इस खंड में, हम दूसरे क्रम के रैखिक समीकरणों के एक विशेष मामले पर विचार करेंगे, जब समीकरण के गुणांक स्थिर होते हैं, यानी वे संख्याएं होती हैं। ऐसे समीकरणों को समीकरण कहा जाता है स्थिर गुणांक. इस प्रकार का समीकरण विशेष रूप से व्यापक अनुप्रयोग पाता है।

1. रैखिक सजातीय अंतर समीकरण

समीकरण पर विचार करें

जहां गुणांक स्थिर हैं। यह मानते हुए कि समीकरण के सभी पदों को विभाजित करके और निरूपित करना

हम इस समीकरण को रूप में लिखते हैं

जैसा कि ज्ञात है, दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय समीकरण का एक सामान्य समाधान खोजने के लिए, आंशिक समाधान की इसकी मौलिक प्रणाली को जानना पर्याप्त है। आइए आपको दिखाते हैं कि यह कैसा है मौलिक प्रणालीनिरंतर गुणांक वाले एक सजातीय रैखिक अंतर समीकरण के लिए आंशिक समाधान। हम इस समीकरण के एक विशेष हल की तलाश करेंगे:

इस फलन को दो बार अवकलित करने और के व्यंजकों को समीकरण (59) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

चूँकि , तब से कम करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है

इस समीकरण से k के वे मान निर्धारित किए जाते हैं जिनके लिए फलन समीकरण (59) का हल होगा।

गुणांक k के निर्धारण के लिए बीजीय समीकरण (61) को दिए गए अवकल समीकरण (59) का अभिलक्षणिक समीकरण कहा जाता है।

विशेषता समीकरण दूसरी डिग्री का समीकरण है और इसलिए इसकी दो जड़ें हैं। ये मूल या तो वास्तविक भिन्न, या वास्तविक और समान, या जटिल संयुग्म हो सकते हैं।

आइए हम इनमें से प्रत्येक मामले में आंशिक समाधान की मूलभूत प्रणाली के रूप पर विचार करें।

1. अभिलक्षणिक समीकरण के मूल वास्तविक और भिन्न हैं: . इस मामले में, सूत्र (60) के अनुसार, हमें दो विशेष समाधान मिलते हैं:

ये दो विशेष समाधान संपूर्ण संख्या अक्ष पर समाधान की एक मूलभूत प्रणाली बनाते हैं, क्योंकि Wronsky निर्धारक कभी गायब नहीं होता है:

फलस्वरूप, सामान्य निर्णयसूत्र के अनुसार समीकरण (48) का रूप है

2. अभिलक्षणिक समीकरण के मूल बराबर होते हैं: . इस मामले में दोनों जड़ें असली होंगी। सूत्र (60) से हमें केवल एक विशेष हल प्राप्त होता है

आइए हम दिखाते हैं कि दूसरा विशेष समाधान, जो पहले वाले के साथ मिलकर एक मौलिक प्रणाली बनाता है, का रूप है

सबसे पहले, हम जाँचते हैं कि फलन समीकरण (59) का एक हल है। सचमुच,

परंतु, चूँकि अभिलक्षणिक समीकरण (61) का मूल है। इसके अलावा, Vieta प्रमेय के अनुसार, इसलिए . इसलिए, अर्थात् फलन वास्तव में समीकरण (59) का एक हल है।

आइए अब हम दिखाते हैं कि पाए गए विशेष समाधान समाधान की एक मौलिक प्रणाली बनाते हैं। सचमुच,

इस प्रकार, इस मामले में सजातीय रैखिक समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है

3. अभिलक्षणिक समीकरण के मूल जटिल होते हैं। जैसा कि ज्ञात है, वास्तविक गुणांक वाले द्विघात समीकरण की जटिल जड़ें संयुग्मित होती हैं जटिल आंकड़े, यानी फॉर्म है:। इस मामले में, सूत्र (60) के अनुसार समीकरण (59) के विशेष समाधान का रूप होगा:

यूलर सूत्रों का उपयोग करते हुए (देखें अध्याय XI, 5 पृष्ठ 3), के लिए व्यंजक इस रूप में लिखे जा सकते हैं:

ये समाधान जटिल हैं। वास्तविक समाधान प्राप्त करने के लिए, नए कार्यों पर विचार करें

वे समाधान के रैखिक संयोजन हैं और इसलिए, स्वयं समीकरण (59) के समाधान हैं (देखें 3, आइटम 2, प्रमेय 1)।

यह दिखाना आसान है कि इन समाधानों के लिए व्रोन्स्की निर्धारक शून्य से अलग है और इसलिए, समाधान समाधान की एक मौलिक प्रणाली बनाते हैं।

इस प्रकार, अभिलाक्षणिक समीकरण की जटिल जड़ों के मामले में एक सजातीय रैखिक अंतर समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है

अंत में, हम समीकरण (59) के सामान्य समाधान के लिए सूत्रों की एक तालिका देते हैं जो कि विशेषता समीकरण की जड़ों के रूप पर निर्भर करता है।

यह लेख निरंतर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों को हल करने के प्रश्न को प्रकट करता है। दी गई समस्याओं के उदाहरणों के साथ सिद्धांत पर विचार किया जाएगा। अतुलनीय शब्दों को समझने के लिए, अंतर समीकरणों के सिद्धांत की मूल परिभाषाओं और अवधारणाओं के विषय को संदर्भित करना आवश्यक है।

y "" + p y " + q y = f (x) के रूप के निरंतर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के एक रैखिक अंतर समीकरण (एलडीई) पर विचार करें, जहां पी और क्यू मनमानी संख्याएं हैं, और मौजूदा फ़ंक्शन f (x) निरंतर है एकीकरण अंतराल x पर।

आइए हम LIDE के लिए सामान्य समाधान प्रमेय के सूत्रीकरण पर आगे बढ़ें।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

एलडीएनयू के लिए सामान्य समाधान प्रमेय

y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + के रूप के एक अमानवीय अंतर समीकरण के अंतराल x पर स्थित सामान्य समाधान। . . + f 0 (x) y = f (x) x अंतराल f 0 (x) , f 1 (x) , पर निरंतर एकीकरण गुणांक के साथ। . . , f n - 1 (x) और एक सतत फलन f (x) सामान्य हल y 0 के योग के बराबर है, जो LODE के संगत है, और कुछ विशेष हल y ~ है, जहां मूल अमानवीय समीकरण y = y 0 है। + वाई ~।

