Золотий перетин майстрів живопису. Що таке золотий переріз Що таке золотий переріз у мистецтві

Коли дивимось на гарний краєвидМи охоплюємо все навколо. Потім приділяємо увагу деталям. Річці дзюрчить або величному дереву. Бачимо поле зелене. Помічаємо, як вітер його обіймає ніжно і журя хитає з боку на бік траву. Можемо відчути аромат природи і почути спів птахів ... Все гармонійно, все взаємопов'язане і дає почуття умиротворення, почуття прекрасного. Куди ви сядете на лаві: на край, на середину чи в будь-яке місце? Більшість відповість, що трохи далі від середини. Приблизна кількість у пропорції лави від вашого тіла до краю буде 1,62. Так і в кінотеатрі, в бібліотеці, скрізь. Інстинктивно створюємо гармонію красу, яку у всьому світі називаю "Золотим перетином".

Золотий переріз у математиці

Ви замислювалися, чи можна визначити міру краси? Виявляється, з математичної точки зору можливо. Проста арифметика дає поняття про абсолютну гармонію, яка і відображається в бездоганній красі завдяки принципу Золотого перетину. Архітектурні споруди ін. Єгипту та Вавилону першими почали відповідати цьому принципу. Але сформулював принцип першим Піфагором. У математиці цей поділ відрізка трохи більше половини, а точніше 1,628. Це співвідношення представляється як ? =0,618 = 5/8. Невеликий відрізок = 0,382 = 3/8, а повністю відрізок приймаємо за одиницю.

А:B=B:C та C:B=B:A

Від принципу золотого перетину відштовхувалися і великі письменники, архітектори, скульптори, музиканти, – люди мистецтва, і християни, що малюють піктограми (п'ятикутні зірки тощо) з його елементами у храмах, рятуючись від нечисті, і люди, які вивчають точні науки, вирішальна проблема кібернетики.

Золотий переріз у природі та явищах.

Все на землі набуваючи форми, росте вгору, убік або по спіралі. Останньому уважно приділив увагу Архімед, склавши рівняння. По ряду Фібоначчі влаштована шишка, черепашка, ананас, соняшник, ураган, павутина, молекула ДНК, яйце, бабка, ящірка.

Тіціріус довів, що весь наш Всесвіт, космос, галактичний простір – все сплановано виходячи із Золотого принципу. Абсолютно у всьому живому та не живому можна прочитати найвищу красу.

Золотий перетин у людині.

Кістки продумані природою теж згідно з пропорцією 5/8. І це виключає застереження людей про “кісті широкі”. Більшість частин тіла у співвідношеннях застосовуються до рівняння. Якщо всі частинки тіла підпорядковуються Золотій формулі, тоді зовнішні дані будуть дуже привабливі та ідеально складені.

Відрізок від плечей до верху голови та її розміру = 1:1.618
Відрізок від пупа до верху голови та від плечей до верху голови = 1:1.618
Відрізок від пупа до колін і від них до ступнів ніг = 1:1.618
Відрізок від підборіддя до крайньої точки верхньої губи і її до носа = 1 :1 .618

Усевідстані обличчя дають загальне уявлення про ідеальні пропорції, що привертають погляд.
Пальці, долоня, теж підкоряються закону. Необхідно ще зазначити, що відрізок розставлених рук з тулубом дорівнює зростанню людини. Та що там, усі органи, кров, молекули відповідають Золотій формулі. Справжня гармонія всередині та зовні нашого простору.

Параметри з фізичного боку навколишніх факторів.

Гучність звуку. Вища точка звуку, що викликає не комфортне відчуття та біль у вушній раковині = 130 децибелів. Це число можна розділити пропорцією 1618, тоді виходить, що звук людського крику буде = 80 децибел.
Тим самим шляхом рухаючись далі отримуємо 50 децибел, що притаманно нормальної гучності промови людини. І останній звук, який отримаємо завдяки формулі, – приємний звук шепоту = 2,618.
За цим принципом можна визначити оптимально-комфортне, мінімальне та максимальне число температури, тиску, вологості. Проста арифметика гармонії закладена в усьому нашому оточенні.

Золотий перетин мистецтва.

В архітектурі найвідоміші будівлі та споруди: єгипетські піраміди, піраміди Майя в Мексиці, Нотр-Дам де Парі, Парфенон грецький, Петровський палац, та інші.

У музиці: Аренський, Бетховен, Гаван, Моцарт, Шопен, Шуберт та інші.

У живопису: майже всі картини знаменитих художниківнаписані згідно з перерізом: різнобічний Леонардо да Вінчі та неповторний Мікеланджело, такі рідні в писанні Шишкін з Суріковим, ідеал найчистішого мистецтва – іспанець Рафаель, і ідеал, що подарував жіночої краси- Італієць Боттічеллі, і багато-багато інших.

У поезії: впорядкована мова Олександра Сергійовича Пушкіна, особливо “Євгеній Онєгін” і вірш “Швець”, поезія чудових Шота Руставелі і Лермонтова, та інших великих майстрів слова.

У скульптурі: статуя Аполлона Бельведерського, Зевса Олімпійського, прекрасної Афіни та граційної Нефертіті, та інші скульптури та статуї.

У фотографії використовується "правило третього". Принцип такий: композиція ділиться на 3 рівні частини по вертикалі і горизонталі, ключові моменти розташовуються або на лініях перетину (горизонт), або в точках перетинів (об'єкті). Таким чином, пропорції рівні 3/8 і 5/8.
Відповідно до Золотого перерізу є багато хитрощів, які варто розібрати детально. Їх опишу докладно у наступному.

Іноді професійні художники, навчившись малювати і писати з натури, через власну слабку фундаментальну підготовку, вважають, що знання законів краси (зокрема закону золотого перетину), заважають вільній інтуїтивній творчості. Це велика і глибока помилка багатьох художників, які так і не стали істинними творцями. Майстри Стародавню Грецію, що вміли свідомо користуватися золотою пропорцією, вміло застосовували її гармонійні величини у всіх видах мистецтва та досягли такої досконалості будови форм, що виражають їх суспільні ідеали, таке рідко зустрічається у практиці світового мистецтва. Вся антична культурапройшла під знаком золотої пропорції. Знали цю пропорцію і в Стародавньому Єгипті.

