नगर शैक्षिक संस्थान

व्यायामशाला संख्या 6

"संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा" विषय पर।

8वीं "बी" कक्षा के एक छात्र द्वारा पूरा किया गया

क्लिमांतोवा एलेक्जेंड्रा।

गणित शिक्षक: विदेनकिना वी.ए.

वोरोनिश, 2008

कई खेल पासे का उपयोग करते हैं। पासे में 6 फलक होते हैं, प्रत्येक फलक में 1 से 6 तक भिन्न-भिन्न अंक होते हैं। खिलाड़ी पासे को फेंकता है और देखता है कि गिराए गए चेहरे पर कितने बिंदु हैं (चेहरे पर जो शीर्ष पर स्थित है)। अक्सर, पासे के किनारे पर डॉट्स को संबंधित संख्या से बदल दिया जाता है और फिर वे 1, 2 या 6 के रोल के बारे में बात करते हैं। पासे को फेंकना एक अनुभव, एक प्रयोग, एक परीक्षण और प्राप्त परिणाम माना जा सकता है। परीक्षण या एक प्राथमिक घटना का परिणाम है। लोग किसी घटना की शुरुआत का अनुमान लगाने, उसके परिणाम की भविष्यवाणी करने में रुचि रखते हैं। एक पासे को लुढ़कने पर वे क्या भविष्यवाणियाँ कर सकते हैं? उदाहरण के लिए, ये:

1) घटना ए - संख्या 1, 2, 3, 4, 5 या 6 बाहर आती है;

2) घटना बी - संख्या 7, 8 या 9 गिरती है;

3) घटना सी - नंबर 1 बाहर आता है।

पहले मामले में भविष्यवाणी की गई घटना ए निश्चित रूप से आएगी। सामान्य तौर पर, एक घटना जो किसी दिए गए अनुभव में घटित होना निश्चित है, कहलाती है निश्चित घटना .

घटना बी, दूसरे मामले में भविष्यवाणी की गई, कभी नहीं होगी, यह बस असंभव है। सामान्य तौर पर, एक घटना जो किसी प्रयोग में घटित नहीं हो सकती है, कहलाती है असंभव घटना .

तीसरे मामले में भविष्यवाणी की गई घटना सी होगी या नहीं? हम इस प्रश्न का उत्तर पूर्ण निश्चितता के साथ नहीं दे पा रहे हैं, क्योंकि 1 हो भी सकता है और नहीं भी। एक घटना जो किसी दिए गए अनुभव में घटित हो भी सकती है और नहीं भी कहलाती है यादृच्छिक घटना .

एक निश्चित घटना की शुरुआत के बारे में सोचते हुए, हम सबसे अधिक संभावना है कि हम "शायद" शब्द का प्रयोग नहीं करेंगे। उदाहरण के लिए, यदि आज बुधवार है, तो कल गुरुवार है, यह एक निश्चित घटना है। बुधवार को हम यह नहीं कहेंगे: "शायद कल गुरुवार है", हम संक्षेप में और स्पष्ट रूप से कहेंगे: "कल गुरुवार है।" वास्तव में, अगर हम करते हैं सुंदर वाक्यांश, तो हम यह कह सकते हैं: "एक सौ प्रतिशत संभावना के साथ मैं कहता हूं कि कल गुरुवार है।" इसके विपरीत, यदि आज बुधवार है, तो आने वाले कल शुक्रवार एक असंभव घटना है। बुधवार की इस घटना का मूल्यांकन करते हुए, हम यह कह सकते हैं: "मुझे यकीन है कि कल शुक्रवार नहीं है।" या इस तरह: "यह अविश्वसनीय है कि कल शुक्रवार है।" ठीक है, अगर हम सुंदर वाक्यांशों के लिए प्रवण हैं, तो हम यह कह सकते हैं: "कल शुक्रवार होने की संभावना शून्य है।" तो, एक निश्चित घटना एक घटना है जो दी गई शर्तों के तहत होती है। 100% निश्चितता के साथ(अर्थात 10 में से 10 मामलों में, 100 में से 100 मामलों में आना, आदि)। एक असंभव घटना एक ऐसी घटना है जो दी गई परिस्थितियों में कभी नहीं होती है, एक घटना शून्य संभावना के साथ .

लेकिन, दुर्भाग्य से (और शायद सौभाग्य से), जीवन में सब कुछ इतना स्पष्ट और स्पष्ट नहीं है: यह हमेशा होगा (निश्चित घटना), यह कभी नहीं होगा (असंभव घटना)। सबसे अधिक बार, हमें यादृच्छिक घटनाओं का सामना करना पड़ता है, जिनमें से कुछ की संभावना अधिक होती है, अन्य की कम संभावना होती है। आम तौर पर लोग "अधिक संभावना" या "कम संभावना" शब्दों का प्रयोग करते हैं, जैसा कि वे कहते हैं, वे जो कहते हैं उसके आधार पर, व्यावहारिक बुद्धि. लेकिन बहुत बार ऐसे अनुमान अपर्याप्त साबित होते हैं, क्योंकि यह जानना महत्वपूर्ण है कितनाप्रतिशत संभावना एक यादृच्छिक घटना या कितनी बारएक यादृच्छिक घटना दूसरे की तुलना में अधिक होने की संभावना है। दूसरे शब्दों में, हमें सटीक चाहिए मात्रात्मकविशेषताएँ, आपको एक संख्या द्वारा संभाव्यता को चिह्नित करने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

हम पहले ही इस दिशा में पहला कदम उठा चुके हैं। हमने कहा कि किसी निश्चित घटना के घटित होने की प्रायिकता की विशेषता है: एक सौ प्रतिशत, और एक असंभव घटना के घटित होने की प्रायिकता है शून्य. यह देखते हुए कि 100% 1 के बराबर है, लोग निम्नलिखित पर सहमत हुए हैं:

1) एक निश्चित घटना की संभावना के बराबर माना जाता है 1;

2) एक असंभव घटना की प्रायिकता को के बराबर माना जाता है 0.

आप एक यादृच्छिक घटना की संभावना की गणना कैसे करते हैं? आखिर हुआ ऐसा संयोगवश, जिसका अर्थ है कि यह कानूनों, एल्गोरिदम, सूत्रों का पालन नहीं करता है। यह पता चला है कि कुछ कानून यादृच्छिकता की दुनिया में काम करते हैं, जिससे आप संभावनाओं की गणना कर सकते हैं। यह गणित की वह शाखा है जिसे कहते हैं - सिद्धांत संभावना .

गणित का संबंध से है नमूनाहमारे आसपास की वास्तविकता की कुछ घटना। संभाव्यता सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले सभी मॉडलों में से, हम खुद को सबसे सरल तक सीमित रखेंगे।

शास्त्रीय संभाव्य योजना

किसी प्रयोग के दौरान किसी घटना A की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए, किसी को यह करना चाहिए:

1) इस अनुभव के सभी संभावित परिणामों की संख्या N ज्ञात कीजिए;

2) इस धारणा को स्वीकार करें कि ये सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं (समान रूप से संभव);

3) उस अनुभव के उन परिणामों की संख्या N(A) ज्ञात कीजिए जिसमें घटना A घटित होती है;

4) एक निजी खोजें ; यह घटना A की प्रायिकता के बराबर होगा।

यह एक घटना ए की संभावना को पी (ए) के रूप में नामित करने के लिए प्रथागत है। इस पद के लिए स्पष्टीकरण बहुत सरल है: फ्रेंच में "संभावना" शब्द है संभावना, अंग्रेजी में- संभावनापदनाम शब्द के पहले अक्षर का उपयोग करता है।

इस संकेतन का प्रयोग करते हुए, घटना A की प्रायिकता by शास्त्रीय पैटर्नसूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है

पी (ए) =।

अक्सर दी गई शास्त्रीय संभाव्यता योजना के सभी बिंदु एक लंबे वाक्यांश में व्यक्त किए जाते हैं।

प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा

एक निश्चित परीक्षण के दौरान एक घटना ए की संभावना परिणामों की संख्या का अनुपात है, जिसके परिणामस्वरूप घटना ए होती है, और कुल गणनाइस परीक्षण के सभी समान रूप से संभव परिणाम।

उदाहरण 1. एक पासे को एक बार फेंकने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: a) 4; बी) 5; ग) अंकों की एक समान संख्या; डी) 4 से अधिक अंकों की संख्या; ई) अंकों की संख्या तीन का गुणज नहीं।

समाधान. कुल मिलाकर, N=6 संभावित परिणाम हैं: 1, 2, 3, 4, 5, या 6 के बराबर अंकों वाले घन के एक फलक को गिराना। हम मानते हैं कि उनमें से किसी का भी दूसरों पर कोई लाभ नहीं है, अर्थात्, हम इन परिणामों की समानता की धारणा को स्वीकार करते हैं।

ए) वास्तव में परिणामों में से एक में, हमारे लिए ब्याज की घटना होगी - संख्या 4 का नुकसान। इसलिए, एन (ए) \u003d 1 और

पी ( ए )= =.

