समरेखीय कारक हैं...

और समरेख।

4. मॉडल में एकाधिक प्रतिगमनकारकों के बीच युग्मित सहसंबंध गुणांक के मैट्रिक्स का निर्धारक, और शून्य के करीब है। इसका अर्थ है कि गुणनखंड , और ... बहुसंरेखीय गुणनखंड हैं।

5. अर्थमितीय मॉडल के लिए रेखीय समीकरणप्रपत्र के कई प्रतिगमन, युग्मित गुणांक का एक मैट्रिक्स बनाया गया था रैखिक सहसंबंध (आपआश्रित चर है; एक्स (1),एक्स (2), एक्स (3), एक्स(4)- स्वतंत्र प्रभावित करने वाली वस्तुएँ):

समरेख (निकट से संबंधित) स्वतंत्र (व्याख्यात्मक) चर नहीं हैं …एक्स(2)तथा एक्स(3)

1. अर्थमितीय प्रतिगमन मॉडल के निर्माण के लिए प्रारंभिक डेटा की एक तालिका दी गई है:

डमी चर नहीं हैं …

कार्य अनुभव

श्रम उत्पादकता

2. उपभोक्ता की आय और लिंग के स्तर पर मांस की खपत की निर्भरता का अध्ययन करते समय, हम सिफारिश कर सकते हैं ...

एक डमी चर का उपयोग करें - उपभोक्ता का लिंग

जनसंख्या को दो भागों में विभाजित करें: महिला उपभोक्ताओं के लिए और पुरुष उपभोक्ताओं के लिए

3. हम अपार्टमेंट की कीमत की निर्भरता का अध्ययन करते हैं ( पर) उसके रहने वाले क्षेत्र से ( एक्स) और घर का प्रकार। मॉडल में डमी चर शामिल हैं जो घरों के प्रकार को दर्शाते हैं: अखंड, पैनल, ईंट। प्रतिगमन समीकरण प्राप्त होता है: ,
कहाँ पे ,
ईंट और अखंड के लिए विशेष प्रतिगमन समीकरण हैं ...

घर के प्रकार की ईंट के लिए

घर के प्रकार के लिए अखंड

4. विश्लेषण करते समय औद्योगिक उद्यमतीन क्षेत्रों में (मारी एल गणराज्य, चुवाशिया गणराज्य, तातारस्तान गणराज्य), तीन विशेष प्रतिगमन समीकरण बनाए गए थे:

मारी एल गणराज्य के लिए;

चुवाशिया गणराज्य के लिए;

तातारस्तान गणराज्य के लिए।

डमी चर के प्रकार और डमी चर के साथ समीकरण को इंगित करें जो तीन विशेष प्रतिगमन समीकरणों को सामान्य करता है।

5. अर्थमिति में, एक डमी चर माना जाता है ...

एक वेरिएबल जो मान 0 और 1 . लेता है

मात्रात्मक तरीके से एक गुणात्मक संकेत का वर्णन करना

1. जनसंख्या की औसत प्रति व्यक्ति मौद्रिक आय की निर्भरता के प्रतिगमन मॉडल के लिए (रूबल, पर) सकल क्षेत्रीय उत्पाद की मात्रा (हजार रूबल, एक्स 1) और विषय में बेरोजगारी दर (%, एक्स 2) समीकरण प्राप्त होता है। चर के लिए प्रतीपगमन गुणांक का मान एक्स 2इंगित करता है कि बेरोजगारी दर में 1% की वृद्धि के साथ, औसत प्रति व्यक्ति नकद आय ______ रूबल है, सकल क्षेत्रीय उत्पाद के निरंतर मूल्य के साथ।

में बदल जाएगा (-1.67)

2. रैखिक बहु समाश्रयण समीकरण में: , अचल संपत्तियों (हजार रूबल) की लागत कहां है; - कर्मचारियों की संख्या (हजार लोग); आप- एक चर के साथ औद्योगिक उत्पादन (हजार रूबल) पैरामीटर की मात्रा एक्स 1, 10.8 के बराबर, का अर्थ है कि अचल संपत्तियों की मात्रा में _____ की वृद्धि के साथ, कर्मचारियों की निरंतर संख्या के साथ औद्योगिक उत्पादन की मात्रा _____ है।

1 हजार रूबल के लिए। ... 10.8 हजार रूबल की वृद्धि होगी।

3. यह ज्ञात है कि आश्रित चर के अवशिष्ट प्रसरण का अनुपात कुल विचरण 0.2 के बराबर है। तब निर्धारण गुणांक का मान होता है... 0.8

4. लाभ की निर्भरता के लिए एक अर्थमितीय मॉडल बनाया गया हैउत्पादन की एक इकाई की बिक्री (रगड़।, पर) उद्यम की कार्यशील पूंजी की राशि पर (हजार रूबल, एक्स 1): . नतीजतन, बिक्री से औसत लाभ, जो उद्यम की कार्यशील पूंजी की मात्रा पर निर्भर नहीं करता है, _____ रूबल है। 10.75

5. एफ-सांख्यिकी की गणना ______ विचरण से _______ विचरण के अनुपात के रूप में की जाती है, जिसकी गणना स्वतंत्रता की प्रति डिग्री की जाती है। फैक्टोरियल ... अवशिष्ट

1. प्रतीपगमन समीकरण के अर्थमितीय मॉडल के लिए, मॉडल त्रुटि को आश्रित चर के वास्तविक मान और उसके परिकलित मान के बीच ______ के रूप में परिभाषित किया जाता है। अंतर

2. मान कहलाता है...यादृच्छिक घटक

3. प्रतीपगमन समीकरण के अर्थमितीय मॉडल में, आश्रित चर के वास्तविक मान का उसके परिकलित मान से विचलन ... मॉडल त्रुटि की विशेषता है

4. यह ज्ञात है कि कुल प्रसरण में व्याख्या किए गए विचरण का अनुपात 0.2 है। तब निर्धारण गुणांक का मान होता है... 0.2

5. विधि के साथ कम से कम वर्गोंभाप समीकरण पैरामीटर रेखीय प्रतिगमन ______ अवशेषों की स्थिति से निर्धारित होते हैं।वर्गों के योग को कम करना

1. अवशेषों में स्वत: सहसंबंध का पता लगाने के लिए, उपयोग करें ...

