فاصله اطمینانمقادیر محدود کننده کمیت آماری هستند که با احتمال اطمینان داده شده γ، در این بازه با حجم نمونه بزرگتر خواهند بود. به عنوان P (θ - ε . در عمل، احتمال اطمینان γ از مقادیر γ = 0.9، γ = 0.95، γ = 0.99 به اندازه کافی نزدیک به وحدت انتخاب می شود.

واگذاری خدمات. این سرویس تعریف می کند:

• فاصله اطمینان برای میانگین کلی، فاصله اطمینان برای واریانس.
• فاصله اطمینان برای انحراف استاندارد، فاصله اطمینان برای کسر عمومی.

راه حل به دست آمده در یک فایل Word ذخیره می شود (به مثال مراجعه کنید). در زیر یک دستورالعمل ویدیویی در مورد نحوه پر کردن داده های اولیه وجود دارد.

مثال شماره 1. در یک مزرعه جمعی، از کل گله 1000 گوسفند، 100 گوسفند تحت برش کنترل انتخابی قرار گرفتند. در نتیجه، میانگین برشی پشم 4.2 کیلوگرم برای هر گوسفند ایجاد شد. با احتمال 0.99 خطای استاندارد نمونه در تعیین میانگین برش پشم در هر گوسفند و حدودی که مقدار برشی در آن قرار دارد در صورتی که واریانس 2.5 باشد را تعیین کنید. نمونه غیر تکراری است
مثال شماره 2. از دسته محصولات وارداتی در پست گمرک شمالی مسکو به ترتیب تصادفی گرفته شد نمونه گیری مجدد 20 نمونه محصول "الف". در نتیجه بررسی، میانگین رطوبت محصول "A" در نمونه مشخص شد که با انحراف معیار 1٪ 6٪ بود.
با احتمال 0.683 حدود میانگین رطوبت محصول در کل دسته محصولات وارداتی را تعیین کنید.
مثال شماره 3. نظرسنجی از 36 دانش آموز نشان داد که میانگین تعداد کتاب های درسی که آنها در آن می خوانند سال تحصیلیبا فرض اینکه تعداد کتب درسی خوانده شده توسط دانشجو در هر ترم قانون عادیتوزیع با انحراف معیار برابر با 6، پیدا کنید: الف) با پایایی 0.99، برآورد فاصله ای برای انتظارات ریاضیاین متغیر تصادفی؛ ب) با چه احتمالی می توان استدلال کرد که میانگین تعداد کتاب های درسی خوانده شده توسط دانش آموز در هر ترم که برای این نمونه محاسبه می شود، بیش از 2 از انتظارات ریاضی در مقدار مطلق انحراف نداشته باشد.

طبقه بندی فواصل اطمینان

بر اساس نوع پارامتر مورد ارزیابی:

بر اساس نوع نمونه:

1. فاصله اطمینان برای نمونه برداری بی نهایت.
2. فاصله اطمینان برای نمونه نهایی؛

نمونه برداری را نمونه گیری مجدد می نامند، اگر شی انتخاب شده قبل از انتخاب مورد بعدی به جمعیت عمومی بازگردانده شود. نمونه غیر تکراری نامیده می شود.اگر شی انتخاب شده به جمعیت عمومی بازگردانده نشود. در عمل معمولاً با نمونه های تکرار نشدنی سروکار داریم.

محاسبه میانگین خطای نمونه گیری برای انتخاب تصادفی

اختلاف بین مقادیر شاخص های به دست آمده از نمونه و پارامترهای مربوطه جمعیتتماس گرفت خطای نمایندگی.
تعیین پارامترهای اصلی جامعه عمومی و نمونه.

نمونه فرمول های میانگین خطا
انتخاب مجدد		انتخاب غیر تکراری
برای وسط	برای اشتراک گذاری	برای وسط	برای اشتراک گذاری

نسبت بین حد خطای نمونه گیری (Δ) با احتمال کمی تضمین شده است P(t)،و میانگین خطای نمونه گیری به شکل: یا Δ = t μ است که در آن تی- ضریب اطمینان، بسته به سطح احتمال P(t) مطابق جدول تابع لاپلاس انتگرال تعیین می شود.

فرمول های محاسبه حجم نمونه با روش انتخاب تصادفی مناسب

فاصله اطمینان.

محاسبه فاصله اطمینانبر اساس میانگین خطای پارامتر مربوطه است. فاصله اطمینان نشان می دهد که در چه محدوده هایی با احتمال (1-a) مقدار واقعی پارامتر تخمین زده شده است. در اینجا a سطح معناداری است، (1-a) نیز سطح اطمینان نامیده می شود.

در فصل اول، نشان دادیم که برای مثال، برای میانگین حسابی، میانگین جمعیت واقعی در حدود 95 درصد مواقع در 2 خطای میانگین از میانگین قرار دارد. بنابراین، مرزهای فاصله اطمینان 95% برای میانگین دو برابر از میانگین نمونه فاصله خواهد داشت. خطای متوسطمتوسط، یعنی میانگین خطای میانگین را در فاکتوری ضرب می کنیم که به سطح اطمینان بستگی دارد. برای میانگین و تفاضل میانگین ها، ضریب Student (مقدار بحرانی معیار Student) و برای سهم و تفاوت سهم ها، مقدار بحرانی معیار z در نظر گرفته می شود. حاصل ضرب ضریب و میانگین خطا را می توان نام برد خطای حاشیه ایپارامتر داده شده، یعنی حداکثری که می توانیم هنگام ارزیابی آن بدست آوریم.

فاصله اطمینان برای میانگین حسابی : .

در اینجا میانگین نمونه است.

میانگین خطای میانگین حسابی؛

s-انحراف استاندارد نمونه؛

n

f = n-1 (ضریب دانش آموزی).

فاصله اطمینان برای تفاوت میانگین های حسابی :

در اینجا، تفاوت بین میانگین های نمونه است.

- میانگین خطای اختلاف میانگین های حسابی؛

s 1 , s 2 -نمونه انحرافات استاندارد؛

n1، n2

ارزش بحرانی معیار دانشجو برای سطح معینی از اهمیت a و تعداد درجات آزادی f=n1 +n2-2 (ضریب دانش آموزی).

فاصله اطمینان برای سهام :

.

در اینجا d سهم نمونه است.

- میانگین خطای سهم

n- حجم نمونه (اندازه گروه)؛

فاصله اطمینان برای تفاوت ها را به اشتراک بگذارید :

در اینجا، تفاوت بین سهام نمونه است.

میانگین خطای اختلاف میانگین های حسابی است.

n1، n2- اندازه نمونه (تعداد گروه)؛

مقدار بحرانی معیار z در سطح معناداری معین a (،،،).

با محاسبه فواصل اطمینان برای تفاوت در شاخص ها، اولاً به طور مستقیم مقادیر احتمالی اثر و نه فقط تخمین نقطه ای آن را مشاهده می کنیم. ثانیاً می توان در مورد پذیرش یا رد فرضیه صفر نتیجه گرفت و ثالثاً در مورد قدرت ملاک نتیجه گرفت.

هنگام آزمایش فرضیه ها با استفاده از فواصل اطمینان، باید به آن پایبند بود قانون بعدی:

اگر فاصله اطمینان 100 (1-a) - درصد اختلاف میانگین حاوی صفر نباشد، آنگاه تفاوت ها در سطح معنی داری از نظر آماری معنی دار هستند. برعکس، اگر این بازه حاوی صفر باشد، تفاوت ها از نظر آماری معنی دار نیستند.

