अनुशासन में पाठ्यक्रम: विषय पर अर्थमिति: समय श्रृंखला। प्रवृत्तियों

प्रबंधन के मास्को संस्थान

विशेषता: वित्त और ऋण

विभाग: पत्राचार

समूह: RFK1

कोर्स वर्क

अनुशासन से: अर्थमिति

विषय पर: समय श्रृंखला। रुझान स्वसहसंबंध।

विद्यार्थी:

पर्यवेक्षक:

चेक किया गया:

मास्को 2005

परिचय. 3

एक विज्ञान के रूप में अर्थमिति के उद्भव का इतिहास .. 5

समय श्रृंखला। 7

सफेद शोर प्रक्रिया .. 12

चलती औसत प्रक्रिया .. 18

गैर-स्थिर समय श्रृंखला .. 20

रुझान और उसका विश्लेषण। 24

.. 25

समय श्रृंखला चौरसाई . 28

निष्कर्ष. 32

साहित्य.. 33

परिचय

अर्थमिति एक ऐसा विज्ञान है जिसमें वास्तविक सांख्यिकीय के आधार पर

डेटा, गणितीय मॉडल बनाए जाते हैं, उनका विश्लेषण किया जाता है और प्रदर्शन किया जाता है

वास्तविक आर्थिक घटनाएँ।

अर्थमिति के सबसे महत्वपूर्ण क्षेत्रों में से एक निर्माण है

विभिन्न आर्थिक संकेतकों के लिए पूर्वानुमान।

श्रृंखला के चक्रीय उतार-चढ़ाव को बनाने वाले कारक (उदाहरण के लिए,

गर्मियों की तुलना में)

· यादृच्छिक कारक।

जाहिर है, वास्तविक डेटा में अक्सर तीनों घटक होते हैं। एक मॉडल जिसमें एक समय श्रृंखला को सूचीबद्ध घटकों के योग के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, एक योगात्मक समय श्रृंखला मॉडल कहलाता है। यदि समय श्रृंखला को उनके उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो ऐसे मॉडल को गुणक कहा जाता है।

समय श्रृंखला (समय श्रृंखला) के तहत नियमित अंतराल पर उत्पादित कुछ चर के मूल्यों के अवलोकन के अनुक्रम को समझा जाता है। यदि हम ऐसे अंतराल की लंबाई को समय की एक इकाई (वर्ष, तिमाही, दिन, आदि) के रूप में लेते हैं, तो हम मान सकते हैं कि क्रमिक प्रेक्षण x1, ..., x उस समय किए गए थे।

टी = 1, …, एन।

मुख्य विशिष्ठ विशेषता सांख्यिकीय विश्लेषणसमय श्रृंखला यह है कि अवलोकनों का क्रम

x1, ..., xn को आम तौर पर सांख्यिकीय रूप से निर्भर यादृच्छिक चर X1, ..., Xn के वितरण फ़ंक्शन के साथ कुछ संयुक्त वितरण वाले अनुक्रम की प्राप्ति के रूप में माना जाता है।

एफ (वी 1, वी 2, …, वीएन) = पी (एक्स 1 .)< v1, X2 < v2, ... , Xn < vn }.

हम मुख्य रूप से उस समय श्रृंखला पर विचार करेंगे जिसके लिए यादृच्छिक चर X1, ..., Xn के संयुक्त वितरण का संयुक्त वितरण घनत्व p(x1, x2, ..., xn) है।

व्यावहारिक समाधान के लिए उपलब्ध समय श्रृंखला के सांख्यिकीय विश्लेषण की समस्या को बनाने के लिए, किसी को श्रृंखला की संरचना और इसकी संभाव्य विशेषताओं की संरचना के बारे में कुछ मान्यताओं को पेश करते हुए, विचाराधीन समय श्रृंखला मॉडल के वर्ग को सीमित करना होगा। इन प्रतिबंधों में से एक समय श्रृंखला की स्थिरता मानता है।

एक श्रृंखला xt, t = 1, …, n, को कड़ाई से स्थिर (या संकीर्ण अर्थ में स्थिर) कहा जाता है यदि किसी m (m) के लिए< n) совместное распределение вероятностей случайных величин X t1…… X tm такое же, как и для X t1+ш…… X tm + I, при любых t1,…, tm и I, таких, что 1 ≤ t1, … , tm ≤ n и 1 ≤ t1+ д., … , tm+ I≤ n.

दूसरे शब्दों में, जब समय की उत्पत्ति बदल जाती है, तो कड़ाई से स्थिर समय श्रृंखला के गुण नहीं बदलते हैं। विशेष रूप से, एम = 1 के लिए, यह समय श्रृंखला xt की सख्त स्थिरता की धारणा से निम्नानुसार है कि यादृच्छिक चर Xt का संभाव्यता वितरण कानून t पर निर्भर नहीं करता है, जिसका अर्थ है कि इसकी सभी मुख्य संख्यात्मक विशेषताएं(यदि वे निश्चित रूप से मौजूद हैं), जिनमें शामिल हैं: अपेक्षित मूल्यई (एक्सटी) = एम और फैलाव डी (एक्सटी) = Ớ2।

एम। का मान उस स्थिर स्तर को निर्धारित करता है जिसके सापेक्ष विश्लेषण की गई समय श्रृंखला xt में उतार-चढ़ाव होता है, और स्थिर इन उतार-चढ़ाव की सीमा को दर्शाता है।

समय श्रृंखला बनाने वाले अवलोकनों के अनुक्रम के बीच मुख्य अंतरों में से एक यह है कि समय श्रृंखला के सदस्य आम तौर पर सांख्यिकीय रूप से अन्योन्याश्रित होते हैं। के बीच सांख्यिकीय संबंध की निकटता की डिग्री यादृच्छिक चरएक्सटी और एक्सटी+ जोड़ीवार सहसंबंध गुणांक द्वारा मापा जा सकता है

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%">कहां

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%">यदि xt पंक्ति स्थिर है, तो मान t पर निर्भर नहीं है और केवल का एक फलन है; हम इसके लिए font-size:14.0pt का उपयोग करेंगे; लाइन-ऊंचाई:150%">फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt;लाइन-ऊंचाई:150%">विशेष रूप से,

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%"> तदनुसार, स्थिर श्रृंखला और सहसंबंध गुणांक के मूल्य के लिए

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%">.jpg" चौड़ाई = "41" ऊंचाई = "26">

इसलिए

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%">विशेष रूप से, फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%">मानों के अवलोकन के आधार पर xt श्रृंखला की सख्त स्थिरता का व्यावहारिक सत्यापन x1, x2, ... , एक्सएन इन सामान्य मामलाकठिन। इस संबंध में, व्यवहार में, एक स्थिर श्रृंखला को अक्सर एक समय श्रृंखला xt के रूप में समझा जाता है, जिसके लिए

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; line-height:150%">एक श्रृंखला जिसके लिए ये तीन शर्तें पूरी होती हैं, व्यापक अर्थों में स्थिर कहलाती है (कमजोर स्थिर, दूसरे क्रम की स्थिर, या सहप्रसरण स्थिर)।

यदि कोई श्रृंखला मोटे तौर पर स्थिर है, तो यह जरूरी नहीं कि सख्ती से स्थिर हो। साथ ही, एक सख्ती से स्थिर श्रृंखला व्यापक अर्थों में स्थिर नहीं हो सकती है, क्योंकि इसमें गणितीय अपेक्षा और/या भिन्नता नहीं हो सकती है। (बाद के संबंध में, कॉची वितरण से एक यादृच्छिक नमूना एक उदाहरण के रूप में काम कर सकता है।) इसके अलावा, ऐसी स्थितियां संभव हैं जब ये तीन शर्तें संतुष्ट हों, लेकिन, उदाहरण के लिए, टी पर निर्भर करता है। एक श्रृंखला xt, t = 1,…, n, को गाऊसी कहा जाता है यदि यादृच्छिक चर X1, ..., Xn का संयुक्त वितरण एक n-आयामी सामान्य वितरण है। के लिये

गाऊसी श्रृंखला में, संकीर्ण और व्यापक अर्थों में स्थिरता की अवधारणाएं मेल खाती हैं।

निम्नलिखित में, कुछ श्रृंखला xt की स्थिरता के बारे में बोलते हुए, हम (यदि नहीं .)

अन्यथा, हम यह ध्यान रखेंगे कि यह श्रृंखला व्यापक अर्थों में स्थिर है (ताकि इसमें एक अपेक्षा और भिन्नता हो)। अत: मान लीजिए xt एक स्थिर श्रेणी है c

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; line-height:150%">चूंकि इस मामले में गुणांक एक ही समय श्रृंखला के सदस्यों के बीच सहसंबंध को मापता है, इसे आमतौर पर स्वत:सहसंबंध गुणांक (या बस ऑटोसहसंबंध) कहा जाता है। इसी कारण से, सहप्रसरणों को स्वतः सहप्रसरण के रूप में संदर्भित किया जाता है। .jpg" चौड़ाई = "16" ऊंचाई = "16">आम बात करने के लिए ऑटोसहसंबंध समारोहफ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%"> ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन आयामहीन है, यानी, यह विश्लेषण की गई समय श्रृंखला के माप पैमाने पर निर्भर नहीं करता है। इसके मान 1 से +1 तक भिन्न हो सकते हैं; जबकि ρ(0) = 1 इसके अलावा, यह एक्सटी श्रृंखला की स्थिरता से अनुसरण करता है, इसलिए जब ऑटोसहसंबंध कार्यों के व्यवहार का विश्लेषण करते हैं, तो आमतौर पर केवल गैर-नकारात्मक मानों पर विचार करने के लिए स्वयं को सीमित कर दिया जाता है, फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%"> xt एक स्थिर समय श्रृंखला है और

सी कुछ स्थिर है, फिर समय श्रृंखला

xt और (xt + c) के समांतर चतुर्भुज समान हैं।

यह मानते हुए कि समय श्रृंखला को स्थिर मॉडल द्वारा वर्णित किया गया है

गाऊसी प्रक्रिया, तब पूर्ण विवरणयादृच्छिक चर X 1, ..., X n के संयुक्त वितरण के लिए n + 1 पैरामीटर सेट करने की आवश्यकता होती है:

या https://pandia.ru/text/79/393/images/image026_1.jpg" width="199" height="22 src=">

यह स्थिरीकरण आवश्यकता के बिना बहुत कम है, लेकिन फिर भी अवलोकनों की संख्या से अधिक है। इस संबंध में, स्थिर के लिए भी

गाऊसी समय श्रृंखला, उपलब्ध टिप्पणियों से अनुमानित किए जाने वाले मापदंडों की संख्या को सीमित करने के लिए मॉडल को और सरल बनाना आवश्यक है। अब हम संरचना में कुछ सरल समय श्रृंखलाओं पर विचार करते हैं, जो एक ही समय में, कई वास्तविक आर्थिक संकेतकों के समय के साथ विकास का वर्णन करने के लिए उपयोगी हैं।

सफेद शोर प्रक्रिया

सफेद शोर की प्रक्रिया ("सफेद शोर", "विशुद्ध रूप से यादृच्छिक अस्थायी"

कंधे से कंधा मिलाकर") को एक स्थिर समय श्रृंखला xt कहा जाता है, जिसके लिए

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; line-height:150%"> उत्तरार्द्ध का अर्थ है कि t s पर यादृच्छिक चर Xt और Xs समय पर t और s पर श्वेत शोर प्रक्रिया के अवलोकन के अनुरूप असंबंधित हैं।

मामले में जब Xt के पास है सामान्य वितरण, यादृच्छिक चर X 1, ..., X n परस्पर स्वतंत्र हैं और समान सामान्य वितरण N(0, 2) है, जो इस वितरण से एक यादृच्छिक नमूना बनाते हैं, अर्थात। .

