Розглянемо послідовність з $n$ незалежних дослідів, у кожному з яких подія $A$ може статися з імовірністю $p$, або не статися — з імовірністю $q=1-p$. Позначимо через P n (k) ймовірність того, що подія $A$ відбудеться рівно $k$ разів з $n$ можливих.

У такому разі величину P n(k ) можна знайти за теоремою Бернуллі (див. урок «Схема Бернуллі. Приклади розв'язання задач»):

Ця теорема чудово працює, проте має недолік. Якщо $n$ буде досить великим, то знайти значення P n (k) стає неможливо через величезного обсягу обчислень. У цьому випадку працює Локальна теоремаМуавра - Лапласа, Що дозволяє знайти наближене значення ймовірності:

Локальна теорема Муавра - Лапласа. Якщо в схемі Бернуллі число $ n $ велике, а число $ p $ відмінно від 0 і 1, тоді:

Функція φ ( x) називається функцією Гауса. Її значення давно обчислені та занесені до таблиці, якою можна користуватися навіть на контрольні роботита екзаменах.

Функція Гауса має дві властивості, які слід враховувати при роботі з таблицею значень:

1. φ (− x) = φ ( x) - функція Гауса - парна;
2. При великих значеннях xмаємо: φ ( x) ≈ 0.

Локальна теорема Муавра - Лапласа дає відмінне наближення формули Бернуллі, якщо кількість випробувань nдосить велике. Зрозуміло, формулювання «число випробувань досить велике» досить умовне, і в різних джерелахназиваються різні цифри. Наприклад:

1. Часто трапляється вимога: n· p · q> 10. Мабуть, це мінімальний кордон;
2. Інші пропонують працювати за цією формулою тільки для $n > 100$ та n· p · q > 20.

На мою думку, досить просто поглянути на умову завдання. Якщо видно, що стандартна теорема Бернуллі не працює через великий обсяг обчислень (наприклад, ніхто не рахуватиме число 58! або 45!), сміливо застосовуйте Локальну теорему Муавра — Лапласа.

До того ж, що ближче значення ймовірностей $q$ і $p$ до 0,5, то точніше формула. І, навпаки, при прикордонних значеннях (коли $ p $ близько до 0 або 1) Локальна теорема Муавра - Лапласа дає велику похибку, значно відрізняючись від цієї теореми Бернуллі.

Однак будьте уважні! Багато репетиторів з вищої математики самі помиляються у подібних розрахунках. Справа в тому, що в функцію Гауса підставляється досить складне число, що містить арифметичний квадратний коріньта дріб. Це число обов'язково потрібно знайти ще до підстановки в функцію. Розглянемо все на конкретних завданнях:

Завдання. Імовірність народження хлопчика дорівнює 0,512. Знайдіть ймовірність того, що серед 100 новонароджених буде рівно 51 хлопчик.

Отже, всього випробувань за схемою Бернуллі n= 100. Крім того, p = 0,512, q= 1 − p = 0,488.

Оскільки n= 100 - це досить велике число, будемо працювати за Локальною теоремою Муавра - Лапласа. Зауважимо, що n· p · q= 100 · 0,512 · 0,488 ≈ 25 > 20. Маємо:

Оскільки ми округляли значення n· p · qдо цілого числа, відповідь також можна округлити: 0,07972 ≈ 0,08. Враховувати решту цифр просто немає сенсу.

Завдання. Телефонна станція обслуговує 200 абонентів. Для кожного абонента ймовірність того, що протягом однієї години він зателефонує на станцію, дорівнює 0,02. Знайти ймовірність того, що протягом години зателефонують 5 абонентів.

За схемою Бернуллі, n= 200, p = 0,02, q= 1 − p = 0,98. Зауважимо, що n= 200 - це неслабке число, тому використовуємо Локальну теорему Муавра - Лапласа. Для початку знайдемо n· p · q= 200 · 0,02 · 0,98 ≈ 4. Звичайно, 4 – це замало, тому результати будуть неточними. Тим не менш, маємо:

Округлимо відповідь до другого знака після коми: 0,17605 ≈ 0,18. Враховувати більше знаків все одно немає сенсу, оскільки ми округляли n· p · q= 3,92 ≈ 4 (до точного квадрата).

Завдання. Магазин отримав 1000 пляшок горілки. Імовірність того, що при перевезенні пляшка розіб'ється, дорівнює 0,003. Знайти ймовірність того, що магазин отримає рівно дві розбиті пляшки.

