Как да решим система от диференциални уравнения с помощта на операционния метод? Решаване на системи от диференциални уравнения по матричен начин.

Много системи диференциални уравнения, както хомогенни, така и нехомогенни, могат да бъдат сведени до едно уравнение за една неизвестна функция. Нека покажем метода с примери.

Пример 3.1.Решете системата

Решение. 1) Разграничаване по отношение на Tпърво уравнение и използване на второто и третото уравнение за заместване и , намираме

Полученото уравнение е диференцируемо по отношение на отново

1) Ние правим система

От първите две уравнения на системата изразяваме променливите и през
:

Нека заместим намерените изрази за и в третото уравнение на системата

И така, за да намерим функцията
получава диференциално уравнение от трети ред с постоянни коефициенти

2) Интегрираме последното уравнение по стандартния метод: съставяме характеристичното уравнение
, намерете корените му
и изградете общо решениекато линейна комбинация от показатели, като се вземе предвид кратността на един от корените:.

3) Напред, за да намерите двете оставащи функции
и
, диференцираме два пъти получената функция

Използвайки връзки (3.1) между системните функции, ние възстановяваме останалите неизвестни

Отговор. ,
,.

Може да се окаже, че всички известни функции с изключение на една са изключени от системата от трети ред дори след еднократно диференциране. В този случай редът на диференциалното уравнение за намирането му ще бъде по-малък от броя на неизвестните функции в оригиналната система.

Пример 3.2.Интегрирайте системата

(3.2)

Решение. 1) Разграничаване по отношение на първо уравнение, намираме

Изключване на променливи и от уравненията

ще имаме уравнение от втори ред по отношение на

(3.3)

2) От първото уравнение на системата (3.2) имаме

(3.4)

Замествайки в третото уравнение на системата (3.2) намерените изрази (3.3) и (3.4) за и , получаваме диференциално уравнение от първи ред за определяне на функцията

Интегрирането на това не е така хомогенно уравнениес постоянни коефициенти от първи ред, намираме
Използвайки (3.4), намираме функцията

Отговор.
,,
.

Задача 3.1. Решаване на хомогенни системи чрез свеждане до едно диференциално уравнение.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Решаване на системи от линейни хомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти чрез намиране на фундаментална система от решения

Общото решение на система от линейни хомогенни диференциални уравнения може да се намери като линейна комбинация от фундаменталните решения на системата. При системи с постоянни коефициентиметодите на линейната алгебра могат да се използват за намиране на фундаментални решения.

Пример 3.3.Решете системата

(3.5)

Решение. 1) Пренапишете системата в матрична форма

. (3.6)

2) Ще търсим фундаментално решениесистеми, определени като вектор
. Заместващи функции
в (3.6) и намаляване с , получаваме

, (3.7)

това е числото би трябвало собствен номерматрици
, и векторът съответен собствен вектор.

3) От курса на линейната алгебра е известно, че системата (3.7) има нетривиално решение, ако нейният детерминант е равен на нула

това е . От тук намираме собствените стойности
.

4) Намерете съответните собствени вектори. Замествайки в (3.7) първата стойност
, получаваме система за намиране на първия собствен вектор

От тук получаваме връзката между неизвестните
. Достатъчно е да изберем едно нетривиално решение. Ако приемем
, тогава
, тоест векторът е собствена стойност за собствена стойност
, и вектора на функцията
фундаментално решение на дадената система от диференциални уравнения (3.5). По същия начин, когато замествате втория корен
в (3.7) имаме матрично уравнениеза втория собствен вектор
. Откъде да вземем връзката между неговите компоненти
. Така имаме второто фундаментално решение

5) Общото решение на система (3.5) се конструира като линейна комбинация от две получени фундаментални решения

или в координатна форма

Отговор.

.

Задача 3.2. Решавайте системи чрез намиране на основната система от решения.

Решихме да посветим този раздел на решаването на системи от диференциални уравнения от най-простата форма d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2, в която a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 са някои реални числа. Най-ефективният за решаване на такива системи от уравнения е методът на интегриране. Нека разгледаме и примерно решение по темата.

