Тема: Методи експонентного згладжування. Прогнозування на основі методу експоненційного згладжування

Ковзна середня дозволяє чудово згладжувати дані. Але її головний недолік полягає в тому, що кожне значення вихідних даних для неї має однакову вагу. Наприклад, для середньої ковзної використовує період шести тижнів кожному значенню для кожного тижня приділяється 1/6 ваги. У деяких зібраних статистичних даних більш актуальним значенням надається більша вага. Тому експоненційне згладжування застосовується для того, щоб надати найактуальнішим даним більшої ваги. У такий спосіб вирішується дана статистична проблема.

Формула розрахунку методу експонентного згладжування в Excel

Нижче на малюнку зображено звіт попиту на певний продуктза 26 тижнів. Стовпець «Попит» містить інформацію про кількість проданого товару. У стовпці «Прогноз» – формула:

У стовпці «Ковзна середня» визначається прогнозований попит, розрахований за допомогою звичайного обчислення ковзної середньої з періодом 6 тижнів:

В останньому стовпці «Прогноз», з описаною вище формулою, застосовується метод експоненційного згладжування даних, в яких значення останніх тижнів має більшу вагу, ніж попередніх.

Коефіцієнт "Альфа:" вводиться в осередку G1, він означає вагу присвоєння найбільш актуальним даним. У цьому прикладі він має значення 30%. Інші 70% ваги розподіляється на інші дані. Тобто друге значення з точки зору актуальності (з право на ліво) має вагу рівну 30% від решти 70% ваги – це 21%, третє значення має вагу дорівнює 30% від решти 70% ваги – 14,7% і так далі .



Графік експоненційного згладжування

Нижче на малюнку зображено графік попиту, середнє ковзне та прогноз методом експоненційного згладжування, який побудований на основі вихідних значень:

Зверніть увагу, що прогноз з експоненційним згладжуванням більш активно реагує на зміни попиту, ніж ковзна середня лінія.

Дані для чергових попередніх тижнів множаться на коефіцієнт альфа, а результат додається до частини відсотків ваги, що залишилася, помножений на попереднє прогнозоване значення.

Сервіс дозволить провести згладжування часового ряду yt експоненційним методом, тобто. побудувати модель Брауна (див. приклад).

Інструкція. Вкажіть кількість даних (кількість рядків), натисніть Далі. Отримане рішення зберігається у файлі Word.

Кількість рядків (вихідних даних)

Особливість методу експоненційного згладжуванняполягає в тому, що в процедурі знаходження згладженого рівня використовуються значення тільки попередніх рівнів ряду, взяті з певною вагою, причому вага зменшується в міру видалення його з часу, для якого визначається згладжене значення рівня ряду. Якщо вихідного часового ряду y 1 , y 2 , y 3 ,…, y n відповідні згладжені значення рівнів позначити через S t , t = 1,2,...,n , то експоненційне згладжування здійснюється за формулою:

S t = (1-α)yt + αS t-1

У деяких джерелах наводиться інша формула:

S t = αyt + (1-α)S t-1

Де - параметр згладжування (0 В практичні завданняобробки економічних часових рядів рекомендується (необґрунтовано) вибирати величину параметра згладжування в інтервалі від 0.1 до 0.3. Інших точних рекомендацій для вибору оптимальної величини параметра поки немає. В окремих випадках пропонується визначати величину α виходячи з їх довжини ряду, що згладжується: α = 2/(n+1).
Що стосується початкового параметра S 0 то в завданнях його беруть або рівним значенню першого рівня ряду у 1 або рівним середньої арифметичної декількох перших членів ряду. Якщо при підході до правого кінця часового ряду згладжені цим методом значення при вибраному параметрі починають значно відрізнятися від відповідних значень вихідного ряду, необхідно перейти на інший параметр згладжування. Перевагою цього є те, що згладжуванні не губляться ні початкові, ні кінцеві рівні тимчасового ряду, що згладжується.

