गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने का नियम। गॉस विधि: रैखिक समीकरणों, उदाहरणों, समाधानों की एक प्रणाली को हल करने के लिए एल्गोरिदम का विवरण

गॉस विधि आसान है!क्यों? प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ जोहान कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अपने जीवनकाल के दौरान, अब तक के सबसे महान गणितज्ञ, एक प्रतिभाशाली और यहां तक ​​​​कि "गणित के राजा" उपनाम के रूप में मान्यता प्राप्त की। और सब कुछ सरल, जैसा कि आप जानते हैं, सरल है!वैसे, न केवल चूसने वाले, बल्कि प्रतिभाशाली भी पैसे में आते हैं - गॉस का चित्र 10 Deutschmark (यूरो की शुरूआत से पहले) के बिल पर फहराया गया था, और गॉस अभी भी रहस्यमय तरीके से साधारण डाक टिकटों से जर्मनों पर मुस्कुराता है।

गॉस विधि इस मायने में सरल है कि इसमें महारत हासिल करने के लिए पांचवीं कक्षा के छात्र का ज्ञान पर्याप्त है। जोड़ने और गुणा करने में सक्षम होना चाहिए!यह कोई संयोग नहीं है कि विधि अनुक्रमिक बहिष्करणअज्ञात शिक्षकों को अक्सर स्कूल गणित ऐच्छिक में माना जाता है। यह एक विरोधाभास है, लेकिन गॉस पद्धति छात्रों के लिए सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनती है। कुछ भी आश्चर्य की बात नहीं है - यह सब कार्यप्रणाली के बारे में है, और मैं विधि के एल्गोरिदम के बारे में एक सुलभ रूप में बताने की कोशिश करूंगा।

सबसे पहले, हम सिस्टम के बारे में ज्ञान को थोड़ा व्यवस्थित करते हैं। रेखीय समीकरण. रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कर सकते हैं:

1)हैव केवल निर्णय.
2) असीम रूप से कई समाधान हैं।
3) कोई समाधान नहीं है (be .) असंगत).

समाधान खोजने के लिए गॉस विधि सबसे शक्तिशाली और बहुमुखी उपकरण है कोईरैखिक समीकरणों की प्रणाली। जैसा कि हम याद करते हैं क्रैमर का नियम और मैट्रिक्स विधिउन मामलों में अनुपयुक्त हैं जहां सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं या असंगत हैं। अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की एक विधि वैसे भीहमें उत्तर की ओर ले चलो! इस पाठ में, हम फिर से केस नंबर 1 (सिस्टम का एकमात्र समाधान) के लिए गॉस विधि पर विचार करेंगे, लेख अंक संख्या 2-3 की स्थितियों के लिए आरक्षित है। मैं ध्यान देता हूं कि विधि एल्गोरिथ्म स्वयं तीनों मामलों में उसी तरह काम करता है।

वापस सबसे सरल प्रणालीपाठ से रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को कैसे हल करें?
और इसे गाऊसी विधि से हल करें।

पहला कदम लिखना है विस्तारित मैट्रिक्स प्रणाली:
. गुणांक किस सिद्धांत से दर्ज किए जाते हैं, मुझे लगता है कि हर कोई देख सकता है। मैट्रिक्स के अंदर खड़ी रेखा का कोई गणितीय अर्थ नहीं है - यह डिजाइन की आसानी के लिए सिर्फ एक स्ट्राइकथ्रू है।

संदर्भ :मैं याद रखने की सलाह देता हूं शर्तेंलीनियर अलजेब्रा। सिस्टम मैट्रिक्सअज्ञात के लिए केवल गुणांक से बना एक मैट्रिक्स है, इस उदाहरण में, सिस्टम का मैट्रिक्स:। विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्ससिस्टम का एक ही मैट्रिक्स है और इस मामले में मुक्त शर्तों का एक कॉलम है:। किसी भी मैट्रिक्स को संक्षिप्तता के लिए केवल एक मैट्रिक्स कहा जा सकता है।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखे जाने के बाद, इसके साथ कुछ क्रियाएं करना आवश्यक है, जिन्हें यह भी कहा जाता है प्राथमिक परिवर्तन .

निम्नलिखित प्राथमिक परिवर्तन हैं:

1) स्ट्रिंग्समैट्रिक्स कर सकते हैं को पुनर्व्यवस्थितस्थान। उदाहरण के लिए, विचाराधीन मैट्रिक्स में, आप पहली और दूसरी पंक्तियों को सुरक्षित रूप से पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:

2) यदि मैट्रिक्स में आनुपातिक (या प्रकट) आनुपातिक (एक विशेष मामले के रूप में - समान) पंक्तियाँ हैं, तो यह इस प्रकार है मिटानामैट्रिक्स से, एक को छोड़कर ये सभी पंक्तियाँ। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें . इस मैट्रिक्स में, अंतिम तीन पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, इसलिए उनमें से केवल एक को छोड़ना पर्याप्त है: .

3) यदि परिवर्तन के दौरान मैट्रिक्स में एक शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो वह भी इस प्रकार है मिटाना. मैं नहीं खींचूंगा, निश्चित रूप से, शून्य रेखा वह रेखा है जिसमें केवल शून्य.

4) मैट्रिक्स की पंक्ति हो सकती है गुणा (विभाजित)किसी भी संख्या के लिए गैर-शून्य. उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें। यहां पहली पंक्ति को -3 से विभाजित करने और दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करने की सलाह दी जाती है: . यह क्रियाबहुत उपयोगी है क्योंकि यह आगे मैट्रिक्स परिवर्तनों को सरल करता है।

5) यह परिवर्तन सबसे अधिक कठिनाइयों का कारण बनता है, लेकिन वास्तव में कुछ भी जटिल नहीं है। मैट्रिक्स की पंक्ति में, आप कर सकते हैं एक संख्या से गुणा एक और स्ट्रिंग जोड़ें, शून्य से भिन्न। से हमारे मैट्रिक्स पर विचार करें मामले का अध्ययन: . सबसे पहले, मैं परिवर्तन का विस्तार से वर्णन करूंगा। पहली पंक्ति को -2 से गुणा करें: , तथा दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -2 . से गुणा करते हैं: . अब पहली पंक्ति को "बैक" को -2: से विभाजित किया जा सकता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, वह रेखा जो जोड़ा गया है ली – नहीं बदला है. हमेशा से रहा हैलाइन बदल दी गई है, जिसमें जोड़ा गया है केन्द्र शासित प्रदेशों.

व्यवहार में, निश्चित रूप से, वे इस तरह के विवरण में पेंट नहीं करते हैं, लेकिन कम लिखते हैं:

एक बार फिर: दूसरी पंक्ति के लिए पहली पंक्ति को -2 . से गुणा किया गया. रेखा को आमतौर पर मौखिक रूप से या मसौदे पर गुणा किया जाता है, जबकि गणना का मानसिक पाठ्यक्रम कुछ इस तरह होता है:

"मैं मैट्रिक्स को फिर से लिखता हूं और पहली पंक्ति को फिर से लिखता हूं: »

पहला कॉलम पहले। नीचे मुझे शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है। इसलिए, मैं उपरोक्त इकाई को -2: से गुणा करता हूं, और पहली को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: 2 + (-2) = 0। मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

"अब दूसरा कॉलम। ऊपर -1 गुना -2: . मैं पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: 1 + 2 = 3. मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

"और तीसरा कॉलम। ऊपर -5 गुना -2: . मैं दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति जोड़ता हूं: -7 + 10 = 3. मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

कृपया इस उदाहरण के बारे में ध्यान से सोचें और अनुक्रमिक गणना एल्गोरिदम को समझें, यदि आप इसे समझते हैं, तो गॉस विधि व्यावहारिक रूप से "आपकी जेब में" है। लेकिन, निश्चित रूप से, हम अभी भी इस परिवर्तन पर काम कर रहे हैं।

प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं

! ध्यान: जोड़तोड़ माना जाता है उपयोग नहीं कर सकते, यदि आपको एक कार्य की पेशकश की जाती है जहां मैट्रिक्स "स्वयं द्वारा" दिए जाते हैं। उदाहरण के लिए, "क्लासिक" के साथ मैट्रिक्सकिसी भी स्थिति में आपको मैट्रिसेस के अंदर कुछ पुनर्व्यवस्थित नहीं करना चाहिए!

