Намерете основната система от решения на системата. Фундаментален набор от решения на хомогенна система от линейни уравнения

системи линейни уравнения, за които всички свободни членове са равни на нула се наричат хомогенен :

Всяка хомогенна система винаги е последователна, тъй като винаги е била нула (тривиален ) решение. Възниква въпросът при какви условия една хомогенна система ще има нетривиално решение.

Теорема 5.2.Една хомогенна система има нетривиално решение тогава и само ако рангът на основната матрица по-малко числонейните неизвестни.

Последица. Квадратна хомогенна система има нетривиално решение тогава и само ако детерминантата на основната матрица на системата не е равна на нула.

Пример 5.6.Определете стойностите на параметъра l, при които системата има нетривиални решения, и намерете тези решения:

Решение. Тази система ще има нетривиално решение, когато детерминантата на основната матрица е равна на нула:

Следователно системата е нетривиална, когато l=3 или l=2. За l=3, рангът на основната матрица на системата е 1. След това, оставяйки само едно уравнение и приемайки, че г=аИ z=b, получаваме х=b-a, т.е.

За l=2, рангът на основната матрица на системата е 2. След това, избирайки второстепенната като основа:

получаваме опростена система

От тук намираме това x=z/4, y=z/2. Вярвайки z=4а, получаваме

Наборът от всички решения на една хомогенна система има много важно значение линейно свойство : ако колони X 1 и Х 2 - решения на хомогенна система AX = 0, тогава всяка линейна комбинация от тяха х 1 + б х 2 също ще бъде решение на тази система. Наистина, тъй като БРАВИЛА 1 = 0 И БРАВИЛА 2 = 0 , Че А(а х 1 + б х 2) = а БРАВИЛА 1 + б БРАВИЛА 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Поради това свойство, ако една линейна система има повече от едно решение, тогава ще има безкраен брой от тези решения.

Линейно независими колони д 1 , д 2 , Ек, които са решения на хомогенна система, се наричат фундаментална система от решения хомогенна система от линейни уравнения ако общо решениетази система може да бъде написана като линейна комбинация от тези колони:

Ако една хомогенна система има нпроменливи, а рангът на основната матрица на системата е равен на r, Че к = н-р.

Пример 5.7.Намерете основната система от решения на следната система от линейни уравнения:

Решение. Нека намерим ранга на основната матрица на системата:

По този начин наборът от решения на тази система от уравнения образува линейно подпространство на измерение н-р= 5 - 2 = 3. Нека изберем минор като основа

.

След това, оставяйки само основните уравнения (останалото ще бъде линейна комбинация от тези уравнения) и основните променливи (преместваме останалите, така наречените свободни променливи вдясно), получаваме опростена система от уравнения:

Вярвайки х 3 = а, х 4 = b, х 5 = ° С, намираме

, .

Вярвайки а= 1, b = c= 0, получаваме първото основно решение; вярвайки b= 1, a = c= 0, получаваме второто основно решение; вярвайки ° С= 1, a = b= 0, получаваме третото основно решение. В резултат на това нормалната фундаментална система от решения ще приеме формата

Използвайки фундаменталната система, общото решение на хомогенна система може да бъде написано като

х = аЕ 1 + бъда 2 + cE 3. а

Нека отбележим някои свойства на решенията на нехомогенна система от линейни уравнения AX=Bи тяхната връзка със съответната хомогенна система от уравнения AX = 0.

Общо решение на нееднородна системае равно на сумата от общото решение на съответната хомогенна система AX = 0 и произволно частно решение на нехомогенната система. Наистина, нека Y 0 е произволно частно решение на нехомогенна система, т.е. AY 0 = б, И Y- общо решение на разнородна система, т.е. AY=B. Като извадим едното равенство от другото, получаваме
А(Y-Y 0) = 0, т.е. Y-Y 0 е общото решение на съответната хомогенна система БРАВИЛА=0. следователно Y-Y 0 = х, или Y=Y 0 + х. Q.E.D.

Нека нееднородната система има формата AX = B 1 + б 2 . Тогава общото решение на такава система може да бъде записано като X = X 1 + х 2 , където AX 1 = б 1 и AX 2 = б 2. Това свойство изразява универсално свойство на всякакви линейни системи като цяло (алгебрични, диференциални, функционални и т.н.). Във физиката това свойство се нарича принцип на суперпозиция, по електротехника и радиотехника - принцип на суперпозиция. Например, в теорията на линейните електрически вериги, токът във всяка верига може да се получи като алгебрична сума на токовете, причинени от всеки източник на енергия поотделно.

Линейни системи хомогенни уравнения - има формата ∑a k i x i = 0. където m > n или m Една хомогенна система от линейни уравнения е винаги последователна, тъй като rangA = rangB. Очевидно има решение, състоящо се от нули, което се нарича тривиален.

