معادله ماتریسی معادله ای از فرم است

آ ⋅ ایکس = ب

ایکس ⋅ آ = ب ,

جایی که آو ب- ماتریس های شناخته شده، ایکسماتریس مجهولی است که پیدا می شود.

چگونه معادله ماتریس را در حالت اول حل کنیم؟ به منظور حل یک معادله ماتریسی از فرم آ ⋅ ایکس = ب ، هر دو قسمت آن را باید در معکوس ضرب کرد آماتریس سمت چپ:

با تعریف ماتریس معکوس، حاصلضرب یک ماتریس معکوس و یک ماتریس اصلی داده شده برابر با ماتریس هویت است: بنابراین

.

زیرا Eپس ماتریس هویت است E ⋅ ایکس = ایکس . در نتیجه، ماتریس مجهول را دریافت می کنیم ایکسبرابر حاصلضرب ماتریس معکوس ماتریس است آ، در سمت چپ، روی ماتریس ب :

چگونه معادله ماتریس را در حالت دوم حل کنیم؟ با توجه به معادله

ایکس ⋅ آ = ب ,

یعنی یکی که در حاصل ضرب یک ماتریس مجهول است ایکسو ماتریس شناخته شده آماتریس آدر سمت راست است، پس باید به طور مشابه عمل کنید، اما جهت ضرب را با ماتریس تغییر دهید، ماتریس معکوس آ، و ماتریس را ضرب کنید بسمت راست او:

,

همانطور که می بینید، بسیار مهم است که از کدام سمت در ماتریس معکوس ضرب شود، زیرا . بازگشت به آماتریس ضرب در ماتریس باز سمتی که ماتریس در آن قرار دارد آضرب در یک ماتریس مجهول ایکس. یعنی از سمتی که محصول با ماتریس مجهول حاوی ماتریس است آ .

چگونه معادله ماتریس را در حالت سوم حل کنیم؟ مواردی وجود دارد که ماتریس مجهول در سمت چپ معادله وجود دارد ایکسوسط کار است سه ماتریس. سپس ماتریس شناخته شده از سمت راست معادله را باید در سمت چپ در ماتریس معکوس به ماتریس که در سمت چپ در حاصل ضرب سه ماتریس ذکر شده در بالا بود و در سمت راست در ماتریس معکوس به ماتریسی ضرب کرد. سمت راست قرار داشت بنابراین، با حل معادله ماتریسی

آ ⋅ ایکس ⋅ ب = سی ,

است

.

حل معادلات ماتریسی: مثال

مثال 1حل معادله ماتریسی

.

آ ⋅ ایکس = ب آو ماتریس مجهول ایکسماتریس آ ب آآ .

آ :

.

آ :

.

آ :

اکنون همه چیز برای یافتن ماتریس معکوس ماتریس داریم آ :

.

در نهایت، ماتریس مجهول را پیدا می کنیم:

مثال 3حل معادله ماتریسی

.

راه حل. این معادله شکل دارد ایکس ⋅ آ = ب ، یعنی در حاصل ضرب ماتریس آو ماتریس مجهول ایکسماتریس آ ببه ماتریس معکوس ماتریس آآ .

ابتدا تعیین کننده ماتریس را پیدا می کنیم آ :

.

بیایید مکمل های جبری ماتریس را پیدا کنیم آ :

بیایید ماتریسی از اضافات جبری بسازیم:

.

با جابجایی ماتریس اضافات جبری، ماتریس را با ماتریس مزدوج می یابیم. آ :

آ :

.

یافتن ماتریس مجهول:

تا به حال با ماتریس های مرتبه دوم معادلات را حل می کردیم و اکنون نوبت به ماتریس های درجه سه رسیده است.

مثال 4حل معادله ماتریسی

.

