اعداد مختلط را پیدا کنید که سیستم معادلات را برآورده کنند. چگونه یک معادله مختلط را در ریاضی حل کنیم
استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. معادلات از زمان های قدیم توسط انسان استفاده می شده و از آن زمان استفاده از آنها تنها افزایش یافته است. برای وضوح، بیایید مشکل زیر را حل کنیم:
\[ (z_1\cdot z_2)^(10) را محاسبه کنید اگر \
اول از همه، بیایید به این واقعیت توجه کنیم که یک عدد به شکل جبری، دیگری - به شکل مثلثاتی نشان داده شده است. باید ساده شود و به شکل زیر در بیاید
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
عبارت \ می گوید که اول از همه، ضرب و افزایش را تا توان 10 طبق فرمول Moivre انجام می دهیم. این فرمول برای شکل مثلثاتی یک عدد مختلط فرموله شده است. ما گرفتیم:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
با رعایت قوانین ضرب اعداد مختلط به صورت مثلثاتی، موارد زیر را انجام خواهیم داد:
در مورد ما:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ پی) (3).\]
با درست کردن کسر \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\]، نتیجه می‌گیریم که می‌توان 4 دور \[(8\pi rad.):\ را "پیچاند" ]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]
پاسخ: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
این معادله را می توان به روش دیگری حل کرد، که به این نتیجه می رسد که عدد 2 را به شکل جبری در آوریم و سپس ضرب را انجام دهیم. فرم جبری، نتیجه را به شکل مثلثاتی ترجمه کنید و فرمول De Moivre را اعمال کنید:
کجا می توانم یک سیستم معادلات با اعداد مختلط را به صورت آنلاین حل کنم؟
شما می توانید سیستم معادلات را در وب سایت ما https: // سایت حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادله آنلاین با هر پیچیدگی را در چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید آموزش تصویری را مشاهده کنید و نحوه حل معادله را در وب سایت ما یاد بگیرید. و اگر سوالی دارید، می توانید آنها را در گروه Vkontakte ما بپرسید http://vk.com/pocketteacher. به گروه ما بپیوندید، ما همیشه خوشحالیم که به شما کمک کنیم.
برای حل مسائل با اعداد مختلط، باید تعاریف اولیه را درک کنید. هدف اصلی این مقاله مروری تبیین چیستی اعداد مختلط و ارائه روش هایی برای حل مسائل اساسی با اعداد مختلط است. بنابراین، یک عدد مختلط یک عدد از فرم است z = a + bi، جایی که الف، ب- اعداد حقیقی که به ترتیب اجزای واقعی و خیالی عدد مختلط نامیده می شوند و نشان می دهند. a = Re(z)، b=Im(z).
منواحد خیالی نامیده می شود. i 2 \u003d -1. به طور خاص، هر عدد واقعی را می توان پیچیده در نظر گرفت: a = a + 0i، جایی که a واقعی است. اگر a = 0و b ≠ 0، سپس عدد را کاملاً خیالی می گویند.
اکنون عملیات اعداد مختلط را معرفی می کنیم.
دو عدد مختلط را در نظر بگیرید z 1 = a 1 + b 1 iو z 2 = a 2 + b 2 i.
در نظر گرفتن z = a + bi.
مجموعه اعداد مختلط مجموعه اعداد حقیقی را گسترش می دهد که به نوبه خود مجموعه اعداد گویا را گسترش می دهد و غیره. این زنجیره از تعبیه ها را می توان در شکل مشاهده کرد: N - اعداد طبیعی، Z - اعداد صحیح، Q - گویا، R - واقعی، C - مختلط. 
نمایش اعداد مختلط
نماد جبری.
یک عدد مختلط را در نظر بگیرید z = a + bi، این شکل از نوشتن یک عدد مختلط نامیده می شود جبری. قبلاً در بخش قبل به تفصیل درباره این شکل نوشتن بحث کرده ایم. غالباً از نقاشی مصور زیر استفاده کنید 
فرم مثلثاتی
از شکل مشخص است که عدد z = a + biرا می توان متفاوت نوشت بدیهی است که a = rcos (φ), b = rsin (φ), r=|z|، در نتیجه z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
آرگومان یک عدد مختلط نامیده می شود. این نمایش یک عدد مختلط نامیده می شود فرم مثلثاتی. شکل مثلثاتی نماد گاهی اوقات بسیار راحت است. به عنوان مثال، استفاده از آن برای افزایش یک عدد مختلط به یک توان صحیح، یعنی if، راحت است z = rcos(φ) + rsin(φ)i، سپس z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i، این فرمول نامیده می شود فرمول دو مویور.