Решението на системата от диференциални уравнения ще бъде двойка функции x (t) и y (t) , която е в състояние да превърне и двете уравнения на системата в идентичност.

Разгледайте метода за интегриране на системата от диференциални уравнения d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 . Изразяваме x от второто уравнение на системата, за да изключим неизвестната функция x (t) от първото уравнение:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

Нека диференцираме второто уравнение по отношение на Tи реши уравнението му за d x d t:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Сега нека заместим резултата от предишните изчисления в първото уравнение на системата:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

Така елиминирахме неизвестната функция x (t) и получихме линеен нееднороден DE от 2-ри ред с постоянни коефициенти. Нека намерим решението на това уравнение y (t) и го заместим във второто уравнение на системата. Да намерим x(t). Приемаме, че това завършва решението на системата от уравнения.

Пример 1

Намерете решението на системата от диференциални уравнения d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

Решение

Нека започнем с първото уравнение на системата. Нека го решим по отношение на x:

x = d y d t - 2 y + 3

Сега нека извършим диференцирането на второто уравнение на системата, след което го решаваме по отношение на d x d t:

Можем да заместим резултата, получен по време на изчисленията, в 1-вото уравнение на системата DE:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

В резултат на трансформациите получихме линейно нехомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред с постоянни коефициенти d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2 . Ако намерим общото му решение, тогава получаваме функцията y(t).

Общото решение на съответния LODE y 0 може да се намери чрез изчисляване на корените характеристично уравнение k 2 - 3 k + 2 = 0:

D = 3 2 - 4 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Корените, които получихме, са валидни и различни. В това отношение общото решение на LODE ще има формата y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Сега нека намерим конкретно решение на линейното нехомогенно DE y ~ :

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Дясната страна на уравнението е полином от нулева степен. Това означава, че ще търсим конкретно решение във формата y ~ = A , където A е неопределен коефициент.

Можем да определим неопределения коефициент от равенството d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Така y ~ = 1 и y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Открихме една неизвестна функция.

Сега заместваме намерената функция във второто уравнение на DE системата и решаваме новото уравнение по отношение на x(t):
d (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) d t = x + 2 (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t - 1 x = - C 1 e t + 1

Така че изчислихме втората неизвестна функция x (t) = - C 1 · e t + 1 .

Отговор: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Системите диференциални уравнения биват два основни типа – линейни еднородни и нехомогенни. Можете също така да решавате системи от диференциални уравнения по два основни начина на решаване:

Методът на елиминиране, чиято същност е, че в процеса на решаване системата от диференциални уравнения се свежда само до едно диференциално уравнение.
Използване на характеристичното уравнение или метода на Ойлер.

По принцип системите диференциални уравнения се решават по първия метод.

Линейни хомогенни системи диференциални уравнения

Най-простата хомогенна система от диференциални уравнения може да бъде представена по следния начин:

Където k, l, m, n са обикновени числа, x(t) и y(t) са неизвестни функции. Променливата t играе ролята на независима променлива (в обичайното диференциално уравнение x обикновено се среща на нейно място).

И са първите производни на неизвестните функции x(t) и y(t), съответно.

Да се реши система от диференциални уравнения означава да се определят такива функции x(t) и y(t), които удовлетворяват и двете уравнения на системата. Както можете да видите, всичко е много подобно на конвенционалните системи. линейни уравнения, единствената разлика е, че там корените на уравнението са числа, а тук са функции.

Записваме отговора като общо решение на системата от диференциални уравнения:

Можем да напишем системата по-компактно:

Най-разпространен е вариантът на решението с производни, записани в диференциали, където се приема следната нотация:

И - производни от 1-ви ред;

И са производни от втори ред.

Необходимо е да се намери решение на задачата на Коши за системата от диференциални уравнения при начални условия x(0) = 3, y(0) = 0.

При решаването ще използваме метода на елиминиране.

Вземете второто уравнение на системата и изразете x от него:

, използваме знака *, за да намерим бързо това уравнение, защото ще ни трябва в бъдеще.

