استوانه یک شکل فضایی متقارن است که ویژگی های آن در مقاطع ارشد مدرسه در درس هندسه جامد در نظر گرفته می شود. برای توصیف آن، از ویژگی های خطی مانند ارتفاع و شعاع پایه استفاده می شود. در این مقاله سوالاتی در مورد مقطع محوری سیلندر و نحوه محاسبه پارامترهای آن از طریق مشخصه های خطی اصلی شکل بررسی خواهیم کرد.

شکل هندسی

ابتدا بیایید شکلی را که در مقاله مورد بحث قرار خواهد گرفت را تعریف کنیم. استوانه سطحی است که از جابجایی موازی قطعه ای با طول ثابت در امتداد یک منحنی خاص تشکیل می شود. شرط اصلی این حرکت این است که قطعه صفحه منحنی متعلق نباشد.

شکل زیر استوانه ای را نشان می دهد که منحنی (راهنما) آن بیضی است.

در اینجا قطعه ای به طول h ژنراتیکس و ارتفاع آن است.

می توان دید که سیلندر از دو تشکیل شده است همان پایه ها(بیضی ها در این مورد)، که در صفحات موازی قرار دارند، و سطح جانبی. دومی متعلق به تمام نقاط خطوط تولید است.

قبل از پرداختن به بخش محوری سیلندرها، به شما خواهیم گفت که این ارقام چه نوع هستند.

اگر خط تولید عمود بر پایه های شکل باشد، آنها از یک استوانه مستقیم صحبت می کنند. در غیر این صورت، سیلندر شیب دار خواهد بود. اگر نقاط مرکزی دو پایه را به هم وصل کنید، خط مستقیم حاصل را محور شکل می نامند. شکل زیر تفاوت سیلندرهای مستقیم و شیبدار را نشان می دهد.

مشاهده می شود که برای یک شکل مستقیم، طول قطعه تولید کننده با مقدار ارتفاع h منطبق است. برای یک استوانه شیبدار، ارتفاع، یعنی فاصله بین پایه ها، همیشه است کمتر از طولتشکیل خط

بخش محوری یک استوانه مستقیم

مقطع محوری به هر قسمتی از سیلندر گفته می شود که محور آن را در بر می گیرد. این تعریف به این معنی است که بخش محوری همیشه موازی ژنراتیکس خواهد بود.

در یک استوانه مستقیم، محور از مرکز دایره عبور می کند و بر صفحه آن عمود است. این بدان معنی است که دایره مورد نظر در امتداد قطر خود قطع می کند. شکل نیمی از استوانه را نشان می دهد که در نتیجه تلاقی شکل با صفحه ای که از محور می گذرد به دست آمده است.

درک اینکه بخش محوری استوانه دایره ای راست مستطیل است دشوار نیست. اضلاع آن به قطر d پایه و ارتفاع h شکل است.

ما فرمول هایی را برای مساحت بخش محوری استوانه و طول h d قطر آن می نویسیم:

یک مستطیل دارای دو قطر است، اما هر دوی آنها با یکدیگر برابر هستند. اگر شعاع پایه مشخص باشد، با توجه به اینکه نصف قطر آن است، بازنویسی این فرمول ها از طریق آن دشوار نیست.

بخش محوری یک استوانه شیبدار

تصویر بالا یک استوانه شیبدار از کاغذ را نشان می دهد. اگر بخش محوری آن را انجام دهید، دیگر مستطیل نخواهید داشت، بلکه متوازی الاضلاع خواهید بود. اضلاع آن مقادیر شناخته شده است. یکی از آنها، مانند قسمتی از یک استوانه مستقیم، برابر با قطر d پایه است، در حالی که دیگری طول قطعه مولد است. بیایید آن را ب نشان دهیم.

برای تعیین بدون ابهام پارامترهای متوازی الاضلاع، دانستن طول ضلع آن کافی نیست. ما همچنین به یک زاویه بین آنها نیاز داریم. فرض کنید زاویه تند بین راهنما و پایه α باشد. همچنین زاویه بین اضلاع متوازی الاضلاع خواهد بود. سپس فرمول مساحت بخش محوری استوانه شیبدار را می توان به صورت زیر نوشت:

محاسبه قطرهای بخش محوری یک استوانه شیبدار تا حدودی دشوارتر است. متوازی الاضلاع دارای دو قطر با طول های مختلف است. ما عباراتی را بدون مشتق ارائه می دهیم که به ما امکان می دهد قطرهای متوازی الاضلاع را بر اساس آن محاسبه کنیم احزاب شناخته شدهو گوشه ی تیزبین آنها:

l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));

l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))

در اینجا l 1 و l 2 به ترتیب طول قطرهای کوچک و بزرگ هستند. این فرمول ها را می توان به طور مستقل به دست آورد اگر هر قطری را با معرفی یک سیستم مختصات مستطیلی بر روی صفحه در نظر بگیریم.