Знання законів золотого перерізу чи безперервного поділу допомагають художнику творити усвідомлено та вільно. Використовуючи закономірності золотого перерізу, можна досліджувати пропорційну структуру будь-якого художнього творунавіть якщо воно створювалося на основі творчої інтуїції. Ця сторона справи має важливе значення щодо класичного спадщини і при мистецтвознавчому аналізі творів всіх видів мистецтв.

Мотиви "Золотого перетину" видно в картинах художників різних епох.

Немає живопису поетичнішою, ніж живопис Боттічеллі, і немає у великого Сандро картини більш знаменитої, ніж його «Народження Венери». Неповторна витонченість боттічеллієвських ліній і крихкість його витягнутих фігур. Неповторна дитяча чистота Венери і лагідна смуток її погляду. Для неоплатоніка Боттічеллі його Венера – це "Народження Венери"

втілення ідеї універсальної гармонії золотого перерізу, що панує у природі.

Неперевершений художник, великий учений Леонардо да Вінчі велику увагу приділяв вивченню золотого перетину. Перед талантом цього великого художника схилялися його сучасники. Але особистість та діяльність генія епохи Відродження залишаються таємницею.

Його картина "Портрет Монни Лізи" приваблює тим, що композиція малюнка побудована на "золотих трикутниках", точніше на трикутниках, що є шматками правильного п'ятикутника. У цьому шедеврі мистецтва простежується глибоке знання Леонардо будови людського тіла, завдяки якому йому вдалося вловити цю, ніби загадкову, усмішку жінки. Картина приваблює себе виразністю її окремих частин, пейзажем, небувалому супутнику портрета, природністю висловлювання, простотою пози, красою рук жінки, котра позувала великому майстру. Художник зробив ще небувале: на картині зображено повітря, яке огортає фігуру прозорим серпанком. Успіх картини був надзвичайний.

Геніально просто і велично переклав Рафаель мовою живопису ідеали класичної гармонії. Чудовий портрет, що отримав назву «Донна Велата» або «Дама під покривалом», розкриває образ жінки у розквіті життєвих сил, чарівності та природної величності.

В епоху Відродження золотий перетин був дуже популярним серед художників-пейзажистів. У більшості мальовничих пейзажів лінію горизонту проводили так, щоб вона ділила полотно по висоті відносно близького до коефіцієнта золотого перерізу, а розміри картини знаходилися в золотому відношенні.

Мотиви золотого перерізу проглядаються на картині І.І.Шишкіна «Сосновий гай». Яскраво освітлена сонцем сосна, що стоїть першому плані, ділить довжину картини по золотому перерізу. Праворуч від сосни – освітлений сонцем пагорб. Він ділить по золотому перерізу праву частинукартини по горизонталі. Зліва від головної сосни знаходиться безліч сосен, тому за бажання можна з успіхом продовжити розподіл картини по золотому перетину і далі. Відповідно до задуму художника наявність у картині яскравих вертикалей та горизонталей надає їй характеру врівноваженості та спокою.

Полотно, на якому написано « таємна вечеря» Сальвадора Далі має форму золотого прямокутника. У роботі художник використовував золоті прямокутники менших розмірів при розміщенні фігур 12 апостолів.

Якщо золотий прямокутник використовувався художниками для створення у глядача відчуття врівноваженості, спокою, то золота спіраль застосовувалася для вираження тривожних подій, що бурхливо розвиваються.

Динамізм і драматизм сюжету проглядається в багатофігурній композиції Рафаеля, виконаної в 1509 - 1510 роках, коли прославлений художник створював свої фрески у Ватикані. Рафаель так і не довів свій задум до завершення, проте його ескіз був гравірований відомим італійським графіком Маркантініо Раймонді, який на основі цього ескізу і створив гравюру «Побиття немовляти».

На підготовчому ескізі Рафаеля проведено

Червоні лінії, що йдуть від смислового центру композиції - точки, де пальці воїна зімкнулися навколо кісточки дитини, - вздовж фігур дитини, жінки, що притискає її до себе, воїна із занесеним мечем і потім уздовж фігур такої ж групи у правій частині ескізу. Якщо природно з'єднати ці шматки кривою пунктиром, то з дуже великою точністю виходить золота спіраль! Це можна перевірити, вимірюючи відношення довжин відрізків, що висікаються спіраллю на прямих, що проходять через початок кривої.

Невідомо, чи малював насправді Рафаель золоту спіраль під час створення цієї композиції чи відчував її. Проте з упевненістю можна сказати, що гравер Раймонді побачив цю спіраль. Про це свідчать додані ним нові елементи композиції, що підкреслюють розворот спіралі в тих місцях, де вона в нас є лише пунктиром. Ці елементи можна побачити на остаточній гравюрі Раймонді: арка мосту, що йде від голови жінки, - у лівій частині композиції і тіло дитини, що лежить – у її центрі. Початкову композицію Рафаель виконав на світанку своїх творчих сил, коли він створював свої найдосконаліші твори.

Глава школи романтизму французький художник XIX століття Ежен Делакруа писав про нього: «У поєднанні всіх чудес грації та простоти, знань та інстинкту в композиції Рафаель досяг такого досконалості, в якому з ним ще ніхто не зрівнявся». У композиції «Побиття немовлят» чудово поєднуються динамізм та гармонія. Цьому поєднанню сприяє вибір золотої спіралі за композиційну основумалюнку: динамізм йому надає вихровий характер спіралі, а гармонійність – вибір золотого перерізу як пропорції, що б розгортання спіралі.

Зараз із упевненістю можна сказати, що золота пропорція - це та основа формоутворення, застосування якої забезпечує різноманітність композиційних форм у всіх видах мистецтва та дає підставу створити наукову теоріюкомпозиції та єдину теорію пластичних мистецтв.

Тибайкіна Юлія Віталіївна

(Я – дослідник. Історія відкриттів)

Тибайкіна Юлія Віталіївна

Ставропольський край, м. Вдячний

МКОУ «ЗОШ №9», 9 клас

Золотий перетин у живописі

Анотація проекту.

Паспорт проекту.

1. Назва: "Золотий перетин у живописі".

2. Керівник проекту: Тібайкіна Н.А

3. Проект виконується у межах предметного елективного курсу“Рішення завдань підвищеної складності з алгебри та геометрії”.

