Рівняння– це рівність, у якому є одна чи кілька змінних.
Ми розглянемо випадок, коли в рівнянні одна змінна, тобто одна невідома кількість. По суті, рівняння - це вид математичної моделі. Тому в першу чергу рівняння необхідні для вирішення завдань.

Згадаймо, як складається математична модельдля вирішення задачі.
Наприклад, у новому навчальному роцікількість учнів у школі №5 збільшилася вдвічі. Після того, як 20 учнів перейшли до іншої школи, загалом у школі №5 почало навчатися 720 учнів. Скільки учнів було торік?

Нам потрібно висловити те, що сказано за умови математичної мови. Нехай кількість учнів минулого року буде X. Тоді відповідно до умови завдання,
2X – 20 = 720. У нас вийшла математична модель, яка є рівняння з однією змінною. Якщо точніше, то це рівняння першого ступеня з одним змінним. Залишилось знайти його корінь.

Що таке корінь рівняння?

Те значення змінної, у якому наше рівняння звернеться у правильну рівність, називається коренем рівняння. Бувають такі рівняння, які мають багато коренів. Наприклад, у рівнянні 2*X = (5-3)*X будь-яке значення X є коренем. А рівняння X = X +5 взагалі немає коренів, оскільки яке б ми підставили значення X, ми вийде правильне рівність. Вирішити рівняння означає знайти все його коріння, або визначити, що воно не має коріння. Таким чином, щоб відповісти на наше запитання, потрібно вирішити рівняння 2X – 20 = 720.

Як розв'язувати рівняння з однією змінною?

Для початку запишемо базові визначення. Кожне рівняння має праву та ліву частини. У нашому випадку, (2X – 20) – ліва частина рівняння (вона стоїть ліворуч від знака рівності), а 720 – права частина рівняння. Доданки правої та лівої частини рівняння називаються членами рівняння. У нас членами рівняння є 2X, -20 та 720.

Відразу скажемо про дві властивості рівнянь:

1. Будь-який член рівняння можна переносити з правої частини рівняння до лівої, і навпаки. При цьому треба змінити знак члена рівняння на протилежний. Тобто записи виду 2X - 20 = 720, 2X - 20 - 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 - 2X рівносильні.
2. Обидві частини рівняння можна помножити або розділити на те саме число. Це число не повинно дорівнювати нулю. Тобто записи виду 2X – 20 = 720, 5*(2X – 20) = 720*5, (2X – 20):2 = 720:2 також рівносильні.

Скористайтеся цими властивостями для вирішення нашого рівняння.

Перенесемо -20 в праву частинуіз протилежним знаком. Отримаємо:

2X = 720 + 20. Складемо те, що у нас у правій частині. Отримаємо, що 2X = 740.

Тепер розділимо ліву та праву частини рівняння на 2.

2X:2 = 740:2 або X = 370. Ми знайшли корінь нашого рівняння і заразом знайшли відповідь на питання нашого завдання. Минулого року у школі №5 було 370 учнів.

Перевіримо, чи справді наш корінь звертає рівняння у правильну рівність. Підставимо замість X число 370 рівняння 2X – 20 = 720.

2*370-20 = 720.

Все вірно.

Отже, щоб розв'язати рівняння з однією змінною його треба призвести до так званого лінійного рівняння виду ax = b, де a та b – деякі числа. Потім ліву та праву частину розділити на число a. Отримаємо, що x = b: a.

Що означає привести рівняння до лінійного рівняння?

Розглянемо таке рівняння:

5X – 2X + 10 = 59 – 7X +3X.

Це також рівняння з однією невідомою змінною X. Наше завдання привести це рівняння до виду ax = b.

Для цього спочатку зберемо всі доданки, що мають як множник X в лівій частині рівняння, а інші доданки - у правій частині. Доданки, що мають як множник одну і ту ж літеру, називають подібними доданками.

5X - 2X + 7X - 3X = 59 - 10.

Відповідно до розподільної властивості множення ми можемо винести однаковий множник за дужки, а коефіцієнти (множники при змінній x) скласти. Цей процес також називають приведенням подібних доданків.