ऐसी श्रृंखला को गाऊसी श्वेत शोर कहा जाता है।

उसी समय, सामान्य स्थिति में, भले ही कुछ यादृच्छिक चर

X1, ..., Xn परस्पर स्वतंत्र हैं और उनका वितरण समान है, इसका मतलब यह नहीं है कि वे एक सफेद शोर प्रक्रिया बनाते हैं, क्योंकि यादृच्छिक चर Xt में गणितीय अपेक्षा और/या भिन्नता नहीं हो सकती है (उदाहरण के लिए, हम फिर से हम कॉची वितरण की ओर इशारा कर सकते हैं)।

सफेद शोर प्रक्रिया के अनुरूप समय श्रृंखला यादृच्छिक चर Xt और Xs के t s पर असंबद्धता के कारण अत्यंत अनियमित तरीके से व्यवहार करती है। यह नीचे दिए गए ग्राफ में डी (एक्सटी) 0.04 के साथ एक गाऊसी सफेद शोर प्रक्रिया (एनओआईएसई) के सिम्युलेटेड कार्यान्वयन के लिए दिखाया गया है।

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%">इस संबंध में, सफेद शोर प्रक्रिया अर्थव्यवस्था में आने वाली अधिकांश समय श्रृंखला के विकास को सीधे मॉडलिंग के लिए उपयुक्त नहीं है।

उसी समय, जैसा कि हम नीचे देखेंगे, ऐसी प्रक्रिया अधिक यथार्थवादी समय श्रृंखला मॉडल बनाने का आधार है जो "चिकनी" श्रृंखला प्रक्षेपवक्र उत्पन्न करती है। सफेद शोर प्रक्रिया के लगातार उपयोग के कारण, हम इस प्रक्रिया को अन्य समय श्रृंखला मॉडल से इसके लिए अंकन t का उपयोग करके अलग करेंगे।

एक श्रृंखला के एक उदाहरण के रूप में जिसका प्रक्षेपवक्र श्वेत शोर प्रक्रिया के कार्यान्वयन के समान है, कोई इंगित कर सकता है, उदाहरण के लिए, 1984 के दौरान डॉव जोन्स इंडेक्स के परिवर्तन (विकास) की दर के मूल्यों द्वारा गठित श्रृंखला के लिए। (दैनिक डेटा)।

इस श्रृंखला का ग्राफ इस तरह दिखता है

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; line-height:150%"> ध्यान दें, हालाँकि, यहाँ xt मानों के प्रायिकता वितरण में कुछ विषमता है (इस वितरण की विषमता सकारात्मक मूल्य), जो गाऊसी सफेद शोर के रूप में इस श्रृंखला के मॉडल के विवरण को बाहर करता है।

ऑटोरेग्रेशन प्रक्रिया

व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले समय श्रृंखला मॉडल में से एक ऑटोरेग्रेसिव प्रक्रिया (ऑटोरेग्रेसिव मॉडल) है। अपने सरलतम रूप में, ऑटोरेग्रेसिव मॉडल श्रृंखला निर्माण तंत्र का वर्णन इस प्रकार करता है:

एक्सटी = एक एक्सटी - 1 + εt, टी = 1, …, एन,

जहां t शून्य माध्य के साथ एक श्वेत शोर प्रक्रिया है और

विचरण फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%">X0 - कुछ यादृच्छिक मान,

और a 0 कुछ अचर गुणांक है।

जिसमें

ई (एक्सटी) = ए ई (एक्स टी -1),

इसलिए विचाराधीन प्रक्रिया तभी स्थिर हो सकती है जब सभी t = 0, 1,…, n के लिए E(Xt) = 0 हो।

Xt = a X t – 1 + εt = a (a Xt –2 + εt–1) + εt = a2 Xt–2 + a t–1 + t = … =

= a t X0 + a t -1 ε1 + a t-2 ε2 + … + εt,

Xt–1 = a Xt–2 + εt–1 = a t–1 X0 + a t–2 ε1 + a t–3 ε2 + … + εt–1 ,

Xt–2 = a Xt–3 + εt–2 = a t–2 X0 + a t–3 ε1 + a t–4 ε2 + … + εt–2,

…

X1 = एक X0 + ε1।

यदि यादृच्छिक चर X0 यादृच्छिक चर ε1, ε2, के साथ सहसंबद्ध नहीं है

..., n, तो यह इस प्रकार है

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%">इस प्रकार, संबंधों द्वारा दिए गए क्रमिक अवलोकन उत्पन्न करने के लिए तंत्र

Xt = a Xt–1 + εt, t = 1,…, n,

एक स्थिर समय श्रृंखला उत्पन्न करता है यदि a< 1 ; случайная величина X0 не коррелирована со случайными величинами ε1, ε2, …,εn ;

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; line-height:150%"> माना गया मॉडल शून्य गणितीय अपेक्षा के साथ एक स्थिर श्रृंखला (निर्दिष्ट शर्तों के तहत) उत्पन्न करता है। हालांकि, इसे गैर-शून्य गणितीय अपेक्षा  के साथ समय श्रृंखला yt तक आसानी से बढ़ाया जा सकता है, यह मानते हुए

निर्दिष्ट मॉडल केंद्रित श्रृंखला से संबंधित है

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; line-height:150%"> इसलिए, व्यापकता के नुकसान के बिना, वर्तमान विचार में, शून्य-माध्य स्थिर प्रक्रिया उत्पन्न करने वाले ऑटोरेग्रेसिव मॉडल को समाप्त किया जा सकता है।

पहले से परिभाषित प्रक्रिया Xt (शून्य गणितीय अपेक्षा के साथ) के लिए विचार जारी रखते हुए, हम ध्यान दें कि इसके लिए

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%"> और मानों के लिए ए> 0 के करीब, पड़ोसी अवलोकनों के बीच एक मजबूत सकारात्मक सहसंबंध है, जो सफेद शोर प्रक्रिया की तुलना में श्रृंखला प्रक्षेपवक्र का एक आसान व्यवहार सुनिश्चित करता है। एक के लिए< 0 процесс авторегрессии, напротив, имеет менее гладкие реализации, поскольку в этом случае проявляется тенденция чередования знаков последовательных наблюдений.

निम्नलिखित दो भूखंड ऑटोरेग्रेसिव मॉडल द्वारा उत्पन्न नकली समय श्रृंखला कार्यान्वयन के व्यवहार को प्रदर्शित करते हैं

a = 0.8 (पहला ग्राफ) और a = - 0.8 (दूसरा ग्राफ) पर।

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इसके अलावा, श्रृंखला के व्यवहार पर सांख्यिकीय डेटा t = 0 तक हो सकता है

पूरी तरह से अनुपस्थित रहें, ताकि x0 का मान केवल कुछ देखने योग्य संख्यात्मक मान हो। दोनों ही मामलों में, श्रृंखला Xt अब a के लिए भी स्थिर नहीं रहेगी।

चलती औसत प्रक्रिया

एक और सरल समय श्रृंखला पीढ़ी मॉडल ऑर्डर मूविंग एवरेज प्रोसेस क्यू (एमए (क्यू)) है। इस मॉडल के अनुसार,

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; line-height:150%">उसी समय, स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि मापदंडों का निरपेक्ष मान एक से कम हो (या, जो समान है, कि रूट विशेषता समीकरण 1- फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%">फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%">मिश्रित ऑटोरेग्रेसिव-मूविंग औसत प्रक्रिया (प्रक्रिया

प्रक्रिया Xt शून्य गणितीय अपेक्षा के साथ, जो प्रक्रियाओं के इस वर्ग से संबंधित है, इसके AR और MA घटकों के क्रम p और q द्वारा विशेषता है और इसे प्रक्रिया ARMA (p, q) (ऑटोरेग्रेसिव) के रूप में दर्शाया गया है। सामान्य गतिमिश्रित ऑटोरेग्रेसिव मूविंग एवरेज)। अधिक सटीक रूप से, शून्य अपेक्षा वाली एक प्रक्रिया Xt ARMA(p, q) वर्ग से संबंधित है यदि

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; line-height:150%">जहाँ a(L) और b(L) का वही रूप है जो पहले परिभाषित मॉडल AR(p) और MA(q) में है। यदि प्रक्रिया की निरंतर अपेक्षा है, तो यह एआरएमए (पी, क्यू) प्रकार की एक प्रक्रिया है अगर

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%">प्रक्रिया के निम्नलिखित गुणों पर ध्यान दें

प्रक्रिया स्थिर है यदि समीकरण a(z) = 0 के सभी मूल इकाई के बाहर स्थित हैं

सर्कल जेड 1.

यदि प्रक्रिया स्थिर है, तो एक समान प्रक्रिया है

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; रेखा-ऊंचाई:150%">यदि समीकरण b(z) = 0 के सभी मूल इकाई वृत्त z ≤ 1 के बाहर स्थित हैं

(प्रतिवर्ती स्थिति), तो एक समान प्रतिनिधित्व मौजूद है

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; line-height:150%">इससे यह पता चलता है कि स्थिर प्रक्रिया ARMA(p, q) हमेशा कर सकती है

चलती औसत प्रक्रिया द्वारा अनुमानित पर्याप्त है उच्च स्तर, एक

यदि उत्क्रमणीयता की स्थिति संतुष्ट है, तो इसे पर्याप्त रूप से उच्च-आदेश ऑटोरेग्रेसिव प्रक्रिया द्वारा भी अनुमानित किया जा सकता है।

अर्थशास्त्र में, कई समय श्रृंखलाओं को एकत्रित किया जाता है। उपरोक्त तथ्य से यह निम्नानुसार है कि यदि प्रत्येक घटक एक साधारण एआर मॉडल से मेल खाता है, तो यदि ये घटक स्वतंत्र हैं, तो उनका योग एक एआरएमए प्रक्रिया होगी।

गैर-स्थिर समय श्रृंखला

आर्थिक व्यवहार में, दो मुख्य प्रकार की गैर-स्थिर समय श्रृंखला पर विचार करने की प्रथा है:

रैंडम वॉक (शिफ्ट के साथ)

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%"> फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%">दूसरा मुख्य प्रकार फॉर्म की एक पंक्ति है:

t = https://pandia.ru/text/79/393/images/image054_1.gif" width="13" height="15 src=">t

ऐसी श्रृंखला को नियतात्मक प्रवृत्ति वाली समय श्रृंखला भी कहा जाता है।

200

150

100

चावल। नियतात्मक प्रवृत्ति के साथ गैर-स्थिर समय श्रृंखला।

एक स्टोकेस्टिक प्रवृत्ति के साथ एक समय श्रृंखला पर विचार करें।

Yt = https://pandia.ru/text/79/393/images/image054_1.gif" width="13" height="15 src=">t

यह समीकरण अधिक सामान्य मॉडल का एक विशेष मामला है

Yt = https://pandia.ru/text/79/393/images/image053_1.gif" width="16" height="15 src="> Yt-1 + font-size:14.0pt; line-height: 150%"> फ़ॉन्ट-आकार के आधार पर: 14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%">|a|< 1 - процесс является стационарным;

|ए| फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; line-height:150%">कब |a| >1, प्रक्रिया "विस्फोटक" हो जाती है, यानी समय t पर सिस्टम में लगने वाला झटका t + 1 पर उस पर और भी अधिक प्रभाव डालेगा - फिलहाल टी + 2, आदि।

यह आंकड़ा गैर-स्थिर समय श्रृंखला की प्रक्रियाओं को एक गुणांक> 1 के साथ दिखाता है। चित्रा ए

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%">पहले 250 को दिखाता है और

चित्रा बी - एक ही प्रक्रिया के पहले 450 गैर-अवलोकन। . यह देखा जा सकता है कि टिप्पणियों की संख्या में वृद्धि कैसे बढ़ती है

विस्फोटक" प्रक्रिया की प्रकृति।

चित्रा बी.

180

160

140

120

100

O450

गुणांक वाली प्रक्रियाओं के लिए समान प्रवृत्तियों का पता लगाया जा सकता है< -1.

इस तरह की प्रक्रियाएं (साथ ही एक गुणांक के साथ प्रक्रिया = -1 शायद ही कभी आर्थिक डेटा के अनुरूप होती है, इसलिए, एक नियम के रूप में, मुख्य जोर उन प्रक्रियाओं पर विचार करने पर होता है जिनकी एक इकाई जड़ होती है, अर्थात, मामला जब = 1।

रुझान और उसका विश्लेषण।

एक समय श्रृंखला की प्रवृत्ति या प्रवृत्ति कुछ हद तक पारंपरिक है

संकल्पना। एक प्रवृत्ति को नियमित, गैर-यादृच्छिक के रूप में समझा जाता है

समय श्रृंखला का घटक (आमतौर पर मोनोटोनिक), जो कर सकता है

एक अच्छी तरह से परिभाषित असंदिग्ध नियम के अनुसार गणना की जा सकती है। रुझान

समय श्रृंखला अक्सर भौतिक नियमों के संचालन से जुड़ी होती है या

कोई अन्य उद्देश्य कानून। हालांकि, सामान्य तौर पर

बोलते हुए, एक यादृच्छिक प्रक्रिया को स्पष्ट रूप से अलग करना असंभव है या

एक नियमित भाग (प्रवृत्ति) और एक दोलन भाग में समय श्रृंखला

(शेष)। इसलिए, आमतौर पर यह माना जाता है कि प्रवृत्ति कुछ है

समारोह अराल तरीका(रैखिक, द्विघात, आदि) वर्णन करना

एक श्रृंखला या प्रक्रिया का "संपूर्ण व्यवहार"। यदि इस प्रकार का आवंटन

प्रवृत्ति अध्ययन को सरल बनाती है, फिर चुने हुए रूप के बारे में धारणा

प्रवृत्ति स्वीकार्य मानी जाती है।

एक समय श्रृंखला के लिए, रैखिक प्रवृत्ति समीकरण का रूप होता है

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; line-height:150%"> r>0 पर, वे एक सकारात्मक प्रवृत्ति के बारे में बात करते हैं (समय के साथ

समय श्रृंखला के मूल्यों में वृद्धि होती है), r . के साथ<0 об

नकारात्मक (घटती प्रवृत्ति)। r के लिए शून्य के करीब, कभी-कभी

एक तरफ प्रवृत्ति के बारे में बात करो। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, उस मामले के लिए जब

t=1,2,3,...n, हमारे पास है:

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; line-height:150%"> हालांकि, व्यवहार में, आपको r और yX की अलग-अलग और केवल गणना नहीं करनी चाहिए

फिर उन्हें प्रवृत्ति समीकरण में प्रतिस्थापित करें। सूत्र में बेहतर अधिकार

संकुचन करने की प्रवृत्ति, जिसके बाद यह रूप लेगा:

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%"> रैखिक प्रवृत्ति को हाइलाइट करने के बाद, आपको यह पता लगाना होगा कि यह कितना है

