1-й і 2-й чудові межі. Друга чудова межа: приклади знаходження, завдання та докладні рішення

Першим чудовим межею називають таку рівність:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Так як при $ \ alpha \ to (0) $ маємо $ \ sin \ alpha \ to (0) $, то кажуть, що перший чудова межарозкриває невизначеність типу $\frac(0)(0)$. Взагалі кажучи, у формулі (1) замість змінної $\alpha$ під знаком синуса і в знаменнику може бути розташоване будь-яке вираження, - аби виконувалися дві умови:

1. Висловлювання під знаком синуса й у знаменнику одночасно прагнуть нуля, тобто. є невизначеність виду $\frac(0)(0)$.
2. Вирази під знаком синуса і знаменнику збігаються.

Часто використовуються також наслідки з першої чудової межі:

\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

На цій сторінці вирішено одинадцять прикладів. Приклад №1 присвячений доказу формул (2)-(4). Приклади №2, №3, №4 та №5 містять рішення з докладними коментарями. Приклади №6-10 містять рішення практично без коментарів, бо докладні пояснення було надано у попередніх прикладах. При вирішенні використовуються деякі тригонометричні формули, які можна знайти.

Зауважу, що наявність тригонометричних функцій разом з невизначеністю $\frac(0)(0)$ ще не означає обов'язкового застосування першої чудової межі. Іноді буває досить простих тригонометричних перетворень, наприклад, див.

Приклад №1

Довести, що $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha )(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

а) Так як $ \ tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha) $, то:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Оскільки $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ і $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , то:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

б) Зробимо заміну $ \ alpha = \ sin (y) $. Оскільки $\sin(0)=0$, то з умови $\alpha\to(0)$ маємо $y\to(0)$. Крім того, існує околиця нуля, в якій $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, тому:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Рівність $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ доведено.

в) Зробимо заміну $ alpha = tg (y) $. Оскільки $\tg(0)=0$, то умови $\alpha\to(0)$ і $y\to(0)$ еквівалентні. Крім того, існує околиця нуля, в якій $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, тому, спираючись на результати пункту а), матимемо:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Рівність $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ доведено.

Рівності а), б), в) часто використовуються поряд із першою чудовою межею.

Приклад №2

Обчислити межу $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Оскільки $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ і $\lim_( x\to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, тобто. і чисельник і знаменник дробу одночасно прагнуть нулю, то тут маємо справу з невизначеністю виду $\frac(0)(0)$, тобто. виконано. Крім того, видно, що вирази під знаком синуса і в знаменнику збігаються (тобто виконано і):

Отже, обидві умови, перелічені на початку сторінки, виконані. На цьому випливає, що застосовна формула , тобто. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7)) = 1 $.

Відповідь: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7)) = 1 $.

Приклад №3

Знайти $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Оскільки $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ і $\lim_(x\to(0))x=0$, ми маємо справу з невизначеністю виду $\frac(0 ) (0) $, тобто. виконано. Проте вирази під знаком синуса і знаменнику не збігаються. Тут потрібно підігнати вираз у знаменнику під необхідну форму. Нам необхідно, щоб у знаменнику розташувався вираз $9x$ - тоді стане істинним. По суті, нам не вистачає множника $9$ у знаменнику, який не так вже й складно ввести, - просто домножити вираз у знаменнику на $9$. Природно, що для компенсації домноження на $9$ доведеться відразу на $9$ і розділити:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

Тепер вирази у знаменнику та під знаком синуса збіглися. Обидві умови для межі $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ виконані. Отже, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. А це означає, що:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9cdot(1)=9. $$

Відповідь: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Приклад №4

Знайти $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Оскільки $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ і $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, то тут ми маємо справу з невизначеністю виду $\frac(0)(0)$. Однак форма першої чудової межі порушена. Чисельник, що містить $\sin(5x)$, вимагає наявності у знаменнику $5x$. У цій ситуації найпростіше розділити чисельник на $5x$, - і відразу на $5x$ домножити. Крім того, проробимо аналогічну операцію і зі знаменником, домноживши та розділивши $\tg(8x)$ на $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Скорочуючи на $x$ і виносячи константу $\frac(5)(8)$ за знак межі, отримаємо:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Зверніть увагу, що $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ повністю задовольняє вимогам для першої чудової межі. Для відшукання $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ застосовна формула :

