Производствена функция и избор на оптимален производствен размер. Резюме: Производствена функция, свойства, еластичност

Всяка компания, която се заема с производството на определен продукт, се стреми да постигне максимална печалба. Проблемите, свързани с производството на продукти, могат да бъдат разделени на три нива:

1. Предприемачът може да се изправи пред въпроса как да произведе определено количество продукти в конкретно предприятие. Тези проблеми се отнасят до проблемите на краткосрочното минимизиране на производствените разходи;
2. предприемачът може да вземе решение за производството на оптималното, т.е. доставяне на голямо количество продукти в определено предприятие. Тези въпроси са за дългосрочно максимизиране на печалбата;
3. предприемачът може да се изправи пред намирането на най-оптималния размер на предприятието. Подобни въпроси се отнасят до дългосрочното максимизиране на печалбата.

Можете да намерите оптималното решение въз основа на анализ на връзката между разходите и обема на производството (продукция). В крайна сметка печалбата се определя от разликата между приходите от продажбата на продуктите и всички разходи. И приходите, и разходите зависят от обема на производството. Икономическата теория използва производствената функция като инструмент за анализ на тази зависимост.

производствена функцияопределя максималната продукция за всяко дадено количество ресурси. Тази функция описва връзката между входа и изхода на ресурса, като ви позволява да определите максималния възможен изход за всяко дадено количество ресурси или минималното възможно количество ресурси за осигуряване на даден изход. Производствената функция обобщава само технологично ефективни методи за комбиниране на ресурси за осигуряване на максимална продукция. Всяко подобрение на производствената технология, което допринася за повишаване на производителността на труда, води до нова производствена функция.

ПРОИЗВОДСТВЕНА ФУНКЦИЯ - функция, която показва връзката между максималния обем на произведения продукт и физическия обем на производствените фактори при дадено нивотехнически познания.

Тъй като обемът на производството зависи от обема на използваните ресурси, връзката между тях може да се изрази със следната функционална нотация:

Q = f(L,K,M),

където Q е максималният обем продукти, произведени по дадена технология и определени производствени фактори;
L - труд; К - капитал; М - материали; f е функция.

Производствената функция с тази технология има свойства, които определят връзката между обема на производството и броя на използваните фактори. За различните видове производство обаче производствените функции са различни? всички те имат общи свойства. Могат да се разграничат две основни свойства.

1. Има лимит на растежа на производството, който може да бъде постигнат чрез увеличаване на цената на един ресурс при равни други условия. И така, във фирма с фиксиран брой машини и производствени мощности има ограничение за нарастване на производството чрез увеличаване на допълнителни работници, тъй като тя няма да бъде снабдена с машини за работа.
2. Съществува известно допълване (пълнота) на производствените фактори, но без намаляване на обема на продукцията е вероятна и известна взаимозаменяемост на тези производствени фактори. По този начин различни комбинации от ресурси могат да бъдат използвани за производството на стока; възможно е да се произвежда тази стока, като се използва по-малко капитал и повече труд, и обратното. В първия случай производството се счита за технически ефективно в сравнение с втория случай. Въпреки това има ограничение за това колко труд може да бъде заменен с повече капитал, без да се намалява производството. От друга страна, има ограничение за използването на ръчен труд без използването на машини.

В графичен вид всеки вид производство може да бъде представен с точка, чиито координати характеризират минималните ресурси, необходими за производството на даден обем продукция, а производствената функция може да бъде представена с изоквантна линия.

След като разгледахме производствената функция на фирмата, нека преминем към характеризирането на следните три важни понятия: общ (кумулативен), среден и пределен продукт.

Ориз. а) Крива на общия продукт (TR); б) крива на средния продукт (AP) и пределния продукт (MP)

На фиг. показана е кривата на общия продукт (TP), която варира в зависимост от стойността на променливия фактор X. На кривата на TP са отбелязани три точки: B е инфлексната точка, C е точката, която принадлежи на допирателната, съвпадаща с линията, свързваща дадена точкас началото, D е точката на максималната стойност на TP. Точка А се движи по кривата TP. Свързвайки точка A с началото, получаваме правата OA. Пускайки перпендикуляра от точка А към абсцисната ос, получаваме триъгълника OAM, където tg a е отношението на страната AM към OM, т.е. изразът за средния продукт (AP).

Прокарвайки допирателна през точка А, получаваме ъгъла P, чиято допирателна ще изрази пределния продукт MP. Сравнявайки триъгълниците LAM и OAM, откриваме, че до определена точка допирателната P е по-голяма от tg a. По този начин пределният продукт (MP) е по-голям от средния продукт (AP). В случай, че точка А съвпада с точка В, допирателната P придобива максимална стойност и следователно пределният продукт (MP) достига най-голям обем. Ако точка А съвпада с точка С, тогава стойността на средния и пределния продукт са равни. Пределният продукт (MP), достигнал максималната си стойност в точка B (фиг. 22, b), започва да намалява и в точка C се пресича с графиката на средния продукт (AP), който в тази точка достига своя максимум стойност. Тогава и границата, и среден продуктнамаляват, но пределният продукт намалява с по-бързи темпове. В точката на максималния общ продукт (TP), пределният продукт MP = 0.

Виждаме, че най-ефективната промяна в променливия фактор X се наблюдава в сегмента от точка B до точка C. Тук пределният продукт (MP), достигнал максималната си стойност, започва да намалява, средният продукт (AR) все още нараства, общият продукт (TR) получава най-голям ръст.

По този начин производствената функция е функция, която ви позволява да определите максималната възможна продукция за различни комбинации и количества ресурси.

В производствената теория традиционно се използва двуфакторна производствена функция, при която обемът на производството е функция на използването на трудови и капиталови ресурси:

Q = f(L, K).

Може да се представи като графика или крива. В теорията за поведението на производителите при определени предположения съществува уникална комбинация от ресурси, която минимизира разходите за ресурси за даден обем производство.

Изчисляването на производствената функция на фирмата е търсене на оптимума, сред много варианти, включващи различни комбинации от производствени фактори, този, който дава максималната възможна продукция. В лицето на нарастващите цени и парични разходи, фирмата, т.е. разходите за придобиване на производствени фактори, изчисляването на производствената функция е фокусирано върху намирането на такъв вариант, който би увеличил максимално печалбите при най-ниски разходи.

Изчисляването на производствената функция на фирмата, стремейки се да постигне равновесие между пределните разходи и пределните приходи, ще се съсредоточи върху намирането на такъв вариант, който ще осигури необходимата продукция при минимални производствени разходи. Минималните разходи се определят на етапа на изчисляване на производствената функция чрез метода на заместване, изместването на скъпи или по-скъпи производствени фактори с алтернативни, по-евтини. Заместването се извършва с помощта на сравнение икономически анализвзаимозаменяеми и допълващи се производствени фактори по техните пазарни цени. Задоволителен вариант би бил този, при който комбинацията от производствени фактори и даден обем на продукцията отговарят на критерия за най-ниски производствени разходи.

Има няколко вида производствена функция. Основните са:

1. Нелинейни PF;
2. Линеен PF;
3. Мултипликативен PF;
4. PF "вход-изход".

Производствена функция и избор на оптимален производствен размер

Производствената функция е връзката между набор от производствени фактори и максимално възможното количество продукт, произведен от този набор от фактори.

Производствената функция винаги е конкретна, т.е. предназначени за тази технология. Нова технологияе нова функция за продуктивност.

Производствената функция определя минималното количество вложени ресурси, необходими за производството на дадено количество продукт.

Производствените функции, независимо какъв вид производство изразяват, имат следните общи свойства:

1. Увеличаването на производството поради увеличаване на разходите само за един ресурс има лимит (не можете да наемете много работници в една стая - не всички ще имат места).
2. Производствените фактори могат да бъдат допълващи (работници и инструменти) и взаимозаменяеми (автоматизация на производството).

В най-много общ изгледПроизводствената функция изглежда така:

Q = f(K,L,M,T,N),

където L е обемът на продукцията;
К - капитал (оборудване);
M - суровини, материали;
Т - технология;
N - предприемачески способности.

Най-простият е двуфакторният модел на производствената функция на Коб-Дъглас, който разкрива връзката между труд (L) и капитал (K). Тези фактори са взаимозаменяеми и допълващи се.

Q = AK α * L β,

където А е производствен коефициент, показващ пропорционалността на всички функции и промени при промяна на основната технология (след 30-40 години);
К, Л - капитал и труд;
α, β са коефициентите на еластичност на обема на производството по отношение на разходите за капитал и труд.

Ако = 0,25, тогава 1% увеличение на капиталовите разходи увеличава продукцията с 0,25%.

Въз основа на анализа на коефициентите на еластичност в производствената функция на Коб-Дъглас можем да различим:

1. пропорционално нарастваща производствена функция, когато α + β = 1 (Q = K 0,5 * L 0,2).
2. непропорционално - нарастване α + β > 1 (Q = K 0,9 * L 0,8);
3. намаляване на α + β< 1 (Q = K 0,4 * L 0,2).

Оптималните размери на предприятията нямат абсолютен характер и следователно не могат да бъдат установени извън времето и извън местоположението, тъй като те са различни за различните периоди и икономически региони.

Оптималният размер на планираното предприятие трябва да осигурява минимум разходи или максимум печалба, изчислена по формулите:

Ts + S + Tp + K * En_ - минимум, P - максимум,

където Tc - разходите за доставка на суровини и материали;
C - производствени разходи, т.е. себестойност на продукцията;
Tp - разходите за доставка на готови продукти до потребителите;
К - капиталови разходи;
En е нормативният коефициент на полезно действие;
P е печалбата на предприятието.

С други думи, оптималният размер на предприятията се разбира като тези, които осигуряват изпълнението на задачите на плана за производство и растеж. производствен капацитетминус намалените разходи (като се вземат предвид капиталовите инвестиции в свързани отрасли) и максимално възможната национална икономическа ефективност.

Проблемът за оптимизиране на производството и съответно отговорът на въпроса какъв трябва да бъде оптималният размер на предприятието, с цялата му острота, се сблъска и с западни предприемачи, президенти на компании и фирми.

Онези, които не успяха да постигнат необходимия мащаб, се оказаха в незавидното положение на скъпи производители, обречени да съществуват на ръба на разрухата и в крайна сметка на фалита.

Днес обаче онези американски компании, които все още се стремят да се конкурират, спестявайки от концентрация, по-скоро печелят, отколкото губят. AT съвременни условиятози подход първоначално води до намаляване не само на гъвкавостта, но и на ефективността на производството.

Освен това предприемачите помнят, че малкият бизнес означава по-малко инвестиции и следователно по-малко финансов риск. Що се отнася до чисто управленската страна на проблема, американски изследователи отбелязват, че предприятията с повече от 500 служители стават зле управлявани, тромави и слабо реагиращи на възникващи проблеми.

Поради това редица американски компании през 60-те години преминаха към съкращаване на своите клонове и предприятия, за да намалят значително размера на първичните производствени връзки.

В допълнение към простата механична дезагрегация на предприятията, организаторите на производството извършват радикална реорганизация в предприятията, образувайки командни и бригадни орг. структури вместо линейно-функционални.

При определяне на оптималния размер на предприятието фирмите използват концепцията за минималния ефективен размер. Това е просто най-ниското ниво на производство, при което една фирма може да минимизира своите дългосрочни средни разходи.

Производствена функция и избор на оптимален производствен размер.

Производство е всяка човешка дейност за превръщане на ограничени ресурси - материални, трудови, природни - в готови продукти. Производствената функция характеризира връзката между количеството на използваните ресурси (фактори на производството) и максималната възможна продукция, която може да бъде постигната, при условие че всички налични ресурси се използват по най-рационалния начин.

Производствената функция има следните свойства:

1. Има ограничение за увеличаването на производството, което може да бъде достигнато чрез увеличаване на един ресурс и поддържане на други ресурси постоянни. Ако, например, количеството труд в селското стопанство се увеличи с постоянни количества капитал и земя, тогава рано или късно настъпва момент, когато производството спира да расте.
2. Ресурсите се допълват взаимно, но в определени граници е възможна и тяхната взаимозаменяемост без намаляване на продукцията. Ръчният труд, например, може да бъде заменен с използването на повече машини и обратно.
3. Колкото по-дълъг е периодът от време, толкова повече ресурси могат да бъдат прегледани. В това отношение има незабавни, кратки и дълги периоди. Моментален период - периодът, когато всички ресурси са фиксирани. Краткият период е периодът, когато поне, един ресурс е фиксиран. Дългият период е периодът, когато всички ресурси са променливи.

Обикновено в микроикономиката се анализира двуфакторна производствена функция, отразяваща зависимостта на продукцията (q) от количеството на използвания труд ( Л) и капитал ( К). Припомнете си, че капиталът се отнася до средствата за производство, т.е. броят на машините и оборудването, използвани в производството, измерен в машиночасове. От своя страна количеството труд се измерва в човекочасове.

По правило разглежданата производствена функция изглежда така:

q = AK α L β

A, α, β - зададени параметри. Параметър А е коефициентът на обща производителност на производствените фактори. Той отразява въздействието на технологичния прогрес върху производството: ако производителят въведе напреднали технологии, стойността на А се увеличава, т.е. продукцията се увеличава със същото количество труд и капитал. Параметрите α и β са коефициентите на еластичност на продукцията съответно по отношение на капитала и труда. С други думи, те показват процентното изменение на продукцията, когато капиталът (трудът) се промени с един процент. Тези коефициенти са положителни, но по-малки от единица. Последното означава, че с нарастването на труда с постоянен капитал (или капитала с постоянен труд) с един процент, производството се увеличава в по-малка степен.

Изграждане на изокванта

Горната производствена функция казва, че производителят може да замени труда с капитал и капитала с труд, оставяйки продукцията непроменена. Например в селското стопанство в развитите страни трудът е силно механизиран, т.е. има много машини (капитал) за един работник. Напротив, в развиващите се страни същата продукция се постига чрез голямо количество труд с малко капитал. Това ви позволява да изградите изокванта (фиг. 8.1).

Изоквантата (линията на равен продукт) отразява всички комбинации от два фактора на производство (труд и капитал), при които продукцията остава непроменена. На фиг. 8.1 до изоквантата е съответното издание. Да, освобождаване р 1, постижимо с помощта на L1труд и К1капитал или използване Л 2 труд и К 2 капитал.

Ориз. 8.1. изокванта

Възможни са и други комбинации от количествата труд и капитал, необходими за постигане на дадена продукция.

Всички комбинации от ресурси, съответстващи на тази изокванта, отразяват технически ефективни методи на производство. Производственият метод A е технически ефективен в сравнение с метод B, ако изисква използването на поне един ресурс в по-малко количество, а всички останали не в големи количества в сравнение с метод B. Съответно метод B е технически неефективен в сравнение с A. Технически неефективните начини на производство не се използват от рационалните предприемачи и не принадлежат към производствената функция.

