यादृच्छिक चर। वितरण बहुभुज
5.2. असतत वितरण कानून अनियमित चर. वितरण बहुभुज
पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि एक असतत यादृच्छिक चर निर्दिष्ट करने के लिए, इसके सभी संभावित मूल्यों को सूचीबद्ध करने के लिए पर्याप्त है। वास्तव में, ऐसा नहीं है: यादृच्छिक चर में संभावित मूल्यों की समान सूची हो सकती है, लेकिन उनकी संभावनाएं भिन्न होती हैं। इसलिए, एक असतत यादृच्छिक चर सेट करने के लिए, इसके सभी संभावित मूल्यों को सूचीबद्ध करना पर्याप्त नहीं है; किसी को उनकी संभावनाओं को भी इंगित करना चाहिए।
असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियमसंभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच पत्राचार का नाम दें; इसे सारणीबद्ध रूप से, विश्लेषणात्मक रूप से (सूत्र के रूप में) और ग्राफिक रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है।
परिभाषा।कोई भी नियम (तालिका, कार्य, ग्राफ) जो आपको मनमानी घटनाओं की संभावनाओं को खोजने की अनुमति देता है ए एस (एस- -अंतरिक्ष की घटनाओं का बीजगणित ), विशेष रूप से, एक यादृच्छिक चर या इन मूल्यों के एक सेट के व्यक्तिगत मूल्यों की संभावनाओं को दर्शाता है, कहा जाता है यादृच्छिक चर वितरण कानून(या केवल: वितरण) आर.वी. के बारे में ऐसा कहा जाता है कि "यह वितरण के दिए गए कानून का पालन करता है।"
होने देना एक्स- d.r.v., जो मान लेता है एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन,… (इन मानों का समुच्चय परिमित या गणनीय है) कुछ प्रायिकता के साथ पी मैं, कहाँ पे मैं = 1,2,…, एन,… डी.आर.वी. का वितरण कानून। सूत्र का उपयोग करके सेट करने के लिए सुविधाजनक पी मैं = पी{एक्स = एक्स मैं)कहाँ पे मैं = 1,2,…, एन,…, जो इस प्रायिकता को निर्धारित करता है कि, प्रयोग के परिणामस्वरूप, r.v. एक्सअर्थ पर ले जाएगा एक्स मैं. डी.आर.वी. के लिए एक्सवितरण कानून के रूप में दिया जा सकता है वितरण तालिका:
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एक्स एन | |||||
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आर एन |
जब एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण के कानून का एक सारणीबद्ध असाइनमेंट, तालिका की पहली पंक्ति में संभावित मान होते हैं, और दूसरी - उनकी संभावनाएं। ऐसी तालिका कहलाती है वितरण के निकट.
यह ध्यान में रखते हुए कि एक परीक्षण में यादृच्छिक चर एक और केवल एक संभावित मान लेता है, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि घटनाएं एक्स = एक्स 1 , एक्स = एक्स 2 , ..., एक्स = एक्स एनप्रपत्र पूरा समूह; इसलिए, इन घटनाओं की संभावनाओं का योग, अर्थात। तालिका की दूसरी पंक्ति की प्रायिकताओं का योग एक के बराबर होता है, अर्थात .
यदि संभव मानों का समुच्चय एक्सअनंत (गणनीय), फिर श्रृंखला आर 1 + आर 2 + ... अभिसरण करता है और इसका योग एक के बराबर होता है।
उदाहरण।नकद लॉटरी में 100 टिकट जारी किए गए। 50 रूबल की एक जीत खेली जाती है। और 1 रगड़ की दस जीत। एक यादृच्छिक चर के वितरण के नियम का पता लगाएं एक्स- एक लॉटरी टिकट के मालिक के लिए संभावित जीत की लागत।
समाधान।आइए संभावित मान लिखें एक्स: एक्स 1 = 50, एक्स 2 = 1, एक्स 3 = 0. इन संभावित मानों की प्रायिकताएँ हैं: आर 1 = 0,01, आर 2 = 0,01, आर 3 = 1 – (आर 1 + आर 2)=0,89.
