اساس اصل استقراء ریاضی، نتیجه می گیریم که این فرمول برای هر عدد طبیعی n درست است.

مثال 3

ثابت کنید که تعداد قطرهای یک n-ضلعی محدب n(n-3)/2 است.

راه حل: 1) برای n=3، عبارت درست است

و 3 صحیح است، زیرا در یک مثلث

 A 3 =3(3-3)/2=0 مورب;

A 2 A(3) درست است.

2) فرض کنید که در هر

K-گون محدب دارای-

A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 مورب.

A k اجازه دهید ثابت کنیم که سپس به صورت محدب

(k+1) -عدد گون

مورب A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

اجازه دهید А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -زاویه محدب (k+1). یک مورب A 1 A k در آن رسم می کنیم. برای شمردن تعداد کلمورب های این (k + 1)-gon، باید تعداد مورب های k-gon A 1 A 2 ...A k را بشمارید، k-2 را به عدد حاصل اضافه کنید، یعنی. تعداد قطرهای ضلع (k+1) که از راس A k+1 نشأت می‌گیرد و علاوه بر این، مورب A 1 A k باید در نظر گرفته شود.

به این ترتیب،

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

پس A(k)ÞA(k+1). با توجه به اصل استقراء ریاضی، این عبارت برای هر n-gon محدب صادق است.

مثال 4

ثابت کنید که برای هر n جمله درست است:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

راه حل: 1) اجازه دهید n=1، سپس

X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1.

بنابراین، برای n=1 جمله درست است.

2) فرض کنید n=k

X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6.

3) این عبارت را برای n=k+1 در نظر بگیرید

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

ما اعتبار برابری را برای n=k+1 ثابت کرده‌ایم، بنابراین، به موجب روش استقراء ریاضی، این گزاره برای هر n طبیعی صادق است.

مثال 5

ثابت کنید که برای هر n طبیعی برابری درست است:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

راه حل: 1) اجازه دهید n=1.

سپس X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

می بینیم که برای n=1 جمله درست است.

2) فرض کنید که برابری برای n=k درست است