От горното следва, че една изокванта не може да има положителен наклон, както е показано на фиг. 8.2.

Сегментът, маркиран с пунктирана линия, отразява всички технически неефективни методи на производство. По-специално, в сравнение с метод A, метод B за осигуряване на същия резултат ( р 1) изисква същото количество капитал, но повече труд. Следователно е очевидно, че пътят B не е рационален и не може да бъде взет предвид.

Въз основа на изоквантата е възможно да се определи пределната норма на техническа замяна.

Пределната скорост на техническо заместване на фактор Y с фактор X (MRTS XY) е количеството на фактора Y(например капитал), който може да бъде изоставен чрез увеличаване на фактора х(например труд) с 1 единица, така че продукцията да не се променя (оставаме на същата изокванта).

Ориз. 8.2. Технически ефективно и неефективно производство

Следователно пределната норма на техническо заместване на капитала с труд се изчислява по формулата
За безкрайно малки промени в L и K е така
По този начин пределната норма на техническа замяна е производната на функцията на изоквантата в дадена точка. Геометрично това е наклонът на изоквантата (фиг. 8.3).

Ориз. 8.3. Пределна норма на техническа замяна

Когато се движите отгоре надолу по изоквантата, пределната скорост на техническо заместване намалява през цялото време, както се вижда от намаляващия наклон на изоквантата.

Ако производителят увеличи както труда, така и капитала, тогава това му позволява да постигне по-висока продукция, т.е. преминете към по-висока изокванта (q2). Изокванта, разположена вдясно и над предишната, съответства на по-голям изход. Наборът от изокванти образува изоквантна карта (фиг. 8.4).

Ориз. 8.4. Изоквантна карта

Специални случаи на изокванти

Спомнете си, че дадените изокванти съответстват на производствена функция на формата q = AK α L β. Но има и други производствени функции. Нека разгледаме случая, когато има идеална замяна на производствените фактори. Да приемем например, че в складовата работа могат да се използват квалифицирани и неквалифицирани товарачи и производителността на квалифициран товарач е N пъти по-висока от тази на неквалифициран. Това означава, че можем да заменим произволен брой квалифицирани хамали с неквалифицирани в съотношение N към едно. Обратно, можете да замените N неквалифицирани товарачи с един квалифициран.

Тогава производствената функция изглежда така: q = брадва + от, където х- броят на квалифицираните работници, г- броя на неквалифицираните работници, аи b- постоянни параметри, отразяващи производителността съответно на един квалифициран и един неквалифициран работник. Съотношението на коефициентите a и b е пределната норма на техническа замяна на неквалифицирани хамали с квалифицирани. Тя е постоянна и равна на N: MRTSxy=a/b=N.

Нека например един квалифициран товарач може да обработва 3 тона товар за единица време (това ще бъде коефициентът a в производствената функция), а неквалифициран - само 1 тон (коефициент b). Това означава, че работодателят може да откаже трима неквалифицирани товарачи, като наеме допълнително един квалифициран товарач, така че производителността (общото тегло на претоварения товар) да остане същата.

Изоквантата в този случай е линейна (фиг. 8.5).

Ориз. 8.5. Изокванта при перфектно заместване на фактори

Тангенсът на наклона на изоквантата е равен на пределната норма на техническа замяна на неквалифицирани хамали с квалифицирани.

Друга производствена функция е функцията на Леонтиев. Той предполага твърдо допълване на производствените фактори. Това означава, че факторите могат да се използват само в строго определено съотношение, чието нарушаване е технологично невъзможно. Например въздушен полет обикновено може да се изпълнява с поне един самолет и петима членове на екипажа. В същото време е невъзможно да се увеличат самолетните часове (капитал), като същевременно се намалят човекочасовете (труд) и обратно, и да се запази продукцията непроменена. Изоквантите в този случай имат формата на прави ъгли, т.е. пределните норми на техническа замяна са нула (фиг. 8.6). В същото време е възможно да се увеличи продукцията (броят полети) чрез увеличаване както на труда, така и на капитала в същата пропорция. Графично това означава преминаване към по-висока изокванта.

Ориз. 8.6. Изокванти в случай на твърда комплементарност на производствените фактори

Аналитично, такава производствена функция има формата: q = min (aK; bL), където a и b са постоянни коефициентиотразяващи съответно производителността на капитала и труда. Съотношението на тези коефициенти определя пропорцията на използване на капитала и труда.

В нашия пример за полет производствената функция изглежда така: q = min(1K; 0.2L). Факт е, че производителността на капитала тук е един полет за един самолет, а производителността на труда е един полет за пет души, или 0,2 полета за един човек. Ако една авиокомпания има флот от 10 самолета и 40 души летателен персонал, тогава максималната производителност ще бъде: q = min( 1 x 8; 0,2 x 40) = 8 полета. В същото време два самолета ще бездействат на земята поради липса на персонал.

Нека накрая разгледаме производствената функция, която предполага съществуването на ограничен брой производствени технологии за производството на дадено количество продукция. Всеки от тях отговаря на определено състояние на труда и капитала. В резултат на това имаме редица опорни точки в пространството „труд-капитал“, свързвайки които, получаваме прекъсната изокванта (фиг. 8.7).

Ориз. 8.7. Нарушени изокванти при наличие на ограничен брой производствени методи

Фигурата показва, че продукцията в обема q1 може да бъде получена с четири комбинации от труд и капитал, съответстващи на точки A, B, C и D. Възможни са и междинни комбинации, постижими в случаите, когато предприятието използва съвместно две технологии за получаване на определено общо освобождаване. Както винаги, чрез увеличаване на количеството труд и капитал, преминаваме към по-висока изокванта.

Производството не може да създава продукти от нищото. Производственият процес е свързан с потреблението на различни ресурси. Броят на ресурсите включва всичко, което е необходимо за производствената дейност - суровини, енергия, труд, оборудване и пространство.

За да се опише поведението на една фирма, е необходимо да се знае каква част от продукта може да произведе, използвайки ресурси в различни обеми. Ще изхождаме от предположението, че компанията произвежда хомогенен продукт, чието количество се измерва в натурални единици - тонове, парчета, метри и т.н. Зависимостта на количеството продукт, което една компания може да произведе от обема на разходите за ресурси се нарича производствена функция.

Но едно предприятие може да извършва производствения процес по различни начини, използвайки различни технологични методи, различни вариантиорганизация на производството, така че количеството продукт, получено при едно и също влагане на ресурси, може да бъде различно. Мениджърите на фирмите трябва да отхвърлят производствени опции, които дават по-нисък добив на продукта, ако при една и съща вложеност на всеки вид ресурс може да се получи по-голям добив. По същия начин те трябва да отхвърлят опции, които изискват повече влагане на поне един ресурс, без да увеличават добива на продукта и да намаляват цената на други ресурси. Вариантите, отхвърлени поради тези причини, се наричат ​​технически неефективни.

Да приемем, че вашата компания произвежда хладилници. За производството на кутията трябва да изрежете ламарина. В зависимост от това как е маркиран и изрязан стандартният железен лист, от него могат да бъдат изрязани повече или по-малко части; съответно за производството на определен брой хладилници ще са необходими по-малко или повече стандартни листове желязо.

В същото време потреблението на всички останали материали, труд, оборудване, електроенергия ще остане непроменено. Такава производствена опция, която може да бъде подобрена чрез по-рационално рязане на желязо, трябва да бъде призната за технически неефективна и отхвърлена.

Технически ефективни производствени опции са тези, които не могат да бъдат подобрени чрез увеличаване на производството на продукт без увеличаване на потреблението на ресурси или чрез намаляване на разходите за всеки ресурс без намаляване на продукцията и без увеличаване на разходите за други ресурси.

Производствената функция взема предвид само технически ефективни опции. Неговата стойност е максималното количество продукт, което предприятието може да произведе при определени обеми потребление на ресурси.

Разгледайте първо най-простия случай: едно предприятие произвежда един вид продукт и консумира един вид ресурс.

Пример за такова производство е доста трудно да се намери в действителност. Дори ако разгледаме предприятие, предоставящо услуги по домовете на клиентите без използването на каквото и да е оборудване и материали (масаж, обучение) и изразходвайки само труда на работниците, трябва да приемем, че работниците обикалят клиентите пеша (без да използват транспортни услуги ) и преговаряйте с клиенти без помощта на поща и телефон. И така, предприятието, изразходвайки ресурс в размер на x, може да произведе продукт в размер на q.

Производствена функция:

установява връзка между тези количества. Обърнете внимание, че тук, както и в други лекции, всички обемни количества са количества от типа на потока: обемът на разходите за ресурси се измерва с броя на единиците ресурс за единица време, а обемът на продукцията се измерва с броя на единици от продукта за единица време.

На фиг. 1 е показана графиката на производствената функция за разглеждания случай. Всички точки на графиката съответстват на технически ефективни опции, по-специално точки A и B. Точка C съответства на неефективна опция, а точка D на непостижима опция.

Ориз. един.

Производствената функция на формата (1), която установява зависимостта на обема на производството от обема на разходите за един ресурс, може да се използва не само за илюстративни цели. Също така е полезно, когато потреблението само на един ресурс може да се промени, а разходите за всички останали ресурси по една или друга причина трябва да се считат за фиксирани. В тези случаи интерес представлява зависимостта на обема на производството от разходите на един променлив фактор.

Много по-голямо разнообразие се появява, когато се разглежда производствена функция, която зависи от обемите на два консумирани ресурса:

q \u003d f (x 1, x 2) (2)

Анализът на такива функции улеснява преминаването към общия случай, когато броят на ресурсите може да бъде произволен.

В допълнение, производствените функции на два аргумента се използват широко в практиката, когато изследователят се интересува от зависимостта на обема на продукцията от най-важните фактори - разходите за труд (L) и капитал (K):

q = f(L, K). (3)

Графика на функция на две променливи не може да бъде начертана в равнина.

Производствената функция на формата (2) може да бъде представена в тримерно декартово пространство, две координати на което (x 1 и x 2) са нанесени върху хоризонталните оси и съответстват на разходите за ресурси, а третата (q) е нанесен върху вертикалната ос и съответства на изхода на продукта (фиг. 2) . Графиката на производствената функция е повърхността на "хълма", издигаща се с нарастването на всяка от координатите x 1 и x 2 . Конструкцията на фиг. 1 в този случай може да се разглежда като вертикално сечение на "хълма" от равнина, успоредна на оста x 1 и съответстваща на фиксирана стойност на втората координата x 2 = x * 2 .

Ориз. 2.

Хоризонталната секция на "хълма" съчетава производствени опции, характеризиращи се с фиксирана продукция на продукта q = q * с различни комбинации от разходите на първия и втория ресурс. Ако хоризонталната част на повърхността на "хълма" се изобрази отделно на равнина с координати x 1 и x 2, ще се получи крива, която комбинира такива комбинации от разходи за ресурси, които позволяват получаването на даден фиксиран обем продукт изход (фиг. 3). Такава крива се нарича изокванта на производствената функция (от гръцки isoz - същото и латински quantum - колко).

Ориз. 3.

Да приемем, че производствената функция описва продукцията в зависимост от вложения труд и капитал. Едно и също количество изход може да бъде получено с различни комбинации от входове на тези ресурси.

Възможно е да се използва малък брой машини (т.е. да се задоволи с малък разход на капитал), но в същото време трябва да се изразходва голямо количество труд; възможно е, напротив, да се механизират определени операции, да се увеличи броят на машините и по този начин да се намалят разходите за труд. Ако за всички такива комбинации най-голямата възможна продукция остава постоянна, тогава тези комбинации се представят от точки, лежащи на една и съща изокванта.

Като фиксираме продукцията на даден продукт на различно ниво, получаваме различна изокванта на същата производствена функция.

След извършване на серия от хоризонтални разрези на различни височини, получаваме така наречената изоквантна карта (фиг. 4) - най-често срещаното графично представяне на производствената функция на два аргумента. Тя прилича на географска карта, върху който теренът е изобразен с контурни линии (в противен случай - изохипси) - линии, свързващи точки, които лежат на една и съща височина.

Ориз. четири.

Лесно е да се види, че производствената функция е в много отношения подобна на функцията на полезност в теорията на потреблението, изоквантата е подобна на кривата на безразличие, картата на изоквантите е подобна на картата на безразличието. По-късно ще видим, че свойствата и характеристиките на производствената функция имат много аналогии в теорията на потреблението. И това не е само въпрос на прилика. По отношение на ресурсите фирмата се държи като потребител, а производствената функция характеризира именно тази страна на производството - производството като потребление. Този или онзи набор от ресурси е полезен за производството, доколкото ви позволява да получите подходящото количество продукция от продукта. Можем да кажем, че стойностите на производствената функция изразяват полезността за производството на съответния набор от ресурси. За разлика от потребителската полезност, тази "полезност" има точно определена количествена мярка - определя се от обема на произведените продукти.

Фактът, че стойностите на производствената функция се отнасят до технически ефективни опции и характеризират най-голямата продукция при потреблението на даден набор от ресурси, също има аналогия в теорията на потреблението.

Потребителят може да използва придобитите стоки по различни начини. Полезността на закупения набор от стоки се определя от начина, по който се използват, при който потребителят получава най-голямо удовлетворение.

Въпреки това, с всички отбелязани прилики между потребителската полезност и „полезността“, изразена чрез стойностите на производствената функция, това е напълно различни концепции. Самият потребител, въз основа само на собствените си предпочитания, определя колко полезен е този или онзи продукт за него - като го купува или отхвърля.

Набор от производствени ресурси в крайна сметка ще се окаже полезен до степента, в която продуктът, произведен с помощта на тези ресурси, е одобрен от потребителя.

Тъй като най-общите свойства на функцията на полезност са присъщи на производствената функция, можем да разгледаме по-нататък нейните основни свойства, без да повтаряме подробните аргументи, дадени в част II.

Ще приемем, че увеличаването на разходите за един от ресурсите, докато разходите за другия остават непроменени, ни позволява да увеличим продукцията. Това означава, че производствената функция е нарастваща функция на всеки от нейните аргументи. Една изокванта минава през всяка точка от ресурсната равнина с координати x 1 , x 2 . Всички изокванти имат отрицателен наклон. Изоквантата, съответстваща на по-висок добив на продукта, е разположена вдясно и над изоквантата за по-нисък добив. И накрая, всички изокванти ще се считат за изпъкнали в посоката на началото.

На фиг. Фигура 5 показва някои изоквантни карти, които характеризират различни ситуации, които възникват по време на производственото потребление на два ресурса. 5а съответства на абсолютната взаимозамяна на ресурсите. В случая, показан на фиг. 5b, първият ресурс може да бъде напълно заменен с втория: изоквантните точки, разположени на оста x2, показват количеството на втория ресурс, което позволява да се получи един или друг продукт без използване на първия ресурс. Използването на първия ресурс намалява цената на втория, но е невъзможно напълно да се замени вторият ресурс с първия.