इससे पता चलता है कि ऐसे दूसरे क्रम के समीकरण के हल का रूप y = y 0 + y ~ होता है। y 0 खोजने के लिए एल्गोरिथ्म पर लेख में निरंतर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरणों पर विचार किया गया है। उसके बाद, किसी को y ~ की परिभाषा के लिए आगे बढ़ना चाहिए।

LIDE के लिए किसी विशेष समाधान का चुनाव समीकरण के दाईं ओर स्थित उपलब्ध फ़ंक्शन f (x) के प्रकार पर निर्भर करता है। इसके लिए, निरंतर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों के समाधानों पर अलग से विचार करना आवश्यक है।

जब f (x) को nवीं डिग्री f (x) = P n (x) का बहुपद माना जाता है, तो यह इस प्रकार है कि LIDE का एक विशेष समाधान y ~ = Q n (x) के रूप के सूत्र द्वारा पाया जाता है। ) x , जहाँ Q n ( x) घात n का बहुपद है, r अभिलक्षणिक समीकरण के शून्य मूलों की संख्या है। y ~ का मान एक विशेष हल y ~ "" + p y ~ "+ q y ~ = f (x) है, तो उपलब्ध गुणांक, जो बहुपद द्वारा परिभाषित होते हैं
Q n (x), हम समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) से अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करते हुए पाते हैं।

उदाहरण 1

कॉची प्रमेय y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 का उपयोग करके गणना करें।

समाधान

दूसरे शब्दों में, निरंतर गुणांक y "" - 2 y " = x 2 + 1 के साथ दूसरे क्रम के एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण के एक विशेष समाधान को पारित करना आवश्यक है, जो दी गई शर्तों को पूरा करेगा y (0) = 2 , y" (0) = 1 4 .

रैखिक का सामान्य समाधान अमानवीय समीकरणसामान्य समाधान का योग है जो समीकरण y 0 या अमानवीय समीकरण y ~ के एक विशेष समाधान से मेल खाता है, यानी y = y 0 + y ~।

सबसे पहले, आइए एलएनडीई के लिए एक सामान्य समाधान खोजें, और फिर एक विशेष समाधान खोजें।

आइए y 0 खोजने के लिए आगे बढ़ते हैं। विशेषता समीकरण लिखने से जड़ों को खोजने में मदद मिलेगी। हमें वह मिलता है

के 2 - 2 के \u003d 0 के (के - 2) \u003d 0 के 1 \u003d 0, के 2 \u003d 2

हमने पाया कि जड़ें अलग और वास्तविक हैं। इसलिए हम लिखते हैं

वाई 0 \u003d सी 1 ई 0 एक्स + सी 2 ई 2 एक्स \u003d सी 1 + सी 2 ई 2 एक्स।

आइए y ~ ज्ञात करें। यह देखा जा सकता है कि दाईं ओर दिया गया समीकरणदूसरी डिग्री बहुपद है, तो जड़ों में से एक शून्य के बराबर है। यहाँ से हम पाते हैं कि y ~ के लिए एक विशेष हल होगा

वाई ~ = क्यू 2 (एक्स) एक्स \u003d (ए एक्स 2 + बी एक्स + सी) एक्स \u003d ए एक्स 3 + बी एक्स 2 + सी एक्स, जहां ए, बी, सी के मान अपरिभाषित गुणांक लें।

आइए उन्हें y ~ "" - 2 y ~ "= x 2 + 1 के रूप की समानता से खोजें।

तब हमें वह मिलता है:

वाई ~ "" - 2 वाई ~ "= एक्स 2 + 1 (ए एक्स 3 + बी एक्स 2 + सी एक्स) "" - 2 (ए एक्स 3 + बी एक्स 2 + सी एक्स) "= एक्स 2 + 1 3 ए एक्स 2 + 2 बी एक्स + सी " - 6 ए एक्स 2 - 4 बी एक्स - 2 सी = एक्स 2 + 1 6 ए एक्स + 2 बी - 6 ए एक्स 2 - 4 बी एक्स - 2 सी = एक्स 2 + 1 - 6 ए एक्स 2 + एक्स (6 ए - 4 बी) + 2 बी - 2 सी = एक्स 2 + 1

गुणांकों को समान घातांक x से समीकरण करते हुए, हमें रैखिक व्यंजकों की एक प्रणाली मिलती है - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1। किसी भी तरह से हल करते समय, हम गुणांक ढूंढते हैं और लिखते हैं: ए \u003d - 1 6, बी \u003d - 1 4, सी \u003d - 3 4 और y ~ \u003d ए एक्स 3 + बी एक्स 2 + सी एक्स \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x ।

इस प्रविष्टि को स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के मूल रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान कहा जाता है।

एक विशेष समाधान खोजने के लिए जो y (0) = 2, y "(0) = 1 4 शर्तों को पूरा करता है, मानों को निर्धारित करना आवश्यक है सी 1तथा सी2, फॉर्म की समानता के आधार पर y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x।

हमें वह मिलता है:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

हम फॉर्म सी 1 + सी 2 = 2 2 सी 2 - 3 4 = 1 4 के समीकरणों की परिणामी प्रणाली के साथ काम करते हैं, जहां सी 1 = 3 2, सी 2 = 1 2।

कॉची प्रमेय को लागू करने पर, हमारे पास वह है

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

उत्तर: 3 2 + 1 2 ई 2 एक्स - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x।

जब फलन f (x) को घात n और एक घातांक f (x) = P n (x) e a x वाले बहुपद के गुणनफल के रूप में दर्शाया जाता है, तो यहाँ से हम प्राप्त करते हैं कि द्वितीय कोटि LIDE का एक विशेष हल होगा y ~ = e a x Q n ( x) · x के रूप का एक समीकरण, जहां Q n (x) nवीं डिग्री का एक बहुपद है, और r α के बराबर अभिलक्षणिक समीकरण के मूलों की संख्या है।

Q n (x) से संबंधित गुणांक समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) द्वारा पाए जाते हैं।

उदाहरण 2

y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x के रूप के अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

