Скоростта на промяна на импулса на тялото е еднаква. Понятие за импулс на тялото
Произведението на масата на тялото и неговата скорост се нарича импулс или мярка за движението на тялото. Отнася се за векторни величини. Посоката му е съпосочна на вектора на скоростта на тялото.
Нека си припомним втория закон на механиката:
За ускорението е вярна следната връзка:
,
Където v0 и v са скоростите на тялото в началото и в края на определен интервал от време Δt.
Нека пренапишем втория закон, както следва:
Векторните суми на импулсите на две тела преди и след удара са равни една на друга.
Полезна аналогия за разбиране на закона за запазване на импулса е парична сделка между двама души. Да приемем, че двама души са имали определена сума преди транзакцията. Иван имаше 1000 рубли, а Петър също имаше 1000 рубли. Общата сума в джобовете им е 2000 рубли. По време на транзакцията Иван плаща на Петър 500 рубли и парите се превеждат. Сега Петър има 1500 рубли в джоба си, а Иван има 500. Но общата сума в джобовете им не се е променила и също е 2000 рубли.
Полученият израз е валиден за произволен брой тела, принадлежащи към изолирана система, и е математическа формулировка на закона за запазване на импулса.
Общият импулс на N на брой тела, образуващи изолирана система, не се променя с времето.
Когато система от тела е изложена на некомпенсирани външни сили (системата не е затворена), общият импулс на телата от тази система се променя с времето. Но законът за запазване остава валиден за сумата от проекциите на импулсите на тези тела върху всяка посока, перпендикулярна на посоката на резултантната външна сила.
Движение на ракета
Движението, което възниква, когато част от определена маса се отдели от тялото с определена скорост, се нарича реактивно.
Пример за реактивно задвижване е движението на ракета, разположена на значително разстояние от Слънцето и планетите. В този случай ракетата не изпитва гравитационно влияние и може да се счита за изолирана система.
Ракетата се състои от корпус и гориво. Те са взаимодействащи тела на изолирана система. В началния момент скоростта на ракетата е нула. В този момент импулсът на системата, корпуса и горивото е нула. Ако включите двигателя, ракетното гориво изгаря и се превръща в газ с висока температура, който напуска двигателя под високо налягане и с висока скорост.
Нека означим масата на получения газ като mg. Ще приемем, че той моментално излита от соплото на ракетата със скорост vg. Масата и скоростта на снаряда ще бъдат означени съответно с mob и vob.
Законът за запазване на импулса ни дава правото да запишем връзката:
Знакът минус показва, че скоростта на снаряда е насочена в посока, обратна на изхвърления газ.
Скоростта на черупката е пропорционална на скоростта на отделяне на газ и масата на газа. И обратно пропорционална на масата на черупката.
Принципът на реактивното задвижване позволява да се изчисли движението на ракети, самолети и други тела при условия, когато върху тях действат външна гравитация или атмосферно съпротивление. Разбира се, в този случай уравнението дава надценена стойност на скоростта на обвивката vrev. В реални условия газът не изтича мигновено от ракетата, което се отразява на крайната стойност на vo.
Настоящите формули, описващи движението на тяло с реактивен двигател, са получени от руски учени И.В. Мещерски и К.Е. Циолковски.
ИМПУЛС НА ТЯЛОТО
Импулсът на тялото е физическа векторна величина, равна на произведението на масата на тялото и неговата скорост.
Импулсен вектортялото е насочено по същия начин като вектор на скоросттатова тяло.
Импулсът на система от тела се разбира като сбор от импулсите на всички тела на тази система: ∑p=p 1 +p 2 +... . Закон за запазване на импулса: в затворена система от тела, по време на всякакви процеси, неговият импулс остава непроменен, т.е. ∑p = const.
(Затворената система е система от тела, които взаимодействат само едно с друго и не взаимодействат с други тела.)
Въпрос 2. Термодинамично и статистическо определение на ентропията. Втори закон на термодинамиката.
Термодинамично определение на ентропията
Концепцията за ентропия е въведена за първи път през 1865 г. от Рудолф Клаузиус. Той реши промяна на ентропиятатермодинамична система при обратим процескато отношение на промяната в общото количество топлина към абсолютната температура:
Тази формула е приложима само за изотермичен процес (протичащ при постоянна температура). Неговото обобщение за случая на произволен квазистатичен процес изглежда така:
където е увеличението (диференциала) на ентропията и е безкрайно малко увеличение на количеството топлина.
Необходимо е да се обърне внимание на факта, че разглежданата термодинамична дефиниция е приложима само за квазистатични процеси (състоящи се от непрекъснато последователни равновесни състояния).
Статистическа дефиниция на ентропията: принцип на Болцман
През 1877 г. Лудвиг Болцман открива, че ентропията на една система може да се отнася до броя на възможните „микросъстояния“ (микроскопични състояния), съответстващи на техните термодинамични свойства. Помислете например за идеален газ в съд. Микросъстоянието се определя като позициите и импулсите (моментите на движение) на всеки атом, който съставлява системата. Свързаността изисква да вземем предвид само тези микросъстояния, за които: (i) местата на всички части са разположени в съда, (ii) за да се получи общата енергия на газа, кинетичните енергии на атомите се сумират. Болцман постулира, че:
където сега знаем константата 1,38 · 10 −23 J/K като константата на Болцман и е броят на микросъстоянията, които са възможни в съществуващото макроскопично състояние (статистическо тегло на състоянието).
Втори закон на термодинамиката- физичен принцип, който налага ограничения върху посоката на процесите на топлообмен между телата.
Вторият закон на термодинамиката гласи, че спонтанното пренасяне на топлина от по-малко нагрято тяло към по-нагрято тяло е невъзможно.
Билет 6.
