آیا ماتریس معکوس دارد؟ یافتن ماتریس معکوس: سه الگوریتم و مثال

یافته ماتریس معکوس.

در این مقاله به مفهوم ماتریس معکوس، ویژگی های آن و راه های یافتن آن می پردازیم. اجازه دهید در حل مثال هایی که در آن ها نیاز به ساخت یک ماتریس معکوس برای یک ماتریس معکوس است، با جزئیات صحبت کنیم.

پیمایش صفحه.

ماتریس معکوس - تعریف.

یافتن ماتریس معکوس با استفاده از ماتریس اضافات جبری.

ویژگی های ماتریس معکوس

یافتن ماتریس معکوس به روش گاوس-جردن.

یافتن عناصر ماتریس معکوس با حل سیستم های متناظر معادلات جبری خطی.

ماتریس معکوس - تعریف.

مفهوم ماتریس معکوس فقط برای ماتریس های مربعی که تعیین کننده آنها با صفر متفاوت است، یعنی برای ماتریس های مربع غیر منفرد معرفی شده است.

تعریف.

ماتریسمعکوس ماتریس نامیده می شود، که اگر تساوی ها صادق باشند، تعیین کننده آن با صفر متفاوت است ، جایی که Eماتریس هویت نظم است nبر روی n.

یافتن ماتریس معکوس با استفاده از ماتریس اضافات جبری.

چگونه ماتریس معکوس را برای یک مورد معین پیدا کنیم؟

ابتدا به مفاهیم نیاز داریم ماتریس جابجا شده، مینور ماتریس و مکمل جبری عنصر ماتریس.

تعریف.

جزئیk-th سفارشماتریس ها آسفارش متربر روی nتعیین کننده ماتریس ترتیب است کبر روی ک، که از عناصر ماتریس به دست می آید ولیواقع در انتخاب شده است کخطوط و کستون ها. ( کاز کوچکترین عدد تجاوز نمی کند متریا n).

جزئی (n-1)thنظم، که از عناصر تمام ردیف ها تشکیل شده است، به جز i-th، و تمام ستون ها به جز j-th، ماتریس مربع ولیسفارش nبر روی nبیایید آن را به عنوان .

به عبارت دیگر مینور از ماتریس مربع به دست می آید ولیسفارش nبر روی nخط زدن عناصر i-thخطوط و j-thستون

مثلاً بنویسیم، جزئی 2منظور که از ماتریس به دست می آید انتخاب عناصر ردیف های دوم، سوم و ستون های اول، سوم . مینور را نیز نشان می دهیم که از ماتریس به دست می آید حذف سطر دوم و ستون سوم . اجازه دهید ساخت این خرده‌ها را نشان دهیم: و .

تعریف.

جمع جبریعنصر یک ماتریس مربع مینور نامیده می شود (n-1)thمنظور که از ماتریس به دست می آید ولی، حذف عناصر آن i-thخطوط و j-thستون ضرب در .

متمم جبری یک عنصر به صورت نشان داده می شود. بدین ترتیب، .

به عنوان مثال، برای یک ماتریس مکمل جبری عنصر است.

ثانیاً ما به دو خاصیت دترمینانت نیاز خواهیم داشت که در بخش به آنها پرداختیم محاسبه ماتریس تعیین کننده:

بر اساس این ویژگی های تعیین کننده، تعاریف عملیات ضرب یک ماتریس در یک عددو مفهوم ماتریس معکوس، برابری داریم ، جایی که یک ماتریس جابجا شده است که عناصر آن مکمل های جبری هستند.

ماتریس در واقع معکوس ماتریس است ولی، از آنجا که برابری ها . بیایید آن را نشان دهیم

بسازیم الگوریتم ماتریس معکوسبا استفاده از برابری .

بیایید الگوریتم یافتن ماتریس معکوس را با استفاده از یک مثال تجزیه و تحلیل کنیم.

مثال.

با توجه به یک ماتریس . ماتریس معکوس را پیدا کنید.

راه حل.

تعیین کننده ماتریس را محاسبه کنید ولی، آن را با عناصر ستون سوم گسترش دهید:

دترمینان غیر صفر است، بنابراین ماتریس ولیبرگشت پذیر

بیایید یک ماتریس از جمع های جبری پیدا کنیم:

از همین رو

بیایید جابجایی ماتریس را از جمع های جبری انجام دهیم:

اکنون ماتریس معکوس را به عنوان پیدا می کنیم :

بیایید نتیجه را بررسی کنیم:

برابری اجرا می شوند، بنابراین، ماتریس معکوس به درستی پیدا می شود.

