متغیرهای تصادفی: گسسته و پیوسته.

هنگام انجام یک آزمایش تصادفی، فضایی از رویدادهای ابتدایی شکل می گیرد - نتایج احتمالی این آزمایش. در نظر گرفته شده است که در این فضای از رویدادهای ابتدایی مقدار تصادفی X، اگر قانونی (قانونی) داده شود که بر اساس آن به هر رویداد ابتدایی یک عدد اختصاص داده شود. بنابراین، متغیر تصادفی X را می توان به عنوان یک تابع تعریف شده بر روی فضای رویدادهای ابتدایی در نظر گرفت.

■ تصادفی- مقداری که در طول هر آزمایش، بسته به دلایل تصادفی که نمی توان از قبل در نظر گرفت، یک یا مقدار عددی دیگر را می گیرد (از قبل مشخص نیست کدام یک). متغیرهای تصادفی با حروف بزرگ الفبای لاتین و مقادیر ممکن مشخص می شوند متغیر تصادفی- کم اهمیت. بنابراین، هنگامی که یک تاس پرتاب می شود، یک رویداد مرتبط با عدد x رخ می دهد، که در آن x تعداد نقاط پرتاب شده است. تعداد امتیازها یک مقدار تصادفی است و اعداد 1، 2، 3، 4، 5، 6 مقادیر احتمالی این مقدار هستند. فاصله ای که پرتابه هنگام شلیک از یک تفنگ پرواز می کند نیز یک متغیر تصادفی است (به نصب دید، قدرت و جهت باد، دما و عوامل دیگر بستگی دارد) و مقادیر ممکن. از این کمیت به یک بازه معین (a; b) تعلق دارد.

■ متغیر تصادفی گسسته- یک متغیر تصادفی که مقادیر ممکن مجزا و جدا شده را با احتمالات معین به خود می گیرد. تعداد مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی گسسته می تواند متناهی یا بی نهایت باشد.

■ متغیر تصادفی پیوستهیک متغیر تصادفی است که می تواند تمام مقادیر را از یک بازه محدود یا نامحدود بگیرد. تعداد مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی پیوسته بی نهایت است.

به عنوان مثال، تعداد امتیازهای کاهش یافته هنگام پرتاب تاس، امتیاز یک کار کنترلی متغیرهای تصادفی گسسته هستند. مسافتی که پرتابه هنگام شلیک از تفنگ پرواز می کند، خطای اندازه گیری نشانگر زمان جذب مواد آموزشی، قد و وزن فرد متغیرهای تصادفی پیوسته هستند.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی- مطابقت بین مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات آنها، یعنی. هر مقدار ممکن x i با احتمال p i مرتبط است که با آن متغیر تصادفی می تواند این مقدار را بگیرد. قانون توزیع یک متغیر تصادفی را می توان به صورت جدولی (به صورت جدول)، تحلیلی (به صورت فرمول) و گرافیکی ارائه کرد.

اجازه دهید یک متغیر تصادفی گسسته X مقادیر x 1 , x 2 , …, x n را با احتمالات p 1 , p 2 , …, p n به ترتیب بگیرد. P(X=x 1) = p 1، P(X=x 2) = p 2، …، P(X=x n) = p n. با انتساب جدولی قانون توزیع این مقدار، ردیف اول جدول حاوی مقادیر ممکن x 1، x 2، ...، x n، و دوم - احتمالات آنها است.

در نتیجه آزمون، متغیر تصادفی گسسته X یک و تنها یکی از مقادیر ممکن را می گیرد، بنابراین رویدادهای X=x 1 , X=x 2 , …, X=x n شکل می گیرند. گروه کاملرویدادهای جفت ناسازگار، و بنابراین، مجموع احتمالات این رویدادها برابر با یک است، یعنی. p 1 + p 2 + ... + p n \u003d 1.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته. توزیع چند ضلعی (چند ضلعی).

همانطور که می دانید یک متغیر تصادفی است متغیر، که بسته به مورد می تواند مقادیر خاصی به خود بگیرد. متغیرهای تصادفی نشان می دهند حروف بزرگالفبای لاتین (X، Y، Z) و مقادیر آنها - مربوطه حروف کوچک(x، y، z). متغیرهای تصادفی به دو دسته ناپیوسته (گسسته) و پیوسته تقسیم می شوند.

متغیر تصادفی گسسته یک متغیر تصادفی است که فقط مجموعه ای محدود یا نامتناهی (قابل شمارش) از مقادیر با احتمالات غیر صفر معینی را می گیرد.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسستهتابعی است که مقادیر یک متغیر تصادفی را با احتمالات مربوط به آنها مرتبط می کند. قانون توزیع را می توان به یکی از روش های زیر مشخص کرد.