आइए अपने सिस्टम पर लौटते हैं। वह व्यावहारिक रूप से टुकड़ों में टूट गई है।

आइए हम सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे कम करें चरणबद्ध दृश्य:

(1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में -2 से गुणा करके जोड़ा गया था। और फिर: हम पहली पंक्ति को -2 से क्यों गुणा करते हैं? तल पर शून्य प्राप्त करने के लिए, जिसका अर्थ है दूसरी पंक्ति में एक चर से छुटकारा पाना।

(2) दूसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करें।

प्राथमिक परिवर्तनों का उद्देश्य – मैट्रिक्स को स्टेप फॉर्म में बदलें: . कार्य के डिजाइन में, वे सीधे जोर देते हैं एक साधारण पेंसिल के साथ"सीढ़ी", और "चरणों" पर स्थित संख्याओं को भी सर्कल करें। शब्द "स्टेप्ड व्यू" अपने आप में वैज्ञानिक और वैज्ञानिक रूप से काफी सैद्धांतिक नहीं है शैक्षिक साहित्यइसे अक्सर कहा जाता है समलम्बाकार दृश्यया त्रिकोणीय दृश्य.

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमने प्राप्त किया है बराबरसमीकरणों की मूल प्रणाली:

अब सिस्टम को विपरीत दिशा में "अनट्विस्टेड" करने की आवश्यकता है - नीचे से ऊपर तक, इस प्रक्रिया को कहा जाता है रिवर्स गॉस विधि.

निचले समीकरण में, हमारे पास पहले से ही समाप्त परिणाम है: .

सिस्टम के पहले समीकरण पर विचार करें और इसे पहले से ही प्रतिस्थापित करें ज्ञात मूल्य"यिग":

सबसे सामान्य स्थिति पर विचार करें जब हल करने के लिए गाऊसी पद्धति की आवश्यकता होती है तीनतीन अज्ञात में रैखिक समीकरण।

उदाहरण 1

गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

आइए सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें:

अब मैं तुरंत वह परिणाम निकालूंगा जो हम समाधान के दौरान आएंगे:

और मैं दोहराता हूं, हमारा लक्ष्य प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध रूप में लाना है। कार्रवाई कहाँ से शुरू करें?

सबसे पहले, ऊपरी बाएँ नंबर को देखें:

लगभग हमेशा यहाँ होना चाहिए इकाई. सामान्यतया, -1 (और कभी-कभी अन्य नंबर) भी उपयुक्त होंगे, लेकिन किसी तरह यह पारंपरिक रूप से हुआ है कि एक इकाई आमतौर पर वहां रखी जाती है। एक इकाई को कैसे व्यवस्थित करें? हम पहले कॉलम को देखते हैं - हमारे पास एक तैयार इकाई है! परिवर्तन एक: पहली और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करें:

अब पहली पंक्ति समाधान के अंत तक अपरिवर्तित रहेगी. अब ठीक है।

ऊपर बाईं ओर इकाई व्यवस्थित है। अब आपको इन जगहों पर शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है:

शून्य केवल "कठिन" परिवर्तन की सहायता से प्राप्त किए जाते हैं। सबसे पहले, हम दूसरी पंक्ति (2, -1, 3, 13) से निपटते हैं। प्रथम स्थान पर शून्य प्राप्त करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है? जरुरत दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -2 . से गुणा करके जोड़ें. मानसिक रूप से या मसौदे पर, हम पहली पंक्ति को -2: (-2, -4, 2, -18) से गुणा करते हैं। और हम लगातार (मानसिक रूप से या मसौदे पर) जोड़ देते हैं, दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति जोड़ते हैं, पहले से ही -2 . से गुणा किया जाता है:

परिणाम दूसरी पंक्ति में लिखा गया है:

इसी तरह, हम तीसरी पंक्ति (3, 2, -5, -1) से निपटते हैं। पहली स्थिति में शून्य प्राप्त करने के लिए, आपको चाहिए तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -3 . से गुणा करें. मानसिक रूप से या मसौदे पर, हम पहली पंक्ति को -3: (-3, -6, 3, -27) से गुणा करते हैं। और तीसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -3 . से गुणा करते हैं:

परिणाम तीसरी पंक्ति में लिखा गया है:

व्यवहार में, इन क्रियाओं को आमतौर पर मौखिक रूप से किया जाता है और एक चरण में लिखा जाता है:

एक ही समय में सब कुछ गिनने की आवश्यकता नहीं है. गणना का क्रम और परिणामों का "सम्मिलन" लगातारऔर आम तौर पर इस तरह: पहले हम पहली पंक्ति को फिर से लिखते हैं, और अपने आप को चुपचाप फुलाते हैं - लगातार और सावधानी से:


और मैंने पहले से ही ऊपर की गणना के मानसिक पाठ्यक्रम पर विचार किया है।

इस उदाहरण में, यह करना आसान है, हम दूसरी पंक्ति को -5 से विभाजित करते हैं (चूंकि सभी संख्याएं शेष के बिना 5 से विभाज्य हैं)। उसी समय, हम तीसरी पंक्ति को -2 से विभाजित करते हैं, क्योंकि क्या संख्या से कम, विषय आसान उपाय:

प्रारंभिक परिवर्तनों के अंतिम चरण में, यहां एक और शून्य प्राप्त किया जाना चाहिए:

इसके लिए तीसरी पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, -2 . से गुणा करते हैं:


इस क्रिया को स्वयं पार्स करने का प्रयास करें - मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -2 से गुणा करें और जोड़ दें।

अंतिम क्रिया परिणाम की केश विन्यास है, तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करें।

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, रैखिक समीकरणों की एक समान प्रारंभिक प्रणाली प्राप्त की गई थी:

ठंडा।

अब खेल में आता है रिवर्स स्ट्रोकगॉस विधि। समीकरण नीचे से ऊपर की ओर "खोलें"।

तीसरे समीकरण में, हमारे पास पहले से ही समाप्त परिणाम है:

आइए दूसरे समीकरण को देखें: . "z" का अर्थ पहले से ही ज्ञात है, इस प्रकार:

और अंत में, पहला समीकरण: . "Y" और "Z" ज्ञात हैं, बात छोटी है:

उत्तर:

जैसा कि बार-बार उल्लेख किया गया है, समीकरणों की किसी भी प्रणाली के लिए, पाया गया समाधान की जांच करना संभव और आवश्यक है, सौभाग्य से, यह मुश्किल और तेज़ नहीं है।

उदाहरण 2

यह आत्म-समाधान के लिए एक उदाहरण है, पाठ के अंत में परिष्करण का एक नमूना और एक उत्तर है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि आपका कार्रवाई के दौरानमेरी कार्यशैली से मेल नहीं खा सकता है, और यह गॉस पद्धति की एक विशेषता है. लेकिन जवाब वही होना चाहिए!

उदाहरण 3

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरण रूप में लाते हैं:

हम ऊपरी बाएँ "चरण" को देखते हैं। वहां हमारी एक इकाई होनी चाहिए। समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई भी नहीं है, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करके कुछ भी हल नहीं किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, इकाई को प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके व्यवस्थित किया जाना चाहिए। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। इसे मैने किया है:
(1) पहली पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, -1 . से गुणा करते हैं. यही है, हमने मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया और पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ने का प्रदर्शन किया, जबकि दूसरी पंक्ति नहीं बदली।

अब ऊपर बाईं ओर "माइनस वन" है, जो हमें पूरी तरह से सूट करता है। जो +1 प्राप्त करना चाहता है वह एक अतिरिक्त इशारा कर सकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें (इसका चिन्ह बदलें)।

(2) पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(3) पहली पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सुंदरता के लिए है। तीसरी पंक्ति का चिन्ह भी बदल दिया गया और दूसरे स्थान पर चला गया, इस प्रकार, दूसरे "कदम पर, हमारे पास वांछित इकाई थी।

(4) दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(5) तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित किया गया था।

एक बुरा संकेत जो एक गणना त्रुटि (कम अक्सर एक टाइपो) को इंगित करता है, एक "खराब" निचला रेखा है। यही है, अगर हमें नीचे जैसा कुछ मिला, और, तदनुसार, , तो उच्च स्तर की संभावना के साथ यह तर्क दिया जा सकता है कि प्राथमिक परिवर्तनों के दौरान एक त्रुटि की गई थी।

हम रिवर्स मूव को चार्ज करते हैं, उदाहरणों के डिजाइन में, सिस्टम को अक्सर फिर से नहीं लिखा जाता है, और समीकरण "दिए गए मैट्रिक्स से सीधे लिए जाते हैं"। रिवर्स मूव, मैं आपको याद दिलाता हूं, नीचे से ऊपर तक काम करता है। हाँ, यहाँ एक उपहार है:

उत्तर: .

