लघुगणक उनके समाधान के विभिन्न प्रकार हैं। लघुगणक समीकरण: मूल सूत्र और तकनीक

लघुगणक अभिव्यक्ति, उदाहरणों का समाधान। इस लेख में, हम लघुगणक को हल करने से संबंधित समस्याओं पर विचार करेंगे। कार्य अभिव्यक्ति के मूल्य को खोजने का सवाल उठाते हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि लघुगणक की अवधारणा का उपयोग कई कार्यों में किया जाता है और इसका अर्थ समझना अत्यंत महत्वपूर्ण है। USE के लिए, लघुगणक का उपयोग समीकरणों को हल करने, लागू समस्याओं में और कार्यों के अध्ययन से संबंधित कार्यों में भी किया जाता है।

लघुगणक के अर्थ को समझने के लिए यहां उदाहरण दिए गए हैं:

मूल लघुगणकीय पहचान:

लघुगणक के गुण जो आपको हमेशा याद रखने चाहिए:

*उत्पाद का लघुगणक योग के बराबर हैकारकों के लघुगणक।

* * *

* भागफल (अंश) का लघुगणक गुणनखंडों के लघुगणक के अंतर के बराबर होता है।

* * *

* डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और उसके आधार के लघुगणक के बराबर होता है।

* * *

*नए आधार पर संक्रमण

* * *

अधिक गुण:

* * *

संगणना लघुगणक घातांक के गुणों के उपयोग से निकटता से संबंधित है।

हम उनमें से कुछ को सूचीबद्ध करते हैं:

इस संपत्ति का सार यह है कि अंश को हर में स्थानांतरित करते समय और इसके विपरीत, घातांक का चिन्ह विपरीत में बदल जाता है। उदाहरण के लिए:

इस संपत्ति का परिणाम:

* * *

किसी घात को घात में बढ़ाते समय, आधार वही रहता है, लेकिन घातांक गुणा किया जाता है।

* * *

जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणक की अवधारणा सरल है। मुख्य बात यह है कि अच्छे अभ्यास की आवश्यकता होती है, जो एक निश्चित कौशल देता है। निश्चित रूप से सूत्रों का ज्ञान अनिवार्य है। यदि प्राथमिक लघुगणक को परिवर्तित करने का कौशल नहीं बनता है, तो सरल कार्यों को हल करते समय, कोई भी आसानी से गलती कर सकता है।

अभ्यास करें, पहले गणित पाठ्यक्रम से सरलतम उदाहरणों को हल करें, फिर अधिक जटिल उदाहरणों पर आगे बढ़ें। भविष्य में, मैं निश्चित रूप से दिखाऊंगा कि "बदसूरत" लघुगणक कैसे हल होते हैं, परीक्षा में ऐसे कोई नहीं होंगे, लेकिन वे रुचि के हैं, इसे याद मत करो!

बस इतना ही! आप सौभाग्यशाली हों!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख

पुनश्च: यदि आप सोशल नेटवर्क में साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

लॉगरिदम, किसी भी संख्या की तरह, हर संभव तरीके से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

इन नियमों को अवश्य जानना चाहिए - इनके बिना कोई भी गंभीर लघुगणकीय समस्या हल नहीं हो सकती है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - एक दिन में सब कुछ सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू करते है।

लघुगणक का जोड़ और घटाव

के साथ दो लघुगणक पर विचार करें एक ही आधार: लकड़ी का लट्ठा एक एक्सऔर लॉग एक आप. फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लकड़ी का लट्ठा एक एक्स+लोग एक आप= लॉग एक (एक्स · आप);
2. लकड़ी का लट्ठा एक एक्स-log एक आप= लॉग एक (एक्स : आप).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। कृपया ध्यान दें: यहाँ मुख्य बिंदु है - एक ही आधार. यदि आधार भिन्न हैं, तो ये नियम काम नहीं करते हैं!

ये सूत्र आपको गणना करने में मदद करेंगे लघुगणकीय व्यंजकतब भी जब इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार नहीं किया जाता है (पाठ "एक लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

लॉग 6 4 + लॉग 6 9.

चूंकि लघुगणक के आधार समान हैं, इसलिए हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 2 48 - लघुगणक 2 3।

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48: 3) = लॉग 2 16 = 4।

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5.

फिर से, आधार समान हैं, इसलिए हमारे पास है:
लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5 = लघुगणक 3 (135: 5) = लघुगणक 3 27 = 3.

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल भाव "खराब" लघुगणक से बने होते हैं, जिन्हें अलग से नहीं माना जाता है। लेकिन परिवर्तनों के बाद काफी सामान्य संख्याएँ निकलती हैं। इस तथ्य के आधार पर अनेक टेस्ट पेपर. हां, नियंत्रण - पूरी गंभीरता से समान भाव (कभी-कभी - वस्तुतः कोई बदलाव नहीं) परीक्षा में पेश किए जाते हैं।

घातांक को लघुगणक से हटाना

अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक के आधार या तर्क में कोई डिग्री हो? तब इस डिग्री के घातांक को निम्न नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम उनके पहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन इसे वैसे भी याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणना की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम समझ में आते हैं यदि ODZ लघुगणक मनाया जाता है: एक > 0, एक ≠ 1, एक्स> 0. और एक और बात: न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत, सभी सूत्रों को लागू करना सीखें। आप लघुगणक के चिह्न से पहले संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। यह वही है जो सबसे अधिक बार आवश्यक होता है।

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 7 49 6 ।

आइए पहले सूत्र के अनुसार तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लघुगणक 7 49 6 = 6 लघुगणक 7 49 = 6 2 = 12

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

ध्यान दें कि हर एक लघुगणक है जिसका आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं: 16 = 2 4; 49 = 72। हमारे पास है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए हैं? अंतिम क्षण तक, हम केवल हर के साथ काम करते हैं। उन्होंने वहाँ खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतक निकाले - उन्हें "तीन मंजिला" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश को देखें। अंश और हर की संख्या समान है: लॉग 2 7. चूंकि लॉग 2 7 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर है: 2.

एक नई नींव में संक्रमण

लॉगरिदम जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल एक ही आधार के साथ काम करते हैं। क्या होगा यदि आधार अलग हैं? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक शक्तियां नहीं हैं?

एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र बचाव के लिए आते हैं। हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करते हैं:

लघुगणक को लॉग करने दें एक एक्स. फिर किसी भी संख्या के लिए सीऐसा है कि सी> 0 और सी 1, समानता सत्य है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

विशेष रूप से, अगर हम डालते हैं सी = एक्स, हम पाते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

यह दूसरे सूत्र से इस प्रकार है कि आधार और लघुगणक के तर्क का आदान-प्रदान करना संभव है, लेकिन इस मामले में पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। यह मूल्यांकन करना संभव है कि लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही वे कितने सुविधाजनक होते हैं।

हालाँकि, ऐसे कार्य हैं जिन्हें एक नई नींव में जाने के अलावा हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर विचार करें:

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 5 16 लघुगणक 2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्क सटीक घातांक हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लघुगणक 2 25 = लघुगणक 2 5 2 = 2 लघुगणक 2 5;

अब दूसरा लघुगणक पलटें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

चूंकि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है, हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक का पता लगाया।

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 9 100 lg 3.

पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं। आइए इसे लिख लें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

मूल लघुगणकीय पहचान

अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार के लिए एक संख्या को लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या एनतर्क का प्रतिपादक बन जाता है। संख्या एनबिल्कुल कुछ भी हो सकता है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक व्याख्यात्मक परिभाषा है। इसे मूल लघुगणकीय पहचान कहते हैं।

वास्तव में, क्या होगा यदि संख्या बीसत्ता में वृद्धि ताकि बीइस हद तक एक संख्या देता है एक? यह सही है: यह वही संख्या है एक. इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - बहुत से लोग इसे "लटका" देते हैं।

नए आधार रूपांतरण फ़ार्मुलों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभव समाधान होता है।

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

ध्यान दें कि लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - बस वर्ग को आधार और लॉगरिदम के तर्क से निकाल दिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को देखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

अगर किसी को पता नहीं है, तो परीक्षा से यह एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें गुणों को कॉल करना मुश्किल है - बल्कि, ये लॉगरिदम की परिभाषा से परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में पाए जाते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लकड़ी का लट्ठा एक एक= 1 लघुगणक इकाई है। एक बार और सभी के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक एकइस आधार से ही एक के बराबर है।
2. लकड़ी का लट्ठा एक 1 = 0 लघुगणकीय शून्य है। आधार एककुछ भी हो सकता है, लेकिन अगर तर्क एक है, तो लघुगणक शून्य है! इसलिये एक 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

वह सब गुण है। उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास करना सुनिश्चित करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

इस वीडियो के साथ, मैं लघुगणकीय समीकरणों के बारे में पाठों की एक लंबी श्रृंखला शुरू करता हूँ। अब आपके पास एक साथ तीन उदाहरण हैं, जिनके आधार पर हम सबसे ज्यादा हल करना सीखेंगे सरल कार्य, जिन्हें कहा जाता है प्रोटोजोआ.

लॉग 0.5 (3x - 1) = -3

एलजी (एक्स + 3) = 3 + 2 एलजी 5

मैं आपको याद दिला दूं कि सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण निम्नलिखित है:

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

यह महत्वपूर्ण है कि चर x केवल तर्क के अंदर मौजूद है, अर्थात केवल फलन f(x) में। और संख्याएँ a और b केवल संख्याएँ हैं, और किसी भी स्थिति में चर x वाले फलन नहीं हैं।

मूल समाधान के तरीके

ऐसी संरचनाओं को हल करने के कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, स्कूल के अधिकांश शिक्षक इस तरह से सुझाव देते हैं: सूत्र का उपयोग करके फ़ंक्शन f (x) को तुरंत व्यक्त करें एफ( एक्स) = एक ख। यही है, जब आप सबसे सरल निर्माण को पूरा करते हैं, तो आप अतिरिक्त कार्यों और निर्माणों के बिना तुरंत समाधान के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

हां, निश्चित तौर पर फैसला सही साबित होगा। हालाँकि, इस फॉर्मूले के साथ समस्या यह है कि अधिकांश छात्र समझ में नहीं आता, यह कहाँ से आता है और हम अक्षर a को अक्षर b तक क्यों बढ़ाते हैं।

नतीजतन, मैं अक्सर बहुत आक्रामक त्रुटियों का निरीक्षण करता हूं, उदाहरण के लिए, इन पत्रों को आपस में बदल दिया जाता है। इस सूत्र को या तो समझा जाना चाहिए या याद रखना चाहिए, और दूसरी विधि सबसे अनुचित और सबसे महत्वपूर्ण क्षणों में त्रुटियों की ओर ले जाती है: परीक्षा, परीक्षण आदि में।

इसलिए मैं अपने सभी छात्रों को मानक स्कूल फॉर्मूले को छोड़ने और लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए दूसरे दृष्टिकोण का उपयोग करने का सुझाव देता हूं, जैसा कि आप शायद नाम से अनुमान लगाते हैं, कहा जाता है कानूनी फॉर्म.

विहित रूप का विचार सरल है। आइए अपने कार्य को फिर से देखें: बाईं ओर हमारे पास लॉग a है, जबकि अक्षर a का अर्थ बिल्कुल संख्या है, और किसी भी स्थिति में चर x युक्त फ़ंक्शन नहीं है। इसलिए, यह पत्र उन सभी प्रतिबंधों के अधीन है जो लघुगणक के आधार पर लगाए गए हैं। अर्थात्:

1 ए > 0

दूसरी ओर, उसी समीकरण से, हम देखते हैं कि लघुगणक संख्या b के बराबर होना चाहिए, और इस पत्र पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है, क्योंकि यह कोई भी मान ले सकता है - सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि f(x) फ़ंक्शन क्या मान लेता है।

और यहाँ हम अपने अद्भुत नियम को याद करते हैं कि किसी भी संख्या b को आधार a से b की घात तक एक लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है:

बी = लॉग ए ए बी

इस सूत्र को कैसे याद रखें? हाँ, बहुत सरल। आइए निम्नलिखित निर्माण लिखें:

बी = बी 1 = बी लॉग ए ए

बेशक, इस मामले में, सभी प्रतिबंध जो हमने शुरुआत में लिखे थे, उत्पन्न होते हैं। और अब हम लघुगणक के मूल गुण का उपयोग करते हैं, और गुणनखंड b को a की घात के रूप में दर्ज करते हैं। हम पाते हैं:

बी = बी 1 = बी लॉग ए ए = लॉग ए ए बी

परिणामस्वरूप, मूल समीकरण को निम्न रूप में फिर से लिखा जाएगा:

लॉग a f (x) = log a a b → f (x) = a b

बस इतना ही। नयी विशेषताअब इसमें कोई लघुगणक नहीं है और इसे मानक बीजगणितीय तकनीकों द्वारा हल किया जाता है।

बेशक, अब कोई आपत्ति करेगा: किसी प्रकार के विहित सूत्र के साथ आना क्यों आवश्यक था, दो अतिरिक्त अनावश्यक कदम क्यों उठाएं, यदि मूल निर्माण से अंतिम सूत्र तक तुरंत जाना संभव था? हां, यदि केवल इसलिए कि अधिकांश छात्र यह नहीं समझते हैं कि यह सूत्र कहाँ से आता है और परिणामस्वरूप, इसे लागू करते समय नियमित रूप से गलतियाँ करते हैं।

लेकिन क्रियाओं का ऐसा क्रम, जिसमें तीन चरण होते हैं, आपको मूल लघुगणकीय समीकरण को हल करने की अनुमति देता है, भले ही आप यह न समझें कि वह अंतिम सूत्र कहाँ से आता है। वैसे, इस प्रविष्टि को विहित सूत्र कहा जाता है:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

विहित रूप की सुविधा इस तथ्य में भी निहित है कि इसका उपयोग लॉगरिदमिक समीकरणों के एक बहुत व्यापक वर्ग को हल करने के लिए किया जा सकता है, न कि केवल सबसे सरल जिन्हें हम आज विचार कर रहे हैं।

समाधान उदाहरण

अब आइए वास्तविक उदाहरण देखें। तो चलिए तय करते हैं:

लॉग 0.5 (3x - 1) = -3

आइए इसे इस तरह फिर से लिखें:

लॉग 0.5 (3x - 1) = लॉग 0.5 0.5 -3

बहुत से छात्र जल्दी में हैं और मूल समस्या से हमारे पास आने वाली शक्ति को तुरंत 0.5 की संख्या बढ़ाने की कोशिश करते हैं। और वास्तव में, जब आप ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए पहले से ही अच्छी तरह से प्रशिक्षित हैं, तो आप तुरंत यह कदम उठा सकते हैं।

हालाँकि, यदि आप अभी इस विषय का अध्ययन करना शुरू कर रहे हैं, तो बेहतर है कि कहीं भी जल्दबाजी न करें ताकि आपत्तिजनक गलतियाँ न हों। तो हमारे पास विहित रूप है। हमारे पास है:

3x - 1 = 0.5 -3

यह अब एक लघुगणकीय समीकरण नहीं है, बल्कि चर x के संबंध में एक रैखिक समीकरण है। इसे हल करने के लिए, आइए पहले −3 की घात के लिए 0.5 की संख्या से निपटें। ध्यान दें कि 0.5 1/2 है।

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

जब आप एक लघुगणकीय समीकरण को हल करते हैं तो सभी दशमलवों को भिन्नों में बदलें।

हम फिर से लिखते हैं और प्राप्त करते हैं:

3x - 1 = 8
3x=9
एक्स = 3

हमें सबका जवाब मिल गया। पहला कार्य हल हो गया है।

दूसरा कार्य

आइए दूसरे कार्य पर चलते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह समीकरण अब सबसे सरल नहीं है। यदि केवल इसलिए कि अंतर बाईं ओर है, और एक आधार में एक भी लघुगणक नहीं है।

इसलिए, आपको किसी तरह इस अंतर से छुटकारा पाने की जरूरत है। इस मामले में, सब कुछ बहुत सरल है। आइए आधारों पर करीब से नज़र डालें: बाईं ओर जड़ के नीचे की संख्या है:

सामान्य अनुशंसा: सभी लघुगणकीय समीकरणों में, मूलांकों से छुटकारा पाने का प्रयास करें, अर्थात, जड़ों वाली प्रविष्टियाँ, और आगे बढ़ें शक्ति कार्य, केवल इसलिए कि इन शक्तियों के प्रतिपादकों को लॉगरिदम के चिह्न से आसानी से निकाल लिया जाता है, और अंत में, ऐसा संकेतन गणनाओं को बहुत सरल और गति प्रदान करता है। आइए इसे इस तरह लिखें:

अब हम लघुगणक की उल्लेखनीय संपत्ति को याद करते हैं: तर्क से, साथ ही आधार से, आप डिग्री निकाल सकते हैं। आधारों के मामले में, निम्नलिखित होता है:

लॉग a k b = 1/k लोगा b

दूसरे शब्दों में, जो संख्या आधार के अंश में खड़ी होती है उसे आगे लाया जाता है और साथ ही पलट दिया जाता है, अर्थात संख्या का व्युत्क्रम हो जाता है। हमारे मामले में, 1/2 के संकेतक के साथ आधार की डिग्री थी। इसलिए, हम इसे 2/1 के रूप में निकाल सकते हैं। हम पाते हैं:

5 2 लघुगणक 5 x - लघुगणक 5 x = 18
10 लघुगणक 5 x - लघुगणक 5 x = 18

कृपया ध्यान दें: किसी भी स्थिति में आपको इस चरण में लघुगणक से छुटकारा नहीं मिलना चाहिए। ग्रेड 4-5 गणित और संचालन के क्रम पर विचार करें: पहले गुणा किया जाता है, और उसके बाद ही जोड़ और घटाव किया जाता है। इस मामले में, हम 10 तत्वों में से एक ही तत्व को घटाते हैं:

9 लघुगणक 5 x = 18
लॉग 5 x = 2

अब हमारा समीकरण वैसा ही दिखता है जैसा होना चाहिए। यह सबसे सरल निर्माण है, और हम इसे विहित रूप का उपयोग करके हल करते हैं:

लघुगणक 5 x = लघुगणक 5 5 2
एक्स = 5 2
एक्स = 25

बस इतना ही। दूसरी समस्या हल हो गई है।

तीसरा उदाहरण

आइए तीसरे कार्य पर चलते हैं:

एलजी (एक्स + 3) = 3 + 2 एलजी 5

निम्नलिखित सूत्र को याद करें:

लॉग बी = लॉग 10 बी

अगर किसी कारण से आप lg b लिखकर भ्रमित हैं, तो सभी गणना करते समय, आप बस लॉग 10 b लिख सकते हैं। आप दशमलव लॉगरिदम के साथ उसी तरह काम कर सकते हैं जैसे दूसरों के साथ: शक्तियों को बाहर निकालें, जोड़ें, और एलजी 10 के रूप में किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करें।

यह ठीक ये गुण हैं जिनका उपयोग अब हम समस्या को हल करने के लिए करेंगे, क्योंकि यह सबसे सरल नहीं है जिसे हमने अपने पाठ की शुरुआत में लिखा था।

शुरू करने के लिए, ध्यान दें कि एलजी 5 से पहले कारक 2 डाला जा सकता है और आधार 5 की शक्ति बन जाता है। इसके अलावा, मुक्त शब्द 3 को लॉगरिदम के रूप में भी दर्शाया जा सकता है - यह हमारे नोटेशन से निरीक्षण करना बहुत आसान है।

अपने लिए न्यायाधीश: किसी भी संख्या को आधार 10 के लॉग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

3 = लघुगणक 10 10 3 = लघुगणक 10 3

आइए प्राप्त परिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए मूल समस्या को फिर से लिखें:

एलजी (एक्स - 3) = एलजी 1000 + एलजी 25
एलजी (एक्स - 3) = एलजी 1000 25
एलजी (एक्स - 3) = एलजी 25 000

इससे पहले कि हम फिर से विहित रूप हैं, और हमने इसे परिवर्तनों के चरण को दरकिनार करते हुए प्राप्त किया, अर्थात, सबसे सरल लघुगणक समीकरण हमारे साथ कहीं भी नहीं आया।

यही मैं पाठ की शुरुआत में ही बात कर रहा था। विहित रूप मानक स्कूल फॉर्मूले की तुलना में समस्याओं के एक व्यापक वर्ग को हल करने की अनुमति देता है, जो कि अधिकांश स्कूल शिक्षकों द्वारा दिया जाता है।

बस इतना ही, हम दशमलव लघुगणक के चिह्न से छुटकारा पाते हैं, और हमें एक सरल रैखिक निर्माण मिलता है:

एक्स + 3 = 25,000
एक्स = 24997

सभी! समस्या हल हो गई।

दायरे के बारे में एक नोट

यहां मैं परिभाषा के क्षेत्र के बारे में एक महत्वपूर्ण टिप्पणी करना चाहूंगा। निश्चित रूप से अब ऐसे छात्र और शिक्षक हैं जो कहेंगे: "जब हम लघुगणक के साथ व्यंजकों को हल करते हैं, तो यह याद रखना अनिवार्य है कि तर्क f (x) शून्य से बड़ा होना चाहिए!" इस संबंध में, एक तार्किक प्रश्न उठता है: किसी भी विचाराधीन समस्या में हमें इस असमानता को संतुष्ट करने की आवश्यकता क्यों नहीं थी?

चिंता मत करो। इन मामलों में कोई अतिरिक्त जड़ें नहीं दिखाई देंगी। और यह एक और बढ़िया ट्रिक है जो आपको समाधान में तेजी लाने की अनुमति देती है। बस यह जान लें कि यदि समस्या में चर x केवल एक ही स्थान पर होता है (अधिक सटीक रूप से, केवल और केवल लघुगणक के एक और एकमात्र तर्क में), और हमारे मामले में कहीं और चर x नहीं होता है, तो डोमेन लिखें कोई ज़रुरत नहीं हैक्योंकि यह स्वचालित रूप से चलेगा।

अपने लिए जज करें: पहले समीकरण में, हमें वह 3x - 1 मिला, यानी, तर्क 8 के बराबर होना चाहिए। इसका स्वचालित रूप से मतलब है कि 3x - 1 शून्य से बड़ा होगा।

उसी सफलता के साथ, हम लिख सकते हैं कि दूसरे मामले में, x को 5 2 के बराबर होना चाहिए, अर्थात यह निश्चित रूप से शून्य से बड़ा है। और तीसरे मामले में, जहां x + 3 = 25,000, यानी, फिर से, स्पष्ट रूप से शून्य से अधिक है। दूसरे शब्दों में, दायरा स्वचालित है, लेकिन केवल अगर x केवल एक लॉगरिदम के तर्क में होता है।

साधारण समस्याओं को हल करने के लिए आपको बस इतना ही पता होना चाहिए। केवल यह नियम, परिवर्तन नियमों के साथ, आपको बहुत व्यापक वर्ग की समस्याओं को हल करने की अनुमति देगा।

लेकिन आइए ईमानदार रहें: इस तकनीक को अंत में समझने के लिए, लॉगरिदमिक समीकरण के विहित रूप को लागू करने का तरीका जानने के लिए, केवल एक वीडियो पाठ देखना पर्याप्त नहीं है। इसलिए, अभी, एक स्वतंत्र समाधान के विकल्प डाउनलोड करें जो इस वीडियो ट्यूटोरियल से जुड़े हैं और इन दो स्वतंत्र कार्यों में से कम से कम एक को हल करना शुरू करें।