बी) समाधान और उत्तर पिछले पैराग्राफ के समान हैं।

सी) हमारे लिए रुचि की घटना बी ठीक तीन मामलों में घटित होगी जब अंकों की संख्या 2, 4 या 6 हो। इसलिए,

एन ( बी )=3 और पी ( बी )==.

d) हमारे लिए ब्याज की घटना C ठीक दो मामलों में घटित होगी जब अंकों की संख्या 5 या 6 हो। इसलिए,

एन ( सी ) = 2 और पी (सी) =।

ई) खींची गई छह संभावित संख्याओं में से चार (1, 2, 4 और 5) तीन के गुणज नहीं हैं, और शेष दो (3 और 6) तीन से विभाज्य हैं। इसका मतलब यह है कि हमारे लिए रुचि की घटना छह में से चार संभव और आपस में समान रूप से संभावित और आपस में समान रूप से संभावित अनुभव के परिणामों में होती है। इसलिए, उत्तर है

. ; बी) ; में) ; जी) ; इ)।

एक वास्तविक खेल पासा एक आदर्श (मॉडल) पासा से अच्छी तरह से भिन्न हो सकता है, इसलिए, इसके व्यवहार का वर्णन करने के लिए, एक अधिक सटीक और विस्तृत मॉडल की आवश्यकता होती है, एक चेहरे के दूसरे पर फायदे, चुंबक की संभावित उपस्थिति आदि को ध्यान में रखते हुए। लेकिन "शैतान विवरण में है", और अधिक सटीकता अधिक जटिलता की ओर ले जाती है, और उत्तर प्राप्त करना एक समस्या बन जाता है। हम खुद को सबसे सरल संभाव्य मॉडल पर विचार करने तक सीमित रखते हैं, जहां सभी संभावित परिणाम समान रूप से संभावित हैं।

टिप्पणी 1. आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। प्रश्न पूछा गया था: "एक पासे के एक रोल पर तीन आने की क्या प्रायिकता है?" छात्र ने इस तरह उत्तर दिया: "संभावना 0.5 है।" और उसने अपने उत्तर की व्याख्या की: “तीनों या तो बाहर हो जाएंगे या नहीं। इसका मतलब है कि कुल मिलाकर दो परिणाम हैं, और ठीक एक घटना में हमारे लिए रुचि की घटना होती है। शास्त्रीय संभाव्यता योजना के अनुसार, हमें उत्तर 0.5 मिलता है। क्या इस तर्क में कोई त्रुटि है? पहली नज़र में, नहीं। हालाँकि, यह अभी भी है, और एक मौलिक क्षण में है। हां, वास्तव में, ट्रिपल या तो बाहर गिर जाएगा या नहीं, यानी थ्रो के परिणाम की ऐसी परिभाषा के साथ, एन = 2। यह भी सच है कि N(A)=1 और निश्चित रूप से, यह सच है कि

=0.5, यानी, संभाव्य योजना के तीन बिंदुओं को ध्यान में रखा जाता है, लेकिन बिंदु 2 की पूर्ति संदिग्ध है)। बेशक, विशुद्ध रूप से कानूनी दृष्टिकोण से, हमें यह मानने का अधिकार है कि एक तिहाई का नुकसान समान रूप से विफल होने की संभावना है। लेकिन क्या हम चेहरों की "समानता" के बारे में अपनी प्राकृतिक धारणाओं का उल्लंघन किए बिना ऐसा सोच सकते हैं? बिलकूल नही! यहां हम कुछ मॉडल के भीतर सही तर्क के साथ काम कर रहे हैं। केवल यह मॉडल ही "गलत" है, वास्तविक घटना के अनुरूप नहीं है।

टिप्पणी 2. संभाव्यता पर चर्चा करते समय, निम्नलिखित महत्वपूर्ण परिस्थितियों पर ध्यान न दें। यदि हम कहते हैं कि जब एक पासे को उछाला जाता है, तो एक अंक प्राप्त करने की प्रायिकता है

इसका मतलब यह कतई नहीं है कि पासे को 6 बार घुमाने पर आपको ठीक एक बार एक अंक मिलेगा, पासे को 12 बार घुमाने से आपको ठीक दो बार एक अंक मिलेगा, 18 बार पासे को घुमाने पर आपको ठीक तीन बार एक अंक मिलेगा , आदि। शब्द में शायद एक अनुमानात्मक चरित्र है। हम मानते हैं कि ऐसा होने की संभावना है। संभवत: यदि हम पासे को 600 बार घुमाते हैं, तो एक अंक 100 बार या लगभग 100 बार आएगा।

घटनाओं को उनकी संभावना की डिग्री के अनुसार एक दूसरे के साथ मात्रात्मक रूप से तुलना करने के लिए, प्रत्येक घटना के साथ संबद्ध होना स्पष्ट रूप से आवश्यक है निश्चित संख्या, जो जितना बड़ा होगा, घटना उतनी ही अधिक संभव होगी। इस संख्या को हम घटना की प्रायिकता कहते हैं। इस तरह, घटना की संभावनाइस घटना की वस्तुनिष्ठ संभावना की डिग्री का एक संख्यात्मक माप है।

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा, जो जुए के विश्लेषण से उत्पन्न हुई और शुरू में सहज रूप से लागू की गई, को संभाव्यता की पहली परिभाषा माना जाना चाहिए।

संभाव्यता निर्धारित करने का शास्त्रीय तरीका समान रूप से संभावित और असंगत घटनाओं की अवधारणा पर आधारित है, जो किसी दिए गए अनुभव और रूप के परिणाम हैं। पूरा समूहअसंगत घटनाएँ।

एक पूर्ण समूह बनाने वाली समान रूप से संभव और असंगत घटनाओं का सबसे सरल उदाहरण एक कलश से एक या दूसरी गेंद की उपस्थिति है जिसमें समान आकार, वजन और अन्य मूर्त विशेषताओं की कई गेंदें होती हैं, जो केवल रंग में भिन्न होती हैं, बाहर निकालने से पहले अच्छी तरह मिश्रित होती हैं .

इसलिए, एक परीक्षण, जिसके परिणाम असंगत और समान रूप से संभावित घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं, को कलश की योजना, या मामलों की योजना, या शास्त्रीय योजना में फिट करने के लिए कहा जाता है।

समान रूप से संभव और असंगत घटनाएँ जो एक संपूर्ण समूह बनाती हैं, उन्हें केवल केस या चांस कहा जाएगा। इसके अलावा, प्रत्येक प्रयोग में, मामलों के साथ, अधिक जटिल घटनाएं हो सकती हैं।

उदाहरण: एक पासे को उछालते समय, मामलों के साथ-साथ A i-i-बिंदु ऊपरी फलक पर गिरते हैं, घटनाएँ जैसे B - सम संख्या में अंक गिरते हैं, C - तीन बिंदुओं का गुणज गिरना ...

प्रयोग के कार्यान्वयन के दौरान होने वाली प्रत्येक घटना के संबंध में, मामलों को विभाजित किया गया है अनुकूल, जिस पर यह घटना होती है, और प्रतिकूल, जिस पर घटना नहीं होती है। पिछले उदाहरण में, घटना B को मामलों A 2 , A 4 , A 6 द्वारा पसंद किया गया है; घटना सी - मामले ए 3, ए 6।

शास्त्रीय संभावनाकिसी घटना का घटित होना उन मामलों की संख्या का अनुपात है जो इस घटना के प्रकट होने के पक्ष में हैं और समान रूप से संभव, असंगत, किसी दिए गए अनुभव में एक पूर्ण समूह का गठन करने वाले मामलों की कुल संख्या का अनुपात है:

कहाँ पे पी (ए)- घटना ए की घटना की संभावना; एम- घटना ए के लिए अनुकूल मामलों की संख्या; एनमामलों की कुल संख्या है।

उदाहरण:

1) (ऊपर उदाहरण देखें) पी (बी)= , पी (सी) =.

