Курсова работа по дисциплина: Иконометрия на тема: Времеви редове. Тенденции

МОСКОВСКИЯ ИНСТИТУТ ПО УПРАВЛЕНИЕ

Специалност: Финанси и кредити

Отдел: Кореспондентски

Група: RFK1

Курсова работа

По дисциплина: Иконометрия

По темата: Времеви редове. Тенденции. Автокорелация.

Студент:

Ръководител:

Проверено:

Москва 2005 г

Въведение. 3

Историята на възникването на иконометрията като наука .. 5

Времеви редове. 7

процес на бял шум .. 12

процес на пълзяща средна .. 18

Нестационарни времеви редове .. 20

Тенденция и нейният анализ. 24

.. 25

Изглаждане на времеви редове . 28

Заключение. 32

Литература.. 33

Въведение

Иконометрията е наука, в която на основата на реални статистически

данни, математически модели се изграждат, анализират и изпълняват

реални икономически явления.

Една от най-важните области на иконометрията е конструкцията

прогнози за различни икономически показатели.

Фактори, които формират цикличните колебания на серията (напр.

в сравнение с лятото)

· случайни фактори.

Очевидно реалните данни най-често съдържат и трите компонента. Модел, в който динамичен ред е представен като сума от изброените компоненти, се нарича адитивен модел на времеви редове. Ако времевият ред е представен като техен продукт, тогава такъв модел се нарича мултипликативен.

Под времеви редове (времеви редове) се разбира последователността от наблюдения на стойностите на някаква променлива, произведени на редовни интервали. Ако вземем дължината на такъв интервал като единица време (година, тримесечие, ден и т.н.), тогава можем да приемем, че последователни наблюдения x1, ..., xn са направени в моментите

t = 1, …, n.

Основен отличителна черта Статистически анализвремеви редове е тази последователност от наблюдения

x1, ..., xn се разглежда като реализация на последователност от, най-общо казано, статистически зависими случайни променливи X1, ..., Xn, имащи някакво съвместно разпределение с функцията на разпределение

F(v1, v2, …, vn) = P( X1< v1, X2 < v2, ... , Xn < vn }.

Ще разгледаме главно времевите редове, за които съвместното разпределение на случайни променливи X1, ..., Xn има съвместна плътност на разпределение p(x1, x2, ... , xn).

За да се направи проблемът със статистическия анализ на времеви редове достъпен за практическо решение, трябва по някакъв начин да се ограничи класът на разглежданите модели на времеви редове, като се въведат определени допускания относно структурата на реда и структурата на неговите вероятностни характеристики. Едно от тези ограничения предполага стационарността на динамичния ред.

Серия xt, t = 1, …, n, се нарича строго стационарна (или стационарна в тесен смисъл), ако за всяко m (m< n) совместное распределение вероятностей случайных величин X t1…… X tm такое же, как и для X t1+ш…… X tm + I, при любых t1,…, tm и I, таких, что 1 ≤ t1, … , tm ≤ n и 1 ≤ t1+ д., … , tm+ I≤ n.

С други думи, свойствата на строго стационарен времеви ред не се променят, когато произходът на времето се промени. По-специално, за m = 1, от предположението за строга стационарност на времевия ред xt следва, че законът за разпределение на вероятността на случайната променлива Xt не зависи от t, което означава, че всички негови основни числови характеристики(ако съществуват, разбира се), включително: очаквана стойност E (Xt) = Mи дисперсия D(Xt)= Ớ2.

Стойността на M.  определя постоянното ниво, спрямо което се колебае анализираният времеви ред xt, а константата Ớ  характеризира диапазона на тези колебания.

Една от основните разлики между последователността от наблюдения, които формират времевия ред, е, че членовете на времевия ред са, най-общо казано, статистически взаимозависими. Степента на близост на статистическата връзка между случайни променливи Xt и Xt+ могат да бъдат измерени чрез коефициента на двойна корелация

font-size:14.0pt; line-height:150%">къде

font-size:14.0pt; line-height:150%">Ако xt редът е неподвижен, тогава стойността не зависи от t и е функция само на ; ще използваме font-size:14.0pt за него; line-height:150%">font-size:14.0pt; line-height:150%">По-конкретно,

font-size:14.0pt; line-height:150%"> Съответно за стационарната серия и стойността на корелационния коефициент

font-size:14.0pt; line-height:150%">.jpg" width="41" height="26">

така

font-size:14.0pt; line-height:150%">По-специално, font-size:14.0pt; line-height:150%">Практическа проверка на стриктната стационарност на серията xt въз основа на наблюдението на стойностите x1, x2, … , xn в общ случайтруден. В тази връзка на практика под стационарен ред често се разбира динамичен ред xt, за който

font-size:14.0pt; line-height:150%">Поредица, за която са изпълнени тези три условия, се нарича стационарна в широк смисъл (слабо стационарна, стационарна от втори ред или стационарна ковариация).

Ако една серия е в общи линии стационарна, тогава тя не е непременно строго стационарна. В същото време една строго стационарна серия може да не е стационарна в широк смисъл, просто защото може да няма математическо очакване и/или дисперсия. (Във връзка с последното може да служи като пример произволна извадка от разпределението на Коши.) Освен това са възможни ситуации, когато тези три условия са изпълнени, но например зависи от t. Серия xt, t = 1, …, n, се нарича гаусова, ако съвместното разпределение на случайни променливи X1, ..., Xn е n-мерно нормално разпределение. За

на редовете на Гаус, концепциите за стационарност в тесен и в широк смисъл съвпадат.

По-нататък, говорейки за стационарността на някои серии xt, ние (ако не

в противен случай ще имаме предвид, че този ред е стационарен в широк смисъл (така че има очакване и дисперсия). И така, нека xt е стационарен ред c

font-size:14.0pt; line-height:150%">Тъй като в този случай коефициентът измерва корелацията между членовете на една и съща времева серия, той обикновено се нарича коефициент на автокорелация (или просто автокорелация). По същата причина ковариациите се наричат автоковариации. .jpg" width ="16" height="16">често срещано за обсъждане автокорелационна функция font-size:14.0pt; line-height:150%"> Автокорелационната функция е безразмерна, т.е. не зависи от измервателната скала на анализирания времеви ред. Нейните стойности могат да варират от 1 до +1; докато ρ(0) = 1 , Освен това следва от стационарността на серията xt, , така че когато се анализира поведението на автокорелационните функции, човек обикновено се ограничава до разглеждането само на неотрицателни стойности размер на шрифта: 14.0pt; line-height:150%"> xt е стационарен времеви ред и

c е някаква константа, тогава времевият ред

xt и (xt + c) имат еднакви корелограми.

Ако приемем, че времевият ред е описан от стационарния модел

Гаусов процес, тогава Пълно описаниесъвместно разпределение на случайни променливи X 1, ..., X n изисква настройка на n + 1 параметъра:

или https://pandia.ru/text/79/393/images/image026_1.jpg" width="199" height="22 src=">

Това е много по-малко, отколкото без изискването за стационарност, но все пак повече от броя на наблюденията. В тази връзка, дори и за стационарни

Gaussian времеви редове, необходимо е допълнително да се опрости моделът, за да се ограничи броят на параметрите, които трябва да бъдат оценени от наличните наблюдения. Сега се обръщаме към разглеждането на някои прости времеви редове по структура, които в същото време са полезни за описване на еволюцията във времето на много реални икономически показатели.

процес на бял шум

Процесът на бял шум („бял шум“, „чисто случаен времеви

един до друг") се нарича стационарен времеви ред xt, за който

font-size:14.0pt; line-height:150%"> Последното означава, че при t ≠ s случайните променливи Xt и Xs, съответстващи на наблюденията на процеса на бял шум в моменти t и s, не са корелирани.

В случай, че Xt има нормална дистрибуция, случайните променливи X 1, ..., X n са взаимно независими и имат едно и също нормално разпределение N(0, 2), образувайки случайна извадка от това разпределение, т.е. .

Такава серия се нарича бял шум на Гаус.

В същото време, в общия случай, дори ако някои случайни променливи

X1, ... ,Xn са взаимно независими и имат едно и също разпределение, това не означава, че те образуват процес на бял шум, тъй като случайната променлива Xt може просто да няма математическото очакване и/или дисперсията (като пример, ние отново можем да посочим разпределението на Коши).

Времевите редове, съответстващи на процеса на бял шум, се държат по изключително неравномерен начин поради некорелацията при t ≠ s на случайните променливи Xt и Xs. Това е илюстрирано на графиката по-долу за симулирана реализация на процес на бял шум на Гаус (NOISE) с D(Xt) ≡ 0,04.

font-size:14.0pt; line-height:150%">В това отношение процесът на бял шум не е подходящ за директно моделиране на еволюцията на повечето времеви редове, срещани в икономиката.

