Метод на аналитично подравняване. Методи за изглаждане и изравняване на времеви редове

Изравняване на аналитично ниво динамичен сериалне дава добри прогнозни резултати, ако нивата на реда имат резки периодични колебания. В тези случаи за определяне на тенденцията на развитие на явлението се използва изглаждането на динамичните редове по метода на пълзящите средни.

Същността на различните техники за изглаждане е да се заменят действителните нива на динамичния ред с изчислени нива, които са подложени на колебания в по-малка степен. Това допринася за по-ясното проявление на тенденцията на развитие.

Методите за изглаждане могат да бъдат разделени на два класа въз основа на различни подходи:

Аналитичен подход;

Алгоритмичен подход.

Аналитичният подход се основава на предположението, че изследователят може да зададе обща формафункция, описваща регулярен, неслучаен компонент.

При използването на алгоритмичния подход се изоставя ограничението, присъщо на аналитичния подход. Процедурите от този клас не предполагат описание на динамиката на неслучаен компонент с помощта на една функция, те предполагат описание на динамиката на неслучаен компонент с помощта на една функция, те предоставят на изследователя само алгоритъм за изчисляване на неслучаен компонент във всеки даден момент. Към този подход принадлежат методите за изглаждане на времеви редове, използващи подвижни средни.

Понякога пълзящите средни се използват като предварителна стъпка преди моделиране на тренда с помощта на процедури, свързани с аналитичния подход.

Пълзящите средни позволяват да се изгладят както случайните, така и периодичните колебания, да се идентифицира съществуващата тенденция в развитието на процеса и следователно служи като важен инструмент за филтриране на компонентите на времевия ред.

Простият алгоритъм за изглаждане на подвижна средна може да бъде представен като следния алгоритъм.

1. Определете дължината на интервала на изглаждане g, който включва g последователни нива на серията (g

2. Разделете целия период на наблюдение на секции, докато интервалът на изглаждане сякаш се плъзга по серията със стъпка, равна на 1.

3. Изчислете средните аритметични от нивата на сериите, които формират всеки график.

4. Заменете действителните стойности на серията в центъра на всеки график със съответната средна стойност

В този случай е удобно да вземем дължината на интервала на изглаждане g като нечетно число g=2p+1, т.к. в този случай получените стойности на подвижната средна попадат върху средния член на интервала.

Наблюденията, които се вземат за изчисляване на средната стойност, се наричат ​​активна изглаждаща област.

За нечетна стойност на g, всички нива на активния сайт могат да бъдат представени като:

а подвижната средна се определя по формулата

,

където − действителната стойност на -то ниво;

− стойността на подвижната средна в момента;

− дължина на интервала на изглаждане.

Процедурата на изглаждане води до пълното елиминиране на периодичните флуктуации във времевия ред, ако дължината на интервала на изглаждане се приеме равна или кратна на периода на флуктуация.

За да се елиминират сезонните колебания, е желателно да се използва четири- и дванадесетчленна подвижна средна.

При четен брой нива е обичайно да се вземат първото и последното наблюдение на активния сайт с половин тегла:

След това, за да изгладите колебанията, когато работите с времеви редове от тримесечна или месечна динамика, можете да използвате следните подвижни средни:

,

.

Нека разгледаме прилагането на пълзяща средна според общата площ на жилищните помещения на 1 жител в Хабаровска територия (Таблица 2.1.1).

Тъй като периодът на изглаждане не може да бъде оправдан, изчисленията започват с 3-членна подвижна средна. Получаваме първото изгладено ниво за 1993 г.:

.

Последователно измествайки началото на плъзгащия се период с една година, намираме изгладени нива за следващите години.

За 1994 г. пълзящата средна ще бъде

,

за 1995г и т.н.

Тъй като подвижната средна се отнася за средата на интервала, за който е изчислена, динамичната серия от изгладени нива се намалява с ниво с нечетен период на плъзгане и с нива с четен период на плъзгане. Следователно в нашия пример изгладеният ред се скъси с два члена за тричленна средна и с четири - за петчленна средна (Таблица 2.1.1).

Когато се изчислява с четни пълзящи средни (в нашия пример 4-членна пълзяща средна), изчисленията се правят, както следва:

За 1994г ;

1995 г ;

1996 г .