X(5-2+7-3) = 49.

7X = 49. Ми привели рівняння до виду ax = b, де a = 7, b = 49.

Як ми написали вище, корінням рівняння виду ax = b буде x = b:a.

Тобто X=49:7=7.

Алгоритм знаходження коренів рівняння з однією змінною.

1. Зібрати подібні доданки в лівій частині рівняння, інші доданки - у правій частині рівняння.
2. Навести подібні доданки.
3. Привести рівняння до виду ax = b.
4. Знайти коріння за такою формулою x = b:a.

Примітка. У цій статті ми не розглядали ті випадки, коли змінна зводиться в будь-який ступінь. Інакше кажучи, ми розглядали рівняння першого ступеня з одним змінним. хта областю визначення Х. Тоді висловлювальна форма виду f(x) = g(x)називається рівнянням з однією змінною.

Значення змінної хз множини Х, при якому рівняння перетворюється на істинну числову рівність, називається коренем рівняння (або його рішення). Вирішити рівняння - Це означає знайти безліч його коренів.

Безліч значень змінної, при яких вирази f(x)і g(x)мають сенс, називається областю визначення рівняння
f(x) = g(x). Безліч рішень рівняння є підмножиною області визначення.

Щоб розв'язати якесь рівняння, його спочатку перетворюють, замінюючи іншим, більш простим; отримане рівняння знову перетворюють, замінюючи простішим, тощо. Цей процес продовжують доти, доки не отримують рівняння, коріння якого можна знайти відомим способом. Але щоб це коріння було корінням заданого рівняннянеобхідно, щоб у процесі перетворень вийшли рівняння, безлічі коренів яких збігаються. Такі рівняння називаються рівносильними.

Заміна рівняння рівносильним йому рівнянням називається перетворенням.

Перетворення, що дозволяють отримувати рівносильні рівняння, можуть бути такими:

1. Якщо до обох частин рівняння f(x) = g(x), визначеного на безлічі Хдодати один і той же вираз h(x), що має сенс на безлічі Х, то вийде рівняння f(x) + h(x) = g(x) + h(x), рівносильне цьому.

З цього твердження випливають слідства , які використовуються при вирішенні рівнянь:

1) Якщо до обох частин рівняння додати те саме число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

2) Якщо якесь доданок (або вираз зі змінною) перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши знак доданку на протилежний, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

2. Якщо обидві частини рівняння f(x) = g(x), визначеного на безлічі Х, помножити на один і той же вираз h(x), що має сенс на безлічі Хі не звертається на ньому в нуль, то вийде рівняння f(x)x h (x) = g (x) x h (x), рівносильне цьому.

З цього твердження випливає слідство:

Якщо обидві частини рівняння помножити на те саме число, відмінне від нуля, то вийде рівняння, рівносильне даному.

Завдання.Встановити, які з наступних пар рівнянь рівносильні безлічі дійсних чисел:

а) х 2 - 9 = 0 і (2 х + 6)(х - 3) = 0;

б) (3 х+ 1) × 2 = 6 х+ 1 та х 2 + 1 = 0;

в) х 2 - х- 2 = 0 і ( х - 1)(х + 2) = 0;

Рішення.а) рівняння рівносильні, так як обидва мають своїм корінням числа 3 і -3; б) рівняння рівносильні, оскільки обидва немає коренів, тобто. множини їх рішень збігаються; в) рівняння є рівносильними, оскільки корінням першого рівняння є числа -1 і 2, а другого - числа 1 і -2.

Завдання.Вирішити рівняння та обґрунтувати всі перетворення, які будуть виконуватись у процесі вирішення.

Рішення.