در واقع، اگر این فاصله حاوی صفر باشد، به این معنی است که شاخص مقایسه شده می تواند در یکی از گروه ها در مقایسه با گروه دیگر بیشتر یا کمتر باشد، یعنی. تفاوت های مشاهده شده تصادفی هستند.

با توجه به جایی که صفر در فاصله اطمینان قرار دارد، می توان قدرت معیار را قضاوت کرد. اگر صفر به حد پایین یا بالای بازه نزدیک باشد، در آن صورت زمانی امکان پذیر است اعداد بیشتردر مقایسه با گروه ها، تفاوت ها به دست می آید اهمیت آماری. اگر صفر نزدیک به وسط فاصله باشد، به این معنی است که افزایش و کاهش شاخص در گروه آزمایشی به یک اندازه محتمل است و احتمالاً واقعاً هیچ تفاوتی وجود ندارد.

مثال ها:

برای مقایسه مرگ و میر ناشی از جراحی در هنگام استفاده از دو نوع بیهوشی مختلف: 61 نفر با استفاده از نوع اول بیهوشی عمل کردند، 8 نفر فوت کردند، با استفاده از دوم - 67 نفر، 10 نفر فوت کردند.

d 1 \u003d 8/61 \u003d 0.131; d 2 \u003d 10/67 \u003d 0.149; d1-d2 = - 0.018.

تفاوت در کشندگی روش های مقایسه شده در محدوده (0.018 - 0.122؛ -0.018 + 0.122) یا (0.14-؛ 0.104) با احتمال 100 (1-a) = 95٪ خواهد بود. بازه حاوی صفر است، یعنی. فرضیه مرگ و میر یکسان در دو انواع متفاوتبیهوشی را نمی توان انکار کرد.

بنابراین، مرگ و میر می تواند به 14٪ کاهش یابد و به 10.4٪ با احتمال 95٪ افزایش می یابد. صفر تقریباً در وسط فاصله است، بنابراین می توان استدلال کرد که به احتمال زیاد، این دو روش واقعاً از نظر کشندگی تفاوتی ندارند.

در مثالی که قبلاً در نظر گرفته شد، میانگین زمان ضربه زدن در چهار گروه از دانش‌آموزان که در نمرات امتحانی متفاوت بودند، مقایسه شد. بیایید فواصل اطمینان میانگین زمان پرس را برای دانش آموزانی که امتحان را برای 2 و 5 قبول شده اند و فاصله اطمینان را برای تفاوت بین این میانگین ها محاسبه کنیم.

ضرایب دانشجو از جداول توزیع دانش آموز یافت می شود (پیوست را ببینید): برای گروه اول: = t(0.05;48) = 2.011; برای گروه دوم: = t(0.05;61) = 2.000. بنابراین، فواصل اطمینان برای گروه اول: = (162.19-2.011 * 2.18؛ 162.19 + 2.011 * 2.18) = (157.8؛ 166.6) ، برای گروه دوم (156.55- 2.000 * 1.88*1.80 = 1.80) ؛ 160.3). بنابراین، برای کسانی که امتحان را برای 2 قبول کردند، میانگین زمان فشار از 157.8 ms تا 166.6 ms با احتمال 95٪ متغیر است، برای کسانی که امتحان را برای 5 قبول کردند - از 152.8 ms تا 160.3 ms با احتمال 95٪. .

همچنین می توانید فرضیه صفر را با استفاده از فواصل اطمینان برای میانگین ها و نه فقط برای تفاوت میانگین ها آزمایش کنید. به عنوان مثال، مانند مورد ما، اگر فواصل اطمینان برای میانگین ها همپوشانی داشته باشند، نمی توان فرضیه صفر را رد کرد. به منظور رد یک فرضیه در سطح معناداری انتخاب شده، فواصل اطمینان مربوطه نباید همپوشانی داشته باشند.

بیایید فاصله اطمینان را برای تفاوت میانگین زمان پرس در گروه هایی که امتحان را برای 2 و 5 قبول کردند، پیدا کنیم. تفاوت در میانگین ها: 162.19 - 156.55 = 5.64. ضریب دانش آموز: \u003d t (0.05؛ 49 + 62-2) \u003d t (0.05؛ 109) \u003d 1.982. انحراف استاندارد گروه برابر با: ; . میانگین خطای اختلاف میانگین ها را محاسبه می کنیم: . فاصله اطمینان: \u003d (5.64-1.982 * 2.87؛ 5.64 + 1.982 * 2.87) \u003d (-0.044؛ 11.33).

بنابراین، تفاوت میانگین زمان پرس در گروه‌هایی که امتحان را در 2 و 5 پشت سر گذاشتند در محدوده 0.044- میلی‌ثانیه تا 11.33 میلی‌ثانیه خواهد بود. این فاصله شامل صفر است، یعنی. میانگین زمان فشار برای کسانی که امتحان را با نتایج عالی گذرانده اند می تواند در مقایسه با کسانی که امتحان را به طور رضایت بخش گذرانده اند افزایش یا کاهش یابد. فرضیه صفر را نمی توان رد کرد. اما صفر بسیار نزدیک به حد پایین است، زمان پرس برای پاس‌های عالی بسیار بیشتر است. بنابراین، می‌توان نتیجه گرفت که هنوز تفاوت‌هایی در میانگین زمان کلیک بین افرادی که 2 و 5 را پشت سر گذاشته‌اند وجود دارد، ما فقط نتوانستیم آنها را برای یک تغییر معین در میانگین زمان، پخش میانگین زمان و اندازه نمونه تشخیص دهیم.

قدرت آزمون احتمال رد یک فرضیه صفر نادرست است، یعنی. تفاوت ها را در جایی که واقعا هستند پیدا کنید.

قدرت آزمون بر اساس سطح معنی داری، میزان تفاوت بین گروه ها، پراکندگی مقادیر در گروه ها و حجم نمونه تعیین می شود.

برای آزمون تی دانشجویی و تحلیل واریانسمی توانید از نمودارهای حساسیت استفاده کنید.

از قدرت معیار می توان در تعیین اولیه تعداد مورد نیاز گروه استفاده کرد.

فاصله اطمینان نشان می دهد که تا چه حد احتمال داده شدهمقدار واقعی پارامتر برآورد شده یافت می شود.

با کمک فواصل اطمینان می توان فرضیه های آماری را آزمایش کرد و در مورد حساسیت معیارها نتیجه گرفت.

ادبیات.

Glantz S. - فصل 6.7.

Rebrova O.Yu. - ص112-114، ص171-173، ص234-238.

Sidorenko E. V. - صص 32-33.

سوالات خودآزمایی دانش آموزان.

1. قدرت ملاک چیست؟

2. ارزیابی قدرت معیارها در چه مواردی ضروری است؟

3. روش های محاسبه توان.