इसमें आपको बस कुछ ही मिनट लगेंगे। लेकिन इस तरह के प्रशिक्षण का प्रभाव इस वीडियो ट्यूटोरियल को देखने की तुलना में बहुत अधिक होगा।

मुझे आशा है कि यह पाठ आपको लघुगणकीय समीकरणों को समझने में मदद करेगा। विहित रूप लागू करें, लघुगणक के साथ काम करने के नियमों का उपयोग करके अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं - और आप किसी भी कार्य से डरेंगे नहीं। और मेरे पास आज के लिए बस इतना ही है।

दायरा विचार

अब बात करते हैं दायरे की लॉगरिदमिक फ़ंक्शन, साथ ही यह लघुगणकीय समीकरणों के समाधान को कैसे प्रभावित करता है। फॉर्म के निर्माण पर विचार करें

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

इस तरह की अभिव्यक्ति को सबसे सरल कहा जाता है - इसमें केवल एक फ़ंक्शन होता है, और संख्याएं ए और बी केवल संख्याएं होती हैं, और किसी भी मामले में एक फ़ंक्शन नहीं होता है जो चर x पर निर्भर करता है। इसे बहुत सरलता से हल किया जाता है। आपको बस सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

बी = लॉग ए ए बी

यह सूत्र लघुगणक के प्रमुख गुणों में से एक है, और जब हमारी मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हमें निम्नलिखित मिलता है:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

एफ (एक्स) = एक बी

यह एक परिचित सूत्र है स्कूल की पाठ्यपुस्तकें. कई छात्रों के पास शायद एक प्रश्न होगा: चूंकि मूल अभिव्यक्ति में फ़ंक्शन f ( x ) लॉग साइन के तहत है, इस पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगाए गए हैं:

एफ (एक्स)> 0

यह प्रतिबंध मान्य है क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं का लघुगणक मौजूद नहीं है। तो, शायद इस सीमा के कारण, आपको उत्तरों के लिए एक चेक पेश करना चाहिए? शायद उन्हें स्रोत में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है?

नहीं, सरल लघुगणकीय समीकरणों में, एक अतिरिक्त जाँच अनावश्यक है। और यही कारण है। हमारे अंतिम सूत्र पर एक नज़र डालें:

एफ (एक्स) = एक बी

तथ्य यह है कि किसी भी मामले में संख्या 0 से अधिक है - यह आवश्यकता लॉगरिदम द्वारा भी लगाई जाती है। संख्या a आधार है। इस मामले में, संख्या बी पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है। लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि हम चाहे कितनी भी सकारात्मक संख्या बढ़ा लें, फिर भी हमें आउटपुट पर एक सकारात्मक संख्या मिलेगी। इस प्रकार, आवश्यकता f (x) > 0 स्वतः ही पूरी हो जाती है।

वास्तव में जाँच के लायक क्या है लॉग साइन के तहत फ़ंक्शन का दायरा। काफी जटिल डिजाइन हो सकते हैं, और उन्हें हल करने की प्रक्रिया में, आपको निश्चित रूप से उनका पालन करना चाहिए। आइए देखते हैं।

पहला काम:

पहला चरण: भिन्न को दाईं ओर रूपांतरित करें। हम पाते हैं:

हम लघुगणक के चिन्ह से छुटकारा पाते हैं और सामान्य अपरिमेय समीकरण प्राप्त करते हैं:

प्राप्त जड़ों में से केवल पहला हमें सूट करता है, क्योंकि दूसरी जड़ शून्य से कम है। इसका एकमात्र उत्तर 9 नंबर होगा। बस, समस्या हल हो गई है। कोई अतिरिक्त जाँच नहीं है कि लघुगणक चिह्न के तहत अभिव्यक्ति 0 से अधिक है, क्योंकि यह केवल 0 से अधिक नहीं है, लेकिन समीकरण की स्थिति से यह 2 के बराबर है। इसलिए, आवश्यकता "शून्य से अधिक" स्वचालित रूप से है पूरा किया।

आइए दूसरे कार्य पर चलते हैं:

यहॉं सब कुछ वैसा ही है। हम ट्रिपल की जगह, निर्माण को फिर से लिखते हैं:

हम लघुगणक के संकेतों से छुटकारा पाते हैं और एक अपरिमेय समीकरण प्राप्त करते हैं:

हम प्रतिबंधों को ध्यान में रखते हुए दोनों भागों को चौकोर करते हैं, और हम प्राप्त करते हैं:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

हम परिणामी समीकरण को विवेचक के माध्यम से हल करते हैं:

डी \u003d 49 - 24 \u003d 25

एक्स 1 = -1

एक्स 2 \u003d -6

लेकिन x = −6 हमें शोभा नहीं देता, क्योंकि यदि हम इस संख्या को अपनी असमानता में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

−6 + 4 = −2 < 0

हमारे मामले में, यह आवश्यक है कि यह 0 से अधिक हो या चरम मामलों में बराबर हो। लेकिन x = −1 हमें सूट करता है:

−1 + 4 = 3 > 0

हमारे मामले में एकमात्र उत्तर x = -1 है। यही सब समाधान है। आइए अपनी गणनाओं की शुरुआत में वापस जाएं।

इस पाठ से मुख्य निष्कर्ष यह है कि सरल लघुगणकीय समीकरणों में किसी फ़ंक्शन के लिए सीमाओं की जांच करने की आवश्यकता नहीं है। क्योंकि समाधान की प्रक्रिया में सभी बाधाओं को स्वचालित रूप से निष्पादित किया जाता है।

हालांकि, इसका मतलब यह नहीं है कि आप सत्यापन के बारे में पूरी तरह से भूल सकते हैं। एक लघुगणकीय समीकरण पर काम करने की प्रक्रिया में, यह एक अपरिमेय समीकरण में बदल सकता है, जिसकी दाईं ओर की अपनी सीमाएँ और आवश्यकताएं होंगी, जिसे हमने आज दो अलग-अलग उदाहरणों में देखा है।

ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें और यदि तर्क में कोई जड़ है तो विशेष रूप से सावधान रहें।

विभिन्न आधारों के साथ लघुगणक समीकरण

हम लॉगरिदमिक समीकरणों का अध्ययन करना जारी रखते हैं और दो और दिलचस्प तरकीबों का विश्लेषण करते हैं जिनके साथ अधिक जटिल संरचनाओं को हल करना फैशनेबल है। लेकिन पहले, आइए याद रखें कि सबसे सरल कार्यों को कैसे हल किया जाता है:

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

इस संकेतन में, a और b केवल संख्याएँ हैं, और फ़ंक्शन f (x) में चर x मौजूद होना चाहिए, और केवल वहाँ, यानी x केवल तर्क में होना चाहिए। हम विहित रूप का उपयोग करके ऐसे लघुगणकीय समीकरणों को रूपांतरित करेंगे। इसके लिए हम ध्यान दें कि

बी = लॉग ए ए बी

और ए बी सिर्फ एक तर्क है। आइए इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार फिर से लिखें:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

ठीक यही हम हासिल करने की कोशिश कर रहे हैं, ताकि बाईं ओर और दाईं ओर आधार के लिए एक लघुगणक हो। इस मामले में, हम लाक्षणिक रूप से, लॉग के संकेतों को पार कर सकते हैं, और गणित के दृष्टिकोण से, हम कह सकते हैं कि हम केवल तर्कों को समान करते हैं:

एफ (एक्स) = एक बी

नतीजतन, हमें एक नई अभिव्यक्ति मिलती है जिसे बहुत आसान तरीके से हल किया जाएगा। आइए आज इस नियम को अपने कार्यों पर लागू करें।

तो पहला डिजाइन:

सबसे पहले, मैं ध्यान देता हूं कि दाईं ओर एक अंश है, जिसका हर लॉग है। जब आप इस तरह की अभिव्यक्ति देखते हैं, तो यह लॉगरिदम की अद्भुत संपत्ति को याद रखने योग्य है:

रूसी में अनुवादित, इसका मतलब है कि किसी भी लघुगणक को किसी भी आधार c के साथ दो लघुगणक के भागफल के रूप में दर्शाया जा सकता है। बेशक, 0< с ≠ 1.

