Броят на периодите, за които се изчислява коефициентът на автокорелация. Коефициент на автокорелация, неговите свойства

При обработката на динамичните редове е необходимо да се вземе предвид наличието автокорелациии авторегресия, при което стойностите на следващото ниво на серията зависят от предишните стойности.

автокорелация- феноменът на връзката между серията: оригиналът и същата серия се изместват спрямо първоначалната позиция с h точки във времето.

Количествено, автокорелацията може да бъде измерена с помощта на линеен коефициент на корелация между нивата на оригиналния времеви ред и нивата на този ред, изместени с няколко стъпки във времето.

Формулата за изчисляване на коефициента на автокорелация е:

Тази стойност се нарича автокорелационен коефициентнива на серията от първи ред, тъй като измерва зависимостта между съседни нива на серията и .

По същия начин могат да се определят автокорелационните коефициенти от втория и по-високия ред. По този начин коефициентът на автокорелация от втори ред характеризира плътността на връзката между нивата и се определя по формулата:

където

Извиква се преместване между съседни нива или изместване с произволен брой периоди от време забавяне във времето . С увеличаването на забавянето броят на двойките стойности, използвани за изчисляване на коефициента на автокорелация, намалява. Счита се за подходящо да се използва правилото за осигуряване на статистическа надеждност на коефициентите на автокорелация - максималният лаг не трябва да бъде повече от .

Свойства на автокорелационния коефициент.

1. Коефициентът на корелация се изгражда по аналогия с линеен коефициенткорелация и по този начин характеризира близостта само на линейна връзка между текущите и предишните нива на серията. Следователно коефициентът на автокорелация може да се използва за преценка за наличието на линейна (или близка до линейна) тенденция. За някои времеви редове със силна нелинейна тенденция (например парабола от втори ред или експоненциал), коефициентът на автокорелация на нивата на оригиналния ред може да се доближи до нула.

2. По знака на коефициента на автокорелация не може да се направи извод за нарастваща или намаляваща тенденция в нивата на реда. Повечето времеви редове от икономически данни съдържат положителна автокорелация на нивата, но те могат да имат тенденция към намаляване.

Последователността на автокорелационните коефициенти на нивата на първото, второто и т.н. поръчките се наричат автокорелационна функциявремеви редове. Графиката на зависимостта на неговите стойности от величината на изоставането (от порядъка на коефициента на автокорелация) се нарича корелограма.

Анализът на автокорелационната функция и корелограмата дава възможност да се определи лагът, при който автокорелацията е най-висока, и следователно лагът, при който връзката между текущите и предишните нива на серията е най-близка, т.е. използвайки анализа на автокорелационната функция и корелограмата, може да се разкрие структурата на серията.

Ако коефициентът на автокорелация от първи ред се оказа най-висок, изследваната серия съдържа само тенденция. Ако коефициентът на автокорелация на поръчката е най-висок, тогава серията съдържа циклични колебания с периодичност във времеви точки. Ако нито един от автокорелационните коефициенти не е значим, може да се направи едно от двете предположения относно структурата на тази поредица: или поредицата не съдържа тенденция и циклични колебания, или поредицата съдържа силна нелинейна тенденция, за която трябва да провеждам допълнителен анализ. Следователно коефициентът на автокорелация на ниво и функцията на автокорелация трябва да се използват за идентифициране на наличието или отсъствието на компонент на тенденцията и цикличен (сезонен) компонент във времева серия.

Пример 3

Нека има някои условни данни (Таблица 11) за общата сума на получените продаваеми продуктидо склада на фирмата.

Таблица 11 - Общият брой търговски продукти, получени в склада.

При наличие на тренд и циклични колебания всяко следващо ниво от серията зависи от предходното. Количествен израз на степента на връзка между нивата на серия за един или повече периоди от време, т.нар. автокорелационен коефициент. Те идват на 1-во, 2-ро, 3-то и т.н. поръчка.