Згладжування експоненційним методом у Excel

Для обчислення кожного прогнозу MS Excel використовує окрему, але еквівалентну алгебраїчну формулу. Обидва компоненти - дані попереднього спостереження і попередній прогноз - кожного прогнозу множаться на коефіцієнт, що відображає внесок даного компонента в поточний прогноз.
Активізувати засіб Експонентне згладжування можна, вибравши команду Сервіс/Аналіз даних після завантаження надбудови Пакет аналізу ().

Приклад. Перевірити ряд на наявність викидів методом Ірвіна, згладити методом експонентного згладжування (α = 0.1).
Як S 0 беремо середнє арифметичне перші 3 значення ряду.
S 0 = (50 + 56 + 46) / 3 = 50.67

t	y	S t	Формула
1	50	50.07	(1 - 0.1)*50 + 0.1*50.67
2	56	55.41	(1 - 0.1)*56 + 0.1*50.07
3	46	46.94	(1 - 0.1)*46 + 0.1*55.41
4	48	47.89	(1 - 0.1)*48 + 0.1*46.94
5	49	48.89	(1 - 0.1)*49 + 0.1*47.89
6	46	46.29	(1 - 0.1)*46 + 0.1*48.89
7	48	47.83	(1 - 0.1)*48 + 0.1*46.29
8	47	47.08	(1 - 0.1)*47 + 0.1*47.83
9	47	47.01	(1 - 0.1)*47 + 0.1*47.08
10	49	48.8	(1 - 0.1)*49 + 0.1*47.01

Наскільки Forecast NOW! краще моделі Експонентне згладжування (ES)ви можете побачити на графіці нижче. По осі X – номер товару, по осі Y – відсоткове поліпшення якості прогнозу. Опис моделі, детальне дослідження, результати експериментів читайте нижче.

Опис моделі

Прогнозування методом експоненційного згладжування є одним із самих простих способівпрогнозування. Прогноз може бути отриманий лише на період вперед. Якщо прогнозування ведеться у межах днів, то тільки на один день вперед, якщо тижнів, то на один тиждень.

Для порівняння, прогнозування проводилося на тиждень вперед протягом 8 тижнів.

Що таке експоненційне згладжування?

Нехай ряд Зпредставляє вихідний ряд продажів для прогнозування

З 1)-продажі в перший тиждень, З(2) у другій тощо.

Рисунок 1. Продаж по тижнях, ряд З

Аналогічно, ряд Sє експоненційно згладженим рядом продажів. Коефіцієнт знаходиться від нуля до одиниці. Виходить він так, тут t - момент часу (день, тиждень)

S(t+1) = S(t) + α *(С(t) - S(t))

Великі значення константи згладжування α прискорюють відгук прогнозу на стрибок процесу, що спостерігається, але можуть призвести до непередбачуваних викидів, тому що згладжування буде майже відсутній.

Перший раз після початку спостережень, маючи лише один результат спостережень С (1) , коли прогнозу S (1) немає і формулою (1) скористатися ще неможливо, як прогноз S (2) слід взяти С (1) .

Формула легко може бути переписана в іншому вигляді:

S (t+1) = (1 -α )* S (t) +α * З (t).

Таким чином, зі збільшенням константи згладжування частка останніх продажів збільшується, а частка згладжених попередніх зменшується.

Константа вибирається дослідним шляхом. Зазвичай будується кілька прогнозів щодо різних констант і вибирається найбільш оптимальна константа з погляду обраного критерію.

Критерієм може бути точність прогнозування на попередні періоди.

У своєму дослідженні ми розглянули моделі експоненційного згладжування, в яких приймає значення (0.2, 0.4, 0.6, 0.8). Для порівняння з алгоритмом прогнозування Forecast NOW! для кожного товару будувалися прогнози при кожному α, вибирався найточніший прогноз. Насправді ж ситуація була б набагато складніша, користувачу не знаючи наперед точності прогнозу потрібно визначитися з коефіцієнтом α, від якого дуже сильно залежить якість прогнозу. Ось таке замкнене коло.