4. Проект торкається питань історії математики, психології, філософії, соціології.

5. Розрахований на 14-15 років, 9-11 клас.

6. Тип проекту: дослідницький та інформаційний. Усередині класний, короткостроковий.

7. Мета проекту: Вивчити значення математики в житті людини, її вплив на якості людини, підвищити інтерес до математики та її вивчення. Розвинути загальні навчальні навички.

8. Завдання проекту:

1. Вивчити цілі математичної освіти.

2. Ознайомитись з основами математичної освіти.

3. Відповісти на запитання: навіщо потрібна математика? що може дати математика кожній окремій особі?

4. Вивчити висловлювання вчених, політиків, філософів про значення математики.

5. Розвинути навички самостійної роботиз текстом, з анкетою, навичок спілкування, вміння аналізувати та систематизувати отримані дані.

6. Сформувати прийоми критичного мислення, вміння проводити оцінку та самооцінку робити висновки.

9. Очікувані продукти проекту: учнівський проект «Золотий перетин», створення презентації.

10. Етапи роботи:

1. Визначення цілей роботи та шляхів їх досягнення, форм та методів роботи.

2. Збір інформації на тему.

3. Робота в творчих групах, обробка результатів, проміжні підсумки

4. Підготовка та проведення круглого столу.

5. Обговорення результатів, підготовка презентації.

Даний проект ілюструє застосування математики на практиці, знайомить з історичними відомостями, показує зв'язок з іншими галузями знань, наголошує на естетичних аспектах досліджуваних питань.

Проект формує компетентності у сфері самостійної діяльності, засновані на засвоєнні способів набуття знань із різних джерел інформації. У сфері цивільно-суспільної діяльності, у сфері соціально-трудової діяльності, у побутовій сфері, у сфері культурно-дозвільної діяльності.

Проект розширює сферу математичних знань учнів: знайомить учнів із золотою пропорцією та пов'язаних із нею співвідношеннях, розвиває естетичне сприйняття математичних фактів. Показує застосування математики не тільки в природничих науках, а й у сфері гуманітарної сфери діяльності, як мистецтво. Допомогти усвідомити ступінь свого інтересу до предмета та оцінити можливості оволодіння ним з погляду подальшої перспективи(показати можливості застосування отриманих знань у своїй майбутньої професіїхудожника, архітектора, біолога, інженера-будівельника).

Основне питання: «Чи можна виміряти алгеброю гармонію?» Проблемні питання: що є одним із основоположних принципів природи? Чи є закономірність «золотого перерізу»? Яке відношення є «золотим перетином»? Чому приблизно дорівнює «золотий перетин»? Чи задовольняють приємні оку речі «золотому перерізу»? Де зустрічається "золотий перетин"?

« Золота пропорція» спрямований на інтеграцію знань, формування загальнокультурної компетентності, створення уявлень про математику як науку, що виникла з потреб людської практики і з них. У базовому курсіматематики золотому перерізу приділено мало часу, представлена лише математична складова, а про загальнокультурний аспект згадується побіжно. Тому математика в ньому подається як елемент загальної культурилюдства, який є теоретичною основоюмистецтва, і навіть елемент загальної культури окремої людини. При цьому курс розрахований на базовий рівень володіння обмеженим математичним змістом. Провідний підхід, який був використаний при розробці курсу: показати на великому матеріалі від античних часів до наших днів шляхи взаємодії та взаємозбагачення двох великих сфер людської культури – науки та мистецтва; розширити уявлення про сфери застосування математики; показати, що фундаментальні закономірності математики є формотворчими в архітектурі, музиці, живопису і т.д. Цей проект покликаний допомогти учням подати математику в контексті культури та історії. Цей проект може стати додатковим фактором формування позитивної мотивації у вивченні математики, а також розуміння учнями філософського постулату про єдність світу та усвідомлення положення про універсальність математичних знань. Передбачається, що результатами освоєння учнями даного курсу, можуть стати наступні вміння: 1) використовувати математичні знання, алгебраїчний та геометричний матеріал для опису та вирішення завдань майбутньої професійної діяльності; навколишньому світі; 3) проводити узагальнення та відкривати закономірності на основі аналізу приватних прикладів, експерименту, висувати гіпотези та робити необхідні перевірки.

Передбачається, що результатами освоєння учнями цього курсу можуть стати такі вміння:

1) використовувати математичні знання, алгебраїчний та геометричний матеріал для опису та вирішення завдань майбутньої професійної діяльності;

2) застосовувати набуті геометричні уявлення, алгебраїчні перетворення для опису та аналізу закономірностей, що існують в навколишньому світі;

3) проводити узагальнення та відкривати закономірності на основі аналізу приватних прикладів, експерименту, висувати гіпотези та робити необхідні перевірки.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Геометрія володіє двома скарбами, один із них – це

теорема Піфагора, а інше – розподіл відрізка в середньому та

крайньому відношенні. Перше можна уявити мірою

золото; друге ж боляче нагадує дорогоцінний камінь.

Йоганн Кеплер

1. Введення.

Актуальність дослідження.

При вивченні шкільних предметів є можливість розглянути взаємозв'язки між поняттями, прийнятими в різних галузях знань, та процесами, що протікають у природному середовищі; з'ясувати зв'язок між математичними законамита властивостями та закономірностями розвитку природи. З давніх-давен, спостерігаючи за навколишньою природою і створюючи твори мистецтва, люди шукали закономірності, які дозволяли б визначити прекрасне. Але людина не тільки створювала гарні предмети, не тільки милувалася ними, вона все частіше задавалася питанням: чому цей предмет красивий, він подобається, а інший, дуже схожий, не подобається, його не можна назвати красивим? Тоді з творця прекрасного він перетворювався на його дослідника. Вже у Стародавню Грецію вивчення сутності краси, прекрасного сформувалося окрему галузь науки – естетику. Вивчення прекрасного стало частиною вивчення гармонії природи, її основних законів організації.

У Великій Радянській Енциклопедії дається таке визначення поняття "гармонія":

"Гармонія - пропорційність частин і цілого, злиття різних компонентів об'єкта в єдине органічне ціле. У гармонії набувають зовнішнього виявлення внутрішня впорядкованість і міра буття".

