ریاضیات و انفورماتیک. راهنمای مطالعه در طول دوره

اغلب ارزیاب باید بازار املاک و مستغلات بخشی را که شی ارزیابی در آن قرار دارد، تجزیه و تحلیل کند. اگر بازار توسعه یابد، تجزیه و تحلیل کل مجموعه اشیاء ارائه شده می تواند دشوار باشد، بنابراین از نمونه ای از اشیاء برای تجزیه و تحلیل استفاده می شود. این نمونه همیشه همگن نیست، گاهی اوقات لازم است آن را از افراط پاک کنید - پیشنهادات بازار خیلی زیاد یا خیلی کم. برای این منظور اعمال می شود فاصله اطمینان. هدف این مطالعه- تجزیه و تحلیل مقایسه ای دو روش برای محاسبه فاصله اطمینان انجام دهید و بهترین گزینه محاسبه را هنگام کار با نمونه های مختلف در سیستم estimatica.pro انتخاب کنید.

فاصله اطمینان - محاسبه شده بر اساس نمونه، فاصله مقادیر مشخصه، که با احتمال مشخصی حاوی پارامتر تخمین زده شده است. جمعیت.

منظور از محاسبه فاصله اطمینان ایجاد چنین فاصله ای بر اساس داده های نمونه است تا بتوان با یک احتمال معین ادعا کرد که مقدار پارامتر برآورد شده در این بازه است. به عبارت دیگر، فاصله اطمینان با احتمال معین حاوی مقدار مجهول کمیت برآورد شده است. هرچه این فاصله بیشتر باشد، عدم دقت بیشتر است.

روش های مختلفی برای تعیین فاصله اطمینان وجود دارد. در این مقاله 2 راه را در نظر خواهیم گرفت:

• از طریق میانه و انحراف معیار؛
• از طریق مقدار بحرانی آماره t (ضریب دانشجو).

مراحل تحلیل مقایسه ای روش های مختلفمحاسبه CI:

1. یک نمونه داده تشکیل دهید.

2. آن را پردازش کنید روش های آماری: محاسبه میانگین، میانه، واریانس و غیره.

3. فاصله اطمینان را به دو صورت محاسبه می کنیم.

4. نمونه های تمیز شده و فواصل اطمینان به دست آمده را آنالیز کنید.

مرحله 1. نمونه گیری داده ها

نمونه با استفاده از سیستم estimatica.pro تشکیل شد. نمونه شامل 91 پیشنهاد برای فروش آپارتمان 1 اتاقه در منطقه قیمت 3 با نوع برنامه ریزی "خروشچف" بود.

جدول 1. نمونه اولیه

عکس. 1. نمونه اولیه

مرحله 2. پردازش نمونه اولیه

پردازش نمونه با روش های آماری مستلزم محاسبه مقادیر زیر است:

1. میانگین حسابی

2. میانه - عددی که نمونه را مشخص می کند: دقیقاً نیمی از عناصر نمونه بزرگتر از میانه هستند، نیمی دیگر کمتر از میانه است.

(برای نمونه ای با تعداد فرد مقادیر)

3. محدوده - تفاوت بین مقادیر حداکثر و حداقل در نمونه

4. واریانس - برای تخمین دقیق تر تغییرات در داده ها استفاده می شود

5. انحراف استاندارد برای نمونه (از این پس RMS نامیده می شود) رایج ترین شاخص پراکندگی مقادیر تنظیم حول میانگین حسابی است.

6. ضریب تغییرات - نشان دهنده میزان پراکندگی مقادیر تنظیم است

7. ضریب نوسان - نشان دهنده نوسان نسبی مقادیر شدید قیمت ها در نمونه حول میانگین است.

جدول 2. شاخص های آماری نمونه اصلی

ضریب تغییرات، که مشخص کننده همگنی داده ها است، 12.29٪ است، اما ضریب نوسان بسیار بزرگ است. بنابراین، می توانیم بگوییم که نمونه اصلی همگن نیست، بنابراین اجازه دهید به محاسبه فاصله اطمینان برویم.