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Відповідь: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Приклад №5

Знайти $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Оскільки $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (нагадаю, що $\cos(0)=1$) і $\lim_(x\to(0))x^2=0$, ми маємо справу з невизначеністю виду $\frac(0)(0)$. Однак, щоб застосувати першу чудову межу, слід позбутися косинуса в чисельнику, перейшовши до синусів (щоб потім застосувати формулу) або тангенсів (щоб потім застосувати формулу). Зробити це можна таким перетворенням:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Повернемося до межі:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

Дроб $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ вже близька до тієї форми, що потрібно для першої чудової межі. Трохи попрацюємо з дробом $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, підганяючи її під першу чудову межу (врахуйте, що вирази в чисельнику і під синусом повинні збігтися):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Повернемося до межі:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\=25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1 ^ 2) = 25. $$

Відповідь: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Приклад №6

Знайти межу $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Оскільки $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ і $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, ми маємо справу з невизначеністю $\frac(0)(0)$. Розкриємо її за допомогою першої чудової межі. Для цього перейдемо від косинусів до синусів. Оскільки $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, то:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Переходячи в заданій межі до синусів, матимемо:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\) frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Відповідь: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Приклад №7

Обчислити межу $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ за умови $\alpha\neq\ beta $.

Детальні пояснення були дані раніше, тут просто відзначимо, що знову є невизначеність $\frac(0)(0)$. Перейдемо від косинусів до синусів, використовуючи формулу

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Використовуючи вказану формулу, отримаємо:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0) \right| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\=-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\=-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Відповідь: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alpha^2) (2) $.

Приклад №8

Знайти межу $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Оскільки $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (нагадаю, що $\sin(0)=\tg(0)=0$) і $\lim_(x\to(0))x^3=0$, то тут ми маємо справу з невизначеністю виду $\frac(0)(0)$. Розкриємо її так:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) = frac(1)(2). $$

Відповідь: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Приклад №9

Знайти межу $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Оскільки $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ і $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x -3) (2) = 0 $, то є невизначеність виду $ \ frac (0) (0) $. Перед тим, як переходити до її розкриття, зручно зробити заміну змінною таким чином, щоб нова змінна прямувала до нуля (зверніть увагу, що у формулах змінна $\alpha\to 0$). Найпростіше ввести змінну $t=x-3$. Однак задля зручності подальших перетворень (цю вигоду можна помітити під час наведеного нижче рішення) варто зробити таку заміну: $t=\frac(x-3)(2)$. Зазначу, що обидві заміни застосовні в даному випадку, просто друга заміна дозволить менше працювати з дробами. Оскільки $x\to(3)$, то $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Відповідь: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Приклад №10

Знайти межу $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2 ) $.

Знову маємо справу з невизначеністю $\frac(0)(0)$. Перед тим, як переходити до її розкриття, зручно зробити заміну змінною таким чином, щоб нова змінна прямувала до нуля (зверніть увагу, що у формулах змінна $\alpha\to(0)$). Найпростіше ввести змінну $t=\frac(\pi)(2)-x$. Оскільки $x\to\frac(\pi)(2)$, то $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) = frac(1)(2). $$

Відповідь: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) = frac (1) (2) $.

Приклад №11

Знайти межі $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

У цьому випадку нам не доведеться використовувати першу чудову межу. Зверніть увагу: як у першому, так і в другому межах присутні лише тригонометричні функції та числа. Найчастіше в таких прикладах вдається спростити вираз, розташоване під знаком межі. При цьому після згаданого спрощення та скорочення деяких співмножників невизначеність зникає. Я навів цей приклад лише з однією метою: показати, що наявність тригонометричних функцій під знаком межі зовсім не обов'язково означає застосування першої чудової межі.