Коефициентът на автокорелация показва плътността на връзката между нивата на серията, изместени с 1 или повече стъпки.

Да предположим, че стойностите на y t в текущата година зависят от стойностите в предходната година, тогава стойностите в предходната година могат да бъдат изчислени с помощта на коефициента на автокорелация:

n - брой данни

r 1 - автокорелационен коефициент от 1-ви ред

Автокорелацията предоставя информация за наличието на фактор, който формира тенденцията на серията.

Получените стойности на коефициента на автокорелация от 1-ви и 2-ри ред показват плътността на връзката между текущите нива на серията и нивата на редица предходни периоди, а също така показват линейна тенденция. Периодите, за които се изчислява автокорелационният коефициент, се наричат ​​лагове. За статистическа значимост на коефициента на автокорелация максималният лаг може да бъде n/4.

Свойства на коефициента на автокорелация:

Характеризира само стегнатостта на линейната връзка между текущите и предишните нива на серията

В случай на нелинеен тренд, коефициентът на автокорелация може да бъде нула

По знака на коефициента на автокорелация е невъзможно да се направи заключение за нарастваща или намаляваща тенденция.

22. Корелационна функция.

Последователността от автокорелационни коефициенти се нарича автокорелационна функция. Графика на зависимостта на неговите стойности от големината на автокорелационните коефициенти (порядъци на автокорелационните коефициенти) се нарича корелограма. Анализът на автокорелационната функция и корелограмата ви позволява да определите структурата на времевия ред. Ако коефициентът на автокорелация от 1-ви ред е най-висок, това означава, че динамичният ред съдържа тенденция T, ако коефициентът на автокорелация от ред τ е най-висок, това означава, че динамичният ред съдържа сезонен или цикличен компонент S с a честота на τ времеви точки.

Ако нито един от автокорелационните коефициенти не се окаже значим, това означава, че серията не съдържа нито тенденция, нито сезонни или циклични колебания и изисква допълнителни изследвания. В този случай действа случайна съставка или намеса, или има нелинейна зависимост.

Анализът на автокорелационната функция ни позволява да заключим, че в изследваните времеви редове има тенденция T (да се увеличава или намалява), сезонни колебания с изчислена честота.

23. Определяне на тренда на динамичния ред.

Един от най-често срещаните методи е изграждането на аналитична функция, която характеризира зависимостта на нивата на серията от времето. Такава аналитична функция се нарича тенденция T.

Дефинирането на аналитична функция се нарича изглаждане на времеви редове.

За изграждане на тенденция най-често се използват следните (елементарни) функции:

Линеен y t = a + bt T = a + bt - линеен тренд

Нелинейно:

а) полином y t =a+bt+ct 2 +…+kt n

б) мощност

в) примерен

a, b, c - параметри на трендовата линия

Ако има голям диапазон от колебания в нивата на реда, е необходимо да се извърши процедура, наречена изглаждане на нивата на динамичния ред.

24. Модел на адитивен времеви ред.

За идентифициране на структурата на динамичния ред, т.е. определяне на количествените стойности на компонентите, които съставляват нивата на серията, най-често използват адитивни или мултипликативни модели на времеви редове.

Модел на добавката: Y=T+S+E,

T-тренд компонент

S-сезонен компонент

Е-произволен компонент

Използва се модел на адитивен времеви ред, ако амплитудата на сезонните колебания практически не се променя. Приема се, че всички сезонни компоненти са постоянни за различните видове.

Алгоритъм за изграждане на модел. Процесът на изграждане на модел включва следните стъпки:

Изравняване на нивата на оригиналната серия чрез метода на подвижната средна.

Изчисляване на стойностите на сезонния компонент S

Премахване на сезонния компонент от първоначалното ниво на серията и получаване на изравнени данни без S

Аналитично подравняване на серийните нива и изчисляване на стойностите на Т фактора

Изчисляване на получените стойности (T * S) за всяко ниво на серията

Изчисляване на абсолютни или относителни грешкимодели.