§ 2.5. Теорема за движението на центъра на масата
Съотношението (16) е много подобно на уравнението на движение на материална точка. Нека се опитаме да го доведем до още по-проста форма Е=m а. За да направим това, трансформираме лявата страна, използвайки свойствата на операцията за диференциране (y+z) =y +z, (ay) =ay, a=const:
(24)
Нека умножим и разделим (24) на масата на цялата система и го заместим в уравнение (16):
. (25)
Изразът в скоби има размерността на дължината и определя радиус вектора на някаква точка, която се нарича център на масата на системата:
. (26)
В проекции върху координатните оси (26) ще приеме формата
(27)
Ако (26) се замести в (25), получаваме теоремата за движението на центъра на масата:
тези. центърът на масата на системата се движи, като материална точка, в която е концентрирана цялата маса на системата, под действието на сумата от външни сили, приложени към системата. Теоремата за движението на центъра на масата гласи, че колкото и сложни да са силите на взаимодействие на частиците на системата една с друга и с външни тела и колкото и сложно да се движат тези частици, винаги е възможно да се намери точка (център на масата), чието движение се описва просто. Центърът на масата е определена геометрична точка, чието положение се определя от разпределението на масите в системата и която може да не съвпада с никоя от нейните материални частици.
Произведение от масата и скоростта на системата vЦентърът на масата на неговия център на масата, както следва от неговата дефиниция (26), е равен на импулса на системата:
(29)
По-специално, ако сумата на външните сили е нула, тогава центърът на масата се движи равномерно и праволинейно или е в покой.
|
|
Центърът на масата ще "лети" по същата параболична траектория, по която ще се движи невзривен снаряд: неговото ускорение, в съответствие с (28), се определя от сумата на всички гравитационни сили, приложени към фрагментите и тяхната обща маса, т.е. същото уравнение като движението на целия снаряд. Въпреки това, веднага щом първият фрагмент удари Земята, силата на реакция на Земята ще се добави към външните сили на гравитацията и движението на центъра на масата ще бъде изкривено.
|
|
Тъй като геометричната сума на външните сили е нула, ускорението на центъра на масата също е нула и той ще остане в покой. Тялото ще се върти около неподвижен център на масата.
Има ли някакви предимства на закона за запазване на импулса пред законите на Нютон? Каква е силата на този закон?
Основното му предимство е, че има интегрален характер, т.е. свързва характеристиките на една система (нейния импулс) в две състояния, разделени от краен период от време. Това ви позволява незабавно да получите важна информация за крайното състояние на системата, заобикаляйки разглеждането на всички нейни междинни състояния и подробностите за взаимодействията, възникващи по време на този процес.
2) Скоростите на газовите молекули имат различни стойности и посоки и поради огромния брой сблъсъци, които една молекула изпитва всяка секунда, нейната скорост непрекъснато се променя. Следователно е невъзможно да се определи броят на молекулите, които имат точно дадена скорост v в даден момент от времето, но е възможно да се преброи броят на молекулите, чиито скорости имат стойност, разположена между някои скорости v 1 и v 2 . Въз основа на теорията на вероятностите Максуел установява модел, чрез който е възможно да се определи броят на газовите молекули, чиито скорости при дадена температура са в определен скоростен диапазон. Според разпределението на Максуел вероятният брой молекули на единица обем; чиито компоненти на скоростта лежат в интервала от до, от и от до, се определят от функцията на разпределение на Максуел
където m е масата на молекулата, n е броят на молекулите на единица обем. От това следва, че броят на молекулите, чиито абсолютни скорости лежат в интервала от v до v + dv, има формата
Разпределението на Максуел достига максимум при скорост, т.е. такава скорост, до която са близки скоростите на повечето молекули. Площта на защрихованата лента с основа dV ще покаже каква част от общия брой молекули има скорости, които лежат в този интервал. Конкретната форма на функцията на разпределение на Максуел зависи от вида газ (молекулна маса) и температура. Налягането и обемът на газа не влияят на разпределението на скоростта на молекулите.
Кривата на разпределение на Максуел ще ви позволи да намерите средната аритметична скорост
По този начин,
С повишаване на температурата най-вероятната скорост се увеличава, следователно максимумът на разпределението на молекулите по скорост се измества към по-високи скорости, а абсолютната му стойност намалява. Следователно, когато газът се нагрява, делът на молекулите с ниски скорости намалява, а делът на молекулите с високи скорости се увеличава.
Разпределение на Болцман
Това е енергийното разпределение на частици (атоми, молекули) на идеален газ при условия на термодинамично равновесие. Разпределението на Болцман е открито през 1868 - 1871 г. Австралийският физик Л. Болцман. Според разпределението броят на частиците n i с обща енергия E i е равен на:
n i =A ω i e E i /Kt (1)
където ω i е статистическото тегло (броят на възможните състояния на частица с енергия e i). Константата A се намира от условието, че сумата от n i за всички възможни стойности на i е равна на дадения общ брой частици N в системата (условие за нормализиране):
В случай, че движението на частиците се подчинява на класическата механика, енергията E i може да се счита, че се състои от кинетичната енергия E ikin на частица (молекула или атом), нейната вътрешна енергия E iin (например енергията на възбуждане на електроните ) и потенциалната енергия E i, след това във външното поле в зависимост от позицията на частицата в пространството:
E i = E i, kin + E i, int + E i, пот (2)
Разпределението на скоростта на частиците е частен случай на разпределението на Болцман. Това се случва, когато вътрешната енергия на възбуждане може да бъде пренебрегната
E i,ext и влиянието на външните полета E i,pot. В съответствие с (2) формула (1) може да бъде представена като произведение на три експоненти, всяка от които дава разпределението на частиците според един вид енергия.
В постоянно гравитационно поле, създаващо ускорение g, за частици от атмосферни газове близо до повърхността на Земята (или други планети), потенциалната енергия е пропорционална на тяхната маса m и височина H над повърхността, т.е. E i, пот = mgH. След заместване на тази стойност в разпределението на Болцман и сумиране на всички възможни стойности на кинетичната и вътрешната енергия на частиците се получава барометрична формула, която изразява закона за намаляване на атмосферната плътност с височина.
В астрофизиката, особено в теорията на звездните спектри, разпределението на Болцман често се използва за определяне на относителното електронно население на различни нива на атомна енергия. Ако обозначим две енергийни състояния на атома с индекси 1 и 2, тогава разпределението следва:
n 2 /n 1 = (ω 2 /ω 1) e -(E 2 -E 1)/kT (3) (формула на Болцман).
