Решаване на системи уравнения по метода на събиране. онлайн калкулатор

Системите от уравнения се използват широко в икономическата индустрия при математическото моделиране на различни процеси. Например при решаване на проблеми с управлението и планирането на производството, логистични маршрути (транспортен проблем) или разполагане на оборудване.

Системите от уравнения се използват не само в областта на математиката, но и във физиката, химията и биологията, когато се решават задачи за намиране на размера на популацията.

система линейни уравненияназовава две или повече уравнения с няколко променливи, за които е необходимо да се намерят общо решение. Такава последователност от числа, за която всички уравнения стават истински равенства или доказват, че последователността не съществува.

Линейно уравнение

Уравнения от вида ax+by=c се наричат линейни. Обозначенията x, y са неизвестните, чиято стойност трябва да се намери, b, a са коефициентите на променливите, c е свободният член на уравнението.
Решаването на уравнението чрез начертаване на неговата графика ще изглежда като права линия, всички точки на която са решението на полинома.

Видове системи линейни уравнения

Най-простите са примери за системи от линейни уравнения с две променливи X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, където F1,2 са функции и (x, y) са функционални променливи.

Решете система от уравнения - това означава да се намерят такива стойности (x, y), при които системата се превръща в истинско равенство или да се установи, че подходящи стойности x и y не съществуват.

Двойка стойности (x, y), записана като координати на точка, се нарича решение на система от линейни уравнения.

Ако системите имат едно общо решение или няма решение, те се наричат еквивалентни.

Хомогенните системи от линейни уравнения са системи дясна часткоето е равно на нула. Ако дясната част след знака "равно" има стойност или е изразена от функция, такава система не е хомогенна.

Броят на променливите може да бъде много повече от две, тогава трябва да говорим за пример на система от линейни уравнения с три или повече променливи.

Изправени пред системи, учениците приемат, че броят на уравненията трябва задължително да съвпада с броя на неизвестните, но това не е така. Броят на уравненията в системата не зависи от променливите, може да има произволно голям брой от тях.

Прости и сложни методи за решаване на системи от уравнения

Няма общ аналитичен начин за решаване на такива системи, всички методи се основават на числени решения. Училищният курс по математика описва подробно такива методи като пермутация, алгебрично добавяне, заместване, както и графични и матричен метод, решение по метода на Гаус.

Основната задача при преподаването на методи за решаване е да се научи как правилно да се анализира системата и да се намери оптимален алгоритъмрешения за всеки пример. Основното нещо е да не запомните система от правила и действия за всеки метод, а да разберете принципите на прилагане на конкретен метод.

Решаване на примери за системи от линейни уравнения от 7 клас на програмата средно училищедоста просто и обяснено много подробно. Във всеки учебник по математика на този раздел се отделя достатъчно внимание. Решаването на примери за системи от линейни уравнения по метода на Гаус и Крамер се изучава по-подробно в първите курсове на висшите учебни заведения.

Решаване на системи чрез метода на заместване

Действията на метода на заместване са насочени към изразяване на стойността на една променлива чрез втората. Изразът се замества в останалото уравнение, след което се редуцира до форма с една променлива. Действието се повтаря в зависимост от броя на неизвестните в системата

Да дадем пример за система от линейни уравнения от 7-ми клас по метода на заместване:

Както може да се види от примера, променливата x беше изразена чрез F(X) = 7 + Y. Полученият израз, заместен във второто уравнение на системата на мястото на X, помогна да се получи една променлива Y във второто уравнение . Решението на този пример не създава затруднения и ви позволява да получите стойността Y. Последна стъпкатова е тест на получените стойности.

Не винаги е възможно да се реши пример на система от линейни уравнения чрез заместване. Уравненията могат да бъдат сложни и изразяването на променливата по отношение на второто неизвестно ще бъде твърде тромаво за по-нататъшни изчисления. Когато в системата има повече от 3 неизвестни, заместващото решение също е непрактично.