فرم نمایشی
در نظر گرفتن z = rcos(φ) + rsin(φ)iیک عدد مختلط به شکل مثلثاتی است، ما آن را به شکل دیگری می نویسیم z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ، آخرین برابری از فرمول اویلر به دست می آید، بنابراین به دست می آوریم فرم جدیدورودی های اعداد مختلط: z = re iφ، که نامیده می شود نمایشی. این شکل از نماد برای افزایش یک عدد مختلط به توان بسیار مناسب است: z n = r n e inφ، اینجا nلزوما یک عدد صحیح نیست، اما می تواند یک عدد واقعی دلخواه باشد. این شکل از نوشتن اغلب برای حل مشکلات استفاده می شود.
قضیه اساسی جبر عالی
بیایید وانمود کنیم که داریم معادله درجه دوم x 2 + x + 1 = 0 . بدیهی است که ممیز این معادله منفی است و ریشه واقعی ندارد، اما معلوم می شود که این معادله دارای دو ریشه پیچیده متفاوت است. بنابراین، قضیه اصلی جبر عالی بیان می کند که هر چند جمله ای درجه n حداقل یک ریشه مختلط دارد. از این نتیجه می شود که هر چند جمله ای درجه n با در نظر گرفتن تعدد آنها دقیقاً n ریشه پیچیده دارد. این قضیه نتیجه بسیار مهمی در ریاضیات است و کاربرد وسیعی دارد. نتیجه ساده این قضیه این است که دقیقاً n ریشه n درجه متمایز از وحدت وجود دارد.
انواع اصلی وظایف
این بخش به انواع اصلی می پردازد کارهای سادهبه اعداد مختلط به طور متعارف، مسائل مربوط به اعداد مختلط را می توان به دسته های زیر تقسیم کرد.
- انجام عملیات ساده حسابی روی اعداد مختلط.
- یافتن ریشه چند جمله ای ها در اعداد مختلط.
- افزایش اعداد مختلط به توان
- استخراج ریشه از اعداد مختلط
- استفاده از اعداد مختلط برای حل مسائل دیگر.
حال روش های کلی برای حل این مشکلات را در نظر بگیرید.
انجام ساده ترین عملیات حسابی با اعداد مختلط طبق قوانینی که در قسمت اول توضیح داده شد انجام می شود، اما اگر اعداد مختلط به صورت مثلثاتی یا نمایی ارائه شوند، در این صورت می توان آنها را به شکل جبری تبدیل کرد و عملیات را طبق قوانین شناخته شده انجام داد.
یافتن ریشه های چند جمله ای ها معمولاً به یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم ختم می شود. فرض کنید یک معادله درجه دوم داریم، اگر ممیز آن غیر منفی باشد، ریشه های آن واقعی خواهد بود و طبق یک فرمول شناخته شده پیدا می شود. اگر ممیز منفی باشد، پس D = -1∙a 2، جایی که آعدد معینی است، سپس می توانیم ممیز را در فرم نشان دهیم D = (ia) 2، در نتیجه √D = i|a|، و سپس می توانید از فرمول از قبل شناخته شده برای ریشه های معادله درجه دوم استفاده کنید.
مثال. بیایید به معادله درجه دومی که در بالا ذکر شد برگردیم x 2 + x + 1 = 0.
ممیز - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
اکنون به راحتی می توانیم ریشه ها را پیدا کنیم: 
افزایش اعداد مختلط به توان را می توان به روش های مختلفی انجام داد. اگر می خواهید یک عدد مختلط را به صورت جبری به توان کوچک (2 یا 3) برسانید، می توانید این کار را با ضرب مستقیم انجام دهید، اما اگر درجه بزرگتر است (در مسائل اغلب بسیار بزرگتر است)، پس باید این عدد را به صورت مثلثاتی یا نمایی بنویسید و از روش های شناخته شده استفاده کنید.
مثال. z = 1 + i را در نظر بگیرید و تا توان دهم بالا ببرید.
z را به صورت نمایی می نویسیم: z = √2 e iπ/4 .
سپس z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
بیایید به شکل جبری برگردیم: z 10 = -32i.
