مثال های همگن را با محلول انجام دهید. چگونه یک معادله دیفرانسیل همگن را حل کنیم

متوقف کردن! بیایید سعی کنیم این فرمول دست و پا گیر را درک کنیم.

در وهله اول باید اولین متغیر درجه با مقداری ضریب باشد. در مورد ما، این

در مورد ما اینطور است. همانطور که متوجه شدیم، به این معنی است که در اینجا درجه متغیر اول همگرا می شود. و متغیر دوم در درجه اول در جای خود قرار دارد. ضریب.

ما داریمش.

متغیر اول نمایی و متغیر دوم مربع و دارای ضریب است. این آخرین جمله در معادله است.

همانطور که می بینید، معادله ما در قالب یک فرمول با تعریف مطابقت دارد.

بیایید به بخش دوم (کلامی) تعریف نگاه کنیم.

ما دو مجهول داریم و. اینجا همگرا می شود.

بیایید همه شرایط را در نظر بگیریم. در آنها مجموع درجات مجهولات باید یکسان باشد.

مجموع توان ها برابر است.

مجموع توان ها برابر است با (at و at).

مجموع توان ها برابر است.

همانطور که می بینید، همه چیز مناسب است!

حالا بیایید تعریف معادلات همگن را تمرین کنیم.

تعیین کنید کدام یک از معادلات همگن هستند:

معادلات همگن - معادلات با اعداد:

بیایید معادله را جداگانه در نظر بگیریم.

اگر هر جمله را با بسط هر جمله تقسیم کنیم، به دست می آید

و این معادله کاملاً تحت تعریف معادلات همگن قرار می گیرد.

چگونه معادلات همگن را حل کنیم؟

مثال 2

بیایید معادله را بر تقسیم کنیم.

با توجه به شرایط ما، y نمی تواند برابر باشد. بنابراین، ما می توانیم با خیال راحت تقسیم کنیم

با جایگزین کردن، یک ساده می گیریم معادله درجه دوم:

از آنجایی که این یک معادله درجه دوم کاهش یافته است، از قضیه ویتا استفاده می کنیم:

با انجام تعویض معکوس به جواب می رسیم

پاسخ:

مثال 3

معادله را بر (شرط) تقسیم کنید.

پاسخ:

مثال 4

پیدا کنید اگر.

در اینجا شما نیازی به تقسیم ندارید، بلکه باید ضرب کنید. کل معادله را در:

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

با انجام جایگزینی معکوس به جواب می رسیم:

پاسخ:

حل معادلات مثلثاتی همگن.

حل معادلات مثلثاتی همگن هیچ تفاوتی با روش های حل توضیح داده شده در بالا ندارد. فقط در اینجا، در میان چیزهای دیگر، باید کمی مثلثات بدانید. و بتواند تصمیم بگیرد معادلات مثلثاتی(برای این می توانید بخش را بخوانید).

بیایید چنین معادلاتی را در مثالها در نظر بگیریم.

مثال 5

معادله را حل کنید.

ما یک معادله همگن معمولی می بینیم: و مجهول هستند و مجموع توان آنها در هر جمله برابر است.

حل معادلات همگن مشابه دشوار نیست، اما قبل از تقسیم معادلات، این مورد را در نظر بگیرید که

در این حالت معادله به شکل زیر خواهد بود: اما سینوس و کسینوس نمی توانند همزمان با هم برابر باشند، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اولیه. بنابراین، می توانیم با خیال راحت آن را به موارد زیر تقسیم کنیم:

از آنجایی که معادله کاهش می یابد، پس طبق قضیه ویتا:

پاسخ:

مثال 6

معادله را حل کنید.

مانند مثال، باید معادله را بر تقسیم کنید. موردی را در نظر بگیرید که:

اما سینوس و کسینوس نمی توانند همزمان با هم برابر باشند، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اولیه. از همین رو.

بیایید یک جایگزین انجام دهیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

اجازه دهید جایگزین معکوس را انجام دهیم و پیدا کنیم و:

پاسخ:

حل معادلات نمایی همگن.

معادلات همگن به همان روشی حل می شوند که در بالا در نظر گرفته شد. اگر فراموش کردید که چگونه تصمیم بگیرید معادلات نمایی- بخش مربوطه () را ببینید!

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 7

معادله را حل کنید

تصور کنید چگونه:

ما یک معادله همگن معمولی با دو متغیر و مجموع توان ها را می بینیم. بیایید معادله را به زیر تقسیم کنیم:

همانطور که می بینید، پس از جایگزینی، معادله درجه دوم کاهش یافته را به دست می آوریم (در این مورد، نیازی به ترس از تقسیم بر صفر نیست - همیشه به شدت بزرگتر از صفر است):

طبق قضیه ویتا:

پاسخ: .

مثال 8

معادله را حل کنید

تصور کنید چگونه:

بیایید معادله را به زیر تقسیم کنیم:

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

ریشه شرایط را برآورده نمی کند. جایگزین معکوس می کنیم و پیدا می کنیم:

پاسخ:

معادلات همگن. سطح متوسط

ابتدا با استفاده از مثالی از یک مشکل، اجازه دهید یادآوری کنم معادلات همگن چیست و حل معادلات همگن چیست؟

حل مشکل:

پیدا کنید اگر.

در اینجا می توانید به یک چیز عجیب توجه کنید: اگر هر عبارت را بر تقسیم کنیم، دریافت می کنیم:

یعنی در حال حاضر هیچ جدا وجود ندارد و - اکنون مقدار مورد نظر متغیر در معادله است. و این یک معادله درجه دوم معمولی است که با استفاده از قضیه ویتا به راحتی قابل حل است: حاصل ضرب ریشه ها برابر است و مجموع اعداد و.

پاسخ:

معادلات فرم

همگن نامیده می شود. یعنی این معادله ای است با دو مجهول که در هر جمله آن مجموع توان این مجهولات یکسان است. برای مثال در مثال بالا این مقدار برابر است با. حل معادلات همگن با تقسیم بر یکی از مجهولات در این درجه انجام می شود:

و متعاقب آن تغییر متغیرها: . بنابراین، یک معادله درجه با یک مجهول به دست می آوریم:

اغلب با معادلات درجه دوم (یعنی درجه دوم) مواجه می شویم و می توانیم آنها را حل کنیم:

توجه داشته باشید که تقسیم (و ضرب) کل معادله بر یک متغیر تنها در صورتی امکان پذیر است که متقاعد شویم که این متغیر نمی تواند برابر با صفر باشد! به عنوان مثال، اگر از ما بخواهند پیدا کنیم، بلافاصله متوجه می شویم، زیرا تقسیم غیرممکن است. در مواردی که این چندان واضح نیست، لازم است به طور جداگانه موردی که این متغیر برابر با صفر است بررسی شود. مثلا:

معادله را حل کنید.