1. قانون توزیع را می توان با جدول ارائه کرد:

که در آن λ> 0، k = 0، 1، 2، ….

ج) با استفاده از تابع توزیع F(x)، که برای هر مقدار x احتمال اینکه متغیر تصادفی X مقداری کمتر از x به خود بگیرد، تعیین می کند. F(x) = P(X< x).

ویژگی های تابع F(x)

3. قانون توزیع را می توان به صورت گرافیکی مشخص کرد - توسط یک چند ضلعی توزیع (چند ضلعی) (به کار 3 مراجعه کنید).

توجه داشته باشید که برای رفع برخی مشکلات نیازی به دانستن قانون توزیع نیست. در برخی موارد، دانستن یک یا چند عدد که مهمترین ویژگی های قانون توزیع را منعکس می کند، کافی است. این می تواند عددی باشد که معنای "مقدار متوسط" یک متغیر تصادفی را داشته باشد یا عددی باشد که اندازه متوسط ​​انحراف یک متغیر تصادفی از مقدار متوسط ​​آن را نشان می دهد. اعدادی از این نوع را مشخصه های عددی یک متغیر تصادفی می نامند.

ویژگی های عددی اصلی یک متغیر تصادفی گسسته:

• انتظارات ریاضی (مقدار متوسط) از یک متغیر تصادفی گسسته M(X)=Σ x i p i .
  برای توزیع دو جمله ای M(X)=np، برای توزیع پواسون M(X)=λ
• پراکندگی یک متغیر تصادفی گسسته D(X)= M 2 یا D(X) = M(X 2)- 2 . تفاوت X–M(X) را انحراف یک متغیر تصادفی از انتظارات ریاضی آن می گویند.
  برای توزیع دو جمله ای D(X)=npq، برای توزیع پواسون D(X)=λ
• میانگین انحراف معیار (انحراف معیار) σ(X)=√D(X).

برای وضوح ارائه سری تغییرات پراهمیتگرافیکش را داشته باشد از نظر گرافیکی، یک سری متغیر می تواند به صورت چند ضلعی، هیستوگرام و تجمعی نمایش داده شود.

· چند ضلعی توزیع (به معنای واقعی کلمه، چند ضلعی توزیع) یک خط شکسته نامیده می شود که در یک سیستم مختصات مستطیلی ساخته شده است. مقدار ویژگی بر روی ابسیسا، فرکانس های مربوطه (یا فرکانس های نسبی) - در امتداد ارتین رسم می شود. نقاط (یا ) توسط قطعات خط به هم متصل می شوند و یک چندضلعی توزیع به دست می آید. اغلب از چند ضلعی ها برای نمایش گسسته استفاده می شود سری تغییرات، اما می توان از آنها نیز استفاده کرد سری بازه ای. در این حالت، نقاط مربوط به نقاط میانی این فواصل بر روی محور آبسیسا رسم می شود.

پاسخ: یک متغیر تصادفی ناپیوسته را در نظر بگیرید ایکسبا مقادیر ممکن هر یک از این مقادیر ممکن است، اما قطعی نیست، و ارزش ایکسمی تواند هر یک از آنها را با احتمالی بپذیرد. در نتیجه آزمایش، مقدار ایکسیکی از این مقادیر را می گیرد، یعنی یکی از گروه کامل رویدادهای ناسازگار رخ می دهد:

اجازه دهید احتمالات این رویدادها را با حروف نشان دهیم آربا شاخص های مربوطه:

یعنی توزیع احتمال مقادیر مختلف را می توان با یک جدول توزیع ارائه کرد که در آن خط بالایی تمام مقادیر گرفته شده توسط یک متغیر تصادفی گسسته را نشان می دهد و خط پایین احتمال مقادیر را نشان می دهد. مربوط به آن از آنجایی که رویدادهای ناسازگار (3.1) یک گروه کامل را تشکیل می دهند، یعنی مجموع احتمالات همه مقادیر ممکن متغیر تصادفی برابر با یک است. توزیع احتمال متغیرهای تصادفی پیوسته را نمی توان در قالب یک جدول ارائه کرد، زیرا تعداد مقادیر چنین متغیرهای تصادفی حتی در یک بازه محدود بی نهایت است. همچنین، احتمال به دست آوردن هر مقدار خاص صفر است. اگر این توزیع را مشخص کنیم، یک متغیر تصادفی کاملاً از دیدگاه احتمالی توضیح داده می شود، یعنی دقیقاً مشخص کنیم که هر یک از رویدادها چه احتمالاتی دارند. این به اصطلاح قانون توزیع یک متغیر تصادفی را ایجاد می کند. قانون توزیع یک متغیر تصادفی هر رابطه ای است که بین مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات متناظر آنها ارتباط برقرار می کند. در مورد یک متغیر تصادفی خواهیم گفت که تابع قانون توزیع معین است. اجازه دهید شکلی را تعیین کنیم که در آن قانون توزیع یک متغیر تصادفی ناپیوسته می تواند ارائه شود ایکس.ساده ترین شکل تنظیم این قانون جدولی است که مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات مربوط به آنها را فهرست می کند:

ما چنین جدولی را سری توزیع متغیر تصادفی می نامیم ایکس.

برنج. 3.1

برای اینکه به یک سری توزیع شکل بصری تری بدهند، اغلب به نمایش گرافیکی آن متوسل می شوند: مقادیر احتمالی یک متغیر تصادفی در امتداد محور آبسیسا رسم می شود و احتمالات این مقادیر در امتداد محور ارتین رسم می شود. برای وضوح، نقاط به دست آمده توسط بخش های خط مستقیم به هم متصل می شوند. چنین شکلی چند ضلعی توزیع نامیده می شود (شکل 3.1). چند ضلعی توزیع، و همچنین سری توزیع، متغیر تصادفی را کاملا مشخص می کند. این شکلی از قانون توزیع است. گاهی اوقات تفسیر به اصطلاح "مکانیکی" سری توزیع راحت به نظر می رسد. تصور کنید که مقداری جرم برابر با وحدت در امتداد محور آبسیسا توزیع شده است به طوری که در nنقاط فردی به ترتیب، توده ها متمرکز می شوند . سپس سری توزیع به عنوان سیستمی از نقاط مادی با مقداری جرم در محور x تعبیر می شود.

صفحه 2

از نظر گرافیکی، قانون توزیع کمیت گسستهدر قالب یک چند ضلعی به اصطلاح توزیع داده می شود.

تصویر گرافیکیسری توزیع (نگاه کنید به شکل 5) چند ضلعی توزیع نامیده می شود.

برای توصیف قانون توزیع یک متغیر تصادفی ناپیوسته، اغلب از یک سری (جدول) و یک چندضلعی توزیع استفاده می شود.

برای تصویر آن در یک سیستم مختصات مستطیلی، نقاط (Y Pi) (x - i Pa) ساخته می‌شوند و توسط بخش‌های خط به هم متصل می‌شوند. چند ضلعی توزیع یک نمایش بصری تقریبی از ماهیت توزیع یک متغیر تصادفی می دهد.

برای وضوح، قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته را می توان به صورت گرافیکی نیز ترسیم کرد، که برای آن نقاط (x/, p) در یک سیستم مختصات مستطیلی ساخته می شوند و سپس توسط قطعات خط به هم متصل می شوند. شکل حاصل را توزیع می نامند. چند ضلعی.

M (xn؛ pn) (ls - - مقادیر احتمالی Xt pi - احتمالات مربوطه) و آنها را با قطعات خط وصل کنید. شکل حاصل را چندضلعی توزیع می نامند.

توزیع احتمال مجموع امتیازهای تاس را در نظر بگیرید. شکل های زیر چند ضلعی های توزیع برای استخوان های یک، دو و سه را نشان می دهد.

در این حالت به جای چند ضلعی توزیع تصادفی، تابع چگالی توزیع ساخته می شود که تابع توزیع تفاضلی نامیده می شود و قانون توزیع تفاضلی است. در تئوری احتمال، چگالی توزیع یک متغیر تصادفی x (x Xr) به عنوان حد نسبت احتمال سقوط x در بازه (x, x - - Ax) به Ax درک می‌شود، زمانی که Al; به سمت صفر میل می کند. علاوه بر تابع دیفرانسیل، برای مشخص کردن توزیع یک متغیر تصادفی، از تابع توزیع انتگرال استفاده می شود که اغلب به سادگی تابع توزیع یا قانون توزیع انتگرال نامیده می شود.