Таблица 2.1.1 - Резултати от изглаждане по метода на пълзящите средни

години	Общата площ на жилищните помещения на 1 жител кв.м.,	Изгладени нива
проста подвижна средна
3-срочен,	4-срочен,	5-срочен,	3 член	4 член	5 член
	15,4	-	-	-	-	-	-
	16,1	16,0	-	-	0,01	-	-
	16,5	16,4	16,3	16,3	0,01	0,026	0,040
	16,6	16,7	16,6	16,6	0,004	0,001	0,000
	16,9	16,8	16,8	16,8	0,004	0,006	0,006
	17,0	17,0	17,1	17,1		0,003	0,010
	17,1	17,3	17,4	17,4	0,05	0,083	0,102
	17,9	17,7	17,7	17,7	0,03	0,026	0,026
	18,2	18,2	18,2	18,2	0,00	0,000	0,000
	18,5	18,7	18,7	18,7	0,03	0,031	0,032
	19,3	19,1	19.1	19,0	0,04	0,056	0,068
	19,5	19,5	19,4	19,4		0,006	0,014
	19,7	19,7	-	-		-	-
	19,9	-	-	-	-	-	-
Обща сума	248,6	-	-	-	0,179	0,239	0,299

Както може да се види от таблица 2.1.1, тричленната пълзяща средна демонстрира изравнена динамична серия с еднопосочна тенденция в нивата. Изглаждането на тричленна плъзгаща се средна даде по-плавна серия, тъй като за тричленна пълзяща средна сумата от квадратните отклонения на действителните данни () от изгладените () (= 0,179) се оказа по-малка (Таблица 2.1.1). С други думи, тричленната подвижна средна най-добре представя модела на движение на нивата на динамичната серия.

Прогнозирането на времеви редове е необходим елемент от всяка инвестиционна дейност. Самата идея за инвестиране - инвестиране на пари сега, за да генерирате доход в бъдеще - се основава на идеята за предсказване на бъдещето. Съответно, прогнозирането на финансовите времеви редове е в основата на дейностите на цялата инвестиционна индустрия - всички борси и системи за извънборсова търговия с ценни книжа.

Динамичните процеси, протичащи в икономическите системи, най-често се проявяват под формата на поредица от последователно подредени в хронологичен ред стойности на един или друг показател, който в своите промени отразява хода на развитието на изследваното явление в икономиката. Тези ценности, по-специално, могат да служат за обосноваване (или отричане) на различни модели на социално-икономически системи. Те служат и като основа за разработване на приложни модели за прогнозиране от специален вид.

Ако има дългосрочна тенденция в промяната на икономически индикатор във времевия ред, тогава те казват, че има тенденция. По този начин тенденцията се разбира като промяна, която определя общата посока на развитие, основната тенденция на времевия ред. В тази връзка икономико-математическият динамичен модел, при който развитието на моделираната икономическа система се отразява чрез тенденцията на нейните основни показатели, се нарича трендов модел. За идентифициране на тенденция във времеви редове, както и за изграждане и анализ на модели на тенденции се използва апаратът на теорията на вероятностите и математическата статистика.

Повече или по-малко регулярни колебания могат да се появят във времевия ред на икономическите процеси. Ако имат строго периодичен или близък до него характер и завършват в рамките на една година, тогава се наричат ​​сезонни колебания. В случаите, когато периодът на колебания е няколко години, се казва, че има цикличен компонент във времевия ред. Трендът, сезонните и цикличните компоненти се наричат ​​регулярни или систематични компоненти на динамичния ред. Съставната част на динамичния ред, която остава след избора на регулярни компоненти от него, е случаен, нерегулярен компонент. Той е задължителен компонент на всеки динамичен ред в икономиката, тъй като случайните отклонения неизбежно съпътстват всяко икономическо явление.

Времевият ред от икономически показатели може да се разложи на четири структурни елемента:

· тренд, чиито компоненти се означават с Ut, t = 1, 2 , ..., n;

сезонната компонента, означена с Vt, t = 1, 2, ..., n;

цикличен компонент, означен с Ct, t = 1, 2 , ..., n;

· случаен компонент, който се означава с εt, t = 1, 2 , ..., n.

Ако систематичните компоненти на динамичния ред са дефинирани правилно, тогава този, който остава (остатъчна последователност) след избора на тези компоненти от динамичния ред, ще бъде случаен компонент на реда. Този компонент ще има следните свойства: случайни колебания в нивата на остатъчната последователност; съответствие на разпределението на случайния компонент с нормалния закон на разпределение; равенството на математическото очакване на случайния компонент на нула; независимостта на стойностите на нивата на случайната последователност, т.е. липсата на значителна автокорелация.

