विश्वास अंतरालसांख्यिकीय मात्रा के सीमित मूल्य हैं, जो एक निश्चित विश्वास संभावना γ के साथ, इस अंतराल में एक बड़े नमूना आकार के साथ होंगे। P(θ - ε के रूप में निरूपित। व्यवहार में, विश्वास संभावना γ को मानों से चुना जाता है γ = 0.9 , γ = 0.95 , γ = 0.99 एकता के काफी करीब।

सेवा कार्य. यह सेवा परिभाषित करती है:

• सामान्य माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल, विचरण के लिए विश्वास्यता अंतराल;
• मानक विचलन के लिए विश्वास अंतराल, सामान्य अंश के लिए विश्वास अंतराल;

परिणामी समाधान एक Word फ़ाइल में सहेजा जाता है (उदाहरण देखें)। नीचे प्रारंभिक डेटा कैसे भरना है, इस पर एक वीडियो निर्देश है।

उदाहरण 1। एक सामूहिक खेत पर, 1,000 भेड़ों के कुल झुंड में से, 100 भेड़ों को चयनात्मक नियंत्रण के अधीन किया गया था। परिणामस्वरूप, प्रति भेड़ 4.2 किलोग्राम की औसत ऊन कतरनी स्थापित की गई। 0.99 की प्रायिकता के साथ निर्धारित करें कि प्रति भेड़ औसत ऊन कतरनी का निर्धारण करने में नमूने की मानक त्रुटि और यदि भिन्नता 2.5 है तो कतरनी मूल्य निहित है। नमूना गैर-दोहरावदार है।
उदाहरण #2। मास्को उत्तरी सीमा शुल्क के पद पर आयातित उत्पादों के बैच से यादृच्छिक क्रम में लिया गया था resamplingउत्पाद "ए" के 20 नमूने। जाँच के परिणामस्वरूप, नमूने में उत्पाद "ए" की औसत नमी की मात्रा स्थापित की गई, जो 1% के मानक विचलन के साथ 6% निकली।
आयातित उत्पादों के पूरे बैच में उत्पाद की औसत नमी की मात्रा की सीमा 0.683 की संभावना के साथ निर्धारित करें।
उदाहरण #3। 36 छात्रों के एक सर्वेक्षण से पता चला कि वे पाठ्यपुस्तकों की औसत संख्या में पढ़ते हैं शैक्षणिक वर्ष, 6 के बराबर निकला। यह मानते हुए कि प्रति सेमेस्टर एक छात्र द्वारा पढ़ी गई पाठ्यपुस्तकों की संख्या है सामान्य कानून 6 के बराबर मानक विचलन के साथ वितरण, खोजें: ए) 0.99 की विश्वसनीयता के साथ, अंतराल अनुमान गणितीय अपेक्षायह यादृच्छिक चर; बी) किस संभावना के साथ यह तर्क दिया जा सकता है कि प्रति सेमेस्टर में एक छात्र द्वारा पढ़ी जाने वाली पाठ्यपुस्तकों की औसत संख्या, इस नमूने के लिए गणना की गई, गणितीय अपेक्षा से पूर्ण मूल्य में 2 से अधिक नहीं है।

विश्वास अंतराल का वर्गीकरण

मूल्यांकन किए जा रहे पैरामीटर के प्रकार से:

नमूना प्रकार से:

1. अनंत नमूने के लिए विश्वास अंतराल;
2. अंतिम नमूने के लिए विश्वास अंतराल;

प्रतिचयन को पुन: प्रतिचयन कहते हैं, यदि चयनित वस्तु अगले को चुनने से पहले सामान्य आबादी को वापस कर दी जाती है। नमूने को गैर-दोहराव कहा जाता है।यदि चयनित वस्तु सामान्य जनसंख्या में वापस नहीं आती है। व्यवहार में, आमतौर पर गैर-दोहराए जाने वाले नमूनों से संबंधित होता है।

यादृच्छिक चयन के लिए औसत नमूनाकरण त्रुटि की गणना

नमूना और संबंधित पैरामीटर से प्राप्त संकेतकों के मूल्यों के बीच विसंगति आबादीबुलाया प्रतिनिधित्व त्रुटि.
सामान्य और नमूना जनसंख्या के मुख्य मापदंडों का पदनाम।

नमूना माध्य त्रुटि सूत्र
पुनर्चयन		गैर-दोहराव चयन
मध्य के लिए	शेयर के लिए	मध्य के लिए	शेयर के लिए

नमूना त्रुटि सीमा (Δ) के बीच का अनुपात कुछ संभावना के साथ गारंटीकृत है पी (टी),और औसत नमूनाकरण त्रुटि का रूप है: या Δ = t μ, जहां टी- विश्वास गुणांक, अभिन्न लैपलेस फ़ंक्शन की तालिका के अनुसार संभाव्यता पी (टी) के स्तर के आधार पर निर्धारित किया गया है।

उचित यादृच्छिक चयन पद्धति के साथ नमूना आकार की गणना के लिए सूत्र

विश्वास अंतराल।

गणना विश्वास अंतरालसंबंधित पैरामीटर की औसत त्रुटि पर आधारित है। विश्वास अंतराल संभाव्यता (1-ए) के साथ अनुमानित पैरामीटर का सही मान किस सीमा के भीतर दिखाता है। यहाँ a सार्थकता स्तर है, (1-a) को विश्वास स्तर भी कहा जाता है।

पहले अध्याय में, हमने दिखाया कि, उदाहरण के लिए, अंकगणितीय माध्य के लिए, वास्तविक जनसंख्या माध्य लगभग 95% समय के माध्य की 2 औसत त्रुटियों के भीतर होता है। इस प्रकार, माध्य के लिए 95% विश्वास अंतराल की सीमाएं नमूना माध्य से दुगनी दूर होंगी। औसत त्रुटिऔसत, यानी हम माध्य की औसत त्रुटि को किसी ऐसे कारक से गुणा करते हैं जो विश्वास स्तर पर निर्भर करता है। माध्य और माध्य के अंतर के लिए, छात्र का गुणांक (विद्यार्थी की कसौटी का महत्वपूर्ण मूल्य) लिया जाता है, शेयरों के हिस्से और अंतर के लिए, z मानदंड का महत्वपूर्ण मूल्य। गुणांक और औसत त्रुटि का उत्पाद कहा जा सकता है मामूली त्रुटिदिए गए पैरामीटर, यानी अधिकतम जो हम इसका मूल्यांकन करते समय प्राप्त कर सकते हैं।

के लिए विश्वास अंतराल अंकगणित औसत : .

यहाँ नमूना माध्य है;

अंकगणितीय माध्य की औसत त्रुटि;

एस-नमूना मानक विचलन;

एन

च = एन-1 (छात्र का गुणांक)।

के लिए विश्वास अंतराल अंकगणितीय साधनों का अंतर :

यहाँ, नमूना माध्यों के बीच अंतर है;

- अंकगणितीय साधनों के अंतर की औसत त्रुटि;

एस 1, एस 2 -नमूना मानक विचलन;

एन 1, एन 2

किसी दिए गए महत्व के स्तर के लिए छात्र की कसौटी का महत्वपूर्ण मूल्य और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या च=n1 +n2-2 (विद्यार्थी का गुणांक)।

के लिए विश्वास अंतराल शेयरों :

.