За схемою Бернуллі маємо: n= 1000, p = 0,003, q= 0,997. Звідси n· p · q= 2,991 ≈ 1,73 2 (підібрали найближчий точний квадрат). Оскільки число n= 1000 досить велике, підставляємо всі числа у формулу Локальної теореми Муавра - Лапласа:

Ми свідомо залишаємо лише один знак після коми (насправді там вийде 0,1949...), оскільки спочатку використали досить грубі оцінки. Зокрема: 2,991 ≈ 1,73 2 . Трійка в чисельнику всередині функції Гауса виникла з виразу n· p = 1000 · 0,003 = 3.

Інтегральна теорема Лапласа

Теорема. Якщо ймовірність р настання події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від нуля та одиниці, то ймовірність того, що число m настання події А в n незалежних випробуванняхукладено в межах від a до b (включно), при досить великій кількості випробувань n приблизно дорівнює

Інтегральна формула Лапласа, як і локальна формула Муавра-Лапласа, точніше, що більше nі чим ближче до 0,5 значення pі q. Обчислення за цією формулою дає незначну похибку під час виконання умови npq≥ 20, хоча допустимим можна вважати виконання умови npq > 10.

Функція Ф( x) табульована (див. Додаток 2). Для застосування цієї таблиці необхідно знати властивості функції Ф( x):

1. Функція Ф( x) - непарна, тобто. Ф(– x) = - Ф ( x).

2. Функція Ф( x) – монотонно зростаюча, причому при x → +∞ Ф( x) → 0,5 (практично можна вважати, що вже при x≥ 5 Ф( x) ≈ 0,5).

Приклад 3.4.За умовами прикладу 3.3 обчислити ймовірність того, що від 300 до 360 (включно) студентів успішно складуть іспит з першого разу.

Рішення. Застосовуємо інтегральну теорему Лапласа ( npq≥ 20). Обчислюємо:

= –2,5; = 5,0;

P 400 (300 ≤ m≤ 360) = Ф(5,0) - Ф(-2,5).

Враховуючи властивості функції Ф( x) та користуючись таблицею її значень, знаходимо: Ф(5,0) = 0,5; Ф(-2,5) = - Ф (2,5) = - 0,4938.

Отримуємо P 400 (300 ≤ m ≤ 360) = 0,5 – (– 0,4938) = 0,9938. ◄

Запишемо наслідки інтегральної теореми Лапласа.

Наслідок 1. Якщо ймовірність р настання події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від нуля і одиниці, то при досить великій кількості n незалежних випробувань ймовірність того, що число m настання події А відрізняється від твору np не більше ніж на величину ε > 0

.

(3.8)

Приклад 3.5.За умовами прикладу 3.3 знайти ймовірність того, що від 280 до 360 студентів успішно складуть іспит з теорії ймовірностей з першого разу.

Рішення. Обчислити ймовірність Р 400 (280 ≤ m≤ 360) можна аналогічно попередньому прикладу за основною інтегральною формулою Лапласа. Але простіше це зробити, якщо помітити, що межі інтервалу 280 та 360 симетричні щодо величини np=320. Тоді на підставі слідства 1 отримуємо

= = ≈

≈ = 2Ф(5,0) ≈ 2·0,5 ≈ 1,

тобто. практично достовірно, що від 280 до 360 студентів успішно складуть іспит з першого разу. ◄

Наслідок 2. Якщо ймовірність р настання події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від нуля та одиниці, то при досить великій кількості n незалежних випробувань ймовірність того, що частота m/n події А укладена в межах від α до β (включно) дорівнює

,

(3.9)

де

, .

(3.10)

Приклад 3.6.За статистичними даними, у середньому 87% новонароджених доживають до 50 років. Знайти ймовірність того, що з 1000 новонароджених частка (частина) тих, хто дожив до 50 років, буде укладена в межах від 0,9 до 0,95.

Рішення. Імовірність того, що новонароджений доживе до 50 років, дорівнює р= 0,87. Так як n= 1000 велике (тобто умова npq= 1000 0,87 0,13 = 113,1 ≥ 20 виконано), то використовуємо наслідок 2 інтегральної теореми Лапласа. Знаходимо:

2,82, = 7,52.

= 0,5 – 0,4976 = 0,0024. ◄

Наслідок 3. Якщо ймовірність р настання події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від нуля і одиниці, то при досить великій кількості n незалежних випробувань ймовірність того, що частота m/n події А відрізняється від його ймовірності р не більше ніж на величинуΔ > 0 (за абсолютною величиною) дорівнює

.