Оскільки $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (нагадаю, що $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) і $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (нагадаю, що $\cos\frac(\pi)(2)=0$), то ми маємо справу з невизначеністю виду $ frac (0) (0) $. Однак це зовсім не означає, що нам потрібно використовувати першу чудову межу. Для розкриття невизначеності досить врахувати, що $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) = frac(1)(1+1) = frac(1)(2). $$

Аналогічний спосіб рішення є й у ґраті Демидовича (№475). Що ж до другої межі, те як і попередніх прикладах цього розділу, ми маємо невизначеність виду $\frac(0)(0)$. Чому вона виникає? Вона виникає тому, що $ \ tg \ frac (2 \ pi) (3) = - \ sqrt (3) $ і $ 2 \ cos \ frac (2 \ pi) (3) = -1 $. Використовуємо ці значення з метою перетворення виразів у чисельнику та у знаменнику. Мета наших дій: записати суму в чисельнику та знаменнику у вигляді твору. До речі, часто в межах аналогічного виду зручна заміна змінної, зроблена з таким розрахунком, щоб нова змінна прямувала до нуля (див., наприклад, приклади №9 або №10 на цій сторінці). Однак у даному прикладі в заміні сенсу немає, хоча за бажання заміну змінної $t=x-\frac(2\pi)(3)$ нескладно здійснити.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\) cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

Як бачите, нам не довелося застосовувати першу чудову межу. Звичайно, за бажання це можна зробити (див. примітку нижче), але потреби в цьому немає.

Яким буде рішення з використанням першої чудової межі? показати\сховати

При використанні першої чудової межі отримаємо:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-frac(2\pi)(3)\) right))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1cdot(1)cdotfrac(1)(-2cdotfrac(sqrt(3)) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Відповідь: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.

Знайти чудові межіважко не лише багатьом студентам першого, другого курсу навчання, які вивчають теорію меж, а й деяким викладачам.

Формула першої чудової межі

Наслідки першої чудової межі запишемо формулами
1. 2. 3. 4. Але власними силами загальні формули чудових меж нікому на іспиті чи тесті не допомагають. Суть у тому, що реальні завдання побудовані так що до вищезаписаних формул потрібно ще прийти. І більшість студентів, які пропускають пари, заочно вивчають цей курс або мають викладачів, які самі не завжди розуміють, про що пояснюють, не можуть вирахувати найелементарніших прикладів на чудові межі. З формул першої чудової межі бачимо, що з їхньою допомогою можна дослідити невизначеності типу нуль розділити на нуль для виразів із тригонометричними функціями. Розглянемо спочатку ряд прикладів на першу чудову межу, а потім вивчимо другу чудову межу.

Приклад 1. Знайти межу функції sin(7*x)/(5*x)
Рішення: Як бачите функція під межею близька до першої чудової межі, але сама межа функції точно не дорівнює одиниці. У таких завданнях на межі слід у знаменнику виділити змінну з таким самим коефіцієнтом, який міститься при змінній під синусом. У цьому випадку слід розділити та помножити на 7

Деяким така деталізація здасться зайвою, але більшості студентів, яким важко даються межі, допоможе краще зрозуміти правила і засвоїти теоретичний матеріал.
Також, якщо є зворотний виглядфункції - це також перша чудова межа. А все тому, що чудова межа дорівнює одиниці

Це правило стосується і наслідків 1 чудової межі. Тому якщо Вас запитають "Чому дорівнює перша чудова межа?" Ви без вагань повинні відповісти, що це одиниця.

Приклад 2. Знайти межу функції sin(6x)/tan(11x)
Рішення: Для розуміння кінцевого результату розпишемо функцію у вигляді

Щоб застосувати правила чудової межі помножимо та розділимо на множники

Далі межу добутку функцій розпишемо через добуток меж

Без складних формул ми виявили межу частки тригонометричних функцій. Для засвоєння простих формулспробуйте придумати і знайти межу на 2 та 4 формулу слідства 1 чудової межі. Ми розглянемо складніші завдання.

Приклад 3. Обчислити межу (1-cos(x))/x^2
Рішення: Під час перевірки підстановкою отримаємо невизначеність 0/0 . Багатьом невідомо, як звести такий приклад до 1 чудової межі. Тут слід використовувати тригонометричну формулу

При цьому межа перетвориться на зрозумілий вигляд

Нам удалося звести функцію до квадрата чудової межі.

Приклад 4. Знайти межу
Рішення: При підстановці отримаємо знайому особливість 0/0. Однак змінна прагне Pi, а не нуля. Тому для застосування першої чудової межі виконаємо таку заміну змінної х, щоб нова змінна прямувала до нуля. Для цього знаменник позначимо за нову змінну Pi-x=y

Таким чином, використавши тригонометричну формулу, яка наведена в попередньому завданні, приклад зведений до 1 чудової межі.

