Логика и доказателство. Доказателства: преки, обратни, от противно

Теоремае твърдение, чиято валидност се установява чрез разсъждение. Самото разсъждение се нарича доказателство на теоремата.

Теорема, обратна на тазие теорема, в която условието е заключението на тази теорема, а заключението е нейното условие. Например: Теорема: В равнобедрен триъгълник ъглите при основата са равни. Обратна теорема: Ако два ъгъла са равни в триъгълник, то той е равнобедрен.

Последицае твърдение, което се извлича директно от теоремата. Например: следствиеот теоремата за височината равнобедрен триъгълнике: Медианата на равнобедрен триъгълник, прекарана към основата, е височината и ъглополовящата.

Доказателство от противное както следва:

1) Прави се предположение, противоположно на това, което трябва да се докаже.

2) След това, изхождайки от предположението, чрез разсъждения, те стигат до противоречие или с условието, или с известния факт.

3) Въз основа на полученото противоречие се стига до заключението, че предположението е невярно, което означава, че това, което е трябвало да се докаже, е вярно.

Знак за равенство на правоъгълни триъгълници по хипотенузата и катета.

Ако хипотенузата и катетът са еднакви правоъгълен триъгълникса съответно равни на хипотенузата и катета на друг правоъгълен триъгълник, то такива триъгълници са равни.

дадени :

DABC - десен / ъгъл

BC=B 1 C 1

Докажи:

DABC = DA 1 B 1 C 1

Доказателство:

1. Прилагаме към DABC към DA 1 B 1 C 1, така че горната A да е подравнена с горната A 1, горната B с горната B 1, а върховете C и C 1 да са от противоположните страни на линията AB .

2. Тъй като AB \u003d A 1 B 1 Þ, те ще съвпадат.

3. ÐSA 1 С 1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 ÞÐSA 1 С 1 – развита и точки С, А 1 и С 1 – лежат на една права.

4. Разгледайте DSВС 1 – r/b (ВС= В 1 С 1 по условие)Þ РС = РС 1 (по свойство)

5. Така DABC \u003d DA 1 B 1 C 1 - по протежение на хипотенузата и остър ъгъл. (h.t.d.)

Билет номер 9.

Перпендикулярни линии. Перпендикулярно на права.

Перпендикулярни линии- това са две прави линии, които при пресичане образуват четири прави ъгъла (показва се на фигурата)

Перпендикулярно на права линияе отсечка, начертана от точка до права под прав ъгъл. Пресечната точка на сегмента и правата се нарича основа на перпендикуляра (показан на фигурата)

Теореми:

1) От точка, която не лежи на права, може да се начертае перпендикуляр на тази права и освен това само един.

2) Две прави, перпендикулярни на една и съща права, не се пресичат.

Знак на равнобедрен триъгълник.

Ако в триъгълника два ъгъла са равни, то той е равнобедрен.

дадени:

РА = ∠С

Докажи:

DABC - r / w

Доказателство:

1. Мислено копирайте DABC и обърнете копието - получаваме DABC.

2. Нека насложим DCBA върху DABC, така че върхът C на копието да е подравнен с върхът A на DABC.

3. Тъй като РА = РС (по условие) Þ РА на копието и РС на триъгълника ще съвпадат при наслагване, то и РС на копието и РА на триъгълника ще съвпадат при наслагване.

4. Отсечката CB на копието ще бъде насложена върху лъча AB на триъгълника, а отсечката AB на копието ще бъде насложена върху лъча CB на триъгълника.

5. Тъй като две линии могат да имат само една обща точкакръстовища ⇒

м. В 1 ще съвпадне с точка B и ⇒ AB ще се комбинира с CB ⇒ AB = CB

6. От факта, че AB \u003d CB ⇒ по дефиниция, ΔABC е равнобедрен (p.t.d.)

Билет номер 10.

Равнобедрен триъгълник.