(3.11)

Приклад 3.7.За умовами попереднього завдання знайти ймовірність того, що з 1000 новонароджених частка (частина) дожили до 50 років відрізнятиметься від ймовірності цієї події не більше ніж на 0,04 (за абсолютною величиною).

Рішення. Використовуючи наслідок 3 інтегральної теореми Лапласа, знаходимо:

= 2Ф(3,76) = 2 · 0,4999 = 0,9998.

Оскільки нерівність дорівнює нерівності, отриманий результат означає, що практично достовірно, що від 83 до 91% новонароджених з 1000 доживуть до 50 років. ◄

Раніше ми встановили, що для незалежних випробувань ймовірність числа mпояви події Ав nвипробування знаходиться за формулою Бернуллі. Якщо ж nвелике, то користуються асимптотичної формулою Лапласа. Однак ця формула непридатна, якщо ймовірність події мала ( р≤ 0,1). В цьому випадку ( nвелике, рмало) застосовують теорему Пуассона

Формула Пуассона

Теорема. Якщо ймовірність p настання події А у кожному випробуванні прагне нуля (p → 0) при необмеженому збільшенні числа n випробувань (n→ ∞), причому добуток np прагне постійного числа λ (np → λ), то ймовірність P n (m) того, що подія А з'явиться m разів у n незалежних випробуваннях, задовольняє граничній рівності

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа . Якщо ймовірність р настання події А у кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то ймовірність того, що число m настання події А в n незалежних випробуваннях укладено в межах від а до b (включно), при досить великій кількості n приблизно дорівнює

Де
- функція (або інтеграл ймовірностей) Лапласа;

,
.

Формула називається інтегральною формулою Муавра Лапласа. Що більше n, то точніше ця формула. За умови npq ≥ 20 інтегральна формула
, Так само як і локальна, дає, як правило, задовільну для практики похибку обчислення ймовірностей.

Функція Ф(х) табульована (див. табл.). Для застосування цієї таблиці потрібно знати властивості функції :

Функція Ф(х) непарна, тобто. Ф(-х) = -Ф(х).

Функція Ф(х) монотонно зростаюча, причому за х → +∞ Ф(х) → 1 (практично вважатимуться, що за х > 4 Ф(х) ≈ 1).

приклад . У деякій місцевості з кожних 100 сімей 80 мають холодильники. Обчислити ймовірність того, що від 300 до 360 (включно) сімей із 400 мають холодильники.

Рішення. Застосовуємо інтегральну теорему Муавра Лапласа (npq = 64 ≥ 20). Спочатку визначимо:

,

.

Тепер за формулою
, враховуючи властивості Ф(х), отримаємо

(за табл. Ф(2,50) = 0,9876, Ф(5,0) ≈ 1)

1. Наслідки інтегральної теореми Муавра-Лапласа (з висновком). приклади.

Розглянемо наслідок інтегральної теореми Муавра Лапласа.

Слідство. Якщо ймовірність р настання події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то при досить великій кількості n незалежних випробувань ймовірність того, що:

а) число m наступів події А відрізняється від твору nр не більше ніж на величину ε >
;

б) частота події А укладена не більше від α до β (включно), тобто.
, де
,
.

в) частость події А відрізняється з його ймовірності р трохи більше, ніж величину Δ > 0 (за абсолютною величиною), тобто.
.

□ 1) Нерівність
рівносильно подвійній нерівності пр - Е ~ т ~ пр + Е. Тому за інтегральною формулою
:

.

2) Нерівність
рівносильно нерівності a ≤ m ≤ b при a = nα і b = nβ. Замінюючи у формулах
і
,
величини а і b отриманими виразами, отримаємо формули, що доводяться
і
,
.

3) Нерівність
рівносильно нерівності
. Замінюючи у формулі

, отримаємо формулу, що доводиться
.

приклад . За статистичними даними, у середньому 87% новонароджених доживають до 50 років. Знайти ймовірність того, що з 1000 новонароджених частка (частина) тих, що дожили до 50 років, буде: а) укладена в межах від 0,9 до 0,95; б) відрізнятиметься від ймовірності цієї події не більше, ніж на 0,04 (за абсолютною величиною)?

Рішення. а) Імовірність того, що новонароджений доживе до 50 років, дорівнює 0,87. Т.к. n = 1000 велике (умова npq = 1000 0,87 0,13 = 113,1 ≥ 20 виконано), то використовуємо наслідок інтегральної теореми Муавра-Лапласа. Спочатку визначимо:

,
. Тепер за формулою
:

Б) За формулою
:

Оскільки нерівність
рівносильно нерівності
, Отриманий результат означає, що практично достовірно, що від 0,83 до 0,91 числа новонароджених з 1000 доживуть до 50 років.

