دسامبر 23, 2013 در 03:10 ب.ظ

شمارش موثر در ذهن یا گرم کردن برای مغز

• ریاضی

این مقاله از موضوع الهام گرفته شده است و قصد دارد تا تکنیک های S.A. راچینسکی برای شمارش شفاهی
راچینسکی معلم فوق العاده ای بود که در آن تدریس می کرد مدارس روستاییدر قرن 19 و از تجربه خود نشان داد که می توان مهارت شمارش ذهنی سریع را توسعه داد. برای شاگردانش مشکل چندانی نبود که مثال مشابهی را در ذهن خود محاسبه کنند:

استفاده از اعداد گرد

یکی از متداول‌ترین روش‌های شمارش ذهنی این است که هر عددی را می‌توان به صورت مجموع یا تفاضل اعداد نشان داد که یک یا چند عدد از آنها «گرد» است:

زیرا بر روی 10 , 100 , 1000 و اعداد گرد دیگر برای ضرب سریعتر، در ذهن شما باید همه چیز را به عملیات ساده ای کاهش دهید 18*100یا 36x10. بر این اساس، با "تقسیم کردن" یک عدد گرد و سپس اضافه کردن "دم" آسان تر است: 1800 + 200 + 190 .
مثالی دیگر:
31 x 29 = (30 + 1) x (30 - 1) = 30 x 30 - 1 x 1 = 900 - 1 = 899.

ضرب در تقسیم را ساده کنید

هنگام محاسبه ذهنی، کار با سود سهام و مقسوم‌کننده راحت‌تر از یک عدد صحیح است (به عنوان مثال، 5 موجود در فرم 10:2 ، آ 50 مانند 100:2 ):
68 x 50 = (68 x 100) : 2 = 6800: 2 = 3400; 3400: 50 = (3400 x 2): 100 = 6800: 100 = 68.
به همین ترتیب، ضرب یا تقسیم بر 25 ، گذشته از همه اینها 25 = 100:4 . مثلا،
600: 25 = (600: 100) x 4 = 6 x 4 = 24; 24 x 25 = (24 x 100) : 4 = 2400: 4 = 600.
حالا تکثیر در ذهن غیرممکن به نظر نمی رسد 625 بر روی 53 :
625 x 53 = 625 x 50 + 625 x 3 = (625 x 100): 2 + 600 x 3 + 25 x 3 = (625 x 100) : 2 + 1800 + (20 + 5) x 3 = = (60000 +) 2500): 2 + 1800 + 60 + 15 = 30000 + 1250 + 1800 + 50 + 25 = 33000 + 50 + 50 + 25 = 33125.

مربع کردن یک عدد دو رقمی

به نظر می رسد که برای مربع کردن هر عدد دو رقمی، کافی است مربع تمام اعداد را به خاطر بسپارید 1 قبل از 25 . خوب، مربع 10 ما قبلاً از جدول ضرب می دانیم. مربع های باقی مانده را می توان در جدول زیر مشاهده کرد:

پذیرش راچینسکی به شرح زیر است. برای پیدا کردن مربع هر عدد دو رقمی، باید تفاوت بین این عدد و 25 ضربدر 100 و به حاصل ضرب مربع متمم عدد داده شده را به آن اضافه کنید 50 یا مربع بیش از حد آن بیش از 50 -یو. مثلا،
37^2 = 12 x 100 + 13^2 = 1200 + 169 = 1369; 84^2 = 59 x 100 + 34^2 = 5900 + 9 x 100 + 16^2 = 6800 + 256 = 7056;
AT مورد کلی (م- عدد دو رقمی):

بیایید سعی کنیم این ترفند را هنگام مربع کردن یک عدد سه رقمی به کار ببریم، ابتدا آن را به عبارات کوچکتر تقسیم کنیم:
195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 70 x 100 + 45^2 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + + 7000 + 20 x 100 + 5^2 = 17000 + 19000 + 2000 + 25 = 38025.
هوم، نمی‌توانم بگویم که خیلی راحت‌تر از روی هم چیدن است، اما شاید بتوانید با گذشت زمان به آن عادت کنید.
و البته، شما باید تمرین را با مربع شروع کنید اعداد دو رقمی، و در آنجا می توانید در ذهن خود به جداسازی قطعات برسید.

ضرب اعداد دو رقمی

این تکنیک جالب توسط یک دانش آموز 12 ساله راچینسکی ابداع شد و یکی از گزینه های جمع کردن عدد گرد است.
اجازه دهید دو عدد دو رقمی داده شود که مجموع واحدها برابر با 10 است:
M = 10m + n، K = 10a + 10 - n.
با گردآوری محصول آنها، دریافت می کنیم:

مثلاً حساب کنیم 77x13. مجموع واحدهای این اعداد برابر است با 10 ، زیرا 7 + 3 = 10 . ابتدا عدد کوچکتر را جلوی عدد بزرگتر قرار دهید: 77 x 13 = 13 x 77.
برای بدست آوردن اعداد گرد، سه واحد از آن می گیریم 13 و آنها را به آن اضافه کنید 77 . حالا بیایید اعداد جدید را ضرب کنیم 80x10و محصول انتخاب شده را به نتیجه اضافه می کنیم 3 واحد به تفاوت عدد قدیمی 77 و یک شماره جدید 10 :
13 x 77 = 10 x 80 + 3 x (77 - 10) = 800 + 3 x 67 = 800 + 3 x (60 + 7) = 800 + 3 x 60 + 3 x 7 = 800 + 180 + 21 = 800 + 201 = 1001.
این تکنیک یک مورد خاص دارد: وقتی دو فاکتور تعداد ده ها برابر داشته باشند همه چیز بسیار ساده می شود. در این حالت تعداد ده ها در عددی که به دنبال آن است ضرب می شود و حاصل ضرب واحدهای این اعداد به نتیجه نسبت داده می شود. بیایید با یک مثال ببینیم این تکنیک چقدر ظریف است.
48x42. تعداد ده ها 4 ، شماره بعدی: 5 ; 4*5 = 20 . محصول واحدها: 8x2 = 16 . بنابراین 48 x 42 = 2016.
99x91. تعداد ده ها: 9 ، شماره بعدی: 10 ; 9*10 = 90 . محصول واحدها: 9 x 1 = 09 . بنابراین 99 x 91 = 9009.
بله، یعنی ضرب کردن 95*95، برای محاسبه کافی است 9 × 10 = 90و 5 × 5 = 25و پاسخ آماده است:
95 x 95 = 9025.
سپس مثال قبلی را می توان کمی ساده تر محاسبه کرد:
195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 9025 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + 9000 = 1020 = 1000 + 19000 + 1000 + 8000 + 25 = 38025.

به جای نتیجه گیری

به نظر می رسد، چرا در قرن بیست و یکم، زمانی که می توانید به سادگی یک فرمان صوتی به گوشی هوشمند خود بدهید، بتوانید در ذهن خود حساب کنید؟ اما اگر به این فکر کنید که اگر نه تنها بارگذاری شود چه اتفاقی برای بشریت خواهد افتاد کار فیزیکی، بلکه هر ذهنی؟ آیا تحقیرکننده است؟ حتی اگر شمارش ذهنی را به خودی خود هدف ندانید، برای تعدیل ذهن کاملاً مناسب است.

منابع:
1001 کار برای محاسبات ذهنی در مدرسه S.A. راچینسکی.

مقدمه

در همه زمان ها، ریاضیات یکی از دروس اصلی در مدرسه بوده و هست، زیرا دانش ریاضی برای همه افراد ضروری است. هر دانش آموزی که در مدرسه تحصیل می کند نمی داند که در آینده چه حرفه ای را انتخاب خواهد کرد، اما همه می دانند که ریاضیات برای حل بسیاری از مشکلات زندگی ضروری است: محاسبات در فروشگاه، پرداخت برای خدمات رفاهی، محاسبه بودجه خانواده و غیره علاوه بر این، همه دانش‌آموزان باید در کلاس نهم و یازدهم امتحان بدهند و برای این کار از کلاس اول باید به ریاضیات با کیفیت بالا تسلط داشته باشند و مهمتر از همه باید نحوه شمارش را یاد بگیرند. .

آیا می توان دنیایی را بدون اعداد تصور کرد؟ بدون شماره، خریدی انجام نمی‌دهید، زمان را نمی‌دانید، شماره تلفن نمی‌گیرید. و در مورد سفینه های فضایی، لیزرها و همه دستاوردهای فنی دیگر چطور؟! اگر علم اعداد نبود آنها به سادگی غیرممکن بودند.

دو عنصر بر ریاضیات غالب است - اعداد و ارقام با تنوع بی‌نهایت خواص و روابط. در کار من اولویت به عناصر اعداد و اعمال با آنها داده شده است.

در حال حاضر، در صحنه توسعه سریعانفورماتیک و علوم کامپیوتر، دانش آموزان مدرن نمی خواهند با شمردن در ذهن خود زحمت بکشند. پس من تصمیم گرفتمنشان می دهد که نه تنها فرآیند انجام یک عمل می تواند مهم باشد، بلکه یک فعالیت جالب است.