6. نحوه بررسی فرضیه آماریبا استفاده از فاصله اطمینان؟

7. در مورد قدرت معیار در محاسبه فاصله اطمینان چه می توان گفت؟

وظایف

در قسمت‌های فرعی قبل، سؤال تخمین پارامتر مجهول را در نظر گرفتیم آیک عدد. چنین ارزیابی "نقطه" نامیده می شود. در تعدادی از کارها، نه تنها برای یافتن پارامتر لازم است آمقدار عددی مناسب، بلکه دقت و قابلیت اطمینان آن را نیز ارزیابی کنید. لازم است بدانیم که تعویض پارامتر می تواند منجر به چه خطاهایی شود آتخمین نقطه ای آن آو با چه درجه ای از اطمینان می توانیم انتظار داشته باشیم که این خطاها از محدوده های شناخته شده فراتر نروند؟

مشکلاتی از این دست به ویژه برای تعداد کمی از مشاهدات، زمانی که تخمین نقطه ای انجام می شود، مرتبط هستند و درتا حد زیادی تصادفی است و جایگزینی تقریبی a با a می تواند منجر به خطاهای جدی شود.

برای ارائه ایده ای از دقت و قابلیت اطمینان تخمین آ,

که در آمار ریاضیاز فواصل اطمینان و احتمالات اطمینان استفاده کنید.

اجازه دهید برای پارامتر آبرگرفته از تخمین بی طرفانه تجربه آ.می خواهیم خطای احتمالی را در این مورد تخمین بزنیم. اجازه دهید مقداری از احتمال p به اندازه کافی بزرگ (مثلاً p = 0.9، 0.95 یا 0.99) را به گونه‌ای اختصاص دهیم که یک رویداد با احتمال p را بتوان عملاً قطعی در نظر گرفت و مقدار s را برای آن پیدا کنیم.

سپس محدوده مقادیر عملا ممکن خطا که هنگام جایگزینی رخ می دهد آبر روی آ، ± s خواهد بود. خطاهای مطلق بزرگ فقط با احتمال کوچک a = 1 - p ظاهر می شوند. بیایید (14.3.1) را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

تساوی (14.3.2) به این معنی است که با احتمال p مقدار مجهول پارامتر است آدر فاصله زمانی قرار می گیرد

در این مورد باید به یک مورد توجه کرد. پیش از این، ما به طور مکرر احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در یک بازه غیر تصادفی معین را در نظر می گرفتیم. در اینجا وضعیت متفاوت است: آتصادفی نیست، اما فاصله تصادفی / r. به طور تصادفی موقعیت آن بر روی محور x، با مرکز آن تعیین می شود آ; به طور کلی، طول بازه 2s نیز تصادفی است، زیرا مقدار s، به عنوان یک قاعده، از داده های تجربی محاسبه می شود. بنابراین، در این مورد، بهتر است مقدار p را به عنوان احتمال "ضربه" به نقطه تفسیر کنیم. آبه بازه / p، اما به عنوان احتمال اینکه یک بازه تصادفی / p نقطه را پوشش دهد آ(شکل 14.3.1).

برنج. 14.3.1

احتمال p نامیده می شود سطح اطمینان، و فاصله / p - فاصله اطمینان.مرزهای فاصله اگر a x \u003d a-شن a 2 = a +و نامیده می شوند مرزهای اعتماد

بیایید یک تفسیر دیگر برای مفهوم فاصله اطمینان ارائه دهیم: می توان آن را به عنوان فاصله ای از مقادیر پارامتر در نظر گرفت. آ،با داده های تجربی سازگار است و با آنها مغایرت ندارد. در واقع، اگر توافق کنیم که رویدادی با احتمال a = 1-p عملاً غیرممکن در نظر بگیریم، آنگاه مقادیر پارامتر a برای الف - الف> s باید به عنوان متناقض با داده های تجربی شناخته شوند، و آنهایی که برای آنها |a - آ a t na 2 .

اجازه دهید برای پارامتر آیک تخمین بی طرفانه وجود دارد آ.اگر قانون توزیع کمیت را می دانستیم آ، مشکل یافتن فاصله اطمینان بسیار ساده است: برای یافتن مقدار s کافی است که

مشکل در این واقعیت نهفته است که قانون توزیع برآورد آبه قانون توزیع کمیت بستگی دارد ایکسو در نتیجه، روی پارامترهای ناشناخته آن (به ویژه در خود پارامتر آ).

برای دور زدن این مشکل، می‌توان از ترفند تقریبی زیر استفاده کرد: پارامترهای مجهول در عبارت s را با تخمین نقطه‌ای آن‌ها جایگزین کنید. با نسبتا اعداد بزرگآزمایش پ(حدود 20 ... 30) این تکنیک معمولاً از نظر دقت نتایج رضایت بخشی می دهد.

به عنوان مثال، مسئله فاصله اطمینان برای انتظارات ریاضی را در نظر بگیرید.

بگذارید تولید شود پ ایکس،که ویژگی های آن انتظار ریاضی است تیو واریانس D- ناشناس. برای این پارامترها، برآوردهای زیر به دست آمد:

برای انتظارات ریاضی باید یک فاصله اطمینان / р مطابق با احتمال اطمینان р ایجاد کرد. تیمقادیر ایکس.

در حل این مشکل از این واقعیت استفاده می کنیم که کمیت تیجمع است پمتغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان X ساعتو با توجه به قضیه حد مرکزی برای اندازه کافی بزرگ پقانون توزیع آن نزدیک به نرمال است. در عمل، حتی با تعداد نسبتاً کمی از عبارت ها (از مرتبه 10 ... 20)، قانون توزیع مجموع را می توان تقریباً عادی در نظر گرفت. ما این مقدار را فرض خواهیم کرد تیطبق قانون عادی توزیع می شود. ویژگی های این قانون - انتظار ریاضی و واریانس - به ترتیب برابر است تیو

(به فصل 13 زیربخش 13.3 مراجعه کنید). بیایید فرض کنیم که ارزش Dبرای ما شناخته شده است و ما چنین مقدار Ep را برای آن پیدا خواهیم کرد

با استفاده از فرمول (6.3.5) از فصل 6، احتمال سمت چپ (14.3.5) را بر حسب تابع توزیع نرمال بیان می کنیم.

انحراف استاندارد برآورد کجاست تی

از معادله

مقدار S را پیدا کنید:

که در آن arg Ф* (x) تابع معکوس Ф* است (ایکس)،آن ها چنین مقداری از آرگومان که تابع توزیع نرمال برابر است با ایکس.

پراکندگی د،که از طریق آن مقدار بیان می شود آ 1P، ما دقیقا نمی دانیم. به عنوان مقدار تقریبی آن، می توانید از تخمین استفاده کنید D(14.3.4) و تقریباً قرار دهید:

بنابراین، مشکل ایجاد فاصله اطمینان تقریباً حل می شود که برابر است با:

که در آن gp با فرمول (14.3.7) تعریف می شود.

به منظور جلوگیری از درون یابی معکوس در جداول تابع Ф * (l) هنگام محاسبه s p، جمع آوری یک جدول خاص (جدول 14.3.1) راحت است که مقادیر کمیت را فهرست می کند.

بسته به r. مقدار (p برای قانون عادی تعداد میانگین ها را تعیین می کند انحراف معیارکه باید در سمت راست و چپ مرکز پراکندگی کنار گذاشته شود تا احتمال برخورد به ناحیه حاصل برابر با p باشد.

از طریق مقدار 7 p، فاصله اطمینان به صورت زیر بیان می شود:

جدول 14.3.1

مثال 1. 20 آزمایش بر روی مقدار انجام شد ایکس؛نتایج در جدول نشان داده شده است. 14.3.2.

جدول 14.3.2

لازم است تخمینی از انتظار ریاضی کمیت پیدا شود ایکسو یک فاصله اطمینان مربوط به سطح اطمینان p = 0.8 ایجاد کنید.