Проверката на адекватността на трендовите модели се основава на проверка на валидността на остатъчната последователност на тези четири свойства. Ако поне едно от тях не е изпълнено, моделът се счита за неадекватен; ако и четирите свойства са удовлетворени, моделът е адекватен.

Предварителният анализ на динамичните редове от икономически показатели се състои главно в идентифицирането и елиминирането на аномални стойности на нивата на серията, както и в определянето на наличието на тенденция и нейния характер в оригиналния времеви ред. Предварителната обработка на времеви редове включва методи за промяна на времеви редове, за да се идентифицират по-ясно тенденциите на развитие и да се изгладят времевите редове.

Под аномално ниво се разбира отделна стойност на нивото на времевия ред, която не съответства на потенциалните възможности на изследваната икономическа система и която, оставайки като ниво на серията, оказва значително влияние върху стойностите ​от основните характеристики на динамичния ред, включително съответния трендов модел. Причините за аномалните наблюдения могат да бъдат грешки в технически ред или грешки в предаването на информация.

За по-ясно идентифициране на тенденцията в развитието на изследвания процес, включително за по-нататъшното прилагане на методи за прогнозиране, базирани на модели на тенденции, времевите редове се изглаждат (подравняват).

Методите за изглаждане на времеви редове се разделят на две основни групи:

1) аналитично подравняване с помощта на крива, начертана между определени нива на серията, така че да отразява тенденцията, присъща на серията, и в същото време да я освободи от незначителни колебания;

2) механично подравняване на отделните нива на времевия ред, като се използват действителните стойности на съседните нива.

Същността на методите за механично изглаждане е следната. Вземат се първите няколко нива от времевия ред, формиращи интервала на изглаждане. За тях се избира полином, чиято степен трябва да бъде по-малка от броя на нивата, включени в интервала на изглаждане; с помощта на полином се определят нови, подравнени стойности на нивата в средата на интервала на изглаждане. След това интервалът на изглаждане се измества едно ниво от серията надясно, изчислява се следващата изгладена стойност и т.н.

По този начин може да се каже, че за финансовата дейност на всеки стопански субект е необходимо да може да планира своите ресурси правилно и с максимална точност, за да получи икономическа полезност, в която правилното прилагане на математически и икономически показатели ще помогне то.

По време на аналитичното подравняване на динамичния ред, теоретичните (изчислени) стойности на реда се определят въз основа на предположението за тяхната зависимост от времето, т.е. y=f(T). При този подход промяната в изследвания показател се свързва само с течение на времето. Аналитичното подравняване на динамичните редове се състои от следните основни стъпки:

1) избор на вида функционална зависимост (форма на тенденция), изразяваща същността на процеса, който се изследва;

2) изчисляване на неизвестни параметри на уравнението на тренда;

3) изчисляване на изравнените стойности на нивата на серията въз основа на уравнението на тренда.

тенденция- това е основната тенденция в развитието на явлението във времето, някаква обща посока на развитие. Могат да се използват различни форми на тенденции за аналитично подравняване, например:

Полином от първа степен (линейна функция, права линия): y = a + bt;

Полином от втора степен (парабола): y \u003d a + bt + ct 2;

Полином от трета степен (кубична парабола): y = a + bt + ct 2 +dt 3 ;

Функция мощност: y = taи т.н.

Могат да се използват различни подходи за определяне на най-добрата форма на тренда, например:

1) визуален, базиран на графичното представяне на динамичния ред. Ако тенденцията на развитие не е ясно видима на графиката на оригиналната серия, тогава могат да се извършат някои стандартни трансформации на серията, например изглаждане. След това изберете функция, съответстваща на графиката на трансформираната серия.

2) времевият ред на критерия се подравнява с помощта на няколко вида тенденции. Получените резултати се сравняват помежду си. Най-добрата форма на тенденция може да бъде тази, за която се постига оптималната стойност на някакъв критерий, например минимумът на стандартното отклонение.

След като изберете формата на тенденцията, параметрите на уравнението се оценяват въз основа на метод на най-малките квадрати(MNK).

Желанието да се начертае крива, към която като цяло най-близко да прилягат отделни точки - действителните данни, се трансформира чрез най-малките квадрати в критерий, според който параметрите на функцията трябва да бъдат избрани така, че сумата от квадратичните отклонения на действителните данни от тренда са минимални, т.е.:

където y i– действителни нива на серията;

– подравнени нива на серията (точки на тренда).