مشکل سیلندر مستقیم

نحوه استفاده از دانش به دست آمده را برای حل مسئله زیر نشان خواهیم داد. اجازه دهید یک استوانه راست گرد داده شود. مشخص است که بخش محوری یک استوانه مربع است. اگر کل شکل 100 سانتی متر مربع باشد مساحت این بخش چقدر است؟

برای محاسبه مساحت مورد نظر، باید شعاع یا قطر پایه سیلندر را پیدا کنید. برای این کار از فرمول کل مساحت S f شکل استفاده می کنیم:

از آنجایی که مقطع محوری مربع است، به این معنی است که شعاع r پایه نصف ارتفاع h است. با توجه به این، می توانیم تساوی فوق را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2

حالا می توانیم شعاع r را بیان کنیم، داریم:

از آنجایی که ضلع یک مقطع مربع برابر با قطر قاعده شکل است، فرمول زیر برای محاسبه مساحت آن S معتبر خواهد بود:

S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)

می بینیم که مساحت مورد نیاز به طور منحصر به فرد توسط سطح استوانه تعیین می شود. با جایگزینی داده ها به برابری، به پاسخ می رسیم: S = 21.23 cm 2.

مساحت سطح جانبی یک استوانه برابر است با مساحت مستطیلی که قاعده آن 2π است. r، و ارتفاع برابر با ارتفاع استوانه است ساعت، یعنی 2π rh.

سطح کل سیلندر خواهد بود: 2π r 2+2π rh= 2π r(r+ ساعت).

مساحت سطح جانبی سیلندر گرفته می شود منطقه رفت و برگشتسطح جانبی آن

بنابراین، مساحت سطح جانبی استوانه دایره ای راست برابر با مساحت مستطیل مربوطه است (شکل) و با فرمول محاسبه می شود.

سال قبل از میلاد مسیح = 2πRH، (1)

اگر مساحت دو پایه آن را به مساحت سطح جانبی استوانه اضافه کنیم، مساحت آن به دست می آید. سطح کاملسیلندر

اس پر \u003d 2πRH + 2πR 2 \u003d 2πR (H + R).

حجم سیلندر مستقیم

که در آن Q مساحت پایه و H ارتفاع استوانه است.

از آنجایی که مساحت پایه استوانه Q است، دنباله هایی از چند ضلعی های محصور و محاطی با مساحت Q وجود دارد. nو س' nبه طوری که

\(\lim_(n \راست فلش \infty)\) Q n= \(\lim_(n \پیکان راست \infty)\) Q' n= س.

اجازه دهید دنباله‌هایی از منشورها بسازیم که پایه‌های آن‌ها چندضلعی‌های توصیف‌شده و محاط شده در بالا هستند، و لبه‌های جانبی آن‌ها موازی با ژنراتیکس استوانه داده‌شده و دارای طول H هستند. حجم آنها با فرمول ها پیدا می شود

V n= س n H و V' n= Q' nاچ.

در نتیجه،

V= \(\lim_(n \راست فلش \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \پیکان راست \infty)\) Q' n H = QH.

نتیجه.
حجم یک استوانه دایره ای راست با فرمول محاسبه می شود

V = π R 2 H

که در آن R شعاع پایه و H ارتفاع استوانه است.

از آنجایی که پایه یک استوانه دایره ای دایره ای به شعاع R است، پس Q \u003d π R 2، و بنابراین

نام علم "هندسه" به عنوان "اندازه گیری زمین" ترجمه شده است. با تلاش اولین نقشه برداران زمین باستانی متولد شد. و این چنین اتفاق افتاد: در هنگام سیلاب های نیل مقدس، نهرهای آب گاهی اوقات مرزهای زمین های کشاورزان را می شستند و ممکن بود مرزهای جدید با مرزهای قدیمی منطبق نباشد. مالیات‌هایی که دهقانان به نسبت مقدار زمین به خزانه فرعون می‌پرداختند. پس از نشت، افراد خاصی به اندازه گیری مساحت زمین های زراعی در محدوده جدید مشغول شدند. در نتیجه فعالیت آنها بود که علم جدیدی پدید آمد که در آن توسعه یافت یونان باستان. در آنجا او نام را دریافت کرد و عملاً به دست آورد ظاهر مدرن. در آینده این اصطلاح به نام بین المللی علم تخت و ارقام حجمیاوه

پلان سنجی شاخه ای از هندسه است که به مطالعه شکل های صفحه می پردازد. یکی دیگر از شاخه های علم، استریومتری است که ویژگی های شکل های فضایی (حجمی) را در نظر می گیرد. سیلندر شرح داده شده در این مقاله نیز متعلق به چنین ارقامی است.

نمونه هایی از وجود اجسام استوانه ای در زندگی روزمرهکافی. تقریباً تمام قسمت های چرخش - شفت ها، بوش ها، گردن ها، محورها و غیره شکل استوانه ای (بسیار کمتر - مخروطی) دارند. سیلندر به طور گسترده ای در ساخت و ساز استفاده می شود: برج ها، پشتیبانی، ستون های تزئینی. و علاوه بر این، ظروف، برخی از انواع بسته بندی، لوله های با قطرهای مختلف. و در نهایت - کلاه های معروف، که برای مدت طولانی به نمادی از ظرافت مردانه تبدیل شده اند. لیست بی پایان است.

تعریف استوانه به عنوان یک شکل هندسی

استوانه (استوانه دایره ای) معمولاً به شکلی گفته می شود که از دو دایره تشکیل شده است که در صورت تمایل با استفاده از ترجمه موازی با یکدیگر ترکیب می شوند. این دایره ها هستند که پایه های استوانه هستند. اما خطوط (قطعه های مستقیم) که نقاط مربوطه را به هم وصل می کنند "مولد" نامیده می شوند.