З багатьох пропорцій, якими здавна користувалася людина під час створення гармонійних творівіснує одна, єдина і неповторна, що володіє унікальними властивостями. Цю пропорцію називали по-різному - "золотою", "божественною", "золотим перетином", "золотим числом". Класичними проявами золотого перерізу є предмети побуту, скульптура та архітектура, математика, музика та естетика. У попередньому столітті з розширенням галузі знань людства різко збільшилася кількість сфер, де спостерігається феномен золотої пропорції. Це біологія та зоологія, економіка, психологія, кібернетика, теорія складних систем, і навіть геологія та астрономія.

Величезний інтерес у мене та моїх однолітків викликав принцип «золотої пропорції». Інтерес до цієї стародавньої пропорції то вщухає, то розгоряється з новою силою. А насправді ми зустрічаємося із золотим перетином щодня, але не завжди помічаємо це. У шкільному курсі геометрії ми познайомилися із поняттям пропорції. Мені захотілося докладніше дізнатися про застосування цього поняття у математиці, а й у нашому повсякденному житті.

Предмет дослідження:

Відображення "Золотого перерізу" в аспектах діяльності людини:

1.Геометрія; 2. Живопис; 3. Архітектура; 4. Жива природа(організми); 5. Музика та поезія.

Гіпотеза:

Людина у своїй діяльності постійно стикається з предметами, які використовують у своїй основі золотий перетин.

Завдання:

1.Розглянути поняття «золотий перетин» (трохи про історію), алгебраїчне знаходження «золотого перерізу», геометрична побудова «золотого перерізу».

2.Розглянути «золотий перетин» як гармонійну пропорцію.

3.Побачити в навколишньому світі застосування цих понять.

Цілі:

1.показати на матеріалі від античних часів до наших днів шляхувзаємодії та взаємозбагачення двох великих сфер людської культури – науки та мистецтва;

2. розширити уявлення про сфери застосування математики;

3.показати, що фундаментальні закономірності математики є формотворчими в архітектурі, музиці, живопису і т.д.

Методи роботи:

Збір та аналіз інформації.

Самостійне дослідження (індивідуально та у групі).

Обробка отриманої інформації та її наочне уявлення у вигляді таблиць та діаграм.

2.Золотий перетин. Застосування золотого перерізу математики.

2.1 Золота пропорція. Загальні відомості.

У математиці пропорцією (лат. proportion)називають рівність двох відносин:а: b = з: d.

Розглянемо відрізок. Його можна розділити точкою на дві частини безліччю способів, але тільки в одному випадку виходить золотий перетин.

Золотий перетин - це такий пропорційний розподіл відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього:

а: b = b: с або с: b = b: а. (Рис.1)

З'ясуємо, яким числом виражається золотий перетин. Для цього виберемо довільний відрізок та приймемо його довжину за одиницю. (Рис.2)

Розіб'ємо цей відрізок на дві нерівні частини. Велику їх позначимо через «х». Тоді менша частина дорівнює 1-х.

У пропорції, як відомо, добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх і цю пропорцію перепишемо у вигляді: х 2 = (1-х)∙1

Розв'язання задачі зводиться до рівняннях 2 + х-1 = 0 , Довжина відрізка виражається позитивним числом, тому з двох коренів х 1 = х 2 = слід вибрати позитивний корінь.
= 0.6180339.. – число ірраціональне.

Отже, відношення довжини меншого відрізка до довжини більшого

відрізка та відношення більшого до довжини всього відрізка дорівнює 0,62. Таке відно-

шення і буде золотим.

Отримане число позначається буквою j . Це перша літера на ім'я великого давньогрецького скульптораФідія (народився на початку 5 століття до н.е.), який часто використовував золотий перетин у своїх творах. Якщо - 0,62, то 1-х - 0,38, таким чином, частини «золотого перерізу» становлять приблизно 62% і 38% всього відрізка.

2.2. Історія «Золотого перетину»

Прийнято вважати, що поняття про золотий поділ увів у науковий побутПіфагор , давньогрецький філософта математик (VI ст. до н.е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого поділу запозичив у єгиптян та вавилонян. І справді, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту та прикрас із гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого поділу під час їхнього створення. На початку 20-го століття в Саккарі (Єгипет) археологи розкрили склеп, в якому були поховані останки давньо-єгипетського архітектора на ім'я Хесі-Ра. У літературі це ім'я найчастіше зустрічається як Хесіра. Передбачається, що Хесі-Ра був сучасником Імхотепа, який жив у період правління фараона Джосера (27 століття до н.е.), оскільки в склепі виявлені печатки фараона. Зі склепу поряд з різними матеріальними цінностями було вилучено дерев'яні дошки-панелі, вкриті чудовим різьбленням.(Мал.5)

У дійшла до нас античної літературизолотий поділ вперше згадується в "Початках"Евкліда . У 2-й книзі "Початок" дається геометрична побудова золотого поділу. Після Евкліда дослідженням золотого поділу займалися Гіпсікл (II ст. до н.е.), Папп (III ст. н.е.) та ін. середньовічної Європиіз золотим поділом познайомилися з арабських перекладів "Початок" Евкліда. ПерекладачДж.Кампано з Наварри (III ст) зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого поділу ревно оберігалися, зберігалися у суворій таємниці. Вони були відомі лише присвяченим. В епоху Відродження посилюється інтерес до золотого поділу серед вчених та художників у зв'язку з його застосуванням як у геометрії, так і в мистецтві, особливо в архітектурі.Леонардо Да Вінчі, художник і вчений, бачив, що італійські художники мають емпіричний досвід великий, а знань мало. Він задумав і почав писати книгу з геометрії, але в цей час з'явилася книга ченцяЛуки Пачолі , і Леонардо залишив свою витівку. Лука Пачолі був учнем художникаП'єро дел ла Франческі, що написав дві книги, одна з яких називалася "Про перспективу в живописі". Його вважають творцем нарисної геометрії. У 1509р. у Венеції була видана книга Луки Пачолі "Божественна пропорція" з блискуче виконаними ілюстраціями, через що вважають, що їх зробив Леонардо да Вінчі. Книжка була захопленим гімном золотої пропорції.

2.4. Золота пропорція та пов'язані з нею співвідношення.

Обчислимо число зворотне по відношенню до φ:

1:()== ∙=

Зворотна величина зазвичай позначається якФ = =1,6180339.. ≈ 1,618.