راه حل. این اولین نوع معادله است: آ ⋅ ایکس = ب ، یعنی در حاصل ضرب ماتریس آو ماتریس مجهول ایکسماتریس آسمت چپ است بنابراین، راه حل را باید به شکل جستجو کرد، یعنی ماتریس مجهول برابر با حاصلضرب ماتریس است. ببه ماتریس معکوس ماتریس آترک کرد. ماتریس معکوس ماتریس را پیدا کنید آ .

ابتدا تعیین کننده ماتریس را پیدا می کنیم آ :

بیایید مکمل های جبری ماتریس را پیدا کنیم آ :

بیایید ماتریسی از اضافات جبری بسازیم:

با جابجایی ماتریس اضافات جبری، ماتریس را با ماتریس مزدوج می یابیم. آ :

.

پیدا کردن ماتریس معکوس به ماتریس آ، و ما آن را به راحتی انجام می دهیم، زیرا تعیین کننده ماتریس است آبرابر با یک است:

.

یافتن ماتریس مجهول:

مثال 5حل معادله ماتریسی

.

راه حل. این معادله شکل دارد ایکس ⋅ آ = ب ، یعنی در حاصل ضرب ماتریس آو ماتریس مجهول ایکسماتریس آسمت راست است بنابراین، راه حل را باید به شکل جستجو کرد، یعنی ماتریس مجهول برابر با حاصلضرب ماتریس است. ببه ماتریس معکوس ماتریس آسمت راست ماتریس معکوس ماتریس را پیدا کنید آ .

ابتدا تعیین کننده ماتریس را پیدا می کنیم آ :

بیایید مکمل های جبری ماتریس را پیدا کنیم آ :

بیایید ماتریسی از اضافات جبری بسازیم:

.

با جابجایی ماتریس اضافات جبری، ماتریس را با ماتریس مزدوج می یابیم. آ .

تعیین کننده های ماتریس اغلب در محاسبات، جبر خطی و هندسه تحلیلی استفاده می شوند. در خارج از دنیای آکادمیک، مهندسین و برنامه نویسان، به ویژه کسانی که با گرافیک کامپیوتری. اگر قبلاً می دانید که چگونه تعیین کننده یک ماتریس 2x2 را پیدا کنید، تنها ابزاری که برای یافتن تعیین کننده یک ماتریس 3x3 نیاز دارید جمع، تفریق و ضرب هستند.

مراحل

جستجو برای تعیین کننده

یک ماتریس 3*3 را بنویسید.بیایید یک ماتریس 3*3 بنویسیم که آن را با M نشان می دهیم و تعیین کننده آن |M| را پیدا می کنیم. در زیر نماد کلی برای ماتریسی که استفاده خواهیم کرد، و ماتریس برای مثال ما است:

• M = (a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33) = (1 5 3 2 4 7 4 6 2) (\displaystyle M=(\begin(pmatrix)a_(11)&a_ (12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33)\end(pmatrix))=(\ begin(pmatrix)1&5&3\ \2&4&7\\4&6&2\end (pmatrix)))

1. یک سطر یا ستون از ماتریس را انتخاب کنید.این سطر (یا ستون) محور خواهد بود. بدون توجه به سطر یا ستونی که انتخاب می کنید، نتیجه یکسان خواهد بود. در این مثال، بیایید خط اول را در نظر بگیریم. کمی بعد، نکاتی در مورد نحوه انتخاب سطر یا ستون برای ساده کردن محاسبات خواهید یافت.

   • بیایید ردیف اول ماتریس M را در مثال خود انتخاب کنیم. دور اعداد 1 5 3. ب فرم کلی 11 a 12 a 13 را دور بزنید.

2. سطر یا ستون را با اولین عنصر خط بزنید.به ردیف مرجع (یا ستون مرجع) مراجعه کنید و اولین عنصر را انتخاب کنید. یک خط افقی و عمودی از طریق این عنصر بکشید، بنابراین ستون و ردیف را با این عنصر خط بزنید. باید چهار عدد باقی بماند. ما این عناصر را به عنوان یک ماتریس جدید 2×2 در نظر خواهیم گرفت.