Поняття « випадкова величина» та її опис. Дискретна випадкова величина та її закон (ряд) розподілу. Незалежні довільні величини. приклади.

Під випадковою величиною розуміється змінна, яка в рез-ті випробування в зав-ти випадку приймає одне з можливої ​​безлічі своїх значень (яке саме - заздалегідь не відомо).

Приклади випадкових величин : 1) кількість дітей, що народилися, протягом доби в м. Москві; 2) кількість бракованих виробів у цій партії; 3) кількість зроблених пострілів до першого влучення; 4) дальність польоту артилерійського снаряда; 5) витрата електроенергії на пр-ті за місяць.

Випадкова величина називається дискретної (перервної) якщо безліч її значень кінцеве, або нескінченне, але лічильне.

Під безперервною випадковою величиною будемо розуміти величину, нескінченну незліченну безліч значень якої - деякий інтервал (кінцевий чи нескінченний) числової осі.

Так, у наведених вище прикладах 1-3 маємо дискретні випадкові величини (у прикладах 1 і 2 - з кінцевим безліччю значень; у прикладі 3 - з нескінченним, але лічильним безліччю значень); а прикладах 4 і 5 - безперервні випадкові величини.

Для дискретної випадкової величинибезліч можливі значення випадкової величини, тобто. функції
, звичайно або рахунково, для безперервний- нескінченно та незліченно.

Випадкові величини позначаються великими літерами латинського алфавіту Х,У,Z,..., які значення - відповідними малими літерами х,у,z,....

Про випадкову величину говорять, що її «розподілено» за цим законом розподілу або «підпорядковано» цьому закону розподілу.

Для дискретної випадкової величини закон розподілу м.б. заданий у вигляді таблиці, аналітично (у вигляді формули) та графічно.

Найпростішою формою завдання закону розподілу дискретної випадкової величини Х є таблиця (матриця), у якій перелічені порядку зростання всі можливі значення випадкової величини і відповідні їх ймовірності, тобто.

Або
.

Така таблиця називається поряд розподілу дискретної випадкової величини .

Події Х=х 1 , Х=x 2 ,…,Х=x n , які у тому, що результаті випробування випадкова величина Х прийме відповідно значення х 1 , x 2 , ..., x n є несумісними і єдино можливими (бо в таблиці перераховані всі можливі значення випадкової величини), тобто. утворюють повну групу. Отже, сума їх ймовірностей дорівнює 1. Т.о. для будь-якої дискретної випадкової величини
.

Ряд розподілу м.б. зображено графічно, якщо з осі абсцис відкладати значення випадкової величини, а, по осі ординат - відповідні їх ймовірності. З'єднання отриманих точок утворює ламану, звану багатокутником або полігоном розподілу ймовірностей .

Дві випадкові величини називаються незалежними якщо закон розподілу однієї з них не змінюється від того, які можливі значення прийняла інша величина. Так, якщо дискретна випадкова величина Х може набувати значення x i (i = 1, 2, ..., n), а випадкова величина У - значення y j (j = 1, 2, ..., m), то незалежність дискретних випадкових величин Х і У означає незалежність подій Х = x i і У = y за будь-яких i = 1, 2, ... , n і j = 1, 2, ..., m. В іншому випадку випадкові величини називаються залежними .

Наприклад якщо є квитки двох різних грошових лотерей, то випадкові величини Х і Y, що виражають відповідно виграш по кожному квитку (у грошових одиницях), будуть незалежними, т.к. при будь-якому виграші за квитком однієї лотереї (наприклад, за Х = xi) закон розподілу виграшу за іншим квитком (У) не зміниться.

Якщо ж випадкові величини Х і У висловлюють виграш за квитками однієї грошової лотереї, то цьому випадку Х і У є залежними, бо будь-який виграш за одним квитком (Х = xi) призводить до зміни ймовірностей виграшу з іншого квитку (У), т.і. е. до зміни закону розподілу У.

Математичні операції над дискретними випадковими ве личинами та приклади побудови законів розподілу для КХ, Х" 1 , X + К, XV по заданим розподіламнезалежних випадок них величин X і У.

Визначимо математичні операції над дискретними випадковими величинами.