उदाहरण 4

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है, यह कुछ अधिक जटिल है। कोई भ्रमित हो जाए तो कोई बात नहीं। पूरा समाधानऔर पाठ के अंत में नमूना डिजाइन। आपका समाधान मेरे से भिन्न हो सकता है।

अंतिम भाग में, हम गॉस एल्गोरिथम की कुछ विशेषताओं पर विचार करते हैं।
पहली विशेषता यह है कि कभी-कभी सिस्टम के समीकरणों में कुछ चर गायब होते हैं, उदाहरण के लिए:

सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को सही ढंग से कैसे लिखें? मैंने इस क्षण के बारे में पाठ में पहले ही बात कर ली है। क्रेमर का नियम। मैट्रिक्स विधि. सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में, हम लापता चर के स्थान पर शून्य डालते हैं:

वैसे, यह काफी है आसान उदाहरण, चूंकि पहले कॉलम में पहले से ही एक शून्य है, और कम प्राथमिक परिवर्तन किए जाने हैं।

दूसरी विशेषता यह है। विचार किए गए सभी उदाहरणों में, हमने या तो -1 या +1 को "चरणों" पर रखा है। क्या अन्य संख्याएँ हो सकती हैं? कुछ मामलों में वे कर सकते हैं। प्रणाली पर विचार करें: .

यहाँ ऊपरी बाएँ "स्टेप" पर हमारे पास एक ड्यूस है। लेकिन हम इस तथ्य पर ध्यान देते हैं कि पहले कॉलम में सभी संख्याएं शेष के बिना 2 से विभाज्य हैं - और अन्य दो और छह। और ऊपर बाईं ओर का ड्यूस हमें सूट करेगा! पहले चरण में, आपको निम्नलिखित परिवर्तन करने की आवश्यकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ें; तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -3 से गुणा करें। इस प्रकार, हम पहले कॉलम में वांछित शून्य प्राप्त करेंगे।

या फिर इस तरह सशर्त उदाहरण: . यहां, दूसरे "रंग" पर ट्रिपल भी हमें सूट करता है, क्योंकि 12 (वह स्थान जहां हमें शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता होती है) बिना शेष के 3 से विभाज्य है। निम्नलिखित परिवर्तन करना आवश्यक है: तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति जोड़ें, -4 से गुणा करें, जिसके परिणामस्वरूप हमें जो शून्य चाहिए वह प्राप्त होगा।

गॉस विधि सार्वभौमिक है, लेकिन एक विशेषता है। अन्य तरीकों से सिस्टम को हल करना सीखें (क्रैमर की विधि, मैट्रिक्स विधि) सचमुच पहली बार हो सकता है - एक बहुत सख्त एल्गोरिदम है। लेकिन गॉस पद्धति में आत्मविश्वास महसूस करने के लिए, आपको "अपना हाथ भरना" चाहिए और कम से कम 5-10 प्रणालियों को हल करना चाहिए। इसलिए, पहले तो भ्रम हो सकता है, गणना में त्रुटियां हो सकती हैं, और इसमें कुछ भी असामान्य या दुखद नहीं है।

खिड़की के बाहर बरसाती शरद ऋतु का मौसम .... इसलिए, सभी के लिए अधिक जटिल उदाहरणस्वतंत्र समाधान के लिए:

उदाहरण 5

गॉस विधि का उपयोग करके चार अज्ञात के साथ चार रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें।

व्यवहार में ऐसा कार्य इतना दुर्लभ नहीं है। मुझे लगता है कि एक चायदानी भी जिसने इस पृष्ठ का विस्तार से अध्ययन किया है, इस तरह की प्रणाली को सहज रूप से हल करने के लिए एल्गोरिदम को समझता है। मूल रूप से वही - बस और अधिक कार्रवाई।

ऐसे मामले जहां सिस्टम का कोई समाधान नहीं है (असंगत) या असीम रूप से कई समाधान हैं, पाठ में एक सामान्य समाधान के साथ असंगत प्रणालियों और प्रणालियों पर विचार किया जाता है। वहां आप गॉस विधि के सुविचारित एल्गोरिथम को ठीक कर सकते हैं।

आपकी सफलता की कामना करते है!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: समाधान : आइए हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरणबद्ध रूप में लाएं।


प्रदर्शन प्राथमिक परिवर्तन:
(1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में -2 से गुणा करके जोड़ा गया था। पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया, जिसे -1 से गुणा किया गया। ध्यान!यहां पहली को तीसरी पंक्ति से घटाना आकर्षक हो सकता है, मैं दृढ़ता से घटाने की अनुशंसा नहीं करता - त्रुटि का जोखिम बहुत बढ़ जाता है। हम सिर्फ गुना!
(2) दूसरी पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया था (-1 से गुणा)। दूसरी और तीसरी पंक्तियों की अदला-बदली की गई है। टिप्पणीकि "कदमों" पर हम न केवल एक से, बल्कि -1 से भी संतुष्ट हैं, जो और भी सुविधाजनक है।
(3) तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति को 5 से गुणा करके जोड़ें।
(4) दूसरी पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया था (-1 से गुणा)। तीसरी पंक्ति को 14 से विभाजित किया गया था।

उलटी चाल:

उत्तर: .

उदाहरण 4: समाधान : हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरण रूप में लाते हैं:

प्रदर्शन किए गए रूपांतरण:
(1) पहली पंक्ति में दूसरी पंक्ति जोड़ी गई। इस प्रकार, वांछित इकाई ऊपरी बाएँ "चरण" पर व्यवस्थित होती है।
(2) पहली पंक्ति को 7 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 6 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

दूसरे "कदम" के साथ सब कुछ बदतर है , इसके लिए "उम्मीदवार" संख्या 17 और 23 हैं, और हमें या तो एक या -1 की आवश्यकता है। रूपांतरण (3) और (4) का उद्देश्य वांछित इकाई प्राप्त करना होगा

(3) दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया, जिसे -1 से गुणा किया गया।
(4) तीसरी पंक्ति को -3 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया।
(3) दूसरी पंक्ति को 4 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया। दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ा गया।
(4) दूसरी पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया है। चौथी पंक्ति को 3 से विभाजित करके तीसरी पंक्ति के स्थान पर रखा गया।
(5) तीसरी पंक्ति को -5 से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ा गया।

उलटी चाल:

ऑनलाइन कैलकुलेटरगॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों (SLE) के निकाय का हल ढूँढता है। दिया गया विस्तृत समाधान. गणना करने के लिए, चरों की संख्या और समीकरणों की संख्या चुनें। फिर कोशिकाओं में डेटा दर्ज करें और "गणना करें" पर क्लिक करें।

एक्स 1 +x2 +एक्स 3 एक्स 1 +x2 +एक्स 3 एक्स 1 +x2 +एक्स 3 = = =

संख्या प्रतिनिधित्व:

पूर्णांक और/या सामान्य भिन्न
पूर्णांक और/या दशमलव

दशमलव विभाजक के बाद अंकों की संख्या

×

चेतावनी

सभी सेल साफ़ करें?

बंद साफ़ करें

डाटा एंट्री निर्देश।संख्याएँ पूर्ण संख्याओं (उदाहरण: 487, 5, -7623, आदि), दशमलव संख्याओं (जैसे 67., 102.54, आदि) या भिन्नों के रूप में दर्ज की जाती हैं। भिन्न को a/b के रूप में टाइप किया जाना चाहिए, जहां a और b (b>0) पूर्णांक हैं या दशमलव संख्याएं. उदाहरण 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, आदि।

गॉस विधि

गॉस विधि रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली (समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग करके) से एक ऐसी प्रणाली में संक्रमण की एक विधि है जो मूल प्रणाली की तुलना में हल करना आसान है।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली के समतुल्य परिवर्तन हैं:

• सिस्टम में दो समीकरणों की अदला-बदली,
• सिस्टम में किसी भी समीकरण को एक गैर-शून्य वास्तविक संख्या से गुणा करना,
• एक समीकरण में जोड़ने पर दूसरे समीकरण को एक मनमाना संख्या से गुणा किया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

(1)

हम सिस्टम (1) को मैट्रिक्स रूप में लिखते हैं:

कुल्हाड़ी = बी

(2)

(3)

एसिस्टम का गुणांक मैट्रिक्स कहा जाता है, बी − दाहिना भागप्रतिबंध एक्स- चर के वेक्टर पाए जाने वाले। चलो रैंक ( ए)=पी.