Наочно

Рисунок 2. α =0.2 , ступінь експоненційного згладжування висока, реальні продажі враховуються слабо

Рисунок 3. α =0.4 , ступінь експоненційного згладжування середня, реальні продажі враховуються в середньому

Можна бачити як зі збільшенням константи α згладжений ряд все сильніше відповідає реальним продажам, і якщо там є викиди або аномалії, ми отримаємо вкрай неточний прогноз.

Рисунок 4. α =0.6 , ступінь експоненційного згладжування низька, реальні продажі враховуються значно

Можемо бачити, що при α=0.8 ряд майже точно повторює вихідний, а значить прогноз прагне до правила «буде продано стільки ж, скільки і вчора»

Тут зовсім не можна орієнтуватися на помилку наближення до вихідних даних. Можна досягти ідеальної відповідності, але отримати неприйнятний прогноз.

Рисунок 5. α =0.8 , ступінь експоненційного згладжування вкрай низька, реальні продажі враховуються сильно

Приклади прогнозів

Тепер давайте подивимося на прогнози, які виходять із використанням різних значеньα. Як можна бачити з малюнка 6 і 7, ніж більше коефіцієнтзгладжування, тим точніше повторює реальні продажі із запізненням на один крок, прогноз. Таке запізнення може виявитися критичним, тому не можна просто вибирати максимальне значення α. Інакше вийде ситуація, коли ми говоримо, що буде продано рівно стільки, скільки було продано минулого періоду.

Малюнок 6. Прогноз методу експонентного згладжування при α=0.2

Малюнок 7. Прогноз методу експонентного згладжування при α=0.6

Давайте подивимося, що виходить за α = 1.0. Нагадаємо, S - прогнозовані (згладжені) продажі, C - реальні продажі.

S (t+1) = (1 -α )* S (t) +α * З (t).

S (t+1) =З (t).

Продаж у t+1 день згідно з прогнозом дорівнює продажам у попередній день. Тому до вибору константи треба підходити з розумом.

Порівняння з Forecast NOW!

Тепер розглянемо даний методпрогнозування порівняно з Forecast NOW! Порівняння велося на 256 товарах, які мають різні продажі, з сезонністю короткострокової та довгострокової, з «поганими» продажами та дефіцитом, акціями та іншими викидами. Для кожного товару був побудований прогноз моделі експоненційного згладжування, для різних α, вибирався кращий і порівнювався з прогнозом моделі Forecast NOW!

У таблиці нижче ви бачите значення помилки прогнозу кожного товару. Помилка тут вважалася як RMSE. Це корінь із середньоквадратичного відхилення прогнозу від реальності. Грубо кажучи, показує, скільки одиниць товару ми відхилилися в прогнозі. Поліпшення показує, на скільки відсотків прогноз Forecast NOW! краще, якщо цифра позитивна і гірше, якщо негативна. На малюнку 8 по осі X відкладено товари, по осі Y зазначено, наскільки прогноз Forecast NOW! краще, ніж прогнозування шляхом експоненційного згладжування. Як можна бачити із цього графіка, точність прогнозування Forecast NOW! майже завжди вдвічі вищий і майже ніколи не гірший. Насправді це означає, що використання Forecast NOW! дозволить вдвічі скоротити запаси чи знизити дефіцит.