Енергийната разлика E 2 -E 1 за двете по-ниски енергийни нива на водородния атом е >10 eV, а стойността на kT, която характеризира енергията на топлинното движение на частиците за атмосферите на звезди като Слънцето, е само 0,3- 1 eV. Следователно водородът в такива звездни атмосфери е в невъзбудено състояние. Така в атмосферите на звезди с ефективна температура Te> 5700 К (Слънцето и други звезди) съотношението на броя на водородните атоми във второто и основното състояние е 4,2 · 10 -9.
Разпределението на Болцман е получено в рамките на класическата статистика. През 1924-26г. Създадена е квантова статистика. Това доведе до откриването на разпределенията на Бозе - Айнщайн (за частици с цяло число) и разпределенията на Ферми - Дирак (за частици с полуцяло спин). И двете от тези разпределения стават разпределение, когато средният брой квантови състояния, достъпни за системата, значително надвишава броя на частиците в системата, т.е. когато има много квантови състояния на частица или, с други думи, когато степента на запълване на квантовите състояния е малка. Условието за приложимост на разпределението на Болцман може да се запише като неравенството:
където N е броят на частиците, V е обемът на системата. Това неравенство е изпълнено при високи температури и малък брой частици на единица. обем (N/V). От това следва, че колкото по-голяма е масата на частиците, толкова по-широк диапазон на промените в T и N/V е валидно разпределението на Болцман.
билет 7.
Работата, извършена от всички приложени сили, е равна на работата, извършена от резултантната сила(виж фиг. 1.19.1).
Съществува връзка между промяната в скоростта на тялото и работата, извършена от силите, приложени към тялото. Тази връзка се установява най-лесно, като се разгледа движението на тялото по права линия под действието на постоянна сила , В този случай векторите на силата на преместване, скорост и ускорение са насочени по една права линия и тялото изпълнява праволинейно равномерно ускорено движение. Като насочваме координатната ос по правата линия на движение, можем да разгледаме Е, с, υ и акато алгебрични величини (положителни или отрицателни в зависимост от посоката на съответния вектор). Тогава работата на силата може да бъде записана като А = Fs. При равномерно ускорено движение преместването сизразено с формулата
Този израз показва, че работата, извършена от сила (или резултатната от всички сили), е свързана с промяна в квадрата на скоростта (а не самата скорост).
Нарича се физическо количество, равно на половината от произведението на масата на тялото и квадрата на неговата скорост кинетична енергия тяло:
Това твърдение се нарича теорема за кинетичната енергия . Теоремата за кинетичната енергия е валидна и в общия случай, когато тялото се движи под въздействието на изменяща се сила, чиято посока не съвпада с посоката на движение.
Кинетичната енергия е енергията на движението. Кинетична енергия на тяло с маса м, движейки се със скорост, равна на работата, която трябва да бъде извършена от сила, приложена към тялото в покой, за да му се придаде тази скорост:
Във физиката, заедно с кинетичната енергия или енергията на движение, понятието играе важна роля потенциална енергия или енергия на взаимодействие между телата.
Потенциалната енергия се определя от относителното положение на телата (например положението на тялото спрямо повърхността на Земята). Понятието потенциална енергия може да се въведе само за сили, чиято работа не зависи от траекторията на движение и се определя само от началното и крайното положение на тялото. Такива сили се наричат консервативен .
Работата, извършена от консервативните сили върху затворена траектория, е нула. Това твърдение е илюстрирано от фиг. 1.19.2.
Гравитацията и еластичността имат свойството консерватизъм. За тези сили можем да въведем понятието потенциална енергия.
Ако едно тяло се движи близо до повърхността на Земята, тогава върху него действа постоянна по големина и посока сила на гравитацията.Работата на тази сила зависи само от вертикалното движение на тялото. На всяка част от пътя работата на гравитацията може да бъде записана в проекции на вектора на изместване върху оста ой, насочен вертикално нагоре:
Тази работа е равна на изменението на някаква физическа величина mgh, взети с обратен знак. Това физическо количество се нарича потенциална енергия тела в гравитационно поле
Потенциална енергия д p зависи от избора на нулевото ниво, т.е. от избора на началото на оста ой. Физическо значение има не самата потенциална енергия, а нейното изменение Δ д p = др2 – д p1 при преместване на тялото от едно положение в друго. Тази промяна не зависи от избора на нулево ниво.
Ако разгледаме движението на телата в гравитационното поле на Земята на значителни разстояния от нея, тогава при определяне на потенциалната енергия е необходимо да се вземе предвид зависимостта на гравитационната сила от разстоянието до центъра на Земята ( закон на всемирното притегляне). За силите на универсалната гравитация е удобно да се брои потенциалната енергия от точка в безкрайност, тоест да се приеме, че потенциалната енергия на тяло в безкрайно отдалечена точка е равна на нула. Формула, изразяваща потенциалната енергия на тяло с маса мна разстояние rот центъра на Земята, има формата ( виж §1.24):
|
|
Където М– масата на Земята, Ж– гравитационна константа.
Концепцията за потенциална енергия може да се въведе и за еластичната сила. Тази сила също има свойството да бъде консервативна. Когато разтягаме (или компресираме) пружина, можем да направим това по различни начини.
Можете просто да удължите пружината с определено количество х, или първо го удължете с 2 х, и след това намалете удължението до стойността хи т.н. Във всички тези случаи еластичната сила извършва една и съща работа, която зависи само от удължението на пружината хв крайно състояние, ако пружината първоначално е била недеформирана. Тази работа е равна на работата на външната сила А, взети с обратен знак ( виж §1.18):
Потенциална енергия на еластично деформирано тяло е равна на работата, извършена от еластичната сила при прехода от дадено състояние към състояние с нулева деформация.
Ако в първоначалното състояние пружината вече е деформирана и нейното удължение е равно на х 1, след това при преминаване в ново състояние с удължение х 2, еластичната сила ще извърши работа, равна на промяната в потенциалната енергия, взета с обратен знак:
В много случаи е удобно да се използва моларният топлинен капацитет C:
където М е моларната маса на веществото.
Определеният по този начин топлинен капацитет не енедвусмислена характеристика на дадено вещество. Според първия закон на термодинамиката промяната във вътрешната енергия на тялото зависи не само от количеството получена топлина, но и от работата, извършена от тялото. В зависимост от условията, при които се извършва процесът на пренос на топлина, тялото може да извършва различна работа. Следователно едно и също количество топлина, предадено на тяло, може да причини различни промени във вътрешната му енергия и, следователно, температурата.