راه حل.ما داریم:

با انتخاب مبدا n: = 10، طبق فرمول سوم (14.2.14) برآورد بی طرفانه را پیدا می کنیم D :

طبق جدول 14.3.1 پیدا می کنیم

محدودیت های اعتماد:

فاصله اطمینان:

مقادیر پارامتر تی،نهفته در این فاصله با داده های تجربی ارائه شده در جدول سازگار است. 14.3.2.

به روشی مشابه، می توان یک فاصله اطمینان برای واریانس ایجاد کرد.

بگذارید تولید شود پآزمایشات مستقل روی یک متغیر تصادفی ایکسبا پارامترهای ناشناخته از و A و برای واریانس Dبرآورد بی طرفانه به دست می آید:

لازم است تقریباً یک فاصله اطمینان برای واریانس ایجاد شود.

از فرمول (14.3.11) می توان دریافت که مقدار Dنشان می دهد

میزان پمتغیرهای تصادفی فرم . این مقادیر نیستند

مستقل است، زیرا هر یک از آنها مقدار را شامل می شود تی،وابسته به بقیه با این حال، می توان نشان داد که به عنوان پقانون توزیع مجموع آنها نیز نزدیک به نرمال است. تقریبا در پ= 20...30 در حال حاضر می توان آن را عادی در نظر گرفت.

بیایید فرض کنیم که اینطور است و ویژگی های این قانون را پیدا کنیم: انتظار و واریانس ریاضی. از آنجایی که نمره D- پس بی طرفانه M[D] = D.

محاسبه واریانس DDبا محاسبات نسبتاً پیچیده همراه است، بنابراین ما بیان آن را بدون مشتق ارائه می دهیم:

جایی که c 4 - چهارمین لحظه مرکزی کمیت است ایکس.

برای استفاده از این عبارت، باید مقادیر 4 و را در آن جایگزین کنید. D(حداقل تقریبی). بجای Dمی توانید از ارزیابی استفاده کنید D.در اصل، چهارمین لحظه مرکزی را می توان با تخمین آن، به عنوان مثال، با مقدار شکل جایگزین کرد:

اما چنین جایگزینی دقت بسیار کمی خواهد داشت، زیرا به طور کلی، با تعداد محدودی آزمایش، لحظات نظم بالابا خطاهای بزرگ تعیین می شود. با این حال، در عمل اغلب اتفاق می افتد که شکل قانون توزیع کمیت ایکساز قبل شناخته شده: فقط پارامترهای آن ناشناخته هستند. سپس می توانیم سعی کنیم u4 را بر حسب بیان کنیم D.

اجازه دهید رایج ترین مورد را، زمانی که مقدار، در نظر بگیریم ایکسطبق قانون عادی توزیع می شود. سپس چهارمین لحظه مرکزی آن بر حسب واریانس بیان می شود (به فصل 6 زیربخش 6.2 مراجعه کنید).

و فرمول (14.3.12) می دهد یا

جایگزینی در (14.3.14) مجهول Dارزیابی او D، می گیریم: از کجا

لحظه u 4 را می توان بر حسب بیان کرد Dهمچنین در برخی موارد دیگر، هنگام توزیع مقدار ایکسطبیعی نیست، اما ظاهر آن مشخص است. برای مثال، برای قانون چگالی یکنواخت (به فصل 5 مراجعه کنید) داریم:

که در آن (a, P) فاصله ای است که قانون در آن ارائه می شود.

در نتیجه،

طبق فرمول (14.3.12) به دست می آید: از جایی که تقریباً پیدا می کنیم

در مواردی که شکل قانون توزیع مقدار 26 ناشناخته است، هنگام تخمین مقدار a /، همچنان توصیه می شود از فرمول (14.3.16) استفاده شود، اگر دلیل خاصی برای این باور وجود نداشته باشد که این امر وجود ندارد. قانون بسیار متفاوت از قانون عادی است (دارای کشش مثبت یا منفی قابل توجهی است).

اگر مقدار تقریبی a /) به روشی به دست آید، می توان یک فاصله اطمینان برای واریانس به همان روشی که آن را برای انتظارات ریاضی ساختیم ایجاد کرد:

جایی که مقدار بسته به احتمال داده شده p در جدول یافت می شود. 14.3.1.

مثال 2. یک فاصله اطمینان تقریباً 80% برای واریانس یک متغیر تصادفی پیدا کنید. ایکستحت شرایط مثال 1، اگر معلوم باشد که مقدار ایکسطبق قانون نزدیک به نرمال توزیع می شود.

راه حل.مقدار مانند جدول باقی می ماند. 14.3.1:

طبق فرمول (14.3.16)

با توجه به فرمول (14.3.18) فاصله اطمینان را پیدا می کنیم:

محدوده مربوط به مقادیر انحراف استاندارد: (0.21؛ 0.29).

14.4. روش های دقیق برای ساخت فواصل اطمینان برای پارامترهای یک متغیر تصادفی توزیع شده بر اساس قانون عادی

در بخش فرعی قبل، روش‌های تقریباً تقریبی را برای ایجاد فاصله اطمینان برای میانگین و واریانس در نظر گرفتیم. در اینجا ما ایده ای از روش های دقیق برای حل همان مشکل ارائه می دهیم. تاکید می کنیم که برای یافتن دقیق فواصل اطمینان، لازم است از قبل شکل قانون توزیع کمیت را بدانیم. ایکس،در حالی که این برای استفاده از روش های تقریبی ضروری نیست.

ایده روش های دقیق برای ساخت فواصل اطمینان به شرح زیر است. هر فاصله اطمینان از شرط بیان کننده احتمال تحقق برخی از نابرابری ها که شامل برآورد علاقه ما می شود به دست می آید. آ.قانون توزیع نمرات آکه در مورد کلیبستگی به پارامترهای کمیت ناشناخته دارد ایکس.با این حال، گاهی اوقات می توان نابرابری ها را از یک متغیر تصادفی عبور داد آبه تابع دیگری از مقادیر مشاهده شده X p X 2, ..., X p.قانون توزیع آن به پارامترهای ناشناخته بستگی ندارد، بلکه فقط به تعداد آزمایش ها و شکل قانون توزیع کمیت بستگی دارد. ایکس.متغیرهای تصادفی از این نوع نقش زیادی در آمار ریاضی دارند. آنها با بیشترین جزئیات برای مورد توزیع نرمال کمیت مورد مطالعه قرار گرفته اند ایکس.

به عنوان مثال، ثابت شده است که تحت یک توزیع نرمال کمیت ایکسمقدار تصادفی

موضوع به اصطلاح قانون توزیع دانش آموزانبا پ- 1 درجه آزادی؛ چگالی این قانون شکل دارد

که در آن G(x) تابع گامای شناخته شده است:

همچنین ثابت شده است که متغیر تصادفی

دارای "توزیع % 2" با پ- 1 درجه آزادی (به فصل 7 مراجعه کنید) که چگالی آن با فرمول بیان می شود

بدون پرداختن به مشتقات توزیع ها (14.4.2) و (14.4.4)، نشان خواهیم داد که چگونه می توان آنها را هنگام ساخت فواصل اطمینان برای پارامترها اعمال کرد. تای دی.

