Масштаб- це відношення довжини відрізка на карті, плані чи кресленні до відповідної йому реальної довжини біля.
Масштаб показує: скільки разів кожна лінія. нанесена на карту, зменшена стосовно її дійсних розмірів біля.
Зменшення зображення - це необхідність, ми рідко замислюємося над цим, проте також рідко зображуємо предмети в натуральну величину. Як правило, щоб вони помістилися на аркуші паперу, їх доводиться зменшувати, рідше - доводиться збільшувати. Особливо актуально це зображення земної поверхні, адже зображати її віч-на-віч зовсім неможливо.
Чи будь-яке зменшене зображення має масштаб? Звичайно, ні. До малюнка масштаб не застосовується, навіть якщо рисунок дуже якісний. У будь-якому випадку - художник внесе спотворення в предмет, що зображається, а з визначення масштабу ми бачимо, що кожна(!) лінія нашого зображення зменшена по відношенню до реального предмета однаково. Отже, зображення в масштабі може бути виконане як мінімум за наявності вимірювальних приладів ( Крайній мірі, Лінійки). Як максимум – з використанням обчислювальної техніки.

Як записується масштаб?

Масштаб – це відношення. Ставлення передбачає процес поділу, отже, масштаб - це математичний дріб, у якому є чисельник і знаменник. У чисельнику дробу записується довжина відрізка на зображенні, а знаменнику - довжина реального відрізка, що зображається.

Припустимо, зображення виконано (хоч для карти це і неможливо) в масштабі один до одного - довжина відрізка, що зображується, збігається з довжиною зображеного.
Масштаб записується як 1:1
Якщо зображення зменшено в 3 рази, масштаб запишеться як 1:3
Зменшення у 100 000 разів записується як 1:100 000

Що це означає?

Якщо масштаб 1 до 1, значить 1 сантиметр нашого зображення відповідає 1 реальний сантиметр поверхні, а якщо 1:100 000, значить - 1 сантиметр зображення відповідає 100 000 сантиметрів. А одному метру зображення? 1 метр тоді буде відповідати 100 000 метрів. Зауважимо, що якою б не була обрана довжина на карті, реальна довжина буде більшою – у нашому випадку в 100 000 разів. Якщо масштаб 1:1000 – тоді у тисячу; 1:30 000 000 – у тридцять мільйонів.

Переклад

Коли скажемо, що одному сантиметру карти відповідає тридцять мільйонів сантиметрів, ніхто нічого не зрозуміє. Отже, треба перевести це астрономічне число на щось зрозуміле. Ми знаємо, що за 1 метр 100 сантиметрів. Отже, можна перевести сантиметри на метри. 30000000 сантиметрів ділимо на 100 і отримуємо 300 000 метрів. Теж не надто зручно, отже, треба перекладати далі. Пам'ятаємо, що за 1 кілометр 1000 метрів. Ділимо 300 000 метрів на 1000. Вийшло 300 кілометрів. Отже, в одному сантиметрі карти масштабу 1:30 000 000 міститься 300 кілометрів, а це вже можна уявити.
Є простий і надійний спосібперекладу сантиметрів в кілометри - в кінцевому рахунку ми ділили число на 100 000 (спочатку на 100, а потім на 1000), так що можна просто подумки закривати 5 нулів і переводити значно швидше, проте потрібно пам'ятати що це підходить тільки для перекладу сантиметрів в кілометри і лише тоді, коли нулів вистачає. Для масштабу 1:50 тисяч нам буде достатньо зупинитися на метрах.

Види масштабу

Той масштаб, що пишеться у вигляді дробу через знак ":" називається чисельним. Приклади чисельного масштабу: 1:1000, 1:1000 000, 1:250 000
Регулярно для того, щоб не доводилося весь час виконувати переказ чисельного масштабу на картах (особливо шкільних), вказують іменованиймасштаб. Він показує, яка відстань міститься в 1 сантиметрі картки і записується: в 1 см 1 м; за 1 см 10 км; за 1 см 2,5 км відповідно.
Іноді під картою додають лінійний масштаб у вигляді мірної лінійки. Це зручно, тому що за його наявності можна, скориставшись циркулем-вимірником або лінійкою виміряти відстань на карті, прикласти її до лінійного масштабу та отримати результат, що відповідає реальній відстані.

Види карт за масштабом

Ключовий відмінною особливістюкартки від малюнка є наявність масштабу. Карта без масштабу – це не карта. Усі картографічні твори прийнято класифікувати відповідно до масштабу, у якому вони виконані.
- Дрібномасштабні (карти світу або материків - їх масштаб дрібніший за 1:1000 000)
- Середньомасштабні (карти країн, великих островів - від 1:100 000 до 1:1000 000)
- Великомасштабні (карти невеликих країн, областей, міст - не більше 1: 100 000)
Запам'ятайте: чим більший масштаб, тим менше розміщується на карті. Справа в тому, що масштаб - це дріб, а чим менше знаменник дробу, тим він більший.

Кінцевим результатом топографо-геодезичних робіт є креслення земної поверхні, числові дані для складання цифрових моделей місцевості та ін матеріал, представлений у впорядкованому вигляді. Креслення можуть бути складені на паперовій основі, представлені в електронної формиабо у вигляді комп'ютерної бази даних. Традиційними формами креслень є: карта, план, профіль.

При зображенні папері, тобто. на площині всієї земної поверхні або значних її ділянок неможливо уникнути спотворень зображення внаслідок кривизни поверхні, що зображується, оскільки при будь-якому способі проектування на площину виникають спотворення в довжинах ліній і кутах між ними.

Зменшене перекручене рахунок впливу кривизни Землі, плоске зображення всієї земної поверхні чи значної її частини, побудоване за певними математичними законами, називається карткою .

Залежно від призначення карти у її створенні вибирається певна картографічна проекція, тобто. математичний законпроектування території на площину.

Ортогональну проекцію невеликих ділянок місцевості (до 20х20 км) на рівну поверхню можна вважати плоскою, нехтуючи кривизною Землі. Зменшене зображення такої проекції на папері буде без спотворень, спричинених кривизною Землі, та подібною до ділянки місцевості.

Таким чином, зменшене, подібне зображення на площині горизонтального прокладання порівняно невеликої ділянки земної поверхні називається планом .

Наочним зображенням нерівностей земної поверхні є профіль , тобто. зменшене зображення її вертикального розрізу по вибраній лінії.

На планах і картах можуть зображуватись ситуація та рельєф, або тільки ситуація(Від франц. Situation – місце розташування).

Сукупність зображень на плані місцевих предметів природного та штучного походження(річка, ліс, чагарник, земельна ділянка, будівля, вулиця та ін.), називається ситуацією місцевості.

Сукупність нерівностей земної поверхні природного походження називається рельєфом місцевості.

Якщо на плані зображені лише межі об'єктів місцевості, його називають контурним(Рис. 3.1, а). Якщо, крім контурів, на план нанесено і рельєф, такий план називають топографічним(Рис. 3.1, б).

Рис.3.1. Контурний (а) та топографічний (б) плани.

Картою називають креслення, на якому може бути зображена поверхня всієї Землі або будь-якої її частини в узагальненому та зменшеному вигляді.

Карти можуть мати різне призначення: сільськогосподарські, кадастрові, економічні, політичні та ін. - це так звані тематичніабо спеціальнікарти, на яких показують контури ситуації та спеціальне навантаження. Карти на яких, крім контурів ситуації, зображено рельєф земної поверхні, називають загальногеографічними.Загальногеографічна основа карти є каркасом для побудови тематичних карток.

За будь-яких вимірів за планами і картами слід пам'ятати, що масштаб плану у всіх його точках однаковий, а масштаб у всіх точках карти, як правило, різний.

Поняття про топографічні плани та карти.Масштаби. Точність масштабу.

Концепція масштабу плану і карти.

При складанні планів, карт, профілів результати вимірювання ліній на місцевості зменшують у кілька сотень чи тисяч разів.

Ступінь зменшення горизонтальних прокладень ліній місцевості при зображенні їх на плані називається масштабом.

Під масштабом карткив загальному випадкурозуміється відношення довжини лінії на карті до її довжини лежить на поверхні относимости. Залежно від картографічної проекції зображення на карті різних місцяхмають різні за величиною спотворення, тому масштаб карти неоднаковий. Для карт, складених у дрібному масштабі, зазвичай підписується середній масштаб.

Масштаб, виражений числом у вигляді простого дробу називається чисельним. У нього чисельник дорівнює одиниці, а знаменник - кругле число, наприклад, 1/500, 1/1000 або 1:500, 1:1000. Масштаб 1:500 показує, що горизонтальне прокладання лінії місцевості зменшено на плані в 500 разів і одиниці довжини на плані, карті чи профілі відповідає біля 500 таких одиниць, тобто. одному сантиметру на плані, карті чи профілі відповідає 500 см або 5 м на місцевості.

