Локальна теорема Муавра - Лапласа. Локальна та інтегральна теореми лапласу

Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює p (0< p < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна
Таблиця значень функції φ(x); для негативних значень x користуються цією ж таблицею (функція φ(x) парна: φ(-x) = φ(x)).

Приклад №1. У кожному із 700 незалежних випробуваньподія A відбувається з постійною ймовірністю 0,35. Знайдіть ймовірність того, що подія A відбувається: а) рівно 270 разів; б) менше ніж 270 та більше ніж 230 разів; в) більше ніж 270 разів.
Рішення.Оскільки кількість дослідів n = 700 досить велика, то використовуємо формули Лапласа.
а) Вказано: n = 700, p = 0,35, k = 270.
Знайдемо P 700 (270). Використовуємо локальну теоремуЛапласа.
Знаходимо:

Значення функції φ(x) знайдемо з таблиці:

б) Вказано: n = 700, p = 0,35, a = 230, b = 270.
Знайдемо P 700 (230< k < 270).
Використовуємо інтегральну теорему Лапласа (23) (24). Знаходимо:

Значення функції Ф(x) знайдемо з таблиці:

в) Встановлено: n = 700, p = 0,35, a = 270, b = 700.
Знайдемо P 700 (k> 270).
Маємо:

Приклад №2. При технологічному процесі на ткацькій фабриці відбувається 10 обривів нитки на 100 веретен на годину. Визначте: а) ймовірність того, що протягом години на 80 веретенах станеться 7 обривів нитки; б) найбільш імовірне число обривів нитки на 80 веретенах протягом години.
Рішення. Статистична ймовірністьобрив нитки протягом години дорівнює p = 10/100 = 0,1 і, отже, q = 1 - 0,1 = 0,9; n = 80; k = 7.
Оскільки n велике, то використовується локальна теорема Лапласа (23). Обчислюємо:

Скористаємося властивістю φ(-x) = φ(x), знаходимо φ(0,37) ≈ 0,3726, а потім обчислюємо ймовірність:

Таким чином, ймовірність того, що протягом години на 80 веретенах відбудеться 7 обривів нитки, приблизно дорівнює 0,139.
Найімовірніше число k 0 настань події при повторних випробуванняхвизначимо за формулою (14). Знаходимо: 7,1< k 0 < 8,1. Поскольку k 0 может быть только целым числом, то k 0 = 8.

Приклад №3. Імовірність того, що деталь першого ґатунку дорівнює 0.4. Зроблено 150 деталей. Знайти ймовірність, що серед них 68 деталей першого сорту.

Приклад №4. Імовірність появи події у кожному з незалежних випробувань дорівнює p.
Знайти ймовірність того, що подія відбудеться n разів, якщо проведення m випробувань.
Відповідь подати з точністю до трьох значущих цифр.
р = 0.75, n = 87, m = 120

При досить великому формулі Бернуллі дає громіздкі обчислення. Тому в таких випадках застосовують локальну теорему Лапласа.

Теорема(Локальна теорема Лапласа). Якщо ймовірність появи події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то ймовірність
того, що подія А з'явиться в незалежних випробуваннях рівно раз, приблизно дорівнює значенню функції:

,

.

Є таблиці, де знаходяться значення функції
для позитивних значеньx.

Зауважимо, що функція
парна.

Отже, ймовірність того, що подія А з'явиться в nвипробуваннях рівноkраз приблизно дорівнює

, де
.

приклад.На дослідному полі посіяли 1500 насінин. Знайти ймовірність того, що сходи дадуть 1200 насінин, якщо ймовірність того, що зерно зійде, дорівнює 0,9.

Рішення.

Інтегральна теорема Лапласа

Імовірність того, що в nнезалежних випробуваннях подія А з'явиться не меншеk1 разів і не більшеk2 разів обчислюється по інтегральній теоремі Лапласа.

Теорема(Інтегральна теорема Лапласа). Якщо ймовірність р наступу події а в кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то ймовірність того, що подія А в випробуваннях з'явиться не менше 1 раз і не більше 2 разів приблизно дорівнює значенню певного інтеграла:

.

Функція
називається інтегральною функцією Лапласа, вона непарна і її значення знаходяться за таблицею для позитивних значень.