2) एक कलश में 9 लाल और 6 नीली गेंदें हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से निकाली गई एक या दो गेंदें लाल होंगी।

लेकिन- यादृच्छिक रूप से खींची गई एक लाल गेंद:

एम= 9, एन= 9 + 6 = 15, पी (ए)=

बी- यादृच्छिक रूप से खींची गई दो लाल गेंदें:

निम्नलिखित गुण प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा से अनुसरण करते हैं (स्वयं को दिखाएं):

1) एक असंभव घटना की प्रायिकता 0 है;

2) एक निश्चित घटना की संभावना 1 है;

3) किसी भी घटना की प्रायिकता 0 और 1 के बीच होती है;

4) घटना ए के विपरीत घटना की संभावना,

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा मानती है कि परीक्षण के परिणामों की संख्या सीमित है। व्यवहार में, हालांकि, बहुत बार परीक्षण होते हैं, जिनमें से संभावित मामलों की संख्या अनंत होती है। इसके अलावा, शास्त्रीय परिभाषा की कमजोरी यह है कि प्राथमिक घटनाओं के एक सेट के रूप में एक परीक्षण के परिणाम का प्रतिनिधित्व करना अक्सर असंभव होता है। परीक्षण के प्रारंभिक परिणामों को समान रूप से संभावित मानने के आधारों को इंगित करना और भी कठिन है। आमतौर पर, परीक्षण के प्राथमिक परिणामों की समानता समरूपता के विचारों से संपन्न होती है। हालांकि, व्यवहार में ऐसे कार्य बहुत दुर्लभ हैं। इन कारणों से, प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा के साथ, संभाव्यता की अन्य परिभाषाओं का भी उपयोग किया जाता है।

सांख्यिकीय संभावनाघटना ए प्रदर्शन किए गए परीक्षणों में इस घटना की घटना की सापेक्ष आवृत्ति है:

घटना A के घटित होने की प्रायिकता कहाँ है;

घटना ए की घटना की सापेक्ष आवृत्ति;

परीक्षण की संख्या जिसमें घटना A उपस्थित हुई;

परीक्षणों की कुल संख्या।

शास्त्रीय संभाव्यता के विपरीत, सांख्यिकीय संभाव्यता प्रयोगात्मक, प्रयोगात्मक की विशेषता है।

उदाहरण: एक बैच से उत्पादों की गुणवत्ता को नियंत्रित करने के लिए, 100 उत्पादों को यादृच्छिक रूप से चुना गया, जिनमें से 3 उत्पाद खराब निकले। विवाह की संभावना का निर्धारण करें।

.

संभाव्यता निर्धारित करने की सांख्यिकीय पद्धति केवल उन घटनाओं पर लागू होती है जिनमें निम्नलिखित गुण होते हैं:

विचाराधीन घटनाएँ केवल उन्हीं परीक्षणों के परिणाम होने चाहिए जिन्हें समान शर्तों के तहत असीमित संख्या में पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है।

घटनाओं में सांख्यिकीय स्थिरता (या सापेक्ष आवृत्तियों की स्थिरता) होनी चाहिए। इसका मतलब यह है कि परीक्षणों की विभिन्न श्रृंखलाओं में घटना की सापेक्ष आवृत्ति महत्वपूर्ण रूप से नहीं बदलती है।

घटना A में परिणित होने वाले परीक्षणों की संख्या काफी बड़ी होनी चाहिए।

यह सत्यापित करना आसान है कि प्रायिकता के गुण, जो शास्त्रीय परिभाषा से अनुसरण करते हैं, संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा में भी संरक्षित हैं।

प्रारंभ में, पासा के खेल की जानकारी और अनुभवजन्य टिप्पणियों का एक संग्रह होने के नाते, संभाव्यता का सिद्धांत एक ठोस विज्ञान बन गया है। फ़र्मेट और पास्कल ने इसे गणितीय ढांचा देने वाले पहले व्यक्ति थे।

शाश्वत पर चिंतन से लेकर संभाव्यता के सिद्धांत तक

दो व्यक्ति जिनके लिए संभाव्यता का सिद्धांत कई मौलिक सूत्रों का बकाया है, ब्लेज़ पास्कल और थॉमस बेयस, गहरे धार्मिक लोगों के रूप में जाने जाते हैं, बाद वाले एक प्रेस्बिटेरियन मंत्री थे। जाहिर है, इन दोनों वैज्ञानिकों की इच्छा ने एक निश्चित फॉर्च्यून के बारे में राय की झूठ को साबित करने के लिए, अपने पसंदीदा को शुभकामनाएं देकर इस क्षेत्र में शोध को गति दी। वास्तव में, कोई भी जुआअपनी जीत और हार के साथ, यह सिर्फ गणितीय सिद्धांतों की एक सिम्फनी है।

शेवेलियर डी मेरे के उत्साह के लिए धन्यवाद, जो समान रूप से एक जुआरी था और एक व्यक्ति जो विज्ञान के प्रति उदासीन नहीं था, पास्कल को संभाव्यता की गणना करने का एक तरीका खोजने के लिए मजबूर होना पड़ा। डी मेरे इस प्रश्न में रुचि रखते थे: "आपको कितनी बार दो पासे जोड़े में फेंकने की आवश्यकता है ताकि 12 अंक प्राप्त करने की संभावना 50% से अधिक हो?"। दूसरा प्रश्न जो सज्जन को अत्यधिक रुचिकर लगा: "अधूरे खेल में प्रतिभागियों के बीच दांव को कैसे विभाजित किया जाए?" बेशक, पास्कल ने डे मेरे के दोनों सवालों का सफलतापूर्वक जवाब दिया, जो संभाव्यता के सिद्धांत के विकास के अनजाने सर्जक बन गए। यह दिलचस्प है कि डे मेरे का व्यक्ति इस क्षेत्र में जाना जाता है, न कि साहित्य में।

इससे पहले, किसी भी गणितज्ञ ने अभी तक घटनाओं की संभावनाओं की गणना करने का प्रयास नहीं किया है, क्योंकि यह माना जाता था कि यह केवल एक अनुमान समाधान था। ब्लेज़ पास्कल ने किसी घटना की प्रायिकता की पहली परिभाषा दी और दिखाया कि यह एक विशिष्ट आंकड़ा है जिसे गणितीय रूप से उचित ठहराया जा सकता है। संभाव्यता सिद्धांत आँकड़ों का आधार बन गया है और आधुनिक विज्ञान में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

यादृच्छिकता क्या है

यदि हम एक परीक्षण पर विचार करते हैं जिसे अनंत बार दोहराया जा सकता है, तो हम एक यादृच्छिक घटना को परिभाषित कर सकते हैं। यह अनुभव के संभावित परिणामों में से एक है।

अनुभव अपरिवर्तित परिस्थितियों में विशिष्ट क्रियाओं का कार्यान्वयन है।

अनुभव के परिणामों के साथ काम करने में सक्षम होने के लिए, घटनाओं को आमतौर पर ए, बी, सी, डी, ई अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है ...

यादृच्छिक घटना की प्रायिकता

संभाव्यता के गणितीय भाग में आगे बढ़ने में सक्षम होने के लिए, इसके सभी घटकों को परिभाषित करना आवश्यक है।

किसी घटना की प्रायिकता एक अनुभव के परिणामस्वरूप किसी घटना (ए या बी) के घटित होने की संभावना का एक संख्यात्मक माप है। संभावना को पी (ए) या पी (बी) के रूप में दर्शाया गया है।

संभाव्यता सिद्धांत है:

• भरोसेमंदघटना (Ω) = 1 प्रयोग के परिणामस्वरूप घटित होने की गारंटी है;
• असंभवघटना कभी नहीं हो सकती Р(Ø) = 0;
• यादृच्छिक रूप सेघटना निश्चित और असंभव के बीच होती है, अर्थात, इसके घटित होने की संभावना संभव है, लेकिन इसकी गारंटी नहीं है (एक यादृच्छिक घटना की संभावना हमेशा 0≤P(A)≤1 के भीतर होती है)।

घटनाओं के बीच संबंध

दोनों एक और घटनाओं के योग ए + बी पर विचार किया जाता है जब घटना को कम से कम एक घटक, ए या बी, या दोनों - ए और बी के कार्यान्वयन में गिना जाता है।

एक दूसरे के संबंध में, घटनाएँ हो सकती हैं:

• उतना ही संभव है।
• अनुकूल।
• असंगत।
• विपरीत (परस्पर अनन्य)।
• आश्रित।

यदि दो घटनाएँ समान प्रायिकता के साथ घटित हो सकती हैं, तो वे समान रूप से संभव.