Проста і логічно ясна модель часового ряду має такий вигляд:

Y t = b + e t

у, = Ь + г„ (11.5)

де b – константа, e – випадкова помилка. Константа b відносно стабільна на кожному інтервалі часу, але може також повільно змінюватися з часом. Один з інтуїтивно ясних способів виділення значення b з даних полягає в тому, щоб використовувати згладжування ковзним середнім, в якому останнім спостереженням приписуються більші ваги, ніж передостаннім, передостаннім більші ваги, ніж передостаннім, і т.д. Просте експоненційне згладжування саме так і збудовано. Тут більш старим спостереженням приписуються експоненційно спадні ваги, при цьому, на відміну від ковзного середнього, враховуються всі попередні спостереження низки, а не тільки ті, які потрапили до певного вікна. Точна формула простого експоненційного згладжування має вигляд:

S t = a y t + (1 - a) S t -1

Коли ця формула застосовується рекурсивно, кожне нове згладжене значення (яке є також прогнозом) обчислюється як зважене середнє поточного спостереження та згладженого ряду. Очевидно, що результат згладжування залежить від параметра a . Якщо a дорівнює 1, попередні спостереження повністю ігноруються. Якщо дорівнює 0, то ігноруються поточні спостереження. Значення між 0 і 1 дають проміжні результати. Емпіричні дослідження показали, що просте експоненційне згладжування часто дає досить точний прогноз.

Насправді зазвичай рекомендується брати a менше 0,30. Однак вибір a більше 0,30 іноді дає більш точний прогноз. Це означає, що краще все ж таки оцінювати оптимальне значення a за реальними даними, ніж використовувати загальні рекомендації.

Насправді оптимальний параметр згладжування часто шукається з допомогою процедури пошуку на сітці. Можливий діапазон значень параметра розбивається сіткою із певним кроком. Наприклад, розглядається сітка значень від a = 0,1 до a = 0,9 з кроком 0,1. Потім вибирається таке значення a, для якого сума квадратів (або середніх квадратів) залишків (спостерігаються мінус прогнози на крок вперед) є мінімальною.

Microsoft Excelмає функцію Exponential Smoothing (Експоненційне згладжування), яка зазвичай використовується для згладжування рівнів емпіричної часового ряду на основі методу простого експоненційного згладжування. Для виклику цієї функції необхідно на панелі меню вибрати команду Tools Data Analysis. На екрані з'явиться вікно Data Analysis, в якому слід вибрати значення Exponential Smoothing (Експоненційне згладжування). Внаслідок цього з'явиться діалогове вікно Exponential Smoothing.

У діалоговому вікні Exponential Smoothing задаються практично ті ж параметри, що й у розглянутому вище діалоговому вікні Moving Average.

1. Input Range (Вхідні дані) – у це поле вводиться діапазон осередків, що містять значення досліджуваного параметра.

2. Labels (Мітки) - цей прапорець опції встановлюється в тому випадку, якщо
перший рядок (стовпець) у вхідному діапазоні містить заголовок. Якщо заголовок немає, прапорець слід скинути. У цьому випадку для даних вихідного діапазону будуть автоматично створені стандартні назви.

3. Damping factor (Фактор згасання) – у це поле вводиться значення обраного коефіцієнта експоненційного згладжування а. За промовчанням приймаєте значення а = 0,3.

4. Output options (Параметри виведення) - у цій групі, крім вказівки діапазону осередків для вихідних даних у полі Output Range (Вихідний діапазон), можна також вимагати автоматично побудувати графік, для чого необхідно встановити прапорець опції Chart Output (Висновок графіка), та розрахувати стандартні похибки, навіщо потрібно встановити прапорець опції Standart Erroг (Стандартні похибки).

Завдання 2.За допомогою програми Microsoft Excel, використовуючи функцію Експонентного згладжування (Exponential Smoothing), на підставі даних про обсяг випуску Завдання 1 розрахувати згладжені рівні випуску та стандартні похибки. Потім подати фактичні та прогнозовані дані за допомогою діаграми. Підказка: повинна вийти таблиця і графік, аналогічний виконаному завдання 1, але з іншими згладженими рівнями і стандартними похибками.

Метод аналітичного вирівнювання

де - теоретичні значення тимчасового ряду, обчислені за відповідним аналітичному рівняннюна час t.

Визначення теоретичних (розрахункових) значень проводиться на основі так званої адекватної математичної моделі, яка найкращим чиномвідображає основну тенденцію розвитку часового ряду.

