روش استقراء ریاضی n n 1. نمونه هایی از استقراء

مقدمه

بخش اصلی

القاء کامل و ناقص
اصل استقراء ریاضی
روش استقراء ریاضی
حل نمونه ها
برابری
تقسیم اعداد
نابرابری ها

نتیجه

فهرست ادبیات استفاده شده

مقدمه

روش های قیاسی و استقرایی اساس هر تحقیق ریاضی است. روش قیاسیاستدلال، استدلال از عام به جزئی است، یعنی. استدلالی که نقطه شروع آن نتیجه کلی و نقطه پایانی نتیجه خاص است. استقرا هنگام عبور از نتایج خاص به نتایج عمومی اعمال می شود، یعنی. برعکس روش قیاسی است.

روش استقرای ریاضی را می توان با پیشرفت مقایسه کرد. در نتیجه از پایین ترین نقطه شروع می کنیم تفکر منطقیبه بالاترین حد می رسیم انسان همیشه برای پیشرفت، برای توانایی توسعه منطقی فکر خود تلاش کرده است، به این معنی که خود طبیعت او را مقدر کرده است که به صورت استقرایی فکر کند.

اگرچه زمینه کاربرد روش استقراء ریاضی رشد کرده است، در برنامه آموزشی مدرسهاو زمان کمی دارد خوب بگو چی مفید برای انسانآن دو سه درس را می آورند که برای آنها پنج کلمه تئوری می شنود، پنج مسئله ابتدایی را حل می کند و در نتیجه به خاطر ندانستن چیزی یک A می گیرد.

اما این بسیار مهم است - توانایی تفکر استقرایی.

بخش اصلی

در معنای اصلی خود، کلمه «استقرا» به استدلالی اطلاق می شود که به وسیله آن نتایج کلی بر اساس تعدادی گزاره خاص به دست می آید. ساده ترین روش استدلال از این دست، استقراء کامل است. در اینجا نمونه ای از چنین استدلالی آورده شده است.

اجازه دهید مشخص شود که هر عدد زوج طبیعی n در 4 باشد< n < 20 представимо в виде суммы двух اعداد اول. برای انجام این کار، تمام اعداد را می گیریم و بسط های مربوطه را می نویسیم:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

این نه برابری نشان می دهد که هر یک از اعداد مورد علاقه ما در واقع به عنوان مجموع دو جمله اول نشان داده می شود.

بنابراین، استقراء کامل این است که گزاره کلی به طور جداگانه در هر یک از تعداد محدودی از موارد ممکن اثبات شود.

گاهی اوقات نتیجه کلی را می توان پس از در نظر گرفتن همه موارد، اما به اندازه کافی، پیش بینی کرد تعداد زیادیموارد خاص (به اصطلاح القاء ناقص).

نتیجه به‌دست‌آمده از استقرای ناقص، با این حال، تنها یک فرضیه باقی می‌ماند تا زمانی که با استدلال دقیق ریاضی ثابت شود و همه موارد خاص را پوشش دهد. به عبارت دیگر، استقرای ناقص در ریاضیات روشی مشروع برای اثبات دقیق تلقی نمی شود، بلکه روشی قدرتمند برای کشف حقایق جدید است.

به عنوان مثال، لازم است مجموع n عدد فرد متوالی اول را پیدا کنیم. موارد خاص را در نظر بگیرید:

1+3+5+7+9=25=5 2

پس از در نظر گرفتن این چند مورد خاص، نتیجه کلی زیر خود را نشان می دهد:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

آن ها مجموع اولین n عدد فرد متوالی n 2 است

البته مشاهدات انجام شده هنوز نمی تواند دلیلی بر صحت فرمول فوق باشد.

استقرای کامل فقط کاربردهای محدودی در ریاضیات دارد. بسیاری از گزاره‌های ریاضی جالب، بی‌نهایت موارد خاص را پوشش می‌دهند، و ما نمی‌توانیم تعداد نامتناهی موارد را آزمایش کنیم. القای ناقص اغلب منجر به نتایج اشتباه می شود.

در بسیاری از موارد، راه برون رفت از این نوع دشواری، توسل به روش خاصی برای استدلال است که به آن روش استقراء ریاضی می گویند. به شرح زیر می باشد.

اجازه دهید لازم باشد اعتبار یک گزاره خاص برای هر یک اثبات شود عدد طبیعی n (برای مثال، باید ثابت کنید که مجموع n عدد فرد اول n 2 است). تأیید مستقیم این عبارت برای هر مقدار n غیرممکن است، زیرا مجموعه اعداد طبیعی بی نهایت است. برای اثبات این جمله ابتدا اعتبار آن را برای n=1 بررسی کنید. سپس ثابت می‌شود که برای هر مقدار طبیعی k، اعتبار عبارت مورد نظر برای n=k بر اعتبار آن برای n=k+1 نیز دلالت دارد.

سپس این ادعا برای همه n اثبات شده در نظر گرفته می شود. در واقع، عبارت برای n=1 درست است. اما پس از آن نیز صادق است شماره بعدی n=1+1=2. اعتبار ادعا برای n=2 دلالت بر اعتبار آن برای n=2+ دارد

1=3. این به معنای اعتبار عبارت برای n=4 و غیره است. واضح است که در نهایت به هر عدد طبیعی n خواهیم رسید. بنابراین، این عبارت برای هر n درست است.

با جمع بندی آنچه گفته شد، اصل کلی زیر را بیان می کنیم.

اصل استقراء ریاضی.

اگر جمله A(n) که به یک عدد طبیعی n وابسته است، برای n=1 صادق باشد و از این حقیقت که برای n=k صادق است (که k هر عدد طبیعی است)، نتیجه می شود که آن نیز صادق است. برای عدد بعدی n=k +1 درست است، پس فرض A(n) برای هر عدد طبیعی n درست است.

در تعدادی از موارد، ممکن است لازم باشد اعتبار یک جمله معین را نه برای همه اعداد طبیعی، بلکه فقط برای n>p اثبات کنیم، جایی که p یک عدد طبیعی ثابت است. در این مورد، اصل استقراء ریاضی به صورت زیر فرموله می شود.

اگر گزاره A(n) برای n=p و اگر A(k)ÞA(k+1) برای هر k>p صادق باشد، گزاره A(n) برای هر n>p صادق است.

اثبات با روش استقراء ریاضی به شرح زیر انجام می شود. ابتدا، ادعایی که باید اثبات شود برای n=1 بررسی می شود، یعنی، صحت گزاره الف (1) ثابت می شود. این بخش از برهان، مبنای استقرا نامیده می شود. به دنبال آن بخشی از اثبات به نام مرحله القاء می آید. در این بخش، اعتبار گزاره برای n=k+1 با این فرض ثابت می‌شود که گزاره برای n=k (فرض استقرایی)، یعنی. ثابت کنید که A(k)ÞA(k+1).

ثابت کنید 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .

راه حل: 1) n=1=1 2 داریم. در نتیجه،

عبارت برای n=1 درست است، یعنی. الف (1) درست است.

2) اجازه دهید ثابت کنیم که A(k)ÞA(k+1).

بگذارید k هر عدد طبیعی باشد و گزاره برای n=k درست باشد، یعنی.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

اجازه دهید ثابت کنیم که این ادعا برای عدد طبیعی بعدی n=k+1 نیز صادق است، یعنی. چی

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

در واقع،

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

پس A(k)ÞA(k+1). بر اساس اصل استقراء ریاضی، نتیجه می گیریم که فرض A(n) برای هر nON درست است.

ثابت کنیم که

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1)، جایی که x¹1

راه حل: 1) برای n=1 بدست می آوریم

1+x=(x2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

بنابراین، برای n=1 فرمول درست است. الف (1) درست است.

2) بگذارید k هر عدد طبیعی باشد و فرمول برای n=k درست باشد، یعنی.

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \u003d (x k + 1 -1) / (x-1).

اجازه دهید ثابت کنیم که پس از آن برابری

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

در واقع

1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

پس A(k)ÞA(k+1). بر اساس اصل استقراء ریاضی، نتیجه می گیریم که این فرمول برای هر عدد طبیعی n درست است.

ثابت کنید که تعداد قطرهای یک n-ضلعی محدب n(n-3)/2 است.

راه حل: 1) برای n=3، عبارت درست است

و 3 صحیح است، زیرا در یک مثلث

 A 3 =3(3-3)/2=0 مورب;

A 2 A(3) درست است.

2) فرض کنید که در هر

K-گون محدب دارای-

A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 مورب.

A k اجازه دهید ثابت کنیم که سپس به صورت محدب

(k+1) -عدد گون

مورب A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

اجازه دهید А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -زاویه محدب (k+1). یک مورب A 1 A k در آن رسم می کنیم. برای شمردن تعداد کلمورب های این (k + 1)-gon، باید تعداد مورب های k-gon A 1 A 2 ...A k را بشمارید، k-2 را به عدد حاصل اضافه کنید، یعنی. تعداد قطرهای ضلع (k+1) که از راس A k+1 نشأت می‌گیرد و علاوه بر این، مورب A 1 A k باید در نظر گرفته شود.

به این ترتیب،

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

پس A(k)ÞA(k+1). با توجه به اصل استقراء ریاضی، این عبارت برای هر n-gon محدب صادق است.

ثابت کنید که برای هر n جمله درست است:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

راه حل: 1) اجازه دهید n=1، سپس

X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1.

بنابراین، برای n=1 جمله درست است.

2) فرض کنید n=k

X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6.

3) این عبارت را برای n=k+1 در نظر بگیرید

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

ما اعتبار برابری را برای n=k+1 ثابت کرده‌ایم، بنابراین، به موجب روش استقراء ریاضی، این گزاره برای هر n طبیعی صادق است.

ثابت کنید که برای هر n طبیعی برابری درست است:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

راه حل: 1) اجازه دهید n=1.

سپس X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

می بینیم که برای n=1 جمله درست است.