समाधान

समीकरण सामान्य दृष्टि सेवाई = वाई 0 + वाई ~। संकेतित समीकरण LOD y "" - 2 y " = 0 से मेल खाता है। पिछले उदाहरण से पता चलता है कि इसकी जड़ें हैं के1 = 0और k 2 = 2 और y 0 = C 1 + C 2 e 2 x अभिलक्षणिक समीकरण के अनुसार।

यह स्पष्ट है कि दाईं ओरसमीकरण का x 2 + 1 · e x है। यहाँ से, LNDE y ~ = e a x Q n (x) x के माध्यम से पाया जाता है, जहाँ Q n (x) , जो दूसरी डिग्री का बहुपद है, जहाँ α = 1 और r = 0, क्योंकि अभिलक्षणिक समीकरण नहीं है 1 के बराबर एक जड़ है। इसलिए हम पाते हैं कि

वाई ~ = ई ए एक्स क्यू एन (एक्स) एक्स γ = ई एक्स ए एक्स 2 + बी एक्स + सी एक्स 0 = ई एक्स ए एक्स 2 + बी एक्स + सी।

ए, बी, सी अज्ञात गुणांक हैं, जिन्हें समानता y ~ "" - 2 y ~ "= (x 2 + 1) · e x द्वारा पाया जा सकता है।

मिला क्या

वाई ~ "= ई एक्स ए एक्स 2 + बी एक्स + सी" = ई एक्स ए एक्स 2 + बी एक्स + सी + ई एक्स 2 ए एक्स + बी == ई एक्स ए एक्स 2 + एक्स 2 ए + बी + बी + सी वाई ~ " "= ई एक्स ए एक्स 2 + एक्स 2 ए + बी + बी + सी" = ई एक्स ए एक्स 2 + एक्स 2 ए + बी + बी + सी + ई एक्स 2 ए एक्स + 2 ए + बी = = ई एक्स ए एक्स 2 + एक्स 4 ए + बी + 2 ए + 2 बी + सी

y ~ "" - 2 y ~ "= (x 2 + 1) e x e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + बी + सी = एक्स 2 + 1 ई एक्स ⇔ ई एक्स - ए एक्स 2 - बी एक्स + 2 ए - सी = (एक्स 2 + 1) ई एक्स ⇔ - ए एक्स 2 - बी एक्स + 2 ए - सी = एक्स 2 + 1 ⇔ - ए एक्स 2 - बी एक्स + 2 ए - सी = 1 एक्स 2 + 0 एक्स + 1

हम समान गुणांकों के लिए संकेतकों को समान करते हैं और रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं। यहाँ से हम A, B, C पाते हैं:

ए = 1 - बी = 0 2 ए - सी = 1 ⇔ ए = - 1 बी = 0 सी = - 3

उत्तर:यह देखा जा सकता है कि y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 LIDE का एक विशेष हल है, और y = y 0 + y = सी 1 ई 2 एक्स - ई एक्स · एक्स 2 + 3

जब फलन f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x के रूप में लिखा जाता है, और ए 1तथा पहले मेंसंख्याएँ हैं, तो y ~ = A cos β x + B sin β x x के रूप का एक समीकरण, जहाँ A और B को अनिश्चित गुणांक माना जाता है, और r विशेषता समीकरण से संबंधित जटिल संयुग्मी जड़ों की संख्या के बराबर है ± मैं β। इस मामले में, गुणांक की खोज समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) द्वारा की जाती है।

उदाहरण 3

y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) के रूप के अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

समाधान

अभिलक्षणिक समीकरण लिखने से पहले, हम y 0 पाते हैं। फिर

के 2 + 4 \u003d 0 के 2 \u003d - 4 के 1 \u003d 2 आई, के 2 \u003d - 2 मैं

हमारे पास जटिल संयुग्म जड़ों की एक जोड़ी है। आइए रूपांतरित करें और प्राप्त करें:

वाई 0 \u003d ई 0 (सी 1 कॉस (2 एक्स) + सी 2 पाप (2 एक्स)) \u003d सी 1 कॉस 2 एक्स + सी 2 पाप (2 एक्स)

अभिलक्षणिक समीकरण के मूलों को एक संयुग्मी युग्म ± 2 i माना जाता है, फिर f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) । इससे पता चलता है कि y ~ की खोज y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x से की जाएगी। अज्ञात गुणांक ए और बी को y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) के रूप की समानता से खोजा जाएगा।

आइए रूपांतरित करें:

y ~ "= ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x)" = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + बी पाप (2 एक्स) वाई ~ "" = ((- 2 ए पाप (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 एक्स)) एक्स + ए कॉस (2 एक्स) + बी पाप (2 एक्स)) "= = (- 4 ए कॉस (2 एक्स) - 4 बी पाप (2 एक्स)) एक्स - 2 ए पाप (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 एक्स) - - 2 ए पाप (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

तब देखा जाता है कि

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (-4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x -4 एक पाप (2 x) + 4 B cos (2 x) + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

ज्या और कोज्या के गुणांकों की बराबरी करना आवश्यक है। हमें फॉर्म की एक प्रणाली मिलती है:

4 ए = 3 4 बी = 1 ⇔ ए = - 3 4 बी = 1 4

यह इस प्रकार है कि y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x।

उत्तर:स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के मूल LIDE का सामान्य हल माना जाता है

y = y 0 + y ~ = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

जब f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , तब y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x) ) cos (β x) x γ हमारे पास यह है कि r अभिलक्षणिक समीकरण से संबंधित जड़ों के सम्मिश्र संयुग्मी युग्मों की संख्या है, जो α ± i β के बराबर है, जहां P n (x) , Q k (x) , L m ( एक्स) और एन एम (एक्स)घात n, k, m के बहुपद हैं, जहाँ एम = एम एक्स (एन, के). गुणांक ढूँढना एल एम (एक्स)तथा एन एम (एक्स)समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) के आधार पर उत्पादित किया जाता है।

उदाहरण 4

सामान्य हल y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ज्ञात कीजिए।

समाधान

इस शर्त से स्पष्ट है कि

α = 3, β = 5, पी एन (एक्स) = - 38 x - 45, क्यू के (एक्स) = - 8 एक्स + 5, एन = 1, के = 1