आइए वांछित वितरण कानून लिखें:
नियंत्रण: 0.01 + 0.1 + 0.89 = 1.
उदाहरण।एक कलश में 8 गेंदें होती हैं, जिनमें से 5 सफेद और शेष काली होती हैं। इसमें से यादृच्छिक रूप से 3 गेंदें निकाली जाती हैं। नमूने में सफेद गेंदों की संख्या के लिए वितरण कानून खोजें।
समाधान।आर.वी. के संभावित मान एक्स- नमूने में सफेद गेंदों की संख्या है एक्स 1 = 0, एक्स 2 = 1, एक्स 3 = 2, एक्स 4 = 3. उनकी प्रायिकताएँ क्रमशः होंगी
;
;
.
हम वितरण नियम को तालिका के रूप में लिखते हैं।
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नियंत्रण: 
.
डी.आर.वी. का वितरण नियम ग्राफिक रूप से सेट किया जा सकता है, यदि आरवी के संभावित मूल्यों को एब्सिस्सा अक्ष पर प्लॉट किया जाता है, और इन मूल्यों की संभावनाओं को ऑर्डिनेट अक्ष पर प्लॉट किया जाता है। एक बहुभुज रेखा जो क्रमिक रूप से बिंदुओं को जोड़ती है ( एक्स 1 , आर 1), (एक्स 2 , आर 2),... कहा जाता है बहुभुज(या बहुभुज) वितरण(चित्र 5.1 देखें)।
चावल। 5.1. वितरण बहुभुज
अब हम d.r.v की अधिक सटीक परिभाषा दे सकते हैं।
परिभाषा।यादृच्छिक मूल्य एक्स असतत हैयदि संख्याओं का एक परिमित या गणनीय समुच्चय है एक्स 1 , एक्स 2 ,… ऐसा कि पी{एक्स = एक्स मैं } = पी मैं > 0 (मैं= 1,2,…) और पी 1 + पी 2 + आर 3 +… = 1.
आइए असतत r.v पर गणितीय संक्रियाओं को परिभाषित करें।
परिभाषा।जोड़ (अंतर, काम) डी.आर.वी. एक्स, जो मान लेता है एक्स मैंसंभावनाओं के साथ पी मैं = पी{एक्स = एक्स मैं }, मैं = 1, 2, …, एन, और डी.आर.वी. यू, जो मान लेता है आप जे संभावनाओं के साथ पी जे = पी{यू = आप जे }, जे = 1, 2, …, एम, d.r.v कहा जाता है। जेड = एक्स + यू (जेड = एक्स – यू, जेड = एक्स यू) मान लेना जेड आईजेयू = एक्स मैं + आप जे (जेड आईजेयू = एक्स मैं – आप जे , जेड आईजेयू = एक्स मैं आप जे) संभावनाओं के साथ पी आईजेयू = पी{एक्स = एक्स मैं , यू = आप जे) सभी निर्दिष्ट मूल्यों के लिए मैंतथा जे. अगर कुछ राशि मेल खाती है एक्स मैं + आप जे (मतभेद एक्स मैं – आप जे, काम करता है एक्स मैं आप जे) संबंधित संभावनाएं जुड़ती हैं।
परिभाषा।कामडी.आर.वी. पर के साथ संख्या d.r.v कहा जाता है सीएक्स, जो मान लेता है साथएक्स मैंसंभावनाओं के साथ पी मैं = पी{एक्स = एक्स मैं }.