مرحله 3. محاسبه فاصله اطمینان

روش 1. محاسبه از طریق میانه و انحراف معیار.

فاصله اطمینان به شرح زیر تعیین می شود: حداقل مقدار - انحراف استاندارد از میانه کسر می شود. حداکثر مقدار - انحراف استاندارد به میانه اضافه می شود.

بنابراین، فاصله اطمینان (47179 CU؛ 60689 CU)

برنج. 2. مقادیر در بازه اطمینان 1.

روش 2. ایجاد فاصله اطمینان از طریق مقدار بحرانی آماره t (ضریب دانشجو)

S.V. گریبوفسکی در کتاب " روش های ریاضیارزیابی ارزش دارایی» نحوه محاسبه فاصله اطمینان از طریق ضریب دانشجو را شرح می دهد. هنگام محاسبه با این روش، خود برآوردگر باید سطح اهمیت ∝ را تعیین کند که احتمال ایجاد فاصله اطمینان را تعیین می کند. معمولاً از سطوح معنی داری 0.1 استفاده می شود. 0.05 و 0.01. آنها با احتمال اطمینان 0.9 مطابقت دارند. 0.95 و 0.99. با این روش، مقادیر واقعی محاسبه می شود انتظارات ریاضیو واریانس عملا ناشناخته هستند (که تقریباً همیشه هنگام حل درست است وظایف عملیرتبه بندی).

فرمول فاصله اطمینان:

n - اندازه نمونه؛

مقدار بحرانی آمار t (توزیع های دانشجویی) با سطح معنی داری ∝، تعداد درجات آزادی n-1، که توسط جداول آماری خاص یا با استفاده از MS Excel (← "آماری" → STUDRASPOBR تعیین می شود.

∝ - سطح معنی داری، 0.01 = ∝ را می گیریم.

برنج. 2. مقادیر در بازه اطمینان 2.

مرحله 4. تجزیه و تحلیل روش های مختلف برای محاسبه فاصله اطمینان

دو روش برای محاسبه فاصله اطمینان - از طریق میانه و ضریب دانشجو - منجر شد ارزش های مختلففواصل بر این اساس، دو نمونه خالص متفاوت به دست آمد.

جدول 3. شاخص های آماری برای سه نمونه.

بر اساس محاسبات انجام شده می توان گفت که مقادیر فواصل اطمینان به دست آمده با روش های مختلف با هم تلاقی می کنند، بنابراین می توانید با صلاحدید ارزیاب از هر یک از روش های محاسباتی استفاده کنید.

با این حال، ما معتقدیم که هنگام کار در سیستم estimatica.pro، توصیه می شود بسته به درجه توسعه بازار، روشی را برای محاسبه فاصله اطمینان انتخاب کنید:

• اگر بازار توسعه نیافته است، روش محاسبه را از طریق میانه و انحراف استاندارد اعمال کنید، زیرا تعداد اشیاء بازنشسته در این مورد کم است.
• اگر بازار توسعه یافته است، محاسبه را از طریق مقدار بحرانی آماره t (ضریب دانشجویی) اعمال کنید، زیرا امکان تشکیل یک نمونه اولیه بزرگ وجود دارد.

در تهیه مقاله از:

1. Gribovsky S.V., Sivets S.A., Levykina I.A. روش های ریاضی برای ارزیابی ارزش دارایی. مسکو، 2014

2. داده ها از سیستم estimatica.pro

و دیگران همه آنها تخمینی از همتایان نظری خود هستند که در صورت نبود نمونه، بلکه جمعیت عمومی می توان آنها را به دست آورد. اما افسوس، جمعیت عمومی بسیار گران است و اغلب در دسترس نیست.

مفهوم تخمین فاصله

هر تخمین نمونه مقداری پراکندگی دارد، زیرا یک متغیر تصادفی بسته به مقادیر در یک نمونه خاص است. بنابراین، برای نتیجه گیری های آماری قابل اعتمادتر، نه تنها باید دانست تخمین نقطه ای، بلکه یک فاصله است که با احتمال زیاد γ (گاما) نشانگر تخمینی را پوشش می دهد θ (تتا).