2) فرض کنید که برابری برای n=k درست است

X k \u003d k 2 (k + 1) 2 / 4.

3) بیایید صحت این جمله را برای n=k+1 ثابت کنیم، یعنی.

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2/4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2/4.

از اثبات بالا مشخص می شود که این گزاره برای n=k+1 صادق است، بنابراین، برابری برای هر n طبیعی صادق است.

ثابت کنیم که

((2 3 +1)/(2 3 -1))´((3 3 +1)/(3 3 -1))´…´((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n2 +n+1)، که در آن n>2.

راه حل: 1) برای n=2 هویت به این صورت است: (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3´2´3)/2(2 2 +2+1)،

آن ها درست است.

2) فرض کنید که عبارت برای n=k درست است

(2 3 +1)/(2 3 -1)´…´(k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k2 +k+1).

3) صحت عبارت n=k+1 را ثابت می کنیم.

((2 3 +1)/(2 3 -1))´…´((k 3 +1)/(k 3 -1)))´(((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k2 +k+1))´((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2´

´((k+1) 2 +(k+1)+1).

ما اعتبار برابری را برای n=k+1 ثابت کرده ایم، بنابراین، با توجه به روش استقراء ریاضی، این گزاره برای هر n>2 صادق است.

ثابت کنیم که

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)

برای هر n طبیعی.

راه حل: 1) اجازه دهید n=1، سپس

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.

2) پس فرض کنید که n=k

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3).

3) بیایید صحت این جمله را برای n=k+1 ثابت کنیم

(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3).

اعتبار برابری n=k+1 نیز ثابت شده است، بنابراین این گزاره برای هر عدد طبیعی n صادق است.

اثبات اعتبار هویت

(1 2 /1´3)+(2 2 /3´5)+…+(n 2 /(2n-1)´(2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)

برای هر n طبیعی.

1) برای n=1 هویت درست است 1 2 /1´3=1(1+1)/2(2+1).

2) فرض کنید که برای n=k

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)´(2k+1))=k(k+1)/2 (2k+1).

3) اجازه دهید ثابت کنیم که هویت برای n=k+1 صادق است.

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+1 )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1))´((k/2) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2)´ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1) (k+2)/2(2(k+1)+1).

از اثبات بالا می توان دریافت که این ادعا برای هر عدد طبیعی n صادق است.

ثابت کنید که (11 n+2 +12 2n+1) بدون باقی مانده بر 133 بخش پذیر است.

راه حل: 1) اجازه دهید n=1، سپس

11 3 +12 3 \u003d (11 + 12) (11 2 -132 + 12 2) \u003d 23´133.

اما (23´133) بدون باقی مانده بر 133 بخش پذیر است، بنابراین برای n=1 گزاره درست است. الف (1) درست است.

2) فرض کنید که (11 k+2 +12 2k+1) بدون باقیمانده بر 133 بخش پذیر است.

3) اجازه دهید در این مورد ثابت کنیم

(11 k+3 +12 2k+3) بدون باقیمانده بر 133 بخش پذیر است. در واقع، 11 k+3 +12 2k+3 =11´11 k+2 +12 2´ 12 2k+1 =11´11 k+2 +

+(11+133)´12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133´12 2k+1.

مجموع حاصل بدون باقیمانده بر 133 بخش پذیر است، زیرا جمله اول آن بدون باقیمانده بر 133 بخش پذیر است و در دومی یکی از عوامل 133 است. بنابراین، A(k)ÞA(k+1). با استفاده از روش استقراء ریاضی، این ادعا ثابت می شود.

ثابت کنید که برای هر n 7 n -1 بدون باقیمانده بر 6 بخش پذیر است.

راه حل: 1) اجازه دهید n=1، سپس X 1 =7 1 -1=6 بدون باقی مانده بر 6 تقسیم می شود. بنابراین برای n=1 جمله درست است.

2) فرض کنید که برای n=k

7 k-1 بدون باقیمانده بر 6 بخش پذیر است.

3) اجازه دهید ثابت کنیم که عبارت برای n=k+1 درست است.

X k+1 =7 k+1 -1=7´7 k -7+6=7(7 k-1)+6.

جمله اول بر 6 بخش پذیر است، زیرا 7 k-1 با فرض بر 6 بخش پذیر است، و جمله دوم 6 است. بنابراین 7 n -1 مضرب 6 برای هر n طبیعی است. با استفاده از روش استقراء ریاضی، این ادعا ثابت می شود.

ثابت کنید که 3 3n-1 +2 4n-3 برای n طبیعی دلخواه بر 11 بخش پذیر است.
راه حل: 1) اجازه دهید n=1، سپس

X 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11 بدون باقیمانده بر 11 تقسیم می شود. بنابراین، برای n=1 جمله درست است.

2) فرض کنید که برای n=k

X k \u003d 3 3k-1 +2 4k-3 بدون باقیمانده بر 11 بخش پذیر است.

3) اجازه دهید ثابت کنیم که عبارت برای n=k+1 درست است.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3´ 3 3k-1 +2 4´ 2 4k-3 =

27´3 3k-1 +16´2 4k-3 =(16+11)´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16´3 3k-1 +

11´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11´3 3k-1.

جمله اول بدون باقیمانده بر 11 بخش پذیر است، زیرا 3 3k-1 +2 4k-3 بر اساس فرض بر 11 بخش پذیر است، دومی بر 11 بخش پذیر است، زیرا یکی از عوامل آن عدد 11 است. بنابراین، مجموع عبارت است از همچنین برای هر n طبیعی بدون باقیمانده بر 11 بخش پذیر است. با استفاده از روش استقراء ریاضی، این ادعا ثابت می شود.

ثابت کنید که 11 2n -1 برای یک عدد صحیح مثبت دلخواه n بدون باقیمانده بر 6 بخش پذیر است.

راه حل: 1) بگذارید n=1، سپس 11 2 -1=120 بدون باقی مانده بر 6 بخش پذیر است. بنابراین برای n=1 جمله درست است.

2) فرض کنید که برای n=k

11 2k -1 بدون باقیمانده بر 6 بخش پذیر است.

11 2(k+1) -1=121´11 2k -1=120´11 2k +(11 2k -1).

هر دو عبارت بدون باقی مانده بر 6 بخش پذیر هستند: اولی شامل مضرب 6 عدد 120 است و دومی بدون باقیمانده بر اساس فرض بر 6 بخش پذیر است. پس مجموع بدون باقی مانده بر 6 بخش پذیر است. با استفاده از روش استقراء ریاضی، این ادعا ثابت می شود.

ثابت کنید که 3 3n+3 -26n-27 برای یک عدد صحیح مثبت دلخواه n بدون باقیمانده بر 26 2 (676) بخش پذیر است.

راه حل: اجازه دهید ابتدا ثابت کنیم که 3 3n+3 -1 بدون باقی مانده بر 26 بخش پذیر است.

برای n=0

3 3 -1=26 بر 26 بخش پذیر است

فرض کنید برای n=k

3 3k+3 -1 بر 26 بخش پذیر است

اجازه دهید این بیانیه را ثابت کنیم

درست برای n=k+1.

3 3k+6 -1=27´3 3k+3 -1=26´3 3k+3 +(3 3k+3 -1) - قابل تقسیم بر 26

حال اجازه دهید ادعای فرمول بندی شده در شرایط مسئله را اثبات کنیم.

1) بدیهی است که برای n=1 جمله درست است

3 3+3 -26-27=676

2) فرض کنید که برای n=k

عبارت 3 3k+3 -26k-27 بدون باقیمانده بر 26 بخش پذیر است.

3) بیایید ثابت کنیم که عبارت برای n=k+1 درست است

3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3-1)+(3 3k+3 -26k-27).

هر دو عبارت بر 26 بخش پذیر هستند. اولی بر 26 بخش پذیر است زیرا ثابت کردیم که عبارت داخل پرانتز بر 26 بخش پذیر است و دومی بر فرضیه استقرایی بخش پذیر است. با استفاده از روش استقراء ریاضی، این ادعا ثابت می شود.

ثابت کنید که اگر n>2 و x>0 باشد، آنگاه نابرابری است

(1+x) n>1+n´x.

راه حل: 1) برای n=2، نابرابری درست است، زیرا

(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x.

بنابراین A(2) درست است.

2) اجازه دهید ثابت کنیم که A(k)ÞA(k+1) اگر k> 2 باشد. فرض کنید که A(k) درست است، یعنی نابرابری

(1+x) k>1+k´x. (3)

اجازه دهید ثابت کنیم که A(k+1) نیز صادق است، یعنی نابرابری

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

در واقع، با ضرب هر دو طرف نابرابری (3) در عدد مثبت 1 + x، به دست می‌آییم.

(1+x) k+1 >(1+k´x)(1+x).

در نظر گرفتن سمت راستدومی نابرابر است

stva; ما داریم

(1+k´x)(1+x)=1+(k+1)´x+k´x 2 >1+(k+1)´x.

در نتیجه، ما آن را دریافت می کنیم

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

پس A(k)ÞA(k+1). بر اساس اصل استقراء ریاضی، می توان ادعا کرد که نابرابری برنولی برای هر

ثابت کنید که نابرابری درست است

(1+a+a 2) m > 1+m´a+(m(m+1)/2)´a 2 برای a> 0.

راه حل: 1) برای m=1

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2)´a 2 هر دو قسمت مساوی هستند.

2) فرض کنید که برای m=k

(1+a+a 2) k >1+k´a+(k(k+1)/2)´a 2

3) اجازه دهید ثابت کنیم که برای m=k+1 نابرابری درست است

(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k´a+

+(k(k+1)/2)´a 2)=1+(k+1)´a+((k(k+1)/2)+k+1)´a 2 +

+((k(k+1)/2)+k)´a 3 +(k(k+1)/2)´a 4 > 1+(k+1)´a+

+((k+1)(k+2)/2)´a 2 .

