نحوه حل لگاریتم با مثال های پایه های مختلف لگاریتم - خواص، فرمول ها، نمودار

با توسعه جامعه، پیچیدگی تولید، ریاضیات نیز توسعه یافت. حرکت از ساده به پیچیده. از روش معمول حسابداری جمع و تفریق با تکرار مکرر آنها به مفهوم ضرب و تقسیم رسیدند. کاهش عملیات تکرار شده به مفهوم توان تبدیل شد. اولین جداول وابستگی اعداد به پایه و تعداد توان در قرن هشتم توسط ریاضیدان هندی Varasena گردآوری شد. از روی آنها می توانید زمان وقوع لگاریتم را بشمارید.

طرح کلی تاریخی

احیای اروپا در قرن شانزدهم نیز توسعه مکانیک را تحریک کرد. تی نیاز به محاسبات زیادی داشتمربوط به ضرب و تقسیم اعداد چند رقمی است. میزهای باستانی خدمات بزرگی انجام دادند. اجازه تعویض دادند عملیات پیچیدهبه موارد ساده تر - جمع و تفریق. یک گام بزرگ رو به جلو کار ریاضیدان مایکل استیفل بود که در سال 1544 منتشر شد و در آن او ایده بسیاری از ریاضیدانان را تحقق بخشید. این امکان استفاده از جداول را نه تنها برای درجه در فرم فراهم کرد اعداد اول، بلکه برای عقلای دلخواه.

در سال 1614، جان ناپیر، اسکاتلندی، این ایده ها را برای اولین بار معرفی کرد ترم جدید"لگاریتم یک عدد". جداول پیچیده جدیدی برای محاسبه لگاریتم سینوس ها و کسینوس ها و همچنین مماس ها تهیه شد. این کار اخترشناسان را بسیار کاهش داد.

جداول جدیدی ظاهر شدند که با موفقیت توسط دانشمندان استفاده شد سه قرن. زمان زیادی گذشت تا عملیات جدید در جبر شکل نهایی خود را به دست آورد. لگاریتم تعریف شد و خواص آن بررسی شد.

تنها در قرن بیستم، با ظهور ماشین حساب و کامپیوتر، بشر جداول باستانی را که در طول قرن سیزدهم با موفقیت کار می کردند، رها کرد.

امروز لگاریتم b را برای مبنای a عدد x که توان a است می نامیم تا عدد b را بدست آوریم. این به عنوان یک فرمول نوشته می شود: x = log a(b).

به عنوان مثال، log 3(9) برابر با 2 خواهد بود. اگر از تعریف پیروی کنید این واضح است. اگر 3 را به توان 2 برسانیم، 9 می شود.

بنابراین، تعریف فرمول بندی شده تنها یک محدودیت را ایجاد می کند، اعداد a و b باید واقعی باشند.

انواع لگاریتم ها

تعریف کلاسیک لگاریتم واقعی نامیده می شود و در واقع حل معادله a x = b است. گزینه a = 1 مرزی است و هیچ علاقه ای ندارد. توجه: 1 به هر توانی 1 است.

ارزش واقعی لگاریتمتنها در صورتی تعریف می شود که مبنا و آرگومان بزرگتر از 0 باشد و مبنا نباید برابر با 1 باشد.

جایگاه ویژه در رشته ریاضیلگاریتمی را بازی کنید که بسته به مقدار پایه آنها نامگذاری می شود:

قوانین و محدودیت ها

ویژگی اساسی لگاریتم ها این قانون است: لگاریتم یک محصول برابر با مجموع لگاریتمی است. log abp = log a(b) + log a(p).

به عنوان گونه ای از این عبارت، این خواهد بود: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p)، تابع ضریب برابر با تفاوت توابع است.

از دو قانون قبلی به راحتی می توان دریافت که: log a(b p) = p * log a(b).

سایر خواص عبارتند از:

اظهار نظر. یک اشتباه رایج مرتکب نشوید - لگاریتم مجموع نیست برابر با مجموع استلگاریتم ها

برای قرن‌های متمادی، عملیات یافتن لگاریتم یک کار نسبتاً وقت‌گیر بود. ریاضیدانان از فرمول معروف نظریه لگاریتمی انبساط به چند جمله ای استفاده کردند:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n)، که در آن n است عدد طبیعیبزرگتر از 1، که دقت محاسبه را تعیین می کند.

لگاریتم با پایه های دیگر با استفاده از قضیه انتقال از یک پایه به پایه دیگر و ویژگی لگاریتم حاصلضرب محاسبه شد.

از آنجایی که این روش بسیار پر زحمت و هنگام تصمیم گیری وظایف عملی پیاده سازی آنها دشوار بود، آنها از جداول لگاریتمی از پیش کامپایل شده استفاده کردند که کل کار را بسیار تسریع کرد.