Приклад 5. Обчислити межу
Рішення: Спочатку неясно, як спростити межі. Але якщо є приклад, то має бути і відповідь. Те, що змінна прямує до одиниці, дає при підстановці особливість виду нуль помножити на нескінченність, тому тангенс потрібно замінити за формулою.

Після цього отримаємо необхідність 0/0. Далі виконуємо заміну змінних у межі, і використовуємо періодичність котангенсу

Останні заміни дозволяють використовувати наслідок 1 чудової межі.

Друга чудова межа дорівнює експоненту

Це класика до якої реальних завданнях межі який завжди легко прийти.
У обчисленнях Вам знадобляться межі - наслідки другої чудової межі:
1. 2. 3. 4.
Завдяки другій чудовій межі та її наслідків можна дослідити невизначеності типу нуль розділити на нуль, одиниця в ступеня нескінченність, і нескінченність розділити на нескінченність, та ще й у такому ж ступені

Почнемо для ознайомлення з простих прикладів.

Приклад 6. Знайти межу функції
Рішення: Безпосередньо застосувати 2 чудові межі не вийде. Спочатку слід перетворити показник, щоб він мав вигляд зворотний до доданку в дужках

Це і є техніка зведення до 2 чудової межі та по суті - виведення 2 формули слідства межі.

Приклад 7. Знайти межу функції
Рішення: Маємо завдання на 3 формулу слідства 2 чудової межі. Підстановка нуля дає особливість 0/0. Для зведення межі під правило перетворимо знаменник, щоб при змінній був той самий коефіцієнт що і на логарифм

Це також легко зрозуміти та виконати на іспиті. Труднощі у студентів при обчисленні меж починаються з наступних завдань.

Приклад 8. Обчислити межу функції[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Рішення: Маємо особливість типу 1 ступеня нескінченність. Якщо не вірите, можете скрізь замість "ікс" підставити нескінченність і переконатись у цьому. Для зведення під правило поділимо в дужках чисельник на знаменник, для цього заздалегідь виконаємо маніпуляції

Підставимо вираз у межу і перетворимо до 2 чудової межі

Межа дорівнює експоненті 10 ступеня. Константи, які є доданками при змінній як у дужках так і ступеня ніякої "погоди" не вносять - слід пам'ятати. А якщо Вас спитають викладачі - "Чому не перетворюєте показник?" (Для цього прикладу в x-3), то скажіть що "Коли змінна прагне до нескінченності то до неї хоч додай 100 хоч забирай 1000, а межа залишиться такою як і був!".
Існує і другий спосіб обчислювати межі такого типу. Про нього розповімо у наступному завданні.

Приклад 9. Знайти межу
Рішення: Тепер винесемо змінну в чисельнику і знаменнику і перетворимо особливість на іншу. Для отримання кінцевого значення використовуємо формулу слідства 2 чудової межі

приклад 10. Знайти межу функції
Рішення: Задана межазнайти під силу не кожному. Для зведення під 2 межу уявімо, що sin (3x) це змінна, а потрібно перетворити показник

Далі показник запишемо як ступінь ступеня


У дужках описані проміжні міркування. В результаті використання першої та другої чудової межі отримали експоненту в кубі.

Приклад 11. Обчислити межу функції sin(2*x)/ln(3*x+1)
Рішення: Маємо невизначеність 0/0. Крім цього бачимо, що функцію слід перетворювати на використання обох чудових меж. Виконаємо попередні математичні перетворення

Далі легко межа прийме значення

Ось так вільно Ви почуватиметеся на контрольних роботах, тестах, модулях, якщо навчитеся швидко розписувати функції і зводити під першу чи другу чудову межу. Якщо завчити наведені методики знаходження меж Вам важко, завжди можете замовити контрольну роботуна межі у нас.
Для цього заповніть форму, вкажіть дані та вкладіть файл із прикладами. Ми допомогли багатьом студентам – зможемо допомогти і Вам!