راه حل:

ما در اینجا یک معادله معمولی همگن را می بینیم: و مجهول هستند و مجموع توان آنها در هر جمله برابر است.

اما قبل از تقسیم بر و بدست آوردن معادله درجه دوم با احترام، باید موردی را در نظر بگیریم که چه زمانی. در این حالت، معادله به شکل زیر خواهد بود:، بنابراین، . اما سینوس و کسینوس نمی توانند همزمان برابر با صفر باشند، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اولیه:. بنابراین، می توانیم با خیال راحت آن را به موارد زیر تقسیم کنیم:

امیدوارم این راه حل کاملا واضح باشد؟ اگر نه، بخش را بخوانید. اگر مشخص نیست که از کجا آمده است، باید حتی زودتر - به بخش - برگردید.

خودتان تصمیم بگیرید:

1. پیدا کنید اگر.
2. پیدا کنید اگر.
3. معادله را حل کنید.

در اینجا به طور خلاصه حل معادلات همگن را مستقیماً می نویسم:

راه حل ها:

پاسخ: .

و در اینجا لازم است که تقسیم نشود، بلکه ضرب شود:

پاسخ:

اگر هنوز معادلات مثلثاتی را طی نکرده اید، می توانید از این مثال صرف نظر کنید.

از آنجایی که در اینجا باید بر آن تقسیم کنیم، ابتدا مطمئن می شویم که صد برابر با صفر نیست:

و این غیر ممکن است.

پاسخ: .

معادلات همگن. به طور خلاصه در مورد اصلی

حل تمام معادلات همگن به تقسیم بر یکی از مجهولات در درجه و تغییر بیشتر متغیرها تقلیل می یابد.

الگوریتم:

خب موضوع تموم شد اگر در حال خواندن این خطوط هستید، پس خیلی باحال هستید.

زیرا تنها 5 درصد از مردم می توانند به تنهایی بر چیزی مسلط شوند. و اگر تا آخر خوانده باشید، در 5 درصد هستید!

حالا مهمترین چیز.

شما نظریه ای را در مورد این موضوع کشف کرده اید. و، تکرار می‌کنم، این ... فقط فوق‌العاده است! شما در حال حاضر بهتر از اکثریت قریب به اتفاق همسالان خود هستید.

مشکل این است که ممکن است این کافی نباشد ...

برای چی؟

برای تحویل موفقآزمون یکپارچه ایالتی، برای پذیرش در مؤسسه با بودجه و مهمتر از همه، مادام العمر.

من شما را به هیچ چیز متقاعد نمی کنم، فقط یک چیز می گویم ...

افرادی که تحصیلات خوبی دریافت کرده اند بسیار بیشتر از کسانی که آن را دریافت نکرده اند، درآمد دارند. این آمار است.

اما این موضوع اصلی نیست.

نکته اصلی این است که آنها خوشحال تر هستند (چنین مطالعاتی وجود دارد). شاید به این دلیل که فرصت های بیشتری در مقابل آنها باز می شود و زندگی روشن تر می شود؟ نمی دانم...

اما خودت فکر کن...

چه چیزی لازم است تا مطمئن شوید که در امتحان بهتر از دیگران باشید و در نهایت ... شادتر باشید؟

دست خود را پر کنید و مشکلات مربوط به این موضوع را حل کنید.

در امتحان از شما تئوری پرسیده نمی شود.

شما نیاز خواهید داشت مشکلات را به موقع حل کنید.

و اگر آنها را حل نکرده باشید (بسیار!)، قطعاً در جایی مرتکب یک اشتباه احمقانه خواهید شد یا به سادگی آن را به موقع مرتکب نخواهید شد.

مثل ورزش است - برای اینکه مطمئن شوید باید چندین بار تکرار کنید.

مجموعه ای را در هر جایی که می خواهید پیدا کنید لزوما با راه حل تجزیه و تحلیل دقیق و تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید!

شما می توانید از وظایف ما (لازم نیست) استفاده کنید و ما مطمئناً آنها را توصیه می کنیم.

برای اینکه به کمک وظایف ما دست پیدا کنید، باید به افزایش عمر کتاب درسی YouClever که در حال حاضر در حال خواندن آن هستید کمک کنید.

چگونه؟ دو گزینه وجود دارد:

1. قفل دسترسی به تمام کارهای پنهان در این مقاله را باز کنید - 299 روبل.
2. باز کردن قفل دسترسی به تمام وظایف مخفی در تمام 99 مقاله آموزش - 499 روبل.

بله، ما 99 مقاله از این دست در کتاب درسی داریم و دسترسی به تمام کارها و تمام متون پنهان در آنها را می توان بلافاصله باز کرد.

دسترسی به تمام کارهای مخفی برای کل طول عمر سایت فراهم شده است.

در نتیجه...

اگر وظایف ما را دوست ندارید، دیگران را پیدا کنید. فقط به تئوری بسنده نکنید.

"فهمیده" و "من می دانم چگونه حل کنم" مهارت های کاملاً متفاوتی هستند. شما به هر دو نیاز دارید.

مشکلات را پیدا کنید و حل کنید!

معادله دیفرانسیل همگن مرتبه اول معادله ای از فرم است
، که در آن f یک تابع است.

چگونه یک معادله دیفرانسیل همگن را تعریف کنیم

برای تعیین اینکه آیا یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول همگن است، باید یک t ثابت را معرفی کرد و y را با ty و x را با tx جایگزین کرد: y → ty , x → tx . اگر t کاهش یابد، پس این است معادله دیفرانسیل همگن. مشتق y تحت چنین تبدیلی تغییر نمی کند.
.

مثال

تعیین کنید که آیا معادله داده شده همگن است یا خیر

راه حل

تغییر y → ty , x → tx را انجام می دهیم.


تقسیم بر t 2 .

.
معادله شامل t نیست. بنابراین، این یک معادله همگن است.