ویژگی های ماتریس معکوس

مفهوم ماتریس معکوس، برابری ، تعاریف عملیات روی ماتریس ها و ویژگی های تعیین کننده یک ماتریس، اثبات موارد زیر را ممکن می سازد. خواص ماتریس معکوس:

یافتن عناصر ماتریس معکوس با حل سیستم های متناظر معادلات جبری خطی.

راه دیگری را برای یافتن ماتریس معکوس برای یک ماتریس مربع در نظر بگیرید ولیسفارش nبر روی n.

این روش بر اساس راه حل است nسیستم های معادلات جبری ناهمگن خطی با nناشناس. متغیرهای مجهول در این سیستم معادلات، عناصر ماتریس معکوس هستند.

این ایده بسیار ساده است. ماتریس معکوس را به صورت مشخص کنید ایکس، به این معنا که، . از آنجایی که طبق تعریف ماتریس معکوس، پس

با معادل سازی عناصر مربوطه توسط ستون، به دست می آوریم nسیستم های معادلات خطی

آنها را به هر شکلی حل می کنیم و از مقادیر یافت شده یک ماتریس معکوس تشکیل می دهیم.

اجازه دهید این روش را با یک مثال تحلیل کنیم.

مثال.

با توجه به یک ماتریس . ماتریس معکوس را پیدا کنید.

راه حل.

تایید کنید . تساوی سه سیستم معادلات جبری ناهمگن خطی را به ما می دهد:

راه حل این سیستم ها را توضیح نمی دهیم، در صورت لزوم به قسمت مراجعه کنید حل سیستم های معادلات جبری خطی.

از اولین سیستم معادلات داریم , از دوم - , از سوم - . بنابراین، ماتریس معکوس مورد نظر دارای فرم است . توصیه می کنیم برای اطمینان از صحت نتیجه بررسی کنید.

خلاصه کنید.

مفهوم ماتریس معکوس، خواص آن و سه روش برای یافتن آن را در نظر گرفتیم.

نمونه ای از راه حل های ماتریس معکوس

تمرین 1. SLAE را با استفاده از روش ماتریس معکوس حل کنید. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4

شروع فرم

پایان فرم

راه حل. بیایید ماتریس را به شکل بنویسیم: بردار B: B T = (1،2،3،4) تعیین کننده اصلی جزئی برای (1،1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 جزئی برای (2،1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1) +4 (3 2-6 1) = 0 جزئی برای (3،1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 جزئی برای (4،1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 تعیین جزئی ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

ماتریس جابجا شدهمکمل های جبری ∆ 1.1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1.2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1.3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4) = 3 ∆ 1.4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4 )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-6 4) = 0 ∆ 2.3 = -2 (3) 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) + 1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7 1-2 4) )-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3.4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4.1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4.3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4.4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6- 3 5) + 3 (3 7-5 5) = -3 ماتریس معکوس بردار نتیجه X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0.33.1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0.33 x 4 = 1

همچنین ببینید راه حل های SLAE به روش ماتریس معکوسبرخط. برای انجام این کار، داده های خود را وارد کنید و با نظرات دقیق تصمیم بگیرید.

وظیفه 2. سیستم معادلات را به صورت ماتریسی بنویسید و با استفاده از ماتریس معکوس حل کنید. محلول به دست آمده را بررسی کنید. راه حل:xml:xls

مثال 2. سیستم معادلات را به صورت ماتریس بنویسید و با استفاده از ماتریس معکوس حل کنید. راه حل:xml:xls

مثال. یک سیستم از سه معادله خطی با سه مجهول داده شده است. مورد نیاز: 1) با استفاده از راه حل آن را پیدا کنید فرمول های کرامر; 2) سیستم را به صورت ماتریسی بنویسید و آن را با استفاده از حساب ماتریسی حل کنید. رهنمودها. پس از حل به روش کرامر، دکمه "حل ماتریس معکوس برای داده های اولیه" را پیدا کنید. تصمیم مناسبی دریافت خواهید کرد. بنابراین، داده ها نیازی به پر کردن مجدد ندارند. راه حل. با A مشخص کنید - ماتریس ضرایب مجهولات. X - ماتریس ستون مجهولات؛ ب - ماتریس-ستون اعضای آزاد:

بردار B: B T =(4,-3,-3) با توجه به این نمادها، این سیستم معادلات شکل ماتریس زیر را به خود می گیرد: A*X = B. اگر ماتریس A غیر مفرد باشد (تعیین کننده آن غیر صفر است، پس دارای ماتریس معکوس A -1. با ضرب دو طرف معادله در A -1، به دست می آید: A -1 * A * X \u003d A -1 * B، A -1 * A \u003d E. این برابری نامیده می شود. نماد ماتریسی حل سیستم معادلات خطی. برای یافتن راه حل برای سیستم معادلات، باید ماتریس معکوس A -1 را محاسبه کرد. اگر دترمینان ماتریس A غیر صفر باشد، سیستم راه حلی خواهد داشت. بیایید تعیین کننده اصلی را پیدا کنیم. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 بنابراین، تعیین کننده 14 ≠ 0 است، بنابراین راه حل را ادامه می دهیم. برای این کار، ماتریس معکوس را از طریق جمع های جبری پیدا می کنیم. اجازه دهید یک ماتریس غیرمفرد A داشته باشیم:

ما جمع های جبری را محاسبه می کنیم.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1،1،2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 = 1 x 3 = 28 / 14 = 2 معاینه. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 سند:xml:xls پاسخ: -1,1,2.

ماتریس معکوس برای یک معین، چنین ماتریسی است، ضرب در ماتریس اصلی که در آن ماتریس هویت به دست می‌آید: واجب و شرایط کافیوجود یک ماتریس معکوس، نابرابری به صفر تعیین کننده اصلی است (که به نوبه خود نشان می دهد که ماتریس باید مربع باشد). اگر تعیین کننده یک ماتریس برابر با صفر باشد، آن را منحط می گویند و چنین ماتریسی معکوس ندارد. در ریاضیات عالی، ماتریس های معکوس دارند اهمیتو برای حل تعدادی از مشکلات استفاده می شود. به عنوان مثال، در پیدا کردن ماتریس معکوسیک روش ماتریسی برای حل سیستم معادلات ساخته شده است. سایت خدمات ما اجازه می دهد محاسبه معکوس ماتریس آنلایندو روش: روش گاوس-جردن و استفاده از ماتریس اضافات جبری. اولی دلالت بر تعداد زیادی دارد تحولات ابتداییدر داخل ماتریس، دوم محاسبه اضافات تعیین کننده و جبری به همه عناصر است. برای محاسبه تعیین کننده یک ماتریس به صورت آنلاین، می توانید از سرویس دیگر ما - محاسبه تعیین کننده ماتریس به صورت آنلاین استفاده کنید.

.

ماتریس معکوس را در سایت پیدا کنید

سایت اینترنتیبه شما امکان می دهد پیدا کنید ماتریس معکوس آنلاینسریع و رایگان در سایت محاسبات توسط سرویس ما انجام می شود و نتیجه با نمایش داده می شود راه حل دقیقبر اساس مکان ماتریس معکوس. سرور همیشه فقط پاسخ دقیق و درست را می دهد. در وظایف بر اساس تعریف ماتریس معکوس آنلاین، لازم است که تعیین کننده ماتریس هابا صفر فرق داشت وگرنه سایت اینترنتیعدم امکان یافتن ماتریس معکوس را به دلیل مساوی بودن عامل تعیین کننده ماتریس اصلی گزارش خواهد کرد. یافتن وظیفه ماتریس معکوسدر بسیاری از شاخه های ریاضیات یافت می شود و یکی از اساسی ترین مفاهیم جبر و ابزار ریاضی در مسائل کاربردی است. مستقل تعریف ماتریس معکوسبرای اینکه در محاسبات دچار لغزش یا اشتباه کوچکی نشوید، به تلاش زیاد، زمان زیاد، محاسبات و دقت زیاد نیاز دارد. بنابراین، خدمات ما پیدا کردن ماتریس معکوس به صورت آنلاینکار شما را تا حد زیادی تسهیل می کند و به ابزاری ضروری برای حل تبدیل می شود مشکلات ریاضی. حتی اگر شما پیدا کردن ماتریس معکوسخودتان، توصیه می کنیم راه حل خود را در سرور ما بررسی کنید. ماتریس اصلی خود را در Calculate Inverse Matrix Online وارد کنید و پاسخ خود را بررسی کنید. سیستم ما هرگز اشتباه نمی کند و می یابد ماتریس معکوسبعد داده شده در حالت برخطفورا! در سایت سایت اینترنتیورود کاراکترها در عناصر مجاز است ماتریس ها، در این مورد ماتریس معکوس آنلاینبه شکل کلی نمادین ارائه خواهد شد.