Чисельний масштаб підписують на планах, картах або профілях у нижній частині, супроводжуючи пояснювальним написом, наприклад, «в 1 сантиметрі 5 м», оскільки довжини ліній місцевості зручно виражати в метрах. Щоб визначити кількість метрів на місцевості в одному сантиметрі плану (карти), треба у знаменника чисельного масштабу відкинути два останні нулі, наприклад, 1 см плану масштабу 1:2000 відповідає 20м на місцевості.

Щоб на плані (карті) показати більше подробиць, їх треба складати у більшому масштабі. Чим менший знаменник чисельного масштабу, тим більший масштаб, а масштаб з великим знаменником вважається дрібним. До великих масштабів відносять: 1: 500; 1: 1000; 1: 2000; 1: 5000; до середніх – 1:10 000, 1:25 000, 1:50 000; до дрібних - 1: 100 000, 1: 200 000, 1: 500 000, 1: 1 000 000 і дрібніше.

Плани та карти в Росії створюються в прийнятих масштабах, що утворюють строго певну систему, яка називається масштабним рядом. Масштабний ряд встановлений з таким розрахунком, щоб він задовольняв усі умови споживачів і була можливість легко переходити від одного масштабу до іншого.

Знаючи чисельний масштаб, легко довжини ліній місцевості перетворювати на довжини ліній на плані (карті) і навпаки. Такий переклад пов'язаний з обчисленнями, тому, щоб не провадити таких обчислень, користуються шкалою(Номограмою) графічно побудованою. Така шкала називається лінійним масштабом(Рис. 3.2).

Рис. 3.2. Чисельний та лінійний масштаби.

Лінійний масштаб є графіком у вигляді відрізка прямої горизонтальної лінії, на якій послідовно відкладені рівні відрізки, звані основоюмасштабу. Підстава масштабу відповідає цілій кількості десятків чи сотень метрів біля. Для підвищення точності вимірювань крайня ліва підстава ділиться на дрібніші відрізки.

Початком рахунку є нуль (0) - загальна точкапершого та другого підстави масштабу. Інші відрізки підписують відповідно до величини чисельного масштабу. Якщо основа масштабу дорівнює 2 см, то такий лінійний масштаб називається нормальним. На рис. 3.1 нормальний лінійний масштаб побудований для чисельного 1: 10000 (1 см - 100 м, а 2 см - 200 м).

Вимірювання за лінійним масштабом зазвичай виробляють циркулем-вимірювачем(Рис.3.3), який перед роботою повинен бути добре відрегульований. При вимірі циркуль слід тримати однією рукою, нахиляючи його трохи від себе так, щоб добре було видно одночасно обидва вістря голок.

Рис. 3.3. Визначення відстаней за лінійним масштабом.

При вимірі відстаней розчин циркуля встановлюють по точках А і на плані, а потім прикладають циркуль до лінійного масштабу так, щоб його ліва ніжка припала зліва від нуля, а права стояла точно на одному з поділів вправо від нуля. Визначається відстань дорівнюватиме сумі відліків по обох кінцях голок циркуля, тобто. 100 + 86 = 186м. При цьому десяті частки дрібних поділів визначаються "на око".

Під час виконання картометричних робіт на планах (картах) основними елементами графічної побудови є точки-наколи голки циркуля та лінії. Накол є кружок дуже малого діаметра. Фізіологічна властивістьлюдського ока таке, що при розгляданні з відстані 25-30 см двох поруч розташованих точок (наколів) вони зливаються в одну, якщо відстань між ними менша за 0,1 мм (за дослідженнями кафедри геодезії ГУЗа - 0,08 мм). Це з критичним кутом зору людини, рівним 1¢. Розмір 0,1 мм прийнято за граничну графічну точністьвимірювання картою, тобто. є такою мінімальною величиною, яку можна бачити неозброєним оком та відчувати при вимірах циркулем.

При виконанні знімальних робіт мірою точності роботи поряд з величиною 0,1 мм є відстань, що відповідає цій величині, на місцевості, зване граничною точністю масштабу.Це та максимальна точність, з якою можна визначити відстань за цим планом (карті). При цьому слід враховувати, що внаслідок накопичення неминучих похибок у технологічному процесі виготовлення плану (карти) практична точність результату вимірювання відстаней за планами (карт) значно грубіша за граничну графічну точність і може досягати 1мм.

Граничну точність масштабу легко розрахувати, розділивши знаменник чисельного масштабу на 10000. Наприклад, точність масштабу 1:5000 дорівнює 0,5м. Знати величину точності масштабу необхідно при виборі масштабу зйомки та при визначенні, які об'єкти місцевості не слід знімати, оскільки вони не з'являться в даному масштабі.

Наприклад, земельна ділянка розміром 10x10 м на картах масштабів 1: 50 000, 1: 100 000 та 1: 200 000 зобразяться у вигляді точки, а при масштабах плану (карти) 1: 5000, 1: 10 000, 1: 25 0 матиме розміри відповідно 2,0x2,0 мм, 1,0x1,0мм, 0,4x0,4мм, тобто. що більше знаменник чисельного масштабу, то детальність плану менше і, навпаки, що менше знаменник чисельного масштабу, то детальність більше.

Побудова поперечного масштабу, його точність. Вимірювання довжин ліній на плані.

Для підвищення точності вимірювання відстаней на плані (карті), щоб не вимірювати величину відрізка на око, використовують шкалу поперечногомасштабу, яку можна побудувати в такий спосіб.

Рис. 3.4. Нормальний поперечний масштаб.

На горизонтальній прямій КL(рис. 3.4) відкладають кілька разів основу масштабу, що дорівнює 2 см. Через отримані точки проводять лінії, перпендикулярні до КL. Перша основа КСділять на десять рівних частин. Крайні перпендикуляри КМі LNділять на десять рівних частин і через поділки на перпендикулярах проводять лінії, паралельні до основи КL.Відрізок МВ також поділяють на 10 рівних частин. При цьому Cз'єднують із точкою А, а інші похилі лінії, звані трансверсалями, проводяться паралельно. В результаті графічних побудов одержують, так званий, поперечний масштаб. Відрізок а 1 b 1називається найменшим розподіломпоперечного масштабу.

Якщо кількість поділів основи масштабу n, Число поділів на перпендикулярі m, то найменше розподіл поперечного масштабу а 1 b 1буде одно:

а 1 b 1 = КС/nm . (3.1)

приклад. Якщо КС= 2 см, n = 10, m= 10, то а 1 b 1= 2 см/10х10 = 0.02см,

що при масштабі 1:10 000 відповідає 2 м, а 2 b 2- 4 м і т.д. АB– 20 м.

Так як основу поперечного масштабу вибирають рівним 2 см, то практично значення всіх його поділів у метрах можна розрахувати для будь-якого чисельного масштабу.

Поперечний масштаб зазвичай гравірується на спеціальних металевих лінійках, які називаються масштабними,а також на геодезичному транспортирі.

На таких масштабних лінійках зазвичай вказуються порядкові номери малих і великих поділів, тому кожного конкретного масштабу плану необхідно заздалегідь визначити якому значенню метрів відповідає найменше розподіл масштабу та інші поділки.

Поперечним масштабом користуються в такий спосіб. Нехай потрібно відкласти на плані (карті) масштабу 1:10 000 лінію завдовжки 246 м (рис. 3.3). При підставі масштабу, що дорівнює 2 см, один поділ праворуч від нуля буде відповідати 200 м, зліва - 20 м. Найменший поділ згідно з формулою (3.1) - 2 м. Ставлять праву ніжку вимірювача на поділ з позначкою 200 (порядковий номер 1), а другу ніжку - вліво від нуля на друге поділ (т.к. один поділ відповідає 20 м), що відповідатиме 240 м.

Потім переставивши вимірювач вгору так, щоб ліва ніжка вимірювача йшла по похилій лінії (трансверсалі), а права - вертикальною до третьої горизонтальної лінії, на якій є відрізок а 3 до 3відповідний 6м і одержують загальну довжину лінії 246 м. Отриманим розчином вимірювача відкладають відстань на плані (карті).

Для визначення довжини лінії на плані, беруть відповідний розчин вимірювача і прикладають до поперечного масштабу так, щоб його права ніжка збіглася з розподілом праворуч від нуля, а друга - знаходилася в межах лівого від нуля підстави. Потім підраховують кількість метрів. Якщо ліва ніжка вимірювача не збігається з поділом на підставі, то розчин вимірювача пересувають догори до збігу її з трансверсаллю, при цьому обидві ніжки повинні лежати на одній горизонтальній лінії. Після цього відраховують довжину горизонтального прокладання лінії місцевості. Якщо довжина лінії перевищує довжину шкали поперечного масштабу, її вимірюють чи відкладають частинами.

