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मास्को अकादमी। एस.यू. विट्टे

अर्थशास्त्र संकाय

परीक्षण

काम पूरा हो गया है:

प्रथम वर्ष का छात्र,

दूर - शिक्षण

विसलियावा एम.एन.

मास्को शहर

एक नियंत्रण कार्य करते समय, आपको एक द्वितीयक पुनर्समूहन करना चाहिए नहीं जटिल उदाहरण(स्वयं एक उदाहरण चुनें) और समझाएं कि इस तरह की पुनर्गणना कैसे और किन परिस्थितियों में मान्य है। कंप्यूटर प्रोग्राम और अधिक जटिल उदाहरण का उपयोग करते समय, आईटी के उपयोग के प्रभाव और विशेषताओं को भी इंगित करें।

सत्रीय कार्य के अपने लिखित उत्तर में, आपको यह करना होगा:

1. प्रसरणों को जोड़ने के सूत्र और सहसंबंध अनुपात के बीच संबंध को स्पष्ट कीजिए, इसका सांख्यिकीय अर्थ स्पष्ट कीजिए।

2. दो भिन्न-भिन्न वितरणों के लिए भिन्न-भिन्न साधनों के साथ भिन्नता की तुलना, जब साधन भिन्न हों तो तुलनीयता की शर्तों की व्याख्या करें।

3. सीमांत त्रुटि के अर्थ की सबसे पूर्ण व्याख्या दें, इसे नमूने की प्रतिनिधित्व की अवधारणा और इसकी आवश्यक मात्रा से जोड़ दें।

4. एलएसएम द्वारा अज्ञात मापदंडों के आकलन और सांख्यिकीय परिकल्पनाओं के परीक्षण के लिए मानदंड द्वारा प्राप्त परिणामों के महत्व के सत्यापन के बीच संबंध की व्याख्या करें।

पहले समूहीकृत आँकड़ों की पुनर्व्यवस्था को द्वितीयक समूहन कहा जाता है। इस पद्धति का उपयोग उन मामलों में किया जाता है, जब प्रारंभिक समूहीकरण के परिणामस्वरूप, अध्ययन की गई जनसंख्या के वितरण की प्रकृति स्पष्ट रूप से प्रकट नहीं हुई थी।

इस मामले में, अंतराल बढ़े या कम हो जाते हैं। साथ ही, द्वितीयक समूहन का उपयोग समूहों को उनकी तुलना करने के लिए विभिन्न अंतरालों पर तुलनीय रूप में लाने के लिए किया जाता है। एक उदाहरण के साथ द्वितीयक समूहन के तरीकों पर विचार करें।

तालिका 1 में डेटा के आधार पर अंतरालों को बड़ा करने के लिए:

तालिका एक

	दुकानों की संख्या

उपरोक्त समूहीकरण पर्याप्त स्पष्ट नहीं है, क्योंकि यह समूहों द्वारा टर्नओवर में परिवर्तन में स्पष्ट और सख्त पैटर्न नहीं दिखाता है।

आइए हम छह समूहों का निर्माण करते हुए वितरण श्रृंखला को संक्षिप्त करें। मूल समूहों के योग से नए समूह बनते हैं (सारणी 2)।

तालिका 2

चौथी तिमाही के लिए कारोबार द्वारा दुकानों के समूह, हजार रूबल	दुकानों की संख्या	चतुर्थ तिमाही के लिए कारोबार, हजार रूबल।	औसतन 1 स्टोर, हजार रूबल के लिए कारोबार।

यह स्पष्ट रूप से देखा गया है कि जितने बड़े स्टोर होंगे, कारोबार का स्तर उतना ही अधिक होगा।

1. विश्लेषणात्मक समूहन द्वारा, आप एक अनुभवजन्य सहसंबंध संबंध का उपयोग करके कनेक्शन को माप सकते हैं। यह सूचक चिह्नित है ग्रीक अक्षरएच (यह एक)। यह विचरण अपघटन नियम पर आधारित है, जिसके अनुसार कुल प्रसरण s2 इंट्राग्रुप और इंटरग्रुप प्रसरणों के योग के बराबर है।

गुण-कारक की सापेक्ष स्थिरता के साथ समूह के भीतर प्रभावी गुण का फैलाव अन्य कारकों के कारण उत्पन्न होता है। इस फैलाव को अवशिष्ट कहा जाता है। यह सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

जहाँ y ij विशेषता y for . का मान है मैं-वें इकाईजे-वें समूह में;

J, j-वें समूह में विशेषता का औसत मान है;

एन जे - संख्या इकाइयाँ j-thसमूह;

जे = 1, 2, 3, ..., यानी।

अलग-अलग समूहों के लिए गणना किए गए भीतर-समूह भिन्नताओं को औसत समूह-भिन्नता में जोड़ दिया जाता है:

अध्ययन के तहत कारक (और इससे जुड़े कारकों) के बीच-समूह विचरण को जिम्मेदार ठहराया जाता है, इसलिए इस विचरण को भाज्य कहा जाता है। यह सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

प्रसरण जोड़ने का नियम लिखा जा सकता है:

प्रयोगसिद्ध सहसंबंध संबंधमापता है कि परिणामी विशेषता के कुल उतार-चढ़ाव का कितना हिस्सा अध्ययन किए गए कारक के कारण होता है। तदनुसार, इसकी गणना कारक विचरण के अनुपात के रूप में की जाती है कुल विचरणप्रभावी संकेत:

यह सूचक अंतराल में मान लेता है: 1 के करीब, रिश्ते के करीब, और इसके विपरीत।

तालिका 3. प्रारंभिक डेटा

तालिका 4. वर्कशीट

औसत कारोबार \u003d? एक्स * एफ / एफ \u003d 17370/51 \u003d 340.58 हजार रूबल।

फैलाव है:

जी2=? एफ*(एक्स-एक्सएवी) 2 /? च = 38682.36/51 = 758.48

औसत मानक विचलन:

भिन्नता का गुणांक है:

वी \u003d जी / एक्सव \u003d 27.54 / 758.48 \u003d 0.081; 8.1%।

भिन्नता का गुणांक 33% से कम है, इसलिए, जनसंख्या सजातीय है।

तालिका 5. प्रारंभिक डेटा

1) कामगारों के लिए कार्यस्थल की यात्रा पर बिताया गया औसत समय = X cf =? एक्सएफ /? एफ = (25*70 + 35*80 + 45*200 + 55*55 + 65*15) / 420 = 41.8 मिनट।

2) विचरण की गणना

फैलाव है:

जी2=? च विचलन:

3) गुणांक * (एक्स-एक्सएवी) 2 /? च = 43160.8 / 420 = 102.8

माध्य वर्ग भिन्नता है:

वी \u003d जी / एक्सएवी \u003d 10.14 / 41.8 \u003d 0.24; 24%

भिन्नता का गुणांक 33% से कम है, इसलिए, माना गया सेट सजातीय है और इसके लिए औसत काफी विशिष्ट है।

नमूना सेट सांख्यिकीय मूल्यों के मात्रात्मक संकेत के साथ-साथ वैकल्पिक या जिम्मेदार आधार पर बनाया जा सकता है। पहले मामले में, नमूने की सामान्यीकरण विशेषता नमूना माध्य मान है, जिसे निरूपित किया जाता है, और दूसरे मामले में, मूल्यों का नमूना अंश, जिसे w द्वारा दर्शाया जाता है। पर आबादीक्रमशः: सामान्य औसत और r का सामान्य हिस्सा।