डर्बिन-वाटसन आँकड़े

2. यह ज्ञात है कि पहले क्रम के अवशेषों के स्वत: सहसंबंध का गुणांकबराबर -0.3। अज्ञात और अवलोकनों की संख्या के साथ दिए गए मापदंडों की संख्या के लिए डर्बिन-वाटसन आंकड़ों के महत्वपूर्ण मूल्य भी दिए गए हैं। इन विशेषताओं के अनुसार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ... अवशिष्टों का कोई स्व-सहसंबंध नहीं है

1. युग्मित सहसंबंध गुणांकों के मैट्रिक्स की गणना करें; परिणामी विशेषता के संबंध की जकड़न और दिशा का विश्लेषण करें यूप्रत्येक कारक के साथ। एक्स; आकलन आंकड़ों की महत्तासहसंबंध गुणांक आर(यू,एक्समैं); सबसे जानकारीपूर्ण कारक चुनें।

2. सबसे जानकारीपूर्ण कारक के साथ एक युग्मित प्रतिगमन मॉडल बनाएं; प्रतीपगमन गुणांक की आर्थिक व्याख्या कीजिए।

3. सन्निकटन की औसत सापेक्ष त्रुटि, निर्धारण के गुणांक और एफ - फिशर के मानदंड का उपयोग करके मॉडल की गुणवत्ता का मूल्यांकन करें (महत्व स्तर α = 0.05 लें)।

4. एक आत्मविश्वास संभावना के साथ =80% संकेतक के औसत मूल्य की भविष्यवाणी करने के लिए यू(कारकों के पूर्वानुमान मूल्य परिशिष्ट 6 में दिए गए हैं)। ग्राफिक रूप से वास्तविक और मॉडल मान प्रस्तुत करें यू, भविष्यवाणी परिणाम।

5. समावेशन पद्धति का उपयोग करते हुए, दो-कारक मॉडल बनाएं, उनमें सबसे अधिक जानकारीपूर्ण कारक रखें; कारकों की पूरी सूची के साथ तीन-कारक मॉडल का निर्माण करें।

6. निर्मित कई मॉडलों में से सर्वश्रेष्ठ चुनें। इसके गुणांकों की आर्थिक व्याख्या कीजिए।

7. का उपयोग करके बहु समाश्रयण गुणांकों के महत्व की जाँच करें टी-छात्र का परीक्षण (महत्व स्तर α = 0.05 स्वीकार करें)। क्या गुणवत्ता में सुधार हुआ है? एकाधिक मॉडलएक जोड़े की तुलना में?

8. लोच गुणांक, बीटा और डेल्टा गुणांक का उपयोग करके परिणाम पर कारकों के प्रभाव का आकलन करें।

कार्य 2. एक-आयामी समय श्रृंखला की मॉडलिंग

परिशिष्ट 7 समय श्रृंखला को दर्शाता है वाई (टी)के लिए सामाजिक-आर्थिक संकेतक अल्ताई क्षेत्र 2000 से 2011 की अवधि के लिए। कार्य संस्करण के अनुरूप संकेतक की गतिशीलता का अध्ययन करना आवश्यक है।

विकल्प	पदनाम, नाम, संकेतक की माप की इकाई
	Y1	प्रति व्यक्ति औसत उपभोक्ता खर्च (प्रति माह), रगड़।
	Y2	वायुमंडलीय वायु में प्रदूषकों का उत्सर्जन, हजार टन
	Y3	द्वितीयक आवास बाजार में औसत मूल्य (वर्ष के अंत में, के लिए वर्ग मीटरकुल क्षेत्रफल), रुब
	वाई4	प्रति व्यक्ति भुगतान सेवाओं की मात्रा, रूबल
	Y5	अर्थव्यवस्था में कार्यरत लोगों की औसत वार्षिक संख्या, हजार लोग
	Y6	प्रति 1000 लोगों पर अपनी कारों की संख्या (वर्ष के अंत में), टुकड़े
	Y7	औसत प्रति व्यक्ति नकद आय (प्रति माह), रुब
	Y8	उपभोक्ता मूल्य सूचकांक (पिछले वर्ष के दिसंबर से दिसंबर),%
	Y9	अचल संपत्तियों में निवेश (वास्तविक कीमतों में), मिलियन रूबल
	वाई10	कारोबार खुदराप्रति व्यक्ति (वास्तविक कीमतों में), रुब

कार्य आदेश

1. समय श्रृंखला का एक रैखिक मॉडल बनाएं, जिसके मापदंडों का अनुमान सबसे कम वर्गों द्वारा लगाया जाता है। प्रतिगमन गुणांक का अर्थ स्पष्ट कीजिए।

2. अवशिष्ट घटक की यादृच्छिकता, स्वतंत्रता और पत्राचार के गुणों का उपयोग करके निर्मित मॉडल की पर्याप्तता का मूल्यांकन करें सामान्य कानूनवितरण।

3. औसत सापेक्ष सन्निकटन त्रुटि के उपयोग के आधार पर मॉडल की सटीकता का मूल्यांकन करें।

4. आने वाले वर्ष के लिए विचाराधीन संकेतक का पूर्वानुमान लगाने के लिए (पूर्वानुमान अंतराल की गणना करें आत्मविश्वास का स्तर 70%).

5. संकेतक के वास्तविक मूल्यों, मॉडलिंग और पूर्वानुमान के परिणामों को ग्राफिक रूप से प्रस्तुत करें।

6. लघुगणक, बहुपद (द्वितीय डिग्री का बहुपद), शक्ति, घातांक और अतिशयोक्तिपूर्ण प्रवृत्तियों के मापदंडों की गणना करें। आधारित ग्राफिक छविऔर निर्धारण सूचकांक के मूल्यों को सबसे अधिक चुनने के लिए उपयुक्त देखोरुझान।

7. सर्वोत्तम गैर-रेखीय मॉडल की सहायता से, आने वाले वर्ष के लिए सुविचारित संकेतक का बिंदु पूर्वानुमान करें। रैखिक मॉडल का उपयोग करके निर्मित भविष्य कहनेवाला विश्वास अंतराल के साथ प्राप्त परिणाम की तुलना करें।