با چنین ساختاری، فرکانس نسبی سقوط در فواصل برابر با مساحت ستون های متناظر هیستوگرام خواهد بود، همانطور که احتمالات برابر با مساحت ذوزنقه های منحنی متناظر است. y گاهی اوقات، برای وضوح مقایسه، یک چند ضلعی توزیع ساخته شده است که نقاط میانی را به صورت سری به هم متصل می کند پایه های بالایینوارهای هیستوگرام

دادن تی معانی مختلفاز 0 تا z، احتمالات PQ, P RF - Pp را بدست آورید که روی نمودار رسم شده است. با توجه به r; i11، یک چند ضلعی از توزیع احتمال بسازید.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته هرگونه مطابقت بین مقادیر ممکن و احتمالات آنها است. قانون را می توان به صورت جدولی (سری توزیع)، گرافیکی (چند ضلعی توزیع و غیره) و تحلیلی مشخص کرد.

یافتن منحنی توزیع، به عبارت دیگر، ایجاد توزیع خود متغیر تصادفی، امکان بررسی عمیق‌تر پدیده را فراهم می‌آورد که به‌عنوان کامل‌تر توسط این سری توزیع خاص بیان نشده است. با ارائه در نقشه هم منحنی توزیع تسطیح یافت شده و هم چند ضلعی توزیع ساخته شده بر اساس یک جمعیت جزئی، محقق می تواند به وضوح ببیند. مشخصاتویژگی پدیده مورد مطالعه به همین دلیل، تجزیه و تحلیل آماری توجه محقق را به انحراف داده های مشاهده شده از برخی تغییرات منظم در پدیده محدود می کند و محقق وظیفه دارد علل این انحرافات را دریابد.

سپس آبسیساها (در مقیاس) از وسط فواصل مربوط به تعداد ماه های دارای جریان در این بازه کشیده می شوند. انتهای این ابسیساها به هم متصل می شوند و به این ترتیب یک چند ضلعی یا چندضلعی توزیع به دست می آید.

نقاطی که نمایشی گرافیکی از قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته را ارائه می دهند هواپیمای مختصاتمقادیر بزرگی - احتمال مقادیری که معمولاً توسط بخش های خط به هم متصل می شوند و نتیجه حاصل می شود. شکل هندسیچند ضلعی توزیع روی انجیر 3 در جدول 46 (و همچنین در شکل های 4 و 5) فقط چند ضلعی های توزیع را نشان می دهد.

5.2. قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته. چند ضلعی توزیع

در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد که برای تعیین یک متغیر تصادفی گسسته، فهرست کردن تمام مقادیر ممکن آن کافی است. در واقعیت، اینطور نیست: متغیرهای تصادفی می‌توانند فهرست‌های یکسانی از مقادیر ممکن داشته باشند، اما احتمالات آنها متفاوت است. بنابراین، برای تنظیم یک متغیر تصادفی گسسته، فهرست کردن تمام مقادیر ممکن آن کافی نیست، بلکه باید احتمالات آنها را نیز مشخص کرد.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسستهمطابقت بین مقادیر ممکن و احتمالات آنها را نام ببرید. می توان آن را به صورت جدولی، تحلیلی (به صورت فرمول) و گرافیکی مشخص کرد.

تعریف.هر قانون (جدول، تابع، نمودار) که به شما امکان می دهد احتمالات رویدادهای دلخواه را پیدا کنید آ اس (اس- -جبر رویدادهای فضای )، به ویژه که نشان دهنده احتمالات مقادیر فردی یک متغیر تصادفی یا مجموعه ای از این مقادیر است، نامیده می شود. قانون توزیع متغیر تصادفی(یا به سادگی: توزیع). درباره r.v. گفته می شود که "از قانون توزیع تبعیت می کند."

اجازه دهید ایکس– d.r.v. که مقادیر را می گیرد ایکس 1 , ایکس 2 , …, ایکس n,… (مجموعه این مقادیر متناهی یا قابل شمارش است) با مقداری احتمال پ من، جایی که من = 1,2,…, n,… قانون توزیع d.r.v. با استفاده از فرمول تنظیم می شود پ من = پ{ایکس = ایکس من)جایی که من = 1,2,…, n،…، که این احتمال را تعیین می کند که در نتیجه آزمایش، r.v. ایکسمعنا را به خود خواهد گرفت ایکس من. برای d.r.v. ایکسقانون توزیع را می توان در قالب ارائه کرد جداول توزیع:

هنگام تخصیص جدولی قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته، ردیف اول جدول حاوی مقادیر ممکن و دومی - احتمالات آنها است. چنین جدولی نامیده می شود نزدیک توزیع.

با در نظر گرفتن اینکه در یک آزمون متغیر تصادفی یک و تنها یک مقدار ممکن را می گیرد، نتیجه می گیریم که رویدادها ایکس = ایکس 1 , ایکس = ایکس 2 , ..., ایکس = ایکس nتشکیل یک گروه کامل؛ بنابراین، مجموع احتمالات این رویدادها، یعنی. مجموع احتمالات ردیف دوم جدول برابر با یک است، یعنی .