Ориз. 5 ,c изобразява ситуация, в която и двата ресурса са необходими и нито един от тях не може да бъде напълно заменен от другия. И накрая, случаят, показан на фиг. 5d се характеризира с абсолютна взаимност на ресурсите.

Ориз. 5.

Производствената функция, която зависи от два аргумента, има доста визуално представяне и е относително лесна за изчисляване. Трябва да се отбележи, че икономиката използва производствените функции на различни обекти - предприятия, отрасли, национални и световни икономики. Най-често това са функции на формата (3); понякога добавят и трети аргумент - разходите природни ресурси(Н):

q = f(L, K, N). (3)

Това има смисъл, ако количеството природни ресурси, включени в производствените дейности, е променливо.

В приложните икономически изследвания и в икономическа теорияизползват се различни видове производствени функции. Техните особености и разлики ще бъдат разгледани в раздел 3. При приложните изчисления изискванията за практическа изчислимост налагат да се ограничим до малък брой фактори, като тези фактори се разглеждат разширено - "труд" без подразделение според професии и квалификации, "капитал", без да се отчита специфичният му състав и др. д. Когато теоретичен анализпроизводството може да се абстрахира от трудностите на практическата изчислимост. Теоретичният подход изисква всеки вид ресурс да се разглежда като абсолютно еднороден. Суровините от различен клас трябва да се разглеждат като различни видове ресурси, точно както машини от различни марки или труд, различаващи се по професионални и квалификационни характеристики.

По този начин производствената функция, използвана в теорията, е функция на голям брой аргументи:

q \u003d f (x 1, x 2, ..., x n). (четири)

Същият подход е използван в теорията на потреблението, където броят на видовете потребявани стоки не е ограничен по никакъв начин.

Всичко, което беше казано по-рано за производствената функция на два аргумента, може да се пренесе във функция от формата (4), разбира се, с резерви по отношение на размерността.

Изоквантите на функция (4) не са плоски криви, а n-мерни повърхности. Въпреки това ще продължим да използваме „плоски изокванти“ – както за илюстративни цели, така и като удобно средство за анализ в случаите, когато разходите за два ресурса са променливи, а останалите се считат за фиксирани.

Федерална агенция за образование на Руската федерация

Държавна образователна институция за висше професионално образование

"Южен Уралски държавен университет"

Механико-математически факултет

Катедра "Приложна математика и информатика".

Производствена функция на фирмата: същност, видове, приложение.

ОБЯСНИТЕЛНА БЕЛЕЖКА КЪМ КУРСОВАТА РАБОТА (ПРОЕКТ)

по дисциплина (специализация) "Микроикономика"

SUSU–080116 . 2010.705.PZ KR

Ръководител, ст.н.с

В.П. Бородкин

Студентска група ММ-140

Н.Н. Басалаева

2010 г

Работата (проектът) е защитена

с оценка (с думи, цифри)

___________________________

2010 г

Челябинск 2010 г

ВЪВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………..3

КОНЦЕПЦИЯТА ЗА ПРОИЗВОДСТВОТО И ПРОИЗВОДСТВЕНИТЕ ФУНКЦИИ ... ..7

2.1. Производствена функция на Cobb-Douglas……………………………..13

2.2. CES производствена функция…………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………

2.3. Производствена функция с фиксирани пропорции…………14

2.4. Производствена функция разходи-изход (функция на Леонтиеф)……14

2.5. Производствената функция на анализа на методите на производствена дейност……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

2.6. Линейна производствена функция………………………………………15

2.7. Изокванта и нейните видове…………………………………………………………….16

ПРАКТИЧЕСКО ПРИЛОЖЕНИЕ НА ПРОИЗВОДСТВЕНАТА ФУНКЦИЯ.

3.1 Моделиране на разходите и печалбите на едно предприятие (фирма)…………...21

3.2 Методи за отчитане на научно-техническия прогрес…………………………..28

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………...34

Библиографски списък……………………………………………………35

ВЪВЕДЕНИЕ

Икономическата дейност може да се извършва от различни субекти - физически лица, семейство, държава и др., но основните производствени функции в икономиката принадлежат на предприятието или фирмата. От една страна, фирмата е сложна материална, технологична и социална система, която осигурява производството на икономически ползи. От друга страна, това е самата дейност по организиране на производството на различни стоки и услуги. Като система, която произвежда икономически блага, фирмата е интегрална и действа като независима репродуктивна връзка, относително изолирана от другите връзки. Дружеството извършва самостоятелно своята дейност, разпорежда се с пуснатите продукти и печалбите, останали след плащане на данъци и други плащания.

И така, какво е производствена функция? Нека да разгледаме речника и да получим следното:

ПРОИЗВОДСТВЕНА ФУНКЦИЯ - икономико-математическо уравнение, което свързва променливите разходи (ресурси) със стойностите на производството (продукцията). Производствените функции се използват за анализиране на влиянието на различни комбинации от фактори върху обема на продукцията в определен момент от време (статична версия на производствената функция) и за анализиране и прогнозиране на съотношението на обемите на факторите и продукцията в различни моменти в време (динамична версия на производствената функция) на различни нива на икономиката - от фирма (предприятие) до националната икономика като цяло (съвкупна производствена функция, в която продукцията е показател за общия обществен продукт или национален доход, и т.н.). В отделна фирма, корпорация и т.н., производствената функция описва максималното количество продукция, което те могат да произведат с всяка комбинация от използваните производствени фактори. Тя може да бъде представена чрез много изокванти, свързани с различни нива на продукция.

Този тип производствена функция, когато явната зависимост на обема на производството от наличността или потреблението на ресурси се нарича функция на изхода.

По-специално, изходните функции се използват широко в селското стопанство, където се използват за изследване на влиянието върху добивите на такива фактори като например различни видове и състави на торове, методи на обработка на почвата. Наред с аналогичните производствени функции се използват и обратните функции на производствените разходи. Те характеризират зависимостта на разходите за ресурси от обема на продукцията (строго погледнато, те са обратни само на производствените функции с взаимозаменяеми ресурси). Специални случаи на производствени функции могат да се считат за функцията на разходите (връзката между обема на производството и производствените разходи), инвестиционната функция (зависимостта на необходимите инвестиции от производствения капацитет на бъдещото предприятие) и др.

Математически производствените функции могат да бъдат представени в различни форми- от такива прости, като линейната зависимост на резултата от производството от един изследван фактор, до много сложни системи от уравнения, включително рекурентни отношения, които свързват състоянията на обекта, който се изследва в различни периоди от време.

Най-широко използвани са мултипликативно-степенните форми на представяне на производствените функции. Тяхната особеност е следната: ако един от факторите е равен на нула, резултатът изчезва. Лесно се вижда, че това реалистично отразява факта, че в повечето случаи всички анализирани първични ресурси участват в производството и без нито един от тях производството е невъзможно. В обща форма(нарича се канонична) тази функция се записва така:

Или

Тук коефициентът А пред знака за умножение отчита размерността, зависи от избраната единица за измерване на разходите и продукцията. Факторите от първи до n-ти могат да имат различно съдържание в зависимост от това какви фактори влияят върху общия резултат (продукция). Например, в производствена функция, която се използва за изучаване на икономиката като цяло, може да се приеме обемът на крайния продукт като резултатен показател, а факторите - броят на заетите хора x 1, сумата от фиксираните и работещите столица x 2, площта на използваната земя x 3. Има само два фактора във функцията на Коб-Дъглас, с помощта на които беше направен опит да се оцени връзката на фактори като труд и капитал с нарастването на националния доход на САЩ през 20-30-те години. ХХ век:

N = A L α K β ,

където N е националният доход; L и K са съответно обемите на вложен труд и капитал.

Енергийните коефициенти (параметри) на мултипликативната функция за производство на мощност показват дела в процентното увеличение на крайния продукт, който допринася всеки от факторите (или с какъв процент ще се увеличи продуктът, ако разходите за съответния ресурс се увеличат с един процент ); те са коефициенти на еластичност на производството по отношение на разходите за съответния ресурс. Ако сумата на коефициентите е 1, това означава хомогенност на функцията: тя нараства пропорционално на увеличаването на количеството ресурси. Но такива случаи са възможни и когато сумата от параметрите е по-голяма или по-малка от единица; това показва, че увеличаването на разходите води до непропорционално голямо или непропорционално малко увеличение на продукцията (ефекти от мащаба).

В динамичния вариант се използват различни форми на производствени функции. Например (в случая с 2 фактора): Y(t) = A(t) L α (t) K β (t), където факторът A(t) обикновено се увеличава с течение на времето, отразявайки общото увеличение на ефективността на производствените фактори във времето.

Като се вземе логаритъм и след това се диференцира горната функция по отношение на t, може да се получат съотношенията между темповете на растеж на крайния продукт (национален доход) и растежа на производствените фактори (темповете на растеж на променливите обикновено се описват тук като процент ).

По-нататъшното „динамизиране“ на производствените функции може да включва използването на променливи коефициенти на еластичност.

Съотношенията, описани от производствената функция, са от статистически характер, т.е. те се появяват само средно, в голям брой наблюдения, тъй като не само анализираните фактори, но и много неотчетени, всъщност влияят върху резултата от производството. В допълнение, прилаганите показатели както за разходите, така и за резултатите неизбежно са продукти на сложно агрегиране (например обобщен показател за разходите за труд в макроикономическа функция включва разходи за труд с различна производителност, интензивност, квалификация и т.н.).

Особен проблем е отчитането на фактора на техническия прогрес в макроикономическите производствени функции. С помощта на производствените функции ние също изучаваме еквивалентната взаимозаменяемост на производствените фактори, която може да бъде постоянна или променлива (т.е. зависима от обема на ресурсите). Съответно функциите се разделят на два вида: с постоянна еластичност на заместване (CES - Constant Elasticity of Substitution) и с променлива (VES - Variable Elasticity of Substitution).

На практика се използват три основни метода за определяне на параметрите на макроикономическите производствени функции: въз основа на обработката на динамични редове, въз основа на данни за структурните елементи на съвкупностите и на разпределението на националния доход. Последният метод се нарича разпределение.

При конструирането на производствени функции е необходимо да се отървете от явленията на мултиколинеарност на параметрите и автокорелация - в противен случай грубите грешки са неизбежни.

Ето някои важни производствени функции

Линейна производствена функция:

P = a 1 x 1 + ... + a n x n,

където a 1 , ..., a n са оценените параметри на модела: тук факторите на производство се заместват във всякакви пропорции.

Характеристика на CES:

P \u003d A [(1 - α) K - b + αL - b] - c / b,

в този случай еластичността на заместването на ресурсите не зависи нито от K, нито от L и следователно е постоянна:

От тук идва името на функцията.

Функцията CES, подобно на функцията на Cobb-Douglas, предполага постоянно намаляване на пределната норма на заместване на използваните ресурси. Междувременно еластичността на заместването на капитала с труд и, обратно, на труда с капитал във функцията на Коб-Дъглас, която е равна на единица, тук може да вземе различни значения, не е равно на единица, въпреки че е константа. И накрая, за разлика от функцията на Коб-Дъглас, логаритъма на функцията CES не я води до линейна форма, което ни принуждава да използваме по-сложни методи на нелинеен регресионен анализ за оценка на параметрите.

1. ПОНЯТИЕТО ЗА ПРОИЗВОДСТВО И ПРОИЗВОДСТВЕНИ ФУНКЦИИ.

Под производство се разбира всяка дейност за използване на природни, материални, технически и интелектуални ресурси за получаване както на материални, така и на нематериални ползи.

С развитието на човешкото общество характерът на производството се променя. В ранните етапи на развитието на човечеството доминират естествените, естествени, естествено възникващи елементи на производителните сили. А самият човек по това време е по-скоро продукт на природата. Производството през този период се нарича натурално.

С развитието на средствата за производство започват да преобладават исторически създадените материално-технически елементи на производителните сили. Това е векът на капитала. В момента знанията, технологиите и интелектуалните ресурси на самия човек са от решаващо значение. Нашата ера е ерата на информатизацията, ерата на господството на научно-техническите елементи на производителните сили. Притежаването на знания, нови технологии е от решаващо значение за производството. В много развити страни се поставя задачата за всеобща информатизация на обществото. Световната компютърна мрежа Интернет се развива с огромни темпове.

Традиционно ролята на общата теория на производството се играе от теорията на материалното производство, разбирано като процес на превръщане на производствените ресурси в продукт. Основните производствени ресурси са трудът ( Л) и капитал ( К). Начините на производство или съществуващите производствени технологии определят колко продукция се произвежда с дадени количества труд и капитал. Математически съществуващите технологии се изразяват чрез производствена функция. Ако означим обема на продукцията с Y, тогава производствената функция може да бъде написана

Y= f(К, Л).

Този израз означава, че обемът на продукцията е функция на количеството капитал и количеството труд. Производствената функция описва съвкупността от съществуващи в момента технологии. Ако е изобретен най-добрата технология, то при същите разходи за труд и капитал обемът на продукцията нараства. Следователно, промените в технологиите също променят производствената функция. Методологически теорията на производството е до голяма степен симетрична на теорията на потреблението. Но ако в теорията на потреблението основните категории се измерват само субективно или изобщо не подлежат на измерване, то основните категории на теорията на производството имат обективна основа и могат да бъдат измерени в определени натурални или стойностни единици.

Въпреки факта, че понятието производство може да изглежда много широко, неясно и дори неясно, тъй като в реалния живот производството се разбира като предприятие, строителна площадка, земеделска ферма, транспортно предприятие и много голяма организация като клон на националната икономика, въпреки това икономическо-математическото моделиране откроява нещо общо, присъщо на всички тези обекти. Това общо е процесът на превръщане на първичните ресурси (производствени фактори) в крайните резултати от процеса. Следователно основната изходна концепция в описанието на икономически обект е технологичният метод, който обикновено се представя като вектор на производствените разходи. v, което включва изброяване на обемите на изразходваните ресурси (вектор х) и информация за резултатите от превръщането им в крайни продукти или други характеристики (печалба, рентабилност и др.) (вектор г):

v= (х; г).

Размерност на векторите хи г, както и методите за тяхното измерване (в натурални или разходни единици) значително зависят от проблема, който се изследва, от нивата, на които се поставят определени задачи на икономическото планиране и управление. Наборът от вектори на технологични методи, които могат да служат като описание (от приемлива гледна точка на изследователя с точност) на производствения процес, който действително е приложим в даден обект, се нарича технологичен набор. Vтози обект. За категоричност ще приемем, че размерността на вектора на разходите хе равно на ни изходния вектор гсъответно М. По този начин технологичният vе вектор на измерение ( М+ Н), и технологичния комплект Видеорекордер +   М + н. Сред всички технологични методи, прилагани в съоръжението, специално място заемат методи, които се сравняват благоприятно с всички останали, тъй като изискват или по-ниски разходи за същата продукция, или съответстват на по-голяма продукция при същата цена. Тези от тях, които заемат в известен смисъл ограничителното място в множеството V, са от особен интерес, тъй като те са описание на осъществим и пределно печеливш реален производствен процес.