तब m = m a x (n , k) = 1 । हम पाते हैं y 0 , पहले लिखा हुआ है विशेषता समीकरणप्रकार:

के 2 - 3 के + 2 = 0 डी = 3 2 - 4 1 2 = 1 के 1 = 3 - 1 2 = 1, के 2 = 3 + 1 2 = 2

हमने पाया कि जड़ें वास्तविक और विशिष्ट हैं। अत: y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x। इसके बाद, फॉर्म के एक अमानवीय समीकरण y ~ के आधार पर एक सामान्य समाधान की तलाश करना आवश्यक है

वाई ~ = ई α एक्स (एल एम (एक्स) पाप (β एक्स) + एन एम (एक्स) cos (β एक्स) एक्स γ = = ई 3 एक्स ((ए एक्स + बी) कॉस (5 एक्स) + (सी x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

यह ज्ञात है कि ए, बी, सी गुणांक हैं, आर = 0, क्योंकि α ± i β = 3 ± 5 · i के साथ विशेषता समीकरण से संबंधित संयुग्म जड़ों की कोई जोड़ी नहीं है। ये गुणांक परिणामी समानता से पाए जाते हैं:

y ~ "" - 3 y ~ "+ 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( ए एक्स + बी) कॉस (5 एक्स) + (सी एक्स + डी) पाप (5 एक्स))) "" - - 3 (ई 3 एक्स ((ए एक्स + बी) कॉस (5 एक्स) + (सी एक्स + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

व्युत्पन्न और समान पदों को ढूँढना देता है

ई 3 एक्स ((15 ए + 23 सी) एक्स पाप (5 एक्स) + + (10 ए + 15 बी - 3 सी + 23 डी) पाप (5 एक्स) + + (23 ए - 15 सी) एक्स कॉस (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

गुणांकों की बराबरी करने के बाद, हम फॉर्म की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं

15 ए + 23 सी = 38 10 ए + 15 बी - 3 सी + 23 डी = 45 23 ए - 15 सी = 8 - 3 ए + 23 बी - 10 सी - 15 डी = - 5 ⇔ ए = 1 बी = 1 सी = 1 डी = 1

सब से यह इस प्रकार है

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x) +1)पाप(5x))

उत्तर:अब दिए गए रैखिक समीकरण का सामान्य हल प्राप्त हो गया है:

y = y 0 + y ~ = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

एलडीएनयू को हल करने के लिए एल्गोरिदम

समाधान के लिए किसी अन्य प्रकार का फ़ंक्शन f (x) समाधान एल्गोरिदम प्रदान करता है:

• संगत रैखिक समांगी समीकरण का सामान्य हल ज्ञात करना, जहाँ y 0 = C 1 y 1 + C 2 y 2 , जहाँ वाई 1तथा y2 LODE के रैखिक रूप से स्वतंत्र विशेष समाधान हैं, 1 सेतथा 2 . सेमनमाना स्थिरांक माने जाते हैं;
• LIDE y = C 1 (x) y 1 + C 2 (x) y 2 के सामान्य समाधान के रूप में स्वीकृति;
• C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x) की प्रणाली के माध्यम से किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , और फलन ज्ञात करना सी 1 (एक्स)और सी 2 (एक्स) एकीकरण के माध्यम से।

उदाहरण 5

y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

समाधान

हम पहले y 0 , y "" + 36 y = 0 लिख कर अभिलक्षणिक समीकरण लिखने के लिए आगे बढ़ते हैं। आइए लिखें और हल करें:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i, k 2 = - 6 i y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) y 1 (x) = cos (6 x), वाई 2 (एक्स) = पाप (6 एक्स)

हमारे पास यह है कि दिए गए समीकरण के सामान्य समाधान का रिकॉर्ड y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) का रूप लेगा। व्युत्पन्न कार्यों की परिभाषा को पारित करना आवश्यक है सी 1 (एक्स)तथा सी 2 (एक्स)समीकरणों के साथ प्रणाली के अनुसार:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (पाप (6 x) x)) "= 0 C 1" (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (- 6 sin (6 x) + C 2" (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

के संबंध में निर्णय लेने की आवश्यकता है सी 1 "(एक्स)तथा सी2" (एक्स)किसी भी विधि का उपयोग करना। तब हम लिखते हैं:

सी 1 "(एक्स) \u003d - 4 पाप 2 (6 एक्स) + 2 पाप (6 एक्स) कॉस (6 एक्स) - 6 ई 6 एक्स पाप (6 एक्स) सी 2 "(एक्स) \u003d 4 पाप (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

प्रत्येक समीकरण को एकीकृत किया जाना चाहिए। फिर हम परिणामी समीकरण लिखते हैं:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 ई 6 एक्स पाप (6 एक्स) + सी 4

यह इस प्रकार है कि सामान्य समाधान का रूप होगा:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 एक्स) + सी 4 पाप (6 एक्स)

उत्तर: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

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दूसरा क्रम अंतर समीकरण

§एक। समीकरण के क्रम को कम करने के तरीके।

दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का रूप है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( या डिफरेंशियल" href="/text/category/differential/" rel="bookmark">दूसरा ऑर्डर डिफरेंशियल इक्वेशन)। दूसरे ऑर्डर डिफरेंशियल इक्वेशन के लिए कॉची प्रॉब्लम (1..gif" width="85" height= "25 src= ">.gif" चौड़ाई = "85" ऊँचाई = "25 src=">.gif" ऊँचाई = "25 src=">।

दूसरे क्रम के अंतर समीकरण को इस तरह दिखने दें: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" चौड़ाई="265" ऊंचाई="28 src=">.

इस प्रकार, दूसरा क्रम समीकरण https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. इसे हल करते हुए, हम दो मनमानी स्थिरांक के आधार पर मूल अंतर समीकरण का सामान्य अभिन्न प्राप्त करते हैं: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">. gif" चौड़ाई="76" ऊंचाई="25 src=">.