Тази неяснота при определяне на топлинния капацитет е типична само за газообразни вещества. При нагряване на течности и твърди вещества техният обем практически не се променя и работата на разширението се оказва равна на нула. Следователно цялото количество топлина, получено от тялото, отива за промяна на вътрешната му енергия. За разлика от течностите и твърдите вещества, газът може значително да промени обема си и да върши работа по време на пренос на топлина. Следователно топлинният капацитет на газообразното вещество зависи от характера на термодинамичния процес. Обикновено се разглеждат две стойности на топлинния капацитет на газовете: C V - моларен топлинен капацитет в изохоричен процес (V = const) и C p - моларен топлинен капацитет в изобарен процес (p = const).
В процеса при постоянен обем газът не извършва никаква работа: A = 0. От първия закон на термодинамиката за 1 мол газ следва
където ΔV е промяната в обема на 1 мол идеален газ, когато температурата му се промени с ΔT. Това предполага:
където R е универсалната газова константа. За p = const
По този начин връзката, изразяваща връзката между моларните топлинни мощности C p и C V има формата (формула на Майер):
Моларният топлинен капацитет C p на газ в процес с постоянно налягане винаги е по-голям от моларния топлинен капацитет C V в процес с постоянен обем (фиг. 3.10.1).
По-специално, тази връзка е включена във формулата за адиабатичния процес (виж §3.9).
Между две изотерми с температури T 1 и T 2 в диаграмата (p, V) са възможни различни преходни пътища. Тъй като за всички такива преходи промяната в температурата ΔT = T 2 – T 1 е една и съща, следователно промяната ΔU на вътрешната енергия е една и съща. Въпреки това, извършената в този случай работа A и количеството топлина Q, получено в резултат на топлообмена, ще се окажат различни за различните преходни пътища. От това следва, че газът има безкраен брой топлинни мощности. C p и C V са само частични (и много важни за теорията на газовете) стойности на топлинните мощности.
Билет 8.
1 Разбира се, позицията на една, дори „специална“ точка не описва напълно движението на цялата разглеждана система от тела, но все пак е по-добре да знаете позицията на поне една точка, отколкото да не знаете нищо. Въпреки това, нека разгледаме приложението на законите на Нютон към описанието на въртенето на твърдо тяло около неподвижен брадви 1 . Нека започнем с най-простия случай: нека материалната точка на масата мприкрепен с безтегловна твърда дължина на пръта rкъм неподвижната ос ОО / (фиг. 106).
Материална точка може да се движи около ос, оставайки на постоянно разстояние от нея, следователно нейната траектория ще бъде кръг с център върху оста на въртене. Разбира се, движението на точка се подчинява на уравнението на втория закон на Нютон
Директното прилагане на това уравнение обаче не е оправдано: първо, точката има една степен на свобода, следователно е удобно да се използва ъгълът на въртене като единствена координата, а не две декартови координати; второ, върху разглежданата система действат сили на реакция в оста на въртене и директно върху материалната точка от силата на опън на пръта. Намирането на тези сили е отделен проблем, чието решение не е необходимо за описване на въртене. Следователно има смисъл да се получи, въз основа на законите на Нютон, специално уравнение, което директно описва ротационното движение. Нека в някакъв момент определена сила действа върху материална точка Е, лежаща в равнина, перпендикулярна на оста на въртене (фиг. 107).
При кинематичното описание на криволинейното движение е удобно векторът на пълното ускорение a да се разложи на два компонента - нормален А н, насочена към оста на въртене и тангенциална А τ , насочена успоредно на вектора на скоростта. Не се нуждаем от стойността на нормалното ускорение, за да определим закона на движението. Разбира се, това ускорение се дължи и на действащи сили, една от които е неизвестната сила на опън на пръта. Нека напишем уравнението на втория закон в проекция върху тангенциалната посока:
Имайте предвид, че силата на реакция на пръта не е включена в това уравнение, тъй като е насочена по протежение на пръта и перпендикулярна на избраната проекция. Промяна на ъгъла на въртене φ директно се определя от ъгловата скорост
ω = Δφ/Δt,
промяната на която от своя страна се описва от ъгловото ускорение
ε = Δω/Δt.
Ъгловото ускорение е свързано с тангенциалния компонент на ускорението чрез връзката
А τ = rε.
Ако заместим този израз в уравнение (1), получаваме уравнение, подходящо за определяне на ъглово ускорение. Удобно е да се въведе ново физическо количество, което определя взаимодействието на телата, когато се въртят. За да направите това, умножете двете страни на уравнение (1) по r:
г-н 2 ε = F τ r. (2)
Помислете за израза от дясната му страна Е τ r, което има значението на умножаване на тангенциалния компонент на силата по разстоянието от оста на въртене до точката на прилагане на силата. Същата работа може да бъде представена в малко по-различна форма (фиг. 108):
М=Ж τ r = Frcosα = Fd,
Тук д− разстоянието от оста на въртене до линията на действие на силата, което се нарича още рамо на силата. Това физическо количество е произведение на модула на силата и разстоянието от линията на действие на силата до оста на въртене (рамото на силата) M = Fd− се нарича момент на сила. Действието на силата може да доведе до въртене по или обратно на часовниковата стрелка. В съответствие с избраната положителна посока на въртене трябва да се определи знакът на момента на силата. Обърнете внимание, че моментът на силата се определя от този компонент на силата, който е перпендикулярен на радиус вектора на точката на приложение. Компонентът на вектора на силата, насочен по протежение на сегмента, свързващ точката на приложение и оста на въртене, не води до разгъване на тялото. Когато оста е фиксирана, този компонент се компенсира от силата на реакция в оста и следователно не влияе върху въртенето на тялото. Нека напишем още един полезен израз за момент на сила. Май силата Еприложен към точка А, чиито декартови координати са равни х, при(фиг. 109).
Да разбием силата Ена два компонента Е х , Е при, успоредни на съответните координатни оси. Моментът на сила F спрямо оста, минаваща през началото на координатите, очевидно е равен на сумата от моментите на компонентите Е х , Е при, това е
M = xF при − уF х .