مسئله تعریف عمل معکوس به ضرب ماتریس را در نظر بگیرید.

فرض کنید A یک ماتریس مربع از مرتبه n باشد. ماتریس A^(-1) که همراه با ماتریس A برابری های زیر را برآورده می کند:

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E،

تماس گرفت معکوس. ماتریس A نامیده می شود برگشت پذیر، اگر معکوس برای آن وجود دارد، در غیر این صورت - غیر قابل برگشت.

از این تعریف چنین برمی‌آید که اگر یک ماتریس معکوس A^(-1) وجود داشته باشد، آنگاه مربعی به همان ترتیب A است. با این حال، هر ماتریس مربعی معکوس ندارد. اگر دترمینان ماتریس A برابر با صفر (\det(A)=0) باشد، هیچ معکوس برای آن وجود ندارد. در واقع، با اعمال قضیه در تعیین کننده حاصل ضرب ماتریس ها برای ماتریس هویت E=A^(-1)A، یک تناقض به دست می آوریم.

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

از آنجایی که تعیین کننده ماتریس هویت برابر با 1 است. معلوم می شود که تفاوت از صفر تعیین کننده یک ماتریس مربع تنها شرط وجود یک ماتریس معکوس است. به یاد بیاورید که ماتریس مربعی که تعیین کننده آن برابر با صفر است، منحط (مفرد) نامیده می شود، در غیر این صورت - غیر مفرد (غیر مفرد).

قضیه 4.1 در مورد وجود و منحصر به فرد بودن ماتریس معکوس. ماتریس مربع A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix)، که تعیین کننده آن غیر صفر است، دارای ماتریس معکوس و علاوه بر این، فقط یک است:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n) )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)،

که در آن A^(+) ماتریسی است که برای ماتریس متشکل از مکمل های جبری عناصر ماتریس A جابجا شده است.

ماتریس A^(+) نامیده می شود ماتریس پیوستبا توجه به ماتریس A.

در واقع، ماتریس \frac(1)(\det(A))\,A^(+)تحت شرط \det(A)\ne0 وجود دارد. باید نشان دهیم که معکوس A است، یعنی. دو شرط را برآورده می کند:

\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(تراز شده)

بیایید برابری اول را ثابت کنیم. با توجه به بند 4 از اظهارات 2.3، از ویژگی های عامل تعیین می شود که AA^(+)=\det(A)\cdot E. از همین رو

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E،

که قرار بود نشان داده شود. برابری دوم نیز به همین ترتیب ثابت شده است. بنابراین، تحت شرط \det(A)\ne0، ماتریس A دارای معکوس است

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

ما منحصر به فرد بودن ماتریس معکوس را با تضاد اثبات می کنیم. بگذارید علاوه بر ماتریس A^(-1) یک ماتریس معکوس دیگر B\,(B\ne A^(-1)) وجود داشته باشد به طوری که AB=E . با ضرب هر دو طرف این تساوی در سمت چپ در ماتریس A^(-1) به دست می آید. \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. بنابراین B=A^(-1) که با فرض B\ne A^(-1) در تضاد است. بنابراین، ماتریس معکوس منحصر به فرد است.

اظهارات 4.1

1. از تعریف بر می آید که ماتریس های A و A^(-1) قابل تغییر هستند.

2. ماتریس معکوس به مورب غیر منحط نیز مورب است:

\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1 )(a_(11))،\،\frac(1)(a_(22))،\،\ldots،\،\frac(1)(a_(nn))\راست)\!.

3. ماتریس معکوس به یک ماتریس مثلثی پایین (بالایی) غیر منحط، مثلث پایینی (بالایی) است.

4. ماتریس های ابتدایی دارای معکوس هستند که آنها نیز ابتدایی هستند (به مورد 1 از ملاحظات 1.11 مراجعه کنید).