समाधान।

चूंकि मूल समीकरण में कोई स्पष्ट तर्क नहीं है https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" चौड़ाई = "35" ऊंचाई = "25 src=">.gif" चौड़ाई = "82" ऊंचाई = "38 src="> ..gif" चौड़ाई = "99" ऊंचाई = "38 स्रोत = ">।

चूंकि https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= "> .gif" चौड़ाई = "34" ऊँचाई = "25 src=">.gif" चौड़ाई = "68" ऊँचाई = "35 src=">..gif" ऊँचाई = "25 src=">।

दूसरे क्रम के अंतर समीकरण को इस तरह दिखने दें: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src =">..gif" चौड़ाई="150" ऊंचाई="25 src=">.

उदाहरण 2समीकरण का सामान्य हल खोजें: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height ="25 src=">..gif" चौड़ाई = "100" ऊंचाई = "27 src=">.gif" चौड़ाई = "130" ऊंचाई = "37 src=">.gif" चौड़ाई = "34" ऊंचाई = "25 src =">.gif" width="183" height="36 src=">.

3. डिग्री का क्रम कम हो जाता है यदि इसे इस तरह से बदलना संभव हो कि समीकरण के दोनों भाग https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif के अनुसार कुल व्युत्पन्न बन जाएं। "चौड़ाई="92" ऊंचाई = "25 src=">..gif" चौड़ाई = "98" ऊंचाई = "48 src=">.gif" चौड़ाई = "138" ऊंचाई = "25 src=">.gif" चौड़ाई = "282" ऊंचाई = "25 स्रोत =">, (2.1)

जहां https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> - पूर्वनिर्धारित कार्य, उस अंतराल पर निरंतर, जिस पर समाधान मांगा गया है। मान लें कि a0(x) 0, (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2) से विभाजित करें

बिना प्रमाण के मान लें कि (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height="" 25 src=">, तब समीकरण (2.2) को समांगी कहा जाता है, और समीकरण (2.2) को अन्यथा अमानवीय कहा जाता है।

आइए हम दूसरे क्रम के लोडू के समाधान के गुणों पर विचार करें।

परिभाषा।कार्यों का रैखिक संयोजन https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" चौड़ाई = "195" ऊंचाई =" 25 src =">, (2.3)

फिर उनके रैखिक संयोजन https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> in (2.3) और दिखाएं कि परिणाम एक पहचान है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.

चूंकि फ़ंक्शन https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> समीकरण (2.3) के समाधान हैं, तो प्रत्येक कोष्ठक में अंतिम समीकरण समान रूप से शून्य के बराबर है, जिसे सिद्ध किया जाना था।

परिणाम 1.यह https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> पर सिद्ध प्रमेय का अनुसरण करता है - समीकरण का समाधान (2..gif "चौड़ाई=" 97" ऊंचाई = "25 src=">.gif" चौड़ाई = "165" ऊंचाई = "25 src="> को कुछ अंतराल पर रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि इनमें से कोई भी फ़ंक्शन सभी के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित नहीं होता है अन्य लोग।

दो कार्यों के मामले में https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, यानी..gif" width="77" height= "47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. इस प्रकार, दो रैखिक रूप से स्वतंत्र कार्यों के लिए Wronsky निर्धारक समान रूप से शून्य के बराबर नहीं हो सकता है।

चलो https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" चौड़ाई="605" ऊंचाई = "50">..gif" चौड़ाई = "18" ऊंचाई = "25 src="> समीकरण को संतुष्ट करें (2..gif" चौड़ाई = "42" ऊंचाई = "25 src = "> - समीकरण का समाधान (3.1)..gif" चौड़ाई = "87" ऊंचाई = "28 src=">..gif" चौड़ाई = "182" ऊंचाई = "34 src=">..gif" चौड़ाई = "162" ऊंचाई ="42 src=">.gif" चौड़ाई = "51" ऊंचाई = "25 src="> समान है। इस प्रकार,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, जिसमें समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान के लिए निर्धारक (2..gif "चौड़ाई= "42" ऊंचाई = "25 src=">.gif" ऊंचाई = "25 src="> सूत्र (3.2) के दाईं ओर दोनों कारक गैर-शून्य हैं।

§चार। दूसरे क्रम के सामान्य समाधान की संरचना दर्ज की गई।

प्रमेय।अगर https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं (2..gif" width=" 19" ऊंचाई = "25 src=">.gif" चौड़ाई = "129" ऊंचाई = "25 src="> समीकरण (2.3) का एक समाधान है, द्वितीय क्रम के गुणों पर प्रमेय से अनुसरण करता है। "चौड़ाई="85"ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="19" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="220" ऊंचाई="47">

स्थिरांक https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> रैखिक बीजीय समीकरणों की इस प्रणाली से विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं, क्योंकि निर्धारक यह सिस्टम है https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" चौड़ाई = "69" ऊँचाई = "25 src =">। gif" चौड़ाई = "235" ऊँचाई = "48 src = ">..gif" चौड़ाई = "143" ऊँचाई = "25 src ="> (5) ..gif" width="77" height="25 src=">. पिछले पैराग्राफ के अनुसार, यदि इस समीकरण के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान ज्ञात हैं, तो दूसरे क्रम के लोडू का सामान्य समाधान आसानी से निर्धारित किया जाता है। एक सरल विधि L. Euler..gif" width="25" height="26 src="> द्वारा प्रस्तावित स्थिर गुणांक वाले समीकरण का आंशिक हल खोजने के लिए, हम प्राप्त करते हैं बीजीय समीकरण, जिसे विशेषता कहा जाता है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> केवल k के उन मानों के लिए समीकरण (5.1) का समाधान होगा यह विशेषता समीकरण (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= की जड़ें हैं। "205" ऊंचाई = "47 src ="> और सामान्य समाधान (5..gif" चौड़ाई = "45" ऊंचाई = "25 src=">..gif" चौड़ाई = "74" ऊंचाई = "26 src=" >..gif" width="83" height="26 src=">. जाँच करें कि यह फ़ंक्शन समीकरण (5.1)..gif" width="190" height="26 src="> को संतुष्ट करता है। इन व्यंजकों को इसमें प्रतिस्थापित करना समीकरण (5.1), हम प्राप्त करते हैं

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, क्योंकि.gif" width="137" height="26 src=" >.