Перетворення	Обґрунтування перетворень
1. Наведемо вирази, що стоять у лівій та правій частинах рівняння, до спільного знаменника: .	Виконали тотожне перетворення перетворення виразу в лівій частині рівняння.
2. Відкинемо спільний знаменник: 6 - 2х = х.	Помножили на 6 обидві частини рівняння (теорема 2), отримали рівняння, що дорівнює даному.
3. Вираз -2 хпереносимо у праву частину рівняння з протилежним знаком: 6 = х+ 2х.	Скористалися наслідком теореми 1, отримали рівняння, рівносильне попередньому і, отже, даному.
4. Наводимо такі члени у правій частині рівняння: 6 = 3 х.	Виконали тотожне перетворення перетворення виразу.
5. Розділимо обидві частини рівняння на 3: х = 2.	Скористалися наслідком теореми 2, отримали рівняння, рівносильне попередньому, а отже, і даному.

Оскільки всі перетворення, які ми виконували, вирішуючи це рівняння, були рівносильними, можна стверджувати, що 2 - корінь цього рівняння.

Якщо ж у процесі розв'язування рівняння не виконуються умови теорем 1 і 2, то може статися втрата коренів або можуть виникнути сторонні корені. Тому важливо, здійснюючи перетворення рівняння з метою отримання більш простого, стежити за тим, щоб вони призводили до рівняння, що дорівнює даному.

Розглянемо, наприклад, рівняння х (х - 1) = 2х, хÎ R. Розділимо обидві частини на х, отримаємо рівняння х- 1 = 2, звідки х= 3, тобто. дане рівняння має єдиний корінь - число 3. Але чи це вірно? Неважко бачити, що якщо на це рівняння замість змінної
хпідставити 0, воно звернеться в справжню числову рівність
0 × (0 – 1) = 2 × 0. А це означає, що 0 – корінь даного рівняння, який ми втратили, виконуючи перетворення. Проаналізуємо їх. Перше, що ми зробили - це розділили обидві частини рівняння на х, тобто помножили на вираз , але при х= 0 воно немає сенсу. Отже, ми не виконали умову теореми 2, що призвело до втрати кореня.

Щоб переконатися, що безліч коренів даного рівняння складається з двох чисел 0 і 3, наведемо інше рішення. Перенесемо вираз 2 хз правої частини до лівої: х (х - 1) - 2х= 0. Винесемо у лівій частині рівняння за дужки хі наведемо такі члени:
х (х- 3) = 0. Добуток двох множників дорівнює нулю в тому і тільки в тому випадку, коли хоча б один із них дорівнює нулю, тому х= 0 або х- 3 = 0. Звідси отримуємо, що коріння цього рівняння – 0 та 3.

У початковому курсі математики теоретичною основоюРозв'язання рівнянь є взаємозв'язок між компонентами та результатами дій.

Завдання.Вирішити рівняння ( х× 9) : 24 = 3, використовуючи взаємозв'язок між компонентами та результатами дій.

Рішення.Оскільки невідоме перебуває у ділимому, те щоб знайти ділене, треба дільник помножити на приватне: х× 9 = 24 × 3, або х× 9 = 72. Щоб знайти невідомий множник, треба твір поділити на відомий множник: х= 72: 9, або х= 8, отже, коренем цього рівняння є число 8.

Вправи для самостійної роботи

1. Рівняння 2 х 4 + 4х 2 - 6 = 0 задано на множині натуральних чисел. Поясніть, чому число 1 є коренем цього рівняння, а 2 та -1 не є його корінням.

2. Встановіть, які з наступних пар рівнянь рівносильні на множині R:

а) 3+7 х= -4 та 2(3 + 7 х) = -8; в) 3+7 х= -4 і х + 2 = 0.

б) 3+7 х= -4 та 6 + 7 х = -1;

3. Розв'яжіть рівняння та обґрунтуйте всі перетворення, які виконуються в процесі їх спрощення:

а) ; б) ; в 2 - х) × 2 - х (х + 1,5) = 4.

4. Розв'яжіть рівняння, використовуючи взаємозв'язок між компонентами та результатами дій:

а) ( х+ 70) × 4 = 328; в) (85) х + 765) : 170 = 98;

б) 560: ( х+ 9) = 56; г) ( х - 13581) : 709 = 306.