За допомогою нормального поперечного масштабу можна відкладати та вимірювати відстані з точністю до 0,2 мм, що відповідає одній сотій підставі. Якщо ж положення ніжок циркуля між горизонтальними лініями шкали оцінювати на око, можна відраховувати відстані з точністю до 0,1мм.

Масштаб карт. Масштабом топографічних картназивається відношення довжини лінії на карті до довжини горизонтальної проекції відповідної лінії місцевості. На рівнинних територіях, при невеликих кутах нахилу фізичної поверхні, горизонтальні проекції ліній дуже мало відрізняються від довжин самих ліній, і в цих випадках можна вважати масштабом відношення довжини лінії на карті до відповідної довжини лінії місцевості, тобто. ступінь зменшення довжин ліній на карті щодо їх довжини біля. Масштаб вказується під південною рамкою аркуша карти як відношення чисел (чисельний масштаб), і навіть як іменованого і лінійного (графічного) масштабів.

Чисельний масштаб(М) виражається дробом, де в чисельнику одиниця, а в знаменнику число, що показує ступінь зменшення: М = 1/m. Так, наприклад, на карті в масштабі 1:100 000 довжини зменшено порівняно з їх горизонтальними проекціями (або з дійсністю) у 100 000 разів. Вочевидь, що більше знаменник масштабу, то більше вписувалося зменшення довжин, тим дрібніше зображення об'єктів карті, тобто. тим дрібніше масштаб карти.

Іменований масштаб- Пояснення, що вказує співвідношення довжин ліній на карті та на місцевості. При М = 1:100000 1 см на карті відповідає 1 км.

Лінійний масштабслужить визначення за картами довжин ліній у натурі. Це пряма, розділена на рівні відрізки, що відповідають «круглим» десятковим числамвідстаней місцевості (рис. 5).

Рис. 5. Позначення масштабу на топографічній карті: а - основа лінійного масштабу: b - найменший розподіл лінійного масштабу; точність масштабу 100 м. Розмір масштабу - 1 км

Відрізки a, що відкладаються праворуч від нуля, називаються основою масштабу. Відстань на місцевості, що відповідає підставі, називається величиною лінійного масштабу. На підвищення точності визначення відстаней крайній ліворуч відрізок лінійного масштабу ділиться більш дрібні частини, звані найменшими поділами лінійного масштабу. Відстань на території, що виражається одним таким розподілом, є точністю лінійного масштабу. Як видно на малюнку 5, при чисельному масштабі карти 1:100 000 та підставі лінійного масштабу в 1 см величина масштабу буде 1 км, а точність масштабу (при найменшому розподілі в 1 мм) – 100 м. Точність вимірювань за картами та точність графічних побудов на папері пов'язані як з технічними можливостями вимірювань, так і з роздільною здатністю людського зору. Точність побудов на папері (графічну точність) прийнято вважати рівною 0,2 мм. Роздільна здатність нормального зору близька до 0,1 мм.

Гранична точністьмасштабу карти - відрізок біля, відповідний 0,1 мм у масштабі цієї карти. При масштабі карти 1:100 000 гранична точність складе 10 м, при масштабі 1:10 000 вона дорівнюватиме 1 м. Очевидно, що можливості зображення на цих картах контурів в їх дійсних контурах будуть дуже різні.

Масштаби топографічних карт значною мірою обумовлюють відбір і детальність показу зображуваних ними об'єктів. Зі зменшенням масштабу, тобто. зі збільшенням його знаменника, втрачається детальність зображення об'єктів місцевості.

Для задоволення різноманітних потреб галузей народного господарства, науки та оборони країни необхідні карти різних масштабів. Для державних топографічних карт СРСР розроблено низку стандартних масштабів, заснованих на метричній десятковій системі заходів (табл. 1).

Таблиця 1. Масштаби топографічних карт СРСР
Чисельний масштаб	Назва картки	1 см на карті відповідає на території відстані	1 см 2 на карті відповідає на території площі
1:5 000	П'ятитисячна	50 м	0,25 га
1:10 000	Десятитисячна	100 м	1 га
1:25 000	Двадцятип'ятитисячна	250 м	6,25 га
1:50 000	П'ятдесятитисячна	500 м	25 га
1:100 000	Стотисячна	1 км	1 км 2
1:200 000	Двохсоттисячна	2 км	4 км 2
1:500 000	П'ятисоттисячна	5 км	25 км 2
1:1 000 000	Мільйонна	10 км	100 км 2

У комплексі карток, названих у табл. 1, виділяють власне топографічні карти масштабів 1:5000-1:200 000 та оглядово-топографічні карти масштабів 1:500 000 та 1:1 000 000. Останні поступаються в точності та подробиці зображення місцевості, але окремі аркуші охоплюють значні території, і ці карти використовують для загального ознайомлення з місцевістю, для орієнтування під час руху з великою швидкістю.

Вимірювання відстаней та площ по картах. При вимірі відстаней по картах слід пам'ятати, що в результаті одержують довжини горизонтальних проекцій ліній, а не довжини ліній на земній поверхні. Однак при малих кутах нахилу різниця в довжині похилої лінії та її горизонтальної проекції дуже мала і може не враховуватись. Так, наприклад, при куті нахилу 2° горизонтальна проекція коротша за саму лінію на 0,0006, а при 5° - на 0,0004 її довжини.

При вимірі за картами відстаней у гірських районах дійсну відстань на похилій поверхні можна обчислити

за формулою S = d cos α, де d - довжина горизонтальної проекції лінії S, α - кут нахилу. Кути нахилу можна виміряти за топографічною картою методом, зазначеним у §11. Поправки до довжини похилих ліній наводяться також у таблицях.

Рис. 6. Положення циркуля-вимірника при вимірі відстаней по карті за допомогою лінійного масштабу

Для визначення довжини відрізка прямої між двома точками в розчин циркуля-вимірника беруть з карти заданий відрізок, переносять на лінійний масштаб карти (як зазначено на малюнку 6) і отримують довжину лінії, виражену в мірах поземельних (метрах або кілометрах). Аналогічно вимірюють довжини ламаних ліній, беручи в розчин циркуля кожен відрізок окремо і потім підсумовуючи їх довжини. Вимірювання відстаней по кривих лініях (по дорогах, кордонах, річках тощо) більш складні і менш точні. Дуже плавні криві вимірюють як ламані, попередньо розбивши на прямолінійні відрізки. Звивисті лінії вимірюють малим постійним розчином циркуля, переставляючи його («крочачи») по всіх згинах лінії. Очевидно, що дрібновилисті лінії слід вимірювати при дуже малому розчині циркуля (2-4 мм). Знаючи, якій довжині біля відповідає розчин циркуля, і підрахувавши число його установок по всій лінії, визначають загальну її довжину. При цих вимірюваннях застосовують мікровимірник або пружинний циркуль, розчин якого регулюється гвинтом, пропущеним через ніжки циркуля.

Рис. 7. Курвіметр

Слід пам'ятати, що будь-які виміри неминуче супроводжуються похибками (помилками). За їх походженням помилки поділяються на грубі промахи (виникають через неуважність особи, яка робить вимірювання), систематичні помилки (через похибки мірних приладів та ін.), випадкові помилки, які не можуть бути повністю враховані (причини їх не зрозумілі). Очевидно, що справжнє значення вимірюваної величини через вплив помилок вимірів залишається невідомим. Тому визначають її найімовірніше значення. Таким значенням є арифметичне середнє з усіх окремих вимірювань x - (a 1 +a 2 + …+а n):n=∑a/n , де x - ймовірне значення виміряної величини, a 1 , a 2 ... a n - результати окремих вимірювань ; 2 – знак суми, n – число вимірювань. Чим більше вимірів, тим ближче ймовірне значення до істинної величини A. Якщо припустити, що значення A відоме, то різниця між цією величиною і виміром дасть істинну похибку вимірювання Δ=A-a. Відношення похибки вимірювання будь-якої величини A до її значення називається відносною похибкою-. Ця похибка виражається як правильної дробу, де у знаменнику - частка помилки від вимірюваної величини, тобто. Δ/A = 1/(A:Δ).

Так, наприклад, при вимірі довжин кривих курвіметром виникає помилка вимірів порядку 1-2%, тобто вона становитиме 1/100 - 1/50 частину довжини лінії вимірювання. Таким чином, при вимірі лінії довжиною 10 см можлива відносна помилка 1-2 мм. Ця величина у різних масштабах дає різні помилки у довжинах вимірюваних ліній. Так, на карті масштабу 1:10 000 2 мм відповідає 20 м, а на карті масштабу 1:1 000 000 це буде 200 м. Звідси випливає, що точніші результати вимірів виходять при використанні карт великих масштабів.

Визначення площділянок за топографічними картами засновано на геометричній залежності між площею фігури та її лінійними елементами. Масштаб площ дорівнює квадратулінійного масштабу. Якщо сторони прямокутника на карті зменшені в n разів, площа цієї фігури зменшиться в п2 разів. Для карти масштабу 1:10 000 (1 см - 100 м) масштаб площ дорівнюватиме (1:10 000)2 або 1 см 2 - (100 м) 2 , тобто. в 1 см 2 - 1 га, а на карті масштабу 1:1 000 000 в 1 см 2 - 100 км 2 .