Решение на пример на система от линейни нехомогенни уравнения:

Решение чрез алгебрично събиране

При търсене на решение на системи чрез метода на събиране се извършва почленно събиране и умножение на уравнения с различни числа. Крайната цел на математическите операции е уравнение с една променлива.

За приложения този методизисква практика и наблюдение. Не е лесно да се реши система от линейни уравнения с помощта на метода на събиране с брой променливи 3 или повече. Алгебричното добавяне е полезно, когато уравненията съдържат дроби и десетични числа.

Алгоритъм за действие на решението:

Умножете двете страни на уравнението по някакво число. В резултат на аритметичната операция един от коефициентите на променливата трябва да стане равен на 1.
Съберете получения израз член по член и намерете едно от неизвестните.
Заместете получената стойност във второто уравнение на системата, за да намерите оставащата променлива.

Метод на решение чрез въвеждане на нова променлива

Може да се въведе нова променлива, ако системата трябва да намери решение за не повече от две уравнения, броят на неизвестните също трябва да бъде не повече от две.

Методът се използва за опростяване на едно от уравненията чрез въвеждане на нова променлива. Новото уравнение се решава по отношение на въведеното неизвестно и получената стойност се използва за определяне на оригиналната променлива.

От примера може да се види, че чрез въвеждане на нова променлива t е възможно да се намали първото уравнение на системата до стандартен квадратен трином. Можете да разрешите полином, като намерите дискриминанта.

Необходимо е да се намери стойността на дискриминанта, като се използва добре известната формула: D = b2 - 4*a*c, където D е желаният дискриминант, b, a, c са множителите на полинома. В дадения пример a=1, b=16, c=39, следователно D=100. Ако дискриминантът е по-голям от нула, тогава има две решения: t = -b±√D / 2*a, ако дискриминантът е по-малък от нула, тогава има само едно решение: x= -b / 2*a.

Решението за получените системи се намира по метода на добавяне.

Визуален метод за решаване на системи

Подходящ за системи с 3 уравнения. Методът се състои в начертаване на графики на всяко уравнение, включено в системата върху координатната ос. Координатите на точките на пресичане на кривите ще бъдат общото решение на системата.

Графичният метод има редица нюанси. Разгледайте няколко примера за решаване на системи от линейни уравнения по визуален начин.

Както може да се види от примера, две точки бяха конструирани за всяка линия, стойностите на променливата x бяха избрани произволно: 0 и 3. Въз основа на стойностите на x бяха намерени стойностите за y: 3 и 0. На графиката са отбелязани точки с координати (0, 3) и (3, 0) и свързани с линия.

Стъпките трябва да се повторят за второто уравнение. Пресечната точка на правите е решението на системата.

Следният пример трябва да се намери графично решениесистеми от линейни уравнения: 0.5x-y+2=0 и 0.5x-y-1=0.

Както се вижда от примера, системата няма решение, тъй като графиките са успоредни и не се пресичат по цялата си дължина.

Системите от примери 2 и 3 са сходни, но когато се конструират, става очевидно, че техните решения са различни. Трябва да се помни, че не винаги е възможно да се каже дали системата има решение или не, винаги е необходимо да се изгради графика.

Матрицата и нейните разновидности

Матриците се използват за кратко записване на система от линейни уравнения. Една таблица се нарича матрица. специален видпълни с числа. n*m има n - редове и m - колони.

Матрицата е квадратна, когато броят на колоните и редовете е равен. Матрица-вектор е матрица с една колона с безкраен възможен брой редове. Матрица с единици по един от диагоналите и други нулеви елементи се нарича идентичност.

Обратната матрица е такава матрица, когато се умножи, по която оригиналната се превръща в единична, такава матрица съществува само за оригиналната квадратна.

Правила за преобразуване на система от уравнения в матрица

По отношение на системите от уравнения коефициентите и свободните членове на уравненията се записват като числа на матрицата, едно уравнение е един ред от матрицата.

Матричен ред се нарича ненулев, ако поне един елемент от реда не е равен на нула. Следователно, ако в някое от уравненията броят на променливите е различен, тогава е необходимо да въведете нула на мястото на липсващото неизвестно.