महत्वपूर्ण। यह सहसंबंध गुणांक का विश्लेषण करके किया जाता है।

तथ्य यह है कि शून्य से सहसंबंध गुणांक के बीच का अंतर और

एक वास्तविक प्रवृत्ति की उपस्थिति (सकारात्मक या नकारात्मक)

विशिष्ट से संबंधित यादृच्छिक हो सकता है

समय श्रृंखला का खंड माना जाता है। दूसरे शब्दों में, ए.टी

प्रयोगात्मक डेटा के दूसरे सेट का विश्लेषण (उसी के लिए

समय श्रृंखला) यह पता चल सकता है कि परिणामी अनुमान

मूल की तुलना में शून्य के बहुत करीब (और शायद एक अलग भी है)

संकेत), और यहां वास्तविक प्रवृत्ति के बारे में बात करना मुश्किल हो जाता है।

समय श्रृंखला स्तरों का स्वत: सहसंबंध

यदि समय श्रृंखला में कोई प्रवृत्ति और चक्रीय उतार-चढ़ाव होता है, तो श्रृंखला के प्रत्येक बाद के स्तर का मान पिछले वाले पर निर्भर करता है। एक समय श्रृंखला के क्रमिक स्तरों के बीच सहसंबंध निर्भरता को श्रृंखला के स्तरों का स्वत: सहसंबंध कहा जाता है।

इसे मूल समय श्रृंखला के स्तरों और इस श्रृंखला के स्तरों के बीच एक रैखिक सहसंबंध गुणांक का उपयोग करके मात्रात्मक रूप से मापा जा सकता है, जिसे समय में कई चरणों में स्थानांतरित किया गया है।

स्वत: सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए सूत्र है:

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%">कहां

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; line-height:150%"> इस मान को प्रथम क्रम श्रृंखला के स्तरों का स्वत:सहसंबंध गुणांक कहा जाता है, क्योंकि यह श्रृंखला के आसन्न स्तरों और के बीच निर्भरता को मापता है।

इसी तरह, कोई दूसरे और उच्च आदेशों के स्वत: सहसंबंध गुणांक निर्धारित कर सकता है। इस प्रकार, दूसरे क्रम के ऑटोसहसंबंध गुणांक स्तरों और फ़ॉन्ट-आकार के बीच संबंधों की जकड़न की विशेषता है: 14.0pt; लाइन-ऊंचाई: 150%"> फ़ॉन्ट-आकार: 14.0pt; लाइन-ऊंचाई: 150%"> जहां

फ़ॉन्ट-आकार:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%"> जिस अवधि के लिए ऑटोसहसंबंध गुणांक की गणना की जाती है उसे अंतराल कहा जाता है। जैसे-जैसे अंतराल बढ़ता है, मूल्यों के जोड़े की संख्या जिसके लिए स्वत: सहसंबंध गुणांक की गणना की जाती है। इसे उपयुक्त माना जाता है ऑटोसहसंबंध गुणांक की सांख्यिकीय विश्वसनीयता सुनिश्चित करने के लिए नियम का उपयोग करने के लिए - अधिकतम अंतराल अधिक नहीं होना चाहिए।

ऑटोसहसंबंध गुणांक के गुण।

यह एक समान तरीके से बनाया गया है रैखिक गुणांकसहसंबंध और इस प्रकार श्रृंखला के वर्तमान और पिछले स्तरों के बीच केवल एक रैखिक संबंध की निकटता की विशेषता है। इसलिए, एक रैखिक (या रैखिक के करीब) प्रवृत्ति की उपस्थिति का न्याय करने के लिए स्वत: सहसंबंध गुणांक का उपयोग किया जा सकता है। एक मजबूत गैर-रेखीय प्रवृत्ति (उदाहरण के लिए, एक दूसरे क्रम परवलय या एक घातांक) के साथ कुछ समय श्रृंखला के लिए, मूल श्रृंखला के स्तरों का स्वत: सहसंबंध गुणांक शून्य तक पहुंच सकता है।

ऑटोसहसंबंध गुणांक के संकेत से, श्रृंखला के स्तरों में बढ़ती या घटती प्रवृत्ति के बारे में निष्कर्ष निकालना असंभव है। आर्थिक आंकड़ों की अधिकांश समय श्रृंखला में स्तरों का एक सकारात्मक स्वत: सहसंबंध होता है, हालांकि, उनमें घटती प्रवृत्ति हो सकती है।

पहले, दूसरे, आदि आदेशों के स्तरों के स्वतःसहसंबंध गुणांकों के अनुक्रम को समय श्रृंखला का स्वतःसहसंबंध फलन कहा जाता है। अंतराल के परिमाण (स्वत:सहसंबंध गुणांक के क्रम के) पर इसके मूल्यों की निर्भरता के ग्राफ को कोरेलोग्राम कहा जाता है।

ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन और सहसंबंध का विश्लेषण उस अंतराल को निर्धारित करना संभव बनाता है जिस पर ऑटोसहसंबंध उच्चतम है, और, परिणामस्वरूप, वह अंतराल जिस पर श्रृंखला के वर्तमान और पिछले स्तरों के बीच संबंध निकटतम है, अर्थात, का उपयोग करना स्वत: सहसंबंध समारोह और सहसंबंध का विश्लेषण, कोई श्रृंखला की संरचना को प्रकट कर सकता है।

यदि प्रथम-क्रम स्वतःसहसंबंध गुणांक उच्चतम निकला, तो अध्ययनाधीन श्रृंखला में केवल एक प्रवृत्ति होती है। यदि क्रम का स्वत:सहसंबंध गुणांक उच्चतम है, तो श्रृंखला में फ़ॉन्ट-आकार की आवृत्ति के साथ चक्रीय उतार-चढ़ाव शामिल हैं:14.0pt; लाइन-ऊंचाई:150%"> के साथ सहसंबंध के महत्व के संकेत के रूप में लिया जाता है

संगत अंतराल।

समय श्रृंखला चौरसाई

टाइम सीरीज़ स्मूथिंग का उपयोग हटाने के लिए किया जाता है

उच्च आवृत्ति घटक (जो आमतौर पर होते हैं

महत्वहीन, क्योंकि वे यादृच्छिक कारकों के कारण होते हैं)। में से एक

सबसे सरल चौरसाई विधियाँ - फिसलने या हिलाने की विधि

माध्यम (अंग्रेजी अंकन में एमए), यह सबसे अधिक में से एक है

पुराना और प्रसिद्ध। यह विधि से संक्रमण पर आधारित है

समय श्रृंखला के प्रारंभिक मान उनके औसत मानों पर

कुछ दिए गए समय अंतराल (जिसकी लंबाई को कहा जाता है

खिड़की की चौड़ाई)। इस बार अंतराल, जैसा कि यह था, एक श्रृंखला के साथ स्लाइड करता है

जो विधि का नाम है। इस स्लाइड के हर पल में हम

हम श्रृंखला का केवल एक हिस्सा देखते हैं, जो "विंडो" शब्दावली का कारण है।

इस तरह के चौरसाई के परिणामस्वरूप प्राप्त नया समय

श्रृंखला आमतौर पर अधिक नियमित रूप से (सुचारू रूप से) व्यवहार करती है, जिसका कारण है

चौरसाई की प्रक्रिया में तेज यादृच्छिक विचलन को हटाना,

खिड़की में गिरना। सबसे अधिक में भी लगाने के लिए स्मूथिंग उपयोगी है

समय श्रृंखला के अध्ययन की शुरुआत, क्योंकि यह अक्सर

प्रवृत्ति की उपस्थिति और प्रकृति के प्रश्न को स्पष्ट करना संभव है, साथ ही

मौसमी उतार-चढ़ाव की पहचान करें।

मौसमी उतार-चढ़ाव के बारे में कुछ शब्द कहे जाने चाहिए। वे हैं

कई समय श्रृंखला में दिखाई देते हैं, विशेष रूप से, अर्थव्यवस्था में,

मौसम विज्ञान। मौसमी उतार-चढ़ाव ऐसे सभी बदलाव हैं,

जो एक निश्चित (लगभग) कड़ाई से आवधिक के अनुरूप है

लय (जरूरी नहीं कि एक वर्ष के बराबर हो, सामान्य के लिए)

मौसम) ब्रह्मांड, प्रकृति या मानव में निहित है

गतिविधियां। इस आवधिकता को स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है

प्रक्रियाओं मानव गतिविधि, उदाहरण के लिए, मात्रा में परिवर्तन

स्थानीय परिवहन द्वारा परिवहन आखरी दिनहर हफ्ते या

प्रत्येक दिन के दौरान सुबह और शाम, त्रुटियों की वृद्धि में

सोमवार आदि को उत्पादन कार्य करना। लेकिन

सबसे विशिष्ट मौसमी उतार-चढ़ाव सटीक रूप से परिवर्तन से जुड़े होते हैं

वर्ष की ऋतुएँ। वे जीवन के मापदंडों की एक बड़ी संख्या को प्रभावित करते हैं।

मानव (आधुनिक और प्राचीन दोनों)। आमतौर पर जब

समय श्रृंखला के अध्ययन मौसमी उतार-चढ़ाव को उजागर करना चाहते हैं

उन्हें अलग-थलग करने और अन्य का अध्ययन करने के लिए, अधिक जटिल

आवधिक घटक।

2m+1 . की खिड़की की चौड़ाई के साथ एमए विधि द्वारा सरलतम चौरसाई

निम्नलिखित सूत्रों के अनुसार उत्पादित:

x*k=(xk-m+xk-m+1+...+xk+xk+1+...+xk+m)/2m+1.

खिड़की की चौड़ाई का चुनाव सार्थक विचारों से तय होता है,

मौसमी उतार-चढ़ाव की अपेक्षित अवधि से संबंधित या

एक निश्चित प्रकार की उच्च आवृत्ति के वांछनीय अपवाद के साथ

उतार-चढ़ाव। व्यवहार में, आमतौर पर मौसमी के अभाव में, चौड़ाई

खिड़कियों को 3, 5 या 7 के बराबर लिया जाता है। खिड़की को चौड़ा करने की अनुशंसा नहीं की जाती है,

विश्लेषण किए गए डेटा के एक चौथाई से अधिक। खिड़की जितनी चौड़ी होगी,

अधिक कंपन घटकों को बाहर रखा जाएगा और चिकना

चौरसाई द्वारा प्राप्त श्रृंखला का दृश्य। हालाँकि, बहुत अधिक

विंडोज़, परिणामी श्रृंखला पहले से ही मूल से काफी अलग है,

कई खो गए हैं व्यक्तिगत विशेषताएंऔर अधिक से अधिक

निरंतर पहुँचता है। यदि हम विंडो की अधिकतम चौड़ाई लेते हैं

संभव (बराबर कुल गणनादिए गए मान x1,x2,...), फिर

हम औसत मूल्य के बराबर स्थिर मूल्य पर आते हैं

ये सभी xi.

मूविंग एवरेज, दुर्भाग्य से, अल्पकालिक उतार-चढ़ाव को विकृत कर सकता है और काल्पनिक हार्मोनिक्स उत्पन्न कर सकता है।

घटकों पर हार्मोनिक विश्लेषणसमय श्रृंखला।

एमए पद्धति के विभिन्न संशोधन हैं। उनमें से कुछ में

अधिक परिष्कृत औसत विधियों का उपयोग किया जाता है (कुछ भारों के साथ)

आदि), जो अधिक या कम महत्व पर जोर देते हैं

व्यक्तिगत शर्तें। उदाहरण के लिए, आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला घातांक

चौरसाई तत्काल पूर्ववर्ती मूल्यों के लिए बड़े भार निर्दिष्ट करने पर आधारित है। यह दृष्टिकोण समाजशास्त्र, अर्थशास्त्र और अन्य विषयों में बहुत व्यापक है।

वर्तमान में, एमए पद्धति (विभिन्न संशोधनों के साथ)

सभी सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर पैकेजों में लागू किया गया है, साथ ही साथ

के लिए डिज़ाइन किए गए कई विशिष्ट कार्यक्रम

आर्थिक और व्यावसायिक जानकारी का प्रसंस्करण।

यादृच्छिक प्रक्रियाओं के लिए, विभिन्न विधियाँ भी हैं

चौरसाई यहाँ विधियों की संख्या बहुत अधिक है, इसका कारण है

तथ्य यह है कि औसत को एकीकृत करके किया जा सकता है

कुछ वज़न फ़ंक्शन जिन्हें पर्याप्त रूप से चुना जा सकता है

मनमाने ढंग से। इसलिए, यहां की खिड़की न केवल इसकी चौड़ाई से निर्धारित होती है,

और औसत कार्य का रूप। सही पसंदखिड़कियां एक बहुत ही कठिन काम है, इसके लिए व्यापक साहित्य समर्पित है। आयताकार खिड़की (एमए पद्धति के क्लासिक संस्करण में प्रयुक्त) के कई नुकसान हैं, जो शास्त्रीय सिद्धांतफूरियर श्रृंखला गिब्स घटना से जुड़ी हुई है, जिसे तकनीकी रूप से बिजली रिसाव के रूप में जाना जाता है। यादृच्छिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में, वे अक्सर चौरसाई के बारे में नहीं, बल्कि फ़िल्टरिंग (या सुधार के बारे में, स्पेक्ट्रम की सफाई के बारे में) और उच्च आवृत्ति क्षेत्र में बात करते हैं।