   • در مثال ما، ردیف مرجع 1 5 3 خواهد بود. اولین عنصر در تقاطع ستون اول و ردیف اول قرار دارد. سطر و ستون را با این عنصر خط بکشید، یعنی عبارت اول و ستون اول. عناصر باقیمانده را به صورت یک ماتریس 2×2 بنویسید:
   • 1 5 3
   • 2 4 7
   • 4 6 2

3. تعیین کننده یک ماتریس 2*2 را پیدا کنید.به یاد داشته باشید که تعیین کننده ماتریس (a b c d) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&b\\c&d\end(pmatrix)))به عنوان محاسبه می شود ad-BC. بر این اساس می توانید تعیین کننده ماتریس 2*2 حاصل را محاسبه کنید که در صورت تمایل می توانید آن را به صورت X نشان دهید. سپس حاصل ضرب دو عدد دیگر را به صورت مورب از راست به چپ کم کنید (یعنی به این صورت: /). از این فرمول برای محاسبه تعیین کننده ماتریسی که به تازگی دریافت کرده اید استفاده کنید.

   جواب حاصل را در عنصر انتخاب شده از ماتریس M ضرب کنید.به یاد داشته باشید که وقتی سایر عناصر سطر و ستون را خط زدیم تا یک ماتریس جدید بدست آوریم، از کدام عنصر از سطر (یا ستون) مرجع استفاده کردیم. این عنصر را در مینور حاصل ضرب کنید (تعیین کننده ماتریس 2x2، که ما آن را X نامگذاری کردیم).

   • در مثال ما عنصر a 11 را انتخاب کردیم که برابر با 1 بود. آن را در -34 ضرب کنید (معین ماتریس 2x2) و 1*-34 = -34 .

4. علامت نتیجه را مشخص کنید.در مرحله بعد، باید نتیجه را در 1 یا -1 ضرب کنید تا به دست آید جمع جبری(کوفاکتور)عنصر انتخاب شده علامت کوفاکتور به جایی که عنصر در ماتریس 3x3 قرار دارد بستگی دارد. این را به یاد داشته باش یک مدار سادهنشانه های شناخت علامت کوفاکتور:

5. تمام مراحل بالا را با عنصر دوم سطر (یا ستون) مرجع تکرار کنید.به ماتریس اصلی 3x3 و خطی که در همان ابتدای محاسبات دایره کردیم برگردید. تمام اقدامات را با این عنصر تکرار کنید:

   • سطر و ستون را با این عنصر خط بزنید.در مثال ما باید عنصر a 12 (برابر با 5) را انتخاب کنیم. ردیف اول (1 5 3) و ستون دوم را خط بزنید (5 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)5\\4\\6\end(pmatrix)))ماتریس ها
   • عناصر باقیمانده را در یک ماتریس 2x2 بنویسید.در مثال ما، ماتریس شبیه به آن خواهد بود (2 7 4 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&7\\4&2\end(pmatrix)))
   • تعیین کننده این ماتریس 2x2 جدید را پیدا کنید.از فرمول ad - bc در بالا استفاده کنید. (2*2 - 7*4 = -24)
   • تعیین کننده حاصل را در عنصر انتخاب شده از ماتریس 3x3 ضرب کنید. -24 * 5 = -120
   • بررسی کنید که آیا باید نتیجه را در -1 ضرب کنید.بیایید از فرمول (-1) ij برای تعیین علامت متمم جبری استفاده کنیم. برای عنصر a 12 که ما انتخاب کرده ایم، علامت "-" در جدول نشان داده شده است و فرمول نتیجه مشابهی را ارائه می دهد. یعنی باید علامت را تغییر دهیم: (-1)*(-120) = 120 .