अंतर - और डब्ल्यू - पी को नमूनाकरण त्रुटि कहा जाता है, जिसे पंजीकरण त्रुटि और प्रतिनिधित्व त्रुटि से विभाजित किया जाता है। सैंपलिंग त्रुटि का पहला भाग समस्या के सार की गलतफहमी के कारण गलत या गलत जानकारी के कारण होता है, प्रश्नावली, फॉर्म आदि भरते समय रजिस्ट्रार की लापरवाही। इसका पता लगाना और ठीक करना काफी आसान है। त्रुटि का दूसरा भाग यादृच्छिक चयन के सिद्धांत के साथ निरंतर या सहज गैर-अनुपालन से उत्पन्न होता है। इसका पता लगाना और खत्म करना मुश्किल है, यह पहले की तुलना में बहुत बड़ा है और इसलिए इस पर मुख्य ध्यान दिया जाता है।

औचित्य और आवेदन के लिए एक अत्यंत महत्वपूर्ण भूमिका चयनात्मक अवलोकनबड़ी संख्या का कानून निभाता है। बड़ी संख्या के कानूनों का उपयोग यह है कि कुछ शर्तों के तहत और पर्याप्त मात्रा में टिप्पणियों के साथ, चयनात्मक अवलोकन के आधार पर प्राप्त सारांश विशेषताएं सामान्य पावर ऑफ अटॉर्नी की संबंधित विशेषताओं से बहुत कम भिन्न होंगी। इसके आधार पर, नमूना की मात्रा में वृद्धि करके, प्रतिनिधित्व की संभावित त्रुटियों की सीमा को कम करना, उन्हें सबसे छोटे आकार में लाना संभव है। दूसरी ओर, प्रतिनिधित्व त्रुटियों की सीमाओं को जानने के बाद, आवश्यक नमूना आकार निर्धारित करना संभव है।

नमूना अवलोकन के आयोजन और संचालन में सबसे महत्वपूर्ण और जिम्मेदार कार्यों में से एक नमूने के आवश्यक आकार का निर्धारण करना है, अर्थात। इसका आकार, जो डेटा की प्राप्ति सुनिश्चित करेगा जो अध्ययन की जा रही सामान्य आबादी के गुणों को सही ढंग से प्रतिबिंबित करता है।

इस मामले में, निम्नलिखित को ध्यान में रखा जाना चाहिए: 1) सीमांत नमूनाकरण त्रुटि किस डिग्री की सटीकता के साथ प्राप्त की जानी चाहिए; 2) क्या संभावना होनी चाहिए कि नमूना अवलोकन के परिणामों की सशर्त सटीकता सुनिश्चित की जाएगी; 3) अध्ययन की गई सामान्य आबादी में अध्ययन किए गए गुणों के उतार-चढ़ाव की डिग्री।

इसका मतलब यह है कि आवश्यक नमूना आकार सीमांत नमूना त्रुटि के आकार, आत्मविश्वास गुणांक (टी) के मूल्य और भिन्नता के आकार के आधार पर निर्धारित किया जाता है।

पैरामीटर अनुमान विधि रेखीय प्रतिगमन, अज्ञात से आश्रित चर के अवलोकनों के वर्ग विचलन के योग को कम करना रैखिक प्रकार्य, कम से कम वर्गों की विधि कहा जाता है।

विधि का सार इस तथ्य में निहित है कि विचाराधीन समाधान की गुणवत्ता की कसौटी चुकता त्रुटियों का योग है, जिसे कम करने की कोशिश की जाती है। इस पद्धति को लागू करने के लिए जितना संभव हो उतना करना आवश्यक है अधिकएक अज्ञात यादृच्छिक चर का मापन (अधिक - समाधान की सटीकता जितनी अधिक होगी) और प्रस्तावित समाधानों का कुछ सेट, जिसमें से सबसे अच्छा चुनना आवश्यक है। यदि समाधान का सेट पैरामीटरयुक्त है, तो हमें खोजने की आवश्यकता है इष्टतम मूल्यपैरामीटर।

एलएसएम गणित में प्रयोग किया जाता है, विशेष रूप से - संभाव्यता सिद्धांत में और गणितीय सांख्यिकी. फ़िल्टरिंग समस्याओं में इस पद्धति का सबसे बड़ा अनुप्रयोग है, जब उपयोगी सिग्नल को उस पर लगाए गए शोर से अलग करना आवश्यक होता है। इसका उपयोग गणितीय विश्लेषण में किसी दिए गए फ़ंक्शन के सरल कार्यों द्वारा अनुमानित प्रतिनिधित्व के लिए भी किया जाता है। एलएसएम के आवेदन का एक अन्य क्षेत्र समीकरणों की प्रणाली का समाधान है जिसमें अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या से कम है।

सांख्यिकीय परिकल्पनाओं के परीक्षण के चरण:

मुख्य परिकल्पना एच 0 और प्रतिस्पर्धी परिकल्पना एच 1 का विवरण। परिकल्पना को गणितीय शब्दों में स्पष्ट रूप से औपचारिक रूप दिया जाना चाहिए।

संभाव्यता बी निर्धारित करना, महत्व का स्तर कहा जाता है और पहली तरह की त्रुटियों के अनुरूप होता है, जिस पर भविष्य में परिकल्पना की सत्यता के बारे में निष्कर्ष निकाला जाएगा।

मानदंड के आंकड़ों की गणना इस प्रकार है कि:

इसका मूल्य प्रारंभिक नमूने पर निर्भर करता है;

इसके मूल्य से परिकल्पना एच 0 की सच्चाई के बारे में निष्कर्ष निकालना संभव है;

आँकड़ों q को स्वयं कुछ ज्ञात वितरण नियमों का पालन करना चाहिए, क्योंकि क्यू स्वयं संयोग के आधार पर यादृच्छिक है।

महत्वपूर्ण क्षेत्र का निर्माण। ऐसे मूल्यों के एक उपसमूह को यू के मूल्यों की श्रेणी से अलग किया जाता है, जिसका उपयोग धारणा के साथ महत्वपूर्ण विसंगतियों का न्याय करने के लिए किया जा सकता है। इसका आकार इस तरह से चुना जाता है कि समानता बनी रहे। इस समुच्चय को क्रांतिक क्षेत्र कहते हैं।

परिकल्पना की सच्चाई के बारे में निष्कर्ष। नमूने के देखे गए मूल्यों को यू के आंकड़ों में प्रतिस्थापित किया जाता है, और महत्वपूर्ण क्षेत्र को मारकर (या नहीं मारकर), आगे की परिकल्पना एच 0 को अस्वीकार (या स्वीकार) करने का निर्णय लिया जाता है।

भिन्नता सहसंबंध भिन्नता

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समान अवधि के लिए, लेकिन अलग-अलग वस्तुओं के लिए, या, इसके विपरीत, एक ही वस्तु के लिए, लेकिन दो अलग-अलग अवधियों के लिए बनाए गए समूह, चयनित समूहों की भिन्न संख्या या सीमाओं में अंतर के कारण तुलनीय नहीं हो सकते हैं। अंतराल।

माध्यमिक समूहीकरण, या समूहीकृत डेटा का पुनर्समूहन, अध्ययन के तहत घटना को बेहतर ढंग से चित्रित करने के लिए उपयोग किया जाता है (उस मामले में जब प्रारंभिक समूह जनसंख्या इकाइयों के वितरण की प्रकृति को स्पष्ट रूप से पहचानना संभव नहीं बनाता है), या समूहों को एक में लाने के लिए उपयोग किया जाता है। आचरण करने के लिए तुलनीय प्रकार तुलनात्मक विश्लेषण.