Для вимірювання площ картами застосовують графічні та інструментальні способи. Застосування того чи іншого способу вимірювань диктується формою ділянки, що вимірюється, заданою точністю результатів вимірювань, необхідною швидкістю отримання даних і наявністю необхідних приладів.

Рис. 8. Випрямлення криволінійних меж ділянки та розбиття його площі на прості геометричні фігури: точками позначені ділянки, що відсікаються, штрихуванням - причленовані ділянки

При вимірі площі ділянки з прямолінійними межами ділять ділянку на прості геометричні фігури, вимірюють площу кожної їх геометричним способом і, підсумовуючи площі окремих ділянок, обчислених з урахуванням масштабу карти, отримують загальну площу об'єкта. Об'єкт з криволінійним контуром розбивають на геометричні фігури, попередньо спрямувавши межі з таким розрахунком, щоб сума відсічених ділянок та сума надлишків взаємно компенсували одна одну (рис. 8). Результати вимірювань будуть певною мірою наближеними.

Рис. 9. Квадратна сіточна палетка, накладена на фігуру, що вимірюється. Площа ділянки Р = a 2 n, a - Сторона квадрата, виражена в масштабі карти; n - число квадратів, що потрапили в межі контуру вимірюваної ділянки

Вимірювання площ ділянок, що мають складну неправильну конфігурацію, частіше роблять за допомогою палеток та планіметрів, що дає найточніші результати. Сіткова палетка (рис. 9) є прозорою пластиною (з пластику, органічного скла або кальки) з награвірованою або накресленою сіткою квадратів. Палетку накладають на контур, що вимірюється, і по ній підраховують кількість клітин і їх частин, що опинилися всередині контуру. Частки неповних квадратиків оцінюються на око, тому підвищення точності вимірювань застосовуються палетки з дрібними квадратами (зі стороною 2-5 мм). Перед роботою на цій карті визначають площу одного осередку в поземельних заходах, тобто. ціну розподілу палетки.

Рис. 10. Точкова палетка - видозмінена квадратна палетка. Р=a 2 n

Крім сіткових палеток, застосовуються точкові та паралельні палетки, що є прозорими пластинами з награвірованими точками або лініями. Крапки ставляться одному з кутів осередків сіткової палетки з певною ціною поділу, потім лінії сітки видаляють (рис. 10). Вага-кожної точки дорівнює ціні розподілу палетки. Площа вимірюваної ділянки визначається шляхом підрахунку кількості точок, що опинилися всередині контуру, та множенням цієї кількості на вагу точки.

Рис. 11. Палетка, що складається із системи паралельних ліній. Площа фігури дорівнює сумі довжин відрізків (середніх пунктирних), що відсікаються контуром ділянки, помноженої на відстань між лініями палетки. P = р∑l

На паралельній палетці награвіровано рівновіддалені паралельні прямі. Ділянка, що вимірюється, виявиться розділеною на ряд трапецій з однаковою висотою при накладенні на неї палетки (рис. 11). Відрізки паралельних ліній усередині контуру посередині між лініями є середніми лініями трапецій. Вимірявши всі середні лінії, множать їх суму на довжину проміжку між лініями та отримують площу всієї ділянки (з урахуванням майданного масштабу).

Вимірювання площ значних ділянок провадиться за картами за допомогою планіметра. Найбільш поширеним є полярний планіметр, робота з яким не становить великої складності. Однак теорія цього приладу досить складна і розглядається в посібниках з геодезії.

Збираючись у цікава подорожабо просто розглядаючи карти на просторах Інтернету, кожна людина стикається з таким поняттям, як масштаб. Однак, що це таке, які бувають види масштабів і як правильно його вираховувати, знає далеко не кожен.

Що таке масштаб

Слово «масштаб» прийшло в російську мову з мови точності – німецької – і дослівно перекладається як ціпок для виміру. Однак у картографії цей термін означає число, у скільки разів ця карта або інше зображення зменшено в порівнянні з оригіналом. Масштаб є на кожній карті, а також є невід'ємною частиною будь-якого креслення.

Для чого потрібний масштаб

Отже, навіщо людям практично потрібний масштаб? Що показує масштаб? Насправді це поняття пов'язане практично та теоретично з багатьма галузями: математикою, архітектурою, моделюванням та, звичайно ж, картографією. Адже на жодній карті, навіть суперсучасній цифровій, неможливо відобразити географічний об'єкт у його реальному розмірі. Тому при нанесенні зображення тих чи інших міст, річок, гір або навіть цілих материків на карту всі ці об'єкти пропорційно зменшуються. А скільки разів це зроблено, і є масштабом, який вказується на полях карти.

За старих часів, коли в картографії ще не застосовували масштаб, а зменшували зображувані об'єкти на свій розсуд, отримані карти були дуже неточними і мали, скоріше, приблизний характер. Так що мандрівники, які використовують їх, часто спричинялися. Хто знає, можливо, у карти, якою користувався Христофор Колумб, теж був невірний масштаб, і тому замість Індії він приплив до Америки?

Ще однією галуззю, яка просто не може існувати без використання масштабу, є моделювання. Адже, створюючи креслення майбутньої будівлі чи літака, інженер робить це у певному масштабі, зменшуючи чи збільшуючи зображення залежно від потреби. Так що жодна, навіть найменша деталь, не може бути зроблена без використання креслення, а жоден креслення не обійдеться без масштабу.

Основні види масштабів

Незважаючи на простоту поняття "масштаб", існує кілька його видів. На картах він, зазвичай, позначається або з допомогою цифр (чисельний), або графічно. Графічні масштаби поділяються на два підвиди: лінійний вид масштабу та поперечний.

Також є підвиди масштабу, які найбільше відносяться до видів карт. Залежно від того, які розміри масштабів, виділяють карти:

1. Великомасштабні - від одного до двохсот тисяч і менше.
2. Середньомасштабні – від одного до мільйона до одного до двохсот тисяч.
3. Дрібномасштабні – до одного мільйона.

Природно, на дрібномасштабних картах деякі деталі не наносяться, водночас великомасштабні карти можуть містити назви вулиць і навіть невеликих провулків. У сучасних електронних картах користувач може сам регулювати масштаб, за одну мить перетворюючи карту з дрібномасштабної на великомасштабну, і навпаки.

Чисельний та іменований масштаб

Дані про масштаб можуть вказуватися різними способами. Якщо на карті чи кресленні масштаб вказаний за допомогою дробу (1:200, 1:20 000 тощо), то такий його вигляд називається чисельним. При розрахунку такого розміру варто брати до уваги той факт, що більшим буде той масштаб, у якого число в знаменнику менше. Іншими словами, об'єкти на карті з масштабом 1:200 будуть більшими, ніж на карті з масштабом 1:20 000.

Іменований масштаб вказує не просто розмір зменшення зображення, а й називає одиниці виміру, за допомогою яких це робиться. Наприклад, у плані території зазначено, що 1 сантиметр у ній дорівнює 1 метру. Іменований масштаб рідко застосовується для дрібномасштабних карт та й для карт взагалі. Він практичніший для різних креслень. Особливо якщо це крихітна деталь або, навпаки, величезний житловий комплекс.

Графічний масштаб

Графічні види масштабів, як було зазначено вище, бувають двох варіантів.

Лінійний – це масштаб, зображений у вигляді рівномірно розграфленої двоколірної лінійки. Як правило, він використовується на великомасштабних планах місцевості та дає можливість виміряти на ньому відстань за допомогою паперової смужки або циркуля. Цей графічний варіант масштабу може допомогти дізнатися про довжину річок, доріг та інших кривих ліній.

Поперечний – це вдосконалений варіант лінійного масштабу. Його призначення - максимально правильно визначити відстань, вказану на плані. Подібний графічний варіант зазвичай використовується на спеціалізованих картах.

Масштаби креслень

Розглянувши найпоширеніші види масштабів картографії, варто згадати, що це поняття також невід'ємно пов'язане з кресленням і архітектурною графікою. Будь то інженерні креслення крихітних механічних деталей або, навпаки, креслення величезних архітектурних ансамблів, у будь-якому випадку до них застосовуються спеціалізовані масштаби креслень. Кожен креслярський бланк має графу в якій обов'язково вказується масштаб спроектованого виробу.

Примітним є той факт, що навіть якщо інженер створює креслення деталі в натуральну величину, все одно в інформації про нього вказується масштаб 1:1. На відміну від карт, на кресленнях масштаб може бути не лише зменшеним (1:5), а й збільшеним (5:1), якщо зображується виріб крихітних розмірів.