यहाँ d नमूना हिस्सा है;

- औसत शेयर त्रुटि;

एन- नमूना आकार (समूह आकार);

के लिए विश्वास अंतराल मतभेद साझा करें :

यहाँ, सैंपल शेयरों के बीच का अंतर है;

अंकगणितीय साधनों के बीच अंतर की औसत त्रुटि है;

एन 1, एन 2- नमूना आकार (समूहों की संख्या);

दिए गए सार्थकता स्तर a ( , , ) पर कसौटी z का महत्वपूर्ण मान।

संकेतकों में अंतर के लिए विश्वास अंतराल की गणना करके, हम, सबसे पहले, सीधे प्रभाव के संभावित मूल्यों को देखते हैं, न कि केवल इसके बिंदु अनुमान को। दूसरा, हम शून्य परिकल्पना की स्वीकृति या खंडन के बारे में एक निष्कर्ष निकाल सकते हैं और तीसरा, हम कसौटी की शक्ति के बारे में एक निष्कर्ष निकाल सकते हैं।

विश्वास अंतराल का उपयोग करते हुए परिकल्पनाओं का परीक्षण करते समय, एक का पालन करना चाहिए अगला नियम:

यदि माध्य अंतर के 100(1-ए)-प्रतिशत विश्वास अंतराल में शून्य नहीं है, तो अंतर सांख्यिकीय रूप से महत्व स्तर पर महत्वपूर्ण होते हैं; इसके विपरीत, यदि इस अंतराल में शून्य है, तो अंतर सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण नहीं होते हैं।

वास्तव में, यदि इस अंतराल में शून्य है, तो, इसका मतलब है कि तुलनात्मक संकेतक एक समूह में दूसरे की तुलना में अधिक या कम हो सकता है, अर्थात। देखे गए अंतर यादृच्छिक हैं।

उस स्थान से जहां विश्वास अंतराल के भीतर शून्य स्थित है, कसौटी की शक्ति का न्याय किया जा सकता है। यदि शून्य अंतराल की निचली या ऊपरी सीमा के करीब है, तो यह कब संभव है अधिक संख्यातुलना समूहों, मतभेद तक पहुंच जाएगा आंकड़ों की महत्ता. यदि शून्य अंतराल के मध्य के करीब है, तो इसका मतलब है कि प्रायोगिक समूह में सूचक की वृद्धि और कमी दोनों समान रूप से संभावित हैं, और शायद वास्तव में कोई अंतर नहीं है।

उदाहरण:

दो अलग-अलग प्रकार के एनेस्थीसिया का उपयोग करते समय सर्जिकल मृत्यु दर की तुलना करने के लिए: पहले प्रकार के एनेस्थीसिया का उपयोग करके 61 लोगों का ऑपरेशन किया गया, 8 की मृत्यु हो गई, दूसरे का उपयोग करते हुए - 67 लोग, 10 की मृत्यु हो गई।

डी 1 \u003d 8/61 \u003d 0.131; डी 2 \u003d 10/67 \u003d 0.149; डी1-डी2 = - 0.018।

तुलनात्मक विधियों की घातकता में अंतर 100 (1-ए) = 95% की संभावना के साथ (-0.018 - 0.122; -0.018 + 0.122) या (-0.14; 0.104) की सीमा में होगा। अंतराल में शून्य होता है, अर्थात दो में समान मृत्यु दर के बारे में परिकल्पना अलग - अलग प्रकारएनेस्थीसिया से इंकार नहीं किया जा सकता।

इस प्रकार, मृत्यु दर घटकर 14% हो सकती है और 95% की संभावना के साथ 10.4% तक बढ़ सकती है, अर्थात। शून्य लगभग अंतराल के बीच में है, इसलिए यह तर्क दिया जा सकता है कि, सबसे अधिक संभावना है, ये दो विधियां वास्तव में घातकता में भिन्न नहीं हैं।

पहले लिए गए उदाहरण में, औसत टैपिंग समय की तुलना उनके परीक्षा अंकों में भिन्न छात्रों के चार समूहों में की गई थी। आइए 2 और 5 की परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले छात्रों के लिए औसत दबाव समय के विश्वास अंतराल और इन औसत के बीच के अंतर के लिए विश्वास अंतराल की गणना करें।

छात्र के गुणांक छात्र के वितरण की तालिका से पाए जाते हैं (परिशिष्ट देखें): पहले समूह के लिए: = t(0.05;48) = 2.011; दूसरे समूह के लिए: = टी (0.05; 61) = 2.000। इस प्रकार, पहले समूह के लिए विश्वास अंतराल: = (162.19-2.011 * 2.18; 162.19 + 2.011 * 2.18) = (157.8; 166.6) , दूसरे समूह के लिए (156.55- 2.000*1.88; 156.55+2.000*1.88) = (152.8) ; 160.3). तो, उन लोगों के लिए जिन्होंने 2 के लिए परीक्षा उत्तीर्ण की, औसत दबाव का समय 157.8 एमएस से 166.6 एमएस तक 95% की संभावना के साथ है, जिन्होंने 5 के लिए परीक्षा उत्तीर्ण की - 152.8 एमएस से 160.3 एमएस तक 95% की संभावना के साथ .

आप साधनों के लिए विश्वास अंतराल का उपयोग करके अशक्त परिकल्पना का परीक्षण भी कर सकते हैं, न कि केवल साधनों में अंतर के लिए। उदाहरण के लिए, जैसा कि हमारे मामले में, यदि साधनों के लिए विश्वास अंतराल ओवरलैप होता है, तो अशक्त परिकल्पना को अस्वीकार नहीं किया जा सकता है। एक चुने हुए महत्व स्तर पर एक परिकल्पना को अस्वीकार करने के लिए, संबंधित विश्वास अंतरालों को ओवरलैप नहीं करना चाहिए।

आइए 2 और 5 की परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले समूहों में औसत दबाव समय में अंतर के लिए विश्वास अंतराल का पता लगाएं। औसत में अंतर: 162.19 - 156.55 = 5.64। छात्र का गुणांक: \u003d t (0.05; 49 + 62-2) \u003d t (0.05; 109) \u003d 1.982। समूह मानक विचलन इसके बराबर होंगे: ; . हम साधनों के बीच के अंतर की औसत त्रुटि की गणना करते हैं:। विश्वास अंतराल: \u003d (5.64-1.982 * 2.87; 5.64 + 1.982 * 2.87) \u003d (-0.044; 11.33)।

तो, 2 और 5 पर परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले समूहों में औसत दबाने के समय में अंतर -0.044 एमएस से 11.33 एमएस की सीमा में होगा। इस अंतराल में शून्य शामिल है, अर्थात उत्कृष्ट परिणामों के साथ परीक्षा उत्तीर्ण करने वालों के लिए औसत दबाव समय उन लोगों की तुलना में बढ़ और घट सकता है, जिन्होंने परीक्षा को असंतोषजनक रूप से उत्तीर्ण किया है, अर्थात। शून्य परिकल्पना को अस्वीकार नहीं किया जा सकता। लेकिन शून्य निचली सीमा के बहुत करीब है, उत्कृष्ट राहगीरों के लिए दबाने का समय कम होने की संभावना अधिक है। इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि 2 और 5 से पार करने वालों के बीच औसत क्लिक समय में अभी भी अंतर हैं, हम औसत समय में दिए गए परिवर्तन, औसत समय और नमूना आकार के प्रसार के लिए उनका पता नहीं लगा सके।

परीक्षण की शक्ति एक गलत अशक्त परिकल्पना को अस्वीकार करने की संभावना है, अर्थात अंतर खोजें जहां वे वास्तव में हैं।

परीक्षण की शक्ति महत्व के स्तर, समूहों के बीच अंतर के परिमाण, समूहों में मूल्यों के प्रसार और नमूना आकार के आधार पर निर्धारित की जाती है।

छात्र के टी-टेस्ट के लिए और भिन्नता का विश्लेषणआप संवेदनशीलता चार्ट का उपयोग कर सकते हैं।

समूहों की आवश्यक संख्या के प्रारंभिक निर्धारण में कसौटी की शक्ति का उपयोग किया जा सकता है।

कॉन्फिडेंस इंटरवल किस हद तक दिखाता है दी गई संभावनाअनुमानित पैरामीटर का सही मान पाया जाता है।

विश्वास अंतराल की सहायता से, आप सांख्यिकीय परिकल्पनाओं का परीक्षण कर सकते हैं और मानदंडों की संवेदनशीलता के बारे में निष्कर्ष निकाल सकते हैं।

साहित्य।

ग्लैंट्ज़ एस - अध्याय 6.7।

रेब्रोवा ओ.यू. - पृष्ठ 112-114, पृष्ठ 171-173, पृष्ठ 234-238।

सिदोरेंको ई। वी। - पीपी। 32-33।

छात्रों की आत्म-परीक्षा के लिए प्रश्न।

1. कसौटी की शक्ति क्या है?

2. मानदंड की शक्ति का मूल्यांकन करने के लिए किन मामलों में आवश्यक है?

3. शक्ति की गणना के तरीके।

6. जांच कैसे करें सांख्यिकीय परिकल्पनाएक विश्वास अंतराल का उपयोग करना?

7. कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना करते समय कसौटी की शक्ति के बारे में क्या कहा जा सकता है?

कार्य।

पिछले उपखंडों में, हमने अज्ञात पैरामीटर का आकलन करने के प्रश्न पर विचार किया एकएक संख्या। इस तरह के आकलन को "बिंदु" कहा जाता है। कई कार्यों में, न केवल पैरामीटर खोजने की आवश्यकता होती है एकउपयुक्त संख्यात्मक मान, लेकिन इसकी सटीकता और विश्वसनीयता का भी मूल्यांकन करें। यह जानना आवश्यक है कि पैरामीटर प्रतिस्थापन से क्या त्रुटियां हो सकती हैं एकइसका बिंदु अनुमान एकऔर किस हद तक विश्वास के साथ हम उम्मीद कर सकते हैं कि ये त्रुटियां ज्ञात सीमाओं से परे नहीं जाएंगी?