هدف: برای مطالعه روش های شمارش سریع، برای نشان دادن نیاز به کاربرد آنها برای ساده کردن محاسبات.

مطابق با هدف،وظایف:

1. بررسی کنید که آیا دانش آموزان از تکنیک های شمارش سریع استفاده می کنند یا خیر.
2. تکنیک های شمارش سریع را بیاموزید که می توانید از آنها برای آسان تر کردن محاسبات استفاده کنید.
3. یادداشتی برای دانش آموزان کلاس های 5-6 تهیه کنید تا از تکنیک های شمارش سریع استفاده کنند.

موضوع مطالعه:تکنیک های سریع شمارش

موضوع مطالعه: فرآیند محاسبه

فرضیه تحقیق:اگر نشان داده شود که استفاده از تکنیک های شمارش سریع محاسبات را تسهیل می کند، می توان به این نتیجه رسید که فرهنگ محاسباتی دانش آموزان افزایش می یابد و حل مسائل عملی برای آنها آسان تر می شود.

از موارد زیر در کار استفاده شدترفندها و روش ها : نظرسنجی (پرسشنامه)، تجزیه و تحلیل (پردازش داده های آماری)، کار با منابع اطلاعاتی، کار عملی، مشاهدات

این اثر اشاره داردتحقیقات کاربردی، زیرا نقش به کارگیری تکنیک های شمارش سریع برای فعالیت های عملی را نشان می دهد.

در حین کار بر روی گزارش، مناز روش های زیر استفاده کرد:

1. جستجو کردن روش با استفاده از علمی و ادبیات آموزشیو همچنین جستجوی اطلاعات لازم در اینترنت؛
2. کاربردی روش انجام محاسبات با استفاده از الگوریتم های شمارش غیر استاندارد؛
3. تحلیل و بررسی داده های به دست آمده در طول مطالعه.

ارتباط تحقیقات من این است که در زمان ما بیشتر و بیشتر ماشین حساب ها به کمک دانش آموزان و همه می آیند مقدار زیاددانش آموزان نمی توانند شفاهی بشمارند. اما مطالعه ریاضیات توسعه می یابد تفکر منطقی، حافظه ، انعطاف پذیری ذهن ، فرد را به دقت عادت می دهد ، به توانایی دیدن چیز اصلی ، اطلاعات لازم را برای درک مشکلات پیچیده ای که در زمینه های مختلف فعالیت ایجاد می شود ارائه می دهد. انسان مدرن. بنابراین، در کار خود، من می خواهم نشان دهم که چگونه می توانید سریع و صحیح بشمارید و اینکه روند انجام اقدامات می تواند نه تنها مفید، بلکه جالب باشد. استفاده از تکنیک های غیر استاندارد در شکل گیری مهارت های محاسباتی است که علاقه دانش آموزان را به ریاضیات افزایش می دهد و به توسعه توانایی های ریاضی کمک می کند.

در پس عملیات ساده جمع، تفریق، ضرب و تقسیم رازهای تاریخ ریاضیات نهفته است. به طور تصادفی شنیدم کلمات "ضرب توسط شبکه"، "راه شطرنج" مجذوب. می خواستم این روش ها و روش های دیگر محاسبه را بدانم و همچنین آنها را با روش های امروزی مقایسه کنم.

میتوانی بشماری؟ این سوال، شاید حتی برای یک فرد بزرگتر از سه سال توهین آمیز باشد. چه کسانی نمی توانند بشمارند؟ همه پاسخ خواهند داد که برای این، هنر خاصلازم نیست. و حق با او خواهد بود. اما سوال این است که چگونه می توان حساب کرد؟ می توانید روی یک ماشین حساب حساب کنید، می توانید به عنوان یک ستون در دفترچه یادداشت حساب کنید، یا می توانید با استفاده از تکنیک های سریع شمارش شفاهی بشمارید. من خیلی سریع شفاهی شمارش می کنم، تقریباً هرگز در یک ستون، به صورت نوشتاری حل نمی کنم، همه اینها به این دلیل است که روش های مختلف شمارش سریع را می دانم و به کار می برم. از بین همکلاسی های من افراد کمی می توانند به صورت شفاهی سریع بشمارند و می خواستم بدانم که آیا ترفندهای سریع شمارش را بلد هستند یا خیر، پس به آنها کمک کنید تا در این ترفندها تسلط پیدا کنند، برای این منظور با ترفندهای سریع شمارش برای آنها یادداشت بنویسید.

برای اینکه بفهمیم آیا دانش آموزان مدرن روش های دیگری را برای انجام عملیات حسابی می شناسند، به جز ضرب، جمع، تفریق با یک ستون و تقسیم با یک "گوشه" و مایل به یادگیری روش های جدید هستند، یک نظرسنجی آزمایشی انجام شد.

برای شروع، من یک نظرسنجی در کلاس ششم مدرسه خود انجام دادم. از بچه ها سوالات ساده پرسید. چرا باید بدانید که چگونه بشمارید؟ چه دروس مدرسه ای نیاز به محاسبه صحیح دارند؟ آیا آنها می دانند چگونه سریع بشمارند؟ آیا دوست دارید نحوه شمردن سریع شفاهی را یاد بگیرید؟ (پیوست I).

61 نفر در نظرسنجی شرکت کردند. پس از تجزیه و تحلیل نتایج، به این نتیجه رسیدم که اکثر دانش‌آموزان معتقدند که توانایی شمارش در زندگی مفید است و در مدرسه ضروری است، به‌ویژه هنگام مطالعه دروس ریاضی، فیزیک، شیمی، علوم کامپیوتر و فناوری. چندین دانش آموز می دانند که چگونه سریع بشمارند، و تقریباً همه دوست دارند نحوه شمارش سریع را یاد بگیرند. (نتایج نظرسنجی در نمودارها منعکس شده است) (پیوست دوم).

بعد از خرج کردن پردازش آماریداده‌ها، به این نتیجه رسیدم که همه دانش‌آموزان روش‌های شمارش سریع را نمی‌دانند، بنابراین لازم است یک یادآوری برای دانش‌آموزان پایه پنجم تا ششم با تکنیک‌های شمارش سریع انجام شود تا در هنگام انجام محاسبات از آن‌ها استفاده کنند.

نتایج نظرسنجی:

سوال	کلاس پنجم	6 کلاس	جمع
	آره	خیر	نمی دانم	آره	خیر	نمی دانم
آیا دوست دارید بدانید؟

جدول خلاصه نظرسنجی:

سوال	5، 6 درجه
	آره	خیر	نمی دانم
آیا افراد امروزی باید بتوانند عملیات حسابی را با اعداد طبیعی انجام دهند؟
آیا می توانید اعداد را در یک ستون ضرب، جمع، تفریق و تقسیم بر یک "گوشه" کنید؟
آیا روش های دیگری برای انجام محاسبات می شناسید؟
آیا دوست دارید بدانید؟

با توجه به نتایج نظرسنجی، می توان نتیجه گرفت که در اغلب موارد دانش آموزان مدرن روش های دیگری برای انجام اعمال غیر از ضرب، جمع، تفریق با یک ستون و تقسیم بر یک "گوشه" نمی دانند، زیرا به ندرت به مطالب اشاره می کنند. که خارج از برنامه درسی مدرسه است.

فصل اول. تاریخچه حساب

1. چگونه اعداد بوجود آمدند

مردم شمارش اشیاء را در عصر حجر باستان - پارینه سنگی، ده ها هزار سال پیش یاد گرفتند. چگونه اتفاق افتاد؟ در ابتدا، مردم فقط مقادیر متفاوتی از اجسام مشابه را با چشم مقایسه می کردند. آنها می توانستند تعیین کنند که کدام یک از این دو توده میوه بیشتری دارد، کدام گله آهو بیشتری دارد و غیره. اگر قبیله ای ماهی صید شده را با چاقوهای سنگی که توسط افراد قبیله دیگر ساخته شده بود عوض می کرد، لازم نبود شمارش شود که چند ماهی آورده و چند کارد. کافی بود کنار هر ماهی یک چاقو بگذاریم تا تبادل بین قبایل انجام شود.

برای اینکه موفق بشی کشاورزی، دانش حساب مورد نیاز بود. بدون شمارش روز، تعیین زمان کاشت مزارع، زمان شروع آبیاری و زمان انتظار فرزندان از حیوانات دشوار بود. باید دانست که در گله چند گوسفند وجود دارد، چند کیسه غله در انبارها گذاشته شده است.
و بیش از هشت هزار سال پیش، چوپانان باستانی شروع به ساخت لیوان های گلی کردند - یک لیوان برای هر گوسفند. چوپان برای اینکه بفهمد حداقل یک گوسفند در طول روز گم شده است یا نه، هر بار که حیوان بعدی وارد آغل می شد، یک لیوان را کنار می گذاشت. و تنها پس از اطمینان از بازگشت همان تعداد گوسفند به اندازه حلقه ها، با آرامش به خواب رفت. اما در گله او تنها گوسفند نبود - او گاوها، بزها و الاغ ها را چرا می کرد. از این رو، دیگر اشکال باید از گل ساخته می شد. و کشاورزان با کمک مجسمه های سفالی، سوابق برداشت را نگه می داشتند و یادداشت می کردند که چه تعداد کیسه غله در انبار گذاشته شده است، چه تعداد کوزه روغن از زیتون فشرده شده است، چه تعداد تکه کتانی بافته شده است. اگر گوسفند بچه می‌زاید، چوپان لیوان‌های جدیدی را به لیوان‌ها اضافه می‌کرد و اگر تعدادی از گوسفندها به دنبال گوشت می‌رفتند، چندین لیوان باید جدا می‌شد. بنابراین، مردم باستان هنوز نمی دانستند چگونه بشمارند، درگیر حساب بودند.