परिभाषा।दो डी.आर.वी. एक्सतथा यूबुलाया स्वतंत्र, यदि घटनाएँ ( एक्स = एक्स मैं } = ए मैंतथा ( यू = आप जे } = बी जेकिसी के लिए स्वतंत्र मैं = 1, 2, …, एन, जे = 1, 2, …, एम, वह है
अन्यथा, आर.वी. बुलाया आश्रित. कई आर.वी. पारस्परिक रूप से स्वतंत्र कहलाते हैं यदि उनमें से किसी का वितरण कानून इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि अन्य मात्राओं ने क्या संभावित मान लिए हैं।
सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले वितरण कानूनों में से कुछ पर विचार करें।
कार्य 14.नकद लॉटरी में, 1,000,000 रूबल की 1 जीत खेली जाती है, प्रत्येक 100,000 रूबल की 10 जीत। और 1000 रूबल की 100 जीत। पर कुल गणनाटिकट 10000. यादृच्छिक जीत के वितरण के नियम का पता लगाएं एक्सएक लॉटरी टिकट के मालिक के लिए।
समाधान. के लिए संभावित मान एक्स: एक्स 1 = 0; एक्स 2 = 1000; एक्स 3 = 100000;
एक्स 4 \u003d 1000000। उनकी संभावनाएं क्रमशः बराबर हैं: आर 2 = 0,01; आर 3 = 0,001; आर 4 = 0,0001; आर 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.
इसलिए, अदायगी का वितरण कानून एक्सनिम्नलिखित तालिका द्वारा दिया जा सकता है:
टास्क 15. असतत यादृच्छिक चर एक्सवितरण कानून द्वारा दिया गया:
एक वितरण बहुभुज का निर्माण करें।
समाधान. हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली का निर्माण करते हैं, और भुज अक्ष के साथ हम संभावित मूल्यों की साजिश रचेंगे एक्स मैं,और y-अक्ष के अनुदिश - संगत प्रायिकता पी मैं. आइए अंक बनाते हैं एम 1 (1;0,2), एम 2 (3;0,1), एम 3 (6; 0.4) और एम 4 (8; 0.3)। इन बिंदुओं को रेखाखंडों से जोड़ने पर हमें वांछित बंटन बहुभुज प्राप्त होता है।
2. संख्यात्मक विशेषताएंयादृच्छिक चर
एक यादृच्छिक चर पूरी तरह से इसके वितरण कानून की विशेषता है। एक यादृच्छिक चर का औसत विवरण उसकी संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है
2.1. अपेक्षित मूल्य। फैलाव।
एक यादृच्छिक चर को क्रमशः प्रायिकता वाले मानों पर ले जाने दें।
परिभाषा। असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इसके सभी संभावित मूल्यों और संबंधित संभावनाओं के उत्पादों का योग है:
गणितीय अपेक्षा के गुण।
माध्य मान के चारों ओर एक यादृच्छिक चर का फैलाव विचरण और औसत द्वारा विशेषता है मानक विचलन.
यादृच्छिक चर के प्रसरण को कहते हैं अपेक्षित मूल्यकिसी यादृच्छिक चर का उसकी गणितीय अपेक्षा से वर्ग विचलन:
गणना के लिए निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता है
फैलाव गुण।
2. , जहां परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं।
3. मानक विचलन।
टास्क 16.एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं जेड = एक्स+ 2यू, यदि यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाएं ज्ञात हैं एक्सतथा यू: एम(एक्स) = 5, एम(यू) = 3.
समाधान. हम गणितीय अपेक्षा के गुणों का उपयोग करते हैं। तब हमें मिलता है:
एम(एक्स+ 2यू)= एम(एक्स) + एम(2यू) = एम(एक्स) + 2एम(यू) = 5 + 2 . 3 = 11.
टास्क 17.यादृच्छिक चर का प्रसरण एक्स 3 के बराबर। यादृच्छिक चरों का प्रसरण ज्ञात कीजिए: a) -3 एक्स;बी 4 एक्स + 3.
समाधान. आइए फैलाव के गुण 3, 4 और 2 लागू करें। हमारे पास है:
एक) डी(–3एक्स) = (–3) 2 डी(एक्स) = 9डी(एक्स) = 9 . 3 = 27;
बी) डी(4एक्स + 3) = डी(4एक्स) + डी(3) = 16डी(एक्स) + 0 = 16 . 3 = 48.
टास्क 18.एक स्वतंत्र यादृच्छिक चर दिया गया है यूएक पासे को फेंकने से प्राप्त अंकों की संख्या है। एक यादृच्छिक चर का वितरण नियम, गणितीय अपेक्षा, प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए यू.
