Метод аналітичного вирівнювання. Методи згладжування та вирівнювання динамічних рядів

Аналітичне вирівнювання рівнів динамічного рядуне дає хороших результатів під час прогнозування, якщо рівні низки мають різкі періодичні коливання. У цих випадках визначення тенденції розвитку явища використовується згладжування динамічного ряду методом ковзних середніх.

Суть різних прийомів згладжування зводиться до заміни фактичних рівнів часового ряду розрахунковими рівнями, які піддаються коливанням меншою мірою. Це сприяє чіткішому прояву тенденції розвитку.

Методи згладжування можна умовно розділити на два класи, що спираються на різні підходи:

аналітичний підхід;

Алгоритмічний підхід.

Аналітичний підхід ґрунтується на припущенні, що дослідник може задати загальний виглядфункції, що описує регулярну, невипадкову складову.

З використанням алгоритмічного підходу відмовляються від обмеження, властивого аналітичному. Процедури цього не передбачають опис динаміки невипадкової складової з допомогою єдиної функції, вони припускають опис динаміки невипадкової складової з допомогою єдиної функції, вони надають досліднику лише алгоритм розрахунку невипадкової складової у будь-який час . Методи згладжування часових рядів за допомогою ковзних середніх належать до цього підходу.

Іноді ковзні середні застосовують як попередній етап перед моделюванням тренду за допомогою процедур, що належать до аналітичного підходу.

Ковзаючі середні дозволяють згладити як випадкові, так і періодичні коливання, виявити наявну тенденцію в розвитку процесу і тому є важливим інструментом при фільтрації компонент тимчасового ряду.

Алгоритм згладжування за простою ковзною середньою може бути представлений у вигляді наступного алгоритму.

1. Визначають довжину інтервалу згладжування g, що включає g послідовних рівнів ряду (g

2. Розбивають весь період спостережень на ділянки, при цьому інтервал згладжування ніби ковзає по ряду з кроком, рівним 1.

3. Розраховують арифметичні середні з рівнів ряду, що утворюють кожну ділянку.

4. Замінюють фактичні значення ряду, що стоять у центрі кожної ділянки, на відповідне середнє значення

У цьому зручно брати довжину інтервалу згладжування g як непарного числа g=2p+1, т.к. у цьому випадку отримані значення ковзної середньої припадають на середній член інтервалу.

Спостереження, які беруться до розрахунку середнього значення, називаються активною ділянкою згладжування.

При непарному значенні g усі рівні активної ділянки можуть бути подані у вигляді:

а ковзна середня визначається за формулою

,

де - Фактичні значення -го рівня;

− значення ковзної середньої в момент;

− довжина інтервалу згладжування.

Процедура згладжування призводить до повного усунення періодичних коливань у часовому ряду, якщо довжина інтервалу згладжування береться рівною чи кратною періоду коливань.

Для усунення сезонних коливань бажано використовувати чотири-і дванадцятичасту ковзну середню.

При парному числі рівнів прийнято перше та останнє спостереження на активній ділянці брати з половинними вагами:

Тоді для згладжування коливань при роботі з часовими рядами квартальної або місячної динаміки можна використовувати такі ковзні середні:

,

.

Розглянемо застосування ковзної середньої за даними загальної площі житлових приміщень, що припадають у середньому на 1 жителя Хабаровського краю (таблиця 2.1.1).

Оскільки період згладжування не обґрунтувати, розрахунки починають із 3-членної ковзної середньої. Перший згладжений рівень отримаємо для 1993:

.

Послідовно зрушуючи на рік початок періоду ковзання, знаходимо згладжені рівні для наступних років.

Для 1994 р. ковзна середня складе

,

для 1995 , і т.д.

Оскільки ковзна середня відноситься до середини інтервалу, за який вона розрахована, то динамічний ряд згладжених рівнів скорочується на рівень при непарному періоді ковзання і на рівні при парному періоді ковзання. Тому в нашому прикладі згладжений ряд став коротшим на два члени для тричленної середньої та на чотири – для п'ятичленної (таблиця 2.1.1).

При розрахунку по парних ковзних середніх (у нашому прикладі 4-членна ковзна середня) обчислення проводяться таким чином:

Для 1994 року ;

1995 р. ;

1996 р. .