ما اعتبار نابرابری را برای m=k+1 ثابت کرده‌ایم، بنابراین، با استفاده از روش استقراء ریاضی، نابرابری برای هر m طبیعی صادق است.

ثابت کنید که برای n>6 نابرابری

3 n > n´2 n+1 .

راه حل: بیایید نابرابری را در فرم بازنویسی کنیم

برای n=7 داریم

3 7 / 2 7 = 2187/128> 14 = 2´7

نابرابری درست است

فرض کنید برای n=k

3) اجازه دهید صحت نامساوی را برای n=k+1 ثابت کنیم.

3k+1 /2k+1 =(3k /2k)´(3/2)>2k´(3/2)=3k>2(k+1).

از آنجایی که k>7، آخرین نابرابری آشکار است.

به موجب روش استقرای ریاضی، نابرابری برای هر n طبیعی معتبر است.

ثابت کنید که برای n>2 نابرابری

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n).

راه حل: 1) برای n=3 نابرابری درست است

1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180<246/180=1,7-(1/3).

فرض کنید برای n=k

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k2)=1.7-(1/k).

3) ما اعتبار غیر را اثبات خواهیم کرد

برابری برای n=k+1

(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2).

اجازه دهید ثابت کنیم که 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)Û

w(1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/kÛ(k+2)/(k+1) 2 <1/kÛ

Ûk(k+2)<(k+1) 2Û k 2 +2k

مورد دوم بدیهی است و بنابراین

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1).

با استفاده از روش استقراء ریاضی، عدم تساوی ثابت می شود.

نتیجه

به طور خاص، با مطالعه روش استقراء ریاضی، دانش خود را در این زمینه از ریاضیات بهبود بخشیدم و همچنین یاد گرفتم که چگونه مسائلی را حل کنم که قبلاً خارج از توان من بودند.

اساساً اینها کارهای منطقی و سرگرم کننده بودند، یعنی. فقط آنهایی که علاقه به خود ریاضیات را به عنوان یک علم افزایش می دهند. حل چنین مسائلی به یک فعالیت سرگرم کننده تبدیل می شود و می تواند افراد کنجکاو بیشتری را به هزارتوهای ریاضی جذب کند. به نظر من این اساس هر علمی است.

در ادامه مطالعه روش استقراء ریاضی، سعی خواهم کرد یاد بگیرم که چگونه آن را نه تنها در ریاضیات، بلکه در حل مسائل فیزیک، شیمی و خود زندگی نیز به کار ببرم.

ریاضی:

سخنرانی ها، وظایف، راه حل ها

کتاب درسی / V. G. Boltyansky، Yu. V. Sidorov، M. I. Shabunin. Potpourri LLC 1996.

جبر و اصول تحلیل

کتاب درسی / I.T. Demidov، A.N. Kolmogorov، S.I. Shvartsburg، O.S. Ivashev-Musatov، B.E. Veits. "روشنگری" 1975.

روش اثبات که در این بخش مورد بحث قرار خواهد گرفت، بر اساس یکی از بدیهیات سری طبیعی است.

اصل استقرا. اجازه دهید جمله ای داده شود که به متغیر بستگی دارد پ،به جای آن می توانید هر عدد طبیعی را جایگزین کنید. بیایید آن را نشان دهیم A (p).اجازه دهید همچنین جمله ولیبرای عدد 1 و از این واقعیت که ولیبرای عدد درست است به، به دنبال آن است ولیبرای عدد درست است k+ 1. سپس پیشنهاد دهید ولیبرای همه ارزش های طبیعی صادق است پ.

نماد نمادین اصل موضوع:

اینجا اوج-متغیرهای روی مجموعه اعداد طبیعی از اصل استقرا، قاعده استنتاج زیر به دست می آید:

پس برای اثبات صحت گزاره ولی،ابتدا می توانیم دو گزاره را اثبات کنیم: صدق گزاره ولی( 1) و همچنین نتیجه A(k) => A(k+ 1).

با توجه به موارد فوق، موجودیت را توصیف می کنیم روش

استقرای ریاضی

اجازه دهید برای اثبات آن حکم لازم باشد A(n)برای همه طبیعی است پ.اثبات به دو مرحله تقسیم می شود.

مرحله 1. پایه القاییما به عنوان یک ارزش پشماره 1 و آن را بررسی کنید ولی( 1) یک جمله درست است.
مرحله 2. انتقال القاییما آن را برای هر عدد طبیعی ثابت می کنیم بهمفهوم درست است: اگر A(k)، سپس A(k+ 1).

متن استقرایی با این کلمات شروع می شود: «یک عدد طبیعی دلخواه را بگیرید به،به طوری که A(k)"یا "بگذارید برای یک عدد طبیعی بهدرست A(k)".به جای کلمه "بگذارید" اغلب می گویند "فرض کنید که ...".

بعد از این کلمات، نامه بهنشان دهنده یک شیء ثابت است که این رابطه برای آن برقرار است الف (ک).داره میاد از A(k)ما پیامدها را استنباط می کنیم، یعنی زنجیره ای از جملات را می سازیم A(k) 9 P, پی، ..., Rn = A(k+ 1) جایی که هر جمله R،بیانی درست یا نتیجه جملات قبلی است. آخرین جمله R"باید با A(k+یک). از این نتیجه می گیریم: از A(k)باید A(k+).

اجرای یک انتقال القایی را می توان به دو مرحله تقسیم کرد:

1) فرض استقرایی. در اینجا ما آن را فرض می کنیم ولی بهمتغیر n
2) بر اساس این فرض ثابت می کنیم که ولیبرای شماره مناسب است؟ +1.

مثال 5.5.1.بیایید آن عدد را ثابت کنیم p+pحتی برای همه طبیعی است پ.

اینجا A(n) = "n 2 + n- عدد زوج". اثبات آن لازم است ولی -محمول یکسان صادق ما از روش استقراء ریاضی استفاده می کنیم.

پایه القاییبیایید l=1 را در نظر بگیریم. جایگزین در بیان پ+//، دریافت می کنیم n 2 +n= I 2 + 1 = 2 یک عدد زوج است، یعنی /1(1) یک گزاره درست است.

فرمول بندی کنیم فرضیه استقرایی A(k)= "شماره به 2 + به -زوج." می توانید این را بگویید: "یک عدد طبیعی دلخواه را بگیرید بهبه طوری که به 2 + بهیک عدد زوج است

ما از این ادعا استنباط می کنیم موسوم به-)= "شماره (k+ 1) 2 + (? + 1) - حتی.

با ویژگی های عملیات، تبدیل ها را انجام می دهیم:

جمله اول مجموع حاصل با فرض زوج است، دومی طبق تعریف زوج است (زیرا شکل 2 را دارد. پ).پس مجموع یک عدد زوج است. جمله A(k+ 1) ثابت کرد.

با روش استقراء ریاضی نتیجه می گیریم: جمله A(n)برای همه طبیعی است پ.

البته نیازی به وارد کردن نماد هر بار نیست A (p).با این حال، همچنان توصیه می شود که فرض استقرایی و آنچه لازم است از آن استنباط شود در خطی جداگانه تدوین شود.

توجه داشته باشید که ادعای مثال 5.5.1 بدون استفاده از روش استقرای ریاضی قابل اثبات است. برای این کار کافی است دو مورد را در نظر بگیریم: چه زمانی پحتی و چه زمانی پفرد.

بسیاری از مسائل تقسیم پذیری با استقرای ریاضی حل می شوند. بیایید به یک مثال پیچیده تر نگاه کنیم.

مثال 5.5.2.اجازه دهید ثابت کنیم که عدد 15 2u_| 1+ برای همه اعداد طبیعی بر 8 بخش پذیر است پ.

القاء باچا.بیایید /1=1 را در نظر بگیریم. داریم: شماره 15 2|_| +1 = 15+1 = 16 بر 8 بخش پذیر است.

، که برای برخی

عدد طبیعی بهعدد 15 2 * '+1 بر 8 بخش پذیر است.

بیایید ثابت کنیمپس شماره چیست آ\u003d 15 2 (ZHN +1 بر 8 بخش پذیر است.

بیایید عدد را تبدیل کنیم آ:

با فرض، عدد 15 2A1 +1 بر 8 بخش پذیر است، به این معنی که کل جمله اول بر 8 بخش پذیر است. جمله دوم 224=8-28 نیز بر 8 بخش پذیر است. بنابراین، عدد آچون اختلاف دو عددی که مضرب 8 هستند بر 8 بخش پذیر است. گام استقرایی توجیه می شود.

بر اساس روش استقراء ریاضی نتیجه می گیریم که برای همه طبیعی پعدد 15 2 "-1 -*-1 بر 8 بخش پذیر است.

اجازه دهید در مورد مشکل حل شده نکاتی را بیان کنیم.

گزاره اثبات شده را می توان کمی متفاوت فرموله کرد: "عدد 15" "+1 برای هر طبیعی / و عجیب بر 8 بخش پذیر است".

ثانیاً از گزاره کلی ثابت شده می توان نتیجه خاصی گرفت که اثبات آن را می توان به عنوان یک مسئله جداگانه ارائه کرد: عدد 15 2015 +1 بر 8 بخش پذیر است. بنابراین گاهی اوقات تعمیم مسئله با نشان دادن مفید است. یک مقدار خاص توسط یک حرف، و سپس اعمال روش استقرا ریاضی.

در کلی‌ترین مفهوم، اصطلاح «استقرا» به این معناست که نتیجه‌گیری‌های کلی بر اساس مثال‌های خاص انجام می‌شود. برای مثال، با در نظر گرفتن چند مثال از مجموع اعداد زوج 2+4=6، 2+8=10، 4+6=10، 8+12=20، 16+22=38، نتیجه می گیریم که مجموع هر دو اعداد زوج عدد زوج است.

در حالت کلی، چنین استقرایی می تواند منجر به نتیجه گیری نادرست شود. اجازه دهید مثالی از چنین استدلال نادرستی ارائه دهیم.