उदाहरण

उपलब्धियां नियंत्रण कार्य

कार्य 1

कंपनी पुरानी कारों की बिक्री करती है। अर्थमितीय मॉडलिंग के लिए संकेतक और प्रारंभिक डेटा के नाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं:

वसूली मूल्य, हजार घन मीटर ( यू)	एक नई कार की कीमत, हजार सी.यू. ( X1)	सेवा जीवन, वर्ष ( X2)	लेफ्ट हैंड ड्राइव - 1, राइट हैंड ड्राइव - 0, ( X3)
8,33	13,99	3,8
10,40	19,05	2,4
10,60	17,36	4,5
16,58	25,00	3,5
20,94	25,45	3,0
19,13	31,81	3,5
13,88	22,53	3,0
8,80	16,24	5,0
13,89	16,54	2,0
11,03	19,04	4,5
14,88	22,61	4,6
20,43	27,56	4,0
14,80	22,51	3,3
26,05	31,75	2,3

आवश्यक:

1. युग्मित सहसंबंध गुणांकों के मैट्रिक्स की गणना करें; प्रत्येक कारक X के साथ परिणामी विशेषता Y के संबंध की जकड़न और दिशा का विश्लेषण करें; सहसंबंध गुणांक r(Y, X i) के सांख्यिकीय महत्व का मूल्यांकन करें; सबसे जानकारीपूर्ण कारक चुनें।

एक्सेल (डेटा / डेटा विश्लेषण / सहसंबंध) का उपयोग करना:

आइए सभी उपलब्ध चरों के बीच जोड़ी सहसंबंध गुणांक का एक मैट्रिक्स प्राप्त करें:

	पर	X1	X2	X3
पर
X1	0,910987
X2	-0,4156	-0,2603
X3	0,190785	0,221927	-0,30308

आइए परिणामी विशेषता के बीच सहसंबंध गुणांक का विश्लेषण करें यूऔर प्रत्येक कारक एक्सजे:

> 0, इसलिए, चरों के बीच यूतथा एक्स 1 एक सीधा संबंध है: एक नई कार की कीमत जितनी अधिक होगी, बिक्री मूल्य उतना ही अधिक होगा।

> 0.7 - यह निर्भरता करीब है।

< 0, значит, между переменными यूतथा एक्स 2 मनाया

व्युत्क्रम सहसंबंध: ऑटो के लिए बिक्री मूल्य कम है-

लंबे समय तक सेवा जीवन वाले मोबाइल फोन।

- यह निर्भरता मध्यम है, कमजोर के करीब है।

> 0, तो चर के बीच यूतथा एक्स 3 एक सीधा संबंध दिखाता है: बाएं हाथ की ड्राइव कारों के लिए बिक्री मूल्य अधिक है।

< 0,4 – эта зависимость слабая.

पाए गए सहसंबंध गुणांक के महत्व की जांच करने के लिए, हम छात्र परीक्षण का उपयोग करते हैं।

प्रत्येक सहसंबंध गुणांक के लिए गणना करना टीसूत्र द्वारा सांख्यिकी और सहसंबंध तालिका के एक अतिरिक्त कॉलम में गणना परिणाम दर्ज करें:

	पर	X1	X2	X3	टी सांख्यिकी
पर
X1	0,910987				7,651524603
X2	-0,4156	-0,2603			1,582847988
X3	0,190785	0,221927	-0,30308		0,673265587

तालिका के अनुसार महत्वपूर्ण बिंदुमहत्व के स्तर पर विद्यार्थियों का वितरण और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या, हम महत्वपूर्ण मूल्य (परिशिष्ट 1, या फ़ंक्शन STUDRSP) निर्धारित करते हैं। वाई और सेवा जीवन एक्स 2 विश्वसनीय है।

< , следовательно, коэффициент не является значимым. На основании выборочных данных нет оснований утверждать, что зависимость между ценой реализации यूऔर स्टीयरिंग व्हील की स्थिति एक्स 3 विश्वसनीय है।

इस प्रकार, बिक्री मूल्य के बीच निकटतम और सबसे महत्वपूर्ण संबंध देखा जाता है यूऔर एक नई कार की कीमत एक्सएक ; कारक एक्स 1 सबसे अधिक जानकारीपूर्ण है।

जोड़ीवार सहसंबंध गुणांक का मैट्रिक्स

	यू	X1	X2	X3	X4	X5
यू
X1	0,732705
X2	0,785156	0,706287
X3	0,179211	-0,29849	0,208514
X4	0,667343	0,924333	0,70069	0,299583
X5	0,709204	0,940488	0,691809	0,326602	0,992945

मैट्रिक्स के नोड्स में युग्मित सहसंबंध गुणांक होते हैं जो कारक विशेषताओं के बीच संबंध की निकटता को दर्शाते हैं। इन गुणांकों का विश्लेषण करते हुए, हम देखते हैं कि उनका निरपेक्ष मान जितना अधिक होगा, परिणामी कारक पर संबंधित कारक चिह्न का प्रभाव उतना ही अधिक होगा। परिणामी मैट्रिक्स का विश्लेषण दो चरणों में किया जाता है:

1. यदि मैट्रिक्स के पहले कॉलम में सहसंबंध गुणांक हैं जिसके लिए /r /< 0,5, то соответствующие признаки из модели исключаются. В данном случае в первом столбце матрицы коэффициентов корреляции исключается фактор или коэффициент роста уровня инфляции. Данный фактор оказывает меньшее влияние на результативный признак, нежели оставшиеся четыре признака.