Да кажем, че векторът ν (1) =(x (1) ;г (1) ) предпочитан пред вектора ν (2) =(x (2) ;г (2) ) с обозначението ν (1) > ν (2) ако са изпълнени следните условия:

1) при аз (1) ≥ г аз (2) (аз=1,…,M);

2) х й (1) ≤ х й (2) (й=1,...M);

и се случи поне едно от следните:

а) има такова число аз 0 това при аз 0 (1) > г аз 0 (2)

б) има такова число й 0 това х й 0 (1) х й 0 (2)

Технологичен метод 7 се нарича ефективен, ако принадлежи към технологичния набор Vи няма друг вектор ν Є V, който да е за предпочитане пред ۷. Горното определение означава, че тези методи се считат за ефективни, които не могат да бъдат подобрени в който и да е разходен компонент, във всяка позиция на продукта, без да престанат да бъдат приемливи. Съвкупността от всички технологично ефективни методи ще бъде означена с V*. Това е подмножество на технологичния набор Vили съвпада с него. По същество задачата за планиране на икономическата дейност на производствено съоръжение може да се тълкува като задача за избор на ефективен технологичен метод, който най-добре отговаря на някои външни условия. При решаването на такъв проблем с избора идеята за самото естество на технологичния набор се оказва доста значима V, както и неговото ефективно подмножество V*.

В някои случаи се оказва възможно да се допусне в рамките на фиксираното производство възможността за взаимозаменяемост на някои ресурси ( различни видовегориво, машини и работници и др.). При което математически анализподобни продукции се основава на предпоставката за непрекъснатия характер на комплекта Vи следователно върху фундаменталната възможност за представяне на варианти на взаимно заместване с помощта на непрекъснати и дори диференцируеми функции, дефинирани на V. Този подход е получил своето най-голямо развитиев теорията на производствените функции.

С помощта на концепцията за ефективен технологичен набор производствената функция може да се дефинира като картографиране

г= f(х),

където ν \u003d (x; y) ЄV*.

Това преобразуване е, най-общо казано, многозначно, т.е. Много f(х) съдържа повече от една точка. За много реалистични ситуации обаче производствените функции се оказват еднозначни и дори, както бе споменато по-горе, диференцируеми. В най-простия случай производствената функция е скаларната функция наргументи:

г = f(х 1 ,…, х н ).

Ето стойността гима по правило разходен характер, изразяващ обема на произведената продукция в парично изражение. Аргументите са обемите на ресурсите, изразходвани за прилагане на съответния ефективен технологичен метод. По този начин горната връзка описва границата на технологичния набор V, защото за даден вектор на разходите ( х 1 , ..., х н) да произвежда продукти в количества, по-големи от г, е невъзможно, а производството на продукти в количества, по-малки от посочените, съответства на неефективен технологичен метод. Изразът за производствената функция може да се използва за оценка на ефективността на метода на управление, възприет в дадено предприятие. Наистина, за даден набор от ресурси може да се определи действителната продукция и да се сравни с тази, изчислена от производствената функция. Получената разлика осигурява полезен материал за оценка на ефективността в абсолютно и относително изражение.

Производствената функция е много полезен апарат за планиране на изчисления и следователно сега е разработен статистически подход за конструиране на производствени функции за конкретни икономически единици. В този случай обикновено се използва определен стандартен набор от алгебрични изрази, чиито параметри се намират с помощта на методите на математическата статистика. Този подход по същество означава оценка на производствената функция въз основа на имплицитното предположение, че наблюдаваните производствени процеси са ефективни. Сред различните видове производствени функции, линейни функции на формата

тъй като за тях проблемът с оценяването на коефициенти от статистически данни е лесно решен, както и степенни функции

за които проблемът за намиране на параметрите се свежда до оценка на линейната форма чрез преминаване към логаритми.

При предположението, че производствената функция е диференцируема във всяка точка от множеството хвъзможни комбинации от входове, е полезно да се разгледат някои количества, свързани с производствената функция.

По-специално диференциала

представлява промяната в цената на продукцията при преминаване от цената на набор от ресурси х=(х 1 , ..., х н) към комплекта х+dx=(х 1 +dx 1 ,..., х н +dx н) при условие, че се запазват свойствата на ефективността на съответните технологични методи. След това стойността на частната производна

може да се тълкува като пределна (диференциална) възвръщаемост на ресурса или, с други думи, коефициент на пределна производителност, който показва колко ще се увеличи продукцията поради увеличаването на цената на ресурса с числото йза малка единица. Стойността на пределната производителност на ресурса може да се интерпретира като горна граница на цената стр й, които производствената база може да заплати за допълнителна единица й- този ресурс, за да не бъде на загуба след неговото придобиване и използване. Всъщност очакваното увеличение на продукцията в този случай ще бъде

а оттам и съотношението

ще генерира допълнителна печалба.

В краткосрочен план, когато един ресурс се третира като фиксиран, а другият като променлив, повечето производствени функции имат свойството да намаляват пределния продукт. Пределният продукт на променлив ресурс е увеличението на общия продукт поради увеличаването на използването на този променлив ресурс на единица.

Пределният продукт на труда може да се запише като разлика

MPL= Е(К, Л+ 1) - Е(К, Л),

където MPLпределен продукт на труда.

Като разлика може да се запише и пределният продукт на капитала

MPK= Е(К+ 1, Л) - Е(К, Л),

където MPKпределен продукт на капитала.

Характеристика на производственото съоръжение е и стойността на средната възвращаемост на ресурса (производителността на производствения фактор)

имащи ясен икономически смисъл на количеството продукция за единица използван ресурс (производствен фактор). Реципрочната стойност на възвръщаемостта на ресурса

обикновено се нарича ресурсен интензитет, защото изразява количеството на даден ресурс йнеобходими за производството на една единица продукция в стойностно изражение. Много често срещани и разбираеми са термини като капиталоемкост, материалоемкост, енергоемкост, трудоемкост, чието нарастване обикновено се свързва с влошаване на състоянието на икономиката, а спадът им се разглежда като благоприятен резултат.

Коефициентът на разделяне на диференциалната производителност на средната

се нарича коефициент на еластичност на производството по производствения фактор йи дава израз за относителното увеличение на производството (в проценти) при относително увеличение на себестойността на фактора с 1%. Ако д й 0, тогава има абсолютно намаление на продукцията с увеличаване на потреблението на фактора й; тази ситуация може да възникне, когато се използват технологично неподходящи продукти или режими. Например, прекомерната консумация на гориво ще доведе до прекомерно повишаване на температурата и химическата реакция, необходима за производството на продукта, няма да се осъществи. Ако 0 Е й 1, то всяка следваща допълнителна единица от изразходвания ресурс предизвиква по-малко допълнително увеличение на продукцията от предходната.

Ако д й> 1, тогава стойността на инкременталната (диференциалната) производителност надвишава средната производителност. По този начин допълнителна единица ресурс увеличава не само обема на продукцията, но и средната характеристика на възвръщаемост на ресурса. Така протича процесът на повишаване на възвръщаемостта на активите при въвеждане в експлоатация на високо прогресивни, ефективни машини и устройства. За линейна производствена функция коефициентът а йчислено равна на стойността на диференциалната производителност й-ти фактор, а за степенна функция, показателят a йима значението на коефициента на еластичност по отношение на й- този ресурс.

2. ВИДОВЕ ПРОИЗВОДСТВЕНИ ФУНКЦИИ.

2.1. Производствена функция на Коб-Дъглас.

Първият успешен опит в конструирането на производствена функция като регресионно уравнение въз основа на статистически данни е получен от американски учени - математик Д. Коб и икономист П. Дъглас през 1928 г. Предложената от тях функция първоначално изглеждаше така:

където Y е обемът на продукцията, K е стойността на производствените активи (капитала), L е разходите за труд, са числени параметри (мащабно число и индекс на еластичност). Поради своята простота и рационалност, тази функция все още се използва широко днес и е получила допълнителни обобщения в различни посоки. Функцията на Коб-Дъглас понякога ще се записва като

Лесно е да проверите това и

Освен това функция (1) е линейно хомогенна:

По този начин функцията на Коб-Дъглас (1) има всички горни свойства.

За многофакторно производство функцията на Коб-Дъглас има формата:

За да се вземе предвид техническият прогрес, във функцията на Коб-Дъглас се въвежда специален множител (технически прогрес), където t е времевият параметър, е постоянно число, характеризиращо скоростта на развитие. В резултат на това функцията приема "динамична" форма:

където не се изисква. Както ще бъде показано в следващия раздел, експонентите във функция (1) имат значението на еластичността на продукцията по отношение на капитала и труда.

2.2. производствена функцияCES(с постоянна еластичност на заместване)

Изглежда като:

Къде е мащабният коефициент, е коефициентът на разпределение, е коефициентът на заместване, е степента на хомогенност. Ако са изпълнени условията:

тогава функция (2) удовлетворява неравенствата и . Като се вземе предвид технологичният прогрес, функцията CES е написана:

Името на тази функция произтича от факта, че за нея еластичността на заместването е постоянна.

2.3. Производствена функция с фиксирани пропорции.Тази функция се получава от (2) при и има формата:

2.4. Производствена функция разходи-изход (функция на Леонтиеф)се получава от (3), когато:

Тук е сумата на разходите от тип k, необходими за производството на една единица продукция, а y е продукцията.

2.5. Производствената функция на анализа на методите на производствена дейност.

Тази функция обобщава производствената функция вход-изход за случая, когато има определен брой (r) основни процеси (начини на производствена дейност), всеки от които може да протича с всякаква неотрицателна интензивност. Има формата на "оптимизационен проблем"

Където (5)

Тук е продукцията при единица интензивност на j-тия основен процес, е нивото на интензивност, е количеството разходи от типа k, необходими при единица интензивност на метода j. Както може да се види от (5), ако продукцията, произведена при единица интензивност, и необходимите разходи за единица интензивност са известни, тогава общата продукция и общите разходи се намират чрез добавяне на продукцията и разходите, съответно, за всеки основен процес при избраните интензитети. Обърнете внимание, че проблемът за максимизиране на функцията f в (5) при дадени ограничения на неравенството е модел за анализ на производствените дейности (максимизиране на продукцията с ограничени ресурси).

2.6. Линейна производствена функция(функция за заместване на ресурси)

Използва се при наличие на линейна зависимост на продукцията от разходите:

Къде е разходната норма от k-ти вид за производството на единица продукция (продукт на пределните физически разходи).

Сред производствените функции, дадени тук, най-често срещаната е CES функцията.

За анализиране на производствения процес и неговите различни показатели заедно с маргиналните продукти,

(горните тирета показват фиксирани стойности на променливите), показващи размера на допълнителния доход, получен чрез използване на допълнителни количества разходи, прилагат се концепциите за средни продукти.

Средният продукт за k-тия вид разходи е обемът на продукцията на единица разходи от k-тия вид при фиксирано ниво на разходите от други видове:

Нека фиксираме разходите от втория тип на определено ниво и сравним графиките на трите функции:

Фиг. 1. криви на освобождаване.

Нека графиката на функцията има три критични точки (както е показано на фиг. 1): - точка на инфлексия, - точка на контакт с лъча от началото, - точка на максимум. Тези точки съответстват на трите етапа на производство. Първият етап съответства на сегмента и се характеризира с превъзходство на пределния продукт над средния: Ето защо на този етап е препоръчително извършването на допълнителни разходи. Вторият етап съответства на сегмента и се характеризира с превъзходство на средния продукт над пределния: (Допълнителните разходи не са разумни). В третия етап допълнителните разходи водят до обратния ефект. Това се обяснява с факта, че това е оптималният размер на разходите и по-нататъшното им увеличаване е неразумно.

За конкретни имена на ресурси средните и пределните стойности придобиват значението на конкретни икономически показатели. Помислете например за функцията на Коб-Дъглас (1) , където е капитал и е труд. Средни продукти

осмислят съответно средната производителност на труда и средната производителност на капитала (средната възвращаемост на активите). Вижда се, че средната производителност на труда намалява с нарастване трудови ресурси. Това е разбираемо, тъй като производствените фондове (K) остават непроменени и следователно новопривлечената работна сила не се осигурява с допълнителни средства за производство, което води до намаляване на производителността на труда. Подобно разсъждение е вярно за капиталовата производителност като функция на капитала.

За функция (1) пределни продукти

осмислят съответно пределната производителност на труда и пределната производителност на капитала (пределна възвръщаемост на активите). В микроикономическата теория на производството се смята, че пределната производителност на труда е равна на работната заплата (цената на труда), а пределната производителност на капитала е равна на наемните плащания (цената на услугите на капиталовите стоки). От условието следва, че при постоянни дълготрайни активи (разходи за труд) увеличаването на броя на служителите (обема на дълготрайните активи) води до спад в пределната производителност на труда (пределна възвръщаемост на активите). Вижда се, че за функцията на Коб-Дъглас пределните продукти са пропорционални на средните продукти и по-малки от тях.

2.7. Изокванта и нейните видове

При моделиране на потребителското търсене едно и също ниво на полезност на различни комбинации от потребителски стоки се показва графично с помощта на крива на безразличие.

В икономико-математическите модели на производството всяка технология може да бъде графично представена с точка, чиито координати отразяват минимално необходимите разходи на ресурси K и L за производството на даден обем продукция. Много такива точки образуват линия с равен изход или изокванта. По този начин производствената функция е графично представена чрез семейство изокванти. Колкото по-далеч се намира изоквантата от началото, толкова по-голям обем на производството отразява. За разлика от кривата на безразличие, всяка изокванта характеризира количествено количество продукция.

Фиг.2. Изокванти, съответстващи на различни обеми на производство

На фиг. 2 показва три изокванти, съответстващи на производствен обем от 200, 300 и 400 единици. Може да се каже, че за производството на 300 единици продукция са необходими K 1 единици капитал и L 1 единици труд или K 2 единици капитал и L 2 единици труд, или всяка друга комбинация от тях от представения набор чрез изоквантата Y 2 = 300.

В общия случай в набора X от възможни набори от производствени фактори се разпределя подмножество, наречено изокванта на производствената функция, което се характеризира с факта, че за всеки вектор равенството

Така за всички набори от ресурси, съответстващи на изоквантата, обемите на продукцията са еднакви. По същество изоквантата е описание на възможността за взаимно заместване на факторите в процеса на производство на стоки, осигурявайки постоянен обем на производството. В тази връзка е възможно да се определи коефициентът на взаимно заместване на ресурсите, като се използва диференциалната връзка по всяка изокванта

Следователно коефициентът на еквивалентно заместване на двойка фактори j и k е равен на:

Полученото съотношение показва, че ако производствените ресурси се заменят в съотношение, равно на съотношението на нарастващата производителност, тогава количеството на продукцията остава непроменено. Трябва да се каже, че познаването на производствената функция позволява да се характеризира степента на възможността за извършване на взаимна подмяна на ресурсите при ефективни технологични методи. За постигането на тази цел се използва коефициентът на еластичност на заместването на ресурсите за продукти.