приклад.У лабораторії з партії насіння, що має схожість 90%, висіяно 600 насінин, що дали сходи, не менше 520 і не більше 570.

Рішення.

Формула Пуассона

Нехай проводиться nнезалежних випробувань, ймовірність появи події А в кожному випробуванні постійна і дорівнює р. Як ми вже говорили, ймовірність появи події А в незалежних випробуваннях рівнораз можна знайти за формулою Бернуллі. При досить великому використовують локальну теорему Лапласа. Однак, ця формула непридатна, коли ймовірність появи події у кожному випробуванні мала або близька до 1. А при р = 0 або р = 1 взагалі не застосовується. У разі користуються теоремою Пуассона.

Теорема(Теорема Пуассона). Якщо ймовірність р настання події А в кожному випробуванні постійна і близька до 0 або 1, а число випробувань досить велике, то ймовірність того, що в незалежних випробуваннях подія А з'явиться рівно перебуває за формулою:

.

приклад.Рукопис обсягом тисячу сторінок машинописного тексту містить тисячу помилок. Знайти ймовірність того, що навмання взята сторінка містить хоча б одну помилку.

Рішення.

Запитаннядля самоперевірки

Сформулюйте класичне визначенняймовірність події.

Сформулюйте теореми складання та множення ймовірностей.

Дайте визначення повної групиподій.

Запишіть формулу ймовірності.

Запишіть формулу Бейєса.

Запишіть формулу Бернуллі.

Запишіть Пуассонову формулу.

Запишіть локальну формулу Лапласа.

Напишіть інтегральну формулу Лапласа.

Тема 13. Випадкова величина та її числові характеристики

Література: ,,,,,.

Однією з основних понять теоретично ймовірностей є поняття випадкової величини. Так прийнято називати змінну величину, яка набуває своїх значень залежно від випадку. Розрізняють два види випадкових величин: дискретні та безперервні. Випадкові величини прийнято позначати X, Y, Z.

Випадкова величина Х називається безперервною (дискретною), якщо вона може приймати лише кінцеве чи лічильне число значень. Дискретна випадкова величина Х визначена, якщо дано всі її можливі значення х 1 , х 2 , х 3 , ... х n (кількість яких може бути як кінцевим, так і нескінченним) і відповідні ймовірності р 1 , р 2 , р 3, ... р n.

Закон розподілу дискретної випадкової величини Х зазвичай визначається таблицею:

Перший рядок складається з можливих значень випадкової величини Х, а в другому рядку вказано ймовірність цих значень. Сума ймовірностей, з якими випадкова величинаХ приймає всі свої значення, що дорівнює одиниці, тобто

р 1 + р 2 + р 3 + ... + р n = 1.

Закон розподілу дискретної випадкової величини Х можна зобразити графічно. Для цього в прямокутній системі координат будують точки М 1 (х 1, р 1), М 2 (х 2, р 2), М 3 (х 3, р 3), ... М n (x n, p n) і з'єднують їх відрізками прямих. Отриману фігуру називають багатокутником розподілу випадкової величини Х.

приклад.Дискретна величина Х задана наступним законом розподілу:

Потрібно обчислити: а) математичне очікування М(Х); б) дисперсію D(X); в) середнє квадратичне відхилення σ.

Рішення . а) Математичне очікування М(Х), дискретної випадкової величини Х називається сума попарних творів всіх можливих значень випадкової величини відповідні ймовірності цих можливих значень. Якщо дискретна випадкова величина Х задана з допомогою таблиці (1), то математичне очікування М(Х) обчислюється за такою формулою

М(Х)=х 1 ∙р 1 +х 2 ∙р 2 +х 3 ∙р 3 +…+х n ∙p n . (2)

Математичне очікування М(Х) називають також середнім значенням випадкової величини Х. Застосовуючи (2), отримаємо:

М(Х)=48∙0,2+53∙0,4+57∙0,3 +61∙0,1=54.

б) Якщо М(Х) є математичне очікування випадкової величини Х, то різниця Х-М(Х) називається відхиленнямвипадкової величини від середнього значення. Ця різниця характеризує розсіювання випадкової величини.

Дисперсією(Розсіянням) дискретної випадкової величини Х називається математичне очікування (середнє значення) квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування. Таким чином, за визначенням маємо:

D(X)=M 2 . (3)

Обчислимо всі можливі значення відхилення квадрата.