سپس اعداد در زبان انسان ظاهر شد و مردم توانستند تعداد اشیاء، حیوانات، روزها را نامگذاری کنند. معمولاً چنین اعداد کمی وجود داشت. به عنوان مثال، قبیله رودخانه موری در استرالیا دو عدد اول داشت: enea (1) و petcheval (2). آنها اعداد دیگری را با اعداد مرکب بیان کردند: 3 = "petcheval-enea"، 4 "petcheval-petcheval" و غیره. یکی دیگر از قبیله های استرالیایی، Camiloroi، دارای اعداد ساده mal (1)، bulan (2)، guliba (3) بودند. و در اینجا اعداد دیگری با جمع اعداد کوچکتر به دست آمد: 4="bulan-bulan"، 5="bulan-guliba"، 6="guliba-guliba"، و غیره.

برای بسیاری از مردم، نام تعداد به مواردی که شمارش می شد بستگی داشت. اگر ساکنان جزایر فیجی قایق ها را می شمردند، شماره 10 "bolo" نامیده می شد. اگر نارگیل ها را می شمردند، به عدد 10 "کارو" می گفتند. نیوخ های ساکن ساخالین در نزدیکی سواحل آمور نیز همین کار را کردند. در قرن نوزدهم با همین شماره تماس گرفتند کلمات مختلفاگر آدم ها، ماهی ها، قایق ها، تورها، ستاره ها، چوب ها را بشمارند.

ما هنوز از اعداد نامشخص مختلف با معنی "زیاد" استفاده می کنیم: "جمعیت"، "گله"، "گله"، "کپه"، "بسته" و غیره.

با توسعه تولید و تجارت، مردم بهتر متوجه شدند که سه قایق و سه تبر، ده تیر و ده مهره مشترک هستند. قبایل اغلب به مبادله کالا به کالا مشغول بودند. مثلاً 5 ریشه خوراکی را با 5 ماهی عوض کردند. مشخص شد که 5 برای ریشه و ماهی یکسان است. بنابراین می توان آن را با یک کلمه صدا کرد.

روش های مشابه شمارش توسط سایر مردم استفاده می شود. بنابراین شماره گذاری بر اساس شمارش پنج، ده، بیست وجود داشت.

تا الان در مورد شمارش ذهنی صحبت کردم. اعداد چگونه نوشته شده اند؟ در ابتدا، حتی قبل از ظهور نوشتن، از بریدگی بر روی چوب، بریدگی بر روی استخوان، گره بر روی طناب استفاده می کردند. استخوان گرگ یافت شده در Dolni-Vestonice (چکسلواکی) بیش از 25000 سال پیش دارای 55 برش بود.

وقتی نوشتن ظاهر شد، اعدادی برای نوشتن اعداد نیز وجود داشت. در ابتدا، اعداد شبیه بریدگی های چوب بود: در مصر و بابل، در اتروریا و خرما، در هند و چین، اعداد کوچک را با چوب یا خط تیره یادداشت می کردند. مثلا عدد 5 را با پنج چوب نوشته بودند. آزتک ها و مایاها از نقطه به جای چوب استفاده می کردند. سپس علائم خاصی برای برخی اعداد مانند 5 و 10 ظاهر شد.

در آن زمان، تقریباً تمام شماره گذاری ها موقعیتی نبود، بلکه شبیه شماره گذاری رومی بود. فقط یک شماره گذاری جنسی کوچک بابلی موقعیتی بود. اما برای مدت طولانی نیز صفر در آن وجود نداشت، و همچنین کاما که قسمت صحیح را از کسری جدا می کند. بنابراین، همان رقم می تواند به معنای 1، 60، و 3600 باشد. با توجه به معنای مسئله، باید معنای عدد را حدس زد.

چندین قرن پیش عصر جدیداختراع کرد مسیر جدیدنوشتن اعداد، که در آن حروف الفبای معمولی به عنوان رقم عمل می کردند. 9 حرف اول نشان دهنده اعداد ده ها 10، 20، ...، 90 و 9 حرف دیگر نشان دهنده صدها هستند. این شماره گذاری الفبایی تا قرن هفدهم مورد استفاده قرار می گرفت. برای تشخیص حروف "واقعی" از اعداد، یک خط تیره بالای حروف-اعداد قرار داده شد (در روسیه این خط تیره "titlo" نامیده می شد).

در تمام این شماره گذاری ها، انجام عملیات حسابی بسیار مشکل بود. بنابراین، اختراع شماره گذاری موقعیت اعشاری در قرن ششم توسط سرخپوستان به حق یکی از بزرگترین دستاوردهای بشر در نظر گرفته می شود. شماره گذاری هندی و اعداد هندی در اروپا از اعراب شناخته شد و معمولاً به آنها عربی می گویند.

هنگام نوشتن کسرها برای مدت طولانی، کل قسمت در شماره گذاری اعشاری جدید و قسمت کسری به صورت sexagesimal ثبت می شد. اما در آغاز قرن پانزدهم. الکشی، ریاضیدان و ستاره شناس سمرقندی، شروع به استفاده از کسرهای اعشاری در محاسبات کرد.

اعدادی که با آنها کار می کنیم اعداد مثبت و منفی هستند. اما معلوم شد که اینها همه اعدادی نیستند که در ریاضیات و سایر علوم استفاده می شود. و اگر تاریخچه پیدایش اعداد را در ریاضیات مطالعه کنید می توانید بدون انتظار برای دبیرستان در مورد آنها بیاموزید.

فصل دوم. روش های قدیمی محاسبه

2.1. روش ضرب دهقانان روسی

در روسیه، چندین قرن پیش، در بین دهقانان برخی از استان ها، روشی رواج یافت که نیازی به دانش کل جدول ضرب نداشت. فقط لازم بود بتوانیم ضرب و تقسیم بر 2 کنیم. این روش نامیده شددهقان (نظری وجود دارد که منشأ آن مصری است).

مثال: 47 را در 35 ضرب کنید،

1. اعداد را در یک خط بنویسید، یک خط عمودی بین آنها بکشید.
2. ما عدد سمت چپ را بر 2 تقسیم می کنیم ، عدد سمت راست را در 2 ضرب می کنیم (اگر در حین تقسیم باقی مانده ای رخ دهد ، باقیمانده را کنار می گذاریم).
3. تقسیم زمانی به پایان می رسد که یک واحد در سمت چپ ظاهر شود.
4. خطوطی را که در سمت چپ اعداد زوج وجود دارد خط می زنیم.35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645
5. سپس اعداد باقی مانده را به سمت راست اضافه کنید - این نتیجه است.

2.2. روش شبکه

ریاضیدان و ستاره شناس برجسته عرب، ابوعبداله محمد بن موسی الخوارزمی در بغداد زندگی و کار می کرد. دانشمند در بیت الحکمه کار می کرد، جایی که یک کتابخانه و یک رصدخانه وجود داشت، تقریباً همه دانشمندان بزرگ عرب در اینجا کار می کردند.

در مورد زندگی و آثار محمد خوارزمی اطلاعات بسیار اندکی وجود دارد. تنها دو اثر از او باقی مانده است - جبر و حساب. در آخرین این کتاب ها، چهار قانون حساب آورده شده است، تقریباً همان قوانینی که امروزه استفاده می شود.

	1	3
	0	1

در او "کتاب شمارش هندی"دانشمند روشی را که در آن اختراع شده بود توصیف کرد هند باستان، و بعداً نامگذاری شد"روش شبکه". این روش حتی ساده تر از روشی است که امروزه استفاده می شود.

مثال: 25 و 63 را ضرب کنید.

بیایید جدولی بکشیم که در آن دو خانه در طول و دو خانه در عرض، یک عدد را به طول و دیگری را در عرض می نویسیم. در خانه ها نتیجه ضرب این اعداد را می نویسیم، در محل تقاطع آنها ده ها و یک ها را با قطر جدا می کنیم. اعداد به دست آمده را به صورت مورب اضافه می کنیم و نتیجه را می توان در امتداد فلش (پایین و سمت راست) خواند.

من یک مثال ساده را در نظر گرفتم، با این حال، هر عدد چند ارزشی را می توان به این ترتیب ضرب کرد.

بیایید مثال دیگری را در نظر بگیریم: 987 و 12 را ضرب کنیم:

1. یک مستطیل 3 در 2 بکشید (با توجه به تعداد ارقام اعشار برای هر عامل)؛
2. سپس سلول های مربع را به صورت مورب تقسیم می کنیم.
3. در بالای جدول عدد 987 را می نویسیم.
4. در سمت چپ جدول شماره 12؛
5. اکنون در هر مربع حاصل ضرب اعداد واقع در همان خط و در همان ستون با این مربع را وارد می کنیم، ده ها زیر مورب، یک های بالا.
6. پس از پر کردن تمام مثلث ها ، اعداد موجود در آنها در امتداد هر مورب در سمت راست اضافه می شوند.
7. نتیجه توسط فلش ​​خوانده می شود.