На сьогоднішній день лише вузьким фахівцям необхідно вміння правильно вираховувати масштаб без допомоги машин. Завдяки сучасним програмам та приладам, іншим людям уже не потрібно добре розбиратися в масштабі тієї чи іншої карти – за них все зробить комп'ютер. Але все ж таки кожному варто мати хоча б приблизне уявлення про те, що показує масштаб, як його правильно обчислювати і які види його існують - адже це складова елементарної грамотності та людської культури.

ВСТУП

Топографічна карта є зменшенеузагальнене зображення місцевості, яке показує елементи за допомогою системи умовних знаків.
Відповідно до вимог топографічні карти відрізняються високою геометричною точністюта географічною відповідністю. Це забезпечується їх масштабом, геодезичною основою, картографічними проекціями та системою умовних знаків.
Геометричні властивостікартографічного зображення: розміри та форма ділянок, зайнятих географічними об'єктами, Відстань між окремими пунктами, напрямки від одного до іншого - визначаються його математичною основою. Математична основакарт включає як складові частини масштаб, геодезичну основу та картографічну проекцію.
Що є масштаб карти, які види масштабів бувають, як побудувати графічний масштаб і як користуватися масштабами розглянемо на лекції.

6.1. ВИДИ МАСШТАБІВ ТОПОГРАФІЧНИХ КАРТ

При складанні карт та планів горизонтальні проекції відрізків зображують на папері у зменшеному вигляді. Ступінь такого зменшення характеризується масштабом.

Масштаб картки (плану) - відношення довжини лінії на карті (плані) до довжини горизонтального прокладання відповідної лінії місцевості

m = l До : d M

Масштаб зображення невеликих ділянок на всій топографічній карті практично постійний. У цих випадках можна вважати масштабом довжини відношення довжини лінії на карті до довжини відповідної лінії на місцевості.

Масштаб вказується на картах у різних варіантах

6.1.1. Чисельний масштаб

Чисельний масштаб виражають у вигляді дробу з чисельником 1(Аліквотний дріб).

Або

Знаменник Мчисельного масштабу показує ступінь зменшення довжин ліній на карті (плані) стосовно довжин відповідних ліній біля. Порівнюючи між собою чисельні масштаби, більшим називають той, у якого знаменник менший.
Використовуючи чисельний масштаб карти (плану), можна визначити горизонтальне прокладання dмлінії на місцевості

приклад.
Масштаб картки 1:50 000. Довжина відрізка на карті lК= 4,0 див. Визначити горизонтальне прокладання лінії біля.

Рішення.
Помноживши величину відрізка на карті в сантиметрах на знаменник чисельного масштабу, отримуємо горизонтальне прокладання в сантиметрах.
d= 4,0 см × 50 000 = 200 000 см, або 2000 м, або 2 км.

Зверніть увагу те що, що чисельний масштаб є величина абстрактна, яка має конкретних одиниць виміру.Якщо чисельник дробу висловити у сантиметрах, те й знаменник матиме самі одиниці виміру, тобто. сантиметри.

Наприклад, масштаб 1:25 000 означає, що 1 сантиметр карти відповідає 25 000 сантиметрів місцевості, або 1 дюйм карти відповідає 25 000 дюймів місцевості.

Для задоволення потреб господарства, науки та оборони країни необхідні карти різних масштабів. Для державних топографічних карт, лісовпорядних планшетів, планів лісництв та лісонасаджень визначено стандартні масштаби. масштабний ряд(Табл. 6.1, 6.2).

Масштабний ряд топографічних карт

Таблиця 6.1.

Чисельний масштаб	Назва картки	1 см картки відповідає на території відстані	1 см2 картки відповідає біля площі
	П'ятитисячна		0,25 га
	Десятитисячна
	Двадцятип'ятитисячна		6,25 га
	П'ятдесятитисячна
	Стотисячна
	Двохсоттисячна
	П'ятисоттисячна
	Мільйонна

Раніше цей ряд включав масштаби 1: 300 000 і 1: 2 000.

6.1.2. Іменований масштаб

Іменованим масштабом називають словесне вираз чисельного масштабу.Під чисельним масштабом на топографічній карті є напис, що пояснює, скільки метрів або кілометрів на місцевості відповідає одному сантиметру карти.

Наприклад, на карті під чисельним масштабом 1:50 000 записано: "в 1 сантиметрі 500 метрів". Цифра 500 у цьому прикладі є величина іменованого масштабу .
Використовуючи іменований масштаб карти, можна визначити горизонтальне прокладання dмлінії на території. Для цього необхідно величину відрізка, виміряну на карті сантиметрів, помножити на величину іменованого масштабу.

приклад. Іменований масштаб карти – «в 1 сантиметрі 2 кілометри». Довжина відрізка на карті lК= 6,3 див. Визначити горизонтальне прокладання лінії біля.
Рішення. Помноживши величину відрізка виміряного на карті в сантиметрах на величину іменованого масштабу, отримуємо горизонтальне прокладання кілометрів біля.
d= 6,3 см × 2 = 12,6 км.

6.1.3. Графічні масштаби

Щоб уникнути математичних обчислень та прискорити роботу на карті, користуються графічними масштабами . Таких масштабів два: лінійний і поперечний .

Лінійний масштаб

Для побудови лінійного масштабу вибирають вихідний відрізок, зручний для цього масштабу. Цей вихідний відрізок ( а) називають основою масштабу (Рис. 6.1).

Рис. 6.1. Лінійний масштаб. Вимірюваний відрізок біля
буде CD = ED + CE = 1000 м + 200 м = 1200 м.

Основу відкладають на прямій лінії необхідну кількість разів, крайню ліву основу ділять на частини (відрізок) b), які будуть найменшими поділами лінійного масштабу . Відстань на місцевості, що відповідає найменшому розподілу лінійного масштабу, називають точністю лінійного масштабу .

Порядок користування лінійним масштабом:

• праву ніжку циркуля поставити одне з поділів праворуч від нуля, а ліву ніжку - на ліву основу;
• Довжина лінії складається з двох відліків: відлік цілих основ та відліку поділів лівої основи (рис. 6.1).
• Якщо відрізок на карті довше побудованого лінійного масштабу, його вимірюють частинами.

Поперечний масштаб

Для більш точних вимірів користуються поперечним масштабом (Рис. 6.2, б).

Рис 6.2. Поперечний масштаб. Виміряна відстань
PK = TK + PS + ST = 1 00 +10 + 7 = 117 м.

Для його побудови на відрізку прямої лінії відкладають декілька підстав масштабу ( a). Зазвичай довжина основи становить 2 см або 1 см. В отриманих точках встановлюють перпендикуляри до лінії АBі проводять через них десять паралельних ліній через рівні проміжки. Крайню ліву основу зверху та знизу ділять на 10 рівних відрізків та з'єднують їх косими лініями. Нульову точку нижньої основиз'єднують з першою точкою З верхньої основиі так далі. Отримують ряд паралельних похилих ліній, які називають трансверсалями.
Найменший поділ поперечного масштабу дорівнює відрізку C 1 D 1 , (Рис. 6. 2, а). На таку довжину відрізняється сусідній паралельно розташований відрізок під час руху вгору по трансверсалі 0Ста по вертикальній лінії 0Д.
Поперечний масштаб із основою 2 см, називають нормальним . Якщо основа поперечного масштабу розділена на десять частин, його називають сотенним . У сотному масштабі ціна найменшого поділу дорівнює одній сотій частці основи.
Поперечний масштаб гравіюють на металевих лінійках, які називають масштабними.

Порядок користування поперечним масштабом:

• циркулем-вимірником зафіксувати довжину лінії на карті;
• праву ніжку циркуля поставити на цілий поділ основи, а ліву - на будь-яку трансверсаль, при цьому обидві ніжки циркуля повинні розташовуватися на лінії, паралельній лінії AB;
• довжина лінії складається з трьох відліків: відлік цілих основ, плюс відлік поділів лівої основи, плюс відлік поділів вгору трансверсалі.

Точність виміру довжини лінії з допомогою поперечного масштабу оцінюється половиною ціни найменшого поділу.

6.2. РІЗНОВИДНОСТІ ГРАФІЧНИХ МАСШТАБІВ

6.2.1. Перехідний масштаб

Іноді на практиці доводиться користуватися картою або аерознімком, масштаб яких не є стандартним. Наприклад, 1:17500, тобто. 1 см на карті відповідають 175 м на місцевості. Якщо побудувати лінійний масштаб із основою 2 див, то найменше розподіл лінійного масштабу у своїй буде 35 м. Оцифрування такого масштабу викликає труднощі під час виконання практичних робіт.
Щоб спростити визначення відстаней по топографічній карті, надходять у такий спосіб. Основу лінійного масштабу приймають не 2 см, а розраховують так, щоб воно відповідало круглому числу метрів - 100, 200, і т.д.