2. एक दूसरे के साथ कारक चिह्नों के युग्म सहसंबंध गुणांकों का विश्लेषण करना, (r XiXj), उनके संबंध की निकटता को दर्शाते हुए, एक-दूसरे से उनकी स्वतंत्रता का मूल्यांकन करना आवश्यक है, क्योंकि यह आगे के कार्यान्वयन के लिए एक आवश्यक शर्त है। प्रतिगमन विश्लेषण. इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि अर्थव्यवस्था में कोई बिल्कुल स्वतंत्र संकेत नहीं हैं, यदि संभव हो तो, सबसे स्वतंत्र लोगों को बाहर करना आवश्यक है। कारक चिह्न जो एक-दूसरे के साथ घनिष्ठ संबंध रखते हैं, बहुसंरेखण कहलाते हैं। मॉडल में मल्टीकॉलिनियर सुविधाओं को शामिल करने से प्रतिगमन मॉडल की आर्थिक रूप से व्याख्या करना असंभव हो जाता है, क्योंकि एक कारक में बदलाव से जुड़े कारकों में बदलाव होता है, जिससे पूरे मॉडल का "ब्रेकडाउन" हो सकता है।

कारकों की बहु-औपनिवेशिकता की कसौटी इस प्रकार है:

/आर XiXj / > 0.8

युग्मित सहसंबंध गुणांक के परिणामी मैट्रिक्स में, यह मानदंड पंक्तियों के चौराहे पर स्थित दो संकेतकों द्वारा पूरा किया जाता है तथा । इन विशेषताओं के प्रत्येक जोड़े में से एक को मॉडल में छोड़ दिया जाना चाहिए, इसका परिणामी विशेषता पर अधिक प्रभाव होना चाहिए। नतीजतन, कारकों और मॉडल से बाहर रखा गया है; बिक्री की लागत की वृद्धि दर और इसके कार्यान्वयन की मात्रा की वृद्धि दर।

इसलिए, हम प्रतिगमन मॉडल में कारक X1 और X2 का परिचय देते हैं।

अगला, प्रतिगमन विश्लेषण किया जाता है (सेवा, डेटा विश्लेषण, प्रतिगमन)। फिर से X1 और X2 कारकों के साथ प्रारंभिक डेटा की एक तालिका संकलित करता है। समग्र रूप से प्रतिगमन का उपयोग स्वतंत्र चर (कारकों) के मूल्यों के एक अलग आश्रित चर पर प्रभाव का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है और सुविधाओं के बीच संबंध को कुछ कार्यात्मक निर्भरता के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देता है जिसे प्रतिगमन समीकरण या सहसंबंध कहा जाता है- प्रतिगमन मॉडल।

प्रतिगमन विश्लेषण के परिणामस्वरूप, हम बहुभिन्नरूपी प्रतिगमन की गणना के परिणाम प्राप्त करते हैं। आइए प्राप्त परिणामों का विश्लेषण करें।

छात्र के टी-टेस्ट के अनुसार सभी प्रतिगमन गुणांक महत्वपूर्ण हैं। गुणक एकाधिक सहसंबंधआर की राशि 0.925 है, इस मूल्य के वर्ग (निर्धारण गुणांक) का अर्थ है कि परिणामी गुण की भिन्नता औसतन 85.5% है, जो मॉडल में शामिल कारक लक्षणों की भिन्नता द्वारा समझाया गया है। नियतत्ववाद का गुणांक कारक विशेषताओं के सेट और प्रदर्शन संकेतक के बीच संबंधों की जकड़न को दर्शाता है। R-वर्ग मान 1 के जितना निकट होगा, संबंध उतना ही मजबूत होगा। हमारे मामले में, 0.855 के बराबर एक संकेतक कारकों के सही चयन और कारकों और प्रदर्शन संकेतक के बीच संबंध की उपस्थिति को इंगित करता है।

विचाराधीन मॉडल पर्याप्त है, क्योंकि फिशर के F-मानदंड का परिकलित मान इसके सारणीबद्ध मान (F obl = 52.401; F tabl = 1.53) से काफी अधिक है।

प्रदर्शन किए गए सहसंबंध-प्रतिगमन विश्लेषण का सामान्य परिणाम है एकाधिक समीकरणप्रतिगमन जो दिखता है:

परिणामी प्रतिगमन समीकरण सहसंबंध-प्रतिगमन विश्लेषण के उद्देश्य को पूरा करता है और दो कारकों पर उद्यम के बैलेंस शीट लाभ की निर्भरता का एक रैखिक मॉडल है: श्रम उत्पादकता की वृद्धि दर और औद्योगिक संपत्ति का गुणांक।

प्राप्त मॉडल के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पिछली अवधि की तुलना में श्रम उत्पादकता के स्तर में 1% की वृद्धि के साथ, बैलेंस शीट के लाभ में 0.95 प्रतिशत की वृद्धि होगी; औद्योगिक संपत्ति के गुणांक में 1% की वृद्धि से प्रभावी संकेतक में 27.9 प्रतिशत की वृद्धि होगी। नतीजतन, बैलेंस शीट लाभ की वृद्धि पर प्रमुख प्रभाव औद्योगिक संपत्ति के मूल्य में वृद्धि (उद्यम की अचल संपत्तियों का नवीनीकरण और विकास) है।

मल्टीपल रिग्रेशन मॉडल के अनुसार, प्रभावी फीचर का मल्टीफैक्टोरियल फोरकास्ट किया जाता है। बता दें कि X1 = 3.0 और X3 = 0.7। आइए मॉडल में कारक संकेतों के मूल्यों को प्रतिस्थापित करें, हमें सेमी = 0.95 * 3.0 + 27.9 * 0.7 - 19.4 = 2.98 मिलता है। इस प्रकार, उद्यम में श्रम उत्पादकता में वृद्धि और अचल संपत्तियों के आधुनिकीकरण के साथ, पिछली अवधि (2004 की चौथी तिमाही) के संबंध में 2005 की पहली तिमाही में बैलेंस शीट लाभ 2.98% की वृद्धि होगी।

प्रारंभ में मॉडल में परसभी मुख्य घटकों को शामिल करें (गणना किए गए मान कोष्ठक में दर्शाए गए हैं टी-मानदंड):

मॉडल की गुणवत्ता की विशेषता है: निर्धारण के कई गुणांक आर = 0.517, औसत सापेक्ष सन्निकटन त्रुटि = 10.4%, अवशिष्ट विचरण एस 2= 1.79 और एफओ बीएस = 121. इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि एफअवलोकन > एफकरोड़ = 2.85 पर α = 0.05, v1 = 6, वी 2= 14, प्रतीपगमन समीकरण महत्वपूर्ण है और प्रतिगमन गुणांकों में से कम से कम एक - β 1 , β 2 , β 3 , β 4 - शून्य के बराबर नहीं है।