به طور رسمی، این دو مقدار هستند (آمار) T1 (X)و T2 (X)، چی T1< T 2 ، که در سطح معینی از احتمال γ شرط برقرار است:

به طور خلاصه، احتمال دارد γ یا بیشتر مقدار واقعی بین نقاط است T1 (X)و T2 (X)، که به آنها کران پایین و بالایی می گویند فاصله اطمینان.

یکی از شرایط ساخت فواصل اطمینان حداکثر باریک بودن آن است، یعنی. باید تا حد امکان کوتاه باشد. میل کاملاً طبیعی است، زیرا. محقق تلاش می کند تا یافته های پارامتر مورد نظر را با دقت بیشتری بومی سازی کند.

نتیجه این است که فاصله اطمینان باید حداکثر احتمالات توزیع را پوشش دهد. و خود امتیاز در مرکز باشد.

یعنی احتمال انحراف (شاخص واقعی از برآورد) به سمت بالا برابر با احتمال انحراف به سمت پایین است. همچنین باید توجه داشت که برای توزیع های اریب، فاصله سمت راست با فاصله سمت چپ برابر نیست.

شکل بالا به وضوح نشان می دهد که هر چه سطح اطمینان بیشتر باشد، بازه زمانی بیشتر است - یک رابطه مستقیم.

این مقدمه کوچکی برای تئوری تخمین بازه ای پارامترهای ناشناخته بود. بیایید به سراغ یافتن محدودیت های اطمینان برای انتظارات ریاضی برویم.

فاصله اطمینان برای انتظارات ریاضی

اگر داده های اصلی بر روی توزیع شوند، میانگین یک مقدار عادی خواهد بود. این از این قانون نتیجه می گیرد که ترکیب خطی مقادیر نرمال نیز دارای توزیع نرمال است. بنابراین برای محاسبه احتمالات می توان از دستگاه ریاضی قانون توزیع نرمال استفاده کرد.

با این حال، این نیاز به دانش دو پارامتر دارد - مقدار مورد انتظار و واریانس، که معمولاً شناخته شده نیستند. البته می توانید از تخمین ها به جای پارامترها (میانگین حسابی و ) استفاده کنید، اما پس از آن توزیع میانگین کاملاً نرمال نخواهد بود، کمی مسطح می شود. شهروند ویلیام گوست از ایرلند زمانی که کشف خود را در شماره مارس 1908 بیومتریکا منتشر کرد، به این واقعیت اشاره کرد. برای اهداف محرمانه، گوست با دانشجو امضا کرد. اینگونه بود که توزیع t Student ظاهر شد.

با این حال، توزیع نرمال داده ها، که توسط K. Gauss در تجزیه و تحلیل اشتباهات در مشاهدات نجومی استفاده می شود، در زندگی زمینی بسیار نادر است و ایجاد آن بسیار دشوار است (برای دقت بالا، حدود 2000 مشاهده مورد نیاز است). بنابراین، بهتر است فرض نرمال بودن را کنار بگذارید و از روش هایی استفاده کنید که به توزیع داده های اصلی بستگی ندارند.

این سؤال مطرح می شود: اگر میانگین حسابی از داده های یک توزیع مجهول محاسبه شود، چه توزیعی دارد؟ پاسخ توسط نظریه احتمالات شناخته شده است تئوری حد مرکزی(CPT). در ریاضیات، نسخه‌های مختلفی از آن وجود دارد (فرمول‌بندی‌ها در طول سال‌ها اصلاح شده‌اند)، اما همه آنها، به طور کلی، به این ادعا خلاصه می‌شوند که مجموع تعداد زیادی از متغیرهای تصادفی مستقل مطابقت دارد. قانون عادیتوزیع

هنگام محاسبه میانگین حسابی از مجموع متغیرهای تصادفی استفاده می شود. از اینجا معلوم می شود که میانگین حسابی دارای یک توزیع نرمال است که در آن مقدار مورد انتظار مقدار مورد انتظار داده های اولیه است و واریانس برابر است.