हाई-पास फिल्टर (एचपीएफ) और क्षेत्र में उपयोग के बारे में बात करें

कम आवृत्तियों- लो पास फिल्टर (एलपीएफ) के बारे में। इस तरह का

शब्दावली स्वीकार की जाती है, विशेष रूप से, संकेत मान्यता के सिद्धांत में

और, सामान्य तौर पर, संचार के सिद्धांत में।

एक और (शब्दावली की दृष्टि से, लेकिन अनिवार्य रूप से नहीं) दृष्टिकोण

समय श्रृंखला और यादृच्छिक प्रक्रियाओं का चौरसाई आधारित है

स्पेक्ट्रम संशोधन। यदि एक श्रृंखला के स्पेक्ट्रम में पूरी तरह से हटा दें

उच्च-आवृत्ति वाले घटक, आपको एक नई श्रृंखला मिलती है जो आगे बढ़ती है

अपने आप को अधिक नियमित रूप से। इस तरह की गणना केवल के साथ ही संभव है

एक कंप्यूटर की उपलब्धता और पंक्तियों के साथ काम करने के लिए एक विशेष कार्यक्रम और

फूरियर बदल जाता है। ये कार्यक्रम बहुमत का हिस्सा हैं

सार्वभौमिक गणितीय पैकेज (मैथकैड, मैटलैब, मेपल,

गणित) और कई सांख्यिकीय पैकेज।

निष्कर्ष

अर्थमिति वह विज्ञान है जो परिमाणित करता है

आर्थिक घटनाओं और प्रक्रियाओं का अंतर्संबंध। यह विज्ञान तीन घटकों की परस्पर क्रिया और संयोजन के परिणामस्वरूप उत्पन्न हुआ: आर्थिक सिद्धांत, सांख्यिकीय और आर्थिक तरीके. अर्थमिति का गठन और विकास तथाकथित उच्च आँकड़ों के आधार पर हुआ, जब न केवल पहली में, बल्कि दूसरी डिग्री में भी चर को प्रतिगमन समीकरण में शामिल किया जाने लगा। कुछ मामलों में, यह आर्थिक चर की इष्टतमता की संपत्ति को प्रतिबिंबित करने के लिए आवश्यक है, अर्थात, मूल्यों की उपस्थिति जिस पर आश्रित चर पर न्यूनतम या अधिकतम प्रभाव प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, उपज पर मिट्टी में उर्वरक लगाने का प्रभाव है: एक निश्चित स्तर तक, उर्वरकों के साथ मिट्टी की संतृप्ति पैदावार में वृद्धि में योगदान करती है, और जब उर्वरकों के साथ संतृप्ति का इष्टतम स्तर पहुंच जाता है, तो इसके आगे वृद्धि से पैदावार में वृद्धि नहीं होती है और यहां तक कि इसके घटने का कारण भी हो सकता है।

विवरण आर्थिक प्रणाली गणितीय तरीके, या अर्थमिति, एक नमूना सर्वेक्षण या अनुकरण के परिणामों से वास्तविक वस्तुओं और संबंधों के बारे में निष्कर्ष निकालता है। उसी समय, यह निष्कर्ष निकालने के लिए कि कौन से प्राप्त परिणाम विश्वसनीय हैं और कौन से संदिग्ध या बस निराधार हैं, उनकी विश्वसनीयता और त्रुटि की भयावहता का आकलन करने में सक्षम होना आवश्यक है। ये सभी पहलू एक विज्ञान के रूप में अर्थमिति की सामग्री का गठन करते हैं।

इस प्रकार, अर्थशास्त्र में ज्ञान का मूल एक प्रयोग है जिसमें प्रत्यक्ष अवलोकन (माप) या गणितीय मॉडलिंग शामिल है।

साहित्य

मुख्य:

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एक समय श्रृंखला कई लगातार क्षणों या समय की अवधि के लिए एक संकेतक के मूल्यों का एक सेट है। समय श्रृंखला का प्रत्येक मान (स्तर) किसके प्रभाव में बनता है? एक बड़ी संख्या मेंकारक जिन्हें तीन समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

1) कारक जो श्रृंखला की प्रवृत्ति का निर्माण करते हैं;
2) कारक जो श्रृंखला के चक्रीय उतार-चढ़ाव का निर्माण करते हैं;
3) यादृच्छिक कारक।

प्रवृत्ति संकेतक की गतिशीलता पर कारकों के दीर्घकालिक प्रभाव की विशेषता है। प्रवृत्ति बढ़ सकती है (चित्र 4.1, ए) या घटती (चित्र। 4.1.6)।

चक्रीय उतार-चढ़ाव मौसमी हो सकते हैं या बाजार की स्थितियों (चित्र 4.2) की गतिशीलता को प्रतिबिंबित कर सकते हैं, साथ ही साथ व्यापार चक्र का चरण जिसमें देश की अर्थव्यवस्था स्थित है।

चावल। 4.1. समय श्रृंखला रुझान: एक-की बढ़ती; बी -घट

चावल। 4.2.

वास्तविक डेटा में अक्सर तीनों घटक होते हैं। ज्यादातर मामलों में, एक समय श्रृंखला को एक प्रवृत्ति के योग या उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है टी,चक्रीय एसऔर यादृच्छिक इअवयव। उनके योग के मामले में, एक योगात्मक समय श्रृंखला मॉडल होता है:

काम के मामले में गुणकनमूना:

एकल समय श्रृंखला के अर्थमितीय अध्ययन के मुख्य कार्य प्रत्येक घटक के लिए एक मात्रात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त करना और इस जानकारी का उपयोग श्रृंखला के भविष्य के मूल्यों की भविष्यवाणी करने या दो या अधिक समय के बीच संबंध का एक मॉडल बनाने के लिए करना है। श्रृंखला।

सबसे पहले, आइए एक अलग समय श्रृंखला के विश्लेषण के मुख्य तरीकों पर विचार करें। इस तरह की श्रृंखला, एक यादृच्छिक घटक के अलावा, या तो केवल एक प्रवृत्ति, या केवल एक मौसमी (चक्रीय) घटक, या सभी घटक एक साथ हो सकते हैं। एक या दूसरे गैर-यादृच्छिक घटक की उपस्थिति की पहचान करने के लिए, समय श्रृंखला के लगातार स्तरों के बीच सहसंबंध निर्भरता, या श्रृंखला के स्तरों के स्वत: सहसंबंध की जांच की जाती है। इस तरह के विश्लेषण का मुख्य विचार यह है कि यदि समय श्रृंखला में रुझान और चक्रीय उतार-चढ़ाव होते हैं, तो श्रृंखला के प्रत्येक बाद के स्तर के मूल्य पिछले वाले पर निर्भर करते हैं।

मात्रात्मक रूप से, ऑटोसहसंबंध को मूल समय श्रृंखला के स्तरों और इस श्रृंखला के स्तरों के बीच एक रैखिक सहसंबंध गुणांक का उपयोग करके मापा जा सकता है, जिसे समय में कई चरणों में स्थानांतरित किया गया है। प्रथम क्रम श्रृंखला के स्तरों का स्वत: सहसंबंध गुणांक आपको श्रृंखला के आसन्न स्तरों के बीच निर्भरता को मापने की अनुमति देता है टुट- 1, यानी 1 के अंतराल के साथ, और इसकी गणना निम्न सूत्र द्वारा की जाती है:

जहां मानों को औसत मान के रूप में लिया जाता है:

पहले मामले में, सूत्र (4.4) में, श्रृंखला के मूल्यों को औसत किया जाता है, दूसरे से अंतिम तक, दूसरे में, श्रृंखला के मूल्यों को पहले से अंतिम तक।

फॉर्मूला (4.3) को नमूना सहसंबंध गुणांक के सूत्र के रूप में दर्शाया जा सकता है:

जहां एक चर के रूप में एक्सएक श्रृंखला ली जाती है वाई ( , वाई 2 , ..., तुम,और एक चर के रूप में वाई -पंक्ति y2. -,यूपी-1 -

यदि गुणांक (4.3) (या (4.5)) का मान एक के करीब है, तो यह समय श्रृंखला के पड़ोसी स्तरों और समय श्रृंखला में एक मजबूत रैखिक प्रवृत्ति की उपस्थिति के बीच एक बहुत करीबी संबंध को इंगित करता है।

उच्च-क्रम ऑटोसहसंबंध गुणांक इसी तरह निर्धारित किए जाते हैं। इस प्रकार, दूसरे क्रम के ऑटोसहसंबंध गुणांक, जो स्तरों के बीच संबंधों की निकटता को दर्शाता है यू, आईयू, _ 2,सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एक के रूप में मध्यम आकारमें (4.6) वे श्रृंखला के स्तरों का औसत तीसरे से अंतिम तक लेते हैं, और दूसरे के रूप में - श्रृंखला के सभी स्तरों का औसत, अंतिम दो को छोड़कर:

श्रृंखला के स्तरों के बीच बदलाव की मात्रा, जिसके सापेक्ष स्वत: सहसंबंध गुणांक की गणना की जाती है, को अंतराल कहा जाता है। जैसे-जैसे अंतराल बढ़ता है, स्वत: सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले मानों के जोड़े की संख्या घट जाती है। सांख्यिकीय वैधता सुनिश्चित करने के लिए, कुछ प्रसिद्ध अर्थशास्त्रियों के अनुसार, अधिकतम अंतराल, कुल नमूना आकार के एक चौथाई से अधिक नहीं होना चाहिए।

ऑटोसहसंबंध गुणांक का निर्माण रैखिक सहसंबंध गुणांक के साथ सादृश्य द्वारा किया जाता है, और इसलिए यह श्रृंखला के वर्तमान और पिछले स्तरों के बीच केवल एक रैखिक संबंध की निकटता की विशेषता है। इसका उपयोग रैखिक या रैखिक प्रवृत्ति के करीब की उपस्थिति का न्याय करने के लिए किया जा सकता है। हालांकि, कुछ समय श्रृंखला के लिए एक मजबूत गैर-रेखीय प्रवृत्ति (उदाहरण के लिए, परवलयिक या घातीय) के साथ, श्रृंखला के स्तरों का स्वत: सहसंबंध गुणांक शून्य तक पहुंच सकता है।

इसके अलावा, ऑटोसहसंबंध गुणांक के संकेत से, श्रृंखला के स्तरों में बढ़ती या घटती प्रवृत्ति के बारे में निष्कर्ष निकालना असंभव है। आर्थिक आंकड़ों की अधिकांश समय श्रृंखला में स्तरों का सकारात्मक स्वत: सहसंबंध होता है, हालांकि, घटती प्रवृत्ति से इंकार नहीं किया जा सकता है।

पहले से शुरू होने वाले विभिन्न आदेशों के स्तरों के स्वत: सहसंबंध गुणांक के अनुक्रम को समय श्रृंखला का स्वत: सहसंबंध कार्य कहा जाता है। अंतराल के परिमाण पर इसके मूल्यों की निर्भरता के ग्राफ को कोरेलोग्राम कहा जाता है। स्वतःसहसंबंध फलन और सहसंबंध का विश्लेषण श्रृंखला की संरचना को प्रकट करने में मदद करता है। यहाँ निम्नलिखित गुणात्मक तर्क देना उचित है।

यदि उच्चतम ऑटोसहसंबंध गुणांक पहला क्रम है, तो जाहिर है, अध्ययन के तहत श्रृंखला में केवल एक प्रवृत्ति होती है। यदि m के क्रम का स्वतःसहसंबंध गुणांक उच्चतम निकला, तो श्रृंखला में m बार की आवधिकता के साथ चक्रीय उतार-चढ़ाव होते हैं। यदि कोई भी ऑटोसहसंबंध गुणांक महत्वपूर्ण नहीं है, तो श्रृंखला में या तो रुझान और चक्रीय उतार-चढ़ाव नहीं होते हैं और इसमें केवल एक यादृच्छिक घटक होता है, या इसमें एक मजबूत गैर-रेखीय प्रवृत्ति होती है, जिसकी जांच के लिए अतिरिक्त विश्लेषण की आवश्यकता होती है।

उदाहरण(आई.आई. एलिसेवा ). जिले के निवासियों द्वारा बिजली की खपत की मात्रा पर डेटा होने दें y, (मिलियन kWh) अवधि के लिए टी(तिमाही) (सारणी 4.1)।

तालिका 4.1

बिजली की खपत की प्रारंभिक समय श्रृंखला

आइए इन मानों को एक ग्राफ़ पर आलेखित करें (चित्र 4.3)।

चावल। 4.3.