समतुल्य परिवर्तन गुणांक मैट्रिक्स के रैंक और सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स के रैंक को नहीं बदलते हैं। सिस्टम के समाधान का सेट भी समान परिवर्तनों के तहत नहीं बदलता है। गॉस विधि का सार गुणांक के मैट्रिक्स को लाना है एविकर्ण या कदम रखा।

आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स का निर्माण करें:

अगले चरण में, हम तत्व के नीचे, कॉलम 2 के सभी तत्वों को रीसेट करते हैं। यदि दिया गया तत्व शून्य है, तो इस पंक्ति को दी गई पंक्ति के नीचे स्थित पंक्ति के साथ बदल दिया जाता है और दूसरे कॉलम में एक गैर-शून्य तत्व होता है। इसके बाद, हम प्रमुख तत्व के नीचे कॉलम 2 के सभी तत्वों को शून्य कर देते हैं एक 22. ऐसा करने के लिए, पंक्तियाँ 3 जोड़ें, ... एमपंक्ति 2 को − . से गुणा करने पर एक 32 /एक 22 , ..., −एकएम2 / एक 22, क्रमशः। प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम एक विकर्ण या चरणबद्ध रूप का एक मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं। परिणामी संवर्धित मैट्रिक्स को इस तरह दिखने दें:

(7)

इसलिये रैंकए = रैंक(ए|बी), तो समाधान का सेट (7) है ( एन-पी) एक किस्म है। फलस्वरूप एन-पीअज्ञात को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है। सिस्टम से शेष अज्ञात (7) की गणना निम्नानुसार की जाती है। अंतिम समीकरण से हम व्यक्त करते हैं एक्स p शेष चरों के माध्यम से और पिछले भावों में डालें। अगला, अंतिम समीकरण से, हम व्यक्त करते हैं एक्स p−1 शेष चरों के माध्यम से और पिछले भावों में डालें, आदि। विशिष्ट उदाहरणों पर गॉस विधि पर विचार करें।

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 1. खोजें सामान्य निर्णयगॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली:

द्वारा निरूपित करें एक ij तत्व मैं-वीं पंक्ति और जे-वें स्तंभ।

एकग्यारह । ऐसा करने के लिए, पंक्ति 1 के साथ 2,3 पंक्तियाँ जोड़ें, क्रमशः -2/3, -1/2 से गुणा करें:

मैट्रिक्स रिकॉर्ड प्रकार: कुल्हाड़ी = बी, कहाँ पे

द्वारा निरूपित करें एक ij तत्व मैं-वीं पंक्ति और जे-वें स्तंभ।

तत्व के नीचे मैट्रिक्स के पहले कॉलम के तत्वों को छोड़ दें एकग्यारह । ऐसा करने के लिए, पंक्ति 1 के साथ 2,3 पंक्तियाँ जोड़ें, क्रमशः -1/5, -6/5 से गुणा करें:

हम मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति को संबंधित प्रमुख तत्व से विभाजित करते हैं (यदि अग्रणी तत्व मौजूद है):

कहाँ पे एक्स 3 , एक्स

ऊपरी भावों को निचले भावों में प्रतिस्थापित करते हुए, हम समाधान प्राप्त करते हैं।

तब वेक्टर समाधान को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

कहाँ पे एक्स 3 , एक्स 4 मनमानी वास्तविक संख्याएं हैं।

मान लीजिए कि निकाय दिया गया है, 0। (एक)
गॉस विधिअज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की एक विधि है।

गॉस विधि का सार (1) को एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स के साथ एक प्रणाली में बदलना है, जिससे सभी अज्ञात के मान क्रमिक रूप से (विपरीत) प्राप्त होते हैं। आइए कम्प्यूटेशनल योजनाओं में से एक पर विचार करें। इस सर्किट को सिंगल डिवीजन सर्किट कहा जाता है। तो आइए एक नजर डालते हैं इस डायग्राम पर। मान लीजिए कि 11 ≠0 (प्रमुख तत्व) पहले समीकरण को 11 से विभाजित करता है। प्राप्त
(2)
समीकरण (2) का उपयोग करते हुए, सिस्टम के शेष समीकरणों से अज्ञात x 1 को बाहर करना आसान है (इसके लिए, प्रत्येक समीकरण से समीकरण (2) को घटाना पर्याप्त है जो कि x 1 पर संबंधित गुणांक से पहले गुणा किया जाता है), कि है, पहले चरण में हम प्राप्त करते हैं
.
दूसरे शब्दों में, चरण 1 पर, बाद की पंक्तियों का प्रत्येक तत्व, दूसरी से शुरू होकर, मूल तत्व और पहले स्तंभ और पहली (रूपांतरित) पंक्ति पर उसके "प्रक्षेपण" के उत्पाद के बीच के अंतर के बराबर है।
उसके बाद, पहले समीकरण को छोड़कर, पहले चरण में प्राप्त सिस्टम के बाकी समीकरणों पर, हम एक समान परिवर्तन करेंगे: हम उनमें से एक प्रमुख तत्व के साथ एक समीकरण चुनते हैं और इसका उपयोग x 2 को बाहर करने के लिए करते हैं। शेष समीकरण (चरण 2)।
n चरणों के बाद, (1) के बजाय हमें एक समान प्रणाली मिलती है
(3)
इस प्रकार, पहले चरण में, हम एक त्रिकोणीय प्रणाली (3) प्राप्त करेंगे। इस कदम को आगे कहा जाता है।
दूसरे चरण (रिवर्स मूव) में हम क्रमिक रूप से (3) मानों x n , x n -1 , …, x 1 से पाते हैं।
आइए प्राप्त समाधान को x 0 के रूप में निरूपित करें। तब अंतर ε=b-A x 0 अवशिष्ट कहा जाता है.
यदि =0, तो पाया गया हल x 0 सही है।

गॉस विधि द्वारा गणना दो चरणों में की जाती है:

1. पहले चरण को विधि का प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम कहा जाता है। पहले चरण में, मूल प्रणाली को त्रिकोणीय रूप में परिवर्तित किया जाता है।
2. दूसरे चरण को रिवर्स कहा जाता है। दूसरे चरण में, मूल के बराबर एक त्रिकोणीय प्रणाली हल की जाती है।

गुणांक a 11 , a 22 , ..., प्रमुख तत्व कहलाते हैं।
प्रत्येक चरण में यह माना गया कि अग्रणी तत्व शून्य से भिन्न है। यदि ऐसा नहीं है, तो किसी अन्य तत्व को नेता के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है, जैसे कि सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करना।

गॉस विधि का उद्देश्य

गॉस विधि रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए अभिप्रेत है। समाधान के प्रत्यक्ष तरीकों को संदर्भित करता है।

गॉस विधि के प्रकार

1. शास्त्रीय गॉस विधि;
2. गॉस विधि में संशोधन। गाऊसी पद्धति के संशोधनों में से एक मुख्य तत्व की पसंद के साथ सर्किट है। मुख्य तत्व की पसंद के साथ गॉस विधि की एक विशेषता समीकरणों का ऐसा क्रमपरिवर्तन है जिससे k-वें चरण में प्रमुख तत्व k-वें स्तंभ में सबसे बड़ा तत्व है।
3. जॉर्डन-गॉस विधि;

जॉर्डन-गॉस पद्धति और शास्त्रीय पद्धति के बीच अंतर गॉस विधिजब समाधान की खोज की दिशा मुख्य विकर्ण (पहचान मैट्रिक्स में परिवर्तन) के साथ हो तो आयत नियम लागू करना शामिल है। गॉस विधि में, समाधान की खोज की दिशा स्तंभों के साथ होती है (त्रिकोणीय मैट्रिक्स वाले सिस्टम में परिवर्तन)।
अंतर स्पष्ट करें जॉर्डन-गॉस विधिउदाहरण के लिए गॉस विधि से।

गॉस समाधान उदाहरण
आइए सिस्टम को हल करें:

गणना की सुविधा के लिए, हम लाइनों को स्वैप करते हैं:

दूसरी पंक्ति को (2) से गुणा करें। तीसरी पंक्ति को 2 . में जोड़ें

दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। पहली पंक्ति में दूसरी पंक्ति जोड़ें

पहली पंक्ति से हम x 3 व्यक्त करते हैं:
दूसरी पंक्ति से हम x 2 व्यक्त करते हैं:
तीसरी पंक्ति से हम x 1 व्यक्त करते हैं:

जॉर्डन-गॉस विधि द्वारा समाधान का एक उदाहरण
हम जॉर्डनो-गॉस पद्धति का उपयोग करके उसी SLAE को हल करेंगे।