При вивченні російської мови в школі багато хто запитував: чому слово рівнина пишеться через а адже перевірочне слово рівний пишеться через о ? Насправді відповідь проста. Адже рівнина так називається тому, що всі її точки знаходяться на рівному відстані (від рівня моря) та перевірочне слово для неї одно.

Про розподіл: Рівнянням із змінною x називається рівність виду A(x)=B(x), де A(x) та B(x) — вирази від x. Безліч T значень x при підстановці яких у рівняння виходить справжня числова рівність, називають безліччю істинностіданого рівняння або рішеннямданого рівняння, а кожне таке значеннязмінної - коренем рівняння.

Таким чином стає зрозуміло, що основа будь-якого рівняння це рівностейодвох його частин. І коли при розв'язанні рівнянь виробляються над його частинами, ця рівність завжди повинна дотримуватися.

Методи вирішення рівнянь з однією змінною

Існує величезна кількість самих різноманітних видіврівнянь для вирішення яких використовуються різні способи. Але для того щоб легко розв'язувати рівняння вам необхідно знати три основні методи:

Тотожне перетворення рівнянь

Розкладання виразу на множники

Введення нової змінної

Тотожні перетворення рівнянь

Найбільш простим і водночас одним із найпоширеніших способів розв'язання рівнянь є метод тотожних перетворень. У будь-яких рівнянняхдля знаходження невідомого треба перетворити та спростити вихідний приклад. Причому так, щоб за зміни зовнішнього вигляду суть рівняння не змінювалася.Такі перетворення називаються тотожнимичи рівносильними. Розглянемо основні способи тотожних перетворень виразів алгебри.

Приклади та формули тотожних перетворень:

Перше тотожне перетворення: до обох частин будь-якого рівняння можна додати (забрати) будь-яке(але те саме!) число чи вираз (зокрема і вираз із невідомим!). Суть рівняння від цього змінюється.

Приклад: 9 x 2 + 12x + 10 = 15x + 10 → заберемо десять із обох частин → 9 x 2 + 12x = 15x

Друге тотожне перетворення: перенесення членів рівняння з одного боку до іншого зі зворотними знаками.

Приклад: 9 x 2 + 12x = 15x→ перенесемо 15х вліво → 9 x 2 + 12x — 15x = 0.Після спрощення отримуємо: 9 x 2 - 3x = 0

Третє тотожне перетворення: обидві частини рівняння можна помножити (розділити) на те саме відмінне від нулячисло чи вираз. Тут вже з'являється зрозуміле обмеження: на нуль множити безглуздо, а ділити взагалі не можна.

Приклад: 9 x 2 - 3x =0 →розділимо обидві частини рівняння на три → 3x 2 - x = 0

Четверте тотожне перетворення: можна, можливо звести обидві частини рівняння на непарний ступіньабо Вилучитиз обох частин рівняння корінь непарного ступеня. Необхідно пам'ятати, що:

а) зведення в парнуможе призвести до придбаннясторонніх коренів;
б) неправильневилучення кореня парного ступеняможе привести до втрати коренів.

Приклад: 49 x 2 = 1225 → витягнемо корінь квадратний з обох частин → | 7 x| = 35

Розкладання виразу на множники

Перерахуємо тепер деякі найпоширеніші прийоми розкладання багаточленів, як найпростіших алгебраїчних, на множники.

Винесення загального множника за дужку

У тому випадку, коли всі члени багаточлена мають той самий загальний множник, його можна винести за дужку, отримуючи тим самим розкладання многочлена.
Приклад: Розкласти на множники многочленів х 5 – 2х 3 +х 2 .
Рішення: Кожен доданок цього многочлена містить множник х 2 . Винесемо його за дужку і отримаємо відповідь:

х 5 - 2х 3 + х 2 = х 2 (х 3 - 2x + 1).

Застосування формул скороченого множення

Скорочення досить ефективно застосовуються під час розкладання многочлена на множники. Корисно пам'ятати такі формули:

1.Квадрат суми двох величин дорівнює квадратупершої плюс подвоєний добуток першої на другу плюс квадрат другий.