приклад. Потрібно розрахувати довжину основи відповідного 400 м для карти масштабу 1:17500 (в одному сантиметрі 175 метрів).
Щоб визначити, які розміри на карті масштабу 1:17 500 матиме відрізок завдовжки 400 м, складаємо пропорції:
на місцевості на плані
175 м 1 см
400 м Х см
Х см = 400 м 1 см / 175 м = 2,29 см.

Вирішивши пропорцію, робимо висновок: основа перехідного масштабу в сантиметрах дорівнює величині відрізка біля метрах ділене на величину іменованого масштабу метрах.Довжина основи в нашому випадку
а= 400/175 = 2,29 см.

Якщо тепер побудувати поперечний масштаб із довжиною основи а= 2,29 см, то один розподіл лівої основи буде відповідати 40 м (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Перехідний лінійний масштаб.
Виміряна відстань АС = НД + АВ = 800 +160 = 960 м.

Для більш точних вимірів на картах та планах будують поперечний перехідний масштаб.

6.2.2. Масштаб кроків

Використовують цей масштаб для визначення відстаней, виміряних кроками під час окомірної зйомки. Принцип побудови та використання масштабу кроків подібний до перехідного масштабу. Основу масштабу кроків розраховують так, щоб воно відповідало круглому числу кроків (пар, трійок) - 10, 50, 100, 500.
Для розрахунку величини основи масштабу кроків необхідно визначити масштаб зйомки та розрахувати середню довжину кроку ШСР.
Середню довжину кроку (пари кроків) розраховують відомою відстані, пройденому у прямому і зворотному напрямках. Розділивши відому відстань на кількість пройдених кроків, одержують середню довжину одного кроку. При нахилі земної поверхні кількість пройдених кроків у прямому та зворотному напрямках буде різною. Під час руху у бік підвищення рельєфу крок буде коротшим, а у зворотний бік – довшим.

приклад. Відома відстань 100 м виміряна кроками. У прямому напрямку пройдено 137 кроків, а у зворотному – 139 кроків. Розрахувати середню довжину одного кроку.
Рішення. Усього пройдено: Σ м = 100 м + 100 м = 200 м. Сума кроків складає: Σ ш = 137 ш + 139 ш = 276 ш. Середня довжина одного кроку становить:

ШСР= 200/276 = 0,72 м.

Зручно працювати з лінійним масштабом, коли масштабна лінія розмічена через 1 – 3 см, а розподіли підписані круглим числом (10, 20, 50, 100). Очевидно, величина одного кроку 0,72 м у будь-якому масштабі матиме вкрай малі значення. Для масштабу 1:2 000 відрізок на плані становитиме 0,72/2 000 = 0,00036 м або 0,036 см. Десять кроків, у відповідному масштабі, будуть виражені відрізком 0,36 см. Найбільш зручною основою для цих умов, на думку автора, буде величина 50 кроків: 0,036×50 = 1,8 см.
Для тих, хто вважає кроки парами, зручною основою буде 20 пар кроків (40 кроків) 0,036×40 = 1,44 см.
Довжину основи масштабу кроків можна також вирахувати з пропорцій або за формулою
а = (ШСР × КШ) / М
де: ШСР -середня величина одного кроку в сантиметрах,
КШ -кількість кроків на основі масштабу ,
М -знаменник масштабу.

Довжина основи для 50 кроків у масштабі 1:2 000 з довжиною одного кроку рівним 72 см складатиме:
а= 72 × 50/2000 = 1,8 см.
Щоб побудувати масштаб кроків для наведеного вище прикладу, необхідно горизонтальну лініюрозділити на відрізки рівні 1,8 см, а ліву основу розділити на 5 або 10 рівних частин.

Рис. 6.4. Масштаб кроків.
Виміряна відстань АС = НД + АВ = 100 + 20 = 120 ш.

6.3. ТОЧНІСТЬ МАСШТАБУ

Точність масштабу (гранична точність масштабу) – це відрізок горизонтального прокладання лінії, що відповідає 0,1 мм на плані. Значення 0,1 мм визначення точності масштабу прийнято через те, що це мінімальний відрізок, який людина може розрізнити неозброєним оком.
Наприклад, для масштабу 1:10 000 точність масштабу дорівнюватиме 1 м. У цьому масштабі 1 см на плані відповідає 10 000 см (100 м) на місцевості, 1 мм - 1 000 см (10 м), 0,1 мм - 100 см (1 м). З наведеного прикладу випливає, що якщо знаменник чисельного масштабу поділити на 10 000, то отримаємо граничну точність масштабу в метрах.
Наприкладдля чисельного масштабу 1:5 000 гранична точність масштабу буде 5 000 / 10 000 = 0,5м.

Точність масштабу дозволяє вирішувати два важливі завдання:

• визначення мінімальних розмірів об'єктів та предметів місцевості, що зображуються в даному масштабі, та розмірів об'єктів, які у даному масштабі неможливо зобразити;
• встановлення масштабу, в якому слід створювати карту, щоб на ній зобразилися предмети та об'єкти місцевості із заздалегідь визначеними мінімальними розмірами.

Практично приймається, що довжина відрізка на плані чи карті може бути оцінена з точністю 0,2 мм. Горизонтальна відстань на місцевості, що відповідає в даному масштабі 0,2 мм (0,02 см) на плані, називається графічною точністю масштабу . Графічна точність визначення відстаней на плані або карті може бути досягнута лише при використанні поперечного масштабу.
Слід мати на увазі, що при вимірах на карті взаємного положення контурів точність визначається не графічною точністю, а точністю самої карти, де помилки можуть становити в середньому 05 мм внаслідок впливу інших, крім графічних, похибок.
Якщо врахувати похибку самої карти і похибку вимірювань на карті, можна зробити висновок, що графічна точність визначення відстаней на карті в 5 - 7 гірше граничної точності масштабу, тобто становить 0,5 - 0,7 мм в масштабі карти.

6.4. ВИЗНАЧЕННЯ НЕВІДОМОГО МАСШТАБУ КАРТИ

У тих випадках, коли з якоїсь причини масштаб на карті відсутній (наприклад, обрізаний при склеюванні), він може бути визначений одним із таких способів.

• По координатній сітці . Потрібно виміряти відстань на карті між лініями координатної сітки та визначити, через яку кількість кілометрів проведені ці лінії; цим визначиться і масштаб карти.

Наприклад, координатні лінії позначені числами 28, 30, 32 і т. д. (за західною рамкою) та 06, 08, 10 (по південній рамці). Зрозуміло, що лінії проведено за 2 км. Відстань на карті між сусідніми лініями дорівнює 2 см. Звідси випливає, що 2 см на карті відповідають 2 км на місцевості, а 1 см на карті – 1 км на місцевості (іменований масштаб). Значить масштаб карти буде 1:100 000 (в 1 сантиметрі 1 кілометр).

• За номенклатурою аркуша картки. Система позначень (номенклатура) аркушів карт кожного масштабу цілком визначена, тому, знаючи систему позначень, неважко дізнатися масштаб карти.

Аркуш картки масштабу 1:1 000 000 (мільйонної) позначається однією з літер латинського алфавіту та одним із чисел від 1 до 60. Система позначень карт більших масштабів має в своїй основі номенклатуру листів мільйонної картки та може бути представлена ​​наступною схемою:

1:1 000 000 - N-37
1:500 000 - N-37-Б
1:200 000 - N-37-X
1:100 000 - N-37-117
1:50 000 - N-37-117-А
1:25 000 - N-37-117-А-г

Залежно від розташування картки, літери та числа, що становлять його номенклатуру, будуть різні, але порядок і кількість літер та чисел у номенклатурі аркуша карти даного масштабу будуть завжди однакові.
Таким чином, якщо карта має номенклатуру М-35-96, то порівнявши її з наведеною схемою, можна відразу сказати, що масштаб цієї карти буде 1:100 000.
Докладніше про номенклатуру карт див. Розділ 8.

• Відстань між місцевими об'єктами. Якщо на карті є два об'єкти, відстань між якими на місцевості відома або може бути виміряна, то для визначення масштабу потрібно число метрів між цими предметами на місцевості розділити число сантиметрів між зображеннями цих предметів на карті. В результаті отримаємо число метрів в 1 см даної карти (найменований масштаб).

Наприклад, відомо, що відстань від н. Кувечине до оз. Глибоке 5 км. Вимірявши цю відстань на карті, отримали 4.8 см. Тоді
5000 м/4,8 см = 1042 м в одному сантиметрі.
Карти в масштабі 1:104 200 не видаються, тому виконуємо округлення. Після заокруглення матимемо: 1 см картки відповідає 1 000 м місцевості, тобто масштаб карти 1:100 000.
Якщо на карті є дорога з кілометровими стовпами, то масштаб найзручніше визначати, на відстані між ними.

• За розмірами довжини дуги однієї хвилини меридіана . Рамки топографічних карт по меридіанам та паралелях мають поділки у хвилинах дуги меридіана та паралелі.