Триъгълникчиито две страни са равни се нарича равнобедрен.Равните страни се наричат страни, и третото лице основа. (покажи на снимката)

Свойство на равнобедрен триъгълник:В равнобедрен триъгълник ъглите при основата са равни (показва се на фигурата)

Знак на равнобедрен триъгълник: Ако два ъгъла са равни в триъгълник, то той е равнобедрен. (покажи на снимката)

Теорема за височината на равнобедрен триъгълник: Височината на равнобедрен триъгълник, прекарана към основата, е медианата и ъглополовящата. (покажи на снимката)

Следствия от теоремата за височината на равнобедрен триъгълник:

1) Медианата на равнобедрен триъгълник, прекарана към основата, е височината и ъглополовящата. (покажи на снимката)

2) Симетралата на равнобедрен триъгълник, прекарана към основата, е височината и медианата. (покажи на снимката)

Практика № 2

Тема: Логика и доказателство. Доказателство: пряко, обратно, от противно. Метод математическа индукция.

Урокът е предназначен за 2 академични часа.

Цел: изследвайте различни методидоказателства (пряко разсъждение, методът на "противоречивото" и обратното разсъждение), илюстриращи методологията на разсъждението. Помислете за метода на математическата индукция.

Теоретичен материал

Методи за доказване

При доказване на теореми се използват логически разсъждения. Доказателства в компютърните науки неразделна част от проверката на коректността на алгоритмите. Нуждата от доказателство възниква, когато трябва да установим истинността на предложение на формата (А AT). Има няколко стандартни вида доказателства, включително следните:

1. Пряко разсъждение (доказателство).

Приемаме, че твърдение A е вярно и показваме валидността на B. Този метод на доказателство изключва ситуацията, когатоА е вярно, а Б е е невярно, тъй като именно в този и само този случай импликацията (A C) приема невярна стойност (виж таблицата).

По този начин прякото доказателство преминава от разглеждане на аргументите до доказване на тезата, т.е. истинността на тезата е директно обоснована от аргументите. Схемата на това доказателство е следната: от дадените аргументи(a, b, c, ...) непременно трябва да следва доказуема тезар.

Този вид доказателство се извършва в съдебната практика, в науката, в полемиката, в писанията на учениците, в представянето на материал от учител и др.

Примери:

1. Учителят в урока с пряко доказателство на тезата „Хората творец на история”, предавания;първо че хората са създатели на материалното богатство,На второ място оправдава огромната роля населениев политиката, обяснява как хората активно се борят за мир и демокрация в съвременната епоха,трети , разкрива голямата му роля в създаването на духовната култура.

2. В уроците по химия преките доказателства за горимостта на захарта могат да бъдат представени под формата на категоричен силогизъм: Всички въглехидрати са горими.Захарта е въглехидрат. Захарта е запалима.

В съвременното модно списание „Бурда” тезата „Завистта е коренът на всяко зло” се обосновава с помощта на преки доказателства със следните аргументи: „Завистта не само трови хората. ежедневието, но може да доведе до по-сериозни последици, затова наред с ревността, гнева и омразата несъмнено принадлежи към най- лоши чертихарактер. Прокрадвайки се неусетно, завистта наранява болезнено и дълбоко. Човек завижда на благополучието на другите, страда от съзнанието, че някой е по-щастлив.

2. Обратно разсъждение(доказателство). Приемаме, че твърдението B е невярно и показваме погрешността на A. Тоест всъщност по директен начин проверяваме истинността на импликацията ((не B) (не A)), което според таблицата е логически еквивалентно на истинността на първоначалното твърдение (A Б).

3. Методът "от противното".

Този метод често се използва в математиката. Позволявама - теза или теорема за доказване. Ние приемаме от противно, чеа false, тоест вярноне (или). От предположението ние извеждаме следствия, които противоречат на реалността или на доказани преди това теореми. Имаме, докато- невярно, следователно неговото отрицание е истина, т.е., което според закона на двузначната класическа логика (→а) дава а. И така, вярно a , което трябваше да се докаже.