خواص ماتریس معکوس

عملیات وارونگی ماتریس دارای ویژگی های زیر است:

\begin(تراز شده)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \پررنگ(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end (تراز شده)

اگر عملیات نشان داده شده در برابری های 1-4 منطقی باشد.

بیایید ویژگی 2 را ثابت کنیم: اگر حاصلضرب AB ماتریس‌های مربع غیرمفرد هم‌ترتیب ماتریس معکوس داشته باشد، آنگاه (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

در واقع، تعیین کننده حاصل ضرب ماتریس AB برابر با صفر نیست، زیرا

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B)، جایی که \det(A)\ne0،~\det(B)\ne0

بنابراین، ماتریس معکوس (AB)^(-1) وجود دارد و منحصر به فرد است. اجازه دهید با تعریف نشان دهیم که ماتریس B^(-1)A^(-1) نسبت به ماتریس AB معکوس است. واقعا

ماتریس $A^(-1)$ معکوس ماتریس مربع $A$ نامیده می شود اگر $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$، جایی که $E $ ماتریس هویت است که ترتیب آن برابر با ترتیب ماتریس $A$ است.

ماتریس غیر مفرد ماتریسی است که دترمینان آن برابر با صفر نباشد. بر این اساس، ماتریس منحط، ماتریسی است که دترمینانت آن برابر با صفر باشد.

ماتریس معکوس $A^(-1)$ وجود دارد اگر و فقط اگر ماتریس $A$ غیر مفرد باشد. اگر ماتریس معکوس $A^(-1)$ وجود داشته باشد، یکتا است.

راه های مختلفی برای یافتن معکوس یک ماتریس وجود دارد که ما به دو مورد از آنها می پردازیم. در این صفحه روش ماتریس الحاقی که در اکثر دروس ریاضیات عالی استاندارد در نظر گرفته می شود، بحث خواهد شد. راه دوم برای یافتن ماتریس معکوس (روش تبدیل های ابتدایی) که شامل استفاده از روش گاوس یا روش گاوس-جردن است، در قسمت دوم بررسی می شود.

روش ماتریس الحاقی (اتحادیه).

اجازه دهید ماتریس $A_(n\times n)$ داده شود. برای یافتن ماتریس معکوس $A^(-1)$، سه مرحله مورد نیاز است:

1. تعیین کننده ماتریس $A$ را پیدا کنید و مطمئن شوید که $\Delta A\neq 0$، یعنی. که ماتریس A غیر دژنره است.
2. مکمل های جبری $A_(ij)$ از هر عنصر ماتریس $A$ را بنویسید و ماتریس $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \راست)$ را از قسمت پیدا شده یادداشت کنید. مکمل های جبری
3. ماتریس معکوس را با در نظر گرفتن فرمول $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ بنویسید.

ماتریس $(A^(*))^T$ اغلب به عنوان ماتریس الحاقی (متقابل، متحد) $A$ نامیده می شود.

اگر تصمیم به صورت دستی گرفته شود، روش اول فقط برای ماتریس های سفارشات نسبتا کوچک مناسب است: دوم ()، سوم ()، چهارم (). برای پیدا کردن معکوس یک ماتریس مرتبه بالاتر، روش های دیگری استفاده می شود. برای مثال روش گاوس که در قسمت دوم به آن پرداخته شده است.

مثال شماره 1

ماتریس معکوس به ماتریس $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 پیدا کنید & -9 & 0 \end(آرایه) \راست)$.

از آنجایی که تمام عناصر ستون چهارم برابر با صفر هستند، پس $\Delta A=0$ (یعنی ماتریس $A$ منحط است). از آنجایی که $\Delta A=0$، هیچ ماتریسی معکوس به $A$ وجود ندارد.

مثال شماره 2

ماتریس معکوس ماتریس $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ را پیدا کنید.