در برخی موارد، از نمودارهای لگاریتم کامپایل شده ویژه استفاده شد که دقت کمتری داشت، اما به طور قابل توجهی سرعت جستجوی مقدار مورد نظر را افزایش داد. منحنی تابع y = log a(x) که بر روی چندین نقطه ساخته شده است، امکان استفاده از خط کش معمولی را برای یافتن مقادیر تابع در هر نقطه دیگر فراهم می کند. مهندسان مدت زمان طولانیبرای این منظور از کاغذ گراف به اصطلاح استفاده شد.

در قرن هفدهم، اولین شرایط کمکی محاسبات آنالوگ ظاهر شد که به قرن نوزدهمظاهری تمام شده به دست آورد. موفق ترین دستگاه قانون اسلاید نام داشت. علیرغم سادگی دستگاه، ظاهر آن به طور قابل توجهی روند تمام محاسبات مهندسی را تسریع می کند، و این امر دشوار است که بیش از حد برآورد شود. در حال حاضر افراد کمی با این دستگاه آشنایی دارند.

ظهور ماشین‌حساب‌ها و رایانه‌ها استفاده از هر وسیله دیگری را بی‌معنی کرد.

معادلات و نابرابری ها

برای راه حل ها معادلات مختلفو نابرابری ها با استفاده از لگاریتم، فرمول های زیر اعمال می شود:

• انتقال از یک پایه به پایه دیگر: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• در نتیجه نسخه قبلی: log a(b) = 1 / log b(a).

برای حل نابرابری ها، دانستن موارد زیر مفید است:

• مقدار لگاریتم تنها زمانی مثبت خواهد بود که هم مبنا و هم آرگومان هر دو بزرگتر یا کمتر از یک باشند. اگر حداقل یک شرط نقض شود، مقدار لگاریتم منفی خواهد بود.
• اگر تابع لگاریتم به سمت راست و چپ نابرابری اعمال شود و پایه لگاریتم بزرگتر از یک باشد، علامت نابرابری حفظ می شود. در غیر این صورت تغییر می کند.

نمونه کارها

چندین گزینه برای استفاده از لگاریتم و خواص آنها در نظر بگیرید. مثال هایی با حل معادلات:

گزینه قرار دادن لگاریتم در درجه را در نظر بگیرید:

• وظیفه 3. محاسبه 25^log 5(3). راه حل: در شرایط مشکل، نماد مشابه زیر است (5^2)^log5(3) یا 5^(2 * log 5(3)). بیایید آن را متفاوت بنویسیم: 5^log 5(3*2)، یا مربع یک عدد به عنوان آرگومان تابع را می توان به عنوان مربع خود تابع نوشت (5^log 5(3))^2. با استفاده از خواص لگاریتم، این عبارت 3^2 است. پاسخ: در نتیجه محاسبه 9 به دست می آید.

استفاده عملی

به عنوان یک ابزار کاملاً ریاضی، به نظر دور از دسترس است زندگی واقعیکه لگاریتم ناگهان به دست آورد پراهمیتبرای توصیف اشیاء در دنیای واقعی یافتن علمی در جایی که از آن استفاده نمی شود دشوار است. این به طور کامل نه تنها در مورد علوم طبیعی، بلکه در زمینه های علوم انسانی نیز صدق می کند.

وابستگی های لگاریتمی

در اینجا چند نمونه از وابستگی های عددی آورده شده است:

مکانیک و فیزیک

از نظر تاریخی، مکانیک و فیزیک همیشه با استفاده از توسعه یافته اند روش های ریاضیتحقیق و در عین حال به عنوان انگیزه ای برای توسعه ریاضیات از جمله لگاریتم عمل کرد. تئوری اکثر قوانین فیزیک به زبان ریاضی نوشته شده است. ما تنها دو مثال از توصیف قوانین فیزیکی با استفاده از لگاریتم ارائه می دهیم.

حل مشکل محاسباتی اندازه پیچیدهچگونه سرعت یک موشک با استفاده از فرمول Tsiolkovsky ممکن است، که اساس نظریه اکتشاف فضایی را ایجاد کرد:

V = I * ln(M1/M2)، که در آن

• V سرعت نهایی هواپیما است.
• من تکانه خاص موتور هستم.
• M 1 جرم اولیه موشک است.
• M 2 - جرم نهایی.

مثال مهم دیگر- این استفاده در فرمول دانشمند بزرگ دیگر، ماکس پلانک است که برای ارزیابی حالت تعادل در ترمودینامیک استفاده می شود.

S = k * ln (Ω)، که در آن

• S یک خاصیت ترمودینامیکی است.
• k ثابت بولتزمن است.
• Ω وزن آماری حالت های مختلف است.