По същия начин, по който въведохме концепцията за вектора на ъгловата скорост, можем също да дефинираме концепцията за вектора на въртящия момент. Модулът на този вектор съответства на дефиницията, дадена по-горе, и е насочен перпендикулярно на равнината, съдържаща вектора на силата и сегмента, свързващ точката на прилагане на силата с оста на въртене (фиг. 110).
Векторът на момент на сила може също да се дефинира като векторно произведение на радиус вектора на точката на прилагане на силата и вектора на силата
Обърнете внимание, че когато точката на приложение на сила се измести по линията на нейното действие, моментът на сила не се променя. Нека означим произведението на масата на материална точка с квадрата на разстоянието до оста на въртене
г-н 2 = аз
(това количество се нарича момент на инерцияматериална точка спрямо оста). Използвайки тези обозначения, уравнение (2) приема форма, която формално съвпада с уравнението на втория закон на Нютон за транслационно движение:
Iε = М. (3)
Това уравнение се нарича основно уравнение на динамиката на ротационното движение. И така, моментът на сила при въртеливо движение играе същата роля като силата при транслационно движение - именно тя определя промяната в ъгловата скорост. Оказва се (и това се потвърждава от нашия ежедневен опит), влиянието на силата върху скоростта на въртене се определя не само от величината на силата, но и от точката на нейното приложение. Инерционният момент определя инерционните свойства на тялото по отношение на въртенето (казано по-просто, той показва дали е лесно да се върти тялото): колкото по-далеч е дадена материална точка от оста на въртене, толкова по-трудно е да вкарайте го в ротация. Уравнение (3) може да се обобщи за случай на въртене на произволно тяло. Когато тялото се върти около фиксирана ос, ъгловите ускорения на всички точки на тялото са еднакви. Следователно, по същия начин, както направихме при извеждането на уравнението на Нютон за постъпателното движение на тяло, можем да напишем уравнения (3) за всички точки на въртящо се тяло и след това да ги сумираме. В резултат на това получаваме уравнение, което външно съвпада с (3), в което аз− инерционен момент на цялото тяло, равен на сумата от моментите на съставните му материални точки, М− сумата от моментите на външните сили, действащи върху тялото. Нека да покажем как се изчислява инерционният момент на тялото. Важно е да се подчертае, че инерционният момент на тялото зависи не само от масата, формата и размера на тялото, но и от положението и ориентацията на оста на въртене. Формално изчислителната процедура се свежда до разделяне на тялото на малки части, които могат да се считат за материални точки (фиг. 111),
и сумирането на инерционните моменти на тези материални точки, които са равни на произведението на масата на квадрата на разстоянието до оста на въртене:
За тела с проста форма такива количества отдавна са изчислени, така че често е достатъчно да запомните (или да намерите в справочник) съответната формула за необходимия момент на инерция. Като пример: инерционният момент на кръгъл еднороден цилиндър, маса ми радиус Р, за оста на въртене, съвпадаща с оста на цилиндъра, е равно на:
I = (1/2)mR 2 (фиг. 112).
В този случай се ограничаваме до разглеждане на въртене около фиксирана ос, тъй като описването на произволно въртеливо движение на тяло е сложен математически проблем, който далеч надхвърля обхвата на курса по математика в гимназията. Това описание не изисква познаване на други физични закони, различни от разглежданите от нас.
2 Вътрешна енергиятяло (означено като дили U) - общата енергия на това тяло минус кинетичната енергия на тялото като цяло и потенциалната енергия на тялото във външното поле на силите. Следователно вътрешната енергия се състои от кинетичната енергия на хаотичното движение на молекулите, потенциалната енергия на взаимодействие между тях и вътремолекулната енергия.
Вътрешната енергия на тялото е енергията на движение и взаимодействие на частиците, които изграждат тялото.
Вътрешната енергия на тялото е общата кинетична енергия на движение на молекулите на тялото и потенциалната енергия на тяхното взаимодействие.
Вътрешната енергия е уникална функция на състоянието на системата. Това означава, че когато една система се окаже в дадено състояние, нейната вътрешна енергия приема стойността, присъща на това състояние, независимо от предишната история на системата. Следователно промяната във вътрешната енергия по време на прехода от едно състояние към друго винаги ще бъде равна на разликата в стойностите в тези състояния, независимо от пътя, по който е извършен преходът.
Вътрешната енергия на тялото не може да бъде измерена директно. Можете да определите само промяната във вътрешната енергия:
За квазистатичните процеси е в сила следната зависимост:
1. Обща информацияНарича се количеството топлина, необходимо за загряване на единица количество газ с 1° топлинен капацитети се обозначава с буквата с.В техническите изчисления топлинният капацитет се измерва в килоджаули. Когато се използва старата система от единици, топлинният капацитет се изразява в килокалории (GOST 8550-61) * В зависимост от единиците, в които се измерва количеството газ, те разграничават: моларен топлинен капацитет \xc до kJ/(kmol x X градушка);маса топлинен капацитет c in kJ/(kg-deg);обемен топлинен капацитет с V kJ/(m 3 градушка).При определяне на обемния топлинен капацитет е необходимо да се посочи към какви стойности на температурата и налягането се отнася. Обичайно е обемният топлинен капацитет да се определя при нормални физически условия. Топлинният капацитет на газовете, които се подчиняват на законите за идеалния газ, зависи само от температурата. Прави се разлика между средния и истинския топлинен капацитет на газовете. Истинският топлинен капацитет е съотношението на безкрайно малкото количество топлина, доставено Dd, когато температурата се повиши с безкрайно малко количество на:Средният топлинен капацитет определя средното количество топлина, доставено при нагряване на единица количество газ с 1° в температурния диапазон от T х преди T%:Където р- количеството топлина, подадено към единица маса газ, когато се нагрява от температурата T T до температура T%.В зависимост от естеството на процеса, при който се доставя или отвежда топлина, топлинният капацитет на газа ще бъде различен.Ако газът се нагрява в съд с постоянен обем (В=" = const), тогава топлината се изразходва само за повишаване на температурата й. Ако газът е в цилиндър с подвижно бутало, тогава когато се подава топлина, налягането на газа остава постоянно (p == const). В същото време, когато се нагрява, газът се разширява и произвежда работа срещу външни сили, като същевременно повишава температурата си. За да се направи разликата между крайната и началната температура по време на нагряване на газ в процеса Р= const би било същото като в случай на нагряване при V= = const, количеството изразходвана топлина трябва да бъде по-голямо с количество, равно на работата, извършена от газа в процеса p = =конст. От това следва, че топлинният капацитет на газ при постоянно налягане с Р ще бъде по-голям от топлинния капацитет при постоянен обем.Вторият член в уравненията характеризира количеството топлина, изразходвано от газа в процеса Р= = const при промяна на температурата с 1 °.При извършване на приблизителни изчисления може да се приеме, че топлинният капацитет на работното тяло е постоянен и не зависи от температурата. В този случай стойностите на моларните топлинни мощности при постоянен обем могат да се приемат съответно за едно-, дву- и многоатомни газове, равни 12,6; 20.9 и 29.3 kJ/(kmol-deg)или 3; 5 и 7 kcal/(kmol-deg).