माध्यमिक समूहन- यह पहले से लागू समूह के आधार पर नए समूह बनाने के लिए एक ऑपरेशन है।

नए समूह बनाने के दो तरीके हैं। पहला, सरल और सबसे सामान्य तरीका है प्रारंभिक अंतरालों का परिवर्तन (अक्सर इज़ाफ़ा)। दूसरी विधि कहा जाता है शेयर पुनर्व्यवस्था। इसमें प्रत्येक समूह को जनसंख्या इकाइयों का एक निश्चित अनुपात सौंपने के आधार पर नए समूहों का निर्माण होता है। आइए हम द्वितीयक समूहन तकनीक को एक उदाहरण द्वारा स्पष्ट करें (सारणी 3.14)।

तालिका 3.14। उद्यम वितरण खुदरा 2011 में कर्मचारियों की औसत वार्षिक संख्या के अनुसार मास्को क्षेत्र के शहरों में से एक*

* डेटा सशर्त है।

हम 5, 5-10, 10-20, 20-30, 30 या अधिक लोगों के अंतराल पर नए समूह बनाकर डेटा को फिर से समूहित करेंगे।

पहले नए समूह में खुदरा विक्रेताओं के पहले समूह की संपूर्णता और दूसरे समूह का हिस्सा शामिल होगा। अधिकतम पांच लोगों का समूह बनाने के लिए दूसरे समूह के अंतराल से एक व्यक्ति को लेना आवश्यक है। इस समूह के अंतराल का आकार छह लोग हैं। इसलिए इसका 1/6 भाग लेना आवश्यक है। नवगठित पहले समूह में एक समान हिस्सा भी उद्यमों की संख्या से लिया जाना चाहिए, अर्थात। 20 - = 3 उद्यम। 6

फिर खुदरा विक्रेताओं के पहले समूह में 16 + 3 = 19 इकाइयाँ होंगी।

दूसरा नया समूह दूसरे समूह के खुदरा व्यापार उद्यमों द्वारा बनाया गया है, जिन्हें पहले समूह को सौंपा गया है, अर्थात। 20 - 3 = 17 उद्यम। नवगठित तीसरे समूह में तीसरे समूह के सभी उद्यम और चौथे समूह के उद्यमों का हिस्सा शामिल होगा। अंतराल के इस भाग को निर्धारित करने के लिए 18 30 (अंतराल की चौड़ाई 12 है), आपको पिछले एक में 2.0 जोड़ना होगा (ताकि अंतराल की ऊपरी सीमा 20 लोगों के बराबर हो)। अत: अंतराल के भाग को 2/12 = 1/6 के बराबर लेना आवश्यक है। इस समूह में 74 उद्यम हैं, इसलिए हमें 74 (1/6) = 12 उद्यम लेने होंगे। नए तीसरे समूह में 44 + 12 = 56 उद्यम शामिल होंगे।

नवगठित चौथे समूह में 74 - 12 = = 62 उद्यम शामिल होंगे जो पिछले चौथे समूह से बचे हैं। पाँचवाँ नवगठित समूह पाँचवें और छठे पिछले समूहों के खुदरा व्यापार उद्यमों से बना होगा: 37 + 9 = 46 उद्यम।

परिणामस्वरूप, हमें नए समूह प्राप्त होते हैं (सारणी 3.15)।

तालिका 3.15। डेटा रीग्रुपिंग के बाद 2011 में कर्मचारियों की औसत वार्षिक संख्या से मास्को क्षेत्र के शहरों में से एक में खुदरा व्यापार उद्यमों का वितरण*

* डेटा सशर्त है।

सांख्यिकीय तालिका: सार, तत्व और वर्गीकरण

सांख्यिकीय तालिका - सांख्यिकीय समूहीकरण के परिणामों सहित सांख्यिकीय सामग्री की प्रस्तुति का सबसे तर्कसंगत, दृश्य और कॉम्पैक्ट रूप। हालांकि, हर तालिका सांख्यिकीय नहीं है। गुणन तालिका, समाजशास्त्रीय सर्वेक्षण की प्रश्नावली सारणीबद्ध रूप में हो सकती है, लेकिन अभी तक सांख्यिकीय सारणी नहीं हैं।

सांख्यिकीय तालिकाएक सारणी है जिसमें एक सारांश होता है संख्यात्मक विशेषताएक या एक से अधिक आवश्यक विशेषताओं के अनुसार अध्ययन की गई जनसंख्या, आर्थिक विश्लेषण के तर्क से परस्पर जुड़ी हुई है।

सांख्यिकीय तालिका के मुख्य तत्व जो इसकी रीढ़ (आधार) बनाते हैं, योजना 3.1 में दिखाए गए हैं।

तालिका कासंख्यात्मक जानकारी की व्यवस्था के इस रूप को कहा जाता है, जिसमें संख्या एक ऊर्ध्वाधर स्तंभ के साथ स्पष्ट रूप से व्यक्त शीर्षक के चौराहे पर स्थित होती है जिसे कहा जाता है ग्राफ, और इसी क्षैतिज पट्टी के अनुसार नाम - रेखा। इस प्रकार, बाह्य रूप से, तालिका ग्राफ़ और पंक्तियों का प्रतिच्छेदन है जो तालिका के कंकाल का निर्माण करती है।

सांख्यिकीय तालिका में तीन प्रकार के शीर्षक होते हैं: सामान्य, शीर्ष और पार्श्व। सामान्य शीर्षलेख संपूर्ण तालिका की सामग्री को दर्शाता है (यह किस स्थान और समय से संबंधित है), केंद्र में तालिका लेआउट के ऊपर स्थित है और एक बाहरी शीर्षक है। शीर्ष शीर्षलेख ग्राफ की सामग्री को चिह्नित करें (विधेय के शीर्षक), और पार्श्व (विषय शीर्षक) - तार। वे आंतरिक शीर्षलेख के रूप में कार्य करते हैं।

हेडर से भरा टेबल कंकाल टेबल लेआउट बनाता है; यदि ग्राफ और रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर हम संख्याएँ लिखते हैं, तो हमें एक पूर्ण सांख्यिकीय तालिका प्राप्त होती है। तालिका शीर्षक (सामान्य शीर्षक)

योजना 3.1. सांख्यिकीय तालिका का कंकाल (आधार)

डिजिटल सामग्री को निरपेक्ष (अधिकृत पूंजी, नवीन वस्तुओं की मात्रा, आदि), सापेक्ष (प्रति व्यक्ति जीडीपी, की संख्या) के रूप में दर्शाया जा सकता है व्यक्तिगत कम्प्यूटर्सप्रति 100 श्रमिक, आदि) और औसत (औसत शेयर मूल्य, प्रति गाय औसत दूध उपज, आदि) मूल्य।

यदि आवश्यक हो, तो शीर्षकों, कुछ संकेतकों की गणना करने के तरीके, सूचना के स्रोत आदि की व्याख्या करने के लिए तालिकाओं के साथ एक नोट दिया जा सकता है।

तार्किक सामग्री के अनुसार, तालिका एक "सांख्यिकीय वाक्य" है, जिसके मुख्य तत्व विषय और विधेय हैं।

विषयवह वस्तु जो संख्याओं द्वारा अभिलक्षित होती है, कहलाती है। यह एक या एक से अधिक समुच्चय हो सकता है, उनकी सूची के क्रम में समुच्चय की व्यक्तिगत इकाइयाँ या कुछ मानदंडों के अनुसार समूहीकृत, क्षेत्रीय इकाइयाँ, आदि। आमतौर पर तालिका का विषय बाईं ओर, पंक्ति नामों में दिया जाता है।

विधेयसंकेतकों की एक प्रणाली बनाता है जो अध्ययन की वस्तु की विशेषता है, अर्थात। तालिका का विषय। विधेय शीर्ष शीर्षक बनाता है और ग्राफ की सामग्री को बाएं से दाएं संकेतकों की तार्किक रूप से अनुक्रमिक व्यवस्था के साथ बनाता है।

विषय का स्थान और कुछ मामलों में विधेय को अधिक पूर्ण और . के लिए आपस में बदला जा सकता है बेहतर तरीकाअध्ययन की गई जनसंख्या के बारे में प्रारंभिक जानकारी को पढ़ना और उसका विश्लेषण करना।

विषय की संरचना के अनुसार,इसमें इकाइयों के समूहन के आधार पर सरल और जटिल सांख्यिकीय सारणियाँ होती हैं।

सरल एक सांख्यिकीय तालिका कहलाती है, जिसके विषय में वस्तुओं या प्रादेशिक इकाइयों की सूची दी जाती है। सरल सांख्यिकीय तालिकाओं को मोनोग्राफिक और सूची में विभाजित किया गया है।

मोनोग्राफिक टेबल अध्ययन के तहत वस्तु की इकाइयों के पूरे सेट की विशेषता नहीं है, लेकिन किसी भी इकाई या समूह में से केवल एक को एक निश्चित विशेषता (तालिका 3) के अनुसार आवंटित किया गया है .16).