Таблиця 2.1.1 - Результати згладжування за методом ковзних середніх

Роки	Загальна площа житлових приміщень, що припадає в середньому на 1 жителя.кв.м,	Згладжені рівні
Проста ковзна середня
3-член-на,	4-член-на,	5-член-на,	3-член-на	4-член-на	5-член-на
	15,4	-	-	-	-	-	-
	16,1	16,0	-	-	0,01	-	-
	16,5	16,4	16,3	16,3	0,01	0,026	0,040
	16,6	16,7	16,6	16,6	0,004	0,001	0,000
	16,9	16,8	16,8	16,8	0,004	0,006	0,006
	17,0	17,0	17,1	17,1		0,003	0,010
	17,1	17,3	17,4	17,4	0,05	0,083	0,102
	17,9	17,7	17,7	17,7	0,03	0,026	0,026
	18,2	18,2	18,2	18,2	0,00	0,000	0,000
	18,5	18,7	18,7	18,7	0,03	0,031	0,032
	19,3	19,1	19.1	19,0	0,04	0,056	0,068
	19,5	19,5	19,4	19,4		0,006	0,014
	19,7	19,7	-	-		-	-
	19,9	-	-	-	-	-	-
Разом	248,6	-	-	-	0,179	0,239	0,299

Як видно з таблиці 2.1.1, тричленна середня ковзна демонструє вирівняний динамічний ряд з односпрямованою тенденцією руху рівнів. Згладжування по тричленної ковзної середньої дало більш згладжений ряд, так як для тричленної ковзної середньої виявилася менша сума квадратів відхилень фактичних даних () від згладжених () ( = 0,179) (таблиця 2.1.1). Іншими словами, тричленна ковзна середня найкраще представляє закономірність руху рівнів динамічного ряду.

Пророцтво з урахуванням часових рядів – необхідний елемент будь-якої інвестиційної діяльності. Сама ідея інвестицій - вкладення грошей зараз з метою отримання доходу в майбутньому - ґрунтується на ідеї прогнозування майбутнього. Відповідно, передбачення фінансових тимчасових рядів є основою діяльності всієї індустрії інвестицій – всіх бірж і позабіржових систем торгівлі цінними паперами.

Динамічні процеси, що відбуваються в економічних системах, найчастіше виявляються у вигляді ряду послідовно розташованих у хронологічному порядку значень того чи іншого показника, який у своїх змінах відображає перебіг досліджуваного явища в економіці. Ці значення, зокрема, можуть бути обгрунтування (або заперечення) різних моделей соціально-економічних систем. Вони є також основою розробки прикладних моделей прогнозування особливого виду.

Якщо у часовому ряду проявляється тривала тенденція зміни економічного показника, то кажуть, що має місце тренд. Таким чином, під трендом розуміється зміна, що визначає загальний напрямок розвитку, основну тенденцію часових рядів. У зв'язку з цим економіко-математична динамічна модель, в якій розвиток економічної системи, що моделюється, відображається через тренд її основних показників, називається трендовою моделлю. Для виявлення тренду в часових рядах, а також для побудови та аналізу трендових моделей використовується апарат теорії ймовірностей та математичної статистики.

У тимчасових рядах економічних процесів можуть мати місце більш менш регулярні коливання. Якщо вони мають строго періодичний або близький до нього характер і завершуються протягом одного року, їх називають сезонними коливаннями. У тих випадках, коли період коливань становить кілька років, то кажуть, що в часовому ряді є циклічна компонента. Тренд, сезонна та циклічна компоненти називаються регулярними, або систематичними компонентами часового ряду. Складова частина часового ряду, що залишається після виділення з нього регулярних компонентів, являє собою випадкову, нерегулярну компоненту. Вона є обов'язковою складовою будь-якого часового ряду економіки, оскільки випадкові відхилення неминуче супроводжують будь-якому економічному явищу.

Тимчасовий ряд економічних показників можна розкласти на чотири структурні елементи:

· Тренд, складові якого позначаються Ut, t = 1, 2, ..., n;

· Сезонна компонента, що позначається через Vt, t = 1, 2, ..., n;

· Циклічна компонента, що позначається через Ct, t = 1, 2, ..., n;

· Випадкова компонента, яку позначають εt, t = 1, 2, ..., n.

Якщо систематичні компоненти часового ряду визначені правильно, то та, що залишилася (залишкова послідовність) після виділення з часового ряду цих компонентів, буде випадковою компонентою ряду. Ця компонента матиме наступні властивості: випадковість коливань рівнів залишкової послідовності; відповідністю розподілу випадкової компоненти до нормального закону розподілу; рівністю математичного очікування випадкової компоненти нулю; незалежністю значень рівнів випадкової послідовності, тобто відсутністю суттєвої автокореляції.