روش حل معادله دیفرانسیل همگن

یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول همگن با استفاده از جایگزینی y = ux به معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک کاهش می یابد. بیایید آن را نشان دهیم. معادله را در نظر بگیرید:
(من)
ما یک جایگزین انجام می دهیم:
y=ux
که در آن u تابعی از x است. نسبت به x متمایز کنید:
y =
معادله اصلی را جایگزین می کنیم (من).
,
,
(II) .
متغیرها را جدا کنید ضرب در dx و تقسیم بر x (f(u) - u ).

برای f (u) - u ≠ 0و x ≠ 0 ما گرفتیم:

ما ادغام می کنیم:

بنابراین، انتگرال کلی معادله را به دست آورده ایم (من)در مربع:

ثابت ادغام C را با جایگزین می کنیم ورود به سیستم C، سپس

ما علامت مدول را حذف می کنیم، زیرا علامت مورد نظربا انتخاب علامت ثابت C تعیین می شود. سپس انتگرال کلی به شکل زیر در می آید:

بعد، مورد f را در نظر بگیرید (u) - u = 0.
اگر این معادله دارای ریشه باشد، آنها راه حل معادله هستند (II). از آنجایی که معادله (II)با معادله اصلی مطابقت ندارد، پس باید مطمئن شوید که راه حل های اضافیمعادله اصلی را برآورده کنید (من).

هرگاه در فرآیند تبدیل، هر معادله ای را بر تابعی تقسیم کنیم که آن را به صورت g نشان می دهیم. (x، y)، سپس تبدیل های بعدی برای g معتبر هستند (x، y) ≠ 0. بنابراین، مورد g (x، y) = 0.

مثالی از حل معادله دیفرانسیل همگن مرتبه اول

معادله را حل کنید

راه حل

بیایید بررسی کنیم که آیا این معادله همگن است یا خیر. تغییر y → ty , x → tx را انجام می دهیم. در این مورد، y← y.
,
,
.
t را کاهش می دهیم.

ثابت t کاهش یافته است. بنابراین، معادله همگن است.

ما یک جایگزین y = ux می کنیم که u تابعی از x است.
y = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
در معادله اصلی جایگزین کنید.
,
,
,
.
برای x ≥ 0 , |x| =x برای x ≤ 0 , |x| = - x. می نویسیم |x| = x به این معنی که علامت بالایی به مقادیر x ≥ اشاره دارد 0 و پایین تر - به مقادیر x ≤ 0 .
,
ضرب در dx و تقسیم بر.

برای شما 2 - 1 ≠ 0 ما داریم:

ما ادغام می کنیم:

انتگرال های جدول،
.

بیایید فرمول را اعمال کنیم:
(a + b) (a - b) = a 2 - b 2.
بگذارید a = u , .
.
هر دو بخش مدول و لگاریتم را بگیرید،
.
از اینجا
.

بدین ترتیب داریم:
,
.
ما علامت مدول را حذف می کنیم، زیرا علامت مورد نیاز با انتخاب علامت ثابت C ارائه می شود.

ضرب در x و جایگزینی ux = y.
,
.
بیایید آن را مربع کنیم.
,
,
.

حالا قضیه را در نظر بگیرید، u 2 - 1 = 0 .
ریشه های این معادله
.
به راحتی می توان فهمید که توابع y = x معادله اصلی را برآورده می کنند.

پاسخ

,
,
.

منابع:
N.M. گونتر، R.O. کوزمین، مجموعه مسائل در ریاضیات عالی، لان، 2003.

در حال حاضر با توجه به پایه تحصیلی ریاضی فقط 4 ساعت برای مطالعه ریاضی در دبیرستان در نظر گرفته شده است (2 ساعت جبر، 2 ساعت هندسه). در مدارس کوچک روستایی سعی می شود با هزینه مولفه مدرسه تعداد ساعات را افزایش دهند. اما اگر کلاس بشردوستانه باشد، برای مطالعه موضوعات بشردوستانه، مؤلفه مدرسه اضافه می شود. در یک روستای کوچک، اغلب یک دانش آموز مجبور به انتخاب نیست، او در آن کلاس درس می خواند. آنچه در مدرسه موجود است او قرار نیست وکیل، مورخ یا روزنامه نگار شود (چنین مواردی وجود دارد)، اما می خواهد مهندس یا اقتصاددان شود، بنابراین امتحان ریاضی باید به نمرات بالا بگذرد. در چنین شرایطی، معلم ریاضی باید راه خود را برای خروج از این وضعیت بیابد، علاوه بر این، طبق کتاب درسی کولموگروف، مطالعه مبحث «معادلات همگن» ارائه نشده است. در سال های گذشته برای معرفی این مبحث و تقویت آن به دو درس دوگانه نیاز داشتم. متأسفانه، چک نظارت آموزشی، دو درس را در مدرسه ممنوع کرده بود، بنابراین باید تعداد تمرینات را به 45 دقیقه کاهش داد و بر این اساس، سطح دشواری تمرینات به متوسط ​​کاهش یافت. طرح درسی با این مبحث در پایه دهم با سطح پایه ریاضی در یک مدرسه روستایی با تجهیزات ضعیف را مورد توجه شما قرار می دهم.

نوع درس: سنتی.

هدف: یادگیری حل معادلات همگن معمولی.

وظایف:

شناختی:

آموزشی:

آموزشی:

• آموزش سخت کوشی از طریق انجام وظایف با بیمار، احساس رفاقت از طریق کار دو نفره و گروهی.

در طول کلاس ها

من.سازمانی صحنه(3 دقیقه)

II. بررسی دانش لازم برای جذب مطالب جدید (10 دقیقه)

مشکلات اصلی را با تجزیه و تحلیل بیشتر وظایف انجام شده شناسایی کنید. بچه ها 3 گزینه برای انتخاب دارند. تکالیف با درجه پیچیدگی و سطح آمادگی کودکان متمایز می شوند و به دنبال آن توضیحاتی در تخته سیاه ارائه می شود.

1 سطح. حل معادلات:

1. 3(x+4)=12،
2. 2 (x-15) = 2x-30
3. 5(2-x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 پاسخ: 7;3

2 سطح. ساده ترین معادلات مثلثاتی و معادله دو درجه ای را حل کنید:

پاسخ می دهد:

ب) x 4 -13x 3 +36=0 پاسخ: -2; 2 -3؛ 3

سطح 3.حل معادلات به روش تغییر متغیرها:

ب) x 6 -9x 3 +8=0 پاسخ:

III.موضوعات پیام، تعیین اهداف و مقاصد.