इस तरह की समस्याएं विशेष रूप से टिप्पणियों की एक छोटी संख्या के लिए प्रासंगिक होती हैं, जब बिंदु का अनुमान लगाया जाता है और मेंकाफी हद तक यादृच्छिक है और a द्वारा a के अनुमानित प्रतिस्थापन से गंभीर त्रुटियाँ हो सकती हैं।

अनुमान की सटीकता और विश्वसनीयता का अंदाजा लगाने के लिए एक,

में गणितीय सांख्यिकीतथाकथित कॉन्फिडेंस इंटरवल और कॉन्फिडेंस प्रायिकता का उपयोग करें।

चलो पैरामीटर के लिए एकअनुभव से प्राप्त निष्पक्ष अनुमान एक।हम इस मामले में संभावित त्रुटि का अनुमान लगाना चाहते हैं। आइए हम कुछ पर्याप्त रूप से बड़ी प्रायिकता p निर्दिष्ट करें (उदाहरण के लिए, p = 0.9, 0.95, या 0.99) ताकि प्रायिकता p वाली घटना को व्यावहारिक रूप से निश्चित माना जा सके, और s का मान ज्ञात करें जिसके लिए

फिर त्रुटि के व्यावहारिक रूप से संभावित मूल्यों की सीमा जो प्रतिस्थापित करते समय होती है एकपर एक, ± s होगा; बड़ी निरपेक्ष त्रुटियाँ केवल एक छोटी संभावना a = 1 - p के साथ दिखाई देंगी। आइए (14.3.1) को इस रूप में फिर से लिखें:

समानता (14.3.2) का अर्थ है कि संभाव्यता पी के साथ पैरामीटर का अज्ञात मान एकअन्तराल में पड़ता है

इस मामले में, एक परिस्थिति पर ध्यान दिया जाना चाहिए। पहले, हमने बार-बार एक यादृच्छिक चर के दिए गए गैर-यादृच्छिक अंतराल में गिरने की संभावना पर विचार किया। यहां स्थिति अलग है : एकयादृच्छिक नहीं, बल्कि यादृच्छिक अंतराल / आर। इसके केंद्र द्वारा निर्धारित एक्स-अक्ष पर बेतरतीब ढंग से इसकी स्थिति एक; सामान्य तौर पर, अंतराल 2s की लंबाई भी यादृच्छिक होती है, क्योंकि s के मान की गणना, एक नियम के रूप में, प्रयोगात्मक डेटा से की जाती है। इसलिए, इस मामले में, p के मान की व्याख्या करना बेहतर होगा न कि बिंदु को "हिट" करने की संभावना के रूप में एकअंतराल / पी में, लेकिन संभावना के रूप में कि एक यादृच्छिक अंतराल / पी बिंदु को कवर करेगा एक(चित्र 14.3.1)।

चावल। 14.3.1

प्रायिकता p कहलाती है आत्मविश्वास का स्तर, और अंतराल / पी - विश्वास अंतराल।अंतराल की सीमाएँ यदि। एक एक्स \u003d एक-रेत एक 2 = एक +और कहलाते हैं भरोसे की सीमाएं।

आइए विश्वास अंतराल की अवधारणा को एक और व्याख्या दें: इसे पैरामीटर मानों के अंतराल के रूप में माना जा सकता है एक,प्रयोगात्मक डेटा के साथ संगत और उनका खंडन नहीं। वास्तव में, यदि हम एक संभावना के साथ एक घटना पर विचार करने के लिए सहमत हैं = 1-पी व्यावहारिक रूप से असंभव है, तो पैरामीटर के वे मान जिनके लिए ए - ए> s को प्रायोगिक डेटा के विपरीत माना जाना चाहिए, और जिनके लिए |a - एकएक टी ना 2।

चलो पैरामीटर के लिए एकएक निष्पक्ष अनुमान है एक।यदि हम मात्रा के वितरण के नियम को जानते थे एक, विश्वास अंतराल खोजने की समस्या काफी सरल होगी: इसके लिए s का मान ज्ञात करना पर्याप्त होगा

कठिनाई इस तथ्य में निहित है कि अनुमान का वितरण कानून एकमात्रा के वितरण के नियम पर निर्भर करता है एक्सऔर, फलस्वरूप, इसके अज्ञात मापदंडों पर (विशेष रूप से, पैरामीटर पर ही एक)।

इस कठिनाई को दूर करने के लिए, मोटे तौर पर निम्नलिखित तरकीब का प्रयोग किया जा सकता है: s के लिए व्यंजक में अज्ञात पैरामीटरों को उनके बिंदु अनुमानों से बदलें। तुलनात्मक रूप से बड़ी संख्याप्रयोगों पी(लगभग 20 ... 30) यह तकनीक आमतौर पर सटीकता के मामले में संतोषजनक परिणाम देती है।

एक उदाहरण के रूप में, गणितीय अपेक्षा के लिए कॉन्फ़िडेंस इंटरवल की समस्या पर विचार करें।

उत्पादन करने दें पी एक्स,जिनकी विशेषताएं गणितीय अपेक्षाएं हैं टीऔर विचरण डी- अनजान। इन मापदंडों के लिए, निम्नलिखित अनुमान प्राप्त किए गए थे:

गणितीय अपेक्षा के लिए, विश्वास संभाव्यता р के अनुरूप एक विश्वास अंतराल / р बनाना आवश्यक है टीमात्रा एक्स।

इस समस्या को हल करने में, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि मात्रा टीयोग है पीस्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर एक्स एचऔर पर्याप्त रूप से बड़े के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार पीइसका वितरण कानून सामान्य के करीब है। व्यवहार में, यहां तक ​​​​कि अपेक्षाकृत कम संख्या में (10 ... 20 के क्रम में), राशि के वितरण कानून को लगभग सामान्य माना जा सकता है। हम मान लेंगे कि मूल्य टीसामान्य कानून के अनुसार वितरित। इस कानून की विशेषताएं - गणितीय अपेक्षा और विचरण - क्रमशः समान हैं टीतथा

(अध्याय 13 उपखंड 13.3 देखें)। आइए मान लें कि मूल्य डीहमारे लिए जाना जाता है और हम ऐसा मूल्य ईपी पाएंगे जिसके लिए

अध्याय 6 के सूत्र (6.3.5) को लागू करते हुए, हम सामान्य वितरण समारोह के संदर्भ में (14.3.5) के बाईं ओर संभावना व्यक्त करते हैं

अनुमान का मानक विचलन कहां है टी।

समीकरण से

एसपी मूल्य खोजें:

जहां आर्ग Ф* (x) Ф* का व्युत्क्रम फलन है (एक्स),वे। तर्क का ऐसा मान जिसके लिए सामान्य बंटन फलन बराबर होता है एक्स।

फैलाव डी,जिसके माध्यम से मूल्य व्यक्त किया जाता है एक 1P, हम ठीक से नहीं जानते; इसके अनुमानित मूल्य के रूप में, आप अनुमान का उपयोग कर सकते हैं डी(14.3.4) और लगभग डाल दिया:

इस प्रकार, एक विश्वास अंतराल के निर्माण की समस्या लगभग हल हो गई है, जो इसके बराबर है:

जहाँ gp को सूत्र (14.3.7) द्वारा परिभाषित किया गया है।

एसपी की गणना करते समय फ़ंक्शन एफ * (एल) की तालिकाओं में रिवर्स इंटरपोलेशन से बचने के लिए, एक विशेष तालिका (तालिका 14.3.1) को संकलित करना सुविधाजनक है, जो मात्रा के मूल्यों को सूचीबद्ध करता है

आर पर निर्भर करता है। मूल्य (पी सामान्य कानून के लिए औसत की संख्या निर्धारित करता है मानक विचलन, जिसे फैलाव केंद्र के दाईं और बाईं ओर सेट किया जाना चाहिए ताकि परिणामी क्षेत्र से टकराने की संभावना p के बराबर हो।

7 पी के मान के माध्यम से, विश्वास अंतराल को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

तालिका 14.3.1

उदाहरण 1. मान पर 20 प्रयोग किए गए एक्स;परिणाम तालिका में दिखाए गए हैं। 14.3.2।

तालिका 14.3.2

मात्रा की गणितीय अपेक्षा के लिए का अनुमान लगाना आवश्यक है एक्सऔर कॉन्फिडेंस लेवल p = 0.8 के अनुरूप कॉन्फिडेंस इंटरवल बनाएं।