Има много примери за доказателства „от противно“ в училищекурс математика. Така например се доказва теоремата, че от точка, лежаща извън права линия, може да бъде пуснат само един перпендикуляр към тази права линия. Противно на това се доказва и следната теорема: „Ако две прави са перпендикулярни на една и съща равнина, те са успоредни.“ Доказателството на тази теорема започва директно с думите: „Да приемем обратното, т.е., че линиите AB и CD не паралелно."

Математическа индукция

За компютърна програма в компютърните науки се казва, че е правилна или правилна, ако прави това, което казва в нейната спецификация. Въпреки че тестването на програма може да даде очаквания резултат в случай на някои индивидуални начални данни, е необходимо да се докаже чрез методите на формалната логика, че правилните изходни данни ще бъдат получени за всякакви входни начални стойности.

Проверката на коректността на алгоритъм, съдържащ цикли, изисква доста мощен метод на доказателство, наречен "математическа индукция".

Дедуктивните и индуктивните методи са в основата на всяко математическо изследване. Дедуктивният метод на разсъждение е разсъждение от общото към частното, т.е. разсъждение, чиято начална точка е общият резултат, а крайната точка е частният резултат. Индукцията се прилага при преминаване от частни резултати към общи, т.е. е обратното на дедуктивния метод. Методът на математическата индукция може да се сравни с прогреса. Като резултат започваме от най-ниското логично мисленестигаме до най-високото. Човекът винаги се е стремял към прогрес, към способността да развива своята мисъл логически, което означава, че самата природа го е предначертала да мисли индуктивно.

Принцип на математическата индукция това е следната теорема:

Нека имаме безкрайна последователност от твърдения P 1, P 2, ..., P n индексирани с естествени числа и: твърдението P 1  вярно; ако някое твърдение Pк - е вярно, тогава следващото твърдение P k +1 също е вярно.

Тогава принципът на математическата индукция гласи, че всички твърдения в последователността са верни.

С други думи, принципът на математическата индукция може да се формулира по следния начин: ако една жена е първа на опашката и има жена зад всяка жена, тогава всички на опашката са жени.

Методът на разсъждение, основан на принципа на математическата индукция, се нарича метод на математическата индукция. За решаване на задачи по метода на математическата индукция е необходимо:

1) формулирайте изложението на проблема като последователност от твърдения P 1, P 2, ..., P n, ...;

2) докажете, че твърдението P 1 вярно (този етап се нарича база на индукция); 3) докажете, че ако твърдението Pн е вярно за някои n= k, тогава е вярно и за n = k + 1 (тази стъпка се нарича стъпка на индукция).

Поради ненадеждността на заключението индукцията не може да служи като доказателствен метод. Но тя емощен евристичен метод, т.е. методът за откриване на нови истини.

Индукцията може да доведе до грешно заключение. Така, например, изчисляване на стойностите на израза n 2 +n+17 за n = 1,2,3, ..., 15, получаваме неизменно прости числа и това предполага, че стойността на този израз за всяко естествено n е просто число. С други думи, на базата на петнадесет конкретни предпоставки е получено общо заключение, което се отнася до безкраен брой частни случаи и това заключение се оказва невярно, тъй като дори при n = 16 получаваме съставно число 16 2 +16+17=172.

В историята на математиката е имало случаи, когато известни математици грешат в своите индуктивни заключения. Например П. Ферма предполага, че всички числа от формата 22 n + 1 са прости, въз основа на факта, че при n = 1,2,3,4 те са такива, но Л. Ойлер открива, че вече при n = 5 числото 232 + 1 не е просто (дели се на 641). Въпреки това, възможността за получаване на невярно заключение с помощта на индукция не е основание за отричане на ролята на индукцията в училищно обучениематематика.

Насоки

Пример 1: Покажете чрез директно разсъждение, че произведението xy на две нечетни цели числа x и y винаги е нечетно.

Решение. Всяко нечетно число, и по-специално x, може да бъде записано като x = 2 m + 1, където m  Z . По същия начин y = 2 n + 1, n  Z .

Следователно произведението xy = (2 m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2 mn+m+n ) + 1 също е нечетно число.