तो: इस सूत्र में एक अद्भुत विशेष मामला है जब चर c चर के बराबर है बी। इस मामले में, हमें फॉर्म का निर्माण मिलता है:

यह वह निर्माण है जिसे हम अपने समीकरण में दाईं ओर के चिह्न से देखते हैं। आइए इस निर्माण को log a b से बदलें, हमें मिलता है:

दूसरे शब्दों में, मूल कार्य की तुलना में, हमने तर्क और लघुगणक के आधार की अदला-बदली की है। इसके बजाय, हमें भिन्न को पलटना पड़ा।

हमें याद है कि निम्नलिखित नियम के अनुसार किसी भी डिग्री को आधार से निकाला जा सकता है:

दूसरे शब्दों में, गुणांक k, जो कि आधार की डिग्री है, को उल्टे भिन्न के रूप में निकाला जाता है। आइए इसे एक उल्टे अंश के रूप में निकालते हैं:

भिन्नात्मक कारक को सामने नहीं छोड़ा जा सकता है, क्योंकि इस मामले में हम इस प्रविष्टि को विहित रूप के रूप में प्रस्तुत नहीं कर पाएंगे (आखिरकार, विहित रूप में, दूसरे लघुगणक के सामने कोई अतिरिक्त कारक नहीं है)। इसलिए, आइए तर्क में अंश 1/4 को एक शक्ति के रूप में रखें:

अब हम उन तर्कों की बराबरी करते हैं जिनके आधार समान हैं (और हमारे पास वास्तव में समान आधार हैं), और लिखें:

एक्स + 5 = 1

एक्स = −4

बस इतना ही। हमें पहले लघुगणक समीकरण का उत्तर मिला। ध्यान दें: मूल समस्या में, चर x केवल एक लॉग में होता है, और यह इसके तर्क में होता है। इसलिए, डोमेन की जांच करने की कोई आवश्यकता नहीं है, और हमारी संख्या x = −4 वास्तव में इसका उत्तर है।

अब दूसरी अभिव्यक्ति पर चलते हैं:

लघुगणक 56 = लघुगणक 2 लघुगणक 2 7 - 3 लघुगणक (x + 4)

यहां, सामान्य लघुगणक के अलावा, हमें lg f (x) के साथ काम करना होगा। ऐसे समीकरण को कैसे हल करें? यह एक अप्रस्तुत छात्र को लग सकता है कि यह किसी प्रकार का टिन है, लेकिन वास्तव में सब कुछ प्राथमिक रूप से हल हो गया है।

शब्द एलजी 2 लॉग 2 7 को ध्यान से देखें। हम इसके बारे में क्या कह सकते हैं? लॉग और एलजी के आधार और तर्क समान हैं, और इससे कुछ सुराग मिलना चाहिए। आइए एक बार फिर याद करें कि लघुगणक के चिह्न के नीचे से डिग्री कैसे निकाली जाती हैं:

लॉग a b n = nlog a b

दूसरे शब्दों में, तर्क में संख्या b की शक्ति क्या थी, लॉग के सामने ही एक कारक बन जाता है। आइए इस सूत्र को अभिव्यक्ति lg 2 log 2 7 पर लागू करें। lg 2 से डरो मत - यह सबसे सामान्य अभिव्यक्ति है। आप इसे इस तरह फिर से लिख सकते हैं:

उसके लिए, किसी अन्य लघुगणक पर लागू होने वाले सभी नियम मान्य हैं। विशेष रूप से, सामने वाले कारक को तर्क की शक्ति में पेश किया जा सकता है। चलो लिखते है:

बहुत बार, छात्र बिंदु ब्लैंक इस क्रिया को नहीं देखते हैं, क्योंकि एक लॉग को दूसरे के साइन के तहत दर्ज करना अच्छा नहीं है। दरअसल, इसमें कुछ भी क्रिमिनल नहीं है। इसके अलावा, हमें एक सूत्र मिलता है जिसकी गणना करना आसान है यदि आपको एक महत्वपूर्ण नियम याद है:

इस सूत्र को परिभाषा के रूप में और इसके गुणों में से एक के रूप में माना जा सकता है। किसी भी स्थिति में, यदि आप एक लघुगणकीय समीकरण को रूपांतरित करते हैं, तो आपको इस सूत्र को उसी प्रकार जानना चाहिए जैसे किसी संख्या का लघुगणक के रूप में निरूपण।

हम अपने काम पर लौट आते हैं। हम इसे इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए फिर से लिखते हैं कि बराबर चिह्न के दायीं ओर पहला पद केवल एलजी 7 के बराबर होगा। हमारे पास है:

एलजी 56 = एलजी 7 - 3 एलजी (एक्स + 4)

आइए एलजी 7 को बाईं ओर ले जाएं, हमें मिलता है:

एलजी 56 - एलजी 7 = -3 एलजी (एक्स + 4)

हम बाईं ओर के व्यंजकों को घटाते हैं क्योंकि उनका आधार समान है:

एलजी (56/7) = -3 एलजी (एक्स + 4)

अब आइए हम उस समीकरण पर करीब से नज़र डालें जो हमें मिला है। यह व्यावहारिक रूप से विहित रूप है, लेकिन दाईं ओर एक कारक -3 है। आइए इसे सही एलजी तर्क में रखें:

एलजी 8 = एलजी (एक्स + 4) −3

लॉगरिदमिक समीकरण का विहित रूप हमारे सामने है, इसलिए हम lg के संकेतों को पार करते हैं और तर्कों को समान करते हैं:

(एक्स + 4) -3 = 8

एक्स + 4 = 0.5

बस इतना ही! हमने दूसरा लघुगणक समीकरण हल किया है। इस मामले में, कोई अतिरिक्त जांच की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि मूल समस्या में x केवल एक तर्क में मौजूद था।

मुझे इस पाठ के मुख्य बिंदुओं का पुनर्कथन करना चाहिए।

लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित इस पृष्ठ के सभी पाठों में अध्ययन किया जाने वाला मुख्य सूत्र विहित रूप है। और इस तथ्य से विचलित न हों कि अधिकांश स्कूली पाठ्यपुस्तकें आपको सिखाती हैं कि इस प्रकार की समस्याओं को अलग तरीके से कैसे हल किया जाए। यह उपकरण बहुत कुशलता से काम करता है और आपको हमारे पाठ की शुरुआत में अध्ययन की गई सबसे सरल समस्याओं की तुलना में बहुत व्यापक वर्ग की समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है।

इसके अलावा, लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए मूल गुणों को जानना उपयोगी होगा। अर्थात्:

1. जब हम लॉग फ्लिप करते हैं तो एक आधार और एक विशेष मामले में जाने का सूत्र (यह पहले कार्य में हमारे लिए बहुत उपयोगी था);
2. लघुगणक के चिन्ह के नीचे से शक्तियाँ लाने और निकालने का सूत्र। यहां, कई छात्र फंस जाते हैं और बिंदु-रिक्त नहीं देखते हैं कि निकाली गई और लाई गई शक्ति में स्वयं लॉग f (x) हो सकता है। कुछ गलत नहीं है उसके साथ। हम एक लॉग को दूसरे के संकेत के अनुसार पेश कर सकते हैं और साथ ही समस्या के समाधान को काफी सरल बना सकते हैं, जिसे हम दूसरे मामले में देखते हैं।

अंत में, मैं यह जोड़ना चाहूंगा कि इनमें से प्रत्येक मामले में दायरे की जांच करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि हर जगह चर x लॉग के केवल एक संकेत में मौजूद है, और साथ ही साथ इसके तर्क में भी है। परिणामस्वरूप, सभी डोमेन आवश्यकताएँ स्वचालित रूप से पूरी हो जाती हैं।