Импулсът е една от най-фундаменталните характеристики на физическата система. Инерцията на затворена система се запазва по време на всички процеси, протичащи в нея.
Нека започнем да се запознаваме с това количество с най-простия случай. Импулсът на материална точка от маса, движеща се със скорост, е произведението
Закон за промяна на импулса.От тази дефиниция, използвайки втория закон на Нютон, можем да намерим закона за промяна на импулса на частица в резултат на действието на някаква сила върху нея.Променяйки скоростта на частица, силата също променя своя импулс: . Следователно в случай на постоянно действаща сила
Скоростта на промяна на импулса на материална точка е равна на резултата от всички сили, действащи върху нея. С постоянна сила интервалът от време в (2) може да бъде взет от всеки. Следователно за промяната в импулса на частица по време на този интервал е вярно
В случай на сила, която се променя във времето, целият период от време трябва да бъде разделен на малки интервали, през всеки от които силата може да се счита за постоянна. Промяната в импулса на частиците за отделен период се изчислява по формула (3):
Общата промяна на импулса за целия разглеждан период от време е равна на векторната сума на промените в импулса за всички интервали
Ако използваме концепцията за производна, тогава вместо (2), очевидно, законът за промяна на импулса на частицата е написан като
Импулс на сила.Промяната в импулса за краен период от време от 0 до се изразява чрез интеграла
Количеството от дясната страна на (3) или (5) се нарича импулс на сила. Така промяната в импулса Dr на материална точка за определен период от време е равна на импулса на силата, действаща върху нея през този период от време.
Равенствата (2) и (4) са по същество друга формулировка на втория закон на Нютон. Именно в тази форма този закон е формулиран от самия Нютон.
Физическото значение на понятието импулс е тясно свързано с интуитивната представа, която всеки от нас има или е извлечена от ежедневния опит, за това дали е лесно да се спре движещо се тяло. Тук има значение не скоростта или масата на спиращото тяло, а двете заедно, т.е. именно неговият импулс.
Системен импулс.Концепцията за импулс става особено значима, когато се приложи към система от взаимодействащи си материални точки. Общият импулс P на система от частици е векторната сума на импулсите на отделните частици в един и същи момент от времето:
Тук сумирането се извършва върху всички частици, включени в системата, така че броят на членовете да е равен на броя на частиците в системата.
Вътрешни и външни сили.Лесно е да се стигне до закона за запазване на импулса на система от взаимодействащи частици директно от втория и третия закон на Нютон. Ще разделим силите, действащи върху всяка от частиците, включени в системата, на две групи: вътрешни и външни. Вътрешна сила е силата, с която една частица действа върху Външната сила е силата, с която всички тела, които не са част от разглежданата система, действат върху частицата.
Законът за промяна на импулса на частиците в съответствие с (2) или (4) има формата
Нека добавим уравнение (7) член по член за всички частици на системата. Тогава от лявата страна, както следва от (6), получаваме скоростта на изменение
общ импулс на системата Тъй като вътрешните сили на взаимодействие между частиците отговарят на третия закон на Нютон:
тогава при добавяне на уравнения (7) от дясната страна, където вътрешните сили се появяват само по двойки, тяхната сума ще отиде до нула. В резултат на това получаваме
Скоростта на промяна на общия импулс е равна на сумата от външните сили, действащи върху всички частици.
Нека обърнем внимание на факта, че равенството (9) има същата форма като закона за промяна на импулса на една материална точка, а дясната страна включва само външни сили. В затворена система, където няма външни сили, общият импулс P на системата не се променя, независимо от това какви вътрешни сили действат между частиците.
Общият импулс не се променя дори в случай, че външните сили, действащи върху системата, са общо равни на нула. Може да се окаже, че сумата на външните сили е нула само в определена посока. Въпреки че физическата система в този случай не е затворена, компонентът на общия импулс по тази посока, както следва от формула (9), остава непроменен.
Уравнение (9) характеризира системата от материални точки като цяло, но се отнася за определен момент във времето. От него е лесно да се получи законът за промяна на импулса на системата за краен период от време.Ако действащите външни сили са постоянни през този интервал, то от (9) следва
Ако външните сили се променят с времето, тогава от дясната страна на (10) ще има сума от интеграли във времето от всяка от външните сили:
Така промяната в общия импулс на система от взаимодействащи частици за определен период от време е равна на векторната сума на импулсите на външните сили за този период.
Сравнение с динамичния подход.Нека сравним подходите за решаване на механични проблеми въз основа на динамични уравнения и въз основа на закона за запазване на импулса, като използваме следния прост пример.
Железопътен вагон с маса, взет от гърбица, движещ се с постоянна скорост, се сблъсква с неподвижен вагон с маса и се куплира с него. С каква скорост се движат скачените вагони?