2 =(48-54) 2 =36

2 =(53-54) 2 =1

2 =(57-54) 2 =9

2 =(61-54) 2 =49

Щоб обчислити дисперсію D(X), складемо закон розподілу квадрата відхилення і потім застосуємо формулу (2).

D(X)= 36∙0,2+1∙0,4+9∙0,3 +49∙0,1=15,2.

Слід зазначити, що для обчислення дисперсії часто використовують таку властивість: дисперсія D(X) дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини Х і квадратом її математичного очікування, тобто

D(X)-M(X 2)-2. (4)

Щоб обчислити дисперсію за формулою (4), складемо закон розподілу випадкової величини Х2:

Тепер знайдемо математичне очікування М(Х2).

М(Х 2)= (48) 2 ∙0,2+(53) 2 ∙0,4+(57) 2 ∙0,3 +(61) 2 ∙0,1=

460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.

Застосовуючи (4), отримаємо:

D(X)=2931,2-(54) 2 =2931,2-2916=15,2.

Як видно, ми отримали такий самий результат.

в) Розмір дисперсії дорівнює квадрату розмірності випадкової величини. Тому для характеристики розсіювання можливих значень випадкової величини навколо її середнього значення зручніше розглядати величину, яка дорівнює арифметичному значенню квадратного кореня з дисперсії, тобто
. Цю величину називають середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х і позначають через? Таким чином

σ=
. (5)

Застосовуючи (5), маємо: σ=
.

приклад.Випадкова величина Х розподілена за нормальним законом. Математичне очікування М(Х) = 5; дисперсія D (X) = 0,64. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення в інтервалі (4; 7).

Рішення.Відомо, що якщо випадкова величина Х задана диференціальною функцією f(x), то ймовірність того, що Х набуде значення, що належить інтервалу (α,β), обчислюється за формулою

. (1)

Якщо величина Х розподілена за нормальним законом, то диференціальна функція

,

де а=М(Х) та σ=
. У цьому випадку отримуємо з (1)

. (2)

Формулу (2) можна перетворити за допомогою функції Лапласа.

Зробимо підстановку. Нехай
. Тоді
або dx=σ∙ dt.

Отже
, де t 1 і t 2 відповідні межі для змінної t.

Скоротивши на σ, матимемо

Із введеної підстановки
випливає, що
і
.

Таким чином,

(3)

За умовою завдання маємо: а = 5; σ=
=0,8; α=4; β=7. Підставивши ці дані (3), отримаємо:

=Ф(2,5)-Ф(-1,25)=

= Ф (2,5) + Ф (1,25) = 0,4938 +0,3944 = 0,8882.

приклад.Вважається, що відхилення довжини деталей, що виготовляються від стандарту, є випадковою величиною, розподіленою за нормальним законом. Стандартна довжина (математичне очікування) а = 40 см, середнє квадратичне відхилення = 0,4 см. Знайти ймовірність того, що відхилення довжини від стандартної складе по абсолютній величині не більше 0,6 см.

Рішення.Якщо Х – довжина деталі, то за умовою завдання ця величина має бути в інтервалі (а-δ,а+δ), де а=40 та δ=0,6.

Поклавши у формулу (3) α= а-δ і β= а+δ, отримаємо

. (4)

Підставивши в (4) наявні дані, отримаємо:

Отже, ймовірність того, що деталі, що виготовляються, по довжині будуть в межах від 39,4 до 40,6 см, становить 0,8664.

приклад.Діаметр деталей, що виготовляються заводом, є випадковою величиною, розподіленою за нормальним законом. Стандартна довжина діаметра а = 2,5см, середнє відхилення квадрати σ=0,01. У яких межах можна практично гарантувати довжину діаметра цієї деталі, якщо достовірне приймається подія, ймовірність якого дорівнює 0,9973?

Рішення.За умовою завдання маємо:

а=2,5; σ=0,01; .

Застосовуючи формулу (4), отримуємо рівність:

або
.

По таблиці 2 знаходимо, що таке значення функція Лапласа має за х=3. Отже,
; звідки = 0,03.