6. با عنصر سوم تکرار کنید.بعد، باید یک جمع جبری دیگر پیدا کنید. آن را برای آخرین عنصر ردیف محوری یا ستون محوری محاسبه کنید. زیر است توضیح کوتاهچگونه مکمل جبری برای 13 در مثال ما محاسبه می شود:

   • سطر اول و ستون سوم را خط بزنید تا یک ماتریس به دست آید (2 4 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&4\\4&6\end(pmatrix)))
   • تعیین کننده آن 2*6 - 4*4 = -4 است.
   • نتیجه را در عنصر a 13 ضرب کنید: -4 * 3 = -12.
   • عنصر a 13 دارای علامت + در جدول بالا است، بنابراین پاسخ این خواهد بود -12 .

7. نتایج را جمع کنید.آی تی آخرین مرحله. شما باید مکمل های جبری بدست آمده از عناصر ردیف مرجع (یا ستون مرجع) را اضافه کنید. آنها را با هم جمع کنید و مقدار تعیین کننده یک ماتریس 3x3 را بدست آورید.

   • در مثال ما، تعیین کننده است -34 + 120 + -12 = 74 .

   چگونه کارها را آسانتر کنیم

   1. سطر (یا ستون) مرجع را انتخاب کنید که صفرهای بیشتری دارد.به یاد داشته باشید که می توانید به عنوان مرجع انتخاب کنید هرسطر یا ستون انتخاب سطر یا ستون مرجع بر نتیجه تأثیری ندارد. اگر ردیفی را با بیشترین صفر انتخاب کنید، باید محاسبات کمتری انجام دهید، زیرا فقط باید مکمل های جبری را برای عناصر غیر صفر محاسبه کنید. از همین رو:

      • فرض کنید ردیف 2 را با عناصر a 21، a 22 و a 23 انتخاب کرده اید. برای یافتن دترمینان، باید دترمینان های سه ماتریس 2x2 مختلف را بیابید. بیایید آنها را A 21، A 22 و A 23 بنامیم.
      • یعنی تعیین کننده یک ماتریس 3x3 21 |A 21 | - a 22 |A 22 | + a 23 | A 23 |.
      • اگر 22 و 23 هر دو 0 باشند، فرمول ما بسیار کوتاهتر از 21 |A 21 | - 0*|A 22 | + 0*|A 23 | = a 21 |A 21 | - 0 + 0 = a 21 | A 21 |. یعنی فقط باید متمم جبری یک عنصر را محاسبه کرد.

   2. برای ساده کردن ماتریس از جمع ردیف استفاده کنید.اگر یک ردیف را بردارید و ردیف دیگری را به آن اضافه کنید، تعیین کننده ماتریس تغییر نخواهد کرد. همین امر در مورد ستون ها نیز صادق است. می‌توانید این کار را چندین بار انجام دهید و می‌توانید مقادیر رشته را در یک ثابت ضرب کنید (قبل از جمع) تا حد امکان صفر به دست آورید. این مراحل می تواند در زمان شما صرفه جویی زیادی کند.

      • به عنوان مثال، ما یک ماتریس با سه ردیف داریم: (9 − 1 2 3 1 0 7 5 − 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end (pmatrix)))
      • برای خلاص شدن از شر 9 به جای عنصر a 11، می توانیم ردیف دوم را در -3 ضرب کنیم و نتیجه را به ردیف اول اضافه کنیم. خط اول جدید + [-9 -3 0] = .
      • یعنی یک ماتریس جدید می گیریم (0 − 4 2 3 1 0 7 5 − 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end (pmatrix)))سعی کنید همین کار را با ستون ها انجام دهید تا به جای عنصر a 12، صفر به دست آورید.