समाधान।हमारे पास है:

मूल n के लिए चयन: = 10, तीसरे सूत्र (14.2.14) के अनुसार हम निष्पक्ष अनुमान पाते हैं डी :

तालिका के अनुसार 14.3.1 हम पाते हैं

विश्वास सीमा:

विश्वास अंतराल:

पैरामीटर मान टी,इस अंतराल में पड़ी तालिका में दिए गए प्रयोगात्मक डेटा के साथ संगत हैं। 14.3.2।

इसी तरह, विचरण के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण किया जा सकता है।

उत्पादन करने दें पीएक यादृच्छिक चर पर स्वतंत्र प्रयोग एक्सअज्ञात पैरामीटर के साथ और ए, और भिन्नता के लिए डीनिष्पक्ष अनुमान प्राप्त किया जाता है:

विचरण के लिए लगभग एक विश्वास अंतराल का निर्माण करना आवश्यक है।

सूत्र (14.3.11) से यह देखा जा सकता है कि मूल्य डीप्रतिनिधित्व करता है

रकम पीप्रपत्र के यादृच्छिक चर। ये मान नहीं हैं

स्वतंत्र, क्योंकि उनमें से किसी में मात्रा शामिल है टी,हर किसी पर निर्भर। हालाँकि, यह दिखाया जा सकता है कि के रूप में पीउनकी राशि का वितरण कानून भी सामान्य के करीब है। लगभग पर पी= 20...30 इसे पहले से ही सामान्य माना जा सकता है।

आइए मान लें कि ऐसा है, और इस कानून की विशेषताओं को खोजें: गणितीय अपेक्षा और विचरण। स्कोर के बाद से डी- निष्पक्ष, फिर एम [डी] = डी।

भिन्न गणना डी डीअपेक्षाकृत जटिल गणनाओं से जुड़ा है, इसलिए हम इसकी व्युत्पत्ति के बिना इसकी अभिव्यक्ति देते हैं:

कहाँ पे सी 4 - मात्रा का चौथा केंद्रीय क्षण एक्स।

इस अभिव्यक्ति का उपयोग करने के लिए, आपको इसमें 4 के मान को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है और डी(कम से कम अनुमानित)। के बजाय डीआप मूल्यांकन का उपयोग कर सकते हैं डी।सिद्धांत रूप में, चौथा केंद्रीय क्षण भी इसके अनुमान से बदला जा सकता है, उदाहरण के लिए, फॉर्म के मान से:

लेकिन इस तरह के प्रतिस्थापन से बेहद कम सटीकता मिलेगी, क्योंकि सामान्य तौर पर सीमित संख्या में प्रयोग, क्षण उच्च स्तरबड़ी त्रुटियों के साथ निर्धारित। हालाँकि, व्यवहार में अक्सर ऐसा होता है कि मात्रा के वितरण कानून का रूप एक्सपहले से ज्ञात: केवल इसके पैरामीटर अज्ञात हैं। तब हम u4 को व्यक्त करने का प्रयास कर सकते हैं डी।

आइए सबसे आम मामला लें, जब मूल्य एक्ससामान्य कानून के अनुसार वितरित। फिर इसका चौथा केंद्रीय क्षण विचरण के रूप में व्यक्त किया जाता है (अध्याय 6 उपखंड 6.2 देखें);

और सूत्र (14.3.12) देता है या

(14.3.14) में अज्ञात को बदलना डीउसका आकलन डी, हम प्राप्त करते हैं: जहाँ से

पल यू 4 के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है डीकुछ अन्य मामलों में भी, जब मात्रा का वितरण एक्ससामान्य नहीं है, लेकिन इसका स्वरूप ज्ञात है। उदाहरण के लिए, समान घनत्व के नियम के लिए (अध्याय 5 देखें) हमारे पास है:

जहां (ए, पी) अंतराल है जिस पर कानून दिया गया है।

फलस्वरूप,

सूत्र (14.3.12) के अनुसार हमें मिलता है: जहाँ से हम लगभग पाते हैं

ऐसे मामलों में जहां 26 के मूल्य के वितरण के कानून का रूप अज्ञात है, ए / के मूल्य का आकलन करते समय यह अभी भी सूत्र (14.3.16) का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है, अगर यह विश्वास करने के लिए कोई विशेष आधार नहीं है कानून सामान्य से बहुत अलग है (ध्यान देने योग्य सकारात्मक या नकारात्मक कुर्तोसिस है)।

यदि a /) का अनुमानित मान एक या दूसरे तरीके से प्राप्त किया जाता है, तो वैरियंस के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल का निर्माण उसी तरह से संभव है, जैसे हमने इसे गणितीय अपेक्षा के लिए बनाया था:

जहां दी गई प्रायिकता p के आधार पर मान तालिका में पाया जाता है। 14.3.1।

उदाहरण 2. एक यादृच्छिक चर के प्रसरण के लिए लगभग 80% विश्वास अंतराल का पता लगाएं एक्सउदाहरण 1 की शर्तों के तहत, यदि यह ज्ञात है कि मूल्य एक्ससामान्य के करीब एक कानून के अनुसार वितरित।

समाधान।मान तालिका के समान ही रहता है। 14.3.1:

सूत्र के अनुसार (14.3.16)

सूत्र (14.3.18) के अनुसार हम विश्वास अंतराल पाते हैं:

मानक विचलन के मूल्यों की संगत श्रेणी: (0.21; 0.29)।

14.4। सामान्य कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर के मापदंडों के लिए विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए सटीक तरीके

पिछले उपभाग में, हमने माध्य और प्रसरण के लिए विश्वास अंतरालों के निर्माण के लिए मोटे तौर पर अनुमानित विधियों पर विचार किया था। यहां हम उसी समस्या को हल करने के सटीक तरीकों का विचार देते हैं। हम इस बात पर जोर देते हैं कि कॉन्फिडेंस इंटरवल को सटीक रूप से खोजने के लिए, मात्रा के वितरण के कानून के रूप को पहले से जानना नितांत आवश्यक है। एक्स,जबकि अनुमानित विधियों के अनुप्रयोग के लिए यह आवश्यक नहीं है।

विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए सटीक तरीकों का विचार इस प्रकार है। कुछ असमानताओं की पूर्ति की संभावना को व्यक्त करने वाली स्थिति से कोई विश्वास अंतराल पाया जाता है, जिसमें हमारे लिए ब्याज का अनुमान शामिल है एक।ग्रेड वितरण कानून एकमें सामान्य मामलाअज्ञात मात्रा मापदंडों पर निर्भर करता है एक्स।हालांकि, कभी-कभी यादृच्छिक चर से असमानताओं को पास करना संभव होता है एकदेखे गए मूल्यों के किसी अन्य कार्य के लिए एक्स पी एक्स 2, ..., एक्स पी।जिसका वितरण नियम अज्ञात प्राचलों पर निर्भर न होकर केवल प्रयोगों की संख्या और मात्रा के वितरण नियम के स्वरूप पर निर्भर करता है। एक्स।इस प्रकार के यादृच्छिक चर गणितीय आँकड़ों में एक बड़ी भूमिका निभाते हैं; मात्रा के सामान्य वितरण के मामले में उनका सबसे अधिक विस्तार से अध्ययन किया गया है एक्स।

उदाहरण के लिए, यह साबित हो गया है कि मात्रा के सामान्य वितरण के तहत एक्सयादृच्छिक मूल्य

तथाकथित के अधीन छात्र वितरण कानूनसाथ पी- स्वतंत्रता की 1 डिग्री; इस कानून के घनत्व का रूप है

जहाँ G(x) ज्ञात गामा फलन है:

यह भी सिद्ध होता है कि यादृच्छिक चर

के साथ "वितरण% 2" है पी- स्वतंत्रता की 1 डिग्री (अध्याय 7 देखें), जिसका घनत्व सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

वितरण (14.4.2) और (14.4.4) की व्युत्पत्तियों पर ध्यान दिए बिना, हम दिखाएंगे कि मापदंडों के लिए विश्वास अंतराल का निर्माण करते समय उन्हें कैसे लागू किया जा सकता है टाई डी।

उत्पादन करने दें पीएक यादृच्छिक चर पर स्वतंत्र प्रयोग एक्स,अज्ञात मापदंडों के साथ सामान्य कानून के अनुसार वितरित टीआईओ।इन मापदंडों के लिए, अनुमान

कॉन्फिडेंस प्रायिकता p के अनुरूप दोनों पैरामीटर्स के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल बनाना आवश्यक है।