Однією хвилиною дуги меридіана (за східною або західною рамкою) відповідає на території відстань 1852 м ( морська миля). Знаючи це, можна визначити масштаб карти так само, як і на відомій відстані між двома об'єктами місцевості.
Наприклад, Хвилинний відрізок по меридіану на карті дорівнює 1,8 см. Отже, в 1 см на карті буде 1852: 1,8 = 1030 м. Зробивши округлення, отримуємо масштаб карти 1:100 000.
У наших обчисленнях отримано наближені значення масштабів. Це сталося через наближеність взятих відстаней і неточність їх вимірювання на карті.

6.5. ТЕХНІКА ВИМІРЮВАННЯ ТА ВІДКЛАДАННЯ ВІДСТАН НА КАРТІ

Для вимірювання відстаней по карті використовують міліметрову або масштабну лінійку, циркуль-вимірювач, а для вимірювання кривих ліній – курвіметр.

6.5.1. Вимірювання відстаней міліметровою лінійкою

Міліметровою лінійкою виміряти відстань між заданими точками на карті з точністю 0,1 см. Отримане число сантиметрів помножити на величину іменованого масштабу. Для рівнинної місцевості результат відповідатиме відстані на місцевості за метри або кілометри.
приклад.На карті масштабу 1: 50 000 (1 см - 500 м) відстань між двома точками дорівнює 3,4 см. Визначити відстань між цими точками.
Рішення. Іменований масштаб: 1 см 500 м. Відстань на місцевості між точками буде 3,4 × 500 = 1700 м.
При кутах нахилу земної поверхні понад 10 º необхідно ввести відповідну поправку (див. далі).

6.5.2. Вимірювання відстаней циркулем-вимірювачем

При вимірі відстані по прямій лінії голки циркуля встановлюють на кінцеві точки, потім, не змінюючи розчину циркуля, лінійного або поперечного масштабу відраховують відстань. У тому випадку, коли розчин циркуля перевищує довжину лінійного або поперечного масштабу, ціле число кілометрів визначається квадратами координатної сітки, а залишок - звичайним порядком за масштабом.

Рис. 6.5. Вимірювання відстаней циркулем-вимірювачем за лінійним масштабом.

Для отримання довжини ламаною лінії послідовно вимірюють довжину кожної її ланки, а потім підсумовують їх величини. Такі лінії вимірюють нарощуванням розчину циркуля.
приклад. Щоб виміряти довжину ламаної АВСD(Рис. 6.6, а), ніжки циркуля спочатку ставлять у крапки Аі У. Потім, обертаючи циркуль навколо точки У. переміщають задню ніжку з точки Ав точку У", що лежить на продовженні прямої НД.
Передню ніжку з точки Упереносять у крапку З. В результаті одержують розчин циркуля В "С=АВ+НД. Перемістивши аналогічним чином задню ніжку циркуля з точки В"в точку С", а передню з Зв D. одержують розчин циркуля
С"D = В"С + СD, довжину якого визначають за допомогою поперечного або лінійного масштабу.

Рис. 6.6. Вимірювання довжини лінії: а - ламаною ABCD; б - кривий A 1 B 1 C 1;
B"C" - допоміжні точки

Довгі криві відрізкивимірюють по хордах кроками циркуля (див. рис. 6.6 б). Крок циркуля, що дорівнює цілій кількості сотень або десятків метрів, встановлюють за допомогою поперечного або лінійного масштабу. При перестановці ніжок циркуля вздовж вимірюваної лінії у напрямках, показаних на рис. 6.6 б стрілками, вважають кроки. Загальна довжина лінії А 1 З складається з відрізка А 1 В 1 , рівного величині кроку, помноженої на число кроків, і залишку В 1 З 1 вимірюваного за поперечним або лінійним масштабом.

6.5.3. Вимір відстаней курвіметром

Криві відрізки вимірюють механічним (рис. 6.7) чи електронним (рис. 6.8) курвіметром.

Рис. 6.7. Курвіметр механічний

Спочатку, обертаючи коліщатко рукою, встановлюють стрілку на нульовий поділ, потім прокочують коліщатко по вимірюваній лінії. Відлік на циферблаті проти кінця стрілки (у сантиметрах) множать на величину масштабу карти та одержують відстань на місцевості. Цифровий курвіметр (рис. 6.7.) – це високоточний, зручний у використанні прилад. Курвіметр включає архітектурні та інженерні функції та має зручний дисплей для читання інформації. Цей прилад може обробляти метричні та англо-американські (фути, дюйми, тощо) значення, що дозволяє працювати з будь-якими картами та кресленнями. Можна ввести найпоширеніший вид вимірювань, і прилад автоматично переводитиме масштабні вимірювання.

Рис. 6.8. Курвіметр цифровий (електронний)

Для підвищення точності та надійності результатів рекомендується всі вимірювання проводити двічі – у прямому та зворотному напрямках. У разі незначних відмінностей виміряних даних за кінцевий результат приймається середнє арифметичне значеннявиміряних величин.
Точність виміру відстаней зазначеними способами із застосуванням лінійного масштабу становить 0,5 - 1,0 мм у масштабі карти. Те саме, але із застосуванням поперечного масштабу становить 0,2 - 0,3 мм на 10 см довжини лінії.

6.5.4. Перерахунок горизонтального прокладання в похилій дальності

Слід пам'ятати, що в результаті вимірювання відстаней по картах одержують довжини горизонтальних проекцій ліній (d), а не довжини ліній на земній поверхні (S) (рис. 6.9)..

Рис. 6.9. Похила дальність ( S) та горизонтальне прокладання ( d)

Діючу відстань на похилій поверхні можна обчислити за такою формулою:

де d - Довжина горизонтальної проекції лінії S;
v – кут нахилу земної поверхні.

Довжину лінії на топографічній поверхні можна визначити за допомогою таблиці (табл.6.3) відносних величин поправок до довжини горизонтального прокладання (%).

Таблиця 6.3

Кут нахилу

Правила користування таблицею

1. У першому рядку таблиці (0 десятків) наведено відносні величини поправок при кутах нахилу від 0° до 9°, у другому - від 10° до 19°, у третьому - від 20° до 29°, у четвертому - від 30° до 39 °.
2. Щоб визначити абсолютну величину виправлення, необхідно:
а) у таблиці за кутом нахилу знайти відносну величину поправки (якщо кут нахилу топографічної поверхні заданий не цілим числом градусів, то треба відносну величину поправки знайти інтерполювання між табличними величинами);
б) обчислити абсолютну величину поправки до довжини горизонтального прокладання (тобто. цю довжину помножити на відносну величину поправки та отриманий добуток розділити на 100).
3. Щоб визначити довжину лінії на топографічній поверхні, треба обчислену абсолютну величину поправки додати до довжини горизонтального прокладання.

приклад. На топографічній карті визначено довжину горизонтального прокладання 1735 м, кут нахилу топографічної поверхні - 7 ° 15 '. У таблиці відносні величини поправок наведено цілих градусів. Отже, для 7°15" необхідно визначити найближчу велику і найближчу меншу величини, кратні одному градусу - 8º і 7º:
для 8° відносна величина виправлення 0,98%;
для 7 ° 0,75%;
різницю табличних величин 1º (60′) 0,23%;
різниця між заданим кутомнахилу земної поверхні 7°15" та найближчою меншою табличною величиною 7º становить 15".
Складаємо пропорції та знаходимо відносну величину поправки для 15":

Для 60′ поправка становить 0,23%;
Для 15′ поправка становить х%
х% = = 0,0575 ≈ 0,06%

Відносна величина виправлення для кута нахилу 7°15"
0,75%+0,06% = 0,81%
Потім треба визначити абсолютну величину виправлення:
= 14,05 м-коду приблизно 14 м-коду.
Довжина похилої лінії на топографічній поверхні буде:
1735 м+14 м=1749 м.

При малих кутах нахилу (менше 4 ° - 5 °) різниця в довжині похилої лінії та її горизонтальної проекції дуже мала і може не враховуватися.

6.6. ВИМІР ПЛОЩЕЙ ЗА КАРТАМИ

Визначення площ ділянок за топографічними картами ґрунтується на геометричній залежності між площею фігури та її лінійними елементами. Масштаб площ дорівнює квадрату лінійного масштабу.
Якщо сторони прямокутника на карті зменшені в n разів, площа цієї фігури зменшиться в n 2 разів.
Для карти масштабу 1:10 000 (1 см 100 м) масштаб площ дорівнюватиме (1: 10 000) 2 або в 1 см 2 буде 100 м × 100 м = 10 000 м 2 або 1 га, а на карті масштабу 1 :1 000 000 за 1 см 2 - 100 км 2 .

Для вимірювання площ картами застосовують графічні, аналітичні та інструментальні способи. Застосування того чи іншого способу вимірювань обумовлено формою ділянки, що вимірюється, заданою точністю результатів вимірювань, необхідною швидкістю отримання даних і наявністю необхідних приладів.