ما از روش ماتریس الحاقی استفاده می کنیم. ابتدا، بیایید تعیین کننده ماتریس داده شده $A$ را پیدا کنیم:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

از آنجایی که $\Delta A \neq 0$ است، پس ماتریس معکوس وجود دارد، بنابراین راه حل را ادامه می دهیم. یافتن مکمل های جبری

\begin(تراز شده) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(تراز شده)

ماتریسی از مکمل های جبری بسازید: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

ماتریس حاصل را جابجا کنید: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (نتیجه ماتریس اغلب ماتریس الحاقی یا اتحادی به ماتریس $A$ نامیده می شود. با استفاده از فرمول $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$، داریم:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

بنابراین ماتریس معکوس پیدا می شود: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \ راست) $. برای بررسی صحت نتیجه کافی است صحت یکی از برابری ها را بررسی کنید: $A^(-1)\cdot A=E$ یا $A\cdot A^(-1)=E$. بیایید برابری $A^(-1)\cdot A=E$ را بررسی کنیم. برای اینکه کمتر با کسرها کار کنیم، ماتریس $A^(-1)$ را جایگزین می کنیم نه به شکل $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ اما بصورت $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ پایان(آرایه)\راست)$:

پاسخ: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

مثال شماره 3

معکوس ماتریس $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ را پیدا کنید.

بیایید با محاسبه تعیین کننده ماتریس $A$ شروع کنیم. بنابراین، تعیین کننده ماتریس $A$ است:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\ end(array) \ right| = 18-36+56-12=26. $$

از آنجایی که $\Delta A\neq 0$ است، پس ماتریس معکوس وجود دارد، بنابراین راه حل را ادامه می دهیم. ما مکمل های جبری هر عنصر از ماتریس داده شده را پیدا می کنیم:

ماتریسی از اضافات جبری می سازیم و آن را جابجا می کنیم:

$$ A^*=\left(\begin(array) (cccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \راست) $$

با استفاده از فرمول $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$، دریافت می کنیم:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(آرایه) \راست) $$

بنابراین $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. برای بررسی صحت نتیجه کافی است صحت یکی از برابری ها را بررسی کنید: $A^(-1)\cdot A=E$ یا $A\cdot A^(-1)=E$. بیایید برابری $A\cdot A^(-1)=E$ را بررسی کنیم. برای اینکه کمتر با کسرها کار کنیم، ماتریس $A^(-1)$ را جایگزین می کنیم نه به شکل $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$، اما به صورت $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

چک با موفقیت پاس شد، ماتریس معکوس $A^(-1)$ به درستی پیدا شد.

پاسخ: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

مثال شماره 4

ماتریس معکوس $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 را پیدا کنید & -8 & -3 \end(آرایه) \راست)$.

برای یک ماتریس مرتبه چهارم، یافتن ماتریس معکوس با استفاده از اضافات جبری تا حدودی دشوار است. با این حال، چنین نمونه هایی کنترل کارملاقات.

برای پیدا کردن ماتریس معکوس، ابتدا باید تعیین کننده ماتریس $A$ را محاسبه کنید. بهترین راه برای انجام این کار در این شرایط، گسترش دترمینان در یک ردیف (ستون) است. هر سطر یا ستونی را انتخاب می کنیم و مکمل جبری هر عنصر سطر یا ستون انتخاب شده را پیدا می کنیم.

بگذارید یک ماتریس مربع از مرتبه n وجود داشته باشد

ماتریس A -1 نامیده می شود ماتریس معکوسبا توجه به ماتریس A، اگر A * A -1 = E، که در آن E ماتریس هویت مرتبه n است.

ماتریس هویت- چنین ماتریس مربعی، که در آن تمام عناصر در امتداد مورب اصلی، که از گوشه سمت چپ بالا به گوشه سمت راست پایین می گذرد، یک هستند و بقیه صفر هستند، به عنوان مثال:

ماتریس معکوسممکن است وجود داشته باشد فقط برای ماتریس های مربعآن ها برای آن دسته از ماتریس هایی که تعداد سطر و ستون یکسانی دارند.

قضیه شرط وجود ماتریس معکوس

برای اینکه یک ماتریس ماتریس معکوس داشته باشد، لازم و کافی است که غیر دژنره باشد.