Найпростішими моделями (формулами), що виражають тенденцію розвитку, є:

Лінійна функція, графік якої є прямою лінією:

Показова функція:

Y t = a 0 * a 1 t

Ступінна функція другого порядку, графік якої є параболою:

Y t = a 0 + a 1 * t + a 2 * t 2

Логарифмічна функція:

Y t = a 0 + a 1 * ln t

Розрахунок параметрів функції зазвичай провадиться методом найменших квадратів, в якому як рішення приймається точка мінімуму суми квадратів відхилень між теоретичним та емпіричним рівнями:

де – вирівняні (розрахункові) рівні, а Yt – фактичні рівні.

Параметри рівняння a i, що задовольняють цій умові, можуть бути знайдені рішенням системи нормальних рівнянь. На основі знайденого рівняння тренду обчислюються вирівняні рівні.

Вирівнювання по прямійвикористовується у випадках, коли абсолютні прирости практично постійні, тобто. коли рівні змінюються в арифметичної прогресії(або близько до неї).

Вирівнювання по показової функції застосовується, коли ряд відбиває розвиток у геометричній професії, тобто. ланцюгові коефіцієнти зростання практично постійні.

Вирівнювання по статечної функції (параболі другого порядку) використовується, коли ряди динаміки змінюються з постійними ланцюговими темпамиприросту.

Вирівнювання по логарифмічної функції застосовується, коли ряд відбиває розвиток із уповільненням зростання кінці періоду, тобто. коли приріст у кінцевих рівнях часового ряду прагне нуля.

По обчисленим параметрам виконується синтез трендової моделі функції, тобто. отримання значень a 0 , a 1 , a ,2 та їх підстановка шукане рівняння.

Правильність розрахунків аналітичних рівнів можна перевірити за такою умовою: сума значень емпіричного ряду має співпадати із сумою обчислених рівнів вирівняного ряду. При цьому може виникнути невелика похибка в розрахунках через округлення величин, що обчислюються:

Для оцінки точності трендової моделі використовується коефіцієнт детермінації:

де - дисперсія теоретичних даних, отриманих за трендовою моделлю, а - дисперсія емпіричних даних.

Трендова модель адекватна досліджуваному процесу і відбиває тенденцію його розвитку при значеннях R 2 близьких до 1.

Після вибору найбільш адекватної моделі можна зробити прогноз будь-якої з періодів. При складанні прогнозів оперують не точковою, а інтервальної оцінкою, визначаючи звані довірчі інтервали прогнозу. Розмір довірчого інтервалу визначається в загальному виглядінаступним чином:

де середнє квадратичне відхиленнявід тренду; t a -табличне значення t-критерію Стьюдента при рівні значущості a, що залежить від рівня значимості a(%) та числа ступенів свободи до = п- т.Величина - визначається за такою формулою:

де і – фактичні та розрахункові значення рівнів динамічного ряду; п -число рівнів низки; т- кількість параметрів у рівнянні тренду (для рівняння прямої т - 2, для рівняння параболи 2-го порядку т = 3).

Після необхідних розрахунківвизначається інтервал, у якому з певною ймовірністю перебуватиме прогнозована величина.

За допомогою Microsoft Excel будувати трендові моделі досить просто. Спочатку емпіричний часовий ряд слід подати у вигляді діаграми одного з таких типів: гістограма, лінійна діаграма, графік, точкова діаграма, діаграма з областями, а потім клацнути на діаграмі правою кнопкою миші на одному з маркерів даних. У результаті діаграмі буде виділено сам тимчасовий ряд, але в екрані розкриється контекстне меню. У цьому меню слід вибрати команду Add Trendline (Додати лінію тренду). На екрані буде виведено діалогове вікно Add Trendline.