आइए पहले हम गणितीय अपेक्षा के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण करें। इस अंतराल को सममित रूप से लेना स्वाभाविक है टी; अंतराल की आधी लंबाई को sp से निरूपित करें। एसपी का मूल्य चुना जाना चाहिए ताकि स्थिति

आइए एक यादृच्छिक चर से समानता (14.4.5) के बाईं ओर पारित करने का प्रयास करें टीएक यादृच्छिक चर के लिए टी,छात्र के कानून के अनुसार वितरित। ऐसा करने के लिए, हम असमानता के दोनों भागों को |m-w?| गुणा करते हैं

एक सकारात्मक मूल्य के लिए: या, अंकन (14.4.1) का उपयोग करके,

आइए हम एक संख्या / p ज्ञात करें जैसे कि मान / p स्थिति से पाया जा सकता है

सूत्र (14.4.2) से यह देखा जा सकता है कि (1) - यहां तक ​​कि समारोह, तो (14.4.8) देता है

समानता (14.4.9) पी के आधार पर मूल्य / पी निर्धारित करती है। यदि आपके पास अभिन्न मूल्यों की एक तालिका है

तो मूल्य / पी तालिका में रिवर्स इंटरपोलेशन द्वारा पाया जा सकता है। हालाँकि, अग्रिम में मानों / p की तालिका संकलित करना अधिक सुविधाजनक है। ऐसी तालिका परिशिष्ट (तालिका 5) में दी गई है। यह तालिका विश्वास संभाव्यता पी और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के आधार पर मान दिखाती है पी- 1. तालिका के अनुसार निर्धारित / पी। 5 और मान लेना

हम विश्वास अंतराल / पी की आधी चौड़ाई और स्वयं अंतराल पाते हैं

उदाहरण 1. एक यादृच्छिक चर पर 5 स्वतंत्र प्रयोग किए गए एक्स,सामान्य रूप से अज्ञात मापदंडों के साथ वितरित टीऔर उस बारे में। प्रयोगों के परिणाम तालिका में दिए गए हैं। 14.4.1।

तालिका 14.4.1

एक अनुमान खोजें टीगणितीय अपेक्षा के लिए और इसके लिए 90% विश्वास अंतराल / पी का निर्माण करें (यानी, विश्वास संभावना p \u003d 0.9 के अनुरूप अंतराल)।

समाधान।हमारे पास है:

आवेदन की तालिका 5 के अनुसार पी - 1 = 4 और p = 0.9 हम पाते हैं कहाँ पे

कॉन्फिडेंस इंटरवल होगा

उदाहरण 2। उपखंड 14.3 के उदाहरण 1 की शर्तों के लिए, मूल्य मानते हुए एक्ससामान्य रूप से वितरित, सटीक विश्वास अंतराल का पता लगाएं।

समाधान।आवेदन की तालिका 5 के अनुसार, हम पाते हैं पी - 1 = 19ir =

0.8 / पी = 1.328; यहाँ से

उपधारा 14.3 (e p = 0.072) के उदाहरण 1 के समाधान से तुलना करने पर, हम देखते हैं कि विसंगति बहुत कम है। यदि हम सटीकता को दूसरे दशमलव स्थान तक रखते हैं, तो सटीक और अनुमानित विधियों द्वारा प्राप्त विश्वास अंतराल समान होते हैं:

आइए विचरण के लिए एक विश्वास अंतराल बनाने की ओर बढ़ते हैं। निष्पक्ष विचरण अनुमान पर विचार करें

और यादृच्छिक चर व्यक्त करें डीमूल्य के माध्यम से वी(14.4.3) वितरण x 2 (14.4.4):

मात्रा के वितरण नियम को जानना वी,अंतराल / (1) का पता लगाना संभव है जिसमें यह दी गई प्रायिकता p के साथ आता है।

वितरण कानून के एन _ एक्स (वी) I 7 का मान अंजीर में दिखाया गया है। 14.4.1।

चावल। 14.4.1

सवाल उठता है: अंतराल / पी कैसे चुनें? यदि मात्रा का वितरण नियम वीसममित था (एक सामान्य कानून या छात्र के वितरण की तरह), गणितीय अपेक्षा के संबंध में अंतराल/पी सममित लेना स्वाभाविक होगा। इस मामले में कानून के एन _ एक्स (वी)असममित। आइए हम अंतराल / पी चुनने के लिए सहमत हों ताकि मात्रा के उत्पादन की संभावनाएं वीअंतराल के बाहर दाएं और बाएं (चित्र 14.4.1 में छायांकित क्षेत्र) समान और समान थे

इस गुण के साथ एक अंतराल / p बनाने के लिए, हम तालिका का उपयोग करते हैं। 4 एप्लिकेशन: इसमें नंबर होते हैं वाई)ऐसा है कि

मात्रा के लिए वी,स्वतंत्रता की आर डिग्री के साथ एक्स 2-वितरण। हमारे मामले में आर = एन- 1. ठीक करें आर = एन- 1 और तालिका की संगत पंक्ति में खोजें। 4 दो मान एक्स 2 -एक प्रायिकता के अनुरूप दूसरा - प्रायिकताएँ आइए हम इन्हें निरूपित करें

मूल्यों दो परतथा एक्स्ट्रा लार्ज?अंतराल है वाई 2,उसकी बाईं ओर, और वाई ~दाहिना छोर।

अब हम सीमा D, और के साथ विचरण के लिए आवश्यक विश्वास अंतराल / | पाते हैं डी2,जो बिंदु को कवर करता है डीप्रायिकता पी के साथ:

आइए हम एक ऐसा अंतराल / (, = (?> b A) बनाएं, जो बिंदु को कवर करता है डीअगर और केवल अगर मूल्य वीअंतराल / आर में पड़ता है। आइए दिखाते हैं कि अंतराल

इस शर्त को पूरा करता है। दरअसल, असमानताएं असमानताओं के बराबर हैं

और ये असमानताएँ प्रायिकता p के साथ हैं। इस प्रकार, फैलाव के लिए विश्वास अंतराल पाया जाता है और सूत्र (14.4.13) द्वारा व्यक्त किया जाता है।

उदाहरण 3। उपखंड 14.3 के उदाहरण 2 की शर्तों के तहत भिन्नता के लिए विश्वास अंतराल का पता लगाएं, यदि यह ज्ञात है कि मूल्य एक्ससामान्य रूप से वितरित।

समाधान।हमारे पास है . आवेदन की तालिका 4 के अनुसार

हम पर पाते हैं आर = एन - 1 = 19

सूत्र (14.4.13) के अनुसार हम फैलाव के लिए विश्वास अंतराल पाते हैं

मानक विचलन के लिए संगत अंतराल: (0.21; 0.32)। यह अंतराल अनुमानित विधि द्वारा उपधारा 14.3 के उदाहरण 2 में प्राप्त अंतराल (0.21; 0.29) से थोड़ा ही अधिक है।

• चित्र 14.3.1 एक विश्वास अंतराल पर विचार करता है जो a के बारे में सममित है। सामान्य तौर पर, जैसा कि हम बाद में देखेंगे, यह आवश्यक नहीं है।

अक्सर मूल्यांकक को उस खंड के अचल संपत्ति बाजार का विश्लेषण करना पड़ता है जिसमें मूल्यांकन वस्तु स्थित है। यदि बाजार विकसित है, तो प्रस्तुत वस्तुओं के पूरे सेट का विश्लेषण करना मुश्किल हो सकता है, इसलिए विश्लेषण के लिए वस्तुओं का एक नमूना उपयोग किया जाता है। यह नमूना हमेशा सजातीय नहीं होता है, कभी-कभी इसे चरम सीमाओं से मुक्त करने की आवश्यकता होती है - बहुत अधिक या बहुत कम बाजार ऑफ़र। इसी उद्देश्य से इसे लागू किया जाता है विश्वास अंतराल. लक्ष्य ये पढाई- कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना के लिए दो तरीकों का तुलनात्मक विश्लेषण करें और एस्टीमेटिका.प्रो सिस्टम में विभिन्न नमूनों के साथ काम करते समय सर्वश्रेष्ठ गणना विकल्प चुनें।

विश्वास अंतराल - नमूने के आधार पर गणना की जाती है, विशेषता के मूल्यों का अंतराल, जिसमें ज्ञात संभावना के साथ सामान्य जनसंख्या का अनुमानित पैरामीटर होता है।