समाधान।यादृच्छिक चर वितरण तालिका यूकी तरह लगता है:
फिर एम(यू) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3.5;
डी(यू) \u003d (1 - 3.5) 2 1/6 + (2 - 3.5) 2/6 + (3 - 3.5) 2 1/6 + (4 - 3.5) 2/6 + (5 - -3.5) 2 1/ 6 + (6 - 3.5) 2. 1/6 \u003d 2.917; σ (यू) =Ö 2,917 = 1,708.
अनियमित चरएक मात्रा कहलाती है, जो एक प्रयोग के परिणामस्वरूप, एक या दूसरे मूल्य पर ले जा सकती है जो पहले से ज्ञात नहीं है। यादृच्छिक चर हैं असतत (असतत)तथा निरंतरप्रकार। असंतत मात्राओं के संभावित मूल्यों की गणना पहले से की जा सकती है। निरंतर मात्राओं के संभावित मूल्यों की गणना पहले से नहीं की जा सकती है और लगातार एक निश्चित अंतराल को भरते हैं।
असतत यादृच्छिक चर का एक उदाहरण:
1) तीन सिक्कों के उछाल में हथियारों के कोट की उपस्थिति की संख्या। (संभावित मान 0;1;2;3) हैं
2) एक ही प्रयोग में हथियारों के कोट की उपस्थिति की आवृत्ति। (संभावित मान)
3) पांच तत्वों से युक्त डिवाइस में विफल तत्वों की संख्या। (संभावित मान 0;1;2;3;4;5) हैं
निरंतर यादृच्छिक चर के उदाहरण:
1) निकाल दिए जाने पर प्रभाव के बिंदु का एब्सिस्सा (कोर्डिनेट)।
2) प्रभाव के बिंदु से लक्ष्य के केंद्र तक की दूरी।
3) डिवाइस (रेडियो ट्यूब) के गैर-विफलता संचालन का समय।
रैंडम वेरिएबल्स को बड़े अक्षरों से और उनके संभावित मूल्यों को संबंधित छोटे अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, X तीन शॉट वाले हिट की संख्या है; संभावित मान: एक्स 1 = 0, एक्स 2 = 1, एक्स 3 = 2, एक्स 4 = 3।
संभावित मान X 1, X 2,…, X n के साथ एक असंतत यादृच्छिक चर X पर विचार करें। इनमें से प्रत्येक मान संभव है, लेकिन निश्चित नहीं है, और X का मान उनमें से प्रत्येक को कुछ संभावना के साथ ले सकता है। प्रयोग के परिणामस्वरूप, मात्रा X इन मानों में से एक मान लेगी, अर्थात असंगत घटनाओं के पूरे समूह में से एक घटित होगा।
आइए हम इन घटनाओं की संभावनाओं को संबंधित सूचकांकों के साथ p अक्षर से निरूपित करें:
चूँकि असंगत घटनाएँ एक पूर्ण समूह बनाती हैं, तो
अर्थात्, यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों की संभावनाओं का योग 1 के बराबर है। यह कुल संभावना किसी तरह व्यक्तिगत मूल्यों के बीच वितरित की जाती है। एक यादृच्छिक चर पूरी तरह से एक संभाव्य दृष्टिकोण से वर्णित किया जाएगा यदि हम इस वितरण को निर्दिष्ट करते हैं, अर्थात, हम इंगित करते हैं कि प्रत्येक घटना की वास्तव में क्या संभावना है। (यह यादृच्छिक चर के वितरण के तथाकथित कानून को स्थापित करेगा।)