Например за уравнение на права линия:

.

Необходимо условие за съществуването на минимална точка за функция на няколко променливи е равенството на частните производни на нула, т.е.

Системата от нормални уравнения за намиране на параметрите на уравнението на най-малките квадрати на права линия има следния вид:

Решавайки тази система от уравнения, получаваме параметрите на функцията аи b, т.е. желаното уравнение на права линия. Изчисляването на параметрите на уравнението може да бъде опростено, ако въведем символа за време по такъв начин, че . За да направите това, в случай на нечетен брой нива на серия от динамика, времето се обозначава, както следва:

t = ... -3; -2; -един; 0; един; 2; 3;…

В този случай параметрите ще бъдат намерени по следните формули:

Пример за аналитично подравняване на динамичен ред е показано на фиг. 9.3.

Ориз. 9.3. Подравняване на динамичните редове по уравнението на права линия

Анализ на сезонността

Една от задачите на анализа на времевите редове е да се идентифицира сезонността. Да се сезоненвключват всички явления, които показват в своето развитие ясно изразен модел на вътрешногодишни промени, т.е. колебания в нивата, които се повтарят постоянно от година на година.

Целите на изследването на сезонността включват следното:

1) определяне на наличието на сезонни колебания;

2) разкриване на тяхната сила и характер в различните фази на годишния цикъл;

3) характеристики на факторите, предизвикващи сезонни колебания;

4) математическо моделиране на сезонността;

5) оценка и отчитане на икономическите последици, причинени от наличието на сезонни колебания.

Най-разпространеният метод за изследване на сезонността е изчисляването на индексите на сезонността.

Индексите на сезонност са показатели, които характеризират резултатите от сравняването на действителните нива за даден месец или тримесечие с прогнозните нива, които могат да бъдат определени по различни начини.

Индивидуални индекси на сезонностхарактеризират сезонността в границите на определена година. Общи (средни) индекси на сезонностхарактеризират стабилна тенденция на сезонност в продължение на няколко години. Тоест общите индекси на сезонност са средните стойности на индивидуалните индекси на сезонност за всеки месец или тримесечие нгодини.

; ,

където е индивидуалният индекс на сезонност азти месец или тримесечие през T-та година;

азсез аз– общ индекс на сезонност аз-ти месец или тримесечие;

аз– номер на месец или тримесечие;

аз= 1–12 (ако аз– номер на месеца) или аз= 1–4 (ако аз- номер на тримесечието);

y i– действителни нива на серията;

– подравнени нива на редовете;

Има различни начини за намиране на коригираните стойности на времевия ред () в анализа на сезонността. Най-често срещаните включват дефиниране на средната стойност (средно ниво на серията), подравняване въз основа на подвижната средна, откриване на тенденция.

Когато се анализират сезонните колебания въз основа на средната стойност, трябва да се спазва следната процедура за изчисление:

1) Изчисляват се средните месечни или средните тримесечни стойности на нивата на динамичния ред за всяка година:

където Л– продължителност на сезонния цикъл: Л= 12 за месеци от годината, Л= 4 за тримесечия на годината.

2) За всяка година се изчисляват съотношенията на месечните нива към средните месечни (или тримесечните към средните тримесечни), т.е. Намерени са индивидуални индекси на сезонност:

3) За да се получи типична картина на сезонните колебания, тези съотношения за всеки месец (тримесечие) се осредняват за няколко години, т.е. Намерени са общи индекси на сезонност:

.

Прилагането на индекси на сезонност към диаграма ви позволява да получите изображение сезонна вълна.

Един от най-често срещаните начини за моделиране на тенденцията на времевия ред е изграждането на аналитична функция (тенденция или тенденция с цикличен или (и) сезонен компонент), която характеризира зависимостта на нивата на поредицата от времето. Този метод се нарича аналитично подравняване на динамичните редове.

За да разрешите този проблем, първо трябва да изберете типа функция. Най-често използваните функции са:

линеен -

полином -

експоненциален -

логистика -

· Гомперца -

Това е много важен етап от изследването. При избора на подходяща функция се използва съдържателен анализ (който може да установи естеството на динамиката на процеса), визуални наблюдения (въз основа на графично представяне на времевия ред). При избора на полиномна функция може да се приложи методът на последователните разлики (състоящ се в изчисляване на разликите от първи ред, втори ред и т.н.), а редът на разликите, в който те ще бъдат приблизително еднакви, се приема за степен на полинома.