Не знаем нищо за силите, с които колите си взаимодействат по време на сблъсък, освен факта, че въз основа на третия закон на Нютон те са равни по големина и противоположни по посока във всеки момент. При динамичен подход е необходимо да се определи някакъв модел за взаимодействие на автомобилите. Най-простото възможно предположение е, че силите на взаимодействие са постоянни през цялото време на свързването. В този случай, използвайки втория закон на Нютон за скоростите на всяка от колите, след началото на свързването, можем да напишем
Очевидно процесът на свързване приключва, когато скоростите на колите станат еднакви. Ако приемем, че това се случва след време x, имаме
От тук можем да изразим импулса на силата
Замествайки тази стойност в някоя от формулите (11), например във втората, намираме израза за крайната скорост на автомобилите:
Разбира се, предположението за постоянството на силата на взаимодействие между автомобилите по време на процеса на тяхното свързване е много изкуствено. Използването на по-реалистични модели води до по-тромави изчисления. В действителност обаче резултатът за крайната скорост на автомобилите не зависи от модела на взаимодействие (разбира се, при условие че в края на процеса автомобилите са свързани и се движат с еднаква скорост). Най-лесният начин да проверите това е да използвате закона за запазване на импулса.
Тъй като върху вагоните не действат външни сили в хоризонтална посока, общият импулс на системата остава непроменен. Преди сблъсъка той е равен на импулса на първия автомобил.След куплирането импулсът на автомобилите е равен.Приравнявайки тези стойности веднага намираме
което естествено съвпада с отговора, получен въз основа на динамичния подход. Използването на закона за запазване на импулса направи възможно намирането на отговора на поставения въпрос с помощта на по-малко тромави математически изчисления и този отговор е по-общ, тъй като не е използван специфичен модел на взаимодействие за получаването му.
Нека илюстрираме приложението на закона за запазване на импулса на система, използвайки примера на по-сложен проблем, където изборът на модел за динамично решение вече е труден.
Задача
Експлозия на снаряд. Снарядът експлодира в горната точка на траекторията, разположена на височина над повърхността на земята, на два еднакви фрагмента. Единият от тях пада на земята точно под точката на експлозията след време.Колко пъти ще се промени хоризонталното разстояние от тази точка,на което ще отлети втората осколка спрямо разстоянието,на което би паднал неексплодирал снаряд?
Решение: Първо, нека напишем израз за разстоянието, над което би прелетял неексплодирал снаряд. Тъй като скоростта на снаряда в горната точка (означаваме я с е насочена хоризонтално), то разстоянието е равно на произведението от времето на падане от височина без начална скорост, равна на която неизбухнал снаряд би отлетял , Тъй като скоростта на снаряда в горната точка (означаваме я с е насочена хоризонтално, тогава разстоянието е равно на произведението на времето на падане от височина без начална скорост, равна на тялото, разглеждано като система от материални точки:
Разрушаването на снаряда на фрагменти става почти мигновено, т.е. вътрешните сили, които го разкъсват, действат за много кратък период от време. Очевидно е, че промяната в скоростта на фрагментите под въздействието на гравитацията за толкова кратък период от време може да бъде пренебрегната в сравнение с промяната в скоростта им под въздействието на тези вътрешни сили. Следователно, въпреки че разглежданата система, строго погледнато, не е затворена, можем да приемем, че нейният общ импулс при разкъсването на снаряда остава непроменен.
От закона за запазване на импулса могат веднага да се идентифицират някои характеристики на движението на фрагменти. Импулсът е векторна величина. Преди експлозията той е лежал в равнината на траекторията на снаряда. Тъй като, както е посочено в условието, скоростта на един от фрагментите е вертикална, т.е. неговият импулс остава в същата равнина, тогава импулсът на втория фрагмент също лежи в тази равнина. Това означава, че траекторията на втория фрагмент ще остане в същата равнина.
Освен това от закона за запазване на хоризонталния компонент на общия импулс следва, че хоризонталният компонент на скоростта на втория фрагмент е равен, тъй като неговата маса е равна на половината от масата на снаряда, а хоризонталният компонент на импулса на първия фрагмент е равен на нула по условие. Следователно обхватът на хоризонталния полет на втория фрагмент е от
мястото на разкъсването е равно на произведението от времето на неговия полет. Как да намерим това време?
За да направите това, не забравяйте, че вертикалните компоненти на импулсите (и следователно на скоростите) на фрагментите трябва да бъдат еднакви по големина и насочени в противоположни посоки. Времето на полета на втория интересен за нас фрагмент зависи, очевидно, от това дали вертикалната компонента на неговата скорост е насочена нагоре или надолу в момента на експлодиране на снаряда (фиг. 108).
Ориз. 108. Траектория на осколки след взрив на снаряд
Това е лесно да се установи, като се сравни времето на вертикално падане на първия фрагмент, даден в условието, с времето на свободно падане от височина А. Ако тогава началната скорост на първия фрагмент е насочена надолу, а вертикалната компонента на скоростта на втората е насочена нагоре и обратно (случаи а и на фиг. 108).
Нека направим няколко прости трансформации с формулите. Според втория закон на Нютон силата може да се намери: F=m*a. Ускорението се намира, както следва: a=v⁄t. Така получаваме: F= м*в/T.
Определяне на импулса на тялото: формула
Оказва се, че силата се характеризира с промяна на произведението на масата и скоростта във времето. Ако означим този продукт с определена величина, тогава получаваме изменението на тази величина във времето като характеристика на силата. Тази величина се нарича импулс на тялото. Инерцията на тялото се изразява с формулата:
където p е импулсът на тялото, m е масата, v е скоростта.
Импулсът е векторна величина и нейната посока винаги съвпада с посоката на скоростта. Единицата за импулс е килограм на метър в секунда (1 kg*m/s).
Какво е импулс на тялото: как да разберем?
Нека се опитаме да разберем по прост начин, „на пръсти“, какво е телесен импулс. Ако тялото е в покой, тогава неговият импулс е нула. Логично. Ако скоростта на тялото се промени, тогава тялото придобива определен импулс, който характеризира големината на приложената към него сила.
Ако няма въздействие върху тялото, но се движи с определена скорост, тоест има определен импулс, тогава неговият импулс означава какво въздействие може да има това тяло при взаимодействие с друго тяло.
Формулата на импулса включва масата на тялото и неговата скорост. Тоест, колкото повече маса и/или скорост има едно тяло, толкова по-голямо въздействие може да има. Това е ясно от житейски опит.
За да се движи тяло с малка маса, е необходима малка сила. Колкото по-голямо е телесното тегло, толкова повече усилия ще трябва да положите. Същото важи и за скоростта, придадена на тялото. В случай на въздействие на самото тяло върху друго, импулсът показва и величината, с която тялото е в състояние да въздейства върху други тела. Тази стойност директно зависи от скоростта и масата на оригиналното тяло.