В същото време, както ще видим по-долу, такъв процес е основата за конструиране на по-реалистични модели на времеви серии, които генерират „по-плавни“ траектории на серии. Поради честото използване на процеса на бял шум в това, което следва, ще разграничим този процес от други модели на времеви редове, като използваме нотацията εt за него.

Като пример за серия, чиято траектория е подобна на прилагането на процеса на бял шум, може да се посочи например серия, образувана от стойностите на скоростта на промяна (растеж) на индекса Dow Jones през 1984 г. (дневни данни).

Графиката на тази серия изглежда така

font-size:14.0pt; line-height:150%"> Обърнете внимание обаче, че тук има известна асиметрия във вероятностното разпределение на xt стойностите (изкривяването на това разпределение към положителни стойности), което изключва описанието на модела от тази серия като бял шум на Гаус.

Процес на авторегресия

Един от широко използваните модели на времеви редове е авторегресивният процес (авторегресивен модел). В най-простата си форма авторегресивният модел описва механизма за генериране на серии, както следва:

Xt = a Xt – 1 + εt, t = 1, …, n,

където εt е процес на бял шум с нулева средна стойност и

вариация font-size:14.0pt; line-height:150%">X0 - някаква произволна стойност,

и a ≠ 0 е някакъв постоянен коефициент.

При което

E(Xt) = a E(X t – 1),

така че разглежданият процес може да бъде стационарен само ако E(Xt) = 0 за всички t = 0, 1, …, n.

Xt = a X t – 1 + εt = a (a Xt –2 + εt–1) + εt = a2 Xt–2 + a εt–1 + εt = … =

= a t X0 + a t –1 ε1 + a t–2 ε2 + … + εt,

Xt–1 = a Xt–2 + εt–1 = a t–1 X0 + a t–2 ε1 + a t–3 ε2 + … + εt–1,

Xt–2 = a Xt–3 + εt–2 = a t–2 X0 + a t–3 ε1 + a t–4 ε2 + … + εt–2,

…

X1 = a X0 + ε1.

Ако случайната променлива X0 не е корелирана със случайните променливи ε1, ε2,

…, εn, тогава следва, че

font-size:14.0pt; line-height:150%">По този начин, механизмът за генериране на последователни наблюдения, даден от отношенията

Xt = a Xt–1 + εt, t = 1, …, n,

генерира стационарен времеви ред, ако a< 1 ; случайная величина X0 не коррелирована со случайными величинами ε1, ε2, …,εn ;

font-size:14.0pt; line-height:150%"> Разглежданият модел генерира (при посочените условия) стационарен ред с нулево математическо очакване. Въпреки това, той може лесно да бъде разширен до времеви редове yt с ненулево математическо очакване , като се приеме, че

посоченият модел принадлежи към центрираната серия

font-size:14.0pt; line-height:150%"> Следователно, без загуба на общоприетост, в настоящото разглеждане авторегресивните модели, които генерират стационарен процес с нулева средна стойност, могат да бъдат пренебрегнати.

Продължавайки разглеждането на дефинирания по-рано процес Xt (с нулево математическо очакване), отбелязваме, че за него

font-size:14.0pt; line-height:150%"> и за стойности a > 0 близо до 1, има силна положителна корелация между съседни наблюдения, което осигурява по-гладко поведение на серийните траектории в сравнение с процеса на бял шум. За< 0 процесс авторегрессии, напротив, имеет менее гладкие реализации, поскольку в этом случае проявляется тенденция чередования знаков последовательных наблюдений.

Следващите два графика демонстрират поведението на симулирани реализации на времеви редове, генерирани от авторегресивни модели ε

при a = 0.8 (първа графика) и a = – 0.8 (втора графика).

https://pandia.ru/text/79/393/images/image040_0.jpg" width="69" height="24">

Освен това статистическите данни за поведението на серията до момента t = 0 могат

да отсъства напълно, така че стойността на x0 е просто някаква наблюдаема числена стойност. И в двата случая серията Xt вече няма да бъде неподвижна дори за a.

процес на пълзяща средна

Друг прост модел за генериране на времеви редове е процесът на пълзяща средна на реда q (MA(q)). Според този модел,

font-size:14.0pt; line-height:150%">В същото време, за да се осигури стационарност, е необходимо и достатъчно абсолютната стойност на параметрите да бъде по-малка от единица (или, което е същото, коренът характеристично уравнение 1- размер на шрифта:14.0pt; line-height:150%">font-size:14.0pt; line-height:150%">Смесен процес на авторегресия-пълзяща средна (процес

Процесът Xt с нулево математическо очакване, който принадлежи към този клас процеси, се характеризира с редовете p и q на неговите AR и MA компоненти и се обозначава като процес ARMA(p, q) (авторегресивен пълзяща средна, смесена авторегресивна подвижна средна). По-точно, процес Xt с нулево очакване принадлежи към класа ARMA(p, q), ако

font-size:14.0pt; line-height:150%">където a(L) и b(L) имат същата форма като в предварително дефинираните модели AR(p) и MA(q). Ако процесът има постоянно очакване , тогава той е процес от тип ARMA(p, q), ако

font-size:14.0pt; line-height:150%">Обърнете внимание на следните свойства на процеса 

Процесът е стационарен, ако всички корени на уравнението a(z) = 0 лежат извън единицата

кръг z ≤ 1.

Ако процесът е стационарен, тогава има еквивалентен процес

font-size:14.0pt; line-height:150%">Ако всички корени на уравнението b(z) = 0 лежат извън единичната окръжност z ≤ 1

(условие за обратимост), тогава съществува еквивалентно представяне

font-size:14.0pt; line-height:150%">От това следва, че стационарният процес ARMA(p, q) може винаги

достатъчен е приблизителен процес с пълзяща средна висок ред, а

ако условието за обратимост е изпълнено, то може също да бъде апроксимирано чрез авторегресивен процес от достатъчно висок порядък.

В икономиката много времеви редове се агрегират. От горния факт следва, че ако всеки от компонентите съответства на прост AR модел, тогава ако тези компоненти са независими, тяхната сума ще бъде ARMA процес.

Нестационарни времеви редове

В икономическата практика е обичайно да се разглеждат два основни вида нестационарни времеви редове:

Произволно ходене (със смяна)

font-size:14.0pt; line-height:150%"> font-size:14.0pt; line-height:150%">Вторият основен тип е ред от формата:

Хt = https://pandia.ru/text/79/393/images/image054_1.gif" width="13" height="15 src=">t

Такива редове се наричат още времеви редове с детерминистична тенденция.

200

150

100

Ориз. Нестационарни времеви редове с детерминиран тренд.

Помислете за времева серия със стохастична тенденция.

Yt = https://pandia.ru/text/79/393/images/image054_1.gif" width="13" height="15 src=">t

Това уравнение е частен случай на по-общ модел

Yt = https://pandia.ru/text/79/393/images/image053_1.gif" width="16" height="15 src="> Yt-1 + font-size:14.0pt; line-height: 150%">В зависимост от размера на шрифта:14.0pt; line-height:150%">|a|< 1 - процесс является стационарным;

|а| font-size:14.0pt; line-height:150%">Когато |a| >1, процесът става "експлозивен", т.е. ударът, възникнал в системата в момент t, ще има по-силен ефект върху нея в момент t + 1, дори по-силен - в момента t + 2 и т.н.

Фигурата показва процесите на нестационарни времеви редове с коефициент >1. Фигура А

font-size:14.0pt; line-height:150%">Показва първите 250 и

Фигура B. - първите 450 ненаблюдения на същия процес. . Вижда се как се увеличава увеличението на броя на наблюденията

експлозивен" характер на процеса.

Фигура Б.

180

160

140

120

100

O450

Подобни тенденции могат да се проследят и при процеси с коеф< -1.

Такива процеси (както и процесът с коефициент = -1 рядко съответстват на икономически данни, следователно, като правило, основният акцент е върху разглеждането на процеси, които имат единичен корен, т.е. случаят, когато =1.

Тенденция и нейният анализ.

Тенденцията или тенденцията на времевата серия е донякъде конвенционална

концепция. Тенденцията се разбира като редовна, неслучайна

компонент на времевия ред (обикновено монотонен), който може

да бъдат изчислени съгласно добре дефинирано недвусмислено правило. тенденция

времевите редове често се свързват с действието на физичните закони или

всякакви други обективни закони. Въпреки това, като цяло

казано, невъзможно е еднозначно да се отдели случаен процес или

времеви редове на регулярна част (тенденция) и осцилаторна част

(остатък). Следователно обикновено се приема, че тенденцията е някаква

функция проста форма(линейни, квадратни и т.н.) описващи

"поведението като цяло" на серия или процес. Ако разпределението на такива

тенденцията опростява изследването, след това предположението за избраната форма

тенденцията се счита за приемлива.