موضوع: معادلات همگن

هدف: یادگیری حل معادلات همگن معمولی

وظایف:

شناختی:

• با معادلات همگن آشنا شوید، یاد بگیرید که چگونه رایج ترین انواع این معادلات را حل کنید.

آموزشی:

• توسعه تفکر تحلیلی.
• توسعه مهارت های ریاضی: یاد بگیرید که ویژگی های اصلی را برجسته کنید که توسط آن معادلات همگن با سایر معادلات متفاوت است، قادر به ایجاد شباهت معادلات همگن در جلوه های مختلف آنها باشید.

IV. جذب دانش جدید (15 دقیقه)

1. لحظه سخنرانی.

تعریف 1(در دفتر یادداشت بنویسید). معادله ای به شکل P(x;y)=0 همگن نامیده می شود اگر P(x;y) چند جمله ای همگن باشد.

چند جمله‌ای در دو متغیر x و y همگن نامیده می‌شود که درجه هر یک از جمله‌های آن برابر با همان عدد k باشد.

تعریف 2(فقط یک مقدمه). معادلات فرم

معادله همگن درجه n نسبت به u(x) و v(x) نامیده می شود. با تقسیم دو طرف معادله بر (v(x))n می توانیم از جایگزینی برای بدست آوردن معادله استفاده کنیم.

این معادله اصلی را ساده می کند. مورد v(x)=0 باید جداگانه در نظر گرفته شود، زیرا تقسیم بر 0 غیرممکن است.

2. نمونه هایی از معادلات همگن:

توضیح دهید که چرا آنها همگن هستند، مثال های خود را از این معادلات بیاورید.

3. وظیفه برای تعریف معادلات همگن:

در میان معادلات داده شدهمعادلات همگن را تعریف کنید و انتخاب خود را توضیح دهید:

پس از توضیح انتخاب خود در یکی از مثال ها، راهی برای حل یک معادله همگن نشان دهید:

4. خودتان تصمیم بگیرید:

پاسخ:

ب) 2sin x - 3 cos x \u003d 0

دو طرف معادله را بر cos x تقسیم کنید، 2 tg x -3=0، tg x=⅔، x=arctg⅔ + به دست می‌آید.

5. نمایش نمونه راه حل بروشور«P.V. چولکوف معادلات و نابرابری ها در درس ریاضی مدرسه. مسکو دانشگاه علوم تربیتی«اول شهریور» ۱۳۸۵ ص ۲۲. به عنوان یکی از ممکن از نمونه ها استفاده کنیدسطح C.

V. حل برای تثبیت با توجه به کتاب درسی باشماکوف

ص 183 شماره 59 (1.5) یا طبق کتاب درسی ویرایش کولموگروف: ص 81 شماره 169 (الف، ج)

پاسخ می دهد:

VI. چک کردن، کار مستقل (7 دقیقه)

پاسخ به وظایف:

گزینه 1 الف) پاسخ: arctg2+πn,n € Z; ب) پاسخ: ±π/2+ 3πn,n € Z; V)

گزینه 2 a) پاسخ: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; ب) پاسخ: -arctg3+πn, 0.25π+πk, ; ج) (-5; -2); (5; 2)

VII. مشق شب

شماره 169 به گفته کولموگروف، شماره 59 به گفته باشماکوف.

علاوه بر این، سیستم معادلات را حل کنید:

پاسخ: arctg(-1±√3) +πn ,

منابع:

1. P.V. چولکوف معادلات و نابرابری ها در درس ریاضی مدرسه. - م .: دانشگاه علوم تربیتی "اول شهریور" 1385. ص 22
2. A. Merzlyak، V. Polonsky، E. Rabinovich، M. Yakir. مثلثات. - م .: "AST-PRESS"، 1998، ص 389
3. جبر برای پایه هشتم، ویرایش شده توسط N.Ya. ویلنکین. - م .: "روشنگری"، 1997.
4. جبر برای پایه نهم، ویرایش شده توسط N.Ya. ویلنکین. مسکو "روشنگری"، 2001.
5. M.I. باشماکوف جبر و آغاز تحلیل. برای کلاس های 10-11 - M .: "روشنگری" 1993
6. کولموگروف، آبراموف، دودنیتسین. جبر و آغاز تحلیل. برای پایه های 10-11. - M .: "روشنگری"، 1990.
7. A.G. موردکوویچ. جبر و آغاز تحلیل. قسمت 1 کتاب درسی 10-11 کلاس. - M.: "Mnemosyne"، 2004.

من فکر می کنم ما باید با تاریخچه چنین ابزار ریاضی باشکوهی شروع کنیم معادلات دیفرانسیل. مانند تمام محاسبات دیفرانسیل و انتگرال، این معادلات توسط نیوتن در پایان قرن هفدهم اختراع شد. او این کشف خود را به قدری مهم می‌دانست که حتی پیامی را که امروزه می‌توان چیزی شبیه به این ترجمه کرد، رمزگذاری کرد: «همه قوانین طبیعت با معادلات دیفرانسیل توصیف می‌شوند». این ممکن است اغراق آمیز به نظر برسد، اما حقیقت دارد. هر قانون فیزیک، شیمی، زیست شناسی را می توان با این معادلات توصیف کرد.

اویلر و لاگرانژ ریاضیدانان سهم بزرگی در توسعه و ایجاد نظریه معادلات دیفرانسیل داشتند. قبلاً در قرن 18، آنها آنچه را که اکنون در دوره های ارشد دانشگاه ها مطالعه می کنند، کشف و توسعه دادند.

نقطه عطف جدیدی در مطالعه معادلات دیفرانسیل به لطف هانری پوانکر آغاز شد. او "نظریه کیفی معادلات دیفرانسیل" را ایجاد کرد که در ترکیب با نظریه توابع یک متغیر مختلط، سهم قابل توجهی در پایه و اساس توپولوژی - علم فضا و خواص آن داشت.

معادلات دیفرانسیل چیست؟

بسیاری از مردم از یک عبارت می ترسند، با این حال، در این مقاله به جزئیات کامل ماهیت این دستگاه ریاضی بسیار مفید خواهیم پرداخت، که در واقع آنقدرها که از نام آن به نظر می رسد پیچیده نیست. برای شروع صحبت در مورد معادلات دیفرانسیل مرتبه اول، ابتدا باید با مفاهیم اساسی که ذاتاً با این تعریف مرتبط هستند آشنا شوید. بیایید با دیفرانسیل شروع کنیم.