6.6.1. Вимірювання площі ділянки з прямолінійними межами

При вимірі площі ділянки з прямолінійними межами ділянку ділять на прості геометричні фігури, вимірюють площу кожної їх геометричним способом і, підсумовуючи площі окремих ділянок, обчислених з урахуванням масштабу карти, отримують загальну площу об'єкта.

6.6.2. Вимірювання площі ділянки з криволінійним контуром

Об'єкт з криволінійним контуром розбивають на геометричні фігури, попередньо спрямувавши кордони з таким розрахунком, щоб сума відсічених ділянок та сума надлишків взаємно компенсували одна одну (рис. 6.10). Результати вимірювань будуть певною мірою наближеними.

Рис. 6.10. Випрямлення криволінійних меж ділянки та
розбивка його площі на прості геометричні фігури

6.6.3. Вимірювання площі ділянки зі складною конфігурацією

Вимірювання площ ділянок, мають складну неправильну конфігурацію, частіше виробляють за допомогою палеток та планіметрів, що дає найбільш точні результати. Сіточна палетка є прозорою пластиною з сіткою квадратів (рис. 6.11).

Рис. 6.11. Квадратна сіткова палетка

Палетку накладають на контур, що вимірюється, і по ній підраховують кількість клітин і їх частин, що опинилися всередині контуру. Частки неповних квадратівоцінюються на око, тому підвищення точності вимірювань застосовуються палетки з дрібними квадратами (зі стороною 2 - 5 мм). Перед роботою на цій карті визначають площу одного осередку.
Площа ділянки розраховується за такою формулою:

Р = а 2 n

Де: а -сторона квадрата, виражена у масштабі карти;
n- Число квадратів, що потрапили в межі контуру вимірюваної ділянки

Для підвищення точності площу визначають кілька разів з довільною перестановкою палетки, що використовується в будь-яке положення, в тому числі і з поворотом щодо її початкового положення. За остаточне значення площі приймають середнє арифметичне результати вимірювань.

Крім сіткових палеток, застосовують точкові та паралельні палетки, що є прозорими пластинами з награвірованими точками або лініями. Крапки ставляться одному з кутів осередків сіткової палетки з певною ціною поділу, потім лінії сітки видаляють (рис. 6.12).

Рис. 6.12. Точкова палетка

Вага кожної точки дорівнює ціні розподілу палетки. Площа вимірюваної ділянки визначають шляхом підрахунку кількості точок, що опинилися всередині контуру, і множать цю кількість на вагу точки.
На паралельній палетці награвіровано рівновіддалені паралельні прямі (рис. 6.13). Ділянка, що вимірюється, при накладенні на неї палетки, виявиться розділеною на ряд трапецій з однаковою висотою h. Відрізки паралельних ліній усередині контуру (посередині між лініями) є середніми лініями трапецій. Для визначення площі ділянки за допомогою цієї палетки необхідно суму всіх виміряних середніх ліній помножити на відстань між паралельними лініями палетки h(З урахуванням масштабу).

P = h∑l

Рис 6.13. Палетка, що складається із системи
паралельних ліній

Вимірювання площ значних ділянокпроводиться за картами за допомогою планіметра.

Рис. 6.14. Полярний планіметр

Планіметр служить визначення площ механічним способом. Широке поширення має полярний планіметр (рис. 6.14). Він складається з двох важелів - полюсного та обвідного. Визначення площі контуру планіметром зводиться до таких дій. Закріпивши полюс та встановивши голку обвідного важеля у початковій точці контуру, беруть відлік. Потім обвідний шпиль обережно ведуть контуром до початкової точки і беруть другий відлік. Різниця відліків дасть площу контуру в поділах планіметра. Знаючи абсолютну ціну поділу планіметра, визначають площу контуру.
Розвиток техніки сприяє створенню нових приладів, що підвищують продуктивність праці при обчисленні площ, зокрема використання сучасних приладів, серед яких - електронні планіметри.

Рис. 6.15. Електронний планіметр

6.6.4. Обчислення площі багатокутника за координатами його вершин
(Аналітичний спосіб)

Цей спосіб дозволяє визначити площу ділянки будь-якої конфігурації, тобто. з будь-яким числом вершин, координати яких (х, y) відомі. При цьому нумерація вершин повинна проводитися протягом годинної стрілки.
Як очевидно з рис. 6.16 площа S багатокутника 1-2-3-4 можна розглядати як різницю площ S" фігури 1у-1-2-3-3у і S" фігури 1y-1-4-3-3у
S = S" - S".

Рис. 6.16. До обчислення площі багатокутника за координатами.

У свою чергу кожна з площ S" і S" є сумою площ трапецій, паралельними сторонами яких є абсциси відповідних вершин багатокутника, а висотами - різниці ординат цих же вершин, тобто.

S = пл. 1у-1-2-2у + пл. 2у-2-3-3у,
S" = пл 1у-1-4-4у + пл. 4у-4-3-3у
або: 2S = (х 1 + х 2) (у 2 - у 1) + (х 2 + x 3) (у 3 - у 2)
2 S = (х 1 + х 4) (у 4 - у 1) + (х 4 + х 3) (у 3 - у 4).

Таким чином,
2S = (х 1 + х 2) (у 2 - у 1) + (х 2 + x 3) (у 3 - у 2) - (х 1 + х 4) (у 4 - у 1) - (х 4 + х 3) (у 3 - у 4). Розкривши дужки, отримуємо
2S = х 1 у 2 - х 1 у 4 + х 2 у 3 - x 2 у 1 + х 3 у 4 - х 3 у 2 + х 4 у 1 - х 4 у 3

Звідси
2S = х 1 (у 2 - у 4) + х 2 (у 3 - у 1)+х 3 (у 4 - у 2)+х 4 (у 1 - у 3) (6.1)
2S = y 1 (х 4 - х 2) + y 2 (х 1 - х 3) + y 3 (х 2 - х 4) + y 4 (х 3 - х 1) (6.2)

Представимо вирази (6.1) та (6.2) в загальному вигляді, позначивши через i порядковий номер (i = 1, 2, ..., п) вершини багатокутника:
(6.3)
(6.4)
Отже, подвоєна площа багатокутника дорівнює або сумі творів кожної абсциси на різницю ординат наступної та попередньої вершин багатокутника, або сумі творів кожної ординати на різницю абсцис попередньої та наступної вершин багатокутника.
Проміжним контролем обчислень є задоволення умов:

0 або = 0
Значення координат та його різниці зазвичай округляються до десятих часток метра, а твори - до цілих квадратних метрів.
Складні формули розрахунку площі ділянки можна легко вирішити за допомогою електронних таблиць MicrosoftXL. Приклад для багатокутника (полігону) з 5 точок наведено у таблицях 6.4, 6.5.
У таблицю 6.4 вводимо вихідні дані та формули.

Таблиця 6.4.

				y i (x i-1 - x i+1)
	Подвійна площа в м 2			СУМ(D2: D6)
	Площа у гектарах

У таблиці 6.5 бачимо результати обчислень.

Таблиця 6.5.

				y i (x i-1 -x i+1)
	Подвійна площа в м 2
	Площа у гектарах

6.7. ОЧОМІРНІ ВИМІРИ НА КАРТІ

У практиці картометричних робіт широко використовують окомірні вимірювання, що дають приблизні результати. Проте вміння окомірно визначити за картою відстані, напрями, площі, крутість схилу та інші характеристики об'єктів сприяє оволодінню навичками правильного розуміння картографічного зображення. Точність окомірних визначень підвищується із набуттям досвіду. Окомірні навички попереджають грубі прорахунки у вимірах приладами.
Для визначення довжини лінійних об'єктів по карті слід окомірно порівняти величину цих об'єктів з відрізками кілометрової сітки або поділами лінійного масштабу.
Для визначення площ об'єктів як своєрідну палетку використовують квадрати кілометрової сітки. Кожному квадрату сітки карт масштабів 1:10 000 - 1:50 000 біля відповідає 1 км 2 (100 га), масштабу 1:100 000 - 4 км 2 , 1:200 000 - 16 км 2 .
Точність кількісних визначень за картою, з розвитком окоміру, становить 10-15% вимірюваної величини.

Відео

Завдання визначення масштабу

Завдання та питання для самоконтролю

1. Які елементи включають математичну основу карт?
2. Розкрийте поняття: "масштаб", "горизонтальне прокладання", "чисельний масштаб", "лінійний масштаб", "точність масштабу", "підстави масштабу".
3. Що являє собою іменований масштаб карти та як ним користуватися?
4. Що являє собою поперечний масштаб карти, з якою метою він призначений?
5. Який поперечний масштаб карти вважають за нормальний?
6. Які масштаби топографічних карт та лісовпорядних планшетів застосовують в Україні?
7. Що таке перехідний масштаб карти?
8. Як розраховують основу перехідного масштабу?
Попередня