Разграничаваме двете части на полученото уравнение по отношение на t:

Иначе изглежда така:

Заместител и в първото уравнение на системата:

Нека опростим това уравнение колкото е възможно повече:

Както можете да видите, получихме обикновено хомогенно уравнение от втори ред с постоянни коефициенти. С дериватите изглежда така:

- имаме различни реални корени, следователно:

Намерена е една функция. Сега нека започнем да търсим x(t).

Нека намерим производната на намерената функция .

Разграничете по отношение на t:

Сега да заместим и в уравнение (*):

Нека опростим полученото уравнение:

И така, намерихме и двете функции.

Общото решение на системата ще бъде:

Сега нека потърсим конкретно решение, съответстващо на началните условия x(0) = 3 и y(0) = 0. За да направим това, ние изваждаме второто уравнение член по член от първото уравнение.

Нека заместим намерените коефициенти:

Това ще бъде конкретно решение на системата.

Остава да проверим намерения резултат:

Нека проверим изпълнението на началните условия x(0) = 3 и y(0) = 0:

x(0) = 4 - 1 = 3

y(0) = 1 – 1 = 0

Проверката беше успешна.

Нека проверим намерения отговор за удовлетворяване на първото уравнение на системата

Да вземем една функция и намерете нейната производна.

В много проблеми на математиката, физиката и технологиите се изисква да се определят няколко функции наведнъж, свързани помежду си с няколко диференциални уравнения. Наборът от такива уравнения се нарича система от диференциални уравнения. По-специално, такива системи водят до проблеми, в които се изучава движението на телата в пространството под действието на дадени сили.

Нека например материална точка от маса се движи по определена крива (L) в пространството под действието на сила F. Необходимо е да се определи законът за движение на точката, т.е. зависимостта на координатите на точката от времето.

Да приемем, че

радиус вектора на движещата се точка. Ако променливите координати на точката са означени с , тогава

Скоростта и ускорението на движеща се точка се изчисляват по формулите:

(виж гл. VI, § 5, n. 4).

Силата F, под действието на която се движи точка, най-общо казано, е функция на времето, координатите на точката и проекциите на скоростта върху координатните оси:

Въз основа на втория закон на Нютон уравнението на движението на точка се записва, както следва:

Проектирайки векторите от лявата и дясната страна на това равенство върху координатната ос, получаваме три диференциални уравнения на движение:

Тези диференциални уравнения са система от три диференциални уравнения от втори ред по отношение на трите желани функции:

По-нататък ще се ограничим да изучаваме само системата от уравнения от първи ред специален видпо отношение на желаните функции. Тази система има формата

Системата от уравнения (95) се нарича система в нормална форма или нормална система.

В нормална система десните части на уравненията не съдържат производни на желаните функции.

Решението на система (95) е набор от функции, удовлетворяващи всяко от уравненията на тази система.

Системи от уравнения от втори, трети и по-висок ред могат да бъдат сведени до нормална система чрез въвеждане на нови желани функции. Например система (94) може да се трансформира в нормална форма, както следва. Ние въвеждаме нови функции чрез настройка. Тогава системата от уравнения (94) ще бъде записана, както следва:

Системата (96) е нормална.

Помислете например за нормална система от три уравнения с три неизвестни функции:

За нормална система от диференциални уравнения теоремата на Коши за съществуването и единствеността на решение се формулира по следния начин.

Теорема. Нека десните части на уравненията на системата (97), т.е. съществува единствено решениесистема, която отговаря на началните условия:

За да се интегрира системата (97), може да се приложи методът, чрез който дадената система, съдържаща три уравнения по отношение на трите желани функции, се редуцира до едно уравнение от трети ред по отношение на една неизвестна функция. Нека дадем пример за прилагането на този метод.

За простота се ограничаваме до система от две уравнения. Нека системата от уравнения

За да намерим решение на системата, процедираме по следния начин. Диференцирайки първото от уравненията на системата по отношение на намираме

Като заместим в това равенство израза от второто уравнение на системата, получаваме

И накрая, замествайки функцията y с нейния израз от първото уравнение на системата

получаваме линейно хомогенно уравнение от втори ред по отношение на една неизвестна функция:

Интегрирайки това уравнение, намираме общото му решение

Разграничаване на равенството, което намираме

Като заместим изразите за x и в равенство и приведем подобни членове, получаваме

са решението на тази система.