مهم این است که پایه های استوانه همیشه با هم برابر باشند (اگر این شرط برآورده نشد، در این صورت یک مخروط کوتاه در مقابل خود داریم، چیزی دیگر، اما یک استوانه نیست) و در صفحات موازی قرار گیرند. قطعاتی که نقاط مربوطه را روی دایره ها به هم وصل می کنند موازی و مساوی هستند.

مجموع یک مجموعه نامتناهی از ژنراتورها چیزی نیست جز سطح جانبی یک استوانه - یکی از عناصر یک شکل هندسی معین. جزء مهم دیگر آن حلقه هایی است که در بالا مورد بحث قرار گرفت. به آنها پایگاه می گویند.

انواع سیلندر

ساده ترین و رایج ترین نوع سیلندر دایره ای است. توسط دو دایره منظم که به عنوان پایه عمل می کنند تشکیل شده است. اما به جای آنها ممکن است ارقام دیگری وجود داشته باشد.

پایه های استوانه ها می توانند (به جز دایره ها) بیضی ها و سایر شکل های بسته را تشکیل دهند. اما ممکن است استوانه لزوماً شکل بسته نداشته باشد. به عنوان مثال، پایه یک استوانه می تواند یک سهمی، یک هذلولی و دیگری باشد عملکرد باز. چنین سیلندر باز یا مستقر خواهد شد.

با توجه به زاویه شیب ژنراتیک ها به پایه ها، استوانه ها می توانند مستقیم یا مایل باشند. برای یک سیلندر سمت راست، ژنراتورها کاملاً عمود بر صفحه پایه هستند. اگر این زاویه با 90 درجه متفاوت باشد، سیلندر متمایل است.

چه سطحی از انقلاب است

استوانه دایره ای راست بدون شک رایج ترین سطح چرخشی است که در مهندسی استفاده می شود. گاهی بر اساس نشانه های فنی از سطوح مخروطی، کروی و برخی دیگر از سطوح استفاده می شود، اما 99 درصد از کل شفت ها، محورها و غیره دوار استفاده می شود. به شکل سیلندر ساخته شده است. برای درک بهتر اینکه سطح انقلاب چیست، می‌توان نحوه تشکیل خود سیلندر را در نظر گرفت.

فرض کنید یک خط وجود دارد آبه صورت عمودی قرار داده شده است. ABCD مستطیلی است که یکی از اضلاع آن (قطعه AB) روی یک خط مستقیم قرار دارد. آ. اگر یک مستطیل را به دور یک خط مستقیم بچرخانیم، همانطور که در شکل نشان داده شده است، حجمی که در هنگام چرخش اشغال می کند، بدنه چرخشی ما خواهد بود - یک استوانه دایره ای راست با ارتفاع H = AB = DC و شعاع R = AD = قبل از میلاد.

در این حالت، در نتیجه چرخش شکل - یک مستطیل - یک استوانه به دست می آید. با چرخش یک مثلث، می توانید یک مخروط، چرخش یک نیم دایره - یک توپ و غیره دریافت کنید.

مساحت سطح سیلندر

برای محاسبه مساحت یک استوانه دایره ای مستقیم معمولی، باید مساحت پایه ها و سطح جانبی را محاسبه کرد.

ابتدا بیایید نحوه محاسبه سطح جانبی را بررسی کنیم. این حاصل ضرب دور و ارتفاع سیلندر است. محیط به نوبه خود برابر است با دو برابر حاصل ضرب عدد جهانی پبه شعاع دایره

مساحت دایره برابر با حاصلضرب شناخته می شود پبه مربع شعاع بنابراین با افزودن فرمول های مساحت تعیین سطح جانبی با دو برابر عبارت برای مساحت قاعده (دو عدد از آنها وجود دارد) و تبدیل های جبری ساده، عبارت نهایی را برای تعیین سطح به دست می آوریم. مساحت سطح سیلندر.

تعیین حجم یک شکل

حجم یک سیلندر با طرح استاندارد تعیین می شود: سطح پایه در ارتفاع ضرب می شود.

بنابراین، فرمول نهایی به این صورت است: مطلوب به عنوان حاصل ضرب ارتفاع بدن با عدد جهانی تعریف می شود. پو مربع شعاع پایه.

فرمول حاصل، باید گفت، برای حل غیرمنتظره ترین مسائل قابل استفاده است. مانند حجم یک سیلندر، برای مثال، حجم سیم کشی الکتریکی تعیین می شود. این ممکن است برای محاسبه جرم سیم ها ضروری باشد.

تنها تفاوت در فرمول این است که به جای شعاع یک استوانه، قطر هسته سیم‌کشی به دو تقسیم شده و تعداد هسته‌های سیم در عبارت ظاهر می‌شود. ن. همچنین از طول سیم به جای ارتفاع استفاده می شود. بنابراین، حجم "سیلندر" نه با یک، بلکه با تعداد سیم های موجود در قیطان محاسبه می شود.

چنین محاسباتی اغلب در عمل مورد نیاز است. پس از همه، بخش قابل توجهی از مخازن آب به شکل یک لوله ساخته شده است. و اغلب لازم است حجم یک سیلندر حتی در خانه محاسبه شود.