Нехай дані дві випадкові величини:

Добутком kX випадкової величини Х на постійну величину k називається випадкова величина, яка набуває значення kx i з тими ж ймовірностями р i (i = 1,2,...,n).

m -й ступенем випадкової величини Х, тобто.
, називається випадкова величина, яка набуває значення з тими самими ймовірностями р i (i = 1,2,...,n).

Сумою (різницею або добутком) випадкових величин Х та У називається випадкова величина, яка набуває всіх можливих значень виду хi+уj (хj-уj або хj·уj), де i = l,2,...,n; j =1,2,...,m, з ймовірностями pij того, що випадкова величина Х прийме значення xi, а у - значення yj:

Якщо випадкові величини Х та У незалежні, тобто. незалежні будь-які події Х=хi, Y=yj то за теоремою множення ймовірностей для незалежних подій

3примітка . Наведені вище визначення операцій над дискретними випадковими величинами потребують уточнення: оскільки у ряді випадків одні й самі значення ,
,
можуть виходити різними способамипри різних xi, yj з ймовірностями pi, pij, то ймовірності таких значень, що повторюються, знаходяться додаванням отриманих ймовірностей pi або pij.

Вид операції	Вираз знач. Сл\в	Вир знач вер-ти
		не изм-ся
		не изм-ся

Теорема 2 (Муавра-Лапласа (локальна)). Ау кожному з nнезалежних випробуваннях дорівнює р nвипробуваннях подія Анастане раз, приблизно дорівнює (чим більше n, тим точніше) значення функції

,

де , . Таблиця значень функції наведена у дод. 1.

Приклад 6.5.Імовірність знайти білий грибсеред інших дорівнює. Яка ймовірність того, що серед 300 білих грибів буде 75?

Рішення.За умовою завдання , . Знаходимо . За таблицею знаходимо .

.

Відповідь: .

Теорема 3 (Муавра-Лапласа (інтегральна)).Якщо ймовірність настання події Ау кожному з nнезалежних випробувань дорівнює рі відмінна від нуля і одиниці, а число випробувань досить велике, то ймовірність того, що в nвипробуваннях кількість успіхів mзнаходиться між і , приблизно дорівнює (чим більше n, тим точніше)

,

де р- ймовірність появи успіху в кожному випробуванні, , значення наведені у дод. 2.

Приклад 6.6.У партії з 768 кавунів кожен кавун виявляється незрілим із ймовірністю. Знайти ймовірність того, що кількість стиглих кавунівбуде не більше від 564 до 600.

Рішення.За умовою інтегральної теореми Лапласа

Відповідь:

Приклад 6.7.Місто щодня відвідує 1000 туристів, які вдень ідуть обідати. Кожен з них вибирає для обіду один із двох міських ресторанів з рівними ймовірностями та незалежно один від одного. Власник одного з ресторанів бажає, щоб з ймовірністю приблизно 0,99 всі туристи, що прийшли в його ресторан, могли там одночасно пообідати. Скільки місць має бути для цього у його ресторані?

Рішення.Нехай А= "турист пообідав у зацікавленого власника". Наступ події Абудемо вважати «успіхом», , . Нас цікавить таке найменше число k, що ймовірність наступу не менш ніж k«успіхів» у послідовності із незалежних випробувань з ймовірністю успіху р= 0,5 приблизно дорівнює 1 - 0,99 = 0,01. Це якраз ймовірність переповнення ресторану. Таким чином, нас цікавить така найменша кількість kщо . Застосуємо інтегральну теорему Муавра-Лапласа

Звідки випливає, що

.

Використовуючи таблицю для Ф(х) (додаток 2), знаходимо , отже. Отже, у ресторані має бути 537 місць.

Відповідь: 537 місць.

З інтегральної теореми Лапласа можна отримати формулу

.

Приклад 6.8.Імовірність появи події у кожному із 625 незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від його ймовірності абсолютної величини не більше ніж на 0,04.

Локальна та інтегральна теореми Лапласа

Ця стаття є природним продовженням уроку про незалежних випробуваннях, на якому ми познайомилися з формулою Бернулліта відпрацювали типові прикладипо темі. Локальна та інтегральна теореми Лапласа (Муавра-Лапласа) вирішують аналогічне завдання з тією відмінністю, що вони застосовні до досить великої кількості незалежних випробувань. Не треба гасати слів «локальна», «інтегральна», «теореми» – матеріал освоюється з тією ж легкістю, з якою Лаплас потріпав кучеряву голову Наполеона. Тому без будь-яких комплексів та попередніх зауважень одразу ж розглянемо демонстраційний приклад:

Монета підкидається 400 разів. Знайти ймовірність того, що орел випаде 200 разів.