Цел на услугата. Онлайн калкулаторът е предназначен да намери нетривиално и фундаментално решение на SLAE. Полученото решение се записва във файл на Word (вижте примерно решение).

Инструкции. Изберете измерение на матрицата:

брой променливи: 2 3 4 5 6 7 8 и брой редове 2 3 4 5 6

Свойства на системи от линейни еднородни уравнения

За да има системата нетривиални решения, е необходимо и достатъчно рангът на неговата матрица да бъде по-малък от броя на неизвестните.

Теорема. Система в случай m=n има нетривиално решение тогава и само ако детерминантата на тази система е равна на нула.

Теорема. Всяка линейна комбинация от решения на система също е решение на тази система.
Определение. Множеството от решения на система от линейни еднородни уравнения се нарича фундаментална система от решения, ако това множество се състои от линейно независими решения и всяко решение на системата е линейна комбинация от тези решения.

Теорема. Ако рангът r на системната матрица е по-малък от броя n на неизвестните, тогава съществува фундаментална система от решения, състояща се от (n-r) решения.

Алгоритъм за решаване на системи от линейни еднородни уравнения

1. Намиране на ранга на матрицата.
2. Избираме основния минор. Различаваме зависими (основни) и свободни неизвестни.
3. Зачеркваме тези уравнения на системата, чиито коефициенти не са включени в базисния минор, тъй като те са следствия от останалите (според теоремата за базисния минор).
4. Прехвърляме членовете на уравненията, съдържащи свободни неизвестни към правилната страна. В резултат на това получаваме система от r уравнения с r неизвестни, еквивалентна на дадената, чиято детерминанта е различна от нула.
5. Ние решаваме получената система чрез елиминиране на неизвестни. Намираме връзки, изразяващи зависими променливи чрез свободни.
6. Ако рангът на матрицата не е равен на броя на променливите, тогава намираме фундаментално решениесистеми.
7. В случай rang = n имаме тривиално решение.

Пример. Намерете основата на системата от вектори (a 1, a 2,...,a m), степенувайте и изразете векторите въз основа на основата. Ако a 1 =(0,0,1,-1), и 2 =(1,1,2,0), и 3 =(1,1,1,1), и 4 =(3,2,1 ,4) и 5 ​​=(2,1,0,3).
Нека напишем основната матрица на системата:

Умножете 3-тия ред по (-3). Нека добавим 4-тия ред към 3-тия:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Умножете 4-тия ред по (-2). Нека умножим 5-ия ред по (3). Нека добавим 5-ти ред към 4-ти:
Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:
Нека намерим ранга на матрицата.
Системата с коефициентите на тази матрица е еквивалентна на оригиналната система и има формата:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Използвайки метода за елиминиране на неизвестни, намираме нетривиално решение:
Получихме отношения, изразяващи зависимите променливи x 1 , x 2 , x 3 чрез свободните x 4 , тоест намерихме общо решение:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

Ще продължим да усъвършенстваме нашата технология елементарни трансформации На хомогенна система от линейни уравнения.
Въз основа на първите параграфи материалът може да изглежда скучен и посредствен, но това впечатление е измамно. В допълнение към по-нататъшното развитие на техническите техники, ще има много нова информация, затова се опитайте да не пренебрегвате примерите в тази статия.

Какво е хомогенна система от линейни уравнения?

Отговорът се подсказва сам. Система от линейни уравнения е хомогенна, ако свободният член всекиуравнението на системата е нула. Например:

Това е абсолютно ясно хомогенната система винаги е последователна, тоест винаги има решение. И, на първо място, това, което хваща окото е т.нар тривиаленрешение . Тривиално, за тези, които изобщо не разбират значението на прилагателното, означава без показност. Не академично, разбира се, но разбираемо =) ...Защо да се лутаме, нека да разберем дали тази система има други решения:

Пример 1

Решение: за решаване на хомогенна система е необходимо да се напише системна матрицаи с помощта на елементарни трансформации го приведете в стъпаловидна форма. Моля, имайте предвид, че тук няма нужда да записвате вертикалната лента и нулевата колона с безплатни термини - в крайна сметка, без значение какво правите с нули, те ще останат нули:

(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по –2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по –3.

(2) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по –1.

Разделянето на третия ред на 3 няма много смисъл.

В резултат на елементарни преобразувания се получава еквивалентна хомогенна система , и, прилагане обратен ходМетодът на Гаус е лесно да се провери, че решението е уникално.

Отговор:

Нека формулираме един очевиден критерий: хомогенна система от линейни уравнения има просто тривиално решение, Ако ранг на системната матрица(в случая 3) е равен на броя на променливите (в случая – 3 броя).

Нека загреем и настроим нашето радио на вълната от елементарни трансформации:

Пример 2

Решете хомогенна система от линейни уравнения

За да консолидираме окончателно алгоритъма, нека анализираме последната задача:

Пример 7

Решете хомогенна система, запишете отговора във векторна форма.

