Решаване на неравенства, съдържащи модул. Интервалният метод е универсален метод за решаване на неравенства с модул

модулно числосамото това число се нарича, ако е неотрицателно, или същото число с обратен знак, ако е отрицателно.

Например модулът на 6 е 6, а модулът на -6 също е 6.

Тоест, модулът на числото се разбира като абсолютна стойност, абсолютната стойност на това число, без да се взема предвид неговият знак.

Означава се както следва: |6|, | х|, |а| и т.н.

(За повече подробности вижте раздела „Модул на числото“).

Модулни уравнения.

Пример 1 . реши уравнението|10 х - 5| = 15.

Решение.

В съответствие с правилото уравнението е еквивалентно на комбинация от две уравнения:

10х - 5 = 15
10х - 5 = -15

Ние решаваме:

10х = 15 + 5 = 20
10х = -15 + 5 = -10

х = 20: 10
х = -10: 10

х = 2
х = -1

Отговор: х 1 = 2, х 2 = -1.

Пример 2 . реши уравнението|2 х + 1| = х + 2.

Решение.

Тъй като модулът е неотрицателно число, тогава х+ 2 ≥ 0. Съответно:

х ≥ -2.

Правим две уравнения:

2х + 1 = х + 2
2х + 1 = -(х + 2)

Ние решаваме:

2х + 1 = х + 2
2х + 1 = -х - 2

2х - х = 2 - 1
2х + х = -2 - 1

х = 1
х = -1

И двете числа са по-големи от -2. И двете са корени на уравнението.

Отговор: х 1 = -1, х 2 = 1.

Пример 3 . реши уравнението

|х + 3| - 1
————— = 4
х - 1

Решение.

Уравнението има смисъл, ако знаменателят не е равен на нула - така че ако х≠ 1. Нека вземем предвид това условие. Първото ни действие е просто - ние не просто се отърваваме от фракцията, но я трансформираме по такъв начин, че да получим модула в най-чистата му форма:

|х+ 3| - 1 = 4 ( х - 1),

|х + 3| - 1 = 4х - 4,

|х + 3| = 4х - 4 + 1,

|х + 3| = 4х - 3.

Сега имаме само израза под модула от лявата страна на уравнението. Продължа напред.
Модулът на числото е неотрицателно число - тоест трябва да е по-голямо или равно на нула. Съответно решаваме неравенството:

4х - 3 ≥ 0

4х ≥ 3

х ≥ 3/4

Така имаме второ условие: коренът на уравнението трябва да бъде поне 3/4.

В съответствие с правилото съставяме набор от две уравнения и ги решаваме:

х + 3 = 4х - 3
х + 3 = -(4х - 3)

х + 3 = 4х - 3
х + 3 = -4х + 3

х - 4х = -3 - 3
х + 4х = 3 - 3

х = 2
х = 0

Получихме два отговора. Нека проверим дали те са корените на първоначалното уравнение.

Имахме две условия: коренът на уравнението не може да бъде равен на 1 и трябва да бъде поне 3/4. Това е х ≠ 1, х≥ 3/4. И двете условия отговарят само на един от двата получени отговора - числото 2. Следователно само то е коренът на първоначалното уравнение.

Отговор: х = 2.

Неравенства с модула.

Пример 1 . Решете неравенството| х - 3| < 4

Решение.

Правилото на модула казва:

|а| = а, ако а ≥ 0.

|а| = -а, ако а < 0.

Модулът може да има както неотрицателно, така и отрицателно число. Така че трябва да разгледаме и двата случая: х- 3 ≥ 0 и х - 3 < 0.

1) Кога х- 3 ≥ 0 нашето първоначално неравенство остава както е, само без знака модул:
х - 3 < 4.

2) Кога х - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(х - 3) < 4.

Отваряйки скобите, получаваме:

-х + 3 < 4.

Така от тези две условия стигнахме до обединението на две системи от неравенства:

х - 3 ≥ 0
х - 3 < 4

х - 3 < 0
-х + 3 < 4

Нека ги решим:

х ≥ 3
х < 7

х < 3
х > -1

И така, в нашия отговор имаме обединението на две множества:

3 ≤ х < 7 U -1 < х < 3.

Определяме най-малките и най-голяма стойност. Това са -1 и 7. В същото време хпо-голямо от -1, но по-малко от 7.
Освен това, х≥ 3. Следователно решението на неравенството е целият набор от числа от -1 до 7, с изключение на тези крайни числа.

Отговор: -1 < х < 7.