Пример 2: Нека n  N . Покажете, използвайки обратния метод на доказателство, че if n 2 е нечетно, тогава n е нечетно.

Решение. Отрицанието на твърдението за нечетното число n2 е твърдението " n2 дори", и твърдението за паритетан е отрицание на твърдението „числотон странно." По този начин е необходимо да се покаже по пряк начин на разсъждение, че четността на числон предполага равномерността на неговия квадрат n2.

Тъй като n е четно, тогава n = 2 m за някакво цяло числом . Следователно n 2 = 4 m 2 = 2(2 m 2 ) е четно число.

Пример 3: Покажете от противното, че решението на уравнението x 2 = 2 е ирационално число, тоест не може да се запише като дроб с цели числител и знаменател.

Решение. Тук трябва да приемем, че решението x на уравнението x 2 = 2 е рационално, т.е. записано като дроб x = с цели числа m и n и n  0. След като приемем това, трябва да получим противоречие или с предположението, или с някакъв предварително доказан факт.

Както знаете, рационалното число се записва двусмислено

под формата на дроб. Например x = == и т.н. Въпреки това може да се счита, че m и n нямат общи делители. В този случай неяснотата на записа изчезва.

Така че, ние допълнително приемаме, че фракцията x = е нередуцируема ( m и n нямат общи делители). По условие числото x удовлетворява уравнението x 2 = 2. Следователно () 2 = 2, откъдето m 2 = 2 n 2 .

От последното равенство следва, че числотом2 дори. Следователно,м също е четен и може да бъде представен катом = 2p за някакво цяло число p. Заместване на тази информация в уравнението m 2 \u003d 2 n 2 , получаваме това 4p 2 \u003d 2 n 2, т.е. n 2 \u003d 2p 2.

Но тогава n също е четно число. Така ние показахме това m и n - четни числа. Следователно те имат общ делител на 2. Сега, ако си спомним, че приехме липсата общ делителпри числителя и знаменателя на дробта ще видим ясно противоречие.

Откритото противоречие ни води до недвусмислен извод: решението на уравнението x 2 = 2 не може да бъде рационално число, т.е. то е ирационално.

Пример 4: Нека докажем следното равенство чрез индукция (което, разбира се, допуска и други доказателства):

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2.

База. За n = 1 равенството се превръща в тъждеството 1 = 1 (1 + 1)/2.

стъпка. Нека равенството е валидно за n = k: 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2.

Нека добавим k + 1 към двете страни на това равенство. От лявата страна получаваме сумата 1+2+3+...+k+(k+1),и отдясно - k(k+1)/2+(k+1)=(k(k+1)+2(k+1))/2=((k+2)(k+1)) / 2.

И така, 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)/2 и това е изискваното равенство за n = k + 1, където n означава произволно естествено число.

тестови въпроси

1. Каква е разликата между доказване чрез пряко разсъждение,обратното, от обратното?
2. Какво означава математическа индукция? Обяснете принципа на математическата индукция.

Индивидуални задачи

1. Използване на методи за доказване:

1) Чрез пряко разсъждение докажете истинността на твърдението: n и m са четни числа  n + m е четно число.

2) Дайте обратното доказателство на твърдението: n 2 четно число  n четно.

3) Докажете от противното, че n+m нечетно число единият член е четен, а другият е нечетен.

2. Докажете всяко от твърденията чрез математическа индукция.

1) 1 + 5 + 9 +…+(4 n - 3) = n (2 n  1) за всички естествени числа н.

2) 1 2 +2 2 +...+ n 2 = n (n +1)(2 n +1)/6 за всички естествени числан.

3) d за всички естествени числан.

4) Число n 3  n се дели на 3 за всички естествени стойности на числотон.

5) 1*1! + 2* 2!+…+- n * n ! = (n + 1)!  1 за всички естествени числан.

(Символът n! се чете като " n факториел" и обозначава произведението на всички естествени числа от 1 до n включително: n ! \u003d l * 2 * 3 *** (n - l) * n.)

Допълнителни задачи:

1. Намерете грешката в следното "доказателство", че всички коне са от една и съща боя.