Таким чином, можна гарантувати, що довжина діаметра буде змінюватися в межах від 2,47 до 2,53 см.

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа . Якщо ймовірність р настання події А у кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то ймовірність того, що число m настання події А в n незалежних випробуваннях укладено в межах від а до b (включно), при досить великій кількості n приблизно дорівнює

Де
- функція (або інтеграл ймовірностей) Лапласа;

,
.

Формула називається інтегральною формулою Муавра Лапласа. Що більше n, то точніше ця формула. За умови npq ≥ 20 інтегральна формула
, Так само як і локальна, дає, як правило, задовільну для практики похибку обчислення ймовірностей.

Функція Ф(х) табульована (див. табл.). Для застосування цієї таблиці потрібно знати властивості функції :

Функція Ф(х) непарна, тобто. Ф(-х) = -Ф(х).

Функція Ф(х) монотонно зростаюча, причому за х → +∞ Ф(х) → 1 (практично вважатимуться, що за х > 4 Ф(х) ≈ 1).

приклад . У деякій місцевості з кожних 100 сімей 80 мають холодильники. Обчислити ймовірність того, що від 300 до 360 (включно) сімей із 400 мають холодильники.

Рішення. Застосовуємо інтегральну теорему Муавра Лапласа (npq = 64 ≥ 20). Спочатку визначимо:

,

.

Тепер за формулою
, враховуючи властивості Ф(х), отримаємо

(за табл. Ф(2,50) = 0,9876, Ф(5,0) ≈ 1)

1. Наслідки інтегральної теореми Муавра-Лапласа (з висновком). приклади.

Розглянемо наслідок інтегральної теореми Муавра Лапласа.

Слідство. Якщо ймовірність р настання події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то достатньо великому числі n незалежних випробувань ймовірність того, що:

а) число m наступів події А відрізняється від твору nр не більше ніж на величину ε >
;

б) частота події А укладена не більше від α до β (включно), тобто.
, де
,
.

в) частость події А відрізняється з його ймовірності р трохи більше, ніж величину Δ > 0 (за абсолютною величиною), тобто.
.

□ 1) Нерівність
рівносильно подвійній нерівності пр - Е ~ т ~ пр + Е. Тому за інтегральною формулою
:

.

2) Нерівність
рівносильно нерівності a ≤ m ≤ b при a = nα і b = nβ. Замінюючи у формулах
і
,
величини а і b отриманими виразами, отримаємо формули, що доводяться
і
,
.

3) Нерівність
рівносильно нерівності
. Замінюючи у формулі

, отримаємо формулу, що доводиться
.

приклад . За статистичними даними, у середньому 87% новонароджених доживають до 50 років. Знайти ймовірність того, що з 1000 новонароджених частка (частина) тих, що дожили до 50 років, буде: а) укладена в межах від 0,9 до 0,95; б) відрізнятиметься від ймовірності цієї події не більше, ніж на 0,04 (за абсолютною величиною)?

Рішення. а) Імовірність того, що новонароджений доживе до 50 років, дорівнює 0,87. Т.к. n = 1000 велике (умова npq = 1000 0,87 0,13 = 113,1 ≥ 20 виконано), то використовуємо наслідок інтегральної теореми Муавра-Лапласа. Спочатку визначимо:

,
. Тепер за формулою
:

Б) За формулою
:

Оскільки нерівність
рівносильно нерівності
, Отриманий результат означає, що практично достовірно, що від 0,83 до 0,91 числа новонароджених з 1000 доживуть до 50 років.

Поняття «випадкова величина» та її опис. Дискретна випадкова величина та її закон (ряд) розподілу. Незалежні довільні величини. приклади.

Під випадковою величиною розуміється змінна, яка в рез-ті випробування в зав-ти випадку приймає одне з можливої ​​безлічі своїх значень (яке саме - заздалегідь не відомо).

Приклади випадкових величин : 1) кількість дітей, що народилися, протягом доби в м. Москві; 2) кількість бракованих виробів у цій партії; 3) кількість зроблених пострілів до першого влучення; 4) дальність польоту артилерійського снаряда; 5) витрата електроенергії на пр-ті за місяць.

Випадкова величина називається дискретної (перервної) якщо безліч її значень кінцеве, або нескінченне, але лічильне.