आइए हम इस समय श्रृंखला के ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन को निर्धारित करें। पहले क्रम के स्वत: सहसंबंध गुणांक की गणना करें। ऐसा करने के लिए, हम औसत मूल्यों को परिभाषित करते हैं:

इन मूल्यों को ध्यान में रखते हुए, हम एक सहायक तालिका का निर्माण करेंगे (सारणी 4.2)।

तालिका 4.2

ऑटोसहसंबंध गुणांक की गणना करते समय सहायक गणना

उह उह	यू,-उग	(उह उह?	(उह उह)

कुल रकम का उपयोग करते हुए, हम प्रथम-क्रम ऑटोसहसंबंध गुणांक के मूल्य की गणना करते हैं:

यह मान श्रृंखला के मौजूदा स्तरों की उनके तत्काल पूर्ववर्ती स्तरों पर कमजोर निर्भरता को इंगित करता है। हालांकि, ग्राफ से यह स्पष्ट है कि श्रृंखला के स्तरों में वृद्धि की प्रवृत्ति है, जो चक्रीय उतार-चढ़ाव से आरोपित है।

दूसरे, तीसरे आदि के लिए समान गणना जारी रखना। आदेश, हम एक ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन प्राप्त करेंगे, जिसके मूल्यों को हम एक तालिका (तालिका 4.3) में संक्षेपित करेंगे और इसके आधार पर एक सहसंबंध का निर्माण करेंगे (चित्र। 4.4)।

तालिका 4.3

समय श्रृंखला के स्वत: सहसंबंध समारोह के मूल्य

चावल। 4.4.

यह कोरेलोग्राम से देखा जा सकता है कि उच्चतम सहसंबंध गुणांक चार के अंतराल मूल्य पर मनाया जाता है, इसलिए, श्रृंखला में चार तिमाहियों की आवृत्ति के साथ चक्रीय उतार-चढ़ाव होता है। श्रृंखला की संरचना के चित्रमय विश्लेषण से भी इसकी पुष्टि होती है।

यदि, समय श्रृंखला की संरचना का विश्लेषण करते समय, केवल एक प्रवृत्ति का पता लगाया जाता है और कोई चक्रीय उतार-चढ़ाव नहीं होता है (एक यादृच्छिक घटक हमेशा मौजूद होता है), तो प्रवृत्ति को मॉडलिंग करना शुरू कर देना चाहिए। यदि समय श्रृंखला में चक्रीय उतार-चढ़ाव भी होते हैं, तो सबसे पहले, यह चक्रीय घटक है जिसे बाहर रखा जाना चाहिए और उसके बाद ही प्रवृत्ति को मॉडल करना शुरू करना चाहिए। प्रवृत्ति का पता लगाने में एक विश्लेषणात्मक कार्य का निर्माण होता है जो समय पर श्रृंखला के स्तरों की निर्भरता को दर्शाता है, या रुझान।इस विधि को कहा जाता है विश्लेषणात्मक संरेखणसमय श्रृंखला।

समय पर निर्भरता लग सकती है अलग - अलग रूप, इसलिए, इसे औपचारिक रूप देने के लिए, हम उपयोग करते हैं विभिन्न प्रकारविशेषताएँ:

रैखिक प्रवृत्ति: वाई, = ए + एस
अतिशयोक्ति: वाई, = ए + बी / 1;
घातीय प्रवृत्ति: वाई, = ई ए ~ बी "(या yt=ab")
शक्ति प्रवृत्ति: वाई, = बी पर;
दूसरे और उच्च क्रम की परवलयिक प्रवृत्ति:

प्रत्येक प्रवृत्ति के मापदंडों को एक स्वतंत्र चर के रूप में समय का उपयोग करके सामान्य न्यूनतम वर्गों द्वारा निर्धारित किया जा सकता है टी = 1,2, ",

और एक आश्रित चर के रूप में - समय श्रृंखला के वास्तविक स्तर वाई,(या स्तर घटाकर चक्रीय घटक, यदि कोई हो)। गैर-रेखीय प्रवृत्तियों के लिए, उनके रैखिककरण के लिए एक मानक प्रक्रिया प्रारंभिक रूप से की जाती है।

प्रवृत्ति के प्रकार को निर्धारित करने के कई तरीके हैं। सबसे अधिक बार, अध्ययन के तहत प्रक्रिया का गुणात्मक विश्लेषण, समय पर एक श्रृंखला के स्तर की निर्भरता के ग्राफ के निर्माण और दृश्य विश्लेषण, और कुछ बुनियादी गतिशीलता संकेतकों की गणना का उपयोग किया जाता है। इसी उद्देश्य के लिए, श्रृंखला के स्तरों के स्वत: सहसंबंध गुणांक का भी उपयोग किया जा सकता है। प्रवृत्ति के प्रकार को श्रृंखला के मूल और रूपांतरित स्तरों से परिकलित प्रथम-क्रम स्वतःसहसंबंध गुणांकों की तुलना करके निर्धारित किया जा सकता है। यदि समय श्रृंखला में एक रैखिक प्रवृत्ति है, तो इसके पड़ोसी स्तर वाई,तथा वाई, _ मैं निकटता से सहसंबद्ध हूं। इस मामले में, मूल श्रृंखला के स्तरों का प्रथम-क्रम ऑटोसहसंबंध गुणांक अधिक होना चाहिए। यदि समय श्रृंखला में एक गैर-रैखिक प्रवृत्ति होती है, उदाहरण के लिए एक घातांक के रूप में, तो मूल श्रृंखला के स्तरों के लघुगणक के लिए प्रथम-क्रम स्वतःसहसंबंध गुणांक, के स्तरों से परिकलित संगत गुणांक से अधिक होगा। श्रृंखला। अध्ययन के तहत समय श्रृंखला में गैर-रेखीय प्रवृत्ति जितनी मजबूत होगी, संकेतित गुणांक के मूल्य उतने ही अधिक होंगे।

सर्वोत्तम समीकरण का चुनाव, यदि श्रृंखला में एक गैर-रेखीय प्रवृत्ति होती है, तो प्रवृत्ति के मुख्य रूपों की गणना करके, प्रत्येक समीकरण के लिए निर्धारण के समायोजित गुणांक की गणना करके किया जा सकता है। R2और इस गुणांक के अधिकतम मूल्य के साथ प्रवृत्ति समीकरण का चयन करना। कंप्यूटर डेटा प्रोसेसिंग में इस पद्धति का कार्यान्वयन अपेक्षाकृत सरल है।

मौसमी या चक्रीय उतार-चढ़ाव वाली समय श्रृंखला का विश्लेषण करते समय, सबसे सरल तरीका है कि चलती औसत विधि का उपयोग करके मौसमी घटक के मूल्यों की गणना करें और (4.1) या (4.2) के रूप में समय श्रृंखला के एक योगात्मक या गुणक मॉडल का निर्माण करें। .

यदि उतार-चढ़ाव का आयाम लगभग स्थिर है, तो एक योजक मॉडल (4.1) बनाया जाता है जिसमें मौसमी घटक के मूल्यों को विभिन्न चक्रों के लिए स्थिर माना जाता है। यदि मौसमी उतार-चढ़ाव का आयाम बढ़ता या घटता है, तो एक गुणक मॉडल (4.2) बनाया जाता है, जो श्रृंखला के स्तरों को मौसमी घटक के मूल्यों पर निर्भर करता है।

एक मॉडल का निर्माण (4.1) या (4.2) मूल्यों की गणना करने के लिए कम कर दिया गया है टी, एसया इपंक्ति के प्रत्येक स्तर के लिए। मॉडल निर्माण प्रक्रिया में निम्नलिखित चरण शामिल हैं।

1. चलती औसत पद्धति का उपयोग करके मूल श्रृंखला का संरेखण।
2. मौसमी घटक के मूल्यों की गणना एस।
3. श्रृंखला के प्रारंभिक स्तरों से मौसमी घटक को हटाना और समतल डेटा प्राप्त करना (टी + इ)योज्य में या (टी एक्स ई)एक गुणक मॉडल में।
4. स्तरों का विश्लेषणात्मक संरेखण (टी+ई)या (टीएक्स ई)और मूल्यों की गणना टीव्युत्पन्न प्रवृत्ति समीकरण का उपयोग करना।
5. मॉडल से प्राप्त मूल्यों की गणना (टी+एस)या (टीएक्स एस)।
6. पूर्ण और सापेक्ष त्रुटियों की गणना।

उदाहरण। एक योगात्मक समय श्रृंखला मॉडल का निर्माण।पहले दिए गए उदाहरण से क्षेत्र के निवासियों द्वारा बिजली की खपत की मात्रा के आंकड़ों पर विचार करें। ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन के विश्लेषण के परिणामों से पता चला है कि इस समय श्रृंखला में चार तिमाहियों की आवृत्ति के साथ मौसमी उतार-चढ़ाव शामिल हैं। शरद ऋतु-सर्दियों की अवधि (I और IV तिमाहियों) में बिजली की खपत की मात्रा वसंत और गर्मियों (I और III तिमाहियों) की तुलना में अधिक होती है। इस श्रृंखला के ग्राफ के अनुसार, दोलनों के लगभग समान आयाम की उपस्थिति स्थापित करना संभव है। यह एक योज्य मॉडल की संभावित उपस्थिति को इंगित करता है। आइए इसके घटकों की गणना करें।

कदम 1. चल औसत पद्धति का उपयोग करके श्रृंखला के प्रारंभिक स्तरों को संरेखित करें।

चूंकि चक्रीय उतार-चढ़ाव में चार तिमाहियों की आवृत्ति होती है, इसलिए हम हर चार तिमाहियों के लिए क्रमिक रूप से श्रृंखला के स्तरों को एक बिंदु के समय में बदलाव के साथ जोड़ते हैं और बिजली की खपत की सशर्त वार्षिक मात्रा निर्धारित करते हैं (तालिका 4.4 में कॉलम 3)।

प्राप्त राशि को 4 से विभाजित करने पर, हम मूविंग एवरेज (तालिका 4.4 का कॉलम 4) पाते हैं। इस तरह से प्राप्त समायोजित मूल्यों में अब मौसमी घटक नहीं होते हैं।

चूंकि चलती औसत श्रृंखला के चार पड़ोसी स्तरों के औसत से प्राप्त की जाती है, अर्थात। मानों की एक सम संख्या, वे उप-अंतरालों के मध्यबिंदुओं के अनुरूप होते हैं जिनमें संख्याओं के चौगुने होते हैं, अर्थात। मूल पंक्ति के चारों के तीसरे और चौथे मानों के बीच स्थित होना चाहिए। चलती औसत मूल श्रृंखला के समान समय बिंदुओं पर स्थित होने के लिए, पड़ोसी चलती औसत के जोड़े को फिर से औसत किया जाता है और केंद्रित चलती औसत प्राप्त की जाती है (तालिका 4.4 का कॉलम 5)। इस मामले में, समय श्रृंखला के पहले दो और अंतिम दो अंक खो जाते हैं, जो कि चार से अधिक अंकों के औसत से जुड़ा होता है।

तालिका 4.4

मौसमी घटकों के अनुमानों की गणना

त्रिमास	बिजली की खपत (यू,)	चार तिमाहियों के लिए कुल	केंद्रित रपट	मौसमी अवयव

कदम 2. श्रृंखला के वास्तविक स्तरों (तालिका 4.4 के कॉलम 2) और केंद्रित चलती औसत (स्तंभ 5) के बीच अंतर के रूप में मौसमी घटक का अनुमान लगाएं। ये मान तालिका के कॉलम 6 में रखे गए हैं। 4.4 और मौसमी घटक (तालिका 4.5) के मूल्यों की गणना करने के लिए उपयोग करें, जो मौसमी घटक के प्रत्येक तिमाही (सभी वर्षों के लिए) अनुमानों के औसत हैं एस,।मौसमी घटक वाले मॉडल आमतौर पर मानते हैं कि एक अवधि (इस मामले में, एक वर्ष) में मौसमी प्रभाव एक दूसरे को रद्द कर देते हैं। योजक मॉडल में, यह इस तथ्य में व्यक्त किया जाता है कि सभी बिंदुओं (यहां, चार तिमाहियों के लिए) के लिए मौसमी घटक के मूल्यों का योग शून्य के बराबर होना चाहिए।

तालिका 4.5

मौसमी घटक समायोजन

इस मॉडल के लिए, मौसमी घटक के औसत अनुमानों का योग होगा:

यह योग शून्य नहीं निकला, इसलिए हम प्रत्येक अनुमान को प्राप्त मूल्य के एक चौथाई के बराबर सुधार मूल्य से घटाते हैं:

आइए मौसमी घटक के समायोजित मूल्यों की गणना करें (वे तालिका 4.5 की अंतिम पंक्ति में लिखे गए हैं):

योग करने पर ये मान पहले से ही शून्य के बराबर हैं:

कदम 3. मूल समय श्रृंखला के प्रत्येक स्तर से इसके मूल्यों को घटाकर मौसमी घटक के प्रभाव को समाप्त करें। हमें मान मिलते हैं:

इन मूल्यों की गणना प्रत्येक बिंदु पर समय पर की जाती है और इसमें केवल प्रवृत्ति और यादृच्छिक घटक (तालिका 4.6 का स्तंभ 4) होता है।

तालिका 4.6

समय श्रृंखला के मौसमी, प्रवृत्ति और यादृच्छिक घटकों की गणना

			टी + ई \u003d वाई, - एस,			ई = वाई, - (टी + एस)

कदम 4. आइए इस मॉडल के ट्रेंड कंपोनेंट को निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, हम श्रृंखला को संरेखित करेंगे (टी+ई)एक रैखिक प्रवृत्ति का उपयोग करना:

इस समीकरण में मानों / = 1, 2,..., 16 को प्रतिस्थापित करते हुए, हम स्तरों को पाते हैं टीसमय के प्रत्येक क्षण के लिए (तालिका 4.6 का स्तंभ 5)।

कदम 5. योगात्मक मॉडल द्वारा प्राप्त श्रेणी के स्तरों के मान ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, स्तरों में जोड़ें टीसंबंधित तिमाहियों के लिए मौसमी घटक के मूल्य, अर्थात्। तालिका के कॉलम 5 में मानों के लिए। 4.6 कॉलम 3 में मान जोड़ें। ऑपरेशन के परिणाम कॉलम 6 में उसी स्थान पर प्रस्तुत किए जाते हैं।

कदम 6. योगात्मक मॉडल के निर्माण की पद्धति के अनुसार, हम सूत्र का उपयोग करके त्रुटि की गणना करते हैं:

यह एक निरपेक्ष गलती है। संख्यात्मक मूल्य पूर्ण त्रुटियांतालिका के कॉलम 7 में दिया गया है। 4.6.