हम क्रमिक रूप से आरई के हल करने वाले तत्व का चयन करेंगे, जो मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण पर स्थित है।
सक्षम करने वाला तत्व (1) के बराबर है।



एनई \u003d एसई - (ए * बी) / आरई
आरई - सक्षम करने वाला तत्व (1), ए और बी - मैट्रिक्स तत्व एसटीई और आरई के तत्वों के साथ एक आयत बनाते हैं।
आइए तालिका के रूप में प्रत्येक तत्व की गणना प्रस्तुत करें:

एक्स 1	x2	एक्स 3	बी
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

सक्षम करने वाला तत्व (3) के बराबर है।
हल करने वाले तत्व के स्थान पर हमें 1 मिलता है और कॉलम में ही हम शून्य लिखते हैं।
कॉलम बी के तत्वों सहित मैट्रिक्स के अन्य सभी तत्व आयत नियम द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
ऐसा करने के लिए, चार संख्याओं का चयन करें जो आयत के शीर्षों पर स्थित हों और हमेशा आरई के सक्षम करने वाले तत्व को शामिल करें।

एक्स 1	x2	एक्स 3	बी
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

सक्षम करने वाला तत्व (-4) है।
हल करने वाले तत्व के स्थान पर हमें 1 मिलता है और कॉलम में ही हम शून्य लिखते हैं।
कॉलम बी के तत्वों सहित मैट्रिक्स के अन्य सभी तत्व आयत नियम द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
ऐसा करने के लिए, चार संख्याओं का चयन करें जो आयत के शीर्षों पर स्थित हों और हमेशा आरई के सक्षम करने वाले तत्व को शामिल करें।
आइए तालिका के रूप में प्रत्येक तत्व की गणना प्रस्तुत करें:

एक्स 1	x2	एक्स 3	बी
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

उत्तर: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

गॉस पद्धति का कार्यान्वयन

गॉस विधि कई प्रोग्रामिंग भाषाओं में लागू की जाती है, विशेष रूप से: पास्कल, सी ++, पीएचपी, डेल्फी, और गॉस विधि का एक ऑनलाइन कार्यान्वयन भी है।

गॉस विधि का उपयोग करना

गेम थ्योरी में गॉस पद्धति का अनुप्रयोग

गेम थ्योरी में, किसी खिलाड़ी की अधिकतम इष्टतम रणनीति खोजने पर, समीकरणों की एक प्रणाली संकलित की जाती है, जिसे गॉस विधि द्वारा हल किया जाता है।

अंतर समीकरणों को हल करने में गॉस विधि का अनुप्रयोग

किसी अवकल समीकरण के किसी विशेष समाधान की खोज करने के लिए, पहले लिखित विशेष समाधान (y=f(A,B,C,D)) के लिए संबंधित डिग्री के व्युत्पन्न खोजें, जिन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित किया गया है। खोजने के लिए आगे चर ए, बी, सी, डीसमीकरणों की एक प्रणाली संकलित की जाती है, जिसे गॉस विधि द्वारा हल किया जाता है।

रैखिक प्रोग्रामिंग में जॉर्डनो-गॉस पद्धति का अनुप्रयोग

पर रैखिक प्रोग्रामिंग, विशेष रूप से, प्रत्येक पुनरावृत्ति पर एक सिंप्लेक्स तालिका को बदलने के लिए सरल विधि में, आयत नियम का उपयोग किया जाता है, जो जॉर्डनो-गॉस विधि का उपयोग करता है।

1. रैखिक प्रणाली बीजीय समीकरण

1.1 रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली की अवधारणा

समीकरणों की एक प्रणाली एक ऐसी स्थिति है जिसमें कई चरों में कई समीकरणों का एक साथ निष्पादन होता है। रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (बाद में SLAE के रूप में संदर्भित) की एक प्रणाली जिसमें m समीकरण और n अज्ञात शामिल हैं, फॉर्म की एक प्रणाली है:

जहां संख्या a ij को प्रणाली के गुणांक कहा जाता है, संख्या b i स्वतंत्र सदस्य हैं, ऐजोतथा बी मैं(i=1,…, m; b=1,…, n) कुछ ज्ञात संख्याएँ हैं, और x 1 ,…, x n- अनजान। गुणांकों के अंकन में ऐजोपहला सूचकांक i समीकरण की संख्या को दर्शाता है, और दूसरा सूचकांक j अज्ञात की संख्या है जिस पर यह गुणांक खड़ा है। संख्या x n खोजने के अधीन। ऐसी प्रणाली को कॉम्पैक्ट मैट्रिक्स रूप में लिखना सुविधाजनक है: कुल्हाड़ी = बी।यहां ए सिस्टम के गुणांक का मैट्रिक्स है, जिसे मुख्य मैट्रिक्स कहा जाता है;

अज्ञात xj का स्तंभ सदिश है।
मुक्त सदस्यों द्वि का एक स्तंभ वेक्टर है।

मैट्रिक्स ए * एक्स का उत्पाद परिभाषित किया गया है, क्योंकि मैट्रिक्स ए में कई कॉलम हैं क्योंकि मैट्रिक्स एक्स (एन टुकड़े) में पंक्तियां हैं।

सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स सिस्टम का मैट्रिक्स ए है, जो मुक्त शर्तों के कॉलम द्वारा पूरक है

1.2 रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान

समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान संख्याओं (चर के मान) का एक क्रमबद्ध सेट है, जब उन्हें चर के बजाय प्रतिस्थापित करते हैं, तो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण एक वास्तविक समानता में बदल जाते हैं।

सिस्टम का समाधान अज्ञात x1=c1, x2=c2,…, xn=cn का n मान है, जिसके स्थान पर सिस्टम के सभी समीकरण वास्तविक समानता में बदल जाते हैं। सिस्टम के किसी भी समाधान को मैट्रिक्स-कॉलम के रूप में लिखा जा सकता है

समीकरणों की एक प्रणाली को संगत कहा जाता है यदि इसका कम से कम एक समाधान होता है, और यदि इसका कोई समाधान नहीं होता है तो असंगत होता है।

एक संयुक्त प्रणाली को निश्चित कहा जाता है यदि इसका एक अद्वितीय समाधान होता है, और अनिश्चित होता है यदि इसके एक से अधिक समाधान होते हैं। बाद के मामले में, इसके प्रत्येक समाधान को सिस्टम का एक विशेष समाधान कहा जाता है। सभी विशिष्ट विलयनों के समुच्चय को सामान्य विलयन कहते हैं।

किसी प्रणाली को हल करने का अर्थ है यह पता लगाना कि यह सुसंगत है या असंगत। यदि सिस्टम संगत है, तो इसका सामान्य समाधान खोजें।

दो प्रणालियों को समतुल्य (समतुल्य) कहा जाता है यदि उनका सामान्य समाधान समान हो। दूसरे शब्दों में, सिस्टम समतुल्य हैं यदि उनमें से एक का प्रत्येक समाधान दूसरे का समाधान है, और इसके विपरीत।

एक परिवर्तन, जिसका अनुप्रयोग एक प्रणाली को मूल के बराबर एक नई प्रणाली में बदल देता है, समकक्ष या समकक्ष परिवर्तन कहलाता है। निम्नलिखित परिवर्तन समकक्ष परिवर्तनों के उदाहरण के रूप में काम कर सकते हैं: सिस्टम के दो समीकरणों को स्वैप करना, सभी समीकरणों के गुणांक के साथ दो अज्ञात को स्वैप करना, सिस्टम के किसी भी समीकरण के दोनों हिस्सों को गैर-शून्य संख्या से गुणा करना।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को सजातीय कहा जाता है यदि सभी मुक्त पद शून्य के बराबर हों:

एक सजातीय प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है, क्योंकि x1=x2=x3=…=xn=0 प्रणाली का एक समाधान है। इस समाधान को शून्य या तुच्छ कहा जाता है।

2. गाऊसी उन्मूलन विधि

2.1 गाऊसी उन्मूलन विधि का सार

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की शास्त्रीय विधि अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि है - गॉस विधि(इसे गाऊसी उन्मूलन विधि भी कहा जाता है)। यह चर के क्रमिक उन्मूलन की एक विधि है, जब, प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से, समीकरणों की एक प्रणाली को एक चरणबद्ध (या त्रिकोणीय) रूप की एक समतुल्य प्रणाली में घटा दिया जाता है, जिसमें से अन्य सभी चर क्रमिक रूप से पाए जाते हैं, से शुरू अंतिम (संख्या के अनुसार) चर।