Число j - Єдине позитивне число, яке звертається у зворотне собі при додаванні одиниці.

Звернімо увагу на дивовижну інваріантність золотої пропорції:

Ф 2 =() 2 ==== та Ф+1=

Такі значні перетворення, як зведення на ступінь, не змогли знищити сутність цієї унікальної пропорції, її «душу».

2.4.1. "Золотий" прямокутник.

Прямокутник, сторони якого у золотому відношенні, тобто.

відношення ширини до довжини дає число φ, називаєтьсязолотим прямокутником

ніком.

Навколишні предмети дають приклади золотого прямокутника: про-

ложки багатьох книг, журналів, зошитів, листівки, картини, кришки столів,

екрани телевізорів та ін. близькі за розмірами до золотого прямокутника.

Властивості "Золотого" прямокутника.

Якщо від золотого прямокутника зі сторонамиа і в (де, а>в ) відрізати квадрат зі стороноюв , то вийде прямокутник зі сторонамив та а-в , Що теж золотий. Продовжуючи цей процес, ми щоразу отримуватимемо прямокутник менших розмірів, але знову золотий.
Процес, описаний вище, призводить до послідовності про обертових квадратів. Якщо поєднати протилежні вершини цих квадратів плавною лінією, то отримаємо криву, яка називається «золотою спіраллю». Крапка, з якої вона починає розкручуватися називається полюсом. (Рис.7 та рис.8)

2.4.2. "Золотий трикутник".

Це рівнобедрені трикутникиу яких відношення довжини бічної сторони до довжини основи дорівнює Ф. Одна з чудових властивостей такого трикутника полягає в тому, що довжини бісектрис кутів при його підставі дорівнюють довжині основи. (Мал.9)

2.4.3. Пентаграми.

Чудовий приклад «золотого перерізу» є правильним п'ятикутником – опуклим і зірчастим: (рис.10 і рис.11)

З'єднуємо кути п'ятикутника через один діагоналями та отримуємо пентаграму. Усі діагоналі п'ятикутника ділять одне одного на відрізки, пов'язані між собою золотою пропорцією.

Кожен кінець п'ятикутної зірки є золотим трикутником. Його сторони утворюють кут 36° при вершині, а основа, відкладена на бік, ділить її в пропорції золотого перерізу. Зірчастий п'ятикутник має назву пентаграма (від слова «пенте» – п'ять).

Правильні багатокутники привертали увагу давньогрецьких вчених ще задовго і Архімеда. Піфагорійці обрали п'ятикутну зірку як талісман, вона вважалася символом здоров'я і служила розпізнавальним знаком.

4.2. Золотий перетин та сприйняття зображень.

Про здатність зорового аналізатора людини виділяти об'єкти, побудовані за алгоритмом золотого перерізу, як гарні, привабливі та гармонійні, відомо давно. Золотий переріз дає відчуття найдосконалішого єдиного цілого. Формат багатьох книг відповідає золотому перерізу. Воно вибирається для вікон, мальовничих полотен та конвертів, марок, візиток. Людина може нічого не знати про кількість Ф, але у будові предметів, а також у послідовності подій він підсвідомо знаходить елементи золотої пропорції.

1. Учасниками дослідження стали мої однокласники, яким пропонувалося обирати та копіювати прямокутники різних пропорцій. (Рис.12)

З набору прямокутників було запропоновано вибрати ті, які піддослідні визнають найкрасивішими за формою. Більшість опитаних (23%) вказали на фігуру, сторони якої співвідносяться між собою у пропорції 21:34. Сусідні фігури (1:2 та 2:3) також були оцінені високо відповідно 15 відсотків верхня фігура та 17 відсотків – нижня, фігура 13:23 – 15%. Всі інші прямокутники здобули не більше 10 відсотків голосів кожен. Цей тест - не лише суто статистичний експеримент, він відображає реально існуючу в природі закономірність. (Рис.13 та рис.14)

2.При малюванні власних малюнків переважають пропорції, близькі до золотого перерізу (3:5), а також щодо 1:2 та 3:4.

5.Золотий перетин у живописі.

Ще в епоху Відродження художники відкрили, що будь-яка картина має певні точки, які мимоволі приковують нашу увагу, так звані зорові центри. При цьому абсолютно неважливо, який формат має картина – горизонтальний чи вертикальний. Таких точок всього чотири, вони поділяють величину зображення горизонталлю і вертикалі в золотому перерізі, тобто. розташовані вони на відстані приблизно 3/8 та 5/8 від відповідних країв площини. (Мал.15)

Дане відкриття у художників того часу отримало назву "золотий перетин" картини. Тому, для того, щоб привернути увагу до головного елемента фотографії, картини необхідно поєднати цей елемент з одним із зорових центрів.

Нижче наведено різні варіантисіток, створених за правилом "Золотого перерізу", для різних композиційних варіантів.

Базові сітки виглядають як на рис.16.

Майстри Стародавньої Греції, які вміли свідомо користуватися золотою пропорцією, що, по суті, дуже просто, вміло застосовували її гармонійні величини у всіх видах мистецтва і досягли такої досконалості будови форм, які висловлюють їх суспільні ідеали, яка рідко зустрічається у практиці світового мистецтва. Уся антична культура пройшла під знаком золотої пропорції. Знали цю пропорцію і у Стародавньому Єгипті. Я покажу це на прикладі таких художників як: Рафаель, Леонардо да Вінчі, Шишкін.

ЛЕОНАРДО та ВІНЧІ (1452 – 1519)

Переходячи до прикладів «золотого перерізу» у живописі, не можна не зупинити своєї уваги на творчості Леонардо да Вінчі. Його особистість одна із загадок історії. Сам Леонардо да Вінчі говорив: «Нехай ніхто, не будучи математиком, не сміється читати мою працю». Він писав праворуч наліво нерозбірливим почерком та лівою рукою. Це найвідоміший із існуючих зразок дзеркального листа.Портрет Монни Лізи (Джоконди) рис.17довгі роки привертає увагу дослідників, які виявили, що композиція малюнка ґрунтується на золотих трикутниках, що є частинами правильного зірчастого п'ятикутника.