Ще докажем следното твърдение чрез индукция по n: „Във всяко стадо от n това са коне, всички те са с една и съща боя.“ Основата (n = 1) е очевидна: в този случай всички коне са един кон, очевидно е от една и съща боя. Ш: нека всички коне във всяко стадо от k коня имат една и съща боя. Да разгледаме стадо от k + 1 коня. Избираме два коня a и b в него и разглеждаме останалите k 1 коня. Нека направим стадо от тези останали коне, като добавим a. В него има k коня, така че според индукционната хипотеза всички те са от една боя. Така че кон a има същата боя като останалите коне. По подобен начин се доказва, че кон b има същата боя. Така че всички k + 1 коня имат една и съща боя. Твърдението е доказано.

2. На безкраен кариран лист хартия 100 клетки са боядисани в черно, а всички останали са бели. С един ход е позволено да пребоядисате всеки четири клетки, образуващи квадрат 2x2 в противоположния цвят. Докажете, че с няколко хода е възможно да се постигне, че всички клетки са бели тогава и само ако всеки хоризонтал и всеки вертикал съдържа четен брой черни клетки.

Невярно, с това обосноваваме истинността на противоположната позиция – тезата. Например, лекар, който убеждава пациент, че не е болен от грип, може да разсъждава по следния начин: „Ако наистина сте болен от грип, тогава ще имате температура, запушен нос и т.н. Но няма нищо от това. Следователно грип няма“. Доказателството на определено твърдение чрез противоречие е истинността на това твърдение, основано на демонстрацията на неистинността на „противоположното“ (противоречиво) твърдение и изключеното трето.
Генерал Д. от стр. е описан по следния начин. Необходимо е да се докаже някакво А. В процеса на доказване първо се формулира противоположното твърдение не-А и се приема, че то е вярно: да предположим, че А е невярно, тогава не-А трябва да е вярно. След това от тази уж вярна антитеза се извличат следствия - докато или тя се окаже, или такава, която изрично противоречи на известното вярно твърдение. Ако се покаже, че не-А е невярно, тогава истинността на тезата А е оправдана ( см.ДОКАЗАТЕЛСТВО).

Философия: Енциклопедичен речник. - М.: Гардарики. Редактирано от A.A. Ивина. 2004 .

(лат.редуциране до абсурд), тип доказателство, с хром "доказателство" за определено съждение (на доказателство теза)се осъществява чрез съждение, което му противоречи – антитеза. Опровержението на антитезата се постига чрез установяване на факта на нейната несъвместимост с в.-л.очевидно вярна преценка. Тази форма на Д. от т. отговаря песен.схема за доказателство: ако B е вярно и A предполага, че B е невярно, тогава A е невярно. Друго, по-общо Д. от т. е чрез опровергаване (причини за неистина)антитеза според правилото: като са допуснали А, те са извели , следователно - не-А. Тук А може да бъде или утвърдително, или отрицателно. В последния случай Д. от стр. се основава на и закона за двойното отрицание. В допълнение към споменатите по-горе, има „парадоксална“ форма на D. от p., която вече е била използвана в „Елементите“ на Евклид: А може да се счита за доказано, ако може да се покаже, че А следва дори от предположението за фалшивост на А.

Философски енциклопедичен речник. - М.: Съветска енциклопедия. гл. редактори: Л. Ф. Иличев, П. Н. Федосеев, С. М. Ковальов, В. Г. Панов. 1983 .

ДОКАЗАТЕЛСТВО ОТ ПРОТИВНОТО

Лит.:Тарски А., Въведение в логиката и методологията на дедуктивните науки, прев. от англ., М., 1948; Asmus VF, Учението на логиката за доказателство и опровержение, [M.], 1954; Kleene S. K., Въведение в метаматематиката, прев. от англ., М., 1957; А. Чърч, Въведение в математиката. логика, прев. от английски, [т.] 1, М., 1960.

Философска енциклопедия. В 5 тома - М .: Съветска енциклопедия. Под редакцията на Ф. В. Константинов. 1960-1970 .