За времева серия уравнението на линейната тенденция има формата

font-size:14.0pt; line-height:150%"> При r>0 те говорят за положителна тенденция (с течение на времето

стойностите на времевия ред имат тенденция да се увеличават), с r<0 об

отрицателна (намаляваща тенденция). За r близо до нула, понякога

говорим за странична тенденция. Както бе споменато по-горе, за случая, когато

t=1,2,3,...n, имаме:

font-size:14.0pt; line-height:150%"> на практика обаче не трябва да изчислявате r и yX отделно и само

след това ги заместете в уравнението на тренда. По-добре точно във формулата

тенденция да прави контракции, след което ще приеме формата:

font-size:14.0pt; line-height:150%"> След като маркирате линейната тенденция, трябва да разберете колко е тя

значително. Това става чрез анализ на коефициента на корелация.

Факт е, че разликата между коефициента на корелация от нула и

наличието на реална тенденция (положителна или отрицателна)

могат да бъдат произволни, свързани със спецификата

разглеждан сегмент от динамичния ред. С други думи, при

анализ на друг набор от експериментални данни (за същото

времеви редове) може да се окаже, че получената оценка

много по-близо до нула от оригинала (и може би дори има различен

знак), и става трудно да се говори за истинска тенденция тук.

Автокорелация на нива на времеви редове

Ако има тренд и циклични колебания във времевата серия, стойностите на всяко следващо ниво на серията зависят от предходните. Корелационната зависимост между последователните нива на динамичния ред се нарича автокорелация на нивата на реда.

Той може да бъде количествено измерен с помощта на линеен коефициент на корелация между нивата на оригиналния времеви ред и нивата на този ред, изместени с няколко стъпки във времето.

Формулата за изчисляване на коефициента на автокорелация е:

font-size:14.0pt; line-height:150%">къде

font-size:14.0pt; line-height:150%"> Тази стойност се нарича коефициент на автокорелация на нивата на серията от първи ред, тъй като измерва зависимостта между съседни нива на серията и .

По същия начин могат да се определят автокорелационните коефициенти от втория и по-високия ред. По този начин коефициентът на автокорелация от втори ред характеризира плътността на връзката между нивата и размера на шрифта: 14.0pt; line-height:150%"> font-size:14.0pt; line-height:150%"> където

font-size:14.0pt; line-height:150%"> Броят на периодите, за които се изчислява коефициентът на автокорелация, се нарича забавяне. С увеличаването на забавянето броят на двойките стойности, за които се изчислява коефициентът на автокорелация, намалява. Счита се за подходящо да се използва правилото за осигуряване на статистическа надеждност на коефициентите на автокорелация - максималният лаг не трябва да бъде повече.

Свойства на автокорелационния коефициент.

Изграден е по подобен начин на линеен коефициенткорелация и по този начин характеризира близостта само на линейна връзка между текущите и предишните нива на серията. Следователно коефициентът на автокорелация може да се използва за преценка за наличието на линейна (или близка до линейна) тенденция. За някои времеви редове със силна нелинейна тенденция (например парабола от втори ред или експонента), коефициентът на автокорелация на нивата на оригиналния ред може да се доближи до нула.

По знака на коефициента на автокорелация не може да се направи заключение за нарастваща или намаляваща тенденция в нивата на серията. Повечето времеви редове от икономически данни съдържат положителна автокорелация на нивата, но те могат да имат тенденция към намаляване.

Последователността от автокорелационни коефициенти на нива от първи, втори и т.н. редове се нарича автокорелационна функция на времевия ред. Графиката на зависимостта на неговите стойности от големината на изоставането (от порядъка на коефициента на автокорелация) се нарича корелограма.

Анализът на автокорелационната функция и корелограмата дава възможност да се определи лагът, при който автокорелацията е най-висока, и следователно, лагът, при който връзката между текущите и предишните нива на серията е най-близка, т.е., като се използва анализът на автокорелационната функция и корелограмата може да разкрие структурата на серията.

Ако коефициентът на автокорелация от първи ред се оказа най-висок, изследваната серия съдържа само тенденция. Ако коефициентът на автокорелация на поръчката е най-висок, тогава серията съдържа циклични колебания с честота font-size:14.0pt; line-height:150%"> се приема като индикация за значимостта на корелацията с

съответен лаг.

Изглаждане на времеви редове

За премахване се използва изглаждане на времеви редове

високочестотни компоненти (които обикновено са

незначителни, тъй като са причинени от случайни фактори). Един от

най-простите методи за изглаждане - методът на плъзгане или преместване

средна (MA в английската нотация), тя е една от най-

стар и известен. Този метод се основава на прехода от

началните стойности на времевия ред до техните средни стойности на

някакъв зададен интервал от време (продължителността на който се нарича

ширина на прозореца). Този интервал от време, така да се каже, се плъзга по серия, с

което е името на метода. Във всеки момент от тази пързалка ние

виждаме само част от поредицата, което е причината за терминологията „прозорец“.

Новото време, получено в резултат на такова изглаждане

серията обикновено се държи по-правилно (гладко), което се дължи на

отстраняване на резки произволни отклонения в процеса на изглаждане,

падане в прозореца. Изглаждането е полезно да се прилага дори в най

началото на изследването на динамичните редове, тъй като често

е възможно да се изясни въпросът за наличието и характера на тенденцията, както и

идентифициране на сезонни колебания.

Трябва да се кажат няколко думи за сезонните колебания. Те са

се появяват в много времеви редове, по-специално в икономиката,

метеорология. Сезонните колебания са всички такива промени,

които съответстват на определена (почти) строго периодична

ритъм (не непременно равен на една година, както при обикновените

сезони), присъщи на Вселената, природата или човека

дейности. Тази периодичност може ясно да се види в

процеси човешка дейност, например при промени в обема

транспорт с местен транспорт последните днивсяка седмица или

сутрин и вечер през всеки ден, в нарастването на грешките при

извършване на производствени операции в понеделник и пр. Но

най-типичните сезонни колебания са свързани именно с промяната

сезони на годината. Те засягат огромен брой параметри на живота.

човешки (съвременни и древни). Обикновено когато

проучванията на времеви редове се стремят да подчертаят сезонните колебания

за да ги изолираме и да изучаваме други, по-сложни

периодични компоненти.

Най-просто изглаждане по метода MA с широчина на прозореца 2m+1

произведени по следните формули:

x*k=(xk-m+xk-m+1+...+xk+xk+1+...+xk+m)/2m+1.

Изборът на ширина на прозореца е продиктуван от смислени съображения,

свързани с очаквания период на сезонни колебания или

с желателното изключение на определен вид висока честота

флуктуации. На практика обикновено при липса на сезонност шир

прозорците се приемат равни на 3, 5 или 7. Не се препоръчва да вземете прозореца по-широк,

повече от една четвърт от анализираните данни. Колкото по-широк е прозорецът, толкова

повече вибрационни компоненти ще бъдат изключени и по-гладки

изглед на серията, получен чрез изглаждане. Въпреки това, в твърде големи размери

windows, получената серия вече е значително различна от оригинала,

много са изгубени индивидуални характеристикии още и още

подходи постоянни. Ако вземем максималната ширина на прозореца

възможно (равно на общ бройдадени стойности x1,x2,...), тогава

просто стигаме до постоянна стойност, равна на средната стойност

всички тези xi.

Пълзящите средни могат, за съжаление, да изкривят краткосрочните колебания и да генерират фиктивни хармоници.

компоненти при хармоничен анализвремеви редове.

Има различни модификации на метода MA. В някои от тях

използват се по-сложни методи за осредняване (с някои тегла

и т.н.), които подчертават по-голямото или по-малкото значение

индивидуални условия. Например, често използваната експоненциална

изглаждането се основава на присвояване на големи тегла на непосредствено предходни стойности. Този подход е широко разпространен в социологията, икономиката и други дисциплини.

В момента методът MA (с различни модификации)

внедрени във всички статистически софтуерни пакети, както и в

много специализирани програми, предназначени за

обработка на икономическа и бизнес информация.