която се изчислява по изоквантата при постоянно ниво на разходите на други производствени фактори. Стойността s jk е характеристика на относителното изменение на коефициента на взаимно заместване на ресурсите при промяна на съотношението между тях. Ако съотношението на взаимозаменяемите ресурси се промени с s jk процента, тогава коефициентът на взаимно заместване sjk ще се промени с един процент. В случай на линейна производствена функция, коефициентът на взаимно заместване остава непроменен за всяко съотношение на използваните ресурси и следователно можем да приемем, че еластичността s jk = 1. Съответно, големите стойности на s jk показват, че по-голямата свобода е възможно при замяна на производствените фактори по изоквантата и в същото време основните характеристики на производствената функция (производителност, коефициент на обмен) ще се променят много малко.

За производствени функции със степенен закон за всяка двойка взаимозаменяеми ресурси е вярно равенството s jk = 1. В практиката на изчисленията за прогнозиране и предварително планиране често се използват функции на постоянна еластичност на заместване (CES), които изглеждат така:

За такава функция коефициентът на еластичност на заместването на ресурсите

и не се променя в зависимост от обема и съотношението на изразходваните средства. При малки стойности на s jk ресурсите могат да се заменят само в малка степен, а в границата при s jk = 0 те губят свойството си за взаимозаменяемост и се появяват в производствения процес само в постоянно съотношение, т.е. се допълват. Пример за производствена функция, която описва производството при условията на използване на допълнителни ресурси, е функцията за освобождаване на разходите, която има формата

където a j е постоянен коефициент на възвращаемост на ресурса на j -тия производствен фактор. Лесно е да се види, че производствена функция от този тип определя продукцията с тесни места в набора от използвани производствени фактори. Различни поводиповедението на изоквантите на производствените функции за различни стойности на коефициентите на еластичност на заместване са показани на графиката (фиг. 3).

Представянето на ефективен технологичен набор с помощта на скаларна производствена функция е недостатъчно в случаите, когато е невъзможно да се управлява с един показател, описващ резултатите от производственото съоръжение, а е необходимо да се използват няколко (М) показателя за изход. При тези условия може да се използва векторната производствена функция

Ориз. 3. Различни случаи на поведение на изоквантите

Важната концепция за пределна (диференциална) производителност се въвежда от връзката

Всички други основни характеристики на скаларните производствени функции допускат подобно обобщение.

Подобно на кривите на безразличие, изоквантите също се класифицират в различни типове.

За линейна производствена функция на формата

където Y е обемът на производството; A , b 1 , b 2 параметри; K , L разходи за капитал и труд, а пълното заместване на един ресурс с друг изокванта ще има линейна форма (фиг. 4).

За функцията за производство на енергия

изоквантите ще изглеждат като криви (фиг. 5).

Ако изоквантата отразява само един технологичен метод за производство на даден продукт, то трудът и капиталът се комбинират в единствената възможна комбинация (фиг. 6).

Ориз. 6. Изокванти при строго допълване на ресурсите

Ориз. 7. Нарушени изокванти

Такива изокванти понякога се наричат ​​изокванти от типа на Леонтиев след американския икономист W.V. Леонтиев, който постави този тип изокванти като основа на разработения от него входно-изходен метод.

Прекъснатата изокванта предполага наличието на ограничен брой технологии F (фиг. 7).

Изоквантите на тази конфигурация се използват в линейното програмиране за обосноваване на теорията за оптималното разпределение на ресурсите. Прекъснатите изокванти най-реалистично представят технологичните възможности на много производствени съоръжения. Икономическата теория обаче традиционно използва главно изоквантни криви, които се получават от прекъснати линии с увеличаване на броя на технологиите и съответно увеличаване на точките на прекъсване.

3. ПРАКТИЧЕСКО ПРИЛОЖЕНИЕ НА ПРОИЗВОДСТВЕНАТА ФУНКЦИЯ.

3.1 Моделиране на разходите и печалбите на предприятие (фирма)

В основата на изграждането на модели на поведение на производителя (индивидуално предприятие или фирма; асоциация или отрасъл) е идеята, че производителят се стреми да постигне състояние, при което ще му бъде осигурена най-голяма печалба при преобладаващите пазарни условия, т.е. На първо място, със съществуващата ценова система.

Най-простият модел на оптимално поведение на производителя в условията на перфектна конкуренция има следната форма: нека едно предприятие (фирма) произвежда един продукт в количество гфизически единици. Ако стрекзогенно дадена цена на този продукт и фирмата продава своята продукция изцяло, тогава тя получава брутен доход (приход) в размер на

В процеса на създаване на това количество продукт фирмата прави производствени разходи в размер на ° С(г). В същото време е естествено да се предположи, че ° С"(г) > 0, т.е. разходите нарастват с обема на производството. Също така обикновено се приема, че ° С""(г) > 0. Това означава, че допълнителните (пределните) производствени разходи на всеки допълнителна единицапродуктите се увеличават с увеличаване на производството. Това предположение се дължи на факта, че при рационално организирано производство с малки обеми могат да се използват най-добрите машини и висококвалифицирани работници, които вече няма да бъдат на разположение на фирмата, когато обемът на производството се увеличи. Производствените разходи се състоят от следните компоненти:

1) материални разходи ° С м, които включват разходите за суровини, материали, полуфабрикати и др.

Разликата между брутния доход и материалните разходи се нарича добавената стойност(условно чисти продукти):

2) разходи за труд ° С Л ;

Ориз. 8. Линии на приходите и разходите на предприятието

3) разходи, свързани с използването, ремонта на машини и оборудване, амортизация, така нареченото плащане за капиталови услуги ° С к ;

4) допълнителни разходи ° С rсвързани с разширяването на производството, изграждането на нови сгради, пътища за достъп, съобщителни линии и др.

Общи производствени разходи:

Както беше отбелязано по-горе,

обаче тази зависимост от обема на продукцията ( при) е различен за различните видове разходи. А именно, има:

а) постоянни разходи ° С 0 , които са практически независими от г, вкл. заплащане на административен персонал, наеми и поддръжка на сгради и помещения, амортизации, лихви по заеми, комуникационни услуги и др.;

б) пропорционални на обема на продукцията (линейни) разходи ° С 1, това включва материалните разходи ° С м, възнаграждения на производствения персонал (част от ° С Л), разходи за поддръжка на съществуващо оборудване и машини (част ° С к) и др.:

където аобобщен показател за себестойността на тези видове за един продукт;

в) свръхпропорционални (нелинейни) разходи ОТ 2, които включват придобиването на нови машини и технологии (т.е. разходи като напр ОТ r), заплащане за извънреден труд и др. За математическо описание на този тип разходи обикновено се използва степенен закон

По този начин, за представяне на общите разходи, може да се използва моделът

(Имайте предвид, че условията ° С"(г) > 0, ° С""(г) > 0 са изпълнени за тази функция.)

Помислете за възможни варианти за поведение на предприятие (фирма) за два случая:

1. Предприятието разполага с достатъчно голям резерв от производствени мощности и не се стреми да разширява производството, така че можем да приемем, че ° С 2 = 0 и общите разходи са линейна функция на продукцията:

Печалбата ще бъде

Ясно е, че при малки производствени обеми

Фирмата е на загуба, защото

Тук г wточка на рентабилност (праг на доходност), определена от коефициента

Ако г> г w, тогава фирмата прави печалба и окончателното решение за обема на продукцията зависи от състоянието на пазара за продажба на произведени продукти (виж фиг. 8).

2. В по-общ случай, когато ОТ 2 0, има две точки на рентабилност и освен това фирмата ще получи положителна печалба, ако продукцията гудовлетворява условието

На този сегмент в момента се постига най-голяма стойност на печалбата. По този начин има оптимално решение на проблема за максимизиране на печалбата. В точката НО, съответстваща на разходите при оптимална продукция, допирателна към кривата на разходите ОТуспоредна на правата линия на дохода Р.

Трябва да се отбележи, че крайното решение на фирмата също зависи от състоянието на пазара, но от гледна точка на съблюдаване на икономическите интереси, тя трябва да препоръча оптимизиращата стойност на продукцията (фиг. 9).

Ориз. 9. Оптимален изход

По дефиниция печалбата е стойността

Точките на рентабилност и се определят от условието за равенство на печалбата на нула, а максималната й стойност се достига в точката, която удовлетворява уравнението

По този начин оптималният обем на производството се характеризира с факта, че в това състояние пределният брутен доход ( Р(г)) е точно равен на пределните разходи ° С(г).

Наистина, ако г R( г) > ° С(г), а след това производството трябва да се увеличи, тъй като очакваният допълнителен доход ще надвиши очакваните допълнителни разходи. Ако г> тогава Р(г) ° С ( г), а всяко увеличаване на обема ще намали печалбите, така че е естествено да се препоръча намаляване на обема на производството и да се стигне до състояние г= (фиг. 10).

Ориз. 10. Максимална точка на печалба и зона на рентабилност

Лесно е да се види, че с увеличаването на цената ( Р) оптималната продукция, както и увеличението на печалбата, т.е.

Това важи и в общия случай, тъй като

Пример.Фирмата произвежда селскостопански машини в размер приброя, като обемът на производство по принцип може да варира от 50 до 220 броя на месец. В същото време, естествено, увеличаването на обема на производството ще изисква увеличение на разходите, както пропорционално, така и свръхпропорционално (нелинейно), тъй като ще е необходимо закупуване на ново оборудване и разширяване на производствените площи.

В конкретен пример ще изхождаме от факта, че общите разходи (себестойността) за производство на продукти в сумата припродукти се изразяват с формулата

° С(г) = 1000 + 20 г+ 0,1 г 2 (хиляда рубли).

Това означава, че постоянните разходи

° С 0 = 1000 (тона рубли),

пропорционални разходи

° С 1 = 20 г,

тези. обобщеният показател на тези разходи за продукт е равен на: а= 20 хиляди рубли, а нелинейните разходи ще бъдат ° С 2 = 0,1 г 2 (b= 0,1).

Горната формула за разходите е частен случай на общата формула, където показателят ч= 2.

За да намерим оптималния обем на производството, използваме формулата за точката на максимална печалба (*), според която имаме:

Съвсем очевидно е, че обемът на производството, при който се постига максимална печалба, се определя в много голяма степен от пазарната цена на продукта. стр.

В табл. 1 показва резултатите от изчисляването на оптималните обеми за различни цени от 40 до 60 хиляди рубли на продукт.

Първата колона на таблицата съдържа възможни изходни обеми при, втората колона съдържа данни за общите разходи ОТ(при), третата колона показва цената на един продукт:

маса 1

Данни за обемите на продукцията, разходите и печалбите

Обеми и разходи				Цени и печалби
				0
					210
						440
Таблица 1 продължава
							1250
								1890
									3000

Четвъртата колона характеризира стойностите на горните пределни разходи ГОСПОЖИЦА, които показват колко струва производството на един допълнителен артикул в дадена ситуация. Лесно е да се види, че пределните разходи нарастват с увеличаване на производството, което е в добро съответствие с позицията, изразена в началото на този параграф. Когато разглеждате таблицата, трябва да обърнете внимание на факта, че оптималните обеми са точно в пресечната точка на линията (пределни разходи ГОСПОЖИЦА)и колона (цена п)с равните им стойности, което доста точно корелира с правилото за оптималност, установено по-горе.

Горният анализ се отнася до ситуация на перфектна конкуренция, когато производителят не може да повлияе на ценовата система с действията си и следователно цената стрза стоки гдейства в модела на производителя като екзогенна величина.

В случай на несъвършена конкуренция, производителят може пряко да влияе върху цената. По-специално, това се отнася за монополния производител на стоки, който формира цената от съображения за разумна рентабилност.

Да разгледаме фирма с линейна функция на разходите, която определя цената си по такъв начин, че печалбата да е определен процент (част от 0

Следователно имаме

Брутен доход

и производството се изравнява, започвайки с най-малките обеми на производство ( г w 0). Лесно се вижда, че цената зависи от обема, т.е. стр= стр(г), и с увеличаване на обема на производството ( при) цената на стоката намалява, т.е. п"(г)

Изискването за максимизиране на печалбата за монополист има формата

Все още приемайки, че >0, имаме уравнение за намиране на оптималния изход ():

Полезно е да се отбележи, че оптималната продукция на монополист () обикновено не е по-голяма от оптималната продукция на конкурентен производител във формулата, отбелязана със звездичка.

Използва се по-реалистичен (но и по-прост) модел на фирмата, за да се вземат предвид ограниченията на ресурсите, които играят много голяма роля в икономическите дейности на производителите. Моделът отделя един най-оскъден ресурс (труд, дълготрайни активи, редки материали, енергия и т.н.) и предполага, че фирмата може да го използва в не повече от Q. Фирмата може да произвежда нразлични продукти. Позволявам г 1 , ..., г й , ..., г нжеланите обеми на производство на тези продукти; стр 1 , ..., стр й , ..., стр нтехните цени. Нека също рединична цена на ограничен ресурс. Тогава брутният доход на фирмата е

и печалбата ще е

Лесно е да се види, че за фиксирани ри Qпроблемът за максимизиране на печалбата се трансформира в проблем за максимизиране на брутния доход.

Да предположим освен това, че функцията на разходите за ресурси за всеки продукт ° С й (г й) има същите свойства, които бяха посочени по-горе за функцията ОТ(при). По този начин, ° С й " (г й) > 0 и ° С й "" (г й) > 0.

В окончателния си вид моделът на оптималното поведение на фирма с един ограничен ресурс е следният:

Лесно е да се види, че в доста общ случай решението на този оптимизационен проблем се намира чрез изучаване на системата от уравнения:

Имайте предвид, че оптималният избор на фирмата зависи от целия набор от цени на продуктите ( стр 1 , ..., стр н), като този избор е хомогенна функция на ценовата система, т.е. когато цените се променят еднакъв брой пъти, оптималните резултати не се променят. Също така е лесно да се види, че от уравненията, отбелязани със звездички (***), следва, че с увеличаване на цената на продукта н(при постоянни цени за други продукти), производството му трябва да се увеличи, за да се максимизират печалбите, тъй като

и производството на други стоки ще намалее, тъй като

Тези съотношения заедно показват, че в този модел всички продукти се конкурират. Формула (***) също предполага очевидната връзка

тези. с увеличаване на обема на даден ресурс (капиталови инвестиции, труд и т.н.) се увеличават оптималните резултати.

Възможно е да се даде номер прости примери, което ще помогне да се разбере по-добре правилото за оптимален избор на фирма според принципа на максимална печалба:

1) нека н = 2; стр 1 = стр 2 = 1; а 1 = а 2 = 1; Q = 0,5; р = 0,5.