प्रतिगमन मॉडल के अनुरूप, प्राप्त पूर्ण त्रुटियों के वर्गों के योग का उपयोग मॉडल निर्माण की गुणवत्ता का आकलन करने या सर्वोत्तम मॉडल का चयन करने के लिए किया जा सकता है। इस योगात्मक मॉडल के लिए, चुकता निरपेक्ष त्रुटियों का योग 1.10 है। अपने औसत स्तर से श्रृंखला के स्तरों के वर्ग विचलन के कुल योग के संबंध में, 71.59 के बराबर, यह मान 1.5% से थोड़ा अधिक है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि योज्य मॉडल पिछली 16 तिमाहियों में बिजली की खपत की समय श्रृंखला के स्तरों में कुल भिन्नता का 98.5% बताता है।

उदाहरण (आई.आई. एलिसेवा)। एक गुणक समय श्रृंखला मॉडल का निर्माण।पिछले चार वर्षों के लिए कंपनी के लाभ पर तिमाही डेटा होने दें (तालिका 4.7)।

तालिका 4.7

गुणक मॉडल के साथ समय श्रृंखला का प्रारंभिक डेटा

समय श्रृंखला ग्राफ चार तिमाहियों की आवृत्ति के साथ मौसमी उतार-चढ़ाव की उपस्थिति और श्रृंखला के स्तरों में एक सामान्य घटती प्रवृत्ति को दर्शाता है (चित्र। 4.5)।

चावल।

वसंत-गर्मी की अवधि में कंपनी का लाभ शरद ऋतु-सर्दियों की अवधि की तुलना में अधिक है। चूंकि मौसमी उतार-चढ़ाव का आयाम कम हो जाता है, इसलिए हम एक गुणक मॉडल के अस्तित्व को मान सकते हैं। आइए इसके घटकों को परिभाषित करें।

कदम 1. चल औसत पद्धति का उपयोग करके श्रृंखला के प्रारंभिक स्तरों को संरेखित करें। इस चरण में लागू की गई तकनीक पूरी तरह से एडिटिव मॉडल की तकनीक से मेल खाती है। मौसमी घटक के अनुमानों की गणना के परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। 4.8.

तालिका 4.8

मौसमी घटक अनुमानों की गणना

त्रिमास	कंपनियों	चार तिमाहियों के लिए कुल	चार तिमाहियों के लिए चलती औसत	केंद्रित चलती औसत	मौसमी अवयव

कदम 2. श्रृंखला के वास्तविक स्तरों को केन्द्रित चलती औसत (तालिका 4.8 के कॉलम 6) से विभाजित करने के भागफल के रूप में मौसमी घटक का अनुमान लगाएं। हम इन अनुमानों का उपयोग मौसमी घटक के मूल्यों की गणना के लिए करते हैं एस।ऐसा करने के लिए, हम मौसमी घटक 5 की प्रत्येक तिमाही के लिए औसत अनुमान पाते हैं। गुणक मॉडल में मौसमी प्रभावों का पारस्परिक पुनर्भुगतान इस तथ्य में व्यक्त किया जाता है कि सभी तिमाहियों के लिए मौसमी घटक के मूल्यों का योग चक्र में अवधियों की संख्या के बराबर होना चाहिए। हमारे मामले में, एक चक्र (वर्ष) की अवधियों की संख्या चार तिमाहियों के बराबर है। गणना के परिणामों को तालिका में संक्षेपित किया गया है। 4.9.

यहाँ, सभी चार तिमाहियों के लिए मौसमी घटकों के औसत अनुमानों का योग होगा

वे। चार के बराबर नहीं। इस योग को चार के बराबर करने के लिए, हम प्रत्येक पद को एक सुधार कारक से गुणा करते हैं

तालिका 4.9

गुणक मॉडल के मौसमी गुणांक का समायोजन

समायोजित मौसमी घटकों के मान तालिका की अंतिम पंक्ति में दर्ज किए गए हैं। 4.9. अब उनका योग चार है। आइए इन मानों को एक नई तालिका (तालिका 4.10 के कॉलम 3) में दर्ज करें।

कदम 3. मूल श्रृंखला के प्रत्येक स्तर को मौसमी घटक के संगत मूल्यों से विभाजित करें। इस प्रकार, हम मान प्राप्त करते हैं

कदम 4. गुणक मॉडल में प्रवृत्ति घटक को परिभाषित करें। ऐसा करने के लिए, हम स्तरों का उपयोग करके रैखिक प्रवृत्ति के मापदंडों की गणना करते हैं (टी + ई)।प्रवृत्ति समीकरण है:

इस समीकरण में मानों /= 1, 2,..., 16 को प्रतिस्थापित करते हुए, हम स्तरों को पाते हैं टीसमय के प्रत्येक क्षण के लिए (तालिका 4.10 का स्तम्भ 5)।

कदम 5. स्तरों को गुणा करके गुणक मॉडल द्वारा श्रृंखला के स्तरों का पता लगाएं टीसंबंधित तिमाहियों के लिए मौसमी घटक के मूल्यों पर (तालिका 4.10 का कॉलम 6)।

तालिका 4.10

गुणक मॉडल के घटकों की गणना

कदम 6. हम सूत्र का उपयोग करके गुणक मॉडल में त्रुटियों की गणना करते हैं:

त्रुटियों के संख्यात्मक मान तालिका के कॉलम 7 में दिए गए हैं। गुणक मॉडल और अन्य समय श्रृंखला मॉडल की तुलना करने के लिए, योगात्मक मॉडल के अनुरूप, पूर्ण त्रुटियों के वर्गों के योग का उपयोग करना संभव है। गुणक मॉडल में पूर्ण त्रुटियों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

इस मॉडल में, चुकता पूर्ण त्रुटियों का योग 207.4 है। कुल राशिमाध्य मान से इस श्रृंखला के वास्तविक स्तरों का वर्ग विचलन 5023 है। इस प्रकार, श्रृंखला के स्तरों के स्पष्ट विचरण का अनुपात 95.9% है।

एक योगात्मक या गुणक समय श्रृंखला मॉडल का उपयोग करके पूर्वानुमान को फॉर्म में एक यादृच्छिक घटक के बिना मॉडल समीकरण का उपयोग करके समय श्रृंखला के भविष्य के मूल्य की गणना करने के लिए कम किया जाता है:

योजक के लिए

या वाई, = टीएस

गुणक मॉडल के लिए।

एक समय श्रृंखला लगातार कई क्षणों या समय की अवधि के लिए किसी भी संकेतक के मूल्यों का एक सेट है। समय श्रृंखला का प्रत्येक मूल्य (स्तर) बड़ी संख्या में कारकों के प्रभाव में बनता है जिसे तीन समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

श्रृंखला की प्रवृत्ति को आकार देने वाले कारक;

श्रृंखला के चक्रीय उतार-चढ़ाव को बनाने वाले कारक;

यादृच्छिक कारक।

प्रवृत्ति संकेतक की गतिशीलता पर कारकों के दीर्घकालिक प्रभाव की विशेषता है। प्रवृत्ति ऊपर या नीचे हो सकती है।

चक्रीय उतार-चढ़ाव प्रकृति में मौसमी हो सकते हैं या बाजार की स्थितियों की गतिशीलता को प्रतिबिंबित कर सकते हैं, साथ ही व्यापार चक्र के चरण जिसमें देश की अर्थव्यवस्था स्थित है।

वास्तविक डेटा में अक्सर तीनों घटक होते हैं। ज्यादातर मामलों में, एक समय श्रृंखला को प्रवृत्ति, चक्रीय और यादृच्छिक घटकों के योग या उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। योग के मामले में, एक योगात्मक समय श्रृंखला मॉडल होता है:

एक उत्पाद के मामले में, एक गुणक मॉडल:

एक अलग समय श्रृंखला के अर्थमितीय अध्ययन का मुख्य कार्य प्रत्येक घटक के लिए एक मात्रात्मक अभिव्यक्ति की पहचान करना और श्रृंखला के भविष्य के मूल्यों की भविष्यवाणी करने के लिए प्राप्त जानकारी का उपयोग करना या दो या दो से अधिक समय के संबंध के लिए एक मॉडल का निर्माण करना है। श्रृंखला।

सबसे पहले, आइए एक अलग समय श्रृंखला के विश्लेषण के मुख्य तरीकों पर विचार करें। इस तरह की श्रृंखला में एक यादृच्छिक घटक के अलावा, या तो केवल एक प्रवृत्ति, या केवल एक मौसमी (चक्रीय) घटक, या सभी घटक एक साथ हो सकते हैं। एक या दूसरे गैर-यादृच्छिक घटक की उपस्थिति की पहचान करने के लिए, समय श्रृंखला के लगातार स्तरों के बीच सहसंबंध निर्भरता, या श्रृंखला के स्तरों के स्वत: सहसंबंध की जांच की जाती है। इस तरह के विश्लेषण का मुख्य विचार यह है कि यदि समय श्रृंखला में रुझान और चक्रीय उतार-चढ़ाव होते हैं, तो श्रृंखला के प्रत्येक बाद के स्तर के मूल्य पिछले वाले पर निर्भर करते हैं।

प्रथम क्रम श्रृंखला के स्तरों का स्वत: सहसंबंध गुणांक श्रृंखला के आसन्न स्तरों के बीच निर्भरता को मापता है, अर्थात। अंतराल पर 1.

इसकी गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

जहां मानों को औसत मान के रूप में लिया जाता है:

पहले मामले में, श्रृंखला के मूल्यों को औसत किया जाता है, दूसरे से अंतिम तक, दूसरे मामले में, श्रृंखला के मूल्यों को पहले से अंतिम तक।

फॉर्मूला (3) को नमूना सहसंबंध गुणांक के सूत्र के रूप में दर्शाया जा सकता है:

जहां एक श्रृंखला को एक चर के रूप में और एक श्रृंखला को एक चर के रूप में लिया जाता है

यदि गुणांक (3) का मान एक के करीब है, तो यह समय श्रृंखला के पड़ोसी स्तरों और समय श्रृंखला में एक मजबूत रैखिक प्रवृत्ति की उपस्थिति के बीच एक बहुत करीबी संबंध को इंगित करता है।

उच्च-क्रम ऑटोसहसंबंध गुणांक इसी तरह निर्धारित किए जाते हैं। इस प्रकार, दूसरे क्रम के ऑटोसहसंबंध गुणांक स्तरों के बीच संबंधों की जकड़न की विशेषता है और सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

जहां एक औसत मूल्य के रूप में वे श्रृंखला के स्तरों का औसत तीसरे से अंतिम तक लेते हैं, और दूसरे के रूप में - पहले स्तर से औसत तक

अवधियों की संख्या जिस पर स्वत: सहसंबंध गुणांक की गणना की जाती है उसे अंतराल कहा जाता है। जैसे-जैसे अंतराल बढ़ता है, स्वत: सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले मानों के जोड़े की संख्या घट जाती है। सांख्यिकीय वैधता सुनिश्चित करने के लिए, कुछ प्रसिद्ध अर्थशास्त्रियों के अनुसार, अधिकतम अंतराल, कुल नमूना आकार के एक चौथाई से अधिक नहीं होना चाहिए।

यदि उच्चतम ऑटोसहसंबंध गुणांक पहला क्रम है, तो जाहिर है, अध्ययन के तहत श्रृंखला में केवल एक प्रवृत्ति होती है। यदि क्रम का स्वत: सहसंबंध गुणांक उच्चतम निकला, तो श्रृंखला में समय बिंदुओं की आवधिकता के साथ चक्रीय दोलन होते हैं। यदि कोई भी ऑटोसहसंबंध गुणांक महत्वपूर्ण नहीं है, तो या तो श्रृंखला में एक प्रवृत्ति और चक्रीय उतार-चढ़ाव नहीं होता है और इसमें केवल एक यादृच्छिक घटक होता है, या श्रृंखला में एक मजबूत गैर-रेखीय प्रवृत्ति होती है, जिसके अध्ययन के लिए अतिरिक्त विश्लेषण की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 1. जिले के निवासियों द्वारा 16 तिमाहियों, मिलियन kWh के लिए बिजली की खपत की मात्रा पर डेटा होना चाहिए:

आइए इन मानों को ग्राफ़ पर प्लॉट करें:

इन मूल्यों को देखते हुए, आप एक सहायक तालिका बना सकते हैं:

कुल योगों का उपयोग करते हुए, हम प्रथम-क्रम स्वतःसहसंबंध गुणांक के मान की गणना करते हैं: ।