За случайни процеси също има различни методи

изглаждане. Тук броят на методите е изключително голям, това се дължи на

фактът, че осредняването може да се извърши чрез интегриране с

някаква тегловна функция, която може да бъде избрана достатъчно

произволно. Следователно прозорецът тук е зададен не само от неговата ширина,

и формата на усредняващата функция. Правилен избор windows е много трудна задача, на това е посветена обширна литература. Правоъгълният прозорец (използван в класическата версия на метода MA) има редица недостатъци, които в класическа теорияРедовете на Фурие са свързани с феномена на Гибс, технически наричан изтичане на мощност. При изучаването на случайни процеси често се говори не за изглаждане, а за филтриране (или за корекция, почистване на спектъра) и във високочестотната област

говорим за използването на високочестотен филтър (HPF) и в региона

ниски честоти– относно нискочестотния филтър (LPF). От такъв вид

терминологията е приета по-специално в теорията за разпознаване на сигнали

и като цяло в теорията на комуникацията.

Друг (терминологичен, но не и същностен) подход към

се основава на изглаждане на времеви редове и случайни процеси

модификации на спектъра. Ако в спектъра на серия просто напълно премахнете

високочестотни компоненти, получавате нова серия, която води

себе си по-редовно. Този вид изчисление е възможно само с

наличие на компютър и специална програма за работа с редове и

Трансформации на Фурие. Тези програми са част от мнозинството

универсални математически пакети (Mathcad, Matlab, Maple,

Mathematica) и много статистически пакети.

Заключение

Иконометрията е науката, която определя количествено

взаимовръзки на икономическите явления и процеси. Тази наука възниква в резултат на взаимодействието и комбинацията от три компонента: икономическа теория, статистически и икономически методи. Формирането и развитието на иконометрията се извършва на базата на така наречената висша статистика, когато променливите започват да се включват в уравнението на регресията не само на първа, но и на втора степен. В някои случаи това е необходимо, за да се отрази свойството на оптималността на икономическите променливи, т.е. наличието на стойности, при които се постига минимално или максимално въздействие върху зависимата променлива. Такъв е например ефектът от прилагането на торове върху добивите: до определено ниво насищането на почвата с торове допринася за увеличаване на добивите, а когато се достигне оптималното ниво на насищане с торове, по-нататъшното му увеличаването не води до увеличаване на добивите и дори може да доведе до тяхното намаляване.

Описание икономически системи математически методи, или иконометрия, прави заключения за реални обекти и връзки от резултатите от извадково проучване или симулация. В същото време, за да се направи заключение кои от получените резултати са надеждни и кои са съмнителни или просто неоснователни, е необходимо да можете да оцените тяхната надеждност и големината на грешката. Всички тези аспекти съставляват съдържанието на иконометрията като наука.

По този начин ядрото на знанието в икономиката е експеримент, включващ или пряко наблюдение (измерване), или математическо моделиране.

Литература

Основен:

1. Иконометрия: Учебник / Ред. . - М.: Финанси и статистика, 2002. - 344 с.

2. Практикум по иконометрия: Учебник. надбавка / Изд. . - М.: Финанси и статистика, 2003. - 192 с.

3. Иконометрия във въпроси и отговори / урок, Москва 2005 г . Издателство "Проспект", 208с.

4. , Путко: Учебник за ВУЗ / Ред. проф. . - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 311 с.

5. , Пересецки. Начален курс: Учебник. – М.: Дело, 2001. – 400 с.

6. Иконометрия / Москва "Финанси и статистика" 2001, -304p.

Времевият ред е набор от стойности на индикатор за няколко последователни момента или периода от време. Всяка стойност (ниво) на динамичния ред се формира под влияние на Голям бройфактори, които могат да бъдат разделени на три групи:

1) фактори, които формират тенденцията на серията;
2) фактори, които формират цикличните колебания на реда;
3) случайни фактори.

Трендът характеризира дългосрочното влияние на факторите върху динамиката на показателя. Тенденцията може да бъде нарастваща (фиг. 4.1,а) или намаляваща (фиг. 4.1.6).

Цикличните колебания могат да бъдат сезонни или да отразяват динамиката на пазарните условия (Фигура 4.2), както и фазата на бизнес цикъла, в която се намира икономиката на страната.

Ориз. 4.1. Тенденции във времеви редове: а-повишаване на; б -намаляващ

Ориз. 4.2.

Реалните данни често съдържат и трите компонента. В повечето случаи времевата серия може да бъде представена като сума или продукт на тенденция T,цикличен Си случаен дкомпонент. В случай на тяхната сума се осъществява модел на адитивен времеви ред:

в случай на произведение мултипликативенмодел:

Основните задачи на иконометричното изследване на единичен времеви ред са да се получи количествен израз за всеки от компонентите и да се използва тази информация, за да се предскажат бъдещите стойности на реда или да се изгради модел на връзката между две или повече времена серия.

Първо, нека разгледаме основните подходи за анализ на отделен времеви ред. Такава серия, в допълнение към случаен компонент, може да съдържа или само тенденция, или само сезонен (цикличен) компонент, или всички компоненти заедно. За да се установи наличието на един или друг неслучаен компонент, се изследва корелационната зависимост между последователните нива на времевия ред или автокорелацията на нивата на реда. Основната идея на такъв анализ е, че ако има тенденция и циклични колебания във времевата серия, стойностите на всяко следващо ниво на серията зависят от предишните.

Количествено, автокорелацията може да бъде измерена с помощта на линеен коефициент на корелация между нивата на оригиналния времеви ред и нивата на този ред, изместени с няколко стъпки във времето. Коефициентът на автокорелация на нивата на серията от първи ред ви позволява да измервате зависимостта между съседни нива на серията ту- 1, т.е. със закъснение от 1 и се изчислява по следната формула:

където стойностите се приемат като средни стойности:

В първия случай във формула (4.4) стойностите на серията се осредняват, като се започне от втората до последната, във втория - стойностите на серията от първата до предпоследната.

Формула (4.3) може да бъде представена като формула за корелационния коефициент на извадката:

където като променлива хснима се серия y ( , y 2 , ..., ти „,и като променлива y -ред y2. -,Нагоре-1 -

Ако стойността на коефициента (4.3) (или (4.5)) е близка до единица, това показва много тясна връзка между съседните нива на динамичния ред и наличието на силна линейна тенденция в динамичния ред.

Автокорелационните коефициенти от по-висок ред се определят по подобен начин. По този начин коефициентът на автокорелация от втори ред, който характеризира близостта на връзката между нивата u, iu, _ 2,се определя по формулата:

Като един среден размерв (4.6) се взема средната стойност на нивата на серията от третото до последното, а като друга - средната стойност на всички нива на серията, с изключение на последните две:

Размерът на изместване между нивата на серията, спрямо които се изчислява коефициентът на автокорелация, се нарича лаг. С увеличаването на забавянето броят на двойките стойности, използвани за изчисляване на коефициента на автокорелация, намалява. За да се осигури статистическа валидност, максималният лаг, според някои известни иконометристи, не трябва да надвишава една четвърт от общия размер на извадката.

Коефициентът на автокорелация се конструира по аналогия с коефициента на линейна корелация и следователно характеризира близостта само на линейна връзка между текущите и предишните нива на серията. Може да се използва за преценка за наличието на линеен или близък до линейния тренд. Въпреки това, за някои времеви серии със силна нелинейна тенденция (например параболична или експоненциална), коефициентът на автокорелация на нивата на серията може да се доближи до нула.

В допълнение, по знака на коефициента на автокорелация е невъзможно да се направи заключение за нарастваща или намаляваща тенденция в нивата на серията. Повечето времеви редове от икономически данни имат положителна автокорелация на нивата, но не може да се изключи тенденция към намаляване.

Последователността от коефициенти на автокорелация на нива от различен ред, започвайки от първото, се нарича автокорелационна функция на времевия ред. Графиката на зависимостта на нейните стойности от величината на изоставането се нарича корелограма. Анализът на автокорелационната функция и корелограмата помагат да се разкрие структурата на серията. Тук е уместно да приведем следните качествени аргументи.

Ако най-високият коефициент на автокорелация е от първи ред, очевидно изследваната серия съдържа само тенденция. Ако коефициентът на автокорелация от порядъка на m се окаже най-висок, серията съдържа циклични колебания с периодичност m пъти. Ако нито един от коефициентите на автокорелация не е значим, тогава серията или не съдържа тенденции и циклични колебания и има само случаен компонент, или съдържа силна нелинейна тенденция, която изисква допълнителен анализ за изследване.

Пример(I.I. Елисеева ). Нека има данни за обема на потреблението на електроенергия от жителите на област y, (млн. kWh) за периода T(тримесечие) (Таблица 4.1).

Таблица 4.1

Първоначален времеви ред на потреблението на електроенергия

Нека начертаем тези стойности на графика (фиг. 4.3).

Ориз. 4.3.

Нека определим автокорелационната функция на този времеви ред. Изчислете коефициента на автокорелация от първи ред. За да направите това, ние определяме средните стойности:

Като вземем предвид тези стойности, ще изградим спомагателна таблица (Таблица 4.2).