От двете функции обикновено се предпочита тази, при която сумата от квадратите на отклоненията на действителните данни от изчислените въз основа на тези функции е по-малка. Но този принцип не може да бъде доведен до абсурд: например за всяка поредица от точки можете да изберете полином от степен th, минаващ през всички точки, и съответно с минимална - нулева - сума от квадратни отклонения, но в този случай, очевидно, не трябва да се говори за избор на основната тенденция, предвид случайния характер на тези точки. Следователно, ceteris paribus, трябва да се даде предпочитание на по-простите функции.

Параметрите на основния тренд могат да бъдат определени с помощта на метода на най-малките квадрати. В същото време стойностите на времевия ред се разглеждат като зависима променлива, а времето - като обяснителна:

къде са смущенията, които удовлетворяват основните предпоставки на регресионния анализ, т.е. представляващи независими и еднакво разпределени случайни променливи, чието разпределение се приема за нормално.

Според метода на най-малките квадрати параметрите на правата линия се намират от системата от нормални уравнения (2.5), в която вземаме:

(7.10)

Като се има предвид, че стойностите на променливата образуват естествена редица от числа от 1 до , сумите могат да бъдат изразени по отношение на броя на членовете на серията, като се използват формулите, известни в математиката:

(7.11)

В разглеждания пример 2 на стр. 79 системата от нормални уравнения има вида:

,

откъдето уравнението на тенденцията, т.е. търсенето годишно се увеличава средно с 25,7 единици.

Нека проверим значимостта на полученото уравнение на тенденцията чрез Е-критерий при ниво на значимост 5%, изчисляваме по формулата (3.40) сумите на квадратите:

а) поради регресия -

б) общ -

в) остатъчен

Нека намерим стойността на статистиката:

.

Тъй като , уравнението на тенденцията е значимо.

Друг метод за изравняване (изглаждане) на динамичните редове, т.е. изборът на неслучаен компонент е методът на подвижните средни. Тя се основава на прехода от началните стойности на членовете на серията към средните им стойности за интервал от време, чиято дължина се определя предварително. В този случай избраният времеви интервал сам се „плъзга“ по поредицата.

Получената серия от пълзящи средни се държи по-плавно от оригиналната серия, поради осредняването на отклоненията на серията.

Аналитичното подравняване на динамичните редове е изграждането на аналитична функция, трендов модел. За това се използват различни видове функции: линейни, степни, параболични и др.

Параметрите на тенденцията се определят както в случая на линейна регресия на най-малките квадрати, където времето е независимата променлива, а нивата на динамичните редове са зависимата променлива. Критерият за избор на най-добрата форма на тенденцията е най-голямата стойност на коефициента на детерминация, критериите на Фишер и Стюдънт.

Да приемем, че някакъв теоретичен модел предполага линейна зависимост на една от характеристиките на системата от останалите:

г= Y аз к аз · х аз

(азе броят на независимите променливи). Задачата е следната: с фиксирани параметри хи измерени стойности гизчисляване на вектора на параметъра к , което удовлетворява някакъв критерий за оптималност.

При метода на най-малките квадрати този критерий е минимумът от сумата на квадратите на отклоненията на изчислените стойности гот наблюдаваното (експериментално):

мин аз (г s,i - г аз)І.

За да се намери минимумът на функцията, този израз трябва да бъде диференциран по отношение на параметрите и равен на нула (условието за минимум). В резултат на това търсенето на минимума на сумата от квадрати може да се сведе до прости операции с матрици.

Ако теоретичният модел е линейна зависимост от един параметър ( г = а + b· х), тогава решението се изразява под формата на прости формули:

З = нПри х азАз - (У х аз)І;

а= (Y г азПри х азАз - У г аз х азПри х аз) / З; С а І = С газ х аз І / З;

b = (нПри г аз х аз- У г азПри х аз) / З; С b І = С г І н / З;

С г I = Y( г s,i - г аз)І / ( н - 2)

(г s,i- изчислена стойност, г аз- експериментално измерена стойност)

При изчисляване на грешките се приема, че точността на x стойностите значително надвишава точността на измерените стойности г, чиято грешка на измерване се подчинява на нормалното разпределение.