यदि प्रतिगमन समीकरण का महत्व (परिकल्पना .) एच 0:β 1 = β 2 = β 3 = β 4 = 0 को α = 0.05 पर जाँचा गया, फिर प्रतिगमन गुणांकों का महत्व, अर्थात्। परिकल्पना एच0: β जे = 0 (जे = 1, 2, 3, 4), को 0.05 से अधिक महत्व के स्तर पर जाँचा जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, α . पर = 0.1. तब α = 0.1 के लिए, वी= 14 मान टीक्रू = 1.76, और महत्वपूर्ण, जैसा कि समीकरण (53.41) से मिलता है, प्रतिगमन गुणांक β 1 , β 2 , β 3 हैं।

यह देखते हुए कि मुख्य घटक एक दूसरे के साथ सहसंबद्ध नहीं हैं, हम तुरंत सभी महत्वहीन गुणांक को समीकरण से बाहर कर सकते हैं, और समीकरण रूप ले लेगा

(53.42)

समीकरणों (53.41) और (53.42) की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि महत्वहीन प्रमुख घटकों का विलोपन f4तथा f5, समीकरण के गुणांक के मूल्यों को प्रभावित नहीं किया बी 0 = 9,52, ख 1 = 0,93, बी 2 = 0.66 और संगत टीजे (जे = 0, 1, 2, 3).

यह असंबंधित प्रमुख घटकों के कारण है। यहां, प्रारंभिक संकेतकों (53.22), (53.23) और मुख्य घटकों (53.41), (53.42) के लिए प्रतिगमन समीकरणों का समानांतर दिलचस्प है।

समीकरण (53.42) महत्वपूर्ण है क्योंकि एफअवलोकन = 194 > एफक्रू = 3.01 α = 0.05 पर पाया गया, v1 = 4, वी 2= 16. समीकरण के गुणांक भी सार्थक हैं, क्योंकि टी जे> टीक्रू . = 1.746 α = 0.01 के संगत, वी= 16 के लिए जे= 0, 1, 2, 3. निर्धारण का गुणांक आर= 0.486 इंगित करता है कि 48.6% भिन्नता परपहले तीन प्रमुख घटकों के प्रभाव के कारण।

समीकरण (53.42) को सन्निकटन = 9.99% और की औसत सापेक्ष त्रुटि की विशेषता है अवशिष्ट फैलाव s2 = 1,91.

प्रमुख घटकों (53.42) पर प्रतिगमन समीकरण में प्रारंभिक संकेतकों के संदर्भ में प्रतिगमन मॉडल (53.23) की तुलना में थोड़ा बेहतर सन्निकटन गुण हैं: आर= 0,486 > आर= 0,469; = 9,99% < (एक्स) = 10.5% और एस 2 (एफ) = 1,91 < एस 2 (एक्स) = 1.97. इसके अलावा, समीकरण (53.42) में, प्रमुख घटक हैं रैखिक कार्यसभी इनपुट संकेतक, जबकि समीकरण (53.23) में केवल दो चर शामिल हैं ( एक्स 1तथा एक्स 4). कुछ मामलों में, किसी को यह ध्यान रखना होगा कि मॉडल (53.42) की व्याख्या करना मुश्किल है, क्योंकि इसमें तीसरा प्रमुख घटक शामिल है। च 3, जिसकी हमने व्याख्या नहीं की है और जिसका प्रारंभिक संकेतकों के कुल विचरण में योगदान है ( एक्स 1 , ..., एक्स 5)केवल 8.6% है। हालांकि, अपवाद च 3समीकरण से (53.42) मॉडल के अनुमानित गुणों को काफी खराब करता है: आर= 0.349; = 12.4% और एस 2(एफ) = 2.41. फिर उत्पादकता के प्रतिगमन मॉडल के रूप में समीकरण (53.23) को चुनना उचित है।

क्लस्टर विश्लेषण

पर सांख्यिकीय अध्ययनप्राथमिक डेटा का समूहन मुख्य निर्णय तकनीक है वर्गीकरण कार्य,और इसलिए एकत्रित जानकारी के साथ आगे के सभी कार्यों का आधार।

परंपरागत रूप से, इस समस्या को निम्नलिखित तरीके से हल किया जाता है। ऑब्जेक्ट का वर्णन करने वाली सुविधाओं के सेट से, शोधकर्ता के दृष्टिकोण से, सबसे अधिक जानकारीपूर्ण, एक का चयन किया जाता है, और डेटा को इस सुविधा के मूल्यों के अनुसार समूहीकृत किया जाता है। यदि महत्व के क्रम में आपस में क्रमबद्ध कई विशेषताओं के अनुसार वर्गीकृत करना आवश्यक है, तो पहले वर्गीकरण को पहली विशेषता के अनुसार किया जाता है, फिर प्रत्येक परिणामी वर्ग को दूसरी विशेषता के अनुसार उपवर्गों में विभाजित किया जाता है, और इसलिए पर। अधिकांश संयोजन सांख्यिकीय समूह एक समान तरीके से बनाए जाते हैं।

ऐसे मामलों में जहां वर्गीकरण सुविधाओं को सुव्यवस्थित करना संभव नहीं है, बहुआयामी समूहन की सबसे सरल विधि का उपयोग किया जाता है - एक अभिन्न संकेतक (सूचकांक) का निर्माण जो कार्यात्मक रूप से मूल विशेषताओं पर निर्भर होता है, इसके बाद इस सूचक के अनुसार वर्गीकरण होता है।

इस दृष्टिकोण का विकास कारक या घटक विश्लेषण के तरीकों का उपयोग करके प्राप्त कई सामान्यीकरण संकेतकों (मुख्य घटक) के अनुसार वर्गीकरण का एक प्रकार है।

यदि कई विशेषताएं (प्रारंभिक या सामान्यीकृत) हैं, तो वर्गीकरण समस्या को क्लस्टर विश्लेषण विधियों द्वारा हल किया जा सकता है, जो प्रशिक्षण नमूनों की अनुपस्थिति में अन्य बहुभिन्नरूपी वर्गीकरण विधियों से भिन्न होते हैं, अर्थात। सामान्य जनसंख्या के वितरण के बारे में एक प्राथमिक जानकारी।

वर्गीकरण समस्या को हल करने के लिए योजनाओं के बीच अंतर काफी हद तक "समानता" और "समानता की डिग्री" की अवधारणाओं से निर्धारित होता है।