На вкладці Туре (Тип) цього діалогового вікна вибирається необхідний тип тренду:

1. лінійний (Linear);

2. логарифмічний (Logarithmic);

3. поліноміальний, від 2-го до 6-го ступеня включно (Polinomial);

4. статечної (Power);

5. експонентний (Exponential);

6. ковзне середнє, із зазначенням періоду згладжування від 2 до 15 (Moving Average).

На вкладці Options (Параметри) цього діалогового вікна задаються додаткові параметри тренда.

1. Trendline Name (Назва згладженої кривої) – у цій групі вибирається назва, яка буде виведена на діаграму для позначення функції, використаної для згладжування часового ряду. Можливі такі варіанти:

♦ Automatic (Автоматичне) - під час встановлення перемикача в це положення Microsoft Excel автоматично формує назву функції згладжування тренда, ґрунтуючись на вибраному типі тренда, наприклад Linear (Лінійна функція).

♦ Custom (Інше) - під час встановлення перемикача в дане положення в полі праворуч можна ввести власну назву для функції тренда, довжиною до 256 символів.

2. Forecast (Прогноз) - у цій групі можна вказати, на скільки періодів уперед (поле Forward) потрібно спроектувати лінію тренда в майбутнє і на скільки періодів тому (поле Backward) слід спроектувати лінію тренда в минуле (ці поля недоступні в режимі ковзного середнього ).

3. Set intercept (Перетин кривої з віссю Y у точці) - цей прапорець опції та розташоване праворуч поле введення дозволяють безпосередньо вказати точку, в якій лінія тренду повинна перетинати вісь Y (ці поля доступні не для всіх режимів).

4. Display equation on chart (Показувати рівняння на діаграмі) - при встановленні цього прапорця опції на діаграму буде виведено рівняння, що описує лінію тренда, що згладжує.

5. Display R-squared value on chart (Помістити на діаграму величину достовірності апроксимації R 2) -під час встановлення даного прапорця опції на діаграмі буде показано значення коефіцієнта детермінації.

Разом з лінією тренда на графіку часового ряду можуть бути зображені планки похибок. Для вставки планок похибок необхідно виділити ряд даних, клацнути на ньому правою кнопкою миші і вибрати в контекстному меню команду Format Data Series. На екрані відкриється діалогове вікно Format Data Series (Формат ряду даних), у якому слід перейти на вкладку Y Error Bars (Y-похибки).

На цій вкладці за допомогою перемикача Error amount (Величина похибки) вибирається тип планок та варіант їхнього розрахунку залежно від виду похибки.

1. Fixed value (Фіксоване значення) - при встановленні перемикача в це положення за допустиму величину помилки приймається задане в полі лічильника праворуч постійне значення;

2. Percentage (Відносне значення) - при встановленні перемикача в дане положення для кожної точки даних обчислюється допустиме відхилення, виходячи із заданого в полі лічильника праворуч значення відсотка;

3. Standard deviation(s) (Стандартне відхилення) - під час встановлення перемикача в дане положення для кожної точки даних обчислюється стандартне відхилення, яке потім множиться на задане в полі лічильника праворуч (коефіцієнт кратності);

4. Standard error (Стандартна похибка) – при встановленні перемикача в дане положення приймається стандартна величина помилки, постійна для всіх елементів даних;

5. Custom (Користувацька) - під час встановлення перемикача в це положення вводиться довільний масив значень відхилень у позитивну та/або негативну сторону (можна ввести посилання на діапазон комірок).

Планки похибок також можна форматувати. Для цього їх слід виділити клацанням правої кнопки миші і вибрати в контекстному меню команду Format Error Bars (Формат планок похибок).

Завдання 3.За допомогою програми Microsoft Excel на підставі даних про обсяг випуску Завдання 1 необхідно:

Подати часовий ряд у вигляді графіка, побудованого за допомогою майстра діаграм. Потім додати лінію тренда, підбираючи найбільш підходящий варіант рівняння.