Колоните на матрицата трябва стриктно да съответстват на променливите. Това означава, че коефициентите на променливата x могат да бъдат записани само в една колона, например първата, коефициентът на неизвестното y - само във втората.

При умножаване на матрица всички елементи на матрицата се умножават последователно по число.

Опции за намиране на обратната матрица

Формулата за намиране на обратната матрица е доста проста: K -1 = 1 / |K|, където K -1 - обратна матрицаи |K| - матричен детерминант. |K| не трябва да е равно на нула, тогава системата има решение.

Детерминантата се изчислява лесно за матрица две по две, необходимо е само елементите да се умножат диагонално един с друг. За опцията "три по три" има формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можете да използвате формулата или можете да запомните, че трябва да вземете по един елемент от всеки ред и всяка колона, така че номерата на колоните и редовете на елементите да не се повтарят в продукта.

Решаване на примери на системи от линейни уравнения по матричния метод

Матричният метод за намиране на решение позволява да се намалят тромавите нотации при решаване на системи с голямо количествопроменливи и уравнения.

В примера a nm са коефициентите на уравненията, матрицата е вектор, x n са променливите, а b n са свободните членове.

Решаване на системи по метода на Гаус

Във висшата математика методът на Гаус се изучава заедно с метода на Крамер, а процесът на намиране на решение на системи се нарича метод на решаване на Гаус-Крамър. Тези методи се използват за намиране на променливите на системи с голям брой линейни уравнения.

Методът на Гаус е много подобен на решенията за заместване и алгебрично добавяне, но е по-систематичен. В училищния курс се използва решението на Гаус за системи от 3 и 4 уравнения. Целта на метода е да доведе системата до формата на обърнат трапец. Чрез алгебрични трансформации и замествания стойността на една променлива се намира в едно от уравненията на системата. Второто уравнение е израз с 2 неизвестни, а 3 и 4 - съответно с 3 и 4 променливи.

След привеждане на системата до описания вид, по-нататъшното решение се свежда до последователно заместване на известни променливи в уравненията на системата.

AT училищни учебнициза 7 клас е описан пример за решение по метода на Гаус, както следва:

Както може да се види от примера, на стъпка (3) са получени две уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решението на всяко от уравненията ще ви позволи да намерите една от променливите x n.

Теорема 5, която се споменава в текста, гласи, че ако едно от уравненията на системата се замени с еквивалентно, то получената система също ще бъде еквивалентна на оригиналната.

Методът на Гаус е труден за разбиране от учениците гимназия, но е един от най интересни начиниза развиване на изобретателността на децата, записани в програмата за разширено обучение в часовете по математика и физика.

За по-лесно записване на изчисленията е обичайно да се прави следното:

Коефициентите на уравнението и свободните членове се записват под формата на матрица, където всеки ред от матрицата съответства на едно от уравненията на системата. разделя лявата страна на уравнението от дясната страна. Римските цифри означават номерата на уравненията в системата.

Първо те записват матрицата, с която да работят, след това всички действия, извършени с един от редовете. Получената матрица се записва след знака "стрелка" и продължава да изпълнява необходимото алгебрични действиядо постигане на резултата.

В резултат на това трябва да се получи матрица, в която един от диагоналите е 1, а всички други коефициенти са равни на нула, т.е. матрицата се редуцира до една форма. Не трябва да забравяме да правим изчисления с числата от двете страни на уравнението.

Тази нотация е по-малко тромава и ви позволява да не се разсейвате от изброяване на множество неизвестни.

Безплатното прилагане на всеки метод на решение ще изисква внимание и известен опит. Не всички методи се прилагат. Някои начини за намиране на решения са по-предпочитани в определена област на човешката дейност, докато други съществуват с цел обучение.

Много често учениците се затрудняват при избора на метод за решаване на системи от уравнения.

В тази статия ще разгледаме един от начините за решаване на системи - методът на заместване.