این الگوریتم برای ضرب دو اعداد طبیعیدر قرون وسطی در شرق و ایتالیا رایج بود.

من می خواهم به ناراحتی این روش در سختی کار آماده سازی یک جدول مستطیلی اشاره کنم، اگرچه فرآیند محاسبه خود جالب است و پر کردن جدول شبیه یک بازی است.

2.3. ضرب در انگشتان

مصریان باستان بسیار مذهبی بودند و معتقد بودند که روح متوفی در زندگی پس از مرگ با شمردن انگشتان دست مورد آزمایش قرار می گیرد. این قبلاً از اهمیتی صحبت می کند که قدیم به این روش ضرب اعداد طبیعی می دادند (به نامحساب انگشتی).

آنها اعداد تک رقمی را از 6 تا 9 در انگشتان ضرب کردند و برای این کار به همان تعداد انگشتان یک دست را دراز کردند که ضرب اول از عدد 5 بیشتر شود و در دومی نیز همین کار را برای ضرب دوم انجام دادند. بقیه انگشتان خم شده بود. پس از آن به تعداد انگشتان دو دست که دراز شده بود ده ها می گرفتند و حاصل ضرب انگشتان خم شده دست اول و دوم را به این عدد اضافه می کردند.

مثال: 8 ∙ 9 = 72

بعداً تعداد انگشتان بهبود یافت - آنها یاد گرفتند که اعداد تا 10000 را با کمک انگشتان نشان دهند.

حرکت انگشت - این هم راه دیگری برای کمک به حافظه: با کمک انگشتان، جدول ضرب 9 را به خاطر بسپارید. هر دو دست را کنار هم روی میز قرار دهید، انگشتان هر دو دست را به ترتیب زیر شماره گذاری می کنیم: اولین انگشت سمت چپ. با 1 نشان داده می شود، دومی بعد از آن با عدد 2 نشان داده می شود، سپس 3، 4 ... تا انگشت دهم، یعنی 10. اگر لازم است هر یک از نه عدد اول را در 9 ضرب کنید، سپس برای این، بدون اینکه دستان خود را از میز حرکت دهید، باید انگشتی را که عدد آن به معنای عددی است که 9 در آن ضرب می شود، بلند کنید. سپس تعداد انگشتان سمت چپ انگشت بلند شده تعداد ده ها را تعیین می کند و تعداد انگشتان سمت راست انگشت برجسته تعداد واحدهای محصول حاصل را نشان می دهد (خودتان ببینید).

بنابراین، روش‌های ضرب قدیمی که در نظر گرفته‌ایم نشان می‌دهد که الگوریتم ضرب اعداد طبیعی که در مدرسه استفاده می‌شود، تنها الگوریتم نیست و همیشه شناخته شده نبوده است.

با این حال، بسیار سریع و راحت است.

فصل سوم. شمارش دهان - ژیمناستیک ذهن

3.1. راههای مختلف جمع و تفریق

اضافه کردن

قانون اساسی برای انجام اضافه ذهنی این است:

برای جمع کردن 9 به یک عدد، 10 را به آن اضافه کنید و 1 را کم کنید، برای جمع کردن 8، 10 را جمع کنید و 2 را کم کنید. برای جمع 7، 10 و تفریق 3 و غیره. مثلا:

56+8=56+10-2=64;

65+9=65+10-1=74.

جمع در ذهن اعداد دو رقمی

اگر تعداد واحدهای عدد اضافه شده بیشتر از 5 باشد، باید عدد را به سمت بالا گرد کرد و سپس خطای گرد کردن را از مقدار حاصل کم کرد. اگر تعداد واحدها کمتر باشد ابتدا ده ها و سپس واحدها را جمع می کنیم. مثلا:

34+48=34+50-2=82;

27+31=27+30+1=58.

جمع اعداد سه رقمی

از چپ به راست جمع می کنیم، یعنی ابتدا صدها، سپس ده ها و سپس یک ها. مثلا:

359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

456+298=400+200+50+90+6+8=754.

منها کردن

برای تفریق دو عدد در ذهن خود، باید عدد تفریق شده را گرد کنید و سپس پاسخ به دست آمده را تصحیح کنید.

56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

از عدد بالای 100 عددی کمتر از 100 کم کنید

اگر زیرتراژ کمتر از 100 و مینیوند بزرگتر از 100 اما کمتر از 200 باشد، یک راه آسان برای محاسبه تفاوت در ذهن شما وجود دارد. 134-76=58

76 24 کمتر از 100. 134 34 بیشتر از 100 است. 24 را به 34 اضافه کنید و جواب بگیرید: 58.

152-88=64

88 12 کمتر از 100 است و 152 بیشتر از 100 در 52 است، بنابراین

152-88=12+52=64

3.2. راههای مختلف ضرب و تقسیم

پس از مطالعه ادبیات در مورد این موضوع، من انتخابی انجام دادم، از بین انواع تکنیک های شمارش سریع، تکنیک های ضرب و تقسیم را انتخاب کردم که برای هر دانش آموزی قابل درک و استفاده آسان است. این تکنیک ها را در یادداشت (پیوست III) آورده ام که برای دانش آموزان پایه های 5-6 مفید خواهد بود.

1. ضرب و تقسیم یک عدد بر 4.

برای ضرب کردن یک عدد در 4، باید آن را دو بار در 2 ضرب کنید.

مثلا:

26 4=(26 2) 2=52 2=104;

417 4=(417 2) 2=834 2=1668.

برای تقسیم یک عدد بر 4، باید آن را دو بار بر 2 تقسیم کنید.

مثلا:

324:4=(324:2):2=162:2=81.

1. ضرب و تقسیم یک عدد بر 5.

برای ضرب یک عدد در 5 باید آن را در 10 ضرب و بر 2 تقسیم کنید.

مثلا:

236 5=(236 10):2=2360:2=1180.

برای تقسیم یک عدد بر 5، باید 2 را ضرب و بر 10 تقسیم کنید، یعنی. رقم آخر را با کاما جدا کنید.

مثلا:

236:5=(236 2):10=472:10=47.2.

1. ضرب یک عدد در 1.5.

برای ضرب یک عدد در 1.5، باید نیمی از آن را به عدد اصلی اضافه کنید.

به عنوان مثال: 34 1.5=34+17=51;

146 1.5=146+73=219.

1. ضرب یک عدد در 9.

برای ضرب یک عدد در 9، 0 را به آن اضافه کنید و عدد اصلی را کم کنید.

به عنوان مثال: 72 9=720-72=648.

1. عددی که بر 4 بخش پذیر است را در 25 ضرب کنید.

برای ضرب در 25 عددی که بر 4 بخش پذیر است، باید آن را بر 4 تقسیم کرده و عدد حاصل را در 100 ضرب کنید.

به عنوان مثال: 124 25=(124:4) 100=31 100=3100.

1. ضرب یک عدد دو رقمی در 11

هنگام ضرب یک عدد دو رقمی در 11، باید مجموع این ارقام را بین رقم واحد و رقم ده ها وارد کنید و اگر مجموع ارقام بیش از 10 باشد، باید یک رقم به مهم ترین رقم اضافه شود. (رقم اول).

مثلا:
23 11=253، زیرا 2+3=5، پس بین 2 و 3 عدد 5 را قرار می دهیم.
57 11=627، زیرا 5+7=12 عدد 2 را بین 5 و 7 قرار دهید و 1 را به 5 اضافه کنید به جای 5 عدد 6 بنویسید.

"لبه ها را تا کنید، آنها را در وسط قرار دهید" - این کلمات به شما کمک می کند تا به راحتی این روش ضرب در 11 را به خاطر بسپارید.

این روش فقط برای ضرب اعداد دو رقمی مناسب است.

1. ضرب یک عدد دو رقمی در 101.

برای ضرب یک عدد در 101 باید این عدد را به خودش نسبت دهید.

به عنوان مثال: 34 101 = 3434.

برای روشن شدن، 34 101 = 34 100+34 1=3400+34=3434.

1. مربع کردن یک عدد دو رقمی که به 5 ختم می شود.

برای مربع یک عدد دو رقمی که به 5 ختم می شود، باید رقم ده ها را در رقم بزرگتر ضرب کنید و عدد 25 را به حاصل ضرب در سمت راست اضافه کنید.
به عنوان مثال: 35 2 =1225، یعنی 3 4 \u003d 12 و 25 را به 12 نسبت می دهیم، 1225 می گیریم.

1. مربع کردن یک عدد دو رقمی که با 5 شروع می شود.

برای مربع کردن یک عدد دو رقمی که با پنج شروع می شود، باید رقم دوم عدد را به عدد 25 اضافه کنید و مربع رقم دوم را به سمت راست اختصاص دهید و اگر مربع رقم دوم یک عدد تک رقمی باشد، سپس عدد 0 باید قبل از آن اختصاص داده شود.