علم شیمی

استفاده از فرمول هایی در شیمی حاوی نسبت لگاریتم ها کمتر آشکار است. در اینجا فقط دو نمونه وجود دارد:

• معادله نرنست، شرط پتانسیل ردوکس محیط نسبت به فعالیت مواد و ثابت تعادل.
• محاسبه ثابت هایی مانند شاخص اتوپرولیز و اسیدیته محلول نیز بدون عملکرد ما کامل نیست.

روانشناسی و زیست شناسی

و کاملاً غیرقابل درک است که روانشناسی چه ارتباطی با آن دارد. معلوم می شود که قدرت حس به خوبی توسط این تابع به عنوان نسبت معکوس مقدار شدت محرک به مقدار شدت کمتر توصیف می شود.

پس از مثال های بالا، دیگر جای تعجب نیست که موضوع لگاریتم ها نیز به طور گسترده در زیست شناسی مورد استفاده قرار می گیرد. مجلدات کامل را می توان در مورد اشکال بیولوژیکی متناظر با مارپیچ های لگاریتمی نوشت.

مناطق دیگر

به نظر می رسد وجود جهان بدون ارتباط با این کارکرد ناممکن است و بر همه قوانین حاکم است. مخصوصاً زمانی که قوانین طبیعت با آنها مرتبط باشد پیشرفت هندسی. شایان ذکر است که به وب سایت MatProfi مراجعه کنید و نمونه های زیادی از این دست در زمینه های فعالیت زیر وجود دارد:

لیست می تواند بی پایان باشد. با تسلط بر قوانین اساسی این عملکرد، می توانید وارد دنیای خرد بی نهایت شوید.

امروز در مورد آن صحبت خواهیم کرد فرمول های لگاریتمیو نمایش دهد نمونه های راه حل.

آنها به خودی خود الگوهای حل را مطابق با ویژگی های اصلی لگاریتم ها نشان می دهند. قبل از اعمال فرمول‌های لگاریتمی برای حل، ابتدا تمام ویژگی‌ها را برای شما یادآوری می‌کنیم:

حال بر اساس این فرمول ها (خواص) نشان می دهیم نمونه هایی از حل لگاریتم.

نمونه هایی از حل لگاریتم بر اساس فرمول.

لگاریتمیک عدد مثبت b در پایه a (به log a b نشان داده می شود) توانی است که a باید به آن افزایش یابد تا b به دست آید، با b > 0، a > 0 و 1.

طبق تعریف log a b = x که معادل x = b است، بنابراین log a x = x.

لگاریتم ها، مثال ها:

log 2 8 = 3، زیرا 2 3 = 8

log 7 49 = 2 زیرا 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1، زیرا 5 -1 = 1/5

لگاریتم اعشارییک لگاریتم معمولی است که پایه آن 10 است. با lg نشان داده می شود.

log 10 100 = 2 زیرا 10 2 = 100

لگاریتم طبیعی- همچنین لگاریتم لگاریتم معمولی، اما با پایه e (e \u003d 2.71828 ... - یک عدد غیر منطقی). به عنوان ln.

مطلوب است که فرمول ها یا خواص لگاریتم ها را به خاطر بسپاریم، زیرا بعداً هنگام حل لگاریتم به آنها نیاز خواهیم داشت. معادلات لگاریتمیو نابرابری ها بیایید هر فرمول را دوباره با مثال ها بررسی کنیم.

• هویت لگاریتمی پایه
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• لگاریتم حاصلضرب برابر است با مجموع لگاریتم ها
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• لگاریتم ضریب برابر است با اختلاف لگاریتم ها
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 / 9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• ویژگی های درجه یک عدد لگاریتمی و پایه لگاریتم

  توان یک عدد لگاریتمی log a b m = mlog a b

  نماگر پایه لگاریتم log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  اگر m = n، log a n b n = log a b دریافت می کنیم

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• انتقال به یک پایه جدید
  log a b = log c b / log c a,

  اگر c = b، log b b = 1 را دریافت می کنیم

  سپس log a b = 1/log b a

  log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

همانطور که می بینید، فرمول های لگاریتمی آنقدر که به نظر می رسد پیچیده نیستند. حال با در نظر گرفتن مثال هایی از حل لگاریتم، می توانیم به سراغ معادلات لگاریتمی برویم. نمونه هایی از حل معادلات لگاریتمی را با جزئیات بیشتری در مقاله بررسی خواهیم کرد: "". از دست نده!

اگر هنوز سؤالی در مورد راه حل دارید، آنها را در نظرات مقاله بنویسید.

توجه: تصمیم گرفتید به عنوان یک گزینه، تحصیل در کلاس دیگری را در خارج از کشور دریافت کنید.