بگذارید تولید شود پآزمایشات مستقل روی یک متغیر تصادفی ایکس،بر اساس قانون عادی با پارامترهای ناشناخته توزیع شده است TIOبرای این پارامترها، برآورد

لازم است فواصل اطمینان برای هر دو پارامتر مربوط به احتمال اطمینان p ساخته شود.

اجازه دهید ابتدا یک فاصله اطمینان برای انتظارات ریاضی بسازیم. طبیعی است که این بازه را با توجه به متقارن بگیریم تی; با s p نصف طول بازه را نشان دهید. مقدار sp باید طوری انتخاب شود که شرط

بیایید سعی کنیم در سمت چپ برابری (14.4.5) از یک متغیر تصادفی عبور کنیم. تیبه یک متغیر تصادفی تی،طبق قانون دانشجویی توزیع می شود. برای انجام این کار، هر دو قسمت نابرابری |m-w?| را ضرب می کنیم

به ارزش مثبت: یا با استفاده از نماد (14.4.1)،

اجازه دهید یک عدد / p پیدا کنیم به طوری که مقدار / p را بتوان از شرط پیدا کرد

از فرمول (14.4.2) می توان دریافت که (1) - حتی عملکرد، بنابراین (14.4.8) می دهد

برابری (14.4.9) مقدار / p را بسته به p تعیین می کند. اگر جدولی از مقادیر انتگرال در اختیار دارید

سپس مقدار / p را می توان با درون یابی معکوس در جدول پیدا کرد. با این حال ، تهیه جدول مقادیر / p از قبل راحت تر است. چنین جدولی در پیوست (جدول 5) آورده شده است. این جدول مقادیر بسته به احتمال اطمینان p و تعداد درجات آزادی را نشان می دهد پ- 1. با تعیین / p مطابق جدول. 5 و با فرض

نصف عرض فاصله اطمینان / p و خود بازه را پیدا می کنیم

مثال 1. 5 آزمایش مستقل بر روی یک متغیر تصادفی انجام شد ایکس،معمولاً با پارامترهای ناشناخته توزیع می شود تیو در مورد. نتایج آزمایشات در جدول آورده شده است. 14.4.1.

جدول 14.4.1

تخمینی پیدا کنید تیبرای انتظارات ریاضی و ایجاد فاصله اطمینان 90٪ / p برای آن (یعنی فاصله مربوط به احتمال اطمینان p \u003d 0.9).

راه حل.ما داریم:

مطابق جدول 5 درخواست برای پ - 1 = 4 و p = 0.9 پیدا می کنیم جایی که

فاصله اطمینان خواهد بود

مثال 2. برای شرایط مثال 1 از بخش 14.3، با فرض مقدار ایکسبه طور معمول توزیع شده است، فاصله اطمینان دقیق را پیدا کنید.

راه حل.با توجه به جدول 5 برنامه، ما در پ - 1 = 19ir =

0.8 / p = 1.328; از اینجا

در مقایسه با راه حل مثال 1 از بخش 14.3 (e p \u003d 0.072)، می بینیم که اختلاف بسیار کوچک است. اگر دقت را تا رقم دوم اعشار حفظ کنیم، فواصل اطمینان یافت شده توسط روش های دقیق و تقریبی یکسان است:

بیایید به ساخت یک فاصله اطمینان برای واریانس برویم. برآورد واریانس بی طرفانه را در نظر بگیرید

و متغیر تصادفی را بیان کنید Dاز طریق ارزش V(14.4.3) دارای توزیع x 2 (14.4.4):

دانستن قانون توزیع کمیت V،می توان بازه / (1) را که در آن قرار می گیرد با یک احتمال معین p پیدا کرد.

قانون توزیع k n _ x (v)مقدار I 7 به شکلی است که در شکل نشان داده شده است. 14.4.1.

برنج. 14.4.1

این سوال مطرح می شود: چگونه فاصله / p را انتخاب کنیم؟ اگر قانون توزیع کمیت Vمتقارن بود (مثل یک قانون نرمال یا توزیع دانش آموز)، طبیعی است که فاصله /p متقارن را با توجه به انتظارات ریاضی در نظر بگیریم. در این مورد، قانون k n _ x (v)نامتقارن اجازه دهید توافق کنیم که بازه /p را انتخاب کنیم تا احتمال خروجی کمیت وجود داشته باشد Vخارج از فاصله سمت راست و چپ (مناطق سایه دار در شکل 14.4.1) یکسان و مساوی بودند.

برای ساختن فاصله / p با این ویژگی، از Table استفاده می کنیم. 4 برنامه: شامل اعداد است y)به طوری که

برای مقدار V،دارای x 2 - توزیع با r درجه آزادی. در مورد ما r = n- 1. رفع کنید r = n- 1 و در خط مربوطه جدول پیدا کنید. 4 دو مقدار x 2 -یکی مربوط به احتمال دیگری - احتمالات اجازه دهید اینها را تعیین کنیم

ارزش های در 2و xlفاصله دارد y 2 ,با سمت چپش و y~انتهای راست

اکنون فاصله اطمینان مورد نیاز /| را برای واریانس با مرزهای D و و پیدا می کنیم D2،که نقطه را پوشش می دهد Dبا احتمال p:

اجازه دهید چنین بازه ای بسازیم / (، = (?> b A)، که نقطه را پوشش می دهد Dاگر و فقط اگر ارزش Vدر بازه / r قرار می گیرد. اجازه دهید آن فاصله را نشان دهیم

این شرط را برآورده می کند. در واقع، نابرابری ها معادل نابرابری ها هستند

و این نابرابری ها با احتمال p وجود دارد. بنابراین، فاصله اطمینان برای پراکندگی پیدا شده و با فرمول (14.4.13) بیان می شود.

مثال 3. فاصله اطمینان برای واریانس را تحت شرایط مثال 2 از بخش فرعی 14.3 بیابید، اگر معلوم باشد که مقدار ایکسبه صورت عادی توزیع می شود.

راه حل.ما داریم . مطابق جدول 4 برنامه

پیدا می کنیم در r = n - 1 = 19

با توجه به فرمول (14.4.13) فاصله اطمینان برای پراکندگی را پیدا می کنیم

فاصله متناظر برای انحراف معیار: (0.21؛ 0.32). این فاصله فقط اندکی از بازه (0.21؛ 0.29) به دست آمده در مثال 2 از بخش 14.3 با روش تقریبی بیشتر است.

• شکل 14.3.1 یک فاصله اطمینان را در نظر می گیرد که در حدود a متقارن است. به طور کلی، همانطور که بعدا خواهیم دید، این کار ضروری نیست.

اغلب ارزیاب باید بازار املاک و مستغلات بخشی را که شی ارزیابی در آن قرار دارد، تجزیه و تحلیل کند. اگر بازار توسعه یابد، تجزیه و تحلیل کل مجموعه اشیاء ارائه شده می تواند دشوار باشد، بنابراین از نمونه ای از اشیاء برای تجزیه و تحلیل استفاده می شود. این نمونه همیشه همگن نیست، گاهی اوقات لازم است آن را از افراط پاک کنید - پیشنهادات بازار خیلی زیاد یا خیلی کم. برای این منظور اعمال می شود فاصله اطمینان. هدف این مطالعه- تجزیه و تحلیل مقایسه ای دو روش برای محاسبه فاصله اطمینان انجام دهید و بهترین گزینه محاسبه را هنگام کار با نمونه های مختلف در سیستم estimatica.pro انتخاب کنید.