कॉन्फ़िडेंस इंटरवल की गणना करने का अर्थ नमूना डेटा के आधार पर एक ऐसा इंटरवल बनाना है, ताकि दी गई प्रायिकता के साथ यह दावा किया जा सके कि अनुमानित पैरामीटर का मान इस अंतराल में है। दूसरे शब्दों में, एक निश्चित संभावना के साथ विश्वास अंतराल में अनुमानित मात्रा का अज्ञात मान होता है। अंतराल जितना व्यापक होगा, अशुद्धि उतनी ही अधिक होगी।

कॉन्फिडेंस इंटरवल निर्धारित करने के लिए अलग-अलग तरीके हैं। इस लेख में, हम 2 तरीकों पर विचार करेंगे:

• माध्यिका और मानक विचलन के माध्यम से;
• टी-सांख्यिकीय (छात्र के गुणांक) के महत्वपूर्ण मूल्य के माध्यम से।

चरणों तुलनात्मक विश्लेषण विभिन्न तरीकेसीआई गणना:

1. एक डेटा नमूना तैयार करें;

2. इसे प्रोसेस करें सांख्यिकीय पद्धतियां: माध्य, माध्यिका, विचरण आदि की गणना करें;

3. हम कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना दो तरह से करते हैं;

4. साफ किए गए नमूनों और प्राप्त विश्वास अंतराल का विश्लेषण करें।

चरण 1. डेटा नमूनाकरण

नमूना estimmatica.pro सिस्टम का उपयोग करके बनाया गया था। नमूने में "ख्रुश्चेव" योजना के प्रकार के साथ तीसरे मूल्य क्षेत्र में 1-कमरे वाले अपार्टमेंट की बिक्री के लिए 91 प्रस्ताव शामिल थे।

तालिका 1 प्रारंभिक नमूना

	1 sq.m., c.u. की कीमत

चित्र एक। प्रारंभिक नमूना

स्टेज 2. प्रारंभिक नमूने का प्रसंस्करण

सांख्यिकीय विधियों द्वारा नमूना प्रसंस्करण के लिए निम्नलिखित मूल्यों की गणना की आवश्यकता होती है:

1. अंकगणित माध्य

2. माध्यिका - एक संख्या जो नमूने की विशेषता है: नमूना तत्वों का ठीक आधा माध्यिका से अधिक है, अन्य आधा माध्यिका से कम है

(मानों की विषम संख्या वाले नमूने के लिए)

3. रेंज - नमूने में अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर

4. भिन्नता - डेटा में भिन्नता का अधिक सटीक अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है

5. नमूने के लिए मानक विचलन (बाद में आरएमएस के रूप में संदर्भित) माध्य के आसपास समायोजन मूल्यों के फैलाव का सबसे आम संकेतक है अंकगणितीय मूल्य.

6. भिन्नता का गुणांक - समायोजन मूल्यों के फैलाव की डिग्री को दर्शाता है

7. दोलन गुणांक - औसत के आसपास के नमूने में कीमतों के चरम मूल्यों के सापेक्ष उतार-चढ़ाव को दर्शाता है

तालिका 2. मूल नमूने के सांख्यिकीय संकेतक

भिन्नता का गुणांक, जो डेटा की एकरूपता की विशेषता है, 12.29% है, लेकिन दोलन का गुणांक बहुत बड़ा है। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि मूल नमूना सजातीय नहीं है, तो चलिए विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

स्टेज 3. विश्वास अंतराल की गणना

विधि 1. माध्यिका और मानक विचलन के माध्यम से गणना।

विश्वास अंतराल निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है: न्यूनतम मान - मानक विचलन माध्यिका से घटाया जाता है; अधिकतम मान - माध्यिका में मानक विचलन जोड़ा जाता है।

इस प्रकार, कॉन्फिडेंस इंटरवल (47179 CU; 60689 CU)

चावल। 2. कॉन्फिडेंस इंटरवल 1 के भीतर मान।

विधि 2. टी-सांख्यिकी (छात्र के गुणांक) के महत्वपूर्ण मूल्य के माध्यम से एक विश्वास अंतराल का निर्माण

एस.वी. पुस्तक में ग्रिबोव्स्की " गणितीय तरीकेसंपत्ति मूल्य मूल्यांकन" बताता है कि छात्र के गुणांक के माध्यम से विश्वास अंतराल की गणना कैसे करें। इस पद्धति से गणना करते समय, अनुमानक को स्वयं महत्व स्तर ∝ सेट करना चाहिए, जो उस संभावना को निर्धारित करता है जिसके साथ विश्वास अंतराल बनाया जाएगा। 0.1 के महत्व स्तर आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं; 0.05 और 0.01। वे मेल खाते हैं आत्मविश्वास की संभावनाएं 0.9; 0.95 और 0.99। इस पद्धति के साथ, गणितीय अपेक्षा और विचरण के वास्तविक मूल्यों को व्यावहारिक रूप से अज्ञात माना जाता है (जो हल करते समय लगभग हमेशा सत्य होता है) व्यावहारिक कार्यरेटिंग)।

विश्वास अंतराल सूत्र:

एन - नमूना आकार;

महत्व स्तर ∝ के साथ टी-सांख्यिकी (छात्रों का वितरण) का महत्वपूर्ण मूल्य, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या n-1, जो विशेष सांख्यिकीय तालिकाओं द्वारा या एमएस एक्सेल (→"सांख्यिकीय"→ STUDRASPOBR) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है;

∝ - सार्थकता स्तर, हम ∝=0.01 लेते हैं।

चावल। 2. विश्वास अंतराल के भीतर मान 2.

चरण 4. कॉन्फ़िडेंस इंटरवल की गणना करने के विभिन्न तरीकों का विश्लेषण

कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना करने के दो तरीके - माध्यिका और छात्र के गुणांक के माध्यम से - का नेतृत्व किया विभिन्न मूल्यअंतराल। तदनुसार, दो अलग-अलग शुद्ध नमूने प्राप्त किए गए थे।

तालिका 3. तीन नमूनों के लिए सांख्यिकीय संकेतक।

अनुक्रमणिका	प्रारंभिक नमूना	1 विकल्प	विकल्प 2
अर्थ
फैलाव
कोफ। विविधताओं
कोफ। दोलनों
सेवानिवृत्त वस्तुओं की संख्या, पीसी।

प्रदर्शन की गई गणनाओं के आधार पर, हम कह सकते हैं कि विभिन्न विधियों द्वारा प्राप्त विश्वास अंतराल के मान प्रतिच्छेद करते हैं, इसलिए आप मूल्यांकक के विवेक पर गणना के किसी भी तरीके का उपयोग कर सकते हैं।

हालांकि, हम मानते हैं कि एस्टिमेटिका.प्रो सिस्टम में काम करते समय, बाजार के विकास की डिग्री के आधार पर विश्वास अंतराल की गणना के लिए एक विधि चुनने की सलाह दी जाती है:

• यदि बाजार विकसित नहीं है, तो औसत और मानक विचलन के माध्यम से गणना की विधि लागू करें, क्योंकि इस मामले में सेवानिवृत्त वस्तुओं की संख्या कम है;
• यदि बाजार विकसित है, तो गणना को टी-सांख्यिकी (छात्र के गुणांक) के महत्वपूर्ण मूल्य के माध्यम से लागू करें, क्योंकि एक बड़ा प्रारंभिक नमूना बनाना संभव है।

लेख तैयार करने में इस्तेमाल किया गया:

1. ग्रिबोव्स्की एस.वी., सिवेट्स एस.ए., लेविकिना आई.ए. संपत्ति के मूल्य का आकलन करने के लिए गणितीय तरीके। मास्को, 2014

2. एस्टीमेटिका.प्रो सिस्टम से डेटा

हल करने के तरीकों में से एक सांख्यिकीय कार्यविश्वास अंतराल की गणना है। यह एक पसंदीदा विकल्प के रूप में प्रयोग किया जाता है बिंदु लागतएक छोटे से नमूने के आकार के साथ। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विश्वास अंतराल की गणना करने की प्रक्रिया जटिल है। लेकिन एक्सेल प्रोग्राम के टूल आपको इसे कुछ हद तक सरल बनाने की अनुमति देते हैं। आइए जानें कि यह व्यवहार में कैसे किया जाता है।

इस विधि का प्रयोग तब किया जाता है जब अंतराल अनुमानविभिन्न आंकड़े. इस गणना का मुख्य कार्य बिंदु अनुमान की अनिश्चितताओं से छुटकारा पाना है।

एक्सेल में, गणना करने के लिए दो मुख्य विकल्प हैं यह विधि: जब प्रसरण ज्ञात हो और कब अज्ञात हो। पहले मामले में, फ़ंक्शन का उपयोग गणना के लिए किया जाता है कॉन्फिडेंस नॉर्म, और दूसरे में ट्रस्ट।छात्र.