ویژگی های اصلی لگاریتم طبیعی، نمودار، دامنه تعریف، مجموعه مقادیر، فرمول های پایه، مشتق، انتگرال، بسط در یک سری توانی و نمایش تابع ln x با استفاده از اعداد مختلط آورده شده است.

تعریف

لگاریتم طبیعیتابع y = است ln x، معکوس به توان، x \u003d e y، و لگاریتم به پایه عدد e: ln x = log e x.

لگاریتم طبیعی به طور گسترده در ریاضیات استفاده می شود زیرا مشتق آن ساده ترین شکل را دارد: (ln x)′ = 1/ x.

مستقر تعاریف، پایه لگاریتم طبیعی عدد است ه:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

نمودار تابع y = ln x.

نمودار لگاریتم طبیعی (توابع y = ln x) از نمودار توان به دست می آید انعکاس آینهنسبت به خط مستقیم y = x.

لگاریتم طبیعی در تعریف شده است ارزش های مثبتمتغیر x به طور یکنواخت دامنه تعریف خود را افزایش می دهد.

به عنوان x → 0 حد لگاریتم طبیعی منهای بی نهایت است (-∞).

به عنوان x → + ∞، حد لگاریتم طبیعی به اضافه بی نهایت است (+∞). برای x بزرگ، لگاریتم به آرامی افزایش می یابد. هر تابع توان x a با توان مثبت a سریعتر از لگاریتم رشد می کند.

خواص لگاریتم طبیعی

دامنه تعریف، مجموعه مقادیر، افراط، افزایش، کاهش

لگاریتم طبیعی تابعی است که بطور یکنواخت افزایش می یابد، بنابراین هیچ گونه افراطی ندارد. خواص اصلی لگاریتم طبیعی در جدول ارائه شده است.

مقادیر ln x

log 1 = 0

فرمول های اصلی لگاریتم های طبیعی

فرمول های ناشی از تعریف تابع معکوس:

ویژگی اصلی لگاریتم ها و پیامدهای آن

فرمول جایگزینی پایه

هر لگاریتمی را می توان بر حسب لگاریتم طبیعی با استفاده از فرمول تغییر پایه بیان کرد:

اثبات این فرمول ها در بخش "لگاریتم" ارائه شده است.

تابع معکوس

متقابل لگاریتم طبیعی توان است.

اگر پس از آن

اگر پس از آن .

مشتق ln x

مشتق لگاریتم طبیعی:
.
مشتق لگاریتم طبیعی مدول x:
.
مشتق از مرتبه n:
.
اشتقاق فرمول ها > > >

انتگرال

انتگرال با ادغام با قطعات محاسبه می شود:
.
بنابراین،

عبارات بر حسب اعداد مختلط

تابعی از متغیر مختلط z را در نظر بگیرید:
.
بیایید متغیر مختلط را بیان کنیم zاز طریق ماژول rو استدلال φ :
.
با استفاده از خواص لگاریتم، داریم:
.
یا
.
آرگومان φ منحصراً تعریف نشده است. اگر قرار دهیم
، جایی که n یک عدد صحیح است،
سپس برای n های مختلف یک عدد خواهد بود.

بنابراین، لگاریتم طبیعی، به عنوان تابعی از یک متغیر مختلط، یک تابع تک مقداری نیست.

گسترش سری پاور

برای ، بسط صورت می گیرد:

منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسان و دانشجویان مؤسسات آموزش عالی، لان، 2009.

همانطور که می دانید، هنگام ضرب عبارات با توان، توان آنها همیشه با هم جمع می شوند (a b * a c = a b + c). این قانون ریاضیتوسط ارشمیدس مشتق شد، و بعدها، در قرن هشتم، ریاضیدان Virasen جدولی از شاخص های اعداد صحیح ایجاد کرد. این آنها بودند که برای کشف بیشتر لگاریتم ها خدمت کردند. نمونه‌هایی از استفاده از این تابع را می‌توان تقریباً در همه جا که لازم است ضرب دست و پا گیر به جمع ساده ساده کرد، یافت. اگر 10 دقیقه برای خواندن این مقاله وقت بگذارید، ما به شما توضیح خواهیم داد که لگاریتم چیست و چگونه با آنها کار کنید. زبان ساده و در دسترس.