यदि घटना A का घटित होना घटना B के घटित होने की प्रायिकता को समाप्त नहीं करता है, तो वे अनुकूल।

यदि घटनाएँ A और B एक ही प्रयोग में एक ही समय में कभी घटित नहीं होती हैं, तो वे कहलाती हैं असंगत. सिक्के को उछालना - अच्छा उदाहरण: पटों का प्रकट होना स्वतः ही सिरों का प्रकट न होना है।

ऐसी असंगत घटनाओं के योग की प्रायिकता में प्रत्येक घटना की प्रायिकताओं का योग होता है:

पी(ए+बी)=पी(ए)+पी(बी)

यदि एक घटना का घटित होना दूसरी घटना की घटना को असंभव बना देता है, तो उन्हें विपरीत कहा जाता है। फिर उनमें से एक को ए के रूप में नामित किया जाता है, और दूसरा - ("ए नहीं" के रूप में पढ़ा जाता है)। घटना ए की घटना का मतलब है कि नहीं हुआ। ये दो घटनाएँ 1 के बराबर प्रायिकताओं के योग के साथ एक पूरा समूह बनाती हैं।

आश्रित घटनाओं का परस्पर प्रभाव होता है, एक दूसरे की संभावना घटती या बढ़ती है।

घटनाओं के बीच संबंध। उदाहरण

संभाव्यता सिद्धांत के सिद्धांतों और उदाहरणों का उपयोग करके घटनाओं के संयोजन को समझना बहुत आसान है।

जो प्रयोग किया जाएगा वह गेंदों को बॉक्स से बाहर निकालना है, और प्रत्येक प्रयोग का परिणाम एक प्रारंभिक परिणाम है।

एक घटना एक अनुभव के संभावित परिणामों में से एक है - एक लाल गेंद, एक नीली गेंद, छह नंबर वाली गेंद, आदि।

टेस्ट नंबर 1. 6 गेंदें हैं, जिनमें से तीन विषम संख्याओं वाली नीली हैं, और अन्य तीन सम संख्याओं वाली लाल हैं।

टेस्ट नंबर 2. 6 गेंदें भाग लें नीले रंग काएक से छह तक की संख्या के साथ।

इस उदाहरण के आधार पर, हम संयोजनों को नाम दे सकते हैं:

• विश्वसनीय घटना।स्पेनिश में नंबर 2, घटना "नीली गेंद प्राप्त करें" विश्वसनीय है, क्योंकि इसकी घटना की संभावना 1 है, क्योंकि सभी गेंदें नीली हैं और कोई चूक नहीं हो सकती है। जबकि घटना "गेंद को नंबर 1 के साथ प्राप्त करें" यादृच्छिक है।
• असंभव घटना।स्पेनिश में नीली और लाल गेंदों के साथ नंबर 1, घटना "बैंगनी गेंद प्राप्त करें" असंभव है, क्योंकि इसकी घटना की संभावना 0 है।
• समतुल्य घटनाएँ।स्पेनिश में नंबर 1, "नंबर 2 के साथ गेंद प्राप्त करें" और "नंबर 3 के साथ गेंद प्राप्त करें" की घटनाएं समान रूप से होने की संभावना है, और घटनाएं "एक समान संख्या के साथ गेंद प्राप्त करें" और "संख्या 2 के साथ गेंद प्राप्त करें" "अलग-अलग संभावनाएं हैं।
• संगत घटनाएँ।एक पासे को लगातार दो बार फेंकने की प्रक्रिया में एक छक्का प्राप्त करना संगत घटनाएँ हैं।
• असंगत घटनाएँ।उसी स्पेनिश में नंबर 1 इवेंट "गेट द रेड बॉल" और "गेट द बॉल विथ ऑड नंबर" को एक ही अनुभव में नहीं जोड़ा जा सकता है।
• विपरीत घटनाएँ।अधिकांश एक प्रमुख उदाहरणयह सिक्का उछालना है, जब सिर खींचना पूंछ नहीं खींचने के समान होता है, और उनकी संभावनाओं का योग हमेशा 1 (पूर्ण समूह) होता है।
• आश्रित घटनाएं. तो, स्पेनिश में नंबर 1, आप लगातार दो बार लाल गेंद निकालने का लक्ष्य निर्धारित कर सकते हैं। इसे पहली बार निकालने या न निकालने से दूसरी बार निकालने की संभावना प्रभावित होती है।

यह देखा जा सकता है कि पहली घटना दूसरी (40% और 60%) की संभावना को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करती है।

घटना की संभावना सूत्र

भाग्य-बताने से सटीक डेटा में संक्रमण विषय को गणितीय विमान में स्थानांतरित करके होता है। यही है, "उच्च संभावना" या "न्यूनतम संभावना" जैसी यादृच्छिक घटना के बारे में निर्णय विशिष्ट संख्यात्मक डेटा में अनुवादित किए जा सकते हैं। ऐसी सामग्री का अधिक जटिल गणनाओं में मूल्यांकन, तुलना और परिचय देना पहले से ही अनुमत है।

गणना के दृष्टिकोण से, किसी घटना की संभावना की परिभाषा किसी विशेष घटना के संबंध में अनुभव के सभी संभावित परिणामों की संख्या के लिए प्राथमिक सकारात्मक परिणामों की संख्या का अनुपात है। प्रायिकता को P (A) द्वारा निरूपित किया जाता है, जहाँ P का अर्थ "प्रायिकता" शब्द है, जिसका अनुवाद फ्रेंच से "संभावना" के रूप में किया गया है।

तो, किसी घटना की प्रायिकता का सूत्र है:

जहाँ m घटना A के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या है, n इस अनुभव के सभी संभावित परिणामों का योग है। किसी घटना की प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है:

0 पी (ए) ≤ 1.

किसी घटना की संभावना की गणना। उदाहरण

चलो स्पेनिश लेते हैं। नंबर 1 गेंदों के साथ, जो पहले वर्णित है: संख्या 1/3/5 के साथ 3 नीली गेंदें और संख्या 2/4/6 के साथ 3 लाल गेंदें।

इस परीक्षण के आधार पर, कई अलग-अलग कार्यों पर विचार किया जा सकता है:

• ए - रेड बॉल ड्रॉप। 3 लाल गेंदें हैं, और कुल 6 विकल्प हैं। यह है सबसे सरल उदाहरण, जिसमें किसी घटना की प्रायिकता P(A)=3/6=0.5 है।
• बी - एक सम संख्या छोड़ना। कुल 3 (2,4,6) सम संख्याएं हैं, और संभावित संख्यात्मक विकल्पों की कुल संख्या 6 है। इस घटना की संभावना P(B)=3/6=0.5 है।
• सी - 2 से अधिक संख्या का नुकसान। संभावित परिणामों की कुल संख्या में से 4 ऐसे विकल्प (3,4,5,6) हैं। 6. घटना सी की संभावना पी (सी) = 4/6 = है 0.67.

जैसा कि गणनाओं से देखा जा सकता है, घटना सी की संभावना अधिक है, क्योंकि संभावित सकारात्मक परिणामों की संख्या ए और बी की तुलना में अधिक है।

असंगत घटनाएं

ऐसी घटनाएँ एक ही अनुभव में एक साथ प्रकट नहीं हो सकतीं। स्पेनिश के रूप में नंबर 1, एक ही समय में नीली और लाल गेंद प्राप्त करना असंभव है। यही है, आप या तो नीली या लाल गेंद प्राप्त कर सकते हैं। उसी तरह, एक पासे में एक सम और विषम संख्या एक ही समय में प्रकट नहीं हो सकती है।

दो घटनाओं की प्रायिकता को उनके योग या गुणनफल की प्रायिकता के रूप में माना जाता है। ऐसी घटनाओं का योग ए + बी एक घटना माना जाता है जिसमें एक घटना ए या बी की उपस्थिति होती है, और उनके एबी के उत्पाद - दोनों की उपस्थिति में। उदाहरण के लिए, एक ही बार में दो पासों के चेहरों पर दो छक्कों का दिखना।

कई घटनाओं का योग एक घटना है जो घटना को दर्शाता है, द्वारा कम से कम, उन्हीं में से एक है। कई घटनाओं का उत्पाद उन सभी की संयुक्त घटना है।

संभाव्यता सिद्धांत में, एक नियम के रूप में, संघ का उपयोग "और" योग को दर्शाता है, संघ "या" - गुणा। उदाहरणों के साथ सूत्र आपको संभाव्यता सिद्धांत में जोड़ और गुणा के तर्क को समझने में मदद करेंगे।

असंगत घटनाओं के योग की प्रायिकता

यदि असंगत घटनाओं की संभावना पर विचार किया जाता है, तो घटनाओं के योग की संभावना उनकी संभावनाओं के योग के बराबर होती है:

पी(ए+बी)=पी(ए)+पी(बी)

उदाहरण के लिए: हम संभावना की गणना करते हैं कि स्पेनिश में। नीली और लाल गेंदों के साथ नंबर 1 1 और 4 के बीच की संख्या को छोड़ देगा। हम एक क्रिया में नहीं, बल्कि प्राथमिक घटकों की संभावनाओं के योग से गणना करेंगे। तो, इस तरह के एक प्रयोग में सभी संभावित परिणामों में से केवल 6 गेंदें या 6 हैं। शर्त को संतुष्ट करने वाली संख्याएँ 2 और 3 हैं। संख्या 2 प्राप्त करने की प्रायिकता 1/6 है, संख्या 3 की प्रायिकता भी 1/6 है। 1 और 4 के बीच एक संख्या आने की प्रायिकता है:

एक पूर्ण समूह की असंगत घटनाओं के योग की प्रायिकता 1 है।

इसलिए, यदि एक घन के साथ प्रयोग में हम सभी संख्याएँ प्राप्त करने की प्रायिकताओं को जोड़ दें, तो परिणामस्वरूप हमें एक प्राप्त होता है।

यह विपरीत घटनाओं के लिए भी सही है, उदाहरण के लिए, एक सिक्के के साथ प्रयोग में, जहाँ इसकी एक भुजा घटना A है, और दूसरी विपरीत घटना है, जैसा कि ज्ञात है,