गाऊसी समाधान प्रक्रिया में दो चरण होते हैं: आगे और पीछे की चाल।

1. सीधी चाल।

पहले चरण में, तथाकथित प्रत्यक्ष चाल को अंजाम दिया जाता है, जब, पंक्तियों पर प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से, सिस्टम को एक चरणबद्ध या त्रिकोणीय रूप में लाया जाता है, या यह स्थापित किया जाता है कि सिस्टम असंगत है। अर्थात्, मैट्रिक्स के पहले कॉलम के तत्वों में से, एक गैर-शून्य को चुना जाता है, इसे पंक्तियों की अनुमति देकर सबसे ऊपर की स्थिति में ले जाया जाता है, और क्रमपरिवर्तन के बाद प्राप्त पहली पंक्ति को शेष पंक्तियों से घटाया जाता है, इसे गुणा किया जाता है। इन पंक्तियों में से प्रत्येक के पहले तत्व के पहली पंक्ति के पहले तत्व के अनुपात के बराबर मान द्वारा, इस प्रकार इसके नीचे के कॉलम को शून्य करना।

संकेतित परिवर्तन किए जाने के बाद, पहली पंक्ति और पहला स्तंभ मानसिक रूप से पार किया जाता है और तब तक जारी रहता है जब तक कि शून्य-आकार का मैट्रिक्स नहीं रहता। यदि पहले कॉलम के तत्वों में से कुछ पुनरावृत्तियों में एक गैर-शून्य नहीं पाया गया था, तो अगले कॉलम पर जाएं और एक समान ऑपरेशन करें।

पहले चरण (फॉरवर्ड रन) में, सिस्टम एक चरणबद्ध (विशेष रूप से, त्रिकोणीय) रूप में कम हो जाता है।

नीचे दी गई प्रणाली चरणबद्ध है:

,

गुणांक aii प्रणाली के मुख्य (अग्रणी) तत्व कहलाते हैं।

(यदि a11=0, मैट्रिक्स की पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि एक 11 0 के बराबर नहीं था। यह हमेशा संभव है, क्योंकि अन्यथा मैट्रिक्स में शून्य कॉलम होता है, इसका निर्धारक शून्य के बराबर होता है और सिस्टम असंगत होता है)।

हम पहले समीकरण को छोड़कर सभी समीकरणों में अज्ञात X1 को हटाकर सिस्टम को बदल देते हैं (सिस्टम के प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके)। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करें

और सिस्टम के दूसरे समीकरण के साथ पद दर पद जोड़ें (या दूसरे समीकरण से हम पद को पहले से गुणा करके पद घटाते हैं)। फिर हम पहले समीकरण के दोनों भागों को गुणा करते हैं और इसे सिस्टम के तीसरे समीकरण में जोड़ते हैं (या पहले एक को तीसरे पद से गुणा करके घटाते हैं)। इस प्रकार, हम पहली पंक्ति को एक संख्या से क्रमिक रूप से गुणा करते हैं और इसमें जोड़ते हैं मैं-वीं पंक्ति, के लिए मैं = 2, 3, …,एन।

इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हमें समतुल्य प्रणाली मिलती है:

- सिस्टम के अंतिम m-1 समीकरणों में अज्ञात और मुक्त शर्तों के लिए गुणांक के नए मान, जो सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

इस प्रकार, पहले चरण में, पहले प्रमुख तत्व a 11 के तहत सभी गुणांक नष्ट हो जाते हैं

0, दूसरा चरण दूसरे प्रमुख तत्व a 22 (1) (यदि एक 22 (1) 0) के तहत तत्वों को नष्ट कर देता है, और इसी तरह। इस प्रक्रिया को आगे जारी रखते हुए, हम अंत में मूल प्रणाली को (m-1) चरण पर एक त्रिकोणीय प्रणाली में कम कर देंगे।

यदि, सिस्टम को चरणबद्ध रूप में कम करने की प्रक्रिया में, शून्य समीकरण दिखाई देते हैं, अर्थात। 0 = 0 के रूप की समानता, उन्हें छोड़ दिया जाता है। यदि फॉर्म का समीकरण है

यह सिस्टम की असंगति को इंगित करता है।

यह गॉस विधि के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम को पूरा करता है।

2. उलटी चाल।

दूसरे चरण में, तथाकथित रिवर्स मूव किया जाता है, जिसका सार सभी परिणामी बुनियादी चर को गैर-बुनियादी लोगों के रूप में व्यक्त करना और निर्माण करना है मौलिक प्रणालीसमाधान, या, यदि सभी चर बुनियादी हैं, तो संख्यात्मक रूप में व्यक्त करें जो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एकमात्र समाधान है।

यह प्रक्रिया अंतिम समीकरण से शुरू होती है, जिसमें से संबंधित मूल चर व्यक्त किया जाता है (इसमें केवल एक ही होता है) और पिछले समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाता है, और इसी तरह, "कदम" ऊपर जा रहा है।

प्रत्येक पंक्ति बिल्कुल एक मूल चर से मेल खाती है, इसलिए प्रत्येक चरण में, अंतिम (सबसे ऊपरी) को छोड़कर, स्थिति बिल्कुल अंतिम पंक्ति के मामले को दोहराती है।

नोट: व्यवहार में, सिस्टम के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है, लेकिन इसके विस्तारित मैट्रिक्स के साथ, इसकी पंक्तियों पर सभी प्राथमिक परिवर्तन करना। यह सुविधाजनक है कि गुणांक a11 1 के बराबर हो (समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करें, या समीकरण के दोनों पक्षों को a11 से विभाजित करें)।

2.2 गॉस विधि द्वारा SLAE को हल करने के उदाहरण

इस खंड में, तीन अलग-अलग उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम दिखाएंगे कि SLAE को हल करने के लिए गाऊसी पद्धति का उपयोग कैसे किया जा सकता है।

उदाहरण 1. तीसरे क्रम के SLAE को हल करें।

गुणांक को शून्य पर सेट करें

दूसरी और तीसरी पंक्तियों में। ऐसा करने के लिए, उन्हें क्रमशः 2/3 और 1 से गुणा करें, और उन्हें पहली पंक्ति में जोड़ें:

गॉस विधि, जिसे अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि भी कहा जाता है, में निम्नलिखित शामिल हैं। प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली को इस तरह से लाया जाता है कि इसके गुणांक का मैट्रिक्स हो जाता है समलम्बाकार (त्रिकोणीय या चरणबद्ध के समान) या समलंब चतुर्भुज के करीब (गॉस विधि का सीधा कोर्स, तब - बस एक सीधा कदम)। ऐसी प्रणाली का एक उदाहरण और इसका समाधान ऊपर की आकृति में दिखाया गया है।

ऐसी प्रणाली में, अंतिम समीकरण में केवल एक चर होता है और इसका मान विशिष्ट रूप से पाया जा सकता है। फिर इस चर के मान को पिछले समीकरण में बदल दिया जाता है ( गाऊसी रिवर्स , फिर - बस एक रिवर्स चाल), जिससे पिछला चर पाया जाता है, और इसी तरह।

एक समलम्बाकार (त्रिकोणीय) प्रणाली में, जैसा कि हम देखते हैं, तीसरे समीकरण में अब चर शामिल नहीं हैं आपतथा एक्स, और दूसरा समीकरण - चर एक्स .

सिस्टम के मैट्रिक्स ने एक ट्रेपोजॉइडल आकार ले लिया है, सिस्टम की संगतता के प्रश्न को हल करना, समाधानों की संख्या निर्धारित करना और स्वयं समाधान ढूंढना मुश्किल नहीं है।

विधि के लाभ:

1. तीन से अधिक समीकरणों और अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय, गॉस विधि क्रैमर विधि की तरह बोझिल नहीं होती है, क्योंकि गॉस विधि को हल करते समय कम गणना की आवश्यकता होती है;
2. गॉस विधि का उपयोग करके, आप रैखिक समीकरणों की अनिश्चित प्रणाली को हल कर सकते हैं, अर्थात, एक सामान्य समाधान (और हम इस पाठ में उनका विश्लेषण करेंगे), और क्रैमर विधि का उपयोग करके, आप केवल यह बता सकते हैं कि सिस्टम अनिश्चित है;
3. आप रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल कर सकते हैं जिसमें अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर नहीं है (हम इस पाठ में उनका विश्लेषण भी करेंगे);
4. विधि प्राथमिक (स्कूल) विधियों पर आधारित है - अज्ञात के प्रतिस्थापन की विधि और समीकरणों को जोड़ने की विधि, जिसे हमने संबंधित लेख में छुआ था।