Таблица 4.2

Спомагателни изчисления при изчисляване на автокорелационния коефициент

Ъ-ъ-ъ	U,-Ug	(Ъ-ъ?	(Ъ-ъ-ъ)

Използвайки общите суми, изчисляваме стойността на коефициента на автокорелация от първи ред:

Тази стойност показва слаба зависимост на текущите нива на серията от непосредствено предходните им. От графиката обаче е очевидно, че има нарастваща тенденция в нивата на серията, която се наслагва от циклични колебания.

Продължаване на подобни изчисления за второ, трето и т.н. поръчки, получаваме автокорелационна функция, стойностите на която обобщаваме в таблица (Таблица 4.3) и изграждаме корелограма въз основа на нея (Фиг. 4.4).

Таблица 4.3

Стойности на автокорелационната функция на времевия ред

Ориз. 4.4.

От корелограмата може да се види, че най-високият коефициент на корелация се наблюдава при стойност на закъснение от четири, следователно серията има циклични колебания с честота от четири четвърти. Това се потвърждава и от графичен анализ на структурата на серията.

Ако при анализа на структурата на динамичния ред се открие само тенденция и няма циклични колебания (винаги присъства случаен компонент), трябва да се започне моделиране на тенденцията. Ако има и циклични колебания във времевия ред, първо трябва да се изключи цикличният компонент и едва след това да се започне моделирането на тенденцията. Откриването на тенденция се състои в конструиране на аналитична функция, която характеризира зависимостта на нивата на серията от времето, или тенденция.Този метод се нарича аналитично подравняваневремеви редове.

Зависимостта от времето може да отнеме различни форми, следователно, за да го формализираме, използваме различни видовеХарактеристика:

линеен тренд: y, = a + s
хипербола: y, = a + b /1;
експоненциална тенденция: y,=e a ~ b "(или yt=ab")
тенденция на мощност: y,=при b;
параболичен тренд от втори и по-висок ред:

Параметрите на всяка от тенденциите могат да бъдат определени чрез обикновени най-малки квадрати, като се използва времето като независима променлива t = 1,2, ",

и като зависима променлива - действителните нива на динамичния ред y,(или нива минус цикличния компонент, ако има такъв). За нелинейни трендове предварително се провежда стандартна процедура за линеаризацията им.

Има няколко начина за определяне на вида на тенденцията. Най-често се използва качествен анализ на изследвания процес, изграждане и визуален анализ на графика на зависимостта на нивата на серия от времето и изчисляване на някои основни показатели на динамиката. За същите цели могат да се използват и автокорелационните коефициенти на нивата на серията. Типът тенденция може да се определи чрез сравняване на коефициентите на автокорелация от първи ред, изчислени от оригиналните и трансформираните нива на серията. Ако времевият ред има линеен тренд, тогава неговите съседни нива y,и y, _ i са тясно свързани. В този случай коефициентът на автокорелация от първи ред на нивата на оригиналната серия трябва да бъде висок. Ако времевият ред съдържа нелинеен тренд, например под формата на експоненциален, тогава автокорелационният коефициент от първи ред от логаритмите на нивата на оригиналния ред ще бъде по-висок от съответния коефициент, изчислен от нивата на серия. Колкото по-изразена е нелинейната тенденция в изследваните времеви редове, толкова повече ще се различават стойностите на посочените коефициенти.

Изборът на най-доброто уравнение, ако серията съдържа нелинейна тенденция, може да бъде направен чрез изброяване на основните форми на тенденцията, изчисляване на коригирания коефициент на детерминация за всяко уравнение R2и избиране на уравнението на тренда с максималната стойност на този коефициент. Прилагането на този метод е сравнително лесно при компютърна обработка на данни.

Когато анализирате времеви редове, съдържащи сезонни или циклични колебания, най-простият подход е да се изчислят стойностите на сезонния компонент, като се използва методът на плъзгащата се средна и да се изгради адитивен или мултипликативен модел на времевия ред във формата (4.1) или (4.2) .

Ако амплитудата на колебанията е приблизително постоянна, се изгражда адитивен модел (4.1), в който стойностите на сезонния компонент се приемат за постоянни за различни цикли. Ако амплитудата на сезонните колебания се увеличава или намалява, се изгражда мултипликативен модел (4.2), който прави нивата на серията зависими от стойностите на сезонния компонент.

Изграждането на модел (4.1) или (4.2) се свежда до изчисляване на стойностите Т, Сили дза всяко ниво на реда. Процесът на изграждане на модел включва следните стъпки.

1. Подравняване на оригиналната серия с помощта на метода на подвижната средна.
2. Изчисляване на стойностите на сезонния компонент С.
3. Премахване на сезонния компонент от началните нива на реда и получаване на изравнени данни (T + Д)в добавка или (T x E)в мултипликативен модел.
4. Аналитично подравняване на нивата (T+E)или (Tx E)и изчисляване на стойностите Tизползвайки полученото уравнение на тренда.
5. Изчисляване на стойностите, получени от модела (T+S)или (Tx S).
6. Изчисляване на абсолютни и относителни грешки.

Пример. Изграждане на модел на адитивен времеви ред.Разгледайте данните за обема на потреблението на електроенергия от жителите на района от дадения по-горе пример. Резултатите от анализа на автокорелационната функция показват, че този времеви ред съдържа сезонни колебания с честота от четири тримесечия. Обемите на потреблението на електроенергия през есенно-зимния период (I и IV тримесечие) са по-високи, отколкото през пролетта и лятото (I и III тримесечие). Според графиката на тази серия е възможно да се установи наличието на приблизително еднаква амплитуда на трептенията. Това показва възможното наличие на адитивен модел. Нека изчислим неговите компоненти.

стъпка 1. Нека подравним началните нива на серията, използвайки метода на пълзящата средна.

Тъй като цикличните колебания имат честота от четири тримесечия, ние сумираме нивата на серията последователно за всеки четири тримесечия с изместване с една точка във времето и определяме условните годишни обеми на потреблението на електроенергия (колона 3 в таблица 4.4).

Разделяйки получените суми на 4, намираме подвижните средни (колона 4 на таблица 4.4). Коригираните стойности, получени по този начин, вече не съдържат сезонен компонент.

Тъй като подвижните средни се получават чрез осредняване на четири съседни нива на серията, т.е. четен брой стойности, те съответстват на средните точки на подинтервали, състоящи се от четворки числа, т.е. трябва да се намира между третата и четвъртата стойност на четворките на оригиналния ред. За да могат пълзящите средни да бъдат разположени в същите маркировки за време като оригиналната серия, двойки съседни пълзящи средни се осредняват отново и се получават центрирани пълзящи средни (колона 5 на таблица 4.4). В този случай първите две и последните две точки от времевия ред се губят, което е свързано с осредняване над четири точки.

Таблица 4.4

Изчисляване на оценките на сезонните компоненти

четвърт	Консумация на електроенергия (ф,)	Общо за четири тримесечия	Центрирано плъзгане	сезонен Компоненти

стъпка 2. Намерете оценки на сезонния компонент като разликата между действителните нива на серията (колона 2 на таблица 4.4) и центрирани пълзящи средни (колона 5). Тези стойности са поставени в колона 6 на таблицата. 4.4 и използвайте за изчисляване на стойностите на сезонния компонент (Таблица 4.5), които са средните за всяко тримесечие (за всички години) оценки на сезонния компонент С,.Моделите със сезонен компонент обикновено приемат, че сезонните въздействия за период (в този случай година) се компенсират взаимно. В адитивния модел това се изразява във факта, че сумата от стойностите на сезонния компонент за всички точки (тук за четири тримесечия) трябва да бъде равна на нула.

Таблица 4.5

Корекция на сезонния компонент

За този модел сумата от средните оценки на сезонния компонент ще бъде:

Тази сума се оказа различна от нула, така че намаляваме всяка оценка с корекционна стойност, равна на една четвърт от получената стойност:

Нека изчислим коригираните стойности на сезонния компонент (те са написани в последния ред на таблица 4.5):

Тези стойности вече са равни на нула, когато се сумират:

стъпка 3. Елиминирайте влиянието на сезонния компонент, като извадите неговите стойности от всяко ниво на оригиналния времеви ред. Получаваме стойностите:

Тези стойности се изчисляват във всеки момент от време и съдържат само тенденцията и произволния компонент (колона 4 на таблица 4.6).

Таблица 4.6

Изчисляване на сезонните, трендовите и произволните компоненти на динамичния ред

			T + E \u003d y, - S,			E = y,-(T+S)

стъпка 4. Нека определим трендовия компонент на този модел. За да направите това, ще подравним серията (T+E)използвайки линеен тренд:

Замествайки стойностите / = 1, 2,..., 16 в това уравнение, намираме нивата Tза всеки момент от време (колона 5 на таблица 4.6).