Перевірка адекватності трендових моделей заснована на перевірці виконуваності залишкової послідовності зазначених чотирьох властивостей. Якщо не виконується хоча б одне з них, модель визнається неадекватною; у виконанні всіх чотирьох властивостей модель адекватна.

Попередній аналіз часових рядів економічних показників полягає в основному у виявленні та усуненні аномальних значень рівнів ряду, а також у визначенні наявності тренду та його характеру у вихідному часовому ряді. До попередньої обробки часових рядів належать методи зміни часових рядів з метою чіткішого виділення тенденцій розвитку, згладжування часового ряду.

Під аномальним рівнем розуміється окреме значення рівня часового ряду, що не відповідає потенційним можливостям досліджуваної економічної системи і яке, залишаючись як рівень ряду, істотно впливає на значення основних характеристик часового ряду, у тому числі на відповідну трендову модель. Причинами аномальних спостережень можуть бути помилки технічного порядку або помилки при передачі інформації.

З метою чіткіше виявити тенденцію розвитку досліджуваного процесу, зокрема задля її подальшого застосування методів прогнозування з урахуванням трендових моделей, виробляють згладжування (вирівнювання) часових рядів.

Методи згладжування часових рядів поділяються на дві основні групи:

1) аналітичне вирівнювання з використанням кривої, проведеної між конкретними рівнями ряду так, щоб вона відображала тенденцію, властиву ряду, і одночасно звільняла його від незначних коливань;

2) механічне вирівнювання окремих рівнів часового ряду з використанням фактичних значень сусідніх рівнів.

Суть методів механічного згладжування полягає у наступному. Береться кілька перших рівнів часового ряду, що утворюють інтервал згладжування. Для них підбирається поліном, ступінь якого має бути меншим за кількість рівнів, що входять в інтервал згладжування; за допомогою полінома визначаються нові вирівняні значення рівнів у середині інтервалу згладжування. Далі інтервал згладжування зсувається однією рівень ряду вправо, обчислюється наступне згладжене значення тощо.

Таким чином, можна сказати, для фінансової активності будь-якого суб'єкта господарювання необхідно вміти правильно та з максимальною точністю розпланувати свої ресурси для одержання економічної корисності, у чому йому допоможе правильне застосування математико-економічних показників.

При аналітичному вирівнюванні часового ряду теоретичні (розрахункові) значення ряду визначають з припущення про їхню залежність від часу, тобто. y = f(t). За такого підходу зміна досліджуваного показника пов'язується лише з часом. Аналітичне вирівнювання часового ряду складається з наступних основних етапів:

1) вибір виду функціональної залежності (форми тренду), що виражає сутність досліджуваного процесу;

2) розрахунок невідомих параметрів рівняння тренду;

3) розрахунок вирівняних значень рівнів низки з урахуванням рівняння тренда.

Тренд- Це основна тенденція розвитку явища в часі, деякий загальний напрямок розвитку. Для аналітичного вирівнювання можуть використовуватися різноманітні форми трендів, наприклад:

Поліном першого ступеня (лінійна функція, пряма): у = a + bt;

Поліном другого ступеня (парабола): у = a + bt + ct 2;

Поліном третього ступеня (кубічна парабола): у = a + bt + ct 2 + dt 3 ;

Ступінна функція: у = t aта ін.

Для визначення найкращої форми тренду можуть бути використані різні підходи, наприклад:

1) візуальний, з урахуванням графічного зображення часового ряду. Якщо графіку вихідного низки тенденція розвитку недостатньо чітко проглядається, можна провести деякі стандартні перетворення низки, наприклад, згладжування. Потім підібрати функцію, яка відповідає графіку перетвореного ряду.

2) критеріальний, часовий ряд вирівнюють за допомогою кількох видів трендів. Отримані результати порівнюють між собою. Як краща форма тренду може виступати та, для якої досягається оптимальне значення деякого критерію, наприклад, мінімум середнього квадратичного відхилення.

Після вибору форми тренда здійснюється оцінка параметрів рівняння на основі методу найменших квадратів(МНК).