مثال 5.5.3. عدد را در نظر بگیرید آ= /r+n+41 برای طبیعی /؟.

بیایید ارزش ها را پیدا کنیم آبرای برخی از ارزش ها پ.

اجازه دهید n= I. سپس a = 43 یک عدد اول است.

اجازه دهید /7=2. سپس آ= 4+2+41 = 47 عدد اول است.

بگذارید l=3 باشد. سپس آ= 9+3+41 = 53 اول است.

اجازه دهید /7=4. سپس آ= 16+4+41 = 61 عدد اول است.

به عنوان ارزش ها در نظر بگیرید پاعدادی که به دنبال چهار هستند، مانند 5، 6، 7، و از عدد اطمینان حاصل کنید آساده خواهد بود.

نتیجه می گیریم: "برای همه طبیعی /؟ عدد آساده خواهد بود."

نتیجه یک جمله نادرست است. در اینجا یک مثال متقابل وجود دارد: /7=41. مطمئن شوید که با این پعدد آکامپوزیت خواهد بود.

اصطلاح "استقرا ریاضی" معنای محدودتری دارد، زیرا استفاده از این روش به شما امکان می دهد همیشه به نتیجه درست برسید.

مثال 5.5.4. بر اساس استدلال استقرایی، فرمولی برای عبارت کلی یک پیشروی حسابی به دست می آوریم. به یاد بیاورید که حرفه حساب یک دنباله عددی است که هر یک از اعضای آن با شماره قبلی تفاوت دارند که به آن تفاوت پیشروی می گویند. برای تعیین منحصر به فرد یک حرفه حسابی، باید اولین عضو آن را مشخص کنید آو تفاوت د

بنابراین طبق تعریف یک p+ = a n + d،در n> 1.

در دوره مدرسه ریاضیات، به عنوان یک قاعده، فرمول اصطلاح عمومی حرفه حسابی بر اساس مثال های خاص، یعنی دقیقاً با استقرا، ایجاد می شود.

اگر /7=1، آنگاه از جانب 7| = من|، پس من هستم| = tf|+df(l -1).

اگر /7=2، آنگاه i 2 = a + d،به این معنا که آ= I|+*/(2-1).

اگر /7=3، آنگاه i 3 = i 2 + = (a+d)+d = a+2d،یعنی i 3 = i|+(3-1).

اگر /7=4، آنگاه i 4 = i 3 +*/ = ( a+2d)+d\u003d R1 + 3 و غیره

مثال‌های خاص به ما اجازه می‌دهد تا یک فرضیه را مطرح کنیم: فرمول اصطلاح کلی شکل دارد آ" = a+(n-)dبرای همه /7>1.

اجازه دهید این فرمول را با روش استقرای ریاضی اثبات کنیم.

القایی پایهدر بحث های قبلی تایید شده است.

اجازه دهید به -چنین عددی که من * - a+(k-)d (فرض استقرایی).

بیایید ثابت کنیمکه من*+! = a+((k+)-)d،یعنی i*+1 = ax+kd.

طبق تعریف i*+1 = ab + d. یک به= من | +(k-1 ) د، به معنای، ac+\u003d i i + (A: -1) ^ / + c / \u003d i | +(A-1+1 ) د= من i +kd، که برای اثبات (برای توجیه گذار استقرایی) لازم بود.

اکنون فرمول i“ = a+(n-)dبرای هر عدد طبیعی ثابت شد /;.

اجازه دهید تعدادی دنباله i b i 2، i، "... (نه

لزوماً یک پیشرفت حسابی یا هندسی). اغلب مشکلاتی وجود دارد که لازم است اولین مورد را جمع آوری کنید پاعضای این دنباله، یعنی مجموع R|+i 2 +...+i و فرمولی را مشخص کنید که به شما امکان می دهد مقادیر این مجموع را بدون محاسبه اعضای دنباله پیدا کنید.

مثال 5.5.5. اجازه دهید ثابت کنیم که مجموع اولی پاعداد طبیعی است

/?(/7 + 1)

مجموع 1+2+...+/7 را با نشان دهید Sn.بیایید ارزش ها را پیدا کنیم S nبرای برخی /7.

توجه داشته باشید که برای یافتن مجموع S 4 ، می توانید از مقدار 5 3 که قبلا محاسبه شده است استفاده کنید، زیرا 5 4 = 5 3 +4.

n(n +1)

اگر مقادیر در نظر گرفته شده را جایگزین کنیم؟ در اصطلاح --- چیزی

ما به ترتیب مجموع یکسان 1، 3، 6، 10 را بدست می آوریم. این مشاهدات

. _ n(n + 1)

پیشنهاد می کند که فرمول اس"=--- زمانی قابل استفاده است

هر //. اجازه دهید این حدس را با روش استقرای ریاضی اثبات کنیم.

القایی پایهتایید شده است. بیایید آن را انجام دهیم انتقال القایی

فرض کنیدکه این فرمول برای برخی از اعداد طبیعی صادق است

, k(k + 1)

k، سپس شبکه مجموع اولین است بهاعداد طبیعی ---- است.

بیایید ثابت کنیمکه مجموع اولین (?+1) اعداد طبیعی برابر است با

(* + !)(* + 2)

بیایید بیان کنیم؟*+1 از طریق S k .برای این کار در مجموع S*+i اولین را گروه بندی می کنیم بهشرایط، و آخرین ترم را جداگانه بنویسید:

با فرضیه استقرایی S k =بنابراین برای پیدا کردن

مجموع اولین (? + 1) اعداد طبیعی، برای محاسبه از قبل کافی است

. „ k(k + 1) _ .. ..

مجموع اولی بهاعداد مساوی ---، یک جمله اضافه کنید (k + 1).

انتقال استقرایی موجه است. بنابراین، فرضیه ای که در ابتدا مطرح شد ثابت می شود.

ما فرمول را ثابت کرده ایم S n =روش n ^ n+

استقرای ریاضی البته شواهد دیگری نیز وجود دارد. برای مثال می توانید جمع را بنویسید اس،به ترتیب صعودی عبارت ها و سپس به ترتیب نزولی عبارت ها:

مجموع عبارت های یک ستون ثابت است (در یک جمع، هر جمله بعدی 1 کاهش می یابد و در دیگری 1 افزایش می یابد) و برابر است با (/r + 1). بنابراین، با جمع بندی مجموع حاصل، داریم پشرایط برابر با (u+1). بنابراین مقدار را دو برابر کنید اس "برابر است با n(n+ 1).

فرمول تازه اثبات شده را می توان به عنوان حالت خاصی از فرمول برای مجموع اولی به دست آورد پاعضای یک پیشرفت حسابی

اجازه دهید به روش استقرای ریاضی برگردیم. توجه داشته باشید که مرحله اول روش استقراء ریاضی (پایه استقراء) همیشه ضروری است. عدم وجود این مرحله ممکن است به نتیجه گیری نادرست منجر شود.

مثال 5.5.6. بیایید این جمله را "اثبات" کنیم: "عدد 7" + 1 برای هر عدد طبیعی بر 3 بخش پذیر است.

«فرض کنید که برای مقداری ارزش طبیعی بهعدد 7*+1 بر 3 بخش پذیر است. اجازه دهید ثابت کنیم که عدد 7 x +1 بر 3 بخش پذیر است. تبدیل ها را انجام دهید:

عدد 6 به وضوح بر 3 بخش پذیر است 1 تا +با فرضیه استقرایی بر 3 بخش پذیر است بنابراین عدد 7-(7* + 1) نیز بر 3 بخش پذیر است بنابراین اختلاف اعداد قابل بخش بر 3 نیز بر 3 بخش پذیر خواهد بود.

پیشنهاد ثابت شده است."

اثبات گزاره اصلی با وجود صحیح بودن گام استقرایی نادرست است. در واقع، در n=من شماره 8 را دارم با n=2 -عدد 50 و ... و هیچ یک از این اعداد بر 3 بخش پذیر نیستند.

اجازه دهید یک نکته مهم در مورد علامت گذاری یک عدد طبیعی هنگام انجام یک انتقال استقرایی بیان کنیم. هنگام تدوین یک پروپوزال A(n)حرف پما متغیری را نشان دادیم که به جای آن هر عدد طبیعی را می توان جایگزین کرد. هنگام فرموله کردن فرضیه استقرایی، مقدار متغیر را با حرف نشان دادیم به.با این حال، اغلب به جای یک نامه جدید بهاز همان حرف متغیر استفاده کنید. این بر ساختار استدلال در هنگام انجام انتقال استقرایی تأثیر نمی گذارد.

اجازه دهید چند مثال دیگر از مسائلی را که می توان برای آنها از روش استقراء ریاضی استفاده کرد، در نظر گرفت.

مثال 5.5.7. مقدار مجموع را بیابید

متغیر در کار پبه نظر نمی رسد. با این حال، دنباله اصطلاحات را در نظر بگیرید:

مشخص کن S، \u003d a + a 2 + ... + a „.بیایید پیدا کنیم اس«برای برخی پ.اگر /1 = 1، پس S، = a، =-.

اگر یک n= 2. سپس S، = آ، + آ؟ = - + - = - = -.

اگر /?=3، پس S-، = a، + a 7+ i، = - + - + - = - + - = - = -.

3 1 - 3 2 6 12 3 12 12 4

شما می توانید مقادیر را خودتان محاسبه کنید اس "در /7 = 4; 5. بوجود می آید

حدس طبیعی: S n= -- برای هر طبیعی /7. بیایید ثابت کنیم

این از طریق استقراء ریاضی است.

القایی پایهدر بالا بررسی شد.

بیایید آن را انجام دهیم انتقال القایی، دلالت بر دلبخواهی دارد

مقدار متغیر پهمین حرف یعنی از تساوی ثابت می کنیم

0 /7 _ /7 +1

S n=-از برابری پیروی می کند اس, =-.

/7+1 /7 + 2

فرض کنیدکه برابری درست است اس= - پ -.