Термін "чудова межа" широко використовується в підручниках та методичних посібникахдля позначення важливих тотожностей, які допомагають суттєво спростити роботуза знаходженням меж.

Але щоб зуміти навестисвою межу до чудового, потрібно до нього гарненько придивитися, адже вони зустрічаються не в прямому вигляді, а часто у вигляді наслідків, забезпечені додатковими доданками та множниками. Втім, спочатку теорія, потім приклади і все у вас вийде!

Перша чудова межа

Сподобалось? Додати до закладок

Перша чудова межа записується так (невизначеність виду $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

Наслідки з першої чудової межі

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

Приклади рішень: 1 чудова межа

приклад 1. Обчислити межу $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

Рішення.Перший крок завжди однаковий - підставляємо граничне значення $x=0$ у функцію та отримуємо:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Набули невизначеності виду $\left[\frac(0)(0)\right]$, яку слід розкрити. Якщо подивитися уважно, вихідна межа дуже схожа на першу чудову, але не збігається з нею. Наше завдання – довести до схожості. Перетворюємо так - дивимося на вираз під синусом, робимо таке ж у знаменнику (умовно кажучи, помножили та поділили на $3x$), далі скорочуємо та спрощуємо:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

Вище якраз і вийшла перша чудова межа: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text( зробили умовну заміну) y=3x. $$ Відповідь: $3/8$.

приклад 2. Обчислити межу $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

Рішення.Підставляємо граничне значення $x=0$ у функцію та отримуємо:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$

Набули невизначеності виду $\left[\frac(0)(0)\right]$. Перетворимо межу, використовуючи у спрощенні першу чудову межу (тричі!):

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

Відповідь: $9/16$.

приклад 3. Знайти межу $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

Рішення.А якщо під тригонометричною функцією складний вираз? Чи не біда, і тут діємо аналогічно. Спочатку перевіримо тип невизначеності, підставляємо $x=0$ у функцію та отримуємо:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Набули невизначеності виду $\left[\frac(0)(0)\right]$. Помножимо і поділимо на $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$

Знову набули невизначеності, але в цьому випадку це просто дріб. Скоротимо на $x$ чисельник і знаменник:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$

Відповідь: $3/5$.

Друга чудова межа

Друга чудова межа записується так (невизначеність виду $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(або) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$

Наслідки другої чудової межі

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

Приклади рішень: 2 чудова межа

приклад 4. Знайти межу $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

Рішення.Перевіримо тип невизначеності, підставляємо $x=\infty$ у функцію та отримуємо:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

Набули невизначеності виду $\left$. Межу можна звести до другого чудового. Перетворюємо:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

Вираз у дужках фактично і є другою чудовою межею $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, тільки $t=- 3x/2$, тому

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

Відповідь:$e^(-2/3)$.

Приклад 5. Знайти межу $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$$

Рішення.Підставляємо $x=\infty$ у функцію та отримуємо невизначеність виду $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. А нам потрібно $ \ left $. Тому почнемо з перетворення виразу у дужках:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\right)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

Вираз у дужках фактично і є другою чудовою межею $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, тільки $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, тому

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Ця стаття: «Друга чудова межа» присвячена розкриттю в межах невизначеностей виду:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ і $^\infty $.

Так само такі невизначеності можна розкривати за допомогою логарифмування показово-ступеневої функції, але це вже інший метод рішення, про який буде висвітлено в іншій статті.

Формула та наслідки

Формуладругої чудової межі записується наступним чином: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( де ) e \approx 2.718 $$

З формули випливають слідства, які дуже зручно застосовувати для вирішення прикладів з межами: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( де ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Варто зауважити, що друга чудова межа можна застосовувати не завжди до показово-ступеневої функції, а лише у випадках коли основа прагне одиниці. Для цього спочатку в розумі обчислюють межу основи, а потім роблять висновки. Все це буде розглянуто у прикладах рішень.

Приклади рішень

Розглянемо приклади рішень із використанням прямої формули та її наслідків. Також розберемо випадки, у яких формула не потрібна. Достатньо записати лише готову відповідь.

Приклад 1

Знайти межу $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

Рішення

Підставимо нескінченність у межу і подивимося на невизначеність: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg(\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Знайдемо межу основи: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac(4)( x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Отримали підставу рівну одиниці, а це вже можна застосувати другий чудовий кордон. Для цього підганим основу функції під формулу шляхом віднімання та додавання одиниці: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Дивимося на друге слідство та записуємо відповідь: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача!