دیفرانسیل

بسیاری از مردم این مفهوم را از مدرسه می دانند. با این حال، اجازه دهید نگاهی دقیق تر به آن بیندازیم. نمودار یک تابع را تصور کنید. ما می توانیم آن را به حدی افزایش دهیم که هر یک از بخش های آن به شکل یک خط مستقیم درآید. روی آن دو نقطه را می گیریم که بی نهایت به هم نزدیک هستند. تفاوت بین مختصات آنها (x یا y) یک مقدار بی نهایت کوچک خواهد بود. دیفرانسیل نامیده می شود و با علائم dy (دیفرانسیل از y) و dx (دیفرانسیل از x) نشان داده می شود. درک این نکته بسیار مهم است که دیفرانسیل یک مقدار محدود نیست و این معنی و عملکرد اصلی آن است.

و اکنون لازم است عنصر زیر را در نظر بگیریم که در توضیح مفهوم معادله دیفرانسیل برای ما مفید خواهد بود. این یک مشتق است.

مشتق

همه ما احتمالاً این مفهوم را در مدرسه شنیده ایم. مشتق به نرخ رشد یا کاهش یک تابع گفته می شود. با این حال، بسیاری از این تعریف غیر قابل درک می شود. بیایید سعی کنیم مشتق را از نظر دیفرانسیل توضیح دهیم. بیایید به بخش بینهایت کوچک یک تابع با دو نقطه که در حداقل فاصله از یکدیگر قرار دارند برگردیم. اما حتی برای این فاصله، تابع می تواند مقداری تغییر کند. و به منظور توصیف این تغییر، آنها مشتقی را ارائه کردند که در غیر این صورت می توان آن را به عنوان نسبتی از دیفرانسیل ها نوشت: f (x) "=df / dx.

اکنون ارزش در نظر گرفتن ویژگی های اساسی مشتق را دارد. فقط سه مورد از آنها وجود دارد:

1. مشتق حاصل جمع یا تفاوت را می توان به صورت مجموع یا تفاوت مشتقات نشان داد: (a+b)"=a"+b" و (a-b)"=a"-b".
2. خاصیت دوم مربوط به ضرب است. مشتق یک محصول مجموع حاصلضرب یک تابع و مشتق تابع دیگر است: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. مشتق تفاوت را می توان به صورت برابری زیر نوشت: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

همه این ویژگی ها برای یافتن جواب معادلات دیفرانسیل مرتبه اول برای ما مفید خواهد بود.

مشتقات جزئی نیز وجود دارد. فرض کنید یک تابع z داریم که به متغیرهای x و y بستگی دارد. برای محاسبه مشتق جزئی این تابع، مثلاً با توجه به x، باید متغیر y را ثابت در نظر بگیریم و به سادگی آن را متمایز کنیم.

انتگرال

مفهوم مهم دیگر انتگرال است. در واقع، این دقیقاً مخالف مشتق است. انواع مختلفی از انتگرال وجود دارد، اما برای حل ساده ترین معادلات دیفرانسیل، به پیش پا افتاده ترین آنها نیاز داریم.

بنابراین، فرض کنید مقداری از f به x وابستگی داریم. انتگرال را از آن می گیریم و تابع F (x) را می گیریم (که اغلب به آن پاد مشتق می گویند) که مشتق آن برابر تابع اصلی است. بنابراین F(x)"=f(x). همچنین نتیجه می شود که انتگرال مشتق برابر با تابع اصلی است.

هنگام حل معادلات دیفرانسیل، درک معنی و عملکرد انتگرال بسیار مهم است، زیرا برای یافتن راه حل باید اغلب آنها را استفاده کنید.

معادلات بسته به ماهیت آنها متفاوت است. در قسمت بعدی انواع معادلات دیفرانسیل مرتبه اول را بررسی می کنیم و سپس نحوه حل آنها را یاد می گیریم.

کلاس های معادلات دیفرانسیل

«دیفورا» به ترتیب مشتقات دخیل در آنها تقسیم می شوند. بنابراین، ترتیب اول، دوم، سوم و بیشتر وجود دارد. همچنین می توان آنها را به چند دسته تقسیم کرد: مشتقات معمولی و جزئی.

در این مقاله معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول را بررسی خواهیم کرد. همچنین در قسمت های بعدی به مثال ها و راه های حل آن ها خواهیم پرداخت. ما فقط ODE ها را در نظر می گیریم، زیرا این ها رایج ترین انواع معادلات هستند. معمولی به زیر گونه ها تقسیم می شوند: با متغیرهای قابل تفکیک، همگن و ناهمگن. در مرحله بعد، تفاوت آنها با یکدیگر را یاد خواهید گرفت و نحوه حل آنها را یاد خواهید گرفت.

علاوه بر این، می توان این معادلات را با هم ترکیب کرد، به طوری که پس از یک سیستم معادلات دیفرانسیل درجه اول به دست می آید. ما همچنین چنین سیستم هایی را در نظر خواهیم گرفت و نحوه حل آنها را یاد خواهیم گرفت.

چرا فقط دستور اول را در نظر می گیریم؟ زیرا شما باید با یک مورد ساده شروع کنید و توصیف همه چیز مربوط به معادلات دیفرانسیل در یک مقاله به سادگی غیرممکن است.

معادلات متغیر قابل تفکیک

اینها شاید ساده ترین معادلات دیفرانسیل مرتبه اول باشند. اینها شامل نمونه هایی هستند که می توانند به این صورت نوشته شوند: y "=f (x) * f (y). برای حل این معادله، ما به فرمولی برای نمایش مشتق به عنوان نسبت دیفرانسیل ها نیاز داریم: y" = dy / dx. با استفاده از آن، معادله زیر را بدست می آوریم: dy/dx=f(x)*f(y). حالا می‌توانیم به روش حل مثال‌های استاندارد بپردازیم: متغیرها را به قسمت‌هایی تقسیم می‌کنیم، یعنی همه چیز را با متغیر y به قسمتی که dy در آن قرار دارد منتقل می‌کنیم و با متغیر x نیز همین کار را می‌کنیم. معادله ای به شکل dy/f(y)=f(x)dx بدست می آوریم که با گرفتن انتگرال هر دو قسمت حل می شود. ثابت را فراموش نکنید که باید پس از گرفتن انتگرال تنظیم شود.