Тогава от (***) имаме:

0,5; = 0,5; Р = 0,75; = 1;

2) нека сега всички условия останат същите, но цената на първия продукт се удвои: стр 1 = 2.

Тогава оптималният план за печалба на фирмата: = 0,6325; = 0,3162.

Очакваната максимална печалба нараства значително: P = 1.3312; = 1,58;

3) имайте предвид, че в предишния пример 2 фирмата трябва да промени обема на производството, като увеличи производството на първия и намали производството на втория продукт. Да предположим обаче, че фирмата не преследва максимална печалба и няма да промени установеното производство, т.е. изберете програма г 1 = 0,5; г 2 = 0,5.

Оказва се, че в този случай печалбата ще бъде P = 1,25. Това означава, че когато цените се покачат на пазара, фирмата може да получи значително увеличение на печалбите, без да променя плана за производство.

3.2 Методи за отчитане на научно-техническия прогрес

Трябва да се счита за общоприето, че с течение на времето в предприятие, което поддържа фиксиран брой служители и постоянен обем на дълготрайните активи, производството се увеличава. Това означава, че в допълнение към обичайните производствени фактори, свързани с цената на ресурсите, има фактор, който обикновено се нарича научно-техническия прогрес (НТП).Този фактор може да се разглежда като синтетична характеристика, която отразява комбинираното въздействие върху икономическия растеж на много значими явления, сред които трябва да се отбележи следното:

а) подобряване във времето на качеството на работната сила поради подобряването на уменията на работниците и разработването на методи за използване на по-напреднали технологии;

б) подобряването на качеството на машините и оборудването води до факта, че определено количество капиталови инвестиции (при постоянни цени) позволява с течение на времето да се придобие по-ефективна машина;

в) подобряване на много аспекти на организацията на производството, включително доставките и маркетинга, банковите операции и други взаимни разплащания, развитието на информационна база, формирането на различни видове асоциации, развитието на международната специализация и търговия и др.

В тази връзка терминът научен и технологичен прогрес може да се тълкува като съвкупност от всички явления, които при определено количество изразходвани производствени фактори позволяват да се увеличи производството на висококачествени конкурентни продукти. Много неясният характер на такова определение води до факта, че изследването на влиянието на научно-техническия прогрес се извършва само като анализ на това допълнително увеличение на производството, което не може да се обясни с чисто количествено увеличение на производствените фактори. Основният подход за отчитане на научно-техническия прогрес е, че времето се въвежда в съвкупността от характеристики на продукцията или разходите ( T) като независим производствен фактор и разглежда трансформацията във времето или на производствена функция, или на технологичен набор.

Нека се спрем на методите за отчитане на научно-техническия прогрес чрез трансформиране на производствената функция и ще вземем за основа двуфакторната производствена функция:

където производствените фактори са капитал ( Да се) и труд ( Л). Модифицираната производствена функция в общия случай има формата

и състоянието

което отразява факта на нарастване на производството във времето при постоянни разходи за труд и капитал.

При разработването на специфични модифицирани производствени функции те обикновено се стремят да отразят характера на научно-техническия прогрес в наблюдаваната ситуация. Има четири случая:

а) значително подобрение във времето в качеството на работната сила ви позволява да постигнете същите резултати с по-малко наети хора; този тип STP често се нарича трудоспестяващ. Модифицираната производствена функция има формата където е монотонната функция л(T) характеризира растежа на производителността на труда;

Ориз. 11. Нарастване на производството във времето с постоянни разходи за труд и капитал

б) преобладаващото подобряване на качеството на машините и оборудването повишава възвръщаемостта на активите, има капиталоспестяващ научно-технически прогрес и съответната производствена функция:

къде е нарастващата функция к(T) отразява изменението на производителността на капитала;

в) ако има значително влияние и на двете споменати явления, тогава производствената функция се използва във формата

г) ако не е възможно да се установи въздействието на научно-техническия прогрес върху производствени фактори, тогава производствената функция се прилага във формата

където а(T) нарастваща функция, която изразява растежа на производството при постоянни стойности на разходите за фактори. За изследване на свойствата и характеристиките на научно-техническия прогрес се използват някои съотношения между резултатите от производството и разходите на факторите. Те включват:

а) средна производителност на труда

Б) средна възвращаемост на активите

в) капиталообезпеченост на служителите

г) равенство между равнището на работната заплата и пределната (пределната) производителност на труда

д) равенство между пределната възвръщаемост на активите и лихвения процент на банката

Казва се, че NTP е неутрален, ако не променя определени отношения между дадени количества с течение на времето.

1) прогресът се нарича неутрален по Хикс, ако съотношението между съотношението капитал-труд ( х) и пределната норма на заместване на факторите ( w/r). По-специално, ако w/r= const, тогава замяната на труда с капитал и обратното няма да донесе никаква полза и съотношение капитал-труд х=К/Лсъщо ще остане постоянна. Може да се покаже, че в този случай модифицираната производствена функция има формата

а неутралността на Хикс е еквивалентна на въздействието на научно-техническия прогрес директно върху продукцията, обсъдена по-горе. В разглежданата ситуация изоквантата се измества наляво надолу с времето чрез трансформация на подобие, т.е. остава точно същата форма, както в първоначалното положение;

2) прогресът се нарича Харод-неутрален, ако през разглеждания период процентът на банковата лихва ( r) зависи само от възвръщаемостта на активите ( к), т.е. не се влияе от NTP. Това означава, че пределната възвръщаемост на активите е определена на нивото на лихвения процент и по-нататъшно увеличаване на капитала не е препоръчително. Може да се покаже, че този тип STP съответства на производствената функция

тези. технологичният прогрес спестява труд;

3) прогресът е неутрален по Солоу, ако равенството между нивата на заплатите ( w) и пределната производителност на труда и по-нататъшното увеличаване на разходите за труд е нерентабилно. Може да се покаже, че в този случай производствената функция има формата

тези. NTP се оказва спестяващ средства. Нека да дадем графично представяне на три вида научен и технологичен прогрес, използвайки примера на линейна производствена функция

В случай на неутралност на Хикс имаме модифицирана производствена функция

където а(T) увеличаваща се функция T. Това означава, че с течение на времето изоквантата Q(линеен сегмент AB) се измества към началото чрез паралелна транслация (фиг. 12) към позицията А 1 б 1 .

В случай на неутралност на Харод, модифицираната производствена функция има формата

където л(T) е нарастваща функция.

Очевидно с течение на времето точката НОостава на място и изоквантата се измества към началото чрез завъртане до позицията AB 1 (фиг. 13).

За неутрален по Solow прогрес, съответната модифицирана производствена функция

където к(T) е нарастваща функция. Изоквантата се измества към началото, но точката ATне се движи и се завърта на позиция А 1 б(фиг. 14).

Ориз. 12. Изоквантно изместване при неутрален NTP според Хикс

Ориз. 13. Изоквантно изместване за трудоспестяващ NTP

Ориз. 14. Изместване на изоквантата във фондоспестяващия НТП

При конструирането на производствени модели, като се вземе предвид научно-техническият прогрес, се използват главно следните подходи:

а) идеята за екзогенен (или автономен) технически прогрес, който съществува и когато основните производствени фактори не се променят. Специален случай на такъв NTP е неутрален по Хикс прогрес, който обикновено се взема предвид с помощта на експоненциален фактор, например:

Тук l > 0, характеризира скоростта на STP. Лесно е да се види, че времето тук действа като независим фактор в растежа на производството, но в същото време изглежда, че научно-техническият прогрес се случва сам по себе си, без да се изискват допълнителни инвестиции на труд и капитал;

б) идея за технически прогрес, въплътен в капитала, свързва нарастването на влиянието на научно-техническия прогрес с нарастването на капиталовите вложения. За да се формализира този подход, моделът за неутрален прогрес на Солоу е взет за основа:

което е написано като

където К 0 ДМА в началото на периода, Г Кнатрупване на капитал за период, равен на размера на инвестицията.

Очевидно, ако не се направи инвестиция, тогава D К= 0 и няма увеличение на производството поради научно-техническия прогрес;

в) горните подходи за моделиране на научно-техническия прогрес имат обща черта: прогресът действа като екзогенно дадена стойност, която влияе върху производителността на труда или капиталовата производителност и по този начин влияе върху икономическия растеж.

Но в дългосрочен план НТП е както резултат от развитието, така и до голяма степен негова причина. Тъй като именно икономическото развитие позволява на богатите общества да финансират създаването на нови модели технологии и след това да берат плодовете на научната и технологична революция. Следователно е напълно легитимно да се подходи към НТП като към ендогенен феномен, причинен (индуциран) от икономическия растеж.

Има две основни направления на моделиране на научно-техническия прогрес:

1) моделът на предизвикания прогрес се основава на формулата

освен това се предполага, че обществото може да разпределя инвестициите, предназначени за научно-технически прогрес, между различните си направления. Например между растежа на капиталовата производителност ( к(T)) (подобряване на качеството на машините) и растеж на производителността на труда ( л(T)) (обучение на служители) или избор на най-добра (оптимална) посока на техническо развитие с определен обем на разпределените капиталови инвестиции;

2) моделът на процеса на обучение в процеса на производство, предложен от К. Ароу, се основава на наблюдавания факт на взаимното влияние на растежа на производителността на труда и броя на новите изобретения. В хода на производството работниците придобиват опит, а времето за производство на продукт намалява, т.е. производителността на труда и самият трудов принос зависят от обема на производството

От своя страна нарастването на фактора труд, според производствената функция

води до увеличаване на производството. В най-простата версия на модела се използват следните формули:

тези. възвращаемостта на инвестицията се увеличава.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По този начин, в това срочна писмена работаРазгледах много важни и интересни факти от моя гледна точка. Установено е например, че производствената функция е математическа връзка между максималния производител за единица време и комбинацията от фактори, които го създават, като се има предвид текущото ниво на знания и технологии. В теорията на производството те използват главно двуфакторна производствена функция, която най-общо изглежда така: Q = f (K, L), където Q е обемът на производството; К - капитал; L - труд. Въпросът за съотношението на разходите на производствените фактори, които се заменят взаимно, се решава с помощта на такова понятие като еластичността на заместването на факторите на производство. Еластичността на заместването е съотношението на разходите за заместване на факторите на производство при постоянна продукция. Това е вид коефициент, който показва степента на ефективност при замяната на един производствен фактор с друг. Мярка за взаимозаменяемостта на производствените фактори е пределната норма на техническа замяна MRTS, която показва с колко единици един от факторите може да бъде намален чрез увеличаване на другия фактор с единица, запазвайки продукцията непроменена. Пределната норма на техническо заместване се характеризира с наклона на изоквантите. MRTS се изразява с формулата: Изокванта - крива, представяща всички възможни комбинации от два разхода, които осигуряват даден постоянен обем на производството. Финансирането обикновено е ограничено. По този начин оптималната комбинация от фактори за конкретно предприятие е общото решение на изоквантните уравнения.

Библиографски списък:

Гребенников P.I. и др. Микроикономика. Санкт Петербург, 1996.

Галперин В.М., Игнатиев С.М., Моргунов В.И. Микроикономика: В 2 тома - Санкт Петербург: Училище по икономика, 2002.V.1. - 349 стр.

Нуреев Р.М. Основи на икономическата теория: микроикономика - М., 1996.

Икономическа теория: Учебник за ВУЗ / Ред. Николаева И.П. – М.: Finanstatinform, 2002. – 399 с.

Политическа икономия на Бар. В 2 тома - М., 1994.

Пиндайк Р., Рубинфелд Д. Микроикономика.- М., 1992.

Беморнер Томас. Управление на предприятието. // Проблеми на теорията и управленски практики, 2001, № 2

Varian H.R. Микроикономика. Урокза университети - М., 1997.

Долан Е. Дж., Линдзи Д. Е. Микроикономика - Санкт Петербург: Питър, 2004. - 415 с.

Mankiw N.G. Принципи на икономиката. - Санкт Петербург, 1999.

Fisher S, Dornbusch R., Schmalenzi R. Economics.- M., 1993.

Фролова Н.Л., Чекански А.Н. Микроикономика - М.: TEIS, 2002. - 312 с.

Естеството на фирмата / Изд. Williamson O.I., Winter S.J. - M .: Norma, 2001. - 298 с.

Икономическа теория: Учебник за студ. по-висок учебник институции / под редакцията на V.D. Камаев 1-во изд. ревизиран и допълнителни - М .: Хуманитарен издателски център ВЛАДОС, 2003. - 614 с.

Голубков Е.П. Изучаване на конкуренти и придобиване на конкурентни предимства // Маркетинг в Русия и чужбина.-1999, № 2

Любимов Л.Л., Раннева Н.А. Основи на икономическите знания - М .: "Вита-Прес", 2002. - 496 с.

Зуев Г.М., Ж.В. Самохвалова Икономически и математически методи и модели. Междуотраслов анализ. - Растеж N / A: "Феникс", 2002. - 345 с.

Фролова Н.Л., Чекански А.Н. Микроикономика - М.: ТЕИС, 2002.

Чечевицина Л.Н. Микроикономика. Икономика на предприятие (фирма) - Растеж N / D: "Феникс", 2003. - 200 с.

Волски А. Условия за подобряване на икономическото управление // The Economist. - 2001, № 9

Milgrom D.A. Оценка на конкурентоспособността на икономическите технологии // Маркетинг в Русия и чужбина, 1999, № 2. - стр. 44-57 производство функция фирмие изоквантна карта с различни нива...

1. производство функцияи технологична ефективност на производството

   Право >> Икономическа теория

   За сравнително ниски производствени обеми производство функция фирмихарактеризиращ се с нарастваща възвръщаемост от мащаба ... всяка специфична комбинация от производствени фактори. производство функция фирмиможе да бъде представено чрез поредица от изокванти...

2. производство функция, свойства, еластичност

   Резюме >> Математика

   ... производство функциии ключови характеристики производство функции……………………………………………………..19 Глава II. Видове производство функции…………………………………..23 2.1. Определение за линейно – хомогенно производство функции ...

3. Теорията за пределната производителност на производствените фактори. производство функция

   Резюме >> Икономика

   Производствени методи, налични за това твърд, използват икономистите производство функция фирми.2 Концепцията му е разработена... , относително малко капитал и много труд.1 производство функция фирми, както вече споменахме, показва ...

Производството не може да създава продукти от нищото. Производственият процес е свързан с потреблението на различни ресурси. Броят на ресурсите включва всичко, което е необходимо за производствената дейност - суровини, енергия, труд, оборудване и пространство. За да се опише поведението на една фирма, е необходимо да се знае каква част от продукта може да произведе, използвайки ресурси в различни обеми. Ще изхождаме от предположението, че компанията произвежда хомогенен продукт, чието количество се измерва в натурални единици - тонове, парчета, метри и т.н. Зависимостта на количеството продукт, което една компания може да произведе от обема на разходите за ресурси е наречен производствена функция.