कार्य का लक्ष्य तैयार होने के बाद, गुणवत्ता मानदंड, उद्देश्य फ़ंक्शन को निर्धारित करने का प्रयास करना स्वाभाविक है, जिसके मूल्य हमें विभिन्न वर्गीकरण योजनाओं की तुलना करने की अनुमति देंगे।

आर्थिक अध्ययन में वस्तुनिष्ठ कार्य, एक नियम के रूप में, वस्तुओं के एक सेट पर परिभाषित कुछ पैरामीटर को कम करना चाहिए (उदाहरण के लिए, उपकरणों को वर्गीकृत करने का उद्देश्य एक समूह हो सकता है जो मरम्मत कार्य के लिए समय और धन की कुल लागत को कम करता है)।

ऐसे मामलों में जहां समस्या के लक्ष्य को औपचारिक रूप देना संभव नहीं है, वर्गीकरण की गुणवत्ता के लिए मानदंड पाए गए समूहों की सार्थक व्याख्या की संभावना हो सकती है।

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें। संग्रह करने दें पीवस्तुओं, जिनमें से प्रत्येक की विशेषता है कमापा लक्षण। इस संग्रह को उन समूहों (वर्गों) में तोड़ना आवश्यक है जो एक निश्चित अर्थ में सजातीय हैं। साथ ही, वितरण की प्रकृति के बारे में व्यावहारिक रूप से कोई प्राथमिक जानकारी नहीं है क-आयामी वेक्टर एक्सकक्षाओं के अंदर।

बंटवारे के परिणामस्वरूप प्राप्त समूहों को आमतौर पर क्लस्टर* (टैक्सन**, इमेज) कहा जाता है, उन्हें खोजने के तरीकों को क्लस्टर विश्लेषण (क्रमशः, संख्यात्मक वर्गीकरण या स्व-शिक्षण के साथ पैटर्न मान्यता) कहा जाता है।

* झुंड(अंग्रेज़ी) - कुछ सामान्य गुणों की विशेषता वाले तत्वों का समूह।

**तखोप(अंग्रेज़ी) - किसी भी श्रेणी का व्यवस्थित समूह।

शुरू से ही यह स्पष्ट रूप से समझना आवश्यक है कि दो वर्गीकरण समस्याओं में से किसका समाधान किया जाना है। यदि सामान्य टाइपिंग की समस्या हल हो जाती है, तो अवलोकनों के सेट को अपेक्षाकृत कम संख्या में समूह क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है (उदाहरण के लिए, अंतराल विविधता श्रृंखलाएक-आयामी अवलोकन के मामले में) ताकि एक ऐसे क्षेत्र के तत्व एक-दूसरे के यथासंभव करीब हों।

एक अन्य समस्या का समाधान एक दूसरे से कुछ दूरी पर स्थित सुपरिभाषित समूहों में प्रेक्षणों के परिणामों के प्राकृतिक स्तरीकरण को निर्धारित करना है।

यदि पहली टाइपिंग समस्या का हमेशा समाधान होता है, तो दूसरे मामले में यह पता चल सकता है कि अवलोकनों का सेट समूहों में प्राकृतिक स्तरीकरण नहीं दिखाता है, अर्थात। एक क्लस्टर बनाता है।

यद्यपि क्लस्टर विश्लेषण के कई तरीके काफी प्राथमिक हैं, जिन कार्यों में उन्हें प्रस्तावित किया गया था, उनका मुख्य भाग संबंधित है पिछला दशक. यह इस तथ्य से समझाया गया है कि क्लस्टर खोज समस्याओं का प्रभावी समाधान, जिसकी आवश्यकता है एक बड़ी संख्या मेंकंप्यूटर प्रौद्योगिकी के आगमन और विकास के साथ ही अंकगणित और तार्किक संचालन संभव हो गया।

क्लस्टर विश्लेषण की समस्याओं में प्रारंभिक डेटा के प्रतिनिधित्व का सामान्य रूप है मैट्रिक्स

जिनमें से प्रत्येक पंक्ति माप परिणामों का प्रतिनिधित्व करती है कजांच की गई वस्तुओं में से एक में सुविधाओं पर विचार किया। विशिष्ट स्थितियों में, वस्तुओं का समूहन और विशेषताओं का समूह दोनों ही रुचिकर हो सकते हैं। उन मामलों में जहां इन दो कार्यों के बीच का अंतर महत्वपूर्ण नहीं है, उदाहरण के लिए, कुछ एल्गोरिदम का वर्णन करते समय, हम इस अवधारणा में "सुविधा" शब्द सहित केवल "ऑब्जेक्ट" शब्द का उपयोग करेंगे।

आव्यूह एक्सक्लस्टर विश्लेषण समस्याओं में डेटा का प्रतिनिधित्व करने का एकमात्र तरीका नहीं है। कभी-कभी प्रारंभिक जानकारी एक वर्ग मैट्रिक्स के रूप में दी जाती है

तत्व रिजूजो निकटता की डिग्री निर्धारित करता है मैं-वें वस्तु को जे-म्यू.

अधिकांश क्लस्टर विश्लेषण एल्गोरिदम पूरी तरह से दूरी (या निकटता) मैट्रिक्स से आगे बढ़ते हैं या इसके व्यक्तिगत तत्वों की गणना की आवश्यकता होती है, इसलिए यदि डेटा फॉर्म में प्रस्तुत किया जाता है एक्स,तब समूहों को खोजने की समस्या को हल करने में पहला कदम वस्तुओं या सुविधाओं के बीच की दूरी, या निकटता की गणना के लिए एक विधि का चुनाव होगा।

सुविधाओं के बीच निकटता का निर्धारण करने का प्रश्न हल करना कुछ आसान है। एक नियम के रूप में, सुविधाओं का क्लस्टर विश्लेषण कारक विश्लेषण के समान लक्ष्यों का पीछा करता है: परस्पर जुड़ी विशेषताओं के समूहों का चयन जो अध्ययन के तहत वस्तुओं के एक निश्चित पहलू को दर्शाते हैं। इस मामले में, विभिन्न सांख्यिकीय युग्मन गुणांक निकटता के माप के रूप में कार्य करते हैं।

इसी तरह की जानकारी।

1. युग्म सहसम्बन्ध के गुणांकों का एक आव्यूह बनाइए।

ऐसा करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करके युग्म सहसंबंध गुणांक की गणना करते हैं:

आवश्यक गणना तालिका 9 में प्रस्तुत की गई हैं।

-

उद्यम Y के राजस्व और पूंजी निवेश X 1 की मात्रा के बीच संबंध कमजोर और प्रत्यक्ष है;

-

उद्यम Y के राजस्व और अचल उत्पादन संपत्ति X 2 के बीच व्यावहारिक रूप से कोई संबंध नहीं है;

-

पूंजी निवेश की मात्रा X 1 और अचल उत्पादन संपत्ति X 2 के बीच संबंध निकट और प्रत्यक्ष है;

तालिका 9

जोड़ी सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए सहायक तालिका

टी	यू	X1	X2				(वाई-यवग)* (x1-x1sr)	(वाई-यवग)* (x2-x2sr)	(х1-х1ср)* (x2-x2sr)
1998	3,0	1,1	0,4	0,0196	0,0484	0,0841	0,0308	0,0406	0,0638
1999	2,9	1,1	0,4	0,0576	0,0484	0,0841	0,0528	0,0696	0,0638
2000	3,0	1,2	0,7	0,0196	0,0144	1ई-04	0,0168	-0,0014	-0,0012
2001	3,1	1,4	0,9	0,0016	0,0064	0,0441	-0,0032	-0,0084	0,0168
2002	3,2	1,4	0,9	0,0036	0,0064	0,0441	0,0048	0,0126	0,0168
2003	2,8	1,4	0,8	0,1156	0,0064	0,0121	-0,0272	-0,0374	0,0088
2004	2,9	1,3	0,8	0,0576	0,0004	0,0121	0,0048	-0,0264	-0,0022
2005	3,4	1,6	1,1	0,0676	0,0784	0,1681	0,0728	0,1066	0,1148
2006	3,5	1,3	0,4	0,1296	0,0004	0,0841	-0,0072	-0,1044	0,0058
2007	3,6	1,4	0,5	0,2116	0,0064	0,0361	0,0368	-0,0874	-0,0152
Σ	31,4	13,2	6,9	0,684	0,216	0,569	0,182	-0,036	0,272
औसत	3,14	1,32	0,69

इसके अलावा, जोड़ीदार सहसंबंध गुणांक का मैट्रिक्स पाया जा सकता है एक्सेल वातावरणडेटा विश्लेषण ऐड-ऑन, सहसंबंध उपकरण का उपयोग करना।

जोड़ी सहसंबंध गुणांक का मैट्रिक्स है:

	यू	X1	X2
यू	1
X1	0,4735	1
X2	-0,0577	0,7759	1

युग्मित सहसंबंध गुणांक के मैट्रिक्स से पता चलता है कि प्रभावी विशेषता y (राजस्व) का पूंजी निवेश x 1 की मात्रा के साथ कमजोर संबंध है, और ओपीएफ के आकार के साथ व्यावहारिक रूप से कोई संबंध नहीं है। मॉडल में कारकों के बीच संबंध को करीब के रूप में अनुमानित किया गया है, जो उनकी रैखिक निर्भरता, बहुविकल्पीयता को इंगित करता है।

2. एक लीनियर मल्टीपल रिग्रेशन मॉडल बनाएं

हम कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करके मॉडल पैरामीटर पाएंगे। ऐसा करने के लिए, हम एक सिस्टम बनाएंगे सामान्य समीकरण.

गणना तालिका 10 में प्रस्तुत की गई है।

आइए क्रैमर विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

तालिका 10

एक लीनियर मल्टीपल रिग्रेशन मॉडल के पैरामीटर्स को खोजने के लिए सहायक गणना

आप
3,0	1,1	0,4	1,21	0,44	0,16	3,3	1,2
2,9	1,1	0,4	1,21	0,44	0,16	3,19	1,16
3,0	1,2	0,7	1,44	0,84	0,49	3,6	2,1
3,1	1,4	0,9	1,96	1,26	0,81	4,34	2,79
3,2	1,4	0,9	1,96	1,26	0,81	4,48	2,88
2,8	1,4	0,8	1,96	1,12	0,64	3,92	2,24
2,9	1,3	0,8	1,69	1,04	0,64	3,77	2,32
3,4	1,6	1,1	2,56	1,76	1,21	5,44	3,74
3,5	1,3	0,4	1,69	0,52	0,16	4,55	1,4
3,6	1,4	0,5	1,96	0,7	0,25	5,04	1,8
31,4	13,2	6,9	17,64	9,38	5,33	41,63	21,63

एकाधिक प्रतिगमन के रैखिक मॉडल का रूप है:

यदि पूंजी निवेश की मात्रा में 1 मिलियन रूबल की वृद्धि की जाती है, तो कंपनी के राजस्व में औसतन 2.317 मिलियन रूबल की वृद्धि होगी। मुख्य के निरंतर आयामों के साथ उत्पादन संपत्ति.

यदि मुख्य उत्पादन संपत्ति में 1 मिलियन रूबल की वृद्धि होती है, तो कंपनी के राजस्व में औसतन 1.171 मिलियन रूबल की कमी आएगी। निवेश की समान राशि के साथ।

3. हम गणना करते हैं:

निर्धारण गुणांक:

कंपनी के राजस्व में 67.82% परिवर्तन पूंजी निवेश और अचल उत्पादन परिसंपत्तियों की मात्रा में 32.18% परिवर्तन के कारण है - मॉडल में शामिल नहीं किए गए कारकों का प्रभाव।

एफ - फिशर मानदंड

आइए समीकरण के महत्व की जाँच करें

F का सारणीबद्ध मान α = 0.05 के महत्व स्तर पर एक मानदंड है और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या d.f. 1 = k = 2 (कारकों की संख्या), स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या d.f. 2 \u003d (n - k - 1) \u003d (10 - 2 - 1) \u003d 7 4.74 होगा।

चूंकि एफ कैल्क। = 7.375 > एफ टैब। = 4.74, तो समग्र रूप से प्रतिगमन समीकरण को सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण माना जा सकता है।

परिकलित संकेतक डेटा विश्लेषण ऐड-इन, रिग्रेशन टूल का उपयोग करके एक्सेल वातावरण में पाए जा सकते हैं।