جواب هر «تفاوت» تابعی از وابستگی x به y است (در مورد ما) یا اگر شرط عددی وجود داشته باشد، پاسخ به شکل یک عدد است. بیایید با استفاده از یک مثال خاص به کل راه حل نگاهی بیندازیم:

ما متغیرها را در جهات مختلف انتقال می دهیم:

حالا انتگرال ها را می گیریم. همه آنها را می توان در جدول ویژه ای از انتگرال ها یافت. و دریافت می کنیم:

log(y) = -2*cos(x) + C

در صورت لزوم، می توانیم "y" را به عنوان تابعی از "x" بیان کنیم. حال می توان گفت که معادله دیفرانسیل ما حل می شود اگر شرطی داده نشود. یک شرط می تواند داده شود، برای مثال، y(n/2)=e. سپس به سادگی مقدار این متغیرها را جایگزین جواب می کنیم و مقدار ثابت را پیدا می کنیم. در مثال ما برابر با 1 است.

معادلات دیفرانسیل همگن مرتبه اول

حالا بیایید به قسمت دشوارتر برویم. معادلات دیفرانسیل همگن مرتبه اول را می توان در آن نوشت نمای کلیبنابراین: y"=z(x,y). لازم به ذکر است که تابع سمت راست دو متغیر همگن است و نمی توان آن را به دو وابستگی تقسیم کرد: z روی x و z روی y. بررسی همگن بودن معادله یا not بسیار ساده است: ما جایگزین x=k*x و y=k*y می کنیم. اکنون همه k را لغو می کنیم. اگر همه این حروف کاهش یافته باشند، معادله همگن است و می توانید با خیال راحت به حل آن ادامه دهید. پیش از این، بیایید بگوییم: اصل حل این مثال ها نیز بسیار ساده است.

ما باید یک جایگزین ایجاد کنیم: y=t(x)*x، جایی که t تابعی است که به x نیز بستگی دارد. سپس می توانیم مشتق را بیان کنیم: y"=t"(x)*x+t. با جایگزینی همه اینها به معادله اصلی خود و ساده کردن آن، مثالی با متغیرهای قابل تفکیک t و x می‌گیریم. آن را حل می کنیم و وابستگی t(x) را بدست می آوریم. وقتی آن را دریافت کردیم، به سادگی y=t(x)*x را با جایگزین قبلی خود جایگزین می کنیم. سپس وابستگی y را به x می گیریم.

برای روشن‌تر شدن، اجازه دهید به یک مثال نگاه کنیم: x*y"=y-x*e y/x.

هنگام بررسی با جایگزین، همه چیز کاهش می یابد. بنابراین معادله واقعاً همگن است. حالا ما جایگزین دیگری می کنیم که در مورد آن صحبت کردیم: y=t(x)*x و y"=t"(x)*x+t(x). پس از ساده سازی، معادله زیر را به دست می آوریم: t "(x) * x \u003d -e t. مثال حاصل را با متغیرهای جدا شده حل می کنیم و می گیریم: e -t \u003dln (C * x). فقط باید t را جایگزین کنیم. با y / x (زیرا اگر y \u003d t * x ، سپس t \u003d y / x) ، و پاسخ را می گیریم: e -y / x \u003d ln (x * C).

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول

وقت آن است که یک موضوع گسترده دیگر را در نظر بگیریم. ما معادلات دیفرانسیل ناهمگن مرتبه اول را تحلیل خواهیم کرد. تفاوت آنها با دو مورد قبلی چیست؟ بیایید آن را بفهمیم. معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول را می توان به صورت زیر نوشت: y " + g (x) * y \u003d z (x). شایان ذکر است که z (x) و g (x) می توانند مقادیر ثابت باشند. .

و اکنون یک مثال: y" - y*x=x 2 .

دو راه برای حل وجود دارد و ما هر دو را به ترتیب تجزیه و تحلیل می کنیم. اولین روش، روش تغییر ثوابت دلخواه است.

برای حل معادله به این ترتیب ابتدا باید معادل سازی کنید سمت راسترا صفر کرده و معادله حاصل را حل کنید که پس از انتقال قطعات به شکل زیر در می آید:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C \u003d C 1 * e x2 / 2.

حالا باید ثابت C 1 را با تابع v(x) جایگزین کنیم که باید آن را پیدا کنیم.

بیایید مشتق را تغییر دهیم:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

بیایید این عبارات را در معادله اصلی جایگزین کنیم:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

مشاهده می شود که دو ترم در سمت چپ لغو شده است. اگر در مثالی این اتفاق نیفتاد، پس شما کار اشتباهی انجام دادید. بیا ادامه بدهیم:

v"*e x2/2 = x 2.

اکنون معادله معمولی را حل می کنیم که در آن باید متغیرها را از هم جدا کنیم:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

برای استخراج انتگرال، باید یکپارچه سازی توسط قطعات را در اینجا اعمال کنیم. با این حال، این موضوع مقاله ما نیست. اگر علاقه مند هستید، می توانید نحوه انجام چنین اقداماتی را خودتان یاد بگیرید. کار سختی نیست و با مهارت و دقت کافی زمان زیادی نمی برد.

بیایید به راه حل دوم بپردازیم. معادلات ناهمگن: روش برنولی. اینکه کدام روش سریعتر و آسانتر است به شما بستگی دارد.

بنابراین، هنگام حل معادله با این روش، باید یک جایگزین ایجاد کنیم: y=k*n. در اینجا k و n برخی از توابع وابسته به x هستند. سپس مشتق شبیه به این خواهد شد: y"=k"*n+k*n. هر دو جایگزین را در معادله جایگزین می کنیم:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

گروه بندی:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

اکنون باید آنچه را که در پرانتز است با صفر برابر کنیم. حال، اگر دو معادله حاصل را با هم ترکیب کنیم، سیستمی از معادلات دیفرانسیل مرتبه اول به دست می آید که باید حل شوند:

تساوی اول را به صورت یک معادله معمولی حل می کنیم. برای این کار باید متغیرها را از هم جدا کنید:

انتگرال را می گیریم و می گیریم: ln(n)=x 2/2. سپس، اگر n را بیان کنیم:

اکنون تساوی حاصل را با معادله دوم سیستم جایگزین می کنیم:

k "*e x2/2 \u003d x 2.

و با تبدیل، برابری مشابه روش اول را بدست می آوریم:

dk=x 2 /e x2/2 .