परिवर्तनीय आधार के साथ समस्याएं

आज हम लघुगणकीय समीकरणों पर विचार करेंगे, जो कई छात्रों के लिए गैर-मानक प्रतीत होते हैं, यदि पूरी तरह से अघुलनशील नहीं हैं। इसके बारे मेंसंख्याओं के आधार पर नहीं, बल्कि चर और यहां तक ​​कि कार्यों पर आधारित व्यंजकों के बारे में। हम अपनी मानक तकनीक का उपयोग करके ऐसे निर्माणों को हल करेंगे, अर्थात् विहित रूप के माध्यम से।

आरंभ करने के लिए, आइए याद करें कि साधारण संख्याओं पर आधारित सरलतम समस्याओं को कैसे हल किया जाता है। अतः सरलतम रचना कहलाती है

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

बी = लॉग ए ए बी

हम अपनी मूल अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं और प्राप्त करते हैं:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

फिर हम तर्कों की बराबरी करते हैं, अर्थात हम लिखते हैं:

एफ (एक्स) = एक बी

इस प्रकार, हम लॉग साइन से छुटकारा पाते हैं और सामान्य समस्या को हल करते हैं। इस स्थिति में, समाधान में प्राप्त मूल मूल लघुगणकीय समीकरण के मूल होंगे। इसके अलावा, जब बाएँ और दाएँ दोनों एक ही आधार के साथ एक ही लघुगणक पर होते हैं, तो रिकॉर्ड को विहित रूप कहा जाता है। यह इस रिकॉर्ड के लिए है कि हम आज के निर्माणों को कम करने का प्रयास करेंगे। तो चलते हैं।

पहला काम:

लघुगणक x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

1 को लघुगणक x - 2 (x - 2) 1 से बदलें। तर्क में हम जो डिग्री देखते हैं, वह वास्तव में संख्या b है, जो बराबर चिह्न के दाईं ओर थी। तो चलिए अपने एक्सप्रेशन को फिर से लिखते हैं। हम पाते हैं:

लघुगणक x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = लघुगणक x - 2 (x - 2)

हम क्या देखते हैं? हमारे सामने लॉगरिदमिक समीकरण का विहित रूप है, इसलिए हम सुरक्षित रूप से तर्कों की बराबरी कर सकते हैं। हम पाते हैं:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

लेकिन समाधान यहीं खत्म नहीं होता है, क्योंकि यह समीकरण मूल समीकरण के बराबर नहीं है। आखिरकार, परिणामी निर्माण में ऐसे कार्य होते हैं जो संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित होते हैं, और हमारे मूल लघुगणक हर जगह परिभाषित नहीं होते हैं और हमेशा नहीं।

इसलिए, हमें परिभाषा के क्षेत्र को अलग से लिखना चाहिए। आइए समझदार न बनें और पहले सभी आवश्यकताओं को लिखें:

सबसे पहले, प्रत्येक लघुगणक का तर्क 0 से बड़ा होना चाहिए:

2x 2 - 13x + 18 > 0

एक्स -2 > 0

दूसरे, आधार न केवल 0 से बड़ा होना चाहिए, बल्कि 1 से भी भिन्न होना चाहिए:

एक्स - 2 1

परिणामस्वरूप, हमें सिस्टम मिलता है:

लेकिन चिंतित न हों: लॉगरिदमिक समीकरणों को संसाधित करते समय, ऐसी प्रणाली को बहुत सरल बनाया जा सकता है।

अपने लिए जज करें: एक ओर, हमें यह आवश्यक है कि द्विघात फलन शून्य से बड़ा हो, और दूसरी ओर, यह द्विघात फलन कुछ रैखिक व्यंजक के बराबर होता है, जिसके लिए यह भी आवश्यक है कि यह शून्य से बड़ा हो।

इस स्थिति में, यदि हमें उस x − 2 > 0 की आवश्यकता है, तो आवश्यकता 2x 2 − 13x + 18 > 0 स्वतः ही संतुष्ट हो जाएगी। द्विघात फंक्शन. इस प्रकार, हमारे सिस्टम में निहित अभिव्यक्तियों की संख्या घटकर तीन हो जाएगी।

बेशक, हम भी पार कर सकते हैं रैखिक असमानता, यानी x − 2 > 0 को काट दें और इसके लिए 2x 2 − 13x + 18 > 0 की आवश्यकता होती है। लेकिन आपको इस बात से सहमत होना चाहिए कि इस प्रणाली की तुलना में सरल रैखिक असमानता को हल करना बहुत तेज और आसान है, हमें समान जड़ें मिलती हैं।

सामान्य तौर पर, जब भी संभव हो, गणनाओं को अनुकूलित करने का प्रयास करें। और लघुगणक समीकरणों के मामले में, सबसे कठिन असमानताओं को पार करें।

आइए अपने सिस्टम को फिर से लिखें:

यहां तीन अभिव्यक्तियों की एक ऐसी प्रणाली है, जिनमें से दो, वास्तव में, हम पहले ही समझ चुके हैं। आइए अलग से लिखें द्विघात समीकरणऔर इसे हल करें:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 - 7x + 10 = 0

हमारे सामने एक छोटा वर्ग त्रिपद है और इसलिए, हम Vieta सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। हम पाते हैं:

(एक्स - 5)(एक्स - 2) = 0

एक्स 1 = 5

x2 = 2

अब, हमारे सिस्टम पर वापस, हम पाते हैं कि x = 2 हमें शोभा नहीं देता, क्योंकि हमारे लिए x का 2 से अधिक होना आवश्यक है।

लेकिन x \u003d 5 हमें काफी सूट करता है: संख्या 5 2 से अधिक है, और साथ ही 5 3 के बराबर नहीं है। इसलिए, एकमात्र समाधानइस प्रणाली का x = 5 होगा।

ODZ को ध्यान में रखते हुए, सब कुछ, कार्य हल हो गया है। आइए दूसरे समीकरण पर चलते हैं। यहां हम और अधिक रोचक और सार्थक गणनाओं की प्रतीक्षा कर रहे हैं:

पहला कदम: साथ ही पिछली बार, हम इस सभी व्यवसाय को एक विहित रूप में लाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 9 को इस प्रकार लिख सकते हैं:

जड़ के साथ आधार को छुआ नहीं जा सकता है, लेकिन तर्क को बदलना बेहतर है। आइए एक तर्कसंगत घातांक के साथ जड़ से घात की ओर बढ़ते हैं। चलो लिखते है:

मुझे अपने पूरे बड़े लॉगरिदमिक समीकरण को फिर से नहीं लिखना चाहिए, लेकिन तुरंत तर्कों की बराबरी करनी चाहिए:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

एक्स 2 + 4x + 3 = 0

इससे पहले कि हम फिर से कम किया गया वर्ग ट्रिनोमियल हो, हम Vieta सूत्रों का उपयोग करेंगे और लिखेंगे:

(एक्स + 3)(एक्स + 1) = 0

एक्स 1 = -3

एक्स 2 = -1

तो, हमें जड़ें मिल गईं, लेकिन किसी ने हमें गारंटी नहीं दी कि वे मूल लघुगणक समीकरण में फिट होंगे। आखिरकार, लॉग संकेत अतिरिक्त प्रतिबंध लगाते हैं (यहां हमें सिस्टम को लिखना होगा, लेकिन पूरे निर्माण की बोझिलता के कारण, मैंने अलग से परिभाषा के डोमेन की गणना करने का निर्णय लिया)।

सबसे पहले, याद रखें कि तर्क 0 से अधिक होने चाहिए, अर्थात्:

ये परिभाषा के क्षेत्र द्वारा लगाई गई आवश्यकताएं हैं।

हम तुरंत ध्यान देते हैं कि चूंकि हम सिस्टम के पहले दो भावों को एक दूसरे के समान करते हैं, हम उनमें से किसी को भी पार कर सकते हैं। आइए पहले वाले को पार करें क्योंकि यह दूसरे की तुलना में अधिक खतरनाक दिखता है।