فاصله اطمینان - بر اساس نمونه، فاصله مقادیر مشخصه محاسبه می شود که با احتمال مشخصی حاوی پارامتر تخمینی جمعیت عمومی است.

منظور از محاسبه فاصله اطمینان ایجاد چنین فاصله ای بر اساس داده های نمونه است تا بتوان با احتمال معین ادعا کرد که مقدار پارامتر برآورد شده در این بازه است. به عبارت دیگر، فاصله اطمینان با احتمال معین حاوی مقدار مجهول کمیت برآورد شده است. هرچه این فاصله بیشتر باشد، عدم دقت بیشتر است.

روش های مختلفی برای تعیین فاصله اطمینان وجود دارد. در این مقاله 2 راه را در نظر خواهیم گرفت:

• از طریق میانه و انحراف معیار؛
• از طریق مقدار بحرانی آماره t (ضریب دانشجو).

مراحل تحلیل مقایسه ای روش های مختلفمحاسبه CI:

1. یک نمونه داده تشکیل دهید.

2. آن را پردازش کنید روش های آماری: محاسبه میانگین، میانه، واریانس و غیره.

3. فاصله اطمینان را به دو صورت محاسبه می کنیم.

4. نمونه های تمیز شده و فواصل اطمینان به دست آمده را آنالیز کنید.

مرحله 1. نمونه گیری داده ها

نمونه با استفاده از سیستم estimatica.pro تشکیل شد. نمونه شامل 91 پیشنهاد برای فروش آپارتمان 1 اتاقه در منطقه قیمت 3 با نوع برنامه ریزی "خروشچف" بود.

جدول 1. نمونه اولیه

	قیمت 1 متر مربع سی.

عکس. 1. نمونه اولیه

مرحله 2. پردازش نمونه اولیه

پردازش نمونه با روش های آماری مستلزم محاسبه مقادیر زیر است:

1. میانگین حسابی

2. میانه - عددی که نمونه را مشخص می کند: دقیقاً نیمی از عناصر نمونه بزرگتر از میانه هستند، نیمی دیگر کمتر از میانه است.

(برای نمونه ای با تعداد فرد مقادیر)

3. محدوده - تفاوت بین مقادیر حداکثر و حداقل در نمونه

4. واریانس - برای تخمین دقیق تر تغییرات در داده ها استفاده می شود

5. انحراف استاندارد برای نمونه (از این پس RMS نامیده می شود) رایج ترین شاخص پراکندگی مقادیر تنظیم حول میانگین است. مقدار حسابی.

6. ضریب تغییرات - نشان دهنده میزان پراکندگی مقادیر تنظیم است

7. ضریب نوسان - نشان دهنده نوسان نسبی مقادیر شدید قیمت ها در نمونه حول میانگین است.

جدول 2. شاخص های آماری نمونه اصلی

ضریب تغییرات، که مشخص کننده همگنی داده ها است، 12.29٪ است، اما ضریب نوسان بسیار بزرگ است. بنابراین، می توانیم بگوییم که نمونه اصلی همگن نیست، بنابراین اجازه دهید به محاسبه فاصله اطمینان برویم.

مرحله 3. محاسبه فاصله اطمینان

روش 1. محاسبه از طریق میانه و انحراف معیار.

فاصله اطمینان به شرح زیر تعیین می شود: حداقل مقدار - انحراف استاندارد از میانه کسر می شود. حداکثر مقدار - انحراف استاندارد به میانه اضافه می شود.

بنابراین، فاصله اطمینان (47179 CU؛ 60689 CU)

برنج. 2. مقادیر در بازه اطمینان 1.

روش 2. ایجاد فاصله اطمینان از طریق مقدار بحرانی آماره t (ضریب دانشجو)

S.V. گریبوفسکی در کتاب " روش های ریاضیارزیابی ارزش دارایی» نحوه محاسبه فاصله اطمینان از طریق ضریب دانشجو را شرح می دهد. هنگام محاسبه با این روش، خود برآوردگر باید سطح اهمیت ∝ را تعیین کند که احتمال ایجاد فاصله اطمینان را تعیین می کند. معمولاً از سطوح معنی داری 0.1 استفاده می شود. 0.05 و 0.01. مکاتبه می کنند احتمالات اطمینان 0.9; 0.95 و 0.99. با این روش، مقادیر واقعی انتظارات ریاضی و واریانس عملاً ناشناخته در نظر گرفته می شوند (که تقریباً همیشه در هنگام حل صحیح است. وظایف عملیرتبه بندی).

فرمول فاصله اطمینان:

n - اندازه نمونه؛

مقدار بحرانی آمار t (توزیع های دانشجویی) با سطح معنی داری ∝، تعداد درجات آزادی n-1، که توسط جداول آماری خاص یا با استفاده از MS Excel (← "آماری" → STUDRASPOBR تعیین می شود.

∝ - سطح معنی داری، 0.01 = ∝ را می گیریم.

برنج. 2. مقادیر در بازه اطمینان 2.

مرحله 4. تجزیه و تحلیل روش های مختلف برای محاسبه فاصله اطمینان

دو روش برای محاسبه فاصله اطمینان - از طریق میانه و ضریب دانشجو - منجر شد ارزش های مختلففواصل بر این اساس، دو نمونه خالص متفاوت به دست آمد.

جدول 3. شاخص های آماری برای سه نمونه.

فهرست مطالب	نمونه اولیه	1 گزینه	گزینه 2
منظور داشتن
پراکندگی
Coef. تغییرات
Coef. نوسانات
تعداد اشیاء بازنشسته، عدد.

بر اساس محاسبات انجام شده می توان گفت که مقادیر فواصل اطمینان به دست آمده با روش های مختلف با هم تلاقی می کنند، بنابراین با صلاحدید ارزیاب می توانید از هر یک از روش های محاسباتی استفاده کنید.

با این حال، ما معتقدیم که هنگام کار در سیستم estimatica.pro، توصیه می شود بسته به درجه توسعه بازار، روشی را برای محاسبه فاصله اطمینان انتخاب کنید:

• اگر بازار توسعه نیافته است، روش محاسبه را از طریق میانه و انحراف استاندارد اعمال کنید، زیرا تعداد اشیاء بازنشسته در این مورد کم است.
• اگر بازار توسعه یافته است، محاسبه را از طریق مقدار بحرانی آماره t (ضریب دانشجویی) اعمال کنید، زیرا امکان تشکیل یک نمونه اولیه بزرگ وجود دارد.

در تهیه مقاله از:

1. Gribovsky S.V., Sivets S.A., Levykina I.A. روش های ریاضی برای ارزیابی ارزش دارایی. مسکو، 2014

2. داده ها از سیستم estimatica.pro

یکی از روش های حل وظایف آماریمحاسبه فاصله اطمینان است. به عنوان یک جایگزین ترجیحی استفاده می شود تخمین نقطه ایبا حجم نمونه کوچک لازم به ذکر است که فرآیند محاسبه فاصله اطمینان نسبتاً پیچیده است. اما ابزارهای برنامه اکسل به شما امکان می دهد تا حدودی آن را ساده کنید. بیایید دریابیم که چگونه این کار در عمل انجام می شود.

این روش زمانی استفاده می شود که تخمین فاصلهمختلف آمار. وظیفه اصلی این محاسبه خلاص شدن از عدم قطعیت های تخمین نقطه ای است.