مثلا:
52 2 = 2704، زیرا 25+2=28 و 2 2 =04;
58 2 = 3364، زیرا 25+8=33 و 82=64.

3.3. بازی ها

حدس زدن شماره دریافتی

1. به یک عدد فکر کنید. 11 را به آن اضافه کنید. مقدار دریافتی را در 2 ضرب کنید؛ از این محصول 20 کم کنید. اختلاف حاصل را در 5 ضرب کنید و عددی را از محصول جدید کم کنید که 10 برابر عدد مورد نظر شما باشد.من حدس می زنم شما 10 گرفتید. درست است؟
2. به یک عدد فکر کنید. او را درمان کنید. 1 را از نتیجه کم کنید نتیجه را در 5 ضرب کنید 20 را به نتیجه اضافه کنید نتیجه را بر 15 تقسیم کنید نتیجه مورد نظر را از نتیجه کم کنید.شما 1 گرفتید.
3. به یک عدد فکر کنید. آن را در 6 ضرب کنید. 3 را تفریق کنید. در 2 ضرب کنید. 26 را اضافه کنید. دو برابر آنچه فکر می کردید تفریق کنید. تقسیم بر 10. آنچه را که فکر می کنید کم کنید.شما 2 گرفتید.
4. به یک عدد فکر کنید. سه برابرش کن تفریق 2. ضرب در 5. اضافه کردن 5. تقسیم بر 5. اضافه کردن 1. تقسیم بر آنچه فکر می کنید.شما 3 گرفتید.
5. به یک عدد فکر کنید، آن را دو برابر کنید. جمع 3. ضرب در 4. تفریق 12. تقسیم بر آنچه فکر می کنید.8 گرفتی

حدس زدن اعداد داده شده

1. دوستان خود را دعوت کنید تا به هر عددی فکر کنند. اجازه دهید هرکس 5 را به عدد مورد نظر خود اضافه کند.
2. اجازه دهید مجموع حاصل در 3 ضرب شود.
3. بگذارید 7 از حاصل ضرب کم کنیم.
4. 8 عدد دیگر از نتیجه کم می کنیم.
5. بگذارید همه یک برگه با نتیجه نهایی به شما بدهند. با نگاه کردن به برگه، بلافاصله به همه می گویید که چه شماره ای در ذهن دارد.

(برای حدس زدن عدد تصور شده، نتیجه ای که روی یک تکه کاغذ نوشته شده یا به صورت شفاهی به شما گفته می شود، بر 3 تقسیم می شود).

نتیجه

ما وارد هزاره جدید شدیم! اکتشافات و دستاوردهای بزرگ بشر. ما خیلی چیزها می دانیم، می توانیم کارهای زیادی انجام دهیم. چیزی فراطبیعی به نظر می رسد که با کمک اعداد و فرمول ها می توانید پرواز را محاسبه کنید سفینه فضایی، "وضعیت اقتصادی" کشور، هوای "فردا"، صدای نت ها را در ملودی توصیف می کند. گفته های ریاضیدان، فیلسوف یونان باستان را می دانیم که در قرن چهارم قبل از میلاد می زیسته است. - فیثاغورث - "همه چیز یک عدد است!".

با تشریح روش‌های قدیمی محاسبات و روش‌های نوین شمارش سریع، سعی کردم نشان دهم که هم در گذشته و هم در آینده، نمی‌توان بدون ریاضیات، علمی که توسط ذهن انسان ساخته شده است، کار کرد.

بررسی روش های محاسباتی قدیمی نشان داد که این عملیات حسابی به دلیل تنوع روش ها و اجرای دست و پا گیر آنها دشوار و پیچیده بوده است.

روش های نوین محاسباتی ساده و در دسترس همه هستند.

هنگام ملاقات با ادبیات علمیراه‌های محاسباتی سریع‌تر و مطمئن‌تری را کشف کرد.

این امکان وجود دارد که اولین بار بسیاری نتوانند به سرعت، در حال حرکت، این محاسبات یا محاسبات دیگر را انجام دهند. اجازه دهید در ابتدا از تکنیک نشان داده شده در کار استفاده نکنید. مشکلی نیست. آموزش محاسباتی مداوم مورد نیاز است. درس به درس، سال به سال. او به شما کمک خواهد کرد مهارت های مفید حساب شفاهی.

کارل گاوس دانشمند آلمانی را پادشاه ریاضیدانان می نامیدند. استعداد ریاضی او در دوران کودکی خود را نشان داد. یک بار در مدرسه (گاوس 10 ساله بود)، معلم از کلاس خواست تا همه اعداد 1 تا 100 را جمع کند. در حالی که او تکلیف را دیکته می کرد، گاوس از قبل پاسخی آماده داشت. روی قواره او نوشته شده بود: 101 50=5050. او چگونه محاسبه کرد؟ خیلی ساده است - او تکنیک شمارش سریع را به کار برد، عدد اول را به آخرین عدد، دومی را به عدد ماقبل آخر و غیره اضافه کرد. تنها 50 عدد از این مجموع وجود دارد و هر کدام برابر با 101 است، بنابراین او توانست تقریباً بلافاصله پاسخ صحیح را بدهد.

1+2+…+50+51+...+99+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101 50=5050. این مثال بهتر از همه نشان می دهد که تقریباً برای همه دانش آموزان امکان شمارش سریع و صحیح شفاهی وجود دارد ، برای این کار فقط باید روش های شمارش سریع را بدانید.

من نتایج کارم را در یادداشتی طراحی کردم که به همه همکلاسی هایم ارائه خواهم کرد و همچنین آن را در غرفه موضوعی مدرسه "جالب است!" قرار خواهم داد. این امکان وجود دارد که از اولین بار، همه نتوانند به سرعت، در حال حرکت، محاسبات را با استفاده از این تکنیک ها انجام دهند، حتی اگر در ابتدا نتوانید از تکنیک نشان داده شده در یادداشت استفاده کنید، اشکالی ندارد، فقط به آموزش محاسباتی مداوم نیاز دارید. این به شما کمک می کند تا مهارت های مفید شمارش سریع را به دست آورید.

پس از پردازش آماری داده ها، نتایج زیر به دست آمد.نتایج:

1. شما باید بتوانید بشمارید، زیرا در زندگی مفید خواهد بود، 93٪ از دانش آموزان معتقدند که برای خوب درس خواندن در مدرسه - 72٪، برای تصمیم گیری سریع - 61٪، برای باسواد بودن - 34٪ و این است. لازم نیست بتوانید بشمارید - فقط 3٪.
2. مهارت های شمارش خوب هنگام مطالعه ریاضیات، طبق گفته 100٪ دانش آموزان، و همچنین هنگام مطالعه فیزیک - 90٪، شیمی - 80٪، علوم کامپیوتر - 44٪، فناوری - 36٪ ضروری است.
3. 16% (ترفندهای زیاد)، 25% (چند ترفند) ترفندهای شمارش سریع را می دانند، 59% دانش آموزان ترفندهای شمارش سریع را نمی دانند.
4. 21 درصد دانش آموزان از روش های شمارش سریع استفاده می کنند، گاهی اوقات 15 درصد از آنها استفاده می کنند.
5. 93٪ از دانش آموزان دوست دارند یاد بگیرند که چگونه سریع بشمارند.

نتیجه گیری:

1. دانش تکنیک های شمارش سریع به شما امکان می دهد محاسبات را ساده کنید، در زمان صرفه جویی کنید، تفکر منطقی و انعطاف پذیری ذهن را توسعه دهید.
2. AT کتاب های درسی مدرسهعملاً هیچ روشی برای شمارش سریع وجود ندارد ، بنابراین نتیجه این کار - یادداشتی برای شمارش سریع برای دانش آموزان کلاس های 5-6 بسیار مفید خواهد بود.

فهرست ادبیات استفاده شده

1. وانتسیان A.G. ریاضیات: کتاب درسی کلاس پنجم. - سامارا: انتشارات فدوروف، 1999.
2. Kordemsky B.A., Akhadov A.A. دنیای شگفت انگیزشماره ها: کتاب دانش آموزان، - م. روشنگری، 1365.
3. مینسکیخ ای.ام. «از بازی تا دانش»، م.، «روشنگری»، 1361
4. Svechnikov A.A. اعداد، ارقام، وظایف. م.، روشنگری، 1977.بله خیر نمی دانم https://accounts.google.com

شمارش شفاهی- شغلی که در زمان ما کمتر و کمتر مردم را آزار می دهد. دریافت یک ماشین حساب روی گوشی و محاسبه هر نمونه بسیار ساده تر است.

اما آیا واقعا اینطور است؟ در این مقاله، هک های ریاضی را ارائه می دهیم که به شما کمک می کند یاد بگیرید چگونه سریع اعداد را در ذهن خود جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کنید. علاوه بر این، نه در واحدها و ده ها، بلکه حداقل دو رقمی و سه رقمی عمل می کند.