Или: х ∈ (-1; 7).

Добавки.

1) Има по-прост и кратък начин за решаване на нашето неравенство - графично. За да направите това, начертайте хоризонтална ос (фиг. 1).

Израз | х - 3| < 4 означает, что расстояние от точки хкъм точка 3 по-малко от четири единици. Отбелязваме цифрата 3 на оста и броим 4 деления отляво и отдясно на нея. Отляво ще стигнем до точка -1, отдясно - до точка 7. Така точките хпросто видяхме, без да ги изчисляваме.

Освен това, според условието за неравенство, самите -1 и 7 не са включени в набора от решения. Така получаваме отговора:

1 < х < 7.

2) Но има друго решение, което е още по-просто графичен начин. За да направим това, нашето неравенство трябва да бъде представено в следната форма:

4 < х - 3 < 4.

Все пак така е по правилото на модула. Неотрицателното число 4 и подобно отрицателно число -4 са границите на решението на неравенството.

4 + 3 < х < 4 + 3

1 < х < 7.

Пример 2 . Решете неравенството| х - 2| ≥ 5

Решение.

Този пример се различава значително от предишния. Лявата страна е по-голяма от 5 или равна на 5. C геометрична точкаизглед, решението на неравенството са всички числа, които са на разстояние 5 единици или повече от точка 2 (фиг. 2). Графиката показва, че това са всички числа, които са по-малки или равни на -3 и по-големи или равни на 7. И така, вече сме получили отговора.

Отговор: -3 ≥ х ≥ 7.

По пътя решаваме същото неравенство, като пренареждаме свободния член наляво и надясно с противоположния знак:

5 ≥ х - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ х ≥ 5 + 2

Отговорът е същият: -3 ≥ х ≥ 7.

Или: х ∈ [-3; 7]

Примерът е решен.

Пример 3 . Решете неравенството 6 х 2 - | х| - 2 ≤ 0

Решение.

Номер хможе да бъде положителен, отрицателен или нула. Следователно трябва да вземем предвид и трите обстоятелства. Както знаете, те се вземат предвид в две неравенства: х≥ 0 и х < 0. При х≥ 0, ние просто пренаписваме нашето оригинално неравенство, както е, само без знака модул:

6x 2 - х - 2 ≤ 0.

Сега за втория случай: ако х < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6х 2 - (-х) - 2 ≤ 0.

Разширяване на скобите:

6х 2 + х - 2 ≤ 0.

Така получихме две системи от уравнения:

6х 2 - х - 2 ≤ 0
х ≥ 0

6х 2 + х - 2 ≤ 0
х < 0

Трябва да решим неравенства в системи - което означава, че трябва да намерим корените на две квадратни уравнения. За да направим това, приравняваме левите части на неравенствата към нула.

Да започнем с първия:

6х 2 - х - 2 = 0.

Как се решава квадратно уравнение - вижте раздела "Квадрично уравнение". Веднага ще назовем отговора:

х 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

От първата система от неравенства получаваме, че решението на първоначалното неравенство е целият набор от числа от -1/2 до 2/3. Ние пишем съюза на решенията за х ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Сега нека решим второто квадратно уравнение:

6х 2 + х - 2 = 0.

Корените му:

х 1 = -2/3, х 2 = 1/2.

Заключение: кога х < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Нека комбинираме двата отговора и да получим крайния отговор: решението е целият набор от числа от -2/3 до 2/3, включително тези екстремни числа.

Отговор: -2/3 ≤ х ≤ 2/3.

Или: х ∈ [-2/3; 2/3].

Меморандум „Хвастовичская средно училище»

"Метод на интервалите за решаване на уравнения и неравенства с няколко модула"

Изследователска работа по математика

Изпълнено:

ученик от 10 "б" клас

Голишева Евгения

Ръководител:

учител по математика

Шапенская Е.Н.

Въведение……………………………………………………………………………… … ….3 Глава 1. Методи за решаване на задачи с няколко модула…………… …… …............4 1.1 Дефиниция на модула. Решаване по дефиниция……………………………………………………………………………4 1.2 Решаване на уравнения с няколко модула по метода на интервалите……………… …………5 1.3 . Задачи с множество модули. Методи за решаване……………………………..7 1.4. Методът на интервалите в задачите с модули…………………………………………......9 Глава 2. Уравнения и неравенства, съдържащи модули……………………………… .… 11 2.1 Решаване на уравнения с множество модули с помощта на интервалния метод..….11 2.2 Решаване на неравенства с множество модули с помощта на интервалния метод…13 Заключение…………………………………………… ………… ………………………...15 Литература………………………………………………………………….……….…. 16

Въведение

Концепцията за абсолютна стойност е една от най-важните характеристики на числото, както в областта на реалните, така и в областта комплексни числа. Тази концепция се използва широко не само в различни раздели на училищния курс по математика, но и в курсовете по висша математика, физика и технически науки, изучавани в университетите. Проблеми, свързани с абсолютните стойности, често се срещат в математически олимпиади, приемни изпити във ВУЗ и изпит.