استخراج ریشه از اعداد مختلط عمل معکوس توان است، بنابراین به روشی مشابه انجام می شود. برای استخراج ریشه اغلب از شکل نمایی نوشتن یک عدد استفاده می شود.
مثال. تمام ریشه های درجه 3 وحدت را بیابید. برای این کار، تمام ریشه های معادله z 3 = 1 را پیدا می کنیم، ریشه ها را به صورت نمایی جستجو می کنیم.
در معادله جایگزین کنید: r 3 e 3iφ = 1 یا r 3 e 3iφ = e 0 .
از این رو: r = 1، 3φ = 0 + 2πk، از این رو φ = 2πk/3.
ریشه های مختلف در φ = 0، 2π/3، 4π/3 به دست می آیند.
بنابراین 1، e i2π/3، e i4π/3 ریشه هستند.
یا به صورت جبری: 
آخرین نوع مسائل شامل طیف عظیمی از مسائل است و هیچ روش کلی برای حل آنها وجود ندارد. در اینجا یک مثال ساده از چنین کاری آورده شده است:
مقدار را پیدا کنید sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).
اگرچه در فرمول بندی این مسئله به اعداد مختلط اشاره نمی شود، اما با کمک آنها به راحتی می توان آن را حل کرد. برای حل آن، از نمایش های زیر استفاده می شود: 
اگر اکنون این نمایش را با مجموع جایگزین کنیم، مشکل به جمع پیشروی هندسی معمول کاهش می یابد.
نتیجه
اعداد مختلط به طور گسترده ای در ریاضیات مورد استفاده قرار می گیرند، در این مقاله مروری، عملیات اساسی روی اعداد مختلط در نظر گرفته شد، چندین نوع مسئله استاندارد شرح داده شد و به اختصار شرح داده شد. روش های رایجراه حل های آنها، برای اطلاعات بیشتر مطالعه دقیقامکان اعداد مختلط، توصیه می شود از ادبیات تخصصی استفاده کنید.
ادبیات
آژانس فدرال برای آموزش
مؤسسه آموزشی دولتی
آموزش عالی حرفه ای
"دانشگاه دولتی آموزش و پرورش ورونژ"
کرسی AGLEBRA و هندسه
اعداد مختلط
(کارهای انتخاب شده)
کار صلاحیت نهایی
تخصص 050201.65 ریاضی
(با تخصص اضافی انفورماتیک 050202.65)
تکمیل شده توسط: دانشجوی سال پنجم
فیزیکی و ریاضی
دانشکده
مشاور علمی:
VORONEZH - 2008
1. مقدمه……………………………………………………...…………..…
2. اعداد مختلط (مسائل انتخاب شده)
2.1. اعداد مختلط به صورت جبری…………………………….
2.2. تفسیر هندسی اعداد مختلط……………..
2.3. شکل مثلثاتی اعداد مختلط
2.4. کاربرد نظریه اعداد مختلط در حل معادلات درجه 3 و 4……………………………………………………………………………
2.5. اعداد مختلط و پارامترها……………………………………………
3. نتیجه گیری…………………………………………………………………………
4. فهرست منابع……………………………………………………
1. مقدمه
در برنامه ریاضی درس مدرسه، نظریه اعداد با استفاده از مثال هایی از مجموعه ها معرفی می شود اعداد طبیعی، کل، عقلانی، غیر منطقی، i.e. روی مجموعه اعداد واقعی که تصاویر آنها تمام خط اعداد را پر می کند. اما در حال حاضر در کلاس هشتم موجودی کافی از اعداد واقعی وجود ندارد و معادلات درجه دوم را با یک ممیز منفی حل می کنند. بنابراین، لازم بود موجودی اعداد حقیقی را با اعداد مختلط پر کنیم، که جذر یک عدد منفی منطقی است.
انتخاب موضوع "اعداد مختلط" به عنوان موضوع کار صلاحیت نهایی من این است که مفهوم اعداد مختلط دانش دانش آموزان را در مورد سیستم های عددی، در مورد حل یک کلاس گسترده از مسائل از هر دو محتوای جبری و هندسی، در مورد گسترش می دهد. حل کردن معادلات جبریهر درجه و در مورد حل مسائل با پارامترها.
در این پایان نامه حل 82 مسئله در نظر گرفته شده است.