निजी समाधान https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, क्योंकि.gif" width="166" height= "26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" ऊंचाई =" 25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

इस समानता के बाईं ओर के दोनों कोष्ठक समान रूप से शून्य के बराबर हैं..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> है समीकरण का हल (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> इस तरह दिखेगा:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

सामान्य समाधान के योग के रूप में दर्शाया गया है https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

और कोई विशेष समाधान https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> समीकरण का समाधान होगा (6.1)..gif" चौड़ाई = "272" ऊंचाई = "25 स्रोत = "> एफ (एक्स)। यह समानता एक पहचान है क्योंकि..gif" width="128" height="25 src="> f(x). इसलिए.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width= "138" ऊंचाई = "25 src=">.gif" चौड़ाई = "18" ऊंचाई = "25 src="> इस समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं। इस तरह:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" चौड़ाई = "51" ऊंचाई = "25 src =">, और ऐसा निर्धारक, जैसा कि हमने ऊपर देखा, शून्य से अलग है..gif" चौड़ाई = "19" ऊंचाई = "25 src="> प्रणाली से समीकरणों का (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> समीकरण का हल होगा

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> समीकरण (6.5) में, हम प्राप्त करते हैं

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (एक्स) (7.1)

जहां https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> समीकरण (7.1) के मामले में जब दाईं ओर f(x) है विशेष प्रकार. इस विधि को अनिश्चित गुणांक की विधि कहा जाता है और इसमें f(x) के दाईं ओर के रूप के आधार पर एक विशेष समाधान का चयन होता है। निम्नलिखित प्रपत्र के सही भागों पर विचार करें:

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> जीरो हो सकता है। आइए हम उस रूप को इंगित करें जिसमें इस मामले में विशेष समाधान लिया जाना चाहिए।

a) यदि संख्या https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height=" है तो 25 स्रोत = ">।

समाधान।

समीकरण के लिए https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" चौड़ाई = "101" ऊंचाई = "25 src=">.gif" चौड़ाई = "153" ऊंचाई = "25 src=">.gif" चौड़ाई = "383" ऊंचाई = "25 src= ">।

हम समानता के बाएँ और दाएँ भागों में https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> द्वारा दोनों भागों को छोटा करते हैं

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

परिणामी समीकरण प्रणाली से हम पाते हैं: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, और दिए गए का सामान्य समाधान समीकरण है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

जहां https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

समाधान।

संबंधित विशेषता समीकरण का रूप है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" चौड़ाई = "45" ऊंचाई = "25 src = ">। gif" चौड़ाई = "219" ऊंचाई = "25 src = ">..gif" चौड़ाई = "184" ऊंचाई = "35 src = ">। अंत में हमारे पास सामान्य समाधान के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> उत्कृष्ट शून्य से। आइए हम इस मामले में एक विशेष समाधान के रूप को इंगित करें।

a) यदि संख्या https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src="> है,

जहां https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> समीकरण (5..gif" चौड़ाई) के लिए विशेषता समीकरण की जड़ है ="229 "ऊंचाई ="25 src=">,

जहां https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

समाधान।

समीकरण के लिए विशेषता समीकरण की जड़ें https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" ऊंचाई = "25 स्रोत =">।

उदाहरण 3 में दिए गए समीकरण के दाईं ओर एक विशेष रूप है: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif "चौड़ाई="55" ऊंचाई="25 src=">.gif" चौड़ाई="229" ऊंचाई="25 src=">.

परिभाषित करने के लिए https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > और दिए गए समीकरण में स्थानापन्न करें:

समान पदों को लाना, गुणांकों को https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height= पर बराबर करना "25 स्रोत =">।

दिए गए समीकरण का अंतिम सामान्य समाधान है: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 "ऊंचाई ="25 src=">.gif" चौड़ाई = "10" ऊंचाई = "25 src="> क्रमशः, और इनमें से एक बहुपद शून्य के बराबर हो सकता है। आइए हम इस सामान्य में एक विशेष समाधान के रूप को इंगित करें मामला।

a) यदि संख्या https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51"> है, (7.2)

जहां https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

बी) यदि संख्या https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src="> है, तो एक विशेष समाधान इस तरह दिखेगा:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. अभिव्यक्ति में (7..gif" width="121" height= "25 स्रोत=">.

उदाहरण 4समीकरण के लिए विशेष समाधान के प्रकार को इंगित करें

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . लॉड के सामान्य समाधान का रूप है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" चौड़ाई = "36" ऊँचाई = "25 src =">। gif" चौड़ाई = "351" ऊँचाई = "25 src =">।

आगे के गुणांक https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > दाहिनी ओर f1(x), और वेरिएशन" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">मनमानी स्थिरांक की विविधताएं (लैग्रेंज विधि) के साथ समीकरण के लिए एक विशेष समाधान है।

एक रेखा के लिए एक विशेष समाधान की प्रत्यक्ष खोज, निरंतर गुणांक वाले समीकरण के मामले को छोड़कर, और इसके अलावा विशेष स्थिर शर्तों के साथ, बड़ी मुश्किलें प्रस्तुत करता है। इसलिए, एक लिंडू के लिए एक सामान्य समाधान खोजने के लिए, आम तौर पर मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग किया जाता है, जो हमेशा चौगुनी में एक लिंडू के लिए एक सामान्य समाधान खोजना संभव बनाता है यदि संबंधित सजातीय समीकरण के समाधान की मौलिक प्रणाली ज्ञात हो . यह विधि इस प्रकार है।

उपरोक्त के अनुसार, रैखिक सजातीय समीकरण का सामान्य हल है:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> - स्थिर नहीं, लेकिन कुछ, फिर भी अज्ञात, f(x) के कार्य। . अंतराल से लिया जाना चाहिए। वास्तव में, इस मामले में, Wronsky निर्धारक अंतराल के सभी बिंदुओं पर शून्य से भिन्न होता है, अर्थात, पूरे अंतरिक्ष में, यह विशेषता समीकरण की जटिल जड़ है..gif" चौड़ाई = "20" ऊंचाई = "25 src="> फॉर्म के रैखिक रूप से स्वतंत्र विशेष समाधान:

सामान्य समाधान सूत्र में, यह मूल प्रपत्र के व्यंजक से मेल खाता है।

स्थिर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरणएक सामान्य समाधान है
, कहाँ पे तथा इस समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र विशेष समाधान।

निरंतर गुणांक वाले दूसरे क्रम के सजातीय अंतर समीकरण के समाधान का सामान्य रूप
, अभिलक्षणिक समीकरण की जड़ों पर निर्भर करता है
.