Тема:„Интервален метод за решаване на уравнения и неравенства с множество модули по интервалния метод“.

Обективна област:математика.

Обект на изследване:решение на уравнения и неравенства с модула.

Предмет на изследване:интервален метод за многомодулно решение.

Цел на изследването:разкрива ефективността на решаване на уравнения и неравенства с няколко модула по интервалния метод.

Хипотеза:ако използвате интервалния метод за решаване на неравенства и уравнения с няколко модула, можете значително да улесните работата си.

Методи на работа:събиране на информация и нейния анализ.

Задачи:

Проучете литературата по тази тема.

Разгледайте решения на неравенства и уравнения с няколко модула.

Разкрийте най ефективен методрешения.

Практическа насоченост на проекта:

Тази работа може да се използва като учебно ръководствоза студенти и методическо ръководствоза учителя.

Глава 1.

1.1 Дефиниция на модула. Решение по дефиниция.

По дефиниция модулът или абсолютната стойност на неотрицателно число a е същият като самото число, а модулът на отрицателно число е равен на противоположното число, тоест a:

Модулът на числото винаги е неотрицателен. Разгледайте примери.

Пример 1Решете уравнението |–x| = -3.

Тук няма нужда да анализираме случаи, тъй като абсолютната стойност на числото винаги е неотрицателна, което означава, че това уравнение няма решения.

Нека запишем решението на тези най-прости уравнения в общ изглед:

Пример 2Решете уравнението |x| = 2 – x.

Решение. За x 0 имаме уравнението x = 2 – x, т.е. x = 1. Тъй като 1 0, x = 1 е коренът на първоначалното уравнение. Във втория случай (х

Отговор: x = 1.

Пример 3Решете уравнение 3|x – 3| + x = -1.

Решение. Тук разделянето на случаи се определя от знака на израза x – 3. За x – 3 ³ 0 имаме 3x – 9 + x = –1 Û x = 2. Но 2 – 3 0.

Отговор: Уравнението няма корени.

Пример 4Решете уравнението |x – 1| = 1 – x.

Решение. Тъй като 1 - x \u003d - (x - 1), от дефиницията на модула следва директно, че тези и само тези x, за които x - 1 0, удовлетворяват уравнението. Това уравнение е сведено до неравенство и отговорът е цял интервал (лъч).

Отговор: x 1.

1.2. Решаване на уравнения с модул чрез системи.

Анализираните по-рано примери ни позволяват да формулираме правилата за освобождаване от знака на модула в уравненията. За уравнения от вида |f(x)| = g(x) има две такива правила:

1-во правило: |f(x)| = g(x) w (1)
2-ро правило: |f(x)| = g(x) Û (2)

Нека обясним използваната тук нотация. Къдравите скоби означават системи, а квадратните скоби означават колекции.

Решенията на система от уравнения са стойностите на променлива, които едновременно удовлетворяват всички уравнения на системата.

Решенията на набора от уравнения са всички стойности на променливата, всяка от които е корен на поне едно от уравненията на набора.

Две уравнения са еквивалентни, ако всяко решение на всяко от тях е решение и на другото, с други думи, ако множествата от техните решения са еднакви.

Ако уравнението съдържа няколко модула, тогава можете да се отървете от тях на свой ред, като използвате горните правила. Но обикновено има преки пътища. Ще се запознаем с тях по-късно, но сега ще разгледаме решението на най-простото от тези уравнения:

|f(x)| = |g(x)| Û

Тази еквивалентност следва от очевидния факт, че ако модулите на две числа са равни, то самите числа са или равни, или противоположни.

Пример 1. Решете уравнението |x 2 – 7x + 11| = x + 1.
Решение. Нека се отървем от модула по два начина, описани по-горе:

1 начин: 2 начин:

Както можете да видите, и в двата случая е необходимо да се решат същите две квадратни уравнения, но в първия случай те са придружени от квадратни неравенства, а във втория - линеен. Следователно вторият метод за това уравнение е по-прост. Решавайки квадратни уравнения, намираме корените на първото , и двата корена отговарят на неравенството . Дискриминантът на второто уравнение е отрицателен, следователно уравнението няма корени.