Під безперервною випадковою величиною будемо розуміти величину, нескінченну незліченну безліч значень якої - деякий інтервал (кінцевий чи нескінченний) числової осі.

Так, у наведених вище прикладах 1-3 маємо дискретні випадкові величини (у прикладах 1 і 2 - з кінцевим безліччю значень; у прикладі 3 - з нескінченним, але лічильним безліччю значень); а прикладах 4 і 5 - безперервні випадкові величини.

Для дискретної випадкової величинибезліч можливі значення випадкової величини, тобто. функції
, звичайно або рахунково, для безперервний- нескінченно та незліченно.

Випадкові величини позначаються великими літерами латинського алфавіту Х,У,Z,..., які значення - відповідними малими літерами х,у,z,....

Про випадкову величину говорять, що її «розподілено» за цим законом розподілу або «підпорядковано» цьому закону розподілу.

Для дискретної випадкової величини закон розподілу м.б. заданий у вигляді таблиці, аналітично (у вигляді формули) та графічно.

Найпростішою формою завдання закону розподілу дискретної випадкової величини Х є таблиця (матриця), у якій перелічені порядку зростання всі можливі значення випадкової величини і відповідні їх ймовірності, тобто.

Така таблиця називається поряд розподілу дискретної випадкової величини .

Події Х=х 1 , Х=x 2 ,…,Х=x n , які у тому, що результаті випробування випадкова величина Х прийме відповідно значення х 1 , x 2 , ..., x n є несумісними і єдино можливими (бо в таблиці перераховані всі можливі значення випадкової величини), тобто. утворюють повну групу. Отже, сума їх ймовірностей дорівнює 1. Т.о. для будь-якої дискретної випадкової величини
.

Ряд розподілу м.б. зображено графічно, якщо з осі абсцис відкладати значення випадкової величини, а, по осі ординат - відповідні їх ймовірності. З'єднання отриманих точок утворює ламану, звану багатокутником або полігоном розподілу ймовірностей .

Дві випадкові величини називаються незалежними якщо закон розподілу однієї з них не змінюється від того, які можливі значення прийняла інша величина. Так, якщо дискретна випадкова величина Х може набувати значення x i (i = 1, 2, ..., n), а випадкова величина У - значення y j (j = 1, 2, ..., m), то незалежність дискретних випадкових величин Х і У означає незалежність подій Х = x i і У = y за будь-яких i = 1, 2, ... , n і j = 1, 2, ..., m. В іншому випадку випадкові величини називаються залежними .

Наприклад якщо є квитки двох різних грошових лотерей, то випадкові величини Х і Y, що виражають відповідно виграш по кожному квитку (у грошових одиницях), будуть незалежними, т.к. при будь-якому виграші за квитком однієї лотереї (наприклад, за Х = xi) закон розподілу виграшу за іншим квитком (У) не зміниться.

Якщо ж випадкові величини Х і У висловлюють виграш за квитками однієї грошової лотереї, то цьому випадку Х і У є залежними, бо будь-який виграш за одним квитком (Х = xi) призводить до зміни ймовірностей виграшу з іншого квитку (У), т.і. е. до зміни закону розподілу У.

Математичні операції над дискретними випадковими ве личинами та приклади побудови законів розподілу для КХ, Х" 1 , X + К, XV по заданим розподіламнезалежних випадок них величин X і У.

Визначимо математичні операції над дискретними випадковими величинами.

Нехай дані дві випадкові величини:

Добутком kX випадкової величини Х на постійну величину k називається випадкова величина, яка набуває значення kx i з тими ж ймовірностями р i (i = 1,2,...,n).

m -й ступенем випадкової величини Х, тобто.
, називається випадкова величина, яка набуває значення з тими самими ймовірностями р i (i = 1,2,...,n).

Сумою (різницею або добутком) випадкових величин Х та У називається випадкова величина, яка набуває всіх можливих значень виду хi+уj (хj-уj або хj·уj), де i = l,2,...,n; j =1,2,...,m, з ймовірностями pij того, що випадкова величина Х прийме значення xi, а у - значення yj:

Якщо випадкові величини Х та У незалежні, тобто. незалежні будь-які події Х=хi, Y=yj то за теоремою множення ймовірностей для незалежних подій

3примітка . Наведені вище визначення операцій над дискретними випадковими величинами потребують уточнення: оскільки у ряді випадків одні й самі значення ,
,
можуть виходити різними способамипри різних xi, yj з ймовірностями pi, pij, то ймовірності таких значень, що повторюються, знаходяться додаванням отриманих ймовірностей pi або pij.