اگر مجموعه مقادیر ممکن ایکسبی نهایت (قابل شمارش)، سپس سری آر 1 + آر 2 + ... همگرا می شود و مجموع آن برابر با یک است.

مثال. 100 بلیت در قرعه کشی نقدی صادر شد. یک برد 50 روبلی بازی می شود. و ده برد 1 مالش. قانون توزیع یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس- هزینه یک برد احتمالی برای صاحب یک بلیط قرعه کشی.

راه حل.بیایید مقادیر ممکن را بنویسیم ایکس: ایکس 1 = 50, ایکس 2 = 1, ایکس 3 = 0. احتمالات این مقادیر ممکن عبارتند از: آر 1 = 0,01, آر 2 = 0,01, آر 3 = 1 – (آر 1 + آر 2)=0,89.

بیایید قانون توزیع مورد نظر را بنویسیم:

کنترل: 0.01 + 0.1 + 0.89 = 1.

مثال.در یک کوزه 8 توپ وجود دارد که 5 تای آن سفید و بقیه سیاه است. 3 توپ به طور تصادفی از آن کشیده می شود. قانون توزیع تعداد توپ های سفید در نمونه را پیدا کنید.

راه حل.مقادیر احتمالی r.v. ایکس– تعداد توپ های سفید در نمونه می باشد ایکس 1 = 0, ایکس 2 = 1, ایکس 3 = 2, ایکس 4 = 3. احتمالات آنها به ترتیب خواهد بود

;
;
.

قانون توزیع را به صورت جدول می نویسیم.

کنترل:
.

قانون توزیع d.r.v. در صورتی که مقادیر احتمالی r.v بر روی محور ابسیسا ترسیم شده باشد و احتمالات این مقادیر روی محور ارتین رسم شود، می تواند به صورت گرافیکی تنظیم شود. یک خط چند ضلعی که به طور متوالی نقاط را به هم وصل می کند ( ایکس 1 , آر 1), (ایکس 2 , آر 2) ... نامیده می شوند چند ضلعی(یا چند ضلعی) توزیع(شکل 5.1 را ببینید).

برنج. 5.1. چند ضلعی توزیع

حال می‌توانیم تعریف دقیق‌تری از d.r.v ارائه کنیم.

تعریف.مقدار تصادفی X گسسته استاگر مجموعه ای محدود یا قابل شمارش از اعداد وجود داشته باشد ایکس 1 , ایکس 2، … به طوری که پ{ایکس = ایکس من } = پ من > 0 (من= 1،2،…) و پ 1 + پ 2 + آر 3 +… = 1.

اجازه دهید عملیات ریاضی را روی r.v گسسته تعریف کنیم.

تعریف.مجموع (تفاوت, کار کردن) d.r.v. ایکس، که مقادیر را می گیرد ایکس منبا احتمالات پ من = پ{ایکس = ایکس من }, من = 1, 2, …, n، و d.r.v. Y، که مقادیر را می گیرد y j با احتمالات پ j = پ{Y = y j }, j = 1, 2, …, متر، d.r.v نامیده می شود. ز = ایکس + Y (ز = ایکس – Y, ز = ایکس Y) گرفتن مقادیر z ij = ایکس من + y j (z ij = ایکس من – y j , z ij = ایکس من  y j) با احتمالات پ ij = پ{ایکس = ایکس من , Y = y j) برای تمام مقادیر مشخص شده منو j. اگر مقداری مطابقت داشته باشد ایکس من + y j (تفاوت ایکس من – y j، آثار ایکس من  y j) احتمالات مربوطه جمع می شوند.

تعریف.کار کنید d.r.v. بر روی شماره با d.r.v نامیده می شود. cX، که مقادیر را می گیرد باایکس منبا احتمالات پ من = پ{ایکس = ایکس من }.

تعریف.دو d.r.v. ایکسو Yتماس گرفت مستقل، اگر رویدادها ( ایکس = ایکس من } = آ منو ( Y = y j } = ب jمستقل برای هر من = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, متر، به این معنا که

در غیر این صورت، r.v. تماس گرفت وابسته. چندین r.v. اگر قانون توزیع هر یک از آنها به مقادیر احتمالی مقادیر دیگر بستگی نداشته باشد، متقابل مستقل نامیده می شوند.

برخی از رایج ترین قوانین توزیع را در نظر بگیرید.