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

2.Квадрат різниці двох величин дорівнює квадрату першої мінус подвоєний добуток першої на другу плюс квадрат другий.

(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2

3.Виробництво суми двох величин на їх різницю дорівнює різниці їх квадратів.

(a+b)(a-b)=a 2 -b 2

4.Куб суми двох величин дорівнює кубу першої плюс потрійний добуток квадрата першої на другу плюс потрійний добуток першої на квадрат другий плюс куб другий.

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

5.Куб різниці двох величин дорівнює кубу першої мінус потрійний добуток квадрата першої на другу плюс потрійний добуток першої на квадрат другий мінус куб другий.

(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3

6. Добуток суми двох величин на неповний квадратрізниці дорівнює сумі їх кубів.

(a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3 +b 3

7. Добуток різниці двох величин на неповний квадрат суми дорівнює різниці їх кубів.

(a-b)(a 2 +ab+b 2)=a 3 -b 3

Приклад: (3х +5) 2 = 9х 2 +30х +25 = 0

Рішення: використовуючи формулу (1) 9х 2+30х+25=(3х+5) 2

Застосування виділення повного квадрата

Без перебільшення можна сказати, що метод виділення повного квадрата є одним з найбільш ефективних методіврозкладання на множники, що застосовуються при здачі та

Візьмемо два вирази зі змінною: 4х і 5х + 2. Поєднавши їх знаком рівності, отримаємо пропозицію 4х = 5х + 2. Воно містить змінну і при підстановці значень змінної звертається до висловлювання.

Наприклад,при х = -2 пропозиція 4х = 5х + 2 звертається в справжню числову рівність 4-(-2) = 5-(-2) + 2, а при х = 1 - у хибне 4-1 = 5-1+2. Тому пропозиція 4х = 5х + 2 є висловлювальна форма. Її називають рівнянням з однією змінною.

У загальному виглядірівняння з однією змінною можна визначити так:

Визначення.Нехай f(х) і q(х) - два вирази зі змінною х та областю визначення X. Тоді висловлювальна форма виду f(х) =q(х) називається рівнянням з однією змінною.

Значення змінної хз множини X,при якому рівняння перетворюється на істинну числову рівність, називається коренем рівняння (або його рішення). Вирішити рівняння - це означає знайти безліч його коренів .

Так, коренем рівняння 4х = 5х + 2, якщо розглядати його на множині Rдійсними числами є число -2. Іншого коріння це рівняння не має. Значить багато його коренів є (-2).

Нехай на безлічі дійсних чисел встановлено рівняння (х-1)(х+2)=0. Воно має два корені - числа 1 та -2. Отже, безліч коренів цього рівняння така: (-2, - 1).

Рівняння (3х + 1) × 2 = 6х + 2, задане на множині дійсних чисел, звертається в справжню числову рівність при всіх дійсних значеннях змінної х: якщо розкрити дужки в лівій частині, то отримаємо 6х + 2 = 6 х+ 2. У цьому випадку кажуть, що його коренем є будь-яке дійсне число, а безліччю коренів безліч усіх дійсних чисел.

Рівняння (3х + 1)-2 = 6х + 1, задане на безлічі дійсних чисел, не звертається в істинну числову рівність за жодного дійсного значення х: після розкриття дужок у лівій частині отримуємо, що 6х + 2 = 6х + 1, що неможливо за жодного х. У цьому випадку кажуть, що дане рівняння не має коріння і що безліч його коренів порожнє.

Щоб розв'язати якесь рівняння, його спочатку перетворюють, замінюючи іншим, більш простим; отримане рівняння знову перетворюють, замінюючи простішим, тощо. Цей процес продовжують доти, доки не отримують рівняння, коріння якого можна знайти відомим способом. Але щоб це коріння було корінням заданого даного рівняння, необхідно, щоб у процесі перетворень вийшли рівняння, безлічі коренів яких збігаються. Такі рівняння називають рівносильними.