Автокорелация в остатъците - корелационна зависимост между стойностите на остатъците за текущия и предишния момент от време.

Модели на линейна регресия с хомоскедастични и хетероскедастични, независими и автокорелирани остатъци. Както можем да видим от горното, основното е "почистването" на времевия ред от случайни отклонения, т.е. оценка на математическото очакване. Оттук естествено възникват по-сложни модели. Например, дисперсията може да зависи от времето. Такива модели се наричат ​​хетероскедастични, а тези, при които няма времева зависимост, се наричат ​​хомоскедастични. (По-точно, тези термини могат да се отнасят не само за променливата "време", но и за други променливи.) Ако грешките не са свързани по никакъв начин, автокорелационната функция трябва да бъде изродена - равна на 1, ако аргументите са равни и 0, ако не са равни. Ясно е, че това не винаги е така за сериите в реално време. Ако естественият ход на промените в наблюдавания процес е достатъчно бърз в сравнение с интервала между последователните наблюдения, тогава е възможно да се предвиди "затихване" на автокорелацията и получаване на практически независими остатъци, в противен случай остатъците ще бъдат автокорелирани.

Идентифицирането на модела обикновено се разбира като разкриване на тяхната структура и оценка на параметрите. Тъй като структурата също е параметър, макар и нечислов, говорим за една от типичните задачи на иконометрията – оценката на параметрите.

Проблемът с оценката се решава най-просто за линейни (по параметри) модели с хомоскедастични независими остатъци. Възстановяването на зависимости във времеви редове може да се извърши въз основа на методите на най-малките квадрати и най-малко модули, резултатите, свързани с оценката на необходимия набор от регресори, се прехвърлят в случая на времеви редове, по-специално, лесно е да се получи ограничаването геометрично разпределение на оценката на степента на тригонометричен полином.

Такова просто прехвърляне към по-обща ситуация обаче не се препоръчва. Помислете, например, в случай на времева серия с хетероскедастични и автокорелирани остатъци, можете отново да използвате общия подход на метода на най-малките квадрати, но системата от уравнения на метода на най-малките квадрати и, естествено, нейното решение ще бъдат различни . Формулите ще варират. В тази връзка този метод се нарича "обобщен метод на най-малките квадрати (GLS)"

Нека анализираме иконометричен модел на времеви редове, описващи растежа на индекса на потребителските цени (индекс на инфлацията). Нека I(t) е увеличението на цените през месец t. Тогава според някои икономисти е естествено да се предположи, че:

I(t)=cI(t-1)+a+dS(t-4)+

Където I(t-1) е увеличението на цената през предходния месец (и c е някакъв коефициент на затихване, като се приеме, че при липса на външни влияния увеличението на цената ще спре), a е константа (съответства на линейна промяна в стойността на I(t) във времето), bS(t-4) - член, съответстващ на ефекта от паричната емисия (т.е. увеличаване на количеството пари в икономиката на страната, извършено от централната банка ) в размер на S(t-4) и пропорционален на емисията с коефициент b, като този ефект не се проявява веднага, а след 4 месеца; И накрая, това е неизбежна грешка.

Моделът, макар и прост, показва много от характеристиките на много по-сложни иконометрични модели. Първо, нека обърнем внимание на факта, че някои променливи са дефинирани (изчислени) вътре в модела като I(t). Те се наричат ​​ендогенни (вътрешни). Други се задават отвън (това са екзогенни променливи). Понякога, както в теорията на управлението, сред екзогенните променливи се разграничават контролирани променливи - тези, с помощта на които мениджърът може да приведе системата в състоянието, от което се нуждае.

Второ, в съотношението се появяват променливи от нови типове - с лагове, т.е. аргументите в променливите не се отнасят до текущия момент във времето, а до някои минали моменти.

Трето, съставянето на иконометричен модел от този тип в никакъв случай не е рутинна операция. Например забавяне от точно 4 месеца на срока, свързан с емитирането на пари, е резултат от доста сложна предварителна статистическа обработка.

От решението на този проблем зависи конкретното изпълнение на процедурата на метода на най-малките квадрати.

От друга страна, в модел (1) има само 3 неизвестни параметъра и не е трудно да се напише формулировката на метода на най-малките квадрати:

След това разгледайте този тип модел с голям брой ендогенни и екзогенни променливи, със закъснения и сложна вътрешна структура. С други думи, от никъде не следва, че има поне едно решение за такава система. Това поражда не един, а два проблема. Има ли дори едно решение? Ако да, как да намерим най-доброто възможно решение? (Това е проблем на оценката на статистическите параметри.)