Отговор: .
Пример 2. Решете уравнението |x 2 – x – 6| = |2x2 + x – 1|.

Решение. Вече знаем, че не е необходимо да се разглеждат (до 4) варианти на разпределението на знаците на изрази по модули: това уравнение е еквивалентно на набор от две квадратни уравнения без никакви допълнителни неравенства: Което е еквивалентно на: Първото уравнението няма набор от решения (дискриминантът му е отрицателен), второто уравнение има два корена.

1.3. Задачи с множество модули. Методи за решаване.

Последователно разширяване на модулите.

Има два основни подхода за решаване на уравнения и неравенства, съдържащи няколко модула. Можете да ги наречете "сериен" и "паралелен". Сега нека се запознаем с първия от тях.

Идеята му е, че първо един от модулите се изолира в една част от уравнението (или неравенството) и се разкрива чрез един от методите, описани по-рано. След това същото нещо се повтаря с всяко от получените уравнения с модули и така нататък, докато се отървем от всички модули.

Пример1.Решете уравнението: +

Решение. Изолираме втория модул и го отваряме с помощта на първия метод, тоест просто чрез определяне на абсолютната стойност:

Прилагаме втория метод за освобождаване от модула към получените две уравнения:

Накрая решаваме получената четворка линейни уравненияи изберете онези корени, които отговарят на съответните неравенства. В резултат на това остават само две стойности: x = –1 и .

Отговор: -1; .

Паралелно разширяване на модули.

Можете да премахнете всички модули наведнъж в уравнение или неравенство и да напишете всички възможни комбинации от знаци на подмодулни изрази. Ако в уравнението има n модула, тогава ще има 2 n варианта, тъй като всеки от n израза под модула при премахване на модула може да получи един от два знака - плюс или минус. По принцип трябва да решим всичките 2 n уравнения (или неравенства), освободени от модули. Но техните решения също ще бъдат решения на първоначалната задача само ако лежат в области, където съответното уравнение (неравенство) съвпада с първоначалното. Тези зони се определят от изразни знаци под модули. Вече решихме следното неравенство, така че можете да сравните различни подходи към решението.

Пример 2.+
Решение.

Нека разгледаме 4 възможни набора символи от изрази под модули.

Само първият и третият от тези корени удовлетворяват съответните неравенства, а оттам и първоначалното уравнение.

Отговор: -1; .

По същия начин можете да разрешите всякакви проблеми с няколко модула. Но като всички универсален метод, това решение не винаги е оптимално. По-долу ще видим как може да се подобри.

1.4. Методът на интервалите в задачи с модули

Погледнете по-внимателно условията различни вариантиразпределение на знаците на подмодулни изрази в предишното решение, ще видим, че един от тях, 1 - 3x

Представете си, че решаваме уравнение, което има три модула от линейни изрази; например |x – a| + |x – b| + |x – c| = m.

Първият модул е ​​x - a за x ³ a и a - x за x b и x

Те образуват четири празнини. На всеки от тях всеки от изразите под модулите запазва знака си, следователно уравнението като цяло, след разширяване на модулите, има еднакъв вид на всеки интервал. И така, от 8 теоретично възможни варианта за отваряне на модули, само 4 се оказаха достатъчни за нас!

Можете също така да решите всеки проблем с няколко модула. А именно, числовата ос се разделя на интервали с постоянен знак на всички изрази по модулите, след което върху всеки от тях се решава уравнението или неравенството, в което се превръща дадената задача на този интервал. По-специално, ако всички изрази под модули са рационални, тогава е достатъчно да се отбележат техните корени върху оста, както и точките, в които те не са дефинирани, тоест корените на техните знаменатели. Маркирани точки и зададени необходимите интервали на постоянство на знака. По същия начин действаме, когато решаваме рационални неравенства по метода на интервалите. И методът, който описахме за решаване на проблеми с модули, има същото име.

Пример 1. Решете уравнението.

Решение. Намерете нулите на функцията , откъдето . Решаваме проблема на всеки интервал:

Така че това уравнение няма решения.

Пример 2. Решете уравнението.

Решение. Намерете нулите на функцията. Решаваме проблема на всеки интервал:

1) (няма решения);

Пример 3. Решете уравнението.