Вижте какво е "ДОКАЗАТЕЛСТВО ОТ ПРОТИВНОТО" в други речници:

- (доказателство чрез противоречие) Доказателство, при което признаването на първоначалната предпоставка за неправилна води до противоречие. Тоест предположението за погрешността на първоначалната предпоставка ви позволява едновременно да докажете всяко твърдение и да го опровергаете; … Икономически речник

Един вид косвени доказателства... Голям енциклопедичен речник

В тази статия липсват връзки към източници на информация. Информацията трябва да може да се провери, в противен случай може да бъде поставена под съмнение и премахната. Можете да ... Уикипедия

Един от видовете косвени доказателства. * * * ДОКАЗАТЕЛСТВО ОТ ПРОТИВНОТО ДОКАЗАТЕЛСТВО ОТ ПРОТИВНОТО, един от видовете косвени доказателства (виж КОСВЕНО ДОКАЗАТЕЛСТВО) ... енциклопедичен речник

доказателство от противно- (лат. намаление ad absurdum) вид доказателство, при което валидността на определено съждение (доказателствена теза) се осъществява чрез опровергаване на противоположното съждение, което му противоречи. Опровержението на антитезата се постига чрез ... ... Изследователска дейност. Речник

ДОКАЗАТЕЛСТВО ОТ ПРОТИВНОТО- (лат. reductio ad absurdum) вид доказателство, при което валидността на определено съждение (теза за доказателство) се осъществява чрез опровергаване на противоположното съждение, което му противоречи. Опровержението на антитезата се постига чрез ... ... Професионално образование. Речник

Вижте: Косвени доказателства... Речник на логическите термини

- (лат. reductio ad absurdum) вид доказателство, при което "доказателството" на определено съждение (теза за доказателство) се извършва чрез опровергаване на противоречащото му съждение. В този случай се постига опровергаването на антитезата ... ... Велика съветска енциклопедия

Обратният метод

Апагог- логическо средство, което доказва непоследователността на едно мнение по такъв начин, че или само по себе си, или в последствията, които по необходимост следват от него, откриваме противоречие.

Следователно апогогическото доказателство е косвено доказателство: тук доказващият първо се обръща към противоположното твърдение, за да покаже неговата непоследователност, а след това, съгласно закона за елиминиране на средата, заключава, че това, което се изисква да се докаже, е правилно. Този вид доказателство се нарича още свеждане до абсурд. Неговото съществено свойство е аргументът, че третото не съществува, т.е. че освен мнението, чиято валидност трябва да се докаже, и второто, противоположно на него, което служи като отправна точка на доказателството, няма трети факт е позволено. Следователно косвените доказателства идват от факт, който отрича твърдението, чиято валидност трябва да бъде доказана.

Примери

Вижте също

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "Методът чрез противоречие" в други речници:

В математиката методът на безкрайно спускане е доказателство от противно, основано на факта, че наборът от естествени числа е добре подреден. Често методът на безкрайно спускане се използва, за да се докаже, че някои ... ... Wikipedia

Метод на доказателство, използван от древните математици за намиране на площи и обеми. Наименованието "метод на изчерпване" е въведено през 17 век. Типична доказателствена схема, използваща I. m., може да бъде представена в съвременния ... ... Велика съветска енциклопедия

Метод на доказателство, използван от древните математици за намиране на площи и обеми. Име методът на изчерпване е въведен през 17 век. Типична доказателствена схема, използваща I. m., може да бъде заявена в съвременна нотация, както следва: за ... ... Математическа енциклопедия

В тази статия липсват връзки към източници на информация. Информацията трябва да може да се провери, в противен случай може да бъде поставена под съмнение и премахната. Можете да ... Уикипедия

- „БИТИЕ И ВРЕМЕ“ („Sein und Zeit“, 1927) Основното произведение на Хайдегер. Традиционно се смята, че създаването на B.i.V. е повлияно от две книги: „Смисълът на битието според Аристотел“ на Брентано и „Логически изследвания“ на Хусерл. Първият от тях…… История на философията: Енциклопедия