Відповідь

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

Приклад 4

Вирішити межу $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

Рішення

Знаходимо межу основи і бачимо, що $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, отже можна застосувати другу чудову межу. Стандартно за планом додаємо та віднімаємо одиницю з основи ступеня: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Підганяємо дріб під формулу 2-го зауваж. межі: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Тепер підганяємо ступінь. У ступеня має бути дріб рівний знаменнику основи $ \frac(3x^2-2)(6) $. Для цього помножимо та розділимо ступінь на неї, і продовжимо вирішувати: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ Межа, розташована в ступені при $ e $ дорівнює: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0$. Тому продовжуючи рішення маємо:

Відповідь

$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

Розберемо випадки, коли завдання схоже на другу чудову межу, але вирішується без неї.

У статті: «Друга чудова межа: приклади рішень» було розібрано формулу, її наслідки та наведено часті типи завдань на цю тему.

Доведення:

Доведемо спочатку теорему для випадку послідовності

За формулою бінома Ньютона:

Вважаючи отримаємо

З цієї рівності (1) випливає, що зі збільшенням n число позитивних доданків у правій частині збільшується. Крім того, при збільшенні n число зменшується, тому величини зростають. Тому послідовність зростаюча, при цьому (2)*Покажемо, що вона обмежена. Замінимо кожну дужку у правій частині рівності на одиницю, права частиназбільшиться, отримаємо нерівність

Посилимо отриману нерівність, замінимо 3,4,5, …, що стоять у знаменниках дробів, числом 2: Суму в дужці знайдемо за формулою суми членів геометричній прогресії: Тому (3)*

Отже, послідовність обмежена зверху, при цьому виконуються нерівності (2) та (3): Отже, виходячи з теореми Вейерштрасса (критерій збіжності послідовності) послідовність монотонно зростає і обмежена, отже має межу, що позначається буквою e. Тобто.

Знаючи, що друга чудова межа вірна для натуральних значень x, доведемо другу чудову межу для речовинних x, тобто доведемо, що . Розглянемо два випадки:

1. Нехай Кожне значення x укладено між двома позитивними цілими числами: де - це ціла частина x. => =>

Якщо , то Тому, відповідно до межі Маємо

За ознакою (про межу проміжної функції) існування меж

2. Нехай. Зробимо підстановку − x = t, тоді

Із двох цих випадків випливає, що для речового x.

Наслідки:

9 .) Порівняння нескінченно малих. Теорема про заміну нескінченно малих на еквівалентні в межі та теорема про головну частину нескінченно малих.

Нехай функції a ( x) та b( x) - Б.М. при x ® x 0 .

ВИЗНАЧЕННЯ.

1) a( x) називається нескінченно малої більше високого порядкучим b (x) якщо

Записують: a ( x) = o(b( x)) .

2) a( x) і b( x)називаються нескінченно малими одного порядку, якщо

де СÎℝ та C¹ 0 .

Записують: a ( x) = O(b( x)) .

3) a( x) і b( x) називаються еквівалентними , якщо

Записують: a ( x) ~ b ( x).

4) a( x) називається нескінченно малою порядку k відноси-
дуже нескінченно малої b( x), якщо нескінченно малі a( x)і(b( x)) k мають одне порядок, тобто. якщо

де СÎℝ та C¹ 0 .

ТЕОРЕМА 6 (про заміну нескінченно малих на еквівалентні).

Нехай a( x), b( x), a 1 ( x), b 1 ( x)- Б.М. при x ® x 0 . Якщо a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

то

Доказ: Нехай a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x)тоді

ТЕОРЕМА 7 (про головну частину нескінченно малої).

Нехай a( x)і b( x)- Б.М. при x ® x 0 , причому b( x)- Б.М. вищого порядку ніж a( x).

= , a оскільки b( x) - вищого порядку ніж a ( x), то, тобто. з ясно, що a( x) + b( x) ~ a ( x)

10) Безперервність функції у точці (мовою меж эпсилон-дельта, геометричне) Одностороння безперервність. Безперервність на інтервалі, відрізку. Властивості безперервних функцій.