Импулс при взаимодействие на тела
Възниква друг въпрос: какво ще се случи с импулса на едно тяло, когато то взаимодейства с друго тяло? Масата на тялото не може да се промени, ако остане непокътнато, но скоростта може лесно да се промени. В този случай скоростта на тялото ще се променя в зависимост от неговата маса.
Всъщност е ясно, че когато тела с много различни маси се сблъскат, тяхната скорост ще се промени по различен начин. Ако футболна топка, летяща с висока скорост, удари неподготвен човек, например зрител, тогава зрителят може да падне, тоест ще придобие някаква малка скорост, но със сигурност няма да лети като топка.
И всичко това, защото масата на зрителя е много по-голяма от масата на топката. Но в същото време общият импулс на тези две тела ще остане непроменен.
Закон за запазване на импулса: формула
Това е законът за запазване на импулса: когато две тела си взаимодействат, общият им импулс остава непроменен. Законът за запазване на импулса действа само в затворена система, тоест в система, в която няма влияние на външни сили или общото им действие е нула.
В действителност системата от тела почти винаги е подложена на външно въздействие, но общият импулс, подобно на енергията, не изчезва никъде и не възниква от нищото, а се разпределя между всички участници във взаимодействието.
След като изучаваме законите на Нютон, виждаме, че с тяхна помощ е възможно да се решат основните проблеми на механиката, ако знаем всички сили, действащи върху тялото. Има ситуации, в които е трудно или дори невъзможно да се определят тези стойности. Нека разгледаме няколко такива ситуации.Когато две билярдни топки или коли се сблъскат, можем да твърдим за действащите сили, че това е тяхната природа; тук действат еластични сили. Ние обаче няма да можем да определим точно нито техните модули, нито посоките им, още повече че тези сили имат изключително кратка продължителност на действие.С движението на ракетите и реактивните самолети също можем да кажем малко за силите, които привеждат тези тела в движение.В такива случаи се използват методи, които позволяват да се избегне решаването на уравненията на движението и незабавно да се използват последствията от тези уравнения. В този случай се въвеждат нови физични величини. Нека разгледаме една от тези величини, наречена импулс на тялото
Стрела, изстреляна от лък. Колкото по-дълго продължава контактът на тетивата със стрелата (∆t), толкова по-голяма е промяната в импулса на стрелата (∆) и следователно толкова по-висока е нейната крайна скорост.
Две сблъскващи се топки. Докато топките са в контакт, те действат една върху друга със сили, равни по големина, както ни учи третият закон на Нютон. Това означава, че промените в техните импулси също трябва да бъдат равни по големина, дори ако масите на топките не са равни.
След анализ на формулите могат да се направят два важни извода:
1. Еднакви сили, действащи за един и същи период от време, предизвикват еднакви промени в импулса в различни тела, независимо от масата на последните.
2. Същата промяна в импулса на тялото може да се постигне или чрез въздействие с малка сила за дълъг период от време, или чрез краткотрайно въздействие с голяма сила върху същото тяло.
Според втория закон на Нютон можем да напишем:
∆t = ∆ = ∆ / ∆t
Отношението на промяната в импулса на тялото към периода от време, през който е настъпила тази промяна, е равно на сумата от силите, действащи върху тялото.
След като анализирахме това уравнение, виждаме, че вторият закон на Нютон ни позволява да разширим класа проблеми, които трябва да бъдат решени, и да включим проблеми, при които масата на телата се променя с времето.
Ако се опитаме да решим проблеми с променлива маса на тела, като използваме обичайната формулировка на втория закон на Нютон:
тогава опитът за такова решение би довел до грешка.
Пример за това е вече споменатият реактивен самолет или космическа ракета, които при движение изгарят гориво, а продуктите от това горене се отделят в околното пространство. Естествено, масата на самолет или ракета намалява с изразходването на гориво.
Въпреки факта, че вторият закон на Нютон във формата „резултантната сила е равна на произведението на масата на тялото и неговото ускорение“ ни позволява да решим доста широк клас проблеми, има случаи на движение на тела, които не могат да бъдат напълно описано от това уравнение. В такива случаи е необходимо да се приложи друга формулировка на втория закон, свързваща промяната в импулса на тялото с импулса на резултантната сила. Освен това има редица проблеми, при които решаването на уравненията на движението е математически изключително трудно или дори невъзможно. В такива случаи за нас е полезно да използваме понятието импулс.
Използвайки закона за запазване на импулса и връзката между импулса на силата и импулса на тялото, можем да изведем втория и третия закон на Нютон.
Вторият закон на Нютон се извежда от връзката между импулса на сила и импулса на тялото.
Импулсът на силата е равен на промяната в импулса на тялото:
След като направихме съответните трансфери, получаваме зависимостта на силата от ускорението, тъй като ускорението се определя като съотношението на промяната на скоростта към времето, през което е настъпила тази промяна:
Замествайки стойностите в нашата формула, получаваме формулата за втория закон на Нютон:
За да изведем третия закон на Нютон, се нуждаем от закона за запазване на импулса.
Векторите подчертават векторния характер на скоростта, тоест фактът, че скоростта може да променя посоката си. След трансформациите получаваме:
Тъй като периодът от време в затворена система е постоянна стойност и за двете тела, можем да запишем:
Получихме третия закон на Нютон: две тела взаимодействат едно с друго с еднакви по големина и противоположни по посока сили. Векторите на тези сили са насочени един към друг, съответно модулите на тези сили са еднакви по стойност.
Библиография
- Тихомирова С.А., Яворски Б.М. Физика (основно ниво) - М.: Мнемозина, 2012.
- Gendenshtein L.E., Dick Yu.I. Физика 10 клас. - М.: Мнемозина, 2014.
- Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика - 9, Москва, Образование, 1990г.
Домашна работа
- Определете импулса на тялото, импулса на силата.
- Как импулсът на тялото е свързан с импулса на силата?
- Какви изводи могат да се направят от формулите за импулс на тялото и импулс на сила?
- Интернет портал Questions-physics.ru ().
- Интернет портал Frutmrut.ru ().
- Интернет портал Fizmat.by ().
Зареждане...