Решение: нека напишем матрицата на системата и, използвайки елементарни трансформации, я привеждаме в поетапна форма:

(1) Променен е знакът на първия ред. Още веднъж обръщам внимание на техника, която е била срещана много пъти, което ви позволява значително да опростите следващото действие.

(1) Първият ред беше добавен към 2-ри и 3-ти ред. Първият ред, умножен по 2, беше добавен към 4-тия ред.

(3) Последните три реда са пропорционални, два от тях са премахнати.

В резултат на това се получава стандартна стъпкова матрица и решението продължава по набраздената писта:

– основни променливи;
– свободни променливи.

Нека изразим основните променливи чрез свободни променливи. От второто уравнение:

– заместване в 1-вото уравнение:

Така че общото решение е:

Тъй като в разглеждания пример има три свободни променливи, фундаменталната система съдържа три вектора.

Нека заместим тройка от стойности в общото решение и да получим вектор, чиито координати удовлетворяват всяко уравнение на хомогенната система. И отново повтарям, че е силно препоръчително да проверявате всеки получен вектор - няма да отнеме много време, но напълно ще ви предпази от грешки.

За тройка ценности намерете вектора

И накрая за тримата получаваме третия вектор:

Отговор: , Където

Тези, които желаят да избегнат дробни стойности, могат да разгледат триплетите и да получат отговора в еквивалентна форма:

Говорейки за дроби. Нека разгледаме матрицата, получена в задачата и нека се запитаме: възможно ли е да се опрости по-нататъшното решение? В крайна сметка тук първо изразихме основната променлива чрез дроби, след това чрез дроби основната променлива и, трябва да кажа, този процес не беше най-простият и не най-приятният.

Второ решение:

Идеята е да се опита изберете други базисни променливи. Нека погледнем матрицата и забележим две единици в третата колона. Така че защо да няма нула в горната част? Нека извършим още една елементарна трансформация:

Можете да поръчате подробно решениетвоя задача!!!

За да разбере какво е фундаментална система за вземане на решенияможете да гледате видео урок за същия пример, като щракнете. Сега нека да преминем към същинското описание на цялата необходима работа. Това ще ви помогне да разберете по-подробно същността на този въпрос.

Как да намерим основната система от решения на линейно уравнение?

Да вземем за пример следната система от линейни уравнения:

Нека намерим решение на това линейна системауравнения Да започнем с това, ние трябва да напишете матрицата на коефициента на системата.

Нека трансформираме тази матрица в триъгълна.Пренаписваме първия ред без промени. И всички елементи, които са под $a_(11)$, трябва да бъдат направени нули. За да направите нула на мястото на елемента $a_(21)$, трябва да извадите първия от втория ред и да напишете разликата във втория ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(31)$, трябва да извадите първия от третия ред и да напишете разликата в третия ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(41)$, трябва да извадите първото умножено по 2 от четвъртия ред и да запишете разликата в четвъртия ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(31)$, трябва да извадите първото умножено по 2 от петия ред и да запишете разликата в петия ред.

Пренаписваме първия и втория ред без промени. И всички елементи, които са под $a_(22)$, трябва да бъдат направени нули. За да направите нула на мястото на елемента $a_(32)$, трябва да извадите второто умножено по 2 от третия ред и да запишете разликата в третия ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(42)$, трябва да извадите второто, умножено по 2, от четвъртия ред и да запишете разликата в четвъртия ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(52)$, трябва да извадите секундата, умножена по 3, от петия ред и да запишете разликата в петия ред.

Виждаме това последните три реда са еднакви, така че ако извадите третото от четвъртото и петото, те ще станат нула.

Според тази матрица записвам нова системауравнения.

Виждаме, че имаме само три линейно независими уравнения и пет неизвестни, така че фундаменталната система от решения ще се състои от два вектора. Така че ние трябва да преместим последните две неизвестни надясно.

Сега започваме да изразяваме тези неизвестни, които са от лявата страна, чрез тези, които са от дясната страна. Започваме с последното уравнение, първо изразяваме $x_3$, след това заместваме получения резултат във второто уравнение и изразяваме $x_2$, а след това в първото уравнение и тук изразяваме $x_1$. Така изразихме всички неизвестни, които са от лявата страна, чрез неизвестните, които са от дясната страна.

Тогава вместо $x_4$ и $x_5$ можем да заменим произволни числа и да намерим $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Всеки пет от тези числа ще бъдат корените на нашата оригинална система от уравнения. За да намерите векторите, които са включени в FSRтрябва да заменим 1 вместо $x_4$ и да заменим 0 вместо $x_5$, да намерим $x_1$, $x_2$ и $x_3$ и след това обратното $x_4=0$ и $x_5=1$.