پس از تسلط بر روش های این مقاله، ایده دستیابی به تلفن برای ماشین حساب دیگر چندان خوب به نظر نمی رسد. از این گذشته ، نمی توانید زمان را تلف کنید و همه چیز را در ذهن خود خیلی سریعتر محاسبه کنید ، اما در عین حال مغز خود را بکشید و دیگران (از جنس مخالف) را تحت تأثیر قرار دهید.

ما به شما هشدار می دهیم!اگر شما یک فرد معمولیو نه یک کودک اعجوبه، آنگاه برای توسعه محاسبه ذهنی نیاز به آموزش و تمرین، تمرکز و صبر است. در ابتدا، همه چیز می تواند به آرامی پیش برود، اما سپس همه چیز به آرامی پیش می رود و می توانید به سرعت هر عددی را در ذهن خود بشمارید.

گاوس و محاسبات ذهنی

یکی از ریاضیدانانی که میزان محاسبه ذهنی فوق العاده ای داشت، کارل فردریش گاوس معروف (1777-1855) بود. بله، بله، همان گاوس که با توزیع نرمال آمد.

به گفته وی کلمات خودقبل از اینکه بتواند حرف بزند، شمارش را یاد گرفت. وقتی گاوس 3 ساله بود، پسر به لیست حقوق و دستمزد پدرش نگاه کرد و گفت: "محاسبات اشتباه است." بعد از اینکه بزرگترها همه چیز را بررسی کردند، معلوم شد که گاوس کوچک درست می گوید.

در آینده، این ریاضیدان به ارتفاعات قابل توجهی رسید و آثار او هنوز به طور فعال در علوم نظری و کاربردی استفاده می شود. گاوس تا زمان مرگش بیشتر محاسباتش را در ذهنش انجام می داد.

در اینجا ما با محاسبات پیچیده سر و کار نداریم، بلکه با ساده ترین آنها شروع می کنیم.

اضافه کردن اعداد در ذهن شما

برای اینکه یاد بگیرید چگونه اعداد بزرگ را در ذهن خود اضافه کنید، باید بتوانید اعداد را به دقت جمع کنید 10 . در نهایت، هر کار پیچیده ای به انجام چند عمل بی اهمیت ختم می شود.

بیشتر اوقات، هنگام اضافه کردن اعداد با "pass through" مشکلات و خطاهایی رخ می دهد 10 ". هنگام اضافه کردن (و حتی هنگام تفریق) ، استفاده از تکنیک "اتکا به یک دوجین" راحت است. این چیه؟ ابتدا به صورت ذهنی از خود می پرسیم که قبلاً چقدر یکی از اصطلاحات گم شده است 10 و سپس به آن اضافه کنید 10 تفاوت باقی مانده تا ترم دوم

به عنوان مثال، بیایید اعداد را جمع کنیم 8 و 6 . به بیرون 8 گرفتن 10 ، کمبود دارد 2 . سپس به 10 باقی مانده است که اضافه شود 4=6-2 . در نتیجه، دریافت می کنیم: 8+6=(8+2)+4=10+4=14

ترفند اصلی اضافه کردن اعداد بزرگ- آنها را به قطعات کوچک تقسیم کنید و سپس این قسمت ها را به هم اضافه کنید.

فرض کنید باید دو عدد اضافه کنیم: 356 و 728 . عدد 356 را می توان تصور کرد 300+50+6 . به همین ترتیب، 728 شبیه خواهد شد 700+20+8 . حالا جمع می کنیم:

356+728=(300+700)+(50+20)+(8+6)=1000+70+14=1084

کم کردن اعداد در ذهن شما

تفریق اعداد نیز آسان خواهد بود. اما بر خلاف جمع، که در آن هر عدد به قسمت‌های بیتی تقسیم می‌شود، هنگام تفریق، شما فقط باید عددی را که کم می‌کنیم، «شکن» کنید.

مثلا چقدر اراده 528-321 ? شکستن عدد 321 به قسمت های بیتی می رسیم و می گیریم: 321=300+20+1 .

حال در نظر می گیریم: 528-300-20-1=228-20-1=208-1=207

سعی کنید روند جمع و تفریق را تجسم کنید. در مدرسه به همه یاد می دادند که در یک ستون، یعنی از بالا به پایین بشمارند. یکی از راه‌های تغییر ساختار تفکر و سرعت بخشیدن به شمارش، شمردن از بالا به پایین نیست، بلکه از چپ به راست، شکستن اعداد به قسمت‌های مکان است.

ضرب اعداد در ذهن شما

ضرب عبارت است از تکرار مکرر یک عدد. اگر نیاز به ضرب دارید 8 بر روی 4 ، که به این معنی است که تعداد 8 نیاز به تکرار 4 بار.

8*4=8+8+8+8=32

از آنجایی که همه مسائل پیچیده به مسائل ساده تر کاهش می یابد، باید بتوانید همه اعداد تک رقمی را ضرب کنید. یک ابزار عالی برای این وجود دارد - جدول ضرب . اگر این جدول را به طور خلاصه نمی دانید، پس اکیداً توصیه می کنیم که ابتدا آن را یاد بگیرید و تنها پس از آن به تمرین شمارش ذهنی بپردازید. علاوه بر این، در واقع، چیزی برای یادگیری وجود ندارد.

ضرب اعداد چند رقمی در تک رقمی

ابتدا ضرب اعداد چند رقمی در اعداد تک رقمی را تمرین کنید. بیایید ضرب کنیم 528 بر روی 6 . شکستن عدد 528 به رتبه ها و از مسن ترین به جوان ترین. ابتدا ضرب می کنیم و سپس نتایج را اضافه می کنیم.

528=500+20+8

528*6=500*6+20*6+8*6=3000+120+48=3168

راستی! برای خوانندگان ما اکنون 10٪ تخفیف در نظر گرفته شده است

ضرب اعداد دو رقمی

در اینجا نیز هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد، فقط بار روی حافظه کوتاه مدت کمی بیشتر است.

تکثیر کردن 28 و 32 . برای این کار کل عملیات را به ضرب در اعداد تک رقمی تقلیل می دهیم. تصور کنید 32 چگونه 30+2

28*32=28*30+28*2=20*30+8*30+20*2+8*2=600+240+40+16=896

یک مثال دیگر بیایید ضرب کنیم 79 بر روی 57 . این بدان معنی است که شما باید شماره را بگیرید " 79 » 57 یک بار. بیایید کل عملیات را به مراحل تقسیم کنیم. بیایید اول ضرب کنیم 79 بر روی 50 ، و سپس - 79 بر روی 7 .

• 79*50=(70+9)*50=3500+450=3950
• 79*7=(70+9)*7=490+63=553
• 3950+553=4503

ضرب در 11

در اینجا یک ترفند سریع شمارش ذهنی وجود دارد که به شما کمک می کند هر عدد دو رقمی را در ضرب کنید 11 با سرعتی خارق العاده

برای ضرب یک عدد دو رقمی در 11 ، دو رقم از عدد را با یکدیگر جمع می کنیم و مقدار حاصل را بین ارقام شماره اصلی وارد می کنیم. عدد سه رقمی حاصل حاصل ضرب عدد اصلی در است 11 .

بررسی کنید و ضرب کنید 54 بر روی 11 .

• 5+4=9
• 54*11=594

هر عدد دو رقمی را بگیرید، آن را در ضرب کنید 11 و خودتان ببینید - این ترفند کار می کند!

مربع کردن

با کمک یکی دیگر از روش های جالب شمارش ذهنی، می توانید به راحتی و به سرعت اعداد دو رقمی را مربع کنید. انجام این کار به خصوص با اعدادی که به پایان می رسند آسان است 5 .

نتیجه با حاصلضرب اولین رقم عدد با عددی که در سلسله مراتب آن را دنبال می کند، شروع می شود. یعنی اگر این رقم با نشان داده شود n ، سپس رقم بعدی در سلسله مراتب خواهد بود n+1 . نتیجه با مربع آخرین رقم، یعنی مربع به پایان می رسد 5 .

بیایید بررسی کنیم! بیایید عدد را مربع کنیم 75 .

• 7*8=56
• 5*5=25
• 75*75=5625

تقسیم اعداد در ذهن

باقی مانده است که با تقسیم بندی مقابله کنیم. در واقع این عمل معکوس ضرب است. با تقسیم تا 100 به هیچ وجه نباید مشکلی ایجاد شود - از این گذشته ، یک جدول ضرب وجود دارد که شما با قلب می دانید.

تقسیم بر یک عدد

هنگام تقسیم اعداد چند رقمی بر یک رقمی، باید بزرگترین قسمت ممکن را انتخاب کرد که می توان آن را با استفاده از جدول ضرب تقسیم کرد.

به عنوان مثال، یک عدد وجود دارد 6144 ، تقسیم بر 8 . جدول ضرب را به خاطر بسپارید و آن را درک کنید 8 عدد را تقسیم خواهد کرد 5600 . بیایید مثالی را به شکل زیر تصور کنیم:

6144:8=(5600+544):8=700+544:8

544:8=(480+64):8=60+64:8

سمت چپ برای تقسیم 64 بر روی 8 و با جمع کردن تمام نتایج تقسیم به نتیجه برسید

64:8=8

6144:8=700+60+8=768

تقسیم بر دو رقم

هنگام تقسیم بر یک عدد دو رقمی، هنگام ضرب دو عدد باید از قانون آخرین رقم حاصل استفاده کنید.