ما همچنین اقدامات بعدی را تجزیه و تحلیل نخواهیم کرد. شایان ذکر است که در ابتدا حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول مشکلات قابل توجهی ایجاد می کند. با این حال، با غوطه ور شدن بیشتر در موضوع، شروع به بهتر شدن و بهتر شدن می کند.

معادلات دیفرانسیل کجا استفاده می شود؟

معادلات دیفرانسیل به طور فعال در فیزیک استفاده می شوند، زیرا تقریباً تمام قوانین اساسی به شکل دیفرانسیل نوشته شده اند و فرمول هایی که می بینیم حل این معادلات هستند. در شیمی، آنها به همین دلیل استفاده می شوند: قوانین اساسی از آنها مشتق شده است. در زیست‌شناسی، معادلات دیفرانسیل برای مدل‌سازی رفتار سیستم‌هایی مانند شکارچی-شکار استفاده می‌شود. آنها همچنین می توانند برای ایجاد مدل های تولید مثل مثلاً یک کلونی از میکروارگانیسم ها استفاده شوند.

معادلات دیفرانسیل چگونه در زندگی کمک خواهد کرد؟

پاسخ به این سوال ساده است: به هیچ وجه. اگر دانشمند یا مهندس نیستید، بعید است که آنها برای شما مفید باشند. با این حال، برای توسعه عمومیدانستن اینکه معادله دیفرانسیل چیست و چگونه حل می شود، ضرری ندارد. و سپس سوال پسر یا دختر "معادله دیفرانسیل چیست؟" شما را گیج نمی کند خوب، اگر دانشمند یا مهندس هستید، پس خودتان اهمیت این موضوع را در هر علمی درک می کنید. اما مهمترین چیز این است که اکنون این سوال مطرح می شود که "چگونه معادله دیفرانسیل مرتبه اول را حل کنیم؟" شما همیشه می توانید پاسخ دهید موافقم، وقتی می فهمی که مردم حتی از درک آن چه می ترسند، همیشه خوب است.

مشکلات اصلی در یادگیری

مشکل اصلی در درک این موضوع، مهارت ضعیف در یکپارچه سازی و تمایز توابع است. اگر در گرفتن مشتقات و انتگرال ها خوب نیستید، احتمالاً ارزش یادگیری بیشتر، تسلط بر روش های مختلف ادغام و تمایز را دارد و تنها پس از آن به مطالعه مطالبی که در مقاله توضیح داده شد، ادامه دهید.

برخی از افراد وقتی می آموزند که dx قابل انتقال است شگفت زده می شوند، زیرا قبلا (در مدرسه) گفته شده بود که کسری dy / dx غیرقابل تقسیم است. در اینجا باید ادبیات مشتق را بخوانید و بفهمید که این نسبت کمیت های بی نهایت کوچک است که می توان هنگام حل معادلات دستکاری کرد.

بسیاری بلافاصله متوجه نمی شوند که حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول اغلب یک تابع یا یک انتگرال است که نمی توان آن را گرفت و این توهم برای آنها دردسرهای زیادی ایجاد می کند.

چه چیز دیگری را می توان برای درک بهتر مطالعه کرد؟

بهتر است غوطه ور شدن بیشتر در دنیای حساب دیفرانسیل را با کتاب های درسی تخصصی شروع کنید، به عنوان مثال، تجزیه و تحلیل ریاضیبرای دانشجویان رشته های غیر ریاضی سپس می توانید به سراغ ادبیات تخصصی تری بروید.

شایان ذکر است که علاوه بر معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرال نیز وجود دارد، بنابراین شما همیشه چیزی برای تلاش و چیزی برای مطالعه خواهید داشت.

نتیجه

امیدواریم پس از خواندن این مقاله ایده ای در مورد اینکه معادلات دیفرانسیل چیست و چگونه آنها را به درستی حل کنید، داشته باشید.

در هر صورت، ریاضیات به نوعی برای ما در زندگی مفید است. این منطق و توجه را توسعه می دهد که بدون آن هر فرد مانند بدون دست است.

به عنوان مثال، تابع
تابع همگن بعد اول است، زیرا

تابع همگن بعد سوم است، زیرا

تابعی همگن از بعد صفر است، زیرا

، یعنی
.

تعریف 2. معادله دیفرانسیل مرتبه اول y" = f(ایکس, y) همگن نامیده می شود اگر تابع f(ایکس, y) یک تابع بعد صفر همگن نسبت به است ایکس و y، یا همانطور که می گویند f(ایکس, y) تابع همگن درجه صفر است.

می توان آن را به عنوان نشان داد

که به ما اجازه می دهد یک معادله همگن را به عنوان یک معادله دیفرانسیل تعریف کنیم که می تواند به شکل (3.3) تبدیل شود.

جایگزینی
یک معادله همگن را به معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک کاهش می دهد. در واقع، پس از تعویض y=xzما گرفتیم
,
با جدا کردن متغیرها و ادغام، متوجه می شویم:

,

مثال 1. معادله را حل کنید.

Δ فرض می کنیم y=zx,
ما این عبارات را جایگزین می کنیم y و دودر این معادله:
یا
جداسازی متغیرها:
و ادغام کنید:
,

جایگزین کردن zبر ، ما گرفتیم
.

مثال 2 پیدا کردن تصمیم مشترکمعادلات

Δ در این معادله پ (ایکس,y) =ایکس 2 -2y 2 ,س(ایکس,y) =2xyتوابع همگن بعد دوم هستند، بنابراین این معادله همگن است. می توان آن را به عنوان نشان داد
و به روش بالا حل کنید. اما ما از یک نماد متفاوت استفاده می کنیم. بگذاریم y = zx، جایی که دو = zdx + xdz. با جایگزینی این عبارات در معادله اصلی، خواهیم داشت

dx+2 zxdz = 0 .

متغیرها را با شمارش جدا می کنیم

.

ترم به ترم این معادله را ادغام می کنیم

، جایی که

به این معنا که
. بازگشت به عملکرد قبلی
یک راه حل کلی پیدا کنید


مثال 3 . یک جواب کلی برای معادله پیدا کنید
.

Δ زنجیره تبدیل: ,y = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

سخنرانی 8

4. معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول شکل دارد.

در اینجا عبارت آزاد است که سمت راست معادله نیز نامیده می شود. در این فرم به بررسی خواهیم پرداخت معادله خطیبه علاوه.

اگر
0، سپس معادله (4.1a) ناهمگن خطی نامیده می شود. اگر
0، سپس معادله شکل می گیرد

و همگن خطی نامیده می شود.