بخش اول بخش اصلی "اعداد مختلط" راه حل هایی را برای مسائل مربوط به اعداد مختلط به شکل جبری ارائه می دهد، عملیات جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، صرف اعداد مختلط را به شکل جبری، درجه یک واحد خیالی، تعریف می کند. مدول یک عدد مختلط، و همچنین استخراج قانون را تعیین می کند ریشه دوماز یک عدد مختلط
در بخش دوم، مسائلی برای تفسیر هندسی اعداد مختلط به صورت نقاط یا بردارهای صفحه مختلط حل شده است.
بخش سوم به عملیات اعداد مختلط به صورت مثلثاتی می پردازد. از فرمول ها استفاده می شود: De Moivre و استخراج ریشه از یک عدد مختلط.
بخش چهارم به حل معادلات درجه 3 و 4 اختصاص دارد.
هنگام حل مسائل قسمت آخر "اعداد مختلط و پارامترها" از اطلاعات داده شده در قسمت های قبلی استفاده و تلفیق می شود. مجموعه ای از مسائل این فصل به تعریف خانواده خطوط در صفحه مختلط اختصاص دارد. توسط معادلات داده شده است(نابرابری ها) با یک پارامتر. در بخشی از تمرین ها باید معادلات را با پارامتر (روی فیلد C) حل کنید. وظایفی وجود دارد که در آن یک متغیر پیچیده به طور همزمان تعدادی از شرایط را برآورده می کند. از ویژگی های حل مسائل این بخش، تقلیل بسیاری از آنها به حل معادلات (نامعادلات، سیستم ها) درجه دو، غیر منطقی، مثلثاتی با پارامتر است.
یکی از ویژگی های ارائه مطالب هر قسمت، ورودی اولیه است مبانی نظری، و بعداً کاربرد عملی آنها در حل مسائل.
در پایان پایان نامهفهرستی از ادبیات مورد استفاده ارائه شده است. در بیشتر آنها مطالب نظری با جزئیات کافی و در دسترس ارائه شده است، راه حل هایی برای برخی از مسائل در نظر گرفته شده و برای حل مستقل وظایف عملی ارائه شده است. من می خواهم به منابعی مانند:
1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. اعداد مختلط و کاربردهای آنها: کتاب درسی. . مواد راهنمای مطالعهدر قالب سخنرانی و تمرینات عملی ارائه می شود.
2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. منتخب مسائل و قضایای ریاضیات ابتدایی. حساب و جبر. این کتاب شامل 320 مسئله مربوط به جبر، حساب و نظریه اعداد است. این وظایف با ماهیت خود به طور قابل توجهی با وظایف استاندارد مدرسه متفاوت است.
2. اعداد مختلط (مسائل انتخاب شده)
2.1. اعداد مختلط به شکل جبری
حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و فیزیک به حل معادلات جبری خلاصه می شود. معادلات فرم
,که در آن a0، a1، …، an اعداد حقیقی هستند. بنابراین مطالعه معادلات جبری یکی از مهمترین سوالات ریاضیات است. برای مثال، یک معادله درجه دوم با ممیز منفی، ریشه واقعی ندارد. ساده ترین چنین معادله ای معادله است
.برای اینکه این معادله جواب داشته باشد، باید مجموعه اعداد حقیقی را با اضافه کردن ریشه معادله به آن گسترش داد.
.بیایید این ریشه را به عنوان نشان دهیم
. بنابراین، طبق تعریف، یا،در نتیجه،
. واحد خیالی نامیده می شود. با کمک آن و با کمک یک جفت اعداد حقیقی، یک عبارت از فرم تشکیل می شود.عبارت به دست آمده را اعداد مختلط می نامیدند زیرا شامل هر دو بخش واقعی و خیالی بودند.
بنابراین، اعداد مختلط را عبارت های شکل می نامند
و اعداد واقعی هستند و نمادی است که شرط را برآورده می کند. عدد را قسمت واقعی عدد مختلط و عدد را قسمت خیالی آن می نامند. از نمادها برای تعیین آنها استفاده می شود.اعداد مختلط فرم
اعداد حقیقی هستند و بنابراین مجموعه اعداد مختلط شامل مجموعه اعداد حقیقی است. اعداد مختلط فرم
صرفاً خیالی نامیده می شوند. دو عدد مختلط از شکل و در صورتی مساوی خوانده می شوند که اجزای واقعی و خیالی آنها مساوی باشند، یعنی. اگر برابری ها، .نماد جبریاعداد مختلط به شما این امکان را می دهد که بر اساس قوانین معمول جبر عملیات روی آنها انجام دهید.
بارگذاری...