Подати отримані результати у вигляді таблиці «Підбір рівняння тренду»:

Таблиця «Підбір рівняння тренду»

Подати обране рівняння графічно, винісши в графік дані про найменування отриманої функції та величину достовірності апроксимації (R 2).

Завдання 4. Дайте відповідь на наступні питання:

1. При аналізі тренда для деякого набору даних коефіцієнт детермінації для лінійної моделі дорівнював 0,95, для логарифмічної - 0,8, а для полінома третього ступеня - 0,9636. Яка трендова модель найбільш адекватна досліджуваному процесу:

а) лінійна;

б) логарифмічна;

в) поліном 3-го ступеня.

2. За даними, поданими в завданні 1, спрогнозуйте обсяг випуску продукції у 2003 році. Яка загальна тенденція поведінки досліджуваної величини випливає із результатів вашого прогнозу:

а) спостерігається спад виробництва;

б) виробництво залишається на колишньому рівні;

в) спостерігається зростання виробництва.

У даному матеріалі були розглянуті основні характеристики тимчасового ряду, моделі декомпозиції тимчасового ряду, а також основні методи згладжування ряду - метод ковзного середнього експоненційного згладжування і аналітичного вирівнювання. Для вирішення цих завдань Microsoft Excel пропонуються такі інструменти, як Moving Average (Ковзне середнє) та Exponential Smoothing (Експоненційне згладжування), які дозволяють згладжувати рівні емпіричного часового ряду, а також команда Add Trendiine (Додати лінію тренду), яка дозволяє будувати моделі тренду робити прогноз з урахуванням наявних значень тимчасового ряду.

P.S. Щоб увімкнути пакет аналізу даних, виберіть команду Tools →Data Analysis (Сервіс → Аналіз даних).

Якщо Data Analysis відсутня, необхідно виконати такі дії:

1. Вибрати команду Tools → Add-ins (Надбудови).

2. Вибрати в запропонованому списку параметрів значення Analysis ToolPak (Пакет аналізу), а потім клацнути ОК. Після цього буде виконано завантаження та підключення до Excel пакета налаштування "Аналіз даних". Відповідна команда з'явиться у меню Tools.

©2015-2019 сайт
Усі права належати їх авторам. Цей сайт не претендує на авторства, а надає безкоштовне використання.
Дата створення сторінки: 2016-04-27

1. Основні методичні засади.

У методі простого експоненційного згладжування застосовується зважене (експоненційно) ковзне усереднення всіх даних попередніх спостережень. Ця модель найчастіше застосовується до даних, в яких необхідно оцінити наявність залежності між показниками, що аналізуються (тренда) або залежність аналізованих даних. Метою експоненційного згладжування є оцінка поточного стану, результати якого визначать усі наступні прогнози.

Експонентне згладжування передбачаєпостійне оновлення моделі за рахунок найсвіжіших даних. Цей метод ґрунтується на усередненні (згладжуванні) тимчасових рядів минулих спостережень у низхідному (експоненційному) напрямку. Тобто пізнішим подіям надається більша вага. Вага надається таким чином: для останнього спостереження вагою буде величина α, для передостаннього – (1-α), для того, що було перед ним, - (1-α) 2 і т.д.

У згладженому вигляді новий прогноз (для періоду часу t+1) можна подавати як зважене середнє останнього спостереження величини в момент часу t та її попереднього прогнозу на цей період t. Причому вага α присвоюється значенню, що спостерігається, а вага (1- α) - прогнозу; при цьому вважається, що 0< α<1. Это правило в общем виде можно записать следующим образом.

Новий прогноз = [α*(останнє спостереження)]+[(1-α)*останній прогноз]

де - прогнозоване значення наступного періоду;

α – постійне згладжування;

Y t - Спостереження величини за поточний період t;

Попередній згладжений прогноз цієї величини на період t.

Експонентне згладжування – це процедура для постійного перегляду результатів прогнозування у світлі останніх подій.