نام معادله (4.1a) با این واقعیت توضیح داده می شود که تابع مجهول y و مشتق آن آن را به صورت خطی وارد کنید، یعنی. در درجه اول

در یک معادله همگن خطی، متغیرها از هم جدا می شوند. بازنویسی آن در فرم
جایی که
و با ادغام، دریافت می کنیم:
، آن ها

وقتی تقسیم بر ما تصمیم را از دست می دهیم
. با این حال، اگر فرض کنیم که می توان آن را در خانواده راه حل های یافت شده (4.3) قرار داد بامی تواند مقدار 0 را نیز بگیرد.

روش های مختلفی برای حل معادله (4.1a) وجود دارد. مطابق با روش برنولی، راه حل به عنوان حاصلضرب دو تابع از جستجو می شود ایکس:

یکی از این توابع را می توان خودسرانه انتخاب کرد، زیرا فقط محصول UV باید معادله اصلی را برآورده کند، دیگری بر اساس معادله (4.1a) تعیین می شود.

با تمایز هر دو طرف برابری (4.4)، متوجه می شویم
.

جایگزینی عبارت مشتق حاصله ، و همچنین ارزش در در رابطه (4.1a)، به دست می آوریم
، یا

آن ها به عنوان یک تابع vحل معادله خطی همگن (4.6) را بگیرید:

(اینجا سینوشتن واجب است، در غیر این صورت نه یک راه حل کلی، بلکه یک راه حل خاص دریافت خواهید کرد).

بنابراین، می بینیم که در نتیجه جایگزینی (4.4) استفاده شده، معادله (4.1a) به دو معادله با متغیرهای قابل تفکیک (4.6) و (4.7) کاهش می یابد.

جایگزین کردن
و v(x) به فرمول (4.4)، در نهایت به دست می آوریم

,

مثال 1 یک جواب کلی برای معادله پیدا کنید

 قرار دادیم
، سپس
. جایگزینی عبارات و به معادله اصلی می رسیم
یا
(*)

ضریب را با صفر برابر می کنیم :

با جدا کردن متغیرها در معادله حاصل، داریم


(ثابت خودسرانه سی ننویسید)، از این رو v= ایکس. ارزش یافت شده vمعادله (*) را جایگزین کنید:

,
,
.

از این رو،
حل کلی معادله اصلی.

توجه داشته باشید که معادله (*) را می توان به شکلی معادل نوشت:

.

انتخاب یک تابع به صورت تصادفی تو، اما نه v، می توانیم فرض کنیم
. این روش حل با روش در نظر گرفته شده فقط با جایگزینی متفاوت است vبر تو(و بنابراین توبر v) به طوری که مقدار نهایی درمعلوم می شود که همین طور است.

بر اساس موارد فوق، الگوریتمی برای حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول بدست می آوریم.

توجه داشته باشید که گاهی اوقات یک معادله مرتبه اول خطی می شود اگر دریک متغیر مستقل در نظر گرفته شود، و ایکس- وابسته، یعنی تغییر نقش ایکس و y. این را می توان به شرطی انجام داد ایکسو dxمعادله را به صورت خطی وارد کنید.

مثال 2 . معادله را حل کنید
.

از نظر ظاهری، این معادله نسبت به تابع خطی نیست در.

با این حال، اگر در نظر بگیریم ایکسبه عنوان تابعی از در، پس با توجه به اینکه
، می توان آن را به فرم آورد

جایگزین کردن بر ، ما گرفتیم
یا
. تقسیم دو طرف آخرین معادله بر حاصلضرب ydy، آن را به فرم بیاورید

، یا
. (**)

اینجا P(y)=،
. این یک معادله خطی با توجه به ایکس. ما معتقدیم
,
. با جایگزینی این عبارات به (**)، دریافت می کنیم

یا
.

ما v را طوری انتخاب می کنیم که
,
، جایی که
;
. سپس ما داریم
,
,
.

زیرا
، سپس به جواب کلی این معادله به شکل می رسیم

.

توجه داشته باشید که در رابطه (4.1a) پ(ایکس) و س (ایکس) می تواند نه تنها به عنوان توابع رخ دهد ایکس، بلکه ثابت ها: پ= آ,س= ب. معادله خطی

همچنین با استفاده از جایگزینی y= قابل حل است UV و جداسازی متغیرها:

;
.

از اینجا
;
;
; جایی که
. با خلاص شدن از شر لگاریتم، جواب کلی معادله را به دست می آوریم

(اینجا
).

در ب= 0 به حل معادله می رسیم

(به معادله رشد نمایی (2.4) مراجعه کنید
).

ابتدا معادله همگن مربوطه (4.2) را ادغام می کنیم. همانطور که در بالا نشان داده شد، محلول آن به شکل (4.3) است. ما عامل را در نظر خواهیم گرفت بادر (4.3) توسط تابعی از ایکس، یعنی در اصل تغییر متغیر را ایجاد می کند

از آنجا، ادغام، پیدا می کنیم

توجه داشته باشید که مطابق (4.14) (همچنین به (4.9) مراجعه کنید)، جواب کلی معادله خطی ناهمگن برابر است با مجموع جواب کلی معادله همگن مربوطه (4.3) و حل خاص معادله ناهمگن تعیین شده است. توسط ترم دوم در (4.14) (و در (4.9)).

هنگام حل معادلات خاص، باید محاسبات فوق را تکرار کرد و از فرمول دست و پا گیر (4.14) استفاده نکرد.

ما روش لاگرانژ را برای معادله در نظر گرفته شده در آن اعمال می کنیم مثال 1 :

.

معادله همگن مربوطه را ادغام می کنیم
.

با جدا کردن متغیرها، دریافت می کنیم
و فراتر
. حل یک عبارت با فرمول y = Cx. حل معادله اصلی در فرم جستجو شده است y = سی(ایکس)ایکس. با جایگزینی این عبارت در معادله داده شده، به دست می آوریم
;
;
,
. جواب کلی معادله اصلی شکل دارد

.

در نتیجه، توجه می کنیم که معادله برنولی به یک معادله خطی کاهش می یابد

که می تواند به صورت نوشته شود

جایگزینی
به یک معادله خطی کاهش می یابد:

,
,
.

معادلات برنولی نیز با روش هایی که در بالا توضیح داده شد حل می شوند.

مثال 3 . یک جواب کلی برای معادله پیدا کنید
.

 زنجیره تحولات:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