افراد باهوشمی‌دانیم چگونه CLT را اثبات کنیم، اما ما این را با کمک آزمایشی که در اکسل انجام شده است، تأیید می‌کنیم. بیایید نمونه ای از 50 متغیر تصادفی توزیع شده یکنواخت (با استفاده از توابع اکسل RANDOMBETWEEN). سپس 1000 نمونه از این دست می سازیم و میانگین حسابی هر کدام را محاسبه می کنیم. بیایید به توزیع آنها نگاه کنیم.

مشاهده می شود که توزیع میانگین نزدیک به قانون نرمال است. اگر حجم نمونه ها و تعداد آنها حتی بیشتر شود، شباهت حتی بهتر خواهد بود.

اکنون که اعتبار CLT را برای خود دیدیم، می‌توانیم با استفاده از , فاصله‌های اطمینان میانگین حسابی را محاسبه کنیم که میانگین واقعی یا انتظارات ریاضی را با یک احتمال معین پوشش می‌دهد.

برای تنظیم کران های بالا و پایین، باید پارامترها را بدانید توزیع نرمال. به عنوان یک قاعده، آنها نیستند، بنابراین از برآوردها استفاده می شود: میانگین حسابیو واریانس نمونه. باز هم، این روش تقریب خوبی را فقط برای نمونه های بزرگ به دست می دهد. هنگامی که نمونه ها کوچک هستند، اغلب توصیه می شود از توزیع دانش آموز استفاده شود. باور نکن! توزیع دانش آموز برای میانگین تنها زمانی اتفاق می افتد که داده اصلی دارای توزیع نرمال باشد، یعنی تقریبا هرگز. بنابراین، بهتر است بلافاصله حداقل نوار را برای مقدار داده های مورد نیاز تعیین کنید و از روش های مجانبی صحیح استفاده کنید. آنها می گویند 30 مشاهده کافی است. 50 بگیرید - نمی توانید اشتباه کنید.

T 1.2مرزهای پایین و بالایی فاصله اطمینان هستند

- میانگین حسابی نمونه

s0- انحراف استاندارد نمونه (بی طرفانه)

n - اندازهی نمونه

γ - سطح اطمینان (معمولاً برابر با 0.9، 0.95 یا 0.99)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2)متقابل تابع توزیع نرمال استاندارد است. به عبارت ساده، این تعداد خطاهای استاندارد از میانگین حسابی تا کران پایین یا بالا است (سه احتمال نشان داده شده با مقادیر 1.64، 1.96 و 2.58 مطابقت دارد).

ماهیت فرمول این است که میانگین حسابی گرفته می شود و سپس مقدار مشخصی از آن کنار می رود ( با γ) خطاهای استاندارد ( s 0 /√n). همه چیز معلوم است، بگیر و بشمار.

قبل از استفاده انبوه از رایانه های شخصی، برای به دست آوردن مقادیر تابع توزیع نرمال و معکوس آن، از . آنها هنوز در حال استفاده هستند، اما استفاده از آنها کارآمدتر است فرمول های اکسل. تمام عناصر فرمول بالا ( و ) را می توان به راحتی در اکسل محاسبه کرد. اما یک فرمول آماده برای محاسبه فاصله اطمینان نیز وجود دارد - هنجار اعتماد. نحو آن به شرح زیر است.

NORM اطمینان (آلفا، استاندارد_dev، اندازه)

آلفا- سطح معناداری یا سطح اطمینان که در نماد بالا برابر با 1-γ است، یعنی. احتمال اینکه ریاضیانتظار خارج از فاصله اطمینان خواهد بود. در سطح اطمینان 0.95، آلفا 0.05 است و غیره.

standard_offانحراف معیار داده های نمونه است. شما نیازی به محاسبه خطای استاندارد ندارید، اکسل بر ریشه n تقسیم می کند.

اندازه– حجم نمونه (n)

نتیجه تابع CONFIDENCE.NORM عبارت دوم از فرمول محاسبه فاصله اطمینان است، یعنی. نیم فاصله بر این اساس، نقاط پایین و بالایی میانگین ± مقدار به دست آمده است.