   3. به یاد داشته باشید که محاسبه دترمینان ماتریس های مثلثی بسیار ساده تر است.تعیین کننده ماتریس های مثلثی به عنوان حاصلضرب عناصر در مورب اصلی، از 11 در گوشه سمت چپ بالا تا 33 در گوشه پایین سمت راست محاسبه می شود. در این مورد، ما در مورد ماتریس های مثلثی با ابعاد 3x3 صحبت می کنیم. ماتریس های مثلثی بسته به موقعیت مکانی می توانند از انواع زیر باشند غیر صفرارزش های:

      • ماتریس مثلثی بالایی: همه عناصر غیر صفر روی مورب اصلی و بالای آن قرار دارند. تمام عناصر زیر مورب اصلی صفر هستند.
      • ماتریس مثلثی پایینی: همه عناصر غیر صفر در زیر و روی قطر اصلی قرار دارند.
      • ماتریس مورب: همه عناصر غیر صفر روی قطر اصلی قرار دارند. این یک مورد خاص از ماتریس های فوق است.
      • روش توصیف شده به ماتریس های مربعی با هر رتبه گسترش می یابد. به عنوان مثال، اگر از آن برای یک ماتریس 4x4 استفاده کنید، پس از "برداشتن" ماتریس های 3x3 وجود خواهد داشت که تعیین کننده به روش بالا محاسبه می شود. برای این واقعیت آماده باشید که محاسبه دستی تعیین کننده برای ماتریس هایی با چنین ابعادی کار بسیار پر زحمتی است!
      • اگر همه عناصر یک سطر یا ستون 0 باشند، تعیین کننده ماتریس نیز 0 است.

درس شماره 1. ماتریس. عملیات روی ماتریس ها

1. آنچه ماتریس نامیده می شود.

2. به چه دو ماتریس مساوی می گویند.

3. چه ماتریسی مربع، مورب، هویت نامیده می شود.

4. نحوه انجام عملیات جمع ماتریس و ضرب ماتریس.

5. عملیات ضرب و قانون اجرای آن برای کدام ماتریس ها معرفی شده است.

6. کدام تبدیلات روی ماتریس ها ابتدایی هستند.

7. چه ماتریسی را متعارف می نامند.

نمونه های معمولی اقدامات روی ماتریس ها

کار شماره 1.داده های ماتریسی

ماتریس D= را پیدا کنید
(1)

راه حل.با تعریف حاصل ضرب یک ماتریس و یک عدد به دست می آید:

D=

وظیفه شماره 2. حاصلضرب AB دو ماتریس مربع را پیدا کنید:

راه حل.هر دو ماتریس ماتریس های مربعی مرتبه 2 هستند. چنین ماتریس هایی را می توان با استفاده از فرمول ضرب کرد

فرمول (2) به معنای زیر است: برای به دست آوردن عنصر ماتریس C = AB، ایستاده در تقاطع خطوط و ستون شما باید مجموع حاصلضرب عناصر را بگیرید ردیف ماتریس A به عناصر مربوطه ستون هفتم ماتریس B.

مطابق با فرمول (2) می بینیم:

بنابراین، محصول C \u003d AB به شکل زیر خواهد بود:

کار شماره 3.حاصل ضرب ماتریس های AB و BA را پیدا کنید:

راه حل.طبق فرمول (2)، عناصر ماتریس های AB و BA به شکل زیر خواهند بود:

نتیجه:با مقایسه ماتریس های AB و BA و با استفاده از تعریف برابری ماتریس، نتیجه می گیریم که ABBA، یعنی ضرب ماتریس از قانون جابجایی تبعیت نمی کند.

وظیفه شماره 4(شفاهی). داده های ماتریسی
آیا آثاری وجود دارد (پاسخ های صحیح در داخل پرانتز آورده شده است): AB (بله)، BA (خیر)، AC (بله)، CA (خیر)، ABC (نه)، DIA ​​(بله)، CBA (خیر).

کار شماره 5.حاصل ضرب AB و BA دو ماتریس به شکل زیر را بیابید:

راه حل.ماتریس های فرم کاهش یافته است
بنابراین، محصولات AB و BA از این ماتریس ها وجود دارد که به شکل زیر خواهد بود:

کار شماره 6. حاصل ضرب ماتریس های AB را پیدا کنید:

پاسخ:

وظایف برای راه حل مستقل:

داده های ماتریسی

ماتریس D=2A-4B+3C را پیدا کنید.