Така, чрез интегриране на нормалната система от две диференциални уравнения, ние получихме нейното решение, което зависи от две произволни константи. Може да се покаже, че в общ случайза нормална система от уравнения нейното общо решение ще зависи от произволни константи.

Навън е знойно време, тополов пух лети и такова време е благоприятно за почивка. пер академична годинавсеки има натрупана умора, но очакването на лятната ваканция / празниците трябва да вдъхновява успешна доставкаизпити и точки. Между другото и учителите са скучни според сезона, така че скоро и аз ще взема таймаут за разтоварване на мозъка. И сега кафе, измерен тътен на системния блок, няколко мъртви комара на перваза на прозореца и напълно работещо състояние ... ... о, по дяволите ... шибан поет.

Към бизнеса. За някой е различно, но за мен днес е 1 юни и ще разгледаме още една типична задача комплексен анализ – намиране на конкретно решение на система от диференциални уравнения по метода на операционното смятане. Какво трябва да знаете и да можете да научите как да го разрешите? Преди всичко, горещо препоръчвамобърнете се към урока. Моля, прочетете уводната част, разберете общата постановка на темата, терминологията, обозначенията и поне два-три примера. Факт е, че с дифузьорните системи всичко ще бъде почти същото и дори по-лесно!

Разбира се, трябва да разберете какво система от диференциални уравнения, което означава да се намери общо решение на системата и частно решение на системата.

Напомням ви, че системата от диференциални уравнения може да се реши по "традиционния" начин: метод на елиминиранеили използвайки характеристичното уравнение. Методът на оперативното смятане, който ще бъде разгледан, е приложим към системата за управление, когато задачата е формулирана по следния начин:

Намерете конкретно решение на хомогенна система от диференциални уравнения съответстващи на началните условия .

Като алтернатива системата може да бъде и разнородна - с "допълнителни тежести" под формата на функции и в правилните части:

Но и в двата случая трябва да обърнете внимание на две основни точки на условието:

1) Става въпрос за само за лично решение.
2) В скоби на началните условия са строго нули, и нищо друго.

Общият ход и алгоритъмът ще бъдат много подобни на решение на диференциално уравнение по операционен метод. От референтни материали същото таблица с оригинали и изображения.

Пример 1

, ,

Решение:Началото е тривиално: със Таблици за трансформация на ЛапласНека преминем от оригиналите към съответните изображения. При проблем със системи за дистанционно управление този преход обикновено е прост:

Използвайки таблични формули №№1,2, като вземем предвид първоначалното условие , получаваме:

Какво да правим с "игрите"? Мислено променете в таблицата "x" на "y". Използвайки същите трансформации №№1,2, като вземем предвид началното условие, намираме:

Заместете намерените изображения в оригиналното уравнение :

Сега отлявоуравнения, които трябва да бъдат събрани всичкотермини, които съдържат или . Към дясната странауравненията трябва да бъдат "съставени" другоусловия:

Освен това, от лявата страна на всяко уравнение, извършваме скоби:

В този случай на първите позиции трябва да се постави, а на вторите позиции:

Получената система от уравнения с две неизвестни обикновено се решава според формулите на Крамер. Нека изчислим основната детерминанта на системата:

В резултат на изчисляването на детерминантата се получава полином.

Важен технически съвет!Този полином е по-добър Веднагаопитайте се да факторизирате. За тази цел човек трябва да се опита да реши квадратно уравнение , но за много читатели око, тренирано за втора година, ще забележи това .