با این حال، همانطور که قبلا ذکر شد، شکل سیلندر می تواند متفاوت باشد. و در برخی موارد لازم است محاسبه شود که حجم سیلندر شیبدار برابر است.

تفاوت این است که مساحت سطح پایه نه با طول ژنراتیکس، مانند یک استوانه مستقیم، بلکه با فاصله بین صفحات - یک بخش عمود بر ساخته شده بین آنها ضرب می شود.

همانطور که از شکل مشخص است، چنین قطعه ای برابر است با حاصلضرب طول ژنراتیکس توسط سینوس زاویه شیب ژنراتیکس به صفحه.

نحوه ساخت یک جاروی سیلندر

در برخی موارد، لازم است که یک سیلندر را برش دهید. شکل زیر قوانینی را نشان می دهد که بر اساس آن یک بلنک برای ساخت یک سیلندر با ارتفاع و قطر معین ساخته می شود.

لطفا توجه داشته باشید که شکل بدون درز نشان داده شده است.

تفاوت سیلندر اریب

اجازه دهید یک استوانه مستقیم را تصور کنیم که از یک طرف با صفحه ای عمود بر ژنراتورها محدود شده است. اما صفحه ای که از طرف دیگر استوانه را محدود می کند، عمود بر ژنراتورها نیست و موازی با صفحه اول نیست.

شکل یک استوانه اریب را نشان می دهد. سطح آدر زاویه ای غیر از 90 درجه نسبت به ژنراتورها، شکل را قطع می کند.

این شکل هندسی در عمل بیشتر به صورت اتصالات خط لوله (زانویی) رایج است. اما حتی ساختمان هایی وجود دارد که به شکل استوانه ای اریب ساخته شده اند.

مشخصات هندسی استوانه اریب

شیب یکی از صفحات استوانه اریب کمی ترتیب محاسبه مساحت سطح چنین شکل و حجم آن را تغییر می دهد.

مساحت قسمت محوری عمود بر پایه های استوانه را پیدا کنید. یکی از اضلاع این مستطیل برابر با ارتفاع استوانه و دیگری برابر با قطر دایره پایه است. بر این اساس سطح مقطع در این حالت برابر حاصلضرب اضلاع مستطیل خواهد بود. S=2R*h، که در آن S سطح مقطع، R شعاع دایره پایه است که با شرایط مسئله، و h ارتفاع استوانه است، همچنین با شرایط مسئله به دست می‌آید.

اگر مقطع عمود بر پایه ها باشد، اما از محور چرخش عبور نکند، مستطیل با قطر دایره برابر نخواهد شد. نیاز به محاسبه دارد. برای انجام این کار، وظیفه باید بگوید که صفحه مقطع از چه فاصله ای از محور چرخش عبور می کند. برای راحتی محاسبات، یک دایره از پایه استوانه بسازید، یک شعاع بکشید و فاصله ای که بخش از مرکز دایره در آن قرار دارد را روی آن کنار بگذارید. از این نقطه به سمت عمودها بکشید تا با دایره تلاقی کنند. نقاط تقاطع را به مرکز وصل کنید. باید آکوردها را پیدا کنید. اندازه نصف وتر را با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا کنید. برابر خواهد شد ریشه دوماز اختلاف مربع های شعاع دایره از مرکز تا خط مقطع. a2=R2-b2. کل وتر به ترتیب برابر با 2a خواهد بود. سطح مقطع را که برابر حاصلضرب اضلاع مستطیل است، یعنی S=2a*h محاسبه کنید.

استوانه را می توان بدون عبور از صفحه پایه جدا کرد. اگر مقطع عمود بر محور چرخش باشد، دایره خواهد بود. مساحت آن در این مورد برابر است با مساحت پایه ها، یعنی با فرمول S \u003d πR2 محاسبه می شود.

توصیه مفید

برای تصور دقیق تر بخش، یک نقشه و ساختارهای اضافی برای آن ایجاد کنید.

منابع:

• سطح مقطع سیلندر

خط تقاطع یک سطح با یک صفحه هم به سطح و هم به صفحه سکونت تعلق دارد. خط تقاطع یک سطح استوانه ای با یک صفحه سکونت موازی با ژنراتیکس مستقیم یک خط مستقیم است. اگر صفحه برش عمود بر محور سطح چرخش باشد، مقطع دایره ای خواهد داشت. AT مورد کلیخط تقاطع یک سطح استوانه ای با یک صفحه برش یک خط منحنی است.

شما نیاز خواهید داشت

• مداد، خط کش، مثلث، الگوها، قطب نما، ابزار اندازه گیری.

دستورالعمل

در صفحه برآمدگی جلویی P2، خط مقطع با برجستگی صفحه سکونت Σ2 به شکل یک خط مستقیم منطبق است.
نقاط تقاطع ژنراتیکس استوانه را با برآمدگی Σ2 12، 22 و غیره مشخص کنید. به نقاط 10₂ و 11₂.

در صفحه P1 یک دایره است. نقاط 12، 22 مشخص شده در صفحه مقطع Σ2 و غیره. با کمک یک خط طرح، اتصالات بر روی طرح کلی این دایره پیش بینی می شود. برآمدگی های افقی آنها را به طور متقارن حول محور افقی دایره مشخص کنید.