- (от къснолатински intuitio, от латински intueor гледам отблизо) посока в обосновката на математиката и логиката, според която крайният критерий за приемливостта на методите и резултатите от тези науки е визуално значимата интуиция. Цялата математика... Философска енциклопедия

Математиката обикновено се определя чрез изброяване на имената на някои от нейните традиционни клонове. На първо място, това е аритметиката, която се занимава с изучаването на числата, връзките между тях и правилата за работа с числа. Фактите на аритметиката допускат различни ... ... Енциклопедия на Collier

Термин, който преди това обединяваше различни раздели на математиката. анализ, свързан с концепцията за безкрайно малка функция. Въпреки че методът на безкрайно малките (под една или друга форма) е успешно прилаган от учените Древна Гърцияи средновековна Европаза решения.... Математическа енциклопедия

- (от лат. absurdus смешен, глупав) абсурд, противоречие. В логиката А. обикновено се разбира като противоречив израз. В такъв израз нещо се утвърждава и отрича едновременно, както например в твърдението „Суетата съществува и суета ... ... Философска енциклопедия

Доказателството чрез противоречие е мощен и често използван метод в математиката. Ако приемем, че някакъв факт (обектът) е верен (съществува) и стигайки до противоречие, заключаваме, че фактът е неверен (обектът не съществува). Нека да разгледаме няколко примера.

Теорема на Евклидза безкрайността прости числае класическият и най-прост аргумент от противоречие:

Няма най-голямо просто число.

: Да предположим, че не е и съществува най-голямото просто число. Нека изградим число. Не се дели на никое или повече от . Стигнахме до противоречие, следователно най-голямото просто число (като обект!) не съществува и има безкрайно много прости числа.

Обърнете внимание, че не е непременно просто, тъй като неговият прост множител може да бъде между и , но пак ще бъде голям.

Ирационална теорема

Няма естествени и , такива, че .

О: Нека не. Съкращаваме общите множители y , , и повдигаме всичко на квадрат: . От това следва, че е четно число, следователно също е дори и може да бъде представено с помощта на някои естествени , Като . Замествайки в първоначалната връзка, получаваме , и следователно, дори. Но това противоречи на факта, че сме намалили всички общи фактори, което означава, че няма такива.

Психологическата достоверност и на двете доказателства е неоспорима. Трябва обаче да се помни, че след като получихме противоречие, не винаги го доказваме искамдокажи. Противоречието не означава непременно погрешността на първоначалната предпоставка. Може да бъде дадено от всяко от твърденията, използвани в доказателството. Особено много от тях има в теоремата за ирационалността. Те обаче са толкова „очевидни“, че смятаме първоначалната предпоставка за погрешна.

Вижда се, че схемата за доказателство на горните теореми е една и съща. Ние показваме, че даден обект не съществува, ако предположението за неговото съществуване води до противоречие.

Проблем с бръснаря. В едно село всички мъже се бръснат сами или от бръснар. Бръснар (мъж) бръсне само тези, които не се бръснат сами. Нека формулираме теоремата:

Бръснарят се бръсне сам.

Нека не е така и бръснарят не се бръсне сам. След това трябва да се обръсне при бръснаря. Така че бръснарят се бръсне сам.

След като направихме отрицанието на теоремата и получихме противоречие, трябва да стигнем до извода, че теоремата е вярна. Но е съвсем ясно, че това не е така и можем да изградим не само обратно доказателство, но и пряко: "ако бръснарят се обръсне сам, тогава той не може да се обръсне при бръснаря ...". В този случай отново получаваме противоречие.

Горното описание на селото стриктни правилапринадлежи на Бъртран Ръсел като популярна формулировка на проблемите, които възникват при опитите да се дефинирам„съвкупността от всички тези множества, които не съдържат себе си като свой елемент“. Умишлено представихме ясен парадокс под формата на теорема, за да демонстрираме един прост факт:

Получаването на противоречие в доказателството от противното може да не показва истинността на теоремата, а несъответствието на обектите, които участват в нейната формулировка.