За характерними ознаками тут слід застосувати формулу Бернуллі . Згадаймо зміст цих букв:

- Імовірність того, що в незалежних випробуваннях випадкова подія настане рівно раз;
– біноміальний коефіцієнт;
- ймовірність появи події у кожному випробуванні;

Стосовно нашого завдання:
– загальна кількість випробувань;
– кількість кидків, у яких має випасти орел;

Таким чином, ймовірність того, що в результаті 400 кидків монети орел випаде рівно 200 разів: … Стоп, що робити далі? Мікрокалькулятор (принаймні, мій) не впорався з 400-м ступенем і капітулював перед факторіалами. А рахувати через твір щось не захотілося =) Скористаємось стандартною функцією Екселюяка зуміла обробити монстра: .

Загострюю вашу увагу, що отримано точнеЗначення і таке рішення начебто ідеальне. На перший погляд. Перерахуємо значні контраргументи:

- По-перше, програмного забезпечення може не опинитися під рукою;
– і по-друге, рішення виглядатиме нестандартно (З чималою ймовірністю доведеться вирішувати);

Тому, шановні читачі, у найближчому майбутньому на нас чекає:

Локальна теорема Лапласа

Якщо ймовірність появи випадкової події у кожному випробуванні постійна, то ймовірність того, що у випробуваннях подія настане рівно раз, приблизно дорівнює:
де .

При цьому, чим більше, тим розрахована ймовірність краще наближати точне значення, отримане (хоча б гіпотетично)за формулою Бернуллі. Мінімальна кількість випробувань, що рекомендується, - приблизно 50-100, в іншому випадку результат може виявитися далеким від істини. Крім того, локальна теорема Лапласа працює тим краще, чим ймовірність ближче до 0,5, і навпаки - дає істотну похибку при значеннях, близьких до нуля або одиниці. З цієї причини ще одним критерієм ефективного використанняформули є виконання нерівності () .

Так, наприклад, якщо те і застосування теореми Лапласа для 50 випробувань виправдане. Але якщо і , то і наближення (до точного значення ) буде поганим.

Про те, чому і про особливу функцію ми поговоримо на уроці про нормальному розподілі ймовірностей, А поки нам буде потрібно формально-обчислювальна сторона питання. Зокрема, важливим фактом є парністьцієї функції: .

Оформимо офіційні стосунки з нашим прикладом:

Завдання 1

Монета підкидається 400 разів. Знайти ймовірність того, що орел випаде рівно:

а) 200 разів;
б) 225 разів.

З чого почати Рішення? Спочатку розпишемо відомі величини, щоб вони були перед очима:

– загальна кількість незалежних випробувань;
- можливість випадання орла у кожному кидку;
- Імовірність випадання решки.

а) Знайдемо ймовірність того, що в серії з 400 кидків орел випаде рівно разів. Через велику кількість випробувань використовуємо локальну теорему Лапласа: , де .

На першому кроці обчислимо необхідне значення аргументу:

Далі знаходимо відповідне значення функції: . Це можна зробити кількома способами. Насамперед, звичайно ж, напрошуються безпосередні обчислення:

Округлення проводять, як правило, до 4 знаків після коми.

Недолік прямого обчислення полягає в тому, що експоненту перетравлює далеко не кожен мікрокалькулятор, крім того, розрахунки не надто приємні і забирають час. Навіщо так мучитися? Використовуйте калькулятор за тервером (Пункт 4)та отримуйте значення моментально!

Крім того, існує таблиця значень функції, яка є практично в будь-якій книзі з теорії ймовірностей, зокрема, в навчальному посібнику В.Є. Гмурмана. Закачайте, хто ще не закачав - там взагалі багато корисного; І обов'язково навчитеся користуватись таблицею (прямо зараз!)- Придатною обчислювальної технікизавжди може не опинитися під рукою!

На заключному етапі застосуємо формулу :
- Імовірність того, що при 400 кидках монети орел випаде рівно 200 разів.

Як бачите, отриманий результат дуже близький до точного значення, обчисленого за формулі Бернуллі.

б) Знайдемо ймовірність того, що в серії з 400 випробувань орел випаде рівно разів. Використовуємо локальну теорему Лапласа. Раз, два, три – і готово:

- Шукана ймовірність.