(или 4. Определяне на тенденцията на времевия ред и уравнението на тенденцията; 5. Изчисляване на абсолютните или относителните грешки на модела.)

Въведение

1. Същността и причините за автокорелацията

2. Автокорелационно откриване

3. Последици от автокорелацията

4. Методи за елиминиране

4.1 Определение

въз основа на статистиката на Дърбин-Уотсън

Заключение

Списък на използваната литература

Въведение

Моделите, изградени на базата на данни, характеризиращи един обект за редица последователни моменти (периоди), се наричат ​​модели на времеви редове. Времевият ред е набор от стойности на индикатор за няколко последователни момента или периода. Използването на традиционни методи за корелационен и регресионен анализ за изследване на причинно-следствените връзки на променливите, представени под формата на времеви редове, може да доведе до редица сериозни проблеми, които възникват както на етапа на конструиране, така и на етапа на анализ на иконометричните модели. На първо място, тези проблеми са свързани със спецификата на динамичните редове като източник на данни в иконометричното моделиране.

Предполага се, че в общ случайвсяко ниво на динамичния ред съдържа три основни компонента: тенденция (T), циклични или сезонни колебания (S) и случаен компонент (E). Ако времевият ред съдържа сезонни или циклични колебания, тогава преди по-нататъшно изследване на връзката е необходимо да се елиминира сезонният или цикличният компонент от нивата на всяка серия, тъй като неговото присъствие ще доведе до надценяване на истинските показатели за силата и свързване на изследваните времеви редове, ако и двата реда съдържат циклични колебания с еднаква периодичност или подценяване на тези показатели в случай, че само един от редовете съдържа сезонни или циклични колебания или честотата на колебанията в разглеждания времеви ред е различна. Елиминирането на сезонния компонент от нивата на динамичните редове може да се извърши в съответствие с методологията за конструиране на адитивни и мултипликативни модели. Ако въпросните времеви редове имат тенденция, абсолютната стойност на коефициента на корелация ще бъде висока, което в този случай е резултат от това, че x и y са зависими от времето или има тенденция. За да се получат коефициенти на корелация, които характеризират причинно-следствената връзка между изследваните серии, трябва да се отървете от така наречената фалшива корелация, причинена от наличието на тенденция във всяка серия. Влиянието на фактора време ще се изрази в корелацията между стойностите на остатъците

за текущия и предишния момент във времето, което се нарича "автокорелация в остатъците".

1. Същността и причините за автокорелацията

Автокорелацията е връзката на последователни елементи от серия от времеви или пространствени данни. В иконометричните изследвания често възникват ситуации, когато дисперсията на остатъците е постоянна, но се наблюдава тяхната ковариация. Това явление се нарича остатъчна автокорелация.

Автокорелация на остатъците най-често се наблюдава, когато иконометричният модел е изграден на базата на времеви редове. Ако има корелация между последователните стойности на някаква независима променлива, тогава ще има корелация между последователните стойности на остатъците. Автокорелацията може да се дължи и на грешна спецификация на иконометричния модел. В допълнение, наличието на автокорелация в остатъците може да означава, че трябва да се въведе нова независима променлива в модела.

Автокорелацията в остатъците е нарушение на една от основните предпоставки на най-малките квадрати - предпоставката за случайността на остатъците, получени от регресионното уравнение. Един от възможните начини за решаване на този проблем е прилагането на обобщен метод на най-малките квадрати за оценка на параметрите на модела.

Сред основните причини за появата на автокорелация са грешките в спецификацията, инерцията при промяна на икономическите показатели, уеб ефектът и изглаждането на данните.

Грешки в спецификацията. Неотчитането на важна обяснителна променлива в модела или грешният избор на формата на зависимост обикновено води до системни отклонения на точките на наблюдение от регресионната линия, което може да доведе до автокорелация.