"Таємна вечеря" (рис.18)

- найзріліший і закінчений твір Леонардо. У цьому розписі майстер уникає всього того, що могло б затемнити основний хід зображеного ним дії, він домагається рідкісної переконливості композиційного рішення. У центрі він поміщає постать Христа, виділяючи її просвітом дверей. Апостолів він свідомо відсуває від Христа, щоб ще більше наголосити на його місці в композиції. Зрештою, у цих цілях він змушує сходитися всі перспективні лінії в точці, безпосередньо розташованої над головою Христа. Учнів Леонардо розбиває на чотири симетричні групи, повні життята рухи. Стіл він робить невеликим, а трапезну – строгий і простий. Це дає йому можливість зосередити увагу глядача на фігурах, що мають величезну пластичну силу. У всіх цих прийомах дається взнаки глибока цілеспрямованість творчого задуму, в якому все зважено і враховано..."

Рафаель (1483 - 1520)

На відміну від золотого перерізу відчуття динаміки, хвилювання проявляється, мабуть, найсильніше в іншій простій геометричній фігурі- Спіралі. Багатофігурна композиція, виконана в 1509 - 1510 роках Рафаелем, коли прославлений художник створював свої фрески у Ватикані, якраз відрізняється динамізмом і драматизмом сюжету. Рафаель так і не довів свій задум до завершення, однак, його ескіз був гравірований невідомим італійським графіком Маркантініо Раймонді, який на основі цього ескізу і створив гравюру "Побиття немовлят".

На підготовчому ескізі Рафаеля проведені червоні лінії, що йдуть від смислового центру композиції - точки, де пальці воїна зімкнулися навколо щиколотки дитини, - вздовж фігур дитини, жінки, що притискає його до себе, воїна із занесеним мечем і потім уздовж фігур такої ж групи у правій частині ескіз. Якщо природно з'єднати ці шматки кривою пунктиром, то з дуже великою точністю виходить ... золота спіраль!

«Побиття немовлят» Рафаель. (Мал.19)

Висновок.

Значення золотого перерізу в сучасній науцідуже велике. Ця пропорція використовується практично у всіх галузях знань. Її намагалися вивчити багато відомих вчених і генії: Аристотель, Геродот, Леонардо Да Вінчі, але нікому повністю цього зробити не вдалося. У цьому роботі розглянуті методи перебування «Золотого перерізу», викладено приклади, взяті з наук і мистецтва, у яких відбивається ця пропорція: архітектура, музика, живопис, скульптура, природа. У своїй роботі я хотіла продемонструвати красу та широту «Золотого перетину» в реального життя. Я зрозуміла, що світ математики відкрив мені одну з дивовижних таємниць, яку я постаралася розкрити у своїй роботі, крім того, ці питання виходять за рамки шкільного курсу, вони сприяють удосконаленню та розвитку найважливіших математичних умінь.Я збираюся продовжувати свої дослідження і далі, і шукати ще цікавіші і дивовижні факти. Але вивчаючи закон золотого перетину, важливо пам'ятати, що він не є обов'язковим у всьому, що ми зустрічаємо в природі, а символізує ідеал побудови. Невеликі невідповідності ідеалу – це те, що робить наш світ таким різноманітним.

Бібліографія:

Енциклопедія для дітей.- «Аванта +».-Математика.-685стор.-Москва.-1998р.
Ю.В. Келдиш. - Музична енциклопедія. - Видавництво "Радянська енциклопедія". - Москва. - 1974р. - Стор.958.
Ковальов Ф.В. Золотий перетин у живописі. К.: Вища школа, 1989.
http://www.sotvoreniye.ru/articles/golden_ratio2.php
http://sapr.mgsu.ru/biblio/arxitekt/zolsech/zolsech2.htm
http://imagemaster.ru/articles/gold_sec.html
Васютінський Н. Золота пропорція, Москва "Молода гвардія", 1990 рік.
Газета «Математика», додаток до навчально-методичного посібника «Перше вересня».-М.: видавничий дім «Перше вересня», 2007.
Депман І.Я. За сторінками підручника математики, - М. Просвітництво, 1989Мал. 2
Рис.4
Мал. 6. Античний циркуль золотого перерізу
Малюнок 5. Панелі Хесі-Ра.
рис.7 рис.8
рис.9 рис.10
рис.11
Рис.12
рис.13
рис.14
Рис.15
(Рис.16)
Рис.17
Рис.18

Ще в епоху Відродження художники відкрили, що будь-яка картина має певні точки, які мимоволі приковують нашу увагу, так звані зорові центри. При цьому абсолютно неважливо, який формат має картина – горизонтальний чи вертикальний. Таких точок всього чотири, і вони розташовані на відстані 3/8 і 5/8 від відповідних країв площини. Дане відкриття у художників отримало назву "золотий перетин" картини.

Леонардо да Вінчі першим почав свідомо використати пропорції «золотого перетину» у мистецтві.

Символ пентаграми допомагав художникам у визначенні простору картини, наприклад, у розташуванні людських фігур. "Золота" спіраль застосовувалася для тих же цілей. "Святе сімейство" Мікеланджело є прикладом того, як для цієї мети служила п'ятикутна зірка.

Портрет Монни Лізи (Джоконди) довгі роки привертає увагу дослідників, які виявили, що композиція малюнка заснована на золотих трикутниках, що є частинами правильного п'ятикутника.

"Таємна вечеря" - найзріліший і закінчений твір Леонардо. У цьому розписі майстер уникає всього того, що могло б затемнити основний хід зображеного ним дії, він домагається рідкісної переконливості композиційного рішення. У центрі він поміщає постать Христа, виділяючи її просвітом дверей. Апостолів він свідомо відсуває від Христа, щоб ще більше наголосити на його місці в композиції. Зрештою, у цих цілях він змушує сходитися всі перспективні лінії в точці, безпосередньо розташованої над головою Христа. Учнів Леонардо розбиває на чотири симетричні групи, сповнені життя та руху. Стіл він робить невеликим, а трапезну – строгий і простий. Це дає йому можливість зосередити увагу глядача на фігурах, що мають величезну пластичну силу.