तालिका 3.16। 2009 में रूसी संघ के घटक संस्थाओं में सामाजिक और सांस्कृतिक सुविधाओं की कमीशनिंग

सूची तालिका तालिकाएँ कहलाती हैं, जिसके विषय में अध्ययनाधीन वस्तु की वस्तुओं या इकाइयों की सूची होती है (सारणी 3.17)।

जटिल सांख्यिकीय सारणी सरल लोगों के विपरीत, वे अध्ययन के तहत सामाजिक-आर्थिक प्रकार की घटनाओं, उनकी संरचना, साथ ही साथ उन विशेषताओं के बीच अंतर्संबंधों और अन्योन्याश्रितताओं की पहचान करना संभव बनाते हैं जो उनकी विशेषता हैं। इन कार्यों को समूह और विशेष रूप से संयोजन तालिकाओं की सहायता से पूरी तरह से हल किया जा सकता है।

समूह सांख्यिकीय तालिकाएँ कहलाती हैं, जिनके विषय में एक मात्रात्मक या गुणकारी विशेषता के अनुसार जनसंख्या इकाइयों का समूह होता है।

सबसे सरल प्रकार की समूह तालिकाएँ वितरण पंक्तियाँ हैं। समूह तालिका अधिक जटिल हो सकती है यदि विधेय में अतिरिक्त रूप से विषय समूहों की विशेषता वाले कई संकेतक होते हैं। इस तरह की तालिकाओं का उपयोग अक्सर समूहों में सारांश संकेतकों की तुलना करने के लिए किया जाता है (सारणी 3.18)।

तालिका 3.17. रूसी संघ की अर्थव्यवस्था में विदेशी निवेश की आमद लेकिन मुख्य निवेशक देशों में 2009

आयु, वर्ष के अनुसार जनसंख्या समूह	कुल	समेत
		पुरुषों	औरत

इस प्रकार, समूह तालिकाएँ केवल एक विशेषता के आधार पर सामाजिक-आर्थिक प्रकार की घटनाओं, उनकी संरचना की पहचान करना और उन्हें चिह्नित करना संभव बनाती हैं।

संयोजन उन्हें सांख्यिकीय तालिकाएँ कहा जाता है, जिसके विषय में दो या दो से अधिक विशेषताओं के अनुसार एक साथ जनसंख्या इकाइयों का समूह होता है: प्रत्येक समूह, एक आधार पर बनाया जाता है, बदले में, किसी अन्य विशेषता के अनुसार उपसमूहों में विभाजित होता है, आदि। (तालिका 3.19)।

तालिका 3.19। आवासीय भवन में निर्मित अपार्टमेंटों का समूहन कमरों की संख्या और औसत आकार के अनुसार

तालिका 3.18। नवंबर 2009 के अंत तक रूसी अर्थव्यवस्था में कार्यरत लोगों की संख्या का आयु समूहों द्वारा वितरण, कुल का%

तालिका में विषय कमरों की संख्या और उनके औसत आकार के अनुसार निर्मित अपार्टमेंट के समूह हैं।

संयोजन तालिकाएं कई विशेषताओं और उनके बीच संबंधों के अनुसार पहचाने जाने वाले विशिष्ट समूहों को चिह्नित करना संभव बनाती हैं। विशेषताओं के अनुसार जनसंख्या की इकाइयों को सजातीय समूहों में विभाजित करने का क्रम या तो संयोजन में उनमें से किसी एक के महत्व से, या उस क्रम से निर्धारित होता है जिसमें उनका अध्ययन किया जाता है।

सांख्यिकीय तालिका के विधेय में, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, संकेतक दिए गए हैं जो अध्ययन के तहत वस्तु की विशेषता हैं।

विधेय की संरचना के अनुसार, सरल और जटिल सांख्यिकीय तालिकाओं को प्रतिष्ठित किया जाता है।

पर सरल विधेय विकास इसमें प्रस्तुत विशेषताएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं और कुल मान प्रत्येक विशेषता के मानों को अलग-अलग, एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं। तालिका 1 एक विधेय के सरल विकास के उदाहरण के रूप में काम कर सकती है। 3.20.

पर विधेय का जटिल विकास अधिक पूर्ण हो जाता है और विस्तृत विवरणवस्तु। इस मामले में, विधेय के दोनों संकेत (लिंग और उम्र के अनुसार) एक दूसरे से निकटता से संबंधित हैं। आप पहले रचना का विश्लेषण कर सकते हैं राज्य ड्यूमाभिन्नों द्वारा

तालिका 3.20।

आयु समूह के अनुसार, और फिर प्रत्येक आयु समूह को लिंग के आधार पर दो उपसमूहों में विभाजित करें। दूसरे शब्दों में, विधेय के जटिल विकास के साथ, एक घटना या वस्तु को उन विशेषताओं के एक अलग संयोजन द्वारा चित्रित किया जा सकता है जो उन्हें बनाते हैं।

सभी मामलों में, सांख्यिकीय तालिकाओं का निर्माण करते समय, शोधकर्ता को विधेय संकेतकों के इष्टतम अनुपात द्वारा निर्देशित किया जाना चाहिए।

सांख्यिकीय तालिकाओं के निर्माण और विश्लेषण के लिए बुनियादी नियम

डिजिटल जानकारी के दृश्य और कॉम्पैक्ट प्रस्तुति के साधन के रूप में सांख्यिकीय सारणी सांख्यिकीय रूप से सही होनी चाहिए। निम्नलिखित बुनियादी तकनीकें हैं जो सांख्यिकीय तालिकाओं के निर्माण की तकनीक का निर्धारण करती हैं।

• 1. डिजिटल सामग्री को इस तरह से प्रस्तुत किया जाना चाहिए कि तालिका का विश्लेषण करते समय, बाएं से दाएं और ऊपर से नीचे की पंक्तियों को पढ़कर घटना का सार प्रकट हो।
• 2. तालिका का शीर्षक और स्तंभों और पंक्तियों के नाम स्पष्ट, संक्षिप्त होने चाहिए, एक संपूर्ण संपूर्ण का प्रतिनिधित्व करते हैं जो पाठ की सामग्री में व्यवस्थित रूप से फिट बैठता है। तालिका का नाम घटना की वस्तु, चिन्ह, समय और स्थान को प्रतिबिंबित करना चाहिए।
• 3. तालिका के कॉलम (कॉलम) में स्थित जानकारी सारांश लाइन के साथ समाप्त होती है।
• 4. यदि अलग-अलग स्तंभों के नाम आपस में दोहराए जाते हैं, जिनमें दोहराए जाने वाले शब्द होते हैं या एक एकल शब्दार्थ भार होता है, तो उन्हें एक एकीकृत शीर्षक निर्दिष्ट करना आवश्यक है।
• 5. यह स्तंभों और रेखाओं की संख्या के लिए उपयोगी है। बाईं ओर के कॉलम, लाइनों के नाम से भरे हुए, आमतौर पर दर्शाए जाते हैं बड़े अक्षरवर्णमाला (ए), (बी), आदि, और बाद के सभी कॉलम - आरोही क्रम में संख्याएं।
• 6. विश्लेषण की गई घटना के पहलुओं में से एक को दर्शाने वाले परस्पर संबंधित डेटा को एक दूसरे से सटे कॉलम में रखा जाना चाहिए।
• 7. कॉलम और लाइनों में विषय और विधेय में निर्धारित संकेतकों के अनुरूप माप की इकाइयाँ होनी चाहिए। इस मामले में, माप की इकाइयों (रूबल, kWh, आदि) के आम तौर पर स्वीकृत संक्षिप्त रूप का उपयोग किया जाता है।
• 8. जब भी संभव हो संख्याओं को गोल किया जाना चाहिए। एक ही कॉलम या लाइन के भीतर संख्याओं की गोलाई समान सटीकता के साथ की जानी चाहिए।
• 9. यदि आवश्यक हो तो अतिरिक्त जानकारी(तालिका में स्पष्टीकरण) नोट्स दिए जा सकते हैं।