هنگام ضرب دو عدد چند رقمی، آخرین رقم حاصل ضرب همیشه با آخرین رقم حاصل ضرب آخرین رقم این اعداد منطبق است.

مثلاً ضرب کنیم 1325 بر روی 656 . به عنوان یک قاعده، آخرین رقم در عدد حاصل خواهد بود 0 ، زیرا 5*6=30 . واقعا، 1325*656=869200 .

اکنون، با داشتن این اطلاعات ارزشمند، تقسیم بر یک عدد دو رقمی را در نظر بگیرید.

چقدر اراده 4424:56 ?

در ابتدا، ما از روش "برازش" استفاده می کنیم و محدودیت هایی را که در آن نتیجه نهفته است، پیدا می کنیم. ما باید عددی را پیدا کنیم که وقتی در آن ضرب می شود 56 خواهد داد 4424 . به طور مستقیم، بیایید عدد را امتحان کنیم 80.

56*80=4480

بنابراین تعداد مورد نیاز کمتر از 80 و بدیهی است بیشتر 70 . بیایید رقم آخر آن را تعیین کنیم. کار او در 6 باید با یک عدد تمام شود 4 . با توجه به جدول ضرب، نتایج برای ما مناسب است 4 و 9 . منطقی است که فرض کنیم نتیجه تقسیم می تواند یک عدد باشد 74 ، یا 79 . بررسی می کنیم:

79*56=4424

انجام شد، راه حل پیدا شد! اگر عدد مناسب نبود 79 ، گزینه دوم قطعا صحیح خواهد بود.

در خاتمه چند مورد را ارائه می کنیم نکات مفید، که به شما کمک می کند شمارش شفاهی را سریع یاد بگیرید:

• ورزش هر روز را فراموش نکنید؛
• اگر نتیجه به همان سرعتی که می خواهید به دست نیامد، تمرین را ترک نکنید.
• دانلود اپلیکیشن موبایلبرای شمارش شفاهی: بنابراین لازم نیست برای خودتان مثال بیاورید.
• کتاب های تکنیک های سریع شمارش ذهنی را بخوانید. تکنیک‌های مختلف شمارش ذهنی وجود دارد، و شما می‌توانید روشی را که برای شما بهتر جواب می‌دهد، بیاموزید.

مزایای محاسبات ذهنی غیرقابل انکار است. تمرین کنید و هر روز سریع‌تر و سریع‌تر می‌شمارید. و اگر برای حل وظایف پیچیده تر و چند سطحی به کمک نیاز دارید، برای کمک سریع و واجد شرایط با متخصصان خدمات دانشجویی تماس بگیرید!

یکی از دلایل اصلی نتایج ضعیف در ریاضیات در OGE یا USE عدم توانایی در شمارش است. بسیاری از دانش‌آموزان برای حل یک مثال حتی روی یک تکه کاغذ مشکل دارند، نه اینکه به یک محاسبه ذهنی سریع اشاره کنیم. اما اگر فرد از مهارت های ذهنی استفاده نکند، برخی از قسمت های مغز آتروفی می شوند. بنابراین، مهم است که توانایی های ذهنی را به طور کامل توسعه دهید.

مبنای رشد مهارت شمارش در ذهن

برخی از والدین معتقدند که لازم نیست به کودک آموزش دهیم که به سرعت مثال ها را در ذهن خود بشمارد: در آینده، این برای او مفید نخواهد بود، زیرا همیشه می توانید از یک ماشین حساب استفاده کنید. اما در عین حال فراموش می کنند که چنین آموزشی برای رشد مغز ضروری است: هر روش (روش) شمارش مطالعه شده یک زنجیره عصبی (اتصال) جدید است، هر چه این زنجیره ها بیشتر باشد دانش آموز باهوش تر است. بنابراین، مزیت اصلی مهارت شمارش سریع، رشد مغز، هوش است.

اگر درک ضعیفی از اعداد و اقدامات با آنها نداشته باشید، یادگیری نحوه کار با اعداد در ذهن شما غیرممکن است.

توانایی شمارش به تدریج از نمایش تصویری اعداد و اعمال با آنها به یک منطق انتزاعی توسعه می یابد:

1. ابتدا کودک با کمک قافیه ها، قافیه های مهد کودک، تمرین های عملی در حین راه رفتن، خوردن بازی ها (شمارش تعداد آیتم های روی میز، ماشین ها در گاراژ، پرندگان روی درخت)، شمارش رو به جلو و عقب را می آموزد. با اعداد آشنا می شود، معنی آنها را می آموزد، یاد می گیرد که عدد و کمیت را به هم مرتبط کند.
2. سپس او بر مفاهیم "بیشتر - کمتر"، "به طور مساوی" تسلط پیدا می کند، یاد می گیرد که تعداد اشیاء، اندازه ها را با هم مقایسه کند.
3. پس از آن با جمع و تفریق آشنا می شود، معنای این اعمال را می آموزد. همه مثال‌ها گویا هستند (کودک 2 سیب دیگر را به دو سیب منتقل می‌کند و شمارش می‌کند که چقدر به دست می‌آید).
4. او یاد می گیرد که اشیا را با چشمانش بشمارد، ابتدا اعمال و نتیجه کارها را با صدای بلند بیان می کند و سپس با زمزمه: اگر 2 ماشین دیگر به 4 ماشین اضافه کنید، 6 می شود.
5. تکرار مکرر اعمال منجر به این واقعیت می شود که کودک یاد می گیرد نمونه هایی را که قبلاً با آنها کار کرده است تشخیص دهد و نتیجه را با صدای بلند صدا کند و مرحله تلفظ را دور بزند.

در مرحله یادگیری، شمردن برای علاقه مند کردن کودک، حمایت از او در صورت شکست و شادی با او در پیروزی ها، حتی در موارد کوچک، مهم است. زمانی که، مهارت باید توسعه یابد و دانش آموز را با تکنیک ها و تکنیک های مختلف آشنا کند.

توسعه شمارش ذهنی

• بهبود توانایی کار با اعداد در ذهن شما.
• آشنایی با تکنیک ها و روش های جدید.
• آموزش مهارت انتخاب الگوریتم بهینهراه حل در هر مورد خاص

توانایی کار با اعداد

تمرینات به توسعه این مهارت کمک می کند:

• "نام اعدادی که در آنها ..." - نشان دهنده محدوده و شرایط است، به عنوان مثال "نام اعداد از 5 تا 50 که دارای عدد 3 هستند" یا "نام تمام اعداد دو رقمی که دارای عدد 0 هستند" است. هنگام انجام این تمرین، مهم است که بلافاصله تمام اشتباهات دانش آموز را بررسی کنید. اگر شماره ای را از دست داد یا نام اشتباهی را نام برد، از نو شروع می کند.
• "حفظ پیشرفت" (محدوده و عملیات حسابی به سن و رشد مهارت شمارش بستگی دارد). به عنوان مثال، «از 5 در گام های 3 بروید» یا «از 30 در گام های 4 به عقب بروید» برای کودکان دبستان. برای کسانی که قبلا جدول ضرب را یاد گرفته اند، می توانید وظایف ضرب و تقسیم را انجام دهید: "از 2 بروید، همه اعداد را در 3 ضرب کنید."
• "اعداد از 1 تا ... را بیابید" - کودکان باید تمام اعداد جدول را پیدا کنند و نام ببرند.
• "مقایسه اعداد" - کودکان تعیین می کنند که کدام یک از آنها بزرگتر است (کمتر)، چقدر.
• "مثال" - به دانش آموزان پیشنهاد می شود که مثال هایی را در ذهن خود حل کنند ، ابتدا ساده ترین آنها (با اعداد کم) ، پس از کار کردن اعداد به تدریج افزایش می یابد. اگر کودک نمی داند چگونه با اعداد تا 5 به طور کامل اقدامات را انجام دهد، نباید اعداد دو رقمی یا سه رقمی را به کودک معرفی کنید.

تکنیک هایی برای شمارش سریع اعداد

متأسفانه، به سادگی هیچ راه واحد - جهانی - وجود ندارد که به شما امکان می دهد تمام مثال ها را به سرعت یکسان حل کنید. بنابراین، مهم است که چندین روش را بشناسیم و بتوانیم آن را عملی کنیم و از بین آنها مناسب ترین را انتخاب کنیم.

الگوریتم های مفید برای حل چند مثال:

• برای کم کردن سریع از یک عدد 7، 8 یا 9، ابتدا باید 10 را کم کنید و سپس به ترتیب 3،2 یا 1 اضافه کنید. به عنوان مثال: 45-9=45-10+1=36 یا 36-8=36-10+2=28.
• همچنین می توانید به سرعت در 4، 8 و 16 ضرب کنید. برای این کار ابتدا باید به یاد داشته باشید که 4=2*2، 8=2*2*2، 16=2*2*2*2. سپس به سادگی عدد را در 2 ضرب کنید: 6*16=6*2*2*2*2=96.
• برای ضرب یک عدد در 9 ابتدا آن را 10 برابر می کنیم و سپس ضریب اول را از عدد دریافتی کم می کنیم: 27*9=27*10-27=243. این تکنیک به شما این امکان را می دهد که اگر از ماشین حساب استفاده نکنید، خیلی سریع نتیجه ضرب در 9 را پیدا کنید.
• اعداد غیر گرد وقتی در 2 ضرب می شوند راحت تر گرد می شوند و سپس حاصل ضرب عدد باقیمانده یا گمشده را در 2 کم یا اضافه می کنند (بسته به اینکه به کدام سمت گرد می شوند): 132*2=130*2+2*2= 264 یا 138* 2=140*2-2*2=276.
• به همین ترتیب اعداد بر 2 تقسیم می شوند: 156/2=150/2+6/2=78 یا 156/2=160/2-4/2=78.
• برای ضرب در 5، عدد بر 2 تقسیم می شود و سپس 10 برابر افزایش می یابد (اعمال را می توان برعکس انجام داد): 27*5=27/2*10 یا 27*10/2=135.
• اقدامات مشابهی هنگام ضرب در 25 انجام می شود: ابتدا آنها بر 4 تقسیم می شوند و سپس 100 برابر می شوند (دو صفر به سادگی نسبت داده می شوند): 16*25=16/4*100=400. البته استفاده از این روش زمانی راحت تر است که اولین عامل بدون باقیمانده بر 4 بخش پذیر باشد یا خیر. دو رقم آخر آن باید بر 4 بخش پذیر باشد. برای مثال، عدد 124 بر 4 بخش پذیر است (6=24/4)، در حالی که 526 این گونه نیست (26 بدون باقی مانده بر 4 بخش پذیر نیست).

و یک روش دیگر برای ضرب در یک عدد چند رقمی در یک عدد تک رقمی - باید شرایط بیت را در فاکتور دوم ضرب کنید و نتایج را اضافه کنید. مثلاً 424*5=400*5+20*5+4*5=2000+100+20=2120.

برای اینکه در محاسبات اشتباه نکنید، مهم است که بتوانید نتیجه آینده را پیش بینی کنید و چندین عبارت در اینجا کمک خواهد کرد:

• هنگام ضرب تک رقمی، نتیجه از 81 تجاوز نمی کند: 9*9=81.
• به همین ترتیب 99*99 = 9801 پس حاصل ضرب اعداد دو رقمی نباید بیشتر از این عدد باشد و هنگام ضرب اعداد سه رقمی حداکثر عدد 998001 می باشد.

تمرین شمارش ذهنی

الگوریتم های فوق مبنای توسعه مهارت شمارش شفاهی هستند. یادگیری شمارش نمونه های پیچیده تنها با آموزش منظم امکان پذیر است و استفاده از مهارت را به خودکارسازی می رساند.

اثربخشی کار در این جهت می تواند افزایش یابد اگر در طول کلاس ها:

1. یک موقعیت بازی ایجاد کنید که روند آموزشی معمولی را به یک فرآیند جالب و غیرعادی تبدیل می کند.
2. کودک را درگیر نگه دارید مطالب جالبتغییر مداوم فعالیت
3. ایجاد روحیه رقابتی - درک اینکه کسی می تواند بهتر انجام دهد باعث می شود که برای دستاوردهای جدید تلاش کنید ، چنین کلاس هایی مؤثرتر از به خاطر سپردن "به تنهایی" خواهند بود.
4. ثبت دستاوردهای شخصی اهداف جدیدی را برای رسیدن به ارتفاعات جدید تعیین کنید.

توانایی تمرکز بر حل یک مشکل در هر موقعیتی (حتی زمانی که دیگران دخالت می کنند) نیز به توسعه مهارت های شمارش کمک می کند (و نه تنها). می توانید این توانایی را با حل مثال هایی با موسیقی روشن یا حضور در یک شرکت پر سر و صدا آموزش دهید.

برای اینکه کودک خسته نشود، مهم است که یاد بگیرید چگونه با این احساس کنار بیایید. روانشناسان توصیه می کنند برای این کار از هر اقدامی استفاده کنید: به عنوان مثال، آنچه را که در خارج از پنجره اتفاق می افتد در نظر بگیرید یا حرکت عقربه های ساعت را تماشا کنید. اگر کودک یاد بگیرد که با بی حوصلگی کنار بیاید، انرژی خود را در جهت درست هدایت کند، سپس در درس ها می تواند اطلاعات بیشتری را بیاموزد که بر عملکرد تحصیلی او تأثیر مثبت خواهد گذاشت. .

مهم نیست که چقدر شرمنده بودم، اما در 30 سالگی متوجه شدم که در شمارش اعداد ابتدایی در ذهنم بسیار بد هستم و زمان زیادی را برای آن تلف می کنم. تصمیم گرفتم این نقص را اصلاح کنم و ابزارهایی را در اینترنت پیدا کردم که به من کمک کرد یاد بگیرم چگونه در ذهنم بشمارم.

در محاسبات، الگوهای کلیدی وجود دارد که باید به سمت خودکارسازی آورده شوند.

تفریق 7،8،9برای تفریق 9 از هر عددی، باید 10 را از آن کم کنید و 1 را اضافه کنید. برای تفریق 8 از هر عددی، باید 10 را از آن کم کنید و 2 را اضافه کنید. برای تفریق 7 از هر عددی، باید 10 را از آن کم کنید. و 3 را اضافه کنید. اگر معمولاً اگر متفاوت فکر می کنید، برای بهترین نتیجه باید به این روش جدید عادت کنید.

ضرب در 9.می توانید هر عددی را به سرعت در 9 ضرب کنید: ابتدا این عدد را در 10 ضرب کنید (فقط 0 را در آخر اضافه کنید) و سپس خود عدد را از نتیجه کم کنید. برای مثال 89*9=890-89=801. این عملیات باید به صورت خودکار انجام شود.

ضرب در 2.برای شمارش ذهنی، بسیار مهم است که بتوانیم هر عددی را به سرعت در 2 ضرب کنیم. برای ضرب اعداد غیر گرد در 2، سعی کنید آنها را به نزدیکترین عددهای راحت تر گرد کنید. بنابراین اگر ابتدا 140*2 را ضرب کنید (140*2=280) محاسبه 139*2 آسانتر است. و سپس 1*2=2 را کم کنید (دقیقاً 1 باید به 139 اضافه شود تا 140 بدست آید) مجموع: 140*2-1*2=278

تقسیم بر 2برای شمارش ذهنی، همچنین مهم است که بتوانیم هر عددی را به سرعت بر 2 تقسیم کنیم. علیرغم این واقعیت که بسیاری از افراد ضرب و تقسیم بر 2 را کاملاً ساده می دانند، در موارد دشوار نیز سعی می کنند اعداد را گرد کنند. به عنوان مثال برای تقسیم 198 بر 2 ابتدا باید 200 (این 198 + 2 است) را بر 2 تقسیم کنید و 1 را کم کنید (از تقسیم 2 بر 2 جمع شده 1 بدست می آوریم) مجموع: 198/2=200/2-2/ 2=100- 1=99.

تقسیم و ضرب در 4 و 8.تقسیم (یا ضرب) بر 4 و 8، 2 یا 3 تقسیم (یا ضرب) در 2 هستند. انجام این عملیات به صورت متوالی راحت است. برای مثال 46*4=46*2*2=922*2=184

ضرب در 5.ضرب در 5 بسیار آسان است. ضرب در 5 و تقسیم بر 2 اساساً یکسان است. بنابراین 88*5=440 و 88/2=44، بنابراین همیشه یک عدد را با تقسیم بر 2 و ضرب آن در 10 در 5 ضرب کنید.

ضرب در یک رقم.برای شمردن سریع در ذهن، مفید است که بتوانید اعداد دو رقمی و سه رقمی را در اعداد یک رقمی ضرب کنید. برای این کار باید یک عدد دو یا سه رقمی را بیت به بیت ضرب کنید. مثلاً 83*7 را ضرب کنیم. برای این کار ابتدا 8 را در 7 ضرب کنید (و 0 را جمع کنید زیرا 8 محل ده ها است) و حاصل ضرب 3 و 7 را به این عدد اضافه کنید.به این ترتیب 83*7=80*7+3*7=560+21 =581. بیایید بیشتر بگیریم مثال پیچیده 236*3. بنابراین، یک عدد مختلط را در 3 بیت در رقم ضرب می کنیم: 200*3+30*3+6*3=600+90+18=708.

تعریف محدوده هابرای اینکه در الگوریتم ها گیج نشوید و به اشتباه پاسخی کاملاً اشتباه بدهید، مهم است که بتوانیم محدوده تقریبی از پاسخ ها را بسازیم. بنابراین ضرب اعداد تک رقمی در یکدیگر می تواند نتیجه ای بیش از 90 (9 * 9 = 81) نداشته باشد، اعداد دو رقمی - بیش از 10000 (99 * 99 = 9801)، اعداد سه رقمی - بیش از 1,000,000 (999 * 999 \u003d 998001)

تقسیم 1000 بر 2،4،8،16 و در نهایت دانستن تقسیم اعداد مضرب 10 بر اعدادی که مضرب دو هستند مفید است: 100=2*500=4*250=8*125= 16*62.5