Прагнення провести криву, до якої загалом найбільш тісно примикали окремі точки – фактичні дані, трансформується в МНК в критерій, за яким параметри функції мають бути підібрані те щоб сума квадратів відхилень фактичних даних від тренда була мінімальною, тобто.

де y i- Фактичні рівні ряду;

- Вирівняні рівні ряду (точки на тренді).

Наприклад, для рівняння прямої:

.

Необхідною умовою існування точки мінімуму функції кількох змінних є рівність похідних приватних нулю, тобто.

Система нормальних рівнянь для знаходження параметрів МНК рівняння прямої має такий вигляд:

Вирішуючи цю систему рівнянь отримуємо параметри функції aі b, тобто. шукане рівняння прямої. Розрахунок параметрів рівняння можна спростити, якщо ввести умовне позначення часу таким чином, щоб . І тому у разі непарного числа рівнів низки динаміки час позначається так:

t = …-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;…

При цьому параметри будуть знаходитись за такими формулами:

Приклад аналітичного вирівнювання часового ряду подано на рис. 9.3.

Рис. 9.3. Вирівнювання часового ряду за рівнянням прямої

Аналіз сезонності

Одне із завдань аналізу часових рядів полягає у виявленні сезонності. До сезоннимвідносять всі явища, які виявляють у своєму розвитку чітко виражену закономірність внутрішньорічних змін, тобто стійко повторюються рік у рік коливання рівнів.

До завдань дослідження сезонності відносять такі:

1) визначення наявності сезонних коливань;

2) виявлення їх сили та характеру у різних фазах річного циклу;

3) характеристика факторів, що спричиняють сезонні коливання;

4) математичне моделювання сезонності;

5) оцінка та облік економічних наслідків, до яких призводить наявність сезонних коливань.

Найбільш поширеним методом вивчення сезонності є розрахунок індексів сезонності.

Індекси сезонності є показниками, що характеризують результати порівняння фактичних рівнів цього місяця чи кварталу з розрахунковими рівнями, які можна визначити різними способами.

Індивідуальні індекси сезонностіхарактеризують сезонність у межах конкретного року. Загальні (середні) індекси сезонностіхарактеризують стійку тенденцію сезонності протягом кількох років. Т. е. загальні індекси сезонності - це середнє з індивідуальних індексів сезонності для кожного місяця або кварталу за nроків.

; ,

де – індивідуальний індекс сезонності i-го місяця або кварталу в t-му році;

Iсез i– загальний індекс сезонності i-го місяця чи кварталу;

i- Номер місяця або кварталу;

i= 1-12 (якщо i– номер місяця) або i= 1-4 (якщо i- Номер кварталу);

y i- Фактичні рівні ряду;

- Вирівняні рівні ряду;

Існують різні способи знаходження вирівняних значень часового ряду () при аналізі сезонності. До найпоширеніших відносять визначення середньої (середнього рівня ряду), вирівнювання на основі ковзної середньої, виділення тренду.

При аналізі сезонних коливань на основі середньої слід дотримуватися наступного порядку розрахунків:

1) Розраховуються середньомісячні чи середньоквартальні значення рівнів часового ряду в кожному році:

де L- Довжина сезонного циклу: L= 12 для місяців року, L= 4 для кварталів року.

2) За кожний рік обчислюються відносини місячних рівнів до середньомісячного (або квартального до середньоквартального), тобто. знаходяться індивідуальні індекси сезонності:

3) Для отримання своєрідної картини сезонних коливань ці відносини кожного місяця (кварталу) усереднюються протягом кількох років, тобто. знаходяться загальні індекси сезонності:

.

Нанесення індексів сезонності на графік дозволяє отримати зображення сезонної хвилі.

Одним з найбільш поширених способів моделювання тенденції часового ряду є побудова аналітичної функції (тренду, або тренду з циклічною або (і) сезонною компонентою), що характеризує залежність рівнів від часу. Цей спосіб називають аналітичним вирівнюванням часового ряду

Для вирішення цього завдання спочатку необхідно вибрати вид функції. Найчастіше використовуються такі функції:

· Лінійна -

· Поліноміальна -

· Експонентна -

· Логістична -

· Гомперця -

Це дуже відповідальний етап дослідження. При виборі відповідної функції використовують змістовний аналіз (який може встановити характер динаміки процесу), візуальні спостереження (з урахуванням графічного зображення часового ряду). При виборі поліноміальної функції може бути застосований метод послідовних різниць (що обчислює різниці першого порядку, другого порядку і т.д.), і порядок різниць, коли вони будуть приблизно однаковими, приймається за ступінь полінома.