यादृच्छिक चर के वितरण का नियमकोई भी संबंध जो एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और संबंधित संभाव्यता के बीच संबंध स्थापित करता है, कहलाता है। (एक यादृच्छिक चर के बारे में, हम कहेंगे कि यह दिए गए वितरण कानून के अधीन है)
एक यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को निर्दिष्ट करने का सबसे सरल रूप एक तालिका है जो एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं को सूचीबद्ध करती है।
तालिका एक।
| एक्स मैं | x1 | x2 | … | एक्स एन |
| अनुकरणीय | पी1 | पी2 | … | पी न |
ऐसी तालिका कहलाती है वितरण के निकटयादृच्छिक चर।
वितरण श्रृंखला को और अधिक दृश्यात्मक बनाने के लिए, एक इसका सहारा लेता है ग्राफिक छवि: एब्सिस्सा अक्ष पर, एक यादृच्छिक चर के संभावित मान प्लॉट किए जाते हैं, और समन्वय अक्ष पर, इन मानों की संभावनाएं। (स्पष्टता के लिए, प्राप्त बिंदु रेखाखंडों से जुड़े हुए हैं।)
चित्र 1 - वितरण बहुभुज
ऐसी आकृति कहलाती है वितरण बहुभुज. वितरण बहुभुज, वितरण श्रृंखला की तरह, पूरी तरह से यादृच्छिक चर की विशेषता है; यह वितरण के नियम का एक रूप है।
उदाहरण:
एक प्रयोग किया जाता है जिसमें घटना A प्रकट हो या न हो। घटना A की संभावना = 0.3। एक यादृच्छिक चर X माना जाता है - इस प्रयोग में घटना A की घटनाओं की संख्या। एक्स के वितरण की एक श्रृंखला और बहुभुज बनाना आवश्यक है।
तालिका 2।
| एक्स मैं | ||
| अनुकरणीय | 0,7 | 0,3 |
चित्र 2 - वितरण कार्य
वितरण समारोहयादृच्छिक चर की एक सार्वभौमिक विशेषता है। यह सभी यादृच्छिक चर के लिए मौजूद है: असंतत और गैर-असंतत दोनों। वितरण फ़ंक्शन पूरी तरह से एक संभाव्य दृष्टिकोण से एक यादृच्छिक चर की विशेषता है, अर्थात यह वितरण कानून के रूपों में से एक है।
इस संभाव्यता वितरण को मापने के लिए, घटना एक्स = एक्स की संभावना नहीं, बल्कि घटना एक्स की संभावना का उपयोग करना सुविधाजनक है। बंटन फलन F(x) को कभी-कभी समाकलन वितरण फलन या समाकलन वितरण नियम भी कहा जाता है। एक यादृच्छिक चर के वितरण समारोह के गुण 1. वितरण फलन F(x) इसके तर्क का एक गैर-घटता हुआ फलन है, अर्थात् के लिए; 2. शून्य से अनंत पर: 3. प्लस इन्फिनिटी पर: चित्र 3 - वितरण फलन का ग्राफ वितरण समारोह प्लॉटसामान्य स्थिति में, यह एक गैर-घटते फ़ंक्शन का एक ग्राफ है, जिसके मान 0 से शुरू होते हैं और 1 तक पहुंचते हैं। एक यादृच्छिक चर के वितरण श्रृंखला को जानने के बाद, एक यादृच्छिक चर के वितरण समारोह का निर्माण करना संभव है। उदाहरण: पिछले उदाहरण की शर्तों के लिए, एक यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन का निर्माण करें। आइए वितरण फ़ंक्शन X का निर्माण करें: चित्र 4 - वितरण फलन X वितरण समारोहकिसी भी असतत असतत