2. حاصل ضرب ماتریس های مربع AB و BA را بیابید:

یافتن حاصل ضرب ماتریس ها:

یافتن حاصل ضرب ماتریس ها:

7. حاصل ضرب ماتریس ها را پیدا کنید:

8. ماتریس را پیدا کنید: B=6A 2 +8A if
.

9. با توجه به یک ماتریس
همه ماتریس های B را که با ماتریس A جابجا می شوند را پیدا کنید.

10. ثابت کنید که اگر A یک ماتریس مورب باشد و همه عناصر قطر اصلی آن با یکدیگر متفاوت باشند، هر ماتریسی که با A رفت و آمد کند نیز مورب است.

درس 2. عوامل تعیین کننده ماتریس های مربع و محاسبه آنها. ماتریس معکوس

برای تسلط بر مطالب عملی، باید به سوالات نظری زیر پاسخ دهید:

تعیین کننده مرتبه n چیست؟ قوانین محاسبه برای n=1،2،3.

خواص عوامل تعیین کننده

چه ماتریسی را غیر دژنره می نامند؟

ماتریس هویت چیست؟

به کدام ماتریس معکوس ماتریس داده شده می گویند؟

شرط لازم و کافی برای وجود ماتریس معکوس چیست؟

یک قانون برای یافتن ماتریس معکوس فرموله کنید.

رتبه ماتریسی پیدا کردن قوانین

مثال های معمولی محاسبه عوامل تعیین کننده

کار شماره 1.تعیین کننده را محاسبه کنید
:

الف) طبق قانون مثلث؛

ب) با کمک تجزیه در خط اول؛

ج) تبدیل با استفاده از خواص عوامل تعیین کننده.

که در)

وظیفه شماره 2. متمم جزئی و جبری یک عنصر a 23 تعیین کننده را پیدا کنید
و آن را با بسط دادن بر روی عناصر سطر یا ستون محاسبه کنید.

راه حل.

M 23
; A 23

کار شماره 3.تعیین کننده را با استفاده از بسط 2 خطی محاسبه کنید:

پاسخ:

کار شماره 4.معادله را حل کنید

کار شماره 5.با بسط دادن روی عناصر یک سطر یا ستون، تعیین کننده مرتبه چهارم را محاسبه کنید:

سال اول ریاضی عالی تحصیل ماتریس هاو اقدامات اساسی بر روی آنها. در اینجا ما عملیات اصلی را که می توان با ماتریس ها انجام داد، سیستماتیک می کنیم. چگونه با ماتریس ها شروع کنیم؟ البته، از ساده ترین - تعاریف، مفاهیم اساسی و ساده ترین عملیات. ما به شما اطمینان می دهیم که ماتریس ها توسط هر کسی که حداقل زمان کمی را به آنها اختصاص دهد قابل درک خواهد بود!

تعریف ماتریس

ماتریسیک جدول مستطیل شکل از عناصر است. خوب، اگر به زبان ساده - جدول اعداد.

ماتریس ها معمولا با حروف بزرگ نشان داده می شوند. با حروف لاتین. به عنوان مثال، ماتریس آ ، ماتریس ب و غیره ماتریس ها می توانند اندازه های مختلفی داشته باشند: مستطیل، مربع، همچنین ماتریس های ردیفی و ماتریس های ستونی به نام بردار وجود دارد. اندازه ماتریس با تعداد سطرها و ستون ها تعیین می شود. مثلاً بنویسیم ماتریس مستطیل شکلاندازه متر بر روی n ، جایی که متر تعداد خطوط است و n تعداد ستون ها است.

عناصری که برای آنها i=j (a11، a22، .. ) قطر اصلی ماتریس را تشکیل می دهند و مورب نامیده می شوند.

با ماتریس ها چه کاری می توان انجام داد؟ جمع/ تفریق, ضرب در عدد, بین خودشان تکثیر کنند, جابجا کردن. اکنون در مورد تمام این عملیات اساسی روی ماتریس ها به ترتیب.