सांख्यिकीय तालिकाओं के निर्माण और डिजाइन के लिए उपरोक्त नियमों का अनुपालन उन्हें राज्य और विश्लेषण की गई सामाजिक-आर्थिक घटनाओं के विकास पर सांख्यिकीय जानकारी प्रस्तुत करने, संसाधित करने और सारांशित करने का मुख्य साधन बनाता है।

सांख्यिकीय तालिकाओं का विश्लेषण दो दिशाओं में किया जाता है: संरचनात्मक और सार्थक।

संरचनात्मक विश्लेषण तालिका की संरचना को पार्स करना और विशेषता देना शामिल है:

• अवलोकन की समग्रता और इकाइयाँ जो इसे बनाती हैं;
• संकेत और उनके संयोजन जो तालिका का विषय और विधेय बनाते हैं;
• टेबल प्रकार;
• कार्यों को हल करना है।

• विधेय की संगत विशेषताओं के अनुसार विषय के अलग-अलग समूहों का विश्लेषण;
• संकेतों द्वारा घटनाओं के समूहों के बीच सहसंबंधों और अनुपातों की पहचान;
• तुलनात्मक विश्लेषण और निष्कर्ष तैयार करना, पैटर्न की स्थापना और अध्ययन के तहत वस्तु के विकास के लिए भंडार का निर्धारण।

व्यक्तिगत विशेषताओं और समूहों का विश्लेषण निरपेक्ष मूल्यों के अध्ययन से शुरू होना चाहिए, फिर - उनसे जुड़े सापेक्ष मूल्य।

यदि अध्ययन के कार्यों के लिए इसकी आवश्यकता होती है, तो तालिकाओं के विश्लेषण को परिकलित सापेक्ष और औसत मान, ग्राफ़, चार्ट आदि द्वारा पूरक किया जा सकता है।

इन तालिकाओं का विश्लेषण प्रत्येक विशेषता के लिए अलग से किया जाता है, और फिर सुविधाओं के तार्किक और आर्थिक संयोजन में किया जाता है।

नियमों और सांख्यिकीय तालिकाओं के साथ काम के अनुक्रम का अनुपालन शोधकर्ता को अध्ययन के तहत वस्तुओं और प्रक्रियाओं का व्यापक वैज्ञानिक आधारित आर्थिक और सांख्यिकीय विश्लेषण करने की अनुमति देगा।

समान अवधि के लिए, लेकिन अलग-अलग वस्तुओं के लिए, या, इसके विपरीत, एक ही वस्तु के लिए, लेकिन दो अलग-अलग अवधियों के लिए बनाए गए समूह, चयनित समूहों की भिन्न संख्या या सीमाओं में अंतर के कारण तुलनीय नहीं हो सकते हैं। अंतराल।
माध्यमिक समूहीकरण, या समूहीकृत डेटा का पुनर्समूहन, अध्ययन के तहत घटना को बेहतर ढंग से चित्रित करने के लिए उपयोग किया जाता है (उस मामले में जब प्रारंभिक समूह जनसंख्या इकाइयों के वितरण की प्रकृति को स्पष्ट रूप से पहचानना संभव नहीं बनाता है), या समूहों को लाने के लिए तुलनात्मक विश्लेषण करने के लिए एक तुलनीय प्रकार।
सेकेंडरी ग्रुपिंग - पहले किए गए ग्रुपिंग के आधार पर नए समूह बनाने के लिए एक ऑपरेशन।
नए समूह बनाने के दो तरीके हैं। पहला, सरल और सबसे आम तरीका है प्रारंभिक अंतराल को बदलना (अधिक बार बढ़ाना)। दूसरी विधि को साझा पुनर्समूहन कहा जाता है और इसमें जनसंख्या इकाइयों के एक निश्चित अनुपात के प्रत्येक समूह को असाइनमेंट के आधार पर नए समूहों का निर्माण होता है। आइए हम निम्नलिखित उदाहरण के साथ द्वितीयक समूहन की तकनीक का वर्णन करें।
उदाहरण:
आय स्तर द्वारा उद्यम के कर्मचारियों का वितरण

हम 5, 5-10, 10-20, 20-30, 30 हजार रूबल से अधिक के अंतराल पर नए समूह बनाकर डेटा को फिर से इकट्ठा करेंगे।
पहले नए समूह में कर्मचारियों का पूरा पहला समूह और दूसरे समूह का हिस्सा शामिल होगा। 5 हजार रूबल तक का समूह बनाने के लिए, दूसरे समूह के अंतराल से 1.0 हजार रूबल लेना आवश्यक है। इस समूह के अंतराल का मूल्य 6.0 हजार रूबल है। इसलिए इसका 1/6 (1.0:6.0) भाग लेना आवश्यक है। नवगठित पहले समूह में एक समान हिस्सा भी कर्मचारियों की संख्या से लिया जाना चाहिए, अर्थात
20 x1 = 3 लोग फिर पहले समूह में कार्यकर्ता होंगे: 16 + 3 = 19 लोग।
6
दूसरा नया समूह दूसरे समूह के कार्यकर्ताओं द्वारा बनाया गया है, जो पहले को सौंपा गया है, यानी 20-3 = 17 लोग। नवगठित तीसरे समूह में तीसरे समूह के सभी कर्मचारी और चौथे के कर्मचारियों का हिस्सा शामिल होगा। अंतराल 18-30 (अंतराल की चौड़ाई 12 है) के इस हिस्से को निर्धारित करने के लिए, आपको पिछले एक में 2.0 जोड़ने की जरूरत है (ताकि अंतराल की ऊपरी सीमा 2.0 हजार रूबल के बराबर हो)। अतः अंतराल के भाग को के बराबर लेना आवश्यक है। इस समूह में 74 लोग हैं, इसलिए हमें 74x (1: 6) = 12 लोगों को लेने की आवश्यकता है। नए तीसरे समूह में 44 + 12 = 56 लोग शामिल होंगे। नवगठित चौथे समूह में पिछले चौथे समूह से बचे हुए 74-12 = 62 लोग शामिल होंगे। पाँचवाँ नवगठित समूह पाँचवें और छठे पिछले समूहों के कार्यकर्ताओं से बनेगा: 37 + 9 = 46 लोग।
नतीजतन, हमें निम्नलिखित नए समूह मिलते हैं:

विषय पर अधिक सांख्यिकीय समूहों की तुलना। माध्यमिक समूहन:

1. 1.3. सांख्यिकीय अवलोकन और सारांश। सांख्यिकीय अवलोकन की सामग्री का समूहन।
2. 10.2 विभिन्न उद्योगों के संगठनों में सांख्यिकीय निरीक्षण और लेखांकन। सांख्यिकीय रिपोर्टिंग की सूचना और विश्लेषणात्मक संभावनाएं