विधि 1: कॉन्फिडेंस नॉर्म फंक्शन

ऑपरेटर कॉन्फिडेंस नॉर्म, जो कार्यों के सांख्यिकीय समूह को संदर्भित करता है, पहली बार एक्सेल 2010 में दिखाई दिया। इस कार्यक्रम के पहले के संस्करण इसके समकक्ष का उपयोग करते हैं विश्वास. इस ऑपरेटर का कार्य विश्वास अंतराल की गणना करना है सामान्य वितरणऔसत जनसंख्या के लिए।

इसका सिंटैक्स इस प्रकार है:

विश्वास मानदंड (अल्फा, मानक_देव, आकार)

"अल्फ़ा"एक तर्क है जो महत्व के स्तर को इंगित करता है जिसका उपयोग विश्वास स्तर की गणना के लिए किया जाता है। आत्मविश्वास का स्तर निम्न अभिव्यक्ति के बराबर है:

(1-"अल्फा")*100

"मानक विचलन"एक तर्क है, जिसका सार नाम से स्पष्ट है। यह प्रस्तावित नमूने का मानक विचलन है।

"आकार"एक तर्क है जो नमूने के आकार को निर्धारित करता है।

इस ऑपरेटर के लिए सभी तर्क आवश्यक हैं।

समारोह विश्वासपिछले वाले के समान ही तर्क और संभावनाएं हैं। इसका सिंटैक्स है:

ट्रस्ट (अल्फा, मानक_देव, आकार)

जैसा कि आप देख सकते हैं, अंतर केवल ऑपरेटर के नाम पर हैं। संगतता कारणों से इस सुविधा को एक्सेल 2010 और नए संस्करणों में एक विशेष श्रेणी में रखा गया है। "संगतता". एक्सेल 2007 और इससे पहले के संस्करणों में, यह सांख्यिकीय ऑपरेटरों के मुख्य समूह में मौजूद है।

कॉन्फिडेंस इंटरवल की सीमा निम्नलिखित फॉर्म के फॉर्मूले का उपयोग करके निर्धारित की जाती है:

एक्स+(-) कॉन्फिडेंस नॉर्म

कहाँ पे एक्सनमूना माध्य है, जो चयनित श्रेणी के मध्य में स्थित है।

अब देखते हैं कि एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना कैसे करें। 12 परीक्षण किए गए, जिसके परिणामस्वरूप अलग-अलग परिणाम मिले, जो तालिका में सूचीबद्ध हैं। यह हमारी समग्रता है। मानक विचलन 8 है। हमें 97% विश्वास स्तर पर विश्वास अंतराल की गणना करने की आवश्यकता है।

1. उस सेल का चयन करें जहां डाटा प्रोसेसिंग का परिणाम प्रदर्शित किया जाएगा। बटन पर क्लिक करना "इन्सर्ट फंक्शन".



2. दिखाई पड़ना समारोह विज़ार्ड. श्रेणी में जाएं "सांख्यिकीय"और नाम हाइलाइट करें "विश्वास.नॉर्म". इसके बाद बटन पर क्लिक करें ठीक है.



3. तर्क विंडो खुलती है। इसके क्षेत्र स्वाभाविक रूप से तर्कों के नाम से मेल खाते हैं।
   कर्सर को पहले फील्ड में सेट करें - "अल्फ़ा". यहां हमें महत्व के स्तर को निर्दिष्ट करना चाहिए। जैसा कि हमें याद है, हमारे भरोसे का स्तर 97% है। उसी समय, हमने कहा कि इसकी गणना इस प्रकार की जाती है:

   (1-विश्वास स्तर)/100

   अर्थात्, मूल्य को प्रतिस्थापित करके, हम प्राप्त करते हैं:

   सरल गणनाओं से, हमें पता चलता है कि तर्क "अल्फ़ा"बराबरी 0,03 . इस मान को फ़ील्ड में दर्ज करें।

   जैसा कि आप जानते हैं, मानक विचलन के बराबर है 8 . इसलिए मैदान में "मानक विचलन"बस उस नंबर को लिख लें।

   खेत मेँ "आकार"आपको किए गए परीक्षणों के तत्वों की संख्या दर्ज करने की आवश्यकता है। जैसा कि हम याद करते हैं, वे 12 . लेकिन सूत्र को स्वचालित करने के लिए और हर बार एक नया परीक्षण किए जाने पर इसे संपादित न करने के लिए, आइए इस मान को सामान्य संख्या में नहीं, बल्कि ऑपरेटर का उपयोग करके सेट करें जांच. इसलिए, हम कर्सर को फ़ील्ड में सेट करते हैं "आकार", और फिर त्रिभुज पर क्लिक करें, जो सूत्र पट्टी के बाईं ओर स्थित है।

   हाल ही में उपयोग किए गए कार्यों की एक सूची प्रकट होती है। यदि संचालिका जांचआपके द्वारा हाल ही में उपयोग किया गया, यह इस सूची में होना चाहिए। ऐसे में आपको बस इसके नाम पर क्लिक करना होगा। नहीं तो अगर नहीं मिला तो पॉइंट पर जाइए "अधिक सुविधाएं...".



4. हमारे लिए पहले से ही परिचित प्रतीत होता है समारोह विज़ार्ड. समूह में वापस जा रहे हैं "सांख्यिकीय". हम वहां नाम का चयन करते हैं "जांच". बटन पर क्लिक करें ठीक है.



5. उपरोक्त ऑपरेटर के लिए तर्क विंडो प्रकट होती है। यह फ़ंक्शन निर्दिष्ट श्रेणी में कोशिकाओं की संख्या की गणना करने के लिए डिज़ाइन किया गया है जिसमें संख्यात्मक मान होते हैं। इसका सिंटैक्स निम्न है:

   COUNT(मान1, मान2,…)

   तर्क समूह "मान"उस श्रेणी का संदर्भ है जिसमें आप संख्यात्मक डेटा से भरी कोशिकाओं की संख्या की गणना करना चाहते हैं। कुल मिलाकर, ऐसे 255 तक तर्क हो सकते हैं, लेकिन हमारे मामले में हमें केवल एक की आवश्यकता है।

   क्षेत्र में कर्सर सेट करें "मान 1"और, बाईं माउस बटन को दबाए रखते हुए, उस शीट पर उस श्रेणी का चयन करें जिसमें हमारी जनसंख्या शामिल है। फिर उसका पता फ़ील्ड में प्रदर्शित किया जाएगा। बटन पर क्लिक करें ठीक है.



6. उसके बाद, एप्लिकेशन गणना करेगा और सेल में परिणाम प्रदर्शित करेगा जहां वह स्वयं है। हमारे विशेष मामले में, सूत्र इस प्रकार निकला:

   विश्वास मानदंड(0.03,8,गिनती(बी2:बी13))

   गणना का समग्र परिणाम था 5,011609 .



7. लेकिन वह सब नहीं है। जैसा कि हमें याद है, कॉन्फिडेंस इंटरवल की सीमा की गणना गणना परिणाम के औसत नमूना मूल्य से जोड़कर और घटाकर की जाती है कॉन्फिडेंस नॉर्म. इस प्रकार, विश्वास अंतराल की दाईं और बाईं सीमाओं की गणना क्रमशः की जाती है। नमूना माध्य की गणना ऑपरेटर का उपयोग करके की जा सकती है औसत.

   यह ऑपरेटर संख्याओं की चयनित श्रेणी के अंकगणितीय माध्य की गणना करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। इसमें निम्न अपेक्षाकृत सरल सिंटैक्स है:

   औसत (संख्या1, संख्या2,…)

   बहस "संख्या"या तो एक अंकीय मान हो सकता है या सेल का संदर्भ हो सकता है या उन्हें रखने वाली पूरी रेंज भी हो सकती है।

   इसलिए, उस सेल का चयन करें जिसमें औसत मूल्य की गणना प्रदर्शित होगी, और बटन पर क्लिक करें "इन्सर्ट फंक्शन".



8. खुलती समारोह विज़ार्ड. वापस श्रेणी में "सांख्यिकीय"और सूची से एक नाम का चयन करें "औसत". हमेशा की तरह, बटन पर क्लिक करें ठीक है.



9. तर्क विंडो लॉन्च की गई है। क्षेत्र में कर्सर सेट करें "संख्या 1"और बाएँ माउस बटन को दबाए रखते हुए, मानों की संपूर्ण श्रेणी का चयन करें। फ़ील्ड में निर्देशांक प्रदर्शित होने के बाद, बटन पर क्लिक करें ठीक है.