عملیات جمع و تفریق ماتریس

ما بلافاصله به شما هشدار می دهیم که فقط می توانید ماتریس هایی با همان اندازه اضافه کنید. نتیجه یک ماتریس با همان اندازه است. اضافه کردن (یا تفریق) ماتریس ها آسان است - فقط عناصر مربوطه خود را اضافه کنید . بیایید یک مثال بزنیم. بیایید جمع دو ماتریس A و B به اندازه دو به دو را انجام دهیم.

تفریق با قیاس، فقط با علامت مخالف انجام می شود.

هر ماتریسی را می توان در یک عدد دلخواه ضرب کرد. برای انجام این، باید هر یک از عناصر آن را در این عدد ضرب کنید. به عنوان مثال، بیایید ماتریس A را از مثال اول در عدد 5 ضرب کنیم:

عملیات ضرب ماتریس

همه ماتریس ها را نمی توان با یکدیگر ضرب کرد. به عنوان مثال، ما دو ماتریس داریم - A و B. تنها در صورتی می توان آنها را در یکدیگر ضرب کرد که تعداد ستون های ماتریس A برابر با تعداد ردیف های ماتریس B باشد. هر عنصر از ماتریس حاصل در ردیف i ام و j-امین ستون، خواهد بود برابر با مجموع استمحصولات عناصر مربوطه در خط i-امعامل اول و ستون jth دوم. برای درک این الگوریتم، بیایید نحوه ضرب دو ماتریس مربع را بنویسیم:

و یک مثال با اعداد واقعی. بیایید ماتریس ها را ضرب کنیم:

عملیات انتقال ماتریس

جابجایی ماتریس عملیاتی است که در آن سطرها و ستون های مربوطه با هم تعویض می شوند. به عنوان مثال، ماتریس A را از مثال اول جابجا می کنیم:

تعیین کننده ماتریس

دترمینان، ای تعیین کننده، یکی از مفاهیم اساسی جبر خطی است. یک بار مردم آمدند با معادلات خطی، و در پشت آنها باید یک تعیین کننده اختراع می کردیم. در نهایت، این شما هستید که باید با همه اینها کنار بیایید، بنابراین آخرین فشار!

دترمینانت یک مشخصه عددی ماتریس مربع است که برای حل بسیاری از مسائل مورد نیاز است.
برای محاسبه تعیین کننده ساده ترین ماتریس مربع، باید تفاوت بین حاصلضرب عناصر مورب اصلی و فرعی را محاسبه کنید.

تعیین کننده یک ماتریس مرتبه اول، یعنی متشکل از یک عنصر، برابر با این عنصر است.

اگر ماتریس سه در سه باشد چه؟ این سخت تر است، اما می توان آن را انجام داد.

برای چنین ماتریسی، مقدار دترمینان برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر مورب اصلی و حاصلضرب عناصری که روی مثلث‌هایی با وجهی موازی با مورب اصلی قرار دارند، که حاصل ضرب عناصر از آن است. از مورب ثانویه و حاصل ضرب عناصری که روی مثلث هایی با وجهی موازی با قطر ثانویه قرار دارند، کم می شود.

خوشبختانه، در عمل به ندرت نیاز به محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های بزرگ است.

در اینجا ما عملیات اساسی روی ماتریس ها را در نظر گرفته ایم. البته در زندگی واقعیممکن است هرگز حتی با اشاره ای به آن برخورد نکنید سیستم ماتریسیمعادلات، یا برعکس - برای مواجهه با موارد بسیار پیچیده تر زمانی که واقعاً باید سر خود را بشکنید. برای چنین مواردی است که خدمات دانشجویی حرفه ای وجود دارد. کمک بخواهید، کیفیت و راه حل دقیق، از موفقیت تحصیلی و اوقات فراغت لذت ببرید.