Разглеждането на понятието "производствена функция" ще започне с най-простия случай, когато производството се дължи само на един фактор. В този случай производствената функция - това е функция, чиято независима променлива приема стойностите на използвания ресурс (фактор на производство), а зависимата променлива - стойностите на обема на продукцията y=f(x).

В тази формула y е функция на една променлива x. В тази връзка производствената функция (ПФ) се нарича едноресурсна или еднофакторна. Неговата област на дефиниране е множеството от неотрицателни реални числа. Символът f е характеристика на производствената система, която преобразува ресурс в продукция.

Пример 1. Вземете производствената функция f във формата f(x)=ax b , където x е стойността на изразходвания ресурс (например работни часове), f(x) е обемът на продукцията (например броят хладилници, готови за изпращане). Стойностите a и b са параметри на производствената функция f. Тук a и b са положителни числа, а числото b1, параметърният вектор е двумерен вектор (a,b). Производствената функция y=ax b е типичен представител на широк клас еднофакторни PF.

Ориз. един.

Графиката показва, че с увеличаването на стойността на изразходвания ресурс, y нараства. Но в същото време всяка допълнителна единица от ресурса дава все по-малко увеличение на обема y на продукцията. Отбелязаното обстоятелство (увеличаване на обема на y и намаляване на увеличаването на обема на y с увеличаване на стойността на x) отразява фундаменталното положение на икономическата теория (добре потвърдено от практиката), наречено закон за намаляване ефективност (намаляване на производителността или намаляване на възвръщаемостта).

PF могат да имат различни области на използване. Принципът вход-изход може да се прилага както на микро-, така и на макроикономическо ниво. Нека първо се съсредоточим върху микроикономическото ниво. PF y=ax b , разгледан по-горе, може да се използва за описание на връзката между стойността на изразходвания или използван ресурс x през годината в отделно предприятие (фирма) и годишната продукция на това предприятие (фирма). Ролята на производствената система тук се играе от отделно предприятие (фирма) - имаме микроикономически PF (MIPF). На микроикономическо ниво една индустрия, междусекторен производствен комплекс, също може да действа като производствена система. MIPF се изграждат и използват главно за решаване на проблеми на анализа и планирането, както и проблеми с прогнозирането.

PF може да се използва за описание на връзката между годишните разходи за труд на регион или държава като цяло и годишната крайна продукция (или доход) на този регион или държава като цяло. Тук един регион или държава като цяло действа като производствена система - имаме макроикономическо ниво и макроикономически PF (MAPF). МЗГФ се изграждат и активно използват за решаване и на трите вида проблеми (анализ, планиране и прогнозиране).

Сега се обръщаме към разглеждането на производствените функции на няколко променливи.

Производствена функция на няколко променливие функция, чиито независими променливи приемат стойностите на обемите изразходвани или използвани ресурси (броят на променливите n е равен на броя на ресурсите), а стойността на функцията има значението на стойностите на изхода томове:

y=f(x)=f(x 1 ,…,х n).

Във формулата y (y0) е скаларен, а x е векторно количество, x 1 ,…,х n-координати на вектора x, т.е. f(x 1 ,…,х n) е числова функцияняколко променливи x 1 ,…,х n . В тази връзка PF f(x 1 ,…,х n) се нарича многоресурен или многофакторен. По-правилна е такава символика f(x 1 ,…, x n ,a), където a е векторът на PF параметрите.

от икономически смисълвсички променливи на тази функция са неотрицателни, следователно областта на дефиниране на многофакторната PF е множеството n-мерни вектори x, всички координати x 1 ,…,x n от които са неотрицателни числа.

Графика на функция на две променливи не може да бъде начертана в равнина. Производствената функция на няколко променливи може да бъде представена в триизмерно декартово пространство, две координати на което (x1 и x2) са нанесени на хоризонталните оси и съответстват на разходите за ресурси, а третата (q) е нанесена на вертикалната ос и съответства на изхода на продукта (фиг. 2). Графиката на производствената функция е повърхността на "хълма", издигаща се с нарастването на всяка от координатите x1 и x2.

За отделно предприятие (фирма), произвеждащо хомогенен продукт, PF f(x 1 ,…,х n) може да свърже обема на продукцията с разходите за работно време за различни видове трудова дейност, различни видове суровини, компоненти , енергетика, основен капитал. PF от този тип характеризират текущата технология на предприятието (фирмата).

Когато се конструира PF за регион или държава като цяло, съвкупният продукт (доход) на региона или страната, обикновено изчислен в постоянни, а не в текущи цени, се приема като стойност на годишното производство Y, обикновено основен капитал (x 1 (= K) се разглежда като ресурс - обемът на използвания основен капитал през годината) и жив труд (x 2 (= L) - броят единици жив труд, изразходван през годината), обикновено изчислен в стойностно изражение. Така се изгражда двуфакторен PF Y=f(K,L). От двуфакторни PF преминават към трифакторни. Освен това, ако PF е конструиран от данни от времеви редове, тогава технологичният прогрес може да бъде включен като специален фактор в растежа на производството.

Извиква се PF y=f(x 1 ,x 2). статичен, ако неговите параметри и неговата характеристика f не зависят от времето t, въпреки че обемът на ресурсите и обемът на продукцията могат да зависят от времето t, т.е. те могат да бъдат представени под формата на времеви редове: x 1 (0) , x 1 (1),…, x 1 (T); x 2 (0), x 2 (1), ..., x 2 (T); y(0), y(1),…,y(T); y(t)=f(x 1 (t), x 2 (t)). Тук t е номерът на годината, t=0.1,…,Т; t= 0 - базова година на времевия интервал, обхващащ години 1,2,…,T.

Пример2.За моделиране на конкретен регион или държава като цяло (т.е. за решаване на проблеми на макроикономическо, както и на микроикономическо ниво) често се използва PF под формата y=, където a 0 , a 1 и 2 са параметрите на PF. Това са положителни константи (често a 1 и a 2 са такива, че a 1 + a 2 =1). PF на току-що дадената форма се нарича PF на Cobb-Douglas (CPKD) на името на двамата американски икономисти, които предложиха използването му през 1929 г.

PPCD се използва активно за решаване на различни теоретични и приложни проблеми поради своята структурна простота. PFKD принадлежи към класа на така наречените мултипликативни PF (MPF). В приложенията PFKD x 1 = K е равен на обема на използвания основен капитал (обемът на използваните дълготрайни активи - в местната терминология), - цената на живия труд, тогава PFKD приема формата, често използвана в литературата:

Пример3.Линейният PF (LPF) има формата: (двуфакторен) и (многофакторен). PSF принадлежи към класа на така наречените добавки PF (APF). Преходът от мултипликативната PF към адитивната се извършва с помощта на операцията логаритъм. За двуфакторен мултипликативен PF

този преход изглежда така: . Въвеждайки подходящото заместване, получаваме добавка PF.

За производството на конкретен продукт е необходима комбинация от различни фактори. Въпреки това различните производствени функции споделят редица общи свойства.

За определеност се ограничаваме до производствените функции на две променливи. На първо място, трябва да се отбележи, че такава производствена функция е дефинирана в неотрицателен ортант на двумерната равнина, т.е. PF отговаря на следния набор от свойства:

• 1) няма изход без ресурси, т.е. f(0,0,a)=0;
• 2) при липса на поне един от ресурсите няма изход, т.е. ;
• 3) с увеличаване на цената на поне един ресурс, обемът на продукцията се увеличава;

4) с увеличаване на цената на един ресурс с постоянно количество на друг ресурс, обемът на продукцията се увеличава, т.е. ако x>0, тогава;

5) с увеличаване на цената на един ресурс с постоянно количество друг ресурс, стойността на увеличението на продукцията за всяка допълнителна единица от i-тия ресурс не се увеличава (законът за намаляваща ефективност), т.е. ако тогава;

• 6) с нарастването на един ресурс се увеличава пределната ефективност на друг ресурс, т.е. ако x>0, тогава;
• 7) PF е хомогенна функция, т.е. ; при p>1 имаме повишаване на ефективността на производството поради увеличаването на мащаба на производството; на стр

Производствените функции ни позволяват да анализираме количествено най-важните икономически зависимости в сферата на производството. Те позволяват да се оцени средната и пределната ефективност на различните производствени ресурси, еластичността на продукцията за различни ресурси, пределните нива на заместване на ресурсите, ефектът от производствения мащаб и много други.

Задача 1.Нека е дадена производствена функция, която свързва продукцията на едно предприятие с броя на работниците, производствени активии обема на използваните машиночасове

Необходимо е да се определи максималната мощност при ограничения

Решение.За да решим проблема, съставяме функцията на Лагранж

ние го диференцираме по отношение на променливи и приравняваме получените изрази към нула:

От първото и третото уравнение следва, че следователно

откъдето получаваме решение, за което y=2. Тъй като например точката (0,2,0) принадлежи на допустимата област и y=0 в нея, заключаваме, че точката (1,1,1) е глобалната максимална точка. Икономическите последици от полученото решение са очевидни.

Трябва също да се отбележи, че производствената функция описва набор от технически ефективни начинипроизводство (технологии). Всяка технология се характеризира с определена комбинация от ресурси, необходими за получаване на единица продукция. Въпреки че производствените функции са различни за различните видове производство, всички те имат общи свойства:

• 1. Има ограничение за увеличаване на производството, което може да бъде постигнато чрез увеличаване на цената на един ресурс, при равни други условия. Това означава, че във фирма с определен брой машини и производствени мощности има ограничение за увеличаване на производството чрез привличане на повече работници. Нарастването на производството с увеличаване на броя на заетите ще се доближава до нула.
• 2. Съществува известно допълване (комплементарност) на производствените фактори, но без намаляване на обемите на производство е възможна и известна взаимовръзка на тези фактори. Например, работата на работниците е ефективна, ако са снабдени с всички необходими инструменти. При липса на такива инструменти обемът може да бъде намален или увеличен с увеличаване на броя на служителите. В този случай един ресурс се заменя с друг.
• 3. Метод на производство НОсчитан технически за по-ефективен от б, ако включва използването на поне един ресурс по-малко, а всички останали - не повече от метода б.Технически неефективните методи не се използват от рационалните производители.
• 4. Ако начин НОвключва използването на някои ресурси в повече, а на други - в по-малко количество от метода б, тези методи са несравними по техническа ефективност. В този случай и двата метода се считат за технически ефективни и са включени в производствената функция. Кой да изберете зависи от съотношението на цената на използваните ресурси. Този избор се основава на критериите за рентабилност. Следователно техническата ефективност не е идентична с икономическата ефективност.

Техническата ефективност е максимално възможният обем на производството, постигнат в резултат на използването на наличните ресурси. Икономическата ефективност е производството на определен обем продукция при минимални разходи. В производствената теория традиционно се използва двуфакторна производствена функция, при която обемът на производството е функция на използването на трудови и капиталови ресурси:

Графично всеки начин на производство (технология) може да бъде представен с точка, която характеризира минимално необходимия набор от два фактора, необходими за производството на даден обем продукция (фиг. 3).

Фигурата показва различни начинипроизводство (технология): T 1, T 2, T 3, характеризиращо се с различни съотношения в използването на труда и капитала: T 1 = L 1 K 1; T2 = L2K2; T3 = L3K3. наклонът на гредата показва размера на приложението на различни ресурси. Колкото по-голям е ъгълът на наклона на гредата, толкова по-голяма е цената на капитала и толкова по-ниска е цената на труда. Технологията T 1 е по-капиталоемка от технологията T 2 .

Ориз. 3.

Ако се свържете различни технологиилиния, получаваме образа на производствената функция (линия на равен изход), която се нарича изокванти. Фигурата показва, че обемът на производството Q може да бъде постигнат с различни комбинации от производствени фактори (T 1, T 2, T 3 и т.н.). Горната част на изоквантата отразява капиталоемките технологии, докато долната част отразява трудоемките технологии.

Картата на изоквантите е набор от изокванти, които отразяват максимално постижимото ниво на продукция за всеки даден набор от производствени фактори. Колкото по-далеч е изоквантата от началото, толкова по-голям е резултатът. Изоквантите могат да преминат през всяка точка в пространството, където има два фактора на производство. Значението на картата на изоквантите е подобно на значението на картата на кривата на безразличие за потребителите.

Фиг.4.

Изоквантите имат следното Имоти:

• 1. Изоквантите не се пресичат.
• 2. По-голямото разстояние на изоквантата от началото съответства на по-голямо ниво на продукция.
• 3. Изокванти – низходящи криви, имат отрицателен наклон.

Изоквантите са подобни на кривите на безразличие с единствената разлика, че отразяват ситуацията не в сферата на потреблението, а в сферата на производството.

Отрицателният наклон на изоквантите се обяснява с факта, че увеличаването на използването на един фактор при определена сумаосвобождаването на даден продукт винаги ще бъде придружено от намаляване на количеството на друг фактор.

Разгледайте възможните изоквантни карти

На фиг. Фигура 5 показва някои изоквантни карти, които характеризират различни ситуации, които възникват, когато два ресурса се консумират в производството. Ориз. 5а съответства на абсолютната взаимозамяна на ресурсите. В случая, показан на фиг. 5b, първият ресурс може да бъде напълно заменен с втория: изоквантните точки, разположени на оста x2, показват количеството на втория ресурс, което позволява да се получи един или друг изход от продукта, без да се използва първият ресурс. Използването на първия ресурс намалява цената на втория, но е невъзможно напълно да се замени вторият ресурс с първия. Ориз. 5c изобразява ситуация, в която и двата ресурса са необходими и нито един от тях не може да бъде напълно заменен от другия. И накрая, случаят, показан на фиг. 5d се характеризира с абсолютна взаимност на ресурсите.

Ориз. 5. Примери за изоквантни карти

За да се обясни производствената функция се въвежда понятието разходи.

В най-общ вид разходите могат да се дефинират като набор от разходи, които производителят прави при производството на определен обем продукция.

Съществува тяхната класификация според периодите от време, през които компанията взема конкретно производствено решение. За да промени обема на производството, фирмата трябва да коригира размера и състава на своите разходи. Някои разходи могат да бъдат променени доста бързо, докато други изискват определено време.

Краткосрочният период е времеви интервал, който е недостатъчен за модернизиране или въвеждане в експлоатация на нови производствени мощности на предприятието. Въпреки това през този период компанията може да увеличи производството чрез увеличаване на степента на интензивност на използване на съществуващите производствени мощности (например наемане на допълнителни работници, закупуване на повече суровини, увеличаване на коефициента на смяна на поддръжката на оборудването и т.н.). От това следва, че в краткосрочен план разходите могат да бъдат фиксирани или променливи.