بنابراین، می توان یک الگوریتم جهانی برای محاسبه فواصل اطمینان برای میانگین حسابی ساخت، که به توزیع داده های اولیه بستگی ندارد. بهای جهانی بودن ماهیت مجانبی آن است، یعنی. نیاز به استفاده از نمونه های نسبتا بزرگ. با این حال، در قرن فن آوری های مدرنجمع آوری مقدار مناسب داده معمولاً دشوار نیست.

آزمون فرضیه های آماری با استفاده از فاصله اطمینان

(ماژول 111)

یکی از مشکلات اصلی حل شده در آمار است. به طور خلاصه، ماهیت آن این است. برای مثال، فرضی وجود دارد که انتظارات عموم مردم با مقداری برابر است. سپس توزیع میانگین های نمونه ساخته می شود که می توان با یک انتظار معین مشاهده کرد. در مرحله بعد، به این می پردازیم که در کجای این توزیع شرطی میانگین واقعی قرار دارد. اگر از حد مجاز فراتر رود ، ظاهر چنین میانگینی بسیار بعید است و با یک بار تکرار آزمایش تقریباً غیرممکن است ، که با فرضیه مطرح شده که با موفقیت رد شده است در تناقض است. اگر میانگین از سطح بحرانی فراتر نرود، فرضیه رد نمی شود (اما اثبات هم نمی شود!).

بنابراین، با کمک فواصل اطمینان، در مورد ما برای انتظار، می توانید برخی از فرضیه ها را نیز آزمایش کنید. انجام آن بسیار آسان است. فرض کنید میانگین حسابی برای برخی از نمونه ها 100 باشد. این فرضیه در حال آزمایش است که مقدار مورد انتظار مثلاً 90 است. یعنی اگر سؤال را به صورت ابتدایی مطرح کنیم، به نظر می رسد: آیا با مقدار واقعی میانگین برابر با 90، میانگین مشاهده شده 100 بود؟

برای پاسخ به این سوال، اطلاعات بیشتری در مورد انحراف معیار و اندازه نمونه مورد نیاز است. فرض کنید انحراف معیار 30 و تعداد مشاهدات 64 است (برای استخراج آسان ریشه). سپس خطای استاندارد میانگین 30/8 یا 3.75 است. برای محاسبه فاصله اطمینان 95 درصد، باید دو خطای استاندارد را در دو طرف میانگین (به طور دقیق تر، 1.96) کنار بگذارید. فاصله اطمینان تقریباً 100 ± 7.5 یا از 92.5 تا 107.5 خواهد بود.

استدلال بیشتر به شرح زیر است. اگر مقدار آزمایش شده در بازه اطمینان قرار گیرد، با فرضیه مغایرتی ندارد، زیرا در محدوده نوسانات تصادفی (با احتمال 95٪) قرار می گیرد. اگر نقطه آزمایش خارج از فاصله اطمینان باشد، احتمال وقوع چنین رویدادی بسیار ناچیز و در هر صورت زیر سطح قابل قبول است. بنابراین، این فرضیه به عنوان مغایر با داده های مشاهده شده رد می شود. در مورد ما، فرضیه انتظار خارج از فاصله اطمینان است (مقدار آزمایش شده 90 در بازه 100±7.5 لحاظ نمی شود)، بنابراین باید رد شود. در پاسخ به سوال ابتدایی بالا، باید گفت: نه، نمی تواند، در هر صورت، این اتفاق بسیار نادر است. اغلب، این نشان دهنده یک احتمال خاص از رد اشتباه فرضیه (سطح p) است و نه سطح معینی که بر اساس آن فاصله اطمینان ایجاد شده است، بلکه بیشتر در زمان دیگری است.

همانطور که می بینید، ایجاد فاصله اطمینان برای میانگین (یا انتظارات ریاضی) دشوار نیست. نکته اصلی این است که ذات را بگیریم و سپس همه چیز پیش خواهد رفت. در عمل، اکثراً از فاصله اطمینان 95% استفاده می کنند، که حدود دو خطای استاندارد در دو طرف میانگین است.

