Правило за решаване на система от линейни уравнения по метода на Гаус. Метод на Гаус: описание на алгоритъма за решаване на система от линейни уравнения, примери, решения

Методът на Гаус е лесен!Защо? Известният немски математик Йохан Карл Фридрих Гаус приживе получава признание за най-великия математик на всички времена, гений и дори прозвището „Кралят на математиката“. А всичко гениално, както знаете, е просто!Между другото, в парите попадат не само нещастници, но и гении - портретът на Гаус беше изписан на банкнота от 10 германски марки (преди въвеждането на еврото), а Гаус все още мистериозно се усмихва на германците от обикновени пощенски марки.

Методът на Гаус е прост с това, че СА ДОСТАТЪЧНИ ЗНАНИЯТА НА ПЕТОКЛАСНИК, за да го усвоите. Трябва да може да събира и умножава!Неслучайно методът последователно изключваненеизвестните учители често се разглеждат в училищните избираеми предмети по математика. Парадоксално е, но методът на Гаус създава най-големи трудности за учениците. Нищо изненадващо - всичко е в методологията и аз ще се опитам да разкажа в достъпна форма за алгоритъма на метода.

Първо, ние малко систематизираме знанията за системите. линейни уравнения. Система от линейни уравнения може:

1) Имате единствено решение.
2) Имате безкрайно много решения.
3) Нямате решения (бъдете несъвместими).

Методът на Гаус е най-мощният и универсален инструмент за намиране на решение всякаквисистеми от линейни уравнения. Както си спомняме Правило на Крамър и матричен методса неподходящи в случаите, когато системата има безкрайно много решения или е непоследователна. Метод за последователно елиминиране на неизвестни така или иначедоведе ни до отговора! В този урок отново ще разгледаме метода на Гаус за случай №1 (единственото решение на системата), статията е запазена за ситуациите на точки №2-3. Отбелязвам, че самият алгоритъм на метода работи по един и същи начин и в трите случая.

Обратно към най-простата системаот урока Как се решава система от линейни уравнения?
и го решете с помощта на метода на Гаус.

Първата стъпка е да пишете разширена матрична система:
. По какъв принцип се записват коефициентите, мисля, че всеки може да види. Вертикалната линия вътре в матрицата не носи никакво математическо значение - тя е просто зачертана за по-лесно проектиране.

справка :Препоръчвам да запомните условиялинейна алгебра. Системна матрицае матрица, съставена само от коефициенти за неизвестни, в този пример, матрицата на системата: . Разширена системна матрицае същата матрица на системата плюс колона от свободни термини, в този случай: . Всяка от матриците може да се нарече просто матрица за краткост.

След като е написана разширената матрица на системата, е необходимо да се извършат някои действия с нея, които се наричат ​​още елементарни трансформации .

Има следните елементарни трансформации:

1) струниматрици мога пренареждамместа. Например в разглежданата матрица можете безопасно да пренаредите първия и втория ред:

2) Ако в матрицата има (или са се появили) пропорционални (като частен случай - еднакви) редове, то следва Изтрийот матрицата, всички тези редове с изключение на един. Помислете например за матрицата . В тази матрица последните три реда са пропорционални, така че е достатъчно да оставите само един от тях: .

3) Ако по време на трансформациите в матрицата се е появил нулев ред, той също следва Изтрий. Няма да рисувам, разбира се, нулевата линия е линията, в която само нули.

4) Редът на матрицата може да бъде умножавам (делям)за произволен номер ненулев. Помислете например за матрицата. Тук е препоръчително да разделите първия ред на -3 и да умножите втория ред по 2: . Това действиемного полезно, тъй като опростява по-нататъшните матрични трансформации.

5) Тази трансформация причинява най-много трудности, но всъщност също няма нищо сложно. Към реда на матрицата можете добавете друг низ, умножен по число, различен от нула. Помислете за нашата матрица от казус: . Първо, ще опиша трансформацията много подробно. Умножете първия ред по -2: , и към втория ред добавяме първия ред, умножен по -2: . Сега първият ред може да бъде разделен "назад" с -2: . Както можете да видите, редът, който е ДОБАВЕН LI – не се е променило. Е винагилинията се променя, КЪМ КОЯТО ДОБАВЕН UT.

На практика, разбира се, те не рисуват толкова подробно, но пишат по-кратко:

Още веднъж: към втория ред добави първия ред, умножен по -2. Линията обикновено се умножава устно или на чернова, докато умственият ход на изчисленията е нещо подобно:

„Пренаписвам матрицата и пренаписвам първия ред: »

Първо първата колона. По-долу трябва да получа нула. Затова умножавам горната единица по -2: и добавям първата към втория ред: 2 + (-2) = 0. Записвам резултата във втория ред: »

„Сега втората колона. Над -1 пъти -2: . Добавям първото към втория ред: 1 + 2 = 3. Добавям резултата към втория ред: »

„И третата колона. Над -5 пъти -2: . Добавям първия ред към втория ред: -7 + 10 = 3. Пиша резултата във втория ред: »

Моля, помислете внимателно върху този пример и разберете алгоритъма за последователно изчисление, ако разбирате това, тогава методът на Гаус е практически "в джоба ви". Но, разбира се, ние все още работим върху тази трансформация.

Елементарните трансформации не променят решението на системата от уравнения

! ВНИМАНИЕ!: разгледани манипулации не може да използва, ако ви бъде предложена задача, където матриците се дават "сами по себе си". Например с "класически" матрицив никакъв случай не трябва да пренареждате нещо вътре в матриците!

Да се ​​върнем към нашата система. Тя практически е разбита на парчета.

Нека напишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я редуцираме до стъпаловиден изглед:

(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по -2. И отново: защо умножаваме първия ред по -2? За да получите нула на дъното, което означава да се отървете от една променлива във втория ред.

(2) Разделете втория ред на 3.