Фиксираните разходи (TFC) са сумата от разходите, които не зависят от промените в обема на производството. Фиксираните разходи са свързани със самото съществуване на фирмата и трябва да бъдат платени дори ако фирмата не произвежда нищо. Те включват амортизационни разходи за сгради и оборудване; данък имоти; осигурителни плащания; разходи за ремонт и поддръжка; облигационни плащания; заплати на висшия управленски персонал и др.

Променливите разходи (TVC) са разходите за ресурси, които се използват директно за производството на дадена продукция. Елементи на променливите разходи са разходите за суровини, материали, гориво, енергия; заплащане на транспортни услуги; заплащане на по-голямата част от трудовите ресурси (заплати). За разлика от постоянните разходи, променливите разходи зависят от обема на продукцията. Все пак трябва да се отбележи, че увеличението на размера на променливите разходи, свързани с увеличаване на производството с 1 единица, не е постоянно.

В началото на процеса на увеличаване на производството променливите разходи ще нарастват за известно време с намаляваща скорост; и така ще продължи до конкретна стойност на обема на продукцията. Тогава променливите разходи ще започнат да нарастват с нарастваща скорост за всяка следваща единица продукция. Това поведение на променливите разходи се определя от закона за намаляващата възвръщаемост. Увеличаването на пределния продукт с течение на времето ще доведе до все по-малки и по-малки увеличения на променливи ресурси за производството на всяка допълнителна единица продукция.

И тъй като всички единици променливи ресурси се закупуват на една и съща цена, това означава, че сумата на променливите разходи ще нараства с намаляваща скорост. Но тъй като пределната производителност започва да пада в съответствие със закона за намаляващата възвръщаемост, все повече и повече допълнителни променливи ресурси ще трябва да се използват за производството на всяка следваща единица продукция. По този начин сумата на променливите разходи ще нараства с ускорен темп.

Сумата от постоянните и променливите разходи, свързани с производството на определено количество продукция, се нарича обща цена (TC). Така получаваме следното равенство:

TC - TFC + TVC.

В заключение отбелязваме, че производствените функции могат да се използват за екстраполиране на икономическия ефект от производството в даден период от бъдещето. Както в случая с конвенционалните иконометрични модели, икономическата прогноза започва с оценка на прогнозираните стойности на производствените фактори. В този случай може да се използва методът на икономическо прогнозиране, който е най-подходящ за всеки отделен случай.

В условия модерно обществоникой човек не може да консумира само това, което сам произвежда. Всеки индивид действа на пазара в две роли: като потребител и като производител. Без постоянно производство на стокинямаше да има консумация. На добре познатия въпрос "Какво да произвеждаме?" потребителите на пазара реагират, като „гласуват“ със съдържанието на портфейла си за онези стоки, от които наистина се нуждаят. На въпроса "Как да произвеждам?" трябва да отговорят тези фирми, които произвеждат стоки на пазара.

В икономиката има два вида стоки: потребителски стоки и производствени фактори (ресурси) - това са стоките, необходими за организиране на производствения процес.

Неокласическата теория традиционно приписва капитала, земята и труда на производствените фактори.

През 70-те години 19 векАлфред Маршал откроява четвъртия фактор на производството - организацията. Освен това Йозеф Шумпетер нарича този фактор предприемачество.

По този начин, производството е процесът на комбиниране на фактори като капитал, труд, земя и предприемачество, за да се получат нови стоки и услуги, необходими на потребителите.

За организацията на производствения процес трябва да присъстват в определено количество необходимите производствени фактори.

Зависимостта на максималния обем на произведения продукт от разходите на използваните фактори се нарича производствена функция:

където Q е максималният обем на продукт, който може да бъде произведен при дадена технология и определени производствени фактори; К - капиталови разходи; L - разходи за труд; M - разходите за суровини, материали.

За обобщен анализ и прогнозиране се използва производствена функция, наречена функция на Коб-Дъглас:

Q = k K L M ,

където Q е максималният обем на продукта за дадени производствени фактори; K, L, M - съответно разходите за капитал, труд, материали; k - коефициент на пропорционалност или мащаб; , , , - показатели за еластичността на обема на производството, съответно за капитал, труд и материали, или коефициенти на растеж Q, за 1% от растежа на съответния фактор:

+ + = 1

Въпреки факта, че за производството на определен продукт е необходима комбинация от различни фактори, производствената функция има редица общи свойства:

производствените фактори се допълват. Това означава, че този производствен процес е възможен само при набор от определени фактори. Липсата на един от тези фактори ще направи невъзможно производството на планирания продукт.

има известна взаимозаменяемост на факторите. В процеса на производство един фактор може да бъде заменен в определено съотношение с друг. Взаимозаменяемостта не означава възможност за пълно елиминиране на всеки фактор от производствения процес.

Прието е да се разглеждат 2 разновидности на производствената функция: с един променлив фактор и с два променливи фактора.

а) производство с един променлив фактор;

Да приемем, че в най-общ вид производствената функция с един променлив фактор има формата:

където y е const, x е стойността на променливия фактор.

За да се отрази влиянието на променлив фактор върху производството, се въвеждат понятията общ (общ), среден и пределен продукт.

общ продукт (TP) - е количеството икономическо благо, произведено с помощта на известно количество променлив фактор.Това общо количество произведен продукт се променя с увеличаване на използването на променливия фактор.

Среден продукт (AP) (средна производителност на ресурси)е отношението на общия продукт към количеството променлив фактор, използван в производството:

пределен продукт (MP) (пределна производителност на ресурсите) обикновено се определя като увеличението на общия продукт в резултат на безкрайно малко увеличение на количеството на използвания променлив фактор:

Графиката показва съотношението на MP, AP и TP.

Общият продукт (Q) ще нараства с увеличаването на използването на променливия фактор (x) в производството, но този растеж има определени граници в рамките на дадена технология. На първия етап от производството (ОА) увеличаването на разходите за труд допринася за все по-пълното използване на капитала: пределната и общата производителност на труда нарастват. Това се изразява в нарастване на пределния и средния продукт, докато MP > АР. В точка А "пределният продукт достига своя максимум. На втория етап (AB) стойността на пределния продукт намалява и в точка B" става равна на средния продукт (MP = AP). Ако в първия етап (0A) общият продукт нараства по-бавно от количеството на използвания променлив фактор, тогава във втория етап (AB) общият продукт нараства по-бързо от количеството на използвания променлив фактор (фиг. 5-1a). ). На третия етап на производство (BV) MP< АР, в результате чего совокупный продукт растет медленнее затрат переменного фактора и, наконец, наступает четвертая стадия (пос­ле точки В), когда MP < 0. В результате прирост переменного фак­тора х приводит к уменьшению выпуска совокупной продукции. В этом и заключается закон убывающей предельной производительности. Той твърди, че с увеличаване на използването на който и да е производствен фактор (докато останалите остават непроменени), рано или късно се достига точка, при която допълнителното използване на променлив фактор води до намаляване на относителния, а след това и на абсолютния обем на изход.

б) производство с два променливи фактора.

Да приемем, че в най-общ вид производствената функция с два променливи фактора има формата:

където x и y са стойностите на променливия фактор.

По правило се разглеждат 2 едновременно допълващи се и взаимозаменяеми фактора: труд и капитал.

Тази функция може да бъде представена графично с помощта на изокванти :

Изоквантата или кривата на равен продукт представлява всички възможни комбинации от два фактора, които могат да бъдат използвани за производството на дадено количество продукт.

С увеличаване на обема на използваните променливи фактори става възможно производството на по-голям обем продукти. Изоквантата, която отразява производството на по-голям обем продукт, ще бъде разположена вдясно и над предишната изокванта.

Броят на използваните фактори x и y може постоянно да се променя, съответно максималната производителност на продукта ще намалява или нараства. Следователно може да има набор от изокванти, съответстващи на различни обеми продукция, които образуват изоквантна карта.

Изоквантите са подобни на кривите на безразличие с единствената разлика, че отразяват ситуацията не в сферата на потреблението, а в сферата на производството. Тоест изоквантите имат свойства, подобни на кривите на безразличие.

Отрицателният наклон на изоквантите се обяснява с факта, че увеличаването на използването на един фактор при определен обем на продукцията на продукта винаги ще бъде придружено от намаляване на количеството на друг фактор.

Точно както кривите на безразличие, разположени на различни разстояния от началото, характеризират различни нива на полезност за потребителя, така и изоквантите предоставят информация за различни ниваизход на продукта.

Проблемът със заменяемостта на един фактор с друг може да бъде решен чрез изчисляване на пределната норма на технологично заместване (MRTS xy или MRTS LK).

Пределната норма на технологично заместване се измерва чрез съотношението на промяната във фактора y към промяната във фактора x. Тъй като факторите се заменят по обратния начин, математическият израз за MRTS индикатора x,y се приема със знак минус:

MRTS x,y = илиMRTS LK=

Ако вземем която и да е точка от изоквантата, например точка A и начертаем допирателна KM към нея, тогава тангентата на ъгъла ще ни даде стойността на MRTS x,y:

Може да се отбележи, че в горната част на изоквантата ъгълът ще бъде доста голям, което показва, че са необходими значителни промени във фактора y, за да се промени факторът x с единица. Следователно в тази част от кривата стойността на MRTS x,y ще бъде голяма.

Докато се движите надолу по изоквантата, стойността на пределната норма на технологично заместване постепенно ще намалява. Това означава, че за да се увеличи факторът x с единица, е необходимо леко намаляване на фактора y.

В реалните производствени процеси има два изключителни случая в конфигурацията на изоквантата:

Това е ситуация, при която два променливи фактора са напълно взаимозаменяеми, с пълна заменимост на производствените фактори MRTS x,y = const. Подобна ситуация може да си представим и с възможността за пълна автоматизация на производството. Тогава в точка А целият производствен процес ще се състои от капиталови вложения. В точка B всички машини ще бъдат заменени от работещи ръце, а в точки C и D капиталът и трудът ще се допълват взаимно.

В ситуация със строго допълване на факторите пределната норма на технологично заместване ще бъде равна на 0 (MRTS x,y = 0). Ако вземем модерен таксиметров парк с постоянен брой автомобили (y 1), които изискват определен брой шофьори (x 1), тогава можем да кажем, че броят на обслужените пътници през деня няма да се увеличи, ако увеличим броя на драйверите до x 2, x 3, ... x n. Обемът на произведения продукт ще се увеличи от Q 1 на Q 2 само ако броят на употребяваните автомобили в таксиметровия парк и броят на шофьорите се увеличат.

Всеки производител, придобивайки фактори за организация на производството, има определени ограничения в средствата.

Нека приемем, че трудът (фактор x) и капиталът (фактор y) действат като променливи фактори. Те имат определени цени, които остават постоянни за периода на анализ (P x , P y - const).

Производителят може да закупи необходимите фактори в определена комбинация, която не надхвърля бюджетните му възможности. Тогава неговата цена за придобиване на фактора x ще бъде P x · x, цената на фактора y, съответно, ще бъде P y · y. Общите разходи (C) ще бъдат:

C = P x X + P y Y или
.

За труд и капитал:

или

Извиква се графичното представяне на функцията на разходите (C). isocost (преки равни разходи, т.е. това са всички комбинации от ресурси, чието използване води до едни и същи разходи, изразходвани за производство).Тази права линия се конструира по две точки подобно на бюджетната линия (в равновесието на потребителя).

Наклонът на тази права линия се определя от:

С увеличаване на средствата за закупуване на променливи фактори, тоест с намаляване на бюджетните ограничения, линията на изокост ще се измести надясно и нагоре:

C 1 \u003d P x X 1 + P y Y 1.

Графично изокостите изглеждат по същия начин като бюджетната линия на потребителя. При постоянни цени изокостите са прави успоредни линии с отрицателен наклон. Колкото по-големи са бюджетните възможности на производителя, толкова по-далече от началото на координатите е изокостът.

Графиката на изокост в случай на намаляване на цената на фактора x ще се движи по абсцисата от точката x 1 до x 2 в съответствие с увеличаването на използването на този фактор в производствения процес (фиг. а).

И ако цената на фактора y се увеличи, производителят ще може да привлече по-малко количество от този фактор в производството. Графиката на изокост по оста y ще се премести от точка y 1 до y 2 .

Като се имат предвид производствените възможности (изоквантите) и бюджетните ограничения на производителя (изоразходите), може да се определи равновесие. За да направим това, ние комбинираме картата на изоквантите с изокостите. Тази изокванта, по отношение на която изокостът заема позицията на допирателна, ще определи най-големия обем на производството при възможностите на бюджета. Допирната точка на изоквантата на изокоста ще бъде точката на най-рационалното поведение на производителя.

При анализа на изоквантата установихме, че нейният наклон във всяка точка се определя от наклона на тангентата или скоростта на технологично заместване:

MRTS x,y =

Изокостът в точка E съвпада с тангентата. Наклонът на изокостата, както определихме по-рано, е равен на наклона . Въз основа на това е възможно да се определи точка на равновесие на потребителя като равенство на съотношенията между цените на производствените фактори и изменението на тези фактори.

или

Привеждайки това равенство към показателите на пределния продукт на променливия фактор на производство, в този случай това е MP x и MP y , получаваме:

или

Това е равновесието на производителя или правилото за най-малката цена..

За труда и капитала равновесието на производителя ще изглежда така:

Да приемем, че цените на ресурсите остават постоянни, докато бюджетът на производителя постоянно се увеличава. Свързвайки пресечните точки на изоквантите с изокостите, получаваме линията OS - "пътят на развитие" (подобно на линията на стандарта на живот в теорията на потребителското поведение). Този ред показва скоростта на нарастване на съотношението между факторите в процеса на разширяване на производството. На фигурата например трудът в хода на развитието на производството се използва в по-голяма степен от капитала. Формата на кривата на "пътя на развитие" зависи, първо, от формата на изоквантите и, второ, от цените на ресурсите (съотношението между които определя наклона на изокантите). Линията на "пътя на развитие" може да бъде права или извита от началото.

Ако разстоянията между изоквантите намаляват, това показва, че има нарастващи икономии от мащаба, т.е. увеличение на продукцията се постига с относителна икономия на ресурси. И компанията трябва да увеличи обема на производството, тъй като това води до относителна икономия на наличните ресурси.

Ако разстоянията между изоквантите се увеличават, това показва намаляващи икономии от мащаба. Намаляването на икономиите от мащаба показва, че минималният ефективен размер на предприятието вече е достигнат и по-нататъшното увеличаване на производството не е препоръчително.

Когато увеличаването на производството изисква пропорционално увеличение на ресурсите, се говори за постоянни икономии от мащаба.

По този начин анализът на продукцията с помощта на изокванти дава възможност да се определи техническата ефективност на производството. Пресичането на изоквантите с изокостите дава възможност да се определи не само технологичната, но и икономическата ефективност, т.е. да се избере технология (спестяваща труд или капитал, спестяваща енергия или материали и т.н.), която позволява да се осигури максимална производство на продукти с наличните средства производителят да организира производството.