تعریف در ریاضیات

لگاریتم عبارتی از شکل زیر است: log a b=c، یعنی لگاریتم هر عدد غیر منفی (یعنی هر مثبت) "b" با توجه به پایه "a" آن توان "c" در نظر گرفته می شود. "، که لازم است پایه "a" را بالا ببریم، تا در پایان مقدار "b" را بدست آوریم. بیایید لگاریتم را با استفاده از مثال ها تجزیه و تحلیل کنیم، فرض کنید یک عبارت log وجود دارد 2 8. چگونه پاسخ را پیدا کنیم؟ خیلی ساده است، باید چنین مدرکی پیدا کنید که از 2 تا مدرک مورد نیاز، 8 بگیرید. با انجام محاسباتی در ذهن شما، عدد 3 را به دست می آوریم! و به درستی چون 2 به توان 3 عدد 8 را در جواب می دهد.

انواع لگاریتم ها

برای بسیاری از دانش آموزان و دانشجویان، این موضوع پیچیده و غیرقابل درک به نظر می رسد، اما در واقع، لگاریتم ها چندان ترسناک نیستند، نکته اصلی درک معنای کلی آنها و به خاطر سپردن ویژگی ها و برخی قوانین است. سه نوع متمایز از عبارت لگاریتمی وجود دارد:

1. لگاریتم طبیعی ln a، که در آن پایه عدد اویلر است (e = 2.7).
2. اعشاری a که پایه آن 10 است.
3. لگاریتم هر عدد b به پایه a>1.

هر یک از آنها به روشی استاندارد از جمله ساده سازی، کاهش و کاهش متعاقب آن به یک لگاریتم با استفاده از قضایای لگاریتمی حل می شوند. برای به دست آوردن مقادیر صحیح لگاریتم ها، باید ویژگی های آنها و ترتیب اعمال را در تصمیم گیری های آنها به خاطر بسپارید.

قوانین و برخی محدودیت ها

در ریاضیات چندین قاعده ـ محدودیت وجود دارد که به عنوان بدیهیات پذیرفته شده اند، یعنی قابل بحث نیستند و صادق هستند. به عنوان مثال، تقسیم اعداد بر صفر غیرممکن است و همچنین نمی توان ریشه یک درجه زوج را از اعداد منفی استخراج کرد. لگاریتم ها نیز قوانین خاص خود را دارند که به دنبال آن می توانید به راحتی نحوه کار با عبارات لگاریتمی طولانی و بزرگ را یاد بگیرید:

• پایه "a" باید همیشه بزرگتر از صفر باشد و در عین حال برابر با 1 نباشد، در غیر این صورت این عبارت معنای خود را از دست می دهد، زیرا "1" و "0" به هر درجه ای همیشه با مقادیر خود برابر هستند.
• اگر a > 0، سپس a b > 0، معلوم می شود که "c" باید بزرگتر از صفر باشد.

چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟

به عنوان مثال، وظیفه یافتن پاسخ معادله 10 x \u003d 100 داده شد. بسیار آسان است، شما باید چنین توانی را انتخاب کنید، عدد ده را بالا ببرید که به 100 می رسیم. البته این 10 است. 2 \u003d 100.

حال بیایید این عبارت را به صورت لگاریتمی نشان دهیم. ما log 10 100 = 2 را دریافت می کنیم. هنگام حل لگاریتم ها، همه اقدامات عملاً با یافتن درجه ای که پایه لگاریتم باید وارد شود تا عدد معینی را وارد کنیم، همگرا می شوند.

برای تعیین دقیق مقدار یک درجه مجهول، باید نحوه کار با جدول درجات را یاد بگیرید. به نظر می رسد این است:

همانطور که می بینید، اگر شما ذهنیت فنی و دانش جدول ضرب داشته باشید، می توان برخی از توان ها را به طور مستقیم حدس زد. با این حال، مقادیر بزرگتر به میز برق نیاز دارند. حتی برای کسانی که در مباحث پیچیده ریاضی اصلاً چیزی نمی فهمند می توانند از آن استفاده کنند. ستون سمت چپ شامل اعداد است (مبنای a)، ردیف بالای اعداد مقدار توان c است که عدد a به آن افزایش می‌یابد. در محل تقاطع سلول ها، مقادیر اعداد تعیین می شود که پاسخ (a c =b) است. به عنوان مثال، اولین خانه را با عدد 10 در نظر می گیریم و آن را مربع می کنیم، مقدار 100 را می گیریم که در تقاطع دو خانه ما نشان داده شده است. همه چیز به قدری ساده و آسان است که حتی واقعی ترین انسان گرایان نیز متوجه خواهند شد!

معادلات و نابرابری ها

معلوم می شود که تحت شرایط خاص، توان لگاریتم است. بنابراین، هر عبارت عددی ریاضی را می توان به عنوان یک معادله لگاریتمی نوشت. به عنوان مثال، 3 4 = 81 را می توان به عنوان لگاریتم 81 تا پایه 3 نوشت که چهار است (log 3 81 = 4). برای توان های منفی، قوانین یکسان است: 2 -5 = 1/32 به عنوان لگاریتم می نویسیم، log 2 (1/32) = -5 را دریافت می کنیم. یکی از جذاب ترین بخش های ریاضیات، مبحث "لگاریتم" است. ما بلافاصله پس از مطالعه خواص معادلات، نمونه ها و راه حل های معادلات را کمی پایین تر در نظر خواهیم گرفت. حال بیایید ببینیم که نابرابری ها چگونه هستند و چگونه آنها را از معادلات متمایز کنیم.