С други думи, не може да се каже: "да вземем множеството от всички множества..." и да се докаже "теорема, че..." Първо, трябва да се уверите, че обектът, който ще бъде обсъден в теоремата, съществува. В частност селото, описано от Ръсел, не може да съществува. Разбира се, възниква въпросът - "какво означава да съществуваш или да не съществуваш и къде да не съществуваш?" Има обект, дефиниран по-горе, и можем да го използваме, когато конструираме нови обекти и теореми за тях...

Факт е, че математическите разсъждения изрично или имплицитно изхождат от определени аксиоми. Именно аксиомите определят свойствата на даден обект. Ако се промени поне една аксиома във фиксирана система от аксиоми, може да се получи обект с напълно различни свойства. Ясно е, че е невъзможно да се задават произволни аксиоми. Те не трябва да бъдат противоречиви, в противен случай няма да бъде дефиниран обект. Или, с други думи, обект, дефиниран от противоречиви аксиоми, не съществува.

Обсъждаме елементите на формалните аксиоматични системи по-подробно в следващия раздел, където отново анализираме проблема с бръснаря. Сега разгледайте друга версия на същия парадокс.

Проблемът с библиотекаря. Има библиотека с книги. Всяка книга в своя текст може да споменава себе си (например да даде името си в списъка с препратки). Съответно всички книги могат да бъдат разделени на две групи. Първият включва книги, които не се отнасят за себе си, а вторият включва книги, които се отнасят за себе си. Освен това има две книги, които са каталози на всички книги в библиотеката. Първата директория изброява всички онези книги, които не се отнасят за себе си, а втората, напротив, изброява всички книги, които се отнасят до себе си:

Сега формулираме теоремата:

Първата директория съдържа

в самия списък с книги.

Нека не е така. Тогава първата директория се съдържа във втората (всички книги са изброени и в двете директории и директорията е книга). Но втората директория изброява само самореферентни книги, а първата директория не може да бъде там. Стигнахме до противоречие, следователно теоремата е вярна.

Ако спрем на този етап, ще получим съзнателно грешен извод. Ясно е, че първата директория не може да препраща към себе си (това е директория на книги, които не се самореферират). Както в случая с бръснаря, можем да проведем както обратно доказателство (от противно), така и директно. И двата пъти получаваме противоречие.

Какво пише? Ясно е, че не за истинността или неистинността на теоремата. вярвайки, че две различни доказателстватрябва винаги да води до едно и също нещо, ние сме принудени да заключим: Библиотечен обект, с дадени свойства, не може да съществува.

Всяко позоваване на "естествеността" или "привидната непротиворечивост" на оригиналните определения не е достойно за математик, тъй като това вече са емоции. Единственият начин е да се опитаме да избягаме от психологическите формулировки и доказателства към формалните.

Парадокс на лъжеца. Цялата математика се състои от логически твърдения. В същото време логиката на математиката е бинарна. Твърдението "" е вярно или невярно. Трети няма. Именно тази бинарност дава математическо доказателствоонази прекрасна убедителност, в името на която беше започнато всичко. Нека въведем обозначението, че определено логическо твърдение е вярно:

.

Всъщност обозначението е излишно, тъй като записвайки някое твърдение като аксиома или предпоставка, ние приемаме неговата истинност. Въпреки това, такава нотация ще бъде удобна за това, което следва. Да дефинирамеказвайки:

където "" е логически знак за отрицание и след двоеточието идва определениетвърдения. Това е вариант на парадокса на лъжеца: „е вярно, ако не е вярно“. Формулираме следната теорема:

Твърдението L е вярно: L=И.

нека L=L => True(L)=L => L=True(L)=I.

(По-нататък "" означава логично заключение; "И" - вярно, "Л" - невярно). При доказателството от противно сме стигнали до противоречие. Следователно първоначалната предпоставка не е вярна и следователно теоремата е вярна. Ясно е обаче, че това не е така. Можем също да извършим доказателството в посока напред.