यादृच्छिक चर में हमेशा एक असंतत चरण फ़ंक्शन होता है जिसकी छलांग यादृच्छिक चर के संभावित मानों के अनुरूप बिंदुओं पर होती है और इन मानों की संभावनाओं के बराबर होती है। वितरण फलन में सभी छलांगों का योग 1 . है. जैसे-जैसे यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों की संख्या बढ़ती है और उनके बीच का अंतराल कम होता जाता है, कूदने की संख्या बड़ी होती जाती है, और छलांग खुद छोटी होती जाती है: चित्र 5 चरण वक्र चिकना हो जाता है: चित्र 6 एक यादृच्छिक चर धीरे-धीरे एक निरंतर मूल्य के करीब पहुंचता है, और इसका वितरण फ़ंक्शन एक निरंतर कार्य करता है। ऐसे यादृच्छिक चर भी होते हैं जिनके संभावित मान लगातार एक निश्चित अंतराल को भरते हैं, लेकिन जिसके लिए वितरण फ़ंक्शन हर जगह निरंतर नहीं होता है। और कुछ बिंदुओं पर यह टूट जाता है। ऐसे यादृच्छिक चर मिश्रित कहलाते हैं। चित्र 7 एक यादृच्छिक चर की अवधारणा। यादृच्छिक चर का वितरण नियम यादृच्छिक चर (संक्षिप्त: r.v.) को बड़े लैटिन अक्षरों X, Y, द्वारा दर्शाया जाता है। जेड,...(या लोअरकेस ग्रीक अक्षर ξ (xi), η (यह),
(थीटा),
(साई), आदि), और उनके द्वारा लिए गए मान, क्रमशः, छोटे अक्षरों में x 1 ,
एक्स 2 ,…,
1 ,
दो पर ,
3 …
उदाहरणसाथ। में। सेवा कर सकते हैं: 1) एक्स- पासा फेंकते समय दिखाई देने वाले अंकों की संख्या; 2) वाई - लक्ष्य पर पहली हिट से पहले शॉट्स की संख्या; 3) जेड- डिवाइस का अपटाइम, आदि। (मानव ऊंचाई, डॉलर विनिमय दर, एक बैच में दोषपूर्ण भागों की संख्या, हवा का तापमान, खिलाड़ी का लाभ, एक बिंदु का समन्वय अगर इसे बेतरतीब ढंग से चुना जाता है, कंपनी का लाभ, ...)। यादृच्छिक चर XΏ वू एक्स (डब्ल्यू), यानी। एक्स= एक्स (डब्ल्यू), डब्ल्यू(या एक्स = एफ(डब्ल्यू)) (31)
उदाहरण 1।
एक सिक्के को 2 बार उछालने का अनुभव होता है। PES =( w 1 , w 2 , w 3 , w 4 ) पर, जहाँ w 1 =
जीजी, डब्ल्यू 2
= जीआर, डब्ल्यू 3 = आरजी, डब्ल्यू 4 =
आरआर, आप के साथ विचार कर सकते हैं। में। एक्स- हथियारों के कोट के दिखावे की संख्या। एस. वी. एक्सप्रारंभिक घटना का एक कार्य है w i :एक्स(डब्ल्यू 1 )
= 2, एक्स(डब्ल्यू 2 ) =
1, एक्स(डब्ल्यू 3 ) =
1, एक्स(डब्ल्यू 4 )=
0; एक्स- डी.एस. में। मान x 1 . के साथ =
0,x2 =1
, एक्स 3 = 2. एक्स (डब्ल्यू) एसपी (ए) = पी (एक्स .)< एक्स)।
एक्स- डी.एस. में।, x 1 , x 2 , x 3 ,…,x n ,… पी मैं,कहाँ पे मैं = 1,2,3, ..., एन, ...। वितरण कानूनडी.एस. में। पी मैं = पी (एक्स = एक्स आई},
मैं = 1,2,3,...,एन,..., साथ। में। एक्सएक्स मैं । : घटनाओं के बाद से (एक्स =एक्स 1 ), (एक्स =एक्स 2 ),…, (एक्स =एक्स एन), यानी। .