इसके अलावा, ध्यान दें कि दूसरी और तीसरी असमानताओं के समाधान समान सेट होंगे (कुछ संख्या का घन शून्य से बड़ा है, यदि यह संख्या स्वयं शून्य से अधिक है, इसी तरह तीसरी डिग्री की जड़ के साथ - ये असमानताएं हैं पूरी तरह से समान है, इसलिए उनमें से एक को हम पार कर सकते हैं)।

लेकिन तीसरी असमानता के साथ, यह काम नहीं करेगा। आइए बाईं ओर रेडिकल के चिन्ह से छुटकारा पाएं, जिसके लिए हम दोनों भागों को एक क्यूब में बढ़ाते हैं। हम पाते हैं:

तो हमें निम्नलिखित आवश्यकताएं मिलती हैं:

−2 ≠ x > −3

हमारी कौन सी जड़ें: x 1 = -3 या x 2 = -1 इन आवश्यकताओं को पूरा करती हैं? जाहिर है, केवल x = −1, क्योंकि x = −3 पहली असमानता को संतुष्ट नहीं करता है (क्योंकि हमारी असमानता सख्त है)। कुल मिलाकर, अपनी समस्या पर लौटने पर, हमें एक मूल मिलता है: x = -1। बस इतना ही, समस्या हल हो गई।

एक बार फिर, इस कार्य के प्रमुख बिंदु:

1. विहित रूप का उपयोग करके लॉगरिदमिक समीकरणों को लागू करने और हल करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। जो छात्र इस तरह का रिकॉर्ड बनाते हैं, और मूल समस्या से सीधे लॉग a f ( x ) = b जैसे निर्माण पर नहीं जाते हैं, उन लोगों की तुलना में बहुत कम त्रुटियां करते हैं जो कहीं जल्दी में हैं, गणना के मध्यवर्ती चरणों को छोड़ देते हैं;
2. जैसे ही लघुगणक में एक चर आधार प्रकट होता है, समस्या सबसे सरल हो जाती है। इसलिए, इसे हल करते समय, परिभाषा के क्षेत्र को ध्यान में रखना आवश्यक है: तर्क शून्य से अधिक होना चाहिए, और आधार न केवल 0 से अधिक होना चाहिए, बल्कि यह भी 1 के बराबर नहीं होना चाहिए।

आप अंतिम आवश्यकताओं को अंतिम उत्तरों पर विभिन्न तरीकों से लागू कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, सभी डोमेन आवश्यकताओं वाले पूरे सिस्टम को हल करना संभव है। दूसरी ओर, आप पहले समस्या को स्वयं हल कर सकते हैं, और फिर परिभाषा के क्षेत्र के बारे में याद रख सकते हैं, इसे सिस्टम के रूप में अलग से काम कर सकते हैं और इसे प्राप्त जड़ों पर लागू कर सकते हैं।

किसी विशेष लॉगरिदमिक समीकरण को हल करते समय कौन सा तरीका चुनना है, यह आप पर निर्भर है। किसी भी मामले में, जवाब वही होगा।

इसकी परिभाषा से व्युत्पन्न। और इसलिए संख्या का लघुगणक बीवजह से एकघातांक के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके लिए एक संख्या को उठाया जाना चाहिए एकनंबर पाने के लिए बी(लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए मौजूद है)।

इस सूत्रीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणना एक्स = एक बी लॉग इन करें, समीकरण को हल करने के बराबर है कुल्हाड़ी = ख।उदाहरण के लिए, लॉग 2 8 = 3इसलिये 8 = 2 3 . लघुगणक का निरूपण यह उचित ठहराना संभव बनाता है कि यदि बी = एक सी, तो संख्या का लघुगणक बीवजह से एकबराबरी साथ. यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक का विषय किसी संख्या की घात के विषय से निकटता से संबंधित है।

लघुगणक के साथ, किसी भी संख्या के साथ, आप प्रदर्शन कर सकते हैं जोड़, घटाव के संचालनऔर हर संभव तरीके से रूपांतरित करें। लेकिन इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, उनके अपने विशेष नियम यहां लागू होते हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

लघुगणक का जोड़ और घटाव।

समान आधार वाले दो लघुगणक लें: लॉग एक्सतथा आप लॉग इन करें. फिर इसे हटा दें जोड़ और घटाव संचालन करना संभव है:

लॉग a x+ लॉग a y= लॉग a (x y);

लॉग ए एक्स - लॉग ए वाई = लॉग ए (एक्स: वाई)।

लॉग ए(एक्स 1 . एक्स 2 . एक्स 3 ... एक्स के) = लॉग एक्स 1 + लॉग एक्स 2 + लॉग एक्स 3 + ... + लॉग ए x k.

से भागफल लघुगणक प्रमेयलघुगणक का एक और गुण प्राप्त किया जा सकता है। यह सर्वविदित है कि लॉग एक 1= 0, इसलिए,

लकड़ी का लट्ठा एक 1 /बी= लॉग एक 1 - लॉग एक बी= -लॉग एक बी.

तो एक समानता है:

लॉग ए 1 / बी = - लॉग ए बी।

दो परस्पर पारस्परिक संख्याओं के लघुगणकएक ही आधार पर केवल चिन्ह में एक दूसरे से भिन्न होंगे। इसलिए:

लघुगणक 3 9= - लघुगणक 3 1/9 ; लॉग 5 1 / 125 = -लॉग 5 125।

तो, हमारे पास दो की शक्तियां हैं। यदि आप नीचे की रेखा से संख्या लेते हैं, तो आप आसानी से उस शक्ति का पता लगा सकते हैं जिसके लिए आपको इस संख्या को प्राप्त करने के लिए दो को उठाना होगा। उदाहरण के लिए, 16 प्राप्त करने के लिए, आपको दो से चौथी शक्ति बढ़ाने की आवश्यकता है। और 64 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को छठी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। इसे तालिका से देखा जा सकता है।

और अब - वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा:

तर्क x के आधार a का लघुगणक वह शक्ति है जिस पर संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या को उठाया जाना चाहिए।

नोटेशन: लॉग a x \u003d b, जहां a आधार है, x तर्क है, b वास्तव में लॉगरिदम के बराबर है।

उदाहरण के लिए, 2 3 = 8 लॉग 2 8 = 3 (8 का आधार 2 लघुगणक तीन है क्योंकि 2 3 = 8)। 2 64 = 6 को भी लॉग कर सकते हैं क्योंकि 2 6 = 64।

किसी दिए गए आधार से किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की क्रिया को लघुगणक कहते हैं। तो चलिए अपनी तालिका में एक नई पंक्ति जोड़ते हैं:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
लॉग 2 2 = 1	लॉग 2 4 = 2	लॉग 2 8 = 3	लॉग 2 16 = 4	लॉग 2 32 = 5	लॉग 2 64 = 6

दुर्भाग्य से, सभी लघुगणक को इतनी आसानी से नहीं माना जाता है। उदाहरण के लिए, log 2 5 खोजने का प्रयास करें। संख्या 5 तालिका में नहीं है, लेकिन तर्क यह बताता है कि लघुगणक खंड पर कहीं स्थित होगा। क्योंकि 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्याएँ अनिश्चित काल तक लिखी जा सकती हैं, और वे कभी भी दोहराई नहीं जाती हैं। यदि लॉगरिदम अपरिमेय हो जाता है, तो इसे इस तरह छोड़ना बेहतर है: लॉग 2 5, लॉग 3 8, लॉग 5 100।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि लघुगणक दो चर (आधार और तर्क) के साथ एक व्यंजक है। सबसे पहले, बहुत से लोग भ्रमित करते हैं कि आधार कहाँ है और तर्क कहाँ है। कन्नी काटना दुर्भाग्यपूर्ण गलतफहमीबस तस्वीर पर एक नज़र डालें:

हमारे सामने लघुगणक की परिभाषा से ज्यादा कुछ नहीं है। याद है: लघुगणक शक्ति है, जिसके लिए आपको तर्क प्राप्त करने के लिए आधार बढ़ाने की आवश्यकता है। यह आधार है जिसे एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है - चित्र में इसे लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। यह पता चला है कि आधार हमेशा सबसे नीचे होता है! मैं यह अद्भुत नियम अपने छात्रों को पहले ही पाठ में बताता हूं - और कोई भ्रम नहीं है।

हमने परिभाषा का पता लगाया - यह सीखना बाकी है कि लॉगरिदम कैसे गिनें, यानी। "लॉग" चिह्न से छुटकारा पाएं। आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि परिभाषा से दो महत्वपूर्ण तथ्य अनुसरण करते हैं:

1. तर्क और आधार हमेशा शून्य से बड़ा होना चाहिए। यह एक तर्कसंगत घातांक द्वारा डिग्री की परिभाषा का अनुसरण करता है, जिससे लघुगणक की परिभाषा कम हो जाती है।
2. आधार एकता से अलग होना चाहिए, क्योंकि एक इकाई से किसी भी शक्ति तक अभी भी एक इकाई है। इस वजह से, "दो प्राप्त करने के लिए किसी को किस शक्ति को उठाया जाना चाहिए" का प्रश्न व्यर्थ है। ऐसी कोई डिग्री नहीं है!

ऐसे प्रतिबंधों को कहा जाता है मान्य रेंज(ओडीजेड)। यह पता चला है कि लघुगणक का ODZ इस तरह दिखता है: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 ।

ध्यान दें कि संख्या b (लघुगणक का मान) पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है। उदाहरण के लिए, लघुगणक अच्छी तरह से नकारात्मक हो सकता है: लॉग 2 0.5 \u003d -1, क्योंकि 0.5 = 2 -1।

हालाँकि, अब हम केवल संख्यात्मक व्यंजकों पर विचार कर रहे हैं, जहाँ लघुगणक के ODZ को जानना आवश्यक नहीं है। समस्याओं के संकलनकर्ताओं द्वारा सभी प्रतिबंधों को पहले ही ध्यान में रखा जा चुका है। लेकिन जब लॉगरिदमिक समीकरण और असमानताएं चलन में आती हैं, तो डीएचएस आवश्यकताएं अनिवार्य हो जाएंगी। दरअसल, आधार और तर्क में बहुत मजबूत निर्माण हो सकते हैं, जो जरूरी नहीं कि उपरोक्त प्रतिबंधों के अनुरूप हों।

अब लघुगणक की गणना के लिए सामान्य योजना पर विचार करें। इसमें तीन चरण होते हैं:

1. आधार a और तर्क x को एक घात के रूप में व्यक्त करें जिसका आधार एक से अधिक हो। साथ ही, दशमलव अंशों से छुटकारा पाना बेहतर है;
2. चर b: x = a b के लिए समीकरण हल करें;
3. परिणामी संख्या b उत्तर होगी।

बस इतना ही! यदि लघुगणक अपरिमेय निकलता है, तो यह पहले चरण में ही दिखाई देगा। आधार के एक से अधिक होने की आवश्यकता बहुत प्रासंगिक है: यह त्रुटि की संभावना को कम करता है और गणना को बहुत सरल करता है। के समान दशमलव: यदि आप उन्हें तुरंत सामान्य में अनुवाद करते हैं, तो कई गुना कम त्रुटियां होंगी।

आइए देखें कि यह योजना विशिष्ट उदाहरणों के साथ कैसे काम करती है:

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें: लॉग 5 25

1. आइए आधार और तर्क को पांच की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करें: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 5 25 = बी ⇒ (5 1) बी = 5 2 ⇒ 5 बी = 5 2 ⇒ बी = 2;

2. उत्तर प्राप्त हुआ: 2.

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें:

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें: लॉग 4 64

1. आइए आधार और तर्क को दो की घात के रूप में निरूपित करें: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 b = 3;
3. उत्तर मिला: 3.

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें: लॉग 16 1

1. आइए आधार और तर्क को दो की घात के रूप में निरूपित करें: 16 = 2 4; 1 = 20;
2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 2 4b = 2 0 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. प्रतिक्रिया मिली: 0.

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें: लॉग 7 14

1. आइए आधार और तर्क को सात की घात के रूप में निरूपित करें: 7 = 7 1 ; 14 को सात की शक्ति के रूप में नहीं दर्शाया गया है, क्योंकि 7 1< 14 < 7 2 ;
2. यह पिछले पैराग्राफ से इस प्रकार है कि लघुगणक पर विचार नहीं किया जाता है;
3. उत्तर कोई परिवर्तन नहीं है: लॉग 7 14.

अंतिम उदाहरण पर एक छोटा सा नोट। कैसे सुनिश्चित करें कि एक संख्या दूसरी संख्या की सटीक शक्ति नहीं है? बहुत आसान - बस इसे प्रमुख कारकों में विघटित करें। यदि विस्तार में कम से कम दो अलग-अलग कारक हैं, तो संख्या एक सटीक शक्ति नहीं है।

एक कार्य। पता लगाएँ कि क्या संख्या की सटीक शक्तियाँ हैं: 8; 48; 81; 35; चौदह ।

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - सटीक डिग्री, क्योंकि केवल एक गुणक है;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 एक सटीक शक्ति नहीं है क्योंकि दो कारक हैं: 3 और 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - सटीक डिग्री;
35 = 7 5 - फिर से एक सटीक डिग्री नहीं;
14 \u003d 7 2 - फिर से सटीक डिग्री नहीं;

हम यह भी नोट करते हैं कि हम अभाज्य सँख्याहमेशा स्वयं की सटीक शक्तियाँ हैं।

दशमलव लघुगणक

कुछ लघुगणक इतने सामान्य होते हैं कि उनका एक विशेष नाम और पदनाम होता है।

x तर्क का दशमलव लघुगणक आधार 10 लघुगणक है, अर्थात। वह शक्ति जिससे आपको संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या 10 बढ़ाने की आवश्यकता है। पदनाम: एलजी एक्स।

उदाहरण के लिए, लॉग 10 = 1; लॉग 100 = 2; एलजी 1000 = 3 - आदि।

अब से, जब पाठ्यपुस्तक में "फाइंड एलजी 0.01" जैसा वाक्यांश दिखाई दे, तो जान लें कि यह टाइपो नहीं है। यह दशमलव लघुगणक. हालाँकि, यदि आप इस तरह के पदनाम के अभ्यस्त नहीं हैं, तो आप इसे हमेशा फिर से लिख सकते हैं:
लॉग एक्स = लॉग 10 एक्स

साधारण लघुगणक के लिए जो कुछ भी सत्य है वह दशमलव के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक

एक और लघुगणक है जिसका अपना अंकन है। एक मायने में यह दशमलव से भी ज्यादा महत्वपूर्ण है। यह प्राकृतिक लघुगणक है।

x का प्राकृतिक लघुगणक आधार e लघुगणक है, अर्थात। संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या ई को जिस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलएन एक्स।

कई लोग पूछेंगे: ई नंबर और क्या है? यह एक अपरिमेय संख्या है सही मूल्यखोजना और रिकॉर्ड करना असंभव है। यहाँ केवल पहली संख्याएँ हैं:
ई = 2.718281828459...

हम यह नहीं समझेंगे कि यह संख्या क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है। बस याद रखें कि ई प्राकृतिक लघुगणक का आधार है:
एलएन एक्स = लॉग ई एक्स

इस प्रकार एलएन ई = 1; लॉग ई 2 = 2; एलएन ई 16 = 16 - आदि। दूसरी ओर, ln 2 एक अपरिमेय संख्या है। सामान्य तौर पर, किसी भी परिमेय संख्या का प्राकृतिक लघुगणक अपरिमेय होता है। बेशक, एकता को छोड़कर: एलएन 1 = 0।

प्राकृतिक लघुगणक के लिए, सामान्य लघुगणक के लिए सत्य सभी नियम मान्य हैं।