Ако се намери общо решение на две уравнения, тогава се казва, че тези уравнения образуват система. В система от уравнения всяко неизвестно представлява едно и също число във всички уравнения. За да се покаже, че тези уравнения образуват система, те обикновено се записват едно под друго и се комбинират с къдрава скоба, напр.

Отбелязваме, че за x = 15 и y = 5 и двете уравнения на системата са верни. Тази двойка числа е решението на системата от уравнения. Всяка двойка неизвестни стойности, които едновременно удовлетворяват и двете уравнения на системата, се нарича решение на системата.

Една система може да има едно решение (както в нашия пример), безкрайно много решения и нито едно решение.

Как да решаваме системи с помощта на метода на заместване? Ако коефициентите за някакво неизвестно в двете уравнения са равни по абсолютна стойност (ако не са равни, тогава изравняваме), тогава чрез добавяне на двете уравнения (или изваждане на едното от другото) можете да получите уравнение с едно неизвестно. След това решаваме това уравнение. Ние определяме едно неизвестно. Заместваме получената стойност на неизвестното в едно от уравненията на системата (в първото или във второто). Откриваме още един неизвестен. Нека да разгледаме примери за прилагането на този метод.

Пример 1Решете система от уравнения

Тук коефициентите при y са равни по абсолютна стойност, но противоположни по знак. Нека опитаме член по член, за да добавим уравненията на системата.

Получената стойност x \u003d 4, заместваме в някакво уравнение на системата (например в първото) и намираме стойността на y:

2 * 4 + y \u003d 11, y \u003d 11 - 8, y \u003d 3.

Нашата система има решение x = 4, y = 3. Или отговорът може да бъде записан в скоби, като координатите на точка, на първо място x, на второ y.

Отговор: (4; 3)

Пример 2. Решете система от уравнения

Изравняваме коефициентите за променливата x, за това умножаваме първото уравнение по 3, а второто по (-2), получаваме

Бъдете внимателни, когато добавяте уравнения

Тогава y \u003d - 2. Заместваме числото (-2) вместо y в първото уравнение, получаваме

4x + 3 (-2) \u003d - 4. Решаваме това уравнение 4x = - 4 + 6, 4x \u003d 2, x \u003d ½.

Отговор: (1/2; - 2)

Пример 3Решете система от уравнения

Умножете първото уравнение по (-2)

Решаване на системата

получаваме 0 = - 13.

Няма система от решения, тъй като 0 не е равно на (-13).

Отговор: Няма решения.

Пример 4Решете система от уравнения

Обърнете внимание, че всички коефициенти на второто уравнение се делят на 3,

нека разделим второто уравнение на три и ще получим система, която се състои от две еднакви уравнения.

Тази система има безкрайно много решения, тъй като първото и второто уравнения са еднакви (получихме само едно уравнение с две променливи). Как да представим решението на тази система? Нека изразим променливата y от уравнението x + y = 5. Получаваме y = 5 - x.

Тогава отговорще бъде написана така: (x; 5-x), x е произволно число.

Разгледахме решението на системи от уравнения по метода на добавяне. Ако имате въпроси или нещо не е ясно, запишете се за урок и ние ще разрешим всички проблеми с вас.

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

С това видео започвам поредица от уроци за системи от уравнения. Днес ще говорим за решаване на системи от линейни уравнения метод на добавяне- е един от най прости начинино и един от най-ефективните.

Методът на добавяне се състои от три прости стъпки:

Погледнете системата и изберете променлива, която има еднакви (или противоположни) коефициенти във всяко уравнение;
Извършване на алгебрично изваждане (за противоположни числа - събиране) на уравнения едно от друго и след това привеждане на подобни членове;
Решете новото уравнение, получено след втората стъпка.

Ако всичко е направено правилно, тогава на изхода ще получим едно уравнение с една променлива- Няма да е трудно да се реши. След това остава само да замените намерения корен в оригиналната система и да получите окончателния отговор.