عبارتی از شکل زیر داده می شود: log 2 (x-1) > 3 - it is نابرابری لگاریتمی، زیرا مقدار مجهول "x" زیر علامت لگاریتم است. و همچنین در عبارت دو کمیت با هم مقایسه می شوند: لگاریتم عدد مورد نظر در پایه دو بزرگتر از عدد سه است.

مهمترین تفاوت بین معادلات لگاریتمی و نابرابری ها در این است که معادلات با لگاریتم (مثلا لگاریتم 2 x = √9) دلالت بر یک یا چند مقدار عددی خاص در پاسخ دارند، در حالی که هنگام حل نابرابری، هر دو محدوده مقادیر قابل قبول و نقاط شکستن این تابع. در نتیجه، پاسخ یک مجموعه ساده از اعداد فردی نیست، مانند پاسخ معادله، بلکه سری پیوستهیا مجموعه ای از اعداد

قضایای اساسی در مورد لگاریتم

هنگام حل وظایف اولیه برای یافتن مقادیر لگاریتم، ممکن است ویژگی های آن مشخص نباشد. با این حال، هنگامی که صحبت از معادلات لگاریتمی یا نابرابری ها می شود، قبل از هر چیز، لازم است که به وضوح تمام ویژگی های اصلی لگاریتم ها را درک کرده و در عمل اعمال کنیم. در ادامه با مثال هایی از معادلات آشنا می شویم، اجازه دهید ابتدا هر ویژگی را با جزئیات بیشتری تحلیل کنیم.

1. هویت اصلی به این صورت است: alogaB =B. فقط در صورتی اعمال می شود که a بزرگتر از 0 باشد نه برابر یک و B بزرگتر از صفر باشد.
2. لگاریتم محصول را می توان در فرمول زیر نشان داد: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. پيش نيازاست: d، s 1 و s 2 > 0; a≠1. شما می توانید برای این فرمول لگاریتم، با مثال و یک راه حل، اثبات کنید. اجازه دهید log a s 1 = f 1 و log a s 2 = f 2 , سپس a f1 = s 1 , a f2 = s 2. دریافت می کنیم که s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (خواص درجه ) و در ادامه با تعریف: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 که قرار بود ثابت شود.
3. لگاریتم ضریب به این صورت است: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. قضیه به شکل فرمول به شکل زیر است: log a q b n = n/q log a b.

این فرمول "ویژگی درجه لگاریتم" نامیده می شود. این شبیه خواص درجات معمولی است و جای تعجب نیست، زیرا تمام ریاضیات بر فرضیه های منظم استوار است. بیایید به اثبات نگاه کنیم.

بگذارید a b \u003d t را وارد کنید، معلوم می شود t \u003d b. اگر هر دو قسمت را به توان m برسانید: a tn = b n ;

اما از آنجایی که a tn = (a q) nt/q = b n، بنابراین log a q b n = (n*t)/t، سپس log a q b n = n/q log a b. قضیه ثابت شده است.

نمونه هایی از مشکلات و نابرابری ها

رایج ترین انواع مسائل لگاریتمی مثال هایی از معادلات و نابرابری ها هستند. آنها تقریباً در تمام کتاب های مسئله یافت می شوند و همچنین در بخش اجباری امتحانات ریاضی گنجانده شده اند. برای ورود به دانشگاه یا قبولی در آزمون های ورودی ریاضی، باید بدانید که چگونه چنین کارهایی را به درستی حل کنید.

متأسفانه هیچ طرح یا طرح واحدی برای حل و تعیین مقدار مجهول لگاریتم وجود ندارد، با این حال می توان از هر نابرابری ریاضی یا معادله لگاریتمی استفاده کرد. قوانین خاص. اول از همه، باید دریابید که آیا عبارت را می توان ساده یا کاهش داد نمای کلی. طولانی را ساده کنید عبارات لگاریتمیاگر از خواص آنها به درستی استفاده کنید، می توانید. بیایید به زودی با آنها آشنا شویم.

هنگام حل معادلات لگاریتمی، لازم است تعیین کنیم که چه نوع لگاریتمی در پیش داریم: یک مثال از یک عبارت ممکن است حاوی یک لگاریتم طبیعی یا یک اعشاری باشد.