कई समूहों का विश्लेषण और तुलना करते समय, उदाहरण के लिए, कई कार्यशालाओं, उद्यमों आदि के लिए, ऐसी स्थिति उत्पन्न हो सकती है जब प्रारंभिक समूह अलग-अलग समूहों या उपयोग किए गए अंतराल के विभिन्न मूल्यों के कारण अतुलनीय हों। ऐसे समूहों को एक तुलनीय रूप में लाने के लिए, अर्थात। या तो समूहों की एक संख्या के लिए या एक अंतराल मान के लिए, द्वितीयक समूहन विधि का उपयोग किया जाता है। माध्यमिक समूहन विधि - यह निर्दिष्ट आवश्यकताओं के अनुसार मौजूदा समूहों के आधार पर नए समूह बनाने की एक विधि है।द्वितीयक समूहन करने के लिए, 2 विधियों का उपयोग किया जाता है: 1) मूल समूहों का संघ, 2) साझा पुनर्समूहन।

कई असमान समूहों को एक तुलनीय रूप में लाना तीन चरणों में किया जाता है। पहले चरण में, प्रारंभिक समूहों की अतुलनीयता के लिए शर्तों की पहचान करने के लिए प्रारंभिक समूहों का विश्लेषण किया जाता है। दूसरे चरण में, मूल समूहों को तुलनीय रूप में लाने के लिए एक विधि का चयन किया जाता है। तीसरे चरण में, प्रारंभिक समूहों की द्वितीयक पुनर्व्यवस्था और प्राप्त परिणामों का विश्लेषण किया जाता है। यदि आवश्यक हो, तो पुनर्मूल्यांकन किया जाता है। द्वितीयक पुनर्व्यवस्था की विधियों पर विचार कीजिए।

1 रास्ता 2000 में सेवा की लंबाई से उद्यम के श्रमिकों के वितरण पर सांख्यिकीय अवलोकन ने निम्नलिखित परिणाम दिए (तालिका 2.7)।

तालिका 2.7

2002 में, एक बार-बार सांख्यिकीय अवलोकन किया गया, जिसने निम्नलिखित परिणाम दिए (तालिका 2.8)। दोनों तालिकाओं के डेटा से सीधे 2 साल के लिए सेवा की लंबाई से श्रमिकों के वितरण में परिवर्तन का अनुमान लगाना असंभव है। दोनों तालिकाओं के विश्लेषण से पता चलता है कि वे असंगत होने के कारण हैं अलग संख्यासमूह और विभिन्न अंतराल।

तालिका 2.8

दोनों तालिकाओं के डेटा को एक तुलनीय रूप में लाने के लिए, तालिका 2.7 में समूह 1 और 2, और समूह 3 और 4 दोनों को जोड़ना संभव है। इससे दो वर्षों में उद्यम में हुई सेवा की लंबाई के आधार पर श्रमिकों के वितरण में परिवर्तन का आकलन करना संभव हो जाएगा। 2000 के सांख्यिकीय अवलोकन डेटा के पुनर्समूहन के परिणाम (तालिका 2.7) तालिका 2.9 में दिखाए गए हैं।

तालिका 2.9

2002 (तालिका 2.8) के आंकड़ों की 2000 (तालिका 2.9) के पुनर्समूहित आंकड़ों के साथ तुलना करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दो वर्षों में 6 वर्ष तक के अनुभव वाले श्रमिकों की संख्या में कमी आई है, अर्थात। युवा, और अधिक अनुभव वाले श्रमिकों की संख्या में वृद्धि हुई है।

2 रास्तेमान लीजिए 2002 में सांख्यिकीय प्रेक्षण ऐसे परिणाम देते हैं (सारणी 2.10)। 2000 के डेटा (तालिका 2.9) और 2002 के डेटा (तालिका 2.7) की तुलना करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि वे अलग-अलग समूहों और विभिन्न अंतरालों के कारण असंगत हैं। विश्लेषण से पता चलता है कि डेटा को तुलनीय रूप में लाने की पहली विधि को लागू करना असंभव है। इसलिए, हम 2000 के डेटा को फिर से समूहित करने के लिए विधि 2 का उपयोग करते हैं (सारणी 2.7) ताकि वे 2002 के डेटा के समूहन के अनुरूप हों (तालिका 2.10)

तालिका 2.10

दूसरी विधि के उपयोग में शामिल है वर्दी वितरणप्रत्येक समूह के भीतर आवृत्तियों। दूसरी विधि का उपयोग करने के लिए यह एक अनिवार्य शर्त है। 2000 के आँकड़ों को पुनः समूहित करने के लिए (सारणी 2.7), हम निम्नलिखित परिकलन करेंगे। तो नए पहले समूह (1-4) (तालिका 2.10) में पुराने पहले समूह (1-3) (तालिका 22.7) के सभी डेटा और पुराने दूसरे समूह से 4 साल के अनुभव वाले श्रमिकों की संख्या पर डेटा शामिल होगा। . 4 वर्षों के अनुभव वाले श्रमिकों की संख्या 3 (9/3 = 3) है, क्योंकि पुराने दूसरे समूह में 9 कार्यकर्ता थे, और अंतराल 3 है। इस प्रकार, नए पहले समूह (1-4) में 18 कर्मचारी शामिल होंगे (18=15+3) एक नया समूह(5-8) में 5.6 वर्षों के अनुभव वाले 6 कार्यकर्ता शामिल होंगे (पुराने दूसरे समूह 6=9/3 2 से) और 7.8 साल के अनुभव वाले 18 कार्यकर्ता (पुराने तीसरे समूह से 18=27/3 2 2) इस प्रकार , नए दूसरे समूह (5-8) में 24 कर्मचारी (24=6+18) शामिल होंगे। नए तीसरे समूह (9-12) में 9 साल के अनुभव वाले कार्यकर्ता (9=27/3) और पुराने चौथे समूह (10-12) के सभी 9 कर्मचारी शामिल होंगे। इस प्रकार, नए तीसरे समूह (9-12) में 18 कर्मचारी (18=9+9) होंगे। 2000 के लिए पुनर्समूहित डेटा और 2002 के डेटा को एक तालिका (2.11) में संक्षेपित किया जाएगा, जो तुलनात्मक विश्लेषण की अनुमति देगा।

तालिका 2.11

सेवा की अवधि के आधार पर कंपनी के कर्मचारियों के वितरण का विश्लेषण (तालिका 2.11) दर्शाता है कि 2002 में लंबे अनुभव वाले (9 से 12 साल तक) कामगारों की संख्या में वृद्धि हुई, जबकि कम अनुभव वाले (1 से 8 साल तक) में कमी आई। . इस प्रकार, डेटा के पुनर्समूहन ने डेटा को एक तुलनीय रूप में लाना, विश्लेषण करना और आवश्यक निष्कर्ष निकालना संभव बना दिया।

प्रश्नों और कार्यों को नियंत्रित करें

1. सांख्यिकीय अवलोकन क्या है? सांख्यिकीय अवलोकन करते समय किन शर्तों को पूरा किया जाना चाहिए (परिभाषा देखें)?

2. सांख्यिकीय प्रेक्षणों को किस मानदंड से वर्गीकृत किया जा सकता है? सांख्यिकीय प्रेक्षण के उदाहरण दीजिए।

3. सांख्यिकीय प्रेक्षणों के दौरान क्या त्रुटियां होती हैं और किन नियंत्रण विधियों का उपयोग किया जा सकता है?

4. निर्धारित करें कि किस उदाहरण में एक सरल सारांश है और जिसमें एक जटिल सारांश है। उदाहरण 1. सोमवार को 200 मजदूरों ने बुनाई की दुकान में काम किया। उदाहरण 2. सोमवार को, 40 श्रमिकों ने खंड संख्या 1 की बुनाई की दुकान में काम किया, अनुभाग संख्या 2 में 60 श्रमिकों ने काम किया, और कुल 100 श्रमिकों ने काम किया।

5. सांख्यिकीय जानकारी के प्रसंस्करण में किन समूहों का उपयोग किया जाता है? वे एक दूसरे से कैसे भिन्न हैं?