стъпка 5. Намерете стойностите на нивата на серията, получени от адитивния модел. За да направите това, добавете към нивата Tстойностите на сезонния компонент за съответните тримесечия, т.е. към стойностите в колона 5 на таблицата. 4.6 добавете стойностите в колона 3. Резултатите от операцията са представени в колона 6 на същото място.

стъпка 6. В съответствие с методологията за конструиране на адитивен модел изчисляваме грешката по формулата:

Това е абсолютна грешка. Числени стойности абсолютни грешкиса дадени в колона 7 на таблицата. 4.6.

По аналогия с регресионния модел сумата от квадратите на получените абсолютни грешки може да се използва за оценка на качеството на конструиране на модела или за избор на най-добрия модел. За този адитивен модел сумата от квадратите на абсолютните грешки е 1,10. По отношение на общата сума на квадратите на отклоненията на нивата на реда от средното му ниво, равна на 71,59, тази стойност е малко над 1,5%. Следователно можем да кажем, че адитивният модел обяснява 98,5% от общата вариация в нивата на динамичния ред на потреблението на електроенергия през последните 16 тримесечия.

Пример (I.I. Елисеева). Изграждане на модел на мултипликативен времеви ред.Нека има тримесечни данни за печалбата на компанията за последните четири години (Таблица 4.7).

Таблица 4.7

Изходни данни на динамичен ред с мултипликативен модел

Графиката на динамичния ред показва наличието на сезонни колебания с честота четири тримесечия и обща тенденция към намаляване на нивата на реда (фиг. 4.5).

Ориз.

Печалбата на дружеството през пролетно-летния период е по-висока от тази през есенно-зимния период. Тъй като амплитудата на сезонните колебания намалява, можем да приемем съществуването на мултипликативен модел. Нека дефинираме неговите компоненти.

стъпка 1. Нека подравним началните нива на серията, използвайки метода на пълзящата средна. Техниката, приложена на тази стъпка, напълно съвпада с техниката на адитивния модел. Резултатите от изчисленията на оценките на сезонния компонент са представени в табл. 4.8.

Таблица 4.8

Изчисляване на оценките на сезонните компоненти

четвърт	компании	Общо за четири тримесечия	Пълзяща средна за четири тримесечия	Центрирана подвижна средна	сезонен Компоненти

стъпка 2. Намерете оценки на сезонния компонент като частно от разделянето на действителните нива на серията на центрирани пълзящи средни (колона 6 на таблица 4.8). Използваме тези оценки, за да изчислим стойностите на сезонния компонент С.За да направим това, намираме средните оценки за всяко тримесечие на сезонния компонент 5,. Взаимното погасяване на сезонните въздействия в мултипликативния модел се изразява в това, че сборът от стойностите на сезонния компонент за всички тримесечия трябва да бъде равен на броя на периодите в цикъла. В нашия случай броят на периодите на един цикъл (година) е равен на четири тримесечия. Резултатите от изчисленията са обобщени в табл. 4.9.

Тук ще бъде сумата от средните оценки на сезонните компоненти за четирите тримесечия

тези. не е равно на четири. За да направим тази сума равна на четири, ние умножаваме всеки член с корекционен коефициент

Таблица 4.9

Корекция на сезонните коефициенти на мултипликативния модел

Стойностите на коригираните сезонни компоненти се записват в последния ред на таблицата. 4.9. Сега техният сбор е четири. Нека въведем тези стойности в нова таблица (колона 3 на таблица 4.10).

стъпка 3. Разделете всяко ниво от оригиналната серия на съответните стойности на сезонния компонент. Така получаваме стойностите

стъпка 4. Дефинирайте трендовия компонент в мултипликативния модел. За да направим това, ние изчисляваме параметрите на линейния тренд, като използваме нивата (T+E).Уравнението на тенденцията е:

Замествайки стойностите /= 1, 2,..., 16 в това уравнение, намираме нивата Tза всеки момент от време (колона 5 на таблица 4.10).

стъпка 5. Намерете нивата на редицата по мултипликативния модел чрез умножаване на нивата Tвърху стойностите на сезонния компонент за съответните тримесечия (колона 6 на таблица 4.10).

Таблица 4.10

Изчисляване на компонентите на мултипликативния модел

стъпка 6. Изчисляваме грешките в мултипликативния модел по формулата:

Числените стойности на грешките са дадени в колона 7 на таблицата. За да се сравни мултипликативният модел и други модели на времеви редове, може да се използва сумата от квадратите на абсолютните грешки, по аналогия с адитивния модел. Абсолютните грешки в мултипликативния модел се определят като:

В този модел сумата от квадратите на абсолютните грешки е 207,4. обща сумаквадратичните отклонения на действителните нива на тази серия от средната стойност е 5023. Така делът на обяснената дисперсия на нивата на серията е 95,9%.

Прогнозирането с помощта на адитивен или мултипликативен модел на времеви редове се свежда до изчисляване на бъдещата стойност на времевия ред, като се използва уравнението на модела без произволен компонент във формата:

За добавка

или y, = TS

за мултипликативния модел.

Времевият ред е набор от стойности на всеки индикатор за няколко последователни момента или периода от време. Всяка стойност (ниво) на динамичния ред се формира под въздействието на голям брой фактори, които могат да бъдат разделени на три групи:

Фактори, които оформят тенденцията на сериала;

Фактори, които формират цикличните колебания на реда;

случайни фактори.

Трендът характеризира дългосрочното влияние на факторите върху динамиката на показателя. Трендът може да бъде нагоре или надолу.

Цикличните колебания могат да имат сезонен характер или да отразяват динамиката на пазарните условия, както и фазата на бизнес цикъла, в която се намира икономиката на страната.

Реалните данни често съдържат и трите компонента. В повечето случаи времевият ред може да бъде представен като сума или продукт на тенденцията, цикличните и произволните компоненти. В случай на сумата се прилага модел на адитивен времеви ред:

в случай на продукт, мултипликативен модел:

Основната задача на иконометричното изследване на отделен времеви ред е да се идентифицира количествен израз за всеки от компонентите и да се използва получената информация за прогнозиране на бъдещите стойности на реда или да се изгради модел за връзката на две или повече времена серия.

Първо, нека разгледаме основните подходи за анализ на отделен времеви ред. Такава серия може да съдържа, в допълнение към случаен компонент, или само тенденция, или само сезонен (цикличен) компонент, или всички компоненти заедно. За да се установи наличието на един или друг неслучаен компонент, се изследва корелационната зависимост между последователните нива на времевия ред или автокорелацията на нивата на реда. Основната идея на такъв анализ е, че ако има тенденция и циклични колебания във времевата серия, стойностите на всяко следващо ниво на серията зависят от предишните.

Коефициентът на автокорелация на нивата на серията от първи ред измерва зависимостта между съседни нива на серията, т.е. в изоставане 1.

Изчислява се по следната формула:

където стойностите се приемат като средни стойности:

В първия случай стойностите на серията се осредняват, като се започне от втората до последната, във втория случай стойностите на серията от първата до предпоследната.

Формула (3) може да бъде представена като формула за корелационния коефициент на извадката:

където серия се приема като променлива и серия като променлива

Ако стойността на коефициента (3) е близка до единица, това показва много тясна връзка между съседните нива на динамичния ред и наличието на силен линеен тренд в динамичния ред.

Автокорелационните коефициенти от по-висок ред се определят по подобен начин. По този начин коефициентът на автокорелация от втори ред характеризира плътността на връзката между нивата и се определя по формулата:

където като една средна стойност те вземат средната стойност на нивата на серията от трето до последно, а като друга - средната от първо ниво до

Броят на периодите, за които се изчислява коефициентът на автокорелация, се нарича забавяне. С увеличаването на забавянето броят на двойките стойности, използвани за изчисляване на коефициента на автокорелация, намалява. За да се осигури статистическа валидност, максималният лаг, според някои известни иконометристи, не трябва да надвишава една четвърт от общия размер на извадката.

Ако най-високият коефициент на автокорелация е от първи ред, очевидно изследваната серия съдържа само тенденция. Ако автокорелационният коефициент от порядък φ се оказа най-висок, серията съдържа циклични колебания с периодичност от φ времеви точки. Ако нито един от коефициентите на автокорелация не е значим, тогава или серията не съдържа тенденция и циклични колебания и има само случаен компонент, или серията съдържа силна нелинейна тенденция, за изследването на която е необходим допълнителен анализ.

Пример 1. Нека има данни за обема на потреблението на електроенергия от жителите на областта за 16 тримесечия, милиона kWh:

Нека начертаем тези стойности на графиката:

Като се имат предвид тези стойности, можете да изградите спомагателна таблица:

Използвайки общите суми, изчисляваме стойността на автокорелационния коефициент от първи ред: .