در اکسل، دو گزینه اصلی برای انجام محاسبات وجود دارد این روش: زمانی که واریانس مشخص است و زمانی که ناشناخته است. در حالت اول، تابع برای محاسبات استفاده می شود هنجار اعتماد، و در دوم TRUST.STUDENT.

روش 1: تابع NORM اعتماد

اپراتور هنجار اعتمادکه به گروه آماری توابع اشاره دارد، اولین بار در اکسل 2010 ظاهر شد. نسخه های قبلی این برنامه از نسخه مشابه خود استفاده می کنند. اعتماد. وظیفه این عملگر محاسبه فاصله اطمینان با توزیع نرمالبرای جمعیت متوسط

نحو آن به شرح زیر است:

NORM اطمینان (آلفا، استاندارد_dev، اندازه)

"آلفا"استدلالی است که نشان دهنده سطح معنی داری است که برای محاسبه سطح اطمینان استفاده می شود. سطح اطمینان برابر با عبارت زیر است:

(1-"آلفا")*100

"انحراف معیار"استدلالی است که ماهیت آن از نام آن مشخص است. این انحراف استاندارد نمونه پیشنهادی است.

"اندازه"آرگومانی است که اندازه نمونه را تعیین می کند.

همه آرگومان های این عملگر مورد نیاز است.

عملکرد اعتماددقیقا همان استدلال ها و احتمالات قبلی را دارد. نحو آن این است:

TRUST (alpha، standard_dev، اندازه)

همانطور که می بینید، تفاوت ها فقط در نام اپراتور است. این ویژگی به دلایل سازگاری در اکسل 2010 و نسخه های جدیدتر در یک دسته بندی خاص حفظ شده است. "سازگاری". در نسخه های اکسل 2007 و پیش از آن در گروه اصلی اپراتورهای آماری وجود دارد.

مرز فاصله اطمینان با استفاده از فرمول فرم زیر تعیین می شود:

X+(-) هنجار اعتماد

جایی که ایکسمیانگین نمونه است که در وسط محدوده انتخاب شده قرار دارد.

حال بیایید نحوه محاسبه فاصله اطمینان را با استفاده از یک مثال خاص بررسی کنیم. 12 آزمایش انجام شد که نتایج متفاوتی به دست آمد که در جدول ذکر شده است. این کلیت ماست. انحراف معیار 8 است. باید فاصله اطمینان را در سطح اطمینان 97% محاسبه کنیم.

1. سلولی را انتخاب کنید که در آن نتیجه پردازش داده نمایش داده شود. با کلیک بر روی دکمه "درج تابع".



2. ظاهر می شود Function Wizard. رفتن به دسته "آماری"و نام را برجسته کنید "اطمینان. NORM". پس از آن بر روی دکمه کلیک کنید خوب.



3. پنجره آرگومان ها باز می شود. فیلدهای آن به طور طبیعی با نام آرگومان ها مطابقت دارند.
   مکان نما را روی فیلد اول تنظیم کنید - "آلفا". در اینجا باید سطح اهمیت را مشخص کنیم. همانطور که به یاد داریم، سطح اعتماد ما 97٪ است. در عین حال گفتیم که به این صورت محاسبه می شود:

   (1-سطح اعتماد)/100

   یعنی با جایگزین کردن مقدار، به دست می‌آییم:

   با محاسبات ساده متوجه می شویم که استدلال "آلفا"برابر است 0,03 . این مقدار را در فیلد وارد کنید.

   همانطور که می دانید انحراف معیار برابر است با 8 . بنابراین، در زمینه "انحراف معیار"فقط اون عدد رو بنویس

   در زمینه "اندازه"باید تعداد عناصر تست های انجام شده را وارد کنید. همانطور که ما به یاد داریم، آنها 12 . اما برای اینکه فرمول را خودکار کنیم و هر بار که آزمایش جدیدی انجام می شود آن را ویرایش نکنیم، اجازه دهید این مقدار را نه یک عدد معمولی، بلکه با استفاده از عملگر تنظیم کنیم. بررسی. بنابراین، ما مکان نما را در فیلد قرار می دهیم "اندازه"و سپس روی مثلثی که در سمت چپ نوار فرمول قرار دارد کلیک کنید.

   لیستی از توابع اخیراً استفاده شده ظاهر می شود. اگر اپراتور بررسیاخیراً توسط شما استفاده شده است، باید در این لیست باشد. در این صورت فقط باید روی نام آن کلیک کنید. در غیر این صورت، اگر آن را پیدا نکردید، به سراغ اصل مطلب بروید "ویژگی های بیشتر...".



4. از قبل برای ما آشنا به نظر می رسد Function Wizard. بازگشت به گروه "آماری". در آنجا نام را انتخاب می کنیم "بررسی". روی دکمه کلیک کنید خوب.



5. پنجره آرگومان برای عملگر فوق ظاهر می شود. این تابع برای محاسبه تعداد سلول هایی در محدوده مشخص شده که حاوی مقادیر عددی هستند طراحی شده است. نحو آن به صورت زیر است:

   COUNT(مقدار1، مقدار2،…)

   گروه استدلال "ارزش های"مرجعی است به محدوده ای که می خواهید تعداد سلول های پر شده با داده های عددی را در آن محاسبه کنید. در مجموع تا 255 چنین آرگومان می تواند وجود داشته باشد، اما در مورد ما فقط به یکی نیاز داریم.

   مکان نما را در فیلد تنظیم کنید "مقدار 1"و با نگه داشتن دکمه سمت چپ ماوس، محدوده ای را در برگه ای که شامل جمعیت ما است انتخاب کنید. سپس آدرس آن در فیلد نمایش داده می شود. روی دکمه کلیک کنید خوب.



6. پس از آن، برنامه محاسبه را انجام می دهد و نتیجه را در سلولی که خودش قرار دارد نمایش می دهد. در مورد خاص ما، فرمول به شرح زیر است:

   هنجار اطمینان (0.03،8، COUNT(B2:B13))

   نتیجه کلی محاسبات بود 5,011609 .



7. اما این همه ماجرا نیست. همانطور که به یاد داریم، مرز فاصله اطمینان با جمع و کم کردن از میانگین مقدار نمونه نتیجه محاسبه محاسبه می شود. هنجار اعتماد. به این ترتیب مرزهای راست و چپ فاصله اطمینان به ترتیب محاسبه می شود. خود میانگین نمونه را می توان با استفاده از عملگر محاسبه کرد میانگین.

   این عملگر برای محاسبه میانگین حسابی محدوده انتخاب شده از اعداد طراحی شده است. این نحو نسبتاً ساده زیر را دارد:

   میانگین (شماره 1، شماره 2،…)

   بحث و جدل "عدد"می تواند یک مقدار عددی منفرد یا مرجعی به سلول ها یا حتی کل محدوده هایی باشد که حاوی آنها هستند.

   بنابراین، سلولی را که در آن محاسبه مقدار میانگین نمایش داده می شود انتخاب کنید و روی دکمه کلیک کنید "درج تابع".



8. باز می شود Function Wizard. بازگشت به دسته "آماری"و نامی را از لیست انتخاب کنید "میانگین". مثل همیشه روی دکمه کلیک کنید خوب.



9. پنجره آرگومان ها باز می شود. مکان نما را در فیلد تنظیم کنید "شماره 1"و با فشار دادن دکمه سمت چپ ماوس، کل محدوده مقادیر را انتخاب کنید. پس از نمایش مختصات در فیلد، روی دکمه کلیک کنید خوب.