ماتریس A = (A1, A2,...A n) نامیده می شود غیر منحطاگر بردارهای ستون به صورت خطی مستقل باشند. تعداد بردارهای ستون مستقل خطی یک ماتریس را رتبه ماتریس می گویند. بنابراین می توان گفت برای اینکه یک ماتریس معکوس وجود داشته باشد، لازم و کافی است که رتبه ماتریس برابر با بعد آن باشد، یعنی. r = n

الگوریتم یافتن ماتریس معکوس

1. ماتریس A را در جدول حل سیستم معادلات به روش گاوس بنویسید و در سمت راست (به جای قسمت های سمت راست معادلات) ماتریس E را به آن اختصاص دهید.
2. با استفاده از تبدیل‌های جردن، ماتریس A را به ماتریسی متشکل از ستون‌های منفرد بیاورید. در این حالت لازم است همزمان ماتریس E را تبدیل کنیم.
3. در صورت لزوم، ردیف ها (معادلات) آخرین جدول را به گونه ای تنظیم کنید که ماتریس هویت E در زیر ماتریس A جدول اصلی به دست آید.
4. ماتریس معکوس A -1 را که در آخرین جدول زیر ماتریس E جدول اصلی قرار دارد، بنویسید.

مثال 1

برای ماتریس A، ماتریس معکوس A -1 را پیدا کنید

راه حل: ماتریس A را یادداشت می کنیم و در سمت راست ماتریس هویت E را اختصاص می دهیم. با استفاده از تبدیل های جردن، ماتریس A را به ماتریس هویت E کاهش می دهیم. محاسبات در جدول 31.1 نشان داده شده است.

بیایید صحت محاسبات را با ضرب ماتریس اصلی A و ماتریس معکوس A -1 بررسی کنیم.

در نتیجه ضرب ماتریس، ماتریس هویت به دست می آید. بنابراین محاسبات صحیح است.

پاسخ:

حل معادلات ماتریسی

معادلات ماتریسی می تواند به صورت زیر باشد:

AX = B، XA = B، AXB = C،

که در آن ماتریس های A، B، C داده می شود، X ماتریس مورد نظر است.

معادلات ماتریسی با ضرب معادله در ماتریس های معکوس حل می شوند.

به عنوان مثال، برای پیدا کردن ماتریس از یک معادله، باید این معادله را در سمت چپ ضرب کنید.

بنابراین، برای یافتن راه حل معادله، باید ماتریس معکوس را پیدا کنید و آن را در ماتریس سمت راست معادله ضرب کنید.

سایر معادلات نیز به همین ترتیب حل می شوند.

مثال 2

اگر معادله AX = B را حل کنید

راه حل: از آنجایی که معکوس ماتریس برابر است (به مثال 1 مراجعه کنید)

روش ماتریسی در تحلیل اقتصادی

در کنار دیگران، آنها نیز کاربرد پیدا می کنند روش های ماتریسی . این روش ها بر اساس جبر خطی و ماتریس برداری هستند. چنین روش هایی به منظور تجزیه و تحلیل پدیده های پیچیده و چند بعدی اقتصادی استفاده می شود. اغلب این روش ها در مواقعی مورد استفاده قرار می گیرند که مقایسه عملکرد سازمان ها و بخش های ساختاری آنها ضروری باشد.

در فرآیند استفاده از روش های ماتریسی تجزیه و تحلیل، می توان چندین مرحله را تشخیص داد.

در مرحله اولسیستم در حال شکل گیری است نشانگرهای اقتصادیو بر اساس آن، ماتریسی از داده های اولیه کامپایل می شود که جدولی است که در آن اعداد سیستم در خطوط جداگانه آن نشان داده شده است. (i = 1،2، ....، n)و در امتداد نمودارهای عمودی - تعداد نشانگرها (j = 1،2، ....، متر).

در مرحله دومبرای هر ستون عمودی، بزرگترین مقادیر موجود شاخص ها نشان داده می شود که به عنوان یک واحد در نظر گرفته می شود.

پس از آن، تمام مقادیر منعکس شده در این ستون بر تقسیم می شوند بالاترین ارزشو ماتریسی از ضرایب استاندارد شده تشکیل می شود.

در مرحله سومتمام اجزای ماتریس مربع هستند. اگر اهمیت متفاوتی داشته باشند، به هر شاخص ماتریس ضریب وزنی خاصی اختصاص داده می شود ک. ارزش دومی توسط متخصص تعیین می شود.

در آخرین مرحله چهارممقادیر یافت شده رتبه بندی Rjبه ترتیب افزایش یا کاهش گروه بندی می شوند.

از روش های ماتریسی فوق باید استفاده شود، برای مثال، زمانی که تحلیل مقایسه ایپروژه های مختلف سرمایه گذاری و همچنین هنگام ارزیابی سایر شاخص های عملکرد اقتصادی سازمان ها.