Продължаване на подобни изчисления за второ, трето и т.н. поръчки, получаваме автокорелационна функция, стойностите на която обобщаваме в таблица и изграждаме корелограма въз основа на нея:

Ако при анализа на структурата на динамичния ред се открие само тенденция и няма циклични колебания (винаги присъства случаен компонент), трябва да се започне моделиране на тенденцията. Ако има и циклични колебания във времевия ред, първо трябва да се изключи цикличният компонент и едва след това да се пристъпи към моделиране на тенденцията. Идентифицирането на тенденция се състои в конструиране на аналитична функция, която характеризира зависимостта на нивата на серия от времето или тенденция. Този метод се нарича аналитично подравняване на динамичните редове.

Зависимостта от времето може да приеме различни форми, поради което се използват различни видове функции, за да се формализира:

Линеен тренд: ;

Хипербола: ;

Експоненциална тенденция: (или);

Тенденция на мощността: ;

Параболичен тренд от втори и по-висок ред:

Параметрите на всяка от тенденциите могат да бъдат определени чрез обикновените най-малки квадрати, като се използва времето като независима променлива и действителните нива на времевия ред y t като зависима променлива (или нива минус цикличния компонент, ако има такъв). За нелинейни трендове предварително се провежда стандартна процедура за линеаризацията им.

Има няколко начина за определяне на вида на тенденцията. Най-често се използва качествен анализ на изследвания процес, изграждане и визуален анализ на графика на зависимостта на нивата на серия от времето и изчисляване на някои основни показатели на динамиката. За същите цели могат да се използват и автокорелационните коефициенти на нивата на серията. Типът тенденция може да се определи чрез сравняване на коефициентите на автокорелация от първи ред, изчислени от оригиналните и трансформираните нива на серията. Ако времевият ред има линеен тренд, тогава неговите съседни нива y t и y t-1 са тясно свързани. В този случай коефициентът на автокорелация от първи ред на нивата на оригиналната серия трябва да бъде висок. Ако времевият ред съдържа нелинеен тренд, например под формата на експоненциален, тогава автокорелационният коефициент от първи ред от логаритмите на нивата на оригиналния ред ще бъде по-висок от съответния коефициент, изчислен от нивата на сериала. Колкото по-изразена е нелинейната тенденция в изследваните времеви редове, толкова повече ще се различават стойностите на посочените коефициенти.

Изборът на най-доброто уравнение в случай, че серията съдържа нелинейна тенденция, може да се извърши чрез изброяване на основните форми на тенденция, изчисляване на коригирания коефициент на определяне за всяко уравнение и избор на уравнение на тенденцията с максималната стойност на този коефициент. Прилагането на този метод е сравнително лесно при компютърна обработка на данни.

Ако амплитудата на колебанията е приблизително постоянна, се изгражда адитивен модел (1), в който стойностите на сезонния компонент се приемат за постоянни за различни цикли. Ако амплитудата на сезонните колебания се увеличава или намалява, се изгражда мултипликативен модел (2), който прави нивата на серията зависими от стойностите на сезонния компонент.

Изграждането на модел (1) или (2) се свежда до изчисляване на стойностите на T, S или E за всяко ниво на серията. Процесът на изграждане на модел включва следните стъпки:

Подравняване на оригиналната серия с помощта на метода на подвижната средна.

Изчисляване на стойностите на сезонния компонент S.

Премахване на сезонния компонент от първоначалните нива на серията и получаване на изравнени данни (T + E) в адитивния или (TE E) в мултипликативния модел.

Аналитично подравняване на нивата (T+E) или (T·E) и изчисляване на T стойностите с помощта на полученото уравнение на тренда.

Изчисляване на стойностите, получени от модела (Т+S) или (Т·S)

Изчисляване на абсолютни и относителни грешки.

Пример 2. Изграждане на модел на адитивен времеви ред. Разгледайте данните за обема на потреблението на електроенергия от жителите на района от дадения по-горе пример. От анализа на автокорелационната функция беше показано, че този времеви ред съдържа сезонни колебания с честота от 4 тримесечия. Обемът на потреблението на електроенергия през есенно-зимния период (I и IV тримесечие) е по-висок, отколкото през пролетта и лятото (II и III тримесечие). Според графиката на тази серия е възможно да се установи наличието на приблизително еднаква амплитуда на трептенията. Това показва възможното наличие на адитивен модел. Нека изчислим неговите компоненти.

Стъпка 1. Нека подравним началните нива на серията, използвайки метода на пълзящата средна.

Тъй като цикличните колебания имат честота от 4 тримесечия, нека сумираме нивата на серията последователно за всеки 4 тримесечия с изместване с една точка във времето и определяме условните годишни обеми на потреблението на електроенергия (колона 3 в таблица 1).

Разделяйки получените суми на 4, намираме подвижните средни (колона 4 на Таблица 1). Коригираните стойности, получени по този начин, вече не съдържат сезонен компонент.

Тъй като подвижните средни се получават чрез осредняване на четири съседни нива на серията, т.е. четен брой стойности, те съответстват на средните точки на подинтервали, състоящи се от четворки числа, т.е. трябва да се намира между третата и четвъртата стойност на четворките на оригиналния ред. За да могат пълзящите средни да бъдат разположени в същите маркировки за време като оригиналната серия, двойки съседни пълзящи средни се осредняват отново и се получават центрирани пълзящи средни (колона 5 на таблица 1). В този случай първите две и последните две точки от времевия ред се губят, което е свързано с осредняване над четири точки.

маса 1

четвърт	Консумация на електроенергия y t	четири четвърти	плъзгане Средно за четири тримесечия	Центрирано движение	сезонен Компоненти

Стъпка 2. Намерете оценки на сезонния компонент като разликата между действителните нива на серията (колона 2 на таблица 1) и центрираните подвижни средни (колона 5). Тези стойности се поставят в колона 6 на таблица 1 и се използват за изчисляване на стойностите на сезонния компонент (таблица 2), които са средни за всяко тримесечие (за всички години) на оценката на сезонния компонент S i . Моделите със сезонен компонент обикновено приемат, че сезонните въздействия за период (в този случай година) се компенсират взаимно. В адитивния модел това се изразява във факта, че сумата от стойностите на сезонния компонент за всички точки (тук за четири тримесечия) трябва да бъде равна на нула.

таблица 2

За този модел сумата от средните оценки на сезонния компонент е:

0,6-1,958-1,275+2,708=0,075.

D=0,075/4=0,01875.

Нека изчислим коригираните стойности на сезонния компонент (те са записани в последния ред на таблица 2):

Тези стойности вече са равни на нула, когато се сумират:

0,581-1,977-1,294+2,69=0.

Стъпка 3. Елиминирайте влиянието на сезонния компонент, като извадите неговите стойности от всяко ниво на оригиналния времеви ред. Получаваме стойностите:

T+E=Y-S(9)

Тези стойности се изчисляват във всеки момент и съдържат само тенденцията и произволния компонент (колона 4 от следващата таблица):

Таблица 3

Стъпка 4. Нека определим трендовия компонент на този модел. За да направим това, ще подравним серията (T + E), използвайки линеен тренд:

Замествайки стойностите в това уравнение, намираме нивата T за всеки момент от време (колона 5 от таблица 3).

Стъпка 5. Нека намерим стойностите на нивата на серията, получени от адитивния модел. За да направим това, добавяме към нивата T стойностите на сезонния компонент за съответните тримесечия, т.е. добавяме стойностите в колона 3 към стойностите в колона 5 на таблица 3. Резултатите от операцията са представени в колона 6 на таблица 3.