Решение. Изразите под знака за абсолютна стойност изчезват при . Съответно трябва да разгледаме три случая:

2) - коренът на уравнението;

3) е коренът на това уравнение.

Глава 2. Уравнения и неравенства, съдържащи модули.

2.1 Решения на уравнения с няколко модула по метода на интервалите.

Пример 1

Решете уравнението:

|x+2| = |x-1|+x-3

-(x+2) = -(x-1) + x-3

X-2=-x+1+x-3

x=2 - не удовлетворява

условие x

няма решения

2. Ако -2≤x

x+2 = -(x-1)+x-3

удовлетворява

състояние -2

3. Ако x≥1, тогава

Отговор: x=6

Пример 2

Решете уравнението:

1) Намерете нули на подмодулни изрази

Нулите на подмодулните изрази разделят числената ос на няколко интервала. Подредете знаците на подмодулните изрази на тези интервали.

На всеки интервал отваряме модулите и решаваме полученото уравнение. След като намерим корена, проверяваме дали той принадлежи към интервала, върху който работим в момента.

1. :

- пасва.

2. :

- не пасва.

3. :

– пасва.

4. :

- не пасва. Отговор:

2.2 Решаване на неравенства с множество модули по интервалния метод.

Пример 1

Решете неравенството:

|x-1| + |x-3| четири

-(x-1) - (x-3) 4

2. Ако 1≤x

x-1– (x-3) 4

24 е грешно

няма решения

3. Ако x≥3, тогава

Отговор: xЄ (-∞; 0) U (4; + ∞)

Пример 2

Нека решим неравенството

Решение. Точките и (корените на изразите под модула) разделят цялата числова ос на три интервала, на всеки от които трябва да се разгънат модулите.

1) Когато е изпълнено и неравенството има формата , т.е. В този случай отговорът е.

2) Когато , неравенството има формата , т.е. Това неравенство е вярно за всякакви стойности на променливата и като се има предвид, че го решаваме на множеството, получаваме отговора във втория случай.

3) Когато , неравенството се трансформира в , а решението в този случай е . Общо решениенеравенства --- асоциацияполучени три отговора.

По този начин, за решаване на уравнения и неравенства, съдържащи няколко модула, е удобно да се използва методът на интервалите. За да направите това, трябва да намерите нулите на всички подмодулни функции, да ги обозначите в DDE на уравнения и неравенства.

Заключение

AT последно времев математиката методите се използват широко за опростяване на решаването на проблеми, по-специално методът на интервалите, който позволява значително да се ускорят изчисленията. Ето защо е актуално изучаването на интервалния метод за решаване на уравнения и неравенства с няколко модула.

В процеса на работа по темата „Решаване на уравнения и неравенства, съдържащи неизвестното под знака на модула по интервалния метод“, аз: проучих литературата по този въпрос, запознах се с алгебричния и графичен подход за решаване на уравнения и неравенства, съдържащи неизвестен под знака за модул и стигна до заключението:

В някои случаи при решаване на уравнения с модул е ​​възможно да се решават уравнения по правилата, а понякога е по-удобно да се използва методът на интервала.

При решаване на уравнения и неравенства, съдържащи модул, интервалният метод е по-нагледен и относително по-прост.

В хода на писане изследователска работаРазкрих много проблеми, които могат да бъдат решени с помощта на интервалния метод. Най-важната задача е да се решават уравнения и неравенства с множество модули.

В хода на работата ми по решаване на неравенства и уравнения с няколко модула по интервалния метод установих, че скоростта на решаване на задачи се удвоява. Това ви позволява значително да ускорите работния процес и да намалите разходите за време. Така моята хипотеза „ако използвате интервалния метод за решаване на неравенства и уравнения с няколко модула, можете значително да улесните работата си“ се потвърди. В процеса на работа по изследването натрупах опит в решаването на уравнения и неравенства с няколко модула. Смятам, че получените знания ще ми позволят да избегна грешки при решаването.

Литература

http://padabum.com

1. http://yukhym.com

   http://www.tutoronline.ru

   http://fizmat.by

   http://diffur.kemsu.ru

   http://solverbook.com

   Зеленски A.S., Панфилов. Решаване на уравнения и неравенства с I.I. М .: Издателска къща Факториал, 2009.- 112 с.

   Олехник С.Н. Потапов М. К. Уравнения и неравенства. Нестандартни методи за решаване. М .: Издателство Факториал, 1997. - 219с.

   Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. Уравнения и неравенства с модули и методи за тяхното решаване. М .: Издателство на Просвещението 2005. - 112 с.

   Садовничий Ю.В. ИЗПОЛЗВАНЕ. Практикум по математика. Решение на уравнения и неравенства. Преобразуване на алгебрични изрази. Москва: Издателство Легион 2015 г. - 128 с.

   Шевкин А. В. Квадратни неравенства. интервален метод. М.: LLC " Руска дума– учебна книга”, 2003. – 32 с.

Има няколко начина за решаване на неравенства, съдържащи модул. Нека разгледаме някои от тях.

1) Решаване на неравенството с помощта на геометричното свойство на модула.

Нека ви напомня какво е геометрично свойствомодул: модулът на x е разстоянието от началото до x-координатата.

В хода на решаването на неравенства по този начин могат да възникнат 2 случая:

1. |x| ≤ b,

И неравенството с модул очевидно се свежда до система от две неравенства. Тук знакът може да бъде строг, в който случай точките в картината ще бъдат „избити“.

2. |x| ≥ b,тогава картината на решението изглежда така:

И неравенството с модула очевидно се свежда до набор от две неравенства. Тук знакът може да бъде строг, в който случай точките в картината ще бъдат „избити“.

Пример 1

Решете неравенството |4 – |x|| ≥ 3.

Решение.

Това неравенство е еквивалентно на следното множество:

U [-1;1] U

Пример 2

Решете неравенството ||x+2| – 3| ≤ 2.

Решение.

Това неравенство е еквивалентно на следната система.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

Решаваме отделно първото неравенство на системата. Той е еквивалентен на следния набор:

U[-1; 3].

2) Решаване на неравенства чрез дефиницията на модула.

Нека ви напомня да започнете модулна дефиниция.

|а| = a ако a ≥ 0 и |a| = -a ако a< 0.

Например |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

Пример 1

Решете неравенството 3|x – 1| ≤ х + 3.

Решение.

Използвайки дефиницията на модула, получаваме две системи:

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3(x - 1) ≤ x + 3.

Решавайки първата и втората система поотделно, получаваме:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(х< 1
(x ≥ 0.

Решението на първоначалното неравенство ще бъде всички решения на първата система и всички решения на втората система.

Отговор: x€.

3) Решаване на неравенства чрез повдигане на квадрат.

Пример 1

Решете неравенството |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

Решение.

Нека повдигнем на квадрат двете страни на неравенството. Отбелязвам, че повдигането на квадрат на двете страни на неравенството е възможно само ако и двете са положителни. В този случай имаме модули и отляво, и отдясно, така че можем да направим това.

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Сега нека използваме следното свойство на модула: (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2)(2x 2 - x)< 0,

x(x - 2)(2x - 1)< 0.

Решаваме по интервалния метод.

Отговор: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Решаване на неравенства по метода на замяната на променливите.

Пример.

Решете неравенството (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Решение.

Забележете, че (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Тогава получаваме неравенството

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Нека направим промяната y = |2x + 3|.

Нека пренапишем нашето неравенство, като вземем предвид замяната.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

Разлагаме на множители квадратния тричлен отляво.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 - 11) / 2,

(y - 6)(y + 5) ≤ 0.

Решаваме по интервалния метод и получаваме:

Обратно към замяната:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

Това двойно неравенство е еквивалентно на системата от неравенства:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

Решаваме всяко от неравенствата поотделно.

Първият е еквивалентен на системата

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Нека го решим.

(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.

Второто неравенство очевидно е в сила за всички x, тъй като модулът по дефиниция е положително число. Тъй като решението на системата е всички x, които едновременно удовлетворяват първото и второто неравенство на системата, тогава решението на оригиналната система ще бъде решението на нейното първо двойно неравенство (в края на краищата второто е вярно за всички x).

Отговор: x € [-4,5; 1.5].

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

Методите (правилата) за разкриване на неравенства с модули се състоят в последователно разкриване на модули, като се използват интервали с постоянен знак на подмодулни функции. В окончателния вариант се получават няколко неравенства, от които се намират интервали или пропуски, които удовлетворяват условието на задачата.

Да преминем към решаване на често срещани в практиката примери.

Линейни неравенства с модули

Под линейни имаме предвид уравнения, в които променливата влиза в уравнението линейно.

Пример 1. Намерете решение на неравенство

Решение:
От условието на задачата следва, че модулите се превръщат в нула при x=-1 и x=-2. Тези точки разделят цифровата ос на интервали

Във всеки от тези интервали решаваме даденото неравенство. За да направим това, първо изготвяме графични чертежи на областите с постоянен знак на субмодулни функции. Те са изобразени като области със знаци на всяка от функциите.