(А) + Р(Ā) = 1

असंगत घटनाएँ उत्पन्न करने की प्रायिकता

एक प्रेक्षण में दो या दो से अधिक असंगत घटनाओं के घटित होने पर विचार करते समय प्रायिकताओं के गुणन का उपयोग किया जाता है। घटनाएँ A और B के एक ही समय में प्रकट होने की प्रायिकता उनकी प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर है, या:

पी(ए*बी)=पी(ए)*पी(बी)

उदाहरण के लिए, संभावना है कि in नंबर 1 दो प्रयासों के परिणामस्वरूप, एक नीली गेंद दो बार दिखाई देगी, बराबर

अर्थात्, किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता, जब गेंदों को निकालने के दो प्रयासों के परिणामस्वरूप, केवल नीली गेंदें निकाली जाएंगी, 25% है। इस समस्या पर व्यावहारिक प्रयोग करना बहुत आसान है और देखें कि क्या वास्तव में ऐसा है।

संयुक्त कार्यक्रम

घटनाओं को संयुक्त माना जाता है जब उनमें से एक की उपस्थिति दूसरे की उपस्थिति के साथ मेल खा सकती है। इस तथ्य के बावजूद कि वे संयुक्त हैं, स्वतंत्र घटनाओं की संभावना पर विचार किया जाता है। उदाहरण के लिए, दो पासे फेंकने का परिणाम हो सकता है जब संख्या 6 उन दोनों पर गिरती है। हालाँकि घटनाएँ एक साथ हुईं और एक साथ दिखाई दीं, वे एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं - केवल एक छक्का निकल सकता है, दूसरे पासे का उस पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है .

संयुक्त घटनाओं की संभावना को उनके योग की संभावना के रूप में माना जाता है।

संयुक्त घटनाओं के योग की संभावना। उदाहरण

घटनाओं ए और बी के योग की संभावना, जो एक दूसरे के संबंध में संयुक्त हैं, घटना की संभावनाओं के योग के बराबर है, उनके उत्पाद की संभावना (अर्थात, उनका संयुक्त कार्यान्वयन):

आर संयुक्त। (ए + बी) \u003d पी (ए) + पी (बी) - पी (एबी)

मान लें कि एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.4 है। फिर घटना ए - पहले प्रयास में लक्ष्य को मारना, बी - दूसरे प्रयास में। ये घटनाएं संयुक्त हैं, क्योंकि यह संभव है कि पहले और दूसरे शॉट दोनों से लक्ष्य को मारना संभव हो। लेकिन घटनाएं निर्भर नहीं हैं। दो शॉट (कम से कम एक) के साथ लक्ष्य को मारने की घटना की संभावना क्या है? सूत्र के अनुसार:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

प्रश्न का उत्तर है: "दो शॉट के साथ लक्ष्य को मारने की संभावना 64% है।"

किसी घटना की प्रायिकता के लिए यह सूत्र असंगत घटनाओं पर भी लागू किया जा सकता है, जहाँ किसी घटना के संयुक्त घटित होने की प्रायिकता P(AB) = 0. इसका अर्थ है कि असंगत घटनाओं के योग की प्रायिकता को एक विशेष मामला माना जा सकता है। प्रस्तावित फार्मूले के

स्पष्टता के लिए प्रायिकता ज्यामिति

दिलचस्प बात यह है कि संयुक्त घटनाओं के योग की संभावना को दो क्षेत्रों ए और बी के रूप में दर्शाया जा सकता है जो एक दूसरे को काटते हैं। जैसा कि आप चित्र से देख सकते हैं, उनके मिलन का क्षेत्रफल उनके चौराहे के क्षेत्रफल को घटाकर कुल क्षेत्रफल के बराबर है। यह ज्यामितीय स्पष्टीकरण प्रतीत होता है कि अतार्किक सूत्र को और अधिक समझने योग्य बनाता है। ध्यान दें कि संभाव्यता सिद्धांत में ज्यामितीय समाधान असामान्य नहीं हैं।

संयुक्त घटनाओं के एक सेट (दो से अधिक) के योग की संभावना की परिभाषा बल्कि बोझिल है। इसकी गणना करने के लिए, आपको इन मामलों के लिए प्रदान किए गए सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता है।

आश्रित घटनाएं

आश्रित घटनाओं को कहा जाता है यदि उनमें से एक (ए) की घटना दूसरे (बी) की घटना की संभावना को प्रभावित करती है। इसके अलावा, घटना ए की घटना और इसकी गैर-घटना दोनों के प्रभाव को ध्यान में रखा जाता है। हालांकि घटनाओं को परिभाषा के अनुसार आश्रित कहा जाता है, उनमें से केवल एक ही आश्रित (बी) है। सामान्य संभावना को पी (बी) या स्वतंत्र घटनाओं की संभावना के रूप में दर्शाया गया था। आश्रितों के मामले में, एक नई अवधारणा पेश की जाती है - सशर्त संभाव्यता पीए (बी), जो कि घटना ए (परिकल्पना) होने की स्थिति के तहत निर्भर घटना बी की संभावना है, जिस पर यह निर्भर करता है।

लेकिन घटना ए भी यादृच्छिक है, इसलिए इसकी संभावना भी है कि गणना में इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए और लिया जा सकता है। निम्नलिखित उदाहरण दिखाएगा कि आश्रित घटनाओं और एक परिकल्पना के साथ कैसे काम किया जाए।

आश्रित घटनाओं की संभावना की गणना का उदाहरण

आश्रित घटनाओं की गणना के लिए एक अच्छा उदाहरण कार्ड का एक मानक डेक है।

36 कार्डों के डेक के उदाहरण पर, आश्रित घटनाओं पर विचार करें। यह संभावना निर्धारित करना आवश्यक है कि डेक से निकाला गया दूसरा कार्ड डायमंड सूट होगा, यदि पहला कार्ड निकाला गया है:

1. तंबूरा।
2. एक और सूट।

जाहिर है, दूसरी घटना बी की संभावना पहले ए पर निर्भर करती है। इसलिए, यदि पहला विकल्प सत्य है, जो डेक में 1 कार्ड (35) और 1 हीरा (8) कम है, तो घटना बी की संभावना:

पी ए (बी) \u003d 8 / 35 \u003d 0.23

यदि दूसरा विकल्प सत्य है, तो डेक में 35 पत्ते हैं, और कुल गणनाटैम्बोरिन (9), तो निम्न घटना B की प्रायिकता:

पी ए (बी) \u003d 9/35 \u003d 0.26।

यह देखा जा सकता है कि यदि घटना ए इस तथ्य पर सशर्त है कि पहला कार्ड हीरा है, तो घटना बी की संभावना कम हो जाती है, और इसके विपरीत।

आश्रित घटनाओं का गुणन

पिछले अध्याय के आधार पर, हम पहली घटना (ए) को एक तथ्य के रूप में स्वीकार करते हैं, लेकिन संक्षेप में, इसका एक यादृच्छिक चरित्र है। इस घटना की संभावना, अर्थात् ताश के पत्तों से एक डफ का निष्कर्षण, के बराबर है:

पी(ए) = 9/36=1/4

चूंकि सिद्धांत अपने आप में मौजूद नहीं है, लेकिन व्यावहारिक उद्देश्यों की पूर्ति के लिए कहा जाता है, यह ध्यान रखना उचित है कि अक्सर निर्भर घटनाओं के उत्पादन की संभावना की आवश्यकता होती है।

आश्रित घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद पर प्रमेय के अनुसार, संयुक्त रूप से निर्भर घटनाओं ए और बी की घटना की संभावना घटना बी की सशर्त संभावना से एक घटना ए की संभावना के बराबर है (ए के आधार पर):

पी (एबी) \u003d पी (ए) * पी ए (बी)

फिर डेक के साथ उदाहरण में, हीरे के एक सूट के साथ दो कार्ड निकालने की संभावना है:

9/36*8/35=0.0571 या 5.7%

और पहले हीरे और फिर हीरे नहीं निकालने की संभावना के बराबर है:

27/36*9/35=0.19 या 19%

यह देखा जा सकता है कि घटना बी के घटित होने की संभावना अधिक है, बशर्ते कि हीरे के अलावा किसी अन्य सूट का कार्ड पहले खींचा जाए। यह परिणाम काफी तार्किक और समझने योग्य है।

किसी घटना की कुल संभावना

जब सशर्त संभावनाओं वाली समस्या बहुआयामी हो जाती है, तब पारंपरिक तरीकेइसकी गणना नहीं की जा सकती। जब दो से अधिक परिकल्पनाएँ होती हैं, अर्थात् A1, A2, ..., A n, .. इस शर्त के तहत घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती है:

• पी(ए i)>0, मैं=1,2,…
• ए आई ∩ ए जे =Ø, आई≠जे।
• के एक के =Ω।

तो, यादृच्छिक घटनाओं A1, A2, ..., A n के पूरे समूह के साथ घटना B की कुल संभावना का सूत्र है:

भविष्य पर एक नजर

विज्ञान के कई क्षेत्रों में एक यादृच्छिक घटना की संभावना आवश्यक है: अर्थमिति, सांख्यिकी, भौतिकी, आदि। चूंकि कुछ प्रक्रियाओं को नियतात्मक रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि वे स्वयं संभाव्य हैं, काम के विशेष तरीकों की आवश्यकता है। एक घटना सिद्धांत की संभावना का उपयोग किसी भी तकनीकी क्षेत्र में त्रुटि या खराबी की संभावना को निर्धारित करने के तरीके के रूप में किया जा सकता है।

यह कहा जा सकता है कि संभाव्यता को पहचानकर हम किसी तरह भविष्य में सैद्धांतिक कदम उठाते हैं, इसे सूत्रों के चश्मे से देखते हैं।

प्रायिकता की शास्त्रीय और सांख्यिकीय परिभाषा

व्यावहारिक गतिविधि के लिए, घटनाओं की उनके घटित होने की संभावना की डिग्री के अनुसार तुलना करने में सक्षम होना आवश्यक है। आइए शास्त्रीय मामले पर विचार करें। एक कलश में 10 गेंदें हैं, जिनमें से 8 सफेद और 2 काली हैं। जाहिर है, घटना "कलश से एक सफेद गेंद निकाली जाएगी" और घटना "कलश से एक काली गेंद निकाली जाएगी" उनके होने की संभावना की अलग-अलग डिग्री है। इसलिए, घटनाओं की तुलना करने के लिए, एक निश्चित मात्रात्मक माप की आवश्यकता होती है।

किसी घटना के घटित होने की संभावना का एक मात्रात्मक माप है संभावना . सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली घटना की संभावना की दो परिभाषाएँ हैं: शास्त्रीय और सांख्यिकीय।

क्लासिक परिभाषासंभावना अनुकूल परिणाम की धारणा से संबंधित है। आइए इस पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

मान लें कि कुछ परीक्षण के परिणाम घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं और समान रूप से संभावित होते हैं, अर्थात। अद्वितीय रूप से संभव, असंगत और समान रूप से संभव हैं। ऐसे परिणामों को कहा जाता है प्रारंभिक परिणाम, या मामलों. ऐसा कहा जाता है कि परीक्षण कम हो जाता है केस चार्टया " कलश योजना", इसलिये इस तरह के परीक्षण के लिए किसी भी संभाव्य समस्या को अलग-अलग रंगों के कलशों और गेंदों के साथ एक समान समस्या से बदला जा सकता है।

पलायन कहा जाता है अनुकूलप्रतिस्पर्धा लेकिनयदि इस मामले की घटना घटना की घटना पर जोर देती है लेकिन.

शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार घटना की संभावना A, इस घटना के पक्ष में परिणामों की संख्या और परिणामों की कुल संख्या के अनुपात के बराबर है, अर्थात।

,

(1.1)

कहाँ पे पी (ए)- एक घटना की संभावना लेकिन; एम- घटना के अनुकूल मामलों की संख्या लेकिन; एनमामलों की कुल संख्या है।

उदाहरण 1.1.एक पासा फेंकते समय, छह परिणाम संभव हैं - 1, 2, 3, 4, 5, 6 अंकों की हानि। सम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

समाधान। सभी एन= 6 परिणाम घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं और समान रूप से संभावित हैं, अर्थात। अद्वितीय रूप से संभव, असंगत और समान रूप से संभव हैं। घटना ए - "अंकों की एक समान संख्या की उपस्थिति" - 3 परिणामों (मामलों) के पक्ष में है - 2, 4 या 6 अंक की हानि। किसी घटना की प्रायिकता के शास्त्रीय सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

पी (ए) = = . ◄

किसी घटना की प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा के आधार पर, हम इसके गुणों पर ध्यान देते हैं:

1. किसी घटना की प्रायिकता शून्य और एक के बीच होती है, अर्थात्।

0 ≤ आर(लेकिन) ≤ 1.

2. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता एक के बराबर होती है।

3. एक असंभव घटना की प्रायिकता शून्य होती है।

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा केवल उन घटनाओं के लिए लागू होती है जो संभावित परिणामों की समरूपता वाले परीक्षणों के परिणामस्वरूप प्रकट हो सकती हैं, अर्थात। मामलों की योजना के लिए कम करने योग्य। हालाँकि, घटनाओं का एक बड़ा वर्ग है जिनकी संभावनाओं की गणना शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करके नहीं की जा सकती है।

उदाहरण के लिए, यदि हम मानते हैं कि सिक्का चपटा है, तो यह स्पष्ट है कि "हथियारों के एक कोट की उपस्थिति" और "पूंछ की उपस्थिति" की घटनाओं को समान रूप से संभव नहीं माना जा सकता है। इसलिए, शास्त्रीय योजना के अनुसार संभाव्यता निर्धारित करने का सूत्र इस मामले में लागू नहीं होता है।

हालांकि, घटनाओं की संभावना का आकलन करने के लिए एक और दृष्टिकोण है, जो इस बात पर आधारित है कि कोई घटना कितनी बार किए गए परीक्षणों में घटित होगी। इस मामले में, संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा का उपयोग किया जाता है।

सांख्यिकीय संभावनाघटना ए प्रदर्शन किए गए n परीक्षणों में इस घटना की घटना की सापेक्ष आवृत्ति (आवृत्ति) है, अर्थात।

,

(1.2)

कहाँ पे आर * (ए)किसी घटना की सांख्यिकीय प्रायिकता है लेकिन; वा)घटना की सापेक्ष आवृत्ति है लेकिन; एमउन परीक्षणों की संख्या है जिनमें घटना हुई लेकिन; एनपरीक्षणों की कुल संख्या है।

भिन्न गणितीय संभावना पी (ए)शास्त्रीय परिभाषा में माना जाता है, सांख्यिकीय संभावना आर * (ए)एक विशेषता है अनुभव, प्रयोगात्मक. दूसरे शब्दों में, सांख्यिकीय संभावनाघटनाक्रम लेकिनवह संख्या कहलाती है, जिसके सापेक्ष सापेक्ष आवृत्ति स्थिर होती है (स्थापित) वा)शर्तों के एक ही सेट के तहत किए गए परीक्षणों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ।

उदाहरण के लिए, जब वे एक शूटर के बारे में कहते हैं कि वह 0.95 की संभावना के साथ एक लक्ष्य को हिट करता है, तो इसका मतलब है कि कुछ शर्तों के तहत उसके द्वारा दागे गए सौ शॉट्स में से (समान दूरी पर समान लक्ष्य, समान राइफल, आदि। ) ), औसतन लगभग 95 सफल होते हैं। स्वाभाविक रूप से, प्रत्येक सौ में 95 सफल शॉट नहीं होंगे, कभी-कभी कम होंगे, कभी-कभी अधिक, लेकिन औसतन, समान परिस्थितियों में शूटिंग की बार-बार पुनरावृत्ति के साथ, हिट का यह प्रतिशत अपरिवर्तित रहेगा। संख्या 0.95, जो शूटर के कौशल के संकेतक के रूप में कार्य करती है, आमतौर पर बहुत होती है स्थिर, अर्थात। अधिकांश शूटिंग में हिट का प्रतिशत किसी दिए गए शूटर के लिए लगभग समान होगा, केवल दुर्लभ मामलों में इसके औसत मूल्य से किसी भी महत्वपूर्ण तरीके से विचलन होता है।

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा का एक और नुकसान ( 1.1 ), जो इसके आवेदन को सीमित करता है, यह संभावित परीक्षण परिणामों की एक सीमित संख्या मानता है। कुछ मामलों में, इस कमी को संभाव्यता की ज्यामितीय परिभाषा का उपयोग करके दूर किया जा सकता है, अर्थात। एक निश्चित क्षेत्र (खंड, एक विमान का हिस्सा, आदि) में एक बिंदु से टकराने की संभावना का पता लगाना।

चलो एक सपाट आंकड़ा जीएक सपाट आकृति का हिस्सा बनता है जी(चित्र 1.1)। चित्र पर जीएक बिंदु यादृच्छिक रूप से फेंका जाता है। इसका मतलब है कि क्षेत्र के सभी बिंदु जीइसे फेंकने वाले यादृच्छिक बिंदु से मारने के संबंध में "बराबर"। यह मानते हुए कि किसी घटना की प्रायिकता लेकिन- एक आकृति पर फेंके गए बिंदु को मारना जी- इस आंकड़े के क्षेत्र के समानुपाती और इसके सापेक्ष इसके स्थान पर निर्भर नहीं करता है जी, न तो रूप से जी, पाना

संभाव्यता सिद्धांत के मूल सिद्धांत

योजना:

1. यादृच्छिक घटनाएं

2. प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा

3. घटना की संभावनाओं और संयोजन की गणना

4. ज्यामितीय संभावना

सैद्धांतिक जानकारी

यादृच्छिक घटनाएं।

यादृच्छिक घटना- एक घटना, जिसका परिणाम स्पष्ट रूप से निर्धारित होता है। इस अवधारणा की व्याख्या काफी व्यापक अर्थों में की जा सकती है। अर्थात्: प्रकृति में सब कुछ काफी आकस्मिक है, किसी भी व्यक्ति की उपस्थिति और जन्म एक यादृच्छिक घटना है, एक दुकान में सामान का चुनाव भी एक यादृच्छिक घटना है, परीक्षा में अंक प्राप्त करना एक यादृच्छिक घटना है, बीमारी और वसूली यादृच्छिक है घटना, आदि

यादृच्छिक घटना के उदाहरण:

~ नीचे स्थापित बंदूक से शूटिंग दिया गया कोणक्षितिज को। इसे लक्ष्य पर मारना आकस्मिक है, लेकिन एक निश्चित "कांटा" में एक प्रक्षेप्य को मारना एक पैटर्न है। आप उस दूरी को निर्दिष्ट कर सकते हैं जिसके निकट और उससे आगे प्रक्षेप्य उड़ान नहीं भरेगा। कुछ "गोले का कांटा फैलाव" प्राप्त करें

~ एक ही शरीर को कई बार तौला जाता है। कड़ाई से बोलते हुए, हर बार अलग-अलग परिणाम प्राप्त होंगे, भले ही वे नगण्य रूप से छोटी राशि से भिन्न हों, लेकिन अलग।

~ एक ही मार्ग के साथ उड़ान भरने वाले विमान में एक निश्चित उड़ान गलियारा होता है जिसके भीतर विमान युद्धाभ्यास कर सकता है, लेकिन इसका बिल्कुल वही मार्ग नहीं होगा

~ एक एथलीट कभी भी एक ही समय के साथ समान दूरी नहीं चला पाएगा। उसके परिणाम भी एक निश्चित संख्यात्मक सीमा के भीतर होंगे।

अनुभव, प्रयोग, अवलोकन परीक्षण हैं

परीक्षण- शर्तों के एक निश्चित सेट का अवलोकन या पूर्ति जो बार-बार की जाती है, और नियमित रूप से इसी क्रम, अवधि में अन्य समान मापदंडों का पालन करते हुए दोहराई जाती है।

आइए लक्ष्य पर एक शॉट के खिलाड़ी द्वारा प्रदर्शन पर विचार करें। इसके उत्पादन के लिए, एथलीट की तैयारी, हथियार लोड करना, लक्ष्य बनाना आदि जैसी शर्तों को पूरा करना आवश्यक है। "हिट" और "मिस" शॉट के परिणामस्वरूप होने वाली घटनाएं हैं।

आयोजन- गुणात्मक परीक्षा परिणाम।

कोई घटना हो भी सकती है और नहीं भी हो सकती है घटनाएँ बड़े अक्षरों में दर्शाई जाती हैं लैटिन अक्षरों के साथ. उदाहरण के लिए: डी = "शूटर ने निशाने पर मारा"। एस = "सफेद गेंद खींची गई"। K="यादृच्छिक रूप से लिया गया लॉटरी टिकटकोई लाभ नहीं।"

सिक्का उछालना एक परीक्षा है। उसके "हथियारों के कोट" का गिरना एक घटना है, उसकी "संख्या" का गिरना दूसरी घटना है।

किसी भी परीक्षण में कई घटनाओं की घटना शामिल होती है। उनमें से कुछ की शोधकर्ता को एक निश्चित समय पर आवश्यकता हो सकती है, जबकि अन्य की आवश्यकता नहीं हो सकती है।

घटना को यादृच्छिक कहा जाता है, यदि शर्तों के एक निश्चित सेट के कार्यान्वयन के तहत एसयह हो भी सकता है और नहीं भी। निम्नलिखित में, "शर्तों का सेट S पूरा हुआ" कहने के बजाय, हम संक्षेप में कहेंगे: "परीक्षण किया गया था।" इस प्रकार, घटना को परीक्षण के परिणाम के रूप में माना जाएगा।

~ शूटर चार क्षेत्रों में विभाजित एक लक्ष्य पर गोली मारता है। शॉट एक परीक्षा है। लक्ष्य के एक निश्चित क्षेत्र को मारना एक घटना है।

~ कलश में रंगीन गेंदें हैं। एक गेंद कलश से यादृच्छया निकाली जाती है। कलश से गेंद निकालना एक परीक्षा है। एक निश्चित रंग की गेंद का दिखना एक घटना है।

यादृच्छिक घटनाओं के प्रकार

1. घटनाओं को असंगत कहा जाता हैयदि उनमें से एक की घटना उसी परीक्षण में अन्य घटनाओं की घटना को शामिल नहीं करती है।

~ भागों के साथ एक बॉक्स से यादृच्छिक रूप से एक हिस्सा लिया गया था। एक मानक भाग की उपस्थिति एक गैर-मानक भाग की उपस्थिति को बाहर करती है। घटनाक्रम € एक मानक भाग दिखाई दिया" और एक गैर-मानक भाग के साथ दिखाई दिया" - असंगत।

~ एक सिक्का फेंका जाता है। "हथियारों का कोट" की उपस्थिति शिलालेख की उपस्थिति को बाहर करती है। घटनाएं "हथियारों का एक कोट दिखाई दिया" और "एक शिलालेख दिखाई दिया" असंगत हैं।

कई आयोजन फॉर्म पूरा समूह,यदि उनमें से कम से कम एक परीक्षण के परिणामस्वरूप प्रकट होता है। दूसरे शब्दों में, पूरे समूह की कम से कम एक घटना का घटित होना एक निश्चित घटना है।

विशेष रूप से, यदि एक पूर्ण समूह बनाने वाली घटनाएं जोड़ीदार असंगत हैं, तो परीक्षण के परिणामस्वरूप इनमें से एक और केवल एक घटना दिखाई देगी। यह विशेष मामला हमारे लिए सबसे बड़ी दिलचस्पी है, क्योंकि इसका उपयोग नीचे किया गया है।

~ पैसे और कपड़ों की लॉटरी के दो टिकट खरीदे गए। निम्न में से एक और केवल एक घटना घटित होनी चाहिए:

1. "जीत पहले टिकट पर गिर गई और दूसरे पर नहीं गिरी",

2. "जीत पहले टिकट पर नहीं गिरती और दूसरे पर गिरती है",

3. "जीत दोनों टिकटों पर गिर गई",

4. "दोनों टिकट नहीं जीते।"

ये घटनाएँ जोड़ीदार असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं,

~ शूटर ने निशाने पर गोली मार दी। निम्नलिखित दो घटनाओं में से एक का होना निश्चित है: हिट, मिस। ये दो अलग-अलग घटनाएं भी एक पूरा समूह बनाती हैं।

2. घटनाएँ कहलाती हैं समान रूप से संभवयदि यह मानने का कारण है कि न तो दूसरे से अधिक संभव है।

~ "हथियारों के कोट" की उपस्थिति और जब एक सिक्का उछाला जाता है तो एक शिलालेख की उपस्थिति समान रूप से संभव घटनाएं होती हैं। दरअसल, यह माना जाता है कि सिक्का एक सजातीय सामग्री से बना है, एक नियमित बेलनाकार आकार है, और एक सिक्के की उपस्थिति सिक्के के एक या दूसरे पक्ष के नुकसान को प्रभावित नहीं करती है।

~ फेंके गए पासे पर एक या दूसरे अंक का दिखना एक समान रूप से संभावित घटना है। दरअसल, यह माना जाता है कि डाई एक सजातीय सामग्री से बना है, एक नियमित पॉलीहेड्रॉन का आकार है, और बिंदुओं की उपस्थिति किसी भी चेहरे के नुकसान को प्रभावित नहीं करती है।

3. घटना को कहा जाता है विश्वसनीय,अगर ऐसा नहीं हो सकता

4. घटना को कहा जाता है विश्वसनीय नहीं हैअगर ऐसा नहीं हो सकता।

5. घटना को कहा जाता है विलोमकिसी घटना के लिए यदि इसमें दी गई घटना की गैर-घटना शामिल है। विपरीत घटनाएँ संगत नहीं हैं, लेकिन उनमें से एक अवश्य घटित होनी चाहिए। विपरीत घटनाओं को आमतौर पर नकार के रूप में जाना जाता है, अर्थात। पत्र के ऊपर एक डैश लिखा है। घटनाएँ विपरीत हैं: ए और Ā; यू और , आदि। .