Стъпка 6. В съответствие с методологията за конструиране на адитивен модел изчисляваме грешката по формулата:

Това е абсолютна грешка. Числените стойности на абсолютните грешки са дадени в колона 7 на таблица 3. По аналогия с регресионния модел сумата от квадратите на получените абсолютни грешки може да се използва за оценка на качеството на конструкцията на модела или за избор на най-добър модел. За този адитивен модел сумата от квадратите на абсолютните грешки е 1,10. По отношение на общата сума на квадратите на отклоненията на нивата на реда от средното му ниво, равна на 71,59, тази стойност е малко над 1,5%. Следователно можем да кажем, че адитивният модел обяснява 98,5% от общата вариация в нивата на динамичния ред на потреблението на електроенергия през последните 16 тримесечия. Пример 3. Изграждане на модел на мултипликативен времеви ред. Нека има тримесечни данни за печалбата на компанията за последните четири години:

Графиката на динамичния ред показва наличието на сезонни колебания с честота от 4 тримесечия и обща тенденция към намаляване на нивата на реда:

Стъпка 1. Нека подравним началните нива на серията, използвайки метода на пълзящата средна. Техниката, приложена на тази стъпка, напълно съвпада с техниката на адитивния модел. Резултатите от изчисленията на оценките на сезонния компонент са представени в таблицата:

Таблица 5

четвърт	Печалба на компанията	четири четвърти	Пълзяща средна за четири тримесечия	Центрирана подвижна средна	Оценка на сезонния компонент

Стъпка 2. Намерете оценки на сезонния компонент като частно от разделяне на действителните нива на серията на центрирани подвижни средни (колона 6 на таблицата). Използваме тези оценки, за да изчислим стойностите на сезонния компонент S. За да направим това, намираме средните оценки за всяко тримесечие на сезонния компонент S i. Взаимното погасяване на сезонните въздействия в мултипликативния модел се изразява в това, че сборът от стойностите на сезонния компонент за всички тримесечия трябва да бъде равен на броя на периодите в цикъла. В нашия случай броят на периодите на един цикъл (година) е равен на четири тримесечия. Обобщаваме резултатите от изчисленията в таблицата:

Таблица 6

Тук сумата от средните оценки на сезонните компоненти за всичките четири тримесечия

не е равно на четири. За да направим тази сума равна на четири, ние умножаваме всеки член с корекционен коефициент

Стойностите на коригираните сезонни компоненти са записани в последния ред на таблица 6. Сега тяхната сума е четири. Нека въведем тези стойности в нова таблица (колона 3 на таблица 7):

Таблица 7

Стъпка 3. Разделете всяко ниво на оригиналната серия на съответните стойности на сезонния компонент. Така получаваме стойностите

Стъпка 4. Дефинирайте трендовия компонент в мултипликативния модел. За да направим това, ние изчисляваме параметрите на линейния тренд, като използваме нивата (T+E). Уравнението на тенденцията е:

Замествайки стойностите в това уравнение, намираме нивата Т за всеки момент от време (колона 5 от таблицата).

Стъпка 5. Намерете нивата на серията, като използвате мултипликативния модел, като умножите нивата на T по стойностите на сезонния компонент за съответните тримесечия (колона 6 на таблицата).

Стъпка 6. Изчисляваме грешките в мултипликативния модел, използвайки формулата:

Числените стойности на грешките са дадени в колона 7 на таблицата. За да се сравни мултипликативният модел и други модели на времеви редове, е възможно, по аналогия с адитивния модел, да се използва сумата от квадратите на абсолютните грешки. Абсолютните грешки в мултипликативния модел се определят като:

В този модел сумата от квадратите на абсолютните грешки е 207,4. Общата сума на квадратите на отклоненията на действителните нива на тази серия от средната стойност е 5023. Така делът на обяснената дисперсия на нивата на серията е 95,9%.

Прогнозирането с помощта на адитивен или мултипликативен модел на времеви редове се свежда до изчисляване на бъдещата стойност на времевия ред, като се използва уравнението на модела без случаен компонент във формата

за добавка или

за мултипликативния модел.

Под времеви редове разбирайте икономическите стойности, които зависят от времето. В този случай времето се приема за дискретно; в противен случай се говори за случайни процеси, а не за времеви редове.

6.1. Модели на стационарни и нестационарни времеви редове, тяхното идентифициране

Нека разгледаме времевия ред X(t).Нека времевият ред първо приеме числови стойности. Това може да бъде например цената на един хляб в близкия магазин или обменният курс долар-рубла в най-близкото обменно бюро. Обикновено се идентифицират две основни тенденции в поведението на динамичен ред - тенденция и периодични колебания.

В този случай тенденцията се разбира като зависимост от времето от линеен, квадратичен или друг тип, която се разкрива чрез един или друг метод на изглаждане (например експоненциално изглаждане) или чрез изчисление, по-специално, използвайки метода най-малки квадрати. С други думи, тенденцията е основната тенденция на времева серия, изчистена от случайност.

Времевите редове обикновено осцилират около тенденция, като отклоненията от тенденцията често са правилни. Често това се дължи на естествена или определена честота, като сезонна или седмична, месечна или тримесечна (например според графика за плащане на заплати и данъци). Понякога наличието на периодичност и още повече причините за нея са неясни и задачата на иконометриста е да установи дали наистина има периодичност.

Елементарните методи за оценка на характеристиките на динамичните редове обикновено се разглеждат достатъчно подробно в курсовете по "Обща теория на статистиката" (вижте например учебници), така че няма нужда да ги анализирате подробно тук. (Въпреки това, някои съвременни методи за оценка на продължителността на периода и самия периодичен компонент ще бъдат обсъдени по-долу.)

Характеристики на времевите редове. За още подробно проучваневремеви редове, използвани са вероятностно-статистически модели. В същото време времевият ред X(t)разглеждан като случаен процес (с дискретно време) основните характеристики са математическото очакване X(t), т.е.

дисперсия X(t), т.е.

и автокорелационна функциявремеви редове X(t)

тези. функция на две променливи, равна на коефициента на корелация между две стойности на динамичния ред X(t)и X(s).

В теоретичните и приложните изследвания се разглеждат широк набор от модели на времеви редове. Изберете първо стационаренмодели. Те имат съвместни разпределителни функции за произволен брой времеви точки ки следователно всички характеристики на времевите редове, изброени по-горе не се променят с времето. По-специално, математическото очакване и дисперсията са константи, автокорелационната функция зависи само от разликата т-с.Времеви редове, които не са стационарни, се наричат нестационарни.

Модели на линейна регресия с хомоскедастични и хетероскедастични, независими и автокорелирани остатъци. Както се вижда от горното, основното е "почистването" на времевия ред от случайни отклонения, т.е. оценка на математическото очакване. За разлика от по-простите регресионни модели, обсъдени в Глава 5, естествено възникват по-сложни модели. Например, дисперсията може да зависи от времето. Такива модели се наричат хетероскедастични, а тези, при които няма времева зависимост, се наричат хомоскедастични. (По-точно, тези термини могат да се отнасят не само за променливата „време“, но и за други променливи.)

Освен това в Глава 5 се приема, че грешките са независими една от друга. От гледна точка на тази глава това би означавало, че автокорелационната функция трябва да бъде изродена - равна на 1, ако аргументите са равни, и на 0, ако не са. Ясно е, че това не винаги е така за сериите в реално време. Ако естественият ход на промените в наблюдавания процес е достатъчно бърз в сравнение с интервала между последователните наблюдения, тогава можем да очакваме "избледняване" на автокорелацията и получаване на почти независими остатъци, в противен случай остатъците ще бъдат автокорелирани.

Идентификация на модела.Идентифицирането на модела обикновено се разбира като разкриване на тяхната структура и оценка на параметрите. Тъй като структурата също е параметър, макар и нечислов (виж Глава 8), говорим за една от типичните задачи на иконометрията – оценката на параметрите.

Проблемът с оценката се решава най-лесно за линейни (по отношение на параметрите) модели с хомоскедастични независими остатъци. Възстановяването на зависимостите във времеви редове може да се извърши на базата на методите на най-малките квадрати и най-малките модули, разгледани в Глава 5 на линейните (по параметри) регресионни модели. Резултатите, свързани с оценката на необходимия набор от регресори, могат да бъдат прехвърлени към случая на времеви редове; по-специално, лесно е да се получи ограничаващото геометрично разпределение на оценката на степента на тригонометричен полином.

Такова просто прехвърляне обаче не може да се направи в по-обща ситуация. Така, например, в случай на времева серия с хетероскедастични и автокорелирани остатъци, можете отново да използвате общия подход на метода на най-малките квадрати, но системата от уравнения на метода на най-малките квадрати и, естествено, нейното решение ще бъдат различни . Формулите от гледна точка на матричната алгебра, споменати в глава 5, ще бъдат различни. Следователно въпросният метод се нарича " обобщени най-малки квадрати(OMNK)" (вижте например).

Коментирайте.Както беше отбелязано в глава 5, най-простият модел на метода на най-малките квадрати позволява много далечни обобщения, особено в областта на системите от едновременни иконометрични уравнения за времеви редове. За разбиране на съответната теория и алгоритми са необходими професионални познания по матрична алгебра. Затова насочваме тези, които се интересуват, към литературата за системи от иконометрични уравнения и директно за времеви редове, в които има голям интерес към спектралната теория, т.е. отделяне на сигнала от шума и разлагането му на хармоници. Още веднъж подчертаваме, че зад всяка глава от тази книга има голяма област от научни и приложни изследвания, която си струва да отделим много усилия. Но поради ограничения обем на книгата сме принудени да направим изложението стегнато.