در مجموع تخصیص دهیم S"+اولین پمقررات:

با استفاده از فرض استقرایی، به دست می آوریم:

با کاهش کسری (/7+1)، برابری خواهیم داشت اس n +1 - , L

انتقال استقرایی موجه است.

این ثابت می کند که مجموع اولی پمقررات

1 1 1 /7 ^
- +-+...+- برابر است با -. حالا برگردیم به اصل
1-2 2-3 /?(// +1) /7 + 1

وظیفه. برای حل آن کافی است به عنوان مقدار در نظر گرفته شود پشماره 99.

سپس حاصل جمع -!- + -!- + -!- + ...+ --- برابر با عدد 0.99 خواهد بود.

1-2 2-3 3-4 99100

سعی کنید این مقدار را به روش دیگری محاسبه کنید.

مثال 5.5.8. اجازه دهید ثابت کنیم که مشتق مجموع هر تعداد محدودی از توابع متمایز پذیر برابر است با مجموع مشتقات این توابع.

اجازه دهید متغیر /؟ تعداد ویژگی های داده شده را نشان می دهد. در موردی که فقط یک تابع داده می شود، این تابع است که به عنوان مجموع درک می شود. بنابراین، اگر /7=1، آنگاه گزاره آشکارا درست است: /" = /".

فرض کنیدکه عبارت برای مجموعه ای از درست است پتوابع (در اینجا دوباره به جای حرف بهنامه گرفته شده پ)،یعنی مشتق جمع پتوابع برابر است با مجموع مشتقات.

بیایید ثابت کنیمکه مشتق مجموع توابع (n + 1) برابر با مجموع مشتقات است. یک مجموعه دلخواه متشکل از n+تابع قابل تفکیک: /1،/2، . اجازه دهید مجموع این توابع را نشان دهیم

مانند g+f"+ 1، کجا g=f +/g + ... +/t-مجموع پکارکرد. با فرضیه استقرایی، مشتق تابع gبرابر است با مجموع مشتقات: g" = ft + ft + ... + فوتبنابراین، زنجیره برابری زیر برقرار است:

انتقال القایی کامل شده است.

بنابراین، گزاره اصلی برای هر تعداد محدودی از توابع ثابت می شود.

در برخی موارد اثبات صحت گزاره لازم است A(n)برای همه من طبیعی، با شروع از مقداری با.اثبات با استقراء ریاضی در چنین مواردی طبق طرح زیر انجام می شود.

پایه القاییما این پیشنهاد را ثابت می کنیم ولیبرای ارزش درست است پ،برابر با.

انتقال القایی 1) فرض می کنیم که پیشنهاد ولیبرای مقداری ارزش درست است بهمتغیر /? که بزرگتر یا مساوی است با.

2) اثبات می کنیم که گزاره ولیدرست برای /؟ برابر است

دوباره توجه کنید که به جای حرف بهاغلب نام متغیر را ترک می کنند پ.در این مورد، انتقال استقرایی با این کلمات آغاز می شود: «فرض کنید که برای مقداری n>sدرست A (p).بیایید آن را ثابت کنیم A(n+یک)".

مثال 5.5.9. اجازه دهید ثابت کنیم که برای همه طبیعی است n> 5 نابرابری 2" > و 2 درست است.

پایه القاییاجازه دهید n= 5. سپس 2 5 = 32، 5 2 = 25. نابرابری 32>25 درست است.

انتقال القایی فرض کنید، که نابرابری 2 P>n 2برای یک عدد طبیعی n> 5. بیایید ثابت کنیم، که پس از آن 2" +| > (n+1) 2 است.

با ویژگی های توان های 2 اینچ +| = 2-2". چون 2" > n 2 (با فرضیه استقرایی)، سپس 2-2" > 2n 2 (I).

اجازه دهید که 2 را توجیه کنیم ص 2بزرگتر از (i+1) 2 . این میتونه انجام بشه، این شدنیه، این امکان پذیره روش های مختلف. برای تصمیم گیری کافی است نابرابری مربع 2x 2 >(x+) 2در مجموعه اعداد حقیقی و ببینید که تمام اعداد طبیعی بزرگتر یا مساوی 5 راه حل آن هستند.

به صورت زیر عمل خواهیم کرد. بیایید تفاوت اعداد 2 را پیدا کنیم ص 2و (i+1) 2:

از آنجایی که و > 5، سپس i + 1 > 6، که به معنی (i + 1) 2 > 36 است. بنابراین، تفاوت بزرگتر از 0 است. بنابراین، 2i 2 > (i + 1) 2 (2).

با توجه به ویژگی‌های نابرابری‌ها، از (I) و (2) نتیجه می‌شود که 2*2" > (n + 1) 2، که برای اثبات انتقال استقرایی لازم بود.

بر اساس روش استقراء ریاضی نتیجه می گیریم که نابرابری 2" > i 2 برای هر عدد طبیعی i صادق است.

شکل دیگری از روش استقراء ریاضی را در نظر بگیرید. تفاوت در انتقال القایی نهفته است. برای اجرای آن دو مرحله لازم است:

1) فرض کنید که پیشنهاد A(n)درست برای همه مقادیر متغیر i کمتر از مقداری است R;
2) از فرض انجام شده استنباط کنید که پیشنهاد A(n)برای عدد درست است آر.

بنابراین، مرحله استقرایی به اثبات نتیجه نیاز دارد: [(Ui?) A(n)] => A(p).توجه داشته باشید که نتیجه را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: [(Yn^p) A(n)] => A(p+ 1).

در صورت بندی اولیه روش استقراء ریاضی در اثبات گزاره A(p)ما فقط بر پیشنهاد "قبلی" تکیه کردیم A(p-یک). فرمول روش ارائه شده در اینجا امکان استخراج را فراهم می کند A (p)،با فرض اینکه همه پیشنهادات A(n)،جایی که من کمتر هستم آر، درست هستند.

مثال 5.5.10. بیایید این قضیه را ثابت کنیم: "مجموع زوایای داخلی هر i-gon 180 درجه (i-2) است".

برای یک چند ضلعی محدب، اگر قضیه با قطرهایی که از یک راس کشیده شده اند به مثلث تقسیم شود، اثبات آن آسان است. با این حال، برای یک چند ضلعی غیر محدب، چنین روشی ممکن است امکان پذیر نباشد.

اجازه دهید قضیه یک چندضلعی دلخواه را با استقرای ریاضی اثبات کنیم. ما فرض می کنیم که ادعای زیر شناخته شده است، که به طور دقیق، اثبات جداگانه ای را می طلبد: "در هر //-گون، قطری وجود دارد که کاملاً در قسمت داخلی آن قرار دارد."

به جای متغیر //، می توانید هر عدد طبیعی را که بزرگتر یا مساوی 3 هستند جایگزین کنید. n=bاین قضیه درست است زیرا مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است.

مقداری /7 گون مصرف کنید (p> 4) و فرض کنید که مجموع زوایای هر //-گون، که // p، برابر با 180 درجه (//-2) است. اجازه دهید ثابت کنیم که مجموع زوایای //-گون برابر با 180 درجه (//-2) است.

بیایید یک مورب //-گون در داخل آن رسم کنیم. //-gon را به دو چند ضلعی تقسیم می کند. بگذار یکی از آنها داشته باشد بهطرفین، طرف دیگر به 2طرفین سپس k + k 2 -2 \u003d p،از آنجایی که چند ضلعی های به دست آمده دارای یک مورب رسم شده ضلع مشترک هستند که ضلعی از //-گون اصلی نیست.

هر دو عدد بهو به 2کمتر //. اجازه دهید فرض استقرایی را برای چند ضلعی های حاصل اعمال کنیم: مجموع زوایای ضلع A]-180°-(?i-2) و مجموع زوایای? 2-gon برابر است با 180 درجه - (Ar 2 -2). سپس مجموع زوایای //-گون برابر با مجموع این اعداد خواهد بود:

180 ° * (Ar | -2) -n 180 ° (Ar2-2) \u003d 180 o (Ar, -Ar 2 -2-2) \u003d 180 ° - (//-2).

انتقال استقرایی موجه است. بر اساس روش استقراء ریاضی، قضیه برای هر //-گون (//>3) ثابت می شود.

اگر گزاره A(n) برای n=p و اگر A(k) X A(k+1) برای هر k>p صادق باشد، گزاره A(n) برای هر n>p صادق است.

ثابت کنید 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .

1) n=1=1 2 داریم. بنابراین، عبارت برای n=1 درست است، یعنی. الف (1) درست است
2) اجازه دهید ثابت کنیم که A(k) ~ A(k+1)

بگذارید k هر عدد طبیعی باشد و گزاره برای n=k درست باشد، یعنی.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2

اجازه دهید ثابت کنیم که این ادعا برای عدد طبیعی بعدی n=k+1 نیز صادق است، یعنی. چی

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 در واقع،
1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2

بنابراین، A(k) X A(k+1). بر اساس اصل استقراء ریاضی، نتیجه می گیریم که فرض A(n) برای هر n О N درست است.

ثابت کنیم که

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n \u003d (x n + 1 -1) / (x-1)، جایی که x شماره 1

1) برای n=1 می گیریم
1+x=(x2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

بنابراین، برای n=1 فرمول درست است. الف (1) درست است

2) بگذارید k هر عدد طبیعی باشد و فرمول برای n=k درست باشد،
1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)

اجازه دهید ثابت کنیم که پس از آن برابری

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) در واقع
1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

بنابراین A(k) ⋅ A(k+1). بر اساس اصل استقراء ریاضی، نتیجه می گیریم که فرمول برای هر عدد طبیعی n درست است.

ثابت کنید که تعداد قطرهای یک n-ضلعی محدب n(n-3)/2 است.