Целта на елементарните трансформации – конвертирайте матрицата в стъпкова форма: . В дизайна на задачата те директно подчертават с обикновен молив"стълба", а също и кръгчетата, които се намират на "стъпалата". Самият термин "стъпаловиден изглед" не е съвсем теоретичен, в научната и учебна литературачесто се нарича трапецовиден изгледили триъгълен изглед.

В резултат на елементарни трансформации получихме еквивалентеноригинална система от уравнения:

Сега системата трябва да се "развие" в обратна посока - отдолу нагоре, този процес се нарича обратен метод на Гаус.

В долното уравнение вече имаме крайния резултат: .

Помислете за първото уравнение на системата и го заместете вече известна стойност"yig":

Помислете за най-честата ситуация, когато се изисква методът на Гаус за решаване трилинейни уравнения с три неизвестни.

Пример 1

Решете системата от уравнения по метода на Гаус:

Нека напишем разширената матрица на системата:

Сега веднага ще начертая резултата, до който ще стигнем в хода на решението:

И повтарям, нашата цел е да доведем матрицата до стъпаловидна форма, използвайки елементарни трансформации. Откъде да започнете да предприемате действия?

Първо погледнете горния ляв номер:

Почти винаги трябва да е тук мерна единица. Най-общо казано, -1 (а понякога и други числа) също ще отговарят, но някак си традиционно се е случило, че единица обикновено се поставя там. Как да организираме единица? Гледаме първата колона - имаме готова единица! Трансформация едно: разменете първия и третия ред:

Сега първият ред ще остане непроменен до края на решението. Сега добре.

Единицата в горния ляв ъгъл е организирана. Сега трябва да получите нули на тези места:

Нулите се получават само с помощта на "трудна" трансформация. Първо се занимаваме с втория ред (2, -1, 3, 13). Какво трябва да се направи, за да получите нула на първа позиция? Трябва към втория ред добавете първия ред, умножен по -2. Мислено или на чернова умножаваме първия ред по -2: (-2, -4, 2, -18). И ние последователно извършваме (отново мислено или на чернова) добавяне, към втория ред добавяме първия ред, вече умножен по -2:

Резултатът се записва във втория ред:

По същия начин се справяме с третия ред (3, 2, -5, -1). За да получите нула на първа позиция, трябва към третия ред добавете първия ред, умножен по -3. Мислено или на чернова умножаваме първия ред по -3: (-3, -6, 3, -27). И към третия ред добавяме първия ред, умножен по -3:

Резултатът се записва на третия ред:

На практика тези действия обикновено се извършват устно и записват в една стъпка:

Няма нужда да броите всичко наведнъж и едновременно. Редът на изчисленията и "вмъкването" на резултатите последователени обикновено така: първо пренаписваме първия ред и се пъхтим тихо - ПОСТОЯВАТЕЛНО и ВНИМАТЕЛНО:


И вече разгледах умствения ход на самите изчисления по-горе.

В този пример това се прави лесно, разделяме втория ред на -5 (тъй като всички числа там се делят на 5 без остатък). В същото време разделяме третия ред на -2, защото какво по-малко от число, теми по-лесно решение:

На последния етап от елементарните трансформации тук трябва да се получи още една нула:

За това към третия ред добавяме втория ред, умножен по -2:


Опитайте сами да анализирате това действие - мислено умножете втория ред по -2 и извършете добавянето.

Последното извършено действие е прическата на резултата, разделете третия ред на 3.

В резултат на елементарни трансформации се получава еквивалентна начална система от линейни уравнения:

Готино.

Сега влиза в игра обратен ходМетод на Гаус. Уравненията се "развиват" отдолу нагоре.

В третото уравнение вече имаме готовия резултат:

Нека разгледаме второто уравнение: . Значението на "z" вече е известно, така че:

И накрая, първото уравнение: . "Y" и "Z" са известни, въпросът е малък:

Отговор:

Както многократно е отбелязвано, за всяка система от уравнения е възможно и необходимо да се провери намереното решение, за щастие това не е трудно и бързо.

Пример 2

Това е пример за самостоятелно решаване, пример за довършване и отговор в края на урока.

Трябва да се отбележи, че вашият начин на действиеможе да не съвпада с моя курс на действие, и това е характеристика на метода на Гаус. Но отговорите трябва да са едни и същи!

Пример 3

Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус

Пишем разширената матрица на системата и, използвайки елементарни трансформации, я довеждаме до стъпкова форма:

Гледаме горната лява "стъпка". Там трябва да имаме единица. Проблемът е, че в първата колона изобщо няма такива, така че нищо не може да се реши чрез пренареждане на редовете. В такива случаи единицата трябва да бъде организирана чрез елементарна трансформация. Обикновено това може да стане по няколко начина. Направих го:
(1) Към първия ред добавяме втория ред, умножен по -1. Тоест мислено умножихме втория ред по -1 и извършихме събиране на първия и втория ред, докато вторият ред не се промени.

Сега горе вляво "минус едно", което ни устройва идеално. Който иска да получи +1, може да направи допълнителен жест: умножете първия ред по -1 (променете знака му).

(2) Първият ред, умножен по 5, беше добавен към втория ред. Първият ред, умножен по 3, беше добавен към третия ред.

(3) Първият ред беше умножен по -1, по принцип това е за красота. Знакът на третия ред също беше променен и преместен на второ място, така че на втората „стъпка имахме желаната единица.

(4) Вторият ред, умножен по 2, беше добавен към третия ред.

(5) Третият ред беше разделен на 3.

Лош знак, който показва грешка в изчислението (по-рядко печатна грешка), е „лош“ долен ред. Тоест, ако получим нещо като по-долу и, съответно, , тогава с голяма степен на вероятност може да се твърди, че е допусната грешка в хода на елементарни трансформации.

Ние таксуваме обратния ход, при проектирането на примери самата система често не се пренаписва и уравненията се „вземат директно от дадената матрица“. Обратният ход, напомням ви, работи отдолу нагоре. Да, ето подарък:

Отговор: .

Пример 4

Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус

Това е пример за независимо решение, малко по-сложно е. Няма проблем, ако някой се обърка. Цялостно решениеи примерен дизайн в края на урока. Вашето решение може да се различава от моето.

В последната част разглеждаме някои характеристики на алгоритъма на Гаус.
Първата особеност е, че понякога някои променливи липсват в уравненията на системата, например:

Как правилно да напишем разширената матрица на системата? Вече говорих за този момент в урока. Правилото на Крамър. Матричен метод. В разширената матрица на системата поставяме нули на мястото на липсващите променливи:

Между другото, доста е лесен пример, тъй като вече има една нула в първата колона и има по-малко елементарни трансформации за извършване.

Втората характеристика е тази. Във всички разгледани примери поставихме или –1, или +1 на „стъпалата“. Може ли да има други номера? В някои случаи могат. Помислете за системата: .

Тук на горното ляво "стъпало" имаме двойка. Но забелязваме факта, че всички числа в първата колона се делят на 2 без остатък - а още две и шест. И двойката горе вляво ще ни подхожда! На първата стъпка трябва да извършите следните трансформации: добавете първия ред, умножен по -1, към втория ред; към третия ред добавете първия ред, умножен по -3. Така ще получим желаните нули в първата колона.

Или иначе така условен пример: . Тук тройката на второто „стъпало“ също ни подхожда, тъй като 12 (мястото, където трябва да получим нула) се дели на 3 без остатък. Необходимо е да се извърши следната трансформация: към третия ред добавете втория ред, умножен по -4, в резултат на което ще се получи нулата, от която се нуждаем.

Методът на Гаус е универсален, но има една особеност. Уверено се научете да решавате системи с други методи (метод на Крамър, матричен метод) може буквално от първия път - има много строг алгоритъм. Но за да се чувствате уверени в метода на Гаус, трябва да „напълните ръката си“ и да решите поне 5-10 системи. Следователно в началото може да има объркване, грешки в изчисленията и в това няма нищо необичайно или трагично.

Дъждовно есенно време извън прозореца .... Следователно за всички повече сложен примерза независимо решение:

Пример 5

Решете система от четири линейни уравнения с четири неизвестни, като използвате метода на Гаус.

Подобна задача на практика не е толкова рядка. Мисля, че дори чайник, който е изучавал подробно тази страница, разбира интуитивно алгоритъма за решаване на такава система. По принцип същото - просто повече действие.

Случаите, при които системата няма решения (несъвместима) или има безкрайно много решения, се разглеждат в урока Несъвместими системи и системи с общо решение. Там можете да коригирате разглеждания алгоритъм на метода на Гаус.

Пожелавам ти успех!

Решения и отговори:

Пример 2: Решение : Нека запишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я доведем до стъпаловидна форма.


Извършени елементарни трансформации:
(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по -2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по -1. внимание!Тук може да се изкуши да извадите първия от третия ред, силно не препоръчвам изваждане - рискът от грешка значително се увеличава. Ние просто се отказваме!
(2) Знакът на втория ред беше променен (умножено по -1). Вторият и третият ред са разменени. Забележкаче на „стъпалата” се задоволяваме не само с единица, но и с -1, което е още по-удобно.
(3) Към третия ред добавете втория ред, умножен по 5.
(4) Знакът на втория ред беше променен (умножено по -1). Третият ред беше разделен на 14.

Обратно движение:

Отговор: .

Пример 4: Решение : Пишем разширената матрица на системата и, използвайки елементарни трансформации, я довеждаме до стъпкова форма:

Извършени реализации:
(1) Вторият ред беше добавен към първия ред. Така желаната единица е организирана в горната лява „стъпка“.
(2) Първият ред, умножен по 7, беше добавен към втория ред. Първият ред, умножен по 6, беше добавен към третия ред.

С втората "стъпка" всичко е по-лошо , "кандидатите" за него са числата 17 и 23, като ни трябва или единица, или -1. Трансформациите (3) и (4) ще бъдат насочени към получаване на желаната единица

(3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по -1.
(4) Третият ред, умножен по -3, беше добавен към втория ред.
(3) Към третия ред беше добавен вторият ред, умножен по 4. Вторият ред, умножен по -1, беше добавен към четвъртия ред.
(4) Променен е знакът на втория ред. Четвъртият ред беше разделен на 3 и поставен вместо третия ред.
(5) Третият ред беше добавен към четвъртия ред, умножен по -5.

Обратно движение:

The онлайн калкулаторнамира решение на системата от линейни уравнения (SLE) по метода на Гаус. дадено подробно решение. За да изчислите, изберете броя на променливите и броя на уравненията. След това въведете данните в клетките и щракнете върху „Изчисли“.

х 1 +x2 +х 3 х 1 +x2 +х 3 х 1 +x2 +х 3 = = =

Представяне на числа:

Цели числа и/или обикновени дроби
Цели числа и/или десетични числа

Брой цифри след десетичния разделител

×

Внимание

Изчистване на всички клетки?

Затвори Изчисти

Инструкция за въвеждане на данни.Числата се въвеждат като цели числа (примери: 487, 5, -7623 и т.н.), десетични числа (напр. 67., 102,54 и т.н.) или дроби. Дробта трябва да бъде въведена във формата a/b, където a и b (b>0) са цели числа или десетични числа. Примери 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.н.

Метод на Гаус

Методът на Гаус е метод за преход от оригиналната система от линейни уравнения (с помощта на еквивалентни трансформации) към система, която е по-лесна за решаване от оригиналната система.

Еквивалентните трансформации на системата от линейни уравнения са:

• размяна на две уравнения в системата,
• умножение на всяко уравнение в системата с ненулево реално число,
• добавяне към едно уравнение на друго уравнение, умножено по произволно число.

Помислете за система от линейни уравнения:

(1)

Записваме система (1) в матрична форма:

брадва=b

(2)

(3)

Асе нарича коефициентна матрица на системата, b − дясна частограничения х− вектор от променливи, които трябва да бъдат намерени. Нека се класира( А)=стр.

Еквивалентните трансформации не променят ранга на коефициентната матрица и ранга на разширената матрица на системата. Множеството от решения на системата също не се променя при еквивалентни преобразувания. Същността на метода на Гаус е да се приведе матрицата на коефициентите Адо диагонал или стъпало.

Нека изградим разширената матрица на системата:

На следващия етап нулираме всички елементи от колона 2, под елемента. Ако даденият елемент е нула, тогава този ред се заменя с реда, лежащ под дадения ред и имащ различен от нула елемент във втората колона. След това нулираме всички елементи от колона 2 под водещия елемент а 22. За да направите това, добавете редове 3, ... мс ред 2, умножен по − а 32 /а 22 , ..., −а m2 / а 22, съответно. Продължавайки процедурата, получаваме матрица с диагонална или стъпаловидна форма. Нека получената разширена матрица изглежда така:

(7)

защото rankA=ранг(A|b), тогава множеството от решения (7) е ( n−p) е разновидност. Следователно n−pнеизвестните могат да бъдат избрани произволно. Останалите неизвестни от системата (7) се изчисляват по следния начин. От последното уравнение изразяваме х p през останалите променливи и вмъкнете в предишните изрази. След това, от предпоследното уравнение, изразяваме х p−1 през останалите променливи и вмъкнете в предишните изрази и т.н. Разгледайте метода на Гаус на конкретни примери.

Примери за решаване на система от линейни уравнения по метода на Гаус

Пример 1. Намерете общо решениесистеми от линейни уравнения по метода на Гаус:

Означаваме с а ij елементи аз-ти ред и й-та колона.

аединадесет За да направите това, добавете редове 2,3 с ред 1, умножени съответно по -2/3, -1/2:

Тип матричен запис: брадва=b, където

Означаваме с а ij елементи аз-ти ред и й-та колона.

Изключете елементите от 1-вата колона на матрицата под елемента аединадесет За да направите това, добавете редове 2,3 с ред 1, умножени съответно по -1/5, -6/5:

Разделяме всеки ред от матрицата на съответния водещ елемент (ако водещият елемент съществува):

където х 3 , х

Замествайки горните изрази в долните, получаваме решението.

Тогава векторното решение може да бъде представено по следния начин:

където х 3 , х 4 са произволни реални числа.

Нека системата е дадена, ∆≠0. (един)
Метод на Гаусе метод за последователно елиминиране на неизвестни.

Същността на метода на Гаус е да преобразува (1) в система с триъгълна матрица, от която след това последователно (обратно) се получават стойностите на всички неизвестни. Нека разгледаме една от изчислителните схеми. Тази верига се нарича верига с единично деление. Така че нека да разгледаме тази диаграма. Нека 11 ≠0 (водещ елемент) раздели на 11 първото уравнение. Вземете
(2)
Използвайки уравнение (2), е лесно да изключите неизвестното x 1 от останалите уравнения на системата (за това е достатъчно да извадите уравнение (2) от всяко уравнение, предварително умножено по съответния коефициент при x 1), т.е. , на първата стъпка получаваме
.
С други думи, на стъпка 1 всеки елемент от следващите редове, започвайки от втория, е равен на разликата между оригиналния елемент и продукта на неговата „проекция“ върху първата колона и първия (трансформиран) ред.
След това, оставяйки само първото уравнение, ще извършим подобна трансформация върху останалите уравнения на системата, получени на първата стъпка: избираме измежду тях уравнение с водещ елемент и го използваме, за да изключим x 2 от останалите уравнения (стъпка 2).
След n стъпки, вместо (1) получаваме еквивалентна система
(3)
Така на първия етап ще получим триъгълна система (3). Тази стъпка се нарича напред.
На втория етап (обратно движение) последователно намираме от (3) стойностите x n , x n -1 , …, x 1 .
Нека означим полученото решение като x 0 . Тогава разликата ε=b-A x 0 се нарича остатъчен.
Ако ε=0, то намереното решение x 0 е правилно.

Изчисленията по метода на Гаус се извършват на два етапа:

1. Първият етап се нарича директен ход на метода. На първия етап оригиналната система се преобразува в триъгълна форма.
2. Вторият етап се нарича обратен. На втория етап се решава триъгълна система, еквивалентна на оригиналната.

Коефициентите a 11 , a 22 , ..., се наричат ​​водещи елементи.
На всяка стъпка се приема, че водещият елемент е различен от нула. Ако това не е така, тогава всеки друг елемент може да се използва като лидер, сякаш пренарежда уравненията на системата.

Предназначение на метода на Гаус

Методът на Гаус е предназначен за решаване на системи от линейни уравнения. Отнася се за директни методи на решение.

Видове метод на Гаус

1. Класически метод на Гаус;
2. Модификации на метода на Гаус. Една от модификациите на метода на Гаус е схемата с избора на основния елемент. Характеристика на метода на Гаус с избора на основния елемент е такава пермутация на уравненията, така че на k-тата стъпка водещият елемент е най-големият елемент в k-тата колона.
3. метод на Джордан-Гаус;

Разликата между метода на Джордан-Гаус и класическия Метод на Гауссе състои в прилагане на правилото на правоъгълника, когато посоката на търсене на решение е по главния диагонал (преобразуване към единичната матрица). При метода на Гаус посоката на търсене на решение се извършва по колоните (трансформация към система с триъгълна матрица).
Илюстрирайте разликата Метод на Джордан-Гаусот метода на Гаус на примери.

Пример за решение на Гаус
Нека решим системата:

За удобство на изчисленията разменяме редовете:

Умножете втория ред по (2). Добавете третия ред към втория

Умножете втория ред по (-1). Добавете 2-ри ред към 1-ви

От 1-ви ред изразяваме x 3:
От 2-ри ред изразяваме x 2:
От 3-ти ред изразяваме x 1:

Пример за решение по метода на Йордан-Гаус
Ще решим същата SLAE, използвайки метода на Йордано-Гаус.

Последователно ще изберем разрешаващия елемент на РЕ, който лежи на главния диагонал на матрицата.
Активиращият елемент е равен на (1).



NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - позволяващ елемент (1), A и B - матрични елементи, образуващи правоъгълник с елементи на STE и RE.
Нека представим изчислението на всеки елемент под формата на таблица:

х 1	x2	х 3	б
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Активиращият елемент е равен на (3).
На мястото на разрешаващия елемент получаваме 1, а в самата колона записваме нули.
Всички останали елементи на матрицата, включително елементите на колона B, се определят от правилото на правоъгълника.
За да направите това, изберете четири числа, които са разположени във върховете на правоъгълника и винаги включват разрешаващия елемент на RE.

х 1	x2	х 3	б
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Активиращият елемент е (-4).
На мястото на разрешаващия елемент получаваме 1, а в самата колона записваме нули.
Всички останали елементи на матрицата, включително елементите на колона B, се определят от правилото на правоъгълника.
За да направите това, изберете четири числа, които са разположени във върховете на правоъгълника и винаги включват разрешаващия елемент на RE.
Нека представим изчислението на всеки елемент под формата на таблица:

х 1	x2	х 3	б
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Отговор: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Прилагане на метода на Гаус

Методът на Гаус се прилага в много езици за програмиране, по-специално: Pascal, C ++, php, Delphi, а има и онлайн изпълнение на метода на Гаус.

Използване на метода на Гаус

Приложение на метода на Гаус в теорията на игрите

В теорията на игрите при намиране на максималната оптимална стратегия на даден играч се съставя система от уравнения, която се решава по метода на Гаус.

Приложение на метода на Гаус при решаване на диференциални уравнения

За да търсите конкретно решение на диференциално уравнение, първо намерете производните на съответната степен за писменото конкретно решение (y=f(A,B,C,D)), които се заместват в оригиналното уравнение. Следваща за намиране променливи A,B,C,Dсъставя се система от уравнения, която се решава по метода на Гаус.

Приложение на метода на Йордано-Гаус в линейното програмиране

AT линейно програмиране, по-специално, в симплексния метод за трансформиране на симплексна таблица при всяка итерация се използва правилото на правоъгълника, което използва метода на Джордан-Гаус.

1. Линейна система алгебрични уравнения

1.1 Концепцията за система от линейни алгебрични уравнения

Система от уравнения е условие, състоящо се в едновременното изпълнение на няколко уравнения в няколко променливи. Система от линейни алгебрични уравнения (наричана по-нататък SLAE), съдържаща m уравнения и n неизвестни, е система от вида:

където числата a ij се наричат ​​коефициенти на системата, числата b i са свободни членове, aijи b i(i=1,…, m; b=1,…, n) са някои известни числа и x 1 ,…, x n- неизвестен. В означенията на коефициентите aijпървият индекс i означава номера на уравнението, а вторият индекс j е номерът на неизвестното, на което стои този коефициент. Подлежи на намиране на числото x n . Удобно е да напишете такава система в компактна матрична форма: AX=B.Тук A е матрицата на коефициентите на системата, наречена основна матрица;

е колонен вектор на неизвестно xj.
е колонен вектор на свободни членове bi.

Продуктът на матриците A * X е дефиниран, тъй като има толкова колони в матрица A, колкото има редове в матрица X (n части).

Разширената матрица на системата е матрицата А на системата, допълнена от колона от свободни членове

1.2 Решение на система от линейни алгебрични уравнения

Решението на система от уравнения е подреден набор от числа (стойности на променливи), при заместването им вместо променливи всяко от уравненията на системата се превръща в истинско равенство.

Решението на системата е n стойности на неизвестните x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, замествайки които всички уравнения на системата се превръщат в истински равенства. Всяко решение на системата може да бъде написано като матрица-стълб

Система от уравнения се нарича последователна, ако има поне едно решение, и несъгласувана, ако няма решения.

Съвместната система се нарича определена, ако има единствено решение, и неопределена, ако има повече от едно решение. В последния случай всяко нейно решение се нарича частно решение на системата. Съвкупността от всички частни решения се нарича общо решение.

Да се ​​реши една система означава да се установи дали тя е последователна или непоследователна. Ако системата е съвместима, намерете нейното общо решение.

Две системи се наричат ​​еквивалентни (еквивалентни), ако имат едно и също общо решение. С други думи, системите са еквивалентни, ако всяко решение на една от тях е решение на другата и обратно.

Трансформация, чието прилагане превръща една система в нова система, еквивалентна на първоначалната, се нарича еквивалентна или еквивалентна трансформация. Следните трансформации могат да служат като примери за еквивалентни трансформации: размяна на две уравнения на системата, размяна на две неизвестни заедно с коефициентите на всички уравнения, умножаване на двете части на което и да е уравнение на системата с различно от нула число.

Система от линейни уравнения се нарича хомогенна, ако всички свободни членове са равни на нула:

Хомогенната система винаги е последователна, тъй като x1=x2=x3=…=xn=0 е решение на системата. Това решение се нарича нулево или тривиално.

2. Метод на елиминиране на Гаус

2.1 Същността на метода на елиминиране на Гаус

Класическият метод за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения е методът на последователно елиминиране на неизвестни - Метод на Гаус(Нарича се още метод на елиминиране на Гаус). Това е метод за последователно елиминиране на променливи, когато с помощта на елементарни трансформации система от уравнения се свежда до еквивалентна система от стъпаловидна (или триъгълна) форма, от която всички останали променливи се намират последователно, като се започне от последни (по брой) променливи.

Процесът на решаване на Гаус се състои от два етапа: движение напред и назад.

1. Директен ход.

На първия етап се извършва така нареченото директно движение, когато чрез елементарни трансформации по редове системата се довежда до стъпаловидна или триъгълна форма или се установява, че системата е непоследователна. А именно, сред елементите на първата колона на матрицата се избира ненулев, той се премества в най-горната позиция чрез пермутация на редовете и първият ред, получен след пермутацията, се изважда от останалите редове, умножавайки го по a стойност, равна на съотношението на първия елемент на всеки от тези редове към първия елемент на първия ред, като по този начин нулира колоната под него.

След извършване на посочените трансформации, първият ред и първата колона се задраскват мислено и продължават, докато остане матрица с нулев размер. Ако при някои от итерациите сред елементите на първата колона не е намерен ненулев, тогава преминете към следващата колона и извършете подобна операция.

На първия етап (движение напред) системата се свежда до стъпаловидна (по-специално триъгълна) форма.

Системата по-долу е поетапна:

,

Коефициентите aii се наричат ​​главни (водещи) елементи на системата.

(ако a11=0, пренаредете редовете на матрицата така, че а 11 не е равно на 0. Това винаги е възможно, защото в противен случай матрицата съдържа нулева колона, нейният детерминант е равен на нула и системата е непоследователна).

Трансформираме системата, като елиминираме неизвестното x1 във всички уравнения с изключение на първото (използвайки елементарни трансформации на системата). За да направите това, умножете двете страни на първото уравнение по

и добавяме член по член с второто уравнение на системата (или от второто уравнение изваждаме член по член първото, умножено по ). След това умножаваме двете части на първото уравнение по и го добавяме към третото уравнение на системата (или изваждаме първото, умножено по третия член по член). Така последователно умножаваме първия ред по число и добавяме към аз-ти ред, за i= 2, 3, …,н.

Продължавайки този процес, получаваме еквивалентната система:

– нови стойности на коефициентите за неизвестни и свободни членове в последните m-1 уравнения на системата, които се определят по формулите:

Така на първата стъпка се унищожават всички коефициенти под първия водещ елемент a 11

0, втората стъпка унищожава елементите под втория водещ елемент a 22 (1) (ако е 22 (1) 0) и т.н. Продължавайки този процес по-нататък, най-накрая ще намалим оригиналната система до триъгълна система на стъпка (m-1).

Ако в процеса на редуциране на системата до стъпаловидна форма се появят нулеви уравнения, т.е. равенства от вида 0=0, те се отхвърлят. Ако има уравнение от формата

Това показва несъвместимостта на системата.

Това завършва директния ход на метода на Гаус.

2. Обратно движение.

На втория етап се извършва така нареченото обратно движение, чиято същност е да се изразят всички получени основни променливи по отношение на неосновните и да се конструират фундаментална системарешения или, ако всички променливи са основни, тогава изразете в числена форма единственото решение на системата от линейни уравнения.

Тази процедура започва с последното уравнение, от което се изразява съответната основна променлива (тя е само една в него) и се замества в предходните уравнения и така нататък, изкачвайки се по "стъпалата" до върха.

Всеки ред съответства на точно една основна променлива, така че на всяка стъпка, с изключение на последната (най-горната), ситуацията точно повтаря случая на последния ред.

Забележка: на практика е по-удобно да се работи не със системата, а с нейната разширена матрица, извършвайки всички елементарни трансформации на нейните редове. Удобно е коефициентът a11 да бъде равен на 1 (пренаредете уравненията или разделете двете страни на уравнението на a11).

2.2 Примери за решаване на SLAE по метода на Гаус

В този раздел, използвайки три различни примера, ще покажем как методът на Гаус може да се използва за решаване на SLAE.

Пример 1. Решете SLAE от 3-ти ред.

Задайте коефициентите на нула при

във втория и третия ред. За целта ги умножете съответно по 2/3 и 1 и ги добавете към първия ред:

Методът на Гаус, наричан още метод на последователно елиминиране на неизвестни, се състои в следното. С помощта на елементарни трансформации системата от линейни уравнения се привежда до такава форма, че нейната матрица от коефициенти се оказва трапецовидни (същите като триъгълни или стъпаловидни) или близо до трапец (директен ход на метода на Гаус, след това - просто директен ход). Пример за такава система и нейното решение е показано на фигурата по-горе.

В такава система последното уравнение съдържа само една променлива и нейната стойност може да бъде уникално намерена. Тогава стойността на тази променлива се замества в предишното уравнение ( Обратно на Гаус , след това - само обратно движение), от която се намира предишната променлива и т.н.

В трапецовидна (триъгълна) система, както виждаме, третото уравнение вече не съдържа променливи ги х, а второто уравнение - променлива х .

След като матрицата на системата придобие трапецовидна форма, вече не е трудно да се реши въпросът за съвместимостта на системата, да се определи броят на решенията и да се намерят самите решения.

Предимства на метода:

1. при решаване на системи от линейни уравнения с повече от три уравнения и неизвестни, методът на Гаус не е толкова тромав, колкото метода на Крамер, тъй като при решаването на метода на Гаус са необходими по-малко изчисления;
2. използвайки метода на Гаус, можете да решавате неопределени системи от линейни уравнения, тоест да имате общо решение (и ние ще ги анализираме в този урок), а използвайки метода на Крамер, можете само да заявите, че системата е несигурна;
3. можете да решавате системи от линейни уравнения, в които броят на неизвестните не е равен на броя на уравненията (ние също ще ги анализираме в този урок);
4. методът се основава на елементарни (училищни) методи - методът на заместване на неизвестни и методът на добавяне на уравнения, които засегнахме в съответната статия.

За да може всеки да бъде проникнат от простотата, с която се решават трапецовидни (триъгълни, стъпаловидни) системи от линейни уравнения, ние представяме решението на такава система, използвайки обратен щрих. Бързо решение на тази система беше показано на снимката в началото на урока.

Пример 1Решете система от линейни уравнения, като използвате обратното движение:

Решение. В тази трапецовидна система променливата zсе намира еднозначно от третото уравнение. Заместваме стойността му във второто уравнение и получаваме стойността на променливата г:

Сега знаем стойностите на две променливи - zи г. Заместваме ги в първото уравнение и получаваме стойността на променливата х:

От предишните стъпки записваме решението на системата от уравнения:

За да се получи такава трапецовидна система от линейни уравнения, която решихме много просто, е необходимо да се приложи директно движение, свързано с елементарни трансформации на системата от линейни уравнения. Освен това не е много трудно.

Елементарни преобразувания на система от линейни уравнения

Повтаряйки училищния метод за алгебрично добавяне на уравненията на системата, ние открихме, че друго уравнение на системата може да се добави към едно от уравненията на системата и всяко от уравненията може да бъде умножено по някои числа. В резултат на това получаваме система от линейни уравнения, еквивалентна на дадената. В него едно уравнение вече съдържа само една променлива, замествайки стойността на която в други уравнения, стигаме до решение. Такова добавяне е един от видовете елементарни трансформации на системата. Когато използваме метода на Гаус, можем да използваме няколко вида трансформации.

Анимацията по-горе показва как системата от уравнения постепенно се превръща в трапецовидна. Тоест тази, която видяхте при първата анимация и се уверихте, че е лесно да намерите стойностите на всички неизвестни от нея. Как да извършим такава трансформация и, разбира се, примери, ще бъдат обсъдени допълнително.

При решаване на системи от линейни уравнения с произволен брой уравнения и неизвестни в системата от уравнения и в разширената матрица на системата мога:

1. суап линии (това беше споменато в самото начало на тази статия);
2. ако в резултат на други трансформации се появят равни или пропорционални линии, те могат да бъдат изтрити, с изключение на една;
3. изтриване на "нулеви" редове, където всички коефициенти са равни на нула;
4. умножете или разделете произволен низ с някакво число;
5. добавете към всеки ред друг ред, умножен по някакво число.

В резултат на трансформациите получаваме система от линейни уравнения, еквивалентна на дадената.

Алгоритъм и примери за решаване по метода на Гаус на система от линейни уравнения с квадратна матрица на системата

Разгледайте първо решението на системи от линейни уравнения, в които броят на неизвестните е равен на броя на уравненията. Матрицата на такава система е квадратна, т.е. броят на редовете в нея е равен на броя на колоните.

Пример 2Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус

Решавайки системи от линейни уравнения по училищни методи, умножихме член по член едно от уравненията по определено число, така че коефициентите на първата променлива в двете уравнения бяха противоположни числа. При добавяне на уравнения тази променлива се елиминира. Методът на Гаус работи по подобен начин.

За опростяване външен видрешения съставете разширената матрица на системата:

В тази матрица коефициентите на неизвестните са разположени вляво преди вертикалната лента, а свободните членове са вдясно след вертикалната лента.

За удобство при разделяне на коефициентите на променливите (за да получите деление на едно) разменете първия и втория ред на системната матрица. Получаваме система, еквивалентна на дадената, тъй като в системата от линейни уравнения могат да се пренаредят уравненията:

С новото първо уравнение елиминирайте променливата хот второто и всички следващи уравнения. За да направите това, добавете първия ред, умножен по (в нашия случай по ) към втория ред на матрицата, и първия ред, умножен по (в нашия случай по ) към третия ред.

Това е възможно, защото

Ако в нашата система имаше повече от три уравнения, тогава първият ред трябва да се добави към всички следващи уравнения, умножени по съотношението на съответните коефициенти, взети със знак минус.

В резултат на това получаваме матрица, еквивалентна на дадената система нова системауравнения, в които всички уравнения, започвайки от втория не съдържат променлива х :

За да опростим втория ред на получената система, ние го умножаваме по и отново получаваме матрицата на системата от уравнения, еквивалентна на тази система:

Сега, запазвайки първото уравнение на получената система непроменено, използвайки второто уравнение, елиминираме променливата г от всички следващи уравнения. За да направите това, добавете втория ред, умножен по (в нашия случай по ) към третия ред на системната матрица.

Ако в нашата система имаше повече от три уравнения, тогава вторият ред трябва да се добави към всички следващи уравнения, умножени по съотношението на съответните коефициенти, взети със знак минус.

В резултат на това отново получаваме матрицата на системата, еквивалентна на дадената система от линейни уравнения:

Получихме трапецовидна система от линейни уравнения, еквивалентна на дадената:

Ако броят на уравненията и променливите е по-голям, отколкото в нашия пример, тогава процесът на последователно елиминиране на променливите продължава, докато системната матрица стане трапецовидна, както в нашия демонстрационен пример.

Ще намерим решението "от края" - обратно. За това от последното уравнение определяме z:
.
Замествайки тази стойност в предишното уравнение, намирам г:

От първото уравнение намирам х:

Отговор: решението на тази система от уравнения - .

: в този случай ще бъде даден същият отговор, ако системата има уникално решение. Ако системата има безкраен брой решения, такъв ще има и отговорът и това е темата на петата част на този урок.

Решете сами система от линейни уравнения по метода на Гаус и след това вижте решението

Пред нас отново е пример за последователна и определена система от линейни уравнения, в която броят на уравненията е равен на броя на неизвестните. Разликата от нашия демо пример от алгоритъма е, че вече има четири уравнения и четири неизвестни.

Пример 4Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус:

Сега трябва да използвате второто уравнение, за да изключите променливата от следващите уравнения. Нека направим малко подготвителна работа. За да бъде по-удобно съотношението на коефициентите, трябва да получите единица във втората колона на втория ред. За да направите това, извадете третия ред от втория ред и умножете получения втори ред по -1.

Нека сега извършим действителното елиминиране на променливата от третото и четвъртото уравнения. За да направите това, добавете второто, умножено по , към третия ред и второто, умножено по , към четвъртия.

Сега, използвайки третото уравнение, елиминираме променливата от четвъртото уравнение. За да направите това, към четвъртия ред добавете третия, умножен по . Получаваме разширена матрица с трапецовидна форма.

Получихме система от уравнения, която е еквивалентна на дадената система:

Следователно получените и дадени системи са последователни и категорични. Намираме крайното решение „от края“. От четвъртото уравнение можем директно да изразим стойността на променливата "x четвърто":

Заместваме тази стойност в третото уравнение на системата и получаваме

,

,

И накрая, заместване на стойността

В първото уравнение дава

,

където намираме "x първо":

Отговор: Тази система от уравнения има уникално решение. .

Можете също да проверите решението на системата на калкулатор, който решава по метода на Крамър: в този случай ще бъде даден същият отговор, ако системата има уникално решение.

Решение по метода на Гаус на приложни задачи на примера на задача за сплави

Системите от линейни уравнения се използват за моделиране на реални обекти от физическия свят. Нека решим една от тези задачи – за сплавите. Подобни задачи - задачи за смеси, себестойност или специфично тегло на отделни стоки в група стоки и други подобни.

Пример 5Три парчета сплав имат обща маса 150 kg. Първата сплав съдържа 60% мед, втората - 30%, третата - 10%. В същото време във втората и третата сплав, взети заедно, медта е с 28,4 kg по-малко, отколкото в първата сплав, а в третата сплав медта е с 6,2 kg по-малко, отколкото във втората. Намерете масата на всяко парче сплав.

Решение. Съставяме система от линейни уравнения:

Умножавайки второто и третото уравнение по 10, получаваме еквивалентна система от линейни уравнения:

Съставяме разширената матрица на системата:

Внимание, директен ход. Чрез добавяне (в нашия случай изваждане) на един ред, умножен по число (прилагаме го два пъти), се получават следните трансформации с разширената матрица на системата:

Правото бягане приключи. Получихме разширена матрица с трапецовидна форма.

Нека използваме обратното. Намираме решение от края. Виждаме това.

От второто уравнение намираме

От третото уравнение -

Можете също да проверите решението на системата на калкулатор, който решава по метода на Крамър: в този случай ще бъде даден същият отговор, ако системата има уникално решение.

Простотата на метода на Гаус се доказва от факта, че немският математик Карл Фридрих Гаус отне само 15 минути, за да го изобрети. В допълнение към метода на неговото име, от работата на Гаус, изречението „Не трябва да бъркаме това, което ни се струва невероятно и неестествено с абсолютно невъзможното“ е един вид кратка инструкция за правене на открития.

В много приложни задачи може да няма трето ограничение, тоест трето уравнение, тогава е необходимо да се реши система от две уравнения с три неизвестни по метода на Гаус или, обратно, има по-малко неизвестни от уравненията. Сега започваме да решаваме такива системи от уравнения.

Използвайки метода на Гаус, можете да определите дали дадена система е последователна или непоследователна нлинейни уравнения с нпроменливи.

Метод на Гаус и системи линейни уравнения с безкраен брой решения

Следващият пример е последователна, но неопределена система от линейни уравнения, тоест тя има безкраен брой решения.

След извършване на трансформации в разширената матрица на системата (преместване на редове, умножаване и деление на редове с определено число, добавяне на един ред към друг), редове от вида

Ако във всички уравнения, имащи формата

Свободните членове са равни на нула, това означава, че системата е неопределена, тоест има безкраен брой решения и уравненията от този тип са „излишни“ и се изключват от системата.

Пример 6

Решение. Нека съставим разширената матрица на системата. След това, използвайки първото уравнение, елиминираме променливата от следващите уравнения. За да направите това, към втория, третия и четвъртия ред добавете първия, умножен съответно по:

Сега нека добавим втория ред към третия и четвъртия.

В резултат на това стигаме до системата

Последните две уравнения са станали уравнения от вида . Тези уравнения са изпълнени за всякакви стойности на неизвестните и могат да бъдат отхвърлени.

За да удовлетворим второто уравнение, можем да изберем произволни стойности за и , тогава стойността за ще бъде определена недвусмислено: . От първото уравнение стойността за също се намира еднозначно: .

И дадената, и последната система са съвместими, но неопределени, а формулите

за произволни и ни даде всички решения на дадената система.

Метод на Гаус и системи от линейни уравнения, които нямат решения

Следващият пример е непоследователна система от линейни уравнения, тоест тя няма решения. Отговорът на такива проблеми се формулира по следния начин: системата няма решения.

Както вече беше споменато във връзка с първия пример, след извършване на трансформации в разширената матрица на системата, линии от формата

съответстващ на уравнение от формата

Ако сред тях има поне едно уравнение с ненулев свободен член (т.е.), тогава тази система от уравнения е непоследователна, тоест няма решения и това завършва нейното решение.

Пример 7Решете системата от линейни уравнения по метода на Гаус:

Решение. Съставяме разширената матрица на системата. Използвайки първото уравнение, ние изключваме променливата от следващите уравнения. За да направите това, добавете първото умножено по към втория ред, първото умножено по третия ред и първото умножено по четвъртия ред.

Сега трябва да използвате второто уравнение, за да изключите променливата от следващите уравнения. За да получим целочислени отношения на коефициентите, разменяме втория и третия ред на разширената матрица на системата.

За да изключите от третото и четвъртото уравнение, добавете второто, умножено по , към третия ред и второто, умножено по , към четвъртия.

Сега, използвайки третото уравнение, елиминираме променливата от четвъртото уравнение. За да направите това, към четвъртия ред добавете третия, умножен по .

Целева системаследователно е еквивалентен на следното:

Получената система е непоследователна, тъй като нейното последно уравнение не може да бъде удовлетворено от никакви стойности на неизвестните. Следователно тази система няма решения.