З двох функцій перевагу зазвичай надають тій, при якій менше сума квадратів відхилень фактичних даних від розрахункових на основі цих функцій. Але цей принцип не можна доводити до абсурду: так, для будь-якого ряду з точок можна підібрати поліном ступеня, що проходить через всі точки, і відповідно з мінімальною – нульовою – сумою квадратів відхилень, але в цьому випадку, очевидно, не слід говорити про виділення Основні тенденції з огляду на випадковий характер цих точок. Тому за інших рівних умов перевагу слід надавати більш простим функцій.

Параметри основної тенденції можна визначити за допомогою методу найменших квадратів. При цьому значення тимчасового ряду розглядаються як залежна змінна, а час - як пояснює:

де – обурення, які задовольняють основним передумовам регресійного аналізу, тобто. що представляють незалежні та однаково розподілені випадкові величини, розподіл яких припускаємо нормальним.

Відповідно до методу найменших квадратів параметри прямої знаходяться із системи нормальних рівнянь (2.5), в якій як беремо:

(7.10)

Враховуючи, що значення змінної утворюють натуральний ряд чисел від 1 до , суми можна виразити через число членів ряду за відомими в математиці формулами:

(7.11)

У розглянутому прикладі 2 на сторінці 79 система нормальних рівнянь має вигляд:

,

звідки і рівняння тренду, тобто. попит щорічно зростає в середньому на 25,7 од.

Перевіримо значущість отриманого рівняння тренду за F-критерію на 5%-ном рівні значимості обчислимо за допомогою формули (3.40) суми квадратів:

а) обумовлену регресією -

б) загальну -

в) залишкову

Знайдемо значення статистики:

.

Оскільки , то рівняння тренду значимо.

Іншим шляхом вирівнювання (згладжування) часового ряду, тобто. виділення невипадкової складової є метод ковзних середніх. Він заснований на переході від початкових значень членів низки до середніх значень на інтервалі часу, довжина якого визначена заздалегідь. При цьому сам вибраний інтервал часу "ковзає" вздовж ряду.

Отримуваний таким чином ряд ковзних середніх поводиться гладкіше, ніж вихідний ряд, через усереднення відхилень ряду.

Аналітичне вирівнювання часового ряду являє собою побудову аналітичної функції, моделі тренду. Для цього застосовуються різноманітні функції: лінійні, степові, параболічні і т.д.

Параметри тренду визначаються як і у разі лінійної регресії методом найменших квадратів, де як незалежна змінна виступає час, а як залежна змінна - рівні часового ряду. Критерієм відбору найкращої форми тренду служить найбільше значення коефіцієнта детермінації, критерії Фішера та Стьюдента.

Припустимо, що деяка теоретична модель передбачає лінійну залежність однієї з характеристик системи від інших:

y= У i k i · x i

(i- Число незалежних змінних). Завдання полягає в наступному: при фіксованих параметрах xта виміряних значеннях yрозрахувати вектор параметрів k , що задовольняє деякий критерій оптимальності.

У методі найменших квадратів цим критерієм є мінімум суми квадратів відхилень розрахованих значень yвід спостережуваних (експериментальних):

min У i (y s,i - y i)І.

Щоб знайти мінімум функції, цей вираз треба продиференціювати за параметрами та прирівняти нулю (умова мінімуму). В результаті пошук мінімуму суми квадратів зводиться в простих операціях із матрицями.

Якщо теоретична модель є лінійною залежністю від одного параметра ( y = a + b· x), то рішення виражається у вигляді простих формул:

Z = nУ x iІ - (У x i)І;

a= (У y iУ x iІ - У y i x iУ x i) / Z; S a І = S yІ У x i І / Z;

b = (nУ y i x i- У y iУ x i) / Z; S b І = S y І n / Z;

S yІ = У ( y s,i - y i)І / ( n - 2)

(y s,i- Розраховане значення, y i- Експериментально виміряне значення)

При розрахунку похибок передбачається, що точність значень x значно перевищує точність вимірюваних значень y, похибка виміру яких підпорядковується нормальному розподілу

Автокореляція у залишках – кореляційна залежність між значеннями залишків за поточний та попередні моменти часу.