रैखिक समीकरणों के समलम्बाकार (त्रिकोणीय, चरण) प्रणालियों को जिस सरलता से हल किया जाता है, उससे सभी को प्रभावित होने के लिए, हम रिवर्स स्ट्रोक का उपयोग करके ऐसी प्रणाली का समाधान प्रस्तुत करते हैं। इस प्रणाली का एक त्वरित समाधान पाठ की शुरुआत में चित्र में दिखाया गया था।

उदाहरण 1रिवर्स मूव का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

समाधान। इस समलम्बाकार प्रणाली में, चर जेडतीसरे समीकरण से विशिष्ट रूप से पाया जाता है। हम इसके मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और चर का मान प्राप्त करते हैं आप:

अब हम दो चरों के मान जानते हैं - जेडतथा आप. हम उन्हें पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और चर का मान प्राप्त करते हैं एक्स:

पिछले चरणों से, हम समीकरणों की प्रणाली का हल लिखते हैं:

रैखिक समीकरणों की ऐसी समलम्बाकार प्रणाली प्राप्त करने के लिए, जिसे हमने बहुत सरलता से हल किया है, रैखिक समीकरणों की प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तनों से जुड़े एक प्रत्यक्ष चाल को लागू करना आवश्यक है। यह भी बहुत कठिन नहीं है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तन

सिस्टम के समीकरणों के बीजगणितीय जोड़ की स्कूल पद्धति को दोहराते हुए, हमने पाया कि सिस्टम के एक और समीकरण को सिस्टम के समीकरणों में से एक में जोड़ा जा सकता है, और प्रत्येक समीकरण को कुछ संख्याओं से गुणा किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, हमें दिए गए समीकरण के समतुल्य रैखिक समीकरणों का एक निकाय प्राप्त होता है। इसमें, एक समीकरण में पहले से ही केवल एक चर होता है, जिसके मान को अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हुए, हम एक समाधान पर आते हैं। ऐसा जोड़ प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तन के प्रकारों में से एक है। गॉस विधि का उपयोग करते समय, हम कई प्रकार के परिवर्तनों का उपयोग कर सकते हैं।

ऊपर दिया गया एनीमेशन दिखाता है कि कैसे समीकरणों की प्रणाली धीरे-धीरे एक समलम्बाकार में बदल जाती है। यही है, जिसे आपने पहले एनीमेशन में देखा था और यह सुनिश्चित किया था कि इससे सभी अज्ञात के मूल्यों को खोजना आसान हो। इस तरह के परिवर्तन को कैसे करें और निश्चित रूप से, उदाहरणों पर आगे चर्चा की जाएगी।

समीकरणों की प्रणाली में और सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में किसी भी संख्या में समीकरणों और अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय कर सकते हैं:

1. स्वैप लाइनें (इस लेख की शुरुआत में ही इसका उल्लेख किया गया था);
2. यदि अन्य परिवर्तनों के परिणामस्वरूप समान या आनुपातिक रेखाएँ दिखाई देती हैं, तो उन्हें एक को छोड़कर हटाया जा सकता है;
3. "शून्य" पंक्तियों को हटा दें, जहां सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं;
4. किसी स्ट्रिंग को किसी संख्या से गुणा या भाग देना;
5. किसी भी पंक्ति में दूसरी पंक्ति को किसी संख्या से गुणा करने पर जोड़ें।

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमें दिए गए समीकरण के समतुल्य रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है।

एल्गोरिथम और गॉस विधि द्वारा हल करने के उदाहरण प्रणाली के एक वर्ग मैट्रिक्स के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली

पहले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के समाधान पर विचार करें जिसमें अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर होती है। ऐसी प्रणाली का मैट्रिक्स वर्गाकार होता है, यानी इसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है।

उदाहरण 2गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

स्कूल विधियों का उपयोग करते हुए रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते हुए, हमने किसी एक समीकरण के पद को किसी संख्या से गुणा किया, ताकि दो समीकरणों में पहले चर के गुणांक विपरीत संख्याएं हों। समीकरण जोड़ते समय, यह चर समाप्त हो जाता है। गॉस विधि इसी तरह काम करती है।

सरल करने के लिए दिखावटसमाधान सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स की रचना करें:

इस मैट्रिक्स में, अज्ञात के गुणांक लंबवत बार से पहले बाईं ओर स्थित होते हैं, और मुक्त शब्द लंबवत बार के बाद दाईं ओर स्थित होते हैं।

चरों के गुणांकों को विभाजित करने की सुविधा के लिए (एक से विभाजन प्राप्त करने के लिए) सिस्टम मैट्रिक्स की पहली और दूसरी पंक्तियों को स्वैप करें. हम दिए गए सिस्टम के बराबर एक सिस्टम प्राप्त करते हैं, क्योंकि रैखिक समीकरणों की प्रणाली में कोई भी समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित कर सकता है:

नए पहले समीकरण के साथ चर को समाप्त करें एक्सदूसरे और बाद के सभी समीकरणों से. ऐसा करने के लिए, मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को (हमारे मामले में द्वारा) से गुणा करें, और पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति से (हमारे मामले में से) गुणा करें।

यह संभव है क्योंकि

यदि हमारे सिस्टम में तीन से अधिक समीकरण थे, तो पहली पंक्ति को बाद के सभी समीकरणों में जोड़ा जाना चाहिए, संबंधित गुणांक के अनुपात से गुणा करके, ऋण चिह्न के साथ लिया जाना चाहिए।

नतीजतन, हम दिए गए सिस्टम के बराबर एक मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं नई प्रणालीसमीकरण, जिसमें सभी समीकरण, दूसरे से शुरू होते हैं एक चर शामिल नहीं है एक्स :

परिणामी प्रणाली की दूसरी पंक्ति को सरल बनाने के लिए, हम इसे गुणा करते हैं और फिर से इस प्रणाली के बराबर समीकरणों की प्रणाली का मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

अब, परिणामी प्रणाली के पहले समीकरण को अपरिवर्तित रखते हुए, दूसरे समीकरण का उपयोग करके, हम चर को समाप्त करते हैं आप बाद के सभी समीकरणों से। ऐसा करने के लिए, सिस्टम मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति में दूसरी पंक्ति को (हमारे मामले में, से) गुणा करके जोड़ें।

यदि हमारे सिस्टम में तीन से अधिक समीकरण थे, तो दूसरी पंक्ति को बाद के सभी समीकरणों में जोड़ा जाना चाहिए, संबंधित गुणांक के अनुपात से गुणा करके, ऋण चिह्न के साथ लिया जाना चाहिए।

नतीजतन, हम फिर से रैखिक समीकरणों की दी गई प्रणाली के बराबर प्रणाली के मैट्रिक्स को प्राप्त करते हैं:

हमने दिए गए समीकरण के समतुल्य रैखिक समीकरणों की एक समलम्बाकार प्रणाली प्राप्त की है:

यदि समीकरणों और चरों की संख्या हमारे उदाहरण से अधिक है, तो चरों के क्रमिक उन्मूलन की प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि सिस्टम मैट्रिक्स समलम्बाकार नहीं हो जाता, जैसा कि हमारे डेमो उदाहरण में है।

हम "अंत से" समाधान पाएंगे - उल्टा. इसके लिए अंतिम समीकरण से हम निर्धारित करते हैं जेड:
.
इस मान को पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, पाना आप:

पहले समीकरण से पाना एक्स:

उत्तर: समीकरणों के इस निकाय का हल - .

: इस मामले में, वही उत्तर दिया जाएगा यदि सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है। यदि सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं, तो उत्तर भी ऐसा ही होगा, और यह इस पाठ के पांचवें भाग का विषय है।

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

हमारे सामने फिर से रैखिक समीकरणों की एक सुसंगत और निश्चित प्रणाली का एक उदाहरण है, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है। एल्गोरिथम से हमारे डेमो उदाहरण से अंतर यह है कि पहले से ही चार समीकरण और चार अज्ञात हैं।

उदाहरण 4गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

अब आपको बाद के समीकरणों से चर को बाहर करने के लिए दूसरे समीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता है। चलो कुछ तैयारी करते हैं। गुणांक के अनुपात के साथ इसे और अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए, आपको दूसरी पंक्ति के दूसरे कॉलम में एक इकाई प्राप्त करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, तीसरी पंक्ति को दूसरी पंक्ति से घटाएँ, और परिणामी दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करें।

आइए अब हम तीसरे और चौथे समीकरण से चर का वास्तविक विलोपन करें। ऐसा करने के लिए, तीसरी पंक्ति में दूसरी, गुणा करके , और दूसरी को , से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ें।

अब, तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए, हम चौथे समीकरण से चर को समाप्त करते हैं। ऐसा करने के लिए, चौथी पंक्ति में, तीसरी को गुणा करके जोड़ें। हमें एक समलम्बाकार आकृति का एक विस्तारित मैट्रिक्स मिलता है।

हमने समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की है, जो दिए गए सिस्टम के बराबर है:

इसलिए, परिणामी और दी गई प्रणालियाँ सुसंगत और निश्चित हैं। हम अंतिम समाधान "अंत से" ढूंढते हैं। चौथे समीकरण से, हम चर "x चौथाई" के मान को सीधे व्यक्त कर सकते हैं:

हम इस मान को निकाय के तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं

,

,

अंत में, मूल्य प्रतिस्थापन

पहले समीकरण में देता है

,

जहां हम "x पहले" पाते हैं:

उत्तर: समीकरणों की इस प्रणाली का एक अनूठा समाधान है। .