Постійне згладжування є зваженим фактором. Її реальне значення визначається тим, якою мірою поточне спостереження має впливати на прогнозовану величину. Якщо близько до 1, значить у прогнозі істотно враховується величина помилки останнього прогнозування. І навпаки, при малих значеннях прогнозована величина найбільш близька до попереднього прогнозу. Можна уявити як виважене середнє значення всіх минулих спостережень з ваговими коефіцієнтами, що експоненційно зменшуються з «віком» даних.

Таблиця 2.1

Порівняння впливу різних значень постійних згладжування

Постійна є ключем до аналізу даних. Якщо потрібно, щоб спрогнозовані величини були стабільними і випадковими відхиленнями згладжувалися, необхідно вибирати мале значення α. Велике значення постійної має сенс у тому випадку, якщо потрібна швидка реакція на зміни в спектрі спостережень.

2. Практичний приклад проведення експоненційного згладжування.

Подано дані компанії за обсягом продажів (тис. шт.) за сім років, постійне згладжування взято рівною 0,1 і 0,6. Дані за 7 років складають тестову частину; за ними необхідно оцінити ефективність кожної моделі. Для експонентного згладжування рядів початкове значення береться рівним 500 (перше значення фактичних даних або середнє значення за 3 -5 періодів записується в згладжене значення за 2 квартал).

Таблиця 2.2

Початкові дані

Час	Справжнє значення (фактичне)	Згладжене значення	Помилка прогнозу
рік	квартал	0,1	0,1
Excel	за формулою
			#Н/Д		0,00
		500,00		-150,00
		485,00	485,00	-235,00
		461,50	461,50	-61,50
			455,35	455,35	-5,35
		454,82	454,82	-104,82
		444,33	444,33	-244,33
		419,90	419,90	-119,90
			407,91	407,91	-57,91
		402,12	402,12	-202,12
		381,91	381,91	-231,91
		358,72	358,72	41,28
			362,84	362,84	187,16
		381,56	381,56	-31,56
		378,40	378,40	-128,40
		365,56	365,56	184,44
			384,01	384,01	165,99
		400,61	400,61	-0,61
		400,55	400,55	-50,55
		395,49	395,49	204,51
			415,94	415,94	334,06
		449,35	449,35	50,65
		454,41	454,41	-54,41
		448,97	448,97	201,03
			469,07	469,07	380,93

На рис. 2.1 представлений прогноз на основі експоненційного згладжування з постійною згладжування, що дорівнює 0,1.

Рис. 2.1. Експонентне згладжування

Рішення в Excel.

1. Виберіть «Сервіс» – «Аналіз даних». У списку «Інструменти аналізу» виберіть «Екпонентне згладжування». Якщо в меню «Сервіс» немає аналізу даних, необхідно встановити «Пакет аналізу». Для цього знайти в «Параметрах» пункт «Налаштування» і в діалоговому вікні встановити прапорець на «Пакет аналізу», натиснути ОК.

2. На екрані відкриється діалогове вікно, представлене на рис. 2.2.

3. У полі «вхідний інтервал» введіть значення вихідних даних (плюс один вільний осередок).

4. Встановіть прапорець "мітки" (якщо в діапазоні введення вказані назви стовпців).

5. Введіть значення (1-α) у полі «фактор загасання».

6. У полі "вхідний інтервал" введіть значення комірки, в якій хотіли б побачити отримані значення.

7. Встановіть прапорець «Опції» - «Виведення графіка» для автоматичної його побудови.

Рис. 2.2. Діалогове вікно для експонентного згладжування

3. Завдання лабораторної роботи.

Є вихідні дані про обсяги видобутку нафтовидобувного підприємства за 2 роки, подані у таблиці 2.3:

Таблиця 2.3

Початкові дані

Проведіть експонентне згладжування рядів. Коефіцієнт експонентного згладжування прийміть рівним 0,1; 0,2; 0,3. Отримані результати прокоментуйте. Можна використовувати статистичні дані, наведені в додатку 1.