Визначення.Два рівняння f 1 (х) =q 1 (х) та f 2 (х) =q 2 (х) називаються рівносильними, якщо множини їх коренів збігаються.

Наприклад,рівняння х 2 - 9 = 0 і (2х + 6) (х - 3) = 0 рівносильні так як обидва мають своїм корінням числа 3 і -3. Рівносильні та рівняння (3х + 1)-2 = 6х + 1 та х 2 + 1 = 0, оскільки обидва немає коренів, тобто. безлічі їх коренів збігаються.

Визначення. Заміна рівняння рівносильним рівнянням називається рівносильним перетворенням.

З'ясуй тепер, які перетворення дозволяють отримувати рівносильні рівняння.

Теорема 1. Нехай рівняння f(х) = q(х) задано на множині і h(х) - вираз, визначений на тій самій множині. Тоді рівняння f(х) = q(х) (1) та f(х) + h(х) = q(х) + h(х) (2) рівносильні.

Доведення.Позначимо через Т 1 - безліч рішень рівняння (1), а через Т 2 - безліч рішень рівняння (2). Тоді рівняння (1) та (2) будуть рівносильними, якщо Т 1 = Т 2 . Щоб переконатися в цьому, необхідно показати, що будь-який корінь із Т 1 є коренем рівняння (2) і, навпаки, будь-який корінь із Т 2 є коренем рівняння (1).

Нехай число а – корінь рівняння (1). Тоді а Î Т 1 і при підстановці в рівняння (1) звертає його в істинну числову рівність f(а) = q(а), а вираз h(х) звертає в числове вираз h(а) що має сенс на множині X. Додамо до обох частин істинної рівності f(а) = q(а) числове вираз h(а). Отримаємо, згідно з властивостями істинних числових рівностей, істинна числова рівність f(а) + h(а) = q(а) + h(а), яка свідчить про те, що а є коренем рівняння (2).

Отже, доведено, кожен корінь рівняння (1) є коренем і рівняння (2), тобто. Т 1 Ì Т 2.

Нехай тепер а – корінь рівняння (2). Тоді а Î Т 2 і при підстановці в рівняння (2) звертає його в істинну числову рівність f(а) + h(а) = q(а) + h(а). Додамо до обох частин цієї рівності числове вираз - h(а). Отримаємо істинну числову рівність f(а) = q(а), що а - корінь рівняння (1).

Отже, доведено, кожен корінь рівняння (2) є і коренем рівняння (1), тобто. Т 2 Ì Т 1 .

Оскільки Т 1 ? Т 2 і Т 2 ?

Цю теорему 1 можна сформулювати інакше: якщо до обох частин рівняння з областю визначення Х додати один і той же вираз зі змінною, визначений на тій самій множині, то отримаємо нове рівняння, рівносильне даному.

З цієї теореми випливають наслідки, що використовуються при вирішенні рівнянь:

1. Якщо до обох частин рівняння додати те саме число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

2. Якщо будь-який доданок (числовий вираз або вираз зі змінною) перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши знак доданку на протилежний, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

Теорема 2.Нехай рівняння f(х) = q(х), задано на множині Х і h(х) - вираз, який визначений на тій самій множині і не звертається в нуль ні при яких значеннях з множини X. Тоді рівняння f(х) = q(х) та f(х) × h(х) = q(х) × h(х) рівносильні.

Доказ цієї теореми аналогічний доказу теореми 1.

Теорему 2 можна сформулювати інакше: якщо обидві частини рівняння з областю визначення Х помножити на те саме вираз, яке визначено на тій самій множині і не звертається на ньому в нуль, то отримаємо нове рівняння, рівносильне даному.

З цієї теореми випливає слідство: якщо обидві частини рівняння помножити (або розділити) на те саме число, відмінне від нуля, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

Розв'яжемо рівняння , х R, і обґрунтуємо всі перетворення, які ми виконуватимемо в процесі розв'язання.