प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा

प्रायिकता संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाओं में से एक है।

इस अवधारणा की कई परिभाषाएँ हैं। आइए हम एक परिभाषा दें जिसे शास्त्रीय कहा जाता है। अगला, हम इंगित करते हैं कमजोर पक्षइस परिभाषा के और हम अन्य परिभाषाएँ देते हैं जो हमें शास्त्रीय परिभाषा की कमियों को दूर करने की अनुमति देती हैं।

स्थिति पर विचार करें: एक बॉक्स में 6 समान गेंदें हैं, 2 लाल हैं, 3 नीली हैं और 1 सफेद है। जाहिर है, एक कलश से एक रंगीन (यानी, लाल या नीली) गेंद को यादृच्छिक रूप से खींचने की संभावना सफेद गेंद को खींचने की संभावना से अधिक है। इस संभावना को एक संख्या द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसे एक घटना की संभावना (एक रंगीन गेंद की उपस्थिति) कहा जाता है।

संभावना- घटना के घटित होने की संभावना की डिग्री को दर्शाने वाली संख्या।

विचाराधीन स्थिति में, हम निरूपित करते हैं:

घटना ए = "रंगीन गेंद को बाहर निकालना"।

परीक्षण के संभावित परिणामों में से प्रत्येक (परीक्षण में कलश से एक गेंद निकालना शामिल है) को कहा जाता है प्राथमिक (संभव) परिणाम और घटना।प्रारंभिक परिणामों को नीचे अनुक्रमित वाले अक्षरों से दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए: k 1 , k 2 ।

हमारे उदाहरण में, 6 गेंदें हैं, इसलिए 6 संभावित परिणाम हैं: एक सफेद गेंद दिखाई दी; एक लाल गेंद दिखाई दी; एक नीली गेंद दिखाई दी, इत्यादि। यह देखना आसान है कि ये परिणाम जोड़ीवार असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं (केवल एक गेंद आवश्यक रूप से दिखाई देगी) और वे समान रूप से संभावित हैं (गेंद को यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है, गेंदें समान होती हैं और अच्छी तरह मिश्रित होती हैं)।

प्रारंभिक परिणाम, जिसमें हमारे लिए रुचि की घटना होती है, हम कॉल करेंगे अनुकूल परिणामयह आयोजन। हमारे उदाहरण में, घटना को पसंद किया जाता है लेकिन(रंगीन गेंद का दिखना) निम्नलिखित 5 परिणाम:

इस प्रकार घटना लेकिनदेखा गया है कि यदि कोई परीक्षण में होता है, तो कोई फर्क नहीं पड़ता कि प्राथमिक परिणामों में से कौन सा पक्षधर है लेकिन।यह किसी भी रंगीन गेंद की उपस्थिति है, जिसके डिब्बे में 5 टुकड़े हैं

प्राथमिक परिणामों के सुविचारित उदाहरण में 6; जिनमें से 5 घटना के पक्ष में हैं लेकिन।फलस्वरूप, पी (ए) = 5/6. यह नंबर देता है मात्रा का ठहरावरंगीन गेंद के प्रकट होने की संभावना की डिग्री।

संभाव्यता परिभाषा:

घटना A की प्रायिकताइस घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या का अनुपात सभी समान रूप से संभव असंगत प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या से है जो एक पूर्ण समूह बनाते हैं।

पी (ए) = एम / एन या पी (ए) = एम: एन, जहां:

एम प्राथमिक परिणामों की संख्या है जो अनुकूल है लेकिन;

पी- परीक्षण के सभी संभावित प्राथमिक परिणामों की संख्या।

यहां यह माना जाता है कि प्राथमिक परिणाम असंगत हैं, समान रूप से संभावित हैं और एक पूर्ण समूह बनाते हैं।

निम्नलिखित गुण प्रायिकता की परिभाषा से अनुसरण करते हैं:

1. एक निश्चित घटना की संभावना एक के बराबर होती है।

वास्तव में, यदि घटना विश्वसनीय है, तो परीक्षण का प्रत्येक प्रारंभिक परिणाम घटना के पक्ष में है। इस मामले में एम = एनइसलिए पी = 1

2. एक असंभव घटना की प्रायिकता शून्य होती है।

वास्तव में, यदि घटना असंभव है, तो परीक्षण के प्रारंभिक परिणामों में से कोई भी घटना के पक्ष में नहीं है। इस मामले में एम = 0, इसलिए पी = 0।

3.एक यादृच्छिक घटना की संभावना शून्य और एक के बीच एक सकारात्मक संख्या है। 0टी< n.

बाद के विषयों में, प्रमेय दिए जाएंगे जो कुछ घटनाओं की ज्ञात संभावनाओं से, अन्य घटनाओं की संभावनाओं को खोजने की अनुमति देते हैं।

माप। छात्रों के समूह में 6 लड़कियां और 4 लड़के हैं। क्या प्रायिकता है कि एक यादृच्छिक रूप से चयनित विद्यार्थी के एक लड़की होगी? क्या यह एक जवान आदमी होगा?

पी देव = 6 / 10 = 0.6 पी जून = 4 / 10 = 0.4

संभाव्यता सिद्धांत के आधुनिक कठोर पाठ्यक्रमों में "संभावना" की अवधारणा एक सेट-सैद्धांतिक आधार पर बनाई गई है। आइए इस दृष्टिकोण में से कुछ पर एक नज़र डालें।

मान लीजिए कि परीक्षण के परिणामस्वरूप निम्नलिखित में से केवल एक घटना होती है: मैं(मैं = 1, 2, .... एन)। घटनाक्रम मैं, कहा जाता है प्राथमिक घटनाएँ (प्राथमिक परिणाम)। हेयह इस प्रकार है कि प्राथमिक घटनाएं जोड़ीदार असंगत हैं। सभी प्राथमिक घटनाओं के समुच्चय जो एक परीक्षण में प्रकट हो सकते हैं, कहलाते हैं प्राथमिक घटना स्थान(ग्रीक अक्षर ओमेगा कैपिटल), और प्राथमिक घटनाएँ स्वयं - इस स्थान में अंक।.

आयोजन लेकिनएक उपसमुच्चय (अंतरिक्ष Ω के) के साथ पहचाना जाता है जिसके तत्व प्राथमिक परिणाम के पक्ष में हैं लेकिन;प्रतिस्पर्धा परएक उपसमुच्चय है जिसके अवयव ऐसे परिणाम हैं जो उसके पक्ष में हैं पर,आदि। इस प्रकार, परीक्षण में होने वाली सभी घटनाओं का सेट Ω के सभी सबसेट का सेट है। स्वयं परीक्षण के किसी भी परिणाम के लिए होता है, इसलिए Ω एक निश्चित घटना है; अंतरिक्ष का एक खाली उपसमुच्चय एक असंभव घटना है (यह परीक्षण के किसी भी परिणाम के लिए नहीं होता है)।

प्राथमिक घटनाओं को विषयों द्वारा सभी घटनाओं से अलग किया जाता है, "उनमें से प्रत्येक में केवल एक तत्व होता है

प्रत्येक प्रारंभिक परिणाम के लिए मैंएक सकारात्मक संख्या का मिलान करें पी मैंइस परिणाम की संभावना है, और सभी का योग पी मैं 1 के बराबर या योग के चिन्ह के साथ इस तथ्य को व्यंजक के रूप में लिखा जाएगा:

परिभाषा के अनुसार, प्रायिकता पी (ए)घटनाक्रम लेकिनप्राथमिक परिणामों के अनुकूल होने की प्रायिकताओं के योग के बराबर है लेकिन।इसलिए, एक निश्चित घटना की संभावना एक के बराबर है, असंभव - शून्य से, मनमाना - शून्य और एक के बीच है।

आइए हम एक महत्वपूर्ण विशेष मामले पर विचार करें, जब सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं। परिणामों की संख्या n के बराबर है, सभी परिणामों की संभावनाओं का योग एक के बराबर है; अतः प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता 1/n है। घटना होने दें लेकिनएम परिणामों का पक्षधर है।

घटना की संभावना लेकिनअनुकूल परिणामों की संभावनाओं के योग के बराबर है लेकिन:

पी(ए)=1/एन + 1/एन+…+1/एन = एन 1/एन=1

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा प्राप्त की जाती है।

अभी भी सिद्ध"संभावना" की अवधारणा के लिए दृष्टिकोण। स्वयंसिद्धों की प्रणाली में प्रस्तावित। कोलमोगोरोव ए.एन., अपरिभाषित अवधारणाएं प्राथमिक घटना और संभाव्यता हैं। तार्किक रूप से पूर्ण संभाव्यता सिद्धांत का निर्माण एक यादृच्छिक घटना की स्वयंसिद्ध परिभाषा और इसकी संभावना पर आधारित है।

यहाँ स्वयंसिद्ध हैं जो संभाव्यता को परिभाषित करते हैं:

1. हर घटना लेकिनएक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या असाइन की गई है पी (ए)।इस संख्या को घटना की प्रायिकता कहते हैं। लेकिन।

2. एक निश्चित घटना की संभावना एक के बराबर है:

3. जोड़ी में असंगत घटनाओं में से कम से कम एक के घटित होने की प्रायिकता इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है।

इन अभिगृहीतों के आधार पर उनके बीच संबंध की प्रायिकताओं के गुण प्रमेयों के रूप में व्युत्पन्न होते हैं।