6. मुख्य प्रौद्योगिकीविद् के विभाग में 15 लोग हैं, और विपणन और बिक्री विभाग में 10 लोग हैं। किस मामले में विभागों की टीम सजातीय समुच्चय हैं, और किस मामले में वे विषम समुच्चय हैं।

7. अक्टूबर में फैब्रिक स्टोर में फैब्रिक आर्टिकल ए की दैनिक बिक्री निम्नलिखित डेटा (मीटर में) की विशेषता थी: 4, 11, 8, 14, 10, 19, 12, 11, 3, 6, 21, 9, 9 , 5, 10, 13, 15, 7, 10, 13, 16, 12, 8, 11, 14, 15, 17. समान अंतरालों का उपयोग करके समूह डेटा।

8. पैराग्राफ 7 से डेटा को निम्नलिखित समूहों में समूहीकृत करने के परिणामों को फिर से समूहित करें: (3-9), (9-15), 15-21)।

विषय संख्या 3 वितरण, तालिकाओं, ग्राफिक्स की सांख्यिकीय श्रृंखला

3.1 सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला - अवधारणा, प्रकार, प्रस्तुति के रूप

सांख्यिकीय अवलोकन डेटा की प्रस्तुति के रूपों में से एक वितरण की एक सांख्यिकीय श्रृंखला है। सांख्यिकीय श्रृंखला वितरण एक समूहीकरण विशेषता के अनुसार समूहों में जनसंख्या इकाइयों की एक क्रमबद्ध व्यवस्था है।सांख्यिकीय वितरण श्रृंखला की सहायता से, जनसंख्या में परिवर्तन की संरचना और सीमाओं का अध्ययन करना, समरूपता का आकलन करना और जनसंख्या की इकाइयों के विकास के पैटर्न का निर्धारण करना संभव है। प्रकार से सांख्यिकीय श्रृंखलावितरण को गुणकारी, परिवर्तनशील और समय श्रृंखला में विभाजित किया गया है।

विशेषता और भिन्नता श्रृंखला में दो तत्व होते हैं: रूपांतर और आवृत्तियाँ (आवृत्तियाँ या घनत्व)। संस्करण () - यह उस विशेषता का विशिष्ट मान है जो इसे वितरण श्रृंखला में लेता है। आवृत्ति () - ये है निरपेक्ष संख्या, यह दर्शाता है कि किसी विशेषता (संस्करण) का यह या वह मान कितनी बार (कितनी बार) कुल में होता है या जनसंख्या की कितनी इकाइयों में विशेषता (संस्करण) का एक या दूसरा मान होता है। आवृत्ति() - यह एक सापेक्ष मूल्य है जो जनसंख्या की कुल मात्रा () में व्यक्तिगत विकल्पों की हिस्सेदारी निर्धारित करता है।आवृत्ति को या तो शेयरों में व्यक्त किया जा सकता है, जिस स्थिति में जनसंख्या का आयतन एक () के बराबर होता है, या प्रतिशत के रूप में, जिस स्थिति में जनसंख्या का आयतन 100% () होता है। सामान्य तौर पर, आवृत्ति की गणना निम्नानुसार की जाती है

जनसंख्या की मात्रा कहाँ है।

घनत्व() एक सापेक्ष मूल्य है जो दर्शाता है कि समूह अंतराल () की प्रति इकाई लंबाई में कितनी जनसंख्या इकाइयाँ (पूर्ण या सापेक्ष रूप में) हैं।घनत्व निरपेक्ष या सापेक्ष हो सकता है। निरपेक्ष घनत्व के बराबर है

आपेक्षिक घनत्वके बराबर है

सापेक्ष घनत्व की गणना करते समय, आवृत्ति का उपयोग किया जाता है, अंशों में व्यक्त किया जाता है।

विशेषता श्रृंखलाजनसंख्या की गुणात्मक विशेषता के आधार पर निर्मित एक श्रृंखला है।ये श्रृंखला टाइपोलॉजिकल ग्रुपिंग का उपयोग करके बनाई गई हैं और इसे तालिका के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मजदूरी श्रेणियों द्वारा उद्यम श्रमिकों का वितरण (तालिका 3.1)।

तालिका 3.1

दिए गए उदाहरण (तालिका 3.1) में, कुल मिलाकर सभी कार्यरत उद्यम हैं। जनसंख्या का आकार 250 लोग हैं। जनसंख्या की इकाई एक कार्यकर्ता है। जनसंख्या इकाई की एक विशेषता के रूप में, टैरिफ श्रेणी को चुना जाता है। संकेत के कई विशिष्ट अर्थ हैं - विकल्प (पहली श्रेणी, दूसरी श्रेणी, तीसरी श्रेणी, चौथी श्रेणी, 5वीं श्रेणी)। तालिका में, कॉलम 2 में विशेषता मान, कॉलम 3 में आवृत्ति मान, कॉलम 4 में आवृत्ति मान दिए गए हैं।

विविधता श्रृंखला- यह जनसंख्या के मात्रात्मक संकेत के आधार पर निर्मित एक श्रृंखला है।इन श्रृंखलाओं को मुख्य रूप से संरचनात्मक समूहन की सहायता से बनाया गया है और इन्हें एक तालिका के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। वेरिएशनल सीरीज़ दो प्रकार की होती हैं: असतत वेरिएबल सीरीज़ और इंटरवल सीरीज़। असतत भिन्नता श्रृंखला एक श्रृंखला है जिसमें विशेषता मान (विकल्प) असतत मूल्यों द्वारा दर्शाए जाते हैं. अंतराल भिन्नता श्रृंखला एक श्रृंखला है जिसमें विशेषता मान अंतराल के रूप में व्यक्त किए जाते हैं. पृष्ठ पर दिए गए 34 व्यक्तिगत उद्यमियों के दैनिक कारोबार के आंकड़ों के आधार पर, हम एक विविधता का निर्माण करेंगे अंतराल श्रृंखला(सारणी 3.2)

तालिका 3.2

कॉलम 3 आवृत्ति दिखाता है - उन उद्यमियों की संख्या जिनका एक दिवसीय कारोबार एक निश्चित अंतराल (कॉलम 2) के भीतर आता है। कॉलम 4 में, प्रतिशत आवृत्ति की गणना सूत्र 3.1 के अनुसार की जाती है। तो पहले समूह (3.1 - 3.9) के लिए बारंबारता बराबर होगी

इसी तरह, आवृत्ति की गणना अन्य समूहों के लिए की जाती है। कॉलम 5 भिन्नों में बारंबारता को दर्शाता है। इसे या तो गणना करके प्राप्त किया जा सकता है

या प्रतिशत को शेयरों में परिवर्तित करके। गणना करते समय, दशमलव रूप में डेटा को 3 दशमलव स्थानों तक की सटीकता के साथ दिखाया जाना चाहिए। यह गणना की सटीकता और संबंधित अंतिम डेटा की प्राप्ति में सुधार करता है। तो प्रतिशत में आवृत्तियों का योग 100% के बराबर होना चाहिए, और अंशों में - 1 के बराबर।

तालिका 3.2 का कॉलम 6 पूर्ण घनत्व मान दिखाता है। गणना सूत्र 3.2 के अनुसार की जाती है। तो पहले समूह के लिए, पूर्ण घनत्व बराबर होगा