در اینجا نمونه هایی از ln100، ln1026 آورده شده است. راه حل آنها به این واقعیت خلاصه می شود که باید درجه ای را تعیین کنید که پایه 10 به ترتیب برابر با 100 و 1026 خواهد بود. برای حل لگاریتم های طبیعی، باید هویت لگاریتمی یا ویژگی های آنها را اعمال کرد. بیایید به نمونه هایی از حل مسائل لگاریتمی در انواع مختلف نگاه کنیم.

نحوه استفاده از فرمول های لگاریتمی: با مثال ها و راه حل ها

بنابراین، بیایید نمونه هایی از استفاده از قضایای اصلی در لگاریتم ها را بررسی کنیم.

1. از خاصیت لگاریتم محصول می توان در کارهایی استفاده کرد که لازم است مقدار زیادی از عدد b را به عوامل ساده تر تجزیه کنیم. مثلاً log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. جواب 9 است.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - همانطور که می بینید، با استفاده از چهارمین خاصیت درجه لگاریتم، ما موفق شدیم در نگاه اول یک عبارت پیچیده و غیرقابل حل را حل کنیم. فقط باید پایه را فاکتورسازی کرد و سپس مقادیر توان را از علامت لگاریتم خارج کرد.

وظایف از امتحان

لگاریتم اغلب در کنکور یافت می شود، به خصوص بسیاری از مشکلات لگاریتمی در امتحان ( آزمون دولتیبرای همه فارغ التحصیلان دبیرستان). معمولاً این کارها نه تنها در بخش A (آسان ترین بخش آزمایشی امتحان) بلکه در قسمت C (سخت ترین و پرحجم ترین کارها) وجود دارد. این آزمون مستلزم آگاهی دقیق و کامل از مبحث "لگاریتم های طبیعی" است.

مثال ها و راه حل های مشکل از رسمی گرفته شده است از گزینه های استفاده کنید. بیایید ببینیم چنین وظایفی چگونه حل می شوند.

با توجه به log 2 (2x-1) = 4. راه حل:
بیایید عبارت را بازنویسی کنیم، آن را کمی ساده کنیم log 2 (2x-1) = 2 2، با تعریف لگاریتم دریافت می کنیم که 2x-1 = 2 4، بنابراین 2x = 17. x = 8.5.

• همه لگاریتم ها بهتر است به یک پایه کاهش داده شوند تا راه حل دست و پا گیر و گیج کننده نباشد.
• تمام عبارات زیر علامت لگاریتم به عنوان مثبت نشان داده می شوند، بنابراین، هنگام خارج کردن توان نشان بیان، که زیر علامت لگاریتم و به عنوان پایه آن است، عبارت باقی مانده در زیر لگاریتم باید مثبت باشد.

\(a^(b)=c\) \(\فلش راست چپ\) \(\log_(a)(c)=b\)

بیایید آن را ساده تر توضیح دهیم. به عنوان مثال، \(\log_(2)(8)\) برابر با توانی است که \(2\) باید افزایش یابد تا \(8\) به دست آید. از اینجا مشخص است که \(\log_(2)(8)=3\).

برهان و پایه لگاریتم

هر لگاریتمی دارای "آناتومی" زیر است:

آرگومان لگاریتم معمولاً در سطح آن نوشته می‌شود و پایه به صورت زیرنویس نزدیک‌تر به علامت لگاریتم نوشته می‌شود. و این مدخل به این صورت خوانده می شود: «لگاریتم بیست و پنج تا پایه پنج».

چگونه لگاریتم را محاسبه کنیم؟

برای محاسبه لگاریتم، باید به این سوال پاسخ دهید: برای بدست آوردن آرگومان، پایه تا چه حد باید افزایش یابد؟

مثلا، لگاریتم را محاسبه کنید: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) د) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

الف) برای بدست آوردن \(16\) \(4\) باید به چه قدرتی برود؟ بدیهی است که دومی از همین رو:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

ج) برای بدست آوردن \(1\) \(\sqrt(5)\) باید به چه قدرتی افزایش یابد؟ و چه درجه ای هر عددی را واحد می کند؟ البته صفر!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

د) برای بدست آوردن \(\sqrt(7)\) باید \(\sqrt(7)\) را به چه قدرتی افزایش داد؟ در اول - هر عددی در درجه اول با خودش برابر است.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ه) برای بدست آوردن \(\sqrt(3)\) \(3\) باید به چه قدرتی افزایش یابد؟ از آنجایی که می دانیم که یک توان کسری است و بنابراین جذر آن توان \(\frac(1)(2)\) است.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

مثال : محاسبه لگاریتم \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

راه حل :

پاسخ : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

چرا لگاریتم اختراع شد؟

برای درک این موضوع، اجازه دهید معادله \(3^(x)=9\) را حل کنیم. فقط \(x\) را مطابقت دهید تا برابری عمل کند. البته \(x=2\).