उदाहरण

स्थिर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरणों का सामान्य समाधान खोजें:

1)

समाधान:
.

इसे हल करने के बाद, हम जड़ें खोज लेंगे
,
वैध और अलग। इसलिए, सामान्य समाधान है:
.

2)

समाधान: आइए विशेषता समीकरण बनाते हैं:
.

इसे हल करने के बाद, हम जड़ें खोज लेंगे

वैध और समान। इसलिए, सामान्य समाधान है:
.

3)

समाधान: आइए विशेषता समीकरण बनाते हैं:
.

इसे हल करने के बाद, हम जड़ें खोज लेंगे
जटिल। इसलिए, सामान्य समाधान है:

निरंतर गुणांक के साथ रैखिक अमानवीय द्वितीय-क्रम अंतर समीकरणरूप है

कहाँ पे
. (1)

एक रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है
, कहाँ पे
इस समीकरण का एक विशेष समाधान है, इसी समरूप समीकरण का एक सामान्य समाधान है, अर्थात। समीकरण

निजी निर्णय का प्रकार
अमानवीय समीकरण (1) दाईं ओर के आधार पर
:

एक रैखिक गैर-सजातीय अंतर समीकरण के विभिन्न प्रकार के दाहिने हाथ पर विचार करें:

1.
, घात का बहुपद कहाँ है . फिर एक खास उपाय
फॉर्म में खोजा जा सकता है
, कहाँ पे

, एक विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या शून्य के बराबर है।

उदाहरण

एक सामान्य समाधान खोजें
.

समाधान:

.

बी) चूंकि समीकरण का दाहिना पक्ष पहली डिग्री का बहुपद है और विशेषता समीकरण की जड़ों में से कोई भी नहीं है
शून्य के बराबर नहीं (
), फिर हम उस रूप में एक विशेष समाधान की तलाश करते हैं जहां तथा अज्ञात गुणांक हैं। दो बार अंतर करना
और प्रतिस्थापन
,
तथा
मूल समीकरण में, हम पाते हैं।

समान घातों पर गुणांकों की बराबरी करना समीकरण के दोनों ओर
,
, हम देखतें है
,
. तो, इस समीकरण के एक विशेष समाधान का रूप है
, और इसका सामान्य समाधान।

2. दायीं ओर दिखने दें
, घात का बहुपद कहाँ है . फिर एक खास उपाय
फॉर्म में खोजा जा सकता है
, कहाँ पे
के समान घात का बहुपद है
, एक - एक संख्या जो दर्शाती है कि कितनी बार अभिलक्षणिक समीकरण का मूल है।

उदाहरण

एक सामान्य समाधान खोजें
.

समाधान:

ए) संबंधित समरूप समीकरण का सामान्य समाधान खोजें
. ऐसा करने के लिए, हम विशेषता समीकरण लिखते हैं
. आइए अंतिम समीकरण के मूल ज्ञात करें
. इसलिए, सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है
.

विशेषता समीकरण

, कहाँ पे अज्ञात गुणांक है। दो बार अंतर करना
और प्रतिस्थापन
,
तथा
मूल समीकरण में, हम पाते हैं। कहाँ पे
, वह है
या
.

तो, इस समीकरण के एक विशेष समाधान का रूप है
, और इसका सामान्य समाधान
.

3. दायीं ओर दिखने दें, जहां
तथा - दिए गए नंबर। फिर एक खास उपाय
फॉर्म में खोजा जा सकता है जहां तथा अज्ञात गुणांक हैं, और एक संख्या है जो से मेल खाने वाले अभिलक्षणिक समीकरण के मूलों की संख्या के बराबर है
. यदि किसी फंक्शन एक्सप्रेशन में
कार्यों में से कम से कम एक शामिल है
या
, में फिर
हमेशा दर्ज किया जाना चाहिए दोनोंकार्य।

उदाहरण

एक सामान्य समाधान खोजें।

समाधान:

ए) संबंधित समरूप समीकरण का सामान्य समाधान खोजें
. ऐसा करने के लिए, हम विशेषता समीकरण लिखते हैं
. आइए अंतिम समीकरण के मूल ज्ञात करें
. इसलिए, सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है
.

B) चूँकि समीकरण का दायाँ पक्ष एक फलन है
, तो इस समीकरण की नियंत्रण संख्या, यह जड़ों के साथ मेल नहीं खाती
विशेषता समीकरण
. फिर हम फॉर्म में एक विशेष समाधान की तलाश करते हैं

कहाँ पे तथा अज्ञात गुणांक हैं। दो बार अवकलन करने पर हमें प्राप्त होता है। स्थानापन्न
,
तथा
मूल समीकरण में, हम पाते हैं

.

समान पदों को एक साथ लाने पर, हम प्राप्त करते हैं

.

हम गुणांक को बराबर करते हैं
तथा
समीकरण के दाएँ और बाएँ पक्षों पर, क्रमशः। हमें सिस्टम मिलता है
. इसे हल करते हुए, हम पाते हैं
,
.

तो, मूल अंतर समीकरण के एक विशेष समाधान का रूप है।

मूल अंतर समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है।

दूसरे क्रम और उच्च क्रम के विभेदक समीकरण।
स्थिर गुणांक के साथ दूसरे क्रम का रैखिक DE।
समाधान उदाहरण।

हम दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों और उच्च-क्रम के अंतर समीकरणों पर विचार करते हैं। यदि आपके पास एक अस्पष्ट विचार है कि अंतर समीकरण क्या है (या समझ में नहीं आता कि यह क्या है), तो मैं पाठ से शुरू करने की सलाह देता हूं पहले क्रम के अंतर समीकरण। समाधान उदाहरण. समाधान के कई सिद्धांत और प्रथम-क्रम के विवर्तनिकों की मूल अवधारणाओं को स्वचालित रूप से बढ़ा दिया जाता है विभेदक समीकरणउच्च क्रम, तो पहले क्रम के समीकरणों को समझना बहुत महत्वपूर्ण है.