Якщо ймовірність настання події у кожному випробуванні постійна і задовольняє подвійну нерівність
, а кількість незалежних випробувань досить велике, то ймовірність
може бути обчислена за наступною наближеною формулою

(14) ,

де межі інтеграла визначаються рівностями

Формула (14) тим точніше, що більше число випробувань у цьому експерименті.

На підставі рівність (13) формулу (14) можна переписати у вигляді

(15)
.

(16)
(Н.Ф.Л)

Відзначимо найпростіші властивості функції
:

Остання властивість пов'язана з властивостями функції Гауса
.

Функція
непарна. Справді, після заміни змінних

=


;

Для перевірки другої якості досить зробити креслення. Аналітично вона пов'язана із так званим невласним інтегралом Пуассона.

Звідси прямо випливає, що для всіх чисел
можна вважати що,
отже, всі значення цієї функції розташовані у відрізку [-0,5; 0,5], при цьому найменшим є
потім функція повільно зростає і перетворюється на нуль, тобто.
а потім зростає до
Отже, по всій числової прямий є строго зростаючою функцією, тобто. якщо
то

Слід зазначити, що висновки властивості 2 функції
обгрунтовується виходячи з невласного інтеграла Пуассона.

Зауваження.При вирішенні завдань, які потребують застосування інтегральної теореми Муавра-Лапласа, користуються спеціальними таблицями. У таблиці наведено значення для позитивних аргументів і для
; для значень
слід скористатися тією ж таблицею з урахуванням рівності

Далі, щоб скористатися таблицею функції
, Перетворимо рівність (15), так:

І на підставі властивості 2 (непарності
), з урахуванням парності підінтегральної функції отримаємо

=
.

Таким чином, ймовірність того, що подія з'явиться в незалежних випробуваннях не менше раз і не більше раз, обчислюється формулою:

(17)

;

Приклад 12. Імовірність ураження мішені за одного пострілу дорівнює 0,75. Знайти можливість, що з 300 пострілах мішень буде вражена щонайменше 150 і трохи більше 250 раз.

Рішення: Тут
,
,
,
,
. Обчислюємо

,
,

,
.

Підставляючи в інтегральну формулу Лапласа, отримаємо

На практиці поряд з рівністю (16) часто використовують і іншу формулу інтегралом ймовірності» або функцією Лапласа (див. докладніше в гл.2., П.9., Т.9.).

(І.В. або Ф.Л.)

Для цієї функції справедливі рівність:

Отже, вона пов'язана з функцією табулювання
і тому є також таблиця наближених значень (див. в кінці книги, додаток).

приклад 13.Імовірність того, що деталь не пройшла перевірку ВТК, дорівнює 0,2. Знайти ймовірність, що серед 400 випадково відібраних деталей неперевірених деталей виявиться від 70 до 100 деталей.

Рішення.За умовою завдання
,
,
.
,
. Скористаємося інтегральною теоремою Муавра-Лапласа:

,

Обчислимо нижню та верхню межі інтегрування:

Отже, з урахуванням табличних значень функції
;

отримаємо шукану ймовірність

.

Тепер у нас є можливість додатку розглянутих граничних теорем довести відому теорему « закон великих чиселу формі Бернуллі »

Закон великих чисел (ЗБЧ у формі Бернуллі)

Першим історично найпростішим законом великих чисел є теорема

Я. Бернуллі. Теорема Бернуллі виражає найпростішу форму прояву закону великих чисел. Вона доводить теоретичну можливість наближеного обчислення ймовірності події з допомогою його відносної частоти, тобто. доводить якість стійкості відносної частоти.

Нехай проводиться незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність настання події дорівнює,
а відносна частота у кожній серії випробування дорівнює

Розглянемо завдання:в умовах випробування за схемою Бернуллі та за досить великої кількості незалежних випробуваньзнайти ймовірність відхилення відносної частоти
від постійної ймовірності появи події по абсолютній величині не перевищує заданого числа
Іншими словами, знайти ймовірність:

за досить великої кількості незалежних випробувань.