Лінійні регресійні моделі з гомоскедастичними та гетероскедастичними, незалежними та автокорельованими залишками. Як бачимо з привиденого вище, головне - це " очищення " тимчасового ряду від випадкових відхилень, тобто. оцінювання математичного очікування Звідси природним чином з'являються складніші моделі. Наприклад, дисперсія може залежати від часу. Такі моделі називають гетероскедастичними, а ті, в яких немає залежності від часу – гомоскедастичними. (Точніше кажучи, ці терміни можуть відноситися не тільки до змінної "час", але й до інших змінних.) У разі, якщо похибки ніяк не пов'язані між собою автокореляційна функція повинна бути виродженою - дорівнювати 1 за рівності аргументів і 0 за їх нерівності. Зрозуміло, що для реальних часових лав так буває далеко не завжди. Якщо природний хід змін спостерігається є досить швидким порівняно з інтервалом між послідовними спостереженнями, то можна передбачити "загасання" автокореляції і отримання практично незалежних залишків, в іншому випадку залишки будуть автокорелювані.

Під ідентифікацією моделей зазвичай розуміється виявлення їх структури та оцінювання параметрів. Оскільки структура - це теж параметр, хоч і нечисловий, то йдеться про одне з типових завдань економетрики - оцінювання параметрів.

Найбільш просто вирішується завдання оцінювання для лінійних (за параметрами) моделей із гомоскедастичними незалежними залишками. Відновлення залежностей у часових рядах може бути проведене на основі методів найменших квадратів і найменших модулів, на випадок часових рядів переносяться результати, пов'язані з оцінюванням необхідного набору регресорів, зокрема легко отримати граничний геометричний розподіл оцінки ступеня тригонометричного полінома.

Проте на більш загальну ситуацію такого простого перенесення робити не рекомендується. Розглянемо, наприклад, у разі тимчасового ряду з гетероскедастичними та автокорельованими залишками знову можна скористатися загальним підходом методу найменших квадратів, проте система рівнянь методу найменших квадратів і, природно, її вирішення будуть іншими. Формули відрізнятимуться. У зв'язку з чим цей метод називається "узагальнений метод найменших квадратів (ОМНК)"

Проаналізуємо економетричну модель часового ряду, що описує зростання індексу споживчих цін (індексу інфляції). Нехай I (t) - зростання цін на місяць t. Тоді, на думку деяких економістів, природно припустити, що:

I(t)=cI(t-1)+a+dS(t-4)+

Де I(t-1) - зростання цін у попередній місяць (а c- деякий коефіцієнт загасання, що передбачає, що за відсутності зовнішній впливів зростання цін припиниться), a- константа (вона відповідає лінійній зміні величини I(t)з часом), bS(t-4) - доданок, що відповідає впливу емісії грошей (тобто збільшення обсягу грошей в економіці країни, здійсненому Центральним Банком) у розмірі S(t-4) та пропорційне емісії з коефіцієнтом b, причому цей вплив проявляється не відразу , а через 4 місяці; нарешті, це неминуча похибка.

Модель, навіть, незважаючи на свою простоту, демонструє багато характерних рис набагато складніших економетричних моделей. По-перше, звернемо увагу, що деякі змінні визначаються (розраховуються) всередині моделі, як I(t). Їх називають ендогенними (внутрішніми). Інші задаються ззовні (це екзогенні змінні). Іноді, як і теорії управління, серед екзогенних змінних, виділяють керовані змінні - ті, з допомогою яких менеджер може привести систему у потрібне йому стан.

По-друге, у співвідношенні виникають змінні нових типів - з лагами, тобто. аргументи у змінних відносяться не до поточного моменту часу, а до деяких попередніх моментів.

По-третє, складання економетричної моделі такого типу – це аж ніяк не рутинна операція. Наприклад, запізнення саме на 4 місяці у пов'язаному з емісією грошей доданку - це результат досить складної попередньої статистичної обробки.

Від вирішення питання залежить конкретна реалізація процедури методу найменших квадратів.

З іншого боку, в моделі (1) всього 3 невідомі параметри, і постановку методу найменших квадратів виписати неважко:

Далі розглянь модель такого типу з великою кількістю ендогенних та екзогенних змінних, з лагами та складною внутрішньою структурою. Інакше кажучи, нізвідки не випливає, що існує хоча б одне рішення такої системи. У зв'язку із чим виникає не одна, а дві проблеми. Чи існує хоч одне рішення? Якщо так, то як знайти найкраще рішення із можливих? (Це проблема статистичної оцінки параметрів.)