10. फिर औसतगणना के परिणाम को शीट तत्व में आउटपुट करता है।



11. हम विश्वास अंतराल की सही सीमा की गणना करते हैं। ऐसा करने के लिए, एक अलग सेल का चयन करें, चिन्ह लगाएं «=» और शीट तत्वों की सामग्री जोड़ें जिसमें कार्यों की गणना के परिणाम स्थित हैं औसततथा कॉन्फिडेंस नॉर्म. गणना करने के लिए, बटन दबाएं प्रवेश करना. हमारे मामले में, हमें निम्नलिखित सूत्र मिला:

    गणना परिणाम: 6,953276



12. उसी तरह, हम केवल इस बार गणना के परिणाम से विश्वास अंतराल की बाईं सीमा की गणना करते हैं औसतऑपरेटर की गणना के परिणाम घटाना कॉन्फिडेंस नॉर्म. यह निम्न प्रकार के हमारे उदाहरण के लिए सूत्र निकलता है:

    गणना परिणाम: -3,06994



13. हमने विश्वास अंतराल की गणना के लिए सभी चरणों का विस्तार से वर्णन करने का प्रयास किया है, इसलिए हमने प्रत्येक सूत्र का विस्तार से वर्णन किया है। लेकिन आप सभी क्रियाओं को एक सूत्र में जोड़ सकते हैं। कॉन्फिडेंस इंटरवल की राइट बाउंड की गणना निम्नानुसार लिखी जा सकती है:

    औसत(B2:B13)+विश्वास(0.03,8,COUNT(B2:B13))



14. बायीं सीमा की एक समान गणना इस तरह दिखेगी:

    औसत(B2:B13)-CONFIDENCE.NORM(0.03,8,COUNT(B2:B13))

विधि 2: ट्रस्ट.स्टूडेंट फ़ंक्शन

इसके अतिरिक्त एक्सेल में एक और फंक्शन है जो कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना से संबंधित है - ट्रस्ट।छात्र. यह केवल एक्सेल 2010 के बाद से दिखाई दिया है। यह ऑपरेटर छात्र के टी-वितरण का उपयोग करके जनसंख्या विश्वास अंतराल की गणना करता है। इसका उपयोग उस स्थिति में करना बहुत सुविधाजनक है जब विचरण और, तदनुसार, मानक विचलन अज्ञात हो। ऑपरेटर सिंटैक्स है:

ट्रस्ट.स्टूडेंट (अल्फा, मानक_देव, आकार)

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस मामले में ऑपरेटरों के नाम अपरिवर्तित रहे।

आइए देखें कि उसी आबादी के उदाहरण का उपयोग करके अज्ञात मानक विचलन के साथ विश्वास अंतराल की सीमाओं की गणना कैसे करें जिसे हमने पिछली पद्धति में माना था। आत्मविश्वास का स्तर, पिछली बार की तरह, हम 97% लेंगे।

1. उस सेल का चयन करें जिसमें गणना की जाएगी। बटन पर क्लिक करें "इन्सर्ट फंक्शन".



2. खुले में समारोह विज़ार्डश्रेणी में जाओ "सांख्यिकीय". एक नाम चुनो "विश्वास छात्र". बटन पर क्लिक करें ठीक है.



3. निर्दिष्ट ऑपरेटर के लिए तर्क विंडो लॉन्च की गई है।

   खेत मेँ "अल्फ़ा", यह देखते हुए कि आत्मविश्वास का स्तर 97% है, हम संख्या लिखते हैं 0,03 . दूसरी बार हम इस पैरामीटर की गणना के सिद्धांतों पर ध्यान नहीं देंगे।

   उसके बाद, कर्सर को फ़ील्ड में सेट करें "मानक विचलन". इस बार, यह संकेतक हमारे लिए अज्ञात है और इसकी गणना करने की आवश्यकता है। यह एक विशेष कार्य का उपयोग करके किया जाता है - एसटीडीईवी.वी. इस ऑपरेटर की विंडो को कॉल करने के लिए, फॉर्मूला बार के बाईं ओर त्रिकोण पर क्लिक करें। यदि हमें खुलने वाली सूची में वांछित नाम नहीं मिलता है, तो आइटम पर जाएं "अधिक सुविधाएं...".



4. दौड रहा है समारोह विज़ार्ड. श्रेणी में जा रहा है "सांख्यिकीय"और नाम अंकित करें "एसटीडीईवी.बी". इसके बाद बटन पर क्लिक करें ठीक है.



5. तर्क विंडो खुलती है। ऑपरेटर कार्य एसटीडीईवी.वीपरिभाषा है मानक विचलनजब नमूनाकरण। इसका सिंटैक्स इस तरह दिखता है:

   STDEV.V(संख्या1,संख्या2,…)

   यह अनुमान लगाना आसान है कि तर्क "संख्या"चयन तत्व का पता है। यदि चयन को एक ही सरणी में रखा गया है, तो केवल एक तर्क का उपयोग करके आप इस श्रेणी के लिए एक लिंक दे सकते हैं।

   क्षेत्र में कर्सर सेट करें "संख्या 1"और, हमेशा की तरह, बाईं माउस बटन को दबाए रखते हुए, सेट का चयन करें। निर्देशांक क्षेत्र में होने के बाद, बटन दबाने में जल्दबाजी न करें ठीक हैक्योंकि परिणाम गलत होगा। पहले हमें ऑपरेटर आर्ग्युमेंट्स विंडो पर वापस जाने की जरूरत है ट्रस्ट।छात्रअंतिम तर्क देने के लिए। ऐसा करने के लिए, सूत्र पट्टी में उपयुक्त नाम पर क्लिक करें।



6. पहले से परिचित फ़ंक्शन की तर्क विंडो फिर से खुलती है। क्षेत्र में कर्सर सेट करें "आकार". दोबारा, ऑपरेटरों की पसंद पर जाने के लिए पहले से परिचित त्रिकोण पर क्लिक करें। जैसा कि आप समझते हैं, हमें एक नाम की आवश्यकता है "जांच". चूंकि हमने इस्तेमाल किया यह समारोहपिछली विधि में गणना करते समय, में यह सूचीयह वहां है, इसलिए बस उस पर क्लिक करें। यदि आपको यह नहीं मिलता है, तो पहली विधि में वर्णित एल्गोरिथम का पालन करें।



7. तर्क विंडो में प्रवेश करना जांच, कर्सर को फ़ील्ड में रखें "संख्या 1"और माउस बटन को दबाए रखते हुए संग्रह का चयन करें। इसके बाद बटन पर क्लिक करें ठीक है.



8. उसके बाद, कार्यक्रम विश्वास अंतराल के मूल्य की गणना और प्रदर्शित करता है।



9. सीमाएं निर्धारित करने के लिए, हमें फिर से नमूना माध्य की गणना करने की आवश्यकता होगी। लेकिन, यह देखते हुए कि सूत्र का उपयोग करके गणना एल्गोरिथ्म औसतपिछली पद्धति की तरह ही, और यहाँ तक कि परिणाम भी नहीं बदला है, हम इस पर दूसरी बार विस्तार से ध्यान नहीं देंगे।



10. गणना के परिणाम जोड़ना औसततथा ट्रस्ट।छात्र, हम विश्वास अंतराल की सही सीमा प्राप्त करते हैं।



11. ऑपरेटर के गणना परिणामों से घटाना औसतगणना परिणाम ट्रस्ट।छात्र, हमारे पास कॉन्फिडेंस इंटरवल की बाईं सीमा है।



12. यदि गणना एक सूत्र में लिखी जाती है, तो हमारे मामले में सही सीमा की गणना इस तरह दिखाई देगी:

    औसत(B2:B13)+छात्र का विश्वास(0.03,STDV(B2:B13),काउंट(B2:B13))



13. तदनुसार, बाईं सीमा की गणना करने का सूत्र इस तरह दिखेगा:

    औसत(B2:B13)-विद्यार्थी का विश्वास(0.03,STDV(B2:B13), काउंट(B2:B13))

जैसा कि आप देख सकते हैं, उपकरण एक्सेल प्रोग्रामआत्मविश्वास अंतराल और इसकी सीमाओं की गणना को महत्वपूर्ण रूप से सुविधाजनक बनाना संभव बनाता है। इन उद्देश्यों के लिए, अलग-अलग ऑपरेटरों का उपयोग उन नमूनों के लिए किया जाता है जिनका प्रसरण ज्ञात और अज्ञात है।