На практика обаче не е толкова просто. Има няколко причини за това:

Решаването на уравнения чрез събиране предполага, че всички редове трябва да съдържат променливи с еднакви/противоположни коефициенти. Ами ако това изискване не е изпълнено?
Не винаги, след добавяне / изваждане на уравнения по този начин, ще получим красива конструкция, която лесно се решава. Възможно ли е по някакъв начин да се опростят изчисленията и да се ускорят изчисленията?

За да получите отговор на тези въпроси и в същото време да се справите с няколко допълнителни тънкости, по които много ученици „падат“, вижте моя видео урок:

С този урок започваме поредица от лекции за системи от уравнения. И ще започнем с най-простите от тях, а именно тези, които съдържат две уравнения и две променливи. Всеки от тях ще бъде линеен.

Системи е материал за 7. клас, но този урок ще бъде полезен и за гимназисти, които искат да опреснят знанията си по тази тема.

Като цяло има два метода за решаване на такива системи:

Метод на добавяне;
Метод за изразяване на една променлива чрез друга.

Днес ще се занимаваме с първия метод - ще използваме метода на изваждане и събиране. Но за това трябва да разберете следния факт: след като имате две или повече уравнения, можете да вземете произволни две от тях и да ги съберете заедно. Те се добавят термин по термин, т.е. Към „Х“ се добавят „Х“ и се дават подобни;

Резултатите от подобни машинации ще бъдат ново уравнение, което, ако има корени, те със сигурност ще бъдат сред корените на първоначалното уравнение. Така че нашата задача е да направим изваждането или събирането по такъв начин, че $x$ или $y$ да изчезнат.

Как да постигнете това и какъв инструмент да използвате за това - ще говорим за това сега.

Решаване на лесни задачи чрез метода на добавяне

И така, ние се учим да прилагаме метода на добавяне, използвайки примера на два прости израза.

Задача №1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Обърнете внимание, че $y$ има коефициент $-4$ в първото уравнение и $+4$ във второто. Те са взаимно противоположни, така че е логично да се предположи, че ако ги съберем, тогава в полученото количество „игрите“ ще се унищожат взаимно. Добавяме и получаваме:

Решаваме най-простата конструкция:

Страхотно, намерихме X. Какво да правя с него сега? Можем да го заместим във всяко от уравненията. Нека го поставим в първия:

\[-4y=12\наляво| :\left(-4 \right) \right.\]

Отговор: $\left(2;-3\right)$.

Задача №2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Тук ситуацията е напълно подобна, само че с Xs. Нека ги съберем заедно:

Получихме най-простото линейно уравнение, нека го решим:

Сега нека намерим $x$:

Отговор: $\left(-3;3\right)$.

Важни моменти

И така, току-що решихме две прости системи от линейни уравнения, използвайки метода на събиране. Още веднъж ключови моменти:

Ако има противоположни коефициенти за една от променливите, тогава е необходимо да се съберат всички променливи в уравнението. В този случай един от тях ще бъде унищожен.
Заместваме намерената променлива във всяко от уравненията на системата, за да намерим второто.
Крайният запис на отговора може да бъде представен по различни начини. Например така - $x=...,y=...$, или под формата на координати на точки - $\left(...;... \right)$. Вторият вариант е за предпочитане. Основното нещо, което трябва да запомните е, че първата координата е $x$, а втората е $y$.
Правилото за записване на отговора под формата на координати на точки не винаги е приложимо. Например, не може да се използва, когато ролята на променливите не е $x$ и $y$, а например $a$ и $b$.

В следващите задачи ще разгледаме техниката на изваждане, когато коефициентите не са противоположни.

Решаване на лесни задачи чрез метода на изваждане

Задача №1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Имайте предвид, че тук няма противоположни коефициенти, но има еднакви. Следователно изваждаме второто уравнение от първото уравнение:

Сега заместваме стойността на $x$ във всяко от уравненията на системата. Хайде първо:

Отговор: $\left(2;5\right)$.

Задача №2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Отново виждаме същия коефициент $5$ за $x$ в първото и второто уравнения. Следователно е логично да се предположи, че трябва да извадите второто от първото уравнение:

Изчислихме една променлива. Сега нека намерим втората, например, като заместим стойността на $y$ във втората конструкция:

Отговор: $\left(-3;-2 \right)$.