दूसरे, तीसरे आदि के लिए समान गणना जारी रखना। आदेश, हम एक ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं, जिसके मूल्यों को हम एक तालिका में सारांशित करते हैं और इसके आधार पर एक सहसंबंध का निर्माण करते हैं:

यदि, समय श्रृंखला की संरचना का विश्लेषण करते समय, केवल एक प्रवृत्ति का पता लगाया जाता है और कोई चक्रीय उतार-चढ़ाव नहीं होता है (एक यादृच्छिक घटक हमेशा मौजूद होता है), तो प्रवृत्ति को मॉडलिंग करना शुरू कर देना चाहिए। यदि समय श्रृंखला में चक्रीय उतार-चढ़ाव भी होते हैं, तो सबसे पहले, यह चक्रीय घटक है जिसे बाहर रखा जाना चाहिए, और उसके बाद ही प्रवृत्ति को मॉडलिंग करने के लिए आगे बढ़ें। एक प्रवृत्ति की पहचान में एक विश्लेषणात्मक कार्य का निर्माण होता है जो समय पर एक श्रृंखला के स्तरों की निर्भरता, या एक प्रवृत्ति की विशेषता है। इस विधि को समय श्रृंखला का विश्लेषणात्मक संरेखण कहा जाता है।

समय पर निर्भरता विभिन्न रूप ले सकती है, इसलिए इसे औपचारिक रूप देने के लिए विभिन्न प्रकार के कार्यों का उपयोग किया जाता है:

रैखिक प्रवृत्ति: ;

अतिशयोक्ति: ;

घातीय प्रवृत्ति: (या);

शक्ति प्रवृत्ति: ;

दूसरे और उच्च क्रम की परवलयिक प्रवृत्ति:

प्रत्येक प्रवृत्तियों के मापदंडों को एक स्वतंत्र चर के रूप में समय का उपयोग करके, और समय श्रृंखला y t के वास्तविक स्तर को आश्रित चर (या स्तर घटा चक्रीय घटक, यदि कोई हो) के रूप में सामान्य न्यूनतम वर्गों द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। गैर-रेखीय प्रवृत्तियों के लिए, उनके रैखिककरण के लिए एक मानक प्रक्रिया प्रारंभिक रूप से की जाती है।

प्रवृत्ति के प्रकार को निर्धारित करने के कई तरीके हैं। सबसे अधिक बार, अध्ययन के तहत प्रक्रिया का गुणात्मक विश्लेषण, समय पर एक श्रृंखला के स्तर की निर्भरता के ग्राफ के निर्माण और दृश्य विश्लेषण, और कुछ बुनियादी गतिशीलता संकेतकों की गणना का उपयोग किया जाता है। इसी उद्देश्य के लिए, श्रृंखला के स्तरों के स्वत: सहसंबंध गुणांक का भी उपयोग किया जा सकता है। प्रवृत्ति के प्रकार को श्रृंखला के मूल और रूपांतरित स्तरों से परिकलित प्रथम-क्रम स्वतःसहसंबंध गुणांकों की तुलना करके निर्धारित किया जा सकता है। यदि समय श्रृंखला में एक रैखिक प्रवृत्ति है, तो इसके पड़ोसी स्तर y t और y t-1 निकट से संबंधित हैं। इस मामले में, मूल श्रृंखला के स्तरों का प्रथम-क्रम ऑटोसहसंबंध गुणांक अधिक होना चाहिए। यदि समय श्रृंखला में एक गैर-रैखिक प्रवृत्ति होती है, उदाहरण के लिए, एक घातांक के रूप में, तो मूल श्रृंखला के स्तरों के लघुगणक से प्रथम-क्रम स्वतःसहसंबंध गुणांक, के स्तरों से परिकलित संगत गुणांक से अधिक होगा। श्रृंखला। अध्ययन के तहत समय श्रृंखला में गैर-रेखीय प्रवृत्ति जितनी मजबूत होगी, संकेतित गुणांक के मूल्य उतने ही अधिक होंगे।

श्रृंखला में एक गैर-रेखीय प्रवृत्ति होने की स्थिति में सर्वोत्तम समीकरण का चुनाव मुख्य प्रवृत्ति रूपों की गणना, प्रत्येक समीकरण के लिए समायोजित निर्धारण गुणांक की गणना और इस गुणांक के अधिकतम मूल्य के साथ प्रवृत्ति समीकरण के चयन द्वारा किया जा सकता है। कंप्यूटर डेटा प्रोसेसिंग में इस पद्धति का कार्यान्वयन अपेक्षाकृत सरल है।

मौसमी या चक्रीय उतार-चढ़ाव वाली समय श्रृंखला का विश्लेषण करते समय, सबसे आसान तरीका है कि चलती औसत विधि का उपयोग करके मौसमी घटक के मूल्यों की गणना करें और फॉर्म (1) या (2) में समय श्रृंखला के एक योजक या गुणक मॉडल का निर्माण करें। .

यदि उतार-चढ़ाव का आयाम लगभग स्थिर है, तो एक योजक मॉडल (1) बनाया जाता है जिसमें मौसमी घटक के मूल्यों को विभिन्न चक्रों के लिए स्थिर माना जाता है। यदि मौसमी उतार-चढ़ाव का आयाम बढ़ता या घटता है, तो एक गुणक मॉडल (2) बनाया जाता है, जो श्रृंखला के स्तरों को मौसमी घटक के मूल्यों पर निर्भर करता है।

श्रृंखला के प्रत्येक स्तर के लिए टी, एस या ई के मूल्यों की गणना करने के लिए एक मॉडल (1) या (2) का निर्माण कम कर दिया गया है। मॉडल निर्माण प्रक्रिया में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

चलती औसत पद्धति का उपयोग करके मूल श्रृंखला का संरेखण।

मौसमी घटक एस के मूल्यों की गणना।

श्रृंखला के मूल स्तरों से मौसमी घटक को हटाना और गुणक मॉडल में योगात्मक या (टी ई) में बराबर डेटा (टी + ई) प्राप्त करना।

स्तरों का विश्लेषणात्मक संरेखण (T+E) या (T·E) और व्युत्पन्न प्रवृत्ति समीकरण का उपयोग करके T मानों की गणना।

मॉडल (Т+S) या (Т·S) से प्राप्त मूल्यों की गणना

निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटियों की गणना।

उदाहरण 2. योगात्मक समय श्रृंखला मॉडल बनाना। पहले दिए गए उदाहरण से क्षेत्र के निवासियों द्वारा बिजली की खपत की मात्रा के आंकड़ों पर विचार करें। ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन के विश्लेषण से, यह दिखाया गया कि इस समय श्रृंखला में 4 तिमाहियों की आवृत्ति के साथ मौसमी उतार-चढ़ाव शामिल हैं। शरद ऋतु-सर्दियों की अवधि (I और IV तिमाहियों) में बिजली की खपत की मात्रा वसंत और गर्मियों (II और III तिमाहियों) की तुलना में अधिक है। इस श्रृंखला के ग्राफ के अनुसार, दोलनों के लगभग समान आयाम की उपस्थिति स्थापित करना संभव है। यह एक योज्य मॉडल की संभावित उपस्थिति को इंगित करता है। आइए इसके घटकों की गणना करें।

चरण 1. चल औसत पद्धति का उपयोग करके श्रृंखला के प्रारंभिक स्तरों को संरेखित करें।

चूंकि चक्रीय उतार-चढ़ाव में 4 तिमाहियों की आवृत्ति होती है, आइए हम हर 4 तिमाहियों के लिए क्रमिक रूप से श्रृंखला के स्तरों को एक बिंदु से एक बदलाव के साथ जोड़ते हैं और बिजली की खपत की सशर्त वार्षिक मात्रा निर्धारित करते हैं (तालिका 1 में कॉलम 3)।

प्राप्त राशि को 4 से विभाजित करने पर, हम मूविंग एवरेज (तालिका 1 का कॉलम 4) पाते हैं। इस तरह से प्राप्त समायोजित मूल्यों में अब मौसमी घटक नहीं होते हैं।

चूंकि चलती औसत श्रृंखला के चार पड़ोसी स्तरों के औसत से प्राप्त की जाती है, अर्थात। मानों की एक सम संख्या, वे उप-अंतरालों के मध्यबिंदुओं के अनुरूप होते हैं जिनमें संख्याओं के चौगुने होते हैं, अर्थात। मूल पंक्ति के चारों के तीसरे और चौथे मानों के बीच स्थित होना चाहिए। चलती औसत को मूल श्रृंखला के समान समय के निशान पर स्थित होने के लिए, पड़ोसी चलती औसत के जोड़े को फिर से औसत किया जाता है और केंद्रित चलती औसत प्राप्त की जाती है (तालिका 1 के कॉलम 5)। इस मामले में, समय श्रृंखला के पहले दो और अंतिम दो अंक खो जाते हैं, जो कि चार से अधिक अंकों के औसत से जुड़ा होता है।

तालिका एक

त्रिमास	बिजली की खपत वाई टी	चार तिमाहियां	रपट चार तिमाहियों के लिए औसत	केंद्रित स्थानांतरण	मौसमी अवयव

चरण 2. श्रृंखला के वास्तविक स्तरों (तालिका 1 के कॉलम 2) और केंद्रित चलती औसत (स्तंभ 5) के बीच अंतर के रूप में मौसमी घटक का अनुमान लगाएं। इन मानों को तालिका 1 के कॉलम 6 में रखा गया है और मौसमी घटक (तालिका 2) के मूल्यों की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है, जो मौसमी घटक एस के अनुमान के प्रत्येक तिमाही (सभी वर्षों के लिए) के औसत हैं। मौसमी घटक वाले मॉडल आमतौर पर मानते हैं कि एक अवधि (इस मामले में, एक वर्ष) में मौसमी प्रभाव एक दूसरे को रद्द कर देते हैं। योजक मॉडल में, यह इस तथ्य में व्यक्त किया जाता है कि सभी बिंदुओं (यहां, चार तिमाहियों के लिए) के लिए मौसमी घटक के मूल्यों का योग शून्य के बराबर होना चाहिए।

तालिका 2

इस मॉडल के लिए, मौसमी घटक के औसत अनुमानों का योग है:

0,6-1,958-1,275+2,708=0,075.

डी=0.075/4=0.01875।

आइए मौसमी घटक के समायोजित मूल्यों की गणना करें (वे तालिका 2 की अंतिम पंक्ति में दर्ज हैं):

योग करने पर ये मान पहले से ही शून्य के बराबर हैं:

0,581-1,977-1,294+2,69=0.

चरण 3. मूल समय श्रृंखला के प्रत्येक स्तर से इसके मूल्यों को घटाकर मौसमी घटक के प्रभाव को समाप्त करें। हमें मान मिलते हैं:

टी+ई=वाई-एस(9)

इन मूल्यों की गणना प्रत्येक बिंदु पर की जाती है और इसमें केवल प्रवृत्ति और यादृच्छिक घटक होते हैं (निम्न तालिका का कॉलम 4):

टेबल तीन

चरण 4. आइए इस मॉडल के प्रवृत्ति घटक का निर्धारण करें। ऐसा करने के लिए, हम एक रैखिक प्रवृत्ति का उपयोग करके श्रृंखला (T + E) को संरेखित करेंगे:

इस समीकरण में मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम समय के प्रत्येक क्षण के लिए स्तर T पाते हैं (तालिका 3 का स्तंभ 5)।

चरण 5. आइए योगात्मक मॉडल द्वारा प्राप्त श्रृंखला के स्तरों के मान ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम टी स्तरों में संबंधित तिमाहियों के लिए मौसमी घटक के मूल्यों को जोड़ते हैं, अर्थात। हम कॉलम 3 के मानों को तालिका 3 के कॉलम 5 के मानों में जोड़ते हैं। ऑपरेशन के परिणाम तालिका 3 के कॉलम 6 में प्रस्तुत किए जाते हैं।

चरण 6. योगात्मक मॉडल के निर्माण की पद्धति के अनुसार, हम सूत्र का उपयोग करके त्रुटि की गणना करते हैं:

यह एक निरपेक्ष गलती है। निरपेक्ष त्रुटियों के संख्यात्मक मान तालिका 3 के कॉलम 7 में दिए गए हैं। प्रतिगमन मॉडल के अनुरूप, प्राप्त निरपेक्ष त्रुटियों के वर्गों के योग का उपयोग मॉडल निर्माण की गुणवत्ता का आकलन करने या चयन करने के लिए किया जा सकता है। सबसे अच्छा मॉडल। इस योगात्मक मॉडल के लिए, चुकता निरपेक्ष त्रुटियों का योग 1.10 है। अपने औसत स्तर से श्रृंखला के स्तरों के वर्ग विचलन के कुल योग के संबंध में, 71.59 के बराबर, यह मान 1.5% से थोड़ा अधिक है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि योज्य मॉडल पिछली 16 तिमाहियों में बिजली की खपत की समय श्रृंखला के स्तरों में कुल भिन्नता का 98.5% बताता है। उदाहरण 3. एक गुणक समय श्रृंखला मॉडल का निर्माण। बता दें कि पिछले चार साल के कंपनी के मुनाफे पर तिमाही आंकड़े हैं:

समय श्रृंखला ग्राफ 4 तिमाहियों की आवृत्ति के साथ मौसमी उतार-चढ़ाव की उपस्थिति और श्रृंखला के स्तरों में एक सामान्य घटती प्रवृत्ति को इंगित करता है:

चरण 1. चल औसत पद्धति का उपयोग करके श्रृंखला के प्रारंभिक स्तरों को संरेखित करें। इस चरण में लागू की गई तकनीक पूरी तरह से एडिटिव मॉडल की तकनीक से मेल खाती है। मौसमी घटक के अनुमानों की गणना के परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं:

तालिका 5

त्रिमास	कंपनी लाभ	चार तिमाहियां	चार तिमाहियों के लिए चलती औसत	केंद्रित चलती औसत	मौसमी घटक का अनुमान

चरण 2. श्रृंखला के वास्तविक स्तरों को केंद्रित चलती औसत (तालिका के कॉलम 6) से विभाजित करने के भागफल के रूप में मौसमी घटक का अनुमान लगाएं। हम इन अनुमानों का उपयोग मौसमी घटक एस के मूल्यों की गणना करने के लिए करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम मौसमी घटक एस i के प्रत्येक तिमाही के लिए औसत अनुमान पाते हैं। गुणक मॉडल में मौसमी प्रभावों का पारस्परिक पुनर्भुगतान इस तथ्य में व्यक्त किया जाता है कि सभी तिमाहियों के लिए मौसमी घटक के मूल्यों का योग चक्र में अवधियों की संख्या के बराबर होना चाहिए। हमारे मामले में, एक चक्र (वर्ष) की अवधियों की संख्या चार तिमाहियों के बराबर है। हम तालिका में गणना के परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं:

तालिका 6

यहाँ, सभी चार तिमाहियों के लिए मौसमी घटकों के औसत अनुमानों का योग

चार के बराबर नहीं। इस योग को चार के बराबर करने के लिए, हम प्रत्येक पद को एक सुधार कारक से गुणा करते हैं

समायोजित मौसमी घटकों के मान तालिका 6 की अंतिम पंक्ति में दर्ज किए गए हैं। अब उनका योग चार है। आइए इन मानों को एक नई तालिका में दर्ज करें (तालिका 7 का कॉलम 3):

तालिका 7

चरण 3. मूल श्रृंखला के प्रत्येक स्तर को मौसमी घटक के संगत मानों से विभाजित करें। इस प्रकार, हम मान प्राप्त करते हैं

चरण 4. गुणक मॉडल में प्रवृत्ति घटक को परिभाषित करें। ऐसा करने के लिए, हम स्तरों (T+E) का उपयोग करके रैखिक प्रवृत्ति के मापदंडों की गणना करते हैं। प्रवृत्ति समीकरण है:

इस समीकरण में मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम समय के प्रत्येक क्षण (तालिका के कॉलम 5) के लिए स्तर पाते हैं।

चरण 5। संबंधित तिमाहियों (तालिका के कॉलम 6) के लिए मौसमी घटक के मूल्यों से टी के स्तर को गुणा करके गुणक मॉडल का उपयोग करके श्रृंखला के स्तर का पता लगाएं।

चरण 6. हम सूत्र का उपयोग करके गुणन मॉडल में त्रुटियों की गणना करते हैं:

इस मॉडल में, चुकता पूर्ण त्रुटियों का योग 207.4 है। माध्य मान से इस श्रृंखला के वास्तविक स्तरों के वर्ग विचलन का कुल योग 5023 है। इस प्रकार, श्रृंखला के स्तरों के स्पष्ट विचरण का अनुपात 95.9% है।

योगात्मक या गुणक समय श्रृंखला मॉडल का उपयोग करके पूर्वानुमान को फॉर्म में यादृच्छिक घटक के बिना मॉडल समीकरण का उपयोग करके समय श्रृंखला के भविष्य के मूल्य की गणना करने के लिए कम किया जाता है।

योज्य या के लिए

गुणक मॉडल के लिए।

काल श्रंखला के अंतर्गत समय पर निर्भर आर्थिक मूल्यों को समझें। इस मामले में, समय को असतत माना जाता है; अन्यथा, कोई यादृच्छिक प्रक्रियाओं की बात करता है, न कि समय श्रृंखला की।

6.1. स्थिर और गैर-स्थिर समय श्रृंखला के मॉडल, उनकी पहचान

आइए समय श्रृंखला पर विचार करें एक्स (टी)।समय श्रृंखला को पहले संख्यात्मक मान लेने दें। यह, उदाहरण के लिए, पास के स्टोर में एक पाव रोटी की कीमत या निकटतम विनिमय कार्यालय में डॉलर-रूबल विनिमय दर हो सकती है। आमतौर पर, एक समय श्रृंखला के व्यवहार में दो मुख्य प्रवृत्तियों की पहचान की जाती है - एक प्रवृत्ति और आवधिक उतार-चढ़ाव।

इस मामले में, प्रवृत्ति को एक रैखिक, द्विघात या अन्य प्रकार के समय पर निर्भरता के रूप में समझा जाता है, जो एक या किसी अन्य चौरसाई विधि (उदाहरण के लिए, घातीय चौरसाई) या गणना द्वारा, विशेष रूप से विधि का उपयोग करके प्रकट होता है। कम से कम वर्गों. दूसरे शब्दों में, एक प्रवृत्ति एक समय श्रृंखला की मुख्य प्रवृत्ति है, जो यादृच्छिकता से मुक्त होती है।

समय श्रृंखला आमतौर पर एक प्रवृत्ति के आसपास घूमती है, प्रवृत्ति से विचलन अक्सर सही होता है। अक्सर यह एक प्राकृतिक या निर्दिष्ट आवृत्ति के कारण होता है, जैसे कि मौसमी या साप्ताहिक, मासिक या त्रैमासिक (उदाहरण के लिए, पेरोल और कर भुगतान कार्यक्रम के अनुसार)। कभी-कभी आवधिकता की उपस्थिति, और इससे भी अधिक इसके कारण स्पष्ट नहीं होते हैं, और अर्थशास्त्री का कार्य यह पता लगाना है कि क्या वास्तव में आवधिकता है।

समय श्रृंखला की विशेषताओं का आकलन करने के लिए प्राथमिक तरीकों को आमतौर पर "सांख्यिकी के सामान्य सिद्धांत" के पाठ्यक्रमों में पर्याप्त विस्तार से माना जाता है (उदाहरण के लिए, पाठ्यपुस्तकें देखें), इसलिए यहां उनका विस्तार से विश्लेषण करने की आवश्यकता नहीं है। (हालांकि, अवधि की लंबाई और आवधिक घटक के आकलन के लिए कुछ आधुनिक तरीकों पर नीचे चर्चा की जाएगी।)

समय श्रृंखला विशेषताएं. अधिक जानकारी के लिए विस्तृत अध्ययनसमय श्रृंखला, संभाव्य-सांख्यिकीय मॉडल का उपयोग किया जाता है। उसी समय, समय श्रृंखला एक्स (टी)एक यादृच्छिक प्रक्रिया के रूप में माना जाता है (असतत समय के साथ) मुख्य विशेषताएं गणितीय अपेक्षाएं हैं एक्स (टी), अर्थात।

फैलाव एक्स (टी), अर्थात।

तथा ऑटोसहसंबंध समारोहसमय श्रृंखला एक्स (टी)

वे। समय श्रृंखला के दो मूल्यों के बीच सहसंबंध गुणांक के बराबर दो चर का कार्य एक्स (टी)तथा एक्स (एस)।

सैद्धांतिक और अनुप्रयुक्त अनुसंधान में, समय श्रृंखला मॉडल की एक विस्तृत श्रृंखला पर विचार किया जाता है। पहले चुनें स्थावरमॉडल। उनके पास किसी भी समय बिंदुओं के लिए संयुक्त वितरण कार्य हैं क, और इसलिए ऊपर सूचीबद्ध समय श्रृंखला की सभी विशेषताएं समय के साथ मत बदलो. विशेष रूप से, गणितीय अपेक्षा और विचरण स्थिरांक हैं, ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन केवल अंतर पर निर्भर करता है टी-एस.समय श्रृंखला जो स्थिर नहीं होती, कहलाती है गैर-स्थिर।

रैखिक प्रतिगमन मॉडल होमोसेडैस्टिक और विषमलैंगिक, स्वतंत्र और स्वत: सहसंबद्ध अवशेषों के साथ। जैसा कि ऊपर से देखा जा सकता है, मुख्य बात यादृच्छिक विचलन से समय श्रृंखला की "सफाई" है, अर्थात। गणितीय अपेक्षा का अनुमान। अध्याय 5 में चर्चा किए गए सरल प्रतिगमन मॉडल के विपरीत, अधिक जटिल मॉडल स्वाभाविक रूप से सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, विचरण समय पर निर्भर हो सकता है। ऐसे मॉडलों को हेटेरोसेडैस्टिक कहा जाता है, और जिनमें समय पर निर्भरता नहीं होती है उन्हें होमोसेडैस्टिक कहा जाता है। (अधिक सटीक रूप से, ये शब्द न केवल "समय" चर के लिए बल्कि अन्य चर के लिए भी संदर्भित कर सकते हैं।)

इसके अलावा, अध्याय 5 में, यह माना गया था कि त्रुटियां एक दूसरे से स्वतंत्र हैं। इस अध्याय के संदर्भ में, इसका अर्थ यह होगा कि ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन पतित होना चाहिए - 1 के बराबर यदि तर्क समान हैं और 0 यदि वे नहीं हैं। यह स्पष्ट है कि रीयल टाइम सीरीज़ के लिए हमेशा ऐसा नहीं होता है। यदि प्रेक्षित प्रक्रिया में परिवर्तन का प्राकृतिक क्रम क्रमिक प्रेक्षणों के बीच के अंतराल की तुलना में काफी तेज है, तो हम स्वतः सहसंबंध के "लुप्त होने" और लगभग स्वतंत्र अवशिष्ट प्राप्त करने की उम्मीद कर सकते हैं, अन्यथा अवशेष स्वतः सहसंबद्ध होंगे।

मॉडल की पहचानमॉडल की पहचान को आमतौर पर उनकी संरचना को प्रकट करने और मापदंडों का अनुमान लगाने के रूप में समझा जाता है। चूंकि संरचना भी एक पैरामीटर है, भले ही एक गैर-संख्यात्मक (अध्याय 8 देखें), हम अर्थमिति के विशिष्ट कार्यों में से एक के बारे में बात कर रहे हैं - पैरामीटर अनुमान।

अनुमान की समस्या रैखिक (मापदंडों के संदर्भ में) मॉडल के लिए सबसे आसानी से हल हो जाती है जिसमें समरूप स्वतंत्र अवशिष्ट होते हैं। रैखिक (मापदंडों द्वारा) प्रतिगमन मॉडल के अध्याय 5 में चर्चा की गई कम से कम वर्गों और कम से कम मॉड्यूल विधियों के आधार पर समय श्रृंखला में निर्भरता की बहाली की जा सकती है। रजिस्टरों के आवश्यक सेट के आकलन से जुड़े परिणाम समय श्रृंखला के मामले में स्थानांतरित किए जा सकते हैं; विशेष रूप से, त्रिकोणमितीय बहुपद की डिग्री के अनुमान के सीमित ज्यामितीय वितरण को प्राप्त करना आसान है।

हालाँकि, इस तरह के एक साधारण स्थानांतरण को अधिक सामान्य स्थिति में नहीं बनाया जा सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, विषमलैंगिक और स्वत: सहसंबद्ध अवशेषों के साथ एक समय श्रृंखला के मामले में, आप फिर से कम से कम वर्ग विधि के सामान्य दृष्टिकोण का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन कम से कम वर्ग विधि के समीकरणों की प्रणाली और, स्वाभाविक रूप से, इसका समाधान अलग होगा . अध्याय 5 में वर्णित मैट्रिक्स बीजगणित के सूत्र भिन्न होंगे। इसलिए, विचाराधीन विधि को " सामान्यीकृत कम से कम वर्ग(OMNK)" (देखें, उदाहरण के लिए,)।

टिप्पणी।जैसा कि अध्याय 5 में उल्लेख किया गया है, कम से कम वर्ग विधि का सबसे सरल मॉडल बहुत दूर सामान्यीकरण की अनुमति देता है, विशेष रूप से समय श्रृंखला के लिए एक साथ अर्थमितीय समीकरणों के सिस्टम के क्षेत्र में। प्रासंगिक सिद्धांत और एल्गोरिदम को समझने के लिए, मैट्रिक्स बीजगणित का एक पेशेवर ज्ञान आवश्यक है। इसलिए, हम उन लोगों को संदर्भित करते हैं जो अर्थमितीय समीकरणों की प्रणालियों और सीधे समय श्रृंखला पर साहित्य में रुचि रखते हैं, जिसमें वर्णक्रमीय सिद्धांत में बहुत रुचि है, अर्थात। सिग्नल को शोर से अलग करना और इसे हार्मोनिक्स में विघटित करना। हम एक बार फिर इस बात पर जोर देते हैं कि इस पुस्तक के प्रत्येक अध्याय के पीछे वैज्ञानिक और अनुप्रयुक्त अनुसंधान का एक बड़ा क्षेत्र है, जो इसके लिए काफी प्रयास करने योग्य है। हालांकि, पुस्तक की सीमित मात्रा के कारण, हम प्रस्तुति को संक्षिप्त बनाने के लिए मजबूर हैं।