(एक्स 1 ,
p1 ),
(x 2 , p 2),…, (x n , p n) कहलाते हैं बहुभुज(या बहुभुज) वितरण(अंजीर देखें। 17)। यादृच्छिक मूल्य एक्स असतत है,यदि संख्याओं का एक परिमित या गणनीय सेट है x 1 ,
x2 ,
..., x n ऐसा है कि पी (एक्स =एक्स मैं) = पी मैं
> 0 (मैं = 1,2,...) पी 1 +
p2 +
पी 3 +…=
1 (32)
जोड़डी.एस. में। X, जो प्रायिकताओं के साथ x i मान लेता है p i = (Х = x i ), i = 1,2,3,...,n, और d.s. में। Y, y j को प्रायिकताओं के साथ लेते हुए p i = P(Y = y j ), j = 1,2,3,...,m, को d.s कहा जाता है। में। Z = X + Y, सभी निर्दिष्ट मानों के लिए z ij = x i + y j को प्रायिकताओं के साथ लेते हुए p ij = Р(Х = x i,Y = y j) मैंऔर जे. यदि कुछ योग x i + y j संपाती हों, तो संगत प्रायिकताएँ जोड़ी जाती हैं। अंतरडी.एस. में। X, जो प्रायिकताओं के साथ x i मान लेता है p i = (Х = x i ), i = 1,2,3,...,n, और d.s. में। Y, y j को प्रायिकताओं के साथ लेते हुए p i = P(Y = y j ), j = 1,2,3,...,m, को d.s कहा जाता है। में। Z = X - Y, सभी निर्दिष्ट मानों के लिए z ij = x i - y j को प्रायिकताओं के साथ लेते हुए p ij = Р(Х = x i,Y = y j) मैंऔर जे. यदि कुछ अंतर x i - y j संपाती हों, तो संगत प्रायिकताएँ जोड़ी जाती हैं। कामडी.एस. में। X, जो प्रायिकताओं के साथ x i मान लेता है p i = (Х = x i ), i = 1,2,3,...,n, और d.s. में। Y, y j को प्रायिकताओं के साथ लेते हुए p i = P(Y = y j ), j = 1,2,3,...,m, को d.s कहा जाता है। में। Z = X × Y, सभी निर्दिष्ट मानों के लिए z ij = x i × y j को प्रायिकताओं के साथ लेते हुए p ij = (Х = x i,Y = y j) मैंऔर जे. यदि कुछ गुणनफल x i × y j संपाती हों, तो संगत प्रायिकताएँ जोड़ी जाती हैं। डी.एस. में। сХ, с x i р i = Р(Х = x i )। X और Y घटनाएँ (X = x i ) = i और (Y = y j ) = В j किसी भी i= 1,2,...,n के लिए स्वतंत्र हैं; जे = एल,2,...,एम, यानी, पी (एक्स = एक्स आई; वाई = वाई जे) = पी (एक्स = एक्स आई) × पी (वाई = वाई जे) (33) उदाहरण 2एक कलश में 8 गेंदें होती हैं, जिनमें से 5 सफेद और शेष काली होती हैं। इसमें से यादृच्छिक रूप से 3 गेंदें निकाली जाती हैं। नमूने में सफेद गेंदों की संख्या के लिए वितरण कानून खोजें। अनुभव कुछ शर्तों और कार्यों का कोई कार्यान्वयन है जिसके तहत अध्ययन की गई यादृच्छिक घटना देखी जाती है। प्रयोगों को गुणात्मक और मात्रात्मक दोनों तरह से चित्रित किया जा सकता है। एक यादृच्छिक मूल्य एक मात्रा है, जो एक प्रयोग के परिणामस्वरूप, एक या दूसरे मूल्य पर ले सकता है, और यह पहले से ज्ञात नहीं है कि कौन सा है। यादृच्छिक चर आमतौर पर निरूपित होते हैं (X,Y,Z), और संबंधित मान (x,y,z) असतत को यादृच्छिक चर कहा जाता है जो एक दूसरे से अलग-अलग मान लेते हैं, जिन्हें कम करके आंका जा सकता है। निरंतर मात्राजिनके संभावित मान लगातार एक निश्चित सीमा को भरते हैं। एक यादृच्छिक चर का वितरण कानून कोई भी संबंध है जो यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं के बीच संबंध स्थापित करता है। श्रृंखला और बहुभुज वितरण। वितरण कानून का सबसे सरल रूप असतत मात्रावितरण श्रृंखला है। ग्राफिक व्याख्यावितरण श्रृंखला एक वितरण बहुभुज है। आप वैज्ञानिक खोज इंजन Otvety.Online में रुचि की जानकारी भी प्राप्त कर सकते हैं। खोज फ़ॉर्म का उपयोग करें:
एक्स एक्स 1 x2 ….
एक्स एन …
पी p1 p2 ….
पी नहीं …
विषय पर अधिक 13. असतत यादृच्छिक चर। वितरण बहुभुज। यादृच्छिक चर के साथ संचालन, उदाहरण के लिए:
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