Нюанси на решението

И така, какво виждаме? По същество схемата не се различава от решението на предишните системи. Единствената разлика е, че не събираме уравнения, а ги изваждаме. Правим алгебрично изваждане.

С други думи, веднага щом видите система, състояща се от две уравнения с две неизвестни, първото нещо, което трябва да погледнете, са коефициентите. Ако някъде са еднакви, уравненията се изваждат, а ако са противоположни, се прилага методът на събиране. Това винаги се прави така, че една от тях да изчезне и в крайното уравнение, което остава след изваждане, ще остане само една променлива.

Разбира се, това не е всичко. Сега ще разгледаме системи, в които уравненията обикновено са противоречиви. Тези. в тях няма такива променливи, които биха били еднакви или противоположни. В този случай за решаване на такива системи се използва допълнителна техника, а именно умножаването на всяко от уравненията със специален коефициент. Как да го намерим и как да решим такива системи като цяло, сега ще говорим за това.

Решаване на задачи чрез умножение с коефициент

Пример #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Виждаме, че нито за $x$, нито за $y$ коефициентите не само са взаимно противоположни, но като цяло не корелират по никакъв начин с друго уравнение. Тези коефициенти няма да изчезнат по никакъв начин, дори ако добавяме или изваждаме уравненията едно от друго. Следователно е необходимо да се приложи умножение. Нека се опитаме да се отървем от променливата $y$. За да направим това, умножаваме първото уравнение по коефициента на $y$ от второто уравнение и второто уравнение по коефициента на $y$ от първото уравнение, без да променяме знака. Умножаваме и получаваме нова система:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Нека да го разгледаме: за $y$, противоположни коефициенти. В такава ситуация е необходимо да се приложи методът на добавяне. Нека добавим:

Сега трябва да намерим $y$. За да направите това, заменете $x$ в първия израз:

\[-9y=18\наляво| :\left(-9 \right) \right.\]

Отговор: $\left(4;-2\right)$.

Пример #2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Отново, коефициентите за нито една от променливите не са последователни. Нека умножим по коефициентите при $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Нашите нова системае еквивалентен на предишния, но коефициентите при $y$ са взаимно противоположни и следователно е лесно да се приложи методът на добавяне тук:

Сега намерете $y$, като заместите $x$ в първото уравнение:

Отговор: $\left(-2;1\right)$.

Нюанси на решението

Основното правило тук е следното: винаги умножавайте само с положителни числа - това ще ви спести от глупави и обидни грешки, свързани със смяната на знаци. Като цяло схемата на решение е доста проста:

Ние разглеждаме системата и анализираме всяко уравнение.
Ако видим, че нито за $y$, нито за $x$ коефициентите са последователни, т.е. те не са нито равни, нито противоположни, тогава правим следното: избираме променливата, от която да се отървем, и след това разглеждаме коефициентите в тези уравнения. Ако умножим първото уравнение по коефициента от второто и умножим второто съответстващо по коефициента от първото, тогава в крайна сметка ще получим система, която е напълно еквивалентна на предишната и коефициентите при $y $ ще бъде последователен. Всички наши действия или трансформации са насочени само към получаване на една променлива в едно уравнение.
Намираме една променлива.
Заместваме намерената променлива в едно от двете уравнения на системата и намираме второто.
Записваме отговора под формата на координати на точки, ако имаме променливи $x$ и $y$.

Но дори такъв прост алгоритъм има своите тънкости, например коефициентите на $x$ или $y$ могат да бъдат дроби и други "грозни" числа. Сега ще разгледаме тези случаи поотделно, защото в тях можете да действате малко по-различно от стандартния алгоритъм.