Обидві завдання досить складні. Для вирішення обох завдань розроблено безліч методів, зазвичай, досить складних, лише частина з яких має наукове обґрунтування. Зокрема, досить часто користуються статистичними оцінками, які не є спроможними (строго кажучи, їх навіть не можна назвати оцінками).

Коротко опишемо деякі поширені прийоми під час роботи з системами лінійних економетричних рівнянь.

Система лінійних одночасних економетричних рівнянь. Чисто формально можна всі змінні виразити через змінні, що залежать лише від поточного часу. Наприклад, у разі вищенаведеного рівняння достатньо покласти

H(t)=I(t-1), G(t)=S(t-4)

Тоді рівняння приклад вигляд

I(t)=cH(t)+a+bG(t)+

Відзначимо відразу можливість використання регресійних моделей зі змінною структурою шляхом введення фіктивних змінних. Дані змінні при одних значеннях часу (скажімо, початкових) набувають помітних значень, а за інших - сходять нанівець (стають фактично рівними 0). У результаті формально (математично) та сама модель визначає зовсім різні залежності.

Як зазначалося вище, створено масу методів евристичного аналізу систем економетричних рівнянь. Ці методи призначені для вирішення тих чи інших проблем, що виникають при спробах знайти чисельні рішення систем рівнянь.

Однією з проблем є наявність апріорних обмежень на параметри, що оцінюються. Наприклад, доходи домогосподарства можуть бути витрачені або на споживання або заощадження. Звідси, сума часток цих двох видів витрат апріорі дорівнює 1. А системі економетричних рівнянь ці частки можуть брати участь незалежно. Звідси виникає думка оцінити їх методом найменших квадратів, не звертаючи уваги на апріорне обмеження, а потім підкоригувати. Цей підхід називається непрямим методом найменших квадратів.

Двох кроковий метод найменших квадратів у тому, що у наведеному методі проводиться оцінка параметрів окремого рівняння системи, а чи не розгляд системи загалом. І так само трьох кроковий метод найменших квадратів застосовується з метою оцінки параметрів системи одночасних рівнянь загалом. Спочатку кожного рівняння застосовується двох кроковий метод із єдиною метою оцінити коефіцієнти і похибки кожного рівняння, а надалі побудувати оцінку для ковариационной матриці похибок. Потім оцінювання коефіцієнтів всієї системи застосовується узагальнений метод найменших квадратів.

Менеджеру та економісту не рекомендується бути спеціалістом у галузі складання та розв'язання систем економетричних рівнянь, навіть із застосуванням спеціальних програмних забезпечень, однак він повинен бути поінформований про можливість даного напряму економетрики, для того щоб у разі виробничої необхідності кваліфіковано сформулювати завдання для фахівців-економетриків.

Від оцінювання тренду (основної тенденції) перейдемо до другого основного завдання економетрики часових рядів - оцінювання періоду (циклу).

Проблема гетероскедастичності. Для початку виділимо стаціонарні моделі. Вони спільні функції розподілу F(t 1 , t 2 ,…,t k) будь-якого числа моментів часу k, тому і перераховані вище характеристики часового ряду не змінюються з часом. Зокрема, математичне очікування та дисперсія є постійними величинами, автокореляційна функція залежить лише від різниці t-s. Тимчасові ряди, які є стаціонарними, називаються нестаціонарними.

Гетероскедастичність – властивість вихідних, коли дисперсія помилки залежить від номера спостереження. На графіку гетероскедастичність проявляється в тому, що зі збільшенням або зменшенням порядкового номера виміру збільшується розсіювання вимірів біля лінії тренду. Це може спричинити суттєві похибки оцінок коефіцієнтів рівняння регресії. Гетероскедастичність виникає тоді, коли об'єкти зазвичай неоднорідні. Існує кілька методів корекції, які вирішують проблему гетероскедастичності. Найефективніший їх - метод зважених найменших квадратів.

Сутність методу надзвичайно проста. Нехай вихідна модель має вигляд

Тоді, розподілом кожного елемента системи на значення уt ми приходимо до іншої системи

де у t2 = у 2щ, зважена дисперсія;

Щt = n, n – число вимірів.

Таким чином, за допомогою цього перетворення ми усуваємо гетероскедастичність.

Крім того, логарифмування вихідних даних також у деяких випадках знижує помилки визначення параметрів моделі, спричинені гетероскедастичністю.