راه حل: 1) برای n=3، عبارت درست است، زیرا در مثلث

مورب 3 \u003d 3 (3-3) / 2 \u003d 0. A 2 A(3) درست است

2) فرض کنید در هر k-gon محدب A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 مورب دارد. A k بیایید ثابت کنیم که در یک A محدب k+1 (k+1)-گون تعداد قطرهای A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

فرض کنید А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -محدب (k+1)-گون. یک مورب A 1 A k در آن رسم می کنیم. برای محاسبه تعداد کل قطرهای این (k + 1) -گون، باید تعداد مورب‌های k-gon A 1 A 2 ...A k را بشمارید، k-2 را به عدد حاصل اضافه کنید. تعداد قطرهای ضلع (k+1) که از راس A k+1 نشأت می‌گیرد، و علاوه بر این، باید قطر A 1 A k را نیز در نظر گرفت.

به این ترتیب،

G k+1 =G k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2

بنابراین A(k) ⋅ A(k+1). با توجه به اصل استقراء ریاضی، این عبارت برای هر n-gon محدب صادق است.

ثابت کنید که برای هر n جمله درست است:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6

راه حل: 1) اجازه دهید n=1، سپس

X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

2) فرض کنید n=k

X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6

3) این عبارت را برای n=k+1 در نظر بگیرید

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2

=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

ما اعتبار برابری را برای n=k+1 ثابت کرده ایم، بنابراین، به موجب روش استقرای ریاضی، این گزاره برای هر n طبیعی صادق است.

ثابت کنید که برای هر n طبیعی برابری درست است:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4

راه حل: 1) اجازه دهید n=1

سپس X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1. می بینیم که برای n=1 جمله درست است.

2) فرض کنید که برابری برای n=k درست است

X k \u003d k 2 (k + 1) 2 / 4

3) بیایید صحت این جمله را برای n=k+1 ثابت کنیم، یعنی.

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2/4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2/4

از اثبات بالا می توان دریافت که عبارت برای n=k+1 صادق است، بنابراین، برابری برای هر n طبیعی صادق است.

ثابت کنیم که

((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ґ … ґ ((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n2 +n+1)، که در آن n>2

راه حل: 1) برای n=2، هویت به نظر می رسد:

(2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 ґ 2 ґ 3)/2 (2 2 +2+1)، i.e. درست است
2) فرض کنید که عبارت برای n=k درست است
(2 3 +1) / (2 3 -1) ґ ... ґ (k 3 +1) / (k 3 -1) \u003d 3k (k + 1) / 2 (k 2 + k + 1)
3) صحت عبارت n=k+1 را ثابت می کنیم
(((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ … ґ ((k 3 +1)/(k 3 -1))) ґ (((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k2 +k+1)) ґ ((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ґ

ґ ((k+1) 2 +(k+1)+1)

ما اعتبار برابری را برای n=k+1 ثابت کرده‌ایم، بنابراین، با استفاده از روش استقرای ریاضی، این گزاره برای هر n>2 صادق است.

ثابت کنیم که

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) برای هر n طبیعی

راه حل: 1) اجازه دهید n=1، سپس

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
2) پس فرض کنید که n=k
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)
3) صحت این جمله را برای n=k+1 ثابت می کنیم
(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)

اعتبار برابری برای n=k+1 نیز ثابت شده است، بنابراین این گزاره برای هر n طبیعی صادق است.

اثبات اعتبار هویت

(1 2 /1 ґ 3)+(2 2 /3 ґ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) برای هر n طبیعی

1) برای n=1 هویت درست است 1 2 /1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)
2) فرض کنید که برای n=k
(1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1) ґ (2k+1))=k(k+1)/2 (2k+1)
3) ثابت می کنیم که هویت برای n=k+1 درست است
(1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+1 )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) ґ ((k/2) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ґ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1) (k+2)/2(2(k+1)+1)

از اثبات بالا می توان دریافت که این ادعا برای هر عدد صحیح مثبت n درست است.

ثابت کنید که (11 n+2 +12 2n+1) بدون باقی مانده بر 133 بخش پذیر است

راه حل: 1) اجازه دهید n=1، سپس

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

اما (23 ґ 133) بدون باقیمانده بر 133 بخش پذیر است، بنابراین برای n=1 جمله درست است. الف (1) درست است.

2) فرض کنید (11 k+2 +12 2k+1) بدون باقیمانده بر 133 بخش پذیر است.
3) اجازه دهید ثابت کنیم که در این حالت (11 k+3 +12 2k+3) بدون باقی مانده بر 133 بخش پذیر است. در واقع
11 k + 3 + 12 2k + 3 = 11 ґ 11 k + 2 + 12 2 ґ 12 2k + 1 = 11 ґ 11 k + 2 +

+(11+133) ґ 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ґ 12 2k+1

مقدار حاصل بدون باقیمانده بر 133 بخش پذیر است، زیرا جمله اول آن بر اساس فرض بر 133 بدون باقی مانده تقسیم می شود و در دومی یکی از عوامل 133 است. بنابراین، A (k) Yu A (k + 1). با استفاده از روش استقراء ریاضی، این ادعا ثابت می شود

ثابت کنید که برای هر n 7 n -1 بدون باقی مانده بر 6 بخش پذیر است

1) بگذارید n=1، سپس X 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 بدون باقیمانده بر 6 تقسیم می شود. بنابراین برای n=1 جمله درست است
2) فرض کنید برای n \u003d k 7 k -1 بدون باقی مانده بر 6 بخش پذیر است
3) اجازه دهید ثابت کنیم که عبارت برای n=k+1 درست است

X k+1 \u003d 7 k + 1 -1 \u003d 7 ґ 7 k -7 + 6 \u003d 7 (7 k -1) + 6

ثابت کنید که 3 3n-1 +2 4n-3 برای یک عدد صحیح مثبت دلخواه n بر 11 بخش پذیر است.

1) پس اجازه دهید n=1 باشد

X 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11 بدون باقیمانده بر 11 تقسیم می شود.

بنابراین برای n=1 جمله درست است

2) فرض کنید برای n=k X k =3 3k-1 +2 4k-3 بدون باقیمانده بر 11 بخش پذیر است
3) ثابت می کنیم که عبارت برای n=k+1 درست است

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 3 3k-1 +2 4 2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16 2 4k-3 =(16+11) 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16 3 3k-1 +

11 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 3 3k-1

ثابت کنید که 11 2n -1 برای یک عدد صحیح مثبت دلخواه n بدون باقی مانده بر 6 بخش پذیر است.

1) بگذارید n=1، سپس 11 2 -1=120 بدون باقی مانده بر 6 بخش پذیر است. بنابراین برای n=1 جمله درست است
2) فرض کنید برای n=k 1 2k -1 بدون باقیمانده بر 6 بخش پذیر است
11 2(k+1) -1=121 ґ 11 2k -1=120 ґ 11 2k +(11 2k -1)

ثابت کنید که 3 3n+3 -26n-27 برای یک عدد صحیح مثبت دلخواه n بدون باقیمانده بر 26 2 (676) بخش پذیر است.

اجازه دهید ابتدا ثابت کنیم که 3 3n+3 -1 بدون باقی مانده بر 26 بخش پذیر است

1. زمانی که n=0
3 3 -1=26 بر 26 بخش پذیر است
2. فرض کنید برای n=k
3 3k+3 -1 بر 26 بخش پذیر است
3. ثابت کنیم که عبارت برای n=k+1 درست است
3 3k+6 -1=27 ґ 3 3k+3 -1=26 ґ 3 3k+3 +(3 3k+3 -1) - بر 26 بخش پذیر است

اکنون اجازه دهید ادعای فرموله شده در شرایط مسئله را اثبات کنیم

1) بدیهی است که برای n=1 جمله درست است
3 3+3 -26-27=676
2) فرض کنید برای n=k عبارت 3 3k+3 -26k-27 بر 26 بدون باقیمانده بخش پذیر است.
3) بیایید ثابت کنیم که عبارت برای n=k+1 درست است
3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3-1)+(3 3k+3 -26k-27)

ثابت کنید که اگر n>2 و х>0 باشد، آنگاه نابرابری (1+х) n >1+n ґ х

1) برای n=2، نابرابری درست است، زیرا
(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x

بنابراین A(2) درست است

2) اجازه دهید ثابت کنیم که A(k) ⋅ A(k+1) اگر k> 2. فرض کنید که A(k) درست است، یعنی نابرابری
(1+х) k >1+k ґ x. (3)

اجازه دهید ثابت کنیم که A(k+1) نیز صادق است، یعنی نابرابری

(1+x) k+1 >1+(k+1) x

در واقع، با ضرب هر دو طرف نابرابری (3) در عدد مثبت 1 + x، به دست می‌آییم.

(1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x)

سمت راست آخرین نابرابری را در نظر بگیرید. ما داریم

(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x 2 >1+(k+1) ґ x

در نتیجه، دریافت می کنیم که (1+х) k+1 >1+(k+1) ґ x

بنابراین A(k) ⋅ A(k+1). بر اساس اصل استقراء ریاضی، می توان استدلال کرد که نابرابری برنولی برای هر n> 2 معتبر است.

ثابت کنید که نابرابری (1+a+a 2) m > 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2 برای a> 0 درست است

راه حل: 1) برای m=1

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2) ґ a 2 هر دو قسمت مساوی هستند
2) فرض کنید که برای m=k
(1+a+a 2) k >1+k ґ a+(k(k+1)/2) ґ a 2
3) اجازه دهید ثابت کنیم که برای m=k+1 نابرابری درست است
(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k ґ a+

+(k(k+1)/2) ґ a 2)=1+(k+1) ґ a+((k(k+1)/2)+k+1) ґ a 2 +

+((k(k+1)/2)+k) ґ a 3 +(k(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+

+((k+1)(k+2)/2) ґ a 2

اعتبار نابرابری را برای m=k+1 ثابت کردیم، بنابراین با توجه به روش استقرای ریاضی، نابرابری برای هر m طبیعی معتبر است.