Решаване на задачи с дробни числа

Пример #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Първо, имайте предвид, че второто уравнение съдържа дроби. Но имайте предвид, че можете да разделите $4$ на $0,8$. Получаваме $5$. Нека умножим второто уравнение по $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Изваждаме уравненията едно от друго:

$n$ намерихме, сега изчисляваме $m$:

Отговор: $n=-4;m=5$

Пример #2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ точно.\]

Тук, както и в предишната система, има дробни коефициенти, но за нито една от променливите коефициентите не се вписват един в друг с цяло число пъти. Затова използваме стандартния алгоритъм. Отърви се от $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]

Нека използваме метода на изваждане:

Нека намерим $p$, като заместим $k$ във втората конструкция:

Отговор: $p=-4;k=-2$.

Нюанси на решението

Това е цялата оптимизация. В първото уравнение не умножихме по нищо, а второто уравнение беше умножено по $5$. В резултат на това получихме последователно и дори същото уравнение за първата променлива. Във втората система действахме по стандартния алгоритъм.

Но как да намерите числата, по които трябва да умножите уравненията? В крайна сметка, ако умножим по дробни числа, получаваме нови дроби. Следователно дробите трябва да се умножат по число, което би дало ново цяло число, а след това променливите трябва да се умножат по коефициенти, следвайки стандартния алгоритъм.

В заключение бих искал да обърна внимание на формата на записа за отговор. Както вече казах, тъй като тук нямаме $x$ и $y$, а други стойности, използваме нестандартна нотация на формата:

Решаване на сложни системи от уравнения

Като последен щрих към днешния видео урок, нека разгледаме няколко наистина сложни системи. Тяхната сложност ще се състои в това, че те ще съдържат променливи както отляво, така и отдясно. Следователно, за да ги решим, ще трябва да приложим предварителна обработка.

Система #1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Всяко уравнение носи определена сложност. Следователно, с всеки израз, нека направим както с нормална линейна конструкция.

Като цяло получаваме крайната система, която е еквивалентна на оригиналната:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Нека да разгледаме коефициентите на $y$: $3$ се вписва в $6$ два пъти, така че умножаваме първото уравнение по $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Коефициентите на $y$ вече са равни, така че изваждаме второто от първото уравнение: $$

Сега нека намерим $y$:

Отговор: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Система #2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Нека трансформираме първия израз:

Нека се заемем с второто:

\[-3\вляво(b-2a \вдясно)-12=2\вляво(a-5 \вдясно)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Като цяло нашата първоначална система ще приеме следната форма:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Разглеждайки коефициентите на $a$, виждаме, че първото уравнение трябва да се умножи по $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Изваждаме втората от първата конструкция:

Сега намерете $a$:

Отговор: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Това е всичко. Надявам се този видео урок да ви помогне да разберете тази трудна тема, а именно решаването на системи от прости линейни уравнения. Ще има много повече уроци по тази тема по-нататък: ще анализираме повече сложни примери, където ще има повече променливи, а самите уравнения вече ще бъдат нелинейни. Ще се видим скоро!

В този урок ще продължим да изучаваме метода за решаване на системи от уравнения, а именно: метода на алгебричното събиране. Първо, разгледайте приложението на този метод на примера на линейни уравнения и неговата същност. Нека си припомним също как да изравняваме коефициентите в уравненията. И ние ще решим редица проблеми при прилагането на този метод.

Тема: Системи уравнения

Урок: Алгебричен метод на събиране

1. Метод на алгебрично добавяне на примера на линейни системи

Обмисли алгебричен метод на добавянена примера на линейни системи.

Пример 1. Решете системата

Ако добавим тези две уравнения, тогава y ще се компенсират взаимно, оставяйки уравнението за x.

Ако извадим второто уравнение от първото уравнение, x ще се съкратят взаимно и ще получим уравнение за y. Това е смисълът на метода на алгебричното събиране.

Решихме системата и запомнихме метода на алгебричното събиране. За да повторим същността му: можем да събираме и изваждаме уравнения, но трябва да сме сигурни, че получаваме уравнение само с едно неизвестно.

2. Алгебричен метод на събиране с предварителна настройка на коефициентите

Пример 2. Решете системата

Членът присъства и в двете уравнения, така че алгебричният метод на добавяне е удобен. Извадете второто от първото уравнение.