Инерция. много икономически показатели(например инфлация, безработица, БНП и др.) имат определена цикличност, свързана с вълнообразността на бизнес активността. Наистина икономическото възстановяване води до увеличаване на заетостта, намаляване на инфлацията, увеличаване на БВП и т.н. Този растеж продължава, докато промяната на пазарните условия и редица икономически характеристики не доведе до забавяне на растежа, след което спиране и обръщане на разглежданите показатели. Във всеки случай тази трансформация не се случва моментално, а има известна инерция.

Уеб ефект. В много промишлени и други области икономическите индикатори реагират на промените в икономическите условия със закъснение (времево забавяне). Например предлагането на селскостопански продукти реагира на промените в цените със закъснение (равно на периода на узряване на реколтата). Високата цена на селскостопанската продукция през изминалата година (най-вероятно) ще предизвика нейното свръхпроизводство през текущата година и съответно цената й ще намалее и т.н.

Изглаждане на данните. Често данните за определен дълъг период от време се получават чрез осредняване на данните за съставните му подинтервали. Това може да доведе до известно изглаждане на колебанията, които са съществували в рамките на разглеждания период, което от своя страна може да предизвика автокорелация.

2. Откриване на автокорелация

Поради неизвестните стойности на параметрите на регресионното уравнение, истинските стойности на отклоненията също ще бъдат неизвестни

,t=1,2…T. Следователно изводите за тяхната независимост се правят на базата на оценки ,t=1,2…T, получени от емпиричното регресионно уравнение. Разгледайте възможните методи за определяне на автокорелацията.

2.1.Графичен метод

Има няколко опции за графично дефиниране на автокорелацията. Едно от тях показва отклонения

с моментите t на тяхното получаване (серийните им номера i) е показано на фиг. 2.1 Това са така наречените последователни времеви диаграми. В този случай абсцисата обикновено представлява или времето (момента) на получаване на статистически данни, или поредния номер на наблюдението, а ординатата - отклонения (или оценки на отклонения)
Фиг.2.1.

Естествено е да приемем, че на фигура 2.1. a-d има определени връзки между отклоненията, т.е. протича автокорелация. Липсата на зависимост на фиг. двероятно ще покаже липса на автокорелация.

Например на фиг. 2.1.b, отклоненията първоначално са предимно отрицателни, след това положителни, след това отново отрицателни. Това показва наличието на определена връзка между отклоненията.

2.2. Сериен метод

Този метод е доста прост: признаците на отклонения се определят последователно

,t=1,2…T. Например,

(-----)(+++++++)(---)(++++)(-),

Тези. 5 "-", 7 "+", 3 "-", 4 "+", 1 "-" при 20 наблюдения.

Редът се дефинира като непрекъсната последователност от еднакви знаци. Броят знаци в един ред се нарича дължина на реда.

Визуалното разпределение на знаците показва неслучайния характер на връзките между отклоненията. Ако има твърде малко редове в сравнение с броя на наблюденията n, тогава положителна автокорелация е доста вероятна. Ако има твърде много редове, тогава е вероятно отрицателна автокорелация.

2.3 Тест на Дърбин-Уотсън

Най-известният критерий за откриване на автокорелация от първи ред е критерият Дърбин Уотсъни изчисляване на стойността

(2.3.1)

Съгласно (2.3.1), количеството де съотношението на сумата от квадратите на разликите на последователните стойности на остатъците към остатъчната сума от квадратите според регресионния модел. Стойността на критерия на Дърбин-Уотсън е посочена заедно с коефициента на детерминация, стойностите T-и Ф-критерии.

времеви редовее нестационарни, ако съдържа такива систематични компоненти като тенденция и цикличност.

Нестационарните времеви редове се характеризират с факта, че стойностите на всяко следващо ниво на времевия ред корелират с предишните стойности.

Автокорелация на нива на времеви редовенаречена корелационна зависимост между настоящите и миналите стойности на нивата на дадения ред.

Лагомле размерът на промяната между серии от наблюдения.