или интервали със знаци на всички функции.

На първия интервал отворете модулите

Умножаваме двете части по минус едно, докато знакът в неравенството ще се промени на противоположния. Ако ви е трудно да свикнете с това правило, тогава можете да преместите всяка от частите отвъд знака, за да се отървете от минуса. В крайна сметка ще получите

Пресечната точка на множеството x>-3 с площта, върху която са решени уравненията, ще бъде интервалът (-3;-2) . За тези, на които им е по-лесно да търсят решения графично, можете да начертаете пресечната точка на тези области

Общото пресичане на области ще бъде решението. При строги неравности ръбовете не се включват. Ако не е строго, се проверява чрез заместване.

На втория интервал получаваме

Разделът ще бъде интервалът (-2; -5/3). Графично решението ще изглежда така

На третия интервал получаваме

Това условие не дава решения на необходимата площ.

Тъй като двете намерени решения (-3;-2) и (-2;-5/3) граничат с точката x=-2, проверяваме и нея.

Така точката x=-2 е решението. Общото решение с това предвид ще изглежда като (-3;5/3).

Пример 2. Намерете решение на неравенството
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Решение:
Нулите на подмодулните функции ще бъдат точките x=2, x=3, x=4 . Когато стойностите на аргументите са по-малки от тези точки, функциите на подмодула са отрицателни, а когато стойностите са големи, те са положителни.

Точките разделят реалната ос на четири интервала. Отваряме модулите според интервалите на постоянство на знака и решаваме неравенствата.

1) На първия интервал всички подмодулни функции са отрицателни, следователно, когато разширяваме модулите, променяме знака на противоположния.

Пресечната точка на намерените x стойности с разглеждания интервал ще бъде набор от точки

2) В интервала между точките x=2 и x=3 първата подмодулна функция е положителна, втората и третата са отрицателни. Разширявайки модулите, получаваме

неравенство, което при пресичане с интервала, на който решаваме, дава едно решение - x=3.

3) В интервала между точките x=3 и x=4 първата и втората подмодулни функции са положителни, а третата е отрицателна. Въз основа на това получаваме

Това условие показва, че целият интервал ще удовлетворява неравенството с модули.

4) За стойности x>4 всички функции са положителни по знак. При разширяване на модули не променяме знака им.

Намереното условие в пресечната точка с интервала дава следния набор от решения

Тъй като неравенството е решено на всички интервали, остава да се намери общата стойност на всички намерени x стойности. Решението е два интервала

Този пример е решен.

Пример 3. Намерете решение на неравенството
||x-1|-5|>3-2x

Решение:
Имаме неравенство с модул от модул. Такива неравенства се разкриват, когато модулите са вложени, като се започне с тези, които са поставени по-дълбоко.

Подмодулната функция x-1 се преобразува в нула в точката x=1. За по-малки стойности над 1 той е отрицателен и положителен за x>1. Въз основа на това отваряме вътрешния модул и разглеждаме неравенството на всеки от интервалите.

Първо разгледайте интервала от минус безкрайност до едно

Подмодулната функция е нула в точката x=-4 . За по-малки стойности е положителен, за по-големи е отрицателен. Разширете модула за x<-4:

В пресечната точка с областта, върху която разглеждаме, получаваме набор от решения

Следващата стъпка е да разширите модула на интервала (-4; 1)

Като вземем предвид зоната на разширение на модула, получаваме интервала на решенията

ЗАПОМНЕТЕ: ако получите два интервала в такива неравности с модули, граничещи с обща точка, тогава, като правило, това също е решение.

За да направите това, просто трябва да проверите.

В този случай заместваме точката x=-4.

Така че x=-4 е решението.
Разширете вътрешния модул за x>1

Подмодулната функция е отрицателна за x<6.
Разширявайки модула, получаваме

Това условие в участъка с интервала (1;6) дава празно множество от решения.

За x>6 получаваме неравенството

Освен това при решаването получихме празен набор.
Като се има предвид всичко по-горе, единственото решениенеравенства с модули ще бъде следващият интервал.