Теорема (ЗБЧ Я. Бернуллі 1713)За вищенаведених умов за будь-якого як би не було мало
, має місце гранична рівність

(19)
.

Доведення.Проведемо доказ цього важливого твердження на підставі інтегральної теореми Муавра - Лапласа. За визначенням відносна частота дорівнює

А
ймовірність настання подія в одному випробуванні. Спочатку встановимо наступну рівність за будь-якого
і досить великому :

(20)

.

Дійсно, відповідно до умови
легко помітити, що має місце подвійна нерівність. Позначимо

(21)
.

Тоді, матимемо нерівності

Отже, для ймовірності . Тепер, для випадків
скористаємось рівністю

;

і з урахуванням непарності
отримаємо

== 2
.

Рівність (20) одержано.

З формули (20) безпосередньо випливає, що при
(з урахуванням
де), отримаємо граничну рівність (20).

приклад 14.
. Знайти ймовірність, що серед випадково відібраних 400 деталей відносна частота появи нестандартних деталей відхилиться від
по абсолютній величині лише на 0,03.

Рішення.Згідно з умовами завдання, потрібно знайти

За формулою (3) маємо

=2
.

З урахуванням табличного значення функції
отримаємо

.

Сенс отриманого результату такий: якщо взяти досить велику кількість проб

деталей, то у кожній пробі приблизно відбувається відхилення відносної «частоти» на

95, 44% і величина
цих проб від ймовірності
, За модулем не перевищує 0,03.

Розглянемо інший приклад, де потрібно знайти число
.

приклад 15.Імовірність того, що деталь нестандартна, дорівнює
. Скільки деталей треба відібрати, щоб із ймовірністю 0,9999 можна було б стверджувати, що відносна частота нестандартних деталей (серед відібраних) відхиляється від по модулю трохи більше, ніж 0,03. Знайти цю кількість

Рішення.Тут, за умовою
.

Потрібно визначити
. За формулою (13) маємо

.

Оскільки,

За таблицею знаходимо, що це значення відповідає аргументу
. Звідси,
. Сенс цього результату такий: відносну частоту буде укладено

між числами. Таким чином, число нестандартних деталей у 99,99 % проб буде укладено між числами 101,72 (7 % від числа 1444) та 187,72 (13 % від числа 1444).

Якщо взяти лише одну пробу 1444 деталей, то з великою впевненістю можна очікувати, що число нестандартних деталей буде не меньше101і не більше 188, в той же час малоймовірно, що їх виявиться менше 101 або більше 188.

Слід зазначити, що теорема Бернуллі також встановлює: при необмеженому збільшенні числа випробувань частота випадкової події сходиться з ймовірності до істинної ймовірності цієї події, тобто. справедлива оцінка знизу

(22)
;
,

за умови, що ймовірність події від випробування до випробування залишається незмінним і рівним
при цьому
.

Нерівність (22) є прямим наслідком відомої нерівності Чебишева (див. далі тему «Граничні теореми теорії ймовірностей» «Теорема Чебишева»). Ми ще раз повернемося до цього ЗБЧ. Воно зручне для отримання оцінок ймовірностей знизу і двосторонню оцінку для необхідного числа настання події, так щоб ймовірність від модуля різниці відносної частоти та істинної ймовірності, заданого обмеження події, що розглядається, задовольняло.

Приклад 16Монету підкидають 1000 разів. Оцінити знизу ймовірність відхилення частоти появи «герба» від ймовірності появи менше ніж на 0,1.

Рішення. За умовою тут

На підставі нерівність (4) отримаємо

Отже, нерівність
рівносильно подвійній нерівності

Тому можна зробити висновок, що ймовірність числа попадань «герба» в інтервал (400; 600) більша ніж

Приклад 17В урні 1000 білих та 2000 чорних куль. Витягли (з поверненням) 300 куль. Оцінити знизу ймовірність того, кількість вилучених куль m(при цьому вони повинні бути білими) задовольняє подвійну нерівність 80< m <120.

Рішення.Подвійна нерівність для величини mперепишемо у вигляді:

Таким чином, потрібно оцінити ймовірність виконання нерівності

Отже,

.