Изоставането на времевия ред определя реда на автокорелационния коефициент. Например, ако нивата на динамичния ред x tи x t–1са корелирани, тогава стойността на времевия лаг е равна на единица. Следователно тази корелационна зависимост се определя от коефициента на автокорелация от първи ред между сериите от наблюдения x 1 … x n–1и x 2 … x n . .Ако лагът между сериите от наблюдения е равен на две, тогава тази корелационна зависимост се определя от коефициента на автокорелация от втори ред и т.н.

Тъй като стойността на изоставането се увеличава с едно, броят на двойките стойности, използвани за изчисляване на коефициента на автокорелация, намалява с едно. Следователно, максималният порядък на коефициента на автокорелация се препоръчва да се приема равен на n/4, където не броят на нивата във времевия ред.

Автокорелацията между нивата на динамичния ред се оценява с помощта на извадковия автокорелационен коефициент, който се изчислява по формулата:

където x t *x t-lе средноаритметичното произведение на две серии от наблюдения, взети със закъснение л:

x t x 1+l ,x 2+l ,…,x n:

x t-l- стойността на средното ниво на серията x 1 ,x 2 ,…,x n–l:

G(x t), G(x t–l)– среден стандартни отклоненияизчислени за серия от наблюдения x 1+l ,x 2+l ,…,x nи x 1 ,x 2 ,…,x n–lсъответно.

Структурата на времевия ред може да се определи чрез изчисляване на няколко последователни автокорелационни коефициента. В резултат на тези изчисления е възможно да се идентифицира изоставането л, за която стойността на извадковия автокорелационен коефициент rlе най-големият.

Анализът на структурата на динамичния ред с помощта на коефициенти на автокорелация се основава на следните правила:

1) изследваният времеви ред съдържа само компонент на тренда, ако стойността на коефициента на автокорелация от първи ред е най-голяма r l–1;

2) изследваният динамичен ред съдържа трендов компонент и флуктуации с период l, ако коефициентът на автокорелация от порядък l е най-голям. Тези колебания могат да бъдат както циклични, така и сезонни;

3) ако нито един от автокорелационните коефициенти rl(л=1,L ) не се оказва значимо, тогава се прави едно от двете възможни заключения:

а) този времеви ред не съдържа трендови и циклични компоненти и неговите колебания са причинени от влиянието на случаен компонент, т.е. редът е модел на случаен тренд;

б) този динамичен ред съдържа силна нелинейна тенденция, за идентифицирането на която е необходимо да се извърши допълнителен анализ.

Графичен начин за анализиране на структурата на времева серия е да се начертаят функциите на автокорелация и частична автокорелация.

Автокорелационна функцияе функцията за оценка на коефициента на автокорелация в зависимост от стойността на времевия лаг между изследваните серии.

Графиката на автокорелационната функция е корелограма.

Частичната автокорелационна функция се различава от автокорелационната функция по това, че нейната конструкция елиминира корелационната зависимост между наблюденията в рамките на лаговете.

1. Построен е по аналогия с коефициента на линейна корелация и по този начин характеризира близостта само на линейна връзка между текущите и предходните нива на реда. Следователно коефициентът на автокорелация може да се използва за преценка за наличието на линейна (или близка до линейна) тенденция.

2. По знака на коефициента на автокорелация не може да се направи извод за нарастваща или намаляваща тенденция в нивата на реда. Повечето времеви редове от икономически данни съдържат положителна автокорелация на нивата, но те могат да имат тенденция към намаляване.

Последователността на автокорелационните коефициенти на нивата на първото, второто и т.н. поръчките се наричат автокорелационна функциявремеви редове. Графиката на зависимостта на неговите стойности от величината на изоставането (от порядъка на коефициента на автокорелация) се нарича корелограма.

Анализът на автокорелационната функция и корелограмата дава възможност да се определи лагът, при който автокорелацията е най-висока, и следователно лагът, при който връзката между текущите и предишните нива на серията е най-близка, т.е. използвайки анализа на автокорелационната функция и корелограмата, може да се разкрие структурата на серията.