فعلاً همین است. بهترین ها!

بگذارید نمونه ای از جمعیت عمومی مشمول قانون تهیه شود طبیعیتوزیع ایکسن( متر;  ). این فرض اساسی آمار ریاضی مبتنی بر قضیه حد مرکزی است. اجازه دهید انحراف معیار کلی مشخص شود  , اما انتظارات ریاضی از توزیع نظری ناشناخته است متر(منظور داشتن ).

در این مورد، میانگین نمونه ، به دست آمده در طول آزمایش (بخش 3.4.2)، نیز یک متغیر تصادفی خواهد بود متر;
). سپس انحراف "نرمال شده".
N(0;1) یک متغیر تصادفی نرمال استاندارد است.

مشکل این است که یک تخمین بازه برای متر. اجازه دهید یک فاصله اطمینان دو طرفه برای متر به طوری که انتظارات ریاضی واقعی با احتمال معین (پایایی) متعلق به او باشد.  .

چنین فاصله ای را برای مقدار تعیین کنید
به معنای یافتن حداکثر مقدار این کمیت است
و حداقل
، که مرزهای منطقه بحرانی هستند:
.

زیرا این احتمال است
، سپس ریشه این معادله
را می توان با استفاده از جداول تابع لاپلاس (جدول 3، پیوست 1) پیدا کرد.

سپس با احتمال  می توان استدلال کرد که متغیر تصادفی
یعنی میانگین کلی مورد نظر متعلق به بازه است
. (3.13)

ارزش
(3.14)

تماس گرفت دقتبرآوردها

عدد
– چندکتوزیع نرمال - می توان به عنوان آرگومان تابع لاپلاس (جدول 3، پیوست 1)، با توجه به نسبت 2Ф( تو)=، یعنی F( تو)=
.

برعکس، با توجه به مقدار انحراف مشخص شده  می توان دریافت که میانگین کلی مجهول با چه احتمالی به بازه تعلق دارد
. برای این کار باید محاسبه کنید

. (3.15)

اجازه دهید با روش انتخاب مجدد یک نمونه تصادفی از جامعه عمومی گرفته شود. از معادله
را می توان یافت کمترینحجم نمونه برداری مجدد nبرای اطمینان از اینکه فاصله اطمینان با قابلیت اطمینان معین مورد نیاز است از مقدار از پیش تعیین شده تجاوز نکرده است  . حجم نمونه مورد نیاز با استفاده از فرمول برآورد می شود:

. (3.16)

کاوش دقت تخمین
:

1) با افزایش حجم نمونه nاندازه  کاهش می دهد، و از این رو دقت برآورد افزایش.

2) ج افزایش دادنقابلیت اطمینان برآوردها ارزش آرگومان افزایش می یابد تو(زیرا اف(تو) یکنواخت افزایش می یابد) و از این رو افزایش  . در این مورد، افزایش قابلیت اطمینان کاهش می دهددقت ارزیابی آن  .

تخمین زدن
(3.17)

تماس گرفت کلاسیک(جایی که تیپارامتری است که به و n)، زیرا این قوانین توزیعی که اغلب با آن مواجه می شوند را مشخص می کند.

3.5.3 فواصل اطمینان برای تخمین انتظار توزیع نرمال با انحراف معیار ناشناخته 

بگذارید بدانیم که جمعیت عمومی تابع قانون توزیع نرمال است ایکسن( متر; ) که در آن مقدار ریشه میانگین مربعانحرافات ناشناس.

برای ایجاد فاصله اطمینان برای تخمین میانگین کلی، در این مورد از آمار استفاده می شود
، که دارای توزیع دانشجویی با ک= n-1 درجه آزادی این از این واقعیت ناشی می شود که N(0;1) (به مورد 3.5.2 مراجعه کنید)، و
(به بند 3.5.3 مراجعه کنید) و از تعریف توزیع دانشجو (بخش 1. بند 2.11.2).