И двете задачи са доста трудни. За решаването на двата проблема са разработени много методи, обикновено доста сложни, само някои от които имат научна обосновка. По-специално, често се използват статистически оценки, които не са последователни (стриктно погледнато, те дори не могат да бъдат наречени оценки).

Нека опишем накратко някои общи техники при работа със системи от линейни иконометрични уравнения.

Система от линейни едновременни иконометрични уравнения. Чисто формално всички променливи могат да бъдат изразени чрез променливи, които зависят само от текущия момент във времето. Например, в случая на горното уравнение е достатъчно да поставим

H(t)=I(t-1), G(t)=S(t-4)

Тогава уравнението е пример за формата

I(t)=cH(t)+a+bG(t)+

Нека веднага да отбележим възможността за използване на регресионни модели с променлива структура чрез въвеждане на фиктивни променливи. Тези променливи в някои времеви стойности (да речем, първоначалните) приемат забележими стойности, а в други изчезват (стават всъщност равни на 0). В резултат формално (математически) един и същ модел описва напълно различни зависимости.

Както беше отбелязано по-горе, са създадени много методи за евристичен анализ на системи от иконометрични уравнения. Тези методи са предназначени за решаване на определени проблеми, които възникват при опит за намиране на числени решения на системи от уравнения.

Един от проблемите е наличието на априорни ограничения върху оценяваните параметри. Например доходът на домакинството може да се изразходва или за потребление, или за спестявания. Следователно сумата от дяловете на тези два вида разходи е априори равна на 1. А в системата от иконометрични уравнения тези дялове могат да участват независимо. Оттук възниква идеята те да бъдат оценени по метода на най-малките квадрати, игнорирайки априорното ограничение, и след това да бъдат коригирани. Този подход се нарича индиректен метод на най-малките квадрати.

Двуетапният метод на най-малките квадрати се състои във факта, че горният метод оценява параметрите на отделно уравнение на системата, а не разглежда системата като цяло. И също така тристепенният метод на най-малките квадрати се използва за оценка на параметрите на системата от едновременни уравнения като цяло. Първоначално към всяко уравнение се прилага двуетапен метод с единствената цел да се оценят коефициентите и грешките на всяко уравнение и след това да се конструира оценка за ковариационната матрица на грешката. След това се прилага обобщеният метод на най-малките квадрати за оценка на коефициентите на цялата система.

Не се препоръчва мениджърът и икономистът да бъде специалист в областта на съставянето и решаването на системи от иконометрични уравнения, дори и с помощта на специален софтуер, но той трябва да бъде информиран за възможността за тази посока на иконометрията, за да формулиране на задача за иконометрични специалисти при производствена необходимост.

От оценката на тенденцията (основната тенденция), нека преминем към втората основна задача на иконометрията на времевите редове - оценката на периода (цикъла).

Проблемът с хетероскедастичността. Да започнем със стационарни модели. Те имат съвместни функции на разпределение F(t 1 , t 2 ,…,t k) за произволен брой времеви точки k и следователно всички характеристики на времевите редове, изброени по-горе, не се променят с времето. По-специално, математическото очакване и дисперсията са константи, автокорелационната функция зависи само от разликата t-s. Времевите редове, които не са стационарни, се наричат ​​нестационарни.

Хетероскедастичността е свойство на началните, когато дисперсията на грешката зависи от броя на наблюдението. На графиката хетероскедастичността се проявява във факта, че с увеличаване или намаляване на серийния номер на измерването, дисперсията на измерванията около линията на тренда се увеличава. Това може да доведе до значителни грешки в оценките на коефициентите на регресионното уравнение. Хетероскедастичността възниква, когато обектите обикновено са хетерогенни. Има няколко метода за корекция, които решават проблема с хетероскедастичността. Най-ефективният от тях е методът на претеглените най-малки квадрати.

Същността на метода е изключително проста. Нека оригиналният модел изглежда така

След това, като разделим всеки елемент от системата на стойността yt, стигаме до друга система

където y t2 = y 2w, претеглена дисперсия;

Wt = n, n е броят на измерванията.

Така с тази трансформация елиминираме хетероскедастичността.

В допълнение, вземането на логаритъм на първоначалните данни също в някои случаи намалява грешките при определяне на параметрите на модела, причинени от хетероскедастичността.