10. بعد از آن میانگینخروجی حاصل از محاسبه را به یک عنصر ورق می دهد.



11. ما مرز مناسب فاصله اطمینان را محاسبه می کنیم. برای انجام این کار، یک سلول جداگانه انتخاب کنید، علامت را قرار دهید «=» و محتویات عناصر برگه ای را که نتایج محاسبه توابع در آنها قرار دارد اضافه کنید میانگینو هنجار اعتماد. برای انجام محاسبه، دکمه را فشار دهید وارد. در مورد ما، فرمول زیر را دریافت کردیم:

    نتیجه محاسبه: 6,953276



12. به همین ترتیب، مرز سمت چپ فاصله اطمینان را محاسبه می کنیم، فقط این بار از نتیجه محاسبه میانگیننتیجه محاسبه عملگر را کم کنید هنجار اعتماد. فرمول نمونه ما از نوع زیر به دست می آید:

    نتیجه محاسبه: -3,06994



13. ما سعی کردیم تمام مراحل محاسبه فاصله اطمینان را با جزئیات شرح دهیم، بنابراین هر فرمول را با جزئیات شرح دادیم. اما شما می توانید تمام اقدامات را در یک فرمول ترکیب کنید. محاسبه کران سمت راست فاصله اطمینان را می توان به صورت زیر نوشت:

    میانگین (B2:B13)+اعتماد (0.03،8، COUNT(B2:B13))



14. یک محاسبه مشابه از حاشیه سمت چپ به شکل زیر است:

    AVERAGE(B2:B13)-CONFIDENCE.NORM(0.03،8، COUNT(B2:B13))

روش 2: تابع TRUST.STUDENT

علاوه بر این، تابع دیگری در اکسل وجود دارد که مربوط به محاسبه فاصله اطمینان است - TRUST.STUDENT. این عملگر فقط از Excel 2010 ظاهر شده است. این عملگر محاسبه فاصله اطمینان جمعیت را با استفاده از توزیع t Student انجام می دهد. استفاده از آن در مواردی که واریانس و بر این اساس، انحراف استاندارد ناشناخته است بسیار راحت است. نحو عملگر به صورت زیر است:

TRUST.STUDENT(alpha,standard_dev, size)

همانطور که می بینید، نام اپراتورها در این مورد بدون تغییر باقی مانده است.

بیایید ببینیم که چگونه مرزهای فاصله اطمینان را با یک انحراف معیار مجهول با استفاده از مثال همان جمعیتی که در روش قبلی در نظر گرفتیم محاسبه کنیم. سطح اطمینان، مانند دفعه قبل، 97٪ را خواهیم گرفت.

1. سلولی که در آن محاسبه انجام می شود را انتخاب کنید. روی دکمه کلیک کنید "درج تابع".



2. در باز شده Function Wizardرفتن به دسته "آماری". یک نام انتخاب کنید "اعتماد.دانشجو". روی دکمه کلیک کنید خوب.



3. پنجره آرگومان برای عملگر مشخص شده راه اندازی می شود.

   در زمینه "آلفا"با توجه به اینکه سطح اطمینان 97 درصد است، عدد را یادداشت می کنیم 0,03 . بار دوم ما به اصول محاسبه این پارامتر نمی پردازیم.

   پس از آن، مکان نما را در فیلد تنظیم کنید "انحراف معیار". این بار این شاخص برای ما ناشناخته است و باید محاسبه شود. این با استفاده از یک تابع خاص انجام می شود - STDEV.B. برای فراخوانی پنجره این عملگر، روی مثلث سمت چپ نوار فرمول کلیک کنید. اگر در لیستی که باز می شود نام مورد نظر را پیدا نکردیم، به آن مورد بروید "ویژگی های بیشتر...".



4. در حال اجراست Function Wizard. حرکت به دسته "آماری"و نام را علامت بزنید "STDEV.B". سپس بر روی دکمه کلیک کنید خوب.



5. پنجره آرگومان ها باز می شود. وظیفه اپراتور STDEV.Bتعریف است انحراف معیارهنگام نمونه گیری نحو آن به شکل زیر است:

   STDEV.V (شماره 1، شماره 2،…)

   حدس زدن این استدلال آسان است "عدد"آدرس عنصر انتخاب است. اگر انتخاب در یک آرایه منفرد قرار می گیرد، تنها با استفاده از یک آرگومان، می توانید پیوندی به این محدوده بدهید.

   مکان نما را در فیلد تنظیم کنید "شماره 1"و مثل همیشه با نگه داشتن دکمه سمت چپ ماوس، مجموعه را انتخاب کنید. پس از قرار گرفتن مختصات در میدان، برای فشار دادن دکمه عجله نکنید خوبزیرا نتیجه نادرست خواهد بود. ابتدا باید به پنجره آرگومان های عملگر بازگردیم TRUST.STUDENTبرای ارائه استدلال نهایی برای انجام این کار، روی نام مناسب در نوار فرمول کلیک کنید.



6. پنجره آرگومان تابع آشنا دوباره باز می شود. مکان نما را در فیلد تنظیم کنید "اندازه". مجدداً روی مثلثی که قبلاً برای ما آشنا بود کلیک کنید تا به انتخاب عملگرها بروید. همانطور که متوجه شدید، ما به یک نام نیاز داریم "بررسی". از آنجایی که استفاده کردیم این تابعهنگام محاسبه در روش قبلی، در این لیستآنجاست، پس فقط روی آن کلیک کنید. اگر آن را پیدا نکردید، الگوریتم توضیح داده شده در روش اول را دنبال کنید.



7. ورود به پنجره آرگومان ها بررسی، مکان نما را در فیلد قرار دهید "شماره 1"و با نگه داشتن دکمه ماوس، مجموعه را انتخاب کنید. سپس بر روی دکمه کلیک کنید خوب.



8. پس از آن، برنامه مقدار فاصله اطمینان را محاسبه و نمایش می دهد.



9. برای تعیین مرزها، دوباره باید میانگین نمونه را محاسبه کنیم. اما، با توجه به اینکه الگوریتم محاسبه با استفاده از فرمول میانگینمانند روش قبلی، و حتی نتیجه تغییر نکرده است، برای بار دوم به تفصیل در این مورد صحبت نمی کنیم.



10. جمع کردن نتایج محاسبات میانگینو TRUST.STUDENT، مرز مناسب فاصله اطمینان را بدست می آوریم.



11. کسر از نتایج محاسباتی اپراتور میانگیننتیجه محاسبه TRUST.STUDENT، کران سمت چپ فاصله اطمینان را داریم.



12. اگر محاسبه در یک فرمول نوشته شود، محاسبه مرز سمت راست در مورد ما به صورت زیر خواهد بود:

    میانگین (B2:B13)+اعتماد دانش‌آموز(0.03، STDV(B2:B13)، COUNT(B2:B13))



13. بر این اساس، فرمول محاسبه مرز سمت چپ به صورت زیر خواهد بود:

    میانگین (B2:B13)-اطمینان دانشجو (0.03، STDV(B2:B13)، COUNT(B2:B13))

همانطور که می بینید، ابزار برنامه های اکسلمحاسبه فاصله اطمینان و مرزهای آن را به طور قابل توجهی تسهیل می کند. برای این منظور از عملگرهای جداگانه برای نمونه هایی استفاده می شود که واریانس آنها مشخص و ناشناخته است.