यदि आवृत्ति () को कॉलम 3 से लिया जाता है, तो अंतराल () के मान को पहले समूह के अंतराल की ऊपरी सीमा (3.9) और निचली सीमा (3.1) के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है, अर्थात। . इसी तरह, अन्य समूहों के लिए पूर्ण घनत्व की गणना की जाती है। गणना करने के बाद, उन्हें एक आर्थिक व्याख्या देना आवश्यक है। इसलिए, उदाहरण के लिए, पहले समूह का पूर्ण घनत्व बताता है कि प्रत्येक हजार रूबल के लिए। पहले समूह में कारोबार 5 उद्यमियों के लिए जिम्मेदार था।

तालिका 3.2 का कॉलम 7 आपेक्षिक घनत्व मान दर्शाता है। गणना सूत्र 3.3 के अनुसार की जाती है। तो पहले समूह के लिए, आपेक्षिक घनत्व बराबर होगा

इसी तरह, अन्य समूहों के लिए सापेक्ष घनत्व की गणना की जाती है। पहले समूह का आपेक्षिक घनत्व इंगित करता है कि पहले समूह में प्रति हजार टर्नओवर में आने वाले उद्यमियों का हिस्सा 0.147 है।

तालिका 3.3 का कॉलम 2 टर्नओवर को अंतराल के रूप में दिखाता है, और कॉलम 3 टर्नओवर को असतत मूल्यों के रूप में दिखाता है। पहले समूह के लिए, असतत मान की गणना निम्नानुसार की जाती है

इसी तरह, टर्नओवर की गणना फॉर्म में की जाती है असतत मात्राऔर अन्य समूहों के लिए।

अक्सर, परिवर्तनशील श्रृंखला का विश्लेषण करते समय, विशेषता के मूल्यों को बदलते समय (मुख्य रूप से आरोही क्रम में) जनसंख्या की मात्रा में परिवर्तन को समझने की आवश्यकता होती है। इसके लिए संचयी आवृत्तियों या संचयी आवृत्तियों जैसी अवधारणाओं का उपयोग किया जाता है। संचित आवृत्तियाँ ( )श्रृंखला की शुरुआत में सुविधाओं के एक निश्चित मूल्य तक, समावेशी आवृत्तियों का योग है। संचित आवृत्तियाँ श्रृंखला की शुरुआत से फीचर के एक निश्चित मूल्य, समावेशी तक आवृत्तियों का योग है।तालिका के अनुसार इन संकेतकों के मूल्यों को खोजने पर विचार करें। 3.4 तालिका के कॉलम 6 में। 3.4 संचित आवृत्तियों को दर्शाता है। पहले समूह (कॉलम 1) में 4 उद्यमियों (कॉलम 4) का टर्नओवर 3.1 से 3.9 हजार रूबल था। (समूह 2) या 3.5 हजार रूबल का औसत कारोबार। (समूह 3)। चूँकि यह पहला समूह है, संचित आवृत्ति, अर्थात्। उद्यमियों की संख्या 4 (कॉलम 6) के बराबर होगी। दूसरे समूह में, 3.9 से 4.7 हजार रूबल के कारोबार वाले उद्यमियों की संख्या। या 4.3 हजार रूबल का औसत कारोबार। 5 लोगों के बराबर। इसलिए संचित आवृत्ति, अर्थात्। 3.1 से 4.7 हजार रूबल के कारोबार वाले उद्यमियों की संख्या। या औसतन 4.3 हजार रूबल से कम, 9=4+5 के बराबर होगा। तीसरे समूह के लिए, संचयी आवृत्ति 16=4+5+7 होगी, इत्यादि। संचयी आवृत्ति की गणना उसी तरह की जाती है।

माध्यमिक समूहन

व्यवहार में, कभी-कभी पहले से मौजूद समूहों का उपयोग करना आवश्यक होता है, जो अंतराल की असमान सीमाओं या विशिष्ट समूहों की एक अलग संख्या के कारण तुलनीय नहीं हो सकते हैं। ऐसे समूहों को तुलनीय रूप में लाने के लिए द्वितीयक समूहन की विधि का प्रयोग किया जाता है।

माध्यमिक समूहनपहले से निर्मित समूह के आधार पर नए समूहों का निर्माण होता है।

द्वितीयक समूहन में, नए समूह बनाने की दो विधियों का उपयोग किया जाता है:

• पहला तरीका मूल अंतराल को मजबूत करना है। यह द्वितीयक समूहन का सबसे सरल और सबसे सामान्य तरीका है।
• दूसरी विधि को साझा पुनर्समूहन की विधि कहा जाता है और इसमें यह तथ्य शामिल होता है कि प्रत्येक समूह को जनसंख्या इकाइयों का एक निश्चित अनुपात सौंपा जाता है।

वितरण रैंक

समूहीकरण एक वितरण श्रृंखला के आधार पर बनाया जा सकता है। वहीं, ग्रुपिंग के आधार पर पंक्तियों का निर्माण किया जा सकता है। एक सांख्यिकीय घटना का व्यापक अध्ययन सबसे अधिक फलदायी होता है यदि यह समूहीकरण की प्रणाली पर आधारित हो। समूहीकरण प्रणाली परस्पर जुड़ी हुई श्रृंखला है सांख्यिकीय समूहसबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं के अनुसार, घटना के सबसे महत्वपूर्ण पहलुओं को व्यापक रूप से दर्शाती है।

वितरण के निकटकिसी विशेषता के अनुसार समूहों में जनसंख्या इकाइयों के क्रमबद्ध वितरण को कहते हैं।

वितरण पंक्तियों के प्रकार:

• - जिम्मेदार;
• - परिवर्तनशील - असतत और अंतराल।

दूसरे शब्दों में, वितरण श्रृंखला समूहीकरण का परिणाम है।

एक विशेषता श्रृंखला को एक विशेषता के अनुसार वितरण की एक श्रृंखला के रूप में समझा जाता है जिसमें मात्रात्मक माप नहीं होता है। उदाहरण के लिए, "सामाजिक स्थिति", "पेशे", "लिंग", आदि के आधार पर एक विशेषता श्रृंखला संकलित की जा सकती है।

सारणीबद्ध रूप में प्रस्तुत किसी भी पंक्ति में दो स्तंभ होते हैं। पहला कॉलम अध्ययन के तहत विशेषता के मूल्यों (विशेषण या मात्रात्मक) को इंगित करता है। दूसरा कॉलम उन अवलोकन इकाइयों की संख्या को रिकॉर्ड करता है जिनके पास दिए गए मान हैं। इस प्रकार, प्रत्येक वर्गीकरण समूह में एक विशेषता के मूल्य को निर्धारित करने और इस समूह में आने वाले तत्वों की संख्या निर्धारित करने के लिए भिन्नता श्रृंखला का निर्माण कम हो जाता है।

वितरण श्रृंखला में किसी विशेषता के प्रत्येक व्यक्तिगत मान को एक प्रकार कहा जाता है।

प्रत्येक वर्गीकरण समूह में तत्वों की संख्या या किसी दिए गए प्रकार के संयोजन में तत्वों की संख्या को आवृत्ति कहा जाता है, या, दूसरे शब्दों में, प्रत्येक व्यक्तिगत समूह में निहित अवलोकन की इकाइयों की संख्या को आमतौर पर वितरण श्रृंखला की आवृत्ति कहा जाता है। .

समुच्चय में इस समूह के अनुपात को आवृत्ति कहा जाता है। आवृत्ति या संरचना, किसी दिए गए वर्गीकरण समूह की जनसंख्या के अनुपात को दर्शाती है।

आवृत्ति - अध्ययन किए गए तत्वों की कुल संख्या की आवृत्ति का अनुपात, अर्थात जनसंख्या का आयतन।

आइए हम बारंबारता को n या f से, बारंबारता को p या j से निरूपित करें।

असतत श्रृंखला का एक उदाहरण।

एक विषय में 15 लोगों के अर्थशास्त्र के छात्रों के समूह में प्रगति।