Золота спіраль у картині Рафаеля "Побиття немовлят"

На відміну від золотого перерізу відчуття динаміки, хвилювання проявляється, мабуть, найсильніше в іншій простій геометричній фігурі – спіралі. Багатофігурна композиція, виконана в 1509 - 1510 роках Рафаелем, коли прославлений художник створював свої фрески у Ватикані, якраз відрізняється динамізмом і драматизмом сюжету. Рафаель так і не довів свій задум до завершення, однак, його ескіз був гравірований невідомим італійським графіком Маркантініо Раймонді, який на основі цього ескізу і створив гравюру "Побиття немовлят".

Присутність Ф у «Бичуванні Христа» П'єро делла Франческі і в «Народженні Венери» Сандро Боттічеллі – один із секретів цих надзвичайно красивих картин.

Золоті Пропорції у лінійній побудовізображення на іконі «Зіслання в пекло» Діонісія та майстерні (XVI ст.)

Симетрія та золоті пропорції у лінійному просторі «Трійці» Андрія Рубльова.

Художники-абстракціоністи також почали з геометрії, і золотий переріз зустрічається у багатьох композиціях. Наприклад, «Супрематична композиція» 1915р. Казимира Малевича.

Золотий перетин у мистецтві

Під « правилом золотого перерізу » в архітектуріі мистецтво зазвичай розуміютьсяасиметричні композиції , які не обов'язково містятьЗолотий перетинматематично.

Багато хто стверджує, що об'єкти, що містять у собі «Золотий перетин», сприймаються людьми як найбільшгармонійні . Зазвичай такі дослідження не витримують суворої критики. У будь-якому випадку до всіх цих тверджень слід ставитися з обережністю, оскільки в багатьох випадках це може виявитися результатом припасування або збігу. Є підстави вважати, що значимістьзолотого перерізув мистецтво перебільшена та ґрунтується на помилкових розрахунках. Деякі з таких тверджень:
- Згідно з Ле Корбюзьє, врельєфі з храму фараона Мережі I в Абідосі та врельєфі , що зображує фараона Рамзеса,пропорції фігур відповідаютьзолотого перерізу. У фасаді давньогрецького храмутакож присутнізолоті пропорції. У циркулі із давньоримського міста Помпеї (музей у Неаполі) також закладенопропорції золотого поділу, і Т. Д. і Т. П.
- Результати дослідженнязолотого перерізуу музиці вперше викладено у доповіді Емілія Розенова (1903) і пізніше розвинені у його статті«Закон золотого перетину в поезії та музиці»(1925). Розєнов показав дію даноїпропорції в музичних формахепохиБароко та класицизму на прикладі творівБаха, Моцарта, Бетховена.
Під час обговорення оптимальних співвідношень сторін прямокутників (розміри листівпапери і кратні, розміри фотопластинок (6:9, 9:12) або кадрів фотоплівки (часто 2:3), розміри кіно та телевізійних екранів - наприклад, 3:4 або 9:16) були випробувані різні варіанти. Виявилося, що більшість людей не сприймаєЗолотий перетиняк оптимальне і вважає його пропорції «надто витягнутими».

Починаючи з Леонардо Да Вінчі , багато художників свідомо використалипропорції « золотого перерізу». Російський зодчий Жолтовський також використав Золотий перетину своїх проектах.

Відомо, що Сергій Ейзенштейн штучно побудував фільм «Броненосець Потьомкін» за правиламизолотого перерізу.Він розбив стрічку п'ять частин. У перших трьох дія розвивається кораблем. У двох останніх – в Одесі, де розгортається повстання. Цей перехід у місто відбувається точно в точцізолотого перерізу. Та й у кожній частині є свій перелом, що відбувається за закономзолотого перерізу. У кадрі, сцені, епізоді відбувається якийсь стрибок у розвитку теми:сюжету , настрої. Ейзенштейн вважав, що, оскільки такий перехід близький до точкизолотого перерізу, він сприймається як найбільш закономірний та природний.

Іншим прикладом використання правила « золотого перерізу»У кіномистецтві служить розташування основних компонентів кадру в особливих точках - «зорових центрах». Часто використовуються чотири точки, розташовані на відстані 3/8 та 5/8 від відповідних країв площини.

Золотий перетин у скульптурі

Скульптурні споруди, пам'ятники споруджуються, щоб увічнити знаменні події, зберегти в пам'яті нащадків імена уславлених людей, їхні подвиги та діяння.

Відомо, що ще в давнину основускульптури становила теоріяпропорцій . Відносини частин людського тіла пов'язувалися з формулоюзолотого перерізу.

Пропорції "золотого перерізу"створюють враженнягармонії краси, томускульптори використовували в своїх творах.

Скульптори стверджують, що талія ділить досконале людське тіло щодо"золотого перерізу". Так, наприклад, знаменитастатуя Аполлона Бельведерського складається з частин, що ділятьсязолотим відносинам. Великий давньогрецька скульптор Фідій часто використовував"Золотий перетин"у своїх творах. Найзнаменитішими з них булистатуя Зевса Олімпійського (яка вважалася одним із чудес світу) та Афіни Парфенос.

Золотий перетин в архітектурі

У книгах про "золотому перетині"можна знайти зауваження про те, що вархітектурі, як і в живопису все залежить від положення спостерігача, і що, якщо деякіпропорції у будинку з одного боку здаються такими, що утворюють"Золотий перетин", то з інших поглядів вони виглядатимуть інакше."Золотий перетин"дає найбільш спокійне співвідношення розмірів тих чи інших довжин.

Одним із найкрасивіших творівдавньогрецької архітектури є Парфенон (V ст. До н. Е..).

Парфенон має 8 колон по коротких сторонах і 17 по довгих. виступи зроблені цілком із квадратів пентилейського мармуру. Шляхетність матеріалу, з якого побудований храм, дозволило обмежити застосування звичайноїгрецькою архітектурі розмальовки, вона тільки підкреслює деталі і утворює кольоровий фон (синій та червоний) дляскульптури. Відношення висоти будівлі до її довжини дорівнює 0,618. Якщо зробити поділ Парфенону за"золотого перерізу", то отримаємо ті чи інші виступи фасаду.

Іншим прикладом зархітектури давнини Пантеон.

Відомий російський архітектор М. Козаков у своїй творчості широко використав"Золотий перетин". Його талант був багатогранним, але більшою мірою він розкрився у численних здійснених проектах житлових будинків та садиб. Наприклад,"Золотий перетин"можна виявити вархітектурі будівлі сенату в Кремлі. За проектом М. Казакова в Москві було збудовано Голіцинську лікарню, яка нині називається Першою клінічною лікарнею імені М.І. Пирогова (Ленінський проспект, буд. 5).