ثابت کنید که برای n>6 نابرابری 3 n >n ґ 2 n+1

اجازه دهید نابرابری را به شکل (3/2) n>2n بازنویسی کنیم

1. برای n=7 3 7 /2 7 =2187/128>14=2 ґ 7 داریم نابرابری درست است
2. فرض کنید برای n=k (3/2) k >2k
3) اجازه دهید اعتبار نابرابری را برای n=k+1 ثابت کنیم
3k+1 /2k+1 =(3k /2k) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1)

از آنجایی که k>7، آخرین نابرابری آشکار است.

با توجه به روش استقرای ریاضی، نابرابری برای هر n طبیعی معتبر است

ثابت کنید که برای n>2 نابرابری

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n)

1) برای n=3 نابرابری درست است
1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
2. فرض کنید برای n=k
1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k)
3) اجازه دهید اعتبار نابرابری را برای n=k+1 ثابت کنیم
(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)

اجازه دهید ثابت کنیم که 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1) Ы

S (1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

s k(k+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

مورد دوم بدیهی است و بنابراین

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)

با استفاده از روش استقراء ریاضی، نابرابری ثابت می شود.

سخنرانی 6. روش استقراء ریاضی.

دانش جدید در علم و زندگی از راه های مختلف به دست می آید، اما همه آنها (اگر وارد جزئیات نشوید) به دو نوع تقسیم می شوند - انتقال از کلی به جزئی و از جزئی به کلی. اولی کسر است، دومی استقرایی است. استدلال قیاسی همان چیزی است که معمولاً در ریاضیات نامیده می شود استدلال منطقیو در علوم ریاضی کسر تنها روش مشروع تحقیق است. قواعد استدلال منطقی دو هزار و نیم پیش توسط دانشمند یونانی باستان ارسطو تدوین شد. او فهرست کاملی از ساده ترین استدلال های صحیح ایجاد کرد، قیاس ها- "آجر" منطق، در عین حال اشاره به استدلال معمولی، بسیار شبیه به استدلال های صحیح، اما اشتباه (ما اغلب با چنین استدلال "شبه شناختی" در رسانه ها مواجه می شویم).

القاء (القاء - در لاتین راهنمایی) توسط افسانه معروف چگونگی فرموله کردن قانون گرانش جهانی توسط آیزاک نیوتن پس از افتادن سیب بر روی سرش نشان داده شده است. مثال دیگری از فیزیک: در چنین پدیده ای مانند القای الکترومغناطیسی، یک میدان الکتریکی ایجاد می کند، یک میدان مغناطیسی "القاء" می کند. "سیب نیوتن" یک مثال معمولی از موقعیتی است که در آن یک یا چند مورد خاص، یعنی. مشاهدات، به یک بیان کلی منجر می شود، نتیجه گیری کلی بر اساس موارد خاص انجام می شود. روش استقرایی اصلی ترین روش برای به دست آوردن الگوهای کلی در علوم طبیعی و انسانی است. اما یک اشکال بسیار مهم دارد: بر اساس مثال های خاص، می توان نتیجه نادرستی گرفت. فرضیه های ناشی از مشاهدات خصوصی همیشه صحیح نیستند. مثالی را به خاطر اویلر در نظر بگیرید.

ما مقدار سه جمله ای را برای برخی از مقادیر اولیه محاسبه خواهیم کرد n:

توجه داشته باشید که اعداد به دست آمده در نتیجه محاسبات اول هستند. و می توان مستقیماً آن را برای هر یک تأیید کرد nمقدار چند جمله ای 1 تا 39
یک عدد اول است با این حال، زمانی که n=40 عدد 1681=41 2 را می گیریم که عدد اول نیست. بنابراین، فرضیه ای که می تواند در اینجا مطرح شود، یعنی این فرضیه که برای هر یک nعدد
ساده است، نادرست است.

لایب نیتس در قرن هفدهم ثابت کرد که برای هر عدد صحیح مثبت nعدد
قابل تقسیم بر 3
بر 5 بخش پذیر است و غیره بر این اساس، او پیشنهاد کرد که برای هر فرد کو هر طبیعی nعدد
تقسیم بر ک، اما خیلی زود متوجه این موضوع شد
بر 9 بخش پذیر نیست.

مثال های در نظر گرفته شده به ما امکان می دهد یک نتیجه گیری مهم را بگیریم: یک جمله می تواند در تعدادی از موارد خاص درست باشد و در عین حال به طور کلی ناعادلانه باشد. پرسش از اعتبار گزاره در حالت کلی را می توان با به کارگیری روش استدلالی خاصی به نام حل کرد توسط استقراء ریاضی(استقرا کامل، استقراء کامل).

6.1. اصل استقراء ریاضی.

♦ روش استقراء ریاضی بر اساس اصل استقراء ریاضی ، شامل موارد زیر است:

1) اعتبار این بیانیه تایید شده استn=1 (مبنای استقرا) ,

2) فرض می شود که این عبارت برای آن صادق استn= ک، جایی کهکیک عدد طبیعی دلخواه 1 است(فرض القایی) ، و با در نظر گرفتن این فرض، اعتبار آن برایn= ک+1.

اثبات. برعکس را فرض کنید، یعنی فرض کنید که این ادعا برای هر طبیعی صادق نیست n. سپس چنین طبیعی وجود دارد متر، چی:

1) تایید برای n=مترمنصفانه نیست،

2) برای همه n، کوچکتر متر، این ادعا درست است (به عبارت دیگر، متراولین عدد طبیعی است که ادعا برای آن ناموفق است).

بدیهی است که متر> 1، زیرا برای n=1 جمله درست است (شرط 1). در نتیجه،
- عدد طبیعی. معلوم می شود که برای یک عدد طبیعی
عبارت درست است و برای عدد طبیعی بعدی مترمنصفانه نیست. این با شرط 2 تناقض دارد. ■

توجه داشته باشید که اثبات از این اصل استفاده می کند که هر مجموعه ای از اعداد طبیعی دارای کوچکترین عدد است.

اثبات مبتنی بر اصل استقراء ریاضی نامیده می شود با استقرای کامل ریاضی .

 مثال6.1. ثابت کنید که برای هر طبیعی است nعدد
بر 3 بخش پذیر است.

راه حل.

1) چه زمانی n= 1، بنابراین آ 1 بر 3 بخش پذیر است و عبارت برای آن درست است n=1.

2) فرض کنید که عبارت برای n=ک,
، یعنی آن عدد
بر 3 بخش پذیر است و آن را پیدا کنید n=کعدد +1 بر 3 بخش پذیر است.

در واقع،

زیرا هر جمله بر 3 بخش پذیر است، سپس مجموع آنها نیز بر 3 بخش پذیر است. ■ 

 مثال6.2. ثابت کنید که مجموع اولی است nاعداد فرد طبیعی برابر است با مجذور عدد آنها، یعنی .

راه حل.ما از روش استقرای کامل ریاضی استفاده می کنیم.

1) اعتبار این عبارت را بررسی می کنیم n=1: 1=1 2 صحیح است.

2) فرض کنید که مجموع اولی ک (
) از اعداد فرد برابر است با مجذور تعداد این اعداد، یعنی . بر اساس این برابری، ما مشخص می کنیم که مجموع اولی کاعداد فرد 1+ برابر است با
، به این معنا که .

ما از فرض خود استفاده می کنیم و می گیریم

. ■ 

برای اثبات برخی نابرابری ها از روش استقرای کامل ریاضی استفاده می شود. اجازه دهید نابرابری برنولی را ثابت کنیم.

 مثال6.3. ثابت کن وقتی
و هر طبیعی nنابرابری
(نابرابری برنولی).

راه حل. 1) چه زمانی n=1 دریافت می کنیم
، کدام درسته.

2) فرض می کنیم که در n=کیک نابرابری وجود دارد
(*). با استفاده از این فرض، آن را ثابت می کنیم
. توجه داشته باشید که وقتی
این نابرابری وجود دارد، و بنابراین برای بررسی این مورد کافی است
.

هر دو قسمت نامساوی (*) را در عدد ضرب کنید
و دریافت کنید:

یعنی (1+
.■ 

اثبات با روش استقرای ریاضی ناقص برخی ادعاها بسته به n، جایی که
به روشی مشابه انجام می شود، اما در آغاز، عدالت برای کمترین ارزش برقرار می شود n.

برخی از مسائل به صراحت گزاره ای را فرموله نمی کنند که بتوان آن را با استقراء ریاضی اثبات کرد. در چنین مواردی باید یک قاعده ایجاد کرد و فرضیه ای در مورد صحت این قاعده بیان کرد و سپس با استقراء ریاضی فرضیه پیشنهادی را آزمایش کرد.

 مثال6.4. مقدار را پیدا کنید
.

راه حل.بیایید مبالغ را پیدا کنیم اس 1 , اس 2 , اس 3 . ما داریم
,
,
. ما فرض می کنیم که برای هر طبیعی nفرمول معتبر است
. برای آزمون این فرضیه از روش استقرای کامل ریاضی استفاده می کنیم.

1) چه زمانی n=1 فرضیه درست است، زیرا
.

2) فرض کنید که فرضیه برای n=ک,
، به این معنا که
. با استفاده از این فرمول، ثابت می کنیم که فرضیه درست است و برای n=ک+1 یعنی

در واقع،

بنابراین، با فرض اینکه فرضیه برای n=ک,
، ثابت می شود که درست است برای n=ک+1 و بر اساس اصل استقراء ریاضی نتیجه می گیریم که فرمول برای هر طبیعی معتبر است n. ■ 

 مثال6.5. در ریاضیات ثابت شده است که مجموع دو تابع پیوسته یکنواخت یک تابع پیوسته یکنواخت است. بر اساس این عبارت، باید ثابت کنیم که مجموع هر عددی است
توابع پیوسته یکنواخت یک تابع پیوسته یکنواخت است. اما از آنجایی که ما هنوز مفهوم "تابع پیوسته یکنواخت" را معرفی نکرده ایم، اجازه دهید مسئله را به صورت انتزاعی تر تنظیم کنیم: بگذارید بدانیم که مجموع دو تابع که دارای خاصیت هستند. اس، خود دارای خاصیت است اس. اجازه دهید ثابت کنیم که مجموع هر تعداد توابع دارای خاصیت است اس.