Неравенства с модули, съдържащи квадратни уравнения

Пример 4. Намерете решение на неравенството
|x^2+3x|>=2-x^2

Решение:
Подмодулната функция се нулира в точките x=0, x=-3. Чрез просто заместване минус едно

задаваме, че е по-малко от нула в интервала (-3; 0) и положително отвъд него.
Разширете модула в области, където функцията на подмодула е положителна

Остава да се определят районите, където квадратна функцияположителен. За да направите това, ние определяме корените квадратно уравнение

За удобство заместваме точката x=0, която принадлежи на интервала (-2;1/2). Функцията е отрицателна в този интервал, така че решението ще бъде следните множества x

Тук скобите показват краищата на зоните с разтвори; това е направено съзнателно, като се вземе предвид следното правило.

ЗАПОМНЕТЕ: Ако неравенството с модули или просто неравенство е строго, тогава ръбовете на намерените области не са решения, но ако неравенствата не са строги (), тогава ръбовете са решения (обозначени с квадратни скоби).

Това правило се използва от много учители: ако е дадено строго неравенство и вие напишете квадратна скоба ([,]) в решението по време на изчисленията, те автоматично ще считат това за неправилен отговор. Също така, при тестване, ако е посочено нестрого неравенство с модули, тогава сред решенията потърсете области с квадратни скоби.

На интервала (-3; 0), разширявайки модула, променяме знака на функцията на противоположния

Като се вземе предвид обхватът на разкриването на неравенството, решението ще има формата

Заедно с предишната област това ще даде два полуинтервала

Пример 5. Намерете решение на неравенството
9x^2-|x-3|>=9x-2

Решение:
Дадено е нестрого неравенство, чиято подмодулна функция е равна на нула в точката x=3. При по-малки стойности е отрицателен, при по-големи е положителен. Развиваме модула на интервала x<3.

Намиране на дискриминанта на уравнението

и корени

Замествайки нулевата точка, откриваме, че на интервала [-1/9; 1] квадратичната функция е отрицателна, следователно интервалът е решение. След това отворете модула за x>3

как повече хораразбира, толкова по-силно е желанието за разбиране

Тома Аквински

Интервалният метод ви позволява да решавате всякакви уравнения, съдържащи модула. Същността на този метод е да се раздели числовата ос на няколко секции (интервали), като е необходимо да се раздели оста с нулите на изразите в модулите. След това във всяка от получените секции всеки израз на подмодул е ​​положителен или отрицателен. Следователно всеки от модулите може да бъде разширен или със знак минус, или със знак плюс. След тези действия остава само да се реши всяко от получените прости уравненияна разглеждания интервал и комбинирайте получените отговори.

Обмисли този методна конкретен пример.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x - 6.

1) Намерете нулите на изразите в модулите. За да направим това, ние ги приравняваме към нула и решаваме получените уравнения.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) Подредете получените точки в желания ред върху координатната права. Те ще разделят цялата ос на четири секции.

3) Да определим върху всеки от получените участъци знаците на изразите в модулите. За да направите това, ние заместваме в тях произволни числа от интервалите, които ни интересуват. Ако резултатът от изчислението е положително число, тогава поставяме "+" в таблицата, а ако числото е отрицателно, тогава поставяме "-". Това може да се изобрази така:

4) Сега ще решим уравнението на всеки от четирите интервала, отваряйки модулите със знаците, които са в таблицата. Така че, помислете за първия интервал:

I интервал (-∞; -3). На него всички модули се отварят със знак "-". Получаваме следното уравнение:

-(x + 1) - (2x - 4) - (-(x + 3)) \u003d 2x - 6. Представяме подобни термини, като преди това отворихме скобите в полученото уравнение:

X - 1 - 2x + 4 + x + 3 = 2x - 6

Полученият отговор не влиза в разглеждания интервал, поради което не е необходимо да го записвате в крайния отговор.

II интервал [-3; -един). На този интервал в таблицата има знаци "-", "-", "+". Ето как разкриваме модулите на оригиналното уравнение:

-(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. Опростете, като разгънете скобите:

X - 1 - 2x + 4 - x - 3 \u003d 2x - 6. Представяме в полученото уравнение следното:

х = 6/5. Полученото число не принадлежи на разглеждания интервал, така че не е коренът на първоначалното уравнение.

III интервал [-1; 2). Отваряме модулите на оригиналното уравнение със знаците, които са на фигурата в третата колона. Получаваме:

(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. Отървете се от скобите, преместете членовете, съдържащи променливата x, в лявата страна на уравнението и несъдържащите x в дясната . Ще има:

x + 1 - 2x + 4 - x - 3 = 2x - 6

Числото 2 не е включено в разглеждания интервал.

IV интервал)