Відповідь:

Наступний приклад, як багато хто здогадався, присвячений дітонародженню - і це вам для самостійного вирішення:)

Завдання 2

Імовірність народження хлопчика дорівнює 0,52. Знайти ймовірність того, що серед 100 новонароджених виявиться рівно: а) 40 хлопчиків; б) 50 хлопчиків; в) 30 дівчаток.

Результати заокруглити до 4 знаків після коми.

…Цікаво тут звучить словосполучення «незалежні випробування» =) До речі, реальна статистична ймовірністьнародження хлопчика у багатьох регіонах світу коливається не більше від 0,51 до 0,52.

Зразок оформлення завдання наприкінці уроку.

Всі помітили, що числа виходять досить малими, і це не повинно вводити в оману - адже йдеться про ймовірності окремо взятих, локальнихзначеннях (звідси і назва теореми). А таких значень багато, і, образно кажучи, можливості «має вистачити усім». Щоправда, багато подій будуть практично неможливими.

Поясню сказане вище на прикладі з монетами: у серії з чотирьохсот випробувань орел теоретично може випасти від 0 до 400 разів, і дані події утворюють повну групу:

Проте більша частина цих значень є сущим мізером, так, наприклад, ймовірність того, що орел випаде 250 разів – вже одна десятимільйонна: . Про значення на кшталт тактовно замовчимо =)

З іншого боку, не слід недооцінювати і скромні результати: якщо складає всього близько, то ймовірність того, що орел випаде, скажімо, від 220 до 250 разів, буде дуже помітна.

А тепер замислимося: як вирахувати цю ймовірність? Не рахувати ж по теореми складання ймовірностей несумісних подійсуму:

Набагато простіше ці значення об'єднати. А об'єднання чогось, як ви знаєте, називається інтегруванням:

Інтегральна теорема Лапласа

Якщо ймовірність появи випадкової події у кожному випробуванні постійна, то ймовірність того, що у випробуваннях подія настане не менше і не більше разів (від разів включно), приблизно дорівнює:

При цьому кількість випробувань, зрозуміло, теж має бути досить великою і ймовірність не дуже мала / велика (орієнтовно), інакше наближення буде поганим чи поганим.

Функція називається функцією Лапласа, і її значення знову ж таки зведені в стандартну таблицю ( знайдіть і навчитеся з нею працювати!!). Мікрокалькулятор тут не допоможе, оскільки інтеграл є таким, що не береться. Але в Екселі є відповідний функціонал – використовуйте пункт 5 розрахункового макета.

На практиці найчастіше зустрічаються наступні значення:
- Перепишіть до себе в зошит.
Починаючи з , можна вважати, що , або якщо записати суворіше:

Крім того, функція Лапласа непарна: , і ця властивість активно експлуатується у завданнях, які нас вже зачекалися:

Завдання 3

Імовірність ураження стрільцем мішені дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що при 100 пострілах мішень буде вражена від 65 до 80 разів.

Я підібрав найбільш реалістичний приклад, а то в мене тут знайшлося кілька завдань, у яких стрілець робить тисячі пострілів.

Рішення: у цій задачі йдеться про повторних незалежних випробуваннях, причому їх кількість досить велика. За умовою потрібно визначити можливість, що мета буде вражена щонайменше 65, а й трохи більше 80 раз, отже, необхідно використовувати інтегральну теорему Лапласа: , де

Для зручності перепишемо вихідні дані у стовпчик:
- всього пострілів;
- Мінімальна кількість потраплянь;
– максимальна кількість влучень;
- Можливість попадання в ціль при кожному пострілі;
- Імовірність промаху при кожному пострілі.

Отже, теорема Лапласа надасть гарне наближення.

Обчислимо значення аргументів:

Звертаю вашу увагу, що твір зовсім не повинен повністю витягуватися з-під кореня (як люблять «підганяти» числа авторів завдань)- Без тіні сумніву витягаємо корінь і округляємо результат; я звик залишати 4 знаки після коми. А ось отримані значення зазвичай округляють до 2 знаків після коми – ця традиція йде з таблиці значень функціїде аргументи представлені саме в такому вигляді.

Використовуємо вказану вище таблицю або розрахунковий макет по терверу (Пункт 5).
Як письмовий коментар раджу поставити таку фразу: значення функції знайдемо за відповідною таблицею:

- Можливість того, що при 100 пострілах мета буде вражена від 65 до 80 разів.

Обов'язково користуємося непарністю функції!Про всяк випадок розпишу докладно:

Справа в тому що таблиця значень функціїмістить лише позитивні «ікс», а ми працюємо (принаймні, по «легенді»)з таблицею!