راه حل.اساس استقرا در اینجا در خود فرمول بندی مسئله وجود دارد. با ایجاد فرض استقرایی، در نظر بگیرید
کارکرد f 1 , f 2 , …, f n , f n+1 که دارای خاصیت هستند اس. سپس . در سمت راست، عبارت اول دارای خاصیت است اسبر اساس فرضیه استقرایی، جمله دوم دارای خاصیت است اسبا شرط بنابراین جمع آنها دارای خاصیت است اس- برای دو ترم، اساس القاء "کار می کند".

این ادعا را ثابت می کند و از آن بیشتر استفاده خواهد کرد. ■ 

 مثال6.6. همه طبیعی را پیدا کنید n، که برای آن نابرابری است

راه حل.در نظر گرفتن n=1، 2، 3، 4، 5، 6. داریم: 2 1 > 1 2 , 2 2 = 2 2 , 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2 , 2 6 > 6 2 . بنابراین، می‌توانیم یک فرضیه بسازیم: نابرابری
برای همه جا دارد
. برای اثبات صحت این فرضیه از اصل استقرای ناقص ریاضی استفاده می کنیم.

1) همانطور که در بالا گفته شد، این فرضیه برای n=5.

2) فرض کنید برای n=ک,
، یعنی نابرابری
. با استفاده از این فرض، ثابت می کنیم که نابرابری
.

T. به.
و در
یک نابرابری وجود دارد

در
,

سپس آن را دریافت می کنیم
. بنابراین، صحت فرضیه n=ک 1+ از این فرض که درست است برای n=ک,
.

از pp. 1 و 2، بر اساس اصل استقراء ناقص ریاضی، نتیجه می شود که نابرابری
برای هر طبیعی صادق است
. ■ 

 مثال6.7. برای هر عدد طبیعی ثابت کنید nفرمول تمایز معتبر است
.

راه حل.در n=1 این فرمول دارای فرم است
یا 1=1 یعنی درست است. با ایجاد فرض استقرایی، داریم:

Q.E.D. ■ 

 مثال6.8. ثابت کنید که مجموعه متشکل از nعناصر، دارد زیر مجموعه ها

راه حل.مجموعه ای با یک عنصر آ، دارای دو زیر مجموعه است. این درست است زیرا همه زیر مجموعه های آن مجموعه خالی و خود مجموعه هستند و 2 1 = 2.

ما فرض می کنیم که هر مجموعه ای از nعناصر دارد زیر مجموعه ها اگر مجموعه A متشکل از nعناصر +1، سپس یک عنصر را در آن ثابت می کنیم - آن را نشان می دهیم د، و همه زیرمجموعه ها را به دو کلاس تقسیم کنید - بدون اینکه شامل شوند دو حاوی د. همه زیرمجموعه های کلاس اول زیرمجموعه های مجموعه B هستند که با حذف عنصر از A به دست می آیند د.

مجموعه B شامل nعناصر، و بنابراین، بر اساس فرضیه استقرایی، دارای است زیر مجموعه ها، بنابراین در کلاس اول زیر مجموعه ها

اما در کلاس دوم تعداد زیرمجموعه های یکسانی وجود دارد: هر یک از آنها دقیقاً از یک زیر مجموعه از کلاس اول با اضافه کردن عنصر به دست می آیند. د. بنابراین در مجموع مجموعه A
زیر مجموعه ها

بنابراین این ادعا ثابت می شود. توجه داشته باشید که برای مجموعه ای متشکل از 0 عنصر - یک مجموعه خالی - نیز معتبر است: یک زیرمجموعه واحد دارد - خودش و 2 0 = 1. ■ 

یک روش اثبات مبتنی بر اصل 4 Peano برای اثبات بسیاری از خصوصیات ریاضی و عبارات مختلف استفاده می شود. مبنای این قضیه قضیه زیر است.

قضیه. اگر بیانیه ولی(ن)با متغیر طبیعی nدرست برای n= 1 و از این حقیقت که برای آن صادق است n=k، نتیجه می شود که برای عدد بعدی نیز صادق است n=k،سپس بیانیه ولی(ن) n.

اثبات. با نشان دادن ممجموعه ای از آن و تنها آن اعداد طبیعی که برای آنها عبارت ولی(ن)درست است، واقعی. سپس از شرط قضیه داریم: 1) 1 م; 2) k Mکم. از این رو، بر اساس اصل 4، نتیجه می گیریم که M =ن، یعنی بیانیه ولی(ن)برای هر طبیعی صادق است n.

روش اثبات مبتنی بر این قضیه نامیده می شود روش استقراء ریاضی،و بدیهیات بدیهیات استقرایی است. این اثبات دو بخش دارد:

1) این جمله را ثابت کنید ولی(ن)درست برای n= الف (1)؛

2) فرض کنید که بیانیه ولی(ن)درست برای n=k، و با شروع از این فرض، ثابت کنید که عبارت A(n)درست برای n=k+ 1، یعنی که گفته درست است A(k) A(k + 1).

اگر یک ولی( 1) ولی(k) A(k + 1) یک گزاره درست است، سپس نتیجه می گیرند که این بیانیه A(n)برای هر عدد طبیعی درست است n.

اثبات با استقراء ریاضی می تواند نه تنها با تأیید صحت گزاره آغاز شود n= 1، بلکه از هر عدد طبیعی متر. در این مورد، بیانیه ولی(ن)برای تمام اعداد طبیعی ثابت خواهد شد نانومتر.

مسئله. اجازه دهید ثابت کنیم که برای هر عدد طبیعی تساوی 1 + 3 + 5 ... + (2 n- 1) = n

راه حل.برابری 1 + 3 + 5 ... + (2 n- 1) = nفرمولی است که می توان از آن برای یافتن مجموع اولین اعداد طبیعی فرد متوالی استفاده کرد. به عنوان مثال، 1 + 3 + 5 + 7 = 4 = 16 (مجموع شامل 4 عبارت)، 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6 = 36 (مجموع شامل 6 جمله است). اگر این مجموع شامل 20 عبارت از نوع مشخص شده باشد، برابر است با 20 = 400 و غیره. پس از اثبات صحت این برابری، با استفاده از فرمول قادر خواهیم بود مجموع هر تعداد عبارت از نوع مشخص شده را پیدا کنیم.

1) صحت این برابری را برای n= 1. وقتی n= 1 سمت چپ تساوی شامل یک جمله برابر با 1 است، سمت راست برابر با 1 = 1 است. از آنجایی که 1 = 1، پس برای n= 1 این برابری درست است.

2) فرض کنید که این برابری برای n=k، یعنی که 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) = ک.بر اساس این فرض، ما ثابت می کنیم که درست است n=k+ 1، یعنی 1 + 3 + 5 + ... + (2 ک- 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1).

سمت چپ آخرین برابری را در نظر بگیرید.

با فرض، مجموع اولی کشرایط است کو بنابراین 1 + 3 + 5 + ... + (2 ک- 1) + (2(k + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2ک- 1) + (2ک+ 1)=

= k+(2k + 1) = k+ 2k + 1. اصطلاح k+ 2k + 1 برابر است با عبارت ( k + 1).

بنابراین، حقیقت این برابری برای n=k+ 1 ثابت شده است.

بنابراین، این برابری صادق است n= 1 و از حقیقت آن برای n=kحقیقت را برای n=k+ 1.

این ثابت می کند که این برابری برای هر عدد طبیعی صادق است.

با استفاده از روش استقراء ریاضی می توان صدق نه تنها برابری ها، بلکه نابرابری ها را نیز اثبات کرد.

یک وظیفه. ثابت کن که کجا nN.

راه حل.اجازه دهید حقیقت نابرابری را بررسی کنیم n= 1. ما داریم - یک نابرابری واقعی.

اجازه دهید فرض کنیم که نابرابری برای آن صادق است n=k،آن ها - نابرابری واقعی اجازه دهید، بر اساس این فرض، ثابت کنیم که درست است n=k+ 1، یعنی (*).

سمت چپ نابرابری (*) را با در نظر گرفتن اینکه: .

ولی ، که به معنی و .

بنابراین این نابرابری برای آن صادق است n= 1، و از این واقعیت که نابرابری برای برخی صادق است n= ک، متوجه شدیم که برای آن نیز صادق است n= k + 1.

بنابراین، با استفاده از اصل 4، ثابت کردیم که این نابرابری برای هر عدد طبیعی صادق است.

سایر ادعاها را نیز می توان با روش استقرای ریاضی اثبات کرد.

یک وظیفه. ثابت کنید که عبارت برای هر عدد طبیعی درست است.

راه حل. اجازه دهید صحت بیانیه را بررسی کنیم n= 1: -گزاره درست.

اجازه دهید فرض کنیم که این جمله درست است n=k: . اجازه دهید با استفاده از این، صحت گزاره را نشان دهیم n=k+ 1: .

بیایید عبارت را تبدیل کنیم: . بیایید تفاوت را پیدا کنیم کو k+ 1 عضو اگر معلوم شد که اختلاف حاصل مضرب 7 است و با فرض زیرمجموعه بر 7 بخش پذیر است، آنگاه مینیوند نیز مضربی از 7 است:

حاصل ضربی از 7 است، بنابراین، و .

بنابراین، این گفته برای n= 1 و از حقیقت آن برای n=kحقیقت را برای n=k+ 1.

این ثابت می کند که این جمله برای هر عدد طبیعی درست است.

یک وظیفه. برای هر عدد طبیعی ثابت کنید nگزاره 2 (7-1) 24 درست است.

راه حل. 1) صحت عبارت را بررسی کنید n= 2: - عبارت درست.