Ако коефициентът на автокорелация от първи ред се оказа най-висок, изследваната серия съдържа само тенденция. Ако коефициентът на автокорелация от порядъка на 2 се оказа най-висок, тогава серията съдържа циклични колебания с периодичност от 2 точки във времето. Ако нито един от коефициентите на автокорелация не е значим, може да се направи едно от двете предположения относно структурата на тази серия: или серията не съдържа тренд и циклични колебания, или серията съдържа силна нелинейна тенденция, за която допълнителен анализ е необходимо. Следователно коефициентът на автокорелация на ниво и функцията на автокорелация трябва да се използват за идентифициране на наличието или отсъствието на компонент на тенденцията и цикличен (сезонен) компонент във времева серия.

Обмисли пример. Нека има някои условни данни за общия брой нарушения на митницата на един от съставните образувания на Руската федерация (например Република Татарстан).

Таблица 4.1

година	Квартал		Броят на образуваните дела
	аз
II
III
IV
	аз
II
III
IV
	аз
II
III
IV
	аз
II
III
IV

Нека изградим корелационното поле:

Вече на базата на графиката може да се види, че стойностите образуват зъбна фигура. Нека изчислим няколко последователни автокорелационни коефициента. За целта съставяме първата спомагателна таблица.

Таблица 4.2

		–	–	–	–	–	–
			-328,33	-288,13	94601,72	107800,59	83018,90
			169,67	-292,13	-49565,70	28787,91	85339,94
			315,67	205,87	64986,98	99647,55	42382,46
			-342,33	351,87	-120455,66	117189,83	123812,50
			-228,33	-306,13	69898,66	52134,59	93715,58
			292,67	-192,13	-56230,69	85655,73	36913,94
			320,67	328,87	105458,74	102829,25	108155,48
			-309,33	356,87	-110390,60	95685,05	127356,20
			-344,33	-273,13	94046,85	118563,15	74600,00
			292,67	-308,13	-90180,41	85655,73	94944,10
			205,67	328,87	67638,69	42300,15	108155,48
			-238,33	241,87	-57644,88	56801,19	58501,10
			-245,33	-202,13	49588,55	60186,81	40856,54
			220,67	-209,13	-46148,72	48695,25	43735,36
			227,67	256,87	58481,59	51833,63	65982,20
Сума			9,05	0,05	74085,16	1153766,39	1187469,73
Означава	699,33	663,13	–	–	–	–	–

Трябва да се отбележи, че средната стойност се получава чрез разделяне не на 16, а на 15, т.к. сега имаме едно наблюдение по-малко.

Сега изчисляваме коефициента на автокорелация от първи ред, използвайки формула (4.1):

Съставяме помощна таблица за изчисляване на коефициента на автокорелация от втори ред.

Таблица 4.3

		–	–	–	–	–	–
		–	–	–	–	–	–
			145,57	-269,79	-39273,33	21190,62	72786,64
			291,57	-273,79	-79828,95	85013,06	74960,96
			-366,43	224,21	-82157,27	134270,94	50270,12
			-252,43	370,21	-93452,11	63720,90	137055,44
			268,57	-287,79	-77291,76	72129,84	82823,08
			296,57	-173,79	-51540,90	87953,76	30202,96
			-333,43	347,21	-115770,23	111175,56	120554,78
			-368,43	375,21	-138238,62	135740,66	140782,54
			268,57	-254,79	-68428,95	72129,84	64917,94
			181,57	-289,79	-52617,17	32967,66	83978,24
			-262,43	347,21	-91118,32	68869,50	120554,78
			-269,43	260,21	-70108,38	72592,52	67709,24
			196,57	-183,79	-36127,60	38639,76	33778,76
			203,57	-190,79	-38839,12	41440,74	36400,82
Сума			-0,02	-0,06	-1034792,71	1037835,43	1116776,36
Означава	723,43	644,79	–	–	–	–	–