कई पाठकों के मन में यह पूर्वाग्रह हो सकता है कि दूसरे, तीसरे और अन्य आदेशों का DE बहुत कठिन और महारत हासिल करने के लिए दुर्गम है। यह सच नहीं है . डिफ्यूज़ को हल करना सीखें उच्च आदेश"साधारण" प्रथम क्रम DEs की तुलना में शायद ही अधिक जटिल है. और कुछ जगहों पर यह और भी आसान है, क्योंकि निर्णयों में स्कूली पाठ्यक्रम की सामग्री का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है।

सबसे लोकप्रिय दूसरा क्रम अंतर समीकरण. दूसरे क्रम के अंतर समीकरण में आवश्यक रूप सेदूसरा व्युत्पन्न शामिल है और शामिल नहीं

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कुछ बच्चे (और यहां तक ​​कि सभी एक बार में) समीकरण से गायब हो सकते हैं, यह महत्वपूर्ण है कि पिता घर पर थे। सबसे आदिम द्वितीय-क्रम अंतर समीकरण इस तरह दिखता है:

मेरे व्यक्तिपरक टिप्पणियों के अनुसार, व्यावहारिक कार्यों में तीसरे क्रम के अंतर समीकरण बहुत कम आम हैं राज्य ड्यूमाउन्हें लगभग 3-4% वोट मिलेंगे।

तीसरे क्रम के अंतर समीकरण में आवश्यक रूप सेतीसरा व्युत्पन्न शामिल है और शामिल नहींउच्च आदेश के डेरिवेटिव:

तीसरे क्रम का सबसे सरल अंतर समीकरण इस तरह दिखता है: - पिताजी घर पर हैं, सभी बच्चे टहलने के लिए बाहर हैं।

इसी तरह, चौथे, पांचवें और उच्च क्रम के अंतर समीकरणों को परिभाषित किया जा सकता है। पर व्यावहारिक कार्यइस तरह के रिमोट कंट्रोल बहुत कम फिसलते हैं, हालांकि, मैं प्रासंगिक उदाहरण देने की कोशिश करूंगा।

व्यावहारिक समस्याओं में प्रस्तावित उच्च क्रम के अंतर समीकरणों को दो मुख्य समूहों में विभाजित किया जा सकता है।

1) पहला समूह - तथाकथित निचले क्रम के समीकरण. में उड़ें!

2) दूसरा समूह - रेखीय समीकरणनिरंतर गुणांक के साथ उच्च आदेश. जिस पर हम अभी विचार करना शुरू करेंगे।

दूसरा क्रम रैखिक विभेदक समीकरण
निरंतर गुणांक के साथ

सिद्धांत और व्यवहार में, दो प्रकार के ऐसे समीकरण प्रतिष्ठित हैं - सजातीय समीकरण तथा अमानवीय समीकरण.

निरंतर गुणांक के साथ दूसरे क्रम का सजातीय DEनिम्नलिखित रूप है:
, जहां और स्थिरांक (संख्याएं) हैं, और दाईं ओर - सख्ती सेशून्य।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सजातीय समीकरणों के साथ कोई विशेष कठिनाइयां नहीं हैं, मुख्य बात यह है कि सही ढंग से निर्णय लें द्विघात समीकरण .

कभी-कभी गैर-मानक सजातीय समीकरण होते हैं, उदाहरण के लिए, फॉर्म में एक समीकरण , जहां दूसरे व्युत्पन्न पर कुछ स्थिर है, एकता से अलग (और, ज़ाहिर है, शून्य से अलग)। समाधान एल्गोरिथ्म बिल्कुल नहीं बदलता है, किसी को शांति से विशेषता समीकरण की रचना करनी चाहिए और इसकी जड़ों को खोजना चाहिए। यदि विशेषता समीकरण दो अलग-अलग वास्तविक जड़ें होंगी, उदाहरण के लिए: , तो सामान्य समाधान सामान्य तरीके से लिखा जा सकता है: .

कुछ मामलों में, स्थिति में एक टाइपो के कारण, "खराब" जड़ें निकल सकती हैं, कुछ इस तरह . क्या करें, जवाब कुछ इस तरह लिखना होगा:

"खराब" के साथ जटिल जड़ों को संयुग्मित करें जैसे कोई समस्या नहीं, सामान्य समाधान:

वह है, किसी भी मामले में एक सामान्य समाधान मौजूद है. क्योंकि किसी भी द्विघात समीकरण के दो मूल होते हैं।

अंतिम पैराग्राफ में, जैसा कि मैंने वादा किया था, हम संक्षेप में विचार करेंगे:

उच्च क्रम रैखिक सजातीय समीकरण

सब कुछ बहुत, बहुत समान है।

तीसरे क्रम के रैखिक सजातीय समीकरण के निम्नलिखित रूप हैं:
, जहां स्थिरांक हैं।
इस समीकरण के लिए, आपको एक अभिलक्षणिक समीकरण भी बनाना होगा और इसके मूल ज्ञात करने होंगे। जैसा कि कई लोगों ने अनुमान लगाया है, विशेषता समीकरण इस तरह दिखता है:
, और यह वैसे भीयह है ठीक तीनजड़।

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, सभी जड़ें वास्तविक और विशिष्ट हैं: , तो सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है:

यदि एक मूल वास्तविक है, और अन्य दो संयुग्मी सम्मिश्र हैं, तो हम सामान्य हल इस प्रकार लिखते हैं:

एक विशेष स्थिति तब होती है जब तीनों मूल गुणज (समान) हों। आइए एक अकेले पिता के साथ तीसरे क्रम के सबसे सरल सजातीय DE पर विचार करें: . अभिलक्षणिक समीकरण के तीन संपाती शून्य मूल हैं। हम सामान्य समाधान इस प्रकार लिखते हैं:

यदि विशेषता समीकरण उदाहरण के लिए, तीन बहुमूल हैं, तो सामान्य समाधान, क्रमशः, है:

उदाहरण 9

तीसरे क्रम के समांगी अवकल समीकरण को हल करें

समाधान:हम विशेषता समीकरण बनाते हैं और हल करते हैं:

, - एक वास्तविक जड़ तथा दो संयुग्मी सम्मिश्र जड़ें प्राप्त होती हैं।

उत्तर:सामान्य निर्णय

इसी तरह, हम स्थिर गुणांक वाले रैखिक सजातीय चौथे क्रम के समीकरण पर विचार कर सकते हैं: जहां स्थिरांक हैं।