اجازه دهید دقت تخمین کلاسیک توزیع Student را پیدا کنیم: i.e. پیدا کردن تیاز فرمول (3.17). اجازه دهید احتمال تحقق نابرابری
توسط قابلیت اطمینان داده شده است  :

. (3.18)

از آنجا که تی سنت ( n-1) بدیهی است که تیبستگی دارد به  و n، بنابراین ما معمولا می نویسیم
.

(3.19)

جایی که
تابع توزیع دانش آموز با است n-1 درجه آزادی

حل این معادله برای متر، فاصله را می گیریم
که با قابلیت اطمینان  پارامتر مجهول را پوشش می دهد متر.

ارزش تی  , n-1، برای تعیین فاصله اطمینان استفاده می شود متغیر تصادفی تی(n-1), توزیع شده توسط دانشجو با n-1 درجه آزادی نامیده می شود ضریب دانش آموزی. باید با مقادیر داده شده پیدا شود nو  از جداول " نقاط بحرانیتوزیع های دانش آموزی (جدول 6 پیوست 1) که راه حل های معادله (3.19) هستند.

در نتیجه، عبارت زیر را دریافت می کنیم دقت فاصله اطمینان برای تخمین انتظارات ریاضی (میانگین کلی)، اگر واریانس ناشناخته باشد:

(3.20)

بنابراین، یک فرمول کلی برای ساخت فواصل اطمینان برای انتظارات ریاضی جمعیت عمومی وجود دارد:

دقت فاصله اطمینان کجاست  بسته به واریانس شناخته شده یا ناشناخته مطابق فرمول به ترتیب 3.16 یافت می شود. و 3.20.

وظیفه 10.چند آزمایش انجام شد که نتایج آن در جدول ذکر شده است:

مشخص است که آنها از قانون توزیع عادی تبعیت می کنند
. تخمینی پیدا کنید متر* برای انتظارات ریاضی متر، یک فاصله اطمینان 90% برای آن ایجاد کنید.

راه حل:

بنابراین، متر(2.53;5.47).

وظیفه 11.عمق دریا توسط دستگاهی اندازه گیری می شود که خطای سیستماتیک آن 0 است و خطاهای تصادفی بر اساس قانون عادی و با انحراف معیار توزیع می شوند.  = 15 متر چند اندازه گیری مستقل برای تعیین عمق با خطاهای بیش از 5 متر با سطح اطمینان 90٪ باید انجام شود؟

راه حل:

با شرط مشکل، داریم ایکسن( متر;  )، جایی که  = 15 متر  =5 متر  =0.9. بیایید حجم را پیدا کنیم n.

1) با پایایی داده شده = 0.9، از جداول 3 (پیوست 1) آرگومان تابع لاپلاس را می یابیم. تو  = 1.65.

2) دانستن دقت تخمین داده شده  =تو  =5، پیدا کنید
. ما داریم

. بنابراین، تعداد آزمایشات n25.

وظیفه 12.نمونه برداری دما تیبرای 6 روز اول ژانویه در جدول ارائه شده است:

فاصله اطمینان برای انتظارات را پیدا کنید مترجمعیت عمومی با احتمال اطمینان
و کلی را ارزیابی کنید انحراف معیار س.

راه حل:

و
.

2) برآورد بی طرفانه با فرمول پیدا کنید
:

;
;

.

3) از آنجایی که واریانس کلی ناشناخته است، اما تخمین آن مشخص است، پس انتظار ریاضی را برآورد کنید مترما از توزیع دانشجویی (جدول 6، پیوست 1) و فرمول (3.20) استفاده می کنیم.

زیرا n 1 =n 2 = 6، سپس،
, س 1 = 6.85 داریم:
، از این رو -29.2-4.1<متر 1 < -29.2+4.1.

بنابراین -33.3<متر 1 <-25.1.

به همین ترتیب، ما داریم
, س 2 = 4.8، بنابراین

–34.9< متر 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: متر 1 (-33.3;-25.1) و متر 2 (-34.9;-29.1).

در علوم کاربردی، به عنوان مثال، در رشته های ساختمانی، جداول فواصل اطمینان برای ارزیابی دقت اشیا استفاده می شود که در ادبیات مرجع مربوطه آورده شده است.