حالا معادله \(3^(x)=8\) را حل کنید x برابر چیست؟ نکته همین است.

باهوش ترین خواهد گفت: "X کمی کمتر از دو است." این عدد دقیقاً چگونه باید نوشته شود؟ برای پاسخ به این سوال، آنها لگاریتم را ارائه کردند. با تشکر از او، پاسخ در اینجا می تواند به صورت \(x=\log_(3)(8)\) نوشته شود.

من می خواهم تأکید کنم که \(\log_(3)(8)\) و همچنین هر لگاریتمی فقط یک عدد است. بله، غیر معمول به نظر می رسد، اما کوتاه است. چون اگر بخواهیم آن را در فرم بنویسیم کسر اعشاری، پس به این شکل می شود: \(1.892789260714.....\)

مثال : حل معادله \(4^(5x-4)=10\)

راه حل :

پاسخ : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

لگاریتم های اعشاری و طبیعی

همانطور که در تعریف لگاریتم بیان شد، پایه آن می تواند هر عدد مثبتی باشد به جز یک \((a>0, a\neq1)\). و در بین همه پایه های ممکن، دو پایه وجود دارد که به قدری اتفاق می افتد که یک نماد کوتاه ویژه برای لگاریتم ها با آنها اختراع شده است:

لگاریتم طبیعی: لگاریتمی که پایه آن عدد اویلر \(e\) است (برابر تقریباً \(2.7182818…\)) و لگاریتم به صورت \(\ln(a)\ نوشته می شود).

به این معنا که، \(\ln(a)\) همان \(\log_(e)(a)\) است.

لگاریتم اعشاری: لگاریتمی که پایه آن 10 است \(\lg(a)\) نوشته می شود.

به این معنا که، \(\lg(a)\) یکسان است با \(\log_(10)(a)\)، جایی که \(a\) تعدادی عدد است.

هویت لگاریتمی پایه

لگاریتم ها خواص زیادی دارند. یکی از آنها "هویت لگاریتمی پایه" نام دارد و به شکل زیر است:

این ویژگی مستقیماً از تعریف پیروی می کند. بیایید ببینیم این فرمول چگونه به وجود آمد.

تعریف کوتاه لگاریتم را به یاد بیاورید:

اگر \(a^(b)=c\)، سپس \(\log_(a)(c)=b\)

یعنی \(b\) همان \(\log_(a)(c)\) است. سپس می توانیم به جای \(b\) در فرمول \(a^(b)=c\) \(\log_(a)(c)\) بنویسیم. معلوم شد \(a^(\log_(a)(c))=c\) - هویت لگاریتمی اصلی.

بقیه خصوصیات لگاریتم را می توانید پیدا کنید. با کمک آنها می توانید مقادیر عبارات را با لگاریتم ساده و محاسبه کنید که محاسبه مستقیم آنها دشوار است.

مثال : مقدار عبارت \(36^(\log_(6)(5)) را پیدا کنید

راه حل :

پاسخ : \(25\)

چگونه یک عدد را به صورت لگاریتمی بنویسیم؟

همانطور که در بالا ذکر شد، هر لگاریتمی فقط یک عدد است. عکس آن نیز صادق است: هر عددی را می توان به صورت لگاریتم نوشت. به عنوان مثال، می دانیم که \(\log_(2)(4)\) برابر با دو است. سپس می توانید به جای دو، \(\log_(2)(4)\) بنویسید.

اما \(\log_(3)(9)\) نیز برابر با \(2\) است، بنابراین می توانید \(2=\log_(3)(9)\) را نیز بنویسید. به طور مشابه با \(\log_(5)(25)\)، و با \(\log_(9)(81)\) و غیره. یعنی معلوم می شود

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

بنابراین، در صورت نیاز، می‌توانیم این دو را به‌عنوان لگاریتم با هر پایه‌ای در هر جایی بنویسیم (حتی در یک معادله، حتی در یک عبارت، حتی در یک نابرابری) - ما فقط پایه مربع را به عنوان یک آرگومان می‌نویسیم.

در مورد سه گانه هم همینطور است - می توان آن را به صورت \(\log_(2)(8)\)، یا به صورت \(\log_(3)(27)\) یا به صورت \(\log_(4)( نوشت 64) \) ... در اینجا پایه را در مکعب به عنوان آرگومان می نویسیم:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

و با چهار:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

و با منفی یک:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

و با یک سوم:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

هر عدد \(a\) را می توان به عنوان یک لگاریتم با پایه \(b\) نشان داد: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

مثال : مقدار یک عبارت را بیابید \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

راه حل :

پاسخ : \(1\)