आप कैलकुलेटर पर सिस्टम के समाधान की जांच कर सकते हैं जो क्रैमर की विधि द्वारा हल करता है: इस मामले में, वही उत्तर दिया जाएगा यदि सिस्टम में एक अद्वितीय समाधान है।

मिश्र धातुओं के लिए एक समस्या के उदाहरण पर लागू समस्याओं की गॉस विधि द्वारा समाधान

भौतिक दुनिया की वास्तविक वस्तुओं को मॉडल करने के लिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली का उपयोग किया जाता है। आइए इनमें से एक समस्या को हल करें - मिश्र धातुओं के लिए। समान कार्य - मिश्रण के लिए कार्य, माल के समूह में व्यक्तिगत वस्तुओं की लागत या विशिष्ट गुरुत्व, और इसी तरह।

उदाहरण 5मिश्र धातु के तीन टुकड़ों का कुल द्रव्यमान 150 किग्रा है। पहले मिश्र धातु में 60% तांबा, दूसरा - 30%, तीसरा - 10% होता है। वहीं दूसरी और तीसरी मिश्रधातु को मिलाकर तांबा पहली मिश्र धातु की तुलना में 28.4 किलोग्राम कम है, और तीसरे मिश्र धातु में तांबा दूसरे की तुलना में 6.2 किलोग्राम कम है। मिश्र धातु के प्रत्येक टुकड़े का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

समाधान। हम रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं:

दूसरे और तीसरे समीकरण को 10 से गुणा करने पर, हम रैखिक समीकरणों की एक समान प्रणाली प्राप्त करते हैं:

हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करते हैं:

ध्यान, सीधी चाल। जोड़कर (हमारे मामले में, घटाना) एक पंक्ति, एक संख्या से गुणा (हम इसे दो बार लागू करते हैं), सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के साथ निम्नलिखित परिवर्तन होते हैं:

सीधा रन खत्म हो गया है। हमें एक समलम्बाकार आकार का एक विस्तारित मैट्रिक्स मिला है।

आइए रिवर्स का उपयोग करें। हम अंत से समाधान ढूंढते हैं। हम देखते है कि ।

दूसरे समीकरण से हम पाते हैं

तीसरे समीकरण से -

आप कैलकुलेटर पर सिस्टम के समाधान की जांच कर सकते हैं जो क्रैमर की विधि द्वारा हल करता है: इस मामले में, वही उत्तर दिया जाएगा यदि सिस्टम में एक अद्वितीय समाधान है।

गॉस पद्धति की सरलता का प्रमाण इस तथ्य से मिलता है कि जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने इसका आविष्कार करने में केवल 15 मिनट का समय लिया। उनके नाम की विधि के अलावा, गॉस के काम से, "हमें भ्रमित नहीं करना चाहिए जो हमें अविश्वसनीय और अप्राकृतिक लगता है बिल्कुल असंभव के साथ" खोजों को बनाने के लिए एक प्रकार का संक्षिप्त निर्देश है।

कई लागू समस्याओं में, तीसरा प्रतिबंध नहीं हो सकता है, यानी तीसरा समीकरण, तो गॉस विधि द्वारा तीन अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है, या, इसके विपरीत, समीकरणों की तुलना में कम अज्ञात हैं। अब हम समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करना शुरू करते हैं।

गॉस विधि का उपयोग करके, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि कोई प्रणाली सुसंगत है या असंगत एनके साथ रैखिक समीकरण एनचर।

गॉस विधि और अनंत संख्या में समाधानों के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली

अगला उदाहरण रैखिक समीकरणों की एक सुसंगत लेकिन अनिश्चित प्रणाली है, अर्थात इसमें अनंत संख्या में समाधान हैं।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में परिवर्तन करने के बाद (पंक्तियों को क्रमित करना, पंक्तियों को एक निश्चित संख्या से गुणा और विभाजित करना, एक पंक्ति को दूसरी में जोड़ना), प्रपत्र की पंक्तियाँ

यदि सभी समीकरणों में रूप है

मुक्त सदस्य शून्य के बराबर हैं, इसका मतलब है कि प्रणाली अनिश्चित है, यानी इसमें अनंत संख्या में समाधान हैं, और इस प्रकार के समीकरण "अनावश्यक" हैं और सिस्टम से बाहर रखे गए हैं।

उदाहरण 6

समाधान। आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करें। फिर, पहले समीकरण का उपयोग करते हुए, हम बाद के समीकरणों से चर को समाप्त करते हैं। ऐसा करने के लिए, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों में, पहले वाले को क्रमशः गुणा करके जोड़ें:

अब दूसरी पंक्ति को तीसरी और चौथी पंक्ति में जोड़ते हैं।

नतीजतन, हम सिस्टम पर पहुंचते हैं

अंतिम दो समीकरण रूप के समीकरण बन गए हैं। ये समीकरण अज्ञात के किसी भी मूल्य के लिए संतुष्ट हैं और इन्हें त्याग दिया जा सकता है।

दूसरे समीकरण को संतुष्ट करने के लिए, हम और के लिए मनमाना मान चुन सकते हैं, फिर के लिए मान स्पष्ट रूप से निर्धारित किया जाएगा: . पहले समीकरण से, के लिए मान भी विशिष्ट रूप से पाया जाता है: .

दिए गए और अंतिम सिस्टम दोनों संगत हैं लेकिन अनिश्चित हैं, और सूत्र

मनमानी के लिए और हमें दी गई प्रणाली के सभी समाधान दें।

गॉस विधि और रैखिक समीकरणों के सिस्टम जिनका कोई हल नहीं है

निम्नलिखित उदाहरण रैखिक समीकरणों की एक असंगत प्रणाली है, अर्थात इसका कोई हल नहीं है। ऐसी समस्याओं का उत्तर निम्नानुसार तैयार किया गया है: सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

जैसा कि पहले उदाहरण के संबंध में पहले ही उल्लेख किया गया है, सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में परिवर्तन करने के बाद, फॉर्म की लाइनें

फॉर्म के समीकरण के अनुरूप

यदि उनमें से कम से कम एक गैर-शून्य मुक्त पद (यानी) के साथ एक समीकरण है, तो समीकरणों की यह प्रणाली असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है, और यह इसका समाधान पूरा करता है।

उदाहरण 7गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करते हैं। पहले समीकरण का उपयोग करते हुए, हम चर को बाद के समीकरणों से बाहर करते हैं। ऐसा करने के लिए, पहली को दूसरी पंक्ति से गुणा करें, पहली को तीसरी पंक्ति से गुणा करें, और पहली को चौथी पंक्ति से गुणा करें।

अब आपको बाद के समीकरणों से चर को बाहर करने के लिए दूसरे समीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता है। गुणांकों के पूर्णांक अनुपात प्राप्त करने के लिए, हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की दूसरी और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करते हैं।

तीसरे और चौथे समीकरण से बाहर करने के लिए, तीसरी पंक्ति में दूसरी, गुणा करके , और दूसरी को , से गुणा करके चौथी में जोड़ें।

अब, तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए, हम चौथे समीकरण से चर को समाप्त करते हैं। ऐसा करने के लिए, चौथी पंक्ति में, तीसरी को गुणा करके जोड़ें।

लक्ष्य प्रणालीइस प्रकार निम्नलिखित के बराबर है:

परिणामी प्रणाली असंगत है, क्योंकि इसका अंतिम समीकरण अज्ञात के किसी भी मूल्य से संतुष्ट नहीं हो सकता है। इसलिए, इस प्रणाली का कोई समाधान नहीं है।