Відповідь:

Результат найчастіше округляють до 4 знаків після коми (Знову ж таки відповідно до формату таблиці).

Для самостійного вирішення:

Завдання 4

У будівлі є 2500 ламп, ймовірність включення кожної з них вечірній часдорівнює 0,5. Знайти ймовірність того, що ввечері буде включено щонайменше 1250 і не більше 1275 ламп.

Зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Слід зазначити, що ці завдання дуже часто зустрічаються в «знеособленому» вигляді, наприклад:

Виробляється деякий досвід, у якому випадкова подія може з'явитися з ймовірністю 0,5. Досвід повторюється у постійних умовах 2500 разів. Визначити ймовірність того, що у 2500 дослідах подія відбудеться від 1250 до 1275 разів

І подібних формулювань вище за дах. Через трафаретність завдань умова нерідко прагнуть завуалювати – це «єдиний шанс» хоч якось урізноманітнити і ускладнити рішення:

Завдання 5

В інституті навчається 1000 студентів. У їдальні є 105 посадочних місць. Кожен студент вирушає до їдальні на великій зміні з ймовірністю 0,1. Яка ймовірність того, що у звичайний навчальний день:

а) їдальня буде заповнена лише на дві третини;
б) посадкових місць усім не вистачить.

Звертаю увагу на суттєве застереження «Звичайний навчальний день» – воно забезпечує відносну незмінність ситуації. Після свят до інституту може прийти значно менше студентів, а на «День відчинених дверей» нагрянуть голодна делегація =) Тобто, у «незвичайний» день ймовірності помітно відрізнятимуться.

Рішення: використовуємо інтегральну теорему Лапласа, де

У цій задачі:
- всього студентів в інституті;
- ймовірність того, що студент вирушить до їдальні на великій перерві;
- Імовірність протилежної події.

а) Обчислимо, скільки посадкових місць становлять дві третини від загальної кількості: місць

Знайдемо ймовірність того, що у звичайний навчальний день їдальня буде заповнена не більше ніж на дві третини. Що це означає? Це означає, що на великій перерві прийдуть від 0 до 70 осіб. Те, що ніхто не прийде або прийде лише кілька студентів – є події практично неможливіПроте з метою застосування інтегральної теореми Лапласа ці ймовірності все одно слід врахувати. Таким чином:

Обчислимо відповідні аргументи:

В результаті:

- Імовірність того, що у звичайний навчальний день їдальня буде заповнена не більше ніж на дві третини.

Нагадування : при функцію Лапласа вважаємо рівною.

Товкучка, проте =)

б) Подія «Посадкових місць на всіх не вистачить»полягає в тому, що в їдальню на великій перерві прийдуть обідати від 106 до 1000 осіб (Головне, добре ущільнити =)).Зрозуміло, що висока відвідуваність неймовірна, проте: .

Розраховуємо аргументи:

Таким чином, ймовірність того, що посадкових місць на всіх не вистачить:

Відповідь:

А тепер зупинимося на одному важливому нюансі методу: коли ми проводимо обчислення на окремо взятому відрізку, то все "безхмарно" - вирішуйте за розглянутим шаблоном. Однак у разі розгляду повної групи подійслід виявити певну акуратність. Поясню цей момент на прикладі щойно розібраного завдання. У пункті «бе» ми знайшли ймовірність того, що посадкових місць на всіх не вистачить. Далі, за тією самою схемою розрахуємо:
- Імовірність того, що місць вистачить.

Оскільки ці події протилежні, то сума ймовірностей повинна дорівнювати одиниці:

В чому справа? – начебто тут все логічно. Справа в тому, що функція Лапласа є безперервний, а ми не врахували інтервалвід 105 до 106. Ось тут і зник шматочок 0,0338. Тому за тією ж стандартною формулоюслід обчислити:

Ну, або ще простіше:

Виникає питання: а що, якщо ми СПОЧАТКУ знайшли ? Тоді буде інша версія рішення:

Але як це може бути?! - У двох способах виходять різні відповіді! Все просто: інтегральна теорема Лапласа – це метод наближеногообчислення, і тому прийнятні обидва шляхи.

Для більш точних розрахунків слід скористатися формулою Бернулліі, наприклад, екселевський функцією БІНОМРАСП. В результаті її застосуванняотримуємо:

І я висловлюю подяку одному з відвідувачів сайту, який звернув увагу на цю тонкість – вона випала з мого поля зору, оскільки дослідження повної групиподій рідко зустрічається практично. Бажаючі можуть ознайомитися з