Ще один архітектурний шедевр Москви – будинок Пашкова – є одним із найдосконаліших творівархітектуриВ. Баженова.

Прекрасне творіння У. Баженова міцно увійшло ансамбль центру сучасної Москви, збагатило його. Зовнішній вигляд будинку зберігся майже без змін до наших днів, незважаючи на те, що він сильно обгорів у 1812 році.

При відновленні будинок придбав масивнішіформи . Не збереглося і внутрішнє планування будівлі, про яке дають уявлення лише креслення нижнього поверху.

Багато висловлювань архітектора заслуговують на увагу і в наші дні. Про свого коханогомистецтво В. Баженов говорив:

“ Архітектура - Найголовніші має три предмети: красу, спокійність і міцність будівлі ... До досягнення цього служить керівництвом знанняпропорції , перспектива , механіка чи взагалі фізика, а всім їм спільним вождем є свідомість ”.

Золотий перетин у живописі

Кожен малює визначаєвідносини величин і, не дивуйтесь, відрізняє серед нихставлення «золотого – перерізу» . Такий характер зорового сприйняття підтверджується численними дослідами, що проводилися в різний часу низці країн світу.

Німецький психолог Густав Фехнер у 1876 р. провів низку експериментів, показуючи чоловікам та жінкам, юнакам та дівчатам, а також дітям намальовані напапері фігури різних прямокутників, пропонуючи вибрати з них тільки один, але справляє на кожного випробуваного найприємніше враження.Усі вибрали прямокутник, що показуєставлення двох його сторін упропорції «золотого перерізу» . Досвіди іншого роду продемонстрував перед студентами нейрофізіолог із США Уоррен Мак-Каллок у 40-х роках нашого століття, коли попросив кількох добровольців з числа майбутніх фахівців привести довгастий предмет до кращої.формі . Студенти якийсь час працювали, а потім повернули професору предмети. Майже на всіх із них позначки були нанесені точно в районівідносини « золотого перерізу», хоча молодим людям зовсім не було нічого відомо про цю «божественної пропорції ». Мак-Каллок витратив два роки на підтвердження цього феномену, оскільки сам особисто не вірив, що всі люди обирають цюпропорцію або встановлюють її в аматорській роботі з виготовлення різноманітних виробів.

Цікаве явище спостерігається під час відвідування глядачами музеїв та виставокобразотворчого мистецтва . Багато людей, які самі не малювали, з вражаючою точністю вловлюють навіть найменші неточності впринципу.

“ Нехай ніхто, не будучи математиком, не сміється читати мої праці”.

Він здобув славу неперевершеного художника, великого вченого, генія, який передбачив багато винаходів, які не були здійснені аж до XX ст.
Немає сумнівів, щоЛеонардо Да Вінчі був великим художником, це визнавали вже його сучасники, та його особистість і діяльність залишаться покритими таємницею, оскільки він залишив нащадкам не складний виклад своїх ідей, лише численні рукописні нариси, нотатки, у яких говориться “про все світі”.
Він писав праворуч наліво нерозбірливим почерком та лівою рукою. Це найвідоміший із існуючих зразок дзеркального листа.
Портрет Монни Лізи (Джоконди) довгі роки привертають увагу дослідників, які виявили, щокомпозиція малюнку заснована назолоті трикутникиє частинами правильного зірчастого п'ятикутника.Існує дуже багато версій про історію цьогопортрета . Ось одна з них.

Жив-був один бідний чоловік, було у нього чотири сини: три розумні, а один з них і так, і сяк. І ось прийшла до батька смерть. Перед тим, як розлучитися з життям, він покликав дітей і сказав: “Сини мої, скоро я помру. Як тільки ви поховаєте мене, закрийте хатину і йдіть на край світу добувати собі щастя. Нехай кожен із вас чогось навчиться, щоб міг годувати сам себе”. Батько помер, а сини розійшлися світом, домовившись через три роки повернутися на галявину рідного гаю. Прийшов перший брат, який навчився плотничати, зрубав дерево і обтесав його, зробив з нього жінку, трохи відійшов і чекає. Повернувся другий брат, побачив дерев'яну жінку і, оскільки він був кравцем, в одну хвилину одягнув її: як майстерний майстер він пошив для неї гарний шовковий одяг. Третій син прикрасив жінку золотом і дорогоцінним камінням– адже він був ювелір. Нарешті прийшов четвертий брат. Він не умів теслити і шити, він умів тільки слухати, що говорить земля, дерева, трави, звірі та птахи, знав хід небесних тілі ще вмів співати чудові пісні. Він заспівав пісню, від якої заплакали брати, що причаїлися за кущами. Піснею цією він оживив жінку, вона посміхнулася і зітхнула. Брати кинулися до неї і кожен кричав те саме: “Ти повинна бути моєю дружиною”. Але жінка відповіла: “Ти мене створив – будь мені батьком. Ти мене одягнув, а ти прикрасив – будьте братами.

А ти, що вдихнув у мене душу і навчив радіти життю, ти один мені потрібний на все життя”.

Скінчивши казку, Леонардо глянув на Монну Лізу, її обличчя осяяло світло, очі сяяли. Потім, ніби прокинувшись від сну, вона зітхнула, провела по обличчю рукою і без слів пішла на своє місце, склала руки і прийняла звичайну позу. Але справа була зроблена – художник пробудив байдужустатую ; усмішка блаженства, повільно зникаючи з її обличчя, залишилася в куточках рота і тремтіла, надаючи обличчю дивовижного, загадкового і трохи лукавого виразу, як у людини, яка впізнала таємницю і, дбайливо її зберігаючи, не може стримати торжество. Леонардо мовчки працював, боячись прогаяти цей момент, цей промінь сонця, що висвітлив його нудну модель...портрета . Тлумачили про природність висловлювання, про простоту пози, про красу рук. Художник зробив ще небувале: на картині зображено повітря, він огортає фігуру прозорим серпанком. Незважаючи на успіх, Леонардо був похмурим, становище у Флоренції здалося художнику обтяжливим, він зібрався в дорогу. Не допомогли йому нагадування про замовлення, що нахлинули.