Отговор: (2; -1).

По този начин, след анализ на системата от уравнения, може да се види, че тя е удобна за метода на алгебричното добавяне и да се приложи.

Помислете за друга линейна система.

3. Решаване на нелинейни системи

Пример 3. Решете системата

Искаме да се отървем от у, но двете уравнения имат различни коефициенти за у. Ние ги изравняваме, за това умножаваме първото уравнение по 3, второто - по 4.

Пример 4. Решете системата

Изравнете коефициентите при x

Можете да го направите по различен начин - да изравните коефициентите при y.

Решихме системата, като приложихме метода на алгебричното събиране два пъти.

Методът на алгебричното събиране е приложим и при решаване на нелинейни системи.

Пример 5. Решете системата

Нека добавим тези уравнения и ще се отървем от у.

Същата система може да бъде решена чрез прилагане на метода на алгебричното събиране два пъти. Добавяне и изваждане от едно уравнение на друго.

Пример 6. Решете системата

Отговор:

Пример 7. Решете системата

Използвайки метода на алгебричното събиране, ние се отърваваме от термина xy. Умножете първото уравнение по.

Първото уравнение остава непроменено, вместо второто записваме алгебричната сума.

Отговор:

Пример 8. Решете системата

Умножете второто уравнение по 2, за да намерите перфектен квадрат.

Нашата задача беше сведена до решаване на четири прости системи.

4. Заключение

Разгледахме метода на алгебричното добавяне, използвайки примера за решаване на линейни и нелинейни системи. В следващия урок ще разгледаме метода за въвеждане на нови променливи.

1. Мордкович А. Г. и др.. Алгебра 9 клас: учеб. За общо образование Институции.- 4-то изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 клас: Задачна книга за ученици от образователни институции / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. - 4 изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Ю. Н. Макаричев, Алгебра. 9 клас: учебник. за общообразователни ученици. институции / Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. - 7-мо издание, Рев. и допълнителни - М .: Мнемозина, 2008.

4. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и Ю. В. Сидоров, Алгебра. 9 клас 16-то изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 клас В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 12-то изд., изтрито. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 клас На 2 ч. Част 2. Задачна книга за ученици от образователни институции / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Изд. А. Г. Мордкович. - 12-то изд., Рев. — М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Колежна секция. ru по математика.

2. Интернет проект "Задачи".

3. Образователен портал„ЩЕ РАЗРЕША ИЗПОЛЗВАНЕТО“.

1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 клас: Учебник за ученици от образователни институции / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. - 4 изд. - М .: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 125 - 127.

Трябва да изтеглите плана на урока по темата » Алгебричен метод на събиране?

Много често учениците се затрудняват при избора на метод за решаване на системи от уравнения.

В тази статия ще разгледаме един от начините за решаване на системи - методът на заместване.

Една система може да има едно решение (както в нашия пример), безкрайно много решения и нито едно решение.

Пример 1Решете система от уравнения

2 * 4 + y \u003d 11, y \u003d 11 - 8, y \u003d 3.

Отговор: (4; 3)

Пример 2. Решете система от уравнения

Бъдете внимателни, когато добавяте уравнения

Тогава y \u003d - 2. Заместваме числото (-2) вместо y в първото уравнение, получаваме

4x + 3 (-2) \u003d - 4. Решаваме това уравнение 4x = - 4 + 6, 4x \u003d 2, x \u003d ½.

Отговор: (1/2; - 2)

Пример 3Решете система от уравнения

Умножете първото уравнение по (-2)

Решаване на системата

получаваме 0 = - 13.

Няма система от решения, тъй като 0 не е равно на (-13).

Отговор: Няма решения.

Пример 4Решете система от уравнения

Обърнете внимание, че всички коефициенти на второто уравнение се делят на 3,

нека разделим второто уравнение на три и ще получим система, която се състои от две еднакви уравнения.

Тогава отговорще бъде написана така: (x; 5-x), x е произволно число.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.