1. Основні визначення

Нехай f(x) визначена в деякій околиці точки x 0 .

ВИЗНАЧЕННЯ 1. Функція f(x) називається безперервний у точці x 0 якщо справедлива рівність

Зауваження.

1) У силу теореми 5 §3 рівність (1) можна записати у вигляді

Умова (2) – визначення безперервності функції у точці мовою односторонніх меж.

2) Рівність (1) можна також записати у вигляді:

Кажуть: «якщо функція безперервна у точці x 0 то знак межі і функцію можна поміняти місцями ».

ВИЗНАЧЕННЯ 2 (мовою e-d).

Функція f(x) називається безперервний у точці x 0 якщо"e>0 $d>0 таке, що

якщо xÎU( x 0, d) (тобто. | x – x 0 | < d),

то f(x)ÎU( f(x 0), e) (тобто | | f(x) – f(x 0) | < e).

Нехай x, x 0 Î D(f) (x 0 – фіксована, x –довільна)

Позначимо: D x= x – x 0 – приріст аргументу

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – збільшення функції в точціx 0

ВИЗНАЧЕННЯ 3 (геометричне).

Функція f(x) на зується безперервний у точці x 0 якщо в цій точці нескінченно малому прирощенню аргументу відповідає нескінченно мале збільшення функції, тобто.

Нехай функція f(x) визначено на проміжку [ x 0 ; x 0 + d) (на проміжку ( x 0 – d; x 0 ]).

ВИЗНАЧЕННЯ. Функція f(x) називається безперервний у точці x 0 справа (ліворуч ), якщо справедлива рівність

Очевидно, що f(x) безперервна в точці x 0 Û f(x) безперервна в точці x 0 праворуч та ліворуч.

ВИЗНАЧЕННЯ. Функція f(x) називається безперервний на інтервал е ( a; b) якщо вона безперервна в кожній точці цього інтервалу.

Функція f(x) називається безперервною на відрізку [a; b] якщо вона безперервна на інтервалі (a; b) і має односторонню безперервність у граничних точках(Тобто безперервна в точці aправоруч, у точці b- ліворуч).

11) Точки розриву, їхня класифікація

ВИЗНАЧЕННЯ. Якщо функція f(x) визначена в деякій околиці точки x 0 , але не є безперервною в цій точці, то f(x) називають розривною в точці x 0 , а саму точку x 0 називають точкою розриву функції f(x) .

Зауваження.

1) f(x) може бути визначена в неповній околиці точки x 0 .

Тоді розглядають відповідну односторонню безперервність функції.

2) З визначення Þ точка x 0 є точкою розриву функції f(x) у двох випадках:

а) U( x 0 , d)Î D(f) , але для f(x) не виконується рівність

б) U * ( x 0 , d)Î D(f) .

Для елементарних функцій можливе лише випадок б).

Нехай x 0 – точка розриву функції f(x) .

ВИЗНАЧЕННЯ. Крапка x 0 називається точкою розриву I роду якщо функція f(x)має в цій точці кінцеві межі зліва та справа.

Якщо при цьому ці межі дорівнюють, то точка x 0 називається точкою усуненого розриву , в іншому випадку - точкою стрибка .

ВИЗНАЧЕННЯ. Крапка x 0 називається точкою розриву II роду якщо хоча б одна з односторонніх меж функції f(x)у цій точці дорівнює¥ чи не існує.

12) Властивості функцій, безперервних на відрізку (теореми Вейєрштрасса (без док-ва) та Коші

Теорема Вейєрштраса

Нехай функція f(x) безперервна на відрізку тоді

1)f(x)обмежена на

2)f(x) приймає на проміжку своє найменше і найбільше значення

Визначення: Значення функції m=f називається найменшим, якщо m≤f(x) для будь-якого x€ D(f).

Значення функції m=f називається найбільшим, якщо m≥f(x) для будь-якого x€ D(f).

Найменше\найбільше значення функція може приймати у кількох точках відрізка.

f(x 3)=f(x 4)=max

Теорема Коші.

Нехай функція f(x) безперервна на відрізку і х – число, укладене між f(a) та f(b), тоді існує хоча б одна точка х 0 € така, що f(x 0) = g