Рівність із змінною f(х) = g(х)називається рівнянням з однією змінною х. Будь-яке значення змінної, коли f(х) і g(х) приймають рівні числові значення, називається коренем такого рівняння. Отже, вирішити рівняння - значить знайти все коріння рівняння або довести, що їх немає.

Рівняння x 2 + 1 = 0 немає дійсних коренів, але має коріння уявні: у разі це коріння х 1 = i, х 2 = -i. Надалі нас же цікавитимуть лише дійсне коріння рівняння.

Якщо рівняння мають однакове коріння, то вони називаються рівносильними. Ті рівняння, які не мають коріння, відносяться до рівносильних.

Визначимо, чи рівні рівняння:

а) х + 2 = 5 та х + 5 = 8

1. Розв'яжемо перше рівняння

2. Розв'яжемо друге рівняння

Коріння рівнянь збігаються, тому х + 2 = 5 і х + 5 = 8 рівносильні.

б) x 2 + 1 = 0 та 2x 2 + 5 = 0

Обидва дані рівняння не мають дійсних коренів, тому є рівносильними.

в) х – 5 = 1 та x 2 = 36

1. Знайдемо коріння першого рівняння

2. Знайдемо коріння другого рівняння

х 1 = 6, х 2 = -6

Коріння рівнянь не збігаються, тому х – 5 = 1 і х 2 = 36 нерівносильні.

При вирішенні рівняння його намагаються замінити рівносильним, але більше простим рівнянням. Тому важливо знати, внаслідок яких перетворень дане рівняння перетворюється на рівнянь, рівносильне йому.

Теорема 1. Якщо в рівнянні з однієї частини в іншу перенести будь-який доданок, змінивши при цьому знак, то вийде рівняння, що дорівнює даному.

Наприклад, рівняння x 2 + 2 = 3х рівносильне рівнянню x 2 + 2 - 3х = 0.

Теорема 2. Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме число (не рівне нулю), то вийде рівняння, рівносильне даному.

Наприклад, рівняння (x 2 - 1) / 3 = 2х рівносильне рівнянню x 2 - 1 = 6х. Обидві частини першого рівняння помножили на 3.

Лінійним рівнянням з однією змінною називається рівняння виду ах = b, де а і b – дійсні числа, причому а називається коефіцієнтом при змінній, а b – вільним членом.

Розглянемо три випадки для лінійного рівняння ах = b.

1. а ≠ 0. У разі х = b/а (т.к. а на відміну від нуля).

2. а = 0, b = 0. Рівняння набуде вигляду: 0 ∙ х = 0. Це рівняння правильне за будь-якого х, тобто. корінь рівняння – будь-яке дійсне число.

3. а = 0, b ≠ 0. У цьому випадку рівняння не матиме коріння, т.к. розподіл на нуль заборонено (0 ∙ х = b).

В результаті перетворень багато рівнянь зводяться до лінійних.

Розв'яжемо рівняння

а) (1/5) х + 2/15 = 0

1. Перенесемо компонент 2/15 з лівої частини рівняння у праву з протилежним знаком. Таке перетворення регламентується теоремою 1. Отже, рівняння набуде вигляду: (1/5)х = -2/15.

2. Щоб позбутися знаменника, домножимо обидві частини рівняння на 15. Зробити це дозволяє нам теорема 2. Отже, рівняння набуде вигляду:

(1/5)х ∙ 15= – 2/15 ∙ 15

Т.ч., корінь рівняння дорівнює -2/3.

б) 2/3 + х/4 + ​​(1 - х) / 6 = 5х / 12 - 1

1. Щоб позбавитися від знаменника, домножимо обидві частини зрівняний ня на 12 (за теоремою 2). Рівняння набуде вигляду:

12(2/3 + х/4 + ​​(1 – х)/6) = 12(5х/12 – 1)

8 + 3х + 2 - 2х = 5х - 12

10 + х = 5х - 12

2. Користуючись теоремою 1, "зберемо" всі числа праворуч, а компоненти з х - зліва. Рівняння набуде вигляду:

10 +12 = 5х - х

Т.ч., корінь рівняння дорівнює 5,5.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.