तालिका 11

औसत सापेक्ष सन्निकटन त्रुटि का पता लगाने के लिए सहायक गणना

आप					लेकिन
3,0	1,1	0,4	2,97	0,03	0,010
2,9	1,1	0,4	2,97	-0,07	0,024
3,0	1,2	0,7	2,85	0,15	0,050
3,1	1,4	0,9	3,08	0,02	0,007
3,2	1,4	0,9	3,08	0,12	0,038
2,8	1,4	0,8	3,20	-0,40	0,142
2,9	1,3	0,8	2,96	-0,06	0,022
3,4	1,6	1,1	3,31	0,09	0,027
3,5	1,3	0,4	3,43	0,07	0,019
3,6	1,4	0,5	3,55	0,05	0,014
					0,353

मध्यम रिश्तेदारों की गलतीअनुमान

औसतन, परिकलित मान वास्तविक मानों से 3.53% भिन्न होते हैं। त्रुटि छोटी है, मॉडल को सटीक माना जा सकता है।

4. मल्टीपल रिग्रेशन का पावर मॉडल बनाएं

इस मॉडल को बनाने के लिए, हम समानता के दोनों पक्षों का लघुगणक लेते हैं

एलजी वाई = एलजी ए + β 1 ∙ एलजी एक्स 1 + β 2 ∙ एलजी एक्स 2।

आइए Y = lg y, A = lg a, X 1 = lg x 1, X 2 = lg x 2 परिवर्तन करें।

तब Y = A + β 1 ∙ X 1 + β 2 X 2 एक रैखिक दो-कारक प्रतिगमन मॉडल है। एमएनसी लागू किया जा सकता है।

गणना तालिका 12 में प्रस्तुत की गई है।

तालिका 12

एकाधिक प्रतिगमन के शक्ति मॉडल के मापदंडों को खोजने के लिए सहायक गणना

आप					एलजी यू
3,0	1,1	0,4	0,041	-0,398	0,477	0,002	-0,016	0,020	0,158	-0,190
2,9	1,1	0,4	0,041	-0,398	0,462	0,002	-0,016	0,019	0,158	-0,184
3,0	1,2	0,7	0,079	-0,155	0,477	0,006	-0,012	0,038	0,024	-0,074
3,1	1,4	0,9	0,146	-0,046	0,491	0,021	-0,007	0,072	0,002	-0,022
3,2	1,4	0,9	0,146	-0,046	0,505	0,021	-0,007	0,074	0,002	-0,023
2,8	1,4	0,8	0,146	-0,097	0,447	0,021	-0,014	0,065	0,009	-0,043
2,9	1,3	0,8	0,114	-0,097	0,462	0,013	-0,011	0,053	0,009	-0,045
3,4	1,6	1,1	0,204	0,041	0,531	0,042	0,008	0,108	0,002	0,022
3,5	1,3	0,4	0,114	-0,398	0,544	0,013	-0,045	0,062	0,158	-0,217
3,6	1,4	0,5	0,146	-0,301	0,556	0,021	-0,044	0,081	0,091	-0,167
31,4	13,2	6,9	1,178	-1,894	4,955	0,163	-0,165	0,592	0,614	-0,943

हम क्रैमर पद्धति का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं।

एकाधिक प्रतिगमन के शक्ति मॉडल का रूप है:

पर ऊर्जा समीकरणकारकों पर गुणांक लोच के गुणांक हैं। लोच के गुणांक से पता चलता है कि प्रभावी गुण y का मान औसतन कितने प्रतिशत बदल जाएगा यदि कारकों में से एक में 1% की वृद्धि की जाती है और अन्य कारकों का मूल्य अपरिवर्तित रहता है।

यदि पूंजी निवेश की मात्रा में 1% की वृद्धि की जाती है, तो कंपनी के राजस्व में समान आकार की अचल उत्पादन परिसंपत्तियों के साथ औसतन 0.897% की वृद्धि होगी।

यदि अचल उत्पादन परिसंपत्तियों में 1% की वृद्धि की जाती है, तो अपरिवर्तित पूंजी निवेश के साथ कंपनी के राजस्व में 0.226% की कमी आएगी।

5. हम गणना करते हैं:

एकाधिक सहसंबंध गुणांक:

कंपनी के राजस्व और पूंजी निवेश की मात्रा और अचल उत्पादन संपत्ति के बीच संबंध करीब है।

तालिका 13

बहु सहसंबंध के गुणांक को खोजने के लिए सहायक गणना, निर्धारण का गुणांक, बहु प्रतिगमन के शक्ति मॉडल के सन्निकटन की औसत सापेक्ष त्रुटि

यू				(वाई-वाई कैल्क.) 2		ए
3,0	1,1	0,4	2,978	0,000	0,020	0,007
2,9	1,1	0,4	2,978	0,006	0,058	0,027
3,0	1,2	0,7	2,838	0,026	0,020	0,054
3,1	1,4	0,9	3,079	0,000	0,002	0,007
3,2	1,4	0,9	3,079	0,015	0,004	0,038
2,8	1,4	0,8	3,162	0,131	0,116	0,129
2,9	1,3	0,8	2,959	0,003	0,058	0,020
3,4	1,6	1,1	3,317	0,007	0,068	0,024
3,5	1,3	0,4	3,460	0,002	0,130	0,012
3,6	1,4	0,5	3,516	0,007	0,212	0,023
31,4	13,2	6,9		0,198	0,684	0,342

निर्धारण गुणांक:

पावर-लॉ मॉडल में कंपनी के राजस्व में परिवर्तन का 71.06% पूंजी निवेश और अचल उत्पादन परिसंपत्तियों की मात्रा में 28.94% - मॉडल में शामिल नहीं किए गए कारकों के प्रभाव में बदलाव के कारण है।

एफ - फिशर मानदंड

आइए समीकरण के महत्व की जाँच करें

F का सारणीबद्ध मान α = 0.05 के महत्व स्तर पर एक मानदंड है और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या d.f. 1 = के = 2, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या d.f. 2 \u003d (n - k - 1) \u003d (10 - 2 - 1) \u003d 7 4.74 होगा।

चूंकि एफ कैल्क। = 8.592 > एफ टैब। = 4.74, तो समग्र रूप से घात प्रतिगमन समीकरण को सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण माना जा सकता है।

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