По този начин нашата основна детерминанта на системата е:

По-нататъшното разглобяване със системата, благодаря на Kramer, е стандартно:

В резултат на това получаваме операторско решение на системата:

Предимството на разглежданата задача е особеността, че дробите обикновено се оказват прости и е много по-лесно да се справите с тях, отколкото с дроби в задачи намиране на конкретно решение на DE чрез оперативен метод. Предчувствието не те измами - доброто старо метод на неопределените коефициенти, с помощта на които разлагаме всяка дроб на елементарни дроби:

1) Занимаваме се с първата фракция:

По този начин:

2) Разбиваме втората фракция по подобен начин, докато е по-правилно да използваме други константи (неопределени коефициенти):

По този начин:

Съветвам манекените да напишат разложеното операторно решение в следната форма:
- така че последният етап ще бъде по-ясен - обратното преобразуване на Лаплас.

Използвайки дясната колона на таблицата, нека преминем от изображенията към съответните оригинали:

Според правилата на добрия математически тон, ние сресваме малко резултата:

Отговор:

Проверката на отговора се извършва по стандартната схема, която е разгледана подробно в урока. Как се решава система от диференциални уравнения?Винаги се опитвайте да го завършите, за да получите голям плюс в задачата.

Пример 2

Използвайки операционното смятане, намерете частно решение на системата от диференциални уравнения, съответстващи на дадените начални условия.
, ,

Това е пример за „направи си сам“. Приблизителен образец на окончателния дизайн на задачата и отговора в края на урока.

Решението на нехомогенна система от диференциални уравнения не е алгоритмично по-различно, освен че ще бъде технически малко по-сложно:

Пример 3

Решение:Използване на таблицата за трансформация на Лаплас при дадени начални условия , нека преминем от оригиналите към съответните изображения:

Но това не е всичко, има самотни константи от дясната страна на уравненията. Какво да правим в случаите, когато константата е сама по себе си? Това вече беше обсъдено в урока. Как да решим DE чрез оперативния метод. Повтаряме: единичните константи трябва да се умножат мислено по едно и следната трансформация на Лаплас трябва да се приложи към единиците:

Заменете намерените изображения в оригиналната система:

Вляво преместваме термините, в които присъстват, в дясната част поставяме останалите термини:

В левите части ще извършим скобите, освен това ще намалим до общ знаменател правилната странавторо уравнение:

Изчисляваме основния детерминант на системата, като не забравяме, че е препоръчително незабавно да се опитаме да факторизираме резултата:
, така че системата има уникално решение.

Отиваме по-нататък:

Така операторското решение на системата:

Понякога една или дори и двете фракции могат да бъдат намалени и това се случва толкова добре, че практически няма какво да се изложи! И в някои случаи веднага се оказва, че е безплатно, между другото, следният пример на урока ще бъде показателен пример.

Използвайки метода на неопределените коефициенти, получаваме сумите на елементарните дроби.

Разбиване на първата фракция:

И получаваме второто:

В резултат на това решението на оператора приема формата, от която се нуждаем:

Използване на дясната колона таблици с оригинали и изображенияизпълнете обратното преобразуване на Лаплас:

Нека заместим получените изображения в операторното решение на системата:

Отговор:лично решение:

Както можете да видите, в една нехомогенна система трябва да се извършват по-отнемащи време изчисления в сравнение с хомогенна система. Нека анализираме още няколко примера със синуси, косинуси и това е достатъчно, тъй като ще бъдат разгледани почти всички видове проблеми и повечето от нюансите на решението.

Пример 4

Използвайки метода на оперативното смятане, намерете конкретно решение на системата от диференциални уравнения с дадени начални условия,

Решение:Аз също ще анализирам този пример, но коментарите ще се отнасят само до специални моменти. Предполагам, че вече сте добре запознати с алгоритъма за решение.

Нека преминем от оригиналите към съответните изображения:

Нека заменим намерените изображения в оригиналната система за дистанционно управление:

Решаваме системата с помощта на формулите на Крамер:
, така че системата има уникално решение.

Полученият полином не е факторизиран. Какво да правим в такива случаи? Абсолютно нищо. Този също ще свърши работа.

В резултат на това операторското решение на системата:

И ето го късметлийският билет! Методът на неопределените коефициенти изобщо не трябва да се използва! Единственото нещо, за да приложим трансформации на таблици, пренаписваме решението в следната форма:

Нека преминем от изображенията към съответните оригинали:

Нека заместим получените изображения в операторното решение на системата: