По аналогия с (2.1) системата (5.1) може да бъде представена в следния еквивалентен вид:

където g(x) е итеративна векторна функция на векторния аргумент. системи нелинейни уравнениячесто възникват директно във формата (5.2) (например в числени схеми за диференциални уравнения), в този случай не са необходими допълнителни усилия за трансформиране на уравнения (5.1) в система (5.2). Ако продължим аналогията с простия итерационен метод за едно уравнение, тогава итеративният процес, базиран на уравнение (5.2), може да бъде организиран както следва:

• 1) някакъв начален вектор x ((,) e 5 o (x 0 , а)(приема се, че x * e 5 "(x 0, а));
• 2) последващите приближения се изчисляват по формулата

тогава итеративният процес е завършен и

Както и преди, трябва да разберем при какви условия

Нека обсъдим този въпрос, като направим прост анализ. Първо, въвеждаме грешката на i-тото приближение като

Заместваме тези изрази в (5.3) и разгъваме g(x* + e (/i)) по степени e(k>в околност на x* като функция на векторния аргумент (приемайки, че всички частни производни на функцията g(x) са непрекъснати). Като се има предвид също, че x* = g(x*), получаваме

или в матрична форма

B = (b nm)= I (х*)1 - итеративна матрица.

Ако процентът на грешки ||e®|| е достатъчно малък, тогава вторият член от дясната страна на израз (5.4) може да бъде пренебрегнат и тогава той съвпада с израз (2.16). Следователно условието за сходимост на итеративния процес (5.3) близо до точното решение е описано от теорема 3.1.

Конвергенция на метода на простата итерация. Необходимо и достатъчно условие за конвергенцията на итеративния процес (5.3):

и достатъчно условие:

Тези условия са по-скоро от теоретично, отколкото от практическо значение, тъй като не знаем x'. По аналогия с (1.11) получаваме условие, което може да бъде полезно. Нека x* e 5 o (x 0, а)и матрицата на Якоби за функцията g(x)

съществува за всички x e S n (x 0 , a) (обърнете внимание, че C(x*) = B). Ако елементите на матрицата C(x) удовлетворяват неравенството

за всички x e 5 „(x 0, а),тогава достатъчното условие (5.5) също е в сила за всяка матрична норма.

Пример 5.1 (метод на проста итерация) Разгледайте следната система от уравнения:

Един от начините да се представи тази система в еквивалентната форма (5.2) е да се изрази хот първото уравнение и х 2от второто уравнение:

Тогава итеративната схема има формата

Точното решение x* e 5n((2, 2), 1). Избираме начален вектор x (0) = (2,2) и ? p = CT 5 . Резултатите от изчисленията са представени в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Тези резултати показват, че конвергенцията е доста бавна. За да получим количествена характеристика на конвергенцията, нека извършим прост анализ, като приемем, че x (1/) е точното решение. Матрицата на Якоби C(x) за нашата итеративна функция има формата

тогава матрицата B се оценява приблизително като

Лесно е да се провери, че нито условие (5.5), нито условие (5.6) са изпълнени, но има конвергенция, тъй като 5(B) ~ 0.8.

Често е възможно да се ускори конвергенцията на прост итерационен метод чрез лека промяна на процеса на изчисление. Идеята за такава модификация е много проста: да се изчисли П-та компонента на вектора x (A+1)може да се използва не само (t = n,..., н), но също и вече изчислените компоненти на следващия апроксимационен вектор x k ^ (/= 1,P -един). По този начин модифицираният метод на проста итерация може да бъде представен като следната итеративна схема:

Ако приближенията, генерирани от итеративния процес (5.3), се сближават, тогава итеративният процес (5.8) се сближава, като правило, по-бързо поради по-пълното използване на информацията.

Пример 5.2 (модифициран метод на проста итерация) Модифицираната проста итерация за система (5.7) е представена като

Както преди, избираме началния вектор x (0) = (2, 2) и g p == 10 -5 . Резултатите от изчисленията са представени в табл. 5.2.

Таблица 5.2

I Tebolyn промяна в реда на изчисленията доведе до намаляване на броя на итерациите наполовина, а оттам и до намаляване на броя на операциите наполовина.

Метод прости итерациисе основава на замяна на оригиналното уравнение с еквивалентно уравнение:

Нека първоначалното приближение до корена е известно x = x 0. Чрез заместването му в правилната странауравнение (2.7), получаваме ново приближение , тогава по подобен начин получаваме и др.:

. (2.8)

Не при всички условия итеративният процес се свежда до корена на уравнението х. Нека разгледаме този процес по-подробно. Фигура 2.6 показва графична интерпретацияеднопосочен конвергентен и дивергентен процес. Фигура 2.7 показва двупосочни конвергентни и дивергентни процеси. Дивергентният процес се характеризира с бързо нарастване на стойностите на аргумента и функцията и срив на съответната програма.

При двупосочен процес е възможен цикъл, тоест безкрайно повторение на едни и същи стойности на функцията и аргумента. Цикълът разделя дивергентния процес от конвергентния.

От графиките може да се види, че както при едностранните, така и при двустранните процеси, конвергенцията към корена се определя от наклона на кривата близо до корена. Колкото по-малък е наклонът, толкова по-добра е конвергенцията. Както знаете, тангенсът на наклона на кривата е равен на производната на кривата в дадена точка.

Следователно, колкото по-малко е близо до корена, толкова по-бързо се сближава процесът.

За да бъде итеративният процес конвергентен, трябва да е изпълнено следното неравенство в близост до корена:

Може да се извърши преход от уравнение (2.1) към уравнение (2.7). различни начинив зависимост от вида на функцията f(x).При такъв преход е необходимо да се конструира функция по такъв начин, че да е изпълнено условието за конвергенция (2.9).

Помислете за един от общите алгоритми за преход от уравнение (2.1) към уравнение (2.7).

Умножаваме лявата и дясната страна на уравнение (2.1) по произволна константа bи добавете към двете части неизвестното Х.В този случай корените на оригиналното уравнение няма да се променят:

Въвеждаме нотацията и преминаваме от отношение (2.10) към уравнение (2.8).

Произволен избор на константа bще осигури изпълнението на условието за конвергенция (2.9). Условие (2.2) ще бъде критерият за прекратяване на итеративния процес. Фигура 2.8 показва графична интерпретация на метода на простите итерации с описания метод на представяне (мащабите по осите X и Y са различни).

Ако функцията е избрана във формата , тогава производната на тази функция ще бъде . Тогава най-високият процент на конвергенция ще бъде при и итеративната формула (2.11) преминава във формулата на Нютон. По този начин методът на Нютон има най-много висока степенконвергенция от всички итеративни процеси.

Софтуерната реализация на метода на простите итерации е направена под формата на подпрограма Итерас(ПРОГРАМА 2.1).

Цялата процедура на практика се състои от един единствен цикъл Repeat ... Until, който имплементира формула (2.11), отчитайки условието за прекратяване на итеративния процес (формула (2.2)).

Защитата на цикъла е вградена в процедурата чрез преброяване на броя на циклите с помощта на променливата Niter. На практически упражнениянеобходимо е да се провери чрез стартиране на програмата как влияе изборът на коефициент bи първоначално приближение на процеса на намиране на корена. При промяна на коеф bприродата на итеративния процес за изследваната функция се променя. Първо се превръща в двустранна, а след това в цикли (фиг. 2.9). Мащаб по осите хи Yразлично. Още по-голям модул b води до различен процес.

Сравнение на методи за приближено решаване на уравнения

Сравнение на описаните по-горе методи числено решениеуравненията бяха извършени с помощта на програма, която ви позволява да наблюдавате процеса на намиране на корена в графична форма. Процедурите, включени в тази програма и прилагащи сравнените методи, са дадени по-долу (ПРОГРАМА 2.1).

Ориз. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 са копия на компютърния екран в края на итеративния процес.

Във всички случаи взехме за изследваната функция квадратно уравнение x 2 -x-6 = 0, като има аналитично решение x 1 = -2 и x 2 = 3. Грешката и първоначалните приближения бяха взети равни за всички методи. Резултати от коренно търсене x= 3, показани на фигурите, са както следва. Най-бавно се сближава методът на дихотомията - 22 итерации, най-бързо - методът на простите итерации при b = -0,2 - 5 итерации. Тук няма противоречие с твърдението, че методът на Нютон е най-бързият.

Производна на изследваната функция в точка х= 3 е равно на -0,2, т.е. изчислението в този случай е извършено практически по метода на Нютон със стойността на производната в точката на корена на уравнението. При промяна на коеф bскоростта на конвергенция намалява и постепенно конвергентният процес първо има цикли, след което става дивергентен.

Нека заменим оригиналното уравнение с еквивалентно и ще изградим итерации според правилото . По този начин методът на проста итерация е едноетапен итеративен процес. За да започнете този процес, трябва да знаете първоначалното приближение. Нека да открием условията за сходимост на метода и избора на първоначалното приближение.

Билет номер 29

Метод на Seidel

Методът на Зайдел (понякога наричан метод на Гаус-Зайдел) е модификация на метода на простата итерация, което означава, че при изчисляване на следващото приближение x (k + 1) (вижте формули (1.13), (1.14)) неговите вече получени компоненти x 1 (k+1) , ...,x i - 1 (k+1) се използват незабавно за изчисляване на x i (k+1) .

В координатната нотация методът на Seidel има формата:

X 1 (k+1) = c 11 x 1 (k) + c 12 x 2 (k) + ... + c 1n-1 x n-1 (k) + c 1n x n (k) + d 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k ) + dn
където x(0) е някакво първоначално приближение към решението.

Така i-тата компонента на (k+1)-тото приближение се изчислява по формулата

Условието за прекратяване на итеративния процес на Seidel при достигане на точността ε в опростена форма е:

|| x (k+1) - x (k) || ≤ ε.

Билет номер 30

Метод на почистване

За решаване на системи A x = b с тридиагонална матрица най-често се използва методът на почистване, който е адаптация на метода на Гаус за този случай.

Пишем системата от уравнения

d 1 x 1 + e 1 x 2 = b 1
c 2 x 1 + d 2 x 2 + e 2 x 3 = b 2
c 3 x 2 + d 3 x 3 + e 3 x 4 = b 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
c n x n-1 + d n x n = b n

в матрична форма: A x = b където

А=

Нека запишем формулите на метода на почистване в реда на тяхното приложение.

1. Директно изпълнение на метода на почистване (изчисляване на спомагателни количества):

2. Обратенметод на почистване (намиране на решение):

Билет номер 31

Метод на проста итерация

Същността на метода на простите итерации е преходът от уравнението

f(x)= 0 (*)

към еквивалентното уравнение

х=φ(x). (**)

Този преход може да се направи различни начини, в зависимост от вида f(x). Например, можете да поставите

φ(x) = х+bf(x),(***)

където b= const, докато корените на оригиналното уравнение няма да се променят.

Ако е известно първоначалното приближение до корена x0, след това новото приближение

х 1=φx(0),

тези. обща схема на итеративния процес:

xk+1=φ(xk).(****)

Най-простият критерий за прекратяване на процеса

|x k +1 -x k |<ε.

Критерий за конвергенцияметод на проста итерация:

ако е близо до корена | φ / (x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого х, тогава итерациите се събират за всяко първоначално приближение.

Проучване на избора на константа bпо отношение на осигуряването на максимална скорост на конвергенция. В съответствие с критерия за конвергенция е предвидена най-високата степен на конвергенция |φ / (x)| = 0. В същото време, въз основа на (***), b = –1/f / (x),и итеративната формула (****) влиза в x i \u003d x i-1 -f (x i-1) / f / (x i-1).-тези. във формулата на метода на Нютон. По този начин методът на Нютон е специален случай на метода на простите итерации, осигуряващ най-високата степен на сходимост на всички възможни опции за избор на функцията φ(x).

Номер на билета 32

Метод на Нютон

Основната идея на метода е следната: първоначалното приближение се задава близо до хипотетичния корен, след което в точката на приближаване се конструира допирателна към изследваната функция, за която се намира пресечната точка с абсцисната ос. Тази точка се приема като следващо приближение. И така до достигане на необходимата точност.

Нека е функция с реална стойност, дефинирана върху сегмент и диференцируема върху него. Тогава формулата за итеративното смятане на приближенията може да се изведе, както следва:

където α е ъгълът на наклона на допирателната в точката .

Следователно желаният израз за има формата:

Номер на билета 33

метод на златното сечение
Методът на златното сечение ви позволява да елиминирате интервалите, като изчислявате само една стойност на функцията при всяка итерация. В резултат на двете разглеждани стойности на функцията се определя интервалът, който трябва да се използва в бъдеще. Този интервал ще съдържа една от предишните точки и следващата точка, поставена симетрично спрямо нея. Точката разделя интервала на две части, така че отношението на цялото към по-голямата част е равно на отношението на по-голямата част към по-малката, т.е. равно на така нареченото "златно сечение".

Разделянето на интервала на неравни части ви позволява да намерите още по-ефективен метод. Нека изчислим функцията в краищата на сегмента [ а,b] и задайте а=х 1 , b=х 2. Нека изчислим функцията и в две вътрешни точки х 3 , хчетири . Нека сравним всичките четири стойности на функцията и да изберем най-малката сред тях. Нека, например, е най-малкият f(х 3). Очевидно минимумът се намира в един от сегментите, съседни на него. Следователно сегментът [ х 4 ,b] могат да бъдат отхвърлени и да напуснат сегмента.

Първата стъпка е направена. На сегмента отново трябва да изберете две вътрешни точки, да изчислите стойностите на функцията в тях и в краищата и да предприемете следващата стъпка. Но в предишната стъпка от изчисленията вече намерихме функцията в краищата на новия сегмент и в една от неговите вътрешни точки хчетири . Следователно е достатъчно да изберете още една точка вътре x5определи стойността на функцията в него и направи необходимите сравнения. Това намалява обема на изчисленията в една стъпка от процеса с фактор четири. Как печелившо да поставите точки? Всеки път оставащият сегмент се разделя на три части и след това един от крайните сегменти се изхвърля.
Нека обозначим началния интервал на неопределеност като д.

Тъй като в общия случай всеки от сегментите може да бъде изхвърлен X 1, X 3или X 4, X 2след това изберете точки X 3и X 4така че дължините на тези сегменти да са еднакви:

x 3 -x 1 = x 4 -x 2.

След изхвърляне ще бъде получен нов интервал на несигурност на дължината Д'.
Обозначете отношението д/Д'буква φ:

тоест задаваме къде е следващият интервал на несигурност. Но

равна по дължина на сегмента, изхвърлен на предишния етап, т.е

Така получаваме:

.
Това води до уравнението или, което е същото
.

Положителният корен на това уравнение дава

.

Номер на билета 34

интерполация на функция, т.е. изграждане на дадена функция на друга (като правило по-проста), чиито стойности съвпадат със стойностите на дадена функция в определен брой точки. Освен това интерполацията има както практическо, така и теоретично значение.

Методът на простата итерация, наричан още метод на последователно приближение, е математически алгоритъм за намиране на стойността на неизвестно количество чрез постепенното му прецизиране. Същността на този метод е, че, както подсказва името, постепенно изразявайки следващите от първоначалното приближение, те получават все по-прецизни резултати. Този метод се използва за намиране на стойността на променлива в дадена функция, както и за решаване на системи от уравнения, както линейни, така и нелинейни.

Нека разгледаме как се прилага този метод при решаване на SLAE. Методът на проста итерация има следния алгоритъм:

1. Проверка на условието за сходимост в оригиналната матрица. Теорема за конвергенция: ако първоначалната матрица на системата има диагонална доминация (т.е. във всеки ред елементите на главния диагонал трябва да са по-големи по модул от сумата на елементите на второстепенните диагонали по модул), тогава методът на простия итерации е конвергентен.

2. Матрицата на оригиналната система не винаги има диагонална доминация. В такива случаи системата може да бъде преобразувана. Уравненията, които отговарят на условието за конвергенция, остават незасегнати, а с тези, които не отговарят, те образуват линейни комбинации, т.е. умножение, изваждане, добавяне на уравнения едно към друго, докато се получи желаният резултат.

Ако в получената система има неудобни коефициенти на главния диагонал, тогава членовете на формата c i *x i се добавят към двете части на такова уравнение, чиито знаци трябва да съвпадат със знаците на диагоналните елементи.

3. Преобразуване на получената система в нормалната форма:

x - =β - +α*x -

Това може да стане по много начини, например по следния начин: от първото уравнение изразете x 1 чрез други неизвестни, от второто - x 2, от третото - x 3 и т.н. Тук използваме формулите:

α ij = -(a ij / a ii)

i = b i /a ii
Отново трябва да се уверите, че получената система с нормална форма удовлетворява условието за конвергенция:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1, докато i= 1,2,...n

4. Започваме да прилагаме всъщност самия метод на последователните приближения.

x (0) - първоначално приближение, изразяваме през него x (1) , след това чрез x (1) изразяваме x (2) . Общата формула в матрична форма изглежда така:

x (n) = β - +α*x (n-1)

Изчисляваме, докато достигнем необходимата точност:

max |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

И така, нека да разгледаме простия итерационен метод на практика. Пример:
Решете SLAE:

4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 с точност ε=10 -3

Да видим дали диагоналните елементи преобладават по модул.

Виждаме, че само третото уравнение удовлетворява условието за конвергенция. Преобразуваме първото и второто уравнения, добавяме второто към първото уравнение:

7,6x1+0,6x2+2,4x3=3

Извадете първото от третото:

2,7x1+4,2x2+1,2x3=2

Преобразувахме оригиналната система в еквивалентна:

7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
-2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4

Сега нека върнем системата към нормалното:

x1=0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2=0,4762+0,6429x1-0,2857x3
x3= 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Проверяваме сходимостта на итеративния процес:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319= 0,9149 ≤ 1, т.е. условието е изпълнено.

0,3947
Първоначално предположение x(0) = 0,4762
0,8511

Замествайки тези стойности в уравнението на нормалната форма, получаваме следните стойности:

0,08835
x(1) = 0,486793
0,446639

Заменяйки нови стойности, получаваме:

0,215243
x(2) = 0,405396
0,558336

Продължаваме изчисленията, докато се доближим до стойностите, които отговарят на даденото условие.

x(7) = 0,441091

Нека проверим правилността на получените резултати:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3,1*0,1880+2,3*0,441-1,1x*0,544=0,9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

Резултатите, получени чрез заместване на намерените стойности в оригиналните уравнения, напълно отговарят на условията на уравнението.

Както виждаме, простият итерационен метод дава доста точни резултати, но за да решим това уравнение, трябваше да отделим много време и да направим тромави изчисления.

Итеративни методи

Итеративните методи предполагат прилагането на следните три етапа: изграждане на итеративен процес, сходен към точното решение за изчисляване на последователни приближения (т.е. конструиране на последователност от вектори, сходни към точното решение ; определяне на критерия за сходимост на този процес, който позволява определяне на момента на постигане на необходимата точност; изследване на скоростта на конвергенция и оптимизиране на итеративния процес с цел намаляване на броя на операциите, необходими за постигане на необходимата точност.

Итеративните методи позволяват да се получи решение с предварително определена точност, ако се докаже сходимостта на метода. Итеративните методи не дават строго точно решение, тъй като то се постига като граница на последователност от вектори. Директният метод обикновено дава точно решение, но поради грешки при закръгляване, възникващи на всички компютри, то не може да бъде достигнато и априоридори е трудно да се прецени доколко това решение се различава от точното. Във връзка с горното итеративните методи понякога позволяват да се получи решение с по-голяма точност от преките.

Разгледайте няколко итеративни метода за решаване на линейни уравнения.

Метод на проста итерация

В метода на простата итерация, система (2.1) от линейни алгебрични уравнения брадва = bсе свежда до еквивалентна система на формата

Решението на системата (2.9) и, следователно, решението на оригиналната система (2.1) се търси като граница на последователността от вектори за :

k = 0, 1, 2,…,(2.10)

където е началното приближение за вектора на решението.

Достатъчно условие за сходимостта на метода на простата итерация се определя от следната теорема.

ТЕОРЕМА 1. Ако някоя норма на матрицата, съответстваща на разглежданата норма на вектора, е по-малка от единица (), тогава последователността в метода на простата итерация се сближава към точното решение на системата (2.9) със скорост не по-малка от скоростта на геометрична прогресия със знаменател за всяко начално приближение.

ДОКАЗАТЕЛСТВО. За да докажем теоремата, въвеждаме грешка. Изваждайки равенството (2.10) от връзката, получаваме . Преминавайки към нормите, имаме

Забележете, че неравенството от предишния израз е условието за съгласуваност за нормата на матрицата и вектора. Ако , тогава за всеки начален вектор на грешка (или по друг начин, за всеки начален вектор), процентът на грешка клони към нула не по-бавно от геометрична прогресия със знаменателя.

Ако изберем нормата като матрична норма или тогава, за да се реши въпросът за сходимостта на метода на простата итерация, може да се използва следствието от теорема 1: методът на простата итерация се сходи, ако за матрицата е изпълнено едно от следните условия:

, i =1,2, …, n,

, j = 1, 2, …, n.(2.11)

Най-простият и най-често срещаният начин за привеждане на системата Ax=bкъм формата (2.9), удобна за итерации, е изборът на диагонални елементи, с всеки i-тоуравнението се разрешава по отношение на i-тонеизвестен:

, i = 1, 2, …, n, (2.12)

и методът на проста итерация може да бъде написан като

Тогава матрицата има формата

.

Елементът на тази матрица може да се запише като къде е символът на Кронекер. В този случай достатъчно условие за сходимост на метода на простата итерация може да се формулира като условието за доминиране на диагоналните елементи на матрицата НО, което следва от (2.11) и записа на матрицата , т.е.

i = 1, 2, …, n.

Още веднъж подчертаваме, че разгледаните форми на условието за сходимост на итерационния метод са само достатъчни. Тяхното изпълнение гарантира сходимостта на метода, но неуспехът им в общия случай не означава, че методът на простата итерация се разминава. Необходимо и достатъчно условие за конвергенцията на метода на проста итерация е условието, че цялата част (където е максималната собствена стойност по модул на матрицата НО); това условие рядко се използва в изчислителната практика.

Нека се обърнем към въпроса за оценката на грешката на решението. Интерес представляват две отношения за оценка на грешката на решението: първото свързва нормата на грешката с нормата на разликата на две последователни приближения и може да се използва за оценка на грешката само в процеса на изчисления; втората свързва нормата на грешката с нормите на вектора на първоначалното приближение и вектора на свободния член в системата (2.9). Необходимите отношения се дават от следните две теореми.

ТЕОРЕМА 2. Ако всяка норма на матрицата съответства на разглежданата норма на вектора х

. (2.13)

ДОКАЗАТЕЛСТВО. Нека извадим равенството (2.10) от равенството:

Изваждайки от двете части приблизителната стойност, трансформираме това съотношение във формата

Преминавайки към нормите, получаваме

Тъй като по хипотезата на теоремата,

Използвайки връзката, от която следва, че накрая получаваме:

ТЕОРЕМА 3. Ако някоя норма е матрица, съгласувана с разглежданата норма на вектора х, по-малко от едно (), тогава се извършва следната оценка на грешката:

Нека направим две забележки. Първо, връзката (2.13) може да бъде записана като

което дава възможност да се получи оценка на грешката въз основа на резултатите от първите две итерации. Първо, когато се използва итерационният метод, понякога се препоръчва да се използва нормата на разликата на две последователни приближения като оценка на грешката на изчислението. От корелациите за грешката следва, че в общия случай това не е вярно. Ако нормата е близка до единица, тогава коефициентът при може да бъде доста голям.

Грешките на последователните итерации са свързани с релацията

тези. грешката се променя линейно на стъпка. Твърди се, че методът има линейна конвергенцияили конвергенция от първи ред. Въпреки това, броят на итерациите, необходими за постигане на необходимата точност, зависи от стойността и първоначалното приближение на .

По този начин, използвайки простия итерационен метод като пример, се демонстрират три етапа на итеративни методи: изграждане на последователност от вектори, генерирани от формула (1.10); определяне на условието за сходимост съгласно теорема 1 и оценка на скоростта на сходимост с помощта на теореми 2 и 3.

Метод на Seidel

Простият итерационен метод не използва привидно очевидната възможност за подобряване на конвергенцията на итеративния процес - незабавното въвеждане на новоизчислените компоненти на вектора в изчислението. Тази възможност се използва в итеративния метод на Seidel. Итеративният процес за система (2.9) се осъществява в този случай съгласно връзката

i = 1, 2, …, n (2.14)

или за система (1.1)

Без да навлизаме в подробности, отбелязваме, че итерационният метод на Seidel често наистина води до по-бърза конвергенция от простия итерационен метод. Има обаче случаи, при които итерационният метод на Seidel се сближава по-бавно от простия итерационен метод и дори случаи, когато простият итерационен метод се сближава, но итерационният метод на Seidel се отклонява.

Забележи, че методът на Seidel се сближава,ако матрица НОположително определени и симетрични.

Нека покажем, че итерационният метод на Seidel е еквивалентен на някакъв прост итерационен метод със специално конструирана матрица и вектор във връзка (2.10). За да направим това, записваме системата (2.14) във формата Матрица (E-H)е долна триъгълна матрица с диагонални елементи, равни на единица. Следователно детерминантата на тази матрица е различна от нула (равна на единица) и има обратна матрица. Тогава

Сравнявайки тази връзка с решение (2.10), можем да заключим, че итерационният метод на Зайдел наистина е еквивалентен на простия итерационен метод в смисъл, че за установяване на условието и критерия за сходимост за итерационния метод на Зайдел могат да се използват дадените теореми за метода на проста итерация, ако зададем Итеративният процес за система (2.12) може да бъде написан и в по-обща форма, а именно