بنابراین، پیش بینی های بخش مورد نظر تعریف می شود: در صفحه P2 - یک خط مستقیم (نقاط 12، 22 ... 102). در هواپیما P1 - یک دایره (نقاط 11، 21 ... 101).

با دو، اندازه طبیعی بخش از استوانه داده شده را با صفحه جلوتابی Σ بسازید. برای این کار از روش پیش بینی استفاده کنید.

صفحه P4 را موازی با برآمدگی صفحه Σ2 رسم کنید. در این محور جدید x24، نقطه 1 را علامت بزنید. فاصله بین نقاط 12 - 22، 22 - 42، و غیره. از قسمت جلویی قسمت، روی محور x24 کنار بگذارید، خطوط نازکی از اتصال برجستگی را عمود بر محور x24 بکشید.

در این روش، صفحه P4 با صفحه P1 جایگزین می شود، بنابراین، از برجستگی افقی، ابعاد را از محور به نقاط به محور صفحه P4 منتقل کنید.

به عنوان مثال، در P1 برای نقاط 2 و 3، این فاصله از 21 و 31 تا محور (نقطه A) و غیره خواهد بود.

با به تعویق انداختن فواصل مشخص شده از طرح افقی، نقاط 2₀، 3₀، 60، 70، 10₀، 110 را دریافت خواهید کرد. سپس برای دقت بیشتر در ساخت، نقاط باقیمانده و میانی تعیین می شوند.

با اتصال تمام نقاط با یک منحنی منحنی، اندازه طبیعی مورد نظر سطح مقطع استوانه را توسط صفحه نمایش جلویی به دست خواهید آورد.

منابع:

• نحوه تعویض هواپیما

نکته 3: نحوه یافتن ناحیه بخش محوری مخروط کوتاه شده

برای حل این مشکل، باید به یاد داشته باشید که مخروط کوتاه شده چیست و چه ویژگی هایی دارد. حتما بکشید. این مشخص می کند که کدام شکل هندسییک بخش است. کاملاً ممکن است که پس از این، حل مشکل دیگر برای شما دشوار نباشد.

دستورالعمل

مخروط گرد جسمی است که از چرخاندن مثلثی به دور یکی از پایه های آن به دست می آید. خطوط مستقیم از بالا می آیند مخروط هاو متقاطع پایه آن را ژنراتور می نامند. اگر همه ژنراتورها برابر باشند، مخروط صاف است. در پایه دور مخروط هایک دایره قرار دارد عمودی که از بالا به پایه کاهش می یابد، ارتفاع است مخروط ها. در دور مستقیم مخروط هاارتفاع با محور آن منطبق است. محور یک خط مستقیم است که به مرکز پایه متصل می شود. اگر صفحه برش افقی دایره مخروط ها، سپس پایه بالایی آن دایره ای است.

از آنجایی که در شرط مسئله مشخص نشده است که مخروط است که در این مورد داده شده است، می توان نتیجه گرفت که این یک مخروط بریده مستقیم است که مقطع افقی آن موازی با پایه است. بخش محوری آن، یعنی. صفحه عمودی، که از طریق محور یک دایره مخروط ها، ذوزنقه ای متساوی الساقین است. تمام محوری بخش هاگرد مستقیم مخروط هابا یکدیگر برابر هستند. بنابراین، برای پیدا کردن مربعمحوری بخش ها، یافتن آن الزامی است مربعذوزنقه ای که قاعده های آن به قطر پایه های بریده می باشد مخروط ها، و طرفین مولد آن هستند. ارتفاع کوتاه شده مخروط هاهمچنین ارتفاع ذوزنقه است.

مساحت ذوزنقه با فرمول تعیین می شود: S = ½(a+b) h، که در آن S است. مربعذوزنقه ؛ a - مقدار پایه پایینذوزنقه ؛ ب - ارزش آن پایه بالایی h ارتفاع ذوزنقه است.

از آنجایی که شرط مشخص نمی کند که کدام یک داده شده است، ممکن است قطر هر دو پایه کوتاه شده مخروط هاشناخته شده: AD = d1 قطر پایه پایینی بریده شده است مخروط ها;BC = d2 قطر قاعده بالایی آن است. EH = h1 - ارتفاع مخروط ها.به این ترتیب، مربعمحوری بخش هاکوتاه شده مخروط هاتعریف شده: S1 = ½ (d1+d2) h1

منابع:

• ناحیه مخروط کوتاه شده

استوانه یک شکل سه بعدی است و از دو پایه مساوی که دایره ای هستند و یک سطح جانبی خطوط اتصال دهنده پایه ها را تشکیل می دهد. برای محاسبه مربع سیلندر، مساحت تمام سطوح آن را بیابید و آنها را جمع کنید.

استریومتری شاخه ای از هندسه است که به بررسی اشکال در فضا می پردازد. چهره های اصلی در فضا یک نقطه، یک خط و یک صفحه هستند. در استریومتری ظاهر می شود نوع جدید موقعیت نسبیخطوط مستقیم: خطوط مستقیم متقاطع. این یکی از معدود تفاوت های قابل توجه بین هندسه جامد و پلان سنجی است، زیرا در بسیاری از موارد مسائل استریومتری با در نظر گرفتن سطوح مختلف که در آن قوانین پلان سنجی رعایت می شوند، حل می شوند.

در طبیعت اطراف ما اجسام زیادی وجود دارند که مدل های فیزیکی این شکل هستند. به عنوان مثال، بسیاری از قطعات ماشین ها به صورت استوانه یا ترکیبی از آنها هستند و ستون های باشکوه معابد و کلیساهای جامع که به شکل استوانه ساخته شده اند، بر هماهنگی و زیبایی آنها تأکید می کنند.

یونانی - کیولیندروس. اصطلاح باستانی در زندگی روزمره - یک طومار پاپیروس، یک غلتک، یک پیست اسکیت (فعل - پیچ و تاب، رول).

در اقلیدس با چرخاندن مستطیل یک استوانه به دست می آید. برای کاوالیری - با حرکت ژنراتیکس (با یک راهنمای دلخواه - "سیلندر").

هدف این مقاله در نظر گرفتن یک جسم هندسی - یک استوانه است.

برای دستیابی به این هدف، وظایف زیر باید در نظر گرفته شود:

- تعاریفی از سیلندر ارائه دهید.

- عناصر سیلندر را در نظر بگیرید.

- بررسی خواص سیلندر؛

- انواع مقطع سیلندر را در نظر بگیرید.

- فرمول مساحت یک استوانه را استخراج کنید.

- فرمول حجم یک استوانه را استخراج کنید.

- حل مسائل با استفاده از یک استوانه.

1.1. تعریف سیلندر

یک خط (منحنی، خط شکسته یا خط مختلط) l را در برخی از صفحه α و مقداری خط مستقیم S را در نظر بگیرید که این صفحه را قطع می کنند. در تمام نقاط خط داده شده l خطوطی موازی با خط S رسم می کنیم. سطح α تشکیل شده توسط این خطوط مستقیم، سطح استوانه ای نامیده می شود. خط l را راهنمای این سطح می گویند، خطوط s 1 , s 2 , s 3 ,... مولد آن هستند.

اگر راهنما یک خط شکسته باشد، چنین سطح استوانه ای شامل یک سری نوارهای مسطح است که بین جفت خطوط موازی محصور شده است و سطح منشوری نامیده می شود. ژنراتیک هایی که از رئوس چند خط هدایت کننده عبور می کنند، لبه های سطح منشوری نامیده می شوند، نوارهای صاف بین آنها وجه های آن نامیده می شوند.

اگر هر سطح استوانه ای را با یک صفحه دلخواه که با ژنراتورهای آن موازی نیست برش دهیم، خطی به دست می آید که می تواند به عنوان راهنما برای این سطح نیز در نظر گرفته شود. در بین راهنماها یکی برجسته است که از مقطع سطح توسط صفحه ای عمود بر ژنراتورهای سطح به دست می آید. چنین قسمتی را بخش عادی و راهنمای مربوطه را راهنمای عادی می نامند.

اگر راهنما یک خط بسته (محدب) (خط یا منحنی شکسته) باشد، سطح مربوطه را یک سطح بسته (محدب) منشوری یا استوانه ای می نامند. از میان سطوح استوانه ای، ساده ترین آنها دایره راهنمای معمولی خود را دارد. اجازه دهید یک سطح منشوری محدب بسته را با دو صفحه موازی با یکدیگر، اما نه موازی با ژنراتورها تشریح کنیم.

در بخش ها چند ضلعی های محدب دریافت می کنیم. اکنون بخشی از سطح منشوری که بین صفحات α و α محصور شده است، و دو صفحه چند ضلعی تشکیل شده در این صفحات، جسم را محدود می کنند که به آن جسم منشوری - منشور می گویند.

یک بدنه استوانه ای - یک استوانه مشابه یک منشور تعریف می شود:
استوانه جسمی است که از طرف یک سطح استوانه ای بسته (محدب) و از انتهای آن با دو پایه موازی مسطح محدود شده است. هر دو پایه سیلندر با هم برابرند و همه ژنراتورهای سیلندر نیز با یکدیگر برابرند، یعنی. قطعاتی که یک سطح استوانه ای را بین صفحات پایه ها تشکیل می دهند.

استوانه (به طور دقیق تر، استوانه دایره ای) جسمی هندسی است که از دو دایره تشکیل شده است که در یک صفحه قرار نمی گیرند و با انتقال موازی ترکیب می شوند و تمام بخش هایی که نقاط مربوط به این دایره ها را به هم متصل می کنند (شکل 1). .

دایره ها را پایه های استوانه و قطعاتی که نقاط متناظر دایره های دایره ها را به هم متصل می کنند، مولدهای استوانه می نامند.

از آنجایی که انتقال موازی حرکت است، پایه های استوانه برابر هستند.

از آنجایی که در طول ترجمه موازی، صفحه به یک صفحه موازی (یا به خود) می رود، پس پایه های استوانه در صفحات موازی قرار می گیرند.

از آنجایی که در حین انتقال موازی، نقاط در امتداد خطوط موازی (یا منطبق) با همان فاصله جابه جا می شوند، پس مولدهای استوانه موازی و مساوی هستند.

سطح یک استوانه از پایه و یک سطح جانبی تشکیل شده است. سطح جانبی از ژنراتورها تشکیل شده است.

استوانه ای مستقیم نامیده می شود که مولدهای آن بر صفحات پایه ها عمود باشند.

یک استوانه مستقیم را می توان به عنوان یک جسم هندسی تجسم کرد که یک مستطیل را هنگام چرخش به دور ضلع به عنوان یک محور توصیف می کند (شکل 2).

برنج. 2 - استوانه مستقیم

در ادامه فقط یک استوانه مستقیم را در نظر می گیریم و برای اختصار آن را به سادگی یک استوانه می نامیم.

شعاع یک استوانه شعاع پایه آن است. ارتفاع یک استوانه فاصله بین صفحات پایه های آن است. محور یک استوانه خط مستقیمی است که از مرکز پایه ها می گذرد. موازی با ژنراتورها است.

استوانه ای متساوی الاضلاع نامیده می شود که ارتفاع آن برابر با قطر قاعده آن باشد.

اگر پایه های استوانه مسطح باشند (و از این رو صفحات حاوی آنها موازی باشند)، آنگاه گفته می شود که استوانه روی یک صفحه ایستاده است. اگر پایه های استوانه ای که روی یک صفحه ایستاده عمود بر ژنراتیکس باشند، استوانه را مستقیم می گویند.

به ویژه، اگر پایه استوانه ای که روی یک صفحه ایستاده است یک دایره باشد، در این صورت از یک استوانه دایره ای (گرد) صحبت می شود. اگر بیضی است، پس بیضوی است.

1. 3. مقاطع سیلندر

بخش استوانه توسط صفحه موازی با محور آن مستطیل است (شکل 3، a). دو ضلع آن ژنراتیک استوانه و دو ضلع دیگر آکوردهای موازی پایه ها هستند.

آ) ب)

که در) ز)

برنج. 3 - مقاطع سیلندر

به طور خاص، مستطیل بخش محوری است. این قسمتی از سیلندر است که توسط صفحه ای که از محور آن عبور می کند (شکل 3، ب).

بخش استوانه توسط یک صفحه موازی با پایه یک دایره است (شکل 3، ج).

سطح مقطع استوانه با صفحه غیر موازی با پایه و محور آن بیضی شکل است (شکل 3d).

قضیه 1. صفحه موازی با صفحه قاعده استوانه آن را قطع می کند. سطح جانبیدور دایره ای برابر با محیط پایه.

اثبات فرض کنید β یک صفحه موازی با صفحه قاعده استوانه باشد. انتقال موازی در جهت محور استوانه، که صفحه β را با صفحه قاعده استوانه ترکیب می کند، مقطع سطح جانبی توسط صفحه β را با محیط پایه ترکیب می کند. قضیه ثابت شده است.

مساحت سطح جانبی سیلندر.

مساحت سطح جانبی سیلندر به عنوان حدی در نظر گرفته می شود که مساحت سطح جانبی به آن گرایش دارد. منشور راستهنگامی که تعداد اضلاع قاعده این منشور به طور نامحدود افزایش می یابد در یک استوانه حک می شود.

قضیه 2. مساحت سطح جانبی استوانه برابر است با حاصل ضرب محیط قاعده و ارتفاع آن (S side.c = 2πRH، جایی که R شعاع قاعده استوانه است، H برابر است با ارتفاع سیلندر).

ولی) ب)
برنج. 4- مساحت سطح جانبی استوانه

اثبات

فرض کنید P n و H به ترتیب محیط قاعده و ارتفاع یک منشور n-ضلعی منظم حک شده در یک استوانه باشند (شکل 4، a). سپس مساحت سطح جانبی این منشور S side.c − P n H است. فرض می کنیم که تعداد اضلاع چند ضلعی محاط شده در پایه به طور نامحدود رشد می کند (شکل 4، b). سپس محیط P n به محیط C = 2πR میل می کند، جایی که R شعاع قاعده استوانه است و ارتفاع H تغییر نمی کند. بنابراین، مساحت سطح جانبی منشور به حد 2πRH تمایل دارد، یعنی مساحت سطح جانبی استوانه برابر با S side.c = 2πRH است. قضیه ثابت شده است.

مساحت کل سیلندر.

مساحت کل یک استوانه مجموع مساحت سطح جانبی و دو پایه است. مساحت هر پایه استوانه برابر با πR 2 است، بنابراین، مساحت سطح کامل سیلندر S full با فرمول S side.c \u003d 2πRH + 2πR 2 محاسبه می شود.

برنج. 5- سطح کامل سیلندر

اگر سطح جانبی استوانه در امتداد ژنراتیکس FT بریده شود (شکل 5، a) و باز شود به طوری که همه ژنراتیکس در یک صفحه قرار گیرند، در نتیجه یک مستطیل FTT1F1 به دست می‌آید که به آن توسعه سطح جانبی سیلندر ضلع FF1 مستطیل توسعه محیط قاعده استوانه است، بنابراین، FF1=2πR، و ضلع FT آن برابر با ژنراتیکس استوانه است، یعنی FT = H (شکل 5، b). بنابراین، مساحت FT∙FF1=2πRH توسعه سیلندر برابر با مساحت سطح جانبی آن است.

1.5. حجم سیلندر

اگر جسم هندسی ساده باشد، یعنی می توان آن را به یک عدد محدود تقسیم کرد اهرام مثلثی، سپس حجم آن برابر با مجموع استحجم این اهرام برای یک بدن دلخواه، حجم به صورت زیر تعریف می شود.

یک جسم معین دارای حجم V است در صورتی که اجسام ساده حاوی آن و اجسام ساده موجود در آن با حجم های کمی متفاوت از V وجود داشته باشد.

اجازه دهید این تعریف را برای یافتن حجم یک استوانه با شعاع پایه R و ارتفاع H اعمال کنیم.

هنگام استخراج فرمول مساحت یک دایره، دو n-گون (یکی حاوی یک دایره، دیگری حاوی یک دایره) ساخته شد به طوری که مساحت آنها با افزایش نامحدود در n به مساحت یک دایره نزدیک شد. به طور نامحدود اجازه دهید چنین چندضلعی ها را برای دایره در قاعده استوانه بسازیم. فرض کنید P یک چند ضلعی حاوی یک دایره، و P" یک چند ضلعی است که در یک دایره قرار دارد (شکل 6).

برنج. 7 - استوانه ای با منشوری که در آن توصیف و حک شده است

ما دو منشور مستقیم با پایه های P و P "و ارتفاع H برابر با ارتفاع استوانه می سازیم. منشور اول شامل یک استوانه و منشور دوم در یک استوانه است. از آنجایی که با افزایش نامحدود در n، مساحت های پایه های منشورها به طور نامحدود به مساحت قاعده استوانه S نزدیک می شوند، سپس حجم آنها به طور نامحدود به S H نزدیک می شود. طبق تعریف، حجم یک استوانه

V = SH = πR 2 H.

بنابراین، حجم یک استوانه برابر است با حاصلضرب مساحت پایه و ارتفاع.

وظیفه 1.

مقطع محوری استوانه مربعی است که مساحت آن Q است.

مساحت پایه سیلندر را پیدا کنید.

داده شده: استوانه، مربع - مقطع محوری استوانه، مربع S = Q.

پیدا کنید: سیکل اصلی S.

ضلع مربع است . برابر با قطر پایه است. بنابراین مساحت پایه است .

پاسخ: سیل اصلی S. =

وظیفه 2.

یک منشور شش ضلعی منظم در یک استوانه حک شده است. اگر شعاع پایه برابر با ارتفاع استوانه باشد، زاویه بین مورب وجه جانبی آن و محور استوانه را بیابید.

با توجه به: یک استوانه، یک منشور شش ضلعی منظم که در یک استوانه حک شده است، شعاع پایه = ارتفاع استوانه.

پیدا کنید: زاویه بین مورب وجه جانبی آن و محور استوانه.

راه حل: وجه های جانبی منشور مربع هستند، زیرا ضلع یک شش ضلعی منتظم که در یک دایره محاط شده است برابر با شعاع است.

لبه های منشور با محور استوانه موازی هستند، بنابراین زاویه بین مورب وجه و محور استوانه برابر با زاویه بین مورب و لبه کناری است. و این زاویه 45 درجه است، زیرا صورت ها مربع هستند.

پاسخ: زاویه بین مورب وجه جانبی آن و محور استوانه 45 درجه است.

وظیفه 3.

ارتفاع استوانه 6 سانتی متر، شعاع پایه 5 سانتی متر است.

مساحت مقطعی را که به موازات محور استوانه در فاصله 4 سانتی متری از آن کشیده شده است، پیدا کنید.

داده شده: H = 6cm، R = 5cm، OE = 4cm.

یافتن: S sec.

ثانیه S = KM×KS،

OE = 4 سانتی متر، KS = 6 سانتی متر.

مثلث OKM - متساوی الساقین (OK = OM = R = 5 سانتی متر)،

مثلث OEK یک مثلث قائم الزاویه است.

از مثلث OEK، طبق قضیه فیثاغورث:

KM \u003d 2EK \u003d 2 × 3 \u003d 6،

ثانیه S \u003d 6 × 6 \u003d 36 سانتی‌متر مربع.

هدف این مقاله برآورده شده است، چنین بدنه هندسی مانند یک استوانه در نظر گرفته شده است.

وظایف زیر در نظر گرفته شد:

- تعریف سیلندر داده شده است.

- عناصر سیلندر در نظر گرفته می شوند.

- خواص سیلندر را مطالعه کرد.

- انواع مقطع سیلندر در نظر گرفته می شود.

- فرمول مساحت یک استوانه مشتق شده است.

- فرمول حجم یک استوانه مشتق شده است.

- مشکلات با استفاده از سیلندر حل می شود.

1. Pogorelov A. V. هندسه: کتاب درسی برای کلاس های 10 - 11 موسسات آموزشی، 1995.

2. Beskin L.N. استریومتری. راهنمای معلم دبیرستان, 1999.

3. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. هندسه: کتاب درسی کلاس های 10-11 موسسات آموزشی، 2000.

4. Aleksandrov A.D., Verner A.L., Ryzhik V.I. هندسه: کتاب درسی پایه های 10-11 مؤسسات آموزشی، 1377.

5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Geometry: